Corps valu\'es locaux
Mouad Moutaoukil, Abdelkader Benaissat

TL;DR
This paper explores local fields, such as p-adic numbers and formal Laurent series, highlighting their foundational role in number theory, algebra, and topology, and discussing their applications in elementary and algebraic number theory.
Contribution
It provides an overview of local fields, their properties, and applications, connecting general algebraic and topological concepts to specific local field examples.
Findings
Local fields bridge number theory, algebra, and topology.
p-adic numbers and Laurent series are key examples.
Applications in elementary and algebraic number theory.
Abstract
Many active mathematical research topics nowadays include the concepts of valued fields and local fields, especially the local field of p-adic numbers Qp and the field of formal Laurent series F((X)). Local fields are a notion situated in the boundary between number theory, algebra and topology. They use many definitions and theorems - more or less advanced - of general algebra and topology. Gradually, we will go from the general to the local, from the valued fields to the local fields, of which we will discuss some applications, especially in elementary and algebraic number theory.
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Taxonomy
Topicsadvanced mathematical theories · Algebraic Geometry and Number Theory · Advanced Topology and Set Theory
Corps valués locaux
Abdelkader BENAISSAT et Mouad MOUTAOUKIL
Abdelkader BENAISSAT
Mouad MOUTAOUKIL
Corps valués locaux
Et applications à la théorie des nombres
Faculté des sciences Dhar El Mehraz - Département de mathématiques
Université Sidi Mohamed Ben Abdellah, Fès - Maroc
Résumé
Beaucoup de sujets mathématiques de recherche très actifs de nos jours touchent les concepts de corps valués et corps valués locaux, surtout le corps des nombres -adiques et le corps des séries formelles de Laurent . Les corps valués locaux sont une notion située un peu dans la frontière entre la théorie des nombres, l’algèbre et la topologie. Ils utilisent beaucoup de définitions et théorèmes -plus ou moins avancés- d’algèbre et topologie générales. Progressivement, on ira du général au local, des corps valués aux corps valués locaux, dont on verra quelques applications surtout en théorie des nombres élémentaire et algébrique.
Mots clés :
corps locaux, théorie des nombres, valuation, nombres p-adiques, vulgarisation.
Abstract
Many active mathematical research topics nowadays include the concepts of valued fields and local fields, especially the local field of -adic numbers and the field of formal Laurent series . Local fields are a notion situated in the boundary between number theory, algebra and topology. They use many definitions and theorems - more or less advanced - of general algebra and topology. Gradually, we will go from the general to the local, from the valued fields to the local fields, of which we will discuss some applications, especially in elementary and algebraic number theory.
Keywords :
local fields, number theory, valuation, p-adic numbers, popularization.
Table des matières
-
2.2.3. Quelques propriétés topologiques des corps valués locaux
-
1.2. Quelques résultats dans les corps locaux non archimédiens
Introduction générale
La notion de valeur absolue, qu’on connaît depuis le collège et qu’on généralise au module en terminale, peut être encore plus généralisée, à tout corps, introduisant ainsi les corps valués, qu’on passera au filtre de la localisation pour récolter un fruit très utile et intéressant : les corps valués locaux. Ce travail se présente dans le cadre de notre projet de fin d ’études en vue de l’obtention d’une licence en mathématiques, qui traite justement de ”corps valués locaux”.
Après un travail acharné et passionné, incluant des nuits blanches et beaucoup de documentation, nous décidâmes de commencer notre projet par une partie préliminaire introduisant les notions et outils d’algèbre générale et de topologie nécessaires à la bonne compréhension des deux parties suivantes et qui constituent le cœur de notre sujet.
La première partie présentera les corps valués et leurs propriétés, commençant par l’application valeur absolue et terminant par quelques propriétés topologiques, en passant par les notions de complétude et surtout complétion.
La deuxième partie est le cœur et corps de notre sujet. Ayant désormais les moyens nécessaires à définir une telle notion qu’est les corps valués locaux, on clôturera en présentant les extensions de ces corps ainsi que quelques unes de leurs structures.
La troisième et dernière partie consistera à concrétiser un peu les notions discutées en introduisant quelques applications et se terminera en revenant un peu au plus simple en vulgarisant le corps local des nombres p-adiques d’une façon accessible même aux lycéens, ou encore aux collégiens précoces.
Positionnement historique
Les notions relatives aux corps valués virent le jour, pour la plupart,
au cours du siècle, grâce à une génération de mathématiciens influencée par les idées de Fréchet et de Riesz sur la topologie, et par celles de Steinitz sur l’algèbre. Cette génération va savoir rendre assimilables et mettre à leur vraie place les travaux de Hensel. Dès 1913, Kürschak définit de façon générale la notion de valeur absolue et reconnaît l’importance des valeurs absolues ultramétriques (donnant l’exemple par la valeur p-adique). Ostrowski va ensuite déterminer toutes les valeurs absolues sur le corps des rationnels .
Entre 1920 et 1935, cette théorie va encore avancer avec une étude plus détaillée des valeurs absolues non nécessairement discrètes et l’introduction d’une notion plus générale qui est la valuation par Krull. Des études plus profondes s’ensuivirent, traitant surtout de la structure des corps valués complets et des anneaux locaux complets.
Préliminaires
Introduction
Avant de passer au vif de notre sujet, nous avons jugé nécessaire de présenter cette partie préliminaire, qui constitue un rappel et un complément sur des notions d’algèbre et topologie générales dont on aura besoin pour une présentation correcte des corps valués locaux. Cependant, ce rappel/complément