Existence d'une courbe \`a courbure positive maximisant le minimum du rayon de courbure -- "Observation num\'erique"

TL;DR

This paper investigates curves with positive curvature that maximize the minimum radius of curvature, proving existence theoretically and observing numerically that the optimal curve is a combination of a circle arc and a line segment, related to Dubins's curves.

Contribution

It establishes the existence of an optimal curve with maximum minimal radius of curvature and identifies its structure as a combination of a circle arc and a line segment.

Findings

Existence of a curve maximizing the minimum radius of curvature.

Numerical observation that the optimal curve is a circle arc plus a line segment.

Connection to Dubins's curves and potential applications in patent design.

Abstract

We consider the set E of curves with positive algebraic curvature, whose extremities and tangents in their extremities are given. For each of the curves of E, we define the minimum of the radius of curvature. We first prove that there exists a curve of E which maximizes this minimum. Numerically, we observe then that this curve is equal to the unique curve of E composed of an arc of circle and a line segment, where appropriate reduced to a point. This curve corresponds also to a particular case of Dubins's curve and will be used to improve the conception of a piece of a patent.

Equations

$$\mathcal{G}(R),$$

$$\vec{\alpha }=\frac{1}{OA}\overrightarrow{AO},\vec{\beta }=\frac{1}{OB}\overrightarrow{OB},$$

$$\Omega =\left(\widehat{\vec{\alpha },\vec{\beta }}\right).$$

$$\Omega \in ]0,\pi [.$$

$$L=L(X).$$

$$\forall s\in [0,L],\Vert X^{\prime }(s)\Vert =1,$$

$$X(0)=A,$$

$$X(L)=B,$$

$$X^{\prime }(0)=\vec{\alpha },$$

$$X^{\prime }(L)=\vec{\beta }.$$

$$X\in W^{2,\infty }(0,L;{\mathbb{R}}^2),$$

$$|c(s)|=\Vert X^{\prime \prime }(s)\Vert ,\text{p.p. sur }]0,L[.$$

$$\forall s\in [0,L],\varphi (s)=\left(\widehat{\vec{\alpha },X^{\prime }(s)}\right).$$

$$\frac{d\varphi }{ds}=c,\text{p.p. sur }]0,L[.$$

$$c$$

$$\varphi$$

$$c(s)=\Vert X^{\prime \prime }(s)\Vert ,\text{p.p. sur }]0,L[.$$

$$\forall s\in [0,L],\varphi (s)\in [0,\Omega ].$$

$${\Vert \Vert X^{\prime \prime }\Vert \Vert }_{L^{\infty }(0,L)}=\underset{Z\in \mathcal{E}}{\min }{\Vert \Vert Z^{\prime \prime }\Vert \Vert }_{L^{\infty }(0,L)}.$$

$$O$$

$$\vec{\alpha }=\pm \frac{1}{OA}\overrightarrow{AO},\vec{\beta }=\pm \frac{1}{OB}\overrightarrow{OB},$$

$$\mu \le L(X)\le \nu ,$$

$${\Vert \Vert X^{\prime \prime }\Vert \Vert }_{L^{\infty }(0,L)}\ge \delta .$$

$${\Vert \Vert X^{\prime \prime }\Vert \Vert }_{L^{\infty }(0,L)}=\frac{1}{R_a}.$$

$$\frac{dx}{ds}=\cos \varphi ,$$

$$\frac{dy}{ds}=\sin \varphi .$$

$$\forall s\in [0,L],\varphi (s)={\int }_0^{s}c(u)du,$$

$${\int }_0^{L}c(u)du=\Omega ,$$

$$\forall s\in [0,L],x(s)={\int }_0^s\cos \varphi (u)du,y(s)={\int }_0^s\sin \varphi (u)du,$$

$${\int }_0^L\cos \varphi (s)du=x_B,{\int }_0^L\sin \varphi (s)du=y_B.$$

$$\forall i\in \{0,...,p\},{\varphi }_i=\varphi (L_i),$$

$$\forall i\in \{0,...,p-1\},{\varphi }_{i+1}-{\varphi }_i=\frac{L_{i+1}-L_i}{R_i}.$$

$$\forall k\in \{0,...,p\},{\varphi }_k=\sum _{j=0}^{k-1}{\theta }_j,$$

$$\forall k\in \{0,...,p\},{\gamma }_k=\frac{\sin ({\theta }_k/2)}{{\theta }_k/2}{e}^{i{\theta }_k/2},$$

Full text

Abstract.

We consider the set $\mathcal{E}$ of curves with positive algebraic curvature, whose extremities and tangents in their extremities are given. For each of the curves of $\mathcal{E}$, we define the minimum of the radius of curvature. We first prove that there exists a curve of $\mathcal{E}$ which maximizes this minimum. Numerically, we observe then that this curve is equal to the unique curve of $\mathcal{E}$ composed of an arc of circle and a line segment, where appropriate reduced to a point. This curve corresponds also to a particular case of Dubins’s curve and will be used to improve the conception of a piece of a patent.

Abridged English version

In the framework of the patent [Bas12], we had to define a curve whose extremities $A$ et $B$ and the tangents at its points $A$ and $B$ are given, both these tangents not being parallel. The chosen curve is a parabola, or equivalently, a Bézier curve (see also [Bas16, Bas15, Bas15a, Bas16a]). The disadvantage of this curve is that it has too small radii of curvature and we attempted to find a less incurved curve. For this, we define the set $\mathcal{E}$ of curves with positive algebraic curvature, whose extremities and tangents in their extremities are given. For each of curves of $\mathcal{E}$, we define the minimum of the radius of curvature.

This problem is very close to the problem of Dubins’s curves [Dub57, Dub61], but it is not equivalent. Dubins also looks for curves whose extremities and tangents at the extremities are given. Under the assumption that the radius of curvature is everywhere on the curve greater than a given radius of curvature $R>0$, he determines the curve which minimizes the length. He proves that these curves, entirely defined by $R$, called geodesic and denoted

[TABLE]

are necessarily the union of three arcs of circle of radius $R$, or the union of two arcs of circle of radius $R$ and of line segment or a subset of these curves. In our case, we impose the positive algebraic curvature and we do not consider a priori this radius of curvature $R$ and by adapting the proof of Dubins, we prove that there exists a curve of $\mathcal{E}$, which maximizes the minimum of algebraic radius of curvature. We secondly prove that there exists a unique curve of $\mathcal{E}$ composed of an arc of circle of radius $R_{a}$ and of a line segment, denoted $\mathcal{J}$. This case corresponds to the limit case of figure 1(b). This radius $R_{a}$ depends only on the points $A$ and $B$ and on the tangents to these points and is the greatest value of $R$, for which the Dubins’s curve $\mathcal{G}(R)$ belongs to $\mathcal{E}$.

We consider then the set of the curves of $\mathcal{E}$ composed of a finite number $p\in\mathbb{N}^{*}$ of arcs of circles, each of them being of radius $R_{k}\in\mathbb{R_{\,+}^{\,*}}\cup\{+\infty\}$. This set possesses also a curve which maximizes the minimum of radius of curvature, i.e., which maximizes the minimum of the $R_{k}$. We then choose any $p\in\mathbb{N}^{*}$ and we assume that each arc of circle is defined by an angle $\theta_{0}$ constant (the angle $\widehat{A_{k}\Omega{k}A_{k+1}}$, where $A_{k}$ and $A_{k+1}$ are the two extremities of the $k$-th arc of circle and $\Omega_{k}$ its center). We observe that the optimal curve possesses two parts: on the first one, the arcs of circles have large radii of curvature, and on the second one, the arcs of circles have radii which seem be close to the value of $R_{a}$ defined above. So, numerically, as $p$ tends to infinity, the curve obtained seems to be close to the unique curve $\mathcal{J}$ of $\mathcal{E}$.

The parabola used in patent [Bas12] has been replaced by this curve and this allows us to obtain a new minimum radius of curvature equal to $(\sqrt{2}-1)/2\approx 0.207$ instead of $1/25\,\sqrt{5}\approx 0.089$.

The important lack of this present Article, that we have to improve on, is to prove that which we observed numerically, i. e. that the unique curve of $\mathcal{E}$, composed of a line segment and of an arc of circle is one of the curves which maximizes the minimum of radius of curvature. It would be interesting to prove the uniqueness of these curves, if it is true, in the continuous and the discrete cases.

