On the existence of a solution of the Beltrami equation with degeneration

TL;DR

This paper identifies conditions under which the degenerate Beltrami equation admits a continuous Sobolev-class solution, and shows that with extra conditions, this solution can be homeomorphic.

Contribution

It provides new criteria for the existence of solutions to the degenerate Beltrami equation and establishes conditions for the solution to be homeomorphic.

Findings

Conditions for existence of Sobolev-class solutions

Additional requirements ensure solutions are homeomorphic

Extension of solutions to degenerate elliptic cases

Abstract

We have found one of the possible conditions under which the Beltrami equation with degeneration of ellipticity has a continuous solution of the Sobolev class. With some additional requirements, this solution is homeomorphic

Equations

$$K_{\mu }(z)=K_{{\mu }_f}(z)=\frac{1+|\mu (z)|}{1-|\mu (z)|}.$$

$$J(z,f)=|f_z{|}^2-|f_{\overline{z}}{|}^2,$$

$$f_{\overline{z}}=\mu (z)\cdot f_z,$$

$$\mu_{k}(z)=\left\{\begin{array}[]{rr}\mu(z),&K_{\mu}(z)\leqslant k,\\ 0\ ,&K_{\mu}(z)>k\,.\end{array}\right.$$

$$K_{{\mu }_{g_k}}(w)=\frac{1+|{\mu }_k(f_k^{-1}(w))|}{1-|{\mu }_k(f_k^{-1}(w))|}.$$

$$\underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{limsup}}\frac{1}{{\Omega }_n{\epsilon }^n}\underset{B(x_0,\epsilon )}{\int }|\phi (x)-{\overline{\phi }}_{\epsilon }|dm(x)<\infty ,$$

$$K_{{\mu }_{g_k}}(w)⩽Q(w),$$

$$|f(z)-f(z_0)|⩽\frac{C\cdot (\Vert Q{\Vert }_1{)}^{1/2}}{{\log }^{1/2}\left(1+\frac{r_0}{|z-z_0|}\right)}\forall z\in B(z_0,r_0)$$

$$\underset{0}{\overset{\delta (w_0)}{\int }}\frac{dt}{t{q}_{w_0}(t)}=\infty$$

$$K_{{\mu }_{g_k}}(w)=\frac{1+|{\mu }_k(f_k^{-1}(w))|}{1-|{\mu }_k(f_k^{-1}(w))|}⩽Q(w).$$

$$\underset{C}{\int }|\partial f_k(z){|}^{2}dm(z)=\underset{C}{\int }\left(|\partial f_k(z){|}^2-|\overline{\partial }{f}_k(z){|}^2\right)\cdot \frac{|\partial f_k(z){|}^{2}dm(z)}{\left(|\partial f_k(z){|}^2-|\overline{\partial }{f}_k(z){|}^2\right)}=$$

$$=\underset{C}{\int }J(z,f_k)\cdot \frac{1}{1-{\left|\frac{\overline{\partial }{f}_k(z)}{\partial f_k(z)}\right|}^2}dm(z)=\underset{f_k(C)}{\int }\frac{dm(w)}{1-|{\mu }_k(f_k^{-1}(w)){|}^2}⩽$$

$$⩽\underset{D}{\int }Q(w)dm(w)<\infty .$$

$$\left|\underset{B}{\int }\zeta (z)dm(z)\right|⩽I_1(k)+I_2(k),$$

$$I_1(k)=\left|\underset{B}{\int }(\overline{\partial }f(z)-\overline{\partial }{f}_k(z))dm(z)\right|$$

$$I_2(k)=\left|\underset{B}{\int }(\mu (z)\partial f(z)-{\mu }_k(z)\partial f_k(z))dm(z)\right|.$$

$$I_2^{\prime }(k)=\left|\underset{B}{\int }\mu (z)(\partial f(z)-\partial f_k(z))dm(z)\right|$$

$$I_2^{\prime \prime }(k)=\left|\underset{B}{\int }(\mu (z)-{\mu }_k(z))\partial f_k(z)dm(z)\right|$$

$$\underset{E}{\int }|\partial f_k(z)|dm(z)⩽\underset{E}{\int }|\partial f_k(z)-\partial f(z)|dm(z)+\underset{E}{\int }|\partial f(z)|dm(z)<\epsilon ,$$

