Implementaci\'on computacional para el estudio de part\'iculas con esp\'in en agujeros negros rotantes modificados cu\'anticamente

TL;DR

This paper presents a computational tool in Mathematica for analyzing the motion of spinning test particles around quantum-improved rotating black holes, exploring how quantum and geometric parameters influence particle orbits.

Contribution

The work introduces a novel computational implementation that calculates and visualizes test particle trajectories with spin in quantum-modified rotating black hole spacetimes.

Findings

Results align with classical Kerr and Schwarzschild black hole studies.

The program determines the maximum physically possible spin of test particles.

Quantum parameters significantly affect particle orbit characteristics.

Abstract

The trajectories of test particles with spin orbiting a black hole depend on the geometry of space-time and the intrinsic physical characteristics of the test particles. In this work the motion of test particles with spin on the innermost stable circular orbit of a quantum improved rotating black hole is studied. A computational implementation is presented through the Mathematica program, which can calculate and graph the radius, angular momentum and energy as a function of the spin of the test particles and for various geometric parameters of the rotating black hole, as they are the spin $a$ and the mass $M$ of the rotating black hole and the quantum parameters $\gamma$ and $\omega$. Additionally, the program calculates the maximum spin physically possible for the test particles. At the end, some results given by the program are discussed and it is shown that these are consistent with those previously reported, both for the classical black holes of Schwarzschild and Kerr and for the quantum improved ones.

Tables

Table 1. Cuadro 1: Valores del s m ​ a ​ x subscript 𝑠 𝑚 𝑎 𝑥 s_{max} obtenido por el programa de Mathematica para una PP en el espacio-tiempo de los ANs de la Relatividad General (con G 0 = 1 subscript 𝐺 0 1 G_{0}=1 y γ = ω = 0 𝛾 𝜔 0 \gamma=\omega=0 ).

$a/M$	Tipo de AN	$s_{max}/M$
0	Schwarzschild	$1.6518$
0.01	Kerr	$1.6542$
0.05	Kerr	$1.6631$
0.1	Kerr	$1.6725$
0.2	Kerr	$1.6845$
0.3	Kerr	$1.6865$
0.4	Kerr	$1.6770$
0.5	Kerr	$1.6542$
0.6	Kerr	$1.6154$
0.7	Kerr	$1.5564$
0.8	Kerr	$1.4697$

Table 2. Cuadro 2: Valores del s m ​ a ​ x subscript 𝑠 𝑚 𝑎 𝑥 s_{max} obtenido por el programa de Mathematica para una PP en el espacio-tiempo de Schwarzschild modificado cuánticamente (con G 0 = 1 subscript 𝐺 0 1 G_{0}=1 y a = 0 𝑎 0 a=0 ).

		$s_{max}/M$
$\omega$	$\gamma =0.5$	$\gamma =1$	$\gamma =2$
$0.1$	$1.6829$	$1.6994$	$1.7365$
$0.2$	$1.7245$	$1.7691$	$1.8880$
$0.3$	$1.7826$	$1.8796$	$2.2208$
$0.4$	$1.8687$	$2.0767$	No es AN
$0.5$	$2.0072$	$2.4868$	No es AN
$0.6$	$2.2566$	No es AN	No es AN
$0.7$	No es AN	No es AN	No es AN

Table 3. Cuadro 3: Valores del s m ​ a ​ x subscript 𝑠 𝑚 𝑎 𝑥 s_{max} obtenido por el programa de Mathematica para una PP en el espacio-tiempo de un ANR modificado cuánticamente (con G 0 = 1 subscript 𝐺 0 1 G_{0}=1 y ω = 0.1 𝜔 01 \omega=0{\mathchar 46\relax}1 ).

		$s_{max}/M$
$a/M$	$\gamma =0.5$	$\gamma =1$	$\gamma =2$
$0.01$	$1.6854$	$1.7020$	$1.7392$
$0.05$	$1.6945$	$1.7114$	$1.7492$
$0.1$	$1.7041$	$1.7212$	$1.7598$
$0.2$	$1.7164$	$1.7341$	$1.7745$
$0.3$	$1.7183$	$1.7366$	$1.7794$
$0.4$	$1.7082$	$1.7274$	$1.7731$
$0.5$	$1.6839$	$1.7042$	$1.7545$
$0.6$	$1.6422$	$1.6639$	$1.7222$
$0.7$	$1.5774$	$1.6014$	$1.6802$
$0.8$	$1.4764$	$1.5083$	No es AN
$0.9$	No es AN	No es AN	No es AN

Table 4. Cuadro 4: Valores del s m ​ a ​ x subscript 𝑠 𝑚 𝑎 𝑥 s_{max} obtenido por el programa de Mathematica para una PP en el espacio-tiempo de un ANR modificado cuánticamente (con G 0 = 1 subscript 𝐺 0 1 G_{0}=1 y ω = 0.2 𝜔 02 \omega=0{\mathchar 46\relax}2 ).

