Construction of a fundamental system of solutions for a degenerate equation with a fractional derivative of Dzhrbashyan-Nersesyan

TL;DR

This paper develops a general solution for a degenerate differential equation involving Dzhrbashyan-Nersesyan fractional derivatives, utilizing Kilbas-Saigo functions to express particular solutions.

Contribution

It introduces a method to construct solutions for degenerate equations with Dzhrbashyan-Nersesyan fractional derivatives using special functions.

Findings

General solution constructed for the degenerate fractional equation.

Particular solutions expressed via Kilbas-Saigo functions.

Advances understanding of fractional differential equations with degeneracy.

Abstract

The article constructs a general solution of a degenerate equation with a fractional derivative of Dzhrbashyan-Nersesyan. Particular solutions are presented through the Kilbas-Saigo function.

Equations

$$D_{0x}^{\alpha }{t}^{\beta }u\left(t\right)=\lambda u\left(x\right),0<x<b,$$

$$\left(D_{0+}^{\alpha }y\right)\left(x\right)=a{x}^{\beta }y\left(x\right)+f\left(x\right)\left(0<x<d\le \infty ,\alpha >0,\beta \in R,a\ne 0\right),$$

$$\left(D_{-}^{\alpha }y\right)\left(x\right)=a{x}^{\beta }y\left(x\right)+f\left(x\right)\left(0\le d<x<\infty ,\alpha >0,\beta \in R,a\ne 0\right),$$

$$\left(D_{0+}^{1/2}y\right)\left(x\right)=a{x}^{\beta }y\left(x\right)+x^{-1/2},\left(0<x,-1/2<\beta \le 0\right),$$

$$D_{0y}^{\left\{{\gamma }_0,{\gamma }_1,...,{\gamma }_{m-1},{\gamma }_m\right\}}u\left(y\right)=\lambda y^{s}u(y),y>0,\lambda \in C,s\ge 0,$$

$$D_{0y}^{\left\{{\gamma }_0,{\gamma }_1,...,{\gamma }_{m-1},{\gamma }_m\right\}}=D_{0y}^{{\gamma }_m-1}{D}_{0y}^{{\gamma }_{m-1}}...D_{0y}^{{\gamma }_1}{D}_{0y}^{{\gamma }_0},$$

$$D_{0y}^{\gamma}g\left(y\right)=\left\{\begin{array}[]{l}\frac{1}{{\Gamma\left({-\gamma}\right)}}\int\limits_{0}^{y}{\frac{{g\left(t\right)dt}}{{{{\left|{y-t}\right|}^{1+\gamma}}}}},\gamma<0,\\ g\left(y\right),\gamma=0,\\ {\left({\frac{d}{{dy}}}\right)^{p}}D_{0y}^{\gamma-p}g\left(y\right),p-1<\gamma\leq p,p\in N.\end{array}\right.$$

$$D_{0y}^{\left\{\alpha -m+1,1,...,1\right\}}=D_{0y}^{\alpha },m-1<\alpha \le m.$$

$$D_{0y}^{\left\{1,...,1,\alpha -m+1\right\}}={}_C{D}_{0y}^{\alpha },m-1<\alpha \le m.$$

$$\sum _{k=0}^n{a}_k{D}_{0y}^{\left\{{\gamma }_0,...,{\gamma }_k\right\}}u\left(y\right)=f\left(y\right),$$

$$u\left(y\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{y}^{an+b},$$

$$D_{0y}^{\gamma }{y}^{\delta }=\frac{d}{dy}{D}_{0y}^{{\gamma }_0-1}{y}^{\delta }=\frac{d}{dy}\frac{1}{\Gamma \left(1-{\gamma }_0\right)}\underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{t^{\delta }dt}{{\left(y-t\right)}^{{\gamma }_0}}=\frac{\left(\delta +1-{\gamma }_0\right)\Gamma \left(\delta +1\right)y^{\delta -{\gamma }_0}}{\Gamma \left(\delta -{\gamma }_0+2\right)},\delta >-1.$$

$$D_{0y}^{{\gamma }_1}{D}_{0y}^{{\gamma }_0}{y}^{\delta }=\frac{\left(\delta +1-{\gamma }_0\right)\Gamma \left(\delta +1\right)}{\Gamma \left(\delta -{\gamma }_0+2\right)}{D}_{0y}^{{\gamma }_1}{y}^{\delta -{\gamma }_0}=$$

