Sur la variation de certaines suites de parties fractionnaires

TL;DR

This paper derives an asymptotic formula for the sum of absolute differences of fractional parts of scaled sequences, revealing their asymptotic behavior with explicit error bounds.

Contribution

It provides a new asymptotic expression for sums involving fractional parts of sequences with explicit error terms and uniform bounds.

Findings

Asymptotic formula involving zeta function and square root of x

Explicit error term with power bounds

Uniform validity for large x and parameter ranges

Abstract

Let $b > a > 0$. We prove the following asymptotic formula $$\sum_{n\ge 0} \big\lvert\{x/(n+a)\} - \{x/(n+b)\}\big\rvert = \frac{2}{\pi}\zeta(3/2)\sqrt{cx} + O(c^{2/9}x^{4/9}),$$ with $c=b-a$, uniformly for $x \ge 40 c^{-5}(1+b)^{27/2}$.

Equations

$$\sum_{n\geqslant 0}\big{\lvert}\{x/(n+a)\}-\{x/(n+b)\}\big{\rvert}=\frac{2}{\pi}\zeta(3/2)\sqrt{cx}+O(c^{2/9}x^{4/9}),\\$$

$$\{x/(n+a)\}-\{x/(n+b)\}(n=0,1,2,\dots )$$

$$c=b-a,$$

$$W(x;a,b)=\sum_{n\geqslant 0}\big{\lvert}\{x/(n+a)\}-\{x/(n+b)\}\big{\rvert}.$$

$$W(x;1,2)=\frac{2}{\pi }\zeta (3/2)\sqrt{x}+O(x^{2/5})(x>0),$$

$$R_0(x;a,b)$$

$$R_j(x;a,b)$$

$$\mathcal{R}(J,x;a,b)=\sum _{0⩽j⩽J}{R}_j(x;a,b).$$

$$W(x;a,b)=\frac{2}{\pi}\zeta(3/2)\sqrt{cx}+{\mathcal{R}}(J,x;a,b)+O\big{(}(1+b)^{2/5}c^{1/5}x^{2/5}\big{)},$$

$$W(x;a,b)=\frac{2}{\pi }\zeta (3/2)\sqrt{cx}+O(c^{2/9}{x}^{4/9}).$$

$$V(x;a,b)=\sum_{n\geqslant 0}\big{(}\{x/(n+a)\}-\{x/(n+b)\}\big{)}.$$

$$V(x;a,b)=\{x/a\}+\cdots +\{x/(b-1)\}$$

$$G(x)=\sum _{n⩽x}g(n)=\sum _{n⩾1}f(n)\lfloor x/n\rfloor =Cx-\Delta (x),$$

$$\Delta(x)=\sum_{n\geqslant 1}f(n)\{x/n\}=\sum_{n\geqslant 1}F(n)\big{(}\{x/n\}-\{x/(n+1)\}\big{)}=\\ \sum_{k=1}^{q}F(k)\sum_{j\geqslant 0}\big{(}\{x/(jq+k)\}-\{x/(jq+k+1)\}\big{)}=\sum_{k=1}^{q}F(k)V\big{(}x/q;k/q,(k+1)/q\big{)}.$$

$$\Delta (x)\ll \frac{{\sum }_{k=1}^q|F(k)|}{q}\sqrt{x}(1⩽q⩽x^{1/6}/22).$$

$$\lfloor x/(n+a)\rfloor -\lfloor x/(n+b)\rfloor =j(j\in \mathbb{N}),$$

$$W_{j}=\sum_{n\geqslant 0}[\lfloor x/(n+a)\rfloor-\lfloor x/(n+b)\rfloor=j]\cdot\big{\lvert}\{x/(n+a)\}-\{x/(n+b)\}\big{\rvert}\,,$$

$$W=\sum _{j\in \mathbb{N}}{W}_j.$$

$$k$$

$$h$$

$$k⩽x/(n+a)<k+1$$

$$h⩽x/(n+b)<h+1,$$

$$\max\Big{(}\frac{x}{k+1}-a,\frac{x}{h+1}-b\Big{)}<n\leqslant\min\Big{(}\frac{x}{k}-a,\frac{x}{h}-b\Big{)}.$$

