Multiparticle fields on the subset of simultaneity

TL;DR

This paper introduces a novel multi-particle field framework on a subset of simultaneity to better describe relativistic hadron scattering, addressing issues with traditional Minkowski space fields and incorporating gauge fields for confinement and symmetry breaking.

Contribution

It proposes a new multi-particle field model on a subset of simultaneity, providing dynamic equations and gauge theories that capture confinement, asymptotic freedom, and hadron interactions.

Findings

Multi-particle fields are defined on a subset of simultaneity, not Minkowski space.

Dynamic equations for these fields are derived using Lagrangian methods.

The model describes confinement, asymptotic freedom, and glueball exchange in hadron scattering.

Abstract

We propose a model describing the scattering of hadrons as bound states of their constituent quarks. We analyze the role of simultaneity in measurements of the characteristics of different particles for the description of relativistic quantum systems. We also consider the impossibility of the same realization of such measurements in different inertial reference frames because of the relativity of simultaneity in relativistic situation. On the basis of this analysis we conclude that the relativistic scattering of bound states of particles should not be described by the fields defined on the Minkowski space, but on the subset of simultaneous events, which is singled out from the tensor product of two Minkowski spaces. Such fields are called multi-particle fields. The arguments of the field functions in different reference frames are impossible to relate neither by using Lorentz transformations, nor in any other way. Next we build the dynamic equations for the multi-particle fields on the subset of simultaneity, using the Lagrange method, similar to the case of "usual" single-particle fields. We then consider the gauge fields restoring the local internal symmetry on the subset of simultaneity. The dynamic equations for the multi-particle gauge fields describe such phenomena as confinement and asymptotic freedom of colored objects under certain boundary conditions, and the mechanism of spontaneous braking of symmetry -- under anothers. With these dynamic equations we are able to describe within a single model the quark confinement in hadrons, and their interaction during hadron scattering through the exchange of the bound states of gluons -- the glueballs.

Equations

$$|{\Psi }^{\left(1\right)}⟩=\int {\Psi }^{\left(1\right)}\left(t,\vec{r}\right)|\vec{r}⟩d\vec{r}.$$

$$\begin{array}{rl}& |{\Psi }^{\left(2\right)}⟩=\int \Psi \left(t^{\prime },{{\vec{r}}^{\prime }}_A,{{\vec{r}}^{\prime }}_B\right)|{{\vec{r}}^{\prime }}_A⟩|{{\vec{r}}^{\prime }}_B⟩d{{\vec{r}}^{\prime }}_{A}d{{\vec{r}}^{\prime }}_B,\\ & t^{\prime }\le {t^{\prime }}_A.\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& |{\Psi }^{\left(2\right)}⟩=|{\vec{r}}_A^{\prime \left(0\right)}⟩d{{\vec{r}}^{\prime }}_A\int \Psi \left(t^{\prime },{\vec{r}}_A^{\prime \left(0\right)},{r^{\prime }}_B\right)|{{\vec{r}}^{\prime }}_B⟩d{{\vec{r}}^{\prime }}_B,\\ & {t^{\prime }}_A<t^{\prime }\le {t^{\prime }}_B\end{array}$$

$$\left|{{\vec{r}}^{\prime }}_A-{\vec{r}}_B^{\prime \left(0\right)}\right|/\left|{t^{\prime }}_A-{t^{\prime }}_B\right|\le 1$$

$$\begin{array}{r}{z}^a=\left(\begin{array}{c}{x}_{\left(1\right)}^0\\ x_{\left(1\right)}^1\\ x_{\left(1\right)}^2\\ x_{\left(1\right)}^3\\ x_{\left(2\right)}^0\\ x_{\left(2\right)}^1\\ x_{\left(2\right)}^2\\ x_{\left(2\right)}^3\end{array}\right).\end{array}$$

$$⟨z|z⟩=\frac{1}{2}\left(g_{ab}^{Minc}{x}_{\left(1\right)}^a{x}_{\left(1\right)}^b+g_{ab}^{Minc}{x}_{\left(2\right)}^a{x}_{\left(2\right)}^b\right).$$

$$X^a=\frac{1}{2}\left(x_{\left(1\right)}^a+x_{\left(2\right)}^a\right),y^a=x_{\left(2\right)}^a-x_{\left(1\right)}^a.$$

$$⟨z|z⟩=g_{ab}^{Minc}\left(X^a{X}^b+\frac{1}{4}{y}^a{y}^b\right)$$

$$y^0=0.$$

$$\begin{array}{r}{q}^a=\left(\begin{array}{c}{X}^0\\ X^1\\ X^2\\ X^3\\ y^1\\ y^2\\ y^3\end{array}\right).\end{array}$$

$$⟨q|q⟩=g_{ab}{q}^a{q}^b,$$

$$\begin{array}{r}{g}^{ab}=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& -4& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& -4& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& -4\end{array}\right).\end{array}$$

$${\Psi }_a\left(X,\vec{y}\right)={\varphi }_a\left(X\right)\psi \left(\vec{y}\right).$$

$$\begin{array}{rl}& {{\hat{\varphi }}^{\prime }}_a\left(X^{\prime }\right)={\hat{U}}^{†}\left(\Lambda \right){\hat{\varphi }}_a\left(X\right)\hat{U}\left(\Lambda \right)=\\ & ={\hat{D}}_{ab}\left(\Lambda \right){\hat{\varphi }}_b\left(X={\hat{\Lambda }}^{-1}{X}^{\prime }\right).\end{array}$$

$$\begin{array}{r}\hat{G}=\left(\begin{array}{ccccccc}{\Lambda }_0^0& {\Lambda }_1^0& {\Lambda }_2^0& {\Lambda }_3^0& 0& 0& 0\\ {\Lambda }_0^1& {\Lambda }_1^1& {\Lambda }_2^1& {\Lambda }_3^1& 0& 0& 0\\ {\Lambda }_0^2& {\Lambda }_1^2& {\Lambda }_2^2& {\Lambda }_3^2& 0& 0& 0\\ {\Lambda }_0^3& {\Lambda }_1^3& {\Lambda }_2^3& {\Lambda }_3^3& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& R_1^1& R_2^1& R_3^1\\ 0& 0& 0& 0& R_1^2& R_2^2& R_3^2\\ 0& 0& 0& 0& R_1^3& R_2^3& R_3^3\end{array}\right).\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \hat{\Lambda }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& {R^{\left(1\right)}}_1^1& {R^{\left(1\right)}}_2^1& {R^{\left(1\right)}}_3^1\\ 0& {R^{\left(1\right)}}_1^2& {R^{\left(1\right)}}_2^2& {R^{\left(1\right)}}_3^2\\ 0& {R^{\left(1\right)}}_1^3& {R^{\left(1\right)}}_2^3& {R^{\left(1\right)}}_3^3\end{array}\right){\hat{\Lambda }}_0\times \\ & \times \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& {R^{\left(2\right)}}_1^1& {R^{\left(2\right)}}_2^1& {R^{\left(2\right)}}_3^1\\ 0& {R^{\left(2\right)}}_1^2& {R^{\left(2\right)}}_2^2& {R^{\left(2\right)}}_3^2\\ 0& {R^{\left(2\right)}}_1^3& {R^{\left(2\right)}}_2^3& {R^{\left(2\right)}}_3^3\end{array}\right),\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{ccc}{R}_1^1& R_2^1& R_3^1\\ R_1^2& R_2^2& R_3^2\\ R_1^3& R_2^3& R_3^3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{R^{\left(1\right)}}_1^1& {R^{\left(1\right)}}_2^1& {R^{\left(1\right)}}_3^1\\ {R^{\left(1\right)}}_1^2& {R^{\left(1\right)}}_2^2& {R^{\left(1\right)}}_3^2\\ {R^{\left(1\right)}}_1^3& {R^{\left(1\right)}}_2^3& {R^{\left(1\right)}}_3^3\end{array}\right)\times \\ & \times \left(\begin{array}{ccc}{R^{\left(2\right)}}_1^1& {R^{\left(2\right)}}_2^1& {R^{\left(2\right)}}_3^1\\ {R^{\left(2\right)}}_1^2& {R^{\left(2\right)}}_2^2& {R^{\left(2\right)}}_3^2\\ {R^{\left(2\right)}}_1^3& {R^{\left(2\right)}}_2^3& {R^{\left(2\right)}}_3^3\end{array}\right).\end{array}$$

$${{\psi }^{\prime }}_{c_1{c}_2,f_1,f_2}\left(q\right)=u_{c_1{c}_3}^{\left(c\right)†}{u}_{c_2{c}_4}^{\left(c\right)}{u}_{f_1{f}_3}^{\left(f\right)†}{u}_{f_2{f}_4}^{\left(f\right)}{\psi }_{c_3{c}_4,f_3,f_4}\left(q\right).$$

$$\begin{array}{rl}& L^{\left(0\right)}=g^{ab}\frac{\partial {\psi }_{c_1{c}_2,f_1,f_2}^{\ast }\left(q\right)}{\partial q^a}\frac{\partial {\psi }_{c_1{c}_2,f_1,f_2}\left(q\right)}{\partial q^b}-\\ & -M_{\mu }^2{\psi }_{c_1{c}_2,f_1,f_2}^{\ast }\left(q\right){\psi }_{c_1{c}_2,f_1,f_2}\left(q\right).\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& L_{\mu }=g^{ab}(\partial {\psi }_{c_1{c}_2,f_1,f_2}^{\ast }\left(q\right)/\partial q^a-\\ & -ig{A}_{a,g_1}^{\left(1\right)}\left(q\right){\psi }_{c_{21}{c}_2,f_1,f_2}^{\ast }\left(q\right){\lambda }_{c_1{c}_{21}}^{g_1}+\\ & +ig{A}_{a,g_1}^{\left(2\right)}\left(q\right){\lambda }_{c_{22}{c}_2}^{g_1}{\psi }_{c_1{c}_{22},f_1,f_2}^{\ast }\left(q\right))\times \\ & \times (\partial {\psi }_{c_1{c}_2,f_1,f_2}\left(q\right)/\partial q^b+\\ & +ig{A}_{b,g_{11}}^{\left(1\right)}\left(q\right){\psi }_{c_{31}{c}_2,f_1,f_2}\left(q\right){\lambda }_{c_{31}{c}_1}^{g_{11}}-\\ & -ig{A}_{b,g_{11}}^{\left(2\right)}\left(q\right){\lambda }_{c_2{c}_{32}}^{g_{11}}{\psi }_{c_1{c}_{32},f_1,f_2}\left(q\right))-\\ & -M_{\mu }^2{\psi }_{c_1{c}_2,f_1,f_2}^{\ast }\left(q\right){\psi }_{c_1{c}_2,f_1,f_2}\left(q\right).\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& u_{c_2{c}_4}^{\left(c\right)}\left(q\right)={\left(\exp \left(i{\theta }_{g_1}\left(q\right){\hat{\lambda }}^{g_1}\right)\right)}_{c_2{c}_4},\\ & u_{c_1{c}_3}^{\left(c\right)†}\left(q\right)={\left(\exp \left(-i{\theta }_{g_1}\left(q\right){\hat{\lambda }}^{g_1}\right)\right)}_{c_1{c}_3},\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& {A^{\prime }}_{a,g_2}^{\left(j\right)}\left(q\right)={\left(D^{-1}\left(\theta \left(q\right)\right)\right)}_{g_2{g}_1}{A}_{a,g_1}^{\left(j\right)}\left(q\right)+\\ & +\frac{\partial {\theta }_{g_1}\left(q\right)}{\partial q^a}.\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& A_{a,g_1}^{\left(+\right)}\left(q\right)=\frac{1}{2}\left(A_{a,g_1}^{\left(1\right)}\left(q\right)+A_{a,g_1}^{\left(2\right)}\left(q\right)\right),\\ & A_{a,g_1}^{\left(-\right)}\left(q\right)=A_{a,g_1}^{\left(2\right)}\left(q\right)-A_{a,g_1}^{\left(1\right)}\left(q\right).\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& A_{a,g_1}^{\left(1\right)}\left(q\right)=A_{a,g_1}^{\left(+\right)}\left(q\right)-\frac{1}{2}{A}_{a,g_1}^{\left(-\right)}\left(q\right),\\ & A_{a,g_1}^{\left(2\right)}\left(q\right)=A_{a,g_1}^{\left(+\right)}\left(q\right)+\frac{1}{2}{A}_{a,g_1}^{\left(-\right)}\left(q\right).\end{array}$$

$${\psi }_{c_1{c}_2,f_1,f_2}\left(q\right)={\delta }_{c_1{c}_2}{\psi }_{f_1,f_2}\left(q\right),$$

$$\begin{array}{rl}& L_{\mu }=3g^{ab}\left(\partial {\psi }_{f_1,f_2}^{\ast }\left(q\right)/\partial q^a\right)\left(\partial {\psi }_{f_1,f_2}\left(q\right)/\partial q^b\right)+\\ & +2g^2{g}^{ab}{A}_{a,g_1}^{\left(-\right)}\left(q\right)A_{b,g_1}^{\left(-\right)}\left(q\right){\psi }_{f_1,f_2}^{\ast }\left(q\right){\psi }_{f_1,f_2}\left(q\right)-\\ & -3M_{\mu }^2{\psi }_{f_1,f_2}^{\ast }\left(q\right){\psi }_{f_1,f_2}\left(q\right)\end{array}$$

$${\psi }_{s_1,s_2,c_1{c}_2,f_1,f_2}\left(q\right)={\psi }_{s_1,s_2,c_1{c}_2,f_1,f_2}\left(X,\vec{y}\right).$$

$$\begin{array}{rl}& {{\psi }^{\prime }}_{s_1,s_2,c_1{c}_2,f_1,f_2}\left(X^{\prime },\vec{y}\right)=\\ & =D_{s_3,s_1}^{-1}\left(\hat{\Lambda }\right)D_{s_2{s}_4}\left(\hat{\Lambda }\right)\times \\ & \times {\psi }_{s_3,s_4,c_1{c}_2,f_1,f_2}\left(X={\hat{\Lambda }}^{-1}\left(X^{\prime }\right),\vec{y}\right),\end{array}$$

$${\psi }_{s_1,s_2,c_1{c}_2,f_1,f_2}\left(X,\vec{y}\right)=\frac{1}{4}{\psi }_{c_1{c}_2,f_1,f_2}\left(X,\vec{y}\right){\gamma }_{s_1{s}_2}^5+\dots ,$$

$${\psi }_{c_1{c}_2,f_1,f_2}\left(X,\vec{y}\right)={\psi }_{s_1,s_2,c_1{c}_2,f_1,f_2}\left(X,\vec{y}\right){\gamma }_{s_1{s}_2}^5.$$

