The semigroup of star partial homeomorphisms of a finite deminsional   Euclidean space

Oleg Gutik; Kateryna Melnyk

arXiv:1905.10736·math.GR·May 28, 2019

The semigroup of star partial homeomorphisms of a finite deminsional Euclidean space

Oleg Gutik, Kateryna Melnyk

PDF

TL;DR

This paper introduces and analyzes the algebraic structure of the semigroup of star partial homeomorphisms on finite-dimensional Euclidean spaces, revealing it as a bisimple inverse semigroup with specific congruence properties.

Contribution

It defines the semigroup of star partial homeomorphisms on al R^n and describes its structure, band, Green's relations, and congruences, which was not previously known.

Findings

01

The semigroup al PStH_{al R^n} is bisimple and inverse.

02

The band of the semigroup is characterized.

03

Every non-unit congruence on the semigroup is a group congruence.

Abstract

In the paper the notion of a star partial homeomorphism of a finite dimensional Euclidean space $R^{n}$ is introduced. We describe the structure of the semigroup $PStH_{R^{n}}$ of star partial homeomorphisms of the space $R^{n} .$ The structure of the band of $PStH_{R^{n}}$ and Green's relations on $PStH_{R^{n}}$ are described. We show that $PStH_{R^{n}}$ is a bisimple inverse semigroup and every non-unit congruence on $PStH_{R^{n}}$ is a group congruence.

Equations40

e ⩽ f \T 2A \cyrt \T 2A \cyro \T 2A \cyrd \T 2A \cyrii \T 2A \cyrii \T 2A \cyrl \T 2A \cyri \T 2A \cyrsh \T 2A \cyre \T 2A \cyrt \T 2A \cyro \T 2A \cyrd \T 2A \cyrii, \T 2A \cyrk \T 2A \cyro \T 2A \cyrl \T 2A \cyri e f = f e = e .

e ⩽ f \T 2A \cyrt \T 2A \cyro \T 2A \cyrd \T 2A \cyrii \T 2A \cyrii \T 2A \cyrl \T 2A \cyri \T 2A \cyrsh \T 2A \cyre \T 2A \cyrt \T 2A \cyro \T 2A \cyrd \T 2A \cyrii, \T 2A \cyrk \T 2A \cyro \T 2A \cyrl \T 2A \cyri e f = f e = e .

s ⩽ t \T 2A \cyrt \T 2A \cyro \T 2A \cyrd \T 2A \cyrii \T 2A \cyrii \T 2A \cyrl \T 2A \cyri \T 2A \cyrsh \T 2A \cyre \T 2A \cyrt \T 2A \cyro \T 2A \cyrd \T 2A \cyrii, \T 2A \cyrk \T 2A \cyro \T 2A \cyrl \T 2A \cyri s = t e,

s ⩽ t \T 2A \cyrt \T 2A \cyro \T 2A \cyrd \T 2A \cyrii \T 2A \cyrii \T 2A \cyrl \T 2A \cyri \T 2A \cyrsh \T 2A \cyre \T 2A \cyrt \T 2A \cyro \T 2A \cyrd \T 2A \cyrii, \T 2A \cyrk \T 2A \cyro \T 2A \cyrl \T 2A \cyri s = t e,

x (α β) = (xα) β \mbox \T 2 A \cyrya \T 2 A \cyrk \T 2 A \cyrshch \T 2 A \cyro x \in dom (α β) = {y \in dom α : y α \in dom β}, \mbox \T 2 A \cyrd \T 2 A \cyrl \T 2 A \cyrya α, β \in I_{λ} .

x (α β) = (xα) β \mbox \T 2 A \cyrya \T 2 A \cyrk \T 2 A \cyrshch \T 2 A \cyro x \in dom (α β) = {y \in dom α : y α \in dom β}, \mbox \T 2 A \cyrd \T 2 A \cyrl \T 2 A \cyrya α, β \in I_{λ} .

(u) ρ_{L} = max {c ⩾ 0 : c x \in L} .

(u) ρ_{L} = max {c ⩾ 0 : c x \in L} .

(x)\beta_{L}=\left\{\begin{array}[]{ll}\mathbf{0},&\hbox{\T2A\cyrya\T2A\cyrk\T2A\cyrshch\T2A\cyro\leavevmode\nobreak\ }x=\mathbf{0};\\ x\cdot((x)r)\rho_{L},&\hbox{\T2A\cyrv \T2A\cyrii\T2A\cyrn\T2A\cyrsh\T2A\cyro\T2A\cyrm\T2A\cyru \T2A\cyrv\T2A\cyri\T2A\cyrp\T2A\cyra\T2A\cyrd\T2A\cyrk\T2A\cyru},\end{array}\right.

(x)\beta_{L}=\left\{\begin{array}[]{ll}\mathbf{0},&\hbox{\T2A\cyrya\T2A\cyrk\T2A\cyrshch\T2A\cyro\leavevmode\nobreak\ }x=\mathbf{0};\\ x\cdot((x)r)\rho_{L},&\hbox{\T2A\cyrv \T2A\cyrii\T2A\cyrn\T2A\cyrsh\T2A\cyro\T2A\cyrm\T2A\cyru \T2A\cyrv\T2A\cyri\T2A\cyrp\T2A\cyra\T2A\cyrd\T2A\cyrk\T2A\cyru},\end{array}\right.

a R b \mbox \leavevmode \T 2 A \cyrt \T 2 A \cyro \T 2 A \cyrd \T 2 A \cyrii \T 2 A \cyrii \T 2 A \cyrl \T 2 A \cyri \T 2 A \cyrsh \T 2 A \cyre \T 2 A \cyrt \T 2 A \cyro \T 2 A \cyrd \T 2 A \cyrii, \T 2 A \cyrk \T 2 A \cyro \T 2 A \cyrl \T 2 A \cyri \leavevmode a S^{1} = b S^{1};

a R b \mbox \leavevmode \T 2 A \cyrt \T 2 A \cyro \T 2 A \cyrd \T 2 A \cyrii \T 2 A \cyrii \T 2 A \cyrl \T 2 A \cyri \T 2 A \cyrsh \T 2 A \cyre \T 2 A \cyrt \T 2 A \cyro \T 2 A \cyrd \T 2 A \cyrii, \T 2 A \cyrk \T 2 A \cyro \T 2 A \cyrl \T 2 A \cyri \leavevmode a S^{1} = b S^{1};

a L b \mbox \leavevmode \T 2 A \cyrt \T 2 A \cyro \T 2 A \cyrd \T 2 A \cyrii \T 2 A \cyrii \T 2 A \cyrl \T 2 A \cyri \T 2 A \cyrsh \T 2 A \cyre \T 2 A \cyrt \T 2 A \cyro \T 2 A \cyrd \T 2 A \cyrii, \T 2 A \cyrk \T 2 A \cyro \T 2 A \cyrl \T 2 A \cyri \leavevmode S^{1} a = S^{1} b;

a J b \mbox \leavevmode \T 2 A \cyrt \T 2 A \cyro \T 2 A \cyrd \T 2 A \cyrii \T 2 A \cyrii \T 2 A \cyrl \T 2 A \cyri \T 2 A \cyrsh \T 2 A \cyre \T 2 A \cyrt \T 2 A \cyro \T 2 A \cyrd \T 2 A \cyrii, \T 2 A \cyrk \T 2 A \cyro \T 2 A \cyrl \T 2 A \cyri \leavevmode S^{1} a S^{1} = S^{1} b S^{1};

D = L \circ R = R \circ L;

H = L \cap R .

a) \leavevmode r < r_{1}; b) \leavevmode r_{1} < r < r_{2}; i c) \leavevmode r_{2} < r .

a) \leavevmode r < r_{1}; b) \leavevmode r_{1} < r < r_{2}; i c) \leavevmode r_{2} < r .

dom α = B_{r_{2}}, ran α = B_{r_{1}} i (x) α = x \cdot \frac{r _{1}}{r _{2}} .

dom α = B_{r_{2}}, ran α = B_{r_{1}} i (x) α = x \cdot \frac{r _{1}}{r _{2}} .

ε_{r_{2}} α = α ε_{r_{2}} = α, ε_{r_{2}} α^{- 1} = α^{- 1} ε_{r_{2}} = α^{- 1}, α α^{- 1} = ε_{r_{2}} i α^{- 1} α = ε_{r_{1}} \neq = ε_{r_{2}},

ε_{r_{2}} α = α ε_{r_{2}} = α, ε_{r_{2}} α^{- 1} = α^{- 1} ε_{r_{2}} = α^{- 1}, α α^{- 1} = ε_{r_{2}} i α^{- 1} α = ε_{r_{1}} \neq = ε_{r_{2}},

dom β = B_{r_{2} (\frac{r _{2}}{r _{1}})^{n_{r}}}, ran β = B_{r_{2} (\frac{r _{2}}{r _{1}})^{n_{r} - 1}} i (x) β = x \cdot \frac{r _{1}}{r _{2}} .

dom β = B_{r_{2} (\frac{r _{2}}{r _{1}})^{n_{r}}}, ran β = B_{r_{2} (\frac{r _{2}}{r _{1}})^{n_{r} - 1}} i (x) β = x \cdot \frac{r _{1}}{r _{2}} .

