General divergent stability conditions of dynamic systems

TL;DR

This paper introduces new necessary and sufficient stability conditions for dynamical systems based on flow divergence, extending classical results and linking to Lyapunov methods, with applications to control law synthesis.

Contribution

It generalizes existing stability criteria using divergence-based conditions and connects them with Lyapunov methods, providing new tools for control law design.

Findings

Conditions are applicable to linear and nonlinear systems.

New control laws are synthesized based on the conditions.

Examples demonstrate the method's effectiveness and comparison with existing approaches.

Abstract

New necessary and sufficient conditions are proposed for the stability investigation of dynamical systems using the flow and the divergence of the phase vector velocity. The obtained conditions generalize the well-known results of V.P. Zhukov and A. Rantzer. The relation of Lyapunov methods with the proposed methods is established. The application of the obtained results to study the stability of linear systems goes to the problem of matrix inequality solvability. The new control laws are synthesized for linear and nonlinear systems. Examples illustrate the applicability of the proposed method and show the comparison results with some existing ones.

Figures

Equations

$$\begin{array}[]{l}\dot{x}=f(x),\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}F_{1}=\oint_{\Gamma}\frac{1}{|grad\{S(x)\}|}grad\{S(x)\}^{\rm T}|grad\{S(x)\}|f(x)d\Gamma<0\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \mbox{\"{\i}ри}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ x\in D\setminus\{0\}.\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}F_{1}=\int_{V}div\{|grad\{S(x)\}|f(x)\}dV<0\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \mbox{\"{\i}ри}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ x\in D\setminus\{0\}.\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}F_{2}=\oint_{\Gamma_{inv}}\frac{1}{|grad\{S^{-1}(x)\}|}grad\{S^{-1}(x)\}^{\rm T}|grad\{S^{-1}(x)\}|f(x)d\Gamma_{inv}>0\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \mbox{\"{\i}ри}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ x\in D\setminus\{0\}.\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}F_{2}=\int_{V_{inv}}div\{|grad\{S^{-1}(x)\}|f(x)\}dV_{inv}>0\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \mbox{\"{\i}ри}\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ x\in D\setminus\{0\}.\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}\dot{x}_{1}=x_{2},\\ \dot{x}_{2}=-cx_{1}-x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{3},\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}\dot{x}_{1}=-x_{1},\\ \dot{x}_{2}=bx_{2}-x_{1}^{2}x_{2},\leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ \leavevmode\nobreak\ b>0,\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}\dot{x}_{1}=-x_{1}+x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\\ \dot{x}_{2}=-x_{2}+2x_{1}x_{2},\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}\dot{x}_{1}=x_{2}-2x_{1}x_{3}^{2},\\ \dot{x}_{2}=-x_{1}-2x_{2}x_{3}^{2},\\ \dot{x}_{3}=-2x_{3}^{3}.\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}A^{\rm T}P+PA<\alpha^{-1}trace(A)P\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}A^{\rm T}P+PA+\alpha^{-1}trace(A)P<0,\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}A^{\rm T}P+PA-\kappa\leavevmode\nobreak\ trace(A)P<0,\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}\dot{x}=f(x)+g(x)u(x),\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}(A+BK)^{\rm T}P+P(A+BK)-\kappa\leavevmode\nobreak\ trace(A+BK)P<0,\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}(A+BK)^{\rm T}P+P(A+BK)+\gamma P<0,\end{array}$$

Full text

Ключевые слîва: диíаìическая систеìа, устîйчивîсть, ïîтîк вектîрíîгî ïîля, дивергеíция, фîрìула Остîградскîгî-Гаусса, уïравлеíие.

1 Введеíие

Диíаìическиìи ìîделяìи îïисывается ìíîæествî ïрîцессîв в îкруæающеì ìакрî- и ìикрîìире. Одíиì из ваæíых вîïрîсîв эвîлюции таких систеì является исследîваíие схîдиìîсти реøеíий даííых ìîделей. Одíакî íайти явíîе реøеíие диффереíциальíîгî уравíеíия íе всегда ïредставляется вîзìîæíыì, а числеííые реøеíия ìîгут зíачительíî îтличаться îт истиííîгî [1].

Хîрîøî известíî, чтî ìетîды фуíкций Ляïуíîва ïîзвîляют устаíîвить устîйчивîсть реøеíий диффереíциальíых уравíеíий, íе реøая их. Вïервые этî ïîказаíî А.М. Ляïуíîвыì в кîíце 19 века в егî дîктîрскîй диссертации (ïîзæе îïубликîваííîй в [2]) с ïриìеíеíиеì к задачаì астрîíîìии и двиæеíия æидкîсти. Пîследующее развитие ìетîда Ляïуíîва для исследîваíия устîйчивîсти и íеустîйчивîсти различíых диíаìических систеì, а такæе ïрилîæеíия ïîлучеííых результатîв в авиации, техíике, ìехаíике и т.д. ìîæíî íайти в следующих классических трудах [3, 4, 5, 6, 7]. В зависиìîсти îт реøаеìых задач фуíкция Ляïуíîва такæе иíтерïретируется как ïîтеíциальíая фуíкция (potential function) [8], фуíкция эíергии (energy function) [9] или фуíкция храíеíия (storage function) [10]. Одíакî îсíîвíîе îграíичеíие в исïîльзîваíии аïïарата фуíкций Ляïуíîва сîстîит в ïîиске даííых фуíкций. Пîэтîìу в íастîящей статье ïредлагается рассìîтреть альтерíативíый ìетîд исследîваíия устîйчивîсти диíаìических систеì íа базе свîйств ïîтîка и дивергеíции вектîра фазîвîй скîрîсти.

Несìîтря íа тî, чтî в заïадíîй литературе ïервеíствî в исследîваíии устîйчивîсти с ïîìîщью дивергеíции вектîра фазîвîй скîрîсти îтдается А. Раíтцеру [11, 12], в îтечествеííîй литературе даííая идея вïервые была îïубликîваíа ïриìерíî íа 20 лет раíьøе В.П. Æукîвыì в [13]. В [13] исследуется íеустîйчивîсть реøеíия íелиíейíîгî диффереíциальíîгî уравíеíия с ïîìîщью дивергеíции вектîрíîгî ïîля. Здесь æе, как и в [11, 12], для дîказательства îсíîвíîгî результата исïîльзîвалась теîреìа Лиувилля [14]. Затеì в течеíие ïриìерíî 30 лет ïî исследîваíию íеустîйчивîсти различíîгî вида диíаìических систеì В.Н. Æукîвыì îïубликîваí цикл рабîт, с частью кîтîрых ìîæíî свîбîдíî îзíакîìится íа сайте æурíала ’’Автîìатики и телеìехаíики’’. Отìетиì тîлькî íекîтîрые егî статьи, в кîтîрых результаты близки к результатаì в зарубеæíîй литературе. В [15] ïриведеíî íеîбхîдиìîе услîвие устîйчивîсти íелиíейíых систеì в виде íеïîлîæительíîсти дивергеíции вектîрíîгî ïîля фазîвîй скîрîсти. В [16] вïервые для исследîваíия íеустîйчивîсти íелиíейíых диíаìических систеì ввîдится всïîìîгательíая скалярíая фуíкция. Пîзæе в [11] А. Раíтцер рассìîтрел ïîдîбíую фуíкцию к даííîй скалярíîй фуíкции, кîтîрую íазвал фуíкцией ïлîтíîсти (density function). В [17] вïервые ïîлучеíы услîвия устîйчивîсти для систеì втîрîгî ïîрядка. Затеì А. Раíтцер в рабîтах [11, 12] îбсуæдает схîдиìîсть ïîчти всех реøеíий íелиíейíых диíаìических систеì ïрîизвîльíîгî ïîрядка и рассìатривает вîïрîсы сиíтеза закîíа уïравлеíия. Пîдхîд А. Раíтцера îтличается îт ïîдхîда В.П. Æукîва теì, чтî для исследîваíия устîйчивîсти îí исïîльзует фуíкцию ïлîтíîсти, кîтîрая ïîдîбíа îбратíîй всïîìîгательíîй фуíкции В.П. Æукîва, за исключеíиеì их свîйств в тîчке равíîвесия диíаìическîй систеìы. В íастîящее вреìя дивергеíтíый ïîдхîд А. Раíтцера [11, 12] расïрîстраíеí íа различíîгî рîда систеìы [18, 19, 20, 21]. В статье [22] ïредлîæеí сîверøеííî другîй сïîсîб исследîваíия устîйчивîсти диíаìических систеì с исïîльзîваíиеì свîйств ïîтîка вектîра фазîвîй скîрîсти через заìкíутую выïуклую ïîверхíîсть и устаíîвлеíа связь дивергеíтíîгî ìетîда сî втîрыì ìетîдîì Ляïуíîва.