Full text

*Одеськiй Нацiональний полiтехнiчний унiверситет,

Проспект Шевченка 1, Одеса, 65000, Україна*

1 Вступ

Мабуть вперше, iдея багаточастинкових полiв була запропонована Х.Юкавою [1, 2, 3]. Юкава називав цi поля <<нелокальними>>. Ми використовуємо iнший термiн <<багаточастинквовi поля>> щоб пiдкреслити вiдмiнностi моделi що пропонується вiд моделi Юкави. Найбiльш принциповою вiдмiннiстю моделi що пропонується, не тiльки вiд моделi Юкави а й вiд моделей на свiтловому конусi [4, 5], квазiпотенцiальних моделей [6, 7, 8], моделей з багаточасовими амплiтудами ймовiрностей [9, 10, 11] є те, що на нашу думку, внутрiшнi змiннi таких полiв в рiзних iнерцiйних системах вiдлiку неможливо пов’язати мiж собою нiяким чином, в той час як в згаданих моделях вважається що вони пов’язанi перетвореннями Лоренца. Свою точку зору ми вже частково обгрунтовували в попереднiй роботi [12]. Iншими словами цю вiдмiннiсть можна сформулювати таким чином, що наш пiдхiд передбачає, що амплiтуда ймовiрностi, вiднесена до будь-якої iнерцiйної системи вiдлiку, повинна описувати вимiрювання одночаснi вiдносно цiєї системи вiдлiку, в той час як в згаданих моделях ця одночаснiсть забезпечується лише по вiдношенню до певних систем вiдлiку i не забезпечується вiдносно решти систем. На нашу думку використання багаточасових амплiтуд ймовiрностi, яке є явним, наприклад, в роботах [9, 10, 13, 14, 11, 15] i iнших роботах цього напряму,i неявним в роботах тих напрямiв, про якi йшла мова вище, i, зокрема, в згаданих роботах Юкави, означає перехiд до якоїсь <<нової>> квантової механiки з якимись <<новими>> постулатами, якi не мiстяться в <<звичайнiй>> квантовiй механiцi [16]. Окрiм того, на наш погляд така <<нова>> квантова механiка суперечить <<звичайнiй>>, бо не враховує, на нашу думку, впливу вимiрювального приладу на стан мiкросистеми. Пояснимо це бiльш докладно.

Розглянемо спочатку систему, що складається з однiєї релятивiстської мiкрочастинки. Такий стан позначатимемо $\left|{{\Psi}^{\left(1\right)}}\right\rangle$. Вiн описуватиметься фокiвським стовпцем, у якого вiдмiнна вiд нуля лише одночастинкова компонента. Якщо розглядати цей стан в координатному представленнi, то ця компонента представляється функцiєю ${{\Psi}^{\left(1\right)}}\left(t,\vec{r}\right)$, значення якої є коефiцiєнтами розкладу:

[TABLE]

Тут $\left|{\vec{r}}\right\rangle$, позначено одночастинковий стан, власний для радiус-вектору частинки i вiдповiдаючий власному значенню $\vec{r}$. Якщо в деякий момент часу $t$ ми внаслiдок вимiрювання спостерiгаємо частинку в околi $d{{\vec{r}}^{\left(0\right)}}$ точки з радiус-вектором $\vec{r}^{\left(0\right)},$ то ми миттєво, тобто в той же момет часу $t$, узнаємо, що частинки немає в околах решти точок областi, в якiй вона могла спостерiгатися. Це означає [16], що з розкладу (1), впливом вимiрювального приладу миттєво вилучаються всi власнi стани, окрiм тих, якi вiдповiдають власним значенням що потрапляють в об’єм $d{{\vec{r}}^{\left(0\right)}}$ навколо точки з радiус-вектором $\vec{r}^{\left(0\right)}.$ Така миттєвiсть не суперечить принципам теорiї вiдносностi внаслiдок суттєво нелокального характеру взаємодiї стану частинки з вимiрювальним приладом. Дiйсно, якщо мова йде про опис стану мiкрочастинки в координатному представленнi, то цей опис передбачає результат такої взаємодiї цього стану з вимiрювальним приладом, яка надає потенцiйну можливiсть виявити частинку при вимiрюваннi в околi довiльної точки деякої областi. Тому така взаємодiя не може бути локалiзована в околi якоїсь однiєї точки. Оскiльки ми розглядаємо релятивiстську мiкрочастинку, то будь-яка взаємодiя, в якiй вона бере участь, може здiйснюватись лише посередництвом вiдповiдного поля, яке знову ж таки не локалiзоване в деякiй точцi. В тому числi й взаємодiя з вимiрювальним приладом. Оскiльки вимiрювальна взаємодiя не локалiзована, кожен з власних станiв $\left|{\vec{r}}\right\rangle$ з розкладу (1) взаємодiє з вимiрювальним полем в <<своїй>> точцi, i ця взаємодiя нiкуди не повинна розповсюджуватися. Вiдповiдно, скiнченнiсть швидкостi розповсюдження взаємодiї не вiдiграє в процесi нелокального вимiрювання такої ролi яка б заперечувала можливiсть миттєвого вилучення з розкладу (1), внаслiдок вимiрювального впливу, тих власних станiв, якi не вiдповiдають власним значенням що потрапляють в об’єм $d{{\vec{r}}^{\left(0\right)}}$ навколо точки з радiус-вектором $\vec{r}^{\left(0\right)}.$ Зазначимо, що якщо замiсть координатного представлення стану розглянути iмпульсне, то просторова локалiзацiя взаємодiї мiкрочастинки iз вимiрювальним приладом взагалi є виключеною.

Розглянемо тепер для прикладу, систему двох нетотожних взаємодiючих мiж собою мiкрочастинок, якi для зручностi назвемо $A$ i $B.$ Припустимо, що по вiдношенню до деякої системи вiдлiку, ми провели одночасне вимiрювання радiус-векторiв цих частинок i спостерiгали їх в околах точок з радiус-векторами вiдповiдно ${\vec{r}}^{\left(0\right)}_{A}$ i ${\vec{r}}^{\left(0\right)}_{B}$ в момент часу $t.$ Внаслiдок перетворень Лоренца, з точки зору спостерiгача, що користується iншою iнерцiйною системою вiдлiку, цi вимiри будуть неодночасними i характеризуватимуться рiзними моментами часу ${{{t}^{\prime}}_{A}}$ i ${{{t}^{\prime}}_{B}}$ i iншими координатами точок ${\vec{r}}^{\prime\left(0\right)}_{A}$ i ${\vec{r}}^{\prime\left(0\right)}_{B}.$ При цьому вiдношення вiдстанi $\left|{\vec{r}}^{\prime\left(0\right)}_{A}-{\vec{r}}^{\prime\left(0\right)}_{B}\right|$ до промiжку часу $\left|{{{{t}^{\prime}}}_{A}}-{{{{t}^{\prime}}}_{B}}\right|$ перевищуватиме граничну швидкiсть розповсюдження взаємодiї $c$ (тут i далi ми користуватимемось системою одиниць в якiй $c=1$). Але внаслiдок принципiв квантової механiки ми не можемо робити висновок що бiльш раннє вимiрювання не впливає на бiльш пiзнє. Дiйсно, припустимо, наприклад, що ${{{t}^{\prime}}_{A}}<{{{t}^{\prime}}_{B}}$. Якщо в момент ${{{t}^{\prime}}_{A}}$ спостерiгач виявляє частинку $A$ в околi точки ${\vec{r}}^{\prime\left(0\right)}_{A},$ то, як вже зазначалося, вимiрювальна взаємодiя миттєво вилучить з розкладу стану деякi базиснi елементи. А саме, якщо до вимiрювання стан системи $\left|{{\Psi}^{\left(2\right)}}\right\rangle$можна було виразити через власнi для радiус-векторiв стани $\left|{{{\vec{r}^{\prime}}}_{A}}\right\rangle$ i $\left|{{{\vec{r}^{\prime}}}_{B}}\right\rangle$ таким чим чином

[TABLE]

Тут $d{{\vec{r}^{\prime}}_{A}}$ i $d{{\vec{r}^{\prime}}_{B}}$ позначенi елементи об’ємiв конфiгурацiйних просторiв частинок $A$ i $B.$ То пiсля вимiрювання, вплив цього вимiрювання вилучає з лiнiйної комбiнацiї (2) всi внески що мiстять стани ${{\vec{r}^{\prime}}_{A}}$, шо не вiдповiдають власним значенням, якi потрапляють в окiл $d{{{\vec{r}}^{\prime}}_{A}}$ навколо значення ${\vec{r}}^{\prime\left(0\right)}_{A},$ тобто той окiл, в якому при вимiрюваннi була виявлена частинка $A$:

[TABLE]

Навiть якщо iнтервал мiж подiями $\left({{{{t}^{\prime}}}_{A}},{{{{\vec{r}}^{\prime}}}_{A}}\right)$ i $\left({{{{t}^{\prime}}}_{B}},{{{{\vec{r}}^{\prime}}}_{B}}\right)$ є простороподiбний, з лiнiйної комбiнацiї (2) вимiрювальним впливом миттєво вилучаються власнi стани $\left|{{{{\vec{r}}^{\prime}}}_{A}}\right\rangle$ з ${{{\vec{r}}^{\prime}}_{A}}$ достатньо близькими до ${{\vec{r}}^{\prime\left(0\right)}_{B}}$ так що

[TABLE]

Тому у випадку коли б вимiрювання не було i власнi стани ${{{\vec{r}}^{\prime}}_{A}}$ були б присутнi в розкладi (3), то можливi були б вiртуальнi обмiни переносниками взаємодiї мiж точками ${{{\vec{r}}^{\prime}}_{A}}$ i ${{\vec{r}}^{\prime\left(0\right)}_{B}}$ i цi обмiни впливали б на розвиток стану в часi. А внаслiдок вимiрювання такi стани вилученi з розкладу (3) i вiдповiдних обмiнiв не вiдбувається i, таким чином розвиток стану iз часом внаслiдок впливу вимiрювання стає iншим. З огляду на наведенi мiркуання щодо нелокальностi взаємодiї стану iз вимiрювальним приладом нам видається що видiлення просторово-подiбних конфiгурацiй [9, 11] при багаточасовому описi не має сенсу. До того ж, виникає питання як побудувати подiбний опис в iмпульсному представленнi, де розглянута вище просторова нелокальнiсть проявляється вже навiть на формальному рiвнi. В такому випадку неможливо сформулювати умову, аналогiчну умовi простороподiбностi. Окрiм того, незрозумiло як за виконання такої умови переходити до iмпульсного представлення. Якщо за фiксованих часових змiнних проводити перетворення Фур’є по просторових змiнних, то iнтегрування не обмежиться областю, на якiй всi аргументи багаточасової амплiтуди ймовiрностi роздiленi просторово-подiбними iнтервалами i тодi на частинi такої областi iнтегрування пiдiнтегральний вираз буде невизначений. Окрiм того, якщо розглядати амплiтуду ймовiрностi, залежну вiд часiв i iмпульсiв окремих частинок, то зникає навiть формальна можливiсть пов’язувати аргументи такої амплiтуди ймовiрностi в рiзних системах вiдлiку перетвореннями Лренца. З iншого боку, якщо ми маємо систему квантових взаємодiючих релятивiстських частинок, то нiщо не заважає кожному iнерцiйному спостерiгачевi проводити вимiр iмпульсiв окремих частинок. Якщо ж розглянути перетворення Фур’є для багаточасової амплiтуди ймовiрностi не тiльки по просторових змiнних а й по часових, то окрiм того, що знов на частинi областi iнтегрування пiдiнтегральний вираз не буде визначений, поряд iз часовими змiнними для кожної частинки ми ще матимемо енергетичнi змiннi також для кожної частинки окремо, в той час як в системi взаємодiючих частинок маємо лише власнi значення енергiї всiєї системи, а не окремих частинок.