ε_{1} β = β ε_{1} = β, ε_{1} β^{- 1} = β^{- 1} ε_{1} = β^{- 1}, β β^{- 1} = ε_{1} i β^{- 1} β = ε_{2} \neq = ε_{1},

ε_{1} β = β ε_{1} = β, ε_{1} β^{- 1} = β^{- 1} ε_{1} = β^{- 1}, β β^{- 1} = ε_{1} i β^{- 1} β = ε_{2} \neq = ε_{1},

ε_{1} C α_{x_{1}}^{- 1} ε_{s} α_{x_{1}} \dots α_{x_{k}}^{- 1} ε_{s} α_{x_{k}} .

ε_{1} C α_{x_{1}}^{- 1} ε_{s} α_{x_{1}} \dots α_{x_{k}}^{- 1} ε_{s} α_{x_{k}} .

ε_{y} = ε_{y} ε_{1} = ε_{1}^{- 1} ε_{y}^{- 1} ε_{y} ε_{1} C γ^{- 1} ε_{y}^{- 1} ε_{y} γ = γ^{- 1} ε_{y} γ .

ε_{y} = ε_{y} ε_{1} = ε_{1}^{- 1} ε_{y}^{- 1} ε_{y} ε_{1} C γ^{- 1} ε_{y}^{- 1} ε_{y} γ = γ^{- 1} ε_{y} γ .

(z) ρ_{L_{γ}} = z \cdot (1 + (z) f) .

(z) ρ_{L_{γ}} = z \cdot (1 + (z) f) .

(z)\beta_{L_{\gamma}}=\left\{\begin{array}[]{ll}\mathbf{0},&\hbox{\T2A\cyrya\T2A\cyrk\T2A\cyrshch\T2A\cyro\leavevmode\nobreak\ }z=\mathbf{0};\\ z\cdot((z)r)\rho_{L_{\gamma}},&\hbox{\T2A\cyrv \T2A\cyrii\T2A\cyrn\T2A\cyrsh\T2A\cyro\T2A\cyrm\T2A\cyru \T2A\cyrv\T2A\cyri\T2A\cyrp\T2A\cyra\T2A\cyrd\T2A\cyrk\T2A\cyru},\end{array}\right.

(z)\beta_{L_{\gamma}}=\left\{\begin{array}[]{ll}\mathbf{0},&\hbox{\T2A\cyrya\T2A\cyrk\T2A\cyrshch\T2A\cyro\leavevmode\nobreak\ }z=\mathbf{0};\\ z\cdot((z)r)\rho_{L_{\gamma}},&\hbox{\T2A\cyrv \T2A\cyrii\T2A\cyrn\T2A\cyrsh\T2A\cyro\T2A\cyrm\T2A\cyru \T2A\cyrv\T2A\cyri\T2A\cyrp\T2A\cyra\T2A\cyrd\T2A\cyrk\T2A\cyru},\end{array}\right.

(ε_{1} β_{L_{γ}})^{- 1} (ε_{1} β_{L_{γ}}) C (γ β_{L_{γ}})^{- 1} (γ β_{L_{γ}}),

(ε_{1} β_{L_{γ}})^{- 1} (ε_{1} β_{L_{γ}}) C (γ β_{L_{γ}})^{- 1} (γ β_{L_{γ}}),

β_{L_{γ}}^{- 1} β_{L_{γ}} = β_{L_{γ}}^{- 1} ε_{1} β_{L_{γ}} = = β_{L_{γ}}^{- 1} ε_{1}^{- 1} ε_{1} β_{L_{γ}} = = (ε_{1} β_{L_{γ}})^{- 1} (ε_{1} β_{L_{γ}}) C (γ β_{L_{γ}})^{- 1} (γ β_{L_{γ}}) = = β_{L_{γ}}^{- 1} γ^{- 1} γ β_{L_{γ}} .

β_{L_{γ}}^{- 1} β_{L_{γ}} = β_{L_{γ}}^{- 1} ε_{1} β_{L_{γ}} = = β_{L_{γ}}^{- 1} ε_{1}^{- 1} ε_{1} β_{L_{γ}} = = (ε_{1} β_{L_{γ}})^{- 1} (ε_{1} β_{L_{γ}}) C (γ β_{L_{γ}})^{- 1} (γ β_{L_{γ}}) = = β_{L_{γ}}^{- 1} γ^{- 1} γ β_{L_{γ}} .

((x) γ) ρ_{L_{γ}} = (x) γ \cdot (1 + ((x) γ) f) = (x) γ \cdot (1 + 1) = (x) γ \cdot 2,

((x) γ) ρ_{L_{γ}} = (x) γ \cdot (1 + ((x) γ) f) = (x) γ \cdot (1 + 1) = (x) γ \cdot 2,

Peer Reviews

No public reviews on file for this paper yet. If you reviewed it on a platform where reviews are public (OpenReview, ICLR, NeurIPS, ICML), you can paste yours below so the community can read it here.

Videos

No videos yet. Explain this paper in a talk, walkthrough, or lecture? Add one.

Full text

Напiвгрупа зiркових часткових гомеоморфiзмiв скiнченновимiрного евклiдового простору

Олег Гутiк, Катерина Мельник

Механiко-математичний факультет, Львiвський нацiональний унiверситет iм. Iвана Франка, Унiверситецька 1, Львiв, 79000, Україна

[email protected], [email protected], [email protected]

Анотацiя.

Введено поняття зiркового часткового гомеоморфiзму скiнченновимiрного евклiдового простору $\mathbb{R}^{n}$ i дослiджується структура напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ зiркових часткових гомеоморфiзмiв простору $\mathbb{R}^{n}$ . Описано структуру iдемпотентiв напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ i вiдношення Ґрiна на $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ . Зокрема доведено, що $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ — бiпроста iнверсна напiвгрупа, а також, що кожна неодинична конгруенцiя на $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ є груповою.

Oleg Gutik, Kateryna Melnyk. The semigroup of star partial homeomorphisms of a finite deminsional Euclidean space.

In the paper the notion of a star partial homeomorphism of a finite dimensional Euclidean space $\mathbb{R}^{n}$ is introduced. We describe the structure of the semigroup $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ of star partial homeomorphisms of the space $\mathbb{R}^{n}.$ The structure of the band of $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ and Green’s relations on $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ are described. We show that $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ is a bisimple inverse semigroup and every non-unit congruence on $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ is a group congruence.

Key words and phrases:

Напiвгрупа перетворень, iнверсна напiвгрупа, частковий гомеоморфiзм, зiрка, вiдношення Ґрiна, конгруенцiя

2010 Mathematics Subject Classification:

20M15, 20M50, 18B40.

Ми користуватимемося термiнологiєю з [26, 27, 33, 39].

Надалi будемо вважати, що на $n$ -вимiрному евклiдовому просторi $\mathbb{R}^{n}$ визначена звичайна (евклiдова) топологiя.

Якщо визначене часткове вiдображення $\alpha\colon X\rightharpoonup Y$ з множини $X$ у множину $Y$ , то через $\operatorname{dom}\alpha$ i $\operatorname{ran}\alpha$ будемо позначати його область визначення та область значень, вiдповiдно, а через $(x)\alpha$ i $(A)\alpha$ — образи елемента $x\in\operatorname{dom}\alpha$ та пiдмножини $A\subseteq\operatorname{dom}\alpha$ при частковому вiдображеннi $\alpha$ , вiдповiдно.

Часткове вiдображення (перетворення) $\alpha\colon X\rightharpoonup X$ топологiчного простору $X$ називається частковим гомеоморфiзмом простору $\mathbb{R}$ , якщо його звуження $\alpha|_{\operatorname{dom}\alpha}\colon\operatorname{dom}\alpha\rightarrow\operatorname{ran}\alpha$ є гомеоморфiзмом.

Якщо $S$ — напiвгрупа, то її пiдмножина iдемпотентiв позначається через $E(S)$ . Напiвгрупа $S$ називається iнверсною, якщо для довiльного її елемента $x$ iснує єдиний елемент $x^{-1}\in S$ такий, що $xx^{-1}x=x$ та $x^{-1}xx^{-1}=x^{-1}$ . В iнверснiй напiвгрупi $S$ вище означений елемент $x^{-1}$ називається iнверсним до $x$ . В’язка — це напiвгрупа iдемпотентiв, а напiвґратка — це комутативна в’язка.