		$s_{max}/M$
$a/M$	$\gamma =0.5$	$\gamma =1$	$\gamma =2$
$0.01$	$1.7271$	$1.7720$	$1.8918$
$0.05$	$1.7368$	$1.7827$	$1.9064$
$0.1$	$1.7471$	$1.7942$	$1.9237$
$0.2$	$1.7607$	$1.8109$	$1.9555$
$0.3$	$1.7639$	$1.8184$	$1.9872$
$0.4$	$1.7553$	$1.8161$	$2.0314$
$0.5$	$1.7328$	$1.8047$	$2.1542$
$0.6$	$1.6940$	$1.7925$	No es AN
$0.7$	$1.6396$	No es AN	No es AN
$0.8$	No es AN	No es AN	No es AN

Table 5. Cuadro 5: Valores del s m ​ a ​ x subscript 𝑠 𝑚 𝑎 𝑥 s_{max} obtenido por el programa de Mathematica para una PP en el espacio-tiempo de un ANR modificado cuánticamente (con G 0 = 1 subscript 𝐺 0 1 G_{0}=1 y ω = 0.3 𝜔 03 \omega=0{\mathchar 46\relax}3 ).

		$s_{max}/M$
$a/M$	$\gamma =0.5$	$\gamma =1$	$\gamma =2$
$0.01$	$1.7855$	$1.8834$	$2.2298$
$0.05$	$1.7966$	$1.8979$	$2.2685$
$0.1$	$1.8086$	$1.9149$	$2.3242$
$0.2$	$1.8263$	$1.9462$	$2.4833$
$0.3$	$1.8352$	$1.9775$	$2.8192$
$0.4$	$1.8354$	$2.0229$	No es AN
$0.5$	$1.8304$	$2.1701$	No es AN
$0.6$	$1.8523$	No es AN	No es AN
$0.7$	No es AN	No es AN	No es AN

Table 6. Cuadro 6: Valores del s m ​ a ​ x subscript 𝑠 𝑚 𝑎 𝑥 s_{max} obtenido por el programa de Mathematica para una PP en el espacio-tiempo de un ANR modificado cuánticamente (con G 0 = 1 subscript 𝐺 0 1 G_{0}=1 y ω = 0.4 𝜔 04 \omega=0{\mathchar 46\relax}4 ).

		$s_{max}/M$
$a/M$	$\gamma =0.5$	$\gamma =1$	$\gamma =2$
$0.01$	$1.8724$	$2.0833$	No es AN
$0.05$	$1.8866$	$2.1106$	No es AN
$0.1$	$1.9032$	$2.1476$	No es AN
$0.2$	$1.9334$	$2.2427$	No es AN
$0.3$	$1.9630$	$2.4212$	No es AN
$0.4$	$2.0076$	No es AN	No es AN
$0.5$	No es AN	No es AN	No es AN

Equations

$$G(r)=\frac{G_0{r}^3}{r^3+\omega G_0\left[r+\gamma G_{0}M\right]}\text{mathchar}46$$

$$d{s}^2=$$

$$+\Sigma d{\theta }^2-\frac{4MG(r)ar{\sin }^2\theta }{\Sigma }dtd\varphi$$

$$+\frac{\left((r^2-a^2{)}^2-a^2\Delta {\sin }^2\theta \right){\sin }^2\theta }{\Sigma }d{\varphi }^2,$$

$$\Delta$$

$$\Sigma$$

$$r_{-}\approx \frac{1}{2}\sqrt{\gamma \omega G_0+\sqrt{\gamma \omega G_0(8a^2+\gamma \omega G_0)}}$$

$$r_{+}\approx G_{0}M+\sqrt{G_0^2{M}^2-a^2}-\frac{(2+\gamma )\omega }{4M}\text{mathchar}46$$

$$r_{+}=2G_{0}M$$

$$r_{\pm }=G_{0}M\pm \sqrt{G_0^2{M}^2-a^2}$$

$$\{\begin{array}{ll}\text{Si}{G}_{0}M=a& \to \text{es AN extremo}\\ \text{Si}{G}_{0}M>a& \to \text{es AN}\\ \text{Si}{G}_{0}M<a& \to \text{No es AN}\text{mathchar}46\end{array}$$

$$\frac{D{P}^{\mu }}{D\tau }$$

$$\frac{D{S}^{\mu \nu }}{D\tau }$$

$$s^2=\frac{1}{2}{S}^{\mu \nu }{S}_{\mu \nu }\text{mathchar}46$$

$$P_{\mu }{S}^{\mu \nu }=0,$$

$$P_{\mu }{P}^{\mu }=-m^2,$$

$$C_k=P^{\mu }{k}_{\mu }+\frac{1}{2}{S}^{\mu \nu }{\nabla }_{\mu }{k}_{\nu }\text{mathchar}46$$

$$\dot{r}=0\text{mathchar}46$$

$$\theta =\frac{\pi }{2}\text{mathchar}46$$

$$s^{\mu }=(0,0,-s,0)\text{mathchar}46$$

$$\{\begin{array}{ll}{P}^0=& \frac{1}{\Delta Z}\left[(r^2+a^2)X+ar\Delta Y\right]\\ P^1=& \pm \frac{\sqrt{\mathcal{R}}}{rZ}\\ P^2=& 0\\ P^3=& \frac{1}{\Delta Z}\left[aX+r\Delta Y\right]\end{array}$$

