Elements of mathematics in problems. Through olympiads and circles to   profession

M. Berstein; A. Blinkov; V. Bragin; Yu. Burman; S. Dorichenko; A.; Gavriliuk; A. Kanel-Belov; A. Klyachko; P. Kozhevnikov; O. Malinovskaya; D.; Permiakov; V. Protasov; A. Shapovalov; F. Sharov; A. Skopenkov; M. Skopenkov,; A. Zaslavsky

arXiv:1905.10210·math.HO·June 16, 2022

Elements of mathematics in problems. Through olympiads and circles to profession

M. Berstein, A. Blinkov, V. Bragin, Yu. Burman, S. Dorichenko, A., Gavriliuk, A. Kanel-Belov, A. Klyachko, P. Kozhevnikov, O. Malinovskaya, D., Permiakov, V. Protasov, A. Shapovalov, F. Sharov, A. Skopenkov, M. Skopenkov,, A. Zaslavsky

PDF

Open Access

TL;DR

This collection of teaching materials showcases mathematical problems designed to teach key ideas and theories, suitable for self-study and instruction, bridging olympiad problems to professional mathematics.

Contribution

It compiles self-contained, ready-to-use mathematical problems that promote learning important theories, serving as a resource for students and teachers in various educational settings.

Findings

01

Problems facilitate learning of mathematical ideas

02

Materials are suitable for self-study and teaching

03

Includes updates from previous arXiv submissions

Abstract

This is a collection of teaching materials used in several Russian universities, schools, and mathematical circles. Most problems are chosen in such a way that in the course of the solution and discussion a reader learns important mathematical ideas and theories. The materials can be used by pupils and students for self-study, and by teachers. This is an abridged pre-copyedit version of the published book submitted with the permission of the publisher. Each included individual material is self-contained and ready-for-use. Solutions to problems are not included intentionally. This collection consolidates updates of several arXiv submissions, e.g., arXiv:1305.2598.

Equations6

P = {s_{0}, t_{0}, s_{1}, t_{1}, \dots, s_{N}, t_{N}} .

P = {s_{0}, t_{0}, s_{1}, t_{1}, \dots, s_{N}, t_{N}} .

p = a s_{0} + b t_{0} + a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + \dots + a_{n} e_{n} .

p = a s_{0} + b t_{0} + a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + \dots + a_{n} e_{n} .

a s_{0} + b t_{0} + a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + \dots + a_{n} e_{n} и c s_{0} + d t_{0} + c_{1} e_{1} + c_{2} e_{2} + \dots + c_{n} e_{n}

a s_{0} + b t_{0} + a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + \dots + a_{n} e_{n} и c s_{0} + d t_{0} + c_{1} e_{1} + c_{2} e_{2} + \dots + c_{n} e_{n}

Peer Reviews

No public reviews on file for this paper yet. If you reviewed it on a platform where reviews are public (OpenReview, ICLR, NeurIPS, ICML), you can paste yours below so the community can read it here.

Videos

No videos yet. Explain this paper in a talk, walkthrough, or lecture? Add one.

Taxonomy

TopicsHistory and Theory of Mathematics · advanced mathematical theories · Mathematics and Applications

Full text

\Newassociation

hintAhintAenv_hintAholder \NewassociationhintBhintBenv_hintBholder \NewassociationhintAAhintAAenv_hintAAholder \NewassociationhintBBhintBBenv_hintBBholder

