This paper introduces procedures for constructing Peirce-evanescent identities in baric algebras, explores their properties using algebraic systems and rooted trees, and demonstrates their applicability to mutation algebras and spectrum analysis.
Contribution
It provides new methods for generating Peirce-evanescent identities and links these identities to algebraic structures and spectra in baric algebras.
Findings
01
Mutation algebras satisfy all Peirce-evanescent identities
02
Any element of the field can be a Peirce spectrum of an algebra satisfying such identities
03
Methods for generating identities are applicable to various algebraic cases
Abstract
Peirce-evanescent baric identities are polynomial identities verified by baric algebras such that their Peirce polynomials are the null polynomial. In this paper procedures for constructing such homogeneous and non homogeneous identities are given. For this we define an algebraic system structure on the free commutative nonassociative algebra generated by a set T which provides for classes of baric algebras satisfying a given set of identities similar properties to those of the varieties of algebras. Rooted binary trees with labeled leaves are used to explain the Peirce polynomials. It is shown that the mutation algebras satisfy all Peirce-evanescent identities, it results from this that any part of the field K can be the Peirce spectrum of a K- algebra satisfying a Peirce-evanescent identity. We end by giving methods to obtain generators of homogeneous and non-homogeneous…
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Taxonomy
TopicsAdvanced Topics in Algebra · Polynomial and algebraic computation · Matrix Theory and Algorithms
Full text
Identités pondérées Peirce-évanescentes
Richard Varro
Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck,
Université de Montpellier, CNRS, Place Eugène Bataillon - 35095
Montpellier, France.
Abstract : Peirce-evanescent baric identities
are polynomial identities verified by baric algebras such that
their Peirce polynomials are the null polynomial. In this paper
procedures for constructing such homogeneous and non homogeneous
identities are given. For this we define an algebraic system
structure on the free commutative nonassociative algebra generated
by a set T which provides for classes of baric algebras
satisfying a given set of identities similar properties to those
of the varieties of algebras. Rooted binary trees with labeled
leaves are used to explain the Peirce polynomials. It is shown
that the mutation algebras satisfy all Peirce-evanescent identities,
it results from this that any part of the field K can be the
Peirce spectrum of a K-algebra satisfying a Peirce-evanescent
identity. We end by giving methods to obtain generators of homogeneous
and non-homogeneous Peirce-evanescent identities that are applied
in several univariate and multivariate cases.
Key words : Baric algebras, polynomial identities,
algebraic systems, variety of algebraic systems, T-ideal,
labeled rooted binary trees, altitude of a polynomial, Peirce
polynomial, mutation algebras.
2010 MSC : Primary : 17D92, Secondary
: 17A30.
1. Introduction
Les algèbres non associatives sont des algèbres non nécessairement
associatives dans lesquelles l’identité d’associativé (xy)z−x(yz)=0
est remplacée par une ou plusieurs identités polynomiales111« Without associativity, rings and algebras are not in general
well enough behaved to have much of a structure theory. For this
reason, the nonassociative algebraists normally studies the class
of rings which satisfy some particular identity or set of identities. »
M. Osborn [13].. Ces identités polynomiales sont à une ou plusieurs indéterminées,
à coefficients constants ou variables. Dans les cas où ces algèbres
admettent un idempotent, un outil fondamental pour leur étude
est la décomposition de Peirce obtenue à partir du polynôme de
Peirce qui est un polynôme annulateur de l’opérateur de multiplication
à gauche Le:x↦ex, où e=0 est un idempotent.
Cependant il existe des algèbres définies par des identités polynomiales
pour lesquelles le polynôme de Peirce est nul. Illustrons cette
situation par un exemple, soit A une K-algèbre commutative
sur un corps K de caractéristique =2 vérifiant l’identité
[TABLE]
où ω:A→K est un morphisme d’algèbre non nul.
On suppose qu’il existe dans A un élément idempotent e=0,
de e2=e on déduit que ω(e)2=ω(e)
d’où ω(x)∈{0,1}, on a ω(e)=0
sinon en posant x=e dans l’identité 1.1 on
aurait e=0. La première linéarisation de l’identité 1.1
est:
[TABLE]
pour y∈kerω cette relation devient
[TABLE]
en spécialisant cette identité pour x=e on obtient
[TABLE]
Par conséquent, si α=2 le polynôme de Peirce est P(X)=2X2−X,
le spectre de Le est {0,21}
et on a A=Ke⊕A(0)⊕A(21)
où A(λ)=ker(Le−λid).
La seconde linéarisation de l’identité 1.1 aboutit
à 4(ey)(ez)+(2−α)e(yz)−α((ey)z+y(ez))−(1−α)yz=0
avec y,z∈kerω ce qui permet d’établir que A(21)2⊂A(0),
A(0)A(21)⊂A(21)
et A(0)2={0} si α=0,1
ou A(0)2⊂A(21) si
α=0 et A(0)2⊂A(0)
si α=1.
Les algèbres vérifiant l’identité 1.2 sont dites
de rétrocroisement (backcrossing algebras) à cause de leur interprétation
génétique (cf. [10]), elles sont apparues pour la première
fois dans [9] et par la suite dans plusieurs autres
articles (voir les références dans [11]). La linéarisation
et la spécialisation pour x=e de 1.2 aboutit
à un polynôme de Peirce nul et de ce fait ne fournit aucune information
sur le spectre de Le.
Dans [14], V. Tkachev a appelé dégénérées ces identités
dont le polynôme de Peirce est nul, dans ce travail on préfère
les nommer évanescentes222Evanescent vient du participe présent evanescens du verbe
latin evanescere qui signifie “disparaître”. En effet
on observe que les termes du polynôme de Peirce disparaissent
au fur et à mesure du calcul.
Ce papier est organisé comme suit. A la section 2 on munit le
groupoide commutatif M(T)
engendré par un ensemble au plus dénombrable T d’une
structure de système algébrique, alors l’algèbre libre commutative
non associative engendrée par T qui en découle permet
d’obtenir pour les classes d’algèbres pondérées satisfaisant
un ensemble donné d’identités des propriétés analogues à celles
des variétés d’algèbres. A la section 3 on définit les linéarisées
des identités définies à partir des éléments de l’algèbre libre
obtenue à la section 2 et les polynômes de Peirce de ces identités,
on montre comment calculer les polynômes de Peirce à l’aide des
arbres binaires enracinés à feuilles étiquetées. On définit les
notions de polynômes et d’identités évanescents, on montre que
les algèbres de mutation vérifient toutes les identités évanescentes
et on en tire des conséquences sur le spectre de Peirce. On termine
à la section 4 en exposant des méthodes pour obtenir les générateurs
des polynômes évanescents homogènes et non homogènes, on applique
ces méthodes à plusieurs cas, on obtient ainsi un peu plus de
250 identités évanescentes.
2. Variétés pour les algèbres pondérées.
Dans tout ce travail, K est un corps commutatif de caractéristique
=2 et les K-algèbres sont supposées commutatives.
Soit T={tn;n≥1} un ensemble
dénombrable de symboles, on note M(T)
le groupoïde commutatif engendré par T
muni de l’opération binaire, notée ⋅, et vérifiant pour
tout ti,tj∈T et u,v∈M(T):
[TABLE]
Les éléments de M(T) sont
appelés des mots (ou monômes) non associatifs.
Pour w∈M(T), le degré de
w en ti∈T, noté ∣w∣ti
ou ∣w∣i, est le nombre d’occurrence de ti
dans le monôme w, le degré de w noté ∣w∣
est la longueur du monôme w autrement dit ∣w∣=∑i≥1∣w∣i
et le type de w est [∣w∣1,…,∣w∣n,…].
Soient M(T)d l’ensemble
des monômes de degré d et M(T)[n1,…,nm,…]
l’ensemble des monômes de type [n1,…,nm,…],
on a:
[TABLE]
et
[TABLE]
On a aussi le résultat suivant qui sera utilisé par la suite.
Proposition 1**.**
[Proposition 2 in **[16]]
Every nonassociative word w with ∣w∣≥2 has
a unique representation in the form of a product of two nonassociative
words of lesser length.
Pour ce qui suit on munit le groupoide commutatif (M(T),⋅)
d’une structure de système algébrique ([2], chap
en définissant sur M(T)
une loi de multiplication non commutative notée ⋆ (cette
loi est utilisée dans [1] pour définir les algèbres
pondérées généralisées) et vérifiant pour tout u,v,u′,v′,w∈M(T),
les relations:
[TABLE]
On notera (M(T),⋅,⋆)
ce système algébrique et pour allèger les notations on écrira
M(T) pour (M(T),⋅)
quand il n’y a pas de risque de confusion. Pour tout u,v∈(M(T),⋅,⋆)
et tout i≥1 on définit récursivement les degrés des éléments
de (M(T),⋅,⋆)
par ∣u⋅v∣i=∣u⋆v∣i=∣u∣i+∣v∣i.
On a l’analogue de la proposition 1 pour
les éléments de (M(T),⋅,⋆).
Proposition 2**.**
Tout élément w de (M(T),⋅,⋆)
se décompose de manière unique sous la forme w=w1w2
ou w=w1⋆w2 avec w1,w2∈(M(T),⋅,⋆)
tels que ∣w1∣,∣w2∣<∣w∣.
Démonstration.
C’est une conséquence de la proposition 1.
En effet, on peut considérer que tout élément de (M(T),⋅,⋆)
s’obtient à partir d’un élément de M(T)
en remplaçant dans celui-ci certaines opérations ⋅ par
des opérations ⋆.
∎
Proposition 3**.**
On a (M(T),⋅,⋆)=M(T)∪(M(T)⋆M(T)).
Démonstration.
Montrons que pour tout w∈(M(T),⋅,⋆)
tel que w∈/M(T) avec ∣w∣≥2,
il existe u,v∈M(T) tels
que w=u⋆v. Par récurrence sur ∣w∣. Si ∣w∣=2,
il existe ti,tj∈T tels que w=ti⋆tj.
Si ∣w∣≥3, on suppose la propriété vraie pour
tout monôme de longueur <∣w∣. Soit w∈(M(T),⋅,⋆)∖M(T)
de degré n, d’après la proposition 2,
w se décompose de façon unique sous la forme w=w1w2
ou w=w1⋆w2 avec w1 ou w2 dans (M(T),⋅,⋆).
Dans le cas w=w1w2 on a trois situations possibles:
a) w1∈M(T) et w2∈(M(T),⋅,⋆)∖M(T),
par hypothèse il existe u2,v2∈M(T)
avec w2=u2⋆v2, alors d’après la relation (2.4)
on a w=w1(u2⋆v2)=u2⋆(w1v2)
où w1v2∈M(T);
b) w1∈(M(T),⋅,⋆)∖M(T)
et w2∈M(T), avec w1w2=w2w1
on est ramené au cas a);
c) w1,w2∈(M(T),⋅,⋆)∖M(T),
par hypothèse il existe u1,u2,v1,v2∈M(T)
tels que w1=u1⋆v1 et w2=u2⋆v2,
alors avec la relation (2.5) on obtient w=(u1⋆v1)(u2⋆v2)=(u1u2)⋆(v1v2)
où u1u2,v1v2∈M(T).
Dans le cas w=w1⋆w2 on a quatre situations possibles:
a) w1,w2∈M(T), le
résultat est immédiat;
b) w1∈M(T) et w2∈(M(T),⋅,⋆)∖M(T),
on a w2=u2⋆v2 avec u2,v2∈M(T),
en utilisant les relations (2.3) on trouve w=w1⋆w2=w1⋆(u2⋆v2)=(w1u2)⋆v2;
c) w1∈(M(T),⋅,⋆)∖M(T)
et w2∈M(T), on a w1=u1⋆v1
où u1,v1∈M(T) alors
il résulte aussitôt de (2.3) que w=(u1⋆v1)⋆w2=(u1v1)⋆w2;
d) w1,w2∈(M(T),⋅,⋆)∖M(T),
on a par hypothèse w1=u1⋆v1 et w2=u2⋆v2
avec u1,u2,v1,v2∈M(T)
, alors en appliquant successivement les relations (2.6)
et (2.4) on a w=(u1⋆v1)⋆(u2⋆v2)=(u1v1)⋆(u2⋆v2)=((u1v1)⋆u2)⋆v2=((u1v1)u2)⋆v2.
∎
Soit K(T) la K-algèbre libre
commutative et non associative engendrée par M(T)
(voir [16]). Les éléments de K⟨T⟩
sont les polynômes non associatifs, ils sont de la forme f=∑k≥1αkwk
avec wk∈M(T), αk∈K,
alors le degré de f, noté ∣f∣, est ∣f∣=max{∣wk∣;αk=0}
et pour tout ti∈T, le degré de f en ti
est défini par ∣f∣i=max{∣wk∣i;αk=0}.
On dit que f est homogène si pour tout ti∈T
et tout k≥1 on a ∣wk∣i=∣f∣i
autrement dit, si tous les monômes qui composent f sont de
même type.
On note (K(T),⋅,⋆)
(resp. K(T)⋆) l’algèbre libre
engendrée par (M(T),⋅,⋆)
(resp. (M(T),⋅)⋆(M(T),⋅)).
Il résulte de la proposition précédente que l’on a:
[TABLE]
et donc les éléments de (K(T),⋅,⋆)
sont de la forme:
[TABLE]
Nous allons appliquer le système algèbrique (K(T),⋅,⋆)
aux identités vérifiées par les algèbres pondérées.