$$I(h,k)=\mathbb{N}\cap ]x/(k+1)-a,x/k-a]\cap ]x/(h+1)-b,x/h-b].$$

$$\{x/(n+a)\}-\{x/(n+b)\}=cx/(n+a)(n+b)-k+h,$$

$$0⩽k-h<y+1,$$

$$W(h,k)=\sum_{n\in I(h,k)}\big{\lvert}cx/(n+a)(n+b)-k+h\big{\rvert}$$

$$E_j$$

$$=\{(k-j,k),k\in \mathbb{N},j⩽k⩽x/a\}$$

$$W_j=\sum _{(h,k)\in E_j}W(h,k).$$

$$E_0=\{(k,k),k\in \mathbb{N},0⩽k⩽x/a\}.$$

$$\frac{x}{k+1}-a<n⩽\frac{x}{k}-b.$$

Full text

Sur la variation de certaines suites de parties fractionnaires

Michel Balazard, Leila Benferhat et Mihoub Bouderbala

Abstract

Let $b>a>0$. We prove the following asymptotic formula

[TABLE]

with $c=b-a$, uniformly for $x\geqslant 40c^{-5}(1+b)^{27/2}$.

Keywords

Fractional part, Elementary methods, van der Corput estimates

MSC classification : 11N37

1 Introduction

Notons $\{t\}=t-\lfloor t\rfloor$ la partie fractionnaire du nombre réel $t$, où $\lfloor t\rfloor$ est la partie entière de $t$. Pour $x>0$ et $b>a>0$, les différences de parties fractionnaires

[TABLE]

sont les termes d’une série absolument convergente, puisque, pour $n>x-a$, cette différence vaut $cx/(n+a)(n+b)$, avec

[TABLE]

notation que nous conserverons dans tout cet article. On peut donc considérer la norme au sens $\ell^{1}$ de cette suite, c’est-à-dire la quantité

[TABLE]

La somme $W(x;1,2)$ joue un rôle auxiliaire dans l’article [5] de Wintner. Il y démontra l’ordre de grandeur $W(x;1,2)\asymp\sqrt{x}$ (pour $x\geqslant 1$), et en déduisit l’optimalité de l’estimation $O(\sqrt{x})$ pour le terme d’erreur de formules asymptotiques pour certaines moyennes arithmétiques. L’estimation de Wintner a été précisée par le premier auteur : on a

[TABLE]

où $\zeta$ désigne la fonction zêta de Riemann (cf. [1]).

Le but du présent article est de généraliser (1) à la somme $W(x;a,b)$. Afin d’énoncer notre premier résultat, il nous faut introduire les quantités

[TABLE]

où, pour $t>0$ et $j\in{\mathbb{N}}$, nous notons

$\bullet\;K(t)$ le plus grand nombre entier $k$ tel que $k(k+1)\leqslant t$ ;

$\bullet\;K_{j}(t)$ le plus grand nombre entier $k\geqslant j$ tel que $(k-j)k\leqslant jt$ (en particulier, $K_{0}(t)=0$).

Enfin, nous posons, pour $J$ réel et positif,

[TABLE]

Observons que, pour $c$ entier, en particulier si $a=1$ et $b=2$, les quantités $R_{j}(x;a,b)$ sont nulles ; elles ne jouaient donc aucun rôle dans l’étude effectuée dans [1]. Notre premier résultat est une généralisation de (1).

**Théorème A **

Pour $x\geqslant 40c^{-3}(1+b)^{4}$, on a

[TABLE]

où $J=c^{3/5}(1+b)^{-4/5}x^{1/5}$.

La somme ${\mathcal{R}}(J,x;a,b)$ peut être estimée grâce aux résultats classiques de van der Corput, obtenus grâce à l’utilisation de sommes trigonométriques. Nous obtenons le résultat suivant.

**Théorème B **

Pour $x\geqslant 40c^{-5}(1+b)^{27/2}$,

[TABLE]

Observons que l’on en déduit l’estimation $W(x;a,b)\ll\sqrt{cx}$ sous la même hypothèse.

La quantité $W(x;a,b)$ est reliée à la suivante, définie pour $x>0$ et $b>a>0$ par

[TABLE]

On a $V(x;1,2)=\{x\}$ et, plus généralement,

[TABLE]

si $c=b-a$ est entier, mais l’estimation de $V(x;a,b)$ dans le cas général est un problème non trivial.

