Der Whitneysche Fortsetzungssatz f\"ur vektorwertige Funktionen

TL;DR

This paper extends Whitney's classical jet extension theorem to vector-valued functions in locally convex spaces, providing continuous linear extension operators for finite and infinite order jets on subsets of manifolds.

Contribution

It generalizes Whitney's extension theorem to vector-valued functions in locally convex spaces, including infinite jets and manifolds with rough boundaries.

Findings

Established continuous linear extension operators for vector-valued jets.

Extended Whitney $ abla$-jets to metrizable locally convex spaces.

Proved existence of right inverses for restriction maps on manifolds.

Abstract

Let $k\in\mathbb{N}_0\cup\{\infty\}$. According to Whitney's extension theorem, each real-valued Whitney $k$-Jet on a closed subset $A\subseteq\mathbb{R}^n$ can be extended to a $C^k$-function on $\mathbb{R}^n$. Based on Whitney's original work, we prove analogous results for jets and functions with values in a real Hausdorff locally convex topological vector space $E$. In the case $k<\infty$, we obtain a continious linear extension operator, that is a continious linear right inverse of the map $C^k(\mathbb{R}^n,E)\to \mathcal{E}^k(A,E),\ f\mapsto ((\partial^{\alpha} f)\vert_A)_{\vert\alpha\vert\leq k}.$ Assuming that $E$ ist metrizable, we also succeed in extending Whitney $\infty$-jets. Given a $C^k$-manifold $M$ (which may have a "rough boundary"), we deal with the problem how to extend Whitney $k$-Jets defined on closed subsets $A\subseteq M$ to $C^k$-functions on $M$. In particular, we show for $k<\infty$ that the restriction map $C^k(M,E)\to C^k(A,E),\ f\mapsto f\vert_A$ has a continuous linear right inverse for each closed submanifold $A\subseteq M$ if $M$ is $C^k$-paracompact and $A$ locally compact, or if $M$ is regular and $A$ compact. ----- Sei $k\in\mathbb{N}_0\cup\{\infty\}$. Der Whitneysche Fortsetzungssatz besagt, dass sich jeder reellwertige Whitneysche $k$-Jet auf einer abgeschlossenen Teilmenge $A\subseteq\mathbb{R}^n$ zu einer $C^k$-Funktion auf $\mathbb{R}^n$ fortsetzen l\"asst. Ausgehend von Whitneys Originalarbeit beweisen wir analoge Resultate f\"ur Jets und Funktionen mit Werten in einem reellen Hausdorffschen lokalkonvexen topologischen Vektorraum $E$. Im Falle $k<\infty$ erhalten wir einen stetigen linearen Fortsetzungsoperator, also eine stetige lineare Rechtsinverse der Abbildung $C^k(\mathbb{R}^n,E)\to \mathcal{E}^k(A,E),\ f\mapsto ((\partial^{\alpha} f)\vert_A)_{\vert\alpha\vert\leq k}.$ Die Fortsetzung von $E$-wertigen Whitneyschen $\infty$-Jets gelingt uns unter der Annahme, dass $E$ metrisierbar ist. Sei $M$ eine endlichdimensionale $C^k$-Mannigfaltigkeit (welche einen "rauen Rand" haben mag). Wir befassen uns mit der Frage, wie man Whitneysche $k$-Jets, die auf einer abgeschlossenen Teilmenge $A\subseteq M$ definiert sind, zu $C^k$-Funktionen auf $M$ fortsetzen kann. Insbesondere beweisen wir f\"ur $k<\infty$ dass die Einschr\"ankung $C^k(M,E)\to C^k(A,E),\ f\mapsto f\vert_A$ f\"ur jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit $A\subseteq M$ eine stetige lineare Rechtsinverse besitzt, wenn $M$ $C^k$-parakompakt und $A$ lokalkompakt, oder $M$ regul\"ar und $A$ kompakt ist.