$$X=$$

$$-\left[ar+Ms(G(r)-r{G}^{\prime }(r))\right]J$$

$$Y=$$

$$Z=$$

$$\mathcal{R}=$$

$$\{\begin{array}{ll}{S}^{01}=& -S^{01}=\frac{s{P}_3}{mr}\\ S^{03}=& -S^{30}=-\frac{s{P}_1}{mr}\\ S^{31}=& -S^{13}=\frac{s{P}_0}{mr}\text{mathchar}46\end{array}$$

$$\dot{r}=$$

$$\times {\left[P^0+\frac{s^2}{m^2{r}^2}\left(R_{3113}{P}_0+R_{3101}{P}_3\right)-\frac{s}{m{r}^3}{P}_3\right]}^{-1},$$

$$\dot{\varphi }=$$

$$\times {\left[P^0-\frac{s^2}{m^2{r}^2}\left(R_{1301}{P}_3+R_{1313}{P}_0\right)\right]}^{-1}\text{mathchar}46$$

$$(P^1{)}^2=0=$$

$$=$$

$$\times \left(e+\frac{B+\sqrt{B^2-4AC}}{2A}\right)$$

$$A=$$

$$B=$$

$$C=$$

$$K_1=$$

Full text

as trayectorias de partículas de prueba (PP) con espín que orbitan a un Agujero Negro (AN) dependen de la geometría del espacio-tiempo y de las características físicas intrínsecas de la PP. En este trabajo se estudia el movimiento de PP con espín sobre la órbita circular estable más interna de un Agujero Negro Rotante (ANR) modificado cuánticamente. Se presenta una implementación computacional a través del programa Mathematica, la cual, puede calcular y graficar el radio, el momento angular y la energía en función del espín de la PP y para diversos parámetros geométricos del ANR, como bien lo son el espín $a$ y la masa $M$ del ANR y los parámetros cuánticos $\gamma$ y $\omega$. Adicionalmente, el programa calcula el espín máximo físicamente posible para la PP. Al final, se discuten algunos resultados dados por el programa y se muestra que estos son consistentes con los previamente reportados, tanto para los AN clásicos de Schwarzschild y Kerr como para los modificados cuánticamente.

1 Introducción

Algunos objetos astrofísicos, como estrellas o Agujeros Negros (ANs) estelares, se encuentran orbitando alrededor de ANs supermasivos en los centros galácticos. Es bien sabido que estos objetos también se encuentran girando sobre sí mismos, por lo que estos pueden ser modelados como partículas de prueba (PP) con un espín clásico. Las geodésicas que describen a la trayectoria de las PP que orbitan a un agujero negro han sido bastante estudiadas tanto en la teoría de la Relatividad General como en diversas teorías gravitacionales alternativas, demostrando que estas dependen de la geometría del espacio-tiempo y de las características de la PP [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]. Por esta razón, en los últimos años numerosas investigaciones se han enfocado en analizar el efecto que tienen propiedades como la carga eléctrica o el espín sobre las órbitas de las PP. El efecto del espín clásico de la PP está descrito por las ecuaciones de movimiento de Mathisson-Papapetrou-Dixon (MPD) [18, 19, 20]. Un caso particular de gran interés es el de una PP moviéndose en la órbita circular estable más interna (ISCO por su nombre en inglés), de la cual se puede extraer información útil acerca de las propiedades del objeto central o de una posible estructura de acreción y su espectro de radiación [3].

En el año 2000, Bonanno y Reuter introdujeron una nueva solución tipo AN modificado mediante algunos argumentos de origen mecánico-cuántico [21]. En esta solución se generaliza el espacio-tiempo estático y esféricamente simétrico de Schwarzschild reemplazando la constante de gravitación universal de Newton $G_{0}$ por una función $G(r)$, dependiente de la distancia, e introduciendo dos parámetros cuánticos, $\gamma$ y $\omega$. La función $G(r)$ tiende a $G_{0}$, en el límite $\omega\rightarrow 0$. Este formalismo del grupo de renormalización, además de ser uno de los más famosos acercamientos hacía la denominada gravedad cuántica, resuelve el problema de la singularidad en el origen de los ANs, i.e. esta es una métrica regular [21]. Poco tiempo después, se presentó en la literatura la correspondiente solución rotante (análoga a la métrica de Kerr, pero con la modificación cuántica) deducida a partir de diferentes métodos [22, 23, 24] y la cual también representa a un AN regular. Previamente ya se han estudiado a las trayectorias de PP en los alrededores de estos ANs modificados cuánticamente [25, 26, 27, 28]. Además ya se han investigado otras aplicaciones y propiedades de los ANs modificados cuánticamente, como por ejemplo su sombra y ángulo de reflexión de la luz [29].

