C\'alculo de constantes \'opticas de peliculas delgadas de Silicio compensado a trav\'es del m\'etodo de Swanepoel

TL;DR

This paper characterizes the optical constants of compensated thin silicon films using Swanepoel's method, revealing differences in refractive index and dielectric properties compared to pure silicon, with implications for understanding their electronic structure.

Contribution

It applies Swanepoel's model to determine optical constants of compensated silicon films and compares their properties to pure silicon, highlighting effects of compensation on optical behavior.

Findings

Refractive index increases at low wavelengths for both films.

Dielectric constant values align with literature for compensated silicon.

Band gap decreases from 1.11 eV to 0.7275 eV due to compensation.

Abstract

Characterization and determination of the optical constants for thin film silicon compensated through the transmittance spectrum is presented. Such properties were determined by R. Swanepoel model. Comparison between the refractive indices of pure silicon and silicon compensated. Increasing refractive index behavior at low wavelengths in both plots was observed. The difference lies in the concentration and type of element that has been added to the thin film. The behavior of the dielectric constant was studied, their relationship with the refractive index. It is found that the value of the dielectric constant to a thin film of silicon compensated agree with those reported in the literature. The reported value of the gap for pure silicon corresponds to $ 1.11eV $ and the value of the gap for the sample corresponds to $ 0.7275eV $, the discrepancy is due to the level of concentration in the compensated silicon film.

Tables

Table 1. Cuadro 1: Valores experimentales para los T M subscript 𝑇 𝑀 T_{M} y T m subscript 𝑇 𝑚 T_{m} del espectro de la Figura 4 .

$\lambda \left(nm\right)$	$T_M$	$T_m$
707.0115	0.4355	$-$
866.0608	0.8925	$-$
1230.0042	0.9144	$-$
761.9995	$-$	0.2654
1006.0133	$-$	0.3176
1607.0092	$-$	0.3378

Table 2. Cuadro 2: Valores experimentales para los n / λ 𝑛 𝜆 n/\lambda y l 𝑙 l .

$\lambda \left(nm\right)$	$n/\lambda (\ast {10}^{-3})n{m}^{-1}$	$l/2$
760	5.9	$\mathrm{3,0}$
870	4.89	$\mathrm{2,5}$
1010	4.01	$\mathrm{2,0}$
1230	3.13	$\mathrm{1,5}$
1610	$\mathrm{2,30}$	1.0
2350	$\mathrm{1,48}$	0.5

Equations

$$n(\lambda )=\frac{596000}{{\lambda }^2}+3,4672\text{mathchar}46$$

$$\alpha =\frac{4\pi k}{\lambda }\text{mathchar}46$$

$$T=\frac{A}{B-Cx+D{x}^2},$$

$$A=16s\left[n^2+k^2\right],$$

$$B=\left\{{\left[n+1\right]}^2+k\right\}\left\{\left[n+1\right]\left[n+s^2\right]+k^2\right\},$$

$$C=\left\{\left[n^2-1+k^2\right]\left[n^2-s^2+k^2\right]-2k^2\left[s^2+1\right]\right\}2\cos \varphi -2k\left\{2\left[n^2-s^2+k^2\right]+\left[s^2+1\right]\left[n^2-1+k^2\right]\right\}\sin \varphi ,$$

$$D=\left\{{\left[n-1\right]}^2+k^2\right\}\left\{\left[n-1\right]\left[n-s^2\right]+k^2\right\},$$