$$I_2^{\prime \prime }(k)⩽\epsilon \underset{S}{\int }|\partial f_k(z)|dm(z)+2\underset{B\setminus S}{\int }|\partial f_k(z)|dm(z)<$$

$$<\epsilon \cdot \left\{{\left(\underset{D}{\int }Q(w)dm(w)\right)}^{1/2}\cdot (m(C){)}^{1/2}+2\right\}$$

$$\mu_{k}(z)=\left\{\begin{array}[]{rr}\mu(z),&K_{\mu}(z)\leqslant k,\\ 0\ ,&K_{\mu}(z)>k,\end{array}\right.$$

$$M(g_k(\Gamma ))⩽\underset{\mathbb{D}}{\int }{K}_{{\mu }_{g_k}}(w)\cdot {\rho }_{\ast }^2(w)dm(w)⩽\underset{\mathbb{D}}{\int }Q(w)\cdot {\rho }_{\ast }^2(w)dm(w)$$

$$|f_k(z)-f_k(z_0)|⩽\frac{C\cdot (\Vert Q{\Vert }_1{)}^{1/2}}{{\log }^{1/2}\left(1+\frac{r_0}{|z-z_0|}\right)}\forall z\in B(z_0,r_0)$$

$$\mu(z)=\left\{\begin{array}[]{rr}e^{2i\theta}\frac{2r-\alpha(2r-1)}{2r+\alpha(2r-1)},&1/2<|z|<1,\\ 0\ ,&|z|\leqslant 1/2\,.\end{array}\right.$$

$${\mu }_f(z)=\frac{\overline{\partial }f}{\partial f}=e^{2i\theta }\frac{r{f}_r+i{f}_{\theta }}{r{f}_r-i{f}_{\theta }},$$

$$f(z)=\left\{\begin{array}[]{rr}\frac{z}{|z|}(2|z|-1)^{1/\alpha},&1/2<|z|<1,\\ 0\ ,&|z|\leqslant 1/2\end{array}\right.$$

$$K_{\mu}(z)=\left\{\begin{array}[]{rr}\frac{4|z|}{2\alpha(2|z|-1)},&1/2<|z|<1,\\ 1\ ,&|z|\leqslant 1/2\end{array}\right.\,.$$

$$\mu_{k}(z)=\left\{\begin{array}[]{rr}\mu(z),&K_{\mu}(z)\leqslant k,\\ 0\ ,&K_{\mu}(z)>k\,.\end{array}\right.$$

$$f_{k}(z)=\left\{\begin{array}[]{rr}\frac{z}{|z|}(2|z|-1)^{1/\alpha},&\frac{1}{2}\cdot\frac{k\alpha}{k\alpha-1}<|z|<1,\\ 0\ ,&|z|\leqslant\frac{k\alpha}{k\alpha-1}\end{array}\right.\,,$$

Full text

УДК 517.5

Е.А. Севостьянов (Житомирский государственный университет имени Ивана Франко)

Є.О. Севостьянов (Житомирський державний унiверситет iменi Iвана Франка)

E.A. Sevost’yanov (Zhytomyr Ivan Franko State University)

О существовании решения уравнения Бельтрами с вырождением

**Про iснування розв’язку рiвняння Бельтрамi з виродженням **

On the existence of a solution of the Beltrami equation with degeneration

Найдено одно из возможных условий, при которых уравнение Бельтрами с вырождением эллиптичности имеет непрерывное решение класса Соболева. При некоторых дополнительных требованиях указанное решение является гомеоморфным.

Знайдено одну з можливих умов, при якiй рiвняння Бельтрамi з виродженням елiптичностi має неперервний розв’язок класу Соболєва. За певних додаткових вимог вказаний розв’язок є гомеоморфним.

We have found one of the possible conditions under which the Beltrami equation with degeneration of ellipticity has a continuous solution of the Sobolev class. With some additional requirements, this solution is homeomorphic.

