Existence of infinitely many minimal hypersurfaces in low dimensions, after F.C. Marques, A.A. Neves et A. Song (Bourbaki Seminar)

TL;DR

This paper discusses the proof that in dimensions 3 to 7, any smooth closed Riemannian manifold contains infinitely many closed embedded minimal surfaces, extending classical results about geodesics in 3D.

Contribution

It presents the recent proof by Antoine Song that generalizes Morse's classical result to higher dimensions, showing the existence of infinitely many minimal hypersurfaces.

Findings

Existence of infinitely many minimal hypersurfaces in dimensions 3 to 7.

Extension of Morse's geodesic result to higher dimensions.

Proof techniques introduced by Antoine Song.

Abstract

A classical result by Marston Morse asserts that on some ellipsoids of ${\mathbb R}^3$ there exists exactly 3 closed and simple geodesics. The goal of this presentation is to prove that this rigidity result does not extend to higher dimensions and, more precisely, on any smooth closed riemannian manifod of arbitrary dimension between 3 and 7 there exists infinitely many closed embedded minimal surfaces. We are going to present the origins of this theorem as well as it's proof given recently by Antoine Song.

Equations

$$E(u):={\int }_0^{2\pi }{\left|\frac{\partial u}{\partial \theta }\right|}^{2}d\theta$$

$$\mathcal{M}:=W^{1,2}(S^1,M^m):=\left\{u\in W^{1,2}(S^1,{\mathbb{R}}^Q);u(\theta )\in M^m,\forall \theta \in S^1\right\}$$

$$\cdots\longrightarrow\pi_{n}(\Omega_{p}(M^{m}))\longrightarrow\leavevmode\hbox to138.71pt{\vbox to79.1pt{\pgfpicture\makeatletter\hbox{\hskip 69.35548pt\lower-69.8714pt\hbox to0.0pt{\pgfsys@beginscope\pgfsys@invoke{ }\definecolor{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{0}\pgfsys@invoke{ }\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{0}\pgfsys@invoke{ }\pgfsys@setlinewidth{0.4pt}\pgfsys@invoke{ }\nullfont\hbox to0.0pt{\pgfsys@beginscope\pgfsys@invoke{ }{}{}{}{{}}\hbox{\hbox{{\pgfsys@beginscope\pgfsys@invoke{ }{\offinterlineskip{}{}{{{}}{{}}}{{{}}}{{}{}{{ {}{}}}{ {}{}} {{}{{}}}{{}{}}{}{{}{}} { }{{{{}}\pgfsys@beginscope\pgfsys@invoke{ }\pgfsys@transformcm{1.0}{0.0}{0.0}{1.0}{-69.35548pt}{-9.22859pt}\pgfsys@invoke{ }\hbox{\vbox{\halign{\pgf@matrix@init@row\pgf@matrix@step@column{\pgf@matrix@startcell#\pgf@matrix@endcell}&#\pgf@matrix@padding&&\pgf@matrix@step@column{\pgf@matrix@startcell#\pgf@matrix@endcell}&#\pgf@matrix@padding\cr\hfil\hskip 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$${\pi }_n(C^0(S^1,M^m))={\pi }_n({\Omega }_p(M^m))\oplus {\pi }_n(M^m)$$

$${\pi }_n(\mathcal{M})={\pi }_{n+1}(M)\oplus {\pi }_n(M^m)$$

$${\pi }_1(W^{1,2}(S^1,S^2))=\mathbb{Z}$$

$$W:=\underset{\left\{u(s,\theta )\in C^0(S^{k-1},\mathcal{M});[u]\ne 0\right\}}{\inf }\underset{s\in S^{k-1}}{\max }E(u(s,\cdot ))?$$

$$\underset{s\in S^{k-1}}{\max }E(u_{\epsilon }(s,\cdot ))<\epsilon$$

$$g(u,v):={\int }_0^{2\pi }u\cdot v+{\partial }_{\theta }u\cdot {\partial }_{\theta }vd\theta$$

$$u_n\in \mathcal{M}t.q.\underset{n\to +\infty }{\mathrm{limsup}}E(u_n)<+\infty \text{mbox}et\nabla E_{u_n}\to 0$$

$$u_{n^{\prime }}\to u_{\infty }\text{mbox}et\nabla E_{u_{\infty }}=0.$$

$$\underset{s\in S^{k-1}}{\max }E(u(s,\cdot ))<W+\epsilon .$$

$$\underset{s\in S^{k-1}}{\max }E({\varphi }_{T_0}(u(s,\cdot )))<W-\epsilon .$$

$${\mathcal{M}}^{\lambda }:=\left\{u\in W^{1,2}(S^1,M^m);\sqrt{E(u)}\le \lambda \right\}.$$

$$H_k({\mathcal{M}}^b,{\mathcal{M}}^a;\mathbb{Z})\text{mbox}o\grave{u}a<b\text{mbox}etk\in \mathbb{N}.$$

$$\text{mbox}dm({\mathcal{M}}^{\lambda }):=\sup \left\{l\in \mathbb{N};H_l(\mathcal{M},{\mathcal{M}}^{\lambda };\mathbb{Z})=0,\forall l\le k\right\}$$

$$H_l({\mathcal{M}}^{\lambda };\mathbb{Z})=H_l(\mathcal{M};\mathbb{Z})\text{mbox}pourl\le \text{mbox}dm({\mathcal{M}}^{\lambda })-1.$$

$${\lambda }_k:=\sup \left\{\lambda \in {\mathbb{R}}^{+};\text{mbox}dm({\mathcal{M}}^{\lambda })<k\right\}$$

$$\frac{\log {\lambda }_k}{\log k}=1+O\left(\frac{1}{\log k}\right).$$

$$H_{k_n+1}(\mathcal{M},{\mathcal{M}}^{nL(\gamma )+\epsilon };\mathbb{Z})⟶H_{k_n}({\mathcal{M}}^{nL(\gamma )+\epsilon },{\mathcal{M}}^{nL(\gamma )-\epsilon };\mathbb{Z})⟶H_{k_n}(\mathcal{M},{\mathcal{M}}^{nL(\gamma )-\epsilon };\mathbb{Z})$$

$$\text{mbox}dm({\mathcal{M}}^{nL(\gamma )})\le k_n+1\simeq n$$

$$H^k({\mathcal{M}}^{\lambda };\mathbb{R})=0.$$

$$\forall i\le \lambda H_i({\mathcal{M}}^b,{\mathcal{M}}^a;\mathbb{Z})=0.$$

$$\text{mbox}IndicedeMorse(\gamma )\ge CL(\gamma ).$$

$$\text{mbox}Card\left\{\text{mbox}g\acute{e}od.delongueur\le \lambda \right\}\ge \sum _{i=0}^{[C\lambda ]}{\mu }_i\ge \sum _{i=0}^{[C\lambda ]}dim(H_i(\mathcal{M};\mathbb{R}))$$

$$\text{mbox}Card\left\{\text{mbox}g\acute{e}od.\mathbf{premi}\grave{\mathbf{e}}\mathbf{res}delongueur\le \lambda \right\}\ge C\frac{\sum _{i=0}^{[C\lambda ]}dim(H_i(\mathcal{M};\mathbb{R}))}{\lambda }.$$

$$\text{mbox}Card\left\{\text{mbox}g\acute{e}od.\mathbf{premi}\grave{\mathbf{e}}\mathbf{res}delongueur\le \lambda \right\}\ge C\underset{i\le [C\lambda ]}{\max }dim(H_i(\mathcal{M};\mathbb{R})).$$

$$E(u):=\frac{1}{2}{\int }_{D^2}|\nabla u{|}^{2}d{x}^2$$

$$E_{\alpha }(u):=\frac{1}{2}{\int }_{S^2}{\left(1+|du{|}_{S^2}^2\right)}^{1+\alpha }dvo{l}_{S^2}$$

$$E_h(u):=\frac{1}{2}{\int }_{\Sigma }|du{|}_h^{2}dvo{l}_h$$

Full text

\addressindent

77mm

\bbkannee71ème année, 2018-2019 \bbknumero1163

Infinité d’hypersurfaces minimales en basses dimensions

d’après F.C. Marques, A.A. Neves et A. Song

Tristan RIVIÈRE

ETH-Zentrum

Forschungsinstitut für Mathematik

CH–8092 Zürich, Switzerland

tristan.riviere@math.ethz.ch

(Juin 2019)

INTRODUCTION

La recherche de géodésiques fermées, c’est à dire des cercles points critiques de la fonctionnelle de longueur, sur une surface ou une variété de dimension quelconque est au moins aussi ancienne que le calcul de Euler et Lagrange entre 1744 et 1760. Cette recherche trouve une généralisation naturelle en dimension plus grande dans la notion de surfaces minimales qui sont les points critiques du volume parmi les sous variétés de dimension et de topologie donnée. Les problématiques consistant à mettre en évidence des “sous variétés optimales” à un espace donné se sont avérées être des moteurs féconds dans le développement de pans entiers des mathématiques comme le calcul des variation, les équations aux dérivées partielles, la géométrie et la topologie différentielle, les systèmes dynamiques…etc.

Un résultat classique de Marston Morse (voir par exemple [39]) affirme que sur certains ellipsoides de ${\mathbb{R}}^{3}$ il existe exactement 3 géodésiques fermées et simples (plongées). Le but de cet exposé est d’établir qu’un tel résultat de rigidité ne s’étend pas aux dimensions supérieures et que dans toute variété riemannienne lisse, compacte et sans bord de dimension inférieure ou égale à 7, il existe une infinité d’hypersurfaces minimales plongées distinctes111La perte de cette rigidité en dimension supérieure doit être relativisée : si on se restreint aux surfaces minimales de topologie donnée alors on a par exemple le résultat suivant : il existe des métriques voisines de la métrique standard sur $S^{3}$ qui admettent exactement 4 sphère minimales plongées ([62]). Un résulat de Jürgen Jost dit par ailleurs que toute sphère tridimensionnelle admet au moins 4 sphères minimales plongées [37]. Ce théorème dont nous allons décrire les origines et la démonstration récente par Antoine Song est l’aboutissement d’efforts qui nous renvoient aux origines du calcul des variations et des problèmes de minmax avec les travaux de Georges Birkoff, Lazar Lyusternik, Lev Shnirelmann, Abram Fet, Marsden Morse, Richard Palais, Stephen Smale…etc, tout comme à la fusion de la théorie de la mesure géométrique222 La théorie de la mesure géométrique a été motivée à l’origine par la résolution du problème de Plateau dans sa plus grande généralité. avec cette théorie de minmax sous l’impulsion de Fred Almgren et Jon Pitts.

I La construction de géodésiques par minmax

Les approches pour construire des géodésiques fermées sont nombreuses et très riches. Une présentation exhaustive de celles-ci et des théories mathématiques qui en découlent va bien au delà de cet exposé. Nous nous contentons de mentionner l’origine des idées qui ont directement influencé la preuve qui nous intéresse aujourd’hui.

Suite au travaux de Jacques Hadamard et d’Henri Poincaré sur le sujet, Georges Birkhoff a dévelopé à la fois des approches de systèmes dynamiques (flot géodésique) mais aussi variationnelles afin de construire des géodésiques fermées dans des variétés simplement connexes ([10]). Ces dernières peuvent être revisitées dans l’esprit de la théorie de Morse sur le sujet ainsi qu’au moyen de la théorie des déformations en dimension infinie de Richard Palais et Stephen Smale, dont elles sont à l’origine.

Précisemment, étant donnée une sous-variété riemannienne fermée (compacte sans bord) et connexe $(M^{m},g)$ de ${\mathbb{R}}^{Q}$, dans le cas où $\pi_{1}(M^{m})\neq 0$ l’existence d’une géodésique fermée s’obtient par simple minimisation de l’énergie de Dirichlet

[TABLE]

dans le sous ensemble de la variété de Hilbert

[TABLE]

des éléments $u$ réalisant une classe de conjugaison donnée du $\pi_{1}$ de $M^{m}$. L’injection compacte $W^{1,2}(S^{1},M^{m})\hookrightarrow C^{0}(S^{1},M^{m})$ garantit l’existence d’un minimum dans chacune de ses classes qui s’avère être une géodésique fermée paramétrisée à vitesse constante.

Lorsque la variété $M^{m}$ est simplement connexe l’obtention d’une géodésique fermée s’obtient par un argument variationnel plus élaboré qu’une simple minimization : un argument dit de minmax.

Un résultat classique de la théorie de l’homotopie des variétés compactes donne l’existence de $k\in\{2,\cdots,m\}$ tel que $\pi_{k}(M^{m})\neq 0$ mais $\pi_{l}(M^{m})=0$ pour $l\in\{1\cdots k-1\}$. On démontre sans trop d’efforts que la variété de Hilbert ${\mathcal{M}}$ est homotopiquement équivalente à l’espace des chemins fermés $C^{0}(S^{1},M^{m})$. On dénote $\Omega_{p}(M^{m})$ l’espace des lacets de $M^{m}$, c’est-à-dire l’ensemble des éléments $u$ dans $C^{0}(S^{1},M^{m})$ tels que $u(0)=p$ où $p$ est un point fixé de $M^{m}$. On observe que l’application “évaluation” $ev$ de $C^{0}(S^{1},M^{m})$ dans $M^{m}$ qui à $u$ associe $u(0)=u(2\pi)$ est une fibration de Serre de fibre l’espace des lacets $\Omega(M^{m})$. Cette projection possède un inverse $i$ qui à un élément quelconque de $M$ associe le chemin constant égal à cet élément. La suite exacte de fibration

[TABLE]

se coupe en morceaux (i.e. Im $ev_{\ast}=\pi_{n}(M^{m})$, en effet tout élement de $\pi_{n}(M^{m})$ est envoyé par $i_{\ast}$ en un élément de $\pi_{n}(C^{0}(S^{1},M^{m}))$ et l’on a clairement $ev_{\ast}\circ i_{\ast}=id$ ) et donne l’identité

[TABLE]

On a tautologiquement $\pi_{n}(\Omega_{p}(M^{m}))=\pi_{n+1}(M^{m})$ ce qui donne finalement

[TABLE]

On a donc en particulier pour l’entier $k$ défini plus haut : $\pi_{k-1}({\mathcal{M}})\neq 0$.333Par exemple, si $M^{m}=S^{2}$ on a

$\pi_{1}(W^{1,2}(S^{1},S^{2}))={\mathbb{Z}}$

et un générateur de ce premier groupe d’homotopie est donné par ce que l’on appelle un balayage de Birkhoff : la famille continue de chemins sur $S^{2}$ obtenue en prenant l’intersection de cette sphère avec tous les plans horizontaux de ${\mathbb{R}}^{3}$“balayant” de haut en bas $S^{2}$ exactement une fois, ensuite la boucle est refermée au moyen dune famille continue de chemins constant reliant le pôle sud au pôle nord.

On introduit alors le problème de minmax suivant : existe -t-il un point critique non trivial (non égal à une constante) de $E$ qui réalise le nombre donné par

[TABLE]

où $[u]$ désigne la classe d’homotopie de $u$. Le nombre $W$ est appelé la largeur du problème de minmax. La réponse à cette question est positive et sa démonstration donne l’existence d’une géodésique fermée non triviale dans toute variété riemanniene fermée régulière444Toute variété fermée et lisse se plonge isométriquement dans un espace euclidien grace à un théorème classique dû à John Nash..

Il faut d’abord s’assurer que $W>0$. Si tel n’était pas le cas il existerait alors pour tout $\varepsilon>0$ un élément $u_{\varepsilon}\in C^{0}(S^{k-1},{\mathcal{M}})$ tel que $[u_{\varepsilon}]\neq 0$ et

[TABLE]

En choisissant $\varepsilon$ suffisament petit (inférieur au rayon de convexité de $M^{m}$) on aurait ainsi le fait que pour tout $t\in S^{k-1}$ le chemin $u_{\varepsilon}(t,\cdot)$ est inclus strictement dans une boule géodésique de $M^{m}$. En utilisant l’unicité de la géodésique reliant deux points d’une telle boule et la continuité dans l’espace des chemins de ces géodésiques par rapport à ces deux points pour construire une homotopie déformant $u_{\varepsilon}(s,\cdot)$ en une suite de chemins constants. Donc $[u_{\varepsilon}(s,\cdot)]\in$ Im$\,ev_{\ast}$ mais comme $\pi_{k-1}(M^{m})=0$ on obtient que $[u_{\varepsilon}(t,\cdot)]=0$ ce qui contredit notre hypothèse sur $u_{\varepsilon}$.