$$\varphi =\frac{4\pi d}{\lambda },$$

$$x=e^{-\alpha d}$$

$$\alpha =\frac{4\pi k}{\lambda }\text{mathchar}46$$

$$T_s=\frac{{\left[1-R\right]}^2}{1-R^2},$$

$$R={\left[\frac{s-1}{s+1}\right]}^2\text{mathchar}46$$

$$T_s=\frac{2s}{s^2+1}\text{mathchar}46$$

$$s=\frac{1}{T_s}\pm \sqrt{\frac{1}{T_s^2}-1},$$

$$2nd=m\lambda$$

$$T=\frac{Ax}{B-Cx\cos \phi +D{x}^2},$$

$$A=16n^{2}s,$$

$$B={\left[n+1\right]}^3\left[n+s^2\right],$$

$$C=2\left[n^2-1\right]\left[n^2+s^2\right],$$

$$D=2{\left[n-1\right]}^3\left[n+s^2\right],$$

$$\phi =\frac{4\pi nd}{\lambda },$$

$$x=e^{-\alpha d}\text{mathchar}46$$

$$x=\frac{P+\sqrt{P^2+2Q{T}_{\alpha }\left[1-R_2{R}_3\right]}}{Q},$$

$$Q=R_1{R}_2+R_1{R}_3-2R_1{R}_2{R}_3,$$

$$P=\left[R_1-1\right]\left[R_2-1\right]\left[R_3-1\right],$$

$$R_1={\left[\frac{1-n}{1+n}\right]}^2,$$

$$R_2={\left[\frac{n-s}{n+s}\right]}^2,$$

$$R_3={\left[\frac{s-1}{s+1}\right]}^2\text{mathchar}46$$

$$T_M=\frac{Ax}{B-Cx+D{x}^2}$$

$$T_m=\frac{Ax}{B+Cx+D{x}^2}\text{mathchar}46$$

Full text

Keywords:Thin films, optical constants, Swanepoel method.

I Introducción

Se presenta la caracterización y determinación de las constantes ópticas para una película delgada de Silicio compensado a través del espectro de transmitancia. Tales propiedades fueron determinadas por el modelo de R. Swanepoel. El modelo propuesto por R. Swanepoel proporciona una forma para determinar las propiedades ópticas de las películas delgadas, las propiedades estudiadas fueron el indice de refracción $n$, el espesor de la película $d$, el índice de absorción $\alpha$, el coeficiente de extinción $k$ y la brecha de energía prohibida óptica (también conocida como gap) $E_{g}$ Swanepoel ; Mesa . Se contrastaron los valores del espesor $d$ y el experimental $d_{p}$ que fue medido en un perfilómetro Dektak 150. A la película en estudio se le practicaron 5 ensayos de perfilometría en los que se determinó que el espesor es $d_{p}=308,4998nm$ valor que fue comparado con el modelo $d=282,96nm\pm 8\leavevmode\,\%{}$. La determinación de los $T_{M}$ y $T_{m}$ se realizó por interpolación de Lagrange. Esto permitió determinar una ecuación de Cauchy de la forma

[TABLE]

De la comparación entre los índices de refracción del Silicio puro y del Silicio compensado se observó el comportamiento creciente del índice de refracción para bajas longitudes de onda en ambas gráficas. La diferencia radica en la concentración y los elementos que se le han añadido a la película en estudio. Se estudio el comportamiento de la constante dieléctrica, su relación con el indice de refracción. Hallándose que el valor de la constante dieléctrica para una película delgada de Silicio compensado esta de acuerdo con lo reportado en la literatura. El valor reportado del gap para el Silicio en puro corresponde a $1,11eV$ y el valor del gap para la muestra estudiada corresponde a $0,7275eV$, la discrepancia se debe al nivel del concentración con que está compensada la película de Silicio.

I.1 El modelo

En este punto se seguirá el análisis realizado por Mesa et al Mesa . Swanepoel, presenta un procedimiento para calcular las constantes ópticas de películas delgadas de materiales semiconductores amorfos a partir de datos obtenidos experimentalmente del espectro de transmitancia. Este procedimiento asume un sistema compuesto por una película delgada homogénea en espesor y con índice de refracción complejo $\eta=n-ik$ que es depositada sobre un sustrato transparente de índice de refracción $s$ y espesor mayor que el de la película, tal como se puede ver en la Figura 1.

La parte real $n$ del índice de refracción determina la velocidad con que la radiación se propaga en el material y el factor $k$ es expresado en términos $\alpha$ de la forma

[TABLE]

Esto permite realizar un análisis de los efectos de interferencia que se observan en los espectros de transmitancia como consecuencia de la superposición de los haces reflejados y transmitidos en las interfaces película/aire y sustrato/película, obteniendo una expresión general para el valor de la transmitancia $T$ en función de la longitud de onda $\lambda$ y de los parámetros $n$, $s$, $\alpha$ y espesor $d$

[TABLE]

donde se tienen que los parámetros $A$, $B$, $C$ y $D$ son

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

y

[TABLE]

El espectro puede ser dividido en cuatro regiones, tal como se ve en la Figura 2. En la región transparente $\alpha=0$ y la transmitancia se encuentra determinada por $n$ y $s$ a través de las reflexiones múltiples. En la región de absorción débil $\alpha$ es bajo y la transmitancia empieza a reducirse; en la región de absorción media $\alpha$ crece y la transmitancia disminuye debido al efecto de $\alpha\neq 0$. En la región de fuerte absorción, la transmitancia disminuye drásticamente debido, casi exclusivamente, a la influencia de $\alpha$.