Version abrégée en français

Dans le cadre du brevet [Bas12], il a été nécessaire de construire une courbe passant par deux points $A$ et $B$ du plan, dont les directions des tangentes en $A$ et $B$ sont données en étant non parallèles. La courbe choisie est une parabole, ou de façon équivalente, une courbe de Bézier (voir aussi [Bas16, Bas15, Bas15a, Bas16a]). Cette courbe présentant l’inconvénient d’avoir des rayons de courbures trop petits, on a essayé de trouver une courbe moins incurvée. Pour cela, on définit l’ensemble $\mathcal{E}$ des courbes courbure alg brique positive, dont les extr mit s et les tangentes en leurs extr mit s sont donn es et à chacune des courbes de $\mathcal{E}$, on associe le minimum du rayon de courbure.

Ce problème ressemble fortement aux courbes de Dubins [Dub57, Dub61] sans lui être équivalent. Dubins cherche des courbes passant aussi par deux points $A$ et $B$ du plan, dont les directions des tangentes en $A$ en $B$ sont données. Sous l’hypothèse qu’en tout point, le rayon de courbure est supérieur à $R$ où $R>0$ est donné à l’avance, il cherche la courbe qui minimise la longueur. Il montre que de telles courbes, entièrement définie par $R$ appelées géodésiques et notées (0.1), ne peuvent être que la réunion de trois arcs de cercles de rayon $R$ ou la réunion de deux arcs de cercle de rayon $R$ et d’un segment, ou une sous partie de ces deux courbes. Dans notre cas, nous imposons la courbure algébrique positive, nous ne donnons pas ce rayon de courbure $R$ a priori. En adaptant la démonstration de Dubins, on montre qu’il existe une courbe de $\mathcal{E}$, maximisant le minimum du rayon de courbure algébrique, dont on impose qu’il reste positif. Nous montrons ensuite qu’il existe une unique courbe de $\mathcal{E}$ formée d’un arc de cercle de rayon $R_{a}$ et d’un segment de droite, notée $\mathcal{J}$. Ce cas correspond au cas limite de la figure 1(b). Ce rayon $R_{a}$ dépend uniquement des points $A$ et $B$ et des tangentes données en ces points et est la plus grande valeur possible de $R$, pour laquelle la courbe de Dubins $\mathcal{G}(R)$ est dans $\mathcal{E}$.

Ensuite, on considère l’ensemble des courbes de $\mathcal{E}$ formée un nombre de fini $p\in\mathbb{N}^{*}$ d’arcs de cercles, chacun de rayon $R_{k}\in\mathbb{R_{\,+}^{\,*}}\cup\{+\infty\}$. Cet ensemble possède une courbe qui maximise le minimum du rayon de courbure, c’est-à-dire, qui maximise le minimum des $R_{k}$. On choisit ensuite $p$ quelconque et on impose que chaque arc de cercle soit défini par un angle $\theta_{0}$ constant (l’angle $\widehat{A_{k}\Omega{k}A_{k+1}}$, où $A_{k}$ et $A_{k+1}$ sont les deux extrémités du $k$-ième l’arc de cercle et $\Omega_{k}$ son centre). On constate que la courbe optimale obtenue possède deux parties : sur l’une d’elle, les arcs de cercles ont un grand rayon de courbure, sur l’autre, les arcs de cercles ont un rayon qui semble se rapprocher de la valeur $R_{a}$ définie ci-dessus. Ainsi, numériquement, quand $p$ grandit la courbe obtenue semble se rapprocher de l’unique courbe $\mathcal{J}$ de $\mathcal{E}$.

L’importante lacune de cet article, qu’il conviendrait de combler par la suite, est de montrer ce que l’on a observé numériquement, c’est-à-dire que l’unique courbe de $\mathcal{E}$, formée d’un segment de droite et d’un arc de cercle de rayon $R_{a}$ est bien l’une des courbes qui maximise le minimum du rayon de courbure. Par la suite, il serait intéressant de montrer les éventuelles unicités des courbes, dans le cas continu comme dans les différents cas discrets évoqués.

1. Introduction

Dans le cadre du brevet [Bas12], il a été nécessaire de construire six courbes de classe ${\mathcal{C}}^{1}$ chacune d’elles passant par un point $A$ et un point $B$ en étant tangente respectivement en $A$ et $B$ aux droites $(AO)$ et $(BO)$, où, pour chacune d’elle, $A$, $B$ et $O$ sont trois points donnés du plan. Plus de détails pourront être trouvés dans [Bas16, Bas15, Bas15a, Bas16a]. Chacune de ces courbes doit relier un des sommets ou un des milieux de côté d’un carré de centre $O$ et de côté $1$, le point $O$ est fixé, centre du carré et conventionnellement choisi comme repère, et les points $A$ et $B$ sont l’un des sommets ou un des milieux de côté du carré. Compte tenu des isométries laissant invariant le carré, seules six courbes ont dû être définies : deux segments de droites, deux arcs de cercles et deux portions de paraboles, comme représenté sur [Bas16, Figure 1]. On définit les deux vecteurs $\vec{\alpha}$ et $\vec{\beta}$ et l’angle $\Omega$ de la façon suivante :

[TABLE]

De façon plus générale, on se donne trois du plan, $O$, $A$ et $B$, deux à deux distincts, deux vecteurs unitaires $\vec{\alpha}$ et $\vec{\beta}$ et l’angle $\Omega$ définis par (1.1), où $\Omega$ n’est pas un multiple de $\pi$. Quitte à changer de sens de parcours de la courbe, donc à intervertir $A$ et $B$ et à multiplier $\vec{\alpha}$ et $\vec{\beta}$ par $-1$, on peut supposer, sans perte de généralité, que $\Omega$ vérifie

[TABLE]

On s’intéresse à une courbe au moins de classe ${\mathcal{C}}^{1}$ passant par $A$, tangente à $(OA)$ en $A$, tangente à $(OB)$ en $B$. On peut choisir une parabole, ce qui a été fait par exemple dans le cas du brevet sur les [Bas16, figures 1e) et 1f)]

Ces courbes ont servi à définir des rails Easyloop ® aptes à faire rouler un train miniature. Lors de la fabrication des pièces, la dernière forme, donnée dans [Bas16, La figure 1f)] n’a pas été retenue, puisque trop incurvée, c’est-à-dire, que le minimum du rayon de courbure est trop petit. Il est en effet nécessaire que le rayon de courbure ne soit pas trop petit pour deux raisons. Tout d’abord, les courbes ainsi définies correspondent aux lignes médianes des rails construits : les passages des roues et les bords du rails sont définis comme des courbes à distance constante de ces courbes et si le rayon de courbure est trop petit, des points stationnaires avec des discontinuités de la tangente peuvent apparaître. En outre, les roues des véhicules qui empruntent ces rails doivent pouvoir tourner par rapport au châssis du véhicule et si le rayon de courbure est trop petit, l’angle de braquage, c’est-à-dire, l’angle entre les essieux qui supportent les paires de roues et l’axe longitudinal du véhicule, est trop important. Nous proposons donc de déterminer une courbe pour définir la pièce correspondant à [Bas16, figure 1f)] qui soit optimale, au sens où le minimum du rayon de courbure est choisi le plus grand possible. Nous imposerons aussi à la courbe recherchée d’être à courbure positive. Sans cette hypothèse, le problème est mal posé, puisque l’on peut construire une courbe formée de trois arcs de cercles, chacun de rayon $R$, avec $R$ arbitrairement grand.

Ce problème ressemble fortement à celui des courbes de Dubins [Dub57, Dub61] sans lui être équivalent. Dubins cherche des courbes passant aussi par deux points $A$ et $B$ du plan, dont les directions des tangentes en $A$ en $B$ sont données. Sous l’hypothèse qu’en tout point, le rayon de courbure est supérieur à $R$ où $R>0$ est donné à l’avance, il cherche la courbe qui minimise la longueur. Il montre que de telles courbes, entièrement définie par $R$ appelées géodésiques et notées (0.1) ne peuvent être que la réunion de trois arcs de cercles de rayon $R$ ou la réunion de deux arcs de cercle de rayon $R$ et d’un segment, ou une sous partie de ces deux courbes.