Оглавление полной версии сборника

**Материалы, находящиеся в этом файле, выделены цветом **

section.0.1 subsection.0.1.1 subsection.0.1.2 subsection.0.1.3 subsection.0.1.4 subsection.0.1.5 subsection.0.1.6 subsection.0.1.7 subsection.0.1.8 chapter.1 section.1.2 subsection.1.2.1 section.1.3 subsection.1.3.1 subsection.1.3.3 subsection.1.3.4 subsection.1.3.5 subsection.1.3.6 section.1.4 subsection.1.4.2 subsection.1.4.7 section.1.5 subsection.1.5.1 subsubsection.1.5.1.1 subsubsection.1.5.1.2 subsubsection.1.5.1.3 subsubsection.1.5.1.4 subsubsection.1.5.3.1 subsubsection.1.5.3.2 subsubsection.1.5.3.3 subsubsection.1.5.4.1 subsubsection.1.5.4.2 subsubsection.1.5.4.3 section.1.6 subsection.1.6.3 section.1.7 subsection.1.7.1 subsection.1.7.3 subsection.1.7.7 section.1.8 subsection.1.8.1 subsection.1.8.2 subsection.1.8.6 chapter.2 section.2.9 subsection.2.9.1 subsection.2.9.4 subsection.2.9.8 subsection.2.9.9 section.2.10 subsection.2.10.6 subsubsection.2.10.6.1 subsubsection.2.10.6.2 section.2.11 subsection.2.11.1 subsection.2.11.5 subsubsection.2.11.5.1 subsubsection.2.11.5.2 subsubsection.2.11.5.3 section.2.12 section.2.13 subsection.2.13.2 section.2.14 subsection.2.14.3 section.2.15 subsection.2.15.1 subsubsection.2.15.3.1 subsubsection.2.15.3.2 section.2.16 chapter.3 section.3.17 subsection.3.17.1 subsection.3.17.3 section.3.18 section.3.19 section.3.20 subsection.3.20.1 subsection.3.20.5 section.3.21 subsection.3.21.1 section.3.22 subsection.3.22.1 subsection.3.22.2 subsection.3.22.3 subsection.3.22.4 subsection.3.22.5 section.3.23 subsection.3.23.1 subsection.3.23.3 section.3.24 subsection.3.24.1 subsubsection.3.24.2.1 section.3.25 subsection.3.25.8 chapter.4 section.4.26 section.4.27

Глава 1 Комбинаторика

3 Конструкции и инварианты

Эта тема доступна и для учеников 6—7 классов, но тогда нужно пользоваться не этим параграфом, а статьёй [LT] и соответствующим разделом книги [GIF].

3.1 Конструкции11footnotemark: 1 (1). А. В. Шаповалов22footnotemark: 2

33footnotetext: Эта подборка задач составлена по книгам [Shap14] и [Shap15].44footnotetext: http://www.ashap.info.

Если на вопрос <<Может ли?>> вы подозреваете ответ <<Может>>, то стоит спросить себя: <<Как такое может быть?>>. Уточните вопрос: <<Какими свойствами эта конструкция должна обладать?>>. Дополнительное знание поможет сильно сузить круг поисков. Задавайте себе вопросы на протяжении всего построения. Вы с удивлением увидите, как много конструкций окажутся логичными и единственно возможными.

Часто примеров много, а нужен только один. Избыток свободы может сбивать с толку: неясно, с чего начинать. Примените здравый смысл, естественные соображения. Они ограничивают поле для поиска примера, но зато поиск убыстряется и облегчается. Вообще, ваш опыт гораздо больше, чем вы думаете. Ответом может оказаться хорошо знакомый объект, просто надо посмотреть на него под нужным углом.

3.1.1.

У двух треугольников равны по две стороны, а также равны высоты, проведённые к третьей стороне. Обязательно ли эти треугольники равны?

3.1.2.

Верно ли, что в вершинах любого треугольника можно поставить по положительному числу так, чтобы длина каждой стороны была равна сумме чисел в её концах?

3.1.3.

В кружке у каждого участника ровно по 6 друзей. Может ли у каждой пары участников быть ровно по два общих друга?

Конструкцию с большим числом деталей проще строить из одинаковых <<кирпичей>>. Даже если все они одинаковыми быть не могут, попробуйте взять одинаковых побольше. Можно ещё выбрать два вида деталей и посчитать, сколько нужно тех и других.

Ну, а если детали <<для сборки>> заданы и они разные? Тогда стоит попытаться объединить эти части в одинаковые блоки, и строить из блоков.

3.1.4.

Назовём неотрицательное целое число зеброй, если в его записи строго чередуются чётные и нечётные цифры и среди цифр есть не менее трёх различных. Может ли разность двух $100$ -значных зебр быть $100$ -значной зеброй?

3.1.5.

Грани параллелепипеда со сторонами 3, 4 и 5 разбиты на единичные клетки. В каждую клетку вписали по натуральному числу. Рассмотрим всевозможные кольца шириной в одну клетку, параллельные какой-нибудь грани. Может ли сумма чисел в каждом таком кольце быть одной и той же?

В задачах, где требуются равные части, приходится выбирать форму частей. Тут может помочь такое соображение: части заведомо равны, если они получаются друг из друга симметрией, сдвигом или поворотами. Так, для квадрата популярны разрезания, переходящие в себя при повороте на $90^{\circ}$ , а для правильного треугольника — при повороте на $120^{\circ}$ . Для симметричных объектов поиск примера начинают с симметричных или <<почти симметричных>> конструкций. Симметрия и идея <<расположить объекты по кругу>> применима и в негеометрических задачах.