Вiдношення еквiвалентностi $\mathfrak{K}$ на напiвгрупi $S$ називається конгруенцiєю, якщо для елементiв $a$ i $b$ напiвгрупи $S$ з того, що виконується умова $(a,b)\in\mathfrak{K}$ випливає, що $(ca,cb),(ad,bd)\in\mathfrak{K}$ , для всiх $c,d\in S$ . Вiдношення $(a,b)\in\mathfrak{K}$ ми також будемо записувати $a\mathfrak{K}b$ , i в цьому випадку будемо говорити, що елементи $a$ i $b$ є $\mathfrak{K}$ -еквiвалентними. На кожнiй напiвгрупi $S$ iснують такi конгруенцiї: унiверсальна $\mathfrak{U}_{S}=S\times S$ та одинична (дiагональ) $\Delta_{S}=\{(s,s)\colon s\in S\}$ . Такi конгруенцiї називаються тривiальними. Кожен двобiчний iдеал $I$ напiвгрупи $S$ породжує на нiй конгруенцiю Рiса: $\mathfrak{K}_{I}=(I\times I)\cup\Delta_{S}$ . Конгруенцiя $\mathfrak{K}$ на напiвгрупi $S$ називається груповою, якщо фактор-напiвгрупа $S/\mathfrak{K}$ є групою.

Якщо $S$ — напiвгрупа, то на $E(S)$ визначено частковий порядок

[TABLE]

Так означений частковий порядок на $E(S)$ називається природним.

Означимо вiдношення $\leqslant$ на iнверснiй напiвгрупi $S$ так:

[TABLE]

для деякого iдемпотента $e\in S$ . Так означений частковий порядок називається природним частковим порядком на iнверснiй напiвгрупi $S$ [33]. Очевидно, що звуження природного часткового порядку $\leqslant$ на iнверснiй напiвгрупi $S$ на її в’язку $E(S)$ є природним частковим порядком на $E(S)$ .

Нагадаємо (див., наприклад [26, §1.12]), що бiциклiчною напiвгрупою (або бiциклiчним моноїдом) ${\mathscr{C}}(p,q)$ називається напiвгрупа з одиницею, породжена двоелементною множиною $\{p,q\}$ i визначена одним визначальним спiввiдношенням $pq=1$ . Бiциклiчна напiвгрупа вiдiграє важливу роль у теорiї напiвгруп. Зокрема, класична теорема Олафа Андерсена [22] стверджує, що ([math]-)проста напiвгрупа з iдемпотентом є цiлком ([math]-)простою тодi i лише тодi, коли вона не мiстить iзоморфну копiю бiциклiчної напiвгрупи.

Через $\mathscr{I}_{\lambda}$ позначимо множину всiх часткових взаємнооднозначних перетворень кардинала $\lambda$ разом з такою напiвгруповою операцiєю

[TABLE]

Напiвгрупа $\mathscr{I}_{\lambda}$ називається симетричною iнверсною напiвгрупою або симетричним iнверсним моноїдом над кардиналом $\lambda$ (див. [26]). Симетрична iнверсна напiвгрупа введена В. В. Вагнером у працях [3, 4] i вона вiдiграє важливу роль у теорiї напiвгруп.

Якщо $A$ — пiдмножина евклiдового простору $\mathbb{R}^{n}$ , то через $\operatorname{int}A$ позначатимемо внутрiшнiсть множини $A$ в просторi $\mathbb{R}^{n}$ . Ми позначатимемо одиничну сферу та замкнену кулю радiуса $r>0$ в $\mathbb{R}^{n}$ через $\mathbb{S}^{n-1}$ i $\mathbf{B}_{r}$ , вiдповiдно.

Для довiльних двох точок $x,y\in\mathbb{R}^{n}$ через $[x,y]$ позначатимемо вiдрiзок в $\mathbb{R}^{n}$ , який з’єднує точки $x,y$ , тобто $[x,y]=\left\{z\in\mathbb{R}^{n}\colon\overrightarrow{xz}=\alpha\cdot\overrightarrow{xy},0\leqslant\alpha\leqslant 1\right\}$ .

Компактна опукла пiдмножина в $\mathbb{R}^{n}$ з непорожньою внутрiшнiстю називається опуклим тiлом. Пiдмножина $L\subseteq\mathbb{R}^{n}$ називається зiркою в початку $\mathbf{0}$ , якщо для довiльної точки $x\in L$ вiдрiзок $[\mathbf{0},x]$ мiститься в $L$ . Якщо $L$ є компактною пiдмножиною, яка є зiркою в початку $\mathbf{0}$ , то її радiальна функцiя $\rho_{L}$ визначається для всiх $u\in\mathbb{S}^{n-1}$ так, що промiнь вiдкладений у початку $\mathbf{0}$ паралельно до $u$ перетинає $L$ , за формулою

[TABLE]

Зауважимо, що в [28], у якiй введено всi вище означеннi поняття, не припускається, що початок $\mathbf{0}$ належить зiрцi $L$ . Надалi, ще крiм того, ми будемо вважати, що $\mathbf{0}\in\operatorname{int}L$ для довiльної зiрки $L\subseteq\mathbb{R}^{n}$ , що еквiвалентно умовi $\rho_{L}(u)\neq 0$ для всiх $u\in\mathbb{S}^{n-1}$ , а також припускатимемо, що радiальна функцiя $\rho_{L}\colon\mathbb{S}^{n-1}\to L$ є неперервною.

Нехай $L_{1}$ i $L_{2}$ — зiрки в початку $\mathbf{0}$ . Тодi гомеоморфiзм $\alpha\colon L_{1}\to L_{2}$ називається зiрковим, якщо $(\mathbf{0})\alpha=\mathbf{0}$ i $([\mathbf{0},x])\alpha=[\mathbf{0},(x)\alpha]$ для довiльного вiдрiзка $[\mathbf{0},x]\subseteq L_{1}$ . Надалi вважатимемо, що всi зiрки $L\subseteq\mathbb{R}^{n}$ є в початку $\mathbf{0}$ i пiд частковими зiрковими гомеоморфiзмами простору $\mathbb{R}^{n}$ будемо розумiти гомеоморфiзми мiж зiрками в $\mathbb{R}^{n}$ .

З означення зiркового гомеоморфiзму випливає твердження 1.

Твердження 1.

Композицiя двох часткових зiркових гомеоморфiзмiв простору $\mathbb{R}^{n}$ i обернене часткове вiдображення до часткового зiркового гомеоморфiзму є частковими зiрковими гомеоморфiзмами простору $\mathbb{R}^{n}$ .

Твердження 2.

Довiльнi двi зiрки в $\mathbb{R}^{n}$ є зiрково гомеоморфними.

Доведення.

Доведемо, що довiльна зiрка $L$ зiрково гомеоморфна одиничнiй кулi $\mathbf{B}_{1}$ в $\mathbb{R}^{n}$ . Означимо вiдображення $\alpha_{L}\colon L\to\mathbf{B}_{1}$ наступним чином. Нехай $\rho_{L}\colon\mathbb{S}^{n-1}\to L$ — радiальна функцiя зiрки $L$ . Для довiльного $x\in\mathbf{B}_{1}$ покладемо $(x)r$ — точка на одиничнiй сферi $\mathbb{S}^{n-1}$ така, що $x\in[\mathbf{0},(x)r]$ . Тодi з неперервностi радiальної функцiї $\rho_{L}\colon\mathbb{S}^{n-1}\to L$ випливає, що вiдображення $\beta_{L}\colon\mathbf{B}_{1}\to L$ , означене за формулою

[TABLE]

є бiєктивним i неперервним, i оскiльки $\mathbf{B}_{1}$ — компактний пiдпростiр в $\mathbb{R}^{n}$ , то $\beta_{L}$ є зiрковим гомеоморфiзмом. Покладемо $\alpha_{L}\colon L\to\mathbf{B}_{1}$ — обернене вiдображення до $\beta_{L}$ . Очевидно, що вiдображення $\alpha_{L}$ є зiрковим гомеоморфiзмом. ∎

З твердження 14.1.7 [36] i з мiркувань викладених в [27, §1.4, с. 29–30] випливає твердження 3.

Твердження 3.

Перетин двох зiрок є зiркою в $\mathbb{R}^{n}$ .

Через $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ позначимо множину всiх часткових зiркових гомеоморфiзмiв простору $\mathbb{R}^{n}$ з операцiєю композицiєю вiдображень.

З тверджень 2 i 3 випливає твердження 4.

Твердження 4.