Les courbes de Dubins correspondant à $0<R\leq R_{a}$ (où le rayon $R_{a}$ ne dépend que des points $O$, $A$ et $B$) sont représentées sur la figure 1. On considère l’ensemble $\mathcal{E}$ des courbes courbure alg brique positive, dont les extr mit s et les tangentes en leurs extr mit s sont donn es. Dans notre cas, à la différence des travaux de Dubins, nous ne donnons pas ce rayon de courbure $R$ a priori et nous imposons une courbure algébrique positive. En adaptant la démonstration de Dubins, on montre qu’il existe une courbe de $\mathcal{E}$, maximisant le minimum du rayon de courbure. Nous montrerons qu’il existe une unique courbe de $\mathcal{E}$ formée d’un arc de cercle de rayon $R_{a}$ et d’un segment de droite. Ce cas correspond au cas limite de la figure 1(b). Notre problème, qui ne me semble pas évoqué dans la littérature111Cette question a néanmoins été partiellement soulevée, mais visiblement non résolue sur https://math.stackexchange.com/questions/1391778/connect-two-points-given-their-angles-with-a-maximum-radius, est donc distinct a priori de celui de Dubins. Ces travaux de Dubins ont été retrouvés plus tard autrement en utilisant le principe de maximum de Pontryagin par exemple dans [BCL91, BCL96]. Très utilisées en robotique et en automatique, ces courbes de Dubins ont fait l’objet de nombreuses recherches. Voir par exemple les deux thèses suivantes [Laz96, Jal16]. De nombreuses variantes existent sur ces courbes de Dubins : si des point de rebroussement sont possibles (ce que l’on n’a pas ici, puisque le paramétrage est normal) dans le cas où le robot peut inverser sa vitesse [RS90] ; les recherches prenant en compte les obstacles ont été initiées par Laumond dans [Lau87]; des problèmes analogues avec des courbes constituées d’arcs de cercle et de segments de longueurs minimales imposées sont présentées dans [Gro+13]. Notons enfin que dans [Mos09], un problème proche de notre problème est évoqué : il s’agit de trouver la courbe, de longueur donnée (ou inférieure à une longueur donnée) qui maximise le minimum du rayon de courbure divisé par le rayon de courbure d’une courbe de référence, donnée à l’avance, comme frontière d’un convexe donné.

Dans la section 2, nous énonçons le problème. Dans la section 3, nous montrerons qu’il existe une courbe de $\mathcal{E}$, maximisant le minimum du rayon de courbure, c’est-à-dire minimisant le maximum de la courbure. En section 4, nous construirons l’unique courbe de $\mathcal{E}$ formée d’un segment de droite et d’un arc de cercle et nous montrerons ensuite que cette courbe correspond à une courbe optimale parmi les courbes de Dubins. Enfin, en section 5, nous présenterons le problème discret et donnerons une simulation numérique qui semble faire apparaître le fait que l’unique courbe de $\mathcal{E}$ formée d’un segment de droite et d’un arc de cercle est bien l’une de celles qui maximisent le minimum du rayon de courbure.

2. Énoncé du problème

Reprenons le formalisme du papier historique de Dubins [Dub57]. On se donne $O$, $A$ et $B$ trois points deux à deux distincts du plan et $\vec{\alpha}$ et $\vec{\beta}$ deux vecteurs, vérifiant (1.1) et (1.2). Nous cherchons une courbe, paramétrée de façon normale par son abscisse curviligne : $s\in[0,L=L(X)]\mapsto X(s)\in\mathbb{R}^{2}$, de classe ${\mathcal{C}}^{1}$. Pour toute la suite, pour toute telle fonction $X$ de classe ${\mathcal{C}}^{1}$, on notera

[TABLE]

On note $\left\|.\right\|$ la norme Euclidienne de $\mathbb{R}^{2}$. On suppose que l’on a

[TABLE]

On supposera que

[TABLE]

ce qui permet de définir la valeur absolue de la courbure $c$ par

[TABLE]

La fonction $X$ est dans ${\mathcal{C}}^{1}([0,L];\mathbb{R}^{2})$, on a $X(^{\prime}s)\not=0$ et on considère une détermination continue de l’angle $\phi$ défini par

[TABLE]

La fonction $\phi$ est donc dans $W^{1,\infty}(0,L)\subset{\mathcal{C}}^{0}([0,L])$ et on a

[TABLE]

où ici $c$ désigne la courbure algébrique. On impose alors

[TABLE]

Ainsi, (2.6) est équivalent à

[TABLE]

Dans ce cas, on peut réécrire (2.3) sous la forme

[TABLE]

Notons que (2.7) implique la condition suivante :

[TABLE]

Dire que le minimum du rayon de courbure est le plus grand possible revient à dire que le maximum de la valeur absolue de la courbure est le plus petit possible, soit encore, selon (2.6), que le maximum de la courbure, définit comme $\left\|c\right\|_{L^{\infty}(0,L)}$ est le plus petit possible.

Définition 2.1**.**

Pour $O$, $A$ et $B$ trois points du plan deux à deux distincts et $\vec{\alpha}$ et $\vec{\beta}$ deux vecteurs vérifiant (1.1) et (1.2), on définit l’ensemble $\mathcal{E}$ des courbes $X$ du plan vérifiant (2.1), (2.2), (2.6) (ou (2.7)).

D’après (2.8), le problème consistera finalement à déterminer une courbe $X$ de $\mathcal{E}$ minimisant $\left\|\left\|X^{\prime\prime}\right\|\right\|_{L^{\infty}(0,L)}$, c’est-à-dire le sup essentiel de la fonction de $[0,L]$ dans $\mathbb{R}$ : $s\mapsto\left\|X^{\prime\prime}\right\|$ :

[TABLE]

Notons enfin que $X$ est de classe ${\mathcal{C}}^{1}$ et non nécessairement ${\mathcal{C}}^{2}$. D’autres travaux utilisent les courbes à courbures continues, utilisant par exemples les clothoïdes comme courbes de raccordement, qui permettent une croissance continue de la courbure [Boi+99, Sch98]. En effet, dans le cadre de la robotique ou du transport, il n’est pas possible d’avoir une discontinuité de la courbure, qui implique une discontinuité des accélérations normales, et donc des chocs, ce qui use le matériel prématurément ou gêne le voyageur ; un robot ou un véhicule ne peut pas non plus changer instantanément d’angle de braquage. Au contraire ici, la discontinuité de la courbure ne nous gêne pas pour plusieurs raisons. Dans le domaine du jouet, les masses et les vitesses des véhicules sont très faibles, donc les chocs dus aux discontinuité de l’accélération normale sont négligeables. De plus, la notion de confort du voyageur n’a pas de sens. Les roues des véhicules peuvent subir une discontinuité de l’angle de braquage parce qu’elles présentent un léger jeu par rapport au châssis. Enfin, la courbe construite dans le cas du brevet [Bas12, Bas16] est de classe ${\mathcal{C}}^{1}$, ${\mathcal{C}}^{2}$ par morceaux, mais non ${\mathcal{C}}^{2}$, puisque formée de portions de segments, de cercles et de paraboles. Il n’est donc pas nécessaire de restreindre notre étude aux courbes ${\mathcal{C}}^{2}$.

Remarque 2.2*.*

Quitte à parcourir, le cas échéant, la courbe dans l’autre sens, on peut remplacer respectivement (1.2) par "$\Omega\in]-\pi,\pi[\setminus\{0\}$", (2.6) par "$c$ est presque partout de signe constant", (2.7) par "$\phi$ est monotone" et (2.9) par "$\forall s\in[0,L],\quad|\phi(s)|\in[0,|\Omega|]$". On cherche toujours la courbe qui minimise le maximum de la courbure géométrique.

Remarque 2.3*.*

Notons que les résultats de Dubins sont valables pour tout couple de points $(A,B)$ et pour tout couple de vecteurs unitaires $\left(\vec{\alpha},\vec{\beta}\right)$. Ici, on impose les conditions supplémentaires (1.1) et (1.2). On pourrait croire que le point $O$ peut être construit à partir des points distincts $A$ et $B$ et des vecteurs $\vec{\alpha}$ et $\vec{\beta}$ deux vecteurs unitaires donnés vérifiant (1.2) de la façon suivante :

[TABLE]

Si on le définit ainsi, le point $O$ n’est pas nécessairement distinct de $A$ et de $B$ et (1.1a) est alors remplacé a priori par

[TABLE]

Cette généralisation est inutile, comme le montre le lemme 2.4, qui servira à plusieurs reprises.

