Two remarks on the interpolation space

TL;DR

This paper investigates properties of interpolation spaces, establishing equalities between certain spaces and constructing isomorphisms that relate different interpolation couples, advancing understanding of their structure.

Contribution

It demonstrates the equality of two interpolation spaces involving measures and sequence spaces, and constructs specific isomorphisms between interpolation spaces introduced by Garling-Smith.

Findings

Proves $(M(\

") ext{ and }c_0( ext{Z}))_ heta = (L^1,c_0( ext{Z}))_ heta$ for $0< heta<1$.

Constructs isomorphisms $U_ heta$ between interpolation spaces that preserve structure and relate different couples.

Abstract

Dans ce travail, on montre que $(M(\mathbb{T}),c_0(\mathbb{Z}))_\theta = (L^1,c_0(\mathbb{Z}))_\theta$, $0<\theta <1$. Dans la suite on montre pour le couple d'interpolation $(C_0,C_1)$ trouv\'e par Garling-Smith qu'il existe un isomorphisme $U_\theta: (C_0,C_0+C_1)_{\theta ,p}\rightarrow (C_1,C_0+C_1)_{\theta, p}$ (resp. $U_\theta : (C_0,C_0+C_1)_\theta \rightarrow (C_1,C_0+C_1)_\theta)$ tel que sa restriction \`a $C_{\theta, p}$ (resp. \`a $C_\theta)$ est un isomorphisme : $C_{\theta, p} \rightarrow C_{1-\theta, p}$ (resp. $C_\theta \rightarrow C_{1-\theta })$. -- In this work we show that $(M(\mathbb{T}),c_0(\mathbb{Z}))_\theta = (L^1,c_0(\mathbb{Z}))_\theta$, $0<\theta <1.$ In the following we show for the interpolation couple found by Garling-Smith that there exists an isomorphism $U_\theta: (C_0,C_0+C_1)_{\theta ,p}\rightarrow (C_1,C_0+C_1)_{\theta, p}$ (resp. $U_\theta : (C_0,C_0+C_1)_\theta \rightarrow (C_1,C_0+C_1)_\theta)$ such that its restriction to $C_{\theta ,p}$ (resp. to $C_\theta)$ is an isomorphism : $C_{\theta, p} \rightarrow C_{1-\theta, p}$ (resp. $C_\theta \rightarrow C_{1-\theta })$.

Equations

$$\underset{n\in \mathbb{Z}}{\sup }\left|{\hat{\mu }}_t(n)-{\hat{\mu }}_{t^{\prime }}(n)\right|$$

$$C_0=\left\{(\sum _n(a_n{e}_n+b_n{r}_n),\sum _n{\epsilon }_n{b}_n{e}_n,\sum _n{c}_n{e}_n);(a_n{)}_{n\ge 1},(b_n{)}_{n\ge 1},(c_n{)}_{n\ge 1}\in {\ell }^1\right\},$$

$$C_1=\left\{(\sum _n(a_n{e}_n+c_n{r}_n),\sum _n{b}_n{e}_n,\sum _n{\epsilon }_n{c}_n{e}_n);(a_n{)}_{n\ge 1},(b_n{)}_{n\ge 1},(c_n{)}_{n\ge 1}\in {\ell }^1\right\}.$$

$$\underset{n}{(\sum }\left[(a_n+{\alpha }_n)e_n+(b_n+{\gamma }_n)r_n\right],\sum _n({\epsilon }_n{b}_n+{\beta }_n)e_n,\sum _n(c_n+{\epsilon }_n{\gamma }_n)e_n)$$

$$\sum _n\left[(a_n+{\alpha }_n)e_n+(b_n+{\gamma }_n{r}_n)\right]$$

$$\sum _n({\epsilon }_n{b}_n+{\beta }_n)e_n$$

$$\sum _n(c_n+{\epsilon }_n{\gamma }_n)e_n$$

$$U_0(x)+(U_0{)}^{-1}(y)$$

Full text

Abstract. In this work we show that $(M(\mathbb{T}),c_{0}(\mathbb{Z}))_{\theta}=(L^{1},c_{0}(\mathbb{Z}))_{\theta},$ $0<\theta<1.$ In the following we show for the interpolation couple found by Garling-Smith that there exists an isomorphism $U_{\theta}:(C_{0},C_{0}+C_{1})_{\theta,p}\rightarrow(C_{1},C_{0}+C_{1})_{\theta,p}$ (resp. $U_{\theta}:(C_{0},C_{0}+C_{1})_{\theta}\rightarrow(C_{1},C_{0}+C_{1})_{\theta})$ such that its restriction to $C_{\theta,p}$ (resp. à $C_{\theta})$ is an isomorphism : $C_{\theta,p}\rightarrow C_{1-\theta,p}$ (resp. $C_{\theta}\rightarrow C_{1-\theta})$