$\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ * — iнверсна пiднапiвгрупа симетричного iнверсного моноїда $\mathscr{I}_{\mathfrak{c}}$ .*

Дослiдження автоморфiзмiв i груп автоморфiзмiв многовидiв малої розмiрностi формують широку область сучасної математики, яка дуже швидко розвивається та розташована на стику топологiї, алгебри й теорiї динамiчних систем. Ця область охоплює вивчення груп гомеоморфiзмiв прямої та кола, теорiю автоморфiзмiв поверхонь i теорiю груп класiв вiдображень.

Автоморфiзмам i групам автоморфiзмiв многовидiв розмiрностi 1 i 2 присвячено фундаментальнi працi Клейна, Фрике, Пуанкаре, Гурвiца, Дена, Данжуа, Александера, Нiльсена, Артiна, Керек’ярто, А. А. Маркова. Сучаснi дослiдження груп гомеоморфiзмiв прямої викладено в оглядах Бекларяна [1, 2] та її застосування в теорiї динамiчних систем у монографiї [32].

Основнi результати теорiї напiвгруп перетворень отриманi в перiод 50-70-х рокiв минулого столiття, викладенi в оглядах Меггiла [34] та Глускiна, Шайна, Шнепермана та Ярокера [29]. У цьому напрямi працювали такi вiдомi математики: Гауi, Гельфанд, Глускiн, Грiн, Енгелькiнг, Клiффорд, Ляпiн, Меггiл, Престон, Саббах, Серпiнський, Сушкевич, Улам, Шайн, Шнеперман, Шутов, Ярокер. На думку Меггiла (див. [34]) Теорiя напiвгруп неперервних перетворень топологiчних просторiв бере свiй початок з праць Глускiна [5, 6, 7, 8, 9, 10]. В основному цi працi Глускiна присвяченi описанню структури напiвгрупи $S(I)$ неперервних перетворень одиничного вiдрiзка $I$ , а також описанню пiднапiвгруп напiвгрупи $S(X)$ неперервних перетворень топологiчного простору $X$ . Напiвгрупу $S(I)$ неперервних перетворень одиничного вiдрiзка також дослiджував Шутов у працях [20, 21], де вiн описав максимальну власну конгруенцiю на $S(I)$ .

Напiвгрупу $S(I)$ також дослiджували в [12, 14, 15, 16, 17, 19, 24, 31, 35, 40, 41], зокрема в [5, 12] описано конгруенц-простi пiднапiвгрупи в $S(I)$ . Шнеперман [18] та Уарндоф [42] довели, що одиничний вiдрiзок визначається напiвгрупою неперервних перетворень. Iншi класи топологiчних просторiв, що визначаються своїми напiвгрупами неперервних перетворень, описав Уарндоф у [42] i Росiцкий у [40, 41]. Зокрема такими є: локально зв’язнi сепарабельнi метричнi континууми, локально евклiдовi гаусдорфовi простори, нульвимiрнi метричнi простори, $CW$ -комплекси та iн. Також О’Рейлi в працi [38] довела, що кожен гаусдорфовий простiр $X$ визначається напiвгрупою усiх компактних вiдношень на $X$ .

Зауважимо, що група гомеоморфiзмiв дiйсної прямої iзоморфна групi гомеоморфiзмiв одиничного вiдрiзка (iнтервалу). Таким чином виникає задача: описати структуру напiвгрупи часткових гомеоморфiзмiв топологiчного простору $X$ , а в частковому випадку одиничного вiдрiзка, чи дiйсної прямої. Однiєю з останнiх робiт з цiєї тематики є праця Чучмана [25], в якiй описано структуру напiвгрупи замкнених зв’язних часткових гомеоморфiзмiв одиничного вiдрiзка з однiєю нерухомою точкою. Також у [11] описана структура напiвгрупи $\mathscr{P\!\!H}^{+}_{\!\!\operatorname{\textsf{cf}}}\!(\mathbb{R})$ усiх монотонних коскiнченних часткових гомеоморфiзмiв звичайної дiйсної прямої $\mathbb{R}$ . Зокрема, в [11] доведено, що фактор-напiвгрупа $\mathscr{P\!\!H}^{+}_{\!\!\operatorname{\textsf{cf}}}\!(\mathbb{R})/\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}$ за найменшою груповою конгруенцiєю $\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}$ iзоморфна групi $\mathscr{H}^{+}\!(\mathbb{R})$ усiх гомеоморфiзмiв, що зберiгають орiєнтацiю простору $\mathbb{R}$ , а також, що напiвгрупа $\mathscr{P\!\!H}^{+}_{\!\!\operatorname{\textsf{cf}}}\!(\mathbb{R})$ iзоморфна напiвпрямому добутку $\mathscr{H}^{+}\!(\mathbb{R})\ltimes_{\mathfrak{h}}\mathscr{P}_{\!\infty}(\mathbb{R})$ вiльної напiвґратки з одиницею $(\mathscr{P}_{\!\infty}(\mathbb{R}),\cup)$ з групою $\mathscr{H}^{+}\!(\mathbb{R})$ .

Нагадаємо [25], що часткове перетворення $\alpha\colon X\rightharpoonup X$ топологiчного простору $X$ називається замкненим зв’язним частковим гомеоморфiзмом, якщо його звуження $\alpha\colon\operatorname{dom}\alpha\to\operatorname{ran}\alpha$ є гомеоморфiзмом i $\operatorname{dom}\alpha$ та $\operatorname{ran}\alpha$ — замкненi зв’язнi пiдмножини в $X$ . Очевидно, що кожен замкнений зв’язний частковий гомеоморфiзм одиничного вiдрiзка, чи прямої, з однiєю нерухомою точкою можна розглядати як зiрковий частковий гомеоморфiзм цього простору. Тому природно виникає задача про можливiсть поширення результатiв, отриманих у працi [25] на вищi вимiри.

У цiй працi дослiджується структура напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ зiркових часткових гомеоморфiзмiв скiнченновимiрного евклiдового простору $\mathbb{R}^{n}$ . Описана структура iдемпотентiв напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ i вiдношення Ґрiна на $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ . Зокрема доведено, що $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ – бiпроста iнверсна напiвгрупа, а також, що кожна неодинична конгруенцiя на $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ є груповою.

Надалi в статтi через $\textbf{St}_{0}(\mathbb{R}^{n})$ позначатимемо множину усiх зiрок в початку 0.

З означення напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ i твердження 4 випливає твердження 5.

Твердження 5.

$(i)$

Елемент $\alpha$ є iдемпотентом напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ тодi i лише тодi, коли $\alpha\colon S\to S$ – тотожне вiдображення для деякої зiрки $S\in\textbf{St}_{0}(\mathbb{R}^{n})$ .

$(ii)$

В’язка $E(\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}})$ iзоморфна напiвґратцi $(\textbf{St}_{0}(\mathbb{R}^{n}),\cap)$ .

$(iii)$

$\varepsilon\leqslant\iota$ * в $E(\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}})$ тодi i лише тодi, коли $\operatorname{dom}\varepsilon\subseteq\operatorname{dom}\iota$ .*

$(iv)$

$\alpha\leqslant\beta$ * в $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ тодi i лише тодi, коли $\beta|_{\operatorname{dom}\alpha}=\alpha$ .*

Зауважимо, що пункти $(i)$ i $(ii)$ твердження 5 випливають з того факту, що в симетричному iнверсному моноїдi iдемпотентами є лише тотожнi частковi перетворення (див. [33, твердження 1.1.2]), а пункти $(iii)$ i $(iv)$ випливають з означення природного часткового порядку на $E(\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}})$ i $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ , вiдповiдно, та з леми 3 [33].

Якщо $S$ — напiвгрупа, то вiдношення Ґрiна $\mathscr{R}$ , $\mathscr{L}$ , $\mathscr{J}$ , $\mathscr{D}$ i $\mathscr{H}$ на $S$ визначаються так (див. [30] або [26, §2.1]):

[TABLE]

Напiвгрупа $S$ називається простою, якщо $S$ не має власного двобiчного iдеалу, тобто $S$ має єдиний $\mathscr{J}$ -клас, i бiпростою, якщо $S$ має єдиний $\mathscr{D}$ -клас.

Позаяк за твердженням 4, $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ — iнверсна пiднапiвгрупа симетричного iнверсного моноїда $\mathscr{I}_{\mathfrak{c}}$ , то з визначень вiдношень Ґрiна на $\mathscr{I}_{\mathfrak{c}}$ i твердження 3.2.11 [33] випливає твердження 6.

Твердження 6.