Отже, у зв’язку з розглядом багаточасових вимiрювань, на наш погляд, виникають наступнi проблеми. В <<звичайнiй>> квантовiй теорiї взаємодiя з вимiрювальним приладом проявляється лише в результатах реалiзацiй процесу вимiрювання i не впливає на розвиток стану в часi i, вiдтак, вона не повинна явно описуватися в динамiчних рiвняннях, що описують цей розвиток. У випадку розгляду бгаточасових вимiрювань маємо протилежну ситуацiю - взаємодiя iз приладом змiнюватиме часову еволюцiю стану i повинна явно описуватися в динамiчних рiвняннях. Окрiм того, результат багаточасового вимiрювання можна передбачити за допомогою <<звичайної>> одночасової амплiтуди ймовiрностi, послiдовно дiючи на неї оператором часової еволюцiї, який враховуватиме в тому числi й взаємодiю iз приладом. Дiйсно, розглянемо систему з $n$ нетотожних взаємодiючих частинок. Якщо в момент часу ${{t}_{1}}$, стан такої системи описується одночасовою амплiтудою ймовiрностi $\Psi\left({{t}_{1}},{{{\vec{r}}}_{1}},\ldots,{{{\vec{r}}}_{n}}\right)$, де ${{\vec{r}}_{1}},\ldots,{{\vec{r}}_{n}}$- радiус-вектори частинок, то проiнтегрувавши квадрат модуля амплiтуди ймовiрностi по всiх радiус-векторах окрiм ${{\vec{r}}_{1}}$ i множачи результат на малий елемент об’єму $d{{V}_{1}}$ отримаємо ймовiрнiсть виявити при вимiрюваннi в момент часу ${{t}_{1}}$ першу частинку в об’ємi $d{{V}_{1}}$, описаному навколо точки iз радiус-вектором ${{\vec{r}}_{1}}$. Розглянемо стан системи пiсля впливу цього вимiрювання, i подiємо на амплiтуду ймовiрностi цього стану оператором часової еволюцiї до моменту ${{t}_{2}}$. Розрахуємо квадрат модуля отриманої таким чином функцiї, проiнтегруємо його по всiх радiус-векторах за винятком ${{\vec{r}}_{2}}$ i помножимо на малий об’єм $d{{V}_{2}}$. Отриману таким чином величину можна iнтерпретувати як умовну ймовiрнiсть виявити при вимiрюваннi в момент часу ${{t}_{2}}$ другу частинку в малому об’ємi $d{{V}_{2}}$ навколо точки з радiус-вектором ${{\vec{r}}_{2}}$ за умови що в момент часу ${{t}_{1}}$ перша частинка була виявлена в об’ємi $d{{V}_{1}}$ навколо вектора ${{\vec{r}}_{1}}.$ Множачи цю умовну ймовiрнiсть на ймовiрнiсть виявити в момент часу ${{t}_{1}}$ першу частинку в об’ємi $d{{V}_{1}}$ отримаємо сумiсну ймовiрнiсть результатiв вимiрювання в моменти часу ${{t}_{1}}$ i ${{t}_{2}}.$ Далi врахуємо вимiрювальний плив на стан в момент ${{t}_{2}}$ i на отриману таким чином амплiтуду ймовiрностi подiємо оператором часової еволюцiї до моменту часу ${{t}_{3}}$ i продовжуючи описану процедуру матимемо сумiсну ймовiрнiсть отримати частинки в малих об’ємах $d{{V}_{1}},d{{V}_{2}},\ldots,d{{V}_{n}}$, описаних навколо радiус-векторiв ${{\vec{r}}_{1}},\ldots,{{\vec{r}}_{n}}$ при вимiрюваннях у вiдповiднi моменти часу ${{t}_{1}},{{t}_{2}},\ldots,{{t}_{n}}.$ Ми детально описали цю процедуру, щоб пiдкреслити, що вона не зводиться до розрахунку квадрату модуля якоїсь багаточасової амплiтуди ймовiрностi. Вiдтак, введення таких амплiтуд ймовiрностi, на нашу думку, означає перехiд до якоїсь <<нової>> квантової механiки.

Наведенi мiркування показують, що в системах вiдлiку, вiдносно яких вимiрювання проводяться одночасно i в тих системах, в яких ци вимiрювання неодночаснi, маємо суттєво рiзний квантово-механiчний опис. В цьому ми вбачаємо порушення принципу вiдносностi. З огляду на цей принцип виникає ще одне, важливе на наш погляд, питання. Якщо деякий iнерцiйний спостерiгач проведе одночасне вiдносно себе вимiрювання координат частинок, то вiн згенерує своїм вимiрюанням певнi подiї, якi полягатимуть в тому що в момент вiн виявив частинки в околах точок iз радiус-векторами ${{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},\ldots,{{\vec{r}}_{n}}.$ Цi подiї в системi вiдлiку, повязанiй iз спостерiгачем, що розглядаються, мають однакову часову координату $t$ i просторовi координати, що вiдповiдають перелiченим радiус-векторам. Розглянемо тепер iншого iнерцiйного спостерiгача. Якщо вiн скористується тiєю ж реалiзацiєю вимiрювань, то в його системi вiдлiку подiї матимуть рiзнi часовi координати. Але ящо вiн не користуватиметья результатами вимiрювання iншого iнерцiйного спостерiгача, а проведе свої вимiрювання, то чи повинен вiн їх проводити одночасно вiдносно себе, або вiн повинен проводити рiзночасовi вимiрювання? На наш погляд i з наведених вище мiркувань i з принипу вiдносностi випливає, що цей спсостерiгач повинен проводити вимiрювання одночасно вiдносно своєї системи вiдлiку. Але тодi кожен спостерiгач повинен користуватися своїми реалiзацiями процесу вимiрювання якi генерують рiзнi подiї для рiзних спостерiгачiв. Оскiльки перетворення Лоренца пов’язують просторово-часовi координати однiєї подiї в рiзних системах вiдлiку, то аргументи функцiй що складають компоненти фокiвського стовпця в рiзних системах вiдлiку не пов’язанi перетворенням Лоренца i взагалi не пов’язанi якимось чином бо мова йде про просторово-часовi координати рiзних подiй. При цьому, як було показано в роботах [12, 17] вiдповiднiсть iз принципом вiдносностi досягається не за рахунок Лоренц-iнварiантностi, а за рахунок того, що залежнiсть вiд внутрiшнiх змiнних є однаковою в рiзних iнерцiйних системах вiдлiку. Натомiсть залежнiсть вiд змiнних центру мас залишається Лоренц-iнварiантною, але не за рахунок зв’язку мiж координатами в рiзних системах вiдлiку, а за рахунок формальної аналогiї [12] перетворення оератору часової еволюцiї з перетворенням польових операторiв [18].

Отже, якщо ми розглянемо $n-$частинкову компоненту фокiвського стовпця вiдносно певної iнерцiйної системи вiдлiку в момент часу $t$, то для того, щоб побудувати множину на якiй вона визначена, ми можемо спочатку розглянути декартовий добуток $n$ просторiв Мiнковського, а потiм видiлити пiдмножину цього добутку, яка утворена сукупностями $n$ подiй у яких чаова координата однакова i дорiвнює $t.$ Такi пiдмножини вже розглядалися в роботi [17]. Називатимемо їх далi пiдмножинами одночасностi.

Наведенi мiркування не мають суттєвого прояву в iснуючих польових теорiях внаслiдок того, що всi цi теорiї формулюються в термiнах чисел заповнення одночастинкових станiв невзаємодiючих частинок. Дiйсно, для отримання комутацiйних спiввiдношень, за допомогою яких польовим операторам в iмпульсному представленнi надається сенс операторiв народження i знищення, суттєво щоб оператор енергiї-iмпульсу був квадратичний по цих операторах [18]. Квантування за допомогою функцiональних iнтегралiв [19] не змiнює цiєї ситуацiї, бо для побудови виробляючого функцiоналу для оператора часової еволюцiї потрiбен виробляючий функцiонал для лагранжiану взаємодiї в нормальнiй формi, тобто знову ж таки потрiбна iнтерпретацiя польових операторiв як операторiв народження i знищення. Тому кванування одночастинкових польових теорiй вiдбувається в представленнi взаємодiї [18], в якому залежнiсть польових операторiв вiд їх аргументiв така сама як в операторiв вiльних полiв. Тож всi ефекти, пов’язанi iз взаємодiєю зводяться лише до змiни чисел заповнення одночастинкових станiв вiльних частинок. Такий пiдхiд пристосовний для опису процесiв в яких взаємодiю мiж полями можна вважати такою що вiдсутня в початковому i кiнцевому станах. Тодi числа заповнення одночастинкових станiв наближаються до певних граничних значень в початковому i кiнцевому станах. Натомiсть для процесiв розсiяння адронiв в початковому i кiнцевому станах взаємодiя вiдсутня саме для адронiв. Тому числа заповнення одночастинкових кваркових i глюонних станiв не наближатимуться до певних границь.

Окрiм того, в наявних теорiях польовi оператори заданi на просторi Мiнковського i їх аргументи в рiзних системах вiдлiку пов’язанi перетвореннями Лоренца. Внаслiдок цього ми не можемо розглядати оператор, який би народжував або знищував частинку iз певним iмпульсом але не з певною енергiєю. Iншими словами, на вiдмiну вiд нерелятивiстської теорiї, неможливо побудувати оператор народження або знищення, який би дiяв на координатну, або iмпульсну залежнiсть елементiв фокiвського стану i при цьому не змiнював би їх залежностi вiд часу. Вiдтак, розглядаючи оператори що змiнюють числа заповнення одночастинкових станiв ми неодмiнно повиннi розглядати одночастинковi енергiї. Лагранжiан взаємодiї побудований таким чином, що в процесi змiни чисел заповнення одночастинкових станiв зберiгатиметься сума одночастинкових енергiй. Вiдтак, ця властивiсть переходить i до оператору часової еволюцiї i до оператору розсiяння. В той же час, коли ми розглядаємо зв’язану систему кваркiв i глюонiв, таку як адрон то маємо лише власне значення енергiї всiєї системи, а одночастинковi енергiї навiть неможливо ввести. Вiдповiдно i в експериментi маємо закон збереження енергiї-iмпульсу саме для адронiв, а не для кваркiв i глюонiв.

Оскiльки маємо лише енергiю системи в цiлому то i зсув в часi повинен розглядатися лише для системи в цiлому, а вiдтак, i час повинен бути один i той самий для всiєї системи, а не для кожної частинки окремо. Наведенi мiркування пояснюють мотивацiю розгляду не одночастинкових польових операторiв на просторi Мiнковського, а польових операторiв, якi змiнюють числа заповнення багаточастинкових станiв (адронiв) i якi заданi на пiдмножинi одночасностi. В роботi [17] такi багаточастинковi поля розглядалися. Однак методи отримання динамiчних рiвнянь для багаточастинкових полiв, на наш погляд, потребують суттєвого вдосконалення. Зокрема такi рiвняння формулювалися за допомогою одночастинкових рiвнянь. Спочатку вони розглядалися на тензорному добутку декiлькох просторiв Мiнковського, з послiдуючим переходом на пiдмножину одночасностi. Окрiм того, для побудови динамiчних рiвнянь для калiбрувальних полiв такий метод вимагав формулювання додаткових припущень для замикання рiвнянь. В цiй роботi ми пропонуємо метод побудови динамiчних рiвнянь багаточастинкових полiв без звертання до одночастинкових рiвнянь i вiдразу на пiдмножинi одночастностi. Цей метод полягає в тому що на пiдмножинi одночасностi ми вводимо скалярний добуток. Далi застосовується звичайний польовий метод, що базується на принципi найменшої дiї i, вiдповiдно рiвняннях Ларнажа-Ейлера для полiв, заданих на пiдмножинi одночасностi. Рiвняння для калiбрувальних полiв отримуються без припущень роботи [17]. Вони дещо вiдрiзняються вiд рiвнянь, що розглядалися в цiй роботi а також в [20]. Однак цi новi рiвняння вiдтворюють тi ж фiзичнi результати, що розглядалися в цих роботах.