En este trabajo se continua con la investigación recientemente publicada en la referencia [28]. Inicialmente en la Sección 2, se presenta al Agujero Negro Rotante (ANR) modificado cuánticamente deducido en [24]. Después, en la Sección 3 se muestra, de manera simplificada, la deducción de las ecuaciones de movimiento para una PP con espín en el espacio-tiempo de un ANR modificado cuánticamente. El estudio del movimiento de las PP se restringe al plano ecuatorial de órbitas espín-alineadas y espín-antialineadas con el ANR para facilitar los cálculos. Luego, en la Sección 4, se define al potencial efectivo para una PP con espín moviendose en la ISCO de un ANR modificado cuánticamente. Además, se identifican los parámetros de la ISCO y se discute el movimiento superlumínico de la PP y su relación con el valor de espín máximo. En la Sección 5, se presenta una implementación computacional a través de un cuaderno del programa Mathematica con el cual se puede calcular el espín máximo de la PP y estudiar los parámetros de la ISCO en función del espín de la PP y para diversos parámetros geométricos del ANR. En la sección 6, se discuten varios resultados dados por el programa, analizando el comportamiento del espín máximo de la PP y mostrando cómo los resultados encontrados son consistentes, tanto con los previamente reportados para los AN de la Relatividad General (Schwarzschild y Kerr) como para los modificados cuánticamente. Por último, en la sección 7 se comparten algunas conclusiones.

2 Agujero negro rotante modificado cuánticamente

El espacio-tiempo de Schwarzschild modificado cuánticamente o del grupo de renormalización [21] es una solución tipo AN regular que se caracteriza por modificar $G_{0}$, la constante de gravitación universal de Newton, para convertirla en una función con una dependencia con respecto a un parámetro de escala de energía, $k$, el cual esta relacionado con la coordenada radial $r$. De modo que $G_{0}$ en este formalismo se transforma y se identifica con la función $G(r)$, que en unidades de $c=1$, viene dada por

[TABLE]

En esta anterior expresión, $M$ es la masa del AN y $\omega$ y $\gamma$ son dos parámetros cuánticos constantes que provienen de la teoría del grupo de renormalización no perturbativa y de una correspondiente identificación de corte, respectivamente [21, 31]. Por otro lado, el caso rotante de la solución (1), se puede encontrar usando el bien conocido algoritmo de Newman-Janis [30]. En esta ocasión, el elemento de linea de un Agujero Negro Rotante (ANR) modificado cuánticamente en coordenadas de Boyer-Linquist generalizadas es [24]

[TABLE]

con

[TABLE]

Los parámetros cuánticos se han calculado teóricamente realizando una comparación con la cuantificación perturbativa estándar de la gravedad de Einstein, obteniendo $\gamma=\frac{9}{2}$ y $\omega=\frac{167}{30\pi}$ [21, 31]. No obstante, en este trabajo se tomarán a $\gamma$ y $\omega$ como parámetros libres, aprovechando el hecho de que las propiedades de la solución no dependen de sus valores precisos, siempre que estos sean estrictamente positivos[21, 31].

El espacio-tiempo de la solución del ANR modificado cuánticamente, tiene tres casos particulares principales. La métrica presentada en la ecuación (2), se reduce al AN estático modificado cuánticamente cuando $a=0$, se convierte en un ANR de Kerr cuando $\omega=0$ y reproduce a la solución de Schwarzschild cuando $a=0$ y $\omega=0$ simultáneamente. En otras palabras, si $\omega=0$, las correcciones cuánticas se anulan y se retorna a la gravedad clásica descrita por las soluciones de la Relatividad General.

Existen varias propiedades únicas para cada solución de AN, entre ellas, una de las más importantes es el radio del horizonte de eventos. En este caso, los respectivos horizontes modificados cuánticamente, se encuentran definidos por las raíces de la expresión $\Delta=0$, la cual corresponde a un polinomio de quinto grado y por tanto, no se pueden escribir analíticamente. Aún así, expandiendo la función $G(r)\geq 0$ en una serie de potencias considerando una masa muy grande para el ANR, $M^{2}\gg a^{2}$, se pueden encontrar los horizontes interior y exterior de manera aproximada como [24]

[TABLE]

y

[TABLE]

Tomando $a=0$, los horizontes de las ecuaciones (5) y (6) son consistentes con los horizontes reportados para el AN de Schwarzschild modificado cuánticamente [24]. Cuando $\omega=0$, el horizonte de la ecuación (6) se reduce al valor correcto del horizonte exterior de la solución de Kerr, mientras que tomando $\omega=0$ en la ecuación (5), no se reproduce la expresión para el horizonte interno de la métrica de Kerr. Esto ocurre como consecuencia del método de aproximación [24].

En la figura 1 se muestra el comportamiento del radio del horizonte externo del ANR modificado cuánticamente en función del espín $a$ y para diferentes valores de los parámetros $\omega$ y $\gamma$. Allí se evidencia que entre más grandes sean las correcciones cuánticas dadas por $\omega$ y $\gamma$, el horizonte de eventos $r_{+}$ disminuirá cada vez más. Así mismo, recordando que

[TABLE]

en el AN de Schwarzschild y que

[TABLE]

para el ANR de Kerr, es claro que las curvas continuas de la figura 1, que corresponden a $\omega=0$, describen correctamente a las soluciones de la Relatividad General.