Afin de montrer que $W$ est effectivement la longueur d’une géodésique fermée, on développe des outils qui permettent de déformer les ensembles de niveau de E de façon continue à un “rythme donné” en l’absence de points critique. C’est la théorie des déformations en dimension infine dite de Palais Smale. Dans le cas présent son application est garantie par les faits suivants :

• —

L’espace de configuration ${\mathcal{M}}:=W^{1,2}(S^{1},M^{m})$ définit une variété de Hilbert régulière, séparable et modelée sur un espace de Hilbert $W^{1,2}(S^{1},{\mathbb{R}}^{m})$ lui même séparable.

• —

${\mathcal{M}}$ est équipé d’une métrique

[TABLE]

pour laquelle la varieté riemannienne associée $({\mathcal{M}},g)$ est complète.

• —

La fonctionelle $E$ est de régularité $C^{1}$ sur ${\mathcal{M}}$.

• —

La fonctionnelle $E$ satisfait la condition de Palais Smale555Aussi appelée “condition (C)” dans les textes d’origines. : Soit

[TABLE]

alors il existe $u_{n^{\prime}}$ et $u_{\infty}\in{\mathcal{M}}$ tels que

[TABLE]

Ces hypothèses étant vérifiées on démontre sans trop de difficultées que le flot $\phi_{t}$ associé au champs de vecteur $X:=-\nabla E$ sur ${\mathcal{M}}$ existe pour tout temps. S’il n’y avait pas de point critique de $E$ entre les niveau dénergie $W+\varepsilon$ et $W-\varepsilon$, la condition de Palais Smale nous dirait que $|\nabla E|$ est majorée par en dessous par un nombre strictement positif $\delta$ sur $E^{-1}(W-\varepsilon,W+\varepsilon)$. On prend alors un $u\in C^{0}(S^{k-1},{\mathcal{M}})$ tel que $[u]\neq 0$ et satisfaisant

[TABLE]

L’application du flot à toute la famille $(u(s,\cdot))_{s\in S^{k-1}}$ simultanément nous fait passer sous le niveau dénergie $W-\varepsilon$ après le temps $T_{0}=2\varepsilon/\delta$ :

[TABLE]

Or, la continuité du flot par rapport au paramètre de temps donne $[\phi_{T_{0}}(u)]=[u]\neq 0$. Ce qui donne une condradiction et $W$ est bien la longueur d’une géodésique fermée. On a ainsi établi le théorème suivant dû dans sa forme définitive la plus générale à Fet et Lyusternik.

{theo}

[18] Toute variété riemannienne fermée possède une géodésique fermée non constante.

Dans son article d’origine datant de 1917 Birkhoff n’avait évidemment pas à sa disposition cette théorie de la déformation qui date de la deuxième moitié des années 60. Néanmoins il conçut “à la main”, par un argument combinatoire, un processus de déformation des ensembles de niveau d’énergie, le processus de raccourcissement des courbes qui peut être vu comme un ancêtre de ce que l’on appelle aujourd’hui les flots pseudo-gradients, qui eux-même généralisent $X=-\nabla E$ au cas de fonctionnelles $C^{1}$ sur des variétés non plus Hilbertiennes mais de Banach munies de structures Finslerienne complètes. L’utilisation des flots pseudo-gradients à partir du début des années 70 a elle-même stimulé l’étude des flots géométriques, qui en sont des versions plus précises, et qui ne cessent de prouver leur efficacité pour résoudre diverses questions d’analyse, de géométrie et de topologie différentielle.

II L’infinité de géodésiques dans une variété fermée

La résolution donnée ci-dessus de l’existence d’une géodésique sur une variété fermée quelconque pose naturellement la question du nombre de ces géodésiques. Au vue de cette résolution il est naturel de procéder à des opérations de minmax de la forme (I.1) en contraignant la classe $[u]$ à appartenir à des groupes d’homotopie non triviaux éventuellement de plus en plus nombreux. La théorie des déformations de Palais-Smale nous permet d’affirmer que chaque valeur de minmax est effectivement réalisée par une géodésiques fermées. Se pose néanmoins la question de la “répétition” de ces géodésiques et il s’agit de savoir si la géodésique obtenue n’est pas le recouvrement multiple d’une autre obtenue précédemment. Une géodésique fermée qui n’est pas le recouvrement d’une géodésique fermée strictement plus courte est appelée géodésique première.

Dans le cas à nouveau où le groupe fondamental de la variété $M^{m}$ possède une infinité de classes de conjugaisons premières (i.e. qui ne peuvent être représentées par la composition itérée d’une même classe) alors l’argument de minimisation mentionné plus haut donne l’infinité de géodésiques primitives666Dans le cas de surfaces compactes hyperboliques $M^{m}=\Sigma_{g}$ de genre $g\geq 2$, comme la courbure est négative, un résultat classique affirme que chaque classe du $\pi_{1}$ possède exactement une géodésique. En effet, le calcul de la dérivée seconde de $E$ donne immédiatement que chaque géodésique est stable. Une étude approfondie des classes primitives de $\pi_{1}(\Sigma_{g})$ permet alors d’établir que le nombre de géodésiques primitives de longueur majorée par $L>0$ se comporte asymptotiquement comme $e^{L}/L$. Ce résultat de Delsarte, Huber et Selberg est aussi connu sous le nom du “théorème des nombres premiers des surfaces de Riemann” du fait de la similitude avec la répartition asymptotiques de ceux là (voir par exemple [12]). Il est encore bien plus délicat de faire une estimation asymptotique des géodésiques simples - plongées - parmi ces géodésiques primitives. C’était l’objet de la thèse de Maryam Mirzakhani qui a obtenu un comportement de la forme $\simeq n(\Sigma_{g})\,L^{6g-6}$ [48]..

Il est donc intéréssant de se pencher plus spécifiquement sur le cas des variétés dont le groupe fondamental est fini ou même nul. Pour le choix d’une **métrique générique777 Un sous ensemble d’un espace topologique est “générique” s’il est l’intersection au plus dénombrable d’ensembles ouverts. Dans le cas d’espaces métriques complets, par exemple, le théorème de Baire dit qu’un tel ensemble est dense. Une métrique “générique” aussi appelée “cahoteuse” - bumpy en anglais - sera supposée générique pour la topologie $C^{3}$. ** théorème dit “théorème des métriques cahoteuses” du à Ralph Abraham [1] et Dmitry Anosov [7] affirme que pour un ensemble de métriques génériques, toutes les géodésiques de l’espace des chemins fermés ${\mathcal{M}}:=W^{1,2}(S^{1},M^{m})$, n’ont comme champs de Jacobi (i.e. élements du noyau de la dérivée seconde de $E$) que ceux générés par l’action du cercle $S^{1}$ sur le domaine. Comme les indices des points critiques de $E$ sont uniformément bornés sous un certain niveau d’energie et comme $E$ satisfait à la condition de Palais Smale, la théorie de Morse nous enseigne que ${\mathcal{M}}:=W^{1,2}(S^{1},M^{m})$ est homotope à un complexe cellulaire limite888Voir l’appendice du livre de John Milnor [47]. de complexes cellulaires finis donnés par les sous ensembles de niveaux

[TABLE]

Par ailleurs, pour un choix de métrique générique sur $M^{m}$ les points critiques non constants de $E$ réalisent une sous variété unidimensionnelle sur laquelle $S^{1}$ agit et on peut aussi (grace à la forte compacité de l’espace des géodésiques de longueur bornées par un nombre fixé) garantir que les orbites appartiennent à des niveaux d’énergie distincts les uns des autres.

Dans l’espoir de mettre en évidence un nombre infini de géodésiques primitives, plutôt donc que de considérer les groups d’homotopie de l’espace des chemins fermés ${\mathcal{M}}:=W^{1,2}(S^{1},M^{m})$, la théorie de Morse nous invite à considérer les différents groupes d’homologie associés aux sous-ensemble de niveaux de $\sqrt{E}$ dans ${\mathcal{M}}$ :

[TABLE]

Dans [26] Mikhael Gromov considère pour tout réel positif $\lambda>0$ le nombre entier définit par

[TABLE]

$\mbox{dm}({\mathcal{M}}^{\lambda})$ ainsi défini est aussi le nombre naturel maximal tel que toute application d’un polyhèdre de dimension $l\leq\mbox{dm}({\mathcal{M}}^{\lambda})$ dans ${\mathcal{M}}$ se déforme homotopiquement en une application dans ${\mathcal{M}}^{\lambda}$. On a donc en particulier

[TABLE]

On peut aussi définir le spectre non linéaire999Cette notion de spectre non-linéaire est au centre de cet exposé et reviendra plus loin dans le cadre des surfaces minimales. Elle coincide avec la notion classique de spectre dans le cas linéaire (voir [27]). En guise d’illustration, si on remplace ${\mathcal{M}}$ par les éléments de $W^{1,2}(M^{m},{\mathbb{R}})$ de norme $L^{2}$ égale à 1 et si on prend $E(u):=\int_{M^{m}}|du|^{2}dvol_{M}$, le spectre $(\lambda_{k})_{k\in{\mathbb{N}}}$ ainsi défini est bien le spectre de l’opérateur de Laplace Beltrami sur $M^{m}$ où chaque valeur du spectre est répétée autant de fois que la dimension de l’espace propre correspondant. On peut donc très bien avoir $\lambda_{k}=\lambda_{k+1}$. $(\lambda_{k})_{k\in{\mathbb{N}}}$ comme étant

[TABLE]

On a alors le théorème suivant. {theo} [26] Soit $(M^{m},g)$ une variété riemannienne compacte et de groupe fondamental fini, alors lorsque $k$ tend vers l’infini on a le comportement asymptotique suivant

[TABLE]

La preuve de la majoration $\mbox{dm}({\mathcal{M}}^{\lambda})\leq C\ \lambda$ est assez élémentaire dans le cas d’une métrique générique et lorsque $M^{m}$ est simplement connexe. La démonstration par minmax du théorème I produit une géodésique $\gamma$ qui ne peux être un minimum local strict de la longueur. Comme la dérivée seconde n’a pour noyau que l’action de $S^{1}$ sur la paramétrisation, la géodésique $\gamma$ doit avoir un indice non nul. On se convainc aisément que le $n-$recouvrement de cette géodésique a un indice au moins égal à $n$. Par ailleurs, le calcul direct de la dérivée seconde de ${E}$ montre que la longueur contrôle linéairement l’indice de Morse des points critiques. En considérant les recouvrement entiers de $\gamma$ on obtient donc l’existence d’une famille de géodésiques d’indice $k_{n}$ asymptotiquement comparable à $n$. La théorie de Morse ([47]) nous enseigne101010Pour une métrique générique il y a au plus une géodésique de longueur donnée. alors que cette géodésique est responsable d’un changement d’homologie des sous-ensembles de niveau pour les longueurs $n\ L(\gamma)$ et que $H_{k_{n}}({\mathcal{M}}^{n\,L(\gamma)+\varepsilon},{\mathcal{M}}^{n\,L(\gamma)-\varepsilon};{\mathbb{Z}})\neq 0$ pour $\varepsilon$ suffisamment petit. Si $\mbox{dm}({\mathcal{M}}^{n\,L(\gamma)+\varepsilon})>k_{n}+1$ et si $\mbox{dm}({\mathcal{M}}^{n\,L(\gamma)-\varepsilon})>k_{n}$ , on doit alors avoir par définition $H_{k_{n}}({\mathcal{M}},{\mathcal{M}}^{n\,L(\gamma)-\varepsilon};{\mathbb{Z}})=0$ et $H_{k_{n}+1}({\mathcal{M}},{\mathcal{M}}^{n\,L(\gamma)+\varepsilon};{\mathbb{Z}})=0$. La suite de Mayer-Vietoris d’homologie relative

[TABLE]

apporte une contradiction à cette hypothèse. Pour tout $n\geq 1$ on a donc

[TABLE]

ce qui donne111111On utilise que $\mbox{dm}({\mathcal{M}}^{\lambda})$ est par définition une application croissante en $\lambda$. $\mbox{dm}({\mathcal{M}}^{\lambda})\leq C\ \lambda$.

Une autre démonstration de la majoration avec pour seule hypothèse que $\pi_{1}(M^{m})$ est fini fait appel à un résultat de Denis Sullivan [61] sur le calcul du model minimal de $M^{m}$ donnant la cohomologie de de Rham de ${\mathcal{M}}$. Ce calcul établit que, sous l’hypothèse $\pi_{1}(M^{m})$ fini, il existe une suite arithmétique $(k_{n})_{n\in{\mathbb{N}}^{\ast}}=(p\,n+q)_{n\in{\mathbb{N}}^{\ast}}$ où $p\in{\mathbb{N}}^{\ast}$ et $q\in{\mathbb{N}}$ telle que $H^{k_{n}}({\mathcal{M}};{\mathbb{R}})\neq 0$.

Dans le cas d’une métrique générique à nouveau, le calcul direct de la dérivée seconde de ${E}$ donne que la longueur contrôle linéairement l’indice de Morse des points critiques. En d’autre termes, sous le niveau de longueur $\lambda$ il ne peut-y avoir que des géodésique d’indice inférieur à $C\,\lambda$ pour une constante $C>0$. L’inégalité faible de Morse ([47]) donne alors que pour $C\,\lambda\leq k$

[TABLE]

Donc en particulier comme $H^{k_{n}}({\mathcal{M}};{\mathbb{R}})\neq 0$. (II.2) impose alors que pour $\lambda=C^{-1}\,k_{n}$ on ait $\mbox{dm}({\mathcal{M}}^{\lambda})\leq k_{n}$. Comme $k_{n}$ a une progression arithmétique on en déduit la majoration $\mbox{dm}({\mathcal{M}}^{\lambda})\leq C\ \lambda$.

La minoration est moins immédiate et repose, dans le cas simplement connexe, d’une part sur la construction d’une décomposition cellulaire de ${\mathcal{M}}$ à partir d’une triangulation finie de $M^{m}$, et d’autre part sur l’existence d’une application, homotope à l’identité, lipschitzienne de $M^{m}$ dans lui même, qui contracte le squelette 1-dimensionnel de cette triangulation finie de $M^{m}$ en un point. Le cas où $M^{m}$ à un groupe fondamental fini se ramène au cas simplement connexe en travaillant d’abord sur le revêtement universel121212Voir aussi le chapitre 7 de [25]..

La suite exacte d’homologie pour les paires $({\mathcal{M}}^{a},{\mathcal{M}}^{b})$ pour $\lambda\in{\mathbb{N}}$, $b>a>C\ \lambda$ où $C>\left(\liminf_{\lambda\rightarrow+\infty}{\mbox{dm}({\mathcal{M}}^{\lambda})}/{\lambda}\right)^{-1}$ donne pour $\lambda$ assez grand

[TABLE]

Comme, pour le choix générique de métrique effectué, il y a au plus une orbite $S^{1}$ de géodésiques à un niveau d’énergie donnée, l’inégalité faible de Morse combinée avec la minoration dans (II.3) donne que pour avoir un indice de Morse $k$ pour une longueur de géodésique $\lambda$ on a d’une part dm$({\mathcal{M}}^{\lambda})\leq k$, mais aussi dm$({\mathcal{M}}^{\lambda})\geq C\ \lambda$. On en déduit que

[TABLE]

En appliquant à nouveau l’inégalité faible de Morse on obtient ainsi l’existence d’une constante $C>0$ pour laquelle l’inégalité suivante est vraie

[TABLE]

où $\mu_{i}$ est le nombre d’orbite $S^{1}$ dans ${\mathcal{M}}$ de géodésiques d’indice de Morse $i$. Toute géodésique est le recouvrement multiple de géodésiques première. On obtient donc la minoration

[TABLE]

Cette minoration a été améliorée par Werner Ballmann and Wolfgang Ziller qui établissent dans [8], à nouveau pour des métriques génériques sur une variété fermée simplement connexe et $\lambda$ suffisamment grand,

[TABLE]

Si la suite des nombres de Betti de l’espace des chemins fermés n’est pas uniformément bornée, on obtient ainsi l’existence d’une infinité de géodésiques premières. On retrouve de cette façon, dans le cas particulier de métriques génériques, le fameux théorème de Detlef Gromoll et Wolfgang Meyer. {theo} [24] Soit $(M^{m},g)$ une variété riemannienne fermée dont le groupe fondamental est fini et telle que la suite des nombres de Betti de l’espace des chemins fermés ${\mathcal{M}}:=W^{1,2}(S^{1},M^{m})$ ne soit pas uniformément majorée, alors $(M^{m},g)$ possède un nombre infini de géodésiques fermées et premières.

La condition de Gromoll-Meyer est par exemple satisfaite si $M^{m}$ est simplement connexe et si l’agèbre cohomologique $H^{\ast}(M,{\mathbb{R}})$ n’est pas générée par un élément unique, c’est en fait équivalent au fait que la suite $dim(H_{i}({\mathcal{M}};{\mathbb{R}}))$ ne soit pas bornée. Ce résultat a été démontré dans le cadre du calcul des modèles minimaux de Sullivan pour les espaces de chemins fermés dans [52]131313Voir aussi une démonstration dans [16].