AMS Clasification:45B70,46B22,46B28

Mots clés: Interpolation des espaces $\mathbf{h}^{p}$ et $L^{p}$

Introduction

Désigons par $M(\mathbb{T})$ l’espace des mesure sur $\mathbb{T}.$ Pour $\mu\in M(\mathbb{T})$ et $t\in\mathbb{T}$ on définit $\mu_{t}$ par $\left\langle f,\mu_{t}\right\rangle=\left\langle f_{t},\mu\right\rangle,$ $f\in C(\mathbb{T}),$ ici $f_{t}(y)=f(y-t),$ $y\in\mathbb{T}.$

Rappelons qu’il existe une suite $(K_{n})_{n\geq 0}$ bornée dans $L^{1}(\mathbb{T})$ telle que, pour pour tout Banach $X$ et toute $f\in C(\mathbb{T},X),$ $(f\ast K_{n})_{n\geq 0}$ converge vers $f$ dans $C(\mathbb{T},X).$

Désignons par $E$ l’espace des mesures $\mu$ définies sur $\mathbb{T}$ à valeurs complexes telle que $\widehat{\mu}(n)\rightarrow 0$ quand $\left|n\right|\rightarrow+\infty.$

Pour les définitions des espaces d’interpolation $A_{\theta},A_{\theta,p}$ nous référons à [Ber-Lof].

Pour tout $\theta\in\left]0,1\right[$ notons $X_{\theta}=(L^{1}(\mathbb{T}),c_{0}(\mathbb{Z}))_{\theta},$ $Y_{\theta}=(M(\mathbb{T}),\ell^{\infty}(\mathbb{Z}))_{\theta}$ et $Z_{\theta}=(E,c_{0}(\mathbb{Z}))_{\theta}$ .

Soient$\ B_{0}=L^{1}(\mathbb{T)},$ $B_{0}=\widehat{c_{0}(\mathbb{Z})}$ l’espace des transformées de Fourier de $L^{1}(\mathbb{T)},$ muni de la norme de $c_{0}(\mathbb{Z}).$ D’après [Blas-Xu], $X_{\theta}$ contient $c_{0}$ isomorphiquement.

Considérons $\mu\in E$ et $t\in\mathbb{T}.$ Comme $\mu\in Y_{\theta}$, $\mu_{t}\in Y_{\theta}.$ Montrons que l’application $U$ : $t\in\mathbb{T}\rightarrow\mu_{t}\in Y_{\theta}$ est continue. Soit $\varepsilon>0.$ Il existe $n_{0}\in\mathbb{N}$ tel que si $\left|n\right|\geq n_{0}$, $\left|\widehat{\mu}(n)\right|<\varepsilon/2.$

Remarquons que $\widehat{\mu}_{t}(n)=e^{int}$ $\widehat{\mu}(n),$ $n\in\mathbb{Z},t\in\mathbb{T},$ donc pour tout $t,t^{\prime}\in\mathbb{T}$

[TABLE]

Il en résulte que l’application $t\in\mathbb{T}\rightarrow(\widehat{\mu}_{t}(n))_{n\in\mathbb{Z}}\in c_{0}(\mathbb{Z})$ est continue.

D’autre part, d’après (0.1) $\left\|\mu_{t}-\mu_{t^{\prime}}\right\|_{Z_{\theta}}\leq C_{\theta}\left\|\mu_{t}-\mu_{t^{\prime}}\right\|_{M(\mathbb{T})}^{1-\theta}(\sup_{n\in\mathbb{Z}}\left|\widehat{\mu}_{t}(n)-\widehat{\mu}_{t^{\prime}}(n)\right|)^{\theta}$ ($C_{\theta}$ est une constante). D’après ce qui précède l’application $U$ est continue. Par conséquent $K_{m}\ast U(0)\rightarrow_{m\rightarrow+\infty}\mu$ dans $Y.$ Comme pour tout $m,$ $K_{m}\ast U(0)\in L^{1}(\mathbb{T})\subset X_{\theta}$ et $X_{\theta}$ est un spus-espace isométrique de $Y_{\theta}$ d’après [Da1, Lemme 3.8], alors $\mu\in X_{\theta}.\blacksquare$

Démonstration.