3.1.6.

Можно ли рёбра куба занумеровать числами $-6$ , $-5$ , $-4$ , $-3$ , $-2$ , $-1$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ так, чтобы для каждой тройки рёбер, выходящих из одной вершины, сумма была одинакова?

3.1.7.

Круг разрезали на несколько равных частей. Обязательно ли граница каждой части проходит через центр круга?

Если к конструкции предъявляются противоречивые требования, присмотритесь внимательнее. Часто эти противоречия мнимые. Так, большой периметр не противоречит малой площади. Вообще, словам <<много>>, <<мало>>, <<сильно>> нужно уметь придать в решении точный математический смысл с помощью уравнений и неравенств.

3.1.8.

В море плавает айсберг в форме выпуклого многогранника. Может ли случиться, что $90\,\%$ его объёма находится ниже уровня воды и при этом больше половины его поверхности находится выше уровня воды?

3.1.9.

Есть три игральных кубика с нестандартными наборами чисел на гранях. Скажем, что кубик А выигрывает у кубика B, если при их одновременном бросании число на A будет больше числа на B с вероятностью больше $0{,}5$ . Может ли первый кубик выигрывать у второго, второй — у третьего, а третий — у первого?

(Приведём равносильную формулировку этой же задачи, не использующую понятие вероятности: для пары кубиков A и B составим 36 упорядоченных пар вида (грань A, грань B). Заменим в каждой паре грань на число, стоящее на грани. Кубик А выигрывает у B, если более чем в половине пар первое число больше второго.)

Помешать решить задачу могут невидимые барьеры в голове решателя. Если очевидного решения не видно, надо расширять список вариантов, по возможности до полного. Инерция мышления проявляется в том, что ключевой вариант пропускают либо не подозревают, что вариантов более одного. Примените <<метод Шерлока Холмса>>: отбросьте все невозможные случаи, тогда последний вариант окажется возможным, каким бы невероятным он ни казался.

3.1.10.

На столе лежат 9 яблок, образуя 10 рядов по 3 яблока в каждом (см. рис. 1.1). Известно, что у девяти рядов веса одинаковы, а вес десятого ряда отличается. Есть электронные весы, на которых за рубль можно узнать вес любой группы яблок. Какое наименьшее число рублей надо заплатить, чтобы узнать, вес какого именно ряда отличается?

3.1.11.

Может ли прямая разбить какой-нибудь шестиугольник на 4 равных треугольника?

Редукция — это сведе́ние сложной задачи к более простой. Так, если сложную конструкцию не удаётся сразу построить целиком, постройте её необходимую часть. Даже если эту часть не удастся потом достроить до целого, решение упрощённой задачи может послужить разминкой, после чего вы вернётесь к сложной задаче уже с накопленным опытом.

3.1.12.

Барон Мюнхгаузен говорит, что у него есть многозначное число-палиндром (т. е. оно читается одинаково слева направо и справа налево). Написав его на бумажной ленте, барон сделал несколько разрезов между цифрами. Лента распалась на $N$ кусков. Переложив куски в другом порядке, барон увидел, что на кусках по разу записаны числа $1$ , $2$ , $\ldots$ , $N$ . Могут ли слова барона быть правдой?

При построении конструкции может мешать неоднозначность выбора. В узком месте всё однозначно или неопределённость минимальна, что сокращает перебор. Начав с узкого места, мы либо быстро придём к противоречию, либо построим большой кусок конструкции. Как искать узкие места? Присмотритесь: они служат препятствиями к построению конструкции или кажутся таковыми.

3.1.13.

Записав числа $1$ , $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\ldots$ , $\frac{1}{10}$ в некотором порядке, соедините их знаками четырёх арифметических действий так, чтобы полученное выражение равнялось 0. (Скобки использовать нельзя.)

3.1.14.

Существуют ли три равных семиугольника, все вершины которых совпадают, но никакие стороны не совпадают?

3.1.15.

Можно ли разрезать какой-нибудь треугольник на четыре выпуклые фигуры: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и шестиугольник?

При *постепенном конструировании *к примеру идут через цепочку вспомогательных конструкций-заготовок. На каждом шаге очередная конструкция улучшается до следующей. В заготовке требования к окончательной конструкции выполнены лишь частично. Оставляем принципиальные условия, временно забываем или ослабляем технические.

3.1.16.