Одíакî результатаì [15, 17, 12, 22] ïрисущи следующие îсîбеííîсти:

1. íеîбхîдиìîе услîвие [15] дîстатîчíî усилеííîе;

2. ìетîд [17] îбîсíîваí тîлькî для систеì втîрîгî ïîрядка. Причеì существует ряд систеì втîрîгî ïîрядка, для кîтîрых результаты [17] íе выïîлíяются;

3. дîстатîчíые услîвия в [12] гараíтируют схîдиìîсть тîлькî части реøеíий систеìы в зависиìîсти îт íачальíых услîвий. Так, если услîвия [12] выïîлíеíы, тî ïри îдíих íачальíых услîвиях реøеíия схîдятся к тîчке равíîвесия, а ïри других – íет. Причеì ìетîд [12] íе ïîзвîляет îïределить îбласть ïритяæеíия. Бîлее тîгî, существует ряд íеустîйчивых систеì вî всей îбласти îïределеíия для кîтîрых услîвия [12] такæе выïîлíяются. Как следствие, услîвие устîйчивîсти в [12] для лиíейíых систеì íе всегда выïîлíеíî. В результате, алгîритìы уïравлеíия, ïредлîæеííые в [12], íе всегда гараíтируют устîйчивîсть заìкíутîй систеìы. Бîлее тîгî, в [12] для лиíейíых систеì услîвия рабîтîсïîсîбíîсти статическîгî регулятîра сведеíы к разреøиìîсти íелиíейíîгî ìатричíîгî íеравеíства, кîтîрîе ìîæет быть выïîлíеíî и для íеустîйчивîй заìкíутîй систеìы;

4. услîвия устîйчивîсти в [22] требует существîваíия ïреîбразîваíия кîîрдиíат, кîтîрîе ïривîдит исхîдíую систеìу к диагîíальíîìу виду. Для íелиíейíых систеì ïîиск такîгî ïреîбразîваíия является трудíî реøаеìîй задачей.

Настîящая статья ïîсвящеíа разрабîтке îбщегî ïриíциïа исследîваíия устîйчивîсти диíаìических систеì с исïîльзîваíиеì свîйств ïîтîка и дивергеíции вектîра фазîвîй скîрîсти, кîтîрый ïîзвîлит ïреîдîлеть îсîбеííîсти 1–4. Дîïîлíительíî, с ïîìîщью ïîлучеííых результатîв будут реøеíы следующие задачи:

а) будут ïîлучеíы íîвые íеîбхîдиìые услîвия устîйчивîсти, кîтîрые гараíтируют тîчíее результаты, чеì услîвия в [15, 17, 12]. Бîлее тîгî, будет ïîказаíî, чтî дîстатîчíые услîвия схîдиìîсти ïîчти всех реøеíий в [12] íа саìîì деле являются частíыì случаеì ïîлучеííых в статье íеîбхîдиìых услîвий устîйчивîсти;

б) будет устаíîвлеíа связь ìетîда Ляïуíîва с ïредлîæеííыìи ìетîдаìи исследîваíия устîйчивîсти íа базе ïîтîка и дивергеíции вектîра фазîвîй скîрîсти;

в) будет ïîказаíî, чтî скалярíые фуíкции, ïредлîæеííые в [16, 17, 12], íе являются ïрîизвîльíыìи. Свîйства даííых фуíкций зависят îт ïîверхíîсти иíтегрирîваíия;

г) будут ïîлучеíы íîвые дîстатîчíые услîвия устîйчивîсти. Для лиíейíых систеì даííые услîвия будут сведеíы к разреøиìîсти íелиíейíых и лиíейíых ìатричíых íеравеíств.

Статья сîïрîвîæдается ïриìераìи с иллюстрацией îсîбеííîстей 1–3 и сîîтветствующиìи результатаìи исïîльзîваíия íîвîгî ïîдхîда.

2 Осíîвíîй результат

Рассìîтриì диíаìическую систеìу

[TABLE]

где $x=[x_{1},...,x_{n}]^{\rm T}$ – вектîр сîстîяíия, $f=[f_{1},...,f_{n}]^{\rm T}:D\to\mathbb{R}^{n}$ – íеïрерывíî-диффереíцируеìая фуíкция, îïределеííая в îбласти $D\subset\mathbb{R}^{n}$. Мíîæествî $D$ сîдерæит íачалî кîîрдиíат и $f(0)=0$. Ради ïрîстîты ïîлîæиì, чтî îбласть ïритяæеíия $D_{A}$ тîчки $x=0$ сîвïадает с îбластью $D$. Одíакî все ïîлучеííые результаты будут сïраведливы, если $D_{A}\subset D$ или $D_{A}=\mathbb{R}^{n}$. Обîзíачиì $\bar{D}$ – граíица îбласти $D$.

В статье будеì исïîльзîвать следующие îбîзíачеíия: grad\{S(x)\}=\Big{[}\frac{\partial S}{\partial x_{1}},...,\frac{\partial S}{\partial x_{n}}\Big{]}^{\rm T} – градиеíт фуíкции $S(x)$, $div\{f(x)\}=\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}+...+\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}$ – дивергеíция вектîрíîгî ïîля $f(x)$, $|\cdot|$ – евклидîва íîрìа сîîтветствующегî вектîра, $trace(A)$ – след ìатрицы $A$. Пîд устîйчивîстью будеì ïîíиìать устîйчивîсть íулевîгî ïîлîæеíия равíîвесия систеìы ïî Ляïуíîву [23].

Сфîрìулируеì íеîбхîдиìîе услîвие устîйчивîсти (1).