Montrons que $(C_{0},C_{0}+C_{1})_{\theta,p}$ est isomorphe à $(C_{1},C_{0}+C_{1})_{\theta,p}.$

L’ensemble des éléments dans $c_{0}$ sous la forme ($\pm 1,\pm 1,...,\pm 1,0,0,0,...)$ est dénombrable. Considérons $(r_{n})_{n\geq 1}$ une numération de cet ensemble. Notons $\varepsilon_{n}=(1+\left\|r_{n}\right\|_{\ell^{1}})^{-n},$ $n\geq 1.$

D’après [Gar-Smi, th.2]

[TABLE]

[TABLE]

Soit $U_{0}:$ $C_{0}\rightarrow C_{1},$ l’isomorphisme définie par $U_{0}(x)=(\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}(a_{n}e_{n}+b_{n}r_{n}),\underset{}{\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}c_{n}e_{n},\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}}\varepsilon_{n}b_{n}e_{n}),$ $x=(\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}(a_{n}e_{n}+b_{n}r_{n}),\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}\varepsilon_{n}b_{n}e_{n},\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}c_{n}e_{n})\in C_{0}$.

Soit d’autre part, $U_{1}:C_{0}+C_{1}\rightarrow C_{0}+C_{1}$ définie par $U_{1}(x+y)=U_{0}(x)+(U_{0})^{-1}(y),$ $x\in C_{0},y\in C_{1}.$ Montrons que $U_{1}$ est une applicationet et injective. Pour cela; soient $x=(\underset{}{\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}}(a_{n}e_{n}+b_{n}r_{n}),\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}\varepsilon_{n}b_{n}e_{n},\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}c_{n}e_{n},),u=(\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}(a_{n}^{\prime}e_{n}+b_{n}^{\prime}r_{n}),\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}\varepsilon_{n}b_{n}^{\prime}e_{n},\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}c_{n}^{\prime}e_{n})\in C_{0}$, $y=(\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}(\alpha_{n}e_{n}+\gamma_{n}r_{n}),\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}\beta_{n}e_{n},\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}\varepsilon_{n}\gamma_{n}e_{n}),v=(\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}(\alpha_{n}^{\prime}e_{n}+\gamma_{n}^{\prime}r_{n}),\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}\beta_{n}^{\prime}e_{n},\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}\varepsilon_{n}\gamma_{n}^{\prime}e_{n})\in C_{1}.$ Remarquons que $x+y=u+v$ signifie que

[TABLE]

Il en résulte que

[TABLE]

D’autre part, ($U_{0})^{-1}(y)=(\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}(\alpha_{n}e_{n}+\gamma_{n}r_{n}),\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}\varepsilon_{n}}\gamma_{n}e_{n},\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}\beta_{n}e_{n}),$ ($U_{0})^{-1}(v)=(\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}(\alpha_{n}^{\prime}e_{n}+\gamma_{n}^{\prime}r_{n}),\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}\varepsilon_{n}}\gamma_{n}^{\prime}e_{n},\underset{n}{\mathop{\displaystyle\sum}}\beta_{n}^{\prime}e_{n}),$ donc

[TABLE]

Il est clair d’après (0.4) et (Deux remarques sur l’espace d’interpolation) que $U_{0}(x)+(U_{0})^{-1}(y)=U(u)+(U_{0})^{-1}(v)$ si et seulement si $x+y=u+v,$ c’est-à-dire que $U_{0}$ est une application et injective.

Comme $U_{0}:C_{0}\rightarrow C_{1},$ $U_{1}$ $:C_{0}+C_{1}\rightarrow C_{0}+C_{1}$ sont isomorphismes, d’après [Ber-Lof, th.3.1.2] $U_{\theta}:(C_{0},C_{0}+C_{1})_{\theta,p}\rightarrow(C_{1},C_{1}+C_{0})_{\theta,p}$ est un isomrphisme.

Remarquons que la restriction de $U_{1}$ à $C_{1}$ est un isomorphisme : $C_{1}\rightarrow C_{0}$, par conséquent la restriction de $U_{\theta}$ à $C_{\theta,p}$ est un isomorphisme : $C_{\theta,p}\rightarrow(C_{1},C_{0})_{\theta,p}=(C_{1},C_{0})_{1-\theta,p}.$

Par un argument analogue on montre que $U_{\theta}:(C_{0},C_{0}+C_{1})_{\theta}\rightarrow(C_{1},C_{0}+C_{1})_{\theta}$ est un isomorphisme et la restriction de $U_{\theta}$ à $C_{\theta}$ est un isomorphisme : $C_{\theta}\rightarrow C_{1-\theta}.$