Pour conclure cette première partie de l’exposé sur les géodésiques fermées, notons que lorsque la variété $M^{m}$ est une variété simplement connexe quelconque, par exemple dans le cas où $M^{m}$ est difféomorphe à $S^{m}$, le problème de l’existence d’une infinité de géodésiques primitives est toujours ouvert si $m>2$. Le cas de la sphère bidimensionnelle a lui été résolu. L’on démontre qu’il existe une infinité de géodésiques fermées premières sur $S^{2}$ en combinant les travaux de Victor Bangert [9] et de John Franks [21].

III Existence de surfaces minimales fermées : l’approche paramétrique

Dans leur résolution du problème de Plateau141414Le problème de Plateau qui tient son nom du physicien Joseph Plateau consiste à trouver un disque d’aire minimale bordant une courbe simple donnée de ${\mathbb{R}}^{3}$., Jesse Douglas et Tibor Radó minimisent l’énergie de Dirichlet

[TABLE]

sur l’ensemble des applications dans l’espace de Sobolev $W^{1,2}(D^{2},{\mathbb{R}}^{3})$ dont la trace réalise une fonction monotone continue du bord du disque $\partial D^{2}$ dans la courbe de Jordan fixée $\Gamma$ - cette condition de bord est appelée condition de Plateau. La raison pour laquelle la minimisation de l’énergie de Dirichlet, plutôt que l’aire elle même qui est d’un usage variationnel très “inconfortable”, permet de conclure vient essentiellement du fait que l’aire de $u$ est majorée par l’énergie de $u$ avec égalité si et seulement si $u$ est faiblement conforme. Le theorème d’uniformisation151515Il s’agit plus précisemment de la version approximée du théorème d’uniformisation pour les applications dans $W^{1,2}(D^{2},{\mathbb{R}}^{3})$ ([49] chapitre I section 9). permet de s’y ramener et un minimum de $E$ sous les contraintes de bord de Plateau sera automatiquement en paramétrisation conforme et réalisera un minimum de l’aire sous ces même contraintes.

Dans [54], Jonathan Sacks et Karen Uhlenbeck reprennent, en dimension 2 cette fois, la problématique d’Hadamard-Poincaré sur l’existence de minimum de l’aire dans une classe du $\pi_{2}(M^{m})$ donnée. La minimisation de l’énergie de Dirichlet dans une classe d’homotopie de $\pi_{2}(M^{m})$ dégénère en un “bouquet” de sphères minimales qui reliées convenablement entre elles par des tubes bien choisis permettent de retrouver la classe de départ. En fait, avec cette approche, seule une famille de générateurs du groupe d’homotopie libre de $\pi_{2}(M^{m})$ - après quotient par l’action de conjugaison du $\pi_{1}(M^{m})$ sur $\pi_{2}(M^{m})$ - est a priori réalisable par des sphères minimales. En particulier, grâce au théorème d’Hurewicz, on en déduit que si $\pi_{1}(M^{m})=0$, alors un ensemble de générateurs de $H_{2}(M^{m},{\mathbb{Z}})$ est réalisé par des sphères minimales. Il est important de noter à ce stade que ces surfaces minimales sont des immersions qui ont éventuellement des points de branchements isolés. L’article de Sacks et Uhlenbeck a donné naissance à tout un domaine de l’analyse invariante conforme et a théorisé les phénomènes connus actuellement sous le nom de concentration-compacité.

Si on se penche maintenant sur la question de construire des sphères minimales d’indice non nul, les stratégies de minmax développées plus haut dans le cas 1-dimensionnel se heurtent en dimension 2 à deux obstructions fondamentales.

L’énergie de Dirichlet en dimension 2 ne vérifie plus la condition de Palais Smale.

• -

L’espace $W^{1,2}(S^{2},M^{m})$ ne constitue pas une variété de Banach régulière finslerienne.

On ne peut donc plus a priori appliquer directement la théorie de déformation en dimension infinie de Palais et Smale. Une alternative consiste alors à travailler dans l’espace plus petit $W^{1,2+\alpha}(S^{2},M^{m})$ qui lui définit bien une variété de Banach régulière et équipée d’une structure finslerienne complète. L’énergie “renforcée”161616Cette énergie renforcée $E_{\alpha}$ a en fait été introduite à l’origine pour le problème de minimisation dans les classes d’homotopie par Sacks et Uhlenbeck.

[TABLE]

vérifie bien la condition de Palais Smale et, après avoir exhibé des points critiques de $E_{\alpha}$ pour une valeur de minmax donnée, on peut faire tendre $\alpha$ vers 0 et l’analyse de Sacks et Uhlenbeck permet d’obtenir un “bouquet” de points critiques de l’énergie de Dirichlet mais dont il faut s’assurer que les applications associées sont conformes afin de pouvoir affirmer que l’ensemble correspond bien à un bouquet de sphères minimales.

La question de l’existence de surfaces minimales par l’approche paramétrique se complique si on cherche à prescrire le genre de cette surface. Dans le cas $S^{2}$, comme il n’existe qu’une seule classe conforme, la minimisation de l’énergie de Dirichlet garantit qu’un minimum est bien conforme et donc réalise une sphère minimale. Ce n’est plus le cas si on remplace $S^{2}$ par une autre surface de Riemann fermée $\Sigma$ de genre non nul. Lors d’une procédure de minimisation de $E$ il faut aussi introduire la possibilité pour la classe conforme sur $\Sigma$ de parcourir “librement” l’espace de Teichmüller associé. L’espace de configuration n’est plus alors $W^{1,2}(\Sigma,M^{m})$ mais le produit $W^{1,2}(\Sigma,M^{m})\times{\mathcal{T}}_{\Sigma}$ où ${\mathcal{T}}_{\Sigma}$ désigne l’espace de Teichmüller de $\Sigma$. Le contrôle de la classe conforme est évidemment une difficulté supplémentaire de taille lors d’un processus de minimisation. Dans certaines situations néanmoins, cette difficulté peut être levée. C’est le cas par exemple si on se restreint à des applications $u$ qui envoient injectivement le $\pi_{1}$ de $\Sigma$ sur le $\pi_{1}$ de $M^{m}$. De telles applications sont dites “incompressibles”. Sous l’hypothèse d’incompressibilité on démontre alors que l’énergie de Dirichlet

[TABLE]

contrôle la classe conforme $h$ de $\Sigma$, représentée ici par une métrique de courbure scalaire constante de volume 1. Une conséquence de la précompacité de la classe conforme dans l’espace des modules sous l’hypothèse du contrôle de l’énergie est l’existence d’une application $u$ harmonique de $(\Sigma,h)$ dans $M^{m}$ pour une surface de Riemann $(\Sigma,h)$ dans cet espace d’applications incompréssibles qui est conforme et qui minimise l’aire dans cet espace.

Chaque surface incompressible génère ce que l’on appelle un sous groupe de surface qui est l’image (injective) par $u_{\ast}$ de $\pi_{1}(\Sigma)$ dans $\pi_{1}(M^{m})$ (cette image est par définition isomorphe au $\pi_{1}(\Sigma)$).

Dans [38], Jeremy Kahn et Vladimir Marković démontrent que pour une variété hyperbolique fermée donnée $(M^{3},g)$, il existe au moins $(c_{1}\,\gamma)^{2\gamma}$ classes de conjugaisons de sous groupes de surfaces de genre $\gamma$. Les surfaces $\Sigma$, tout comme la variété hyperbolique choisie $(M^{3},g)$, sont des espaces asphériques171717Les espaces asphériques sont les espaces dont les revêtements universels sont contractiles et leurs seuls groupes d’homotopies non triviaux sont leurs $\pi_{1}$.. Pour cette raison, deux applications définissant deux classes de conjugaison distinctes pour l’homomorphisme $u_{\ast}$ : $\pi_{1}(\Sigma)\rightarrow\pi_{1}(M^{3})$ sont aussi dans des classes distinctes de l’espace des classes d’homotopies libres $[\Sigma,M^{3}]$ entre $\Sigma$ et $M^{3}$. En d’autres termes, chaque classe de conjugaison des sous groupes de surfaces de genre $\gamma$ donné correspond à des composantes connexes distinctes de l’espace des applications incompréssibles. Ainsi, en utilisant l’analyse décrite ci dessus, on peut associer à chacune de ces classes une surface minimale de genre $\gamma$. Tout comme dans le cas des géodésiques, afin de ne prendre en compte que les recouvrements simples de surfaces minimales, il faut dans le cas présent garder à l’esprit qu’une surface de Riemann peut être le recouvrement non branché d’une autre surface de genre strictement supérieur. L’application de recouvrement par ailleurs induit naturellement une injection du groupe fondamental. Un sous groupe de surface dans une variété hyperbolique fermée $(M^{3},g)$ est dit premier s’il n’est pas réalisé par la composition successive d’un recouvrement non branché sur une surface de genre inférieur suivi de l’image de cette surface par une application incompressible. Comme la croissance du nombre de groupe de surfaces est au moins en $(c_{1}\,\gamma)^{2\gamma}$ la grande majorié de ces groupes de surfaces sont premiers dans $M^{3}$ et on a démontré le résultat suivant. {theo} [38] Sur une variété hyperbolique fermée donnée il existe une infinité d’immersion181818Comme ces immersion minimisent l’aire dans la classe d’homotopie libre donnée, un résultat de Osserman [50] et Gulliver [30] afirme que ces surfaces minimales en dimension 3 sont exemptes de points de branchements. minimales géométriquement distinctes.

Il est intérressant d’observer à ce stade que la famille infinie de surfaces produites par Kahn et Marković est faite de surfaces qui sont toutes stables (en fait qui minimisent l’aire). Ceci contraste avec la famille infinie que nous allons construire dans la dernière partie de cet exposé où les surfaces seront d’indice de Morse tendant vers l’infini.

IV Les variations de l’aire en théorie de la mesure géométrique

191919Le lecteur non familier avec la théorie de la mesure géométrique est invité à se reporter à l’exposé précédent [53].

Le but de la section précédente était principalement d’illustrer la difficulté que constitue l’extension en dimension supérieure à 1 de l’approche paramétrique pour les opérations de minmax, et plus précisemment de l’utilisation pour les surfaces minimales de la théorie des déformations de Palais et Smale. En fait, le constat de la limitation de l’approche paramétrique à des fins variationnelles pour les surfaces minimales était déjà présent bien antérieurement aux travaux d’analyse globale de la fin des années 60. La théorie de la mesure géométrique est née - au milieu des années 50 - du projet d’étendre le problème de Plateau aux dimensions supérieures avec des données plus générales que des courbes de Jordan dans ${\mathbb{R}}^{3}$. Dans sa première phase l’objet principal de la TMG était la notion de courant réctifiable entiers, fusion entre les courants de de Rham (distributions vectorielles) et le concept de rectibiabilité202020Pour $0\leq k\leq Q$, un sous ensemble de ${\mathbb{R}}^{Q}$ est dit dénombrablement $k-$rectifiable si, en dehors d’un ensemble de mesure de Hausdorff $k-$dimensionel nulle, il est contenu dans une union au plus dénombrable d’images par des fonctions lipschitzienne de sous ensembles de ${\mathbb{R}}^{k}$ et sa ${\mathcal{H}}^{k}-$masse est finie. de Besicovitch. Le théorème fondateur de cette théorie est celui d’Herbert Federer et de Wendell Fleming qui établit que l’espace des courants rectifiables entiers de bord nul - ou de bord de masse212121La masse d’un courant est une quantitée non négative qui coincide avec le volume lorsque le courant est par exemple donné par une sous-variété. contrôlée - dans une variété riemannienne quelconque et de masse uniformément bornée est faiblement séquentiellement fermé222222En fait cette compacité faible séquentielle est valable pour la topologie dite “bémol”, une topologie un peu plus fine que celle donnée par la simple dualité avec les formes différentielles régulière à support compact que nous introduisons plus loin dans l’exposé. L’auteur de ces notes invite le lecteur à se reporter par exemple au séminaire Bourbaki no 1080 [53] pour une description un peu plus détaillée de certains fondamentaux de la théorie de la mesure géométrique.. Comme la masse est faiblement sequentiellement sous-continue, un corollaire de ce résultat est l’existence d’un courant rectifiable entier de masse minimale dans toute classe d’homologie entière fixée (relative ou pas relative). Un tel courant est appelé courant rectifiable entier minimisant l’aire.

Un tel objet a-priori pourrait être très singulier (c’est le prix à payer pour s’être placé dans un espace faiblement sequentiellement fermé pour un contrôle de la masse - La masse en géométrie est une quantité très peu coercive). Il n’en est rien, en particulier dans le cas de la codimension 1 qui va nous occuper exclusivement désormais jusqu’à la fin de cet exposé. Le théorème suivant est le résultat d’efforts combinés de De Giorgi, Triscari, Fleming, Simons, Federer, Almgren.

{theo}

[23], [19], [58], [17], [5] Soit $(M^{m},g)$ une variété riemannienne et soit $T$ un courant rectifiable entier sans bord minimisant l’aire dans une classe d’homologie relative $H_{m-1}(\Omega,\partial\Omega;{\mathbb{Z}})$ où $\Omega$ est un ouvert quelconque de $M^{m}$. Alors $T$ est le courant d’intégration d’une sous-variété plongée de $\Omega$ en dehors d’un sous ensemble fermé de codimension de Hausdorff 8 et équipé d’une multiplicité entière régulière. En dimension 8 l’ensemble singulier est inclus dans un ensemble de points isolés.

Ce résultat est optimal : Le cône issue de la sous-variété de la sphère de dimension 7 donnée par $S^{3}_{1/\sqrt{2}}\times S^{3}_{1/\sqrt{2}}$ minimise l’aire [11] (fig. 1). Cet état de fait est fondamental dans notre exposé et se trouve être derrière la limitation en dimension du théorème principal qui nous intéresse aujourd’hui.

[TABLE]

\psfrag{C3}{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}$C_{3}$}}\psfrag{C5}{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}$C_{5}$}}\psfrag{C7}{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}$C_{7}$}}\psfrag{4D}{$4D$}\psfrag{6D}{$6D$}\psfrag{8D}{$8D$}\psfrag{p}{{\color[rgb]{0,1,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,1,0}\footnotesize point}}\psfrag{s}{{\color[rgb]{0,1,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,1,0}\footnotesize singulier}}\psfrag{CS}{C^{o}ne de Simons}\includegraphics[width=398.33858pt]{bourbaki-fig14.eps}

Fig. 1:   Hypersurfaces minimisant le volume

Si le cadre des courant entiers rectifiables est efficace pour mettre en évidence des hyper-surfaces minimales minimisant l’aire dans des classes d’homologie entières données, ce n’est plus le cas dès lors que l’on cherche à construire variationnellement des hyper-surfaces minimales d’indice non nul. La raison en est que la masse n’est que semi-continue inférieure pour la convergence faible des courants et que dans une opération de type minmax il faut pouvoir avoir la continuité de celle ci. Cette constatation a stimulé la “seconde génération” de la théorie de la mesure géométrique sous l’impulsion des contributions succéssives de Fred Almgren [4], William Allard [2] et Jon Pitts [51]. L’objet principal de cette deuxième partie de la théorie devient une version - très faible ! - de type “théorie de la mesure” d’une sous-variété il s’agit de la notion de varifold introduite par Almgren232323*“I called the new objects “varifolds” having in mind that they were a measure theoretic substitute for manifolds created for the variational calculus” [6].*. Un varifold de dimension $k$ dans une variété riemannienne $M^{m}$ n’est autre qu’une mesure de Radon dans la variété de Grassmann des $k-$plans non orientés du fibré tangent à $M^{m}$, $G_{k}(TM^{m})$. On peut par exemple adjoindre à toute sous-variété $k-$dimensionnelle $\Sigma$ de la variété riemannienne $M^{m}$, le varifold associé qui est explicitement donné par

[TABLE]

L’idée derrière la notion des varifolds est inspirée de la notion, commune dans les problèmes de convergence faible en EDP, de mesures de Young et consiste à “enregistrer” l’information donnée par le premier jet lors de passages à la limite. La masse par ailleurs passe à la limite pour la convergence faible des mesures de Radon et c’est principalement pour cela que ce type d’objets a été introduit. Les varifolds de dimension $k$ sont appelés rectifiables si leur projection sur l’espace des mesures de Radon de $M^{m}$ est un ensemble rectifiable de $M^{m}$ et pour ${\mathcal{H}}^{k}-$presque tout point de cet ensemble rectifiable la mesure sur la fibre est donnée par la masse de Dirac du $k-$plan approximé tangent. Un varifold rectifiable est dit stationnaire s’il est point critique de la masse (la variation totale de la mesure de Radon correspondante) pour les perturbations infinitésimales de l’identité dans l’espace des diffeomorphismes de $M^{m}$.