Cette somme intervient dans l’étude de la question suivante. Soit $f$ une fonction arithmétique de période $q\in{\mathbb{N}}^{*}$, et de moyenne nulle. Sa fonction sommatoire $F$ est donc aussi périodique, de période $q$. Considérons le produit de convolution $g=f*{\mathbf{1}}$. On a alors

[TABLE]

où $C=\sum_{n\geqslant 1}f(n)/n$ et

[TABLE]

La connaissance du comportement de $V(x;a,b)$ est donc susceptible d’apporter des informations sur celui du terme d’erreur $\Delta(x)$. La méthode de démonstration des théorèmes A et B ci-dessus s’applique également à l’étude de la somme $V(x;a,b)$. Cela étant, la forme plus simple de cette quantité, relativement à $W(x;a,b)$, se prête a priori à un traitement élémentaire classique via la méthode de l’hyperbole, suivi d’une application de la théorie de van der Corput, ou à une étude analytique à l’aide de la fonction $\zeta$ d’Hurwitz. Pour conserver au présent texte une unité méthodologique, nous n’y abordons donc pas l’étude de $V(x;a,b)$, nous contentant de signaler ici la majoration évidente $\lvert V(x;a,b)\rvert\leqslant W(x;a,b)$. En particulier, en utilisant la majoration $W(x;a,b)\ll\sqrt{cx}$, valable sous les conditions du Théorème B, on obtient l’estimation uniforme

[TABLE]

L’étude de $V(x;a,b)$ pourrait permettre de préciser ce résultat.

Le plan de cet article est le suivant. Au §2, nous décomposons $W(x;a,b)$ en somme de quantités $W_{j}(x;a,b)$, regroupant les entiers $n$ tels que

[TABLE]

et nous donnons des expressions de $W_{j}(x;a,b)$ (formules (8) au §2.2, et (21) au §2.9). Au §3, nous donnons des estimations des quantités $W_{j}(x;a,b)$, faisant intervenir les sommes $R_{j}(x;a,b)$ définies par (2) et (3) ci-dessus. Nous en déduisons le Théorème A au §4. Enfin, au §5, nous exposons quelques éléments de la théorie de van der Corput ; ils sont ensuite utilisés pour estimer les quantités $R_{j}(x;a,b)$. Cela nous permet d’obtenir le Théorème B.

2 Décomposition de la somme $W(x;a,b)$

Comme $x$, $a$ et $b$ sont fixés dans ce paragraphe et les paragraphes 3 et 4, nous allégeons la notation en écrivant simplement $W$ au lieu de $W(x;a,b)$, et nous adopterons la même convention pour les quantités et ensembles, dépendant de $x$, $a$ et $b$, intervenant dans la démonstration. Les lettres $j,k,h,n$ désigneront toujours des variables entières positives ou nulles.

2.1 Les sommes $W_{j}$

En utilisant la notation d’Iverson ($[P]=1$ si la propriété $P$ est vraie, $[P]=0$ sinon), posons, pour $j\in{\mathbb{N}}$,

[TABLE]

de sorte que

[TABLE]

Nous allons évaluer $W_{j}$ en suivant la méthode adoptée dans [1]. Par souci de lisibilité, nous reproduisons, mutatis mutandis, les détails des transformations opérées sur ces sommes.

Pour commencer, les relations

[TABLE]

entraînent $0\leqslant h\leqslant k\leqslant x/a$ et équivalent à

[TABLE]

autrement dit

[TABLE]

(avec la convention $x/0=\infty$).

Nous désignerons par $I(h,k)$ l’intervalle de valeurs de $n$ défini par l’encadrement (4), c’est-à-dire

[TABLE]

La collection des $I(h,k)$ non vides constitue une partition de ${\mathbb{N}}$.

Notons que, pour $n\in I(h,k)$, on a

[TABLE]

où nous rappelons que $c$ désigne la différence $b-a$. En particulier,

[TABLE]

où l’on a posé $y=cx/ab$.

La somme $W_{j}$ est donc nulle si $j\geqslant y+1$. Posons

[TABLE]

et, pour $j\in{\mathbb{N}}$ tel que $0\leqslant j<y+1$,

[TABLE]

Nous aurons

[TABLE]

Nous allons établir une expression de la somme $W_{j}$, en commençant par le cas $j=0$.

2.2 Expression de $W_{0}$

Nous avons

[TABLE]

L’intervalle $I(k,k)$ de ${\mathbb{N}}$ est défini par l’encadrement

[TABLE]

Il est vide si $k(k+1)>x/c$. Pour $t>0$, désignons par $K(t)$ le plus grand nombre entier $k$ tel que $k(k+1)\leqslant t$, et observons simplement, pour l’instant, que $K(t)\leqslant\sqrt{t}$.