Нехай $\alpha,\beta$ – елементи напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ . Тодi:

$(i)$

$\alpha\mathscr{R}\beta$ * в $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ тодi i лише тодi, коли $\operatorname{ran}\alpha=\operatorname{ran}\beta$ ;*

$(ii)$

$\alpha\mathscr{L}\beta$ * в $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ тодi i лише тодi, коли $\operatorname{dom}\alpha=\operatorname{dom}\beta$ ;*

$(iii)$

$\alpha\mathscr{H}\beta$ * в $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ тодi i лише тодi, коли $\operatorname{ran}\alpha=\operatorname{ran}\beta$ i $\operatorname{dom}\alpha=\operatorname{dom}\beta$ .*

Твердження 7.

$\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ * – бiпроста напiвгрупа.*

Доведення.

Нехай $\varepsilon$ i $\iota$ – довiльнi iдемпотенти напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ . Тодi за твердженням 5 $(i)$ iснують зiрки $E,I\in\textbf{St}_{0}(\mathbb{R}^{n})$ такi, що $\varepsilon\colon\operatorname{dom}\varepsilon=E\to\operatorname{ran}\varepsilon=E$ i $\iota\colon\operatorname{dom}\iota=I\to\operatorname{ran}\iota=I$ – тотожнi вiдображення. За твердженням 2 iснує зiрковий гомеоморфiзм $\alpha\colon E\to I$ . Очевидно, що $\alpha\alpha^{-1}=\varepsilon$ i $\alpha^{-1}\alpha=\iota$ . Позаяк напiвгрупа $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ є iнверсною, то з леми Манна (див. [37, лема 1.1]) випливає, що $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ є бiпростою напiвгрупою. ∎

Оскiльки кожен $\mathscr{D}$ -клас елемента $a$ напiвгрупи $S$ мiститься в його $\mathscr{J}$ -класi (див. [26, §2.1]), то з твердження 7 випливає наслiдок 8.

Наслiдок 8.

$\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ * – проста напiвгрупа.*

З твердження 7 i теореми 2.20 [26] випливає наслiдок 9.

Наслiдок 9.

Довiльнi двi максимальнi пiдгрупи в $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ є iзоморфними. Бiльше того кожна максимальна пiдгрупа в $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ iзоморфна групi всiх зiркових гомеоморфiзмiв одиничної кулi $\mathbf{B}_{1}$ в $\mathbb{R}^{n}$ .

Лема 10.

Нехай $\mathfrak{C}$ — конгруенцiя на напiвгрупi $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ , $r_{1}$ , $r_{2}$ — довiльнi рiзнi дiйснi додатнi числа та $\varepsilon_{r_{1}}\colon\mathbf{B}_{r_{1}}\to\mathbf{B}_{r_{1}}$ i $\varepsilon_{r_{2}}\colon\mathbf{B}_{r_{2}}\to\mathbf{B}_{r_{2}}$ — тотожнi вiдображення. Якщо $\varepsilon_{r_{1}}\mathfrak{C}\varepsilon_{r_{2}}$ , то всi iдемпотенти напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ є $\mathfrak{C}$ -еквiвалентними.

Доведення.

Спочатку доведемо, що для довiльного дiйсного додатнього числа $r$ iдемпотент $\varepsilon_{r}$ , де $\varepsilon_{r}\colon\mathbf{B}_{r}\to\mathbf{B}_{r}$ — тотожне вiдображення, є $\mathfrak{C}$ -еквiвалентним iдемпотентам $\varepsilon_{r_{1}}$ i $\varepsilon_{r_{2}}$ .

Не зменшуючи загальностi, можемо вважати, що $r_{1}<r_{2}$ . Розглянемо можливi випадки:

[TABLE]

Припустимо, що виконується випадок $b)\leavevmode\nobreak\ r_{1}<r<r_{2}$ . Тодi з твердження 5 випливає, що $\varepsilon_{r_{1}}=\varepsilon_{r_{1}}\varepsilon_{r}\mathfrak{C}\varepsilon_{r_{2}}\varepsilon_{r}=\varepsilon_{r}$ , а отже, $\varepsilon_{r_{1}}\mathfrak{C}\varepsilon_{r}$ i $\varepsilon_{r}\mathfrak{C}\varepsilon_{r_{2}}$ .

Припустимо, що виконується випадок $a)\leavevmode\nobreak\ r<r_{1}$ . Означимо часткове вiдображення $\alpha\colon\mathbb{R}^{n}\rightharpoonup\mathbb{R}^{n}$ наступним чином:

[TABLE]

Тодi часткове вiдображення $\alpha$ та обернене до нього $\alpha^{-1}$ є елементами напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ й iснує натуральне число $n_{r}$ таке, що $\left(\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{n_{r}}<r$ .

Нехай $S=\left\langle\alpha,\alpha^{-1}\right\rangle$ — пiднапiвгрупа в $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ , породжена елементами $\alpha$ i $\alpha^{-1}$ . Тодi легко бачити, що

[TABLE]

а отже, за лемою 1.31 з [26] напiвгрупа $S=\left\langle\alpha,\alpha^{-1}\right\rangle$ iзоморфна бiциклiчному моноїдовi ${\mathscr{C}}(p,q)$ , причому всi елементи напiвгрупи $S$ єдиним чином зоображаються у виглядi $\left(\alpha^{-1}\right)^{i}\alpha^{j}$ , де $i$ та $j$ — невiд’ємнi цiлi числа, а iзоморфiзм $\mathfrak{I}\colon S\to{\mathscr{C}}(p,q)$ визначається за формулою $\big{(}\left(\alpha^{-1}\right)^{i}\alpha^{j}\big{)}\mathfrak{I}=q^{i}p^{j}$ . За наслiдком 1.32 з [26] кожна неодинична конгруенцiя на бiциклiчному моноїдi ${\mathscr{C}}(p,q)$ є груповою, а отже з наших припущень випливає, що усi iдемпотенти напiвгрупи $S$ є $\mathfrak{C}$ -еквiвалентними. Тодi для $r_{0}=\left(\dfrac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{n_{r}}$ маємо, що iдемпотент $\varepsilon_{r_{0}}$ , де $\varepsilon_{r_{0}}\colon\mathbf{B}_{r_{0}}\to\mathbf{B}_{r_{0}}$ — тотожне вiдображення, є $\mathfrak{C}$ -еквiвалентним iдемпотентам $\varepsilon_{r_{1}}$ i $\varepsilon_{r_{2}}$ . Але за побудовою, $\varepsilon_{r_{0}}\leqslant\varepsilon_{r}\leqslant\varepsilon_{r_{1}}$ в $E(\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}})$ , а отже, з випадку $b)$ випливає, що $\varepsilon_{r}\mathfrak{C}\varepsilon_{r_{2}}$ .

Припустимо, що виконується випадок $c)\leavevmode\nobreak\ r_{2}<r$ . Тодi iснує натуральне число $n_{r}$ таке, що $r_{2}\cdot\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)^{n_{r}}>r$ . Означимо часткове вiдображення $\beta\colon\mathbb{R}^{n}\rightharpoonup\mathbb{R}^{n}$ наступним чином:

[TABLE]

Тодi часткове вiдображення $\beta$ та обернене до нього $\beta^{-1}$ є елементами напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ . Нехай $\varepsilon_{1}\colon\mathbf{B}_{r_{2}\left(\tfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)^{n_{r}}}\to\mathbf{B}_{r_{2}\left(\tfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)^{n_{r}}}$ i $\varepsilon_{2}\colon\mathbf{B}_{r_{2}\left(\tfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)^{n_{r}-1}}\to\mathbf{B}_{r_{2}\left(\tfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)^{n_{r}-1}}$ — тотожнi вiдображення. Тодi очевидно, що $\varepsilon_{1}$ i $\varepsilon_{2}$ є рiзними iдемпотентами напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ , причому $\varepsilon_{2}\leqslant\varepsilon_{1}$ . Також легко бачити, що виконуються такi рiвностi

[TABLE]

а отже, за лемою 1.31 з [26] пiднапiвгрупа $T=\left\langle\beta,\beta^{-1}\right\rangle$ в $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ , породжена елементами $\beta$ i $\beta^{-1}$ , iзоморфна бiциклiчному моноїдовi ${\mathscr{C}}(p,q)$ , причому всi елементи напiвгрупи $T$ єдиним чином зоображаються у виглядi $\left(\beta^{-1}\right)^{i}\beta^{j}$ , де $i$ та $j$ — невiд’ємнi цiлi числа, а iзоморфiзм $\mathfrak{I}\colon T\to{\mathscr{C}}(p,q)$ визначається за формулою $\big{(}\left(\beta^{-1}\right)^{i}\beta^{j}\big{)}\mathfrak{I}=q^{i}p^{j}$ . Очевидно, що iдемпотенти $\left(\beta^{-1}\right)^{n_{r}}\beta^{n_{r}}$ i $\left(\beta^{-1}\right)^{n_{r}+1}\beta^{n_{r}+1}$ напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ , як частковi вiдображення, є тотожними вiдображеннями куль $\mathbf{B}_{r_{2}}$ i $\mathbf{B}_{r_{1}}$ , вiдповiдно, а отже, $\left(\beta^{-1}\right)^{n_{r}}\beta^{n_{r}}=\varepsilon_{r_{2}}$ i $\left(\beta^{-1}\right)^{n_{r}+1}\beta^{n_{r}+1}=\varepsilon_{r_{1}}$ . Отож, два рiзнi iдемпотенти напiвгрупи $T$ є $\mathfrak{C}$ -еквiвалентними. За наслiдком 1.32 з [26] кожна нетотожня конгруенцiя на бiциклiчному моноїдi ${\mathscr{C}}(p,q)$ є груповою, а отже, з наших припущень випливає, що усi iдемпотенти напiвгрупи $S$ є $\mathfrak{C}$ -еквiвалентними. Але за побудовою, $\varepsilon_{r_{2}}\leqslant\varepsilon_{r}\leqslant\varepsilon_{1}$ в $E(\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}})$ , а отже, з випадку $b)$ випливає, що $\varepsilon_{r}\mathfrak{C}\varepsilon_{r_{2}}$ . ∎

Лема 11.