Lemme 2.4**.**

Soient deux vecteurs unitaires $\vec{\alpha}$ et $\vec{\beta}$, vérifiant (1.2) et $O$ donné par (2.11). S’il existe une courbe $X$ du plan vérifiant (1.1b), (1.2), (2.1), (2.2), (2.6) (ou (2.7)), alors $O$ est distinct de $A$ et de $B$ et si on considère les réels $u_{0}$ et $v_{0}$ tels que $\overrightarrow{AO}=u_{0}\vec{\alpha}$ et $\overrightarrow{OB}=v_{0}\vec{\beta}$, alors $u_{0}$ et $v_{0}$ sont strictement positifs.

Voir la preuve du lemme 2.4 en annexe A, page A.

3. Existence d’une courbe minimisant le maximum de la courbure

On suppose désormais que sont fixés $O$ et $A$, $B$, deux à deux distincts et $\vec{\alpha}$ et $\vec{\beta}$ vérifiant (1.1) et (1.2).

Donnons tout d’abord les deux estimations uniformes suivantes :

Proposition 3.1**.**

Il existe trois constantes $\mu$, $\nu$ et $\delta$ strictement positives ne dépendant que des points $O$, $A$ et $B$, telles que, pour toute courbe $X$ de $\mathcal{E}$ :

[TABLE]

Voir preuve en annexe A, page A.

On a alors le premier résultat essentiel de cet article :

Théorème 3.2**.**

L’ensemble $\mathcal{E}$ est non vide et il existe une courbe $X$ de $\mathcal{E}$ qui minimise le maximum de la courbure, c’est-à-dire vérifiant (2.10).

Voir preuve en annexe A, page A.

4. Construction de l’unique courbe de $\mathcal{E}$ formée d’un segment de droite et d’un arc de cercle.

Définition 4.1**.**

On se donne $O$ et $A$, $B$, deux à deux distincts et $\vec{\alpha}$ et $\vec{\beta}$ vérifiant (1.1) et (1.2). Nous dirons que nous sommes dans le cas symétrique si $OA=OB$ et dans le cas non symétrique si $OA\not=OB$.

Lemme 4.2**.**

Il existe une unique courbe $X$ de $\mathcal{E}$ formée d’un arc de cercle de rayon $R_{a}>0$ et de longueur appartenant à $]0,R_{a}\pi[$ dans le cas symétrique et formée d’un arc de cercle de rayon $R_{a}>0$ et de longueur appartenant à $]0,R_{a}\pi[$ et d’un segment de droite de longueur non nulle dans le cas non symétrique. Le rayon $R_{a}$ du cercle est unique. Il ne dépend que de $O$, $A$ et $B$ et on a

[TABLE]

Pour toute la suite, cette courbe est notée sous la forme $X=\mathcal{J}(O,A,B)$ et le réel $R_{a}$ sous la forme $R_{a}(O,A,B)$.

La démonstration se fait de façon purement géométrique et est donnée en annexe A, page A.

Exemple 4.3**.**

Traitons le cas particulier donné par $A=(1/2,-1/2),\quad O=(0,0),\quad B=(0,-1/2),\quad\linebreak[1]\Omega=3\pi/4$.

La construction reprend la méthode donnée dans la preuve du lemme 4.2.

Comme indiqué sur la figure 2, la courbe constituée par la réunion d’un arc de cercle et d’un segment de droite est définie de la façon suivante (le triangle $OAB$ étant isocèle rectangle en $B$ avec $OB=BA=1/2$) : $(OC)$ est la bissectrice de l’angle $\widehat{O}$ avec $\alpha=\pi/8$ ; $\theta=3\pi/4$ ; l’arc de cercle a pour centre $C$ et pour rayon $R$ donné par $R=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0.20710678,$ et est limité par les points $B$ et $D$ ; le segment de droite est le segment $[DA]$ avec $DA=(\sqrt{2}-1)/2$.

La parabole définie dans le cadre du brevet [Bas12] a été remplacée par cette courbe et cela nous a permis de faire passer le minimum du rayon de courbure de $1/25\,\sqrt{5}\approx 0.089$ à $(\sqrt{2}-1)/2\approx 0.207$.

En reprenant la notation (0.1), construisons maintenant autrement la courbe de $\mathcal{E}$, définie dans le lemme 4.2, en utilisant les courbes de Dubins.

Lemme 4.4**.**

Considérons $\mathcal{F}=\left\{R\in\mathbb{R_{\,+}^{\,*}},\quad\mathcal{G}(R)\in\mathcal{E}\right\}$. Si $R_{a}(O,A,B)$ est le nombre défini dans le lemme 4.2, alors $\mathcal{F}=]0,R_{a}(O,A,B)]$ et la courbe de Dubins $\mathcal{G}(R_{a}(O,A,B))$ est l’unique courbe définie dans le lemme 4.2.

Autrement dit, $\mathcal{G}(R_{a}(O,A,B))$ est optimale : elle correspond à la plus grande valeur possible de $R$, pour laquelle la courbe de Dubins $\mathcal{G}(R)$ est dans $\mathcal{E}$. Voir la figure 1(b) qui correspond au cas optimal. La démonstration se fait de façon purement géométrique et est donnée en annexe A, page A.

5. Présentation du problème discret

Les techniques utilisées par Dubins dans [Dub57] ne peuvent être utilisées pour déterminer de façon explicite l’une des courbes optimales du théorème ; en effet, on ne minimise pas la longueur de la courbe et surtout, le rayon de courbure maximal, connu chez Dubins, nous est inconnu. L’idée de cette section est de remplacer le problème initial par un problème discret, où il est possible de déterminer explicitement le rayon de courbure maximal et de déterminer les paramètres optimaux pour maximiser ce rayon de courbure minimal.

On considère le repère orthonormé $\left(A,\vec{\alpha},\vec{k}\right)$, et en notant $X(s)=(x(s),y(s))$, les coordonnées des points de la courbe $X$ dans ce repère, on a les relations habituelles

[TABLE]

Remarquons tout d’abord que, définir $X\in\mathcal{E}$ revient donc à définir successivement

• $\bullet$

$L>0$ ;

• $\bullet$

la courbure $c\in L^{\infty}(0,L)$, presque partout positive ;

• $\bullet$

l’angle $\phi\in W^{1,\infty}(0,L)$ grâce à

[TABLE]

qui doit vérifier

[TABLE]

• $\bullet$

les fonctions $x$ et $y$ de $W^{2,\infty}(0,L)$ définies respectivement par

[TABLE]

qui doivent vérifier

[TABLE]

Une discrétisation naturelle consiste à définir alors $c$ constante par morceaux, sur un nombre fini d’intervalles $[L_{i},L_{i+1}]$. Supposons que $p$ désigne le nombre d’intervalles et que, pour tout $i\in\{0,...,p-1\}$, $c$ est constant et égal à $1/R_{i}$ avec $R_{i}>0$. Les inconnues sont alors a priori, $p\in\mathbb{N}^{*}$, $L>0$, $R=(R_{0},...,R_{p-1})\in{\left(\mathbb{R_{\,+}^{\,*}}\cup\{+\infty\}\right)}^{p}$ et $L=(L_{0},...,L_{p-1},L_{p})\in{\mathbb{R_{\,+}^{\,*}}}^{p+1}$, avec $L_{0}=0$, qui définissent des fonctions qui doivent vérifier (5.3) et (5.5). La courbe $X$ est donc constituée d’un nombre fini d’arcs de cercles ou de segments de droite.