Une K-algèbre A est pondérée s’il existe un morphisme d’algèbres
non nul ω:A→K appelé une pondération de A,
on note ceci (A,ω), l’image ω(x)
d’un élément x de A est appelé le poids de x, on note
H(A,ω) ou plus simplement Hω,
l’hyperplan affine {x∈A:ω(x)=1}
(cf. [3], [15]). Pour les algèbres pondérées
on a l’analogue de l’opération de substitution des symboles de
T par des éléments de l’algèbre ([12],
prop. 1.1).
Proposition 4**.**
Soient (A,ω) une K-algèbre pondérée et
ϱ:T→A une application. Il existe
un unique homomorphisme d’algèbres ϱ de (K(T),⋅,⋆)
dans (A,ω) tel que
[TABLE]
Démonstration.
D’après les hypothèses l’application ϱ est
définie pour tous les monômes de degré 2 de (M(T),⋅,⋆).
On suppose qu’elle est définie pour tous les monômes de (M(T),⋅,⋆)
de degré <n, soit w∈(M(T),⋅,⋆)
de degré n, on a w=w1w2 ou w=w1⋆w2
avec w1,w2∈M(T) de
degré <n, par hypothèse ϱ(w1)
et ϱ(w2) sont définies et on
pose ϱ(w)=ϱ(w1)ϱ(w2)
si w=w1w2 et ϱ(w)=ω(ϱ(w1))ϱ(w2)
si w=w1⋆w2, avec ceci et par unicité de la décomposition
de w, l’application ϱ est bien définie
sur (M(T),⋅,⋆),
elle se prolonge par linéarité sur (K(T),⋅,⋆)
en posant: ϱ(∑k≥1αkwk)=∑k≥1αkϱ(wk).
∎
Définition 5**.**
Étant donné f un élément de (K(T),⋅,⋆)
tel que f=0. On dit qu’une K-algèbre pondérée (A,ω)
vérifie l’identité f si on a:
[TABLE]
pour toute application de substitution ϱ:T→A.
Remarque 6*.*
Plus généralement, le système algébrique (K(T),⋅,⋆)
permet de définir la notion de weighted identity introduite dans
[14]. Soient A une K-algèbre commutative et ϱ:T→A
une application de substitution. Une application ϕ:A→K
est dite polynomiale si pour tout élément a et b de A
l’application t↦ϕ(a+tb) est un polynôme.
Soit {ϕw;w∈M(T)}
une famille d’applications polynomiales donnée, il existe un
unique morphisme d’algèbres ϱ de (K(T),⋅,⋆)
dans A tel que ϱ(u⋅v)=ϱ(u)ϱ(v)
et ϱ(u⋆v)=ϕu(ϱ(u))ϱ(v)
pour tout u,v∈M(T), alors
on dit que l’algèbre A vérifie une weighted identity f∈(K(T),⋅,⋆)
si ϱ(f)=0.
Sous certaine condition, pour montrer qu’une algèbre pondérée
(A,ω) vérifie une identité f il suffit
de montrer que A vérifie f pour les éléments de poids 1.
Proposition 7**.**
Soit f∈(K(T),⋅,⋆).
Si le corps K vérifie cardK∗>max{∣f∣i;i≥1},
alors une K-algèbre pondérée (A,ω) vérifie
l’identité f si et seulement si on a:
[TABLE]
pour toute application de substitution ϱ:T→Hω.
Démonstration.
La condition nécessaire est immédiate. Montrons que la condition
est suffisante. Soit f∈K(T) avec f=∑r≥1αrwr+∑s≥1βsus⋆vs
où αr,βs∈K et wr,us,vs∈M(T)
vérifiant ϱ(f)=0 pour toute application
ϱ:T→Hω.
Pour 1≤i≤n on pose
[TABLE]
Pour tout a1∈A, ω(a1)=0 on
a ω(a1)−1a1∈Hω , soit
(xn)n≥2 où xn∈Hω, en
prenant ϱ(t1)=ω(a1)−1a1
et ϱ(ti)=xi pour i≥2, la condition
ϱ(f)=0 s’écrit:
[TABLE]
Posons f1=∑r∈R1αrwr+∑s∈S1βsvs,
on a ∣f1∣1=∣f∣1 et (2.8)
s’écrit:
[TABLE]
autrement dit, on a obtenu ϱ(f1+∑r∈/R1αrwr+∑s∈/S1βsus⋆vs)=0
ou ϱ(f)=0 pour ϱ(t1)=a1
et ϱ(ti)=xi, (2≤i).
Ensuite pour tout (xn)n≥1 où xn∈Hω,
tout z∈kerω et λ∈K, comme x1+λz∈Hω
en prenant ϱ(t1)=x1+λz et ϱ(ti)=xi
pour i≥2, d’après (2.9) l’identité ϱ(f)=0
s’écrit:
[TABLE]
où g1,k∈K(T) avec ∣g1,k∣1=k.
Par hypothèse on a cardK>∣f∣1, alors
en remplaçant λ par des éléments λ0,…,λ∣f∣1
de K deux à deux distincts on obtient un système linéaire
homogène de ∣f∣1+1 équations d’inconnues f1,g1,0,…,g1,∣f∣1−1
dont le déterminant est non nul, il en résulte que f1(z,x2,…)=0
ce qui d’après (2.8) ou (2.9)
équivaut à ϱ(f)=0 pour ϱ(t1)=z
et ϱ(ti)=xi (2≤i). On a donc
établit que ϱ(f)=0 pour ϱ(t1)=a1
et ϱ(ti)=xi (2≤i) quel que soit
a1∈A et x2,…,xn∈Hω.
En prenant ϱ(t1)=a1, ϱ(t2)=ω(a2)−1a2
et ϱ(ti)=xi (3≤i) où a1∈A,
a2∈A, ω(a2)=0, xn∈Hω
pour n≥3, la condition ϱ(f)=0
conduit à
[TABLE]
où on a posé x=(a1,a2,x3,…,xn,…).
Ensuite avec ϱ(t1)=a1, ϱ(t2)=x2+λjz
(0≤j≤∣f∣2) et ϱ(ti)=xi
où a1∈A, xi∈Hω (i≥3), z∈kerω
et λ0,…,λ∣f∣2∈K deux
à deux différents, on obtient
[TABLE]
De (2.10) et (2.11) on déduit
que ϱ(f)=0 pour ϱ(t1)=a1,
ϱ(t2)=a2 et ϱ(ti)=xi
(3≤i), pour tout a1,a2∈A, xi∈Hω.
En poursuivant ainsi on obtient par récurrence (2.7).
∎
L’introduction de la multiplication ⋆ dans M(T)
permet d’obtenir pour les identités vérifiées par les algèbres
pondérées un résultat connu pour les variétés d’algèbres (cf.
[16] Theorem 3).
Proposition 8**.**
Soit f∈(K(T),⋅,⋆)
une identité vérifiée par une K-algèbre pondérée (A,ω).
Si le corps K vérifie cardK∗>max{∣f∣i;i≥1}
alors chaque composante homogène de f est une identité vérifiée
par A.
Démonstration.
Soit f∈(K(T),⋅,⋆)
une identité vérifiée par (A,ω). Pour tout
d≥0 on note f1,d la somme des monômes de degré d
en t1 de f, on a donc f=∑d=0∣f∣1f1,d.
A toute application ϱ:T→Hω
on associe ϱ1:T→A telle que
ϱ1(tj)=ϱ(tj) si
j=1 et ϱ1(t1)=λϱ(t1)
où λ∈K, λ=0. Alors de ϱ1(f)=0
il résulte ∑d=0∣f∣1λdϱ(f1,d)=0
pour tout λ∈K, en particulier en prenant pour λ
des valeurs non nulles λ0,…λ∣f∣1
deux à deux distinctes on obtient un système de ∣f∣1+1
équations linéaires d’inconnues ϱ(f1,d)
dont le déterminant de Vandermonde n’est pas nul, par conséquent
on a ϱ(f1,d)=0 pour tout d≥0,
autrement dit les polynômes f1,0,…,f1,∣f∣1
sont des identités vérifiées par A.
En appliquant la même procédure pour l’indéterminée t2
aux polynômes f1,0,…,f1,∣f∣1 on obtient
des polynômes homogènes en t1 et t2 qui sont des
identités de A. Et en poursuivant ainsi pour toutes les variables
t3,…,tn,… on établit le résultat.
∎
Remarque 9*.*
Compte tenu de l’importance des résultats
obtenus dans les propositions 7 et 8,
on supposera désormais que le corps K vérifie la condition
énoncée dans ces propositions.
Soit (K(T),⋅,⋆)[n1,…,nm,…]
le sous espace des polynômes homogènes de type [n1,…,nm,…],
il résulte de la proposition 8 que
[TABLE]
De la proposition 8 on déduit immédiatement
la forme des identités vérifiées par les algèbres pondérées.
Corollaire 10**.**
Les identités vérifiées par une algèbre pondérée (A,ω)
sont de la forme:
[TABLE]
où αk∈K, αk=0 et wk∈M(T)
pour tout 1≤k≤m.
Démonstration.
Soit f∈(K(T),⋅,⋆)
une identité de (A,ω). L’ensemble I={i;∣f∣i=0}
est fini, en effet pour i>∣f∣ on a ∣f∣i=0.
Soit n le cardinal de l’ensemble I, on reindexe les éléments
de T pour que I={1,…,n}.
Ensuite il suffit de remarquer que pour chaque monôme de f
du type u⋆v avec u,v∈M(T)
tels que ∣u⋆v∣i=∣f∣i, si
ϱ(tk)=ak (1≤k≤n) on a ϱ(u⋆v)=ω(ϱ(u))ϱ(v)
avec ω(ϱ(u))=ω(a1)∣u∣1⋯ω(an)∣u∣n,
or on a ∣u⋆v∣i=∣u∣i+∣v∣i
d’où ∣u∣i=∣f∣i−∣v∣i.
∎
Le point de vue des identités considérées dans le système algébrique
(K(T),⋅,⋆) permet
d’obtenir pour la classe des algèbres pondérées des résultats
analogues à ceux des variétés d’algèbres, ce que ne permet pas
de faire le point de vue restreint à la seule algèbre K(T),
par exemple la proposition 8 n’est pas vraie
dans K(T). Néanmoins, l’utilisation de
l’algèbre K(T) est très utile pour écrire
de manière plus commode et manipuler les identités. En effet,
dans (K(T),⋅,⋆) l’écriture
d’une identité vérifiée par une algèbre (A,ω)
n’est pas unique, par exemple, les polynômes (t1t2)(t1t2)−(t1t2)t1⋆t2
et (t1t2)(t1t2)−(t1t1)t2⋆t2
correspondent dans une algèbre (A,ω) à l’identité
(xy)2−ω(x)2ω(y)y=0,
(x,y∈A), dont l’écriture dans K(T)
est (t1t2)(t1t2)−t2.
Définition 11**.**
Soit f∈K(T), f=∑k≥1αkwk,
on appelle homogénéisation de f, un polynôme f⋆∈(K(T),⋅,⋆)
défini par:
[TABLE]
où pour tout k,i≥1 on a wk∈M(T)
avec ∣wk∣i=∣f∣i−∣wk∣i
.
Proposition 12**.**
Soient (A,ω) une K-algèbre
et f∈K(T), les énoncés suivants sont
équivalents
i) A vérifie toutes les homogénéisations f⋆ de f,
ii) A vérifie une homogénéisation f⋆ de f,
iii) on a ϱ(f)=0 pour toute application
ϱ:T→Hω.
Démonstration.
L’implication i)⇒ii) est immédiate.
Pour la suite on remarque que pour toute application ϱ:T→Hω
et tout w∈M(T) on a ϱ(w)=1,
on en déduit que ϱ(f⋆)=ϱ(f)
pour tout f∈K(T) et tout ϱ:T→Hω.
ii)⇒iii) Par conséquent si f⋆ est une
identité de A, on a ϱ(f⋆)=0
et donc ϱ(f)=ϱ(f⋆)=0
quel que soit ϱ:T→Hω. .
iii)⇒i) Réciproquement si on a ϱ(f)=0
pour toute application ϱ:T→Hω
alors pour toute homogénéisation f⋆ de f on a ϱ(f⋆)=ϱ(f)=0
ce qui entraîne d’après la proposition 7
que l’algèbre A vérifie l’identité f⋆.
∎
Ce résultat conduit naturellement à poser la définition suivante.
Définition 13**.**
Soient (A,ω) une K-algèbre
et f∈K(T), on dit que f est une
identité vérifiée par A si l’algèbre A vérifie toute homogénéisation
de f.
Les algèbres pondérées ne vérifient pas nécessairement une identité,
cependant dans certains cas l’existence d’une identité est assurée.
Proposition 14**.**
Si (A,ω) est de dimension finie alors l’algèbre
A vérifie une identité.
Démonstration.
Soit d+1 la dimension de (A,ω). Le résultat
est vrai pour d=0 car dans ce cas A≃Ke avec e2=e
et ω(e)=1. Supposons d≥1, soit (e1,…,ed)
une base de kerω. Pour z∈kerω soit Lz:x↦zx,
l’application Lz est un endomorphisme de kerω
et l’ensemble L={Lz;z∈kerω} est
sous-espace de End(kerω) engendré
par {Le1,…,Led} donc ([16],
lemma 5, p. 103) vérifie l’identité
[TABLE]
De P(Lz1,…,Lzd)y=0 pour tout z1,…,zd∈kerω
et y∈A on déduit que pour tout a1,…,ad∈Hω
on a P(La12−a1,…,Lad2−ad)y=0
quel que soit y∈A, autrement dit A vérifie l’identité:
[TABLE]
d’où le résultat.