Posons également

[TABLE]

et, par convention,

[TABLE]

Pour $x\geqslant a^{2}/c$, en notant $K=K(x/c)$, on aura $K\leqslant\sqrt{x/c}\leqslant x/a$, donc

[TABLE]

2.3 Décomposition de l’ensemble $E_{j}$

Nous supposons maintenant $j\geqslant 1$. Toujours en adaptant la démarche suivie dans [1], nous allons décomposer l’ensemble $E_{j}$ défini par (5) en une partition de trois sous-ensembles sur lesquels l’encadrement (4) s’exprimera sans recours aux fonctions $\max$ et $\min$.

Si $k>h\geqslant 0$ et $x>0$, l’inégalité

[TABLE]

équivaut à

[TABLE]

En particulier, on a les implications

[TABLE]

et

[TABLE]

Nous considérons donc les trois parties suivantes de $E_{j}$ (la définition de chaque $E_{j,i}$ est suivie par la forme que prend l’encadrement (4) lorsque $(k-j,k)\in E_{j,i}$) :

[TABLE]

Celles des trois parties $E_{j,i}$ ($1\leqslant i\leqslant 3$) qui sont non vides forment une partition de $E_{j}$. Par conséquent, on a

[TABLE]

où

[TABLE]

Avant d’évaluer successivement les trois quantités $W_{j,i}$, nous allons définir, aux sous-paragraphes suivants, deux fonctions auxiliaires, $K_{j}$ et $N_{j}$.

2.4 La fonction $K_{j}(t)$

Pour $j\in{\mathbb{N}}$ et $t>0$, nous définissons $K_{j}(t)$ comme le plus grand nombre entier $k\geqslant j$ tel que $(k-j)k\leqslant jt$. En particulier, $K_{0}(t)=0$.

Au moyen de la fonction $K_{j}(t)$, on peut, pour $j\geqslant 1$, récrire les conditions, quadratiques relativement à $k$, intervenant dans les définitions des ensembles $E_{j,i}$, sous les formes suivantes, respectivement :

[TABLE]

De plus, la condition $k\leqslant x/a$, qui figure également dans la définition de ces ensembles, est superflue pour $i=1,3$, si $j\leqslant y=cx/ab$. En effet la relation $j\leqslant y$ peut s’écrire sous la forme

[TABLE]

Les inégalités

[TABLE]

et le fait que $t\mapsto(t-j)t$ est strictement croissante pour $t\geqslant j$ entraînent alors l’inégalité

[TABLE]

2.5 La fonction $N_{j}(x;a,b)$

Pour exprimer la quantité $\lvert j-cx/(n+a)(n+b)\rvert$ sans valeur absolue, nous sommes conduits à définir, pour $j\in{\mathbb{N}}^{*}$, $N_{j}=N_{j}(x;a,b)$ comme le plus grand nombre entier $n$ tel que

[TABLE]

On a donc $N_{j}\geqslant 0$ si $j\leqslant y=cx/ab$.

Établissons maintenant une relation entre les quantités $K_{j}=K_{j}(x/c)$ et $N_{j}=N_{j}(x;a,b)$.

Proposition 1

Si $j\in{\mathbb{N}}^{*}$ et $j\leqslant y$, on a

[TABLE]

Démonstration

L’encadrement définissant $K_{j}$,

[TABLE]

équivaut à

[TABLE]

c’est-à-dire à

[TABLE]

On a $N_{j}\geqslant 0$, et $t\mapsto(t+a)(t+b)$ est strictement croissante pour $t\geqslant-a$. Le dernier encadrement entraîne donc celui de l’énoncé. $\Box$

2.6 Calcul de $W_{j,1}$

Supposons $1\leqslant j\leqslant y$. En notant simplement $K_{j}$ pour $K_{j}(x/c)$, nous aurons, d’après (9), (12) et (15),

[TABLE]

La somme intérieure est non vide seulement si

[TABLE]

autrement dit seulement si $k>K_{j-1}$(rappelons que $K_{0}=0).$ Les nombres entiers $n$ intervenant dans cette somme intérieure sont strictement supérieurs à

[TABLE]

d’après la proposition 1.