La fonction $\phi$, définie par (5.2), est linéaire par morceaux, continue sur $[0,L]$. Si on pose

[TABLE]

on a, d’après (5.2),

[TABLE]

Ce problème discret doit vérifier les deux contraintes (5.3) et (5.5) ce qui donne lieu à un problème a priori non linéaire. Cette discrétisation est décrite en section 5.1. Ensuite, pour simplifier, nous considérons qu’un intervalle où $c$ est nul (correspondant à un segment de droite constituant une partie de $X$) peut être remplacé par un intervalle où $c$ est "petit" et strictement positive, le segment étant approché par un cercle de "grand" rayon. Enfin, nous supposons $\phi_{i+1}-\phi_{i}=\xi$ constant. On a donc $\phi_{p}=\Omega=p\xi$ et donc $\xi=\Omega/p$. Enfin, (5.7) donne $L_{i+1}-L_{i}=R_{i}\xi$. Il est ensuite plus simple de considérer l’affixe de $b$ de $B$ et de constater que la contrainte (5.5) fournit un problème linéaire. Cette discrétisation est décrite en section 5.2.

5.1. Cas général

On considère un entier $p\in\mathbb{N}^{*}$ et on construit $p+1$ points du plan, notés ${(A_{k})}_{0\leq k\leq p}$, reliés par $p$ courbes ${\mathcal{D}}_{k}$ qui seront soit des arc de cercle, soit des segments de droites. Notons, pour $0\leq k\leq p$, $a_{k}$ l’affixe complexe du point $A_{k}$, et $L_{k}>0$, la longueur de la courbe ${\mathcal{D}}_{k}$.

Proposition 5.1**.**

Notons $b$ l’affixe respective de $B$ et $\beta$ l’affixes du vecteur $\vec{\beta}$. Soit $p\in\mathbb{N}^{*}$. Pour tout ${(\theta_{k})}_{0\leq k\leq p-1}\in{\left(\mathbb{R_{\,+}}\right)}^{p+1}$, on pose

[TABLE]

avec pour convention $\phi_{0}=0$ et

[TABLE]

prolongé par continuité par convention par $1$ si $\theta_{k}=0$. La courbe formée par la réunion des $p$ courbes ${\mathcal{D}}_{k}$ définies plus haut, par les $2p$ réels ${(\theta_{k})}_{0\leq k\leq p-1}\in{(\mathbb{R_{\,+}})}^{p}$ et ${(L_{k})}_{0\leq k\leq p-1}\in{(\mathbb{R_{\,+}^{\,*}})}^{p}$ appartient à $\mathcal{E}$ ssi

[TABLE]

Il suffit de remarquer que la courbe formée par la réunion des $p$ courbes ${\mathcal{D}}_{k}$ est dans $\mathcal{E}$ ssi $u_{0}=1$ et $u_{p}=\beta$, $A_{0}=A$, $A_{p}=B$. Notons que la courbure de cette courbe est définie partout (sauf aux points $A_{k}$) et est constante par morceaux, valant $1/R_{k}$. Ainsi, (2.6) est vérifiée.

5.2. Cas $p$ quelconque et $\theta_{k}$ constant

Proposition 5.2**.**

Soit $p\in\mathbb{N}^{*}$. On définit ${(\theta_{k})}_{0\leq k\leq p-1}$ par

[TABLE]

Dans ce cas, la courbe $X$ définie dans la proposition 5.1 est formée par $p$ arcs de cercles de rayons $R_{k}>0$, pour $0\leq k\leq p-1$. Elle appartient à $\mathcal{E}$ ssi

[TABLE]

ce qui est équivalent au système linéaire

[TABLE]

où

[TABLE]

Enfin, on a

[TABLE]

Avec l’identification de ${\mathcal{E}}_{p}$ à une partie de ${\left(\mathbb{R_{\,+}^{\,*}}\right)}^{p}$, on a

[TABLE]

et dont découle (5.12). Ainsi minimiser $\left\|\left\|X^{\prime\prime}\right\|\right\|_{L^{\infty}(0,L)}$ revient à maximiser $\displaystyle{\min_{0\leq k\leq p-1}R_{k}}$.

Il suffit ensuite d’appliquer la proposition 5.1 avec (5.9), dans laquelle on a, pour tout $k$, $\theta_{k}=\theta_{0}$ et $\phi_{k}=k\theta_{0}$

On peut alors, à $p$ fixé, adopter la définition suivante :

Définition 5.3**.**

On appelle ${\mathcal{E}}_{p}$ l’ensemble des courbes du plan formées de $p$ arcs de cercles de rayons $R_{k}>0$, pour $0\leq k\leq p-1$, comme défini dans les propositions 5.1 et 5.2. Chaque courbe $X$ de cet ensemble pourra être identifiée au vecteur $R$ de ${\left(\mathbb{R_{\,+}^{\,*}}\right)}^{p}$ défini par (5.11e) et l’ensemble ${\mathcal{E}}_{p}$ pourra donc être identifié à une partie de ${\left(\mathbb{R_{\,+}^{\,*}}\right)}^{p}$.

On a alors le second résultat essentiel de cet article :

Théorème 5.4**.**

Soit $p\geq 2$. Si ${\mathcal{E}}_{p}$ est non vide, il existe une courbe $X$ de ${\mathcal{E}}_{p}$ qui minimise le maximum de la courbure, c’est-à-dire vérifiant

[TABLE]

Pour $X=(X_{1},...,X_{p})\in\mathbb{R_{\,+}}^{p}$, on note

[TABLE]

En identifiant ${\mathcal{E}}_{p}$ à une partie de ${\left(\mathbb{R_{\,+}^{\,*}}\right)}^{p}$, le problème (5.13) est aussi équivalent à

[TABLE]

qui admet une solution, s’il existe $X^{0}\in{\left(\mathbb{R_{\,+}^{\,*}}\right)}^{p}$ tel que $\mathcal{A}X^{0}=\mathcal{B}$.

Voir preuve en annexe A, page A. Il s’agit simplement d’utiliser la proposition 3.1.

Il faut supposer ${\mathcal{E}}_{p}$ non vide, ce que l’on ne peut pas montrer en théorie, mais que l’on pourra vérifier numériquement. Pour résoudre (5.15), nous utiliserons par exemple la fonction fminimax de Matlab avec l’option ’Medium-Scale’. Cet algorithme utilise la méthode ’sequential quadratic programming’ (SQP) présentée dans [BDH79]. La solution numérique déterminée dans cette proposition sera notée $X^{d}$.

On peut aussi déterminer la courbe de Dubins discrète obtenue en minimisant cette fois-ci la longueur discrète et en imposant que $\min(X)\geq\min(X^{d})$ cela grâce à la fonction linprog de matlab, fondée sur la méthode ’Linear Interior Point Solver’ (LIPSOL), présentée dans [Zha98]. La solution obtenue est notée $X^{c}$.

5.2.1. Simulations numériques

Reprenons l’exemple 4.3 pour $p=300$.

Voir la figure 3, où ont été choisis les paramètres de l’exemple 4.3. Cette figure met en évidence le fait que les courbes obtenues sont constituées de cercles de grands rayons de courbures, correspondant à la partie rectiligne de la courbe théorique, puis de cercles de rayons très proches du rayon de la partie circulaire. La courbe présente semble proche donc de la courbe décrite en théorie. en section 4.

6. Construction effective de la pièce du circuit et exemple d’un circuit

Si on choisit les dimensions de la section standard Brio, choisis pour les rails Easyloop, on obtient donc finalement la pièce 6 représentée sur la figure 4(a).

On pourra aussi consulter la figure 4(b) qui montre un exemple d’un ciruit contenant la pièce optimale définie plus haut.

7. Conclusion

On a montré l’existence d’une courbe de l’ensemble $\mathcal{E}$ des courbes courbure alg brique positive, dont les extr mit s et les tangentes en leurs extr mit s sont donn es qui maximise le minimum du rayon de courbure. De plus, il existe une unique courbe ${\mathcal{J}}$ de $\mathcal{E}$, formée d’un segment de droite et d’un arc de cercle. En étudiant les courbes constituées d’un nombre finis d’arcs de cercles, on a constaté numériquement que cette dernière courbe semble être ${\mathcal{J}}$.

L’importante lacune de cet article, qu’il conviendrait de combler par la suite, est de montrer ce que l’on a observé numériquement, c’est-à-dire que la courbe mise en évidence dans le théorème 3.2 est égale à celle construite dans le lemme 4.2. Par la suite, il serait intéressant de montrer les éventuelles unicités des courbes, dans le cas continu comme dans les différents cas discrets évoqués.