Es importante recordar que no cualquier valor de los parámetros geométricos, $a$ y $M$, y los parámetros cuánticos, $\gamma$ y $\omega$, resultan describiendo una solución tipo AN. Por ejemplo, en el caso clásico del ANR de Kerr, existe una masa crítica $M_{c}$ para la cuál, si $M<M_{c}$ no existen horizontes y por lo tanto la solución describirá una singularidad desnuda. El caso extremo del ANR de Kerr se obtiene cuando $M=M_{c}$, i.e. $a=G_{0}M$, y corresponde a un AN en el cual los horizontes interno y externo coindicen en un único horizonte con radio $r_{e}=G_{0}M$. Este comportamiento para los ANR de Kerr se resume en la forma

[TABLE]

Por lo tanto, para $G_{0}=M=1$, las soluciones de tipo ANR de Kerr son validas si $0\leq a\leq 1$.

En los ANs modificados cuánticamente no se tiene una solución analítica con la información completa de los horizontes y por ello debe identificarse numéricamente el valor crítico $M_{c}$ y el correspondiente caso extremo. Haciendo $a=G_{0}M$ y buscando numéricamente el valor de la raíz real más grande de $\Delta=0$ (que correspondería a $r_{+}$), este resulta ser un valor complejo para cualquier valor de los parámetros $\omega$ y $\gamma$, por lo que realmente no sería una solución de tipo AN.

En la figura 2 se ilustra el comportamiento de la función $\Delta$ para diferentes valores de los parámetros geométricos $a$, $\omega$ y $\gamma$. Allí se evidencia la existencia de una $M_{c}$ tanto para el caso estático como para el rotante y por lo tanto, cómo no todos los valores de los parámetros geométricos resultan en una solución del tipo AN. Por ejemplo, todas las curvas de la figura 2 con $\omega=0{\mathchar 46\relax}4$ representan “singularidades”desnudas (aunque en este caso, debido a la modificiación cuántica, en realidad no hay singularidades en el origen [24]). Por otro lado, todas las curvas con $\omega=0{\mathchar 46\relax}1$, con sus dos raíces reales cerca del origen coordenado, si resultan en soluciones de tipo AN.

3 Ecuaciones de movimiento para partículas con espín

Las ecuaciones que describen el movimiento de una PP con espín clásico en las cercanías de un espacio-tiempo de ANR modificado cuánticamente son las ecuaciones de MPD. Bajo la aproximación “polo-dipolo”estas toman la forma [18, 19, 20]

[TABLE]

con $u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}$ la 4-velocidad de la PP y $P^{\mu}$ su correspondiente 4-momentum, $R^{\mu}_{\ \nu\rho\sigma}$ es el tensor de Riemann y $S^{\mu\nu}=-S^{\nu\mu}$ es el tensor de espín, con el cual se define el espín de la PP como

[TABLE]

Ahora, para cerrar el sistema de ecuaciones, en esta ocasión se incluirá a la condición suplementaria de espín de Tulczyjew,

[TABLE]

y la normalización del vector momentum

[TABLE]

donde $m$ es la masa propia de la PP [32, 1]. Cabe resaltar que existen otras condiciones suplementarias de espín. Cada una de ellas fija de forma diferente un centro de referencia y por lo tanto cada una describe una evolución diferente de las ecuaciones MPD [32].

El espacio-tiempo en el entorno del ANR mejorado cuánticamente admite dos vectores de Killing que están vinculados con dos cantidades conservadas principales del sistema. Hay un vector de Killing como-de-tiempo $\xi^{\mu}=\frac{\partial}{\partial t}$ relacionado con la conservación de la energía $E=-C_{\xi}$ y otro como-de-espacio $\varphi^{\mu}=\frac{\partial}{\partial\phi}$ relacionado con la conservación del momentum angular total $J=C_{\varphi}$ [3, 33]. Estas cantidades conservadas de la PP con espín se relacionan con su respectivo vector de Killing $k$ mediante

[TABLE]

Ahora bien, con el objetivo de simplificar el problema se van a considerar de ahora en adelante las siguientes restricciones:

• La PP se moverá sobre una órbita circular

[TABLE]

• La PP tendrá una trayectoría sobre el plano ecuatorial del ANR

[TABLE]

• La PP podrá tener dos posibles situaciones: estar en una órbita espín-alineada ($s>0$) o espín-antialineada ($s<0$) con respecto al plano ecuatorial del ANR

[TABLE]

En otras palabras, cuando la PP tiene una órbita espín-alineada, su momentum angular de espín será paralelo al momentum angular de espín del ANR, mientras que con una órbita espín-antialineada, su momentum angular de espín será antiparalelo al momentum angular de espín del ANR.

De modo que, teniendo en cuenta las anteriores restricciones y usando el formalismo de las tetradas [28], es posible encontrar mediante las ecuaciones (14) y (15) las componentes del 4-momentum,

[TABLE]

con

[TABLE]

donde $G^{\prime}(r)$ representa la derivada de $G(r)$ con respecto a la coordenada $r$. Luego, nuevamente bajo las restricciones de las ecuaciones (17) y (18) junto con las ecuaciones (12), (13) y (14), las componentes no nulas del tensor de espín toman la forma

[TABLE]

Remplazando las componentes no nulas del 4-momentum, del tensor de espín y del tensor de Riemann en las ecuaciones (10) y (11), se obtienen las siguientes ecuaciones para las velocidades [28]

[TABLE]

La deducción detallada de estas anteriores expresiones junto con la forma explícita de las componentes no nulas de $R^{\mu}_{\ \nu\rho\sigma}$ se pueden consultar en la referencia [28]. En el resultado de la ecuación (22), claramente se evidencia que la velocidad radial $\dot{r}$ es paralela a $P^{1}$, la componente radial del 4-momentum. De esta manera, la restricción de órbitas circulares de la ecuación (16), es equivalente a la condición $P^{1}=0$, de la cual es posible identificar al potencial efectivo del sistema.