De la même façon que dans les sections précédents nous allons définir un espace de configuration sur lesquels nous allons poser des problèmes de minmax sur l’aire (ou plutôt la “masse” en TMG) et effectuer des opérations de déformation afin de démontrer que les valeurs de minmax sont atteintes par des surfaces minimales.

Nous avons déjà vu des espaces de configurations donnés par des espaces de Sobolev pour les constructions par minmax de géodésiques où de surfaces minimales dans les espaces hyperboliques tridimensionnels. L’espace que nous introduisons maintenant est un espace d’objets bien moins réguliers, l’espace des chaines bémol à coefficient dans ${\mathbb{Z}}_{2}$. Soit $G$ un groupe abélien équipé d’une norme qui en fait un espace métrique complet (on va considérer esentiellement $G={\mathbb{Z}}$, ${\mathbb{R}}$ ou ${\mathbb{Z}}_{p}$). Soit $P_{k}({\mathbb{R}}^{Q};G)$ l’espace des chaines polyhédrale242424Une $G-$chaîne polyhérale est une somme finie de polyhèdres convexes bornés de dimension $k$ de ${\mathbb{R}}^{Q}$, ne s’intersectants pas mutuellements et affecté chacun d’une “multiplicité” dans $G$. À une telle chaine $A:=\sum_{i=1}^{n}g_{i}\sigma_{i}$ on associe tout d’abord la masse ${\mathbf{M}}(A)=\sum_{i=1}^{n}|g_{i}|\ {\mathcal{H}}^{k}(\sigma_{i})$ puis une application ${\mathcal{H}}^{k}$ mesurable, bornée à valeur dans $G$ égale à $g_{i}$ sur chaque $\sigma_{i}$ et égale à l’élément neutre ailleurs. Finalement $P_{k}({\mathbb{R}}^{Q},G)$ est quotienté par la relation d’équivalence suivante : deux éléments sont égaux s’ils définissent la même application ${\mathcal{H}}^{k}$ presque partout. On vérifie alors que l’opérateur de bord habituel sur les chaines est bien défini c’est à dire qu’il est indépendant du représentant choisi - voir [65]. à coefficient dans $G$. Dans [65] chapitre 5, Hassler Whitney introduit sur $P_{k}({\mathbb{R}}^{Q};G)$ la norme bémol252525Whitney introduit aussi une norme dièse sur les chaines polyhèdrales - bornée par la norme bémol et donc paradoxallement ”moins élevée” pour reprendre l’image musicale - à moins qu’il ne s’agisse des cochaines où là l’ordre des normes s’inverse… La complétion de $P_{k}({\mathbb{R}}^{Q};G)$ pour la norme dièse ne permet pas d’étendre continuement l’opérateur de bord contrairement à la norme bémol. Ce qui peux expliquer pourquoi la première est moins connue que la seconde. :

[TABLE]

L’espace $I_{k}({\mathbb{R}}^{Q};G)$ des $k-$chaines bémol à valeur dans $G$ est la completion de $P_{k}({\mathbb{R}}^{Q};G)$ dans l’espace des $G-$courants . Un théorème important du à Fleming [20] (lorsque $G$ est fini) et White [63] (cas général) affirme que tout élément de masse finie dans $I_{k}({\mathbb{R}}^{Q};G)$ est rectifiable. On note $\tilde{I}_{k}({M}^{m};G)$ l’ensemble des chaines bémol inclues dans $M^{m}$ de masse finie et dont le bord est de masse finie.

Les espaces de configuration qui vont nous interésser pour la suite de cet exposé sont les **hypercycles à coefficient ${\mathbb{Z}}_{2}$ ** donnés par

[TABLE]

ou encore, lorsque $M^{m}$ n’est pas fermé et est compacte avec bord on définit dans un premier temps

[TABLE]

et on définit l’espace des hypercycles relatifs ${\mathbb{Z}}_{2}$ noté ${\mathcal{M}}:=Z_{m-1,rel}(M^{m},\partial M^{m};{\mathbb{Z}}_{2})$ comme étant le quotient de $Z_{m-1}(M^{m},\partial M^{m};{\mathbb{Z}}_{2})$ par la relation

[TABLE]

Les efforts262626Ce mot “efforts” cache en fait des travaux d’une difficulté conceptuelle et technique très conséquente, le contexte “mou” des hypercycles compromet toute possibilité d’implémentation de la théorie des déformation de Palais-Smale. Nous avions essayé d’en rendre compte dans un exposé précédent [53]. Les applications continues à valeur dans les hypercycles ${\mathbb{Z}}_{2}$ doivent être déformés dans un premier temps en des applications continues pour des topologies plus fortes issue de la topologie des varifolds et de la masse. Elles sont dans un deuxième temps discrétisées, puis, dans une procédure inspirée du raccourcissement des courbes de Birkhoff, ces applications sont “sérrées” - pull tight procedure - afin de mettre en évidence un hypercycle réalisant la largeur et constituant un varifold stationnaire presque minimisant sur les anneaux (la définition est due à Pitts [51]). Cette dernière propriété, qui s’apparente au fait d’être localement minimisant et donc d’indice global fini, permit à Jon Pitts de démontrer la régularité de cet hypercycle en utilisant les travaux contemporains de Rick Schoen et Leon Simon [55] établissant des estimées de courbure sur les surfaces stables minimales en codimension 1. combinés de Almgren puis de Pitts permettent d’établir le théorème suivant. {theo} [4], [51] Soit $M^{m}$ une variété fermée et $\Pi$ une classe non nulle de $\pi_{k}\left(Z_{m-1}(M^{m};{\mathbb{Z}}_{2})\right)$ alors la largeur correspondante est strictement positive :

[TABLE]

et il existe un varifold stationaire $V$ porté par une sous-variété plongée et régulière en dehors d’un sous-ensemble fermé de codimension 8 dans $M^{m}$ tel que ${\mathbf{M}}(V)=W(\Pi)$. En particulier, si la dimension de $M^{m}$ est inférieure où égale à 7, il existe un nombre fini d’hypersurfaces minimales fermées et connexes, ne s’intersectant pas, $\Sigma_{1}\cdots\Sigma_{n}$ ainsi que $n$ entiers naturels non nuls $q_{1}\cdots q_{n}$ tels que

[TABLE]

V Spectres non linéaires et largeurs de Gromov.

Afin de construire une surface minimale il suffit alors d’identifier au moins une classe d’homotopie non nulle dans ${\mathcal{M}}$. L’étude des groupes d’homotopie des cycles bémol était en fait l’objet de la thèse d’Almgren. Il démontre272727La preuve d’Almgren est écrite dans le cas des cycles entiers et des homologies entières de $M^{m}$. Elle sétend cependant au cas de $G={\mathbb{Z}}_{p}$ - voir [51]. en particulier le résultat suivant. {theo} [3] Soint $M^{m}$ une variété compacte connexe de dimension $m$. Pour tout $n\in{\mathbb{N}}$ et $k\in\{1\cdots m\}$ il existe un isomorphisme entre $\pi_{n}(Z_{k,rel}(M^{m},\partial M^{m};{\mathbb{Z}}_{2}))$ et $H_{n+k}(M^{m},\partial M^{m};{\mathbb{Z}}_{2})$. En particulier la composante282828Il s’agit en fait de la composante donnée par les hypercycles qui sont des bords. $Z^{0}_{m-1,rel}(M^{m},\partial M^{m};{\mathbb{Z}}_{2})$ de $Z_{m-1,rel}(M^{m},\partial M^{m};{\mathbb{Z}}_{2})$ contenant 0 possède exactement un groupe d’homotopie non nul $\pi_{1}(Z_{m-1,rel}(M^{m},\partial M^{m};{\mathbb{Z}}_{2}))={\mathbb{Z}}_{2}$.

La deuxième partie de ce théorème est l’affirmation que $Z^{0}_{m-1,rel}(M^{m},\partial M^{m};{\mathbb{Z}}_{2})$ est un espace d’Eilenberg MacLane $K({\mathbb{Z}}_{2},1)$ et donc qu’il existe une équivalence d’homotopie faible

[TABLE]

où ${\mathbb{R}}P^{\infty}$ est l’espace projectif infini (en effet la sphère $S^{\infty}$ qui est contractible est le relevé universel et recouvre exactement 2 fois ${\mathbb{R}}P^{\infty}$).

Un générateur du $\pi_{1}(Z^{0}_{m-1,rel}(M^{m},\partial M^{m};{\mathbb{Z}}_{2}))$ est donné par un balayage de Birkhoff de $M^{m}$ c’est à dire un chemin d’hypercycles de $M^{m}$ qui “recouvre” $M^{m}$ exactement une fois.

Cette équivalence faible d’homotopie est réalisée par l’application suivante. Soit $f$ une fonction de Morse sur $M^{m}$ à valeur dans $[0,1]$ (il en existe toujours [47]). La famille donnée par

[TABLE]

réalise un balayage de Birkhoff et donc génère en particulier le $\pi_{1}$ des ${\mathbb{Z}}_{2}-$hypercycles. On l’étend à ${\mathbb{R}}P^{\infty}$ de la façon suivante.

[TABLE]

En combinant le théorème 26 et le théorème 27 on obtient le résultat suivant dont la démonstration complète se trouve dans le livre de Pitts292929Ce résulat a été prouvé plus ou moins en même temps en dimension 3 par Francis Smith dans sa thèse [59] - non publiée - écrite sous la direction de Leon Simon. Le lecteur peut aussi se reporter à [14] pour une démonstration dans le cas tri-dimensionnel.

{coro}

[51] Soit $M^{m}$ une variété riemannienne fermée de dimension inférieure ou égale à $7$, alors il existe dans $M^{m}$ une sous-variété minimale de codimension 1.

Si maintenant on ambitionne d’étudier la possibilité d’avoir plusieurs hypersurfaces minimales et éventuellement un nombre infini, les minmax construits autour des groupes d’homotopie ne suffisent pas303030Il n’existe qu’un seul groupe d’homotopie non trivial. . En analogie avec le cas des géodésiques dans la première partie de l’exposé, on préfère alors une approche de type “Morse” consistant à étudier les homologies des sous-ensembles de niveau de l’espace de configuration ${\mathcal{M}}=Z^{0}_{m-1,rel}(M^{m},\partial M^{m},{\mathbb{Z}}_{2})$. L’equivalence faible homotopique entre $Z^{0}_{m-1,rel}(M^{m},\partial M^{m};{\mathbb{Z}}_{2})$ et ${\mathbb{R}}P^{\infty}$ induit un isomorphisme d’anneau cohomologiques313131À ce stade on va préférer travailler avec la cohomologie plutôt qu’avec l’homologie de $Z^{0}_{m-1}(M^{m},{\mathbb{Z}}_{2})$ car cette première possède une structure d’anneau issue du cup-produit. L’espace des chaînes est probablement géométriquement plus intuitif et de ce fait a priori plus agréable à manipuler, mais la structure d’anneau de $H^{\ast}(\mathcal{M};{\mathbb{Z}}_{2})$ l’emporte. et on obtient finalement que l’anneau cohomologique de l’espace de configuration est un $\mathbb{Z}_{2}-$anneau polynomial, libre à un générateur de degré un323232On ne peux pas imaginer plus simple. Un espace de configuartion sur des objets plus lisses, et donc plus “contraints”, que hypercycles ${\mathbb{Z}}_{2}$ aurait certainement induit un type d’homotopie plus complexe et plus riche mais aussi moins facile à calculer et à identifier au moyen d’opérations géométriques simples. C’est le grand avantage du point de vue que nous prenons à ce stade.

[TABLE]

Le générateur $\alpha$ “détecte” les balayages de Birkhoff au sens où pour tout

[TABLE]

qui “recouvre” exactement une fois $M^{m}$ (et donc génère $\pi_{1}(Z^{0}_{m-1,rel}(M^{m},\partial M^{m};{\mathbb{Z}}_{2}))$) on a

[TABLE]

De façon analogue au cas des géodésiques dans la première partie de l’exposé on introduit le spectre non linéaire associé à la masse dans ${\mathcal{M}}:=Z^{0}_{m-1,rel}(M^{m},\partial M^{m},{\mathbb{Z}}_{2})$ comme étant pour chaque entier $k$ l’ensemble de niveaux $\lambda_{k}$ à partir duquel tout $k-$cycle ${\mathbb{Z}}_{2}$ dans $Z^{0}_{m-1,rel}(M^{m},\partial M^{m};{\mathbb{Z}}_{2})$ est homologue à un cycle dont la masse maximale est $\lambda_{k}$. La caractérisation du spectre non linéaire, ou largeurs de Gromov, au moyen du cup-produit est donnée ainsi333333Dans la littérature anglophone sur le sujet on retrouve souvent à la place de $\lambda_{k}$ la notation $w_{k}$ pour “width” (“largeur” en français). Nous choisissons $\lambda_{k}$ pour être plus proche de l’ildée originale de Gromov de généraliser la notion de spectre à des situations non linéaires. La lettre grecque $\lambda$ raisonne aussi mieux avec le l.

[TABLE]

où $X$ varie librement sur les complexes simpliciaux de dimension finie et $\alpha^{k}=\alpha\smile\cdots\smile\alpha$ ($k$ fois). Les applications $\Psi$ continues d’un complexe simplicial de dimension finie dans ${\mathcal{M}}$ satisfaisant $\Psi^{\ast}\alpha^{k}\neq 0$ sont appelées $k-$balayages.

Une première remarque tautologique consiste à observer que $\Psi^{\ast}\alpha^{k}\neq 0$ donne pour tout entier $0<l<k$ $\Psi^{\ast}\alpha^{l}\neq 0$ et donc, ce que l’on appelle aussi le spectre volumique est une suite croissante

[TABLE]

Un exemple de $k-$balayage est donné par la restriction à ${\mathbb{R}}P^{k}$ de l’application $\Phi$ plus haut. On a en effet $\beta:=\Phi^{\ast}\alpha\neq 0$ et par ailleurs, un résultat classique illustrant le cup produit sur les espaces projectifs réels donne $\beta^{k}\neq 0$. Donc $\Phi^{\ast}\alpha^{k}\neq 0$.

Dans le cas maintenant où $M^{m}$ est sans bord, le théorème d’Almgren et Pitts s’étend343434Voir le travail important de Marques et de Neves [43] à ce sujet qui vient préciser et compléter la théorie. aux $k-$balayages et on démontre qu’en dimension plus petite que $8$ pour tout $k\in{\mathbb{N}}^{\ast}$ il existe une famille de surfaces plongées disjointes $\Sigma_{1}^{k}\cdots\Sigma_{n_{k}}^{k}$ et des multiplicités entières non nulles $q^{k}_{1}\cdots q^{k}_{n_{k}}$ telles que

[TABLE]

La question principale de cet exposé devient alors celle de savoir si, lorsque $k$ tend vers l’infini, la famille $\Sigma_{i}^{k}$ appartient à un ensemble fini ou infini de surfaces plongées géométriquement distinctes.

En ayant à l’esprit les preuves de résultats sur l’existence d’une infinité de géodésiques sur une variété donnée, il est naturel d’étudier le comportement asymptotique du spectre $\lambda_{k}$. Le résultat suivant du principalement à Gromov et revisité par Larry Guth dans [32] est central pour la démonstration du théorème ultime de notre exposé.

{theo}

[27], [28], [32]

Soit $(M^{m},g)$ une variété riemannienne sans bord donnée alors lorsque $k$ tend vers l’infini on a le comportement asymptotique suivant353535La différence de comportement asymptotique du spectre si l’on compare (II.3) avec (V.8) dans le cas des géodésiques, qui sont des éléments de $Z_{m-1}(M^{m},{\mathbb{Z}}_{2})$ pour $m=2$ pourrait surprendre à première vue. Nous allons voir que le choix du groupe ${\mathbb{Z}}_{2}$ est responsable du fait que les changements de topologies dans $Z_{1}(M^{2},{\mathbb{Z}}_{2})$ arrivent “plus vite” au rythme de $\simeq\sqrt{k}$ pour la longueur alors que c’était $\simeq k$ en multiplicité entière.

[TABLE]

Les raisons de ce comportements asymptotiques méritent d’être un peu éclairées à ce stade de notre présentation.