$$=\frac{\left(\delta -{\gamma }_0+1\right)\left(\delta -{\gamma }_0-{\gamma }_1+1\right)\Gamma \left(\delta +1\right)\Gamma \left(\delta -{\gamma }_0+1\right)}{\Gamma \left(\delta -{\gamma }_0+2\right)\Gamma \left(\delta -{\gamma }_0-{\gamma }_1+2\right)}{y}^{\delta -{\gamma }_0-{\gamma }_1},\delta -{\gamma }_0>-1.$$

$$D_{0y}^{{\gamma }_{m-1}}...D_{0y}^{{\gamma }_0}{y}^{\delta }=\frac{\Gamma \left(\delta +1\right)\prod _{k=0}^{m-1}\left(\delta -{\alpha }_k\right)\prod _{k=0}^{m-2}\Gamma \left(\delta -{\alpha }_k\right)}{\prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(\delta -{\alpha }_k+1\right)}{y}^{\delta -{\alpha }_{m-1}-1},\delta -{\alpha }_{m-2}>0,$$

$${\alpha }_k=\sum _{j=0}^k{\gamma }_j-1,{\alpha }_m=\alpha .$$

$$D_{0y}^{\left\{{\gamma }_0,{\gamma }_1,...,{\gamma }_{m-1},{\gamma }_m\right\}}{y}^{\delta }=$$

$$=\frac{\Gamma \left(\delta +1\right)\prod _{k=0}^{m-1}\left(\delta -{\alpha }_k\right)\prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(\delta -{\alpha }_k\right)y^{\delta -\alpha }}{\prod _{k=0}^m\Gamma \left(\delta -{\alpha }_k+1\right)},\delta -{\alpha }_{m-1}>0.$$

$$\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n\frac{\Gamma \left(an+b+1\right)\prod _{k=0}^{m-1}\left(an+b-{\alpha }_k\right)\prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(an+b-{\alpha }_k\right)}{\Gamma \left(an+b+1-\alpha \right)\prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(an+b+1-{\alpha }_k\right)}{y}^{an+b-\alpha }=$$

$$=\lambda \sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{y}^{an+b+s},$$

$$a=\alpha +s,$$

$$b={\alpha }_k,k=0,1,...,m-1,$$

$$\frac{\prod _{k=0}^{m-1}\left(an+b-{\alpha }_k\right)\prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(an+b-{\alpha }_k\right)}{\prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(an+b+1-{\alpha }_k\right)}=1,$$

$$\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n\frac{\Gamma \left(an+b+1\right)}{\Gamma \left(an+b+1-\alpha \right)}{y}^{a\left(n-1\right)}=\lambda \sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{y}^{an}.$$

$$c_n=\lambda c_{n-1}\frac{\Gamma \left(an+b+1-\alpha \right)}{\Gamma \left(an+b+1\right)}={\lambda }^n{c}_0\frac{\prod _{j=0}^{n-1}\Gamma \left(aj+a+b+1-\alpha \right)}{\prod _{j=0}^{n-1}\Gamma \left(aj+a+b+1\right)}.$$

$$\begin{array}[]{l}ja+a+b-\alpha+1\geq a+b-\alpha+1\geq\\ \geq\alpha+s+{\gamma_{0}}-1-\alpha+1=s+{\gamma_{0}}\geq{\gamma_{0}}>0.\end{array}$$

$$u_k\left(y\right)=y^{{\alpha }_k}\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{\left(\lambda y^{\alpha +s}\right)}^n,k=0,1,...,m-1,$$

$$c_0=1,c_n=\frac{\prod _{j=0}^{n-1}\Gamma \left(\left(\alpha +s\right)j+s+b+1\right)}{\prod _{j=0}^{n-1}\Gamma \left(\left(\alpha +s\right)j+s+b+1+\alpha \right)},n=1,2,....$$

$$y^{\alpha +s}\underset{n\to +\infty }{\lim }\left\{\frac{\prod _{j=0}^n\Gamma \left(\left(\alpha +s\right)j+s+b+1\right)}{\prod _{j=0}^n\Gamma \left(\left(\alpha +s\right)j+s+b+1+\alpha \right)}:\frac{\prod _{j=0}^{n-1}\Gamma \left(\left(\alpha +s\right)j+s+b+1\right)}{\prod _{j=0}^{n-1}\Gamma \left(\left(\alpha +s\right)j+s+b+1+\alpha \right)}\right\}=$$

$$=y^{\alpha +s}\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\Gamma \left(\left(\alpha +s\right)n+s+b+1\right)}{\Gamma \left(\left(\alpha +s\right)n+s+b+1+\alpha \right)}=y^{\alpha +s}\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left\{\left(\alpha +s\right)n\right\}}^{-\alpha }=0,$$