Theorem 2.1**.**

Пусть $x=0$ – асиìïтîтически устîйчивая тîчка равíîвесия систеìы (1). Тîгда существует ïîлîæительíî îïределеííая íеïрерывíî-диффереíцируеìая фуíкция $S(x)$ такая, чтî $S(x)\to\infty$ ïри $x\to\bar{D}$, $|grad\{S(x)\}|\neq 0$ для любых $x\in D\setminus\{0\}$, $S(0)=0$ и выïîлíеíî îдíî из следующих услîвий:

1) $div\{|grad\{S(x)\}|f(x)\}<0$ для любых $x\in D\setminus\{0\}$ и div\{|grad\{S(x)\}|f(x)\}\big{|}_{x=0}=0;

2) $div\{|grad\{S^{-1}(x)\}|f(x)\}>0$ для любых $x\in D\setminus\{0\}$ и фуíкция $div\{|grad\{S^{-1}(x)\}|f(x)\}$ иíтегрируеìа в îбласти $\{x\in D:S^{-1}(x)\geq C\}\subset D$, где $C>0$.

Proof 2.2**.**

Сîгласíî [23, теîреìа 4.17], если $x=0$ – асиìïтîтически устîйчивая тîчка равíîвесия систеìы (1), тî существует íеïрерывíî-диффереíцируеìая ïîлîæительíî-îïределеííая фуíкция $S(x)$ такая, чтî $S(x)\to\infty$ ïри $x\to\bar{D}$ и $grad\{S(x)\}^{\rm T}f(x)\leq-W(x)$ для любых $x\in D\setminus\{0\}$, где $W(x)$ – ïîлîæительíî-îïределеííая фуíкция. Зíачит $grad\{S(x)\}^{\rm T}f(x)<0$ для любых $x\in D\setminus\{0\}$ и grad\{S(x)\}^{\rm T}f(x)\Big{|}_{x=0}=0. Заìетиì, чтî если $D=\mathbb{R}^{n}$, тî фуíкция $S(x)$ является радиальíî íеîграíичеííîй.

Рассìîтриì дîказательствî двух случаев ïî îтдельíîсти.

1) Обîзíачиì $V=\{x\in D:S(x)\leq C\}\subset D$ и $\Gamma=\{x\in D:S(x)=C\}$. Åсли $grad\{S(x)\}^{\rm T}f(x)<0$ ïри $x\in D\setminus\{0\}$, тî и $\frac{1}{|grad\{S(x)\}|}grad\{S(x)\}^{\rm T}|grad\{S(x)\}|f(x)<0$. Зíачит будет сïраведливî следующее выраæеíие

[TABLE]

Здесь $F_{1}$ – ïîтîк вектîрíîгî ïîля $|grad\{S(x)\}|f(x)$ через ïîверхíîсть $\Gamma$ с едиíичíыì вектîрîì íîрìали $\frac{1}{|grad\{S(x)\}|}grad\{S(x)\}$. Вîсïîльзîвавøись фîрìулîй Остîградскîгî-Гаусса (в литературе ее такæе ìîæíî íайти в виде divergence theorem (теîреìа î дивергеíции) и Gauss theorem (теîреìа Гаусса)), ïîлучиì

[TABLE]

Пîскîльку $C$ – ïрîизвîльíая кîíстаíта, тî (2) будет выïîлíеíî для любîгî дîстатîчíî ìалîгî зíачеíия $C$. Обîзíачиì $\bar{V}$ – îбъеì îбласти $V$. Так как $\bar{V}\to 0$ ïри $C\to 0$, тî из сîîтíîøеíий $div\{|grad\{S(x)\}|f(x)\}=\lim_{\bar{V}\to 0}F_{1}/\bar{V}$, $F_{1}<0$ и $\bar{V}>0$ следует, чтî $div\{|grad\{S(x)\}|f(x)\}<0$ ïри $x\in D\setminus\{0\}$. Из услîвия grad\{S(x)\}^{\rm T}f(x)\big{|}_{x=0}=0 следует, чтî $F_{1}=0$ ïри $x=0$. Тîгда из (2) следует, чтî div\{|grad\{S(x)\}|f(x)\}\big{|}_{x=0}=0. Геîìетрическая иллюстрация случая 1 ïриведеíа íа рис. 1.

Рис.  1. $\to$

2) Пусть $V_{inv}=\{x\in D:S^{-1}(x)\geq C\}\subset D$ и $\Gamma_{inv}=\{x\in D:S^{-1}(x)=C\}$. Åсли $grad\{S(x)\}^{\rm T}f(x)<0$ и $S(x)>0$ ïри $x\in D\setminus\{0\}$, тî $grad\{S^{-1}(x)\}^{\rm T}f(x)=-S^{-2}(x)grad\{S(x)\}^{\rm T}f(x)>0$. С другîй стîрîíы $grad\{S^{-1}(x)\}^{\rm T}f(x)=\frac{1}{|grad\{S^{-1}(x)\}|}grad\{S^{-1}(x)\}^{\rm T}|grad\{S^{-1}(x)\}|f(x)$. Зíачит будет выïîлíеíî следующее сîîтíîøеíие

[TABLE]

Здесь $F_{2}$ – ïîтîк вектîрíîгî ïîля $|grad\{S^{-1}(x)\}|f(x)$ через ïîверхíîсть $\Gamma_{inv}$ с едиíичíыì вектîрîì íîрìали $\frac{1}{|grad\{S^{-1}(x)\}|}grad\{S^{-1}(x)\}$. Очевидíî, чтî зíаки $F_{1}$ и $F_{2}$ ïрîтивîïîлîæíы, ïîскîльку вектîры $grad\{S(x)\}$ и $grad\{S^{-1}(x)\}$ ïрîтивîïîлîæíî íаïравлеíы. Вîсïîльзîвавøись фîрìулîй Остîградскîгî-Гаусса, ïîлучиì

[TABLE]

Так как кîíстаíта $C$ ïрîизвîльíая, тî (3) будет выïîлíеíî для любîгî дîстатîчíî бîльøîгî зíачеíия $C$. Пусть $\bar{V}_{inv}$ – îбъеì îбласти $V_{inv}$. Пîскîльку $\bar{V}_{inv}\to 0$ ïри $C\to\infty$, тî из $div\{|grad\{S^{-1}(x)\}|f(x)\}=\lim_{\bar{V}_{inv}\to 0}F_{2}/\bar{V}_{inv}$, $F_{2}>0$ и $\bar{V}_{inv}>0$ следует, чтî $div\{|grad\{S^{-1}(x)\}|f(x)\}>0$ ïри $x\in D\setminus\{0\}$. С другîй стîрîíы $S^{-1}(x)\to\infty$ ïри $x\to 0$. Следîвательíî, из выраæеíия (3) требуется иíтегрируеìîсть (в íесîбствеííîì сìысле) фуíкции $div\{|grad\{|S^{-1}(x)\}|f(x)\}$ в îбласти $V_{inv}$. Геîìетрическая иллюстрация случая 2 ïриведеíа íа рис. 2. Теîреìа 2.1 дîказаíа.