Нехай $\mathfrak{C}$ — конгруенцiя на напiвгрупi $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ така, що два рiзнi iдемпотенти напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ є $\mathfrak{C}$ -еквiвалентними. Тодi всi iдемпотенти напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ є $\mathfrak{C}$ -еквiвалентними.

Доведення.

Припустимо, що $\varepsilon$ i $\iota$ — рiзнi $\mathfrak{C}$ -еквiвалентнi iдемпотенти напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ . Тодi з $\varepsilon\mathfrak{C}\iota$ випливає, що $\varepsilon\iota\mathfrak{C}\iota\iota=\iota$ , а отже, не зменшуючи загальностi, можемо вважати, що $\varepsilon\leqslant\iota$ в $E(\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}})$ , а тодi за твердженням 5 $(iii)$ , $\operatorname{dom}\varepsilon\subseteq\operatorname{dom}\iota$ .

Нехай $\alpha_{\iota}\colon\operatorname{dom}\iota\to\mathbf{B}_{1}$ — частковий зiрковий гомеоморфiзм зiрки $\operatorname{dom}\iota$ на одиничну кулю $\mathbf{B}_{1}$ в початку $\mathbf{0}$ . За твердженням 1 звуження $\alpha_{\iota}|_{\operatorname{dom}\varepsilon}\colon\operatorname{dom}\varepsilon\to(\operatorname{dom}\varepsilon)\alpha_{\iota}$ є частковим зiрковим гомеоморфiзмом зiрки $\operatorname{dom}\varepsilon$ на зiрку $(\operatorname{dom}\varepsilon)\alpha_{\iota}$ . Тодi $\alpha_{\iota}^{-1}\alpha_{\iota}\colon\mathbf{B}_{1}\to\mathbf{B}_{1}$ — тотожне вiдображення одиничної кулi $\mathbf{B}_{1}$ в початку $\mathbf{0}$ . Позаяк $\alpha_{\iota}^{-1}\alpha_{\iota}=\alpha_{\iota}^{-1}\iota\alpha_{\iota}\mathfrak{C}\alpha_{\iota}^{-1}\varepsilon\alpha_{\iota}$ i $\alpha_{\iota}^{-1}\alpha_{\iota}\neq\alpha_{\iota}^{-1}\varepsilon\alpha_{\iota}$ , то iдемпотент $\varepsilon_{1}$ , $\varepsilon_{1}\colon\mathbf{B}_{1}\to\mathbf{B}_{1}$ — тотожне вiдображення одиничної кулi $\mathbf{B}_{1}$ в початку $\mathbf{0}$ , є $\mathfrak{C}$ -еквiвалентним деякому iдемпотентовi $\varepsilon_{s}$ такому, що $\operatorname{dom}\varepsilon_{s}$ — власна пiдмножина в $\mathbf{B}_{1}$ . Тодi iснує елемент $u_{0}\in\mathbb{S}^{n-1}$ такий, що $(u_{0})\rho_{\operatorname{dom}\varepsilon_{s}}<1$ . Позаяк радiальна функцiя $\rho_{\operatorname{dom}\varepsilon_{s}}\colon\mathbb{S}^{n-1}\to\mathbb{R}$ є неперервною, то iснує вiдкритий окiл $U(u_{0})$ точки $u_{0}$ на сферi $\mathbb{S}^{n-1}$ такий, що $(u)\rho_{\operatorname{dom}\varepsilon_{s}}<1$ для всiх $u\in U(u_{0})$ .

Для довiльної точки $x\in\mathbb{S}^{n-1}\setminus U(u_{0})$ через $\alpha_{x}\colon\mathbf{B}_{1}\to\mathbf{B}_{1}$ позначимо ортогональне перетворення одиничної кулi $\mathbf{B}_{1}$ , яке вiдображає точку $u_{0}\in\mathbb{S}^{n-1}$ в $x\in\mathbb{S}^{n-1}$ . Очевидно, що $\alpha_{x}\in\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ , оскiльки вiдображення $\alpha_{x}\colon\mathbf{B}_{1}\to\mathbf{B}_{1}$ є гомеоморфiзмом, як елемент ортогональної групи матриць $O(n,\mathbb{R})$ (див. [13]). Позаяк пiдпростiр $\mathbb{S}^{n-1}\setminus U(u_{0})$ в $\mathbb{S}^{n-1}$ є компактним, то вiдкрите покриття $\left\{(U(u_{0}))\alpha_{x}\colon x\in\mathbb{S}^{n-1}\setminus U(u_{0})\right\}$ простору $\mathbb{S}^{n-1}\setminus U(u_{0})$ мiстить скiнченне пiдпокриття $\left\{(U(u_{0}))\alpha_{x_{1}},\ldots,(U(u_{0}))\alpha_{x_{k}}\right\}$ . Позаяк $\varepsilon_{1}\mathfrak{C}\varepsilon_{s}$ i $\alpha_{x_{i}}^{-1}\varepsilon_{1}\alpha_{x_{i}}=\varepsilon_{1}$ для всiх $i=1,\ldots,k$ , то $\varepsilon_{1}\mathfrak{C}\alpha_{x_{i}}^{-1}\varepsilon_{s}\alpha_{x_{i}}$ для кожного $i=1,\ldots,k$ , а отже,

[TABLE]

Очевидно, що елемент $\alpha_{x_{i}}^{-1}\varepsilon_{s}\alpha_{x_{i}}$ є iдемпотентом напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ для кожного $i=1,\ldots,k$ , а отже, $\phi=\varepsilon_{s}\alpha_{x_{1}}^{-1}\varepsilon_{s}\alpha_{x_{1}}\cdots\alpha_{x_{k}}^{-1}\varepsilon_{s}\alpha_{x_{k}}$ є також iдемпотентом в $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ , оскiльки $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ — iнверсна напiвгрупа, а iдемпотенти в iнверснiй напiвгрупi комутують (див. [26, теорема 1.17]). За побудовою, $(x)\rho_{\operatorname{dom}\phi}<1$ для довiльного $x\in\mathbb{S}^{n-1}$ , а оскiльки радiальна функцiя $\rho_{\operatorname{dom}\phi}\colon\mathbb{S}^{n-1}\to\mathbb{R}$ є неперервною, то з компактностi одиничної сфери $\mathbb{S}^{n-1}$ випливає, що вiдображення $\rho_{\operatorname{dom}\phi}$ на $\mathbb{S}^{n-1}$ набуває свого найбiльшого значення. Нехай $R_{\phi}=\max\left\{(x)\rho_{\operatorname{dom}\phi}\colon x\in\mathbb{S}^{n-1}\right\}$ i $\varepsilon_{R_{\phi}}\colon\mathbf{B}_{\phi}\to\mathbf{B}_{\phi}$ — тотожне вiдображення кулi радiуса $R_{\phi}$ в початку $\mathbf{0}$ . Легко бачити, що $\varepsilon_{R_{\phi}}\in E(\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}})$ , $\varepsilon_{R_{\phi}}\phi=\phi$ i $\varepsilon_{R_{\phi}}\varepsilon_{1}=\varepsilon_{R_{\phi}}$ . Тодi з умови $\varepsilon_{1}\mathfrak{C}\phi$ випливає, що $\varepsilon_{R_{\phi}}=\varepsilon_{R_{\phi}}\varepsilon_{1}\mathfrak{C}\varepsilon_{R_{\phi}}\phi=\phi$ , а отже $\varepsilon_{1}\mathfrak{C}\varepsilon_{R_{\phi}}$ . Далi скористаємося лемою 10. ∎

Теорема 12.