La minoration asymptotique $\lambda_{k}\geq Ck^{1/m}$ vient d’un argument inspiré d’une preuve de Lusternik et Schnirelmann (voir par exemple [39] theorem 2.1.10). Soient $U_{1}\cdots U_{k}$ des ouverts disjoints de $M^{m}$ alors on démontre l’inégalité suivante

[TABLE]

où $\lambda_{1}(U_{i})$ est la première largeur de Gromov de l’ouvert $U_{i}$ dans $Z_{m-1}(U_{i},\partial U_{i};{\mathbb{Z}}_{2})$. En effet, soit $X$ un complexe simplicial de dimension fini et $\Psi$ de $X$ dans $M^{m}$ réalisant un $k-$balayage : $\Psi^{\ast}\alpha^{k}\neq 0$ dans $H^{k}(X;{\mathbb{Z}}_{2})$. On note

[TABLE]

Comme un balayage de $M^{m}$ réalise un balayage de chaque sous ouvert de $M^{m}$, si $\iota_{X_{i}}\ :\ X_{i}\rightarrow X$ est l’inclusion canonique, on a donc $\iota_{X_{i}}^{\ast}\Psi^{\ast}\alpha=0$ dans $H^{1}(X_{i},{\mathbb{Z}}_{2})$. La suite exacte en cohomologie

[TABLE]

donne que $\alpha\in\mbox{Im}(j_{i}^{\ast})$ et de plus il existe $\alpha_{i}\in H^{1}(X,X_{i};{\mathbb{Z}}_{2})$ tel que $j_{i}^{\ast}(\alpha_{i})=\Psi^{\ast}\alpha$. Supposons par l’absurde que $X=\cup_{i=1}^{k}X_{i}$. On a donc trivialement

[TABLE]

La propriété fondamentale sur le cup produit relatif (page 209 [34]) donne alors

[TABLE]

donc en particulier $\alpha_{1}\smile\cdots\smile\alpha_{k}=0$.

Pour tout $A,B\subset X$ le diagramme commutatif363636$\Delta$ désigne dans ce diagramme l’application diagonale $\Delta(x):=(x,x)$.

[TABLE]

donne l’identité $j^{\ast}_{A\cup B}\Delta^{\ast}=\Delta^{\ast}(j^{\ast}_{A}\times j_{B}^{\ast})$ de laquelle on déduit373737 Au moyen de l’identité fondamentale $a\smile b=\Delta^{\ast}(a\times b)$.

[TABLE]

En itérant cette identité pour $A:=\cup_{i=1}^{l}X_{i}$ et $B:=X_{l+1}$ on obtient finallement

[TABLE]

ce qui est contradictoire. Ceci démontre l’inégalité (V.9).

Une fois l’identité (V.9) établie, on se convainc assez facilement que l’on peut asymptotiquement décomposer la variété en $k$ cubes disjoints de diamètre $\simeq k^{-1/m}$ et tels que la largeur de Gromov de chacun de ces cubes soit environ $k^{(-m+1)/m}$. L’inégalité (V.9) donne alors $\lambda_{k}(M^{m})\geq C\ k^{1/m}$, ce qui démontre la minoration dans (V.8).

Nous donnons une illustration de l’argument383838Cette approche dite de “bend and cancel” est due à Larry Guth. dans le cadre le plus simple possible : $M^{m}:=T^{2}={\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2}$. L’application

[TABLE]

réalise un balayage de Birkhoff. Plus généralement, on considère l’application suivante. Soit $\pi$ la projection qui à un point de la droite réelle associe le point le plus proche dans $[0,1]$. On appelle alors $\Psi_{k}$ l’application qui à un polynôme non nul $P$ de degré au plus $k$ associe lélément de $Z_{1}({\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2};{\mathbb{Z}}_{2})$ égal à la somme des cercles à multiplicité ${\mathbb{Z}}_{2}$ donnés par $x_{1}=\pi(a_{i})$ où $a_{i}$ sont les racines réelles de $P$. On démontre (voir [31] section 5) que $\Psi_{k}$ est continue393939La continuité est principalement due à la multiplicité ${\mathbb{Z}}_{2}$ : deux racines réelles qui convergent l’une vers l’autre s’annihilent à la limite. de ${\mathbb{R}}P^{k}$ 404040L’espace $X$ des polynômes non nuls de degé au plus $k$ quotienté par ${\mathbb{R}}^{\ast}$ est difféomorphe à ${\mathbb{R}}P^{k}$. dans $Z_{1}(T^{2};{\mathbb{Z}}_{2})$. L’application $\Psi_{k}$ envoie un générateur du $H_{1}({\mathbb{R}}P^{k},{\mathbb{Z}}_{2})$ donné par la suite de polynôme $P_{t}(Y)=(t+t^{-1})Y-2$ sur un générateur du $H_{1}(Z_{1}(T^{2};{\mathbb{Z}}_{2}))$ et donc on a $\Psi_{k}^{\ast}\alpha\neq 0$. Ceci implique que $(\Psi_{k}^{\ast}\alpha)^{k}\neq 0$. Or $(\Psi_{k}^{\ast}\alpha)^{k}=\Psi_{k}^{\ast}(\alpha^{k})$, donc $\Psi_{k}$ réalise un $k-$balayage de $Z_{1}(T^{2};{\mathbb{Z}}_{2})$.

Chaque élément $\Psi_{k}(x)$ est constitué au plus de $k$ cercles de longueur $1$. On a donc

[TABLE]

Or ce n’est pas la borne optimale donnée par le théorème qui est asymptotiquement $\simeq\sqrt{k}$ dans ce cas. C’est que nous n’avons pas fait l’usage complet du fait que nous avons une multiplicité ${\mathbb{Z}}_{2}$ qui est la vrai “responsable” de cette croissance sous-linéaire qui sera si utile par la suite.

L’idée de Larry Guth est de choisir un maillage de $T^{2}$ fait de $k$ cubes de taille identique $\simeq\sqrt{k}$ et de “projeter” $\Psi_{k}$ le maximum sur ce maillage. Il démontre que chaque cercle de $\Psi_{k}(x)$ se projette intégralement sur ce maillage à l’exception d’une portion de cercle contenue dans exactement 2 cubes et de taille $\simeq 1/\sqrt{k}$ et cela continument en $x$ (fig. 2).

\psfrag{0}{$0$}\psfrag{1}{$1$}\psfrag{z}{z'{e}ros de $x$}\psfrag{RZ}{${\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2}$}\psfrag{Mult}{Multiplicit'{e} ${\mathbb{Z}}_{2}$}\psfrag{psi}{$\psi_{3}(x)$}\psfrag{x}{$x\rightarrow x+\delta x$}\psfrag{ay}{$a_{3}\,Y^{3}+a_{2}\,Y^{2}+a_{1}\,Y+a_{0}/{\mathbb{R}}^{*}_{+}=x\in\underset{\stackrel{{{}^{\parallel}\;\,}}{{\!\!X_{3}}}}{{\mathbb{R}}{\mathbb{P}}^{3}}$}\includegraphics[width=284.52756pt]{bourbaki-fig1.eps}

Fig. 2:   La procédure “plier et annuler” de Guth

On obtient ainsi une nouvelle application $\tilde{\Psi}_{k}$ vérifiant

[TABLE]

ce qui donne l’estimation optimale.

VI La loi de Weyl de Liokumovich, Marques et Neves.

Récemment Yevgeny Liokumovich, Fernando Codá Marques et André Neves sont parvenus à préciser l’estimation (V.8) et à établir une **loi de Weyl414141La loi de Weyl pour le spectre de l’opérateur de Laplace Beltrami sur une variété riemanniene fermée $M^{m}$ donne l’existence d’une constante $c(m):=4\pi^{2}\ |B^{m}_{1}|^{-2/m}$ telle que

$\lim_{k\rightarrow+\infty}\lambda_{k}\ k^{-2/m}=c(m)\ \mbox{vol}(M^{m})^{-2/m}\quad.$

** pour le spectre du volume tout à fait remarquable424242Le théorème-42 a répondu positivement à une conjecture de Gromov. {theo}

Soit $m$ un entier supérieur à 1. Il existe une constante universelle434343Une expression explicite de cette constante même dans le cas de la plus basse dimension $m=2$ au moyen de quantités “connues” est un problème ouvert. $a(m)>0$ telle que pour toute variété compacte riemannienne $(M^{m},g)$ (avec ou sans bord) on ait

[TABLE]

où $\lambda_{k}$ est le spectre du volume donné par (V.6).

Au delà de l’aspect incontestablement esthétique de ce résultat, la précision de celui-ci induit un mécanisme qui va générer de nombreuses surfaces minimales répondant ainsi partiellement à une conjecture ancienne de Shing-Tung Yau.

Conjecture 1**.**

[66]** Toute variété fermée 3-dimensionnelle possède un nombre infini de surfaces minimales immergées géométriquement distinctes.

Précisemment dans un article en collaboration avec Kei Irie, Fernando Codá Marques et André Neves démontrent au moyen de la loi de Weyl (VI.12) le théorème suivant. {theo}[36] Soit $M^{m}$ une variété fermée de dimension $3\leq m\leq 7$. Alors pour un ensemble générique de métriques l’union des hypersurfaces minimales fermées et plongées est dense dans $M^{m}$.

La stratégie de la preuve peut-être comprise ainsi. Soit $U$ un ouvert de $M^{m}$. On note ${\mathfrak{M}}_{U}$ l’espace des métriques pour lesquelles il existe une surface minimale plongée non dégénérée444444La dérivée seconde de l’aire n’a pas de noyau. intersectant $U$. On démontre sans trop de difficultés, en utilisant le théorème des fonctions implicites, combiné aux résultats désormais classiques de White [62] sur l’espace de surfaces minimales pour les métriques génériques, que ${\mathfrak{M}}_{U}$ est ouvert dans l’espace ${\mathfrak{M}}$ des métriques $C^{\infty}$.

Le point central de la démonstration consiste à établir le fait que ${\mathfrak{M}}_{U}$ est dense dans ${\mathfrak{M}}$. Supposons que ce ne soit pas le cas et prenons une métrique générique $g$ qui possède un voisinage ouvert ${\mathfrak{V}}$ dans ${\mathfrak{M}}$ pour lequel il n’existe pas de surface minimale plongée non dégénérée intersectant $U$ pour toute métrique dans ${\mathfrak{V}}$. Pour une métrique générique un résultat de Ben Sharp [56] affirme que l’ensemble des surfaces minimales non dégénérées et affectées de multiplicité entières quelconques réalise un ensemble dénombrable. On considère alors une perturbation de $g$ de la forme $g_{t}:=(1+t\,\chi)\,g$ pour $t>0$ et $\chi$ est une fonction quelconque non négative et non nulle supportée dans $U$. Pour $t$ petit $g_{t}\in{\mathfrak{V}}$. Supposons que $(M^{m},g_{t})$ ne possède aucune surface minimale plongée et fermée intersectant $U$. Cela signifie que toutes les valeurs de $\lambda_{k}(M^{m},g_{t})$ sont réalisées par des surfaces minimales de $g$ et donc l’application $t\rightarrow\lambda_{k}(M^{m},g_{t})$ pour $t$ petit ne peut prendre qu’un nombre au plus dénombrables de valeurs. Or on démontre sans trop d’efforts que celle-ci est continue. Cela implique alors qu’elle est constante proche de zero. La loi de Weyl (VI.12) donne cependant pour $k$ suffisamment grand

[TABLE]

ce qui est contradictoire. Donc $g_{t}$ possède une surface minimale $\Sigma$ plongée et fermée passant par $U$. Un résultat qui remonte à W.Klingenberg dans le cas des géodésiques (voir [39] capitre 3) affirme que l’on peut approcher la métrique $g_{t}$ par une suite de métriques (en la modifiant à l’ordre 2 et plus au voisinage de $\Sigma$) de telle sorte que pour chacune d’entre elles $\Sigma$ soit toujours une surface minimale mais non dégénérée cette fois. On a donc contredit le fait que ${\mathfrak{V}}$ existe et on en déduit que ${\mathfrak{M}}_{U}$ est dense dans ${\mathfrak{M}}$ pour tout ouvert $U$ de $M^{m}$.

Soit $(U_{i})_{i\in{\mathbb{N}}}$ une base dénombrable de la topologie de $M^{m}$. Le sous espace de ${\mathfrak{M}}$ donné par $\cap_{i\in{\mathbb{N}}}{\mathfrak{M}}_{U_{i}}$ est solution du problème grace au théorème de Baire. Ceci conclut la preuve du théorème 1.

VII La propriété de Frankel

Un théorème dû à Jacques Hadamard [33] affirme que sur une surface fermée à courbure strictement positive les deux éléments de toutes paires arbitraires de géodésiques fermées s’intersectent454545En fait dans [33] il est démontré que, sous les mêmes hypothèses, toute géodésique fermée est intersectée un nombre infini de fois par toute autre géodésique complète mais non fermée.

Ce résultat a été généralisé au cas des hypersurfaces par Théodore Frankel. {theo} [21] Soit $(M^{m},g)$ une variété riemannienne complète et connexe dont la courbure de Ricci est strictement positive. Alors deux hypersurfaces minimales complètes arbitraires dont l’une est compacte doivent s’intersecter.

La démonstration se comprend ainsi. On suppose pour la simplicité de la présentation que les deux surfaces minimales $\Sigma_{0}$ et $\Sigma_{1}$ sont plongées. Soit $\gamma\ :\ [0,1]\ \rightarrow\ M^{m}$ une géodésique joignant les deux surfaces et minimisant la distance entre elles. Un argument simple montre que $\gamma$ doit intersécter $\Sigma_{0}$ et $\Sigma_{1}$ chacune orthogonalement en deux points $p_{0}$ et $p_{1}$. La géodésique est stable et un calcul direct de la dérivée seconde de la longueur en $\gamma$ donne pour une perturbation $e(t)\in\Gamma(\gamma^{\ast}TM^{m})$ obtenue en transportant parallèlement un vecteur $e(0)\in T_{p_{1}}\Sigma_{1}$ de $p_{0}$ le long de $\gamma$ jusqu’à $p_{1}$

[TABLE]

où ${\mathbb{I}}^{j}_{p_{j}}$ est la seconde forme fondamentale de la surface $\Sigma_{j}$ au point $p_{j}$ (pour $j=0,1$)dans $(M^{m},g)$ et $K_{x}(X,Y)$ est la courbure sectionnelle de $M^{m}$ au point $x$ suivant le couple de vecteur $(X,Y)$ tangents en ce point. Prenons maintenant non seulement un seul vecteur $e(0)$ mais une base orthonormale de $T_{p_{0}}\Sigma_{0}$ : $(e_{i}(0))_{i=1\cdots m-1}$. Cette base, transportée paralèllement et à laquelle on adjoint le vecteur unité tangent de $\gamma$, réalise un repère mobile orthonormé de $\gamma^{\ast}TM^{m}$ (fig. 3).

\psfrag{0}{$0$}\psfrag{1}{$1$}\psfrag{z}{z'{e}ros de $x$}\psfrag{RZ}{${\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2}$}\psfrag{Mult}{Multiplicit'{e} ${\mathbb{Z}}_{2}$}\psfrag{psi}{$\psi_{3}(x)$}\psfrag{x}{$x\rightarrow x+\delta x$}\psfrag{ay}{$a_{3}\,Y^{3}+a_{2}\,Y^{2}+a_{1}\,Y+a_{0}/{\mathbb{R}}^{*}_{+}=x\in\underset{\stackrel{{{}^{\parallel}\;\,}}{{\!\!X_{3}}}}{{\mathbb{R}}{\mathbb{P}}^{3}}$}\psfrag{S0}{$\Sigma_{0}$}\psfrag{S1}{$\Sigma_{1}$}\psfrag{e1(0)}{$e_{1}(0)$}\psfrag{e2(0)}{$e_{2}(0)$}\psfrag{e1(1)}{$e_{1}(1)$}\psfrag{e2(1)}{$e_{2}(1)$}\psfrag{g}{$\gamma$}\includegraphics[width=227.62204pt]{bourbaki-fig2.eps}

Fig. 3:   La propriété de Frankel

En particulier,

[TABLE]

Comme $\Sigma_{j}$ est une surface minimale on a par ailleurs l’annulation de la courbure moyenne en $p_{j}$ ce qui donne

[TABLE]

En additionnant (VII.13) pour chaque vecteur $e_{i}$ on obtient

[TABLE]

L’hypothèse de courbure de Ricci strictement positive contredit cette inégalité et on conclut que les deux hypersurfaces s’intersectent nécessairement.

Inspiré par ce résultat, on définit la propriété de Frankel pour une variété riemannienne $M^{m}$ comme étant la propriété suivant laquelle toute paire de surfaces minimales fermées doivent avoir une intersection non vide.