Могут ли в остроугольном треугольнике все стороны и высоты измеряться целым числом сантиметров?

3.1.17.

Докажите, что существует палиндром, делящийся на $6^{100}$ . (Напомним, что палиндром — это число, которое не меняется при записи его цифр в обратном порядке.)

Наконец, при конструкции по индукции результат получается постепенно, но уже за бесконечное число шагов. Таким конструкциям посвящён п. 18.5<<Конечное и счётное>>.

Продолжить знакомство с конструкциями можно по статье [GK] и книгам [Shap14, Shap15, Shap08].

Указания, ответы и решения

Решения задач и пути к решению тщательно разделены. Решение — это то, что решающий задачу в идеале должен написать. Путь к решению должен остаться в голове, здесь он поясняет, как это решение можно было придумать. В задачах на конструкцию решение и путь к решению обычно имеют мало общего.

Решение в задаче на конструкцию состоит из двух частей: примера, то есть описания конструкции, и доказательства того, что она удовлетворяет условию задачи. Для наших задач вторая часть не представляет труда и обычно опускается. Но иногда из многих возможных примеров нужно ещё выбрать тот, для которого доказательство проще.

3.1.1.

Ответ: не обязательно.

Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник $ACD$ и точку $B$ на продолжении основания $DC$ . У треугольников $ABC$ и $ABD$ сторона $AB$ и высота $AH$ общие, стороны $AC$ и $AD$ равны. Однако эти треугольники не равны: один — часть другого.

Путь к решению. Попробуем построить треугольник по двум сторонам $b$ , $c$ и высоте $h$ , проведённой к третьей стороне. Для этого проведём прямую $l$ (на ней будет лежать третья сторона) и построим вершину $A$ на расстоянии $h$ от $l$ . Две другие вершины треугольника должны лежать на этой прямой на расстояниях $b$ и $c$ от точки $A$ . Проведя окружности указанных радиусов с центром в точке $A$ , получим (при $b>h$ и $c>h$ ) по две точки пересечения каждой из окружностей с $l$ . Видим, что с точностью до симметрии есть два принципиально разных треугольника: когда вершины выбираются по одну сторону от ближайшей к $A$ точки прямой и по разные стороны от неё.

Список литературы

[GIF]

Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров: АСА, 1994.

[KK08]

Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи. 4-е изд., стереотип. М.: МЦНМО, 2008.

[Shap08]

Шаповалов А. В. Принцип узких мест. 2-е изд., доп. М.: МЦНМО, 2008.

[LT]

Львовский С., Тоом А. Можно и нельзя // Квант. 1989. № 1. С. 52–55.

[Shap14]

Шаповалов А. В. Как построить пример. (Серия <<Школьные математематические кружки>>). М.: МЦНМО, 2014.

[Shap15]

Шаповалов А. В. Математические конструкции: от хижин к дворцам. (Серия <<Школьные математематические кружки>>). М.: МЦНМО, 2015.

[GK]

Генкин С., Курляндчик Л. Числовые конструкции // Квант. 1990. № 9. С. 58–61.

3.5 Полуинварианты55footnotemark: 5(1). А. В. Шаповалов

66footnotetext: Идейными предшественниками подборок <<Инварианты>> и <<Полуинварианты>> были, среди прочего, соответствующие параграфы книги [KK08].

Если слово <<инвариант>> означает <<неизменный>>, то <<полуинвариант>> — неизменный наполовину.

Бывает так, что мы меняем конструкцию, а какая-то связанная с этой конструкцией величина может меняться только в одну сторону, то есть либо только увеличиваться, либо только уменьшаться. Ещё возможно, что мы делаем ходы и в одну сторону меняется величина, связанная с позицией. Например, при игре в крестики-нолики число заполненных клеток с каждым ходом увеличивается. На ограниченной доске из этого следует, что рано или поздно игра закончится. При игре на бесконечной доске игра может не закончиться никогда, но зато мы можем гарантировать, что позиция не повторится, — ведь число заполненных клеток каждый раз новое!

Чуть более формально: пусть мы меняем конструкции (или позиции) с помощью разрешённых операций (или ходов) и нам удалось связать с каждой конструкцией/позицией величину, значение которой при любом разрешённом преобразовании либо не меняется, либо меняется всегда в одну и ту же сторону. Тогда эта величина называется полуинвариантом777Эта фраза не является формальным определеним полуинварианта. Но для решения задач формальное определение этого понятия не нужно.. Если полуинвариант меняется при каждой операции/ходе, он называет строгим, иначе — нестрогим.