Para una primera aproximación, se consideró únicamente el sustrato de modo que la transmitancia es considerada libre de interferencia de la forma

[TABLE]

donde $T_{s}$ corresponde al coeficiente de transmitancia, incidiendo normalmente sobre la superficie del sustrato y $R$ es el coeficiente de reflexión de la muestra o la película

[TABLE]

Por lo que $T_{s}$ se reescribe como

[TABLE]

Y el valor posible del índice de refracción $s$ para el sustrato queda

[TABLE]

en donde sólo se debe considerar la parte positiva de la anterior expresión. De otro lado, se tiene que las franjas de interferencia están descritas de la forma

[TABLE]

donde $m=0,1,2\ldots$; que produce el patrón de interferencia en películas delgadas. En tal sentido, Swanepoel propone una simplificación en las expresiones, para un sistema compuesto por una película absorbente sobre un sustrato transparente finito y para el caso de un substrato asumido infinito. Sí se considera que $k=0$, que resulta ser una aproximación válida en la mayor parte de la región espectral Swanepoel ; Mesa , la transmisión $T$ está dada por

[TABLE]

en donde los parámetros $A$, $B$, $C$, $D$, $\varphi$ y $x$ se reescriben como

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

y

[TABLE]

La absorbancia $x$ para del sistema términos de la transmitancia libre de interferencia $T_{\alpha}$ de la forma

[TABLE]

en donde los parámetros $P$, $Q$, $R_{1}$, $R_{2}$ y $R_{3}$ son

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

y

[TABLE]

Es posible plantear dos funciones que describan los extremos de las franjas de interferencia de la forma

[TABLE]

para los máximos $T_{M}$ de la Figura 2. Y de la misma manera para los mínimos $T_{m}$

[TABLE]

Este modelo ha repartido el espectro de transmitancia en tres regiones de acuerdo al proceso de absorción en la película a saber:

Región transparente, definida como aquella región del espectro donde se puede considerar que $\alpha=0,\,\,x=1$, por lo que la posición de los $T_{M}$ queda definida como

[TABLE]

La posición de los mínimos $T_{m}$ es

[TABLE]

Y el índice de refracción de la película delgada para esta región es

[TABLE] 2. 2.

Región de baja y media absorción, para esta zona del espectro de transmitancia se tiene que $\alpha\neq 0,x<1$, por lo que la relación de la resta de sus inversos multiplicativos de (29) y (30) es

[TABLE]

Y el índice de refracción de la película delgada para esta región es

[TABLE]

la absorbancia $x$ en términos de los $T_{M}$ es

[TABLE]

La suma de los recíprocos de (29) y (30) conduce a

[TABLE]

la absorbancia $x$ en términos de los $T_{i}$ es

[TABLE]

Donde $T_{i}$ representa una curva que pasa a través de los puntos de inflexión de las franjas presentadas en la Figura 2. La transmitancia libre de interferencias $T_{\alpha}$ se calcula como

[TABLE]

donde se tiene que $T_{\alpha}$ corresponde a la media geométrica de $T_{M}$ y $T_{m}$. 3. 3.

Región de intensa absorción, en esta situación, las franjas de interferencia desaparecen, por lo que no hay forma de calcular $n$ y $x$ independientemente en esta región a partir del espectro de transmitancia únicamente. Si se desprecian los efectos debido a la interferencia en la película, bajo la condición $x\ll 1$

[TABLE]

II Montaje y equipos empleados

II.1 Espectro de transmitancia

Para determinar el tipo de espectro de transmitancia de la muestra suministrada (Silicio compensado), se empleó un espectrofotómetro UV-Vis-IR. El Cary 5000 es espectrofotómetro UV -Vis -NIR con rendimiento fotométrico el rango de $175-3300nm$ y con una margen de error $\Delta\lambda=0,02nm$. El uso de un detector de PbSmart, el Cary 5000 amplía su gama NIR a 3300 nm y es controlado por el software Cary WinUV, que se halla disponible en las instalaciones del Departamento Física de la Universidad Nacional de Colombia, tal como se halla en la Figura 3.