2 Скалярний добуток на пiдмножинi одночасностi

Розглянемо спочатку двочастинкову пiдмножину одночасностi. При цьому розглядаючи двочастинкову систему ми насамперед матимемо на увазi мезон, як частинку, що складається з конституентних кварка i антикварка. Час i координати подiї, що може вiдбутися iз першою частинкою позначатимемо $\left(x_{\left(1\right)}^{0},x_{\left(1\right)}^{1},x_{\left(1\right)}^{2},x_{\left(1\right)}^{3}\right)$, а з другою $\left(x_{\left(2\right)}^{0},x_{\left(2\right)}^{1},x_{\left(2\right)}^{2},x_{\left(2\right)}^{3}\right).$ Тут як зазвичай iндекс 0 позначає часову координату подiї, а 1,2,3 - просторовi координати. Нижнi iндекси дужках iдентифiкують першу i другу частинки. Дужки використовуються щоб вiдрiзнити цi iндекси вiд коварiантних координат подiї. Верхнi iндекси використовуються для позначення контраварiантних координат. Декартовий добуток просторiв Мiнковського для двох частинок є восьмивимiрним лiнiйним простором, елементи якого можна розглядати як стовпцi

[TABLE]

Скалярний добуток на цьому восьмивимiрному просторi введемо за допомогою спiввiдношення

[TABLE]

Тут $g_{ab}^{Minc}$ позначає тензор Мiнковського. По iндексах $a$ i $b$ що повторюються мається на увазi пiдсумування i при цьому кожен з цих iндексiв пробiгатиме значення 0,1,2,3. Далi зручно ввести координати Якобi

[TABLE]

З урахуванням (7) вираз для скалярного добутку (6) прийме вид

[TABLE]

Пiдмножина одночасностi видiлятиметься в координатах (7) умовою

[TABLE]

Координати точки на пiдмножинi одночасностi позначатимемо семикомпонентним стовпцем

[TABLE]

Скалярний добуток на пiдмножинi одночасностi визначимо так щоб вiн збiгався з добутком (8) з урахуванням умови (9):

[TABLE]

де метричний тензор що входить в цей вираз має вид

[TABLE]

Багаточастинкове поле описуватиметься сукупнiстю польових функцiй ${{\Psi}_{a}}\left(q\right)={{\Psi}_{a}}\left(X,\vec{y}\right).$ Тут через $X$ позначена сукупнiсть координат ${{X}^{0}},{{X}^{1}},{{X}^{2}},{{X}^{3}},$ а через $\vec{y}$ - сукупнiсть внутрiшнiх змiнних ${{y}^{1}},{{y}^{2}},{{y}^{3}}.$ Iндекс $a$ нумерує рiзнi компоненти поля i множина його значень визначається представленням групи перетворень, якi описують перехiд вiд польових функцiй, визначених вiдносно однiєї системи вiдлiку до польових функцiй, визначених вiдносно iншої системи вiдлiку. Розглянемо цю групу перетворень. При цьому враховуватимемо, що як вже зазначалося, координати на пiдмножинах одночасностi в рiзних системах вiдлiку не пов’язуються мiж собою. Однак закон перетворення польових функцiй при переходi вiд однiєї iнерцiйної системи вiдлiку до iншої отримується з iнших мiркувань. Оскiльки квантування багаточастинкових полiв буде розглядатися в представленнi взаємодiї вiдносно взаємодiї саме мiж багаточастинковими полями (але не мiж частинками, що утворюють зв’язанi стани народження i знищення яких описують квантованi багаточастинковi поля), ми можемо розглядати випадок, коли залежнiсть вiд внутрiшнiх змiнних $\vec{y}$ вiддiляється вiд залежностi вiд координат центру мас $X$

[TABLE]

Множник $\psi\left({\vec{y}}\right)$ можна визначити як власну функцiю внутрiшнього гамiльтонiану системи взаємодiючих частинок, що утворюють зв’язаний стан. Цей внутрiшнiй гамiльтонiан можна визначити як такий оператор, квадрат котрого дорiвнює величинi ${{P}^{2}}\equiv g_{ab}^{Minc}{{\hat{P}}^{a}}{{\hat{P}}^{b}}$, де ${{\hat{P}}^{a}}-$ генератори просторово-часових зсувiв. Вiдповiдно, внутрiшнiй гамiльтонiан ${{\hat{H}}^{\text{inernal}}}$ визначатимемо як оператор, власнi функцiї якого збiгаються з власними функцiями ${{P}^{2}}$, а власнi значення є квадратнi коренi з власних значень ${{P}^{2}}.$ Якщо ми розглянемо генератор буста ${{\hat{M}}_{0d}},d=1,2,3$ уздовж довiльної вiсi, то внаслiдок комутацiйних спiввiдношень мiж генераторами групи Пуанкаре такий генератор комутує з оператором ${{P}^{2}}.$ Але за наведеного означення вiн комутує i з ${{\hat{H}}^{\text{inernal}}}.$ Це означає, що якщо розглянути власний для внутрiшнього гамiльтонiану стан, такий що вiдповiдає невиродженому власному значенню, то вiн обов’язково буде власним i для генератора ${{\hat{M}}_{0d}}.$ Якщо розглянути лiнiйний простiр власних станiв внутрiшнього гамiльтонiану, якi вiдповiдають деякому виродженому власному значенню, то обравши деякий базис можемо побудувати матрицю генератора ${{\hat{M}}_{0d}}$ на цьому просторi. Дiагоналiзувавши цю матрицю, отримаємо новий базис, який складатиметься iз станiв, власних i для внутрiшнього гамiльтонiану i для генератора ${{\hat{M}}_{0d}}.$ Розглянемо такий стан $\psi\left({\vec{y}}\right).$ Позначимо $\hat{U}\left(-t\right)$ унiтарний оператор, який описує перетворення станiв при часовiй iнверсiї. Оскiльки внутрiшнiй стан не залежить вiд часу, вiн не змiнюватиметься при часовiй iнверсiї. Тому якщо перетворення часової iнверсiї реалiзувати як перетворення станiв при незмiнних операторах, то власне значення оператора ${{\hat{M}}_{0d}},$ яке вiдповiдає власному стану $\psi\left({\vec{y}}\right)$ не змiниться. Якщо ж перетворювати оператори, не змiнюючи стани, то оператор, а разом iз ним i власне значення повиннi змiнити знак. Звiдси маємо що таке власне значення дорiвнює нулю. Це означає що власнi стани внутрiшнього гамiльтонiану не змiнюються при переходi вiд однiєї iнерцiйної системи вiдлiку до iншої. Таким чином, на множинi значень функцiї $\psi\left({\vec{y}}\right)$ буст представлятиметься одиничним оператором. Окрiм того, оскiльки внутрiшнi координати $\vec{y}$ в рiзних системах вiдлiку у випадку буста не пов’язуються мiж собою нiяким чином, ми можемо лише порiвнювати значення функцiй $\psi\left({\vec{y}}\right)$ в рiзних системах вiдлiку лише при одних i тих самих значеннях аргументiв, а не в однiєї просторово-часовiй точцi, як це вiдбивається у випадку <<звичайних>> одночастинкових полiв. Тому i на областi визначення функцiй $\psi\left({\vec{y}}\right),$ буст також предствлятиметься одиничним оператором. Щодо пiдгрупи обертiв при переходi з однiєї системи вiдлiку до iншої, то в цьому випадку ми не маємо зазначених вище проблем з одночаснiстю, тому i на областi визначення i на областi значень функцiї $\psi\left({\vec{y}}\right)$ оберти представляються звичайним чином. Оскiльки бусти представляються одиничним оператором, то на пiдпросторi внутрiшнiх змiнних перехiд вiд однiєї iнерцiйної системи вiдлiку до iншої представляється групою обертiв.

Функцiї ${{\phi}_{a}}\left(X\right)$ з виразу (13) формально спiвпадають iз <<звичайними>> одночастинковими польовими функцiями. Пiсля квантування вони замiняться на вiдповiднi польовi оператори ${{\hat{\phi}}_{a}}\left(X\right)$. Якщо позначити $\hat{U}\left({\hat{\Lambda}}\right)$ унiтарний оператор, що представляє перетворення Лоренца $\hat{\Lambda}$ на тому просторi станiв, на якому визначенi оператори ${{\hat{\phi}}_{a}}\left(X\right),$ то при переходi до нової системи вiдлiку, виходячи з фомальної аналогiї з перетвореннм одночастинкових польових операторiв, матимемо [18]

[TABLE]

Тут, як зазвичай, ${{\hat{U}}^{\dagger}}\left(\Lambda\right)$ позначає ермiтово спряжений оператор, а ${{\hat{\Lambda}}^{-1}}-$обернену матрицю. Окрiм того ${{\hat{D}}_{ab}}\left(\Lambda\right)$ позначено елементи матриць, що реалiзують вiдповiдне представлення груи Лоренца на множинi значень польових функцiй ${{\phi}_{a}}\left(X\right).$ Наприклад для тричастинкового бiспiнорного поля [17] матрицi ${{\hat{D}}_{ab}}\left(\Lambda\right)$ реалiзують бiспiнорне представлення групи Лоренца. По iндексах, що повторюються мається на увазi пiдсумування. Як видно з (14) сукупнiсть чотирьох величин ${{X}^{0}},{{X}^{1}},{{X}^{2}},{{X}^{3}}$ потрiбно перетворювати при переходi з однiєї системи вiдлiку до iншої як контраварiантний чотиривектор. Проте звернемо увагу на те, що такий закон перетворення виникає не внаслiдок зв’язку мiж координатами в рiзних системах вiдлiку (якого, як розглядалося ранiше не iснує), а внаслiдок формальної аналогiї мiж функцiями ${{\phi}_{a}}\left(X\right)$ i одночастинковими польовими функцiями. З фiзичної точки зору такий закон перетворення означає що ми збираємось розглядати адрон, чи iншу складену частинку як точкову при аналiзi її взаємодiї iз приладом, що вимiрює положення адрону в просторi, але як ми покажемо далi, ми враховуватимемо його неточковiсть при аналiзi взаємодiї з калiбрувальним полем, що фiзично вiдповiдатиме тому що з калiбрувальним полем взаємодiє не власне адрон, а кварки, що його складають.

Отже на пiдмножинi одночасностi дiє група матриць

[TABLE]

Елементи матрицi $G_{b}^{a}$ нумеруються iндексами, кожен з яких приймає значення вiд 0 до 6. Числа $\Lambda_{b}^{a},a,b=0,1,2,3$ є елементами матрицi перетворення Лоренца, а $R_{b}^{a},a,b=1,2,3-$елементи матрицi обертання. При цьому якщо

[TABLE]

де ${{\hat{R}}^{\left(1\right)}}$ i ${{\hat{R}}^{\left(2\right)}}$- матрицi тривимiрних обертiв, то матриця $\hat{R},$ яка входить до (15) дорiвнює

[TABLE]

Скалярний добуток (11) з метричним тензором (12) є iнварiантним вiдносно перетворень групи (15).

Отже нашою подальшою метою буде побудова квантової теорiї поля не на просторi Мiнковського з групою Лоренца, а на розглянутiй вище пiдмножинi одночасностi з групою (15). Як вже зазначалося, симетрiя динамiчних рiвнянь теорiї поля вiдносно цiєї групи є формальним виразом принципу вiдносностi. З iншого боку, якщо простiр Мiнковського замiнити на пiдмножину одночасностi, а групу Лоренца - на групу (15), то далi таку теорiю можна будувати з використанням мiркувань, аналогiчних тим, що використовуються при побудовi <<звичайної>> одночастинкової теорiї поля.

3 Лагранжiан двочастинкового мезонного поля

Двочастинкове мезонне поле, яке пiсля квантування описуватиме процеси народження i знищення зв’язаних станiв кварка i антикварка позначатимемо ${{\psi}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(q\right).$. Тут $q$ позначає сукупнiсть семи величин (10). Iндекси iз субiндексом 1 будемо вiдносити до антикварка, а 2-до кварка. Так ${c}_{1}$ позначатиме колiр антикварка, а ${c}_{2}$- колiр кварка, ${f}_{1}-$ позначатиме аромат антикварка, а ${f}_{2}-$ аромат кварка. Вiдповiдно, поле ${{\psi}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(q\right)$ приймає значення на якому реалiзуються змiшанi тензорнi представлення груп $S{{U}_{c}}\left(3\right)$ i $S{{U}_{f}}\left(3\right)$:

[TABLE]

Тут $u_{{{c}_{2}}{{c}_{4}}}^{\left(c\right)}$ позначенi елементи довiльної матрицi групи $S{{U}_{c}}\left(3\right)$, а $u_{{{f}_{2}}{{f}_{4}}}^{\left(f\right)}-$ елементи незалежної вiд неї матрицi групи $S{{U}_{f}}\left(3\right)$. Знак $\dagger$ як зазвичай використовується для позначення елементiв ермiтово спряженої матрицi. По iндексах що повторюються як зазвичай мається на увазi пiдсумування. Динамiчнi рiвняння для поля ${{\psi}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(q\right)$ повиннi бути симетричними вiдносно перетворень (18).