1

• Masson, Paris

1

• Institut National Polytechnique de Toulouse (INP Toulouse)

1

• Université Pierre et Marie Curie - Paris VI

1

• Masson, Paris

1

• Institut National Polytechnique de Grenoble - INPG

Références

• [Bas12] Jérôme Bastien

“Circuit apte à guider un véhicule miniature” Patent published on the website of the INPI http://bases-brevets.inpi.fr/fr/document/FR2990627.html?p=6&s=1423127185056&cHash= See [Bas13]., 2012

• [Bas13] Jérôme Bastien

“Circuit suitable for guiding a miniature vehicle [Circuit apte à guider un véhicule miniature]” International patent published under the Patent Cooperation Treaty. See http://bases-brevets.inpi.fr/fr/document/WO2013171170.html?p=6&s=1423127405077&cHash=, 2013

• [Bas15] Jérôme Bastien

“Comment concevoir un circuit de train miniature qui se reboucle toujours bien ?” Transparents présentés lors du Forum des mathématiques 2015 à l’Académie des sciences, belles-lettres et arts de Lyon, disponibles sur le web : http://utbmjb.chez-alice.fr/recherche/brevet_rail/expose_forum_2015.pdf, 2015

URL: http://utbmjb.chez-alice.fr/recherche/brevet_rail/expose_forum_2015.pdf

• [Bas15a] Jérôme Bastien

“Comment concevoir un circuit de train miniature qui se reboucle toujours bien ? –Deux questions d’algèbre et de dénombrement” Transparents présentés au << séminaire détente >> de la Maison des Mathématiques et de l’Informatique, Lyon, disponibles sur le web : http://utbmjb.chez-alice.fr/recherche/brevet_rail/expose_MMI_2015.pdf, 2015

URL: http://utbmjb.chez-alice.fr/recherche/brevet_rail/expose_MMI_2015.pdf

• [Bas16] Jérôme Bastien

“Construction and enumeration of circuits capable of guiding a miniature vehicle” Available on http://rmm.ludus-opuscula.org/Home/ArticleDetails/1163

In Recreat. Math. Mag. 3.6, 2016, pp. 5–42

DOI: 10.1515/rmm-2016-0006

• [Bas16a] Jérôme Bastien

“Divers aspects mathématiques d’un circuit de train extensible et modulaire” Atelier-conférence aux journées 2016 de l’APMEP, Lyon, disponibles sur le web : http://utbmjb.chez-alice.fr/recherche/brevet_rail/circuit_rail_apmep_2016.pdf, 2016

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DOI: 10.1080/10556789808805699

Annexe A Preuves annexes

Rappelons tout d’abord que, comme les courbes représentatives d’applications convexes, on a le lemme suivant :

Lemme A.1**.**

Soit une courbe $X$ vérifiant (1.1b), (1.2), (2.1) , (2.2) et (2.7) alors, pour tout $s\in[0,L]$, la courbe est incluse dans le demi-plan délimitée par la droite tangente à la courbe au point $X(s)$, du côté de $\vec{N}(s)$, la normale extérieure à la courbe en $X(s)$.

Démonstration.

Notons que, sans l’hypothèse (1.2), cette propriété devient fausse comme le montre le contre-exemple de la figure 5.

Notons que

[TABLE]

où $\sigma$ est la rotation vectorielle d’angle $\pi/2$. Voir sur la figure 6, la situation représentée. On note $\langle.,.\rangle$, le produit scalaire Euclidien de $\mathbb{R}^{2}$ (qui induit la norme Euclidienne $\left\|.\right\|$ de $\mathbb{R}^{2}$). Pour $s\in[0,L]$ fixé et pour tout $t\in[0,L]$, on pose

[TABLE]

dont la dérivée vaut d’après (5.1)

[TABLE]

et donc

[TABLE]

Or, d’après (1.2), et (2.7), on a, pour tout $t$,

[TABLE]

et, si $t\geq s$,

[TABLE]

et donc, d’après (A.1), $\gamma^{\prime}(t)\geq 0$. De même, si $t\leq s$, $\gamma^{\prime}(t)\leq 0$. Or, on a $\gamma(s)=0$ et donc pour tout $t$, $\gamma(t)\geq 0$. $\gamma(t)$ représente la composante du vecteur $X(t)-X(s)$ sur $\sigma(X^{\prime}(s))$, ce qui nous permet de conclure. ∎

Démonstration du lemme 2.4.

Soit $X$ vérifiant (1.1b), (1.2), (2.1), (2.2), (2.6) (ou (2.7)).

On considère de nouveau le repère orthonormé $\left(A,\vec{\alpha},\vec{k}\right)$. On note de nouveau $(x(s),y(s))$ les coordonnées de $X$ dans ce repère, comme indiqué sur la figure 7. D’après les hypothèses (1.2), (2.1d), (2.1e) et (2.7), il existe $s_{0}\in[0,L[$ tel que

[TABLE]

Fixons $s\in]s_{0},L]$. Pour tout point $P=(x_{p},y_{p})$ de la droite passant par $X(s)$ et porté par $X^{\prime}(s)$, il existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{PX(s)}=\lambda X^{\prime}(s)$, soit d’après (5.1)

[TABLE]

Les deux droites respectives passant par $A$ et portée par $\vec{\alpha}$ et passant par $X(s)$ et portée par $X^{\prime}(s)$ se coupent donc un unique point $Q(s)$ d’ordonnée [math] et d’abscisse donnée par $x_{p}$ dans (A.3) correspondant à $y_{p}=0$. On a donc

[TABLE]

Considérons $u(s)$, défini comme l’abscisse $x_{p}$ de $Q(s)$ et $v(s)=\lambda$. Le point $Q(s)$ vérifie donc

[TABLE]

où

[TABLE]

On peut dériver $u$ presque partout et on a, compte tenu de (5.1)

[TABLE]

et donc

[TABLE]

Par ailleurs, d’après (5.1), on a

[TABLE]

Ainsi, d’après (1.2) et (2.9), $\sin(\phi)\geq 0$ et donc $y(s)\geq 0$, ce qui implique d’après (2.7) et (A.10) :

[TABLE]

Ainsi, il existe

[TABLE]

On a

[TABLE]

Si ce n’était pas le cas, il existerait $s_{1}$ tel que

[TABLE]

Cela implique que le point $A$ se situe dans le demi-plan ouvert limité par la droite passant par $X(s_{1})$, portée par $X^{\prime}(s_{1})$, du côté opposé à la normale à la courbe en $X(s_{1})$ (voir figure 8). Or, d’après le lemme A.1, la courbe doit aussi se trouver dans le demi-plan limité par la droite passant par $X(s_{1})$, portée par $X^{\prime}(s_{1})$, du même côté que la normale à la courbe en $X(s_{1})$. Ainsi, (A.13) est vrai. Rappelons que, d’après (2.1e), il existe un sous-intervalle $J$ de $[s_{0},L]$ tel que

[TABLE]

Ainsi, d’après (A.11), (A.13) et (A.15)

[TABLE]

Enfin, d’après (A.6), $v(L)=y(L)/\sin\Omega>0$ et donc

[TABLE]

On conclut en posant $u_{0}=u(L)$ et $v_{0}=v(L)$ et en utilisant (A.16) et (A.17) qui impliquent que $O$ est distinct de $A$ et de $B$. ∎

Démonstration de la proposition 3.1.

1. (1)

2. (a)

Il suffit de choisir $\mu=AB$, non nul. 2. (b)

Montrons maintenant l’existence de $\nu$.