Full text

**Построение фундаментальной системы решений

для вырождающегося уравнения с дробной производной Джрбашяна-Нерсесяна

Б.Ю.Иргашев

**Наманганский инженерно-строительный институт, Узбекистан

Институт Математики им.В.И.Романовского АН РУз.

bahromirgasev@gmail.com

УДК.517.926.4

Аннотация. В статье построено общее решение одного вырождающегося уравнения с дробной производной Джрбашяна-Нерсесяна. Частные решения представлены через функцию Килбаса-Сайго.

Kлючевые слова. Производная дробного порядка , вырождение, ряд, функция Килбаса-Сайго, решение.

В последнее время специалистами интенсивно изучаются уравнения c участием производных дробного порядка с переменными коэффициентами. К числу таких уравнений относятся вырождающиеся уравнения. В работе [1] изучалось уравнение

[TABLE]

где $0<\alpha<1,\,\,\lambda-$ спектральный параметр, $\beta=const\geq 0.$ В работе [2] были найдены решения в замкнутой форме уравнений дробного порядка

[TABLE]

[TABLE]

с дробными производными Римана-Лиувилля на полуоси $\left({0,\infty}\right)$ [3].

К таким уравнениям приводят прикладные задачи [4]. Пример такого уравнения дает уравнение теории полярографии [5]

[TABLE]

возникающее при $a=-1$ в задачах диффузии [5].

Рассмотрим следующее уравнение

[TABLE]

где $D_{0y}^{\left\{{{\gamma_{0}},{\gamma_{1}},...,{\gamma_{m-1}},{\gamma_{m}}}\right\}}$ - оператор дробного дифференцирования Джрбашяна–Нерсесяна порядка $\alpha=\sum\limits_{k=0}^{m}{{\gamma_{k}}}-1>0,$ ассоциированный с последовательностью $\left\{{{\gamma_{k}}}\right\}_{0}^{m}=\left\{{{\gamma_{0}},{\gamma_{1}},...,{\gamma_{m-1}},{\gamma_{m}}}\right\}$ , ${\gamma_{k}}\in\left({0,1}\right],k=0,1,...,m,$ определяется соотношением [6]

[TABLE]

здесь $D_{0y}^{\gamma}$ - оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля порядка $\gamma$ с началом в точке $y=0$ определяемый следующим образом [1, с. 9]

[TABLE]

Заметим, что если в (1) в качестве последовательности $\left\{{{\gamma_{k}}}\right\}_{0}^{m}$ взять последовательность $\left\{{{\gamma_{k}}}\right\}_{0}^{m}=\left\{{\alpha-m+1,\underbrace{1,...,1}_{m}}\right\},$ то мы получим производную Римана–Лиувилля:

[TABLE]

Последовательности $\left\{{{\gamma_{k}}}\right\}_{0}^{m}=\left\{{\underbrace{1,...,1,}_{m}\alpha-m+1,}\right\},$ соответствует производная Капуто:

[TABLE]

В работе [6] рассматривалась задача Коши для уравнения вида

[TABLE]

с переменными коэффициентами. Исследуемая задача эквивалентно сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Доказана теорема существования и единственности решения. В работе [7] в терминах функции Райта строится явное представление решения задачи Коши для уравнения (3). В работе [8] для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка вида (3) с производными Римана-Лиувилля была сформулирована и решена начальная задача. Краевые и начальные задачи для вырождающихся уравнений с дробным производным Хилфера исследовались в работах [9-12], а с дробными производными Римана-Лиувилля и Капуто в работах [2],[13-14].

В данной работе в терминах функции Килбаса-Сайго строится явное представление фундаментальной системы решений уравнения (1).

Приступим к построению решения уравнения (1). Решение будем искать в виде

[TABLE]

где ${c_{n}},a>0,b$ пока неизвестные вещественные числа.