Marques et Neves démontrent le résultat suivant. {theo} [43] Soit $(M^{m},g)$ une variété riemannienne compacte de dimension $3\leq m\leq 7$ satisfaisant à la propriété de Frankel. Alors $M^{m}$ possède une infinité d’hypersurfaces minimales plongées fermées et géométriquement distinctes.

En combinant les deux théorèmes précédents on obtient en particulier le corollaire suivant. {coro}

Soit $(M^{m},g)$ une variété riemannienne compacte de dimension $3\leq m\leq 7$ et de courbure de Ricci strictement positive, alors $M^{m}$ possède une infinité d’hypersurfaces minimales plongées fermées et géométriquement distinctes.

La démonstration du théorème VII peut se comprendre ainsi. La propriété de Frankel et le fait que les différentes surfaces $\Sigma^{k}_{i}$ dans (V.7) contribuant à la réalisation de la valeur propre volumique $\lambda_{k}$ sont disjointes impose $n_{k}=1$. Donc pour tout $k\in{\mathbb{N}}^{\ast}$ il existe un entier $q^{k}\in{\mathbb{N}}^{\ast}$ et une surface plongée $\Sigma^{k}$ tels que

[TABLE]

Supposons dans un premier temps que les valeurs propres volumiques soient toutes différentes et donc $0<\lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\lambda_{k}\cdots$. Si il n’existait dans $M^{m}$ qu’un nombre fini $N$ d’hypersurfaces minimales plongées dont l’aire minimale est $A>0$ alors $\lambda_{k}\geq kA/N$ ce qui contredit la croissance sous linéaire464646 C’est ici que le choix de la multiplicité ${\mathbb{Z}}_{2}$ pour les cycles joue à plein son rôle. Nous avons expliqué plus haut comment ce choix etait à l’origine de la croissance sous-linéaire du spectre. du spectre donnée par (V.8).

Il reste à considérer le cas où deux valeurs propres succéssives sont égales : $\lambda_{k}=\lambda_{k+1}$ pour un $k\in{\mathbb{N}}^{\ast}$.

Ce cas est un cas bien connu de la théorie474747Il s’agissait alors dans cette théorie du spectre généré par les changements d’homologie des ensembles de niveau ${\mathcal{M}}^{\lambda}$ où ${\mathcal{M}}=W^{1,2}(S^{1},M^{m})$ comme nous l’avons vu dans la première partie de l’exposé. de Liusternik-Shnirelmann qui permet d’affirmer l’existence d’une infinité de géodésiques fermées. L’argument reprend les propriétés fondamentales du cup-produit dans l’esprit de la démonstration de l’inégalité (V.9).

Plus précisemment, supposons que l’espace des hypersurfaces minimales plongées se réduit à un nombre fini de surfaces $\Sigma_{1}\cdots\Sigma_{N}$.

On démontre dans un premier temps sans trop de difficultés qu’il existe $\varepsilon>0$ tel qu’aucune application $\Xi$ d’un complexe simplicial de dimension fini arbitraire $Z$ à valeur dans l’union des boules $B_{\varepsilon}^{\mathcal{F}}(\Sigma_{i})$ ne réalise un balayage de $M^{m}$. Cela signifie en d’autre termes que pour un tel $\Xi$ on a nécéssairement $\Xi^{\ast}\alpha=0$.

À tout $(k+1)-$balayage $\Psi\ :\ X\longrightarrow{\mathcal{M}}:=Z^{0}_{m-1}(M^{m},{\mathbb{Z}}_{2})$ on associe l’ensemble

[TABLE]

On démontre dans un premier temps que $\Psi\ :\ Y\rightarrow{\mathcal{M}}$ réalise un $k-$balayage. En effet, si tel n’était pas le cas, on aurait $\iota_{Y}^{\ast}(\Phi^{\ast}\alpha^{k}))=0$ où $\iota_{Y}$ est l’inclusion canonique de $Y$ dans $X$. La suite exacte en cohomologie

[TABLE]

donne alors l’existence de $\beta\in H^{k}(X,Y;{\mathbb{Z}}_{2})$ tel que $j_{Y}^{\ast}\beta=\Phi^{\ast}\alpha^{k}$. Le nombre $\epsilon>0$ a été choisi de façon à ce que $\iota_{X\setminus Y}^{\ast}\Phi^{\ast}\alpha=0$. La suite exacte de cohomologie suivante

[TABLE]

donne l’existence de $\gamma\in H^{1}(X,X\setminus Y;{\mathbb{Z}}_{2})$ tel que $j_{X\setminus Y}^{\ast}\gamma=\Phi^{\ast}\alpha$. La propriété fondamentale sur le cup produit relatif donne alors

[TABLE]

Si on applique (V.11) à $A=Y$, $B=X\setminus Y$, $a=\beta$ et $b=\gamma$ on obtient

[TABLE]

ce qui contredit le fait que $\Phi$ est un $k+1-$balayage. On en déduit que la restriction de $\Phi$ à $Y$ est un $k-$balayage et donc par hypothèse

[TABLE]

Les arguments variationnels de type minmax de la théorie de Almgren-Pitts-Marques-Neves construits à partir des restrictions de $\Phi$ aux sous simplexes $Y$ (voir [43] page 605) permettent alors de mettre en évidence une surface minimale plongée en dehors des boules $B_{\varepsilon}^{\mathcal{F}}(\Sigma_{i})$, ce qui est une contradiction.

VIII La preuve de Song.

La dernière partie de cet exposé est consacrée à la démonstration de la conjecture de Yau (dans sa version “forte” avec des plongements et non pas des immersions) en dimension inférieure ou égale à $7$ par Antoine Song. Précisemment nous allons démontrer le résultat suivant.

{theo}

[60] Soit $(M^{m},g)$ une variété riemannienne fermée quelconque de dimension $3\leq m\leq 7$, alors $(M^{m},g)$ possède une infinité d’hypersurfaces minimales plongées fermées et géométriquement distinctes. $\Box$

Le reste de cette section est consacré à la description de la preuve donnée par Song.

Si la propriété de Frankel est vérifiée alors le théorème VII donne le résultat. Nous supposons donc que la propriété de Frankel n’est pas vérifiée et, par l’absurde, que $M^{m}$ ne contient qu’un nombre fini d’hypersurfaces minimales plongées.

L’idée principale consiste dans un premier temps à “extraire” de $M^{m}$ un ouvert $U$ non vide, appelé le coeur, bordé par des hypersurfaces minimales localement minimisantes dans $U$, et dans lequel les deux éléments de toute paire de surfaces minimales plongées, et sans bord dans $\overline{U}$, doivent s’intersecter. Cet ouvert $U$ va être obtenu par une procédure récurrente suivante.

Pour simplifier la présentation nous supposons que les hypersurfaces minimales plongées de $M^{m}$ (qui sont en nombre fini par hypothèse) ont toutes deux faces484848On peut toujours se ramener à cette situation en travaillant avec un revètement double de $M^{m}$. dans $M^{m}$ et sont donc orientables.

On démontre au moyen du théorème des fonctions implicites494949Un résultat s’approchant de cette affirmation est explicitement démontré dans [40]. que chaque hypersurface minimale plongée et fermée de $M^{m}$ appartient à l’une des trois catégories suivantes (fig. 4) :

Surfaces à voisinage contractant. Ce sont les surfaces $S$ qui possèdent un voisinage équipé d’un feuillage régulier de codimension 1 contenant la surface et auquel est associé un champs de vecteur courbure moyenne $\vec{H}$ pointant505050Il est important de rappeler à ce stade que

$\delta\mbox{Aire}_{S}\,\vec{w}:=-\int_{S}\vec{H}\cdot\vec{w}\ dvol_{S}$

C’est à dire que le champs de vecteur moyenne sur une surface est l’opposé du “gradient” de l’aire. Traditionellement, en théorie de mesure géométrique, la courbure moyenne est la somme des courbures principales sans que cette somme soit divisée par le nombre $m-1$ de directions. Cela rompt malheureusement avec la convention des géomètres introduite dans l’article de Jean-Baptiste Meusnier de 1776 ! vers $S$.

• -

Surfaces à voisinage dilatant. Ce sont les surfaces $S$ qui possèdent un voisinage équipé d’un feuillage régulier de cdimension 1 contenant la surface et auquel est associé un champs de vecteur courbure moyenne pointant vers l’extérieur de $S$.

• -

Surfaces à voisinage mixte. Ce sont les surfaces $S$ orientables qui possèdent un voisinage équipé d’un feuillage régulier de codimension 1 contenant la surface et auquel est associé un champs de vecteur courbure moyenne pointant vers l’extérieur de $S$ d’un côté de $S$ et pointant vers $S$ de l’autre côté.

\psfrag{0}{$0$}\psfrag{1}{$1$}\psfrag{z}{z'{e}ros de $x$}\psfrag{RZ}{${\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2}$}\psfrag{Mult}{Multiplicit'{e} ${\mathbb{Z}}_{2}$}\psfrag{psi}{$\psi_{3}(x)$}\psfrag{x}{$x\rightarrow x+\delta x$}\psfrag{ay}{$a_{3}\,Y^{3}+a_{2}\,Y^{2}+a_{1}\,Y+a_{0}/{\mathbb{R}}^{*}_{+}=x\in\underset{\stackrel{{{}^{\parallel}\;\,}}{{\!\!X_{3}}}}{{\mathbb{R}}{\mathbb{P}}^{3}}$}\psfrag{S1}{$\Sigma_{1}$}\psfrag{S2}{$\Sigma_{2}$}\psfrag{S3}{$\Sigma_{3}$}\psfrag{S4}{$\Sigma_{4}$}\psfrag{d}{dilatant}\psfrag{c}{contractant}\psfrag{m}{mixte}\includegraphics[width=341.43306pt]{bourbaki-fig3.eps}

Fig. 4:   Les 3 familles de surfaces minimales

{rema}

Il est important pour la suite de remarquer à ce stade que toute surface minimale plongée fermée à voisinage dilatant ou mixte ne peut être localement minimisante pour l’aire.

La construction par récurrence du coeur515151Le coeur à priori n’est pas unique et va dépendre de choix faits au fur et à mesure de la procédure. démarre ainsi. Soient $\Sigma_{1}$ et $\Sigma_{2}$ deux surfaces minimales plongées et fermées de $M^{m}$ ne s’intersectant pas. Il se présente alors quatre possibilités

1ère possibilité. Si l’une des deux surfaces, par exemple $\Sigma_{1}$, est à voisinage contractant alors on découpe $M^{m}$ suivant $\Sigma_{1}$. Soit $U_{1}$ une composante525252Il peut y en avoir une ou deux. connexe arbitraire de $M^{m}\setminus\Sigma_{1}$.

\psfrag{0}{$0$}\psfrag{1}{$1$}\psfrag{z}{z'{e}ros de $x$}\psfrag{RZ}{${\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2}$}\psfrag{Mult}{Multiplicit'{e} ${\mathbb{Z}}_{2}$}\psfrag{psi}{$\psi_{3}(x)$}\psfrag{x}{$x\rightarrow x+\delta x$}\psfrag{ay}{$a_{3}\,Y^{3}+a_{2}\,Y^{2}+a_{1}\,Y+a_{0}/{\mathbb{R}}^{*}_{+}=x\in\underset{\stackrel{{{}^{\parallel}\;\,}}{{\!\!X_{3}}}}{{\mathbb{R}}{\mathbb{P}}^{3}}$}\psfrag{S1}{$\Sigma_{1}$}\psfrag{S2}{$\Sigma_{2}$}\psfrag{c}{contractant}\psfrag{U1}{$U_{1}$}\includegraphics[width=227.62204pt]{bourbaki-fig4.eps}

Fig. 5:   La construction du coeur : 1ère possibilité.

2ème possibilité. Si une des deux surfaces, par exemple $\Sigma_{1}$, est à voisinage mixte et si $M^{m}\setminus\Sigma_{1}$ a deux composantes connexes alors on choisit $U_{1}$ comme étant la composante contractante c’est à dire qui contient le voisinage de $\Sigma_{1}$ avec le feuilletage dont le champs de courbure moyenne associé pointe vers $\Sigma_{1}$.

\psfrag{0}{$0$}\psfrag{1}{$1$}\psfrag{z}{z'{e}ros de $x$}\psfrag{RZ}{${\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2}$}\psfrag{Mult}{Multiplicit'{e} ${\mathbb{Z}}_{2}$}\psfrag{psi}{$\psi_{3}(x)$}\psfrag{x}{$x\rightarrow x+\delta x$}\psfrag{ay}{$a_{3}\,Y^{3}+a_{2}\,Y^{2}+a_{1}\,Y+a_{0}/{\mathbb{R}}^{*}_{+}=x\in\underset{\stackrel{{{}^{\parallel}\;\,}}{{\!\!X_{3}}}}{{\mathbb{R}}{\mathbb{P}}^{3}}$}\psfrag{S1m}{$\Sigma_{1}$ mixte}\psfrag{S2}{$\Sigma_{2}$}\psfrag{c}{contractant}\psfrag{U1}{$U_{1}$}\includegraphics[width=156.49014pt]{bourbaki-fig5.eps}

Fig. 6:   La construction du coeur : 2ème possibilité.

3ème possibilité. Si une des deux surfaces, par exemple $\Sigma_{1}$ n’est pas “séparante” c’est à dire que $M^{m}\setminus\Sigma_{1}$ a une seule composante connexe alors la classe dans $H_{m-1}(M^{m};{\mathbb{Z}})$ définit par $\Sigma_{1}$ est non nulle. La minimisation de l’aire dans cette classe et le théorème IV donne une surface minimale $S$ plongée fermée et nécessairement à voisinage contractant. On choisit alors $U_{1}:=M^{m}\setminus S$.

\psfrag{0}{$0$}\psfrag{1}{$1$}\psfrag{z}{z'{e}ros de $x$}\psfrag{RZ}{${\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2}$}\psfrag{Mult}{Multiplicit'{e} ${\mathbb{Z}}_{2}$}\psfrag{psi}{$\psi_{3}(x)$}\psfrag{x}{$x\rightarrow x+\delta x$}\psfrag{ay}{$a_{3}\,Y^{3}+a_{2}\,Y^{2}+a_{1}\,Y+a_{0}/{\mathbb{R}}^{*}_{+}=x\in\underset{\stackrel{{{}^{\parallel}\;\,}}{{\!\!X_{3}}}}{{\mathbb{R}}{\mathbb{P}}^{3}}$}\psfrag{S1m}{$\Sigma_{1}$ mixte}\psfrag{S2}{$\Sigma_{2}$}\psfrag{S}{$\Sigma$}\psfrag{c}{contractant}\psfrag{U1}{$U_{1}$}\includegraphics[width=156.49014pt]{bourbakifig6.eps}

Fig. 7:   La construction du coeur : 3ème possibilité.

4ème possibilité. Si les deux surfaces sont à voisinage dilatant, alors on introduit la variété à bord $N^{m}:=M^{m}\setminus\Sigma_{1}\cup\Sigma_{2}$. Comme $M^{m}$ est connexe il existe une composante connexe $N^{n}_{1}$ de $N^{n}$ dont le bord contient à la fois une copie de $\Sigma_{1}$ et une copie de $\Sigma_{2}$. Dans cette composante on minimise l’aire dans la classe d’homologie de $\Sigma_{1}$. Cette classe d’homologie ne peut pas être nulle dans $H_{m-1}(N^{m};{\mathbb{Z}})$ car cette classe est donnée par une union de composantes connexes de $\partial N^{m}_{1}$ non égale à la totalité du bord $\partial N^{n}_{1}$. Le théorème IV combiné avec le principe du maximum fort de White ([64] page 420) sur les varifolds d’aire minimale donne l’existence d’une hypersurface $\Sigma$ de $N^{m}_{1}$ minimale plongée $S$ et fermée réalisant cette classe. Le résultat de White donne en particulier que chaque composante connexe de $\Sigma$ est soit totalement incluse dans $\partial N^{m}_{1}$ soit disjointe de $\partial N^{m}_{1}$. Comme ni $\Sigma_{1}$ ni $\Sigma_{2}$ n’est localement un minimum de l’aire dans $N^{n}$, la surface $\Sigma$ ne peut être complètement incluse dans $\partial N^{m}_{1}$. Il existe donc une composante connexe $\tilde{\Sigma}$ de $\Sigma$ de voisinage contractant strictement incluse dans $N^{m}_{1}$. On définit alors $U_{1}$ comme étant une composante connexe de $N^{n}\setminus\tilde{\Sigma}$.