В типовых задачах <<на полуинвариант>> доказывают невозможность а) повторения позиций; б) бесконечного числа ходов; в) построения конструкций. Для последнего находят полуинвариант и проверяют, что для получения искомой конструкции из исходной полуинвариант должен был бы меняться не в ту сторону.

Но как найти полуинвариант? Начните с проверки типовых величин: сумм, произведений, площадей, периметров и их комбинаций. Если конструкция зависит от целых чисел, то полуинвариантом может быть НОД или НОК.

В следующих двух задачах важно, что полуинвариант целочисленный и не может быть больше определённого числа.

3.5.1.

На шахматной доске $100\times 100$ королю разрешено ходить вправо, вверх или вправо-вверх по диагонали. Какое наибольшее число ходов он может сделать?

3.5.2.

В клетках таблицы $99\times 99$ расставлены целые числа. Если в каком-то ряду (строке или столбце) сумма отрицательна, разрешается в этом ряду поменять знаки всех чисел на противоположные. Докажите, что в итоге можно сделать лишь конечное число таких операций.

Если полуинвариант не целочисленный, то его ограниченность ещё не гарантирует окончания процесса (например, убывающий положительный полуинвариант мог бы бесконечно долго принимать значения $1$ , $1/2$ , $1/3$ , $1/4$ , $\ldots,$ $1/n$ , $\ldots$ ). В этих случаях прекращение ходов гарантируется конечным числом позиций.

3.5.3.

Дано 10 чисел. За одну операцию можно два неравных числа заменить на два равных с той же суммой. Может ли этот процесс для какого-то исходного набора чисел

(a) продолжаться бесконечно долго;

(b) зациклиться (то есть может ли один и тот же набор чисел возникнуть дважды)?

3.5.4.

По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел $a,b,c,d$ оказывается, что $(a-d)(b-c)<0$ , то числа $b$ и $c$ можно поменять местами. Докажите, что такую операцию можно проделать лишь конечное число раз.

Очень часто положение, в котором нет разрешённых операций, и является искомым.

3.5.5.

В клетки прямоугольной таблицы вписаны числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Докажите, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел в любой строке или любом столбце неотрицательны.

В комбинаторных задачах полуинвариантом часто служит число комбинаций, например пар, троек, подмножеств или перестановок какого-то вида.

3.5.6.

В тридевятом царстве все города подняли над ратушами флаги — голубые либо оранжевые. Каждый день жители узнают цвета флагов у соседей в радиусе 100 км. Один из городов, где у большинства соседей флаги другого цвета, меняет свой флаг на этот другой цвет. Докажите, что со временем смены цвета флагов прекратятся.

Некоторые конструкции создаются <<методом последовательного улучшения>>. Мы берём несовершенную конструкцию и начинаем её преобразовывать. Полуинвариант гарантирует завершение процесса и достижение нужного эффекта в конце.

3.5.7.

В парламенте каждый депутат имеет не более трёх врагов. Докажите, что парламент можно так разбить на две палаты, что у каждого депутата в его палате будет не более одного врага.

3.5.8.

На плоскости дано $100$ красных и $100$ синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести $100$ непересекающихся отрезков с концами разных цветов.

Полуинвариант может быть и нестрогим, т. е. не меняться при некоторых ходах. Тогда полезно найти ещё один полуинвариант, который строго меняется как раз тогда, когда первый остаётся неизменным.

3.5.9.

На шахматной доске $100\times 100$ королю разрешено ходить вправо, вверх, вправо-вверх или вправо-вниз по диагонали. Докажите, что он может сделать лишь конечное число ходов.

Если и второй полуинвариант оказывается нестрогим, то приходится рассматривать и третий, и четвёртый и т. д. В этом случае естественно рассматривать наборы значений полуинвариантов как строки, упорядоченные лексикографически (как слова в словаре: сравниваются первые элементы, при равенстве — вторые и т. д. и так до первого несовпадения).

4.8 Собери квадрат (3). М. Б. Скопенков, О. А. Малиновская, С. А. Дориченко, Ф. А. Шаров*

Этот пункт посвящён решению такой задачи (для некоторых частных случаев).

Задача.

Когда из прямоугольников, подобных данному, можно составить квадрат?

В процессе решения мы познакомимся с красивыми применениями алгебры в комбинаторной геометрии, а именно — систем линейных уравнений и многочленов с целыми коэффициентами. Для решения задач необходимо первоначальное знакомство с этими темами. Желательно также первоначальное знакомство с задачами на разрезание, см., например, [Sa97].