1. Введение. В последние годы активно развивалась тематика, связанная с существованием решений вырожденных дифференциальных уравнений Бельтрами, см., напр., [2], [3], [4] и [5]. Основные результаты на эту тему собраны в относительно свежей монографии [5], где имеются ссылки на публикации этих и других авторов. Одна из задач, стоящих при исследовании уравнений Бельтрами, состоит в поиске условий на комплексный коэффициент, обеспечивающих существование решений этих уравнений. Поиск решений, как правило, осуществляется в классе $ACL$-гомеоморфизмов, хотя вполне корректно рассматривать в этом качестве и просто непрерывные $ACL$-решения. В данной заметке получен ещё один результат о существовании решений уравнения Бельтрами с вырождением, который основан на переходе к обратным отображениям. В сравнении с работами [2], [3] и [4], мы ослабляем условия на комплексный коэффициент, требуя только его интегрируемость и не прибегая к ограничениям более специального вида. Полученное решение уравнения может оказаться не гомеоморфным, однако, по отношению к предшествующим результатам степень его гладкости несколько выше и соответствует классу $W_{\rm loc}^{1,2}.$

Обратимся к определениям. Всюду далее отображение $f:D\rightarrow{\mathbb{C}}$ области $D\subset{\mathbb{C}}$ предполагается сохраняющим ориентацию, в частности, если $f$ – гомеоморфизм и $z\in D$ – какая либо его точка дифференцируемости, то якобиан этого отображения в точке $z$ положителен. Для комплекснозначной функции $f:D\rightarrow{\mathbb{C}},$ заданной в области $D\subset{\mathbb{C}},$ имеющей частные производные по $x$ и $y$ при почти всех $z=x+iy,$ полагаем $f_{\overline{z}}=\left(f_{x}+if_{y}\right)/2$ и $f_{z}=\left(f_{x}-if_{y}\right)/2.$ Комплексной дилатацией отображения $f$ в точке $z$ называется функция $\mu:D\rightarrow{\mathbb{C}},$ определённая равенством $\mu(z)=\mu_{f}(z)=f_{\overline{z}}/f_{z},$ при $f_{z}\neq 0$ и $\mu(z)=0$ в противном случае. Максимальной дилатацией отображения $f$ в точке $z$ называется следующая функция:

[TABLE]

Если задана измеримая по Лебегу функция $\mu:D\rightarrow{\mathbb{D}},$ ${\mathbb{D}}=\{z\in{\mathbb{C}}:|z|<1\},$ то без привязки к какому-либо отображению $f$ будем называть величину, вычисляемую при помощи равенства (1), максимальной дилатацией, соответствующей функции $\mu.$ Заметим, что якобиан отображения $f$ в точке $z\in D$ может быть вычислен при помощи равенства

[TABLE]

что может быть проверено прямым подсчётом. Нетрудно видеть, что $K_{\mu_{f}}(z)=\frac{|f_{z}|+|f_{\overline{z}}|}{|f_{z}|-|f_{\overline{z}}|}$ во всех точках $z\in D$ отображения $f,$ имеющего частные производные в точке $z,$ где якобиан $J(z,f)$ не обращается в нуль. Напомним, что отображение $f:D\rightarrow{\mathbb{C}}$ называется квазиконформным, если $f$ – гомеоморфизм класса $W_{\rm loc}^{1,2}(D)$ и, кроме того, найдётся постоянная $K\geqslant 1$ такая, что $\|f^{\,\prime}(z)\|^{2}\leqslant K\cdot|J(z,f)|,$ где $\|f^{\,\prime}(z)\|=|f_{z}|+|f_{\overline{z}}|.$ Уравнением Бельтрами будем называть функциональное уравнение вида

[TABLE]

в котором $\mu=\mu(z)$ – заданная неизвестная функция. Для фиксированного натурального числа $k\geqslant 1$ обозначим

[TABLE]

Пусть $f_{k}$ – гомеоморфное $ACL$-решение уравнения $f_{\overline{z}}=\mu_{k}(z)\cdot f_{z},$ отображающее единичный круг на себя, удовлетворяющее условиям нормировки $f(0)=0,$ $f(1)=1$ существующее ввиду [6, теорема 8.2]. Пусть $g_{k}$ – обратное отображение к $f_{k},$ тогда его комплексная дилатация $\mu_{g_{k}}$ вычисляется согласно соотношению $\mu_{g_{k}}(w)=-\mu_{k}(g_{k}(w))=-\mu_{k}(f^{\,-1}_{k}(w)),$ см. напр., [7, (4).C.I]. Тогда максимальная дилатация отображения $g_{k}$ вычисляется по соотношению