Con este equipo y la muestra de Silicio compensado se obtuvo el espectro de transmitancia de la película que se puede ver en la Figura 4.

El proceso se repitió dos veces para verificar el espectro de la película, el cual se puede ver en la Figura 5.

De lo anterior se observa, que los dos espectros tomados a la misma muestra son similares, se opta por caracterizar la película de muestra con el espectro de la primera prueba, ver Figura 4. Para determinar el índice de refracción del sustrato $s$, se realizó un espectro de transmitancia al sustrato (vidrio) por separado, es decir sin película, del cual se obtuvo el espectro que se observa en la Figura 6.

II.2 Espesor de la película delgada de Silicio compensado.

El perfilómetro es un equipo que puede tomar espesores y rugosidades de películas delgadas, del orden de las micras, opera mediante una torre donde tiene una cámara (zoom 166x), con una punta (diamante) y un sensor de proximidad. La punta hace contacto con la muestra, mediante el brazo hace un barrido desde el sustrato hasta la muestra, a medida que la punta de diamante hace contacto con la superficie, en su brazo tiene un solenoide de fuerza, este sirve para ir graduando como debe interactuar la punta con la muestra. El perfilómetro toma la señal de espesor de la película mediante un sensor (Low-Inertia Sensor LIS 3) que se denomina LVDT, y este opera haciendo que las variaciones mecánicas se conviertan en señales de corriente continua que son enviadas al software para ser interpretadas como espesores de la muestra. Después de hacer el barrido y enviar las señales al software, este presenta una imagen del espesor de la muestra tomando como referencia el sustrato, de acuerdo con esto, se puede realizar por medio del software una aproximación promedio del espesor de la película. De igual manera, presenta la distancia vertical punto a punto del sustrato y de la muestra, ver Figura 7.

A la película en estudio se le hicieron 5 ensayos para determinar su espesor experimental $\left\langle d_{p}\right\rangle=308{,}4998nm$. Una curva típica que muestra el equipo de perfilometría para la muestra en estudio se puede ver en la Figura 8.

III Análisis de Resultados

Una vez obtenidos el espesor de la película y los espectros en el rango

[TABLE]

para tal intervalo, de acuerdo con el espectro de transmitancia del sustrato que se observa en la Figura 6, se advierte que la transmitancia no fluctúa de manera considerable para el rango de longitud de onda establecido. Por lo que se considera tal transmitancia constante

[TABLE]

Lo cual permite obtener el índice de refracción del sustrato a partir de (13)

[TABLE]

Del espectro que se aprecia en la Figura 4. se obtuvieron los siguientes valores de $T_{M}$ y $T_{m}$

De acuerdo con los valores consignados en el Cuadro I para el espectro de transmitancia de la Figura 4, se calcularon los valores intermedios de $T_{M}$ y de $T_{m}$ por el método de interpolación de Lagrange, ver Apéndice A. Este método permite calcular las curvas envolventes del espectro en cuestión, tal como se aprecia en la Figura 9.

Se aprecia que la región de baja y media absorción corresponde al intervalo de

[TABLE]

Para la región de baja y media absorción establecida es posible calcular el índice de refracción de la película $n(\lambda)$ por unidad de longitud de onda a partir de (34). Esto permitió construir la gráfica de $n(\lambda)$ vs $\lambda$ que se observa en la Figura refF9.