∎
L’exemple qui suit montre qu’en général ce résultat n’est pas
vérifié en dimension infinie.
Exemple 15**.**
Soient T={tn;n≥1} et M(T)n
l’ensemble des monômes de degré n. On a M(T)=⋃n≥1M(T)n
et M(T)n⊂⋃p+q=nM(T)p×M(T)q
donc l’ensemble M(T) est dénombrable.
Soit φ:M(T)→N
une énumération bijective. On considère l’algèbre A de base
(eφ(w))w∈M(T)
définie par eφ(u)eφ(v)=eφ(v)eφ(u)=eφ(uv)
où u,v∈M(T). L’algèbre A
est commutative, non associative car (eφ(t1)eφ(t2))eφ(t3)=eφ((t1t2)t3)
et eφ(t1)(eφ(t2)eφ(t3))=eφ(t1(t2t3))
avec (t1t2)t3=t1(t2t3),
elle est pondérée par ω(eφ(w))=1.
Supposons que A vérifie une identité f∈K(T)
avec f=∑k≥1αkwk alors pour ϱ:T→A
telle que ϱ(ti)=eφ(ti)
on a ϱ(f)=∑k≥1αkeφ(wk)
donc ϱ(f)=0, contradiction.
Ainsi l’algèbre (A,ω) ne vérifie aucune identité.
Soit (A,ω) une K-algèbre pondérée, on note
Id(A) (resp. (Id(A),⋅,⋆))
l’ensemble des éléments de K(T) (resp.
(K(T),⋅,⋆)) qui sont
des identités vérifiées par A. D’après la proposition 12
l’ensemble Id(A) est non vide si et seulement si
il en est de même de l’ensemble (Id(A),⋅,⋆).
Il est clair que Id(A) (resp. (Id(A),⋅,⋆))
est une K-algèbre et un idéal bilatère de K(T)
(resp. (K(T),⋅,⋆)).
On a vu à la proposition 8 que les éléments
de (Id(A),⋅,⋆) sont homogènes.
En revanche d’après la définition 13, l’idéal
Id(A) peut contenir à la fois des polynômes homogènes
et non homogènes, mais contrairement à ce qu’on a montré pour
l’idéal (Id(A),⋅,⋆), les composantes
homogènes d’un élément non homogène de Id(A) ne
sont pas toujours des identités de A. Si H(T)
et H(T) dénotent
respectivement l’ensemble des polynômes homogènes et non homogènes,
la partition K(T)=H(T)⊔H(T)
induit la partition de Id(A) en deux sous-ensembles:
Id(A)=H(A)⊔H(A)
où H(A)=Id(A)∩H(T)
et H(A)=Id(A)∩H(T).
Dans ce qui suit on étudie les propriétés de Id(A)
et (Id(A),⋅,⋆).
Proposition 16**.**
Soit (A,ω) une K-algèbre.
a) Pour tout f∈Id(A) et tout f∈(Id(A),⋅,⋆)
on a: f(\mathds1)=0, où \mathds1=(1,…,1,…).
b) Si Id(A)=Ø alors H(A)=Ø.
c) Soit f∈H(A) alors pour
tout i≥1 tel que ∣f∣i=0 il existe g,h∈K(T)
vérifiant les conditions : f=g−h, ∣g∣i=∣f∣i,
∣g∣i>∣h∣i et g(\mathds1)=h(\mathds1).
Démonstration.
a) Soit f∈Id(A), f=∑k≥1αkwk
où αk∈K et wk∈M(T),
de wk(\mathds1)=1 il vient f(\mathds1)=∑k≥1αkwk(\mathds1)=∑k≥1αk.
Mais d’après la proposition 7 on a ∑k≥1αkϱ(wk)=0
pour tout ϱ:T→Hω,
or ω(ϱ(wk))=1
et en appliquant la pondération ω à la relation ϱ(f)=0
on obtient ∑k≥1αk=0.
Soit f∈(Id(A),⋅,⋆), on a f=∑k≥1αkwk+∑l≥1βlul⋆vl
où αk,βl∈K et wk,ul,vl∈M(T),
alors f(\mathds1)=∑k≥1αk+∑l≥1βl.
Pour toute application ϱ:T→Hω
on a ω(ϱ(wk))=1
et ω(ϱ(ul⋆vl))=ω(ϱ(ul))ω(ϱ(vl))=1,
alors en appliquant la pondération ω à la relation ϱ(f)=0
on obtient ∑k≥1αk+∑l≥1βl=0.
b) Le résultat est immédiat si H(A)=Ø.
Si H(A)=Ø, soit f∈H(A)
et i≥1 tel que ∣f∣i=0, on a f(t1,…,ti2…,tn,…)∈Id(A)
avec f(t1,…,ti2…,tn,…)1>∣f(t1,…,ti…,tn,…)∣,
donc f(t1,…,ti2…,tn,…)−f(t1,…,ti…,tn,…)∈H(A).
c) Étant donné f∈H(A),
f=∑k≥1αkwk où αk∈K, wk∈M(T).
Soit i≥1 tel que ∣f∣i=0 on pose Ii={k;∣wk∣i=∣f∣i}
alors f=∑k∈Iiαkwk+∑k∈/Iiαkwk
donc en prenant g=∑k∈Iiαkwk et h=g−f
on a ∣g∣i=∣f∣i, ∣g∣i>∣h∣i
et de f(\mathds1)=0 il vient g(\mathds1)−h(\mathds1)=0.
∎
Une autre différence entre les les idéaux (Id(A),⋅,⋆)
et Id(A) concerne la propriété de T-idéal.
Un T-idéal de K(T) est un idéal bilatère
de K(T) qui est stable par substitution
des indéterminées ti par tout élément de K(T)
ou, ce qui est équivalent, stable par tout endomorphisme de K(T).
Proposition 17**.**
Soit A une algèbre pondérée telle que Id(A)={0},
alors
a) L’idéal (Id(A),⋅,⋆) est un
T-idéal de (K(T),⋅,⋆).
b) Si cardK>2μ où μ=min({∣f∣i;f∈Id(A),i≥1}∖{0}),
alors l’idéal Id(A) n’est pas un T-idéal de
K(T).
Démonstration.
a) Soit f∈(Id(A),⋅,⋆), à toute
famille (fn)n≥1 d’éléments de (K(T),⋅,⋆)
et (an)n≥1 d’éléments de A on associe
l’application ϱ:T→A, ϱ(ti)=fi(a1,…,an,…)
alors de \widehat{\varrho}$$\left(f\right)=0 on déduit que
f(f1,…,fn,…)∈(Id(A),⋅,⋆).
b) Supposons par l’absurde que Id(A) est un T-idéal.
Soient f\text{\in}\overline{\mathcal{H}}\left(A\right),
f=∑k≥1αkwk et i≥1 tel que ∣f∣i=μ.
On pose I={k;∣wk∣i=∣f∣i},
on a donc ∣wk∣i<∣f∣i si k∈/I
et f=∑k∈Iαkwk+∑k∈/Iαkwk.
De cardK>2μ on déduit qu’il existe α∈K
tel que ∑k∈Iαkα2μ+∑k∈/Iαkα2∣wk∣i=0,
alors en prenant une famille (xn)n≥1 d’éléments
de Hω et ϱ:T→A vérifant
ϱ(tk)=xk si k=i et ϱ(ti)=αxi
on a par hypothèse ϱ(f)=0, or ω∘ϱ(f)=∑k∈Iαkα2μ+∑k∈/Iαkα2∣wk∣i
d’où une contradiction, on a montré que f(t1,…,αti2,…,tn,…)∈/Id(A).
∎
L’idéal Id(A) vérifie une notion affaiblie de T-idéal.
Remarque 18*.*
Notons ΔK(T)
l’ensemble des polynômes h∈K(T) tels
que h(\mathds1)=1. Un idéal I de K(T)
est un T-idéal stochastique (cf. [1], p. 388) si
I est invariant par remplacement des symboles ti par
tout élément h de ΔK(T). Soit
(A,ω) une K-algèbre, comme pour tout (xn)n≥1
tel que xn∈Hω et tout h∈ΔK(T)
on a \omega\bigl{(}h\left(x_{1},\ldots,x_{n},\ldots\right)\bigr{)}=h\left(\mathds{1}\right)=1,
il en résulte que ϱh(t1,…,tn,…)∈Hω
par conséquent si f∈Id(A) d’après la définition
13 et la proposition 12,
pour toute famille (hn)n≥1 d’éléments
de ΔK(T) on a ϱf(h1,…,hn,…)=0
autrement dit f(h1,…,hn,…)∈Id(A)
et Id(A) est un T-idéal stochastique.
3. Polynômes de Peirce - Identités Peirce-évanescentes
Dans toute la suite de ce travail le symbole t est une lettre
n’appartenant pas à l’ensemble T.
Soit f∈(K(T),⋅,⋆),
pour tout i≥1, on a f(t1,…,ti+t,…)∈(K(T∪{t}),⋅,⋆)
et le développement du polynôme f(t1,…,ti+t,…)
peut s’écrire sous la forme
[TABLE]
où pour tout 0≤k≤∣f∣i on a Li,k(f)∈(K(T∪{t}),⋅,⋆)
et ∣Li,k(f)∣t=k.
Le polynôme Li,k(f) est appelé la
linéarisation de f de degré k en ti. En particulier,
on a Li,0(f)=f.
Proposition 19**.**
Soit (A,ω)
une K-algèbre vérifiant une identité f∈(Id(A),⋅,⋆),
alors pour tout i≥1, les linéarisations de f en ti
sont des identités vérifiées par A.
Démonstration.
Soient t∈/T et f∈(Id(A),⋅,⋆).
Pour tout i≥1, tout (ak)k≥1, a
éléments de A et λ∈K∗, on considère les applications
ϱ,ϱλ:T∪{t}→A
telles que ϱ(ti)=ϱλ(ti)=ai,
ϱ(t)=a et ϱλ(t)=λa,
en remarquant que ϱλ(Li,k(f))=λkϱ(Li,k(f)),
de ϱλ(f(t1,…,ti+t,…))=0
on déduit ∑0≤k≤∣f∣iλkϱ(Li,k(f))=0.
Alors compte tenu de l’hypothèse faite sur le corps K (cf.
remarque 9), en donnant à λ des valeurs
non nulles λ0,…λ∣f∣i
deux à deux distinctes, on obtient ainsi un système linéaire
composé de ∣f∣i+1 équations d’inconnues ϱ(Li,k(f))
dont le déterminant n’est pas nul, par conséquent on a ϱ(Li,k(f))=0,
autrement dit les polynômes Li,0(f),…,Li,∣f∣i(f)
sont des identités vérifiées par A.
∎
Pour tout i≥1 et tout h∈(K(T),⋅,⋆),
on introduit les analogues des opérateurs de dérivation ([6],
[8], [16]) Δi,h:(K(T),⋅,⋆)→(K(T),⋅,⋆)
qui sont les applications linéaires définies par:
[TABLE]
Proposition 20**.**
Etant donné f∈(K(T),⋅,⋆),
f=∑k≥1αkwk où wk∈(M(T),⋅,⋆),
la linéarisée de f de degré d en ti est obtenue par
[TABLE]
Démonstration.
Il est clair que Li,d(f)=∑k≥1αkLi,d(wk),
il suffit donc de montrer que Li,d(wk)=Δi,td(wk),
ce que l’on va faire par récurrence sur le degré du monôme wk.
Au degré 1 le résultat découle de la définition de l’application
Δi,t. Supposons le résultat vrai pour tous les monômes
de degré ≤n. Soit w un monôme de degré n+1, d’après
la proposition 2 on a w=u⋅v ou w=u⋆v.
Dans le cas w=u⋅v on a Li,d(w)=∑p+q=dLi,p(u)Li,q(v)
et avec l’hypothèse de récurrence Li,d(w)=∑p+q=dΔi,tp(u)Δi,tq(v),
or de la relation (3.1) on déduit par récurrence
que pour tout entier d≥1 on a Δi,td(u⋅v)=∑p+q=dΔi,hp(u)Δi,hq(v)
par conséquent on a obtenu Li,d(w)=Δi,td(u⋅v)=Δi,td(w).
Pour le cas w=u⋆v on a Li,d(w)=∑p+q=dLi,p(u)⋆Li,q(v)
on en déduit avec l’hypothèse de récurrence que Li,d(w)=∑p+q=dΔi,tp(u)⋆Δi,tq(v),
mais de la relation (3.2) on déduit récursivement
que Δi,td(u⋆v)=∑p+q=dΔi,tp(u)⋆Δi,tq(v)
et donc Li,d(u⋆v)=Δi,td(u⋆v).
∎
Proposition 21**.**
Soient (A,ω) une K-algèbre et f∈(K(T),⋅,⋆)
un polynôme homogène tel que f=∑p≥1αpwp+∑q≥1βquq⋆vq
où αk,βl∈K et wp,uq,vq∈M(T)
avec ∣wp∣i=∣uq⋆vq∣i=∣f∣i
pour tout i≥1. Alors pour t∈/T, pour tout
entier i≥1 et toute application ϱ:T∪{t}→A
on a:
[TABLE]
où pour tout q≥1 on a:
[TABLE]
Démonstration.