Окрiм того динамiчнi рiвняння повиннi бути симетричними вiдносно групи (15). Найпростiший лагранжiан, який породжує такi рiвняння може бути записаний в видi:

[TABLE]

Тут ${{g}^{ab}}-$компоненти тензора (12), а величина ${{M}_{\mu}}$ розглядатиметься як <<затравочна>> маса мезона. <<Справжня>> маса мезона розглядатиметься далi.

Оскiльки поле ${{\psi}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(q\right)$ повинне описувати динамiку зв’язаних станiв кварка i антикварка, лагранжiан (19) вочевидь є недостатнiм, бо вiн не враховує взаємодiю мiж кварком i антикварком, яка забезпечує iснування зв’язаного стану. Таку взаємодiю можна ввести як зазвичай, вимагаючи симетрiї лагранжiану вiдносно локальних перетворень внутрiшньої симетрiї типу (18). Оскiльки iснування мезону як зв’язаного стану кварка i антикварка пов’язано саме iз сильною взаємодiєю, то ми зосередимося на симетрiї вiдносно локальних $S{{U}_{c}}\left(3\right)-$перетворень. Досягти цiєї симетрiї можна також звичайним способом - замiнюючи <<звичайнi>> похiднi в лагранжiанi (19) на <<подовженi>> похiднi i вводячи вiдповiднi компенсуючi поля:

[TABLE]

Тут $\lambda_{{{c}_{1}}{{c}_{2}}}^{{{g}_{1}}},{{g}_{1}}=1,2,\ldots 8,{{c}_{1}},{{c}_{2}}=1,2,3-$елементи матриць Гелл-Мана, $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(1\right)}\left(q\right)$ i $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(2\right)}\left(q\right)-$ компенсуючi поля, $g$- константа сильної взаємодiї. Задля того щоб лагранжiан (20) був iнварiантним вiдносно перетворень (18) в яких матрицi $u_{{{c}_{1}}{{c}_{3}}}^{\left(c\right)\dagger}$ i $u_{{{c}_{2}}{{c}_{4}}}^{\left(c\right)}$ є функцiями вiд координат

[TABLE]

де ${{\theta}_{{{g}_{1}}}}\left(x\right)-$ параметри локального $S{{U}_{c}}\left(3\right)-$ перетворення якi є довiльними функцiями вiд координат на пiдмножинi одночасностi (10), потрiбно разом з (18) перетворювати i компенсуючi поля $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(j\right)}\left(q\right),j=1,2$ за законом:

[TABLE]

Тут ${{\left({{D}^{-1}}\left(\theta\left(q\right)\right)\right)}_{{{g}_{2}}{{g}_{1}}}}$ позначенi елементи матриць, обернених до матриць приєднаного представлення групи $S{{U}_{c}}\left(3\right)$. Позначення $\theta\left(q\right)$ без iндексу, як зазвичай, використовується для всiєї сукупностi восьми параметрiв $S{{U}_{c}}\left(3\right)-$ перетворення. Як видно з (22) закон перетворення обох компенсуючих полiв є однаковим. Динамiчнi рiвняння, яким вони задовольняють також будуть однаковими. Проте наявнiсть серед аргументiв цих полiв внутрiшнiх змiнних ${{y}^{1}},{{y}^{2}},{{y}^{3}}$ (10), як буде видно з подальшого, призведе до суттєвої ролi граничних умов, якi накладаються на цi поля. Такi умови можуть бути рiзними для рiзних полiв, i тому матимемо рiзнi розв’язки одних i тих самих динамiчних рiвнянь з одним i тим самим законом перетворення при локальному $S{{U}_{c}}\left(3\right)-$ перетвореннi. Рiзнi граничнi умови саме й надають можливiсть розглядати два рiзних компенсуючих поля $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(1\right)}\left(q\right)$ i $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(2\right)}\left(q\right).$ Далi замiсть цих полiв, зручнiше буде розглядати їх лiнiйнi комбiнацiї, аналогiчнi змiнним Якобi

[TABLE]

Оберненi до (23) спiввiдношення мають вид:

[TABLE]

Оскiльки на множинi значень польових функцiй ${{\psi}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(q\right)$ задане представлення локальної групи $S{{U}_{c}}\left(3\right)$ цю область значень можна розкласти в пряму суму iнварiантних пiдпросторiв вiдносно перетворень цього представлення. Внаслiдок того що адрон є безкольоровим нас цiкавитиме поле, яке має ненульову проекцiю тiльки на пiдпростiр на якому реалiзується скалярне незвiдне представлення i який <<натягнутий>> на тензор ${{\delta}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}}}}.$ Це означає що поле ${{\psi}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(q\right)$ може бути представлене в видi

[TABLE]

де ${{\psi}_{{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(q\right)-$ новi польовi функцiї, для яких далi будуть розглядатися динамiчнi рiвняння, i якi пiсля квантування будуть описувати процеси народження i знищення мезонiв. Цi динамiчнi рiвняння можна отримати з лагранжiану, що утвориться, якщо в (20) пiдставити (25) i врахувати позначення (23). Пiсля цих перетворень лагранжiан (20) прийме вид

[TABLE]

4 Рiвняння зв’язку для компонент калiбрувального поля

Оскiльки мезон складається з кварка i антикварка, двочастинквое мезонне поле можна розглядати як таке що приймає значення на тензорному добутку лiнiйного простору дiракiвськи спряжених бiспiнорiв i лiнiйного простору бiспiнорiв. Тому, як вихiдне двочастинкове поле можна було б розглянути таке поле яке окрiм пари кольорових i пари ароматових iндексiв має ще два бiспiнорних iндекси. Таке поле позначатимемо як

[TABLE]

В цих позначеннях ми вiдобразили також те, що в цьому роздiлi, зручно буде вiдокремити серед координат на пiдмножинi одночасностi (10) сукупнiсть координат центру мас $X\equiv\left({{X}^{0}},{{X}^{1}},{{X}^{2}},{{X}^{3}}\right)$ i внутрiшнiх координат $\vec{y}\equiv\left({{y}^{1}},{{y}^{2}},{{y}^{3}}\right).$ При переходi вiд однiєї iнерцiйної системи вiдлiку до iншої, яке описується перетворенням Лоренца $\hat{\Lambda}$ польовi функцiї (27) перетворюватимуться за законом

[TABLE]

де ${{D}_{{{s}_{4}}{{s}_{2}}}}\left({\hat{\Lambda}}\right)$ позначає елементи матрицi бiспiнорного представлення групи Лоренца , а $D_{{{s}_{1}},{{s}_{3}}}^{-1}\left({\hat{\Lambda}}\right)-$елементи оберненої матрицi.

Поле ${{\psi}_{{{s}_{1}},{{s}_{2}},{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(X,\vec{y}\right)$ може бути розкладене по базису з 16 матриць, якi утворюються за допомогою лiнiйно незалежних добуткiв матриць Дiрака [18]. Оскiльки мезони є псевдоскалярними частинками, вони повиннi описуватися проекцiєю поля ${{\psi}_{{{s}_{1}},{{s}_{2}},{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(X,\vec{y}\right)$ на пiдпростiр, <<натягнутий>> на матрицю $\gamma_{{{s}_{1}}{{s}_{2}}}^{5}.$ Ця проекцiя вже не залежить вiд бiспiнорних iндексiв i може розглядатися як поле ${{\psi}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(q\right)={{\psi}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(X,\vec{y}\right),$ розглянуте в попередньому роздiлi. Якщо ${{\psi}_{{{s}_{1}},{{s}_{2}},{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(X,\vec{y}\right)$ представити в видi

[TABLE]

де <<трикрапки>> позначають проекцiї на решту 15 лiнiйно незалежних матриць алгебри, утворюючими якої є матрицi Дiрака, то матимемо:

[TABLE]

Тут по бiспiнорним iндексам ${{s}_{1}},{{s}_{2}},$ якi повторюються мається на увазi пiдсумування.

В усiх попереднiх мiркуваннях ми покладали, що першi iндекси вiдносяться до антикварка, а другi - до кварка, з яких побудовано мезон. Тому, якщо ми обмiняємо мiсцями iндекси у розглянутих полiв, то кварк певного типу замiниться на його антикварк i навпаки. Така замiна призведе до замiни мезону на антимезон. Ми хочемо з’ясувати яким чином виглядатиме в такому випадку операцiя зарядового спряження для мезону. Тобто ми хочемо з’ясувати як пов’язанi компоненти полiв ${{\psi}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}}{{f}_{2}}}}\left(X,\vec{y}\right)$ i ${{\psi}_{{{c}_{2}}{{c}_{1}},{{f}_{2}}{{f}_{1}}}}\left(X,-\vec{y}\right)$. Знак <<мiнус>> перед внутрiшнiми змiнними виникає внаслiдок того, що як видно з (7) обмiн частинок, для яких вводяться координати Якобi, не змiнює координат центру мас, i змiнює знак у внутрiшнiх змiнних. Найпростiшим тензором, який має трансформацiйнi властивостi (18) i (28) є

[TABLE]

Видiляючи з нього псевдоскалярний внесок, отримаємо

[TABLE]

Тодi пiсля обмiну частинок мiсцями, отримаємо

[TABLE]

На пiдмножинi одночасностi в координатах Якобi, матимемо:

[TABLE]

Оскiльки тензор (27) має такi ж трансформацiйнi властивостi що й (31) для його проекцiї на пiдпростiр <<натягнутий>> на ${{\hat{\gamma}}^{5}}$ приймемо такий самий вид операцiї зарядового спряження (34). Дiйсно, <<розщеплений>> вид тензору (31), говорить про те, що вiн не враховує взаємодiю мiж кварками. Ця взаємодiя вводиться шляхом вимоги локальної $S{{U}_{c}}\left(3\right)$ симетрiї, яка як окремий випадок включає глобальну симетрiю. Тому симетрiя (27) не нижча за симетрiю (31). Оскiльки при отриманнi (34) ми користувалися лише симетрiйними властивостями, то ми й приймаємо аналогiчне спiввiдношення для тензора, побудованого з урахуванням взаємодiї. Оскiльки внутрiшнiй стан кваркiв в мезонi повинен бути основним (бо збуджений стан представлятиме iншу частинку), ми будемо його вважати сферично симетричним. Тодi

[TABLE]

Рiвняння зв’язку (34) породжує певнi зв’язки мiж компонентами калiбрувальних полiв $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(1\right)}\left(q\right)$ i $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(2\right)}\left(q\right).$ Розглянемо цi зв’язки.

Якщо паралельно зсунути тензор ${{\psi}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}}{{f}_{2}}}}\left(q\right)$ уздовж пiдмножини одночасностi, його змiна описуватиметься спiввiдношенням:

[TABLE]

Враховуючи (25) отримаємо:

[TABLE]

Далi в цьому виразi нам потрiбно вiддiлити внески вiд зсуву по напрямках координат центру мас i внутрiшнiх координат

[TABLE]

Тут для скорочення запису ми скористалися введеним ранiше позначенням (23). Виходячи з (38) обмiнюючи кварк i антикварк мiсцями i беручи комплексне спряження, отримаємо

[TABLE]

Враховуючи (34) i (25) отримуємо, що

[TABLE]

Окрiм того, оскiльки внутрiшнiй стан мезону, як це обговорювалося з приводу (35), є сферично симетричний i залежить вiд $\left|{\vec{y}}\right|$, то й поле $A_{b,{{g}_{1}}}^{\left(-\right)}\left(X,\vec{y}\right)$, створене кварком i антикварком в цьому станi, також повинне залежати вiд $\left|{\vec{y}}\right|.$ Вiдтак, маємо

[TABLE]

Враховуючи (40) i (41), i виносячи <<мiнус>> з пiд знаку диференцiалу в (39), це спiввiдношення перепишемо в видi

[TABLE]

Отже, враховуючи (38) маємо:

[TABLE]

Виходячи з (34) цi величини ми повиннi прирiвняти. Таке прирiвнювання, виходячи з (43) призведе до висновку:

[TABLE]

Фiзичний сенс цього результату полягає в тому що якщо ми безкольоровий адрон пiддаємо паралельному переносу як цiле, то внаслiдок його безкольоровостi поле не виникає. Якщо ж ми будемо його паралельно переносити у напрямках, що вiдповiдають змiнi вiдстанi мiж кварком i антикварком всерединi адрону, то такий перенос породжуватиме внутрiшнє поле адрону.