Se puede realizar un comparativo del comportamiento del índice de refracción $n(\lambda)$ de la película en estudio y el comportamiento del indice refracción para el Silicio puro reportado en la literatura Palik , el cual se puede ver en la Figura 11 y 12. De la comparación entre las Figuras 10, 11 y 12 se observa un comportamiento creciente del índice de refracción para bajas longitudes de onda en ambas gráficas. La diferencia radica en el tipo de concentración y los elementos que se le han añadido a la película en estudio. Por definición se conoce que

[TABLE]

[TABLE]

donde se tiene que $\epsilon_{i}$ y $\mu_{i}$ corresponden a la permitividad y la permeabilidad del medio $i$ respectivamente. Si la película delgada de Silicio compensado no es magnética $\mu\approx\mu_{0}$. Por lo que índice de refracción de la película delgada se reduce a

[TABLE]

De lo anterior, se puede deducir el comportamiento de la permitividad de la película delgada. Además, es posible determinar la constante dieléctrica $\kappa$ para la película delgada está dada por

[TABLE]

cuyo comportamiento se observa en la Figura 13. En la literatura se halla que el valor de la constante dieléctrica $\kappa$ para el Silicio en estado puro corresponde a $\kappa=11{,}7$, y en la misma Figura se muestra que para el intervalo de longitud de onda tenemos que la constante dieléctrica está en el intervalo de

[TABLE]

Lo cual confirma que la constante dieléctrica corresponde al mismo orden de magnitud con lo reportado en la literatura kappa .

Se conoce que la ecuación de Cauchy es de la forma

[TABLE]

donde se tiene que $a$ corresponde a la pendiente y $c$ es el punto de corte de la recta con el eje $y$.

Por el método de mínimos cuadrados se determinó que la ecuación para los puntos hallados con (49) es de la forma

[TABLE]

Posteriormente, con el espectro en estudio se determinaron los puntos máximos de orden $l$ que se observan en la Figura 15.

Esto permite hallar de una manera indirecta el espesor de la película delgada de Silicio compensado. Dada la relación

[TABLE]

La cual es representada en la Figura 16.

Posteriormente, se representan los datos consignados en el Cuadro II que permite hallar de manera indirecta el espesor de la película $d$.

Donde se calculó el ajuste de la recta para la Figura 16 que corresponde a

[TABLE]

donde se identifican los términos

[TABLE]

De lo cual se puede afirmar que el espesor teórico es $d=282{,}98nm$ y $m_{1}\approx 0,5$.

Posteriormente, se calcula el coeficiente de absorción $\alpha(\lambda)$ a partir de (22) y (36). En la Figura 17 se observa el comportamiento del coeficiente de absorción $\alpha$ en función de la longitud de onda. Se tiene que el coeficiente de absorción aumenta con la disminución de la longitud de onda. Esto puede deberse a que se está aproximando a la frecuencia natural de la película.

El siguiente paso, es calcular el coeficiente de extinción $k$ a partir de (1) y cuyo comportamiento en función de $\lambda$ se aprecia en la Figura 18.

De las Figuras 11 y 18 es posible determinar el índice de refracción complejo $\eta=n-ik$ por unidad de longitud de onda. Para la determinación de la banda de energía prohibida $E_{g}$ se recurre a representar los valores del coeficiente de absorción $\alpha(\lambda)$ vs $E=\frac{hc}{\lambda}$ que se observan en la Figura 19.

Lo cual permite realizar una extrapolación de la región que presenta un comportamiento lineal y determinar el punto de corte de una recta dibujada sobre dicha región y el eje $E=\frac{hc}{\lambda}$. Tal punto corresponde a

[TABLE]

De acuerdo a Kittel el valor reportado del gap de Silicio puro corresponde a $1{,}11eV$ a una temperatura de $300K$ Kittel . La diferencia entre el valor reportado y el hallado en el presente informe se deben atribuir a dos posibles razones:

• Margen de error en el presente calculó dado que el error para el gap de la muestra en estudio corresponde a $2{,}842\leavevmode\,\%{}$ que se puede ver en el Apéndice B.
• Nivel de concentración de las impurezas u otros elementos presentes en la muestra en estudio.

La presencia de impurezas permiten que se presenten transiciones de los portadores de carga de menor energía entre la banda de valencia y la banda de conducción. Para el presente estudio no es posible determinar qué tipo de portadores de carga hay presentes en la muestra, ello se podrá determinar en otro tipo de pruebas tales como someter la película a un estudio de efecto Hall. Se sabe que en un semiconductor se denomina de gap directo cuando el mínimo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia se dan para el mismo valor de $k$. De lo contrario es de gap indirecto, como se sabe el silicio y el germanio poseen un gap indirecto Kittel . En otras palabras el gap directo se caracteriza por la transferencia de electrones de la banda de valencia a la banda de conducción mediante la interacción solo de electrón-fotón. En el caso del gap indirecto ademas de la interacción electrón-fotón la transición de a la banda de conducción debe estar mediada por un fonón Kittel . Tal como se observa en la Figura 20.