4 Órbita ISCO y movimiento superlumínico

Introduciendo las cantidades $e=\frac{E}{m}$ y $j=\frac{J}{m}=\frac{\ell+s}{m}$ , energía y momentum angular total para la PP con espín, siendo $\ell$ el momentum angular orbital, se puede reescribir la condición de órbitas circulares como [28]

[TABLE]

donde

[TABLE]

Ahora bien, es posible definir al potencial efectivo de la PP con espín, a partir de la raíz positiva (porque el movimiento debe estar dirigido hacia el futuro [33]) de la ecuación (24), así

[TABLE]

Luego, la órbita ISCO esta definida por las condiciones

[TABLE]

y

[TABLE]

El propósito de este trabajo es analizar el comportamiento de los parámetros de la órbita ISCO que describe la PP con espín. Estos parámetros son el radio $r_{ISCO}$, la energía por unidad de masa $e_{ISCO}$ y el momentum angular orbital por unidad de masa $\ell_{ISCO}$ de la órbita ISCO.

Los parámetros de la ISCO para PP sin espín alrededor de un AN de Schwarzschild son [1]

[TABLE]

Por otro lado, debido al efecto de arrastre del ANR de Kerr, los parámetros de las ISCO son diferentes dependiendo de si la órbita es corrotante (momentum angular órbital paralelo al momentum angular de espín del ANR) o contrarrotante con respecto a la rotación del ANR. Para PP sin espín corrotantes y contrarotantes con el ANR de Kerr extremo ($a=M)$, los parámetros de la ISCO son respectivamente [1]

[TABLE]

y

[TABLE]

De manera general, para PP sin espín corrotantes y contrarotantes con el ANR de Kerr con $0\leq a\leq 1$, los intervalos posibles para los parámetros de la ISCO son respectivamente [2]

[TABLE]

y

[TABLE]

En los análisis de las siguientes secciones se considerará únicamente el caso en que la PP se encuentra en una órbita corrotante con respecto a la rotación del ANR.

Ahora bien, los parámetros $r_{ISCO}$ y $\ell_{ISCO}$ para PP con espín se pueden encontrar numéricamente usando las ecuaciones (31) y (32) y con ellos el parámetro $e_{ISCO}$ mediante la ecuación (30).

Es importante notar que no cualquier valor del espín $s$ de la PP describe una trayectoria físicamente posible. Para ciertos valores de $s$, la 4-velocidad de la PP tendría una trayectoría como de espacio [3, 1]. Por lo tanto, se impondrá sobre la 4-velocidad la condición

[TABLE]

Esta condición brinda un valor de espín máximo, $s_{max}$, por encima del cual se tendrá un movimiento superluminal (la PP tendría una velocidad mayor a la de la luz). Por ejemplo, el valor del espín máximo reportado en la literatura [1] para una PP en el espacio-tiempo de Schwarzschild es de $s_{max}=1{\mathchar 46\relax}6510M$, y con este, los parámetros de la ISCO son

[TABLE]

5 Implementación computacional

En el repositorio [34] se incluye un cuaderno del programa Mathematica que calcula el radio, la energía y el momento angular para una PP con espín moviéndose alrededor de un ANR modificado cuánticamente.

Para utilizar este código, se debe ingresar los parámetros que determinan a la métrica $(M,G_{0},a,\omega,\gamma)$ y los valores iniciales de radio y momento angular $(r_{ISCO}^{0},\ell_{ISCO}^{0})$ para realizar la búsqueda de los parámetros de la ISCO. También es posible seleccionar si se desea exportar los datos obtenidos como un archivo. Después de ingresar esta información, simplemente se debe evaluar todo el cuaderno y el resultado principal corresponde a una gráfica con los valores de radio, momento angular y energía para la ISCO de partículas con spin entre $-2$ y $2$ (intervalo que se puede ajustar en el programa). En esta gráfica también se indica el valor del espín máximo $s_{max}$ permitido para obtener una velocidad como-de-tiempo.

6 Análisis y resultados

En las figuras 3, 4 y 5 se ilustran las gráficas obtenidas por el programa de Mathematica correspondientes al comportamiento de los parámetros de la ISCO en función del espín de la PP. Los resultados mostrados en la figura 3 corresponden a los de a una PP moviéndose en los espacio-tiempos de la Relatividad General: la gráfica de la izquierda es para el AN de Schwarzschild mientras que la de la derecha es para el ANR de Kerr (con $a=0{\mathchar 46\relax}3$). Las lineas verticales de color gris muestran el valor del espín máximo $s_{max}$ permitido por la condición de una velocidad como de tiempo de la ecuación (38). Las figuras 4 y 5 revelan el comportamiento de los parámetros de la ISCO para una PP con espín $s$ moviéndose en los espacio-tiempos de los ANs modificados cuánticamente.