Кожна неодинична конгруенцiя на напiвгрупi $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ є груповою.

Доведення.

Нехай $\mathfrak{C}$ — неодинична конгруенцiя на напiвгрупi $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ . Тодi iснують два рiзнi $\mathfrak{C}$ -еквiвалентнi елементи $\alpha$ i $\beta$ напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ .

Розглянемо можливi випадки:

(1)

елементи $\alpha$ i $\beta$ не належать одному $\mathscr{H}$ -класу; 2. (2)

$\alpha\mathscr{H}\beta$ .

Припустимо, що виконується випадок (1). За твердженням 2.3.4 з [33], $\alpha\alpha^{-1}\mathfrak{C}\beta\beta^{-1}$ i $\alpha^{-1}\alpha\mathfrak{C}\beta^{-1}\beta$ . З твердження 6 випливає, що $\operatorname{ran}\alpha\neq\operatorname{ran}\beta$ або $\operatorname{dom}\alpha\neq\operatorname{dom}\beta$ , а отже, за твердженням 5 $(i)$ iснують два рiзнi $\mathfrak{C}$ -еквiвалентнi iдемпотенти напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ . Далi скористаємося лемою 11 i лемою I.7.10 з [39].

Припустимо, що $\alpha\mathscr{H}\beta$ . За теоремою 2.20 з [26] i наслiдком 9, не зменшуючи загальностi, можемо вважати, що $\alpha$ i $\beta$ — зiрковi гомеоморфiзми одиничної кулi $\mathbf{B}_{1}$ в початку $\mathbf{0}$ . Позаяк $\alpha\alpha^{-1}\mathfrak{C}\alpha\beta^{-1}$ , то з вище сказаного випливає, що iснує зiрковий гомеоморфiзм $\gamma\in\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ одиничної кулi $\mathbf{B}_{1}$ , який є $\mathfrak{C}$ -еквiвалентним її тотожному вiдображенню $\varepsilon_{1}$ такий, що $\gamma\neq\varepsilon_{1}$ . Тодi $(x)\gamma\neq x$ для деякого $x\in\mathbf{B}_{1}$ .

Тодi виконується хоча б одна з умов:

$(a)$

iснує елемент $x\in\mathbb{S}^{n-1}$ такий, що $([\mathbf{0},x])\gamma=[\mathbf{0},x]$ та iснує $y\in[\mathbf{0},x]$ такий, що $(y)\gamma\neq y$ ; 2. $(b)$

iснує елемент $x\in\mathbb{S}^{n-1}$ такий, що $([\mathbf{0},x])\gamma\neq[\mathbf{0},x]$ .

Припустимо, що виконується умова $(a)$ . Припустимо, що $[\mathbf{0},y]\subsetneqq[\mathbf{0},(y)\gamma]$ . У випадку $[\mathbf{0},y]\supsetneqq[\mathbf{0},(y)\gamma]$ мiркування аналогiчнi.

Нехай $\mathbf{B}_{y}$ — максимальна куля в початку $\mathbf{0}$ , що мiстить точку $y$ i $\varepsilon_{y}\colon\mathbf{B}_{y}\to\mathbf{B}_{y}$ — тотожне вiдображення кулi $\mathbf{B}_{y}$ . Тодi $(y)\gamma\notin B_{y}$ . Позаяк $\varepsilon_{1}\mathfrak{C}\gamma$ , то $\varepsilon_{y}\varepsilon_{1}\mathfrak{C}\varepsilon_{y}\gamma$ . Використавши твердження 2.3.4 з [33], отримуємо, що

[TABLE]

Очевидно, що $\gamma^{-1}\varepsilon_{y}\gamma$ — iдемпотент напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ , причому $(y)\gamma{\in}\operatorname{dom}(\gamma^{-1}\varepsilon_{y}\gamma)$ , але $(y)\gamma\notin\operatorname{dom}\varepsilon_{y}$ , а отже, за твердженням 5 $(i)$ iснують два рiзнi $\mathfrak{C}$ -еквiвалентнi iдемпотенти напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ . Далi скористаємося лемою 11 i лемою I.7.10 з [39].

Припустимо, що виконується умова $(b)$ . Позаяк $\gamma$ — частковий зiрковий гомеоморфiзм, то $(x)\gamma\neq x$ . Iснує вiдкрита $\delta$ -куля $U_{\delta}((x)\gamma)$ точки $(x)\gamma$ в просторi $\mathbb{R}^{n}$ , що не мiстить точку $x$ . З метризовностi простору $\mathbb{S}^{n-1}$ випливає, що вiн є цiлком регулярним, а отже, iснує неперервне вiдображення $f\colon\mathbb{S}^{n-1}\to[0,1]$ таке, що $((x)\gamma)f=1$ i $(z)f=0$ для всiх $z\in\mathbb{S}^{n-1}\setminus U_{\delta}((x)\gamma)$ .

Визначимо зiрку $L_{\gamma}$ в початку $\mathbf{0}$ наступним чином. Радiальною функцiєю зiрки $L_{\gamma}$ є вiдображення $\rho_{L_{\gamma}}\colon\mathbb{S}^{n-1}\to\mathbb{R}^{n}$ , яке визначається за формулою

[TABLE]

Очевидно, що так означене вiдображення $\rho_{L_{\gamma}}\colon\mathbb{S}^{n-1}\to\mathbb{R}^{n}$ є неперервним, а отже, вiдображення $\beta_{L_{\gamma}}\colon\mathbf{B}_{1}\to{L_{\gamma}}$ , означене за формулою

[TABLE]

де $(z)r$ — точка на одиничнiй сферi $\mathbb{S}^{n-1}$ така, що $z\in[\mathbf{0},(z)r]$ , є бiєктивним i неперервним, а оскiльки $\mathbf{B}_{1}$ — компактний пiдпростiр в $\mathbb{R}^{n}$ , то $\beta_{L_{\gamma}}$ є зiрковим гомеоморфiзмом.

Позаяк $\varepsilon_{1}\mathfrak{C}\gamma$ , то $\varepsilon_{1}\beta_{L_{\gamma}}\mathfrak{C}\gamma\beta_{L_{\gamma}}$ . За твердженням 2.3.4 з [33] маємо, що

[TABLE]

а отже,

[TABLE]

Очевидно, що елементи $\beta_{L_{\gamma}}^{-1}\beta_{L_{\gamma}}$ i $\beta_{L_{\gamma}}^{-1}\gamma^{-1}\gamma\beta_{L_{\gamma}}$ є iдемпотентами напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ . Зауважимо, що $(x)\rho_{L_{\gamma}}=x\cdot(1+(x)f)=x\cdot(1+0)=x$ i

[TABLE]

а отже, маємо, що $\beta_{L_{\gamma}}^{-1}\beta_{L_{\gamma}}\neq\beta_{L_{\gamma}}^{-1}\gamma^{-1}\gamma\beta_{L_{\gamma}}$ . За твердженням 5 $(i)$ iснують два рiзнi $\mathfrak{C}$ -еквiвалентнi iдемпотенти напiвгрупи $\mathbf{PStH}_{\mathbb{R}^{n}}$ . Далi скористаємося лемою 11 i лемою I.7.10 з [39]. ∎

Автори висловлюють подяку рецензентовi за суттєвi зауваження та поради.

Лiтература

[1]

Л. А. Бекларян, Группы гомеоморфизмов прямой и окружности. Топологические характеристики и метрические инварианты, УМН 59 (2004), no. 4(358), 3–68. DOI: 10.4213/rm758; English version: L. A. Beklaryan, Groups of homeomorphisms of the line and the circle. Topological characteristics and metric invariants, Russian Math. Surveys 59 (2004), no. 4, 599–660. DOI: 10.1070/RM2004v059n04ABEH000758

[2]

Л. А. Бекларян, Группы гомеоморфизмов прямой и окружности. Метрические инварианты и вопросы классификации, УМН, 70 (2015), no. 2(422), 3–54. DOI: 10.4213/rm9654; English version: L. A. Beklaryan, Groups of line and circle homeomorphisms. Metric invariants and questions of classification, Russian Math. Surveys 70 (2015), no. 2, 203–248. DOI: 10.1070/RM2015v070n02ABEH004946

[3]

В. В. Вагнер, К теорнн частичных преобразований, ДАН СССР 84 (1952), 653–656.

[4]

В. В. Вагнер, Обобшенные группы, ДАН СССР 84 (1952), 1119–1122.

[5]

Л. M. Глускин, Полугруппа гомеоморфных отображений отрезка, Матем. сб. 49 (1959), no. 1(91), 13–28.

[6]

Л. M. Глускин, Полугруппы топологических отображений, ДАН СССР 125 (1959), 699–702.