[TABLE]

Будем говорить, что функция ${\varphi}:D\rightarrow{\mathbb{R}}$ имеет конечное среднее колебание в точке $x_{0}\in D$, пишем $\varphi\in FMO(x_{0}),$ если

[TABLE]

где $\Omega_{n}$ – объём единичного шара в ${\mathbb{R}}^{n},$ $\overline{{\varphi}}_{\varepsilon}=\frac{1}{\Omega_{n}\varepsilon^{n}}\int\limits_{B(x_{0},\,\varepsilon)}{\varphi}(x)\ dm(x),$ см., напр., [3, разд. 2]. Заметим, что при выполнении условия $(\ref{eq17:})$ возможна ситуация, когда $\overline{{\varphi}_{\varepsilon}}\rightarrow\infty$ при $\varepsilon\rightarrow 0.$ Также будем говорить, что ${\varphi}:D\rightarrow{\mathbb{R}}$ – функция конечного среднего колебания  в  области  D, пишем ${\varphi}\in FMO(D),$ если ${\varphi}$ имеет конечное среднее колебание в каждой точке $x_{0}\in D.$ Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.  Пусть $Q:{\mathbb{D}}\rightarrow[1,\infty]$ – интегрируемая в ${\mathbb{D}}$ функция и пусть функция $\mu:{\mathbb{D}}\rightarrow{\mathbb{D}}$ измерима по Лебегу. Предположим, что для почти всех $w\in{\mathbb{D}}$

[TABLE]

где $g_{k}=f_{k}^{\,-1}$ и $f_{k}$ – гомеоморфное $ACL$-решение уравнения $f_{\overline{z}}=\mu_{k}(z)\cdot f_{z},$ отображающее единичный круг на себя, удовлетворяющее условиям нормировки $f(0)=0,$ $f(1)=1,$ кроме того, $\mu_{k}(z)$ задаётся соотношением (3).

Тогда уравнение (2) имеет непрерывное $W_{\rm loc}^{1,2}({\mathbb{D}})$-решение $f:{\mathbb{D}}\rightarrow{\mathbb{D}},$ удовлетворяющее условию

[TABLE]

в произвольной точке $z_{0}\in{\mathbb{D}},$ где $\|Q\|_{1}$ – норма $Q$ в $L^{1}({\mathbb{D}}),$ $C$ – некоторая постоянная и $0<2r_{0}<{\rm dist}\,(z_{0},\partial{\mathbb{D}})$ – произвольно. Если дополнительно $Q(z)\in FMO({\mathbb{D}}),$ либо

[TABLE]

для каждого $w_{0}\in{\mathbb{D}}$ и некотором $\delta(w_{0})>0,$ $q_{w_{0}}(r)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}Q(w_{0}+re^{\,i\theta})\,d\theta,$ то $f$ является гомеоморфизмом в ${\mathbb{D}}.$

2. Основная лемма о сходимости. Связь между сходимостью отображений и поведением их комплексных коэффициентов является важнейшим элементом, используемым при доказательстве основной теоремы. По поводу аналогичных утверждений, известных на данный момент, укажем, напр., на [5, гл. 2] либо [8]. Что касается изучаемого в работе случая, справедлива следующая лемма.

Лемма 1.   Пусть $Q\in L^{1}(D),$ $\mu:D\rightarrow{\mathbb{D}}$ – измеримая по Лебегу функция, и пусть $f_{k},$ $k=1,2,\ldots$ – последовательность сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов области $D$ на себя, принадлежащих классу $W_{\rm loc}^{1,2}(D)$ и имеющих комплексные коэффициенты $\mu_{k}(z).$ Предположим, что $f_{k}$ сходится локально равномерно в $D$ к отображению $f:D\rightarrow{\mathbb{C}},$ а последовательность $\mu_{k}(z)$ сходится к $\mu$ при $k\rightarrow\infty$ при почти всех $z\in D.$ Пусть также обратные отображения $g_{k}:=f_{k}^{\,-1}$ принадлежат классу $W_{\rm loc}^{1,2}(D),$ при этом, при почти всех $w\in D$