Los resultados dados en las figuras 3, 4 y 5 corroboran los previamente obtenidos en las referencias [28, 1, 7]. Allí se muestra que los parámetros de la ISCO para los AN clásicos ($\omega=0$), tanto para el de Schwarzschild ($a=0$) como para el de Kerr ($a\neq 0$), disminuyen con un aumento del espín $s$.

Al considerar los resultados para el AN estático modificado cuánticamente ($\omega\neq 0$ y $a=0$) y del ANR modificado cuánticamente, los parámetros de la ISCO también disminuyen con un aumento del espín $s$ o con un aumento de los parámetros $\omega$ y $\gamma$. Además, se evidencia que al introducir el parámetro de espín de los ANRs $a\neq 0$ los parámetros de la ISCO son más pequeños que los de los casos de los ANs no rotantes.

Por otro lado, analizando los posibles valores que puede alcanzar el espín máximo $s_{max}$, en las figuras 4 y 5, los resultados muestran que para mayores valores de los parámetros cuánticos $\omega$ y $\gamma$ se obtienen mayores valores del espín máximo $s_{max}$ permitido. No obstante, aquí no se ha identificado el efecto del parámetro de espín $a$ de los ANRs sobre el valor del $s_{max}$.

En las tablas 1, 2, 3, 4, 5 y 6, se muestran los resultados de los valores del $s_{max}$ obtenido por el programa de Mathematica para una PP en el espacio-tiempo de los ANs de la Relatividad General y los ANs modificados cuánticamente.

Los resultados dados en la tabla 1 muestran el valor del $s_{max}$ para diferentes valores posibles del parámetro de espín $a$ del ANR de Kerr. Allí se evidencia que el efecto de $a$ sobre el posible valor del $s_{max}$ no es monótono como si sucede con otros parámetros (e.g. el efecto de los parámetros cuánticos $\omega$ y $\gamma$). Los resultados dan con la existencia de un mayor valor de espín máximo $s_{max}=1{\mathchar 46\relax}6865$ cuando $a=0{\mathchar 46\relax}3$. Conforme el ANR de Kerr se hace más cercano al caso extremo ($a=M$), luego de que $s_{max}$ aumenta hasta que el parámetro $a=0{\mathchar 46\relax}3$, el valor del $s_{max}$ disminuye inclusive más que en el caso estático de Schwarzschild.

Las tablas 2, 3, 4, 5 y 6 se muestran los valores del $s_{max}$ para diferentes valores posibles de los parámetros cuánticos $\omega$ y $\gamma$ de los ANs modificados cuánticamente. En estas se indican los valores de los parámetros $\omega$ y $\gamma$ en los cuales no se obtendría una solución de tipo AN. En la tabla 2 se muestra el valor del $s_{max}$ para diferentes valores posibles de los parámetros cuánticos $\omega$ y $\gamma$ del AN estático modificado cuánticamente. En estos resultados se ve claramente que a mayores valores de los parámetros cuánticos $\omega$ y $\gamma$, el valor del $s_{max}$ será mayor.

En las tablas 3, 4, 5 y 6, se muestran los resultados de los valores del $s_{max}$ para diferentes valores posibles de los parámetros cuánticos $\omega$ y $\gamma$ y del espín $a$ del ANR modificado cuánticamente. Los resultados obtenidos en la tabla 3 con $\omega=0{\mathchar 46\relax}1$ y $\gamma=0{\mathchar 46\relax}5$, $1$ y $2$, muestran que el mayor valor del $s_{max}$ aún se obtiene cuando $a=0{\mathchar 46\relax}3$ como en el caso del ANR de Kerr. Sin embargo, en las tablas 4, 5 y 6 cuando se toma a $\omega=0{\mathchar 46\relax}2$, $0{\mathchar 46\relax}3$ y $0{\mathchar 46\relax}4$ respectivamente, este comportamiento previo del $s_{max}$ se pierde. Allí se muestra que a mayores valores de los parámetros cuánticos $\omega$ y $\gamma$, el valor del $s_{max}$ se hace mayor. De modo que para los ANR modificado cuánticamente con $\omega=0{\mathchar 46\relax}2$ y $\gamma=2$ ya se obtiene un comportamiento monótonamente creciente del $s_{max}$ con respecto al valor del éspin $a$ del ANR.

De igual manera, los parámetros cuánticos $\omega$ y $\gamma$ no deben ser muy grandes. Por ejemplo, como se ilustra en tabla 6, con $\omega\geq 0{\mathchar 46\relax}4$ y $\gamma\geq 2$ ya no se obtienen soluciones de tipo AN. En estos casos en que no es una solución de tipo AN, el programa de Mathematica da error.

De todas formas, como se muestra en las figuras 6 y 7, los efectos del aumento del espín de los ANRs sobre los parámetros de la ISCO son monótonamente decrecientes. Allí se puede ver que tanto para el ANR de Kerr como en el modificado cuánticamente, los parámetros de la ISCO disminuyen en todos los casos, tanto para PP sin espín ($s=0$), como para PP en órbitas espín-alineadas ($s>0$) y espín-antialineadas ($s<0$) con respecto al plano ecuatorial del ANR. Adicionalmente, en las figuras 6 y 7 se corrobora el hecho de que los parámetros de la ISCO del ANR modificado cuánticamente son menores que los del ANR de Kerr, sin importar los valores de $s$ o de $a$, como previamente se había descrito en la referencia [28].