D’après la proposition 20 et par linéarité
de l’application ϱ on a:
[TABLE]
Ensuite par définition des applications ϱ
et Δi,t on a pour tout entier q≥1:
[TABLE]
Les applications ω et ϱ étant des
morphismes on a:
[TABLE]
Montrons que pour tout monôme u on a:
[TABLE]
Ce résultat est vrai pour tout monôme u de degré 1, car Δi,t(tj)=t
si j=i et [math] sinon, donc ω(ϱΔi,t(tj))=∣tj∣iω(ϱ(t)).
Si on suppose cette propriété vérifiée pour tout monôme de degré
≤n, soit u un monôme de degré n+1, on a u=u1u2
avec ∣u1∣,∣u2∣≤n,
[TABLE]
et le résultat découle de ∣u1∣i+∣u2∣i=∣u∣i.
∎
Un élément e d’une K-algèbre A est un idempotent si
e=0 et e2=e. Si l’algèbre A est pondérée par ω,
de e2=e on déduit que ω(e)(ω(e)−1)=0
donc ω(e)=0 ou 1.
Soit (A,ω) une K-algèbre admettant un idempotent
e tel que ω(e)=1, en prenant dans (3.4)
les applications ϱ(e,y) définies pour
tout y∈kerω par
[TABLE]
on obtient ϱ(e,y)(uq⋆vq)=ϱ(e,y)Δi,t(vq)
et avec ceci (3.3) devient:
[TABLE]
On en déduit
Corollaire 22**.**
Soient (A,ω) une K-algèbre admettant un
idempotent e de poids 1 et f∈K(T).
Pour toute homogénéisation f∗ de f on a:
[TABLE]
Démonstration.
Soit i un entier, on écrit f∈K(T)
sous la forme f=∑p≥1αpwp+∑q≥1βqvq
avec wp,vq∈M(T) tels
que ∣wp∣i=∣f∣i pour tout p≥1
et ∣vq∣i<∣f∣i pour tout q≥1.
Soit f∗=∑p≥1αpwp+∑q≥1βquq⋆vq
une homogénéisation de f, où pour tout q≥1 tel que βq=0
on a uq∈M(T)
tel que ∣uq∣i=∣f∣i−∣vq∣i.
D’après (3.5) on a
[TABLE]
quod erat demonstrandum.
∎
Dans la suite on note K⟨t⟩ la sous-algèbre
de K({t}) engendrée par l’ensemble
{tn;n≥1} où pour tout entier n≥1
on a: tn+1=ttn=tnt avec t1=t. Pour chaque i≥1
on définit l’application linéaire ∂i par
[TABLE]
Pour simplifier les notations on écrira ∂if au lieu
de ∂i(f) pour f∈K(T).
Exemple 23**.**
Soit w=(((t1t2)t2)t32)((t12t3)t1)
on a:
[TABLE]
Une façon plus commode de calculer les polynômes ∂if
utilise la représentation des éléments de M(T)
par des arbres binaires enracinées à feuilles étiquetées.
Un arbre est un graphe T=(T0,T1) non orienté,
connexe, sans cycle, où T0=Ø (resp. T1)
est l’ensemble des sommets (resp. des arêtes).
Un arbre T est dit enraciné si un sommet, noté ρT
et appelé la racine, est distingué.
Deux sommets s1,s2∈T0 sont incidents si s1
et s2 sont les sommets d’une même arête. La valence d’un
sommet s est le nombre de sommets incidents à s. Un arbre
T est binaire si la valence de ρT vaut [math] ou
2 et si la valence de s∈T0, s=ρT vaut
1 ou 3.
Les sommets univalents d’un arbre binaire enraciné T sont
appelés feuilles, on note L(T) l’ensemble des feuilles
de T.
Un arbre binaire enraciné T est dit T-étiqueté
s’il existe une application Λ:L(T)→T,
on note (T,Λ) un tel arbre.
Deux arbres binaires enracinés T1 et T2 sont isomorphes
s’il existe un isomorphisme de graphes φ:T1→T2
tel que φ(ρT1)=ρT2.
L’isomorphisme d’arbres enracinés φ:T1→T2
conserve les feuilles: φ(L(T1))=L(T2).
Deux arbres binaires enracinés T-étiquetés (T1,Λ1)
et (T2,Λ2) sont isomorphes s’il existe
un isomorphisme φ:T1→T2 d’arbres enracinés
tel que Λ2∘φ∣L(T1)=Λ1.
On note TT l’ensemble des
classes d’isomorphisme des arbres binaires enracinés T-étiquetés,
on munit TT de la loi de greffage:
soient T1,T2∈TT, on associe
à (T1,T2) l’arbre T1⋅T2 tel
que le graphe de T1⋅T2 privé de sa racine ρT1⋅T2
et des deux arêtes adjacentes à ρT1⋅T2
a deux composantes connexes T1 et T2. Muni de la
loi de greffage TT est un
magma isomorphe au magma non commutatif Mag(T),
par cet isomorphisme Ψ:Mag(T)→TT,
le degré de w∈Mag(T)
en ti∈T est égal au nombre de feuilles
étiquetées ti de l’arbre Ψ(w).
Muni de ces notions sur les arbres binaires enracinés et étiquetés
on a le résultat suivant qui fournit un moyen pratique et rapide
pour calculer les polynômes ∂iw.
Soit (T,Λ) un arbre binaire enraciné T-étiqueté,
la hauteur d’un sommet s∈T0, notée ℏ(s),
est le nombre minimum d’arêtes joignant s à la racine ρT
(cf. [5]).
Proposition 24**.**
Pour tout w∈M(T)
et tout i≥1, on a:
[TABLE]
où Λw−1(ti) est l’ensemble des feuilles
étiquetées ti dans l’arbre Ψ(w), autrement
dit, Λw−1(ti)={s∈L(Ψ(w));Λ(s)=ti}.
Démonstration.
Montrons le résultat par récurrence sur le degré de w. La
propriété est vraie si w est de degré 1, en effet si w=ti
sur l’arbre Ψ(w) la feuille étiquetée ti
est à la hauteur [math] car elle est confondue avec la racine donc
∂iw=1=t0, si w=tj avec j=i alors
on a Λ−1(ti)=Ø et par convention
la somme est nulle. Supposons la propriété (3.7)
vraie pour tout monôme de degré n, soit w de degré n+1,
on a w=uv avec u,v∈M(T)
de degré au moins 1. D’après (3.6) on a
[TABLE]
où Λu−1(ti) et Λv−1(ti)
dénotent respectivement l’ensemble des feuilles des arbres Ψ(u)
et Ψ(v) étiquetés ti. Or, l’arbre Ψ(w)
étant le résultat du greffage des arbres Ψ(u)
et Ψ(v), il en résulte que l’ensemble des feuilles
de l’arbre Ψ(w) étiquetées ti est la réunion
des ensembles Λu−1(ti) et Λv−1(ti),
et par définition du greffage les hauteurs des feuilles de Λu−1(ti)
et Λv−1(ti) dans l’arbre Ψ(w)
sont augmentées d’une unité par rapport à leurs valeurs dans
les arbres Ψ(u) et Ψ(v), on
déduit de tout ceci que ∑s∈Λu−1(ti)∪Λv−1(ti)tℏ(s)+1=∑s∈Λw−1(ti)tℏ(s).
∎
Exemple 25**.**
Pour illustrer ce résultat, on reprend l’exemple 23
avec le monôme w=(((t1t2)t2)t32)((t12t3)t1).
L’arbre binaire enraciné étiqueté associé à w est donné ci-dessous
(on a figuré seulement les indices des étiquettes).
122113313
Cet arbre a 4 feuilles étiquetées t1 dont trois de hauteur
4 et une de hauteur 2 donc d’après (3.7)
on a ∂1w=3t4+t2. Il a 2 feuilles avec l’étiquette
t2, l’une de hauteur 4, l’autre de hauteur 3 donc ∂2w=t4+t3.
Enfin l’étiquette t3 est portée par trois feuilles toutes
situées à la hauteur 3 par conséquent ∂3w=3t3.
Corollaire 26**.**
Pour tout w∈M(T)
et tout i≥1, concernant ∂iw on a:
a) Les coefficients du polynôme ∂iw sont des entiers
naturels.
b) Le degré du polynôme ∂iw est égal à la hauteur
maximale des feuilles étiquetées ti dans l’arbre Ψ(w),
autrement dit,
[TABLE]
c) ∣∂iw∣≤∣w∣−1.
d) ∂iw(1)=∣w∣i.
e) Si w=uv avec u,v∈M(T)
tels que ∣u∣i,∣v∣i≥1, la valuation
de ∂iw est:
[TABLE]
Démonstration.
a) et b) sont des conséquences immédiates de (3.7).
c) Par récurrence sur le degré de w. Si ∣w∣=1
le résultat est immédiat car on a ∂iw=0,1. Si le
résultat est vrai pour tout monôme de degré ≤n, soit w∈M(T)
de degré n+1, il existe u,v∈M(T)
tels que w=uv, on a ∂iw=t(∂iu+∂iv),
compte tenu de a) on a ∣∂iw∣=max{∣∂iu∣,∣∂iv∣}+1,
on en déduit avec l’hypothèse de récurrence que ∣∂iw∣≤max{∣u∣,∣v∣},
comme u=w et v=w on a ∣u∣<∣w∣
et ∣v∣<∣w∣ donc ∣∂iw∣<∣w∣.
d) D’après (3.7) on a ∂iw(1)=card(Λw−1(ti))
et par l’isomorphisme de magmas Ψ:Mag(T)→TT,
le nombre de feuilles de l’arbre Ψ(w) étiquetées
ti est égal au degré de w en ti.
e) C’est une conséquence immédiate de (3.7)
et de la loi de greffage des arbres binaires enracinés.
∎
Soit e∈A, on note Le l’endomorphisme d’une K-algèbre
A défini par Le:x↦ex.
Proposition 27**.**
Soient (A,ω) une K-algèbre admettant un
idempotent e∈Hω et f∈K(T).
Pour tout entier i≥1 on a
[TABLE]
De plus, si f∈K(T) est une
identité vérifiée par A on a: (∂if)(Le)(y)=0
pour tout y∈kerω.
Démonstration.
Par linéarité des applications ∂if et ϱ(e,y)Δi,t
il suffit de montrer que l’on a ϱ(e,y)Δi,t(w)=(∂iw)(Le)(y)
pour tout w∈M(T).
Montrons cela par récurrence sur le degré de w. Si w est
de degré 1 on a ϱ(e,y)Δi,t(tj)=0,
(∂itj)(Le)(y)=0
si j=i, et ϱ(e,y)Δi,t(ti)=y=(∂iti)(Le)(y).
Supposons le résultat vrai pour tous les monômes de degré ≤n,
soit w∈M(T) de
degré n+1, le monôme ω s’écrit w=uv avec u,v∈M(T)
de degrés ≤n, et d’après (3.1) et
l’hypothèse de récurrence on a
[TABLE]
car ϱ(e,y)(u)=ϱ(e,y)(v)=e.
Enfin on a:
[TABLE]
Si f est une identité vérifiée par A, d’après la proposition
19 on a ϱ(e,y)Δi,t(f)=0
pour tout y∈kerω.
∎
Il résulte de cette proposition que pour tout f∈Id(A),
les polynômes ∂if sont annulateurs de l’opérateur
Le quel que soit l’idempotent e de poids 1 de A.
Définition 28**.**
Soit f∈K(T), pour i≥1,
le polynôme ∂if est appelé le polynôme de Peirce
en ti de f.
Le polynôme f est dit Peirce-évanescent si f=0 et si
tous ses polynômes de Peirce ∂if, (i≥1) sont
nuls.
Le polynôme f est une identité Peirce-évanescente (en abrégé,
une identité évanescente) si f(\mathds1)=0 et
si f est Peirce-évanescent.
Une K-algèbre (A,ω) admettant un idempotent
e∈Hω et vérifiant une identité f∈K(T)
est dite Peirce-évanescente pour f si le polynôme f est
une identité évanescente.
Exemple 29**.**
Soit (A,ω) une algèbre vérifiant l’identité
[TABLE]
Par rapport à un idempotent de A on trouve ∂xf(t)=3t2−(t2+t)−2t2+t
et ∂yf(t)=2t3−2t3−t+t, donc l’algèbre
A est évanescente.
On note Ev(T) le sous-ensemble
de K(T) dont les éléments sont
des polynômes évanescents, alors pour toute K-algèbre (A,ω)
admettant un idempotent e de poids 1, l’ensemble Ev(A)=Ev(T)∩Id(A)
désigne l’ensemble des identités évanescentes relativement à
e vérifiées par A.
Proposition 30**.**
L’ensemble Ev(T) est un idéal
de K(T).
Démonstration.
Il est immédiat que Ev(T) est
un sous-espace de K(T). Montrons
que pour tout f,g∈K(T) et
pour tout i≥1 on a
[TABLE]
Soient f=∑p≥1αpup et g=∑q≥1βqvq
où αp,βq∈K et up,vq∈M(T),
on a
[TABLE]
or on a ∑p≥1αp=f(\mathds1) et
∑q≥1βq=g(\mathds1).