Наш подход к решению развивает идеи книги [Ya68].

Другой подход к решению — это физическая интерпретация, использующая электрические цепи (хотя без неё решать проще). Познакомиться с этой физической интерпретацией и её применением к решению поставленной задачи можно в статьях [SPD, SMD]. Увлекательный рассказ об истории её возникновения можно прочитать в книге [Ga99].

Наводящие вопросы

— У меня есть мысль! — сказал удав, открывая глаза. — Мысль. И я её думаю.

— Какая мысль? — спросила мартышка.

— Так сразу не скажешь…

— Ух ты! — подпрыгнула мартышка. — Ох, какая хорошая мысль. А можно я её тоже немножко подумаю?

Г. Остёр. Бабушка удава

4.8.1.

∘ Верно ли, что при любых натуральных $m$ и $n$ из нескольких прямоугольников $m\times n$ можно сложить квадрат? Выберите верный вариант ответа:

верно; 2) неверно.

4.8.2.

Дизайнеру заказали рамы для квадратного окна. На проектах (рис. 1.2 A, B) показано, как должны примыкать стёкла друг к другу и как они должны быть ориентированы (короткой или длинной стороной вверх). Можно ли сделать все стёкла в каждой раме подобными прямоугольниками?

4.8.3.

Можно ли разрезать квадрат на три подобных, но неравных прямоугольника?

4.8.4.

Можно ли разрезать квадрат на $5$ квадратов?

4.8.5.

Все полки у шкафа на рис. 1.3 C, как и все лоскутки, из которых сшито одеяло на рис. 1.3 D — квадратные. Являются ли квадратными сами шкаф и одеяло?

4.8.6.

Можно ли замостить всю плоскость попарно различными квадратами, длины сторон которых — целые числа?

4.8.7.

Можно ли разрезать квадрат на прямоугольники с отношением сторон $2+\sqrt{2}$ ? То же для $2-\sqrt{2}$ , для $3+2\sqrt{2}$ и для $3-2\sqrt{2}$ .

4.8.8.

Является ли $1+\sqrt{2}$ суммой квадратов чисел вида $a+b\sqrt{2}$ , где $a$ и $b$ рациональны?

Определение.

Пусть на прямоугольном листе бумаги нарисовано разбиение на прямоугольники. Разрешается разрезать лист вдоль любого отрезка на два прямоугольника, потом произвести такие операции по отдельности с каждой из получившихся частей и так далее. Если таким образом можно реализовать исходное разбиение, то назовём его тривиальным. Например, разбиения на рис. 1.2 тривиальные, а на рис. 1.3 нетривиальные.

Следующие $4$ задачи предлагается сначала решить для тривиальных разбиений, а уже потом подумать над произвольными разбиениями. В последующих подпунктах будут даны подсказки к решению этих трудных задач.

4.8.9.

Какие прямоугольники можно (тривиально) разрезать на прямоугольники со стороной $1$ ?

4.8.10.

Какие прямоугольники можно (тривиально) разрезать на квадраты?

4.8.11.

Можно ли квадрат (тривиально) разрезать на прямоугольники с отношением сторон $\sqrt{2}$ ? То же для $1+\sqrt{2}$ .

Все числа, которые можно представить в виде $x=a+b\sqrt{2}$ с рациональными $a$ и $b$ , назовём хорошими.

4.8.12.

(Основная задача.) При каких хороших $x$ квадрат можно (тривиально) разрезать на прямоугольники с отношением сторон $x$ ?

Прямоугольник из квадратов.

Ты, дорога, иду по тебе и гляжу, но мне думается,

Мне думается, в тебе много такого, чего не увидишь глазами.

Уолт Уитмен. Песня большой дороги

В этом подпункте мы наметим новый вариант элементарного решения задач 4.8.10 и 4.8.12. В этом подпункте латинские буквы $a$ , $b$ , $c$ , $d$ и эти же буквы с индексами обозначают рациональные числа.

4.8.13.

Можно ли прямоугольник $1\times\sqrt{2}$ разрезать на квадраты с рациональными сторонами? А со сторонами, которые либо рациональны, либо имеют вид $b\sqrt{2}$ ? А со сторонами, которые являются произвольными хорошими числами? Те же вопросы для прямоугольников $1\times(1+\sqrt{2}\,)$ и $1\times(2+\sqrt{2}\,)$ .