Отже (26) може бути записане в видi

[TABLE]

Тут окрiм (26) i (44) ми ще врахували вид метричного тензору (12).

Звернемо увагу на те, що неоднороднi доданки в законах перетворення (22) для полiв $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(1\right)}\left(q\right)$ i $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(2\right)}\left(q\right)$ є однаковими. Тому, враховуючи визначення (23), бачимо, що в законi перетворення $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(-\right)}\left(q\right)$ цi неоднорiднi доданки компенсуються i поле $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(-\right)}\left(q\right)$ перетворюються за <<чистим>> представленням локальної групи $S{{U}_{c}}\left(3\right).$ Внаслiдок цього величини ${{g}^{ab}}A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(-\right)}\left(q\right)A_{b,{{g}_{1}}}^{\left(-\right)}\left(q\right)$ i $\left(\sum\limits_{b=4}^{7}{{{\left(A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(-\right)}\left(q\right)\right)}^{2}}}\right)$, якi входять в (26) i в (45) є локально калiбрувально-iнварiнтними. Окрiм того безкольоровий тензор ${{\psi}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(q\right)={{\delta}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}}}}{{\psi}_{{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(q\right)$ є також локально калiбрувально-iнварiантним. Звернемо увагу на те, що в цьому полягає вiдмiннiсть вiд роботи [17], в якiй не вдавалося описати безкольоровiсть адрону за допомогою локального iнварiанту, а лише з використанням множини калiбрувально еквiвалентних мiж собою польових конфiгурацiй. Оскiльки ${{\psi}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}},{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(q\right)={{\delta}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}}}}{{\psi}_{{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(q\right)$ є локальним iнварiантом, величина $\delta\left({{\psi}_{{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(X,\vec{y}\right){{\delta}_{{{c}_{1}}{{c}_{2}}}}\right),$ що визначається в (38) i з урахуванням (44) приймає вид

[TABLE]

повинна дорiвнювати нулю. Як видно з (46) це означає, що вектор $\vec{A}_{{{g}_{1}}}^{\left(-\right)}\left(X,\vec{y}\right)=\left(A_{4,{{g}_{1}}}^{\left(-\right)}\left(X,\vec{y}\right),A_{5,{{g}_{1}}}^{\left(-\right)}\left(X,\vec{y}\right),A_{6,{{g}_{1}}}^{\left(-\right)}\left(X,\vec{y}\right)\right)$ повинен бути ортогональний до вектора $\vec{y}.$ В цiй роботi ми не розглядатимемо динамiчних рiвнянь для цього поля, а спробуємо отримати динамiчнi рiвняння вiдразу для поля

[TABLE]

що безпосередньо входить до лагранжiану (45).

5 Динамiчне рiвняння для поля $V\left(q\right)$.

Хоча поля $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(1\right)}\left(q\right)$ i $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(2\right)}\left(q\right)$ мають залежнiсть вiд внутрiшнiх змiнних вони залишаються одночастинковими, бо на вiдмiну вiд тих полiв, з якими вони взаємодiють, цi поля не описують зв’язани стани частинок. Дiйсно, двочастинкове поле поавинне перетворюватися за тензорним добутком декiлькох представлень групи Лоренца, або групи (15) i групи внутрiшньої симетрiї, з можливим видiленням з цього тензорного незвiдного представлення, яке реалiзується на певному iнварiантному пiпiдпросторi. В той же час $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(1\right)}\left(q\right)$ i $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(2\right)}\left(q\right)$, а аткож їх лiнiйнi комбiнацiї $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(-\right)}\left(q\right)$ i $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(+\right)}\left(q\right)$ (23) такої властивостi не мають. Такi поля можна розглядати як такi, що описують взаємодiю глюону iз багаточастинковим кварковиим станом, звiдки й виникає залежнiсть вiд внутрiшнiх змiнних. Як буде показано далi, така взаємодiя призводить до конфайнменту кваркiв i, вiдповiдно утриманню їх всерединi двочастинкового стану. Але, як вiдомо, для глюонiв також властиве явище конфайнменту. Тому природно припустити що взаємодiя мiж зв’язаними станами кваркiв здiйснюється не шляхом обмiну глюонами, а шляхом обмiну їх зв’язаними станами - глюболами [21]. Для того, щоб отримати динамiчнi рiвняння для двоглюонного поля розглянемо найпростiший тензор, який можна утворити з одноглюонних полiв

[TABLE]

Розкладаючи лiнiйний простiр тензорiв ${{A}_{ab,{{g}_{1}}{{g}_{2}}}}\left(q\right)$ вiдносно групи (15) в пряму суму iнварiантних пiдпросторiв видiлимо доданок, що вiдповiдає проекцiї на скалярний пiдпростiр

[TABLE]

Тут знов як <<трикрапки>> позначенi внески вiд проекцiй на решту iнварiантних пiдпросторiв, якi нас не цiкавитимуть, бо ми хочемо розглянути скалярний глюбол i тому розглядатимемо окремий випадок коли всi цi проекцiї дорiвнюють нулю. Знак <<мiнус>> в цьому означеннi є несуттєвим i використаний виключно заради зручностi наступних обчислень. Згортаючи обидвi частини рiвностi (49) з метричним тензором ${{g}^{ab}}$ i враховуючи спiввiдношення (44) матимемо:

[TABLE]

Аналогiчну процедуру застосуємо для внутрiшнiх iндексiв

[TABLE]

де $V\left(q\right)$ визначене спiввiдношенням (47) i по iндексу ${{g}_{1}},$ який повторюється проводиться пiдсумування.

Кiнетична частина лагранжiану для поля ${{A}_{{{g}_{1}}{{g}_{2}}}}\left(q\right)$ може бути записана у виглядi

[TABLE]

Величину $M_{G}$, що входить в (52) iз звичайних мiркувань, що використовуються при побудовi польових лагранжiанiв, називатимемо затравочною масою глюболу. При цьому <<справжня>> маса глюболу розглядатиметься далi. Оскiльки поле $A_{a,{{g}_{1}}}^{\left(-\right)}\left(q\right)$ перетворюється за <<чистим>> представленням локальної групи $S{{U}_{c}}\left(3\right)$ матрицями оберненими до матриць приєднаного представлення, доданок що мiстить $M_{G}$ не порушує локальну калiбрувальну iнварiантнiсть. Натомiсть її порушують доданки, якi мiстять похiднi. Але така ситуацiя не вiдрiзняється вiд такої що має мiсце при розглядi iнших полiв i вона може бути виправлена шляхом замiни звичайних похiдних на коварiантнi.

[TABLE]

Тут $I_{{{g}_{2}},{{g}_{3}}}^{{{g}_{1}}}-$ генератори приєднаного представлення групи $S{{U}_{c}}\left(3\right),$ якi можна побудувати зi структурних констант цiєї групи. Враховуючи (51) i покладаючи нулю проекцiї на всi iншi iнварiантнi пiдпростори окрiм скалярного, маємо замiсть (53):

[TABLE]

або з урахуванням (23)

[TABLE]

З урахуванням (51) i замiни звичайних похiдних на коварiантнi замiсть лагрнажiану (52) , отримаємо (тут i далi для зручностi, числовий множник 1/14 з виразу (51) ми включили в функцiю $V\left(q\right)$ тим самим несуттєво її перевизначивши)

[TABLE]

Пiсля перетворень, замiсть цього виразу отримаємо

[TABLE]

Оскiльки структурнi константи групи $S{{U}_{c}}\left(3\right)$ вiдомi з комутацiйних спiввiдношень мiж матрицями Гелл-Мана, то безпосереднiм розрахунком встановлюємо що

[TABLE]

З урахуванням цього результату i визначення (47) функцiї $V\left(q\right)$, отримаємо лагранжiан, що мiстить лише цю польову функцiю:

[TABLE]

Тут ми подiлили лагранжiан на коефiцiєнт 8, щоб надати його кiнетичнi частинi вид, звичайний для дiйсного скалярного поля.

Маючи лагрнжiан для поля $V\left(q\right)$ можемо отримати динамiчне рiвняння для цього поля, як рiвняння Лагранжа-Ейлера:

[TABLE]

З урахуванням (59) маємо

[TABLE]

Тут ми скористалися симетричнiстю тензора Мiнковськго. Пiдставляючи (61) в (60) отримуємо динамiчне рiвняння для поля $V\left(q\right):$

[TABLE]

Отже тепер, лагранжiан $L={{L}_{\mu}}+{{L}_{V}}$, де ${{L}_{\mu}}$ визначається (45), а ${{L}_{V}}$ - визначається (59), можна розглядати як лагранжiан для взаємодiючих мезонного поля ${{\psi}_{{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(q\right)$ i скалярного глюбольного поля $V\left(q\right)$, бо як показно в роботi [17] пiсля квантування оператори народження i знищення, що вiдповiдають цим полям змiнюють числа заповнення зв’язаних станiв кварка i антикварка, або двох глюонiв.

Якщо лагранжiан ${{L}_{\mu}}$ подiлити на коефiцiєнт 3, щоб його кiнетична частина прийняла вид, звичайний для комплексного скалярного поля, то лагранжiан $L$ запишеться таким чином

[TABLE]

Видiлимо окремо залежностi i пiдсумування по координатах центру мас i по вiдносних координатах:

[TABLE]

Тут ${g}^{ab,Minc},$ як i ранiше, тензор Мiнковського, але тепер вiн розглядається як тензор з верхнiми iндексами. Якщо доданок, що мiстить похiднi вiд мезонного поля по внутрiшнiх координатах проiнтегрувати по частинах, отримаємо:

[TABLE]

де введене позначення

[TABLE]

Тут позначення ${{\Delta}_{{\vec{y}}}}\equiv\sum\limits_{b=1}^{3}{\frac{{{\partial}^{2}}}{{{\left(\partial{{y}_{b}}\right)}^{2}}}}$ означає оператор Лапласа по внутрiшнiх координатах. Оператор $\hat{H}_{0}^{\text{internal}}$ збiгається з кiнетичною частиною внутрiшнього гамiльтонiану системи двох частинок в нерелятивiстськiй квантовiй механiцi. Якщо тепер повернутися до динамiчного рiвняння (62) для функцiї $V\left(q\right)=V\left(X,\vec{y}\right)$, то можемо розглянути його частковий розв’язок ${{V}_{0}}\left({\vec{y}}\right),$ який залежить тiльки вiд внутрiшнiх змiнних. Функцiя ${{V}_{0}}\left({\vec{y}}\right),$ виходячи з (62), визначатиметься рiвнянням

[TABLE]

Якщо тепер представити функцiю $V\left(X,\vec{y}\right)$ в видi

[TABLE]

то частина лагранжiану (65), що мiстить польовi функцiї мезонного поля запишеться так

[TABLE]

Тут як трикрапки позначена решта доданкiв лагарнжiана (65), якi ми проаналiзуємо далi. Вираз $\left(-{1}/{\left({{{M}_{\mu}}}/{2}\;\right)}\;{{\Delta}_{{\vec{y}}}}+\left({4}/{\left(3{{M}_{\mu}}\right)}\;\right){{V}_{0}}\left({\vec{y}}\right)\right)$ має вид внутрiшнього, нерелятивiстського двочастинкового гамiльтонiану, в якому роль потенцiйної енергiї взаємодiї кварка з антикварком з точнiстю до множника $\left({4}/{\left(3{{M}_{\mu}}\right)}\;\right)$ грає функцiя ${{V}_{0}}\left({\vec{y}}\right)$ що є розв’язком рiвняння (67). Втiм, внутрiшнiй гамiльтонiан зручнiше ввести таким чином:

[TABLE]

Якщо вважати що внутрiшнiй стан мезону може бути добре описаний в нерелятивiстському наближеннi, то власнi значення оператору $\left(-{1}/{\left({{{M}_{\mu}}}/{2}\;\right)}\;{{\Delta}_{{\vec{y}}}}+\left({4}/{\left(3{{M}_{\mu}}\right)}\;\right){{V}_{0}}\left({\vec{y}}\right)\right)$ повиннi бути суттєво меншими нiж затравочна маса мезону ${{M}_{\mu}}$. У якостi цiєї затравочної маси можна взяти наприклад сумарну масу кварка i антикварка. Оскiльки ми вважаємо, що мезон складається з певного кварка i антикварка, то це означає що за рахунок внутрiшнiх процесiв в мезонi, анi новi конституентнi кварки, анi новi конституентнi антикварки народжуватися не можуть, що й означає що характернi власнi значення оператору $\left(-{1}/{\left({{{M}_{\mu}}}/{2}\;\right)}\;{{\Delta}_{{\vec{y}}}}+\left({4}/{\left(3{{M}_{\mu}}\right)}\;\right){{V}_{0}}\left({\vec{y}}\right)\right)$ є набагато меншими нiж ${{M}_{\mu}}$. Але тодi, нехтуючи квадратом оператору $\left(-{1}/{\left({{{M}_{\mu}}}/{2}\;\right)}\;{{\Delta}_{{\vec{y}}}}+\left({4}/{\left(3{{M}_{\mu}}\right)}\;\right){{V}_{0}}\left({\vec{y}}\right)\right)$ у порiвняннi з $M_{\mu}^{2}$ маємо

[TABLE]

Тодi замiсть (69) маємо

[TABLE]

Тодi якщо залежнiсть функцiї ${{\psi}_{{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(X,\vec{y}\right)$ вiд внутрiшнiх змiнних $\vec{y}$ описувати за допомогою власної функцiї оператора ${{\hat{H}}^{\text{internal}}}$ (70), а власне значення розглядати як <<справжню>> масу мезону, то як видно з (72) така маса <<правильно>> увiйде в лагранжiан i динамiчнi рiвняння.