En particulier, si on prend f∈Ev(T)
et g∈K(T) on a ∂if=0
et d’après la proposition 16 on a f(\mathds1)=0
d’où ∂i(fg)=0.
∎
En revanche l’idéal Ev(A) n’est pas un T-idéal
de (K(T),⋅,⋆)
ni un T-idéal stochastique (cf. remarque 18)
comme le montre l’exemple suivant.
Exemple 31**.**
Partant de l’identité évanescente caractérisant les algèbres
de rétrocroisement f(x)=x2x2−2x3+x2,
on considère l’identité g(x)=f(21(x2+x)).
On a g\left(x\right)=\frac{1}{16}\Bigl{[}\left(x^{2}+x\right)^{2}\left(x^{2}+x\right)^{2}-4\left(x^{2}+x\right)^{3}+4\left(x^{2}+x\right)^{2}\Bigr{]}.
De \partial_{x}\bigl{(}\left(x^{2}+x\right)^{2}\bigr{)}=4t\left(2t+1\right)
on déduit:
[TABLE]
finalement on a ∂xg(x)=161(2t−(4t+1)+4)4t(2t+1)=41t(2t+1)(3−2t)=0.
La relation (3.8) donne une méthode simple pour
construire des identités évanescentes.
Proposition 32**.**
Soit (A,ω) une algèbre admettant un idempotent
e∈Hω et vérifiant une identité de la forme fg
où f,g∈K(T). Si on a f(\mathds1)=g(\mathds1)=0
alors l’identité fg est évanescente.
Etant donnée (A,ω) une K-algèbre vérifiant
une identité f, le spectre de Peirce est l’ensemble des racines
des polynômes de Peirce ∂if, relativement à un idempotent
e∈Hω ce sont les valeurs propres de l’opérateur
Le qui interviennent dans la décomposition de Peirce de
la K-algèbre (A,ω) vérifiant l’identité
f. Il est évident que si l’algèbre (A,ω)
vérifie une identité évanescente, en l’abscence de polynômes
de Peirce, le spectre de l’opérateur Le est indéterminé.
Dans ce qui suit on précise cela en montrant que le spectre de
Le peut être n’importe quelle partie de K contenant
1, pour cela on utilise les algèbres de mutation.
Une K-algèbre de mutation (A,M,ω) est définie
par la donnée d’un K-espace vectoriel A, d’une application
linéaire M:A→A, d’une forme linéaire ω:A→K
telle que ω=0, ω∘M=ω et du produit
xy=21(ω(y)M(x)+ω(x)M(y))
où x,y∈A. Il résulte de la définition que ω(xy)=ω(x)ω(y)
donc ω est une pondération.
Exemple 33**.**
Les algèbres de mutation vérifient une multitude d’identités.
La construction de ces identités s’appuie sur la propriété que
pour une algèbre de mutation (A,M,ω) on a
(kerω)2=0, alors en prenant x,y,x′,y′
dans Hω tels que x−y=0 et x′−y′=0 on a
(x−y)(x′−y′)=0. Avec ce procédé on construit
ad libitum des identités vérifiées par toutes les algèbres de
mutation, par exemple (t1−t2)2, (t12−t2)2,
(t12−t1)(t22−t2),
(t1+t2−t3−t4)(t1−t2+t3−t4),
t12t22−(t1t2)2 et cetera …
Les algèbres de mutation vérifient toutes les identités évanescentes.
Proposition 34**.**
Soit (A,M,ω) une algèbre de mutation, quel
que soit f∈Ev(T) l’algèbre
A vérifie l’identité f.
Démonstration.
Soit f∈Ev(T) une identité
évanescente, f=∑k≥1αkwk où αk∈K
et wk∈M(T).
Soit (A,M,ω) une algèbre de mutation, pour
toute famille (xn)n≥1 d’éléments de Hω
on définit l’application ϱ:T→Hω
par ϱ(ti)=xi, (i≥1) et les morphismes
d’algèbres φi:K⟨t⟩→A,
définis par:
[TABLE]
Montrons par récurrence sur le degré que pour tout w∈M(T)
on a:
[TABLE]
Le résultat est immédiat si w est de degré 1. Supposons le
résultat vrai pour les monômes de degré ≤n. Soit w
un monôme de degré n+1, il existe u,v∈M(T)
de degrés ≤n tels que w=uv, alors ϱ(w)=ϱ(uv)=ϱ(u)ϱ(v),
en utilisant la structure d’algèbre de mutation de A on obtient
ϱ(u)ϱ(v)=21M(ϱ(u))+21M(ϱ(v)),
avec l’hypothèse de récurrence ceci devient 21M(ϱ(u))+21M(ϱ(v))=21M(∑i≥1φi(∂iu)+φi(∂iv)),
or on a φi(t∂iu)=21Mφi(∂iu),
par conséquent ϱ(u)ϱ(v)=∑i≥1φi(t(∂iu+∂iv))=∑i≥1φi(∂iuv)
d’où le résultat. On en déduit que
[TABLE]
et comme f est évanescente on a ∂if=0 pour tout
i≥1 par conséquent ϱ(f)=0,
et d’après la proposition 7 on a montré
que l’algèbre (A,M,ω) vérifie l’identité f.
∎
Proposition 35**.**
Pour toute partie P de K contenant {1},
il existe une algèbre de mutation (A,M,ω)
admettant un idempotent e dont le spectre de l’opérateur Le
est P.
Démonstration.
Considérons le K-espace A de base (en)n∈N,
muni de la structure d’algèbre de mutation par M:A→A
telle que M(e0)=e0, M(ei)=2ei+1
pour tout i≥1 et ω:A→K telle que ω(e0)=1,
ω(ei)=0 pour tout i≥1, alors on a
e02=e0 et e0ei=ei+1 par conséquent l’élément
e0 est un idempotent de A et le spectre de Le0
est P={1}.
Soient I un ensemble non vide et P={1}∪{λi;i∈I}
une partie de K. On considère le K-espace vectoriel A
de base {e}∪{ei;i∈I}
muni de la structure d’algèbre de mutation par les applications
M:A→A définie par M(e)=e, M(ei)=2λiei
et ω:A→K telle que ω(e)=1,
ω(ei)=0. Cette algèbre (A,M,ω)
admet e pour élément idempotent et pour tout i∈I on
a eei=21M(ei)=λiei par
conséquent pour cette algèbre, le spectre de Le est P.
∎
4. Identités évanescentes de type [n], [n,1],
[n,2], [n,1,1].
4.1. Méthodes d’obtention des générateurs des polynômes évanescents
homogènes et non homogènes.
On recherche des générateurs des identités évanescentes sous
la forme de polynômes non homogènes définis comme suit.
Définition 36**.**
Un polynôme non homogène f∈K(t1,…,tn)
est appelé une train polynôme de degré (d1,…,dn)
si f=g−∑i=1rhi, avec g,h1,…,hr∈K(t1,…,tn)
vérifiant les conditions suivantes:
a) f(\mathds1)=0,
b) le polynôme g est homogène de type [d1,…,dn],
c) pour tout 1≤i≤r, le polynôme hi est homogène
de type [δi,d2,…,dn],
d) on a 0≤δ1<…<δr<d1.
Remarque 37*.*
Pour n=1, si les polynômes gi et hj sont pris
dans l’ensemble {xk;k≥1}, on retrouve
la définition des train polynômes aux puissances principales
introduits par Etherington [4] et pour gi
et hj dans {x[k];k≥1}
où x[n+1]=x[n]x[n],
x[1]=x on obtient les train polynômes aux puissances
plénières étudiées dans [7].
Dans les cas étudiés dans la suite on utilise la méthode suivante
pour obtenir les générateurs des polynômes évanescents sous la
forme de train polynômes.
Pour un n-uplet (d1,…,dn) donné et
pour w∈M(t1,…,tn) de type
[d1,…,dn], on cherche un polynôme Pw∈K(t1,…,tn)
tel que w−Pw soit un train polynôme de degré (d1,…,dn)
vérifiant ∂i(w−Pw)=0 pour tout 1≤i≤n.
Pour cela on choisit un ensemble F={w1,k,…,wm,k;k≥0}
où
—
pour chaque 1≤j≤m et tout k≥0 on a wj,k∈M(t1,…,tn)
et wj,k est de type [k,d2,…,dn]
ou [k+1,d2,…,dn],
—
pour chaque 1≤i≤n il existe 1≤j≤m tel que
la suite d’entiers \left(\bigl{|}\partial_{i}\left(w_{j,k}\right)\bigr{|}\right)_{k\geq 0}
est strictement croissante et l’ensemble des entiers \left\{\bigl{|}\partial_{i}\left(w_{j,k}\right)\bigr{|};k\geq 0\right\}=\mathbb{N}\text{ ou }\mathbb{N}^{*}.
Alors pour w∈M(t1,…,tn),
w∈/F, on pose Pw=∑j=1m(∑k=0δjαj,kwj,k)
où \delta_{j}=\bigl{|}\partial_{i}w\bigr{|}, pour chaque 1≤i≤n
on a ∂i(w−Pw)∈K⟨t⟩,
par conséquent la recherche du polynôme Pw vérifiant ∂i(w−Pw)=0
(1≤i≤n) est équivalente à la résolution d’un système
d’équations linéaires d’inconnues (αj,k)1≤j≤m0≤k≤δj.
Pour ce qui concerne les générateurs des polynômes évanescents
homogènes de type [d1,…,dn]. On note
N le cardinal de M(t1,…,tn)[d1,…,dn]
et (wk)1≤k≤N les éléments de cet
ensemble. Soit f=∑k=1Nαkwk, on cherche
(αk)1≤k≤N tels que ∂if=0
pour tout 1≤i≤n et ∑k=1Nαk=0,
on a ∂if∈K⟨t⟩ et d’après
le corollaire 26, ∣∂if∣≤∑j=1ndj−1,
par conséquent les conditions ∑k=1Nαk(∂iwk)=0
et ∑k=1Nαk=0 se traduisent par au plus k(∑j=1ndj−1)+1
équations linéaires d’inconnues (αk)1≤k≤N.
4.2. Identités évanescentes train de degré (n) et homogènes
de type [n].
Dans cette section pour simplifier les notations on écrira M(x)
au lieu de M({x}) et K(x)
au lieu de K({x}).
Pour tout n≥1 on note M(x)[n]
le sous-ensemble de M(x) formé par les monômes
de type [n]. Les nombres W[n]=\mboxcardM(x)[n]
sont les nombres de Wedderburn-Etherington, ils vérifient les
relations de récurrence suivantes dépendant de la parité de n.
En partant de W[1]=1, on a :
[TABLE]
Les premières valeurs de W[n] sont:
[TABLE]
4.2.1. Train identités évanescentes de degré (n).
Dans ce qui suit on note Q⟨x⟩
le Q-espace vectoriel engendré par l’ensemble {xn;n≥1}.
Proposition 38**.**
Il n’existe pas de train
identité évanescente de degré (2) et (3).
Pour tout n≥4 et tout w∈M(x)[n]
vérifiant w=xn, il existe un unique polynôme Pw∈Q⟨x⟩
de degré <n tel que le polynôme w−Pw soit une train
identité évanescente.
Démonstration.
Soit f(x)=αx2+βx, on a ∂xf(t)=2αt+β
donc ∂xf=0 si α=β=0. Soit f(x)=αx3+βx2+γx,
on a ∂xf(t)=2αt2+(α+2β)t+γ
et par suite ∂xf=0 seulement si f=0.
Soit w∈M(x)[n] tel que w=xn,
d’après le résultat c) du corollaire 26on
a ∣∂xw∣≤n−1 et pour tout k≥3
on a
[TABLE]
Soit p=∣∂xw∣, on a ∂xw(t)=∑k=0pαktk
et on cherche Pw(x)=∑k=1p+1βkxk
tel que ∂x(w−Pw)=0 et Pw(1)=w(1)=1.
Un simple calcul donne ∂xPw(t)=2βp+1tp+∑k=1p−1(2βk+1+∑i=k+2p+1βi)tk+2β1
et on a ∂xw=∂xPw si et seulement si
(βi)1≤i≤p+1 est solution du système
linéaire:
[TABLE]
qui est équivalent au système linéaire triangulaire: 2β1=α0,
βk−∑i=1k−1βi=αk−1 (2≤k≤p+1)
comme d’après le corollaire 26 on a αk∈N
pour tout 0≤k≤p, la solution (βi)1≤i≤p+1
de ce système vérifie βi∈Q pour tout 1≤i≤p+1.
∎
On en déduit immédiatement le corollaire qui suit.
Corollaire 39**.**
Pour tout n≥4, l’espace vectoriel des train identités évanescentes
de degré (n) est de dimension W[n]−1.
La démonstration de la proposition 38
donne une méthode basée sur la résolution de systèmes linéaires
triangulaires pour obtenir des polynômes évanescents, malheureusement
elle est difficile à appliquer pour les grandes valeurs de n,
heureusement le résultat suivant donne un algorithme plus facile
à mettre en oeuvre.
Théorème 40**.**
Pour tout
entier p,q≥1 on pose:
[TABLE]
Soient E l’idéal engendré par la famille {Ep,q;p,q≥1}
et π:K(x)→K(x)/E
la surjection canonique. Alors pour tout n≥4 et w∈M(x)[n],
w=xn on a π(w)=Pw et pour tout f∈K(x)
de degré ≥4, le polynôme f−π(f) est une
train identité évanescente.