Рис.  2. $\to$

Такиì îбразîì в теîреìе 2.1 îтìечается, чтî если систеìа (1) устîйчива, тî ïîтîк вектîрíîгî ïîля через ïîверхíîсть $\Gamma$ ($\Gamma_{inv}$) ïриíиìает îтрицательíîе (ïîлîæительíîе) зíачеíие. Обратíîе íе верíî. Пîтîк ìîæет ïриíиìать îтрицательíîе (ïîлîæительíîе) зíачеíие íе тîлькî в случае íаïравлеííîсти вектîрíîгî ïîля вî вíутрь ïîверхíîсти $\Gamma$ ($\Gamma_{inv}$), íî и в случае схîдиìîсти части кîìïîíеíт вектîрíîгî ïîля к íулю и расхîдиìîсти îстальíых кîìïîíеíт. Другиì ïриìерîì îтрицательíîгî (ïîлîæительíîгî) зíачеíия ïîтîка ìîæет быть случай, кîгда ïри îдíих íачальíых услîвиях реøеíия схîдятся, а ïри других – расхîдятся. Сîîтветствующие ïриìеры 2 и 3 будут ïриведеíы íиæе. Физический сìысл результатîв теîреìы 2.1 ìîæет быть иíтерïретирîваí как двиæеíие вещества с ïлîтíîстью $|grad\{S(x)\}|$ ($|grad\{S^{-1}(x)\}|$) ïîд действиеì ïîля скîрîсти $f(x)$ через ïîверхíîсть $\Gamma$ ($\Gamma_{inv}$).

Услîвия теîреìы 2.1 зависят îт вида фуíкции $S(x)$, кîтîрая связаíа с ïîверхíîстью иíтегрирîваíия. Сфîрìулируеì теîреìу, кîтîрая ïîзвîлит îслабить даííîе требîваíие.

Theorem 2.3**.**

Пусть $x=0$ – асиìïтîтически устîйчивая тîчка равíîвесия (1). Тîгда существует ïîлîæительíî îïределеííая íеïрерывíî-диффереíцируеìая фуíкция $\rho(x)$, îïределеííая для всех $x\in D$, такая чтî выïîлíеíî îдíî из услîвий:

1) $div\{\rho(x)f(x)\}<0$ для любых $x\in D\setminus\{0\}$ и div\{\rho(x)f(x)\}\big{|}_{x=0}=0;

2) $div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}>0$ для любых $x\in D\setminus\{0\}$ и фуíкция $div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}$ иíтегрируеìа в îбласти $\{x\in D:\rho^{-1}(x)\geq C\}\subset D$, где $C>0$.

Требîваíие $div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}>0$ ïриведеíî в качестве дîстатîчíîгî услîвия схîдиìîсти ïîчти всех реøеíий в [12]. Очевидíî, чтî даííîе услîвие [12] является частíыì требîваíиеì к выïîлíеíию íеîбхîдиìîгî услîвия 2 в теîреìе 2.3.

Proof 2.4**.**

Дîказательствî теîреìы 2.3 îïирается íа дîказательствî теîреìы 2.1. Введеì ïîлîæительíî îïределеííую íеïрерывíî-диффереíцируеìую скалярíую фуíкцию $\phi(x)$. Следуя дîказательству теîреìы 2.1, рассìîтриì два случая.

1) Åсли $grad\{S(x)\}^{\rm T}f(x)<0$ ïри $x\in D\setminus\{0\}$, тî и $\phi(x)grad\{S(x)\}^{\rm T}f(x)<0$. Следîвательíî, дальíейøее дîказательствî аíалîгичíî дîказательству случая 1 в теîреìе 2.1, рассìîтрев тîлькî ïîтîк вектîрíîгî ïîля $\phi(x)|grad\{S(x)\}|f(x)$ через ïîверхíîсть $\Gamma$. Обîзíачив $\rho(x)=\phi(x)|grad\{S(x)\}|$, ïîлучиì услîвие 1 теîреìы 2.3.

2) Åсли $grad\{S(x)\}^{\rm T}f(x)<0$ ïри $x\in D\setminus\{0\}$, тî и $\phi^{-1}(x)grad\{S(x)\}^{\rm T}f(x)<0$. Зíачит дальíейøее дîказательствî аíалîгичíî дîказательству случая 2 теîреìы 2.1, íî с учетîì ïîтîка вектîрíîгî ïîля $\phi^{-1}(x)|grad\{S^{-1}(x)\}|f(x)$ через ïîверхíîсть $\Gamma_{inv}$. Обîзíачив $\rho^{-1}(x)=\phi^{-1}(x)|grad\{S^{-1}(x)\}|$, ïîлучиì услîвие 2. Теîреìа 2.3 дîказаíа.

Услîвия теîреìы 2.3 ïîзвîлили íе исïîльзîвать фуíкцию $S(x)$ для исследîваíия устîйчивîсти. Теì íе ìеíее из дîказательства теîреìы 2.3 следует, чтî свîйства íîвîй фуíкции $\rho(x)$ зависят îт свîйств ïîверхíîсти иíтегрирîваíия, а зíачит и îт свîйств $S(x)$. Такиì îбразîì, выбîр фуíкции $\rho(x)$ íе является ïрîизвîльíыì, как этî îтìечалîсь в [17, 12].

Рассìîтриì ïриìеíеíие теîреìы 2.3 íа следующих ïриìерах и сравíиì результаты с дîстатîчíыìи услîвияìи, ïриведеííыìи в [17, 12].

Приìер 1. Задаíа систеìа

[TABLE]

где $c$ – ïîстîяííый кîэффициеíт, кîтîрый ìîæет быть равеí $1$ или $-1$. При $c=1$ систеìа (4) устîйчива, ïри $c=-1$ – íеустîйчива. Фазîвые ïîртреты такîй систеìы ïриведеíы íа рис. 3. Исследуеì сíачала íа устîйчивîсть (4) с ïîìîщью услîвий из [15, 17, 12]. Затеì ïриведеì результаты теîреìы 2.3.

Рис.  3. $\to$

Сîгласíî [15], íеîбхîдиìыì услîвиеì устîйчивîсти является выïîлíеíие íеравеíства $div\{f(x)\}\leq 0$ в îкрестíîсти тîчки равíîвесия. В результате $div\{f(x)\}=-x_{1}^{2}-3x_{2}^{2}\leq 0$ для любых зíачеíий $c$.

Сîгласíî дîстатîчíîìу услîвию [17], систеìа (4) îбладает $\omega$-иíвариаíтíыì ìíîæествîì $B_{T}$ (сì. рис. 3). Такæе, в сîîтвествии с [17] (стр. 37, ïервый абзац) фуíкцию $\mu(x)$ ìîæíî выбрать в виде $\mu(x)=1$. Тîгда $div\{\mu(x)f(x)\}=0$ íа $mes=0$ и $div\{\mu(x)f(x)\}=-x_{1}^{2}-3x_{2}^{2}\leq 0$. Такиì îбразîì услîвия [17] выïîлíеíы для любых $c$, как и в ïредыдущеì случае.

Дîстатîчíîе услîвие [12] связаíî с ïрîверкîй íеравеíства $div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}<0$. Выбереì $\rho(x)=|x|^{2\alpha}$, где $\alpha$ – íатуральíîе числî. Тîгда фуíкция $div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}$ íе является ïîлîæительíîй íи ïри $c=1$, íи ïри $c=-1$. Следîвательíî, вывîд î схîдиìîсти реøеíий к тîчке равíîвесия сделать íельзя.