\psfrag{0}{$0$}\psfrag{1}{$1$}\psfrag{z}{z'{e}ros de $x$}\psfrag{RZ}{${\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2}$}\psfrag{Mult}{Multiplicit'{e} ${\mathbb{Z}}_{2}$}\psfrag{psi}{$\psi_{3}(x)$}\psfrag{x}{$x\rightarrow x+\delta x$}\psfrag{ay}{$a_{3}\,Y^{3}+a_{2}\,Y^{2}+a_{1}\,Y+a_{0}/{\mathbb{R}}^{*}_{+}=x\in\underset{\stackrel{{{}^{\parallel}\;\,}}{{\!\!X_{3}}}}{{\mathbb{R}}{\mathbb{P}}^{3}}$}\psfrag{S1}{$\Sigma_{1}$}\psfrag{S2}{$\Sigma_{2}$}\psfrag{wS}{$\widetilde{\Sigma}$}\psfrag{c}{contractant}\psfrag{U}{$U$}\includegraphics[width=227.62204pt]{bourbaki-fig7.eps}

Fig. 8 :   La construction du coeur : 4ème possibilité.

Remplaçons maintenant $M^{m}$ par un ouvert arbitraire $U$ pour lequel chaque composante du bord est une surface minimale plongée fermée à voisinage contractant. Si $U$ ne vérifie pas la propriété de Frankel alors dans chacun des quatre cas ci-dessus on produit un nouvel ouvert $\tilde{U}$ strictement inclus dans $U$ et dont chaque composante est une surface minimale à bord de voisinage contractant La procédure s’itère sans problème et on produit une suite décroissante $U_{k}$ de sous ouverts de $M^{m}$ dont chaque composante du bord est une surface minimale plongée fermée de voisinage contractant. Chacune des étape “consomme” une nouvelle surface minimale plongée et fermée de $M^{m}$, et comme nous supposons qu’il n’en existe qu’un nombre fini nous avons établi le résulat suivant.

Proposition 2**.**

Soit $(M^{m},g)$ une variété riemannienne fermée quelconque de dimension $3\leq m\leq 7$, si $(M^{m},g)$ ne possède qu’un nombre fini d’hypersurfaces minimales plongées fermées et géométriquement distinctes alors il existe un ouvert $U$ non vide de $M^{m}$ tel que les composantes connexes de $\partial U$ sont toutes des surfaces minimales plongées fermées de $M^{m}$ et à voisinage contractant dans $U$. Toutes les surfaces minimales plongées et fermées dans l’ouvert $U$ ont un voisinage dilatant. Par ailleurs, $U$ vérifie la propriété de Frankel. Un tel ouvert s’appelle un coeur de $M^{m}$.

On démontre sans trop d’efforts, en utilisant des arguments semblables à ceux utilisés pour établir la proposition précédente, le lemme suivant. {lemm}

Soit $U$ un coeur de $M^{m}$ et $(\Sigma_{i})_{i=1\cdots n}$ les composantes connexes du bord de $U$. Alors pour toute hypersurface minimale $\Sigma$ à deux faces de $U$ on a

[TABLE]

Pour toute hypersurface à une face on a

[TABLE]

Afin de compléter la variété à bord réalisée par un coeur donné $U$ on adjoint des cylindres infinis $\Sigma_{i}\times[0,+\infty)$ équipés de la métrique produit $g_{i}+dt^{2}$ où $\Sigma_{i}$ sont les composantes connexes du bord de $U$ et $g_{i}$ la métrique induite par $g$ sur chacune de ces composantes (fig. 9). La variété riemannienne complète à bouts cylindriques obtenue est notée $({\mathcal{U}},h)$. Il est important de remarquer à ce stade que la métrique $h$ n’est a-priori que Lipschitzienne.

\psfrag{0}{$0$}\psfrag{1}{$1$}\psfrag{z}{z'{e}ros de $x$}\psfrag{RZ}{${\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2}$}\psfrag{Mult}{Multiplicit'{e} ${\mathbb{Z}}_{2}$}\psfrag{psi}{$\psi_{3}(x)$}\psfrag{x}{$x\rightarrow x+\delta x$}\psfrag{ay}{$a_{3}\,Y^{3}+a_{2}\,Y^{2}+a_{1}\,Y+a_{0}/{\mathbb{R}}^{*}_{+}=x\in\underset{\stackrel{{{}^{\parallel}\;\,}}{{\!\!X_{3}}}}{{\mathbb{R}}{\mathbb{P}}^{3}}$}\psfrag{S1R}{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}$\Sigma_{1}\times{\mathbb{R}}_{+}$}}\psfrag{S2R}{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}$\Sigma_{2}\times{\mathbb{R}}_{+}$}}\psfrag{US}{$\partial U=\bigsqcup\Sigma_{i}$}\psfrag{S1}{$\Sigma_{1}$}\psfrag{S2}{$\Sigma_{2}$}\psfrag{cU}{le coeur $U$}\includegraphics[width=284.52756pt]{bourbaki-fig8.eps}

${\mathcal{U}}=$ le coeur $U\;\cup$ les cylindres $\Sigma_{i}\times{\mathbb{R}}_{+}$

Fig. 9:   La complétude du coeur par des cylindres.

Bien que $({\mathcal{U}},h)$ soit non compacte on peut néanmois définir son spectre volumique $(\lambda_{k}(\mathcal{U}))_{k\in{\mathbb{N}}}$. Pour définir $\lambda_{k}(\mathcal{U})$ on observe que pour toute paire $B\subset A$ de sous-ouverts à fermeture compacte et à bord régulier on a535353La restriction à $B$ d’un balayage de $A$ est un balayage de $B$ (modulo le fait que l’opération de restriction n’envoie pas nécessairement $Z_{m-1,rel}(A,\partial A;{\mathbb{Z}}_{2})$ sur $Z_{m-1,rel}(B,\partial B;{\mathbb{Z}}_{2})$ mais seulement $Z_{m-1}(A,\partial A;{\mathbb{Z}}_{2})$ sur $Z_{m-1}(B,\partial B;{\mathbb{Z}}_{2})$. Cette difficulté peut être résolue à l’aide du lemme 2.15 de [42] à condition que le bord de $B$ soit suffisamment régulier. Nous ignorons ce point technique dans les lignes ci-dessous). Si $j$ est l’opérateur canonique de restriction des chaines de $A$ à $B$ , $j\ :Z_{m-1,rel}(A,\partial A;{\mathbb{Z}}_{2})\rightarrow Z_{m-1,rel}(B,\partial B;{\mathbb{Z}}_{2})$, on a donc $j^{\ast}\lambda_{B}=\lambda_{A}$. Si $\Psi$ est un $k-$balayage de $A$ on a donc $0\neq\Psi^{\ast}\lambda_{A}^{k}=\Psi^{\ast}j^{\ast}\lambda_{B}^{k}$ par ailleurs

$\max_{x\in X}{\mathbf{M}}(j\circ\Psi(x))=\max_{x\in X}{\mathbf{M}}(\Psi(x)\cap B)\leq\max_{x\in X}{\mathbf{M}}(\Psi(x))$

ce qui donne (VIII.16).

[TABLE]

Pour toute suite croissante d’ouverts à fermeture compacte et bords réguliers $K_{1}\subset K_{2}\cdots$ telle que $\cup_{i\in{\mathbb{N}}}K_{i}={\mathcal{U}}$ on définit

[TABLE]

On vérifie sans trop d’efforts que cette limite est finie et est indépendante du choix de la suite $K_{i}$. La prochaine étape de l’argument consiste à établir le résultat suivant. {lemm} Soit $U$ un coeur d’une variété riemannienne $(M^{m},g)$ et soit ${\mathcal{U}}$ la variété riemannienne complète obtenue à partir de $U$ en ajoutant des bouts cylindriques $\partial U\times{\mathbb{R}}_{+}^{\ast}$ équipés de la métrique produit.

Soit $\Sigma_{1}$ la composante connexe de $\partial U$ de volume maximal. On a d’une part pour tout $k=1,2,3\cdots$

[TABLE]

Par ailleurs, il existe $C({\mathcal{U}})>0$ telle que pour tout $k=1,2,3\cdots$

[TABLE]

$\Box$

{rema}

Il est intéressant d’observer que la croissance linéaire du spectre volumique du coeur, étendu par des bouts cylindriques infinis, et donnée par (VIII.18) contraste avec la croissance sous-linéaire (V.8) du coeur lui même ou de la variété fermée $(M^{m},g)$ dont il est issu. $\Box$

La preuve du lemme VIII.18 peut se comprendre ainsi. Tout d’abord, il n’est pas difficile de se convaincre intuitivement (voir les arguments complets dans [60]) que la première largeur de Gromov, c’est à dire l’aire maximale d’un balayage, d’un cylindre suffisament long est donnée par sa section. On a donc l’existence de $R_{0}$ tel que pour tout $R\geq R_{0}$

[TABLE]

Soit $p$ un point de ${\mathcal{U}}$. Pour tout $\varepsilon$ et $R$ suffisamment grand $\lambda_{k}(B_{R}(p))\geq\lambda_{k}({\mathcal{U}})-\varepsilon$, où $B_{R}(p)$ est la boule géodésique de centre $p$ et de rayon $R$. On choisit $\rho$ assez grand tel que $B_{R}(p)\cap\Sigma_{1}\times[\rho,\rho+R]=\emptyset$. Les propriétés fondamentales du cup produit donnent de façon analogue à la démonstration de (V.9) (fig.10)

[TABLE]

On en déduit (VIII.17). L’inégalité (VIII.16) et la définition du spectre volumique de ${\mathcal{U}}$ donnent par ailleurs

[TABLE]

En combinant cette dernière inégalité avec (VIII.17) on obtient la minoration annoncée de $\lambda_{k}({\mathcal{U}})$ dans (VIII.18).

\psfrag{0}{$0$}\psfrag{1}{$1$}\psfrag{z}{z'{e}ros de $x$}\psfrag{RZ}{${\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2}$}\psfrag{Mult}{Multiplicit'{e} ${\mathbb{Z}}_{2}$}\psfrag{psi}{$\psi_{3}(x)$}\psfrag{x}{$x\rightarrow x+\delta x$}\psfrag{ay}{$a_{3}\,Y^{3}+a_{2}\,Y^{2}+a_{1}\,Y+a_{0}/{\mathbb{R}}^{*}_{+}=x\in\underset{\stackrel{{{}^{\parallel}\;\,}}{{\!\!X_{3}}}}{{\mathbb{R}}{\mathbb{P}}^{3}}$}\psfrag{S1R}{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}$\Sigma_{1}\times{\mathbb{R}}_{+}$}}\psfrag{S2R}{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}$\Sigma_{2}\times{\mathbb{R}}_{+}$}}\psfrag{US}{$\partial U=\bigsqcup\Sigma_{i}$}\psfrag{S1}{$\Sigma_{1}$}\psfrag{S2}{$\Sigma_{2}$}\psfrag{cU}{le coeur $U$}\psfrag{BR}{{\color[rgb]{0,1,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,1,0}$B_{R}(p)$}}\psfrag{S1x}{{\color[rgb]{0,1,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,1,0}$\Sigma_{1}\times[p;p+R_{0}]$}}\psfrag{xp}{{\color[rgb]{0,1,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,1,0}$x_{p}$}}\includegraphics[width=369.88582pt]{bourbaki-fig9.eps}

\lambda_{1}\big{(}\Sigma_{1}\times[p;p+R_{0}]\big{)}+\lambda_{k}\big{(}B_{R}(p)\big{)}\leq\lambda_{k+1}({\mathcal{U}})

Fig. 10:   La minoration du spectre volumique

La majoration est obtenue en “recollant” un $k-$balayage de l’union des cylindres $\partial U\times{\mathbb{R}}_{+}^{\ast}$ qui contribue à $k\times\mbox{Vol}(\Sigma_{1})$ avec un $k-$balayage du coeur donné par (V.8) et dont le coût est contrôlé par $C\ k^{1/(m+1)}$. Ce recollement de $k-$balayage n’est pas aisé et requiert une technique introduite dans [42]. On obtient la majoration annoncée de $\lambda_{k}({\mathcal{U}})$ dans (VIII.18).

On aborde maintenant la partie la plus délicate de la preuve. Il s’agit de démontrer que chaque valeur du spectre de ${\mathcal{U}}$ est réalisée par une surface minimale plongée incluse dans l’intérieur de $U$ et équipée d’une multiplicité entière. Précisemment Antoine Song établit le résultat suivant. {lemm}

Soit $(\lambda_{k}({\mathcal{U}}))_{k\in{\mathbb{N}}^{\ast}}$ le spectre volumique de la complétude cylindrique d’un coeur $U$ d’une variété riemannienne $(M^{m},g)$, alors, pour tout $k=1,2,3\cdots$ il existe une surface minimale plongée fermée $S_{k}$ de $U$, incluse dans $U\setminus\partial U$, et une multiplicité $m_{k}\in{\mathbb{N}}^{\ast}$ tels que

[TABLE]

$\Box$

Le shéma de la preuve est assez simple. Pour une suite d’ouverts à fermeture compacte bien choisis de ${\mathcal{U}}$ et convergeants vers ${\mathcal{U}}$ on effectue une opération de minmax sur chacun d’entre eux afin de mettre en évidence des surfaces minimales réalisants leurs spectres volumiques. Puis on passe à la limite sur ces surfaces minimales.

Avant même de se poser la question du passage à la limite et pourquoi les surfaces limites sont nécessairement incluses dans l’intérieur de $U$, tel que l’annonce le théorème, on doit constater que les opérations de minmax envisagées sortent du cadre habituel du théorème 26 d’Almgren et Pitts et cela pour deux raisons : 1) les ouverts définissants le spectre ont des bords 2) la métrique $h$ équipant ${\mathcal{U}}$ n’est que Lipschitz sur ces ouverts et donc pas suffisament régulière pour pouvoir se reposer sur la théorie classique.

On modifie alors la métrique $h$ de ${\mathcal{U}}$ dans un voisinage contenant strictement $\partial U\times{\mathbb{R}}_{+}^{\ast}$ de la façon suivante. Comme chaque composante de $\partial U$ est une surface minimale contractante on peut modifier $h$ en une métrique régulière $h_{\varepsilon}$, convergeant en norme $C^{l}_{loc}({\mathcal{U}}\setminus\partial U)$ pour tout $l\in{\mathbb{N}}$, et tel qu’un voisinage de chaque cylindre $\partial\Sigma_{i}\times{\mathbb{R}}_{+}^{\ast}$ possède un feuilletage régulier dont le champs de vecteur courbure moyenne pointe vers l’infini du cylindre (un tel feuilletage est appelé convexe en moyenne)545454En particulier les surfaces $\Sigma_{i}$ ne peuvent plus être minimale pour $h_{\varepsilon}$ à cause du principe du maximum.. On approche par ailleurs $({\mathcal{U}},h_{\varepsilon})$ par une suite d’ouverts $({\mathcal{U}}_{\varepsilon},h_{\varepsilon})$ à fermeture compacte et de bords réguliers en tronquant simplement les cylindres le longs de feuilles de plus en plus éloignées du coeur (figure 11).

\psfrag{0}{$0$}\psfrag{1}{$1$}\psfrag{z}{z'{e}ros de $x$}\psfrag{RZ}{${\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2}$}\psfrag{Mult}{Multiplicit'{e} ${\mathbb{Z}}_{2}$}\psfrag{psi}{$\psi_{3}(x)$}\psfrag{x}{$x\rightarrow x+\delta x$}\psfrag{ay}{$a_{3}\,Y^{3}+a_{2}\,Y^{2}+a_{1}\,Y+a_{0}/{\mathbb{R}}^{*}_{+}=x\in\underset{\stackrel{{{}^{\parallel}\;\,}}{{\!\!X_{3}}}}{{\mathbb{R}}{\mathbb{P}}^{3}}$}\psfrag{S1R+}{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}$\simeq\Sigma_{1}\times[0,\varepsilon^{-1})$}}\psfrag{S2R+}{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}$\simeq\Sigma_{2}\times[0,\varepsilon^{-1})$}}\psfrag{lc}{le coeur}\psfrag{U}{$U$}\psfrag{Uh}{$({\mathcal{U}}_{\varepsilon},h_{\varepsilon})$}\psfrag{feuilletage}{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}Le feuilletage convexe en moyenne des voisinages des cylindres}}\includegraphics[width=284.52756pt]{bourbaki-fig10.eps}

Fig. 11:   La métrique approximée de la complétude du coeur.