Démonstration.
En utilisant la relation (4.1) on montre par un
simple calcul que les polynômes Ep,q sont évanescents.
Montrons par récurrence sur le degré n≥4 que w−π(w)
est évanescent et que π(w)∈Z⟨x⟩
pour tout w∈M(x)[n], w=xn.
On a π(x2x2)=2x3−x2 et on sait que
le polynôme x2x2−(2x3−x2) est évanescent.
Si le résultat est vrai pour tout u∈M(x)[k],
u=xk où 4≤k≤n, soit w∈M(x)[n+1],
w=xn+1, il existe u∈M(x)[p]
et v∈M(x)[q] tels que w=uv
où 1≤p≤q et p+q=n+1. Si u=xp ou v=xq
on a π(u)=u ou π(v)=v alors on
a ∂x(w−π(w))=∂x(uv−π(u)π(v))=t(∂x(u−π(u))+∂x(v−π(v)))=0.
De plus si π(u),π(v)∈Z⟨x⟩
alors π(w)=π(u)π(v)∈Z⟨x⟩.
Pour tout w∈M(x)[n] on a
π(w)∈Z⟨x⟩
et w−π(w) est évanescent, alors d’après la proposition
4.1, par unicité du polynôme Pw on a π(w)=Pw.
Enfin pour tout f∈K(x), f=∑k≥1αkwk
on a f−π(f)=∑k≥1αk(wk−π(wk))
donc f−π(f)∈E autrement dit, le polynôme
f−π(f) est évanescent.
∎
Remarque 41*.*
Ce théorème permet de préciser une propriété énoncée à la proposition
38: pour tout w∈M(x)[n]
tel que w=xn, le polynôme Pw vérifie Pw∈Z⟨x⟩.
Le théorème 40
donne un moyen très pratique et très rapide pour obtenir des
polynômes évanescents.
Exemple 42**.**
Soit w=((x3x3)x2)((x2x4)x3),
on a:
[TABLE]
on obtient ainsi la train identité évanescente de degré (17):
[TABLE]
En utilisant cette méthode on obtient les train identités évanescentes:
4.2.2. Identités homogènes évanescentes de type [n].
Proposition 43**.**
Il n’existe pas d’identité homogène évanescente de type [n]
pour n≤5. Pour n≥6, l’espace des identités homogènes
évanescentes de degré n est engendré par au moins W[n]−n+2
polynômes homogènes évanescents.
Démonstration.
Le résultat est immédiat pour les types [2] et
[3] où il n’y a pas de polynômes évanescents, pour
le type [4] il n’y a qu’un unique polynôme évanescent
qui n’est pas homogène. Soit n≥5, pour simplifier les notations
on pose N=W[n], on note w1,…,wN
les éléments de M(x)[n]. Dire
qu’il existe un polynôme homogène évanescent de type [n]
est équivalent à dire qu’il existe α1,…,αN
dans K non tous nuls tels que ∑k=1Nαkwk=0,
∑k=1Nαk=0 et ∑k=1Nαk∂x(wk)=0.
Or du résultat c) du corollaire 26 on a ∣∂xw∣≤n−1
pour tout w∈M[n](x), donc
pour tout 1≤k≤N on a ∂x(wk)=∑i=1n−1λk,iti
avec λk,i=0 pour i>∣∂xwk∣
et ∑k=1Nαk∂x(wk)=∑i=1n−1(∑k=1Nλk,iαk)ti
soit à résoudre le système linéaire S:∑k=1Nλk,iαk=0,(1≤i≤n−1),
à n−1 équations d’inconnues α1,…,αN.
En tenant compte de ∑k=1Nαk=0, le système
(S) est de rang ≤n−2 et ses solutions forment
un espace vectoriel de dimension ≥N−(n−2).
Si n=5, on a ∂x(x5)=2t4+t3+t2+t,
∂x((x2x2)x)=4t3+t,
∂x(x3x2)=2t3+3t2, le système
(S) est de rang 3 et il a (0,0,0)
pour unique solution.
∎
En utilisant la méthode utilisée dans la démonstration on obtient
les générateurs des identités homogènes évanescentes:
[TABLE]
4.3. Identités évanescentes train de degré (n,1) et
homogènes de type [n,1].
Soit W[n,1] le cardinal de l’ensemble M(x,y)[n,1]
des monômes de type [n,1], du fait que l’on peut
écrire tout w∈M(x,y)[n,1]
sous la forme w=w1w2 avec w1∈M(x,y)[n−i]
et w2∈M(x,y)[i,1] où
0≤i≤n−1 on déduit immédiatement que
[TABLE]
Et les premières valeurs de W[n,1] sont:
[TABLE]
4.3.1. Train identités évanescentes de degré (n,1).
Pour tout entier r≥1, on définit x{r}y=x(x{r−1}y)
où x{0}y=y, on pose F={xn+1y,x{n}y;n≥0}
et Q⟨F⟩ dénote
le Q-espace vectoriel engendré par l’ensemble F.
Lemme 44**.**
Pour tout entier p≥2
et r≥0 on a:
[TABLE]
Démonstration.
On a ∂x(xpy)=t(∂x(xp)+∂x(y))=t∂x(xp)
d’où le résultat en utilisant la relation (4.1),
on a aussi ∂y(xpy)=t(∂y(xp)+∂y(y))=t.
Pour r≥1 on a \partial_{x}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y\bigr{)}=t\left(1+\partial_{x}\bigl{(}x^{\left\{r-1\right\}}y\bigr{)}\right)
et \partial_{y}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y\bigr{)}=t\partial_{y}\bigl{(}x^{\left\{r-1\right\}}y\bigr{)},
on en déduit les résultats par récursivité.
∎
Proposition 45**.**
Il n’existe pas de train identité évanescente de degré (2,1).
Pour tout n≥3 et tout w∈M(x,y)[n,1]
vérifiant w=xny et w=x{n}y,
il existe un unique polynôme Pw∈Q⟨F⟩
avec ∣Pw∣x<n tel que le polynôme w−Pw
soit une train identité évanescente.
Démonstration.
On a ∂x(x2y)=2t2, ∂y(x2y)=t,
∂x(x(xy))=t2+t et ∂y(x(xy))=t2,
or ∂x(xy)=∂y(xy)=t,
∂x(y)=0 et ∂y(y)=1,
avec ceci on montre sans difficulté qu’on ne peut pas trouver
(α,β,γ,δ)=(0,0,0,0)
tel que le polynôme f=αx2y+βx(xy)+γxy+δy
vérifie ∂xf=∂yf=0.
Etant donné w∈M(x,y)[n,1]
tel que w=xny et w=x{n}y avec
n≥3. Soient p=∣∂xw∣ et q=∣∂yw∣,
du résultat c) du corollaire 26 il vient p,q≤n.
Du résultat d) du corollaire 26 on
déduit que ∂xw(0)=∂yw(0)=0
et donc les valuations de ∂xw et ∂yw
sont supérieures à 1, posons ∂xw=∑k=1nαktk
et ∂yw=∑k=1nβktk avec αk=0
si k>p et βk=0 dés que k>q. On cherche Pw=∑k=1nλkxky+∑k=1nμkx{k}y
vérifiant ∂xPw=∂xw, ∂yPw=∂yw
et Pw(1,1)=1. En utilisant le lemme 44
on obtient
[TABLE]
De l’équation ∂yPw=∂yw il résulte μi=βi
pour 2≤i≤n et ∑k=1nλk+μ1=β1.
De l’équation ∂xPw=∂xw on déduit 2λn+μn=αn
et 2λi+∑k=i+1nλk+∑k=inμk=αi
pour 1≤i≤n−1, on a donc λn=21(αn−βn)
et pour tout 2≤i≤n−1 on trouve λi=21(αi−βi)+∑k=i+1n2k−i+11(αk+βk),
enfin en écrivant α1=2λ1+∑k=2nλk+∑k=1nμk
sous la forme α1=λ1+(∑k=1nλk+μ1)+∑k=2nβk,
on obtient λ1=α1−∑k=1nβk=α1−1,
tout ceci permet de déterminer μ1=β1−∑k=1nλk.
Et on peut vérifier que Pw(1,1)=∑i=1nλi+∑i=1nμi=∑i=1nλi+∑i=2nβi+(β1−∑k=1nλk)=∑i=1nβi=∂yw(1)=1
d’après le résultat (d) du corollaire 26.
On a montré que le système d’équations ∂xPw=∂xw,
∂yPw=∂yw, Pw(1,1)=1
admet une unique solution Pw, de plus d’après le corollaire
26 on a αk,βk∈N
et ce qui précède permet d’affirmer que λk,μk∈Q
pour tout 1≤k≤n et donc Pw∈Q⟨F⟩.
∎
Corollaire 46**.**
Pour tout n≥3, l’espace vectoriel des train polynômes évanescents
de degré (n,1) est de dimension W[n,1]−2.
Démonstration.
D’après la proposition précédente l’espace des polynômes évanescents
de type [n,1] est engendré par les polynômes w−Pw
pour tout w∈M(x,y)[n,1]
tels que w∈/F.
∎
Théorème 47**.**
Pour tout
entier p,q≥2 et r≥0 on pose:
[TABLE]
Soient I l’idéal engendré par la famille de polynômes
(Ep,q,Fp,q,Fp,{r},F{r},p)p,q≥2r≥0 et π:K(x)→K(x)/I
la surjection canonique. Alors pour tout n≥3 et tout monôme
w∈M(x,y)[n,1] tel que w∈/F
on a π(w)=Pw et pour tout f∈⨁n≥3K(x,y)[n,1],
le polynôme f−π(f) est une train identité évanescente.
Démonstration.
On a vu pour le théorème 40
que les polynômes Ep,q sont évanescents, montrons qu’il
en est de même pour les polynômes Fp,q, Fp,{r}
et F{r},q.
Pour p,q≥2, on a ∂x(xp(xqy))=t(∂x(xp)+∂x(xqy))=t∂x(xp)+t2∂x(xq)
et ∂y(xp(xqy))=t∂y(xqy),
avec la relation (4.1) et le lemme 44
on obtient:
[TABLE]
Pour p≥2 et r≥0 on a ∂x(xp(x{r}y))=t(∂x(xp)+∂x(x{r}y))
et ∂y(xp(x{r}y))=t∂y(x{r}y),
avec la relation (4.1) et le lemme 44
on en déduit
[TABLE]
Pour tout r≥1 on a ∂x(x{r}(xpy))=t(1+∂x(x{r−1}(xpy)))
par conséquent ∂x(x{r}(xpy))=∑i=1rti+tr∂x(xpy)
et ∂y(x{r}(xpy))=t∂y(x{r−1}(xpy))
il en résulte ∂y(x{r}(xpy))=tr∂y(xpy),
et avec le lemme 44 on a
[TABLE]
Un simple calcul utilisant les relations obtenues ci-dessus et
celles du lemme 44 montre que
les polynômes Fp,q, Fp,{r} et F{r},q
sont évanescents.
Montrons que pour tout w∈M(x,y)[n,1]
tel que w∈/F , le polynôme w−π(w)
est évanescent. C’est immédiat pour tout w∈M(x,y)[3,1]
tel que w=x3y et w=x{3}y d’après
la relation (4.4). Supposons la propriété
vraie pour tous les monômes de M(x,y)[p,1]∖{xpy,x{p}y}
avec 3≤p≤n, soit w∈M(x,y)[n+1,1]
vérifiant w=xn+1y et w=x{n+1}y.
On a deux cas:
– il existe u∈M(x,y)[p]
et v∈M(x,y)[q,1] tels que
w=uv avec u=x, 1≤p,q et p+q=n+1, alors on
a ∂x(w−π(w))=∂x(uv−π(u)π(v))=t(∂x(u−π(u))+∂x(v−π(v)))=0
et de même ∂y(w−π(w))=0;
– il existe u∈M(x,y)[p]
et v∈M(x,y)[q] tels que
w=(uv)y avec uv=xn+1, 1≤p,q et
p+q=n+1, alors ∂x(w−π(w))=∂x(((uv)−π(u)π(v))y),
il en résulte ∂x(w−π(w))=t2(∂x(u−π(u))+∂x(v−π(v)))=0,
de manière analogue on a ∂y(w−π(w))=0.
On montre aisément par récurrence que pour tout w∈M(x,y)[n,1]
tel que w=xny et w=x{n}y on
a ∣π(w)∣x<n et π(w)∈Z⟨F⟩,
alors par unicité du polynôme Pw tel que w−Pw est
évanescent on a π(w)=Pw.
∎
Ce théorème donne un algorithme efficace pour construire les
train identités évanescentes de degré (n,1), illustrons-le
par un exemple.
Exemple 48**.**
Soit w=x5(x(x(x(x4((x2x3)y))))),
dans l’algèbre K(x)/F on trouve
modulo Ep,q: (x2x3)y=x4y+x3y−x2y,
ensuite modulo Fp,q on a: x4((x2x3)y)=x(xy)+x5y+2x4y−x3y−x2y−xy.
Modulo F{r},p on obtient x{3}(x4((x2x3)y))=x{5}y+x8y+2x7y−x6y−x5y−x4y,
enfin modulo Fp,{r} et Fp,q on obtient
finalement π(w)=x{6}y+x9y+2x8y−x7y−x6y−xy,
on peut donc affirmer que le polynôme de type [17,1]:
[TABLE]
est une identité évanescente.