Теïерь исследуеì (4) с ïîìîщью теîреìы 2.3. Выбрав $\rho(x)=|x|^{2\alpha}$, ïîлучиì $div\{\rho(x)f(x)\}=2\alpha|x|^{2\alpha-2}(x_{1}x_{2}-cx_{1}x_{2}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{2}^{4})-(x_{1}^{2}+3x_{2}^{2})|x|^{2\alpha}<0$ для любых $\alpha$, $c=1$ и $x\neq 0$, а такæе div\{\rho(x)f(x)\}\big{|}_{x=0}=0. При $c=-1$ фуíкция $div\{\rho(x)f(x)\}$ íе является зíакîîïределеííîй. Такиì îбразîì, ïервîе услîвие теîреìы 2.3 выïîлíеíî тîлькî для $c=1$, чтî сîîтветствует устîйчивîìу ïîлîæеíию равíîвесия.

Несìîтря íа тî, чтî теîреìа 2.3 дала тîчíее результат, чеì услîвия [15, 17, 12], теì íе ìеíее услîвия теîреìы 2.3 íеîбхîдиìые. Приведеì ïî этîìу ïîвîду еще два ïриìера, а затеì сфîрìулируеì дîстатîчíые услîвия устîйчивîсти.

Приìер 2. Рассìîтриì систеìу

[TABLE]

кîтîрая устîйчива тîлькî ïî части ïереìеííых, т.е. $x_{1}\to 0$ и $x_{2}\to\infty$ ïри $t\to\infty$, сì. рис. 4. Как и в ïредыдущеì ïриìере выбереì $\rho(x)=|x|^{2\alpha}$. Тîгда $div\{\rho(x)f(x)\}=|x|^{2\alpha-2}[(-2\alpha+b-1)x_{1}^{2}+(2\alpha b+b-1)x_{2}^{2}-2\alpha x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}^{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})]<0$ ïри $b<\frac{1}{1+2\alpha}$ и $x\neq 0$, а такæе div\{\rho(x)f(x)\}\big{|}_{x=0}=0. Такиì îбразîì ïервîе услîвие теîреìы 2.3 выïîлíеíî. Выбрав $\mu(x)=\rho(x)$ в [17] ïîлучили бы, чтî систеìа (5) устîйчива ïри тîì æе $b<\frac{1}{1+2\alpha}$. Одíакî в [17] ïîлучеíы дîстатîчíые услîвия устîйчивîсти, в îтличие îт теîреìы 2.3. Дîстатîчíые услîвия [12] с $\rho^{-1}(x)=|x|^{-2\alpha}$ íе дают îтвета î схîдиìîсти реøеíий ïîскîльку фуíкция $div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}$ íе является зíакîîïределеííîй.

Рис.  4. $\to$

Приìер 3. Рассìîтриì систеìу

[TABLE]

кîтîрая иìеет две тîчки равíîвесия $(0,0)$ и $(1,0)$. Выбереì $\rho^{-1}(x)=|x|^{-2\alpha}$. Тîгда $div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}=|x|^{-2\alpha}[2\alpha-2+2x_{1}(2-\alpha)]>0$ ïри $\alpha=2$. Такиì îбразîì втîрîе услîвие теîреìы 2.3 выïîлíеíî. Одíакî все траектîрии систеìы схîдятся к тîчке $(0,0)$, за исключеíиеì тех, чтî íачиíаются íа ïîлуîси $x_{1}\geq 1$ и $x_{2}=0$ (сì. рис. 5). Даííый вывîд сîгласуется с íеîбхîдиìыì услîвиеì 2.3. Одíакî такîй æе результат ïîлучиì с ïîìîщью дîстатîчíîгî услîвия [12]. Зíачит услîвия [12] íе гараíтирует устîйчивîсть систеìы (6) и íе ïîзвîляет îïределить îбласть ïритяæеíия.

Рис.  5. $\to$

Теïерь сфîрìулируеì дîстатîчíые услîвия устîйчивîсти.

Theorem 2.5**.**

Пусть задаíа ïîлîæительíî îïределеííая íеïрерывíî-диффереíцируеìая фуíкция $\rho(x)$ îïределеííая в îбласти $D$. Тîгда тîчка $x=0$ устîйчива (асиìïтîтически устîйчива), если выïîлíеíî îдíî из следующих услîвий:

1) $div\{\rho(x)f(x)\}\leq\rho(x)div\{f(x)\}$ ($div\{\rho(x)f(x)\}<\rho(x)div\{f(x)\}$) для любых $x\in D\setminus\{0\}$ и div\{\rho(x)f(x)\}\big{|}_{x=0}=0;

2) $div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}\geq 0$ ($div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}>0$) и $div\{f(x)\}\leq 0$ для любых $x\in D\setminus\{0\}$ и \lim_{|x|\to 0}\big{[}\rho^{2}(x)div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}\big{]}=0;

3) $div\{\rho(x)f(x)\}\leq\beta(x)\rho^{2}(x)div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}$ ($div\{\rho(x)f(x)\}<\beta(x)\rho^{2}(x)div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}$), где $\beta(x)>1$ и $div\{f(x)\}\leq 0$ или тîлькî $\beta(x)=1$ для любых $x\in D\setminus\{0\}$, а такæе div\{\rho(x)f(x)\}\big{|}_{x=0}=0 и \lim_{|x|\to 0}\big{[}\rho(x)div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}\big{]}=0.

Дîстатîчíые услîвия 1 и 2 ìîæíî рассìатривать как íекîтîрую связь с сîîтветствующиìи íеîбхîдиìыìи услîвияìи 1 и 2 в теîреìе 2.3. Услîвие 3 является кîìбиíацией услîвий 1 и 2, кîтîрîе в теîреìе 3.2 ïîзвîлит ïîлучить îбîбщеííîе для случаев 1 и 2 услîвие устîйчивîсти лиíейíых систеì.

Proof 2.6**.**

Приведеì дîказательствî устîйчивîсти для каæдîгî случая в îтдельíîсти. Дîказательствî асиìïтîтическîй устîйчивîсти аíалîгичíî.

1) Из сîîтíîøеíия $div\{\rho(x)f(x)\}=grad\{\rho(x)\}^{\rm T}f(x)+div\{f(x)\}\rho(x)$ следует, чтî если $div\{\rho(x)f(x)\}\leq div\{f(x)\}\rho(x)$, тî и $grad\{\rho(x)\}f(x)\leq 0$ в îбласти $D\setminus\{0\}$. Пî услîвию $\rho(0)=0$. Пîэтîìу, если div\{\rho(x)f(x)\}\big{|}_{x=0}=0, тî и grad\{\rho(x)\}f(x)\big{|}_{x=0}=0. Зíачит, сîгласíî теîреìе Ляïуíîва [23], систеìа (1) устîйчива.

2) Из выраæеíия $div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}=grad\{\rho^{-1}(x)\}^{\rm T}f(x)+div\{f(x)\}\rho^{-1}(x)$ следует, чтî $grad\{\rho(x)\}^{\rm T}f(x)=\rho(x)div\{f(x)\}-\rho^{2}(x)div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}$. Åсли $div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}\geq 0$ и $div\{f(x)\}\leq 0$, тî $grad\{\rho(x)\}^{\rm T}f(x)\leq 0$ в îбласти $D\setminus\{0\}$. Åсли \lim_{|x|\to 0}\big{[}\rho^{2}(x)div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}\big{]}=0, тî и \lim_{|x|\to 0}\big{[}grad\{\rho(x)\}f(x)\big{]}=0. Зíачит систеìа (1) устîйчива.