Un résultat - non encore publié - de Martin Li et Xin Zhou [41] permet d’étendre la théorie d’Almgren-Pitts-Marques-Neves au cas des variétés compactes à bord. D’après ce travail technique et difficile il existe donc pour tout $k$ et tout $\epsilon>0$ une famille finie de surfaces $\{S_{1}^{\,\varepsilon,k}\cdots S_{n_{\varepsilon,k}}^{\,\varepsilon,k}\}$ compactes plongées de $({\mathcal{U}}_{\varepsilon},h_{\varepsilon})$ qui sont minimales dans l’intérieur de ${\mathcal{U}}_{\varepsilon}$ et à bord libre555555Les surfaces minimales plongées à bord libre sont des surfaces minimales compactes $\Sigma$ de $({\mathcal{U}}_{\varepsilon},h_{\varepsilon})$, telles que $\partial\Sigma\subset\partial{\mathcal{U}}_{\varepsilon}$, qui sont continuement différentiables jusqu’au bord et dont le vecteur normal au plan limite tangent au bord est contenu dans $\partial{\mathcal{U}}_{\varepsilon}$. ainsi qu’une famille d’entiers non nuls $m_{i}^{\varepsilon,k}$ tels que

[TABLE]

Nous démontrons maintenant que pour tout entier $k$ et tout nombre strictement positif $\varepsilon$ suffisamment petit, toutes les surfaces $S_{i}^{\,\varepsilon}(k)$ sont incluses dans un compact, dépendant de $k$ mais indépendant de $\epsilon$. Supposons dans un premier temps qu’une surface $S_{i}^{\,\varepsilon}(k)$ possède une composante connexe $\tilde{S}$ strictement incluse dans un cylindre. Il existe donc une feuille du feuilletage la plus proche du coeur et tangente à $\tilde{S}$. Cette feuille a le vecteur courbure moyenne pointant vers l’infini du cylindre et donc vers le côté où $\tilde{S}$ se trouve. Une application directe du principe du maximum apporte une contradiction. On en déduit que toute composante connexe $\tilde{S}$ de $S_{i}^{\,\varepsilon}(k)$ doit intersecter le coeur (fig. 12).

\psfrag{0}{$0$}\psfrag{1}{$1$}\psfrag{z}{z'{e}ros de $x$}\psfrag{RZ}{${\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2}$}\psfrag{Mult}{Multiplicit'{e} ${\mathbb{Z}}_{2}$}\psfrag{psi}{$\psi_{3}(x)$}\psfrag{x}{$x\rightarrow x+\delta x$}\psfrag{ay}{$a_{3}\,Y^{3}+a_{2}\,Y^{2}+a_{1}\,Y+a_{0}/{\mathbb{R}}^{*}_{+}=x\in\underset{\stackrel{{{}^{\parallel}\;\,}}{{\!\!X_{3}}}}{{\mathbb{R}}{\mathbb{P}}^{3}}$}\psfrag{Sk}{$S^{\varepsilon}_{i}(k)$}\psfrag{lc}{le coeur}\psfrag{U}{$U$}\psfrag{tmin}{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}$t_{\min}$}}\psfrag{possible}{{\color[rgb]{0,1,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,1,0}possible}}\psfrag{impossible}{{\color[rgb]{0,1,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,1,0}impossible}}\includegraphics[width=341.43306pt]{bourbaki-fig11.eps}

Fig. 12:   Le feuilletage convexe en moyenne agissant comme “barrière”

Si un point d’une telle composante connexe $\tilde{S}$ est éloigné d’une distance $L$ du coeur et possède un point $p\in\partial\Sigma_{i}\times\{L\}$ , de la formule de monotonie sur les surfaces minimales565656La formule de monotonie pour les hypersurfaces minimales dans l’espace espace euclidien ${\mathbb{R}}^{m}$ par exemple affirme que pour toute surface minimale fermée $S$ et pour tout point $p$ de ${\mathbb{R}}^{m}$ la fonction

$r\ \longrightarrow\ \frac{\mbox{Vol}(S\cap B^{m}_{r}(p))}{r^{m-1}}$

est croissante, où $B^{m}_{r}(p)$ est la boule euclidienne de centre $p$ et de rayon $r>0$ ([57]). Si donc $p$ est un point de $S$, comme la limite en zéro de cette fonction est égale au volume de $B^{m-1}_{1}(0)$ cést à dire à $\pi^{(m-1)/2}/\Gamma((m+1)/2)$. On obtient la minoration

$\mbox{Vol}(S\cap B^{m}_{r}(p))\geq\frac{\pi^{(m-1)/2}}{\Gamma((m+1)/2)}\ r^{m-1}\quad.$

Modulo une modification des constantes, une telle minoration est aussi valable pour $r\leq 1$ dans une variété riemannienne fermée donnée ou encore dans une variété riemannienne complète dont la géométrie est bornée comme les cylindres $\Sigma_{i}\times{\mathbb{R}}$. C’est cette minoration qui est responsable du confinement de $S^{\varepsilon}_{i}(k)$ et qui exclut la possibilité pour l’hypersurface $\tilde{S}$ de s’étendre hors d’un compact dans les cylindres (voir fig. 13). on déduit que sur chaque segment ${\partial\Sigma_{i}}\times[n,n+1]$ l’aire de $\tilde{S}$ est au moins égale à une constante $C>0$ ne dépendant que de $\Sigma_{i}$. Donc, on a

[TABLE]

où $C>0$ ne dépend que de $U$. Comme $\mbox{Vol}(\tilde{S})\leq\lambda_{k}({\mathcal{U}}_{\varepsilon})$ on peut déduire l’inégalité suivante

[TABLE]

Donc, les surfaces $S_{i}^{\,\varepsilon}(k)$ sont incluses dans un compact, dépendant de $k$ mais indépendant de $\epsilon$ (fig. 13).

\psfrag{0}{$0$}\psfrag{1}{$1$}\psfrag{z}{z'{e}ros de $x$}\psfrag{RZ}{${\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2}$}\psfrag{Mult}{Multiplicit'{e} ${\mathbb{Z}}_{2}$}\psfrag{psi}{$\psi_{3}(x)$}\psfrag{x}{$x\rightarrow x+\delta x$}\psfrag{ay}{$a_{3}\,Y^{3}+a_{2}\,Y^{2}+a_{1}\,Y+a_{0}/{\mathbb{R}}^{*}_{+}=x\in\underset{\stackrel{{{}^{\parallel}\;\,}}{{\!\!X_{3}}}}{{\mathbb{R}}{\mathbb{P}}^{3}}$}\psfrag{Sk}{$S^{\varepsilon}_{i}(k)$}\psfrag{lc}{le coeur}\psfrag{U}{$U$}\psfrag{impossible}{{\color[rgb]{0,1,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,1,0}impossible}}\includegraphics[width=341.43306pt]{bourbaki-fig12.eps}

Fig. 13:   Le confinement des hypersurfaces minimales près du coeur

Dans [44] F.C. Marques et A. Neves démontrent - dans le cas des variétés fermées - que le spectre volumique est effectivement réalisé par une famille de surfaces minimales $S_{i}^{\,\varepsilon}(k)$ satisfaisant

[TABLE]

On peut alors invoquer le résultat de compacité de Ben Sharp [56] et passer à la limite dans les familles de varifolds ${\mathbf{v}}^{\varepsilon}(k)$ données par les sommes des mesures de Radons portées par les surfaces $S_{i}^{\,\varepsilon}(k)$ pour les multiplicités $m_{i}^{\varepsilon}(k)$. La limite est le varifold ${\mathbf{v}}_{k}$ donné par une hypersurface $S_{k}$ minimale plongée régulière en dehors du bord575757Le résultat de Sharp ne peut s’appliquer qu’en dehors de $\partial U$ là où la métrique $h_{\varepsilon}$ converge fortement vers $h$ dans toutes les normes $C^{l}$ pour $l\in{\mathbb{N}}$ $\partial U$ et affectée de multiplicités entière régulière en dehors de $\partial U$. Cette surface $S_{k}$ ne peut intersécter l’intérieur des cylindres $\partial\Sigma_{i}\times{\mathbb{R}}^{\ast}_{+}$. En effet ceux-ci sont feuilletés par les surfaces minimales $\partial\Sigma_{i}\times\{t\}$ et en choisissant, pour un cylindre donné, le $t=t_{max}$ maximal d’intersection avec $S_{k}$, le principe du maximum de White [64] impose qu’une composante connexe de $S_{k}$ doit être égale à $\partial\Sigma_{i}\times\{t_{max}\}$. Cette dernière affirmation contredit le fait qu’à $\varepsilon>0$ fixé, toute composante connexe des surfaces $S_{i}^{\,\varepsilon}(k)$ doive intersecter le coeur. En effet, la formule de monotonie précédemment utilisée impose qu’à $\varepsilon>0$ toute portion du cylindre entre $t=0$ et $t=t_{max}$ contient une quantité de volume au moins proportionnel à la longueur de cette portion, indépendamment de $\varepsilon$. À cause de la nature de la convergence585858Il s’agit d’une convergence pour les varifolds et donc en mesure de Radon pour laquelle la masse passe à la limite., ce volume n’a pu s’évanouir dans la section $\partial\Sigma_{i}\times(0,t_{max})$.

On a donc $S_{k}\subset\overline{U}$ et cette hypersurface réa lise une hypersurface minimale plongée dans sa partie interséctant l’intérieur de $U$.

\psfrag{0}{$0$}\psfrag{1}{$1$}\psfrag{z}{z'{e}ros de $x$}\psfrag{RZ}{${\mathbb{R}}^{2}/{\mathbb{Z}}^{2}$}\psfrag{Mult}{Multiplicit'{e} ${\mathbb{Z}}_{2}$}\psfrag{psi}{$\psi_{3}(x)$}\psfrag{x}{$x\rightarrow x+\delta x$}\psfrag{ay}{$a_{3}\,Y^{3}+a_{2}\,Y^{2}+a_{1}\,Y+a_{0}/{\mathbb{R}}^{*}_{+}=x\in\underset{\stackrel{{{}^{\parallel}\;\,}}{{\!\!X_{3}}}}{{\mathbb{R}}{\mathbb{P}}^{3}}$}\psfrag{S1R}{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}$\Sigma_{1}\times{\mathbb{R}}_{+}$}}\psfrag{S2R}{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}$\Sigma_{2}\times{\mathbb{R}}_{+}$}}\psfrag{Sk}{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}$S_{k}$}}\psfrag{cU}{le coeur $U$}\psfrag{tmax}{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}$t_{\max}$}}\psfrag{impossible}{{\color[rgb]{0,1,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,1,0}impossible}}\psfrag{zone}{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}zone de contact $\partial U\cap S_{k}$}}\includegraphics[width=341.43306pt]{bourbaki-fig13.eps}

Fig. 14:   Le passage à la limite $\varepsilon\rightarrow 0$.

Le problème vient de la possible existence d’une “zone de contact” $S_{k}\cap\partial{U}$ (fig.14). En effet, le long de $\partial U$ la convergence de la métrique $h_{\varepsilon}$ vers $h$ n’est pas assez “forte” afin de conclure que $S_{k}$ est aussi minimale et plongée dans un voisinage de $\partial U$. Ce fait est établi au moyen d’un calcul très délicat595959C’est peut-être l’étape de l’article de Song la plus technique et difficile à vérifier pour un lecteur exigeant. qui démontre que le varifold limite ${\mathbf{v}}_{k}$ est bien stationnaire dans $(U,g)$.

En invoquant à nouveau le principe du maximum de White on en déduit que ou bien $S_{k}\cap\partial{U}$ est donnée par une union de composantes connexes de $\partial U$, les hypersurfaces $\Sigma_{i}$, ou bien $S_{k}\cap\partial{U}=\emptyset$. Le premier cas est exclus pour les mêmes raisons606060En effet, il faut se souvenir à ce stade que pour $\varepsilon>0$ le feuilletage convexe moyen existe aussi dans un voisinage de $\partial U$ dans $U$ - et pas seulement dans les cylindres - et que donc toute composante connexe des surfaces $S_{i}^{\,\varepsilon}(k)$ doit intersécter un point du coeur en dehors d’un voisinage de $\partial U$. C’est un passage important de la preuve qui nécessite que toutes les surfaces $\partial\Sigma_{i}$ soient contractantes et qui exclut en particulier la possibilité que le varifold limite ${\mathbf{v}}_{k}$ soit égal à $k-$fois la mesure de Radon donnée par $\Sigma_{1}$. qui nous ont permis d’exclure que $S_{k}$ ne peut contenir une “tranche de cylindre” $\Sigma_{i}\times\{t\}$.

La surface limite réalisant $\lambda_{k}({\mathcal{U}},h)$ est donc strictement incluse dans le coeur. Comme ce dernier vérifie la propriété de Frankel on en déduit le lemme 2.

En supposant donc que le coeur ne possède qu’un nombre fini de surfaces minimales plongées, sachant qu’elles sont toutes de volume strictement supérieur616161Au cours de la preuve on démontre que les surfaces à une face sont toutes réalisées un nombre pair de fois. à $\mbox{Vol}(\Sigma_{1})$ (lemme 2) et sachant que $\lambda_{k+1}({\mathcal{U}},h)\geq\lambda_{k}({\mathcal{U}},h)+k\,\mbox{Vol}(\Sigma_{1})$ un lemme de combinatoire donne alors l’existence d’un nombre positif $\alpha>0$ tel que pour $k$ suffisamment grand

[TABLE]

Ceci contredit la minoration donnée par (VIII.18). On en conclut que $M^{m}$ possède un nombre infini d’hypersurfaces minimales plongées fermées géométriquement distinctes. Le théorème VIII est démontré.

IX Conclusion

Nous avons dû faire des choix pour cette présentation. Certaines questions importantes autour de la problématique de la réalisation du spectre volumique par des surfaces minimales ont germé à partir de la théorie d’Almgren-Pitts. Une des question est celle de la valeur de l’indice de Morse de chacune de ces surfaces. Nous avons mentionné brièvement un résultat partiel de Marques et Neves allant dans cette direction et ceci à l’occasion de passages à la limite dans la partie VIII de cet exposé. Ce résultat (VIII.20) a été complété récemment par deux contributions importantes. La première est une prébublication à nouveau de Marques et Neves [45] qui établit des conditions suffisantes afin d’avoir une égalité dans (VIII.20) lorsque les multiplicités des hypersurfaces minimales réalisant une valeur propre donnée du spectre sont toutes égales à un. La deuxième contribution est une prépublication de Xin Zhou [67] annonçant la preuve, dans le cas des métrique génériques, d’une conjecture importante, la conjecture de multiplicité un, suivant laquelle les multiplicités des hypersurfaces minimales réalisant une valeur propre donnée du spectre sont toutes égales à un.

Dans une autre direction, une fois la conjecture de Yau démontrée, il est intéressant d’explorer la “répartition” des surfaces minimales plongées d’une variété donnée. Un résultat très intéressant de Marques, Neves et Song [46] affirme que dans le cas de métriques génériques il existe une famille dénombrable d’hypersurfaces minimales plongées et fermées satisfaisant une propriété d’équidistribution.

La théorie d’Almgren-Pitts n’est pas l’approche exclusive jusqu’ici adoptée pour la construction d’hypersurfaces minimales en vue de résoudre la conjecture de Yau. La méthode dite des ensembles de niveau a récemment porté ses fruits dans un article remarquable d’Otis Chodosh et de Christos Mantoulidis [13]. Ils donnent une démonstration tout à fait originale du théorème 1 dans le cas de la dimension 3 en étudiant la concentration des ensembles de niveau de la fonctionnelle d’Allen-Cahn626262Les équations d’Allen-Cahn, sont des équations modélisant des phénomènes de transition de phase en physique des matériaux. lorsque le paramètre de couplage entre l’énergie élastique et le potentiel à “deux puits” tend vers l’infini. Ce projet d’utiliser la fonctionnelle d’Allen-Cahn pour construire par minmax des hypersurfaces minimales remonte à des travaux de John E. Hutchinson and Yoshihiro Tonegawa [35] avec des contributions récentes en particulier de Marco Guaraco et Pedro Gaspar ([29], [22]). Une présentation détaillée de cette approche qui utilise des résultats très fins d’analyse d’équations aux dérivées partielles elliptiques semi-linéaires scalaires nous emmenerais bien au-delà du cadre de cet exposé.

Finallement, il est naturel de se poser la question de l’extension de la conjecture de Yau en codimension quelconque636363Comme on le mentionnait dans la première partie de l’exposé, cette question est encore ouverte déjà dans le cas très particulier des géodésiques fermées sur les sphères arbitraires de dimension supérieures à deux. :

Question : Dans une variété riemannienne fermée arbitraire existe t’il un nombre infini de sous variétés (ou même d’immersions partiellement régulières) minimales de codimension positive arbitraire, fermées et géométriquement distinces ?

À ce stade du développement du calcul des variations de la fonctionnelle de volume, on doit reconnaitre qu’il n’y a encore aucun outil mathématique satisfaisant connu pour aborder cette question dans une telle généralité. Ce problème ouvre un champs d’investigation immense et fascinant pour les décennies à venir.

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