En appliquant cet algorithme on obtient aisément les générateurs
des train identités évanescentes
4.3.2. Identités homogènes évanescentes de type [n,1].
Proposition 49**.**
Il n’existe pas de d’identité homogène évanescente de type [n,1]
avec n≤3. Pour n≥4, l’espace des identités homogènes
évanescentes de type [n,1] est engendré par au
moins W[n,1]−2(n−1) identités homogènes
évanescentes.
Démonstration.
Soient M(x,y)[n,1]={wk;1≤k≤N}
où N=W[n,1] et f=∑i=1Nαiwi,
on cherche (αi)1≤i≤N∈KN
tel que ∂xf=∂yf=0. avec ∂xf=∑i=1Nαi∂xwi
et ∂yf=∑i=1Nαi∂ywi.
Pour tout 1≤i≤N on a ∂xwi,∂ywi∈K[t]
avec ∣∂xwi∣≤n et ∣∂ywi∣≤n
par conséquent les équations ∂xf=0 et ∂yf=0
se traduisent chacun par deux systèmes linéaires de n équations
à N inconnues.
Ainsi le cas n=2, avec f(x,y)=αx2y+βx(xy)
de ∂y(f)=αt+βt2 on déduit
α=β=0, il n’y donc pas de polynôme homogène évanescent
de type [2,2].
Si n=3, en prenant f(x,y)=αx3y+βx2(xy)+γx(x2y)+δx(x(xy)),
on a ∂y(f)=αt+βt2+γt2+δt3
donc de l’équation ∂yf=0 on déduit α=δ=0
et \beta$$+\gamma=0, alors ∂y(βx2(xy)+γx(x2y))=β(3t2)+γ(2t3+t)=0
on déduit β=γ=0, il n’existe pas de polynôme homogène
évanescent de type [3,2].
Supposons n≥4, de f(1,1)=0 on déduit que
∑i=1Nαi=0, par conséquent le système d’équations
∂xf=0 est de rang ≤n−1, il en est de même
du système ∂yf=0, donc le système d’équations ∂xf=∂yf=0
est de rang ≤2(n−1) par conséquent l’espace
des solutions est de dimension ≥W[n,1]−2(n−1).
∎
La méthode utilisée dans la démonstration permet de donner les
générateurs des identités homogènes évanescentes:
[TABLE]
4.4. Identités évanescentes train de degré (n,2) et
homogènes de type [n,2].
Soit W[n,2] le cardinal de l’ensemble M(x,y)[n,2]
des monômes de type [n,2]. Pour w∈M(x,y)[n,2]
il y a deux façons de décomposer w comme produit de deux monômes
w=w1w2. Soit en prenant w1∈M(x,y)[n−i]
et w2∈M(x,y)[i,2] pour
0≤i≤n−1 et dans ce cas on a ∑i=0n−1W[n−i]W[i,2]
écritures possibles. Soit avec w1∈M(x,y)[i,1]
et w2∈M(x,y)[j,1] pour
0≤i≤j≤n tels que i+j=n, on en déduit que 2i≤n
et selon la parité de n on a deux cas. Si n est impair,
n=2p+1 pour tout 0≤i≤p les mots w1 et w2
sont de degrés en x distincts il y donc ∑i=0pW[2p+1−i,1]W[i,1]
décompositions possibles de w en produit de deux monômes.
Si n est pair, n=2p pour tout 0≤i<p les monômes
w1 et w2 ne sont pas de même degré en x on a donc
∑i=0p−1W[2p−i,1]W[i,1]
décompositions de cette forme; pour i=p on a w1 et w2
dans M(x,y)[p,1] d’où (2W[p,1]+1)
décompositions de w.
En résumé on a obtenu:
[TABLE]
Les premières valeurs de W[n,2] sont
[TABLE]
4.4.1. Train identités évanescentes de degré (n,2).
Pour tout f∈K(x,y) et tout entier r≥1,
on définit x{r}f=x(x{r−1}f)
où x{0}f=f.
Lemme 50**.**
Pour tout entier p≥2
et r≥0 on a:
[TABLE]
Démonstration.
Partant de \partial_{x}\bigl{(}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y\bigr{)}y\bigr{)}=t\partial_{x}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y\bigr{)}=t\left(1+\partial_{x}\bigl{(}x^{\left\{r-1\right\}}y\bigr{)}\right)
et \partial_{y}\left(\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y\bigr{)}y\right)=t\left(\partial_{y}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y\bigr{)}+1\right)=t^{2}\partial_{y}\bigl{(}x^{\left\{r-1\right\}}y\bigr{)}+t,
et de \partial_{x}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y^{2}\bigr{)}=t\left(1+\partial_{x}\bigl{(}x^{\left\{r-1\right\}}y^{2}\bigr{)}\right)
et \partial_{y}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y^{2}\bigr{)}=t\partial_{y}\bigl{(}x^{\left\{r-1\right\}}y^{2}\bigr{)}
on obtient récursivement les résultats énoncés.
∎
On note F={(x{r}y)y,x{r}y2;r≥0}
et Q⟨F⟩ le Q-espace
vectoriel engendré par l’ensemble F.
Proposition 51**.**
Il n’existe pas de train identité évanescente de type (1,2).
Pour tout n≥2 et tout w∈M(x,y)[n,2]
où w=(x{n}y)y et w=x{n}y2,
il existe un unique polynôme Pw∈Q⟨F⟩
avec ∣Pw∣x≤n tel que le polynôme w−Pw
soit une train identité évanescente.
Démonstration.
On a vu qu’il n’existe pas de train identité évanescente de degré
(2,1) donc par permutation des variables x et
y il n’en existe pas de degré (1,2).
Soit n≥2. Pour tout w∈M(x,y)[n,2]
on a ∣∂xw∣≤n+1 avec ∂x(x{n−k}((x{k}y)y))=n+1
pour tout 1≤k<n.
Soit w∈M(x,y)[n,2] vérifiant
les conditions de la proposition, on cherche Pw=∑r=1nαr(x{r}y)y+∑s=0nβsx{s}y2
tel que le polynôme f=w−Pw vérifie ∂xf=∂yf=0
et f(1,1)=0. Soit ∂xw=∑i=1n+1λiti
et ∂yw=∑i=1n+1μiti, on a:
[TABLE]
Et la solution du système linéaire ∂xf=∂yf=0
et ∑r=1nαr+∑s=0nβs=1 est:
[TABLE]
Or d’après le résultat a) du corollaire 26
on a λi,μi∈N pour tout 1≤i≤n,
par conséquent on a αi,βi∈Q, ce
qui achève la démonstration.
∎
On en déduit aussitôt que
Corollaire 52**.**
Pour n≥2, l’espace vectoriel des train polynômes évanescents
de degré (n,2) est de dimension W[n,2]−2.
Le résultat qui suit donne une procédure pour construire rapidement
des identités évanescentes à partir d’éléments pris dans M(x,y)[n,2].
Théorème 53**.**
Pour tout
entier p,q≥2 et r≥0 on pose:
[TABLE]
Soient G l’idéal engendré par la famille de polynômes
[TABLE]
et π:K(x)→K(x)/G
la surjection canonique.
Alors pour tout n≥2 et tout monôme w∈M(x,y)[n,2]
tel que w=(x{n}y)y et w=x{n}y2
on a π(w)=Pw et pour tout f∈⨁n≥2K(x,y)[n,2],
le polynôme f−π(f) est une train identité évanescente.
Démonstration.
On a montré aux théorèmes 40
et 47 que les
polynômes Ep,q[n], Ep,q[n,1],
Ep,{r}[n,1], E{r},p[n,1]
et Ep,{r}[n,2] sont évanescents,
montrons que c’est aussi le cas pour les autres polynômes de
l’énoncé.
Pour p≥2 et r≥0 on a \partial_{x}\left(x^{p}\bigl{(}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y\bigr{)}y\bigr{)}\right)=t\left(\partial_{x}\left(x^{p}\right)+\partial_{x}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y\bigr{)}\right)
et \partial_{y}\left(x^{p}\bigl{(}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y\bigr{)}y\bigr{)}\right)=t\partial_{y}\left(\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y\bigr{)}y\right)
et avec les relations (4.2), (4.3)
et (4.7) on obtient:
[TABLE]
Pour tout r,s≥0 on a \partial_{x}\left(x^{\left\{r\right\}}\bigl{(}\bigl{(}x^{\left\{s\right\}}y\bigr{)}y\bigr{)}\right)=t\left(1+\partial_{x}\left(x^{\left\{r-1\right\}}\bigl{(}\bigl{(}x^{\left\{s\right\}}y\bigr{)}y\bigr{)}\right)\right)
on en déduit que \partial_{x}\left(x^{\left\{r\right\}}\bigl{(}\bigl{(}x^{\left\{s\right\}}y\bigr{)}y\bigr{)}\right)=\sum_{i=1}^{r}t^{i}+t^{r}\partial_{x}\left(\bigl{(}x^{\left\{s\right\}}y\bigr{)}y\right)
et \partial_{y}\left(x^{\left\{r\right\}}\bigl{(}\bigl{(}x^{\left\{s\right\}}y\bigr{)}y\bigr{)}\right)=t\partial_{y}\left(x^{\left\{r-1\right\}}\bigl{(}\bigl{(}x^{\left\{s\right\}}y\bigr{)}y\bigr{)}\right)
d’où \partial_{y}\left(x^{\left\{r\right\}}\bigl{(}\bigl{(}x^{\left\{s\right\}}y\bigr{)}y\bigr{)}\right)=t^{r}\partial_{y}\left(\bigl{(}x^{\left\{s\right\}}y\bigr{)}y\right),
en se servant des relations (4.7)
on a:
[TABLE]
Pour p≥2 et r≥0 on a \partial_{x}\left(x^{p}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y^{2}\bigr{)}\right)=t\left(\partial_{x}\left(x^{p}\right)+\partial_{x}\left(x^{\left\{r\right\}}y^{2}\right)\right)
et \partial_{y}\left(x^{p}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y^{2}\bigr{)}\right)=t\partial_{y}\left(x^{\left\{r\right\}}y^{2}\right)
on en déduit avec les relations (4.8):
[TABLE]
Pour tout entier p,q≥2 on a ∂x((xpy)(xqy))=t(∂x(xpy)+∂x(xqy))=t2(∂x(xp)+∂x(xq))
et ∂y((xpy)(xqy))=t(∂y(xpy)+∂y(xqy))=2t2∂y(y)
on en déduit avec la relation (4.1) que
[TABLE]
Soient p≥2 et r≥0, on a ∂x((xpy)(x{r}y))=t(∂x(xpy)+∂x(x{r}y))
et ∂y((xpy)(x{r}y))=t(∂y(xpy)+∂y(x{r}y)),
en utilisant les relations (4.2) et (4.3)
on obtient:
[TABLE]
Si r,s≥0, de \partial_{x}\left(\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y\bigr{)}\bigl{(}x^{\left\{s\right\}}y\bigr{)}\right)=t\left(\partial_{x}\left(x^{\left\{r\right\}}y\right)+\partial_{x}\left(x^{\left\{r\right\}}y\right)\right)
et \partial_{y}\left(\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}y\bigr{)}\bigl{(}x^{\left\{s\right\}}y\bigr{)}\right)=t\left(\partial_{y}\left(x^{\left\{r\right\}}y\right)+\partial_{y}\left(x^{\left\{r\right\}}y\right)\right)
et de la relation (4.5) on
déduit
[TABLE]
En utilisant ces résultats et les relations du lemme 50
on établit que les polynômes Ep,{r}[n,2],
E{r},{s}[n,2],
Fp,{r}[n,2], Gp,q[n,2],
Gp,{r}[n,2] et G{r},{s}[n,2]
son évanescents.
Soit w∈M(x,y)[n,2] tel que
w=(x{n}y)y et w=x{n}y2,
montrons que le polynôme w−π(w) est évanescent.
Par récurrence sur le degré n en x de w, ce résultat
est vrai pour n=2 comme on le voit sur les générateurs des
train identités évanescentes de degré (2,2) donnés
ci-dessous. Supposons le résultat vrai pour tout v∈M(x,y)[p,2]
et tout 2≤p<n. Il existe u,v∈M(x,y)
tels que w=uv avec u∈M(x,y)[n−k,1],
v∈M(x,y)[k,1] ou u∈M(x,y)[n−k]
et v∈M(x,y)[k,2] avec 1<k<n.
On a ∂x(w−π(w))=∂x(uv−π(u)π(v))=t(∂x(u−π(u))+∂x(v−π(v))),
de même on a ∂y(w−π(w))=t∂y(u−π(u))+t∂y(v−π(v)).
Par conséquent si u∈M(x,y)[n−k,1],
v∈M(x,y)[k,1], il résulte
du théorème 47
que le polynôme w−π(w) est évanescent.
Dans le cas u∈M(x,y)[n−k]
et v∈M(x,y)[k,2], avec le
théorème 40 on
a que u−π(u) est évanescent et par hypothèse
de récurrence il en est de même du polynôme v−π(v).
Il est clair que pour tout w∈M(x,y)[n,2]
on a π(w)∈Z⟨F⟩
alors par unicité du polynôme Pw on a π(w)=Pw.