Для доказательства невозможности разрезаний естественно использовать площадь и её аддитивность: площадь целого равна сумме площадей частей. Вряд ли получится ответить на вопросы задачи 4.8.13 для прямоугольника $1\times(2+\sqrt{2}\,)$ без следующего обобщения понятия площади (мы обобщаем понятие площади так, чтобы площадь этого прямоугольника стала отрицательной, а площади квадратов оставались неотрицательными).

Определение.

Пусть $x$ — действительное число. Назовём $x$ -площадью (или площадью Гамеля) прямоугольника $(a+b\sqrt{2}\,)\times(c+d\sqrt{2}\,)$ число $(a+bx)(c+dx)$ . Число $\bar{s}:=a-b\sqrt{2}$ назовём сопряжённым к числу $s=a+b\sqrt{2}$ .

4.8.14.

Обычная площадь прямоугольника $(a+b\sqrt{2}\,)\times(c+d\sqrt{2}\,)$ и сопряжённое к ней число — это одни из его $x$ -площадей. Чему равно $x$ в каждом из случаев?

4.8.15.

Найдите все прямоугольники вида $(a+b\sqrt{2}\,)\times(c+d\sqrt{2}\,)$ , $x$ -площади которых неотрицательны при всех $x$ .

4.8.16.

Аддитивность $x$ -площади. Если прямоугольник разрезан на конечное число прямоугольников, стороны которых — хорошие числа, то для любого $x\in\mathbb{R}$ $x$ -площадь разрезаемого прямоугольника равна сумме $x$ -площадей прямоугольников, на которые он разрезан.

Указание. Начните со случая разрезания на $2$ прямоугольника.

4.8.17.

Решите задачи 4.8.10 и 4.8.12 для частного случая, когда стороны всех квадратов и всех прямоугольников, участвующих в разрезании, — хорошие числа (разрезание не обязательно тривиально).

В следующих трёх задачах мы считаем, что прямоугольник $s_{0}\times t_{0}$ разрезан на прямоугольники ${s_{1}\times t_{1}}$ , ${s_{2}\times t_{2}}$ , …, ${s_{N}\times t_{N}}$ , причем $s_{0}$ и $t_{0}$ несоизмеримы.

4.8.18.

Обозначим

[TABLE]

Тогда можно выбрать такие числа ${e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\in P}$ , чтобы любое число ${p\in P}$ единственным образом представлялось в виде

[TABLE]

Указание. Начните с примера, изображённого на рис. 1.4.

Зафиксируем набор чисел $s_{0}$ , $t_{0}$ , $e_{1}$ , $e_{2}$ , …, $e_{n}$ из задачи 4.8.18. Он называется базисом.

Определение.

Пусть $y$ — действительное число. Назовём $y$ -площадью прямоугольника со сторонами

[TABLE]

число $(a+by)(c+dy)$ .

Обратите внимание на то, что при $y=x$ и хороших несоизмеримых $s_{0}$ , $t_{0}$ это определение не всегда эквивалентно определению $x$ -площади выше!

4.8.19.

Вычислите $y$ -площадь разрезаемого прямоугольника $s_{0}\times t_{0}$ . Является ли она неотрицательной при всех $y$ ?

4.8.20.

Докажите, что для любого $y$ $y$ -площадь разрезаемого прямоугольника $s_{0}\times t_{0}$ равна сумме $y$ -площадей прямоугольников, на которые он разрезан.

4.8.21.

Теорема Дена. Если прямоугольник разрезан на квадраты (не обязательно равные), то отношение его сторон рационально.

Список литературы

[Ya68]

Яглом И. М. Как разрезать квадрат? // Мат. Библ. М.: Наука, 1968;

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/yaglom/square.htm.

[Ga99]

Гарднер М. Квадрирование квадрата // В: Математические головоломки и развлечения. 2-е изд., испр. и доп. Пер. с англ. М.: Мир, 1999. 447 с.

[Sa97]

Савин А. Задачи на разрезание // Квант. 1987. № 7. С. 44–47.

[SPD]

Скопенков М., Прасолов М., Дориченко С. Разрезания металлического прямоугольника // Квант. 2011. № 3. С. 10–16.

[SMD]

Скопенков М., Малиновская О., Дориченко С. Собери квадрат // Квант. 2015. № 2. C. 6–11.