Dans le calcul qui suit, ainsi qu’au paragraphe suivant, nous emploierons la fonction $F$ définie par (7), et l’identité «$r-$télescopique»,

[TABLE]

On a donc

[TABLE]

L’avant-dernière somme vaut

[TABLE]

où, par l’identité «  $(j-1)$-télescopique  »,

[TABLE]

Une manipulation similaire s’applique à la dernière somme de (16), et on obtient finalement

[TABLE]

2.7 Calcul de $W_{j,2}$

On a ici, toujours pour $1\leqslant j\leqslant y$, et d’après (10), (13) et (15),

[TABLE]

La somme intérieure est non vide seulement si

[TABLE]

autrement dit seulement si $k\leqslant K_{j+1}-1$. Nous supposerons donc maintenant que $j\leqslant y-1$, de sorte que $K_{j+1}\leqslant x/a$, d’après (15). On obtient alors

[TABLE]

Les nombres entiers $n$ intervenant dans la somme intérieure sont inférieurs ou égaux à

[TABLE]

par définition de $K_{j}$. La proposition 1 prouve alors que ces nombres entiers sont $\leqslant N_{j}$.

On a donc

[TABLE]

L’avant-dernière somme vaut

[TABLE]

où, par l’identité «  $(j+1)$-télescopique  »,

[TABLE]

Une manipulation similaire s’applique à la somme (18), et on obtient finalement

[TABLE]

2.8 Calcul de $W_{j,3}$

Pour $1\leqslant j\leqslant y$, on a, d’après (11), (14), et (15),

[TABLE]

d’après la proposition 1. Observons que l’avant-dernière somme est vide si $N_{j}=\left\lfloor\frac{x}{K_{j}+1}-a\right\rfloor.$

On a

[TABLE]

donc

[TABLE]

2.9 Expression de $W_{j}$ pour $j\geqslant 1$

En regroupant les identités (17), (19) et (20), on obtient, pour $1\leqslant j\leqslant y-1$,

[TABLE]

3 Estimation des sommes $W_{j}$

Nous allons maintenant utiliser les identités obtenues au paragraphe précédent pour estimer les contributions à $W$ des sommes $W_{j}$. Nous commençons par le cas $j=0$.

3.1 La fonction $K$

Au §2.2, pour $t>0$, nous avons introduit la notation $K(t)$ pour désigner le plus grand nombre entier $k$ tel que $k(k+\leavevmode\nobreak\ 1)\leqslant\leavevmode\nobreak\ t$, c’est-à-dire

[TABLE]

et noté simplement $K$ la valeur $K(x/c)$. Nous utiliserons l’encadrement

[TABLE]

Proposition 2

Pour $x\geqslant 9b^{2}/c$, on a

[TABLE]

Démonstration

On a

[TABLE]

si $x\geqslant 9b^{2}/c$. $\Box$

3.2 Estimation de la fonction $F$

Rappelons la définition (7) :

[TABLE]

Proposition 3

Pour $b>a>0$ et $t>0$, on a

[TABLE]

Démonstration

Nous démontrons (23) ; la démonstration de (22) est similaire, et plus simple.

Pour $n\in{\mathbb{N}}^{*}$, on a

[TABLE]

Pour $t>0$, on a

[TABLE]

Par conséquent,

[TABLE]

3.3 Estimation de $W_{0}$

Nous commençons par estimer le premier terme de l’expression (8) de $W_{0}$.

Proposition 4

Pour $x\geqslant 9b^{2}/c$, on a

[TABLE]

Démonstration

On a $K+1=\sqrt{x/c}+\vartheta_{0}$, où $\lvert\vartheta_{0}\rvert\leqslant 1$ et $\sqrt{x/c}\geqslant 3b/c\geqslant 3$. Par conséquent,

[TABLE]

On a donc $x/(K+1)-a=\sqrt{cx}(1+\vartheta_{1})$, avec $\vartheta_{1}\geqslant-5/6$ (d’après la proposition 2), et $\vartheta_{1}=O(b/\sqrt{cx})$. L’estimation (22) nous donne alors

[TABLE]

Passons à la somme apparaissant dans (8).

Proposition 5

Pour $x\geqslant 9b^{2}/c$, on a

[TABLE]

Démonstration

Nous allons utiliser l’estimation (23). Par la proposition 2, les quantités $x/k-a$ et $x/k-b$, figurant dans la somme à évaluer, sont toutes $\geqslant\sqrt{cx}/6$. Par conséquent, la contribution à cette somme du terme d’erreur de (23) est

[TABLE]

Pour $1\leqslant k\leqslant K$, on a

[TABLE]

car $bk/x\leqslant 1/3$ si $1\leqslant k\leqslant K$.