3) Услîвие 3 сîстîит в îбъедиíеíии результатîв услîвий 1 и 2. Суììируя $\beta(x)grad\{\rho(x)\}^{\rm T}f(x)=\beta(x)\rho(x)div\{f(x)\}-\beta(x)\rho^{2}(x)div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}$ и $grad\{\rho(x)\}^{\rm T}f(x)=div\{\rho(x)f(x)\}-div\{f(x)\}\rho(x)$, ïîлучиì $(1+\beta(x))grad\{\rho(x)\}^{\rm T}f(x)=div\{\rho(x)f(x)\}-\beta(x)\rho^{2}(x)div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}+(\beta(x)-1)\rho(x)div\{f(x)\}$. Åсли $div\{\rho(x)f(x)\}\leq\beta(x)\rho^{2}(x)div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}$ ïри $\beta(x)=1$ или $\beta(x)>1$ и $div\{f(x)\}\leq 0$, тî $grad\{\rho(x)\}^{\rm T}f(x)\leq 0$ в îбласти $D\setminus\{0\}$. Åсли div\{\rho(x)f(x)\}\big{|}_{x=0}=0 и \lim_{|x|\to 0}\big{[}\rho^{2}(x)div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}\big{]}=0, тî и \lim_{|x|\to 0}\big{[}grad\{\rho(x)\}f(x)\big{]}=0. Зíачит систеìа (1) устîйчива. Теîреìа 2.5 дîказаíа.

В [17] îтìечалîсь, чтî дивергеíтíый ïîдхîд [17] ìîæет быть ïриìеíиì тîлькî для систеì втîрîгî ïîрядка. Прîдеìîíстрируеì ïредлîæеííый алгîритì для систеì третьегî ïîрядка, а затеì сфîрìулируеì услîвие устîйчивîсти для лиíейíых систеì ïрîизвîльíîгî ïîрядка и сравíиì их с услîвияìи [12].

Приìер 4. Рассìîтриì систеìу

[TABLE]

Выбереì $\rho(x)=|x|^{2\alpha}$, где $\alpha$ – íатуральíîе числî. Тîгда $div\{\rho(x)f(x)\}-\rho(x)div\{f(x)\}=-4\alpha x_{3}^{2}|x|^{2\alpha}<0$ для любых $\alpha$ и $x_{3}\neq 0$. В свîю îчередь $div\{f(x)\}=-10x_{3}^{2}\leq 0$ и $div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}=(4\alpha-10)x_{3}^{2}|x|^{-2\alpha}>0$ для любых $\alpha\geq 3$ и $x_{3}\neq 0$. Пусть $\beta(x)=\beta\geq 1$. Тîгда $div\{\rho(x)f(x)\}-\beta\rho^{2}(x)div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}=-(4\alpha+10+4\beta\alpha-10\beta)x_{3}^{2}|x|^{2\alpha}\leq 0$ ïри $\alpha>\frac{5(\beta-1)}{\beta+1}$ и $x_{3}\neq 0$. Все три случая дали îдиíакîвые результаты. Такиì îбразîì, систеìа (7) асиìïтîтически устîйчива с любыìи íачальíыìи услîвияìи, кîгда $x_{3}(0)\neq 0$. Åсли íачальíые услîвия сîдерæат $x_{3}(0)=0$, тî систеìа (7) устîйчива. Фазîвые траектîрии систеìы (7) изîбраæеíы íа рис. 6, где цикл ïîлучеí для íачальíîгî услîвия с $x_{3}=0$, сïирали – ïри $x_{3}\neq 0$.

Рис.  6. $\to$

3 Устîйчивîсть лиíейíых систеì

Вî введеíии îтìечалîсь, чтî для лиíейíых систеì $\dot{x}=Ax$ дивергеíтíый ïîдхîд был рассìîтреí в [12], где ïîлучеíы дîстатîчíые услîвия схîдиìîсти реøеíий. Приведеì даííый результат в виде теîреìы, как îí был сфîрìулирîваí в [12] и íиæе ïриведеì ïриìеры, кîгда результат [12] íе выïîлíяется.

Theorem 3.1** ([12]).**

Åсли ïîлîæительíî îïределеííая ìатрица $P$ удîвлетвîряет услîвию

[TABLE]

для íекîтîрîгî $\alpha>0$, тîгда лиíейíая систеìа $\dot{x}=Ax$ устîйчива.

Неравеíствî (4) выïîлíяется íе тîлькî для гурвицевых, íî и для íегурвицевых ìатриц $A$. Наïриìер, для íеустîйчивîй ìатрицы A=\left[\begin{array}[]{cccc}{0}&{1}\\ {1}&{1}\end{array}\right] и $\alpha=0.2$ реøеíие (8) ìîæíî îïределить в виде P=\left[\begin{array}[]{cccc}{0.6}&{0.3}\\ {0.3}&{0.9}\end{array}\right]. Такæе, для даííîй ìатрицы $A$ и $\alpha\leq 0.2$ íетрудíî íайти ïîлîæительíî îïределеííые ìатрицы $P$, удîвлетвîряющие íеравеíству (8). Бîлее тîгî, ïри $\alpha\leq 1$ и гурвицевîй ìатрице A=\left[\begin{array}[]{cccc}{0}&{1}\\ {-1}&{-1}\end{array}\right] ìîæíî указать $P$, кîтîрые íе являются ïîлîæительíî îïределеííыìи ìатрицаìи. Наïриìер, ïри $\alpha=1$ иìееì P=\left[\begin{array}[]{cccc}{-1.5}&{-0.75}\\ {-0.75}&{-1.5}\end{array}\right].

Отìетиì, чтî íеравеíствî (8) ìîæíî ïîлучить с ïîìîщью услîвия 2 теîреìы 2.3, выбрав $\rho^{-1}(x)=(x^{\rm T}Px)^{-\alpha}$, íî ïри $\alpha>1$ для îбесïечеíия иíтегрируеìîсти $div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}$. Бîлее тîгî, с ïîìîщью услîвия 1 теîреìы 2.3 ìîæíî ïîлучить другîе услîвие

[TABLE]

выбрав $\rho(x)=(x^{\rm T}Px)^{\alpha}$ и $\alpha>0$. Одíакî ìатричíые íеравеíства (8) и (9) являются íеîбхîдиìыìи услîвияìи устîйчивîсти.

Теïерь, îïираясь íа результаты теîреìы 2.5 сфîрìулируеì дîстатîчíîе услîвие устîйчивîсти для лиíейíых систеì.

Theorem 3.2**.**

Лиíейíая систеìа $\dot{x}=Ax$ устîйчива, если

[TABLE]

где $\kappa>0$ и $trace(A)\leq 0$ или тîлькî $\kappa=0$, $P$ – ïîлîæительíî îïределеííая сиììетричíая ìатрица.

Proof 3.3**.**

Выбереì $\rho(x)=(x^{\rm T}Px)^{\alpha}$, где $\alpha>0$. Рассìîтриì случай 1 теîреìы 2.5. Тîгда $div\{\rho(x)f(x)\}-\rho(x)div\{f(x)\}=\alpha(x^{\rm T}Px)^{\alpha-1}x^{\rm T}[A^{\rm T}P+PA]x<0$, если $A^{\rm T}P+PA<0$.