Comme indiqué sur la figure 9, on considère le repère orthonormé $\left(A,\vec{i},\vec{j}\right)$ défini par

[TABLE]

et on définit l’angle $\widetilde{\phi}$ analogue à celui défini par (2.4)

[TABLE]

Ainsi, dans ce repère, en notant $X(s)=(\widetilde{x}(s),\widetilde{y}(s))$, les coordonnées des points de la courbe $X$, on a les relations habituelles identiques à (5.1) :

[TABLE]

On a donc, d’après (A.18) et (A.19)

[TABLE]

et donc

[TABLE]

L’hypothèse (2.9) implique donc que

[TABLE]

D’après (1.2), on a donc $\Omega/2\in[0,\pi/2[$ et donc

[TABLE]

et donc

[TABLE]

Enfin, d’après (A.20a) et (A.23), on a pour toute courbe $X\in\mathcal{E}$, en notant $\widetilde{b}$ l’abscisse de $B$ dans le repère $\left(A,\vec{i},\vec{j}\right)$

[TABLE]

et donc

[TABLE]

et donc

[TABLE]

qui ne dépend que des trois points $O$, $A$ et $B$. Notons que $\mathcal{E}$ est non vide ; en effet, il contient par exemple une parabole (voir la parabole introduite en section 1, qui est de courbure algébrique de signe constant). On peut aussi utiliser la courbe construite en section 4. Ainsi, il existe une courbe avec $L$ non nul, d’après la première inégalité de (3.1a), et la constante $\frac{\widetilde{b}}{\cos(\Omega/2)}$ est strictement positive. 2. (2)

On écrit

[TABLE]

et donc

[TABLE]

On conclut ce point grâce à (3.1a) et en posant $\delta=\Omega/\nu$.

∎

Démonstration du théorème 3.2.

On a déjà remarqué, dans la preuve de la proposition 3.1 que $\mathcal{E}$ était non vide.

D’après (3.1b), on peut poser

[TABLE]

Pour toute la suite, on peut considérer la fonction $g$ de $\mathcal{E}$ dans $\mathbb{R_{\,+}^{\,*}}$ définie par

[TABLE]

D’après la définition (A.27) de $\delta_{0}>0$, il existe une suite $(X_{n})$ de $\mathcal{E}$ telle que

[TABLE]

Montrons que $X_{n}$ admet une suite extraite convergeant vers un élément $X$ de $\mathcal{E}$, ce qui nous permettra de conclure. Il nous faut tout d’abord construire une sous-suite de $X_{n}$ telle que la suite des longueurs $L(X_{n})$ converge vers un réel $L_{0}>0$. D’après (3.1a), on a

[TABLE]

Ainsi, puisque $L(X_{n})$ appartient à un compact de $\mathbb{R}$, on peut extraire de $X_{n}$ une sous suite, encore notée de la même façon, de telle sorte que la suite $L(X_{n})$ converge vers un réel $L_{0}>0$ :

[TABLE]

On est donc de nouveau dans le cadre de la preuve de [Dub57, Proposition 1], que l’on adapte à notre cas. En effet, la preuve de [Dub57, Proposition 1] est fondée sur le fait que $L_{0}$ est la borne inférieure des longueurs $L(X_{n})$, puisque Dubins cherche une courbe minimisant la longueur. Ici ce n’est plus le cas et on nous allons d’abord nous ramener à un intervalle de référence de longueur $1$ avant d’extraire une sous-suite de $X_{n}$. On considère donc la suite de fonctions $\widetilde{X}_{n}$ définies par

[TABLE]

Nous allons alors extraire de $\widetilde{X}_{n}$ une sous-suite convergente. Il est clair que, puisque $X_{n}$ appartient à $\mathcal{E}$, on a, pour tout $n$ :

[TABLE]

avec

[TABLE]

et donc que

[TABLE]

On considère une détermination continue de l’angle $\widetilde{\phi}_{n}$ défini par

[TABLE]

et on a, puisque l’angle $\phi_{n}$ associé à $X_{n}$ est croissant,

[TABLE]

Remarquons que (A.30) et (A.35a) impliquent

[TABLE]

et donc la suite $X^{\prime}_{n}$ est une famille de fonctions uniformément bornées. De plus, on a

[TABLE]

soit d’après (A.34b) :

[TABLE]

et donc, en posant $K=\nu^{2}\sup_{n}g(X_{n})<+\infty$, car la suite $g(X_{n})$ converge et en utilisant (A.30), on a

[TABLE]

Ainsi, la famille $X^{\prime}_{n}$ est une famille uniformément bornée et équicontinue et, d’après le théorème d’Ascoli222voir par exemple http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./e/equicontinu.html, il existe une suite extraite de $\widetilde{X}_{n}$, encore notée de la même façon, dont la dérivée converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction $\widetilde{Y}$ continue. Puisque

[TABLE]

on a, pour tout $t\in[0,1]$,

[TABLE]

et donc la suite $\widetilde{X}_{n}$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction $\widetilde{X}$. Puisque $\widetilde{X}^{\prime}_{n}$ converge uniformément vers $\widetilde{Y}$ et que $\widetilde{X}_{n}$ converge vers $\widetilde{X}$, on a ${\left(\widetilde{X}\right)}^{\prime}={\left(\lim\widetilde{X}_{n}\right)}^{\prime}=\lim\widetilde{X}^{\prime}_{n}=\widetilde{Y}$. Ainsi, $\widetilde{X}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{1}$. Par ailleurs, de (A.40), on déduit, en passant à la limite $n$ tendant vers l’infini :

[TABLE]

et donc, d’après par exemple, [Bre83, Proposition VIII.3 et Corollaire VIII.4], $\widetilde{X}$ appartient à $W^{2,\infty}(0,1;\linebreak[1]\mathbb{R}^{2})$. Si on passe à la limite $n$ tendant vers l’infini dans (A.39), on a aussi

[TABLE]

et donc de nouveau en utilisant333voir aussi https://fr.wikipedia.org/wiki/Application lipschitzienne#cite note-Wikiversité [Bre83, Proposition VIII.3 et Corollaire VIII.4] et [Rud92, Théorème 8.18], on a

[TABLE]

Revenons enfin à l’intervalle $[0,L_{0}]$ en considérant la fonction $X\in W^{2,\infty}(0,L_{0};\linebreak[1]\mathbb{R}^{2})$ définie par

[TABLE]

Montrons, pour conclure, que $X$ appartient à $\mathcal{E}$ et minimise $g(Z)$ pour $Z$ décrivant $\mathcal{E}$. Il est clair qu’on a

[TABLE]

et qu’en passant à la limite $n\to\infty$ dans (A.34a) et (A.35), on obtient donc

[TABLE]

En considérant une détermination continue de l’angle $\phi$ défini par

[TABLE]

et on a, selon (A.37),

[TABLE]

Naturellement, on vérifie que

[TABLE]

soit

[TABLE]

Ainsi $X$ appartient à $W^{2,\infty}(0,L_{0};\mathbb{R}^{2})$ et à $\mathcal{E}$. Enfin, on a, d’après (A.43),

[TABLE]

et donc

[TABLE]

D’après la définition (A.27) de $\delta_{0}$, puisque $X$ appartient à $\mathcal{E}$, on a donc

[TABLE]

Finalement, grâce à (A.46) et (A.47), on a

[TABLE]

Ainsi, $X$ appartient à $\mathcal{E}$ et $X$ est de maximum de courbure minimal, ce qui permet de conclure cette preuve. ∎

Remarque A.2*.*

Les preuves de la proposition 3.1 et du théorème 3.2 sont fondées sur les deux inégalités (A.22) et (A.23) qui proviennent de (2.9), elle-même conséquence de (2.7). L’autre inégalité fondamentale de ces preuves (A.26) est encore valable sans l’hypothèse (2.7). Autrement dit, la proposition 3.1 et le théorème 3.2 sont encore valables si l’on remplace l’hypothèse (2.7) par l’hypothèse plus générale (2.9).

Démonstration du lemme 4.2.

Supposons tout d’abord qu’il existe une courbe $Y$ de $\mathcal{E}$ formée d’un arc de cercle $\mathcal{C}$ de longueur non nulle et d’un segment de droite $S$ éventuellement réduit à un point et montrons qu’elle est nécessairement unique. D’après (2.1), l’arc de cercle est tangent en $A$ à $(OA)$ ou tangent en $B$ à $(OB)$.