Сделаем предварительные вычисления, имеем:

[TABLE]

Далее

[TABLE]

[TABLE]

Продолжая этот процесс получим

[TABLE]

где

[TABLE]

Окончательно имеем формулу

[TABLE]

[TABLE]

Теперь подставим (4) в (1), затем используя формулу (5) получим формальное равенство

[TABLE]

[TABLE]

Пусть

[TABLE]

[TABLE]

тогда используя равенство:

[TABLE]

получим

[TABLE]

Найдем неизвестные коэффициенты $c_{n}$

[TABLE]

Заметим,что

[TABLE]

Итак получили следующее семейство линейно независимых решений уравнения (1)

[TABLE]

где

[TABLE]

Покажем абсолютную сходимость ряда (6). Применим признак Даламбера, имеем

[TABLE]

[TABLE]

т.к. [15]

[TABLE]

Представление (7) также можно записать в виде

[TABLE]

тогда семейство линейно независимых решений запишется так

[TABLE]

где

[TABLE]

• функция Килбаса-Сайго (см.[2]). Итак общее решение уравнения (1) имеет вид

[TABLE]

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Пусть в уравнении (1) $s=0$, тогда из формулы [2]

[TABLE]

следует

[TABLE]

где

[TABLE]

• функция Миттаг-Леффлера. Что с точностью до множителя совпадает с результатами из работы [6, представление (3.15)].

2. Пусть в уравнении (1) имеем оператор Римана-Лиувилля , т.е.

[TABLE]

тогда учитывая, что

[TABLE]

из (8) имеем

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Представление (10) совпадает с результатами из работы [2, формулы (19),(21)].

3. Пусть в уравнении (1) имеем оператор Капуто , т.е.

[TABLE]

далее имеем

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

отсюда

[TABLE]

[TABLE]

Это овпадает с результатами из работы [14, формула (4.1.82)].

4. Пусть в уравнение (1) имеем дробный оператор Хилфера [11]:

[TABLE]

Оператор Хилфера запишем в виде оператора Джрбашяна-Нерсесяна

[TABLE]

[TABLE]

отсюда имеем

[TABLE]

[TABLE]

Теперь из представления (8) имеем

[TABLE]

Применим формулу (9) к получению представления решения следующей задачи Коши (см.[6]):

[TABLE]

здесь

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Справедлива формула [6]

[TABLE]

Подставив представление (9) в начальные условия (11) , получим

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Значит решение задачи Коши будет иметь вид

[TABLE]

Литература

1. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. - М.: Физматлит. 2003. - 272 c.

2. Килбас А. А., Сайго М. Решение в замкнутой форме одного класса линейных дифференциальных уравнений дробного порядка. Дифференц. уравнения, 33 (2), 1997. c. 195 - 204.

3. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. Наука и техника. 1987. - 688 с.

4. Oldham К. В., Spanier J. The fractional calculus. New York; London. 1974.

5. Wiener K. Wiss. Z. Univ. Halle Math. Natur. Wiss. R. 1983. 32 (1), 1983. pp. 41 - 46.

6. Джрбашян М. М., Нерсесян А. Б. Дробные производные и задачи Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка. Изв. АН АрмССР. Матем.,3:1 (1968), c. 3–28.

7. Богатырева Ф.Т. Начальная задача для уравнения дробного порядка с постоянными коэффициентами. Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2016, N. 5, c. 21–26

8. Псху А. В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка // Математический сборник. 2011. Т. 202. №4. c. 111-122

9.Karimov E., Ruzhansky M., Toshtemirov B. Solvability of the boundary-value problem for a mixed equation involving hyper-Bessel fractional differential operator and bi-ordinal Hilfer fractional derivative. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 41(1), 2023, pp. 54-77.

10. Restrepo, J. E., Suragan, D. (2021). Hilfer-type fractional differential equations with variable coefficients. Chaos, Solitons and Fractals, 150, 111146. doi:10.1016/j.chaos.2021.111146

11.Yuldashev T.K.,Kadirkulov B.J., Bandaliyev R.A. On a Mixed Problem for Hilfer Type Fractional Differential Equation with Degeneration. Lobachevskii Journal of Mathematicsthis link is disabled, 2022, 43(1), pp. 263–274

12. B.Kh. Turmetov, B.J. Kadirkulov. On a problem for nonlocal mixed-type fractional order equation with degeneration. Chaos, Solitons and Fractals,Volume 146, 2021, 110835, ISSN 0960-0779, https://doi.org/10.1016/j.chaos.2021.110835.

13. Smadiyeva A.G. Well-posedness of the initial-boundary value problems for the time-fractional degenerate diffusion equations. Bulletin of the Karaganda University. Mathematics series. 107(3), 2022, pp. 145-151.

14. Kilbas, Anatoly A.; Srivastava, Hari M.; Trujillo, Juan J. Theory and applications of fractional differential equations. North-Holland Mathematics Studies, 204. Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2006.

15.Г.Бейтмен и А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. Издание второе. Изд. Наука, Москва, 1973, 296 С.