Par conséquent, la contribution à la somme étudiée du terme $1/t$ de (23) vaut

[TABLE]

Enfin,

[TABLE]

La contribution du dernier terme d’erreur à la somme figurant dans (8) est

[TABLE]

Le résultat découle de ces estimations. $\Box$

Les propositions 4 et 5 et la formule (8) fournissent l’expression suivante de $W_{0}$.

Proposition 6

Pour $x\geqslant 9b^{2}/c$, on a

[TABLE]

où

[TABLE]

3.4 Grandes valeurs de $j$

Avant d’examiner en détail chaque quantité $W_{j}$, notons l’estimation suivante, qui nous permettra de limiter les valeurs de $j$ à considérer.

Proposition 7

Soit $J$ un nombre réel supérieur à $1$. Pour $x>0$, et $b>a>0$, on a

[TABLE]

Démonstration

Si $j=\lfloor x/(n+a)\rfloor-\lfloor x/(n+b)\rfloor>J$, alors

[TABLE]

donc $n<\sqrt{cx/(J-1)}$. On en déduit que

[TABLE]

3.5 Résultats auxiliaires sur les quantités $K_{j}$

Nous allons utiliser les résultats, démontrés dans [1], concernant les fonctions $K_{j}(t)$, dont la définition a été rappelée au §2.4, ici évaluées en $t=x/c$.

Pour $0\leqslant j\leqslant x/c$ et $x\geqslant c$, les propositions 2 et 3, p. 12 de [1], affirment que

[TABLE]

Notons que (25) entraîne

[TABLE]

L’encadrement (17), p. 11 de [1] se récrit

[TABLE]

En particulier, pour $0<j\leqslant x/c$, on a

[TABLE]

et

[TABLE]

Les quatre propositions suivantes sont des lemmes utilisés lors des calculs des paragraphes suivants.

Proposition 8

Pour $0<j\leqslant x/c$ et $K_{j-1}<k\leqslant K_{j+1}$, on a

[TABLE]

Démonstration

En effet, par définition de $K_{j\pm 1}$, on a, pour $K_{j-1}<k\leqslant K_{j+1}$,

[TABLE]

donc

[TABLE]

L’encadrement annoncé résulte alors de la majoration $K_{j+1}\leqslant 4\sqrt{jx/c}$. $\Box$

Proposition 9

Pour $0<j\leqslant x/c$

[TABLE]

Démonstration

En utilisant (27) et la proposition 8, on obtient

[TABLE]

Proposition 10

Pour $0<j\leqslant cx/9(1+b)^{2}$ et $k\leqslant K_{j}$, on a

[TABLE]

Démonstration

En utilisant (28), on a, d’une part,

[TABLE]

D’autre part,

[TABLE]

Proposition 11

Pour $0<j\leqslant cx/9(1+b)^{2}$ et $K_{j}-j<k\leqslant K_{j}$, on a

[TABLE]

Démonstration

Il s’agit d’une adaptation de la proposition 5, p. 17 de [1].

Posons $q=\lfloor x/k-b\rfloor$. On a

[TABLE]

où

[TABLE]

D’après (28), on a

[TABLE]

donc, compte également tenu de la proposition 10,

[TABLE]

Par conséquent,

[TABLE]

et

[TABLE]

3.6 Estimation de $W_{j}$ pour $j\geqslant 1$

Commençons en observant que la condition $j\leqslant cx/9(1+b)^{2}-1$, qui va figurer dans les trois premiers énoncés de ce sous-paragraphe, entraîne l’inégalité $j\leqslant y-1$, condition d’application de l’identité (21).

Nous estimons en premier lieu la contribution à $W_{j}$ des sommes de (21) où $a$ ne figure pas.

Proposition 12

Pour $0<j\leqslant cx/9(1+b)^{2}-1$, on a

[TABLE]

Démonstration

Observons que, si $j=1$, la deuxième et la quatrième somme sont vides.

Pour $t\geqslant 1$, nous récrivons (23) sous la forme

[TABLE]

D’après (31), la contribution à la troisième et quatrième somme de (34) du terme d’erreur de (35) est

[TABLE]

On a ensuite, en utilisant (33) et (31),

[TABLE]

et, de même,

[TABLE]

La proposition 11 et (33) nous donnent

[TABLE]

et, de même,

[TABLE]

En regroupant les résultats (36), (37), (38), (39) et (40), on obtient le résultat annoncé. $\Box$

Passons maintenant à la contribution à $W_{j}$ des sommes de (21) où figure $a$.