Отже, аналiзуючи властивостi розв’язкiв рiвняння (67) ми можемо отримати iнформацiю щодо потенцiалу мiжкваркової взаємодiї. Перш нiж проаналiзувати цi властивостi, знерозмiримо це рiвняння. Задля цього виразимо розмiрностi всiх полiв, що входять в лагранжiан (64) в ступенях характерної довжини задачi, яку позначимо як $l$. Оскiльки доданки $\left(-4\sum\limits_{b=1}^{3}{{{\left({\partial V\left(X,\vec{y}\right)}/{\partial{{y}^{b}}}\;\right)}^{2}}}\right)$ i $\left(-\frac{1}{2}M_{G}^{2}{{\left(V\left(X,\vec{y}\right)\right)}^{2}}\right)$ в (64) повиннi мати однакову розмiрнiсть, величина $M_{G}^{2}$ повинна мати розмiрнiсть ${{l}^{-2}}$. Вiдповiдно маса $M_{G},$ як i повинно бути, має розмiрнiсть ${{l}^{-1}}.$ Для того, щоб доданок $\frac{3}{2}{{\left(V\left(X,\vec{y}\right)\right)}^{3}}$ був тiєї самої розмiрностi, що й $\left(-4\sum\limits_{b=1}^{3}{{{\left({\partial V\left(X,\vec{y}\right)}/{\partial{{y}^{b}}}\;\right)}^{2}}}\right)$ i $\left(-\frac{1}{2}M_{G}^{2}{{\left(V\left(X,\vec{y}\right)\right)}^{2}}\right),$ поле $V\left(X,\vec{y}\right)$ повинне бути порядку ${{l}^{-2}}.$ Це також узгоджується iз визначенням (47). Дiйсно, як видно з виразу (53), поля $A_{{{g}_{3}},a}^{\left(1\right)}\left(q\right)$ i $A_{{{g}_{3}},a}^{\left(2\right)}\left(q\right)$ повиннi мати ту ж розмiрнiсть, що й оператор звичайної похiдної ${\partial}/{\partial{{q}^{b}}}\;$. Тобто цi поля, а також їх рiзниця $A_{{{g}_{3}},a}^{\left(-\right)}\left(q\right)$ (23) повиннi мати розмiрнiсть ${{l}^{-1}},$ оскiльки константа зв’язку $g$ повинна бути безрозмiрною щоб можна було порiвнювати i додавати величини, що мiстять константу зв’язку в рiзних ступенях. Отже з цих мiркувань, виходячи з означення (47) також дiстаємо висновку що поле $V\left(X,\vec{y}\right)$ має розмiрнiсть ${{l}^{-2}}.$ Виходячи з цього, всi доданки в (64) мають розмiрнiсть ${{l}^{-6}}.$ Тому мезонне поле ${{\psi}_{{{f}_{1}},{{f}_{2}}}}\left(X,\vec{y}\right)$ також повинне бути порядку ${{l}^{-2}}.$ Оскiльки дiя, що вiдповiдає лагранжiана (64) передбачатиме семикратне iнтегрування цього лагранжiана по $d{{X}^{0}}d{{X}^{1}}d{{X}^{2}}d{{X}^{3}}d{{y}^{1}}d{{y}^{2}}d{{y}^{3}},$ задля того, щоб дiя була безрозмiрна, лагранжiан потрiбно помножити на константу розмiрностi ${{l}^{-1}},$ що нiяк не вплине на динамiчнi рiвняння, що породжуються цим лагранжiаном.

Отже, введемо безрозмiрнi внутрiшнi координати $\vec{r}$, безрозмiрну масу глюбола ${{m}_{G}}$ i безрозмiрну потенцiйну енергiю $u\left({\vec{r}}\right)$ наступним чином:

[TABLE]

Тодi замiсть рiвняння (67) у введених безрозмiрних змiнних, отримаємо:

[TABLE]

Тут ${{\Delta}_{{\vec{r}}}}\equiv\sum\limits_{b=1}^{3}{\frac{{{\partial}^{2}}}{\partial{{\left({{r}^{b}}\right)}^{2}}}}-$оператор Лапласа по безрозмiрних змiнних $\vec{r}.$

Розглянемо властивостi сферично симетричного розв’язку рiвняння (74). Тобто, замiсть змiнних $\vec{r}\left({{r}^{1}},{{r}^{2}},{{r}^{3}}\right)$ перейдемо до сферичних координат $r,\theta,\phi:$

[TABLE]

i розглянемо розв’язок рiвняння (74) який є функцiєю лише вiд змiнної $r:u=u\left(r\right).$ З урахуванням виду оператора Лапласа в сферичних координатах, це рiвняння перепишеться таким чином:

[TABLE]

Пiсля стандартної замiни

[TABLE]

отримаємо:

[TABLE]

Для того, щоб проаналiзувати властивостi розв’язкiв рiвняння (78) скористаємось аналогiєю з класичною механiкою. Незалежну змiнну $r$ розглядатимемо аналогiчно часу. Величину $\chi$ називатимемо <<координатою>>, її першу похiдну ${d\chi}/{dr}\;-$ <<швидкiстю>>, а другу ${{{d}^{2}}\chi}/{d{{r}^{2}}}\;-$ <<прискоренням>>. Залежнiсть <<прискорення>> вiд <<координати>>, що визначається правою частиною рiвняння (78) призводить до того, що на координатнiй площинi $\left(r,\chi\right)$ видiляються три областi, показанi на Рис.1,всерединi кожної з яких <<прискорення>> має постiйний знак, показаний на тому ж Рис.1. Тобто, якщо графiк залежностi $\chi\left(r\right)$ потрапляє в одну з цих трьох видiлених областей, то подальший хiд цього графiка визначається вiдповiдним знаком <<прискорення>>.

Розглянемо граничнi умови, якi можна накласти на функцiю $\chi\left(r\right).$ З рiвняння (77) видно, що якщо ми хочемо отримати скiнчену потенцiйну енергiю $u\left(r\right)$ при всiх скiнчених значеннях $r$ потрiбно покласти:

[TABLE]

При цьому <<початкова швидкiсть>> вже не повинна дорiвнювати нулю i ми можемо покладати її довiльному дiйсному числу. Отже покладемо:

[TABLE]

i розглянемо властивостi розв’язку рiвняння (78) в залежностi вiд обрання значення $C.$ Оскiльки виходячи з граничних умов (79) i (80) при малих $r$ маємо $\chi\left(r\right)=Cr,$ то рiзнi вибори $C$ будуть призводити до потрапляння графiку $\chi\left(r\right)$ при цих малих $r$ в рiзнi областi на Рис.1. При цьому, пiдставляючи $\chi\left(r\right)=Cr$ в праву частину рiвняння (78) отримаємо що чисельник в цiй правiй частинi буде пропорцiйний ${{r}^{2}}$, а знаменник - пропорцiйний першому ступеню $r$ . Внаслiдок цього ${{\left.\frac{{{d}^{2}}\chi\left(r\right)}{d{{r}^{2}}}\right|}_{r=0}}=0.$ Окрiм того, оскiльки $\chi\left(r\right)=Cr,$ з то (77) отримаємо

[TABLE]

Тобто модель, що розглядається описує асимптотичну свободу кваркiв.

Розглянемо розв’язок, що задовольняє граничним умовам (79) i (80) при $C>0.$ Тодi при малих $r$ графiк $\chi\left(r\right)$ потраплятиме в область 1 на Рис. 1, як показано на Рис. 2.

Оскiльки <<швидкiсть>> i <<прискорення>> є додатними, то швидкiсть буде зростати. Це означає що графiк $\chi\left(r\right)$ за таких умов не вийде за межi областi 1 на Рис.1, або Рис.2. Тобто швидкiсть не зможе стати вiд’ємною, i оскiльки вона постiйно зростатиме - то не зможе стати рiвною нулю. Тому при $r$ що наближатиметься до плюс нескiнченостi <<координата>> $\chi\left(r\right)$ також наближатиметься до плюс нескiнченостi. Схематично це показано на Рис.3

Цi мiркування пiдтверджуються результатом чисельного розрахунку, який наведено на Рис.4

Отже маємо потенцiал мiжкваркової взаємодiї що наближається до плюс нескiнченостi при наближеннi вiдстанi до плюс нескiнченностi. Отже, розглянута модель описує конфайнмент кваркiв.

У випадку $-\left({m_{G}^{2}}/{9}\;\right)r<C<0$ графiк потрапляє в другу область. Оскiльки при цьому <<прискорення>> вiд’ємне, то <<швидкiсть>> буде залишатися вiд’ємною i зростати за модулем. Вiдповiдно, <<координата>> також буде залишатися вiд’ємною i зростати за модулем. Все це призведе до потрапляння графiка в третю область. Пiсля цього можна очiкувати коливання навколо розв’язку $\chi\left(r\right)=-\left({m_{G}^{2}}/{9}\;\right)r\,$ як це схематично показано на Рис.5.

Результат вiдповiдного чисельного розрахунку наведено на Рис.6.

Звернемо увагу на те, що у випадку $-\left({m_{G}^{2}}/{9}\;\right)r<C<0$ маємо $\underset{r\to+\infty}{\mathop{\lim}}\,u\left(r\right)=-\left({m_{G}^{2}}/{9}\;\right)<0$. Це означає, що внутрiшнiй гамiльтонiан з таким потенцiалом має вiд’ємнi власнi значення, що дозволяє дещо по iншому розглянути вiдомий механiзм Хiггса. За допомогою <<старої>> моделi багаточастинкових полiв, це питання розглядалося в роботi [22].

У випадку $C<-\left({m_{G}^{2}}/{9}\;\right)$ можливi як коливальний режим, показаний на Рис.7, так i режим конфайнменту, показаний на Рис.8. У випадку, наведеному на Рис. 8, графiк <<проскакує>> область 2. Тобто вiд’ємне <<прискореня>> не встигає змiнити знак додатньої <<швидкостi>> поки графiк перебуває в областi 2 i вiн <<проривається>> в область 1 i далi вже можна зстосовувати наведений вище аналiз для цiєї областi. Така ситуацiя можлива коли величина ${m_{G}^{2}}/{9}\;$, яка визначє <<ширину>> областi 2 є достатньо малою. З цiєї точки зору цiкаво зiстаити цi результати з вiдомими експериментальними даними. Зокрема з експерименту вiдомо, що маси скалярних глюболiв порядка 1ГеВ [23, 24]. Натомiсть маса бозону Хiггса, який в цiй моделi багаточастинкових полiв виступає як аналог глюболу, бо розглядається як зв’язаний стан ${{W}^{\pm}}-$бозонiв [22, 25], складає на два порядки бiльшу величину 125ГеВ [26]. Тому якщо припустити, що з якихось причин фiзичними є лише граничнi умови $C<-\left({m_{G}^{2}}/{9}\;\right),$ то для малих ${m_{G}^{2}}/{9}\;$ матимемо конфайнмент, а для великих - спонтанне порушення симетрiї, що вiдповiдає теоретичним уявленням про властивостi сильної i слабкої взаємодiї.

