Finiteness of p-Divisible Sets of Multiple Harmonic Sums

TL;DR

This paper investigates the arithmetic properties of multiple harmonic sums, conjecturing their finiteness in p-adic contexts, and provides evidence and heuristics supporting this generalization of classical harmonic series conjectures.

Contribution

It extends conjectures about harmonic sums to multiple harmonic sums and offers partial proofs and heuristics for their p-adic finiteness properties.

Findings

Conjecture that only finitely many p-partial sums are p-integral for all sequences.

Provides evidence supporting the finiteness conjecture.

Builds on previous work related to Wolstenholme's theorem for multiple harmonic sums.

Abstract

\medskip\noindent\textbf{R\'esum\'e.} Soit $l$ un entier et $\ors=(s_1, \dots, s_l)$ une s\'equence d'entiers positifs. Dans ce document, nous \'etudierons les propri\'et\'es arithm\'etique de sommes harmoniques multiples $H(\ors; n)$, qui est le $n$-\`eme somme partielle de la valeur de la s\'erie multiple zeta $\zeta(\ors)$. On conjecture que pour tout $\ors$ et de tous les premiers $p$, il n'y a que de nombreux finitely $p$-partie int\'egrante sommes $H(\ors,n)$. Ceci g\'en\'eralise une conjecture de Eswarathasan et Levine et Boyd pour la s\'erie harmonique. Nous fournissons beaucoup d'\'el\'ements de preuve pour cette conjecture g\'en\'erale ainsi que certaines heuristiques argument soutenir. Ce document fait suite \`a \emph{Wolstenholme Type Theorem for multiple harmonic sums}, Intl.\ J.\ of Number Theory \textbf{4}(1) (2008) 73-106.