1. (1)

Supposons que $\mathcal{C}$ est tangent en $A$ à $(OA)$. Dans ce cas, le segment de droite est tangent en $B$ à $(OB)$ et il est donc inclus dans la droite $(OB)$. Puisque la courbe est de classe ${\mathcal{C}}^{1}$, $\mathcal{C}$ et $S$ sont tangents donc $\mathcal{C}$ est tangent à $(OB)$. Il n’existe que tels deux arcs de cercles possibles $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$, dont les centres sont respectivement sur la bissectrice $d_{1}$ de $\widehat{AOB}$ ou la droite $d_{2}$ perpendiculaire à cette bissectrice, passant par $O$. Voir figure 10. Le centre $C_{1}$ (resp. $C_{2}$) $\mathcal{C}_{1}$ (resp. de $\mathcal{C}_{2}$) se trouve nécessairement sur la droite passant par $A$ et $d_{1}$ (resp. $d_{2}$), qui se coupent nécessairement, compte tenu de (1.2). Ces deux arcs de cercles, de part et d’autre de $(OA)$ doivent être parcourus dans le sens trigonométrique, pour respecter (2.6) et, sur la figure 10, seul l’arc de cercle $\mathcal{C}_{1}$ respecte ce sens. Ainsi, si l’arc de cercle est tangent en $A$ à $(OA)$, il est unique et correspond à l’arc de cercle $\mathcal{C}_{1}$ de la figure 10.

On considère ensuite le point de contact $E$ entre $\mathcal{C}_{1}$, nécessairement sur la demi-droite $]OB)$. Voir figure 11. Si $E$ est strictement plus loin de $B$ que $O$ (ce qui implique $OB<OA$), alors la courbe $Y$ de $\mathcal{E}$ ne peut revenir à $B$ par un segment de droite. Nécessairement, $\mathcal{C}$ est tangent en $B$ à $(OB)$ et on construit l’unique arc de cercle $\mathcal{C}_{3}$, comme précédemment (voir figure 11), tangent à $(OB)$ en $B$ et tangent à $(OA)$. Ainsi, dans ce cas, la courbe $Y$ est nécessairement formée de $\mathcal{C}=\mathcal{C}_{3}$ et du segment $[AF]$, non réduit à un point.

Si, au contraire $E$ est strictement moins loin de $B$ que $O$ (ce qui implique $OB>OA$), alors, de même, la courbe $Y$ est nécessairement formée de $\mathcal{C}=\mathcal{C}_{1}$ et du segment $[EB]$, non réduit à un point (voir figure 12).

Enfin, si $E$ est exactement aussi loin de $B$ que $O$ (ce qui implique $OB=OA$), alors, de même, la courbe $Y$ est nécessairement uniquement formée de $\mathcal{C}=\mathcal{C}_{1}$ (voir figure 13). S’il existe une courbe $Y$ de $\mathcal{E}$ formée d’un arc de cercle $\mathcal{C}$ de longueur non nulle, alors on tombe sur ce dernier cas. 2. (2)

Si $\mathcal{C}$ est tangent en $B$ à $(OB)$, on arrive à la même construction.

Montrons maintenant l’existence de la courbe. Dans les trois cas évoqués dans l’unicité (selon que $OB>OA$, $OB<OA$ ou $OA=OB$), on peut construire, une courbe $Y$ de $\mathcal{E}$, formée d’un arc de cercle et de périmètre dans $]0,R_{a}(O,A,B)\pi[$ et d’un segment de droite. Dans cette construction, on vérifie que (2.1b), (2.1c), (2.1d) et (2.1e) on lieu grâce à (1.1).

L’égalité (4.1) est triviale, puisque $\left\|X^{\prime\prime}\right\|=0$ ou $1/R_{a}$.

∎

Démonstration du lemme 4.4.

Soit $R_{a}=R_{a}(O,A,B)$, le nombre défini dans le lemme 4.2. Supposons par exemple que $OB<OA$. On est donc dans le premier cas de la démonstration du lemme 4.2. La courde Dubins $\mathcal{G}(R)$ pour $R<R_{a}(O,A,B)$ est unique et est formée alors de deux arcs de cercles, reliés par un segment de droite $[ED]$ avec $E\not=D$, comme le montre la figure A.14(a). Le premier arc de cercle est nécessairement tangent à la droite $(OB)$ en $B$ et son centre $F$, est tel que $(BF)$ est $(OB)$ soient perpendiculaires. Puisque $R<R_{a}(O,A,B)$, $F$ est dans le secteur de plan défini par les demi-droites $[OB)$ et $d$, la bissectrice de l’angle $\widehat{AOB}$. Si $G$ est le centre du second cercle de la courbe de Dubins, tangent en $A$ à $(OA)$, alors $FGDE$ est un rectangle et le segment $[ED]$ est inclus dans le secteur de plan défini par les demi-droites $[OB)$ et $[OA)$. Le second cercle de la courbe de Dubins est de longueur non nulle. On vérifie que la courbe $\mathcal{G}(R)$ appartient bien à $\mathcal{E}$. Cela est vrai tant que $R$ appartient à $]0,R_{a}(O,A,B)[$. Si $R$ croît, $ED$ augmente, la longueur du premier arc de cercle augmente, celle du second diminue. Pour le cas limite, $R=R_{a}(O,A,B)$, correspondant à la figure A.14(b), le premier cercle devient tangent à $(OA)$ en $E$, $D$ se confond avec $A$ et la longueur du second cercle devient nulle. On retrouve donc l’unique courbe du lemme 4.2.

Les cas $OA<OB$ ou $OA=OB$ se traitent de la même façon (voir figures A.15(a) et A.15(b)).

En revanche, on laisse au lecteur le soin de vérifier que dès que $R$ dépasse strictement $R_{a}(O,A,B)$ on obtient des courbes qui présentent un changement strict du signe de la courbure. Voir figures 14 et 15. Le cas limite des figures A.14(b) et A.15(b) correspond exactement à la courbe décrite dans le lemme 4.2. ∎

Démonstration du théorème 5.4.

Il est nécessaire de prendre $p\geq 2$, car dans le cas $p=1$, le système linéaire est sous-déterminé.

Tout d’abord, constatons que ${\mathcal{E}}_{p}$ est inclus dans ${\mathcal{E}}$. Ainsi, d’après (3.1b) on peut affirmer qu’il existe $\delta_{p}>0$ telle que pour toute courbe $X$ de ${\mathcal{E}}_{p}$,

[TABLE]

On laisse vérifier au lecteur que $X$ appartient à ${\mathcal{E}}_{p}$ ssi $X$ appartient à ${\left(\mathbb{R_{\,+}^{\,*}}\right)}^{p}$ et vérifie le système linéaire $\mathcal{A}X=\mathcal{B}$. Si ${\mathcal{E}}_{p}$ est non vide, il existe donc $\delta_{p,0}>0$ défini par

[TABLE]

Concluons en utilisant (3.1a). D’après (A.49), il existe une suite $X^{n}$ de ${\left(\mathbb{R_{\,+}^{\,*}}\right)}^{p}$ telle que

[TABLE]

Montrons que $X^{n}$ admet une suite extraite convergeant vers un élément $X$ de ${\mathcal{E}}_{p}$, ce qui nous permettra de conclure. Remarquons que ${\mathcal{E}}_{p}$ est inclus dans un compact de $\mathbb{R}^{p}$. En effet, si $X$ appartient à ${\left(\mathbb{R_{\,+}^{\,*}}\right)}^{p}$, on a

[TABLE]

et a fortiori

[TABLE]

De plus, puisque ${\mathcal{E}}_{p}$ est inclus dans $\mathcal{E}$, (3.1a) s’applique :

[TABLE]

Dans le cas discret, on a, en notant $X=(R_{1},...,X{p})$,

[TABLE]

et donc, d’après (A.51) et (A.52),

[TABLE]

D’après (A.51) et (A.53), ${\mathcal{E}}_{p}$ est inclus dans un fermé borné de $\mathbb{R}^{p}$, qui est donc compact. Il existe donc $X\in\mathbb{R}^{p}$ et une sous-suite de $X^{n}$, notée de la même façon, telle que

[TABLE]

Puisque, pour tout $n$, on a $X^{n}\in{\mathcal{E}}_{p}$, on a

[TABLE]

et par continuité :

[TABLE]

Enfin, d’après (5.12) et (A.50), on a, en notant $X^{n}=(R_{1}^{n},...,R_{p}^{n})$,

[TABLE]

et en particulier, il existe $N$ tel que

[TABLE]

ce qui implique

[TABLE]

et donc

[TABLE]

et à la limite

[TABLE]

D’après (A.55) et (A.56), on a donc $X\in{\mathcal{E}}_{p}$. ∎