Proposition 13

Pour $0<j\leqslant cx/9(1+b)^{2}-1$, on a

[TABLE]

avec

[TABLE]

Démonstration

D’après la proposition 10 et (27), la contribution à la seconde somme du terme d’erreur de (23) est

[TABLE]

Pour $k\leqslant K_{j+1}$, l’inégalité (32) nous permet d’écrire

[TABLE]

La contribution à cette seconde somme du terme \big{(}\{t\}-(a+b+1)/2\big{)}/t^{2} de (23) est donc

[TABLE]

En utilisant (26), (27) et (32), on voit que la contribution du terme $1/t$ de (23) est

[TABLE]

Enfin, la première somme du premier membre de (41) vaut, d’après (25),

[TABLE]

On obtient la relation (41) en collectant ces estimations. $\Box$

Notons que la majoration «  triviale  » de $R_{j}$ est donnée par la proposition 9 :

[TABLE]

Estimons enfin la contribution à $W_{j}$ des termes de (21) où figure $N_{j}$.

Proposition 14

Pour $0<j\leqslant cx/9(1+b)^{2}$, on a

[TABLE]

Démonstration

Rappelons que $N_{j}$ est le plus grand nombre entier $n$ tel que

[TABLE]

On a donc

[TABLE]

En particulier,

[TABLE]

Pour $0<j\leqslant cx/9(1+b)^{2}$, la borne inférieure de cet encadrement de $N_{j}$ est $\geqslant\frac{2}{3}\sqrt{cx/j}$. Par suite, en utilisant (22),

[TABLE]

Nous sommes maintenant en mesure d’adapter la proposition 6, p. 18 de [1].

Proposition 15

Pour $0<j\leqslant cx/9(1+b)^{2}-1$, on a

[TABLE]

avec

[TABLE]

et où $R_{j}$ est défini par (3).

Démonstration

On obtient cette estimation en insérant dans (21) les résultats des propositions 12, 13 et 14.  $\Box$

4 Estimation de la somme $W(x;a,b)$

4.1 Mise en évidence du terme principal

Nous donnons d’abord une expression de $W=W(x;a,b)$ faisant intervenir un paramètre réel $J$.

Proposition 16

Pour $x$ et $J$ réels tels que $3/2\leqslant J\leqslant cx/9(1+b)^{2}-1$, on a

[TABLE]

où l’on a posé

[TABLE]

les quantités $R_{j}$ étant définies par (2) ($j=0$) et (3) ($j>0$).

Démonstration

On a

[TABLE]

où l’on a utilisé la somme de la série

[TABLE]

et l’estimation $f(j)\ll j^{-3/2}$. $\Box$

En restreignant l’intervalle de variation de $J$, simplifions légèrement l’énoncé de la proposition 16.

Proposition 17

Pour $x\geqslant 40(1+b)^{3}c^{-2}$ et $J$ tel que $3/2\leqslant J\leqslant(x/c)^{1/3}$, on a

[TABLE]

Démonstration

D’une part, on vérifie que

[TABLE]

D’autre part, on a

[TABLE]

4.2 Démonstration du Théorème A

Proposition 18

Pour $x\geqslant 40(1+b)^{4}/c^{3}$,

[TABLE]

où $J=c^{3/5}(1+b)^{-4/5}x^{1/5}$.

Démonstration

Nous choisissons $J$ pour équilibrer les deux premiers termes d’erreur de la proposition 16 :

[TABLE]

On vérifie que

[TABLE]

et les deux termes d’erreur de la proposition 17 sont

[TABLE]

5 Démonstration du Théorème B

5.1 Rappels sur la théorie de van der Corput

Afin d’estimer la somme ${\mathcal{R}}(J)$, nous utiliserons l’énoncé suivant, dû à van der Corput, qui résulte de la version la plus simple de sa méthode d’estimation de sommes trigonométriques (cf. [4], Satz 5, p. 252 ; [3], Satz 1, p. 215 ; [2], (12), p. 23).

Soit $u,v$ des nombres réels tels que $v-u\geqslant 1$, et $f:[u,v]\rightarrow{\mathbb{R}}$ une fonction deux fois dérivable, dont la dérivée seconde est monotone et de signe constant. On a alors

[TABLE]

où la constante implicite est absolue.

Par sommation partielle, on déduit de (42) l’estimation suivante.