La absorción directa de un fotón es una transición vertical desde la banda de valencia a la de conducción. Cuando un electrón hace una transición vertical desde la banda de conducción a la de valencia emite un fotón. También son posibles las transiciones indirectas que consisten en la absorción/emisión simultánea de un fotón y un fonón. El salto vertical corresponde al fotón y el cambio de $k$ se debe al fonón. La transición indirecta tiene una frecuencia mucho menor que la directagap .

IV Conclusiones

Del presente estudio realizado a una película delgada de Silicio compensado se extraen las siguientes conclusiones:

Se estudió la película suministrada, a la cual se le determinaron las constantes ópticas bajo el modelo propuesto por Swanepoel. La determinación de los $T_{M}$ y $T_{m}$ se realizó por interpolación de Lagrange. Esto permitió determinar una ecuación de Cauchy de la forma

[TABLE] 2. 2.

A la película en estudio se le practicaron 5 ensayos de perfilométria en los que se determinó que el espesor es

[TABLE]

Por otro lado empleando el modelo propuesto, de acuerdo a la Figura 13 y por 14, se determinó que el valor $d$ es de

[TABLE]

Y el error es del $8\leavevmode\,\%{}$. 3. 3.

El indice refracción $s$ para el sustrato que en este caso corresponde al vidrio está dentro del orden de magnitud reportado en la literatura

[TABLE] 4. 4.

De la comparación entre las Figuras 10, 11 y 13 se observa un comportamiento creciente del índice de refracción para bajas longitudes de onda en ambas gráficas. La diferencia radica en la el tipo de concentración y el elemento que se le ha añadido a la película en estudio. 5. 5.

Se estudio el comportamiento de la constante dieléctrica, su relación con el indice de refracción. Hallándose que el valor de la constante dieléctrica para una película delgada de Silicio compensado esta de acuerdo con lo reportado en la literatura. 6. 6.

El valor gap reportado para el Silicio en puro corresponde a $1,11eV$ y el valor del gap para la muestra estudiada corresponde a $0{,}7275eV$, la discrepancia se debe al nivel del concentración con que esta compensado la película de Silicio.

Apéndice A Polinomios de interporlación de Lagrange

Los polinomios de interpolación de Lagrange corresponden a uno de los diversos métodos que para $n+1$ puntos en un plano con diferentes coordenadas de x, permiten encontrar una función polinómica del menor grado posible que pase por esos $n+1$ puntos. Tales polinomios son escritos de la forma

[TABLE]

donde

[TABLE]

Y al expandir la productoria se tiene

[TABLE]

Estos polinomios son construidos con una propiedad importante que dice,

[TABLE]

Este método, ofrece un mejor ajuste de los puntos $T_{M}$ y $T_{m}$ que fueron hallados experimentalmente para el espectro de transmitancia de la Figura 4.

Tales polinomios de interpolación puesto que para el espectro obtenido de la medición de la muestra de silicio compensado en partes por millón, se quiere encontrar una función de la envolvente del espectro con base en los máximos y mínimos de transmitancia obtenidos de la medición que en este caso es de $3$ máximos y $3$ mínimos. Para el presente trabajo realizado los polinomios de interpolación de Lagrange se interpretan de la siguiente manera:

La variable $x$ corresponde a la longitud de onda del espectro obtenido en la medición. 2. 2.

$x$ corresponde a la longitud de onda del espectro obtenido en la medición, 3. 3.

$x_{m}$ corresponde a la longitud de onda siguiente o anterior a la longitud de onda correspondiente a cada máximos o mínimos de transmitancia medidos en el espectro de la muestra del punto que se está utilizando para la interpolación, 4. 4.

$x_{i}$ corresponde a la longitud de onda del punto que se está interpolando y 5. 5.

$y_{i}$ es el valor de la transmitancia que corresponde al punto xi que se está analizando.