∎
En appliquant ce théorème on obtient les générateurs des train
identités évanescentes:
[TABLE]
4.4.2. Identités homogènes évanescentes de type [n,2].
Proposition 54**.**
Pour n≥2, l’espace des identités homogènes évanescentes
de type [n,2] est engendré par au moins W[n,2]−2n
identités homogènes évanescentes.
Démonstration.
Soit n≥2, on note N=W[n,2]. Soient M(x,y)[n,2]={wk;1≤k≤N}
et f=∑i=1Nαiwi, on cherche (αi)1≤i≤N∈KN
tel que f(1,1)=1 et ∂xf=∂yf=0
où ∂xf=∑i=1Nαi∂xwi
et ∂yf=∑i=1Nαi∂ywi.
Pour tout 1≤i≤N on a ∂xwi,∂ywi∈K[t]
avec ∣∂xwi∣≤n+1 et ∣∂ywi∣≤n+1,
de plus il existe 1≤i,j≤N tels que ∣∂xwi∣=n+1
et ∣∂ywj∣=n+1, par conséquent les
solutions (αi)1≤i≤N des équations
∂xf=0 et ∂yf=0 sont solutions de deux
systèmes linéaires de n+1 équations à N inconnues. De f(1,1)=1
on déduit que ∑i=1Nαi=0, par conséquent le
système d’équations ∂xf=0 est de rang ≤n,
il en est de même du système ∂yf=0, donc le système
d’équations ∂xf=∂yf=0 est de rang ≤2n
par conséquent l’espace des solutions est de dimension ≥W[n,2]−2n.
∎
En utilisant la méthode utilisée dans la démonstration on obtient
les générateurs des polynômes homogènes évanescents:
[TABLE]
4.5. Identités évanescentes train de degré (n,1,1)
et homogènes de type [n,1,1].
On peut écrire tout w∈M(x,y,z)[n,1,1]
sous la forme w=w1w2 avec (w1,w2)∈M(x)[n,−i]×M(x,y,z)[i,1,1]
pour 0≤i≤n−1, ou (w1,w2)∈M(x,y)[n−i,1]×M(x,y,z)[i,0,1]
avec 0≤i≤n, comme ♯M(x,y,z)[i,0,1]=♯M(x,z)[i,1]
on a donc
[TABLE]
Les premières valeurs de W[n,1,1] sont
[TABLE]
4.5.1. Train identités évanescentes de degré (n,1,1).
Pour tout f∈K(x,y,z) et tout entier r≥1,
on définit x{r}f=x(x{r−1}f)
où x{0}f=f.
Lemme 55**.**
Pour tout entier r≥0
on a:
[TABLE]
Démonstration.
En effet, on a \partial_{x}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}\left(\left(xy\right)z\right)\bigr{)}=t\left(1+\partial_{x}\bigl{(}x^{\left\{r-1\right\}}\left(\left(xy\right)z\right)\bigr{)}\right),
on en déduit récursivement que \partial_{x}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}\left(\left(xy\right)z\right)\bigr{)}=\sum_{i=1}^{r}t^{i}+t^{r}\partial_{x}\left(\left(xy\right)z\right)
or ∂x((xy)z)=t2. Ensuite,
\partial_{y}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}\left(\left(xy\right)z\right)\bigr{)}=t\partial_{y}\bigl{(}x^{\left\{r-1\right\}}\left(\left(xy\right)z\right)\bigr{)}
et \partial_{z}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}\left(\left(xy\right)z\right)\bigr{)}=t\partial_{z}\bigl{(}x^{\left\{r-1\right\}}\left(\left(xy\right)z\right)\bigr{)}
d’où l’on déduit que \partial_{y}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}\left(\left(xy\right)z\right)\bigr{)}=t^{r}\partial_{y}\bigl{(}\left(xy\right)z\bigr{)}
et \partial_{z}\bigl{(}x^{\left\{r\right\}}\left(\left(xy\right)z\right)\bigr{)}=t^{r}\partial_{z}\bigl{(}\left(xy\right)z\bigr{)}
avec \partial_{y}\bigl{(}\left(xy\right)z\bigr{)}=t^{2} et \partial_{z}\bigl{(}\left(xy\right)z\bigr{)}=t.
On en déduit les résultats concernant les monômes x{r}((xz)y)
par échange des rôles de y et z. De ∂x(x{r}(yz))=t(1+∂x(x{r−1}(yz)))
on déduit ∂x(x{r}(yz))=∑i=1rti
et de ∂z(x{r}(yz))=t∂y(x{r−1}(yz))
il résulte ∂y(x{r}(yz))=tr∂y(yz)=tr+1,
on en déduit en échangeant y et z que ∂z(x{r}(yz))=tr+1.
∎
On considère l’ensemble F={x{r}((xy)z),x{r}((xz)y),x{r}(yz);r≥0}
et on note Q⟨F⟩
le Q-espace vectoriel engendré par l’ensemble F.
Proposition 56**.**
Il n’existe pas de train identité évanescente de degré (1,1,1).
Pour tout n≥2 et tout w∈M(x,y,z)[n,1,1]
tel que w∈/F, il existe un unique polynôme Pw∈Q⟨F⟩
avec ∣Pw∣x≤n tel que le polynôme w−Pw
soit une train identité évanescente.
Démonstration.
Soit f=λ1x(yz)+λ2(xy)z+λ3(xz)y+μ1xy+μ2xz+μ3yz,
on a ∂xf=(λ2+λ3)t2+(λ1+μ1+μ2)t,
∂yf=(λ1+λ2)t2+(λ3+μ1+μ3)t
et ∂zf=(λ1+λ3)t2+(λ2+μ2+μ3)t,
on en déduit sans difficulté que ∂xf=∂yf=∂zf=0
si et seulement si on a f=0, il n’existe donc pas de train
polynôme évanescent de degré (1,1,1).
On prend n≥2, soit w∈M(x,y,z)[n,1,1]
tel que w∈/F, d’après le résultat c)
du corollaire 26 les degrés en x de ∂xw,
∂yw et ∂zw sont ≤n+1, soient
∂xw=∑k=1n+1αktk, ∂yw=∑k=1n+1βktk
et ∂zw=∑k=1n+1γktk. On pose
[TABLE]
en appliquant les relations du lemme 55
on obtient
[TABLE]
On a donc ∂xw=∂xPw si et seulement
si
[TABLE]
et on a ∂yw=∂yPw, ∂zw=∂zPw
si et seulement si on a respectivement
[TABLE]
et
[TABLE]
On peut noter que dans ces deux systèmes on a ∑k=0n−1(λk+μk)+∑k=0nνk=∑k=1n+1βk=∂yPw(1)=1
d’après le résultat d) du corollaire 26,
par conséquent Pw(1,1,1)=1.
La solution de ces systèmes d’équations sont:
[TABLE]
∎
Corollaire 57**.**
Pour n≥2, l’espace vectoriel des train identités évanescentes
de degré (n,1,1) est de dimension W[n,1,1]−3.
Théorème 58**.**
Pour tout entier p,q≥2, r≥0 et t,t1,t2∈{y,z},
t1=t2, on pose:
[TABLE]
Soient H l’idéal engendré par la famille de polynômes
[TABLE]
et π:K(x)→K(x)/H
la surjection canonique.
Alors pour tout n≥2 et tout monôme w∈M[n,1,1](x,y,z)
tel que w∈/F on a π(w)=Pw
et pour tout f∈⨁n≥2K(x,y,z)[n,1,1],
le polynôme f−π(f) est une train identité évanescente.
Démonstration.
On a montré aux théorèmes 40
et 47 que les
polynômes Ep,q[n], Ep,q[n,1],
Ep,{r}[n,1] et E{r},p[n,1]
sont évanescents, montrons-le pour les autres polynômes de l’énoncé.
Pour tout p,q≥2 et r,s≥0, on a ∂x((xpy)(xqz))=t(∂x(xpy)+∂x(xqz)),
puis ∂y((xpy)(xqz))=t∂y(xpy)=t2,
de même ∂z((xpy)(xqz))=t2
et en utilisant la relation (4.2) on obtient:
[TABLE]
On a ∂x((x{r}y)(x{s}z))=t(∂x(x{r}y)+∂x(x{s}z)),
ensuite ∂y((x{s}y)(x{s}z))=t∂y(x{r}y)=t2∂y(x{r−1}y)
et de même ∂z((x{s}y)(x{s}z))=t2∂z(x{s−1}z),
on en déduit avec la relation (4.3)
et par récurrence que
[TABLE]
De ∂x((xpy)(x{r}z))=t(∂x(xpy)+∂x(x{r}z)),
∂y((xpy)(x{r}z))=t∂y(xpy),
∂z((xpy)(x{r}z))=t∂z(x{r}z)
et des relations (4.2) et (4.3)
on déduit:
[TABLE]
On a ∂x(xp(x{r}(yz)))=t(∂x(xp)+∂x(x{r}(yz)))=t∂x(xp)+t2∂x(x{r−1}(yz)),
∂y(xp(x{r}(yz)))=t∂y(x{r}(yz))=t2∂y(x{r−1}(yz))
et de même ∂z(xp(x{r}(yz)))=t2∂z(x{r−1}(yz))
.
De manière analogue, on a ∂x(xp(x{r}((xy)z)))=t(∂x(xp)+∂x(x{r}((xy)z)))=t∂x(xp)+t2∂x(x{r−1}((xy)z)),
ainsi que ∂y(xp(x{r}((xy)z)))=t∂y(x{r}((xy)z))=t2∂y(x{r−1}((xy)z))
et ∂z(xp(x{r}((xy)z)))=t2∂z(x{r−1}((xy)z)).
On en déduit en appliquant la relation (4.1) et
par récurrence que
[TABLE]
et
[TABLE]
Avec ces résultats et les relations du lemme 55
on montre par de simples calculs que les polynômes Ep,q[n,1,1],
E{r},{s}[n,1,1],
Ep[n,1,1], Ep,{r}[n,1,1],
Fp,{r}[n,1,1] et Gp,{r}[n,1,1]
sont évanescents.
Soit w∈M(x,y,z)[n,1,1] tel
que w∈/F, montrons par récurrence sur le degré
n en x de w que le polynôme w−π(w) est
évanescent. Le résultat est vrai pour n=2 comme on peut le
vérifier sur les générateurs des train polynômes de degré (2,1,1)
donnés ci-dessous. Supposons le résultat vrai pour tous les monômes
de type [p,1,1] avec 2≤p<n. Il existe u,v∈M(x,y,z)
tel que w=uv avec \bigl{|}u\bigr{|}_{x},\bigl{|}v\bigr{|}_{x}<n
on a donc u∈M(x,y)[n−p,1],
v∈M(x,z)[p,1] ou bien u∈M(x)[n−p],
v∈M(x,y,z)[p,1,1]. On a
∂x(w−π(w))=∂x(uv−π(u)π(v))=t∂x(u−π(u))+t∂x(v−π(v))
et de même ∂y(w−π(w))=t∂y(u−π(u))+t∂y(v−π(v))
et ∂z(w−π(w))=t∂z(u−π(u))+t∂z(v−π(v)).
Dans le cas u∈M(x,y)[n−p,1],
v∈M(x,z)[p,1], d’après le
théorème 55 les polynômes
u−π(u) et v−π(v) sont évanescents,
on a donc ∂x(w−π(w))=∂y(w−π(w))=∂z(w−π(w))=0.
Quand u∈M(x)[n−p], v∈M(x,y,z)[p,1,1],
d’après le théorème 40
et l’hypothèse de récurrence les polynômes u−π(u)
et v−π(v) sont évanescents.
Il est clair que pour tout w∈M(x,y,z)[n,1,1]
tel que w∈/F on a π(w)∈Z[F]
et donc par unicité du polynôme Pw on a π(w)=Pw.
∎
En utilisant ce théorème on peut donner les générateurs des train
identités évanescentes
[TABLE]
4.5.2. Identités homogènes évanescentes de type [n,1,1].
Proposition 59**.**
Pour tout n≥2, l’espace des identités homogènes évanescentes
de type [n,1,1] est engendré au moins W[n,1,1]−3n
identités homogènes évanescentes.
Démonstration.
Pour simplifier les notations on pose N=W[n,1,1]
et M(x,y,z)[n,1,1]={wk;1≤k≤N}.
Soit f=∑k=1Nαkwk on cherche (αk)1≤k≤N
tel que f(1,1,1)=0, ∂xf=∂yf=∂zf=0.
Comme pour tout w∈M[n,1,1] on a
∣∂xw∣,∣∂yw∣,∣∂zw∣≤n+1
et que d’après le lemme 55
il existe dans M(x,y,z)[n,1,1]
des monômes w tel que ∂xw, ∂yw ou
∂zw soit de degré n+1, on en déduit que les polynômes
∂xf, ∂yf et ∂zf sont de
degré n+1. Par conséquent les relations ∂xf=0,
∂yf=0 et ∂zf=0 sont équivalentes à
trois systèmes linéaires de n+1 équations d’inconnues (αk)1≤k≤N,
la condition f(1,1,1)=0 implique que chacun de
ces systèmes est de rang ≤n, il en résulte que le système
d’équations ∂xf=∂yf=∂zf=0 est
de rang ≤3n et donc l’espace des solutions est de dimension
≥W[n,1,1]−3n.
∎
En employant la méthode suivie dans la preuve ci-dessus on explicite
les générateurs des identités homogènes évanescentes
[TABLE]
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