Soit $u,v$ des nombres entiers tels que $u\leqslant v$, et $f:[u,v]\rightarrow{\mathbb{R}}$ une fonction deux fois dérivable, dont la dérivée seconde est monotone et de signe constant. Soit $(\gamma_{n})_{u<n\leqslant v}$ une suite de nombres réels. On a alors

[TABLE]

où

[TABLE]

et où la constante implicite est absolue.

5.2 Estimation de la somme ${\mathcal{R}}(J)$

Proposition 19

Pour $2\leqslant j\leqslant(x/c)^{1/3}$, on a

[TABLE]

Démonstration

Pour $K_{j-1}<k\leqslant K_{j+1}$, posons

[TABLE]

La suite $(\gamma_{k})$ étant croissante, la proposition 8 implique l’estimation

[TABLE]

en tenant compte de l’hypothèse $j\leqslant(x/c)^{1/3}$.

En appliquant (43) aux deux fonctions $f(t)=x/t-a$ et $f(t)=x/t-b$, on obtient

[TABLE]

où l’on a utilisé (25) et (29). $\Box$

Proposition 20

Pour $x\geqslant 1+c$, on a

[TABLE]

Démonstration

On a

[TABLE]

Un raisonnement analogue à celui de la démonstration de la proposition 19 fournit l’estimation

[TABLE]

Proposition 21

Pour $x$ et $J$ réels tels que 3/2\leqslant J\leqslant\big{(}x/(1+c)\big{)}^{1/3}, on a

[TABLE]

Démonstration

D’après les propositions 19 et 20, on a

[TABLE]

5.3 Conclusion

Proposition 22

Pour $x\geqslant 40\,c^{-5}(1+b)^{27/2}$,

[TABLE]

Démonstration

Pour

[TABLE]

et 3/2\leqslant J\leqslant\big{(}x/(1+c)\big{)}^{1/3}, la conjonction des résultats des propositions 17 et 21 montre que

[TABLE]

Nous choisissons $J$ pour équilibrer les deux premiers termes d’erreur : $J=c^{5/9}x^{1/9}$. Cette quantité vérifie l’encadrement 3/2\leqslant J\leqslant\big{(}x/(1+c)\big{)}^{1/3} si

[TABLE]

On a alors, d’une part,

[TABLE]

D’autre part, sous les hypothèses (44) et (45), on a

[TABLE]

et l’inégalité

[TABLE]

entraîne

[TABLE]

Si $x\geqslant 40\,c^{-5}(1+b)^{27/2}$, les trois conditions (44), (45) et (46) sont vérifiées, et le résultat est démontré. $\Box$

Remerciements

Le premier auteur remercie Julien Cassaigne de lui avoir suggéré de généraliser à $W(x;a,b)$ l’étude, effectuée dans [1], du cas $a=1$, $b=2$.

Références

• [1]

M. Balazard – «  Sur la variation totale de la suite des parties fractionnaires des quotients d’un nombre réel positif par les nombres entiers naturels consécutifs.  », Mosc. J. Comb. Number Theory 7 (2017), p. 3–23.

• [2]

J. G. van der Corput – «  Méthodes d’approximation dans le calcul du nombre des points à coordonnées entières.  », Enseign. Math. 23 (1923), p. 5–29.

• [3]

— , «  Neue zahlentheoretische Abschätzungen.  », Math. Ann. 89 (1923), p. 215–254.

• [4]

— , «  Zahlentheoretische Abschätzungen mit Anwendung auf Gitterpunktprobleme.  », Math. Z. 17 (1923), p. 250–259.

• [5]

A. Wintner – «  Square root estimates of arithmetical sum functions  », Duke Math. J. 13 (1946), p. 185–193.

BALAZARD, Michel

Institut de Mathématiques de Marseille

CNRS, Université d’Aix-Marseille

Campus de Luminy, Case 907

13288 Marseille Cedex 9

FRANCE

Adresse électronique : balazard@math.cnrs.fr

BENFERHAT, Leila

Institut de Mathématiques-USTHB

LA3C, Université des sciences et de la technologie Houari-Boumédiène

Bab Ezzouar

ALGÉRIE

Adresse électronique: lbenferhat@hotmail.com

BOUDERBALA, Mihoub

Institut de Mathématiques-USTHB

LA3C, Université des sciences et de la technologie Houari-Boumédiène

Bab Ezzouar

ALGÉRIE

Adresse électronique: mihoub75bouder@gmail.com