G\'eom\'etrie d'Arakelov des vari\'et\'es toriques et fibr\'es en droites int\'egrables

TL;DR

This paper extends Arakelov geometry to integrable line bundles on arithmetic varieties, utilizing Bedford-Taylor constructions and recent Demailly results, with applications to toric varieties and an arithmetic Bernstein-Koushnirenko theorem.

Contribution

It introduces a partial extension of Arakelov geometry to integrable line bundles, especially on toric varieties, using advanced potential theory and metric approximation techniques.

Findings

Extended Arakelov geometry to integrable line bundles.

Applied theory to toric varieties with canonical metrics.

Proved an arithmetic analogue of Bernstein-Koushnirenko theorem.

Abstract

En nous appuyant sur une construction due \`a Bedford et Taylor, et certains r\'esultats r\'ecents de Demailly, nous pr\'esentons une extension (partielle) de la g\'eom\'etrie d'Arakelov aux fibr\'es en droites int\'egrables. (Ces derniers sont les fibr\'es en droites hermitiens sur une vari\'et\'e arithm\'etique $X$ pouvant se d\'ecomposer sous la forme $\ov{E} = \ov{E}_{1}\otimes (\ov{E}_{2})^{-1}$, o\`u $\ov{E}_{1}$ et $\ov{E}_{2}$ sont des fibr\'es en droites munis \`a l'infini d'une m\'etrique continue approchable uniform\'ement sur $X(C)$ par des m\'etriques positives $C^{\infty}$). Nous appliquons notre th\'eorie aux fibr\'es en droites sur une vari\'et\'e torique munis \`a l'infini de leur m\'etrique canonique. Nous en d\'eduisons, entre autres choses, la d\'emonstration d'un analogue arithm\'etique du th\'eor\`eme de Bernstein-Koushnirenko.