Розглянемо тепер ту частину лагранжiана (65) яка мiстить лише двоглюонну скалярну польову функцiю $V\left(X,\vec{y}\right):$

[TABLE]

Тут як <<трикрапки>> позначена решта доданкiв лагранжiана (65). Ми хочемо враховувати представлення (68). Однак зручнiше розглянути це представлення не для лагрнжiана (82), а для динамiчного рiвняння (62), яке породжується суто двоглюонною частиною лагранжiана. Видiляючи в ньому залежнiсть вiд координат центру мас i внутрiшнiх змiнних маємо

[TABLE]

Враховуючи пiдстановку (68), а також те що ${{V}_{0}}\left({\vec{y}}\right)$ задовольняє рiвнянню (67) отримаємо:

[TABLE]

де введене позначення

[TABLE]

Якщо тепер перейти до безрозмiрних змiнних (73) то оператор ${{\left(\hat{H}_{G}^{\text{internal}}\right)}^{2}}$ формально спiвпаде з безрозмiрним нерелятивiстським одночастинковим гамiльтонiаном з потенцiйною енергiєю $9u\left({\vec{r}}\right)$, умноженим на константу що забезпечує <<правильну>> розмiрнiсть квадрата енергiї. Якщо потенцiал $9u\left({\vec{r}}\right)$ наближається до плюс нескiнченостi при наближеннi $\left|{\vec{r}}\right|$ до плюс нескiнченостi, то всi власнi функцiї такого гамiльтонiану наближатимуться до нуля на нескiнченостi, тобто описуватимуть зв’язанi стани глюонiв. Як i в роботi [17] бачимо, що та ж сама функцiя ${{V}_{0}}\left({\vec{y}}\right),$ що описує конфайнмент кваркiв, описує й конфайнмент глюонiв. Якщо затравочну масу ${{M}_{G}}$ покласти рiвною нулю, то як видно, з попереднього аналiзу всi розв’язки рiвняння (78) призводитимуть до конфайнменту. При цьому власнi значення оператора (85) будуть входити в рiвняння (84) як квадрат <<iстинної>> маси глюбола.

6 Висновки/Conclusions

В запропонованiй моделi сильна взаємодiя мiж кварками, що складють адрони, здiйснюється за рахунок обмiну звязаними станми глюонiв - глюболами. Поле $V\left(X,\vec{y}\right)$, що вiдповiдає глюболам, може бути представлено в видi суми двох доданкiв ${{V}_{0}}\left({\vec{y}}\right)$ i ${{V}_{1}}\left(X,\vec{y}\right).$ Поле ${{V}_{0}}\left({\vec{y}}\right)$ не квантується i описує сильну взаємодiю кваркiв i глюонiв всерединi мезонiв i глюболiв. Це поле задовольняє динамiчном рiвнянню, яке за певних граничних умов має розв’язки якi описують асимптотичну свободу i конфайнмент кваркiв i глюонiв. За нульового значення затравочної маси глюболу всi розв’язки цього рiвняння, незалежно вiд граничних умов призводитимуть до конфайнменту. Поле ${{V}_{1}}\left(X,\vec{y}\right)$ може бути проквантоване. В цiй роботi ми не розглядали процедуру квантування багаточастинкових полiв. Однак вона нiчим не вiдрiзняється вiд процедури описаної в роботi [17]. Отриманi пiсля квантування оператори описуватимуть процеси народження i знищення глюболiв, як показано в [17]. Вiдповiдно квантування розглянутого в роботi мезонного поля призводить до операторiв народження i знищення мезонiв. Вiдповiдно процеси взаємодiї мезонiв за рахунок взаємодiї складових кваркiв можна описати як процеси обмiну скалярними глюболами. Такий пiдхiд вiльний вiд основного недолiку, властивого одночастинковим полям, бо в ньому ми отримаємо закон збереження енергiї-iмпульсу саме для енергiй-iмпульсiв адронiв, а не частинок якi їх складають. При цьому на вiдмiну вiд одночастинкових полiв в асимптотичних станах <<вмикається>> i <<вимикається>> лише та частина взаємодiї, яка описується полем ${{V}_{1}}\left(X,\vec{y}\right).$ Внутрiшня взаємодiя, що описується полем ${{V}_{0}}\left({\vec{y}}\right)$ в асимптотичних станах залишається, що з фiзичної точки зору є, на наш погляд, бiльш задовiльним нiж розрахунки величин, що описують перехiд iз одного стану вiльних кваркiв i глюонiв (як, наприклад, в партоннiй моделi, або при ґраткових розрахунках) до iншого стану вiльних же частинок. Той факт, що в одночастинковiй польовiй теорiї обов’язково потрiбно <<вмикаєти>> i <<вимикати>> взаємодiю, на нашу думку, ставить пiд сумнiв принципову можливiсть описати стадiю адронiзацiї в межах одночастинкового пiдходу. Бо яка ж може бути адронiзацiя iз <<вимкненою >> взаємодiєю ? Натомiсть той факт що при бгаточастинковому пiдходi <<вимикається>> лише частина взаємодiї, а частина залишається дає надiю на можливiсть опису адронiзацiї методом багаточастинкових полiв.

Лiтература

• Yukawa [1949] H. Yukawa, Phys. Rev. 76, 300 (1949).
• Yukawa [1950a] H. Yukawa, Phys. Rev. 77, 219 (1950a).
• Yukawa [1950b] H. Yukawa, Phys. Rev. 80, 1047 (1950b).
• Dirac [1949] P. A. M. Dirac, Rev. Mod. Phys. 21, 392 (1949).
• Heinzl [2001] T. Heinzl, Methods of quantization. Proceedings, 39. Internationale Universit?tswochen f?r Kern- und Teilchenphysik, IUKT 39: Schladming, Austria, February 26-March 4, 2000, Lect. Notes Phys. 572, 55 (2001), arXiv:hep-th/0008096 [hep-th] .
• Logunov and Tavkhelidze [1963] A. Logunov and A. Tavkhelidze, Il Nuovo Cimento Series 10 29, 380 (1963).
• Logunov et al. [1963] A. Logunov, A. Tavkhelidze, I. Todorov,  and O. Khrustalev, Il Nuovo Cimento Series 10 30, 134 (1963).
• Faustov [1973] R. Faustov, Annals of Physics 78, 176 (1973).
• Tomonaga [1946] S. Tomonaga, Progress of Theoretical Physics 1, 27 (1946).
• Dirac, Fock, and Podolsky [1932] P. Dirac, W. Fock,  and B. Podolsky, Phys. Zs. Sowjet. 2, 468 (1932).
• Petrat and Tumulka [2014a] S. Petrat and R. Tumulka, Annals of Physics 345, 17 (2014a).
• Чудак et al. [2016] Н. О. Чудак, К. К. Меркотан, Д. А. Пташинський, О. С. Потiєнко, М. А. Делiєргiєв, А. В. Тихонов, Г. О. Сохранний, О. В. Жарова, О. Д. Березовський, В. В. Войтенко, I. В. Шарф,  and В. Д. Русов, УФЖ 61, 1039 (2016).
• Marx [1972] E. Marx, International Journal of Theoretical Physics 6, 359 (1972).
• Sazdjian [1986] H. Sazdjian, Phys. Rev. D 33, 3401 (1986).
• Petrat and Tumulka [2014b] S. Petrat and R. Tumulka, Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 470, 1364 (2014b).
• Дирак [1979] П. Дирак, Принципы квантовой механики (1979).
• Chudak et al. [2016] N. Chudak, M. Deliyergiyev, K. Merkotan, O. Potiienko, D. Ptashynskyi, Y. Shabatura, G. Sokhrannyi, A. Tykhonov, Y. Volkotrub, I. Sharph,  and V. Rusov, Physics Journal 2, 181 (2016).
• Боголюбов and Ширков [1984] Н. Боголюбов and Д. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, 4th ed. (Наука, 1984).
• Березин [1986] Ф. А. Березин, Метод вторичного квантования. (Наука, 1986).
• Merkotan et al. [2017] K. K. Merkotan, T. M. Zelentsova, N. O. Chudak, et al.,   (2017), arXiv:1711.01914 [physics.gen-ph] .
• Patrignani et al. [2016] C. Patrignani et al. (Particle Data Group), Chin. Phys. C40, 100001 (2016).
• Меркотан et al. [2018] К. К. Меркотан, Т. Зеленцова, Н. О. Чудак, Д. А. Пташинський, В. Урбаневич, О. С. Потiєнко, О. Д. Березовський, В. В. Войтенко, I. В. Шарф,  and В. Д. Русов, Журнал фiзичних дослiджень 22, 3001 (2018).
• Crede and Meyer [2009] V. Crede and C. Meyer, Progress in Particle and Nuclear Physics 63, 74 (2009).
• Tanabashi et al. [2018] M. Tanabashi, K. Hagiwara, K. Hikasa, K. Nakamura, Y. Sumino, F. Takahashi, J. Tanaka, K. Agashe, G. Aielli, C. Amsler, M. Antonelli, D. M. Asner, H. Baer, S. Banerjee, R. M. Barnett, T. Basaglia, C. W. Bauer, J. J. Beatty, V. I. Belousov, J. Beringer, S. Bethke, A. Bettini, H. Bichsel, O. Biebel, K. M. Black, E. Blucher, O. Buchmuller, V. Burkert, M. A. Bychkov, R. N. Cahn, M. Carena, A. Ceccucci, A. Cerri, D. Chakraborty, M.-C. Chen, R. S. Chivukula, G. Cowan, O. Dahl, G. D’Ambrosio, T. Damour, D. de Florian, A. de Gouvêa, T. DeGrand, P. de Jong, G. Dissertori, B. A. Dobrescu, M. D’Onofrio, M. Doser, M. Drees, H. K. Dreiner, D. A. Dwyer, P. Eerola, S. Eidelman, J. Ellis, J. Erler, V. V. Ezhela, W. Fetscher, B. D. Fields, R. Firestone, B. Foster, A. Freitas, H. Gallagher, L. Garren, H.-J. Gerber, G. Gerbier, T. Gershon, Y. Gershtein, T. Gherghetta, A. A. Godizov, M. Goodman, C. Grab, A. V. Gritsan, C. Grojean, D. E. Groom, M. Grünewald, A. Gurtu, T. Gutsche, H. E. Haber, C. Hanhart, S. Hashimoto, Y. Hayato, K. G. Hayes, A. Hebecker, S. Heinemeyer, B. Heltsley, J. J. Hernández-Rey, J. Hisano, A. Höcker, J. Holder, A. Holtkamp, T. Hyodo, K. D. Irwin, K. F. Johnson, M. Kado, M. Karliner, U. F. Katz, S. R. Klein, E. Klempt, R. V. Kowalewski, F. Krauss, M. Kreps, B. Krusche, Y. V. Kuyanov, Y. Kwon, O. Lahav, J. Laiho, J. Lesgourgues, A. Liddle, Z. Ligeti, C.-J. Lin, C. Lippmann, T. M. Liss, L. Littenberg, K. S. Lugovsky, S. B. Lugovsky, A. Lusiani, Y. Makida, F. Maltoni, T. Mannel, A. V. Manohar, W. J. Marciano, A. D. Martin, A. Masoni, J. Matthews, U.-G. Meißner, D. Milstead, R. E. Mitchell, K. Mönig, P. Molaro, F. Moortgat, M. Moskovic, H. Murayama, M. Narain, P. Nason, S. Navas, M. Neubert, P. Nevski, Y. Nir, K. A. Olive, S. Pagan Griso, J. Parsons, C. Patrignani, J. A. Peacock, M. Pennington, S. T. Petcov, V. A. Petrov, E. Pianori, A. Piepke, A. Pomarol, A. Quadt, J. Rademacker, G. Raffelt, B. N. Ratcliff, P. Richardson, A. Ringwald, S. Roesler, S. Rolli, A. Romaniouk, L. J. Rosenberg, J. L. Rosner, G. Rybka, R. A. Ryutin, C. T. Sachrajda, Y. Sakai, G. P. Salam, S. Sarkar, F. Sauli, O. Schneider, K. Scholberg, A. J. Schwartz, D. Scott, V. Sharma, S. R. Sharpe, T. Shutt, M. Silari, T. Sjöstrand, P. Skands, T. Skwarnicki, J. G. Smith, G. F. Smoot, S. Spanier, H. Spieler, C. Spiering, A. Stahl, S. L. Stone, T. Sumiyoshi, M. J. Syphers, K. Terashi, J. Terning, U. Thoma, R. S. Thorne, L. Tiator, M. Titov, N. P. Tkachenko, N. A. Törnqvist, D. R. Tovey, G. Valencia, R. Van de Water, N. Varelas, G. Venanzoni, L. Verde, M. G. Vincter, P. Vogel, A. Vogt, S. P. Wakely, W. Walkowiak, C. W. Walter, D. Wands, D. R. Ward, M. O. Wascko, G. Weiglein, D. H. Weinberg, E. J. Weinberg, M. White, L. R. Wiencke, S. Willocq, C. G. Wohl, J. Womersley, C. L. Woody, R. L. Workman, W.-M. Yao, G. P. Zeller, O. V. Zenin, R.-Y. Zhu, S.-L. Zhu, F. Zimmermann, P. A. Zyla, J. Anderson, L. Fuller, V. S. Lugovsky,  and P. Schaffner (Particle Data Group), Phys. Rev. D 98, 030001 (2018).
• Hoh [2016] F. Hoh, Journal of Modern Physics 7, 36 (2016).
• Aad et al. [2015] G. Aad et al. (ATLAS, CMS), Proceedings, Meeting of the APS Division of Particles and Fields (DPF 2015): Ann Arbor, Michigan, USA, 4-8 Aug 2015, Phys. Rev. Lett. 114, 191803 (2015), arXiv:1503.07589 [hep-ex] .