Теïерь рассìîтриì случай 2 теîреìы 2.5. Услîвие $div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}=-\alpha(x^{\rm T}Px)^{-\alpha-1}x^{\rm T}[A^{\rm T}P+PA-\alpha^{-1}trace(A)P]x>0$ будет выïîлíеíî, если $A^{\rm T}P+PA-\alpha^{-1}trace(A)P<0$ и $trace(A)\leq 0$ (следует из услîвия $div\{f(x)\}\leq 0$) ïри $\kappa=\frac{1}{\alpha}>0$.

Вîсïîльзуеìся случаеì 3 теîреìы 2.5. Пусть $\beta(x)=\beta$ и $\kappa=\frac{\beta-1}{\alpha(1+\beta)}$. Услîвие $div\{\rho(x)f(x)\}-\beta\rho^{2}(x)div\{\rho^{-1}(x)f(x)\}=\alpha(1+\beta)(x^{\rm T}Px)^{\alpha-1}x^{\rm T}[A^{\rm T}P+PA-\frac{1}{\alpha}\frac{\beta-1}{\beta+1}trace(A)P]x<0$ выïîлíеíî, если выïîлíеíî (10) ïри $\beta=1$ ($\kappa=0$) или ïри $\beta>1$ ($\kappa>0$) и $trace(A)\leq 0$. Теîреìа 3.2 дîказаíа.

Отìетиì, чтî ïри сиíтезе закîíа уïравлеíия услîвие (10) является лиíейíыì ìатричíыì íеравеíствîì тîлькî ïри $\kappa=0$. Одíакî ЛМН такæе ìîæíî ïîлучить с исïîльзîваíиеì теîреìы 2.5 и для $\kappa\neq 0$.

Следствие 1. Åсли в теîреìе 2.5 случае 2 ïîлîæить $\alpha=trace(A)\gamma$, $\gamma>0$, тî для устîйчивîсти $\dot{x}=Ax$ дîстатîчíî выïîлíеíие ЛМН $A^{\rm T}P+PA+\gamma P<0$.

4 Сиíтез закîíа уïравлеíия

Рассìîтриì диíаìическую систеìу аффиííую ïî уïравлеíию

[TABLE]

где $u(x)$ – сигíал уïравлеíия, фуíкции $f(x)$, $g(x)$ и $u(x)$ – íеïрерывíî-диффереíцируеìые в îбласти $D$, ïричеì $f(0)=0$ и $g(0)=0$. Следуя теîреìе 2.3, сфîрìулируеì следующий результат.

Theorem 4.1**.**

Пусть задаíа ïîлîæительíî îïределеííая íеïрерывíî-диффереíцируеìая фуíкция $\rho(x)$ ïри $x\in D$. Тîгда систеìа (11) с закîíîì уïравлеíия $u=u(x)$ устîйчива (асиìïтîтически устîйчива), если выïîлíеíî îдíî из следующих услîвий:

1) $div\{\rho(x)(f(x)+g(x)u(x))\}\leq\rho(x)div\{f(x)+g(x)u(x)\}$ ($div\{\rho(x)(f(x)+g(x)u(x))\}<\rho(x)div\{f(x)+g(x)u(x)\}$) для любых $x\in D\setminus\{0\}$ и div\{\rho(x)(f(x)+g(x)u(x))\}\big{|}_{x=0}=0;

2) $div\{\rho^{-1}(x)(f(x)+g(x)u(x))\}\geq 0$ ($div\{\rho^{-1}(x)(f(x)+g(x)u(x))\}>0$) для любых $x\in D\setminus\{0\}$ и \lim_{|x|\to 0}\big{[}\rho^{2}(x)div\{\rho^{-1}(x)(f(x)+g(x)u(x))\}\big{]}=0;

3) $div\{\rho(x)(f(x)+g(x)u(x))\}\leq\beta(x)\rho^{2}(x)div\{\rho^{-1}(x)(f(x)+g(x)u(x))\}$, $\beta\geq 1$ ($div\{\rho(x)(f(x)+g(x)u(x))\}<\beta(x)\rho^{2}(x)div\{\rho^{-1}(x)(f(x)+g(x)u(x))\}$), где $\beta(x)>1$ и $div\{f(x)+g(x)u(x)\}\leq 0$ или тîлькî $\beta(x)=1$ для любых $x\in D\setminus\{0\}$, а такæе div\{\rho(x)(f(x)+g(x)u(x))\}\big{|}_{x=0}=0 и \lim_{|x|\to 0}\big{[}\rho(x)div\{\rho^{-1}(x)(f(x)+g(x)u(x))\}\big{]}=0.

Дîказательствî теîреìы 4.1 íеïîсредствеííî следует из дîказательства теîреìы 2.5.

Отìетиì, чтî ïри сиíтезе закîíа уïравлеíия с исïîльзîваíиеì фуíкции Ляïуíîва $V(x)$ требуется выбрать $u$ так, чтîбы былî выïîлíеíî алгебраическîе íеравеíствî $grad\{V\}(f+gu)<0$. Сîгласíî теîреìе 4.1, $u$ íеîбхîдиìî выбрать так, чтîбы былî выïîлíеíî диффереíциальíîе íеравеíствî, чтî дает íîвîе услîвие ïîиска закîíа уïравлеíия.

Приìеíиì теîреìу 4.1 для стабилизации лиíейíых систеì.

Следствие 2. Рассìîтриì систеìу $\dot{x}=Ax+Bu$ с уïравляеìîй ïарîй $(A,B)$ и закîí уïравлеíия $u=Kx$. Пусть выïîлíеíî îдíî из следующих услîвий

[TABLE]

или

[TABLE]

где $P$ – ïîлîæительíî îïределеííая сиììетричíая ìатрица, $\kappa>0$ и $trace(A+BK)\leq 0$ или тîлькî $\kappa=0$, $\gamma>0$. Тîгда заìкíутая систеìа устîйчива.

Дîказательствî следствия 2 íеïîсредствеííî следует из теîреìы 3.2 и следствия 1 в силу уравíеíия заìкíутîй систеìы $\dot{x}=(A+BK)x$.

Пîскîльку íеравеíства (12) (ïри $\kappa=0$) и (13) являются лиíейíыìи, тî для расчета ìатрицы $K$ ìîæíî исïîльзîвать любые существующие ïрîграììíые ïакеты, реøающие ЛМН. Åсли æе вîсïîльзîваться теîреìîй 3.1 [12], тî ìатричíîе íеравеíствî (8) ïри íаличии уïравлеíия $u=Kx$ íельзя свести к ЛМН. Бîлее тîгî, как былî ïîказаíî раíее, íеравеíствî (8) из [12] (заìеíив $A$ íа $A+BK$) ìîæет иìеть реøеíие для íеустîйчивîй ìатрицы $A+BK$, чтî íе ïриведет к сиíтезу стабилизирующегî регулятîра. Наïриìер, для A=\left[\begin{array}[]{cccc}{0}&{1}\\ {1}&{1}\end{array}\right], B=\left[\begin{array}[]{cccc}{0}\\ {1}\end{array}\right], $K=[-0.7082-2.2651]$ и $\alpha=1$, реøеíие (8) (заìеíив $A$ íа $A+BK$) îïределеíî в виде P=\left[\begin{array}[]{cccc}{0.7712}&{0.3508}\\ {0.3508}&{1.122}\end{array}\right], а сîбствеííые числа ìатрицы $A+BK$ ïриблизительíî равíы $0.2$ и $-1.5$.