[7]

Л. M. Глускин, Транзитивные полугруппы преобразований, ДАН СССР 129 (1959), 16–18.

[8]

Л. M. Глускин, Идеалы полугрупп преобразований, Матем. сб. 47 (1959), no. 1(89), 111–130.

[9]

Л. М. Глускiн, Про одну пiвгруппу непреривиих функцiй, Доповiдi АН УРСР 5 (1960), 582–585.

[10]

Л. М. Глускин, Полугруппы топологических преобразований, Изв. вузов. Матем. (1963), no. 1, 54–65.

[11]

О. Гутiк, К. Мельник, Напiвгрупа монотонних ко-скiнченних часткових гомеоморфiзмiв дiйсної прямої, Мат. вiсник Наук. тов. iм. T. Шевченка 12 (2015), 24–40.

[12]

Х. Н. Инасаридзе, О простых полугруппах, Матем. сб. 57 (1962), no. 2(99), 225–232.

[13]

А. И. Кострикин, Ю. И. Манин, Линейная алгебра и геометрия. Учебное пособие для вузов. 2-е изд., перераб. Наука, Москва, 1986.

[14]

Л. Б. Шнеперман, Полугруппы непрерывных преобразований, ДАН СССР 144 (1962), no. 3, 509–511.

[15]

Л. Б. Шнеперман, Полугруппы непрерывных преобразований и гомеоморфизмов простой дуги, ДАН СССР 146 (1962), 1301–1304.

[16]

Л. Б. Шнеперман, Полугруппы непрерывных преобразований метрических пространств, Матем. сб. 61 (1963), no. 3(103), 306–318.

[17]

Л. Б. Шнеперман, Полугруппы непрерывных преобразований замкнутых множеств числовой прямой, Изв. вузов. Матем. (1965), no. 6, 166–175.

[18]

Л. Б. Шнеперман, Полугруппы непрерывных преобразований топологических пространств, Сиб. матем. журн. 4 (1965), no. 1, 221–229.

[19]

Л. Б. Шнеперман, Полугруппа гомеоморфизмов простой дуги, Изв. вузов. Матем. (1966), no. 2, 127–136.

[20]

Э. Г. Шутов, О гомоморфизмах некоторых полугрупп непрерывнвх функций, Сиб. матем. журн. 4 (1963), no. 3, 695–701.

[21]

Э. Г. Шутов, О гомоморфизмах некоторых полугрупп непрерывных монотонных функций, Сиб. матем. журн. 4:4 (1963), 944–950.

[22]

O. Andersen, Ein Bericht uber die Struktur abstrakter Halbgruppen, PhD Thesis. Hamburg, 1952.

[23]

R. D. Anderson, The algebraic simplicity of certain groups of homeomorphisms, Amer. J. Math. 80 (1958), no. 4, 955—963. DOI: 10.2307/2372842

[24]

F. A. Cezus, Green’s relations in semigroups of functions, Ph.D. Thesis, Australian National University, Canberra, Australia, 1972.

[25]

I. Chuchman, On a semigroup of closed connected partial homeomorphisms of the unit interval with a fixed point, Algebra Discr. Math. 12 (2011), no. 2, 38–52.

[26]

A. H. Clifford and G. B. Preston, The Algebraic theory of semigroups, Vols. I and II, Amer. Math. Soc. Surveys 7, Providence, R.I., 1961 and 1967.

[27]

R. Engelking, General topology, 2nd ed., Heldermann, Berlin, 1989.

[28]

R. J. Gardner and A. Volčič, Tomography of convex and star bodies, Adv. Math. 108 (1994), no. 2, 367–399. DOI: 10.1006/aima.1994.1075

[29]

L. M. Gluskin, B. M. Schein, L. B. Šneperman, and I. S. Yaroker, Addendum to a survey of semigroups of continuous self-maps, Semigroup Forum 14 (1977), no. 1, 95–125. DOI: 10.1007/BF02194658

[30]

J. A. Green, On the structure of semigroups, Ann. Math. Ser. 2 54 (1951), no. 1, 163–172. DOI: 10.2307/1969317

[31]

V. Jarník et V. Knichal, Sur l’approximation des fonctions continues par les superpositlons de deux fonctlons, Fund. Math. 24 (1935), no. 1, 206–208. DOI: 10.4064/fm-24-1-206-208

[32]

A. Katok and B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 54, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

[33]

M. V. Lawson, Inverse semigroups. The theory of partial symmetries, World Scientific, Singapore, 1998.

[34]

K. D. Magill, jr., A survey of semigroups of continuous selfmaps, Semigroup Forum 11 (1975/1976), no. 1, 189–282. DOI: 10.1007/BF02195270

[35]

J. V. Mioduszewski, On a quasi-ordering in the class of continuous mappings of a closed interval into itself, Colloq. Math. 9 (1962), no. 2, 233–240. DOI: 10.4064/cm-9-2-233-240

[36]

M. Moszyńska, Selected topics in convex geometry, Birkhäuser, Basel, 2005.

[37]

W. D. Munn, Uniform semilattices and bisimple inverse semigroups, Quart. J. Math. 17 (1966), no. 1, 151–159. DOI: 10.1093/qmath/17.1.151

[38]

S. B. O’Reilly, The characteristic semigroup of topological space, General Topology Appl. 5 (1975), no. 2, 95–106. DOI: 10.1016/0016-660X(75)90015-X

[39]

M. Petrich, Inverse semigroups, John Wiley $\&$ Sons, New York, 1984.

[40]

J. V. Rosický, Remarks on topologies uniquely determined by their continuous self maps, Czech. Math. J. 24(99) (1974), no. 3, 373–377.

[41]

J. V. Rosický, The topology of the unit interval is not uniquely determined by its continuous self maps among set systems, Colloq. Math. 31 (1974), no. 2, 179–188. DOI: 10.4064/cm-31-2-179-188

[42]

J. C. Warndof, Topologies uniquely determined by their continuous selfmaps, Fund. Math. 66 (1970), no. 1, 25–43. DOI: 10.4064/fm-66-1-25-43

Bibliography42

The reference list from the paper itself. Each links out to its DOI / PubMed record.

1[1] Л. А. Бекларян, Группы гомеоморфизмов прямой и окружности. Топологические характеристики и метрические инварианты , УМН 59 (2004), no. 4(358), 3–68. DOI: 10.4213/rm 758; English version : L. A. Beklaryan, Groups of homeomorphisms of the line and the circle. Topological characteristics and metric invariants , Russian Math. Surveys 59 (2004), no. 4, 599–660. DOI: 10.1070/RM 2004 v 059n 04ABEH 000758
2[2] Л. А. Бекларян, Группы гомеоморфизмов прямой и окружности. Метрические инварианты и вопросы классификации , УМН, 70 (2015), no. 2(422), 3–54. DOI: 10.4213/rm 9654; English version : L. A. Beklaryan, Groups of line and circle homeomorphisms. Metric invariants and questions of classification , Russian Math. Surveys 70 (2015), no. 2, 203–248. DOI: 10.1070/RM 2015 v 070n 02ABEH 004946
3[3] В. В. Вагнер, К теорнн частичных преобразований , ДАН СССР 84 (1952), 653–656.
4[4] В. В. Вагнер, Обобшенные группы , ДАН СССР 84 (1952), 1119–1122.
5[5] Л. M. Глускин, Полугруппа гомеоморфных отображений отрезка , Матем. сб. 49 (1959), no. 1(91), 13–28.
6[6] Л. M. Глускин, Полугруппы топологических отображений , ДАН СССР 125 (1959), 699–702.
7[7] Л. M. Глускин, Транзитивные полугруппы преобразований , ДАН СССР 129 (1959), 16–18.
8[8] Л. M. Глускин, Идеалы полугрупп преобразований , Матем. сб. 47 (1959), no. 1(89), 111–130.

TL;DR

Contribution

Findings

Abstract

Peer Reviews

Videos

Напiвгрупа зiркових часткових гомеоморфiзмiв скiнченновимiрного евклiдового простору

Анотацiя.

Key words and phrases:

2010 Mathematics Subject Classification:

Твердження 1**.**

Твердження 2**.**

Доведення.

Твердження 3**.**

Твердження 4**.**

Твердження 5**.**

Твердження 6**.**

Твердження 7**.**

Доведення.

Наслiдок 8**.**

Наслiдок 9**.**

Лема 10**.**

Доведення.

Лема 11**.**

Доведення.

Теорема 12**.**

Доведення.

Лiтература

Твердження 1.

Твердження 2.

Твердження 3.

Твердження 4.

Твердження 5.

Твердження 6.

Твердження 7.

Наслiдок 8.

Наслiдок 9.

Лема 10.

Лема 11.

Теорема 12.