En general, los resultados muestran que el comportamiento de los parámetros de la ISCO de una PP con espín entre los ANRs de Kerr y los modificados cuánticamente es similar. Se obtienen siempre parámetros de la ISCO un poco menores en el caso del ANR modificado cuánticamente. Sin embargo, el efecto de $a$ sobre el $s_{max}$ si difiere entre estos ANRs debido a las correcciones cuánticas dadas por $\omega$ y $\gamma$. El cuaderno del programa Mathematica presentado en el repositorio [34] fue una herramienta muy practica para evaluar estos detalles del comportamiento de los parámetros de la ISCO y del valor $s_{max}$, por lo que podría ser utilizado para seguir estudiando estos mismos fenómenos sobre un ANR modificado cuánticamente o también sobre otras soluciones de tipo AN con las que se pueda adaptar la rutina.

7 Conclusiones

En esta investigación se presentó la deducción de las ecuaciones de movimiento para una PP con espín en el espacio-tiempo de un ANR modificado cuánticamente. El estudio se condicionó a una PP con espín moviéndose en el plano ecuatorial de órbitas espín-alineadas y espín-antialineada con el ANR y luego se definió a el correspondiente potencial efectivo del sistema. Se identificaron a los parámetros de la ISCO y se describió la determinación del valor de espín máximo $s_{max}$ físicamente posible dado por una velocidad como de tiempo. Luego, se presentó una implementación computacional a través de un cuaderno del programa Mathematica en el respositorio [34], con el cual, se calcularón el espín máximo de la PP y los parámetros de la ISCO para diversos valores del espín $s$ de la PP y de los parámetros geométricos de $a$, $\omega$ y $\gamma$ del ANR modificado cuánticamente.

Los resultados obtenidos con el cuaderno del programa Mathematica son satisfactorios y consistentes con los previamente obtenidos en las referencias [28, 1, 7]. Inicialmente, se señalaron algunos de los valores de los parámetros $\omega$ y $\gamma$ en los cuales no se obtendría una solución de tipo AN. Luego, los resultados obtenidos para los parámetros de la ISCO tanto para los ANs clásicos ($\omega=0$), como para los ANs modificados cuánticamente ($\omega\neq 0$) disminuyen con un aumento del espín $s$ o de los parámetros cuánticos $\omega$ y $\gamma$. Además, también para mayores valores de los parámetros cuánticos $\omega$ y $\gamma$ se obtienen mayores valores del espín máximo $s_{max}$ permitido. Asimismo, se mostró, que al aumentar el éspin $a$ de los ANRs, los parámetros de la ISCO decrecen monótonamente, por lo que estos son más pequeños que los de los casos de los ANs estáticos. Consecuentemente, se confirma que los parámetros de la ISCO del ANR modificado cuánticamente son menores que los del ANR de Kerr, para cualesquiera valores de $s$ y $a$. En cambio, para el ANR de Kerr se calculó el valor del $s_{max}$ en función de $a$ y se mostró que no posee un cambio monótono, sino que este posee un mayor valor del $s_{max}=1{\mathchar 46\relax}6865$ cuando $a=0{\mathchar 46\relax}3$. También se encontró que para mayores valores de los parámetros cuánticos $\omega$ y $\gamma$, el valor del $s_{max}$ será mayor para la PP en los alrededores de un AN de Schwarzschild modificado cuánticamente. Por otro lado, para la PP en los alrededores de un ANR modificado cuánticamente se halló un comportamiento del $s_{max}$ que difiere de todos los casos particulares. En general, se encontró que el valor del $s_{max}$ en el ANR modificado cuánticamente no varía monótonamente con respecto a los parámetros geométricos de $a$, $\omega$ y $\gamma$, como si sucede en los casos estáticos particulares, ni tampoco se obtiene un comportamiento con un pico máximo para el valor de $s_{max}$ como se obtuvo para el AN de Kerr. Todos los resultados anteriormente compartidos sugieren que el comportamiento de los parámetros de la ISCO de una PP con espín entre los ANRs de Kerr y los modificados cuánticamente son similares y estos resultan ser siempre un poco menores en el caso del ANR modificado cuánticamente. No obstante, se probó que el efecto de $a$ sobre el $s_{max}$ si difiere entre estos ANRs.

Finalmente, se demostró que el cuaderno del programa Mathematica sirvió como una herramienta útil y práctica para calcular y analizar el comportamiento de los parámetros de la ISCO y del valor del $s_{max}$ de una PP orbitando a un ANR modificado cuánticamente. Esta implementación computacional puede ser utilizada de manera libre, bien sea para seguir estudiando estos mismos fenómenos sobre ANRs modificados cuánticamente o también para extender la investigación sobre otras soluciones de tipo AN.

**Financiación: Este trabajo fue financiado parcialmente por la Vicerrectoría de Investigación y la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia a través del Proyecto registrado en código HERMES 57057.

Declaración de conflicto de interés: Los autores manifiestan no tener conflictos de interés.**

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