5 Заключеíие

Предлîæеíы íîвые ìетîды исследîваíия устîйчивîсти лиíейíых и íелиíейíых диíаìических систеì с исïîльзîваíиеì свîйств ïîтîка и дивергеíции вектîра фазîвîй скîрîсти, кîтîрые îбîбщают результаты [17, 12, 22]. Для исследîваíия устîйчивîсти требуется существîваíие îïределеííîгî вида ïîверхíîсти иíтегрирîваíия или всïîìîгательíîй скалярíîй фуíкции, îдíакî свîйства кîтîрîй зависят îт свîйств ïîверхíîсти иíтегрирîваíия. Сфîрìулирîваíы íеîбхîдиìые и дîстатîчíые услîвия устîйчивîсти. Приìеíеíие ïîлучеííых результатîв для лиíейíых диíаìических систеì ïîзвîляет свести задачу исследîваíия устîйчивîсти к вîïрîсу разреøиìîсти íîвых ìатричíых íеравеíств, а такæе ЛМН. Результаты ïриìеíеíы к сиíтезу закîíîв уïравлеíия для лиíейíых и íелиíейíых диíаìических систеì. Пîказаíî, чтî для выбîра закîíа уïравлеíия требуется разреøить диффереíциальíîе íеравеíствî îтíîсительíî сигíала уïравлеíия, в тî вреìя как ïри исïîльзîваíии аïïарата фуíкций Ляïуíîва требуется разреøить алгебраическîе íеравеíствî.

Список литературы

• [1]

Афаíасьев В.Н., Кîлìаíîвский В.Б., Нîсîв В.Р. Матеìатическая теîрия кîíструирîваíия систеì уïравлеíия. М: Высøая øкîла, 2003.

• [2]

Ляïуíîв А.М. Общая задача îб устîйчивîсти двиæеíия. М–Л: ГИТТЛ, 1950.

• [3]

Четаев Н.Г. Устîйчивîсть двиæеíия. М: 1955.

• [4]

Летîв А.М. Устîйчивîсть íелиíейíых регулируеìых систеì. М: Физìатгиз, 1962.

• [5]

Малкиí И. Теîрия устîйчивîсти двиæеíия. М: Наука, 1966.

• [6]

Зубîв В.И. Устîйчивîсть двиæеíия. Метîды Ляïуíîва и их ïриìеíеíие. М: Высø. øк., 1984.

• [7]

Руìяíцев В.В., Озираíер А.С. Устîйчивîсть и стабилизация двиæеíия ïî îтíîøеíию к части ïереìеííых. М: Наука, 1987.

• [8]

Yuan R., Ma Y.-A., Yuan B., Ao P. Lyapunov function as potential function: A dynamical equivalence // Chin. Phys. B. 2014. V. 23. N. 1. P. 010505.

• [9]

Bikdash M.U., Layton R.A. An Energy-Based Lyapunov Function for Physical Systems // IFAC Proceedings. 2000. V. 33. N. 2. P. 81-86.

• [10]

Willems J.C. Dissipative dynamical systems, part I: General theory; part II: Linear systems with quadratic supply rates // Arch. Rational Mech. Anal. 1972. V. 45. N. 5. P. 321–393.

• [11]

Rantzer A., Parrilo P.A. On convexity in stabilization of nonlinear systems // Proc. of the 39th IEEE Conf. on Decision and Control. Sydney, Australia. 2000. P. 2942-2946.

• [12]

Rantzer A. A dual to Lyapunov’s stability theorem // Systems & Control Letters. 2001. V. 42. P. 161–168.

• [13]

Æукîв В.П. Об îдíîì ìетîде качествеííîгî исследîваíия устîйчивîсти íелиíейíых систеì // АиТ. 1978. № 6. С. 11–15.

• [14]

Арíîльд В.И. Матеìатические ìетîды классическîй ìехаíики. М: Наука, 1974.

• [15]

Æукîв В.П. К ìетîду истîчíикîв для исследîваíия устîйчивîсти íелиíейíых систеì // АиТ. 1979. № 3. С. 12-17.

• [16]

Æукîв В.П. Неîбхîдиìые и дîстатîчíые услîвия íеустîйчивîсти íелиíейíых автîíîìíых диíаìических систеì // АиТ. 1990. № 12. С. 59–65.

• [17]

Æукîв В.П. Дивергеíтíые услîвия асиìïтîтическîй устîйчивîсти íелиíейíых диíаìических систеì втîрîгî ïîрядка // АиТ. 1999. № 7. С. 34-43.

• [18]

Monzon P. On necessary conditions for almost global stability // IEEE Trans. Automatic Control. 2003. V. 48. N. 4. P. 631-634.

• [19]

Loizou S.G., Jadbabaie A. Density Functions for Navigation-Function-Based Systems // IEEE Trans. Automatic Control. 2008. V. 53. N. 2. P. 612-617.

• [20]

Casta$\tilde{n}$eda Á., Robledo G. Differentiability of Palmer’s linearization Theorem and converse result for density functions // Journal of Differential Equations. 2015. V. 259. N. 9. P. 4634-4650.

• [21]

Karabacak $ddot{\rm O}$, Wisniewski R., Leth J. On the Almost Global Stability of Invariant Sets // Proc. of the 2018 European Control Conference (ECC 2018), Limassol, Cyprus, 2018. P. 1648-1653.

• [22]

Фуртат И.Б. Исследîваíие устîйчивîсти диíаìических систеì с исïîльзîваíиеì свîйств ïîтîка вектîра фазîвîй скîрîсти через заìкíутую выïуклую ïîверхíîсть // Научíî-техíический вестíик иíфîрìациîííых техíîлîгий, ìехаíики и îïтики. 2013. № 1, тîì 83. С. 23-27.

• [23]

Халил Х.К. Нелиíейíые систеìы. М-Иæевск: Иíститут кîìïьютерíых исследîваíий, 2009.

\AdditionalInformation

Фуртат И.Б.ИПМаø РАН, ведущий íаучíый сîтрудíик, Уíиверситет ИТМО, ïрîфессîр, Саíкт-Петербургcainenash@mail.ru

Рис. 1. Геîìетрическая иллюстрация случая 1 теîреìы 2.1.

Рис. 2. Геîìетрическая иллюстрация случая 2 теîреìы 2.1.

Рис. 3. Фазîвые траектîрии систеìы (4) ïри $c=1$ (слева) и $c=-1$ (сïрава).

Рис. 4. Фазîвый ïîртрет (5) ïри $b=0.1$.

Рис. 5. Фазîвый ïîртрет систеìы (6) с двуìя тîчкаìи равíîвесия.

Рис. 6. Фазîвые траектîрии систеìы (7).

Abstract

New necessary and sufficient conditions are proposed for the stability investigation of dynamical systems using the flow and the divergence of the phase vector velocity. The obtained conditions generalize the well-known results of V.P. Zhukov and A. Rantzer. The relation of Lyapunov methods with the proposed methods is established. The application of the obtained results to study the stability of linear systems goes to the problem of matrix inequality solvability. The new control laws are synthesized for linear and nonlinear systems. Examples illustrate the applicability of the proposed method and show the comparison results with some existing ones.

Key words: dynamic system, stability, flow of a vector field, divergence, Gauss theorem, control.