Предметный указатель

Áàçèñ §4.8
Âåðîÿòíîñòü 3.1.9
Ðåäóêöèÿ §3.1
Ðàçðåçàíèå §4.8
òðèâèàëüíîå Определение
Êîíñòðóêöèÿ §3.1
ïîñòåïåííàÿ §3.1
Ïàëèíäðîì 3.1.17
Ïîäîáèå §4.8
Ïîðÿäîê
ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé §3.5
Ïîëóèíâàðèàíò
íåñòðîãèé §3.5, §3.5
ñòðîãèé §3.5
Ñèììåòðèÿ §3.1
Óçêîå ìåñòî §3.1
Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü §4.8

Bibliography12

The reference list from the paper itself. Each links out to its DOI / PubMed record.

1[GIF] Генкин С. А. , Итенберг И. В. , Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров: АСА, 1994.
2[KK 08] Канель-Белов А. Я. , Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи. 4-е изд., стереотип. М.: МЦНМО, 2008.
3[Shap 08] Шаповалов А. В. Принцип узких мест. 2 - е изд., доп. М.: МЦНМО, 2008.
4[LT] Львовский С. , Тоом А. Можно и нельзя // Квант. 1989. № 1. С. 52–55.
5[Shap 14] Шаповалов А. В. Как построить пример. (Серия <<Школьные математематические кружки>>). М.: МЦНМО, 2014.
6[Shap 15] Шаповалов А. В. Математические конструкции: от хижин к дворцам. (Серия <<Школьные математематические кружки>>). М.: МЦНМО, 2015.
7[GK] Генкин С. , Курляндчик Л. Числовые конструкции // Квант. 1990. № 9. С. 58–61.
8[Ya 68] Яглом И. М. Как разрезать квадрат? // Мат. Библ. М.: Наука, 1968; http://ilib.mirror 1.mccme.ru/djvu/yaglom/square.htm .

TL;DR

Contribution

Findings

Abstract

Peer Reviews

Videos

Taxonomy

Глава 1 Комбинаторика

3 Конструкции и инварианты

3.1 Конструкции11footnotemark: 1 (1). А. В. Шаповалов22footnotemark: 2

3.1.1**.**

3.1.2**.**

3.1.3**.**

3.1.4**.**

3.1.5**.**

3.1.6**.**

3.1.7**.**

3.1.8**.**

3.1.9**.**

3.1.10**.**

3.1.11**.**

3.1.12**.**

3.1.13**.**

3.1.14**.**

3.1.15**.**

3.1.16**.**

3.1.17**.**

Указания, ответы и решения

3.1.1.

Список литературы

3.5 Полуинварианты55footnotemark: 5(1). А. В. Шаповалов

3.5.1**.**

3.5.2**.**

3.5.3**.**

3.5.4**.**

3.5.5**.**

3.5.6**.**

3.5.7**.**

3.5.8**.**

3.5.9**.**

4.8 Собери квадрат (3*). М. Б. Скопенков, О. А. Малиновская, С. А. Дориченко, Ф. А. Шаров

Задача.

Наводящие вопросы

4.8.1**.**

4.8.2**.**

4.8.3**.**

4.8.4**.**

4.8.5**.**

4.8.6**.**

4.8.7**.**

4.8.8**.**

Определение**.**

4.8.9**.**

4.8.10**.**

4.8.11**.**

4.8.12**.**

Прямоугольник из квадратов.

4.8.13**.**

Определение**.**

4.8.14**.**

4.8.15**.**

4.8.16**.**

4.8.17**.**

4.8.18**.**

Определение**.**

4.8.19**.**

4.8.20**.**

4.8.21**.**

Список литературы

Предметный указатель

3.1.1.

3.1.2.

3.1.3.

3.1.4.

3.1.5.

3.1.6.

3.1.7.

3.1.8.

3.1.9.

3.1.10.

3.1.11.

3.1.12.

3.1.13.

3.1.14.

3.1.15.

3.1.16.

3.1.17.

3.5.1.

3.5.2.

3.5.3.

3.5.4.

3.5.5.

3.5.6.

3.5.7.

3.5.8.

3.5.9.

4.8 Собери квадрат (3). М. Б. Скопенков, О. А. Малиновская, С. А. Дориченко, Ф. А. Шаров*

4.8.1.

4.8.2.

4.8.3.

4.8.4.

4.8.5.

4.8.6.

4.8.7.

4.8.8.

Определение.

4.8.9.

4.8.10.

4.8.11.

4.8.12.

4.8.13.

Определение.

4.8.14.

4.8.15.

4.8.16.

4.8.17.

4.8.18.

Определение.

4.8.19.

4.8.20.

4.8.21.