[TABLE]

Тогда $f\in W_{\rm loc}^{1,2}(D)$ и $\mu$ – комплексная характеристика отображения $f,$ т.е., $f_{\overline{z}}=\mu(z)\cdot f_{z}$ при почти всех $z\in D.$

*Доказательство.  * Будем в целом следовать схеме, изложенной при доказательстве [8, теорема 3.1], см. также [5, теорема 2.1] и [9, лемма III.3.5]. Обозначим $\partial f=f_{z}$ и $\overline{\partial}f=f_{\overline{z}}.$ Пусть $C$ – произвольный компакт в $D.$ Поскольку по предположению отображения $g_{k}=f_{k}^{\,-1}$ принадлежат классу $W_{\rm loc}^{1,2},$ то $g_{k}$ обладают $N$-свойством Лузина, см., напр., [10, следствие B]. Тогда якобиан $J(z,f)$ почти всюду отличен от нуля, см., напр., [11, теорема 1], более того, имеет место замена переменных в интеграле, см., напр., [12, теорема 3.2.5]. В таком, случае, будем иметь:

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Из (9) вытекает, что $f\in W_{\rm loc}^{1,2},$ при этом, $\partial f_{k}$ и $\overline{\partial}f_{k}$ слабо сходятся в $L_{\rm loc}^{1}(D)$ к $\partial f$ и $\overline{\partial}f,$ соответственно (см. [8, теорема 3.1] и [9, лемма III.3.5]).

Осталось показать, что отображение $f$ является решением уравнения Бельтрами $f_{\overline{z}}=\mu(z)\cdot f_{z}.$ Положим $\zeta(z)=\overline{\partial}f(z)-\mu(z)\partial f(z)$ и покажем, что $\zeta(z)=0$ почти всюду. Пусть $B$ – произвольный круг, лежащий вместе со своим замыканием в ${\mathbb{D}}.$ По неравенству треугольника

[TABLE]

где

[TABLE]

и

[TABLE]

Ввиду доказанного выше, $I_{1}(k)\rightarrow 0$ при $k\rightarrow\infty.$ Осталось разобраться с выражением $I_{2}(k).$ Для этого заметим, что $I_{2}(k)\leqslant I^{\,\prime}_{2}(k)+I^{\,\prime\prime}_{2}(k),$ где

[TABLE]

и

[TABLE]

Ввиду слабой сходимости $\partial f_{k}\rightarrow\partial f$ в $L^{1}_{\rm loc}(D)$ при $k\rightarrow\infty,$ мы получим, что $I^{\,\prime}_{2}(k)\rightarrow 0$ при $k\rightarrow\infty,$ поскольку $\mu\in L^{\infty}(D).$ Более того, для заданного $\varepsilon>0$ отыщется $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ такое, что, как только $m(E)<\delta,$ $E\subset B,$ то

[TABLE]

$k=1,2\ldots,$ поскольку $\partial f_{k}\rightarrow\partial f$ слабо в $L^{1}_{\rm loc}({\mathbb{D}}),$ кроме того, отображение $\partial f$ интегрируемо с квадратом по доказанному выше, а значит, имеет место абсолютная непрерывность интеграла Лебега.

Окончательно, по теореме Егорова (см. [13, теорема III.6.12]) для каждого $\delta>0$ найдётся множество $S\subset B$ такое, что $m(B\setminus S)<\delta$ и $\mu_{k}(z)\rightarrow\mu(z)$ равномерно на $S.$ Тогда $|\mu_{k}(z)-\mu(z)|<\varepsilon$ при всех $k\geqslant k_{0},$ некотором $k_{0}=k_{0}(\varepsilon)$ и всех $z\in S,$ кроме того, ввиду (13), а также ввиду (9) и по неравенству Гёльдера мы имеем, что

[TABLE]

[TABLE]

при тех же $k\geqslant k_{0}.$ Из (10), (11), (12) и (14) вытекает, что $\int\limits_{B}\zeta(z)\,dm(z)=0$ для всех кругов $B,$ компактно вложенных в ${\mathbb{D}}.$ на основании теоремы Лебега о дифференцировании неопределённого интеграла (см. [13, IV(6.3)]), отсюда вытекает, что $\zeta(z)=0$ почти всюду в $D.$ Лемма доказана. $\Box$