Apéndice B Análisis de incertidumbre y error

B.1 Incertidumbre en las mediciones

Para realizar el análisis en la incertidumbre en las mediciones se consideran los siguientes casos:

• $1\mathchar 46\relax$

Si la propagación del error proviene de una ecuación se aplica la relación

[TABLE]

Siendo $\Delta x_{i}$ la incertidumbre en las mediciones y $\Delta f$ la incertidumbre propagada. Esta es la forma en que la que se hallará el error para $n$, $\alpha$ y $k$.

• $2\mathchar 46\relax$

Si la medida proviene de promediar un conjunto de datos, la incertidumbre es la desviación estándar, calculada fácilmente a través de herramientas de software.

• $3\mathchar 46\relax$

Sí la medida se obtiene a partir de un método de ajuste a una recta, como es el caso del espesor de la película, $d$, y la energía de gap $E_{g}$. Se aplica la técnica que se describe a continuación: Se hace un promedio de los errores de las variables ubicadas en los ejes $x$ e $y$ en la gráfica

[TABLE]

[TABLE]

A partir de los cuales se halla un parámetro $\sigma$

[TABLE]

Con $m$ la pendiente de la recta. A partir de este parámetro se hallan la incertidumbre en la pendiente y en el intercepto con el eje y.

[TABLE]

[TABLE]

Aplicando los métodos descritos según los casos correspondientes, se halla primero una incertidumbre para $n$ a partir de

[TABLE]

bajo la hipótesis que se halló una relación analítica entre $n$ y $\lambda$ dada por (50)

[TABLE]

Según especificaciones técnicas $\Delta\lambda=0,02nm$ para el espectrofómetro Cary 5000, lo cual permite a su vez hallar la incertidumbre de $\frac{n}{\lambda}$

[TABLE]

Esto corresponde al error en los datos del eje x para el método gráfico que permiten determinar el espesor de la película $d_{Teo}$. Posteriormente se aplica el método 3, teniendo en cuenta que $\sigma_{y}=0$, pues en el eje y sólo se ubican valores $\frac{l}{2}$ que no llevan ningún error inherente, se encuentra la incertidumbre en la pendiente. Dado que

[TABLE]

Así se encuentra que la incertidumbre para el espesor es de

[TABLE]

Los datos calculados a partir de (37) para $x$ se observó que todos son cercanos $1$. Por lo cual, es posible aplicar el método 2 y considerar el error en $x$ como su desviación estándar. Se halla que

[TABLE]

Utilizando el método 1 se pueden encontrar las incertidumbres en $\alpha$ y $k$

[TABLE]

[TABLE]

Dado que el cálculo en el gap proviene de un método gráfico, en el cual el valor de esta energía es el intercepto en el eje x, se utiliza el método 3, teniendo en cuenta que, para poder aplicar correctamente

[TABLE]

donde $\Delta\alpha$ son los errores $\Delta x_{i}$y $\Delta\left(\frac{hc}{\lambda}\right)$ son los errores $\Delta y_{i}$. Calculando los $\Delta x_{i}$ y $\Delta\left(\frac{hc}{\lambda}\right)$ a partir de

[TABLE]

Por otro lado, se tiene que la incertidumbre en el gap corresponde a

[TABLE]

B.2 Cálculo de error

El error $\epsilon$ en la medición se determina mediante

[TABLE]

donde $V_{m}$ corresponde al valor obtenido en la medición y $V_{r}$ es un valor que se usa como referencia. Para el valor de referencia del espesor de la película se realizó un conjunto de $5$ mediciones de perfilometría. Promediando los datos de las $5$ mediciones a partir de los datos entre la zona de la medición entre los $4000\AA$ y los $5000\AA$ se obtiene un espesor de la película de Silicio compensado

[TABLE]

A partir del cual el error en la medición del espesor es de

[TABLE]

Teniendo en cuenta la incertidumbre en la medida del espesor, el error puede reducirse hasta $5{,}287\leavevmode\,\%{}$.

Referencias

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• (10) Universidad de Antioquia. Introducción al método de mínimos cuadrados. Medellín, 2010.
• (11) Gap directo-indirecto. Consultado mayo del 2015, disponible en: http://ocw.upc.edu/sites/default/files/materials/15014928/3.-_semiconductores-4826.pdf