3. Доказательство теоремы 1. Пусть вначале функция $Q,$ заданная по условию теоремы, просто интегрируема в ${\mathbb{D}}.$ Рассмотрим последовательность комплекснозначных функций

[TABLE]

где $K_{\mu}(z)$ определяется соотношением (1). Заметим, что $\mu_{k}(z)\leqslant\frac{k-1}{k+1}<1,$ поэтому уравнение $(\ref{eq2}),$ где вместо $\mu$ в правой части взято $\mu:=\mu_{k},$ а $\mu_{k}$ определено соотношениями (15), имеет гомеоморфное $W_{\rm loc}^{1,2}({\mathbb{D}})$-решение $f_{k}:{\mathbb{D}}\rightarrow{\mathbb{C}}$ с нормировками $f_{k}(0)=0,$ $f_{k}(1)=1,$ которое является $k$-квазиконформным в ${\mathbb{D}},$ см. [6, теорема 8.2]. Ввиду этой же теоремы, $f_{k}$ отображают единичный круг на себя, при этом, $g_{k}=f^{\,-1}_{k}$ также являются квазиконформными, в частности, принадлежат класу $W_{\rm loc}^{1,2}({\mathbb{D}})$ (см. [14, теорема 9.1]). В силу [15, теорема 6.10] и ввиду условия (6) для каждого $k\in{\mathbb{N}}$

[TABLE]

для произвольного семейства кривых $\Gamma$ в ${\mathbb{D}}$ и каждой функции $\rho_{*}\in{\rm adm}\,\Gamma,$ где $M$ – модуль семейства кривых (см., напр., [16, разд. 6]). В силу [17, теорема 1.1] семейство отображений $f_{k}$ равностепенно непрерывно в ${\mathbb{D}}.$ Значит, ввиду теоремы Арцела-Асколи $f_{k}$ является нормальным семейством (см. [16, теорема 20.4]), другими словами, найдётся подпоследовательность $f_{k_{l}}$ последовательности $f_{k},$ сходящаяся локально равномерно в ${\mathbb{D}}$ к некоторому отображению $f:{\mathbb{D}}\rightarrow\overline{{\mathbb{D}}}.$ Заметим также, что $\mu_{k}(z)\rightarrow\mu(z)$ при $k\rightarrow\infty$ для почти всех $z\in{\mathbb{D}},$ поскольку $|\mu(z)|<1$ и, значит, $K_{\mu}(z)$ в (1) конечна при всех $z\in{\mathbb{D}}.$ Тогда по лемме 1 отображение $f$ принадлежит классу $W_{\rm loc}^{1,2}({\mathbb{D}})$ и является решением исходного уравнения Бельтрами (2).

По [18, теорема 1]

[TABLE]

в произвольной точке $z_{0}\in{\mathbb{D}},$ где $\|Q\|_{1}$ – норма $Q$ в $L^{1}({\mathbb{D}}),$ $C$ – некоторая постоянная и $0<2r_{0}<{\rm dist}\,(z_{0},\partial{\mathbb{D}}).$ Переходя здесь к пределу при $k\rightarrow\infty,$ получаем соотношение (7). Первая часть утверждения теоремы 1 установлена.

Предположим теперь, что $Q\in FMO({\mathbb{D}}),$ либо выполняется соотношение (8). Тогда последовательность $g_{k}$ образует равностепенно непрерывное семейство отображений (см. [19, теоремы 6.1 и 6.5]). Значит, ввиду теоремы Арцела-Асколи $g_{k}$ является нормальным семейством (см. [16, теорема 20.4]), другими словами, найдётся подпоследовательность $g_{k_{l}}$ последовательности $g_{k},$ сходящаяся локально равномерно в ${\mathbb{D}}$ к некоторому отображению $g:{\mathbb{D}}\rightarrow\overline{{\mathbb{D}}}.$ В силу условия нормировки $g_{k_{l}}(0)=0$ и $g_{k_{l}}(1)=1$ при всех $l=1,2,\ldots.$ Тогда в силу [20, теорема 4.1] отображение $g$ является гомеоморфизмом в ${\mathbb{D}},$ кроме того, по [20, лемма 3.1] мы имеем также, что $f_{k_{l}}\rightarrow f=g^{\,-1}$ при $l\rightarrow\infty$ локально равномерно в ${\mathbb{D}}.$ Далее применяем схему рассуждений, уже применённую выше к случаю интегрируемой функции $Q.$ Поскольку $\mu_{k}(z)\rightarrow\mu(z)$ при $k\rightarrow\infty$ и при почти всех $z\in{\mathbb{D}},$ то по лемме 1 отображение $f$ принадлежит классу $W_{\rm loc}^{1,2}({\mathbb{D}})$ и является решением исходного уравнения Бельтрами (2). Теорема доказана.  $\Box$

Пример. Пусть $p\geqslant 1$ – произвольное число и пусть $0<\alpha<2/p.$ Как обычно, мы используем запись $z=re^{i\theta},$ $r\geqslant 0$ и $\theta\in[0,2\pi).$ Положим

[TABLE]

Используя соотношение

[TABLE]

см. равенство (11.129) в [21], мы получаем, что отображение

[TABLE]

является решением уравнения $f_{\overline{z}}=\mu(z)\cdot f_{z},$ где функция $\mu$ задаётся соотношением (17). Заметим, что существование решения данного уравнения обеспечивается теоремой 1 (для этого проверим выполнение всех условий этой теоремы). Заметим, что для заданной соотношением (17) функции $\mu$ соответствующей ей максимальной дилатацией $K_{\mu}$ будет функция

[TABLE]

Заметим, что $K_{\mu}(z)\leqslant k$ при $|z|\geqslant\frac{1}{2}\cdot\frac{k\alpha}{k\alpha-1}$ и $K_{\mu}(z)>k$ в противном случае. Пусть, как и прежде,

[TABLE]

Заметим, что решениями уравнения $f_{\overline{z}}=\mu_{k}(z)\cdot f_{z}$ являются отображения

[TABLE]

при этом, обратные отображения $g_{k}(y)=f_{k}^{\,-1}(y)$ вычисляются по формуле

[TABLE]

Из (19)) вытекает, что

[TABLE]

Нам следует проверить выполнение (6) для некоторой интегрируемой в ${\mathbb{D}}$ функции $Q.$ Для этой цели, подставим отображения $g_{k}$ из (20), в максимальную дилатацию $K_{\mu_{k}},$ определённую равенством (21). Тогда

[TABLE]

Заметим, что $K_{\mu_{g_{k}}}(y)\leqslant Q(y):=\frac{|y|^{\alpha}+1}{\alpha|y|^{\alpha}}$ при всех $y\in{\mathbb{B}}^{n}.$ При этом, функция $Q$ интегрируема в ${\mathbb{B}}^{n}$ даже в степени $p,$ а не только в степени $1$ (см. рассуждения, использованные при рассмотрении [21, предложение 6.3]). По построению $f_{k}(0)=0$ и $f_{k}(1)=1.$ Поэтому все условия теоремы 1 выполняются, а в качестве искомого решения уравнения $f_{\overline{z}}=\mu_{k}(z)\cdot f_{z}$ может быть рассмотрено отображение $f=f(z),$ определённое равенством (18). Более того, из доказательства этой теоремы следует, что отображение $f$ является именно указанным там решением уравнения, поскольку оно является локально равномерным пределом последовательности $f_{k}.$ Отметим, что отображение $f$ не является гомеоморфным решением, также оно не является открытым и дискретным.

Покажем, что для заданной функции $\mu$ гомеоморфного $W_{\rm loc}^{1,2}({\mathbb{D}})$-решения уравнения Бельтрами (2) не существует. В самом деле, пусть $g:{\mathbb{D}}\rightarrow{\mathbb{D}}$ – такое решение. За счёт теоремы Римана об отображении, мы можем считать, что $g$ отображает единичный круг на себя. Заметим, что при $1/2<|z|<1$ отображение $f,$ а значит, и отображение $g,$ локально квазиконформно, поэтому ввиду теоремы единственности $g=\varphi\circ f,$ где $\varphi$ – некоторое конформное отображение. Заметим, что $\varphi$ определено в проколотом круге ${\mathbb{D}}\setminus\{0\},$ так как $f(\{1/2<|z|<1\})={\mathbb{D}}\setminus\{0\}.$ Отсюда $g\circ f^{\,-1}=\varphi,$ и, поскольку $\varphi$ конформно в ${\mathbb{D}}\setminus\{0\},$ то оно продолжается по непрерывности в точку $0.$ Но тогда и отображение $g\circ f^{\,-1}$ продолжается по непрерывности в точку $0,$ что неверно, поскольку $f^{\,-1}(y)=\frac{y(|y|^{\alpha}+1)}{2|y|},$ а $g$ – некоторый автоморфизм единичного круга. Полученное противоречие опровергает предположение о существовании гомеоморфного решения $g.$

Список литературы

• [1]
• [2] Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. On ring solutions of Beltrami equations // J. d’Anal. Math. – 2005. – 96. – P. 117–150.
• [3] Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Finite mean oscillation and the Beltrami equation // Israel Math. J. – 2006. – 153. – P. 247–266.
• [4] Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yakubov E. The Beltrami equations and prime ends // Український математичний вiсник. – 2015. – 12, № 1. – С. 27–-66.
• [5] Gutlyanskii V.Ya., Ryazanov V.I., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami Equation: A Geometric Approach. – New York etc.: Springer, 2012.
• [6] Боярский Б. В. Обобщённые решения системы дифференциальных уравнений 1-го порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Матем. сб. – 1957. – 43(85), № 4. – С. 451–503.
• [7] Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. – М.: Мир, 1969.
• [8]

Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On convergence theory for Beltrami equations //Укр. мат. вiсник. – 2008. – 5, № 4. – P. 524–535; transl. in Ukr. Math. Bull. – 2008. – 5, no. 4. – P. 517–528.

• [9] Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск: Наука, 1982.
• [10] Maly J. and Martio O. Lusin’s condition $N$ and mappings of the class $W_{loc}^{1,n}$ // J. Reine Angew. Math. – 1995. – V. 458. – P. 19–36.
• [11] Пономарёв С.П. $N^{\,-1}$-свойство отображений и условие $(N)$ Лузина // Матем. заметки. – 1995. – 58. – С. 411–418.
• [12] Федерер Г. Геометрическая теория меры. – Москва: Наука, 1987.
• [13] Сакс С. Теория интеграла. – М.: ИЛ, 1949.
• [14] Bojarski B. and Iwaniec T. Analytical foundations of the theory of quasiconformal mappings in ${\mathbb{R}}^{n}$ // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A 1 Math. – 1983. – 8, no. 2. – P. 257–324.
• [15] Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. d’Anal. Math. – 2004. – 93. – P. 215–236.
• [16] Väisälä J. Lectures on $n$-Dimensional Quasiconformal Mappings. – Lecture Notes in Math. 229, Berlin etc.: Springer–Verlag, 1971.
• [17] Севостьянов Е.А., Скворцов С.А. О локальном поведении одного класса обратных отображений // Укр. мат. вестник. – 2018. – 15, № 3. – С. 399–417; translation ’’On the local behavior of a class of inverse mappings’’ in J. Math. Sci. – 2018. – 241, no. 1. – P. 77–89.
• [18] Sevost’yanov E.A., Skvortsov S.O., Dovhopiatyi O.P. On mappings satisfying the inverse Poletsky inequality // www. arxiv. org, arXiv:1904.01513.
• [19] Ryazanov V. and Sevost’yanov E. Toward the theory of ring $Q$-homeomorphisms // Israel J. Math. – 2008. – 168. – P. 101–118.
• [20] Ryazanov V., Salimov R. and Sevost’yanov E. On Convergence Analysis of Space Homeomorphisms // Siberian Advances in Mathematics. – 2013. – 23, no. 4. – P. 263–293.
• [21] Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory. – New York: Springer Science + Business Media, LLC, 2009.
• [22]

КОНТАКТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Евгений Александрович Севостьянов

1. Житомирский государственный университет им. И. Франко

кафедра математического анализа, ул. Большая Бердичевская, 40

г. Житомир, Украина, 10 008

2. Институт прикладной математики и механики НАН Украины,

отдел теории функций, ул. Добровольского, 1

г. Славянск, Украина, 84 100

e-mail: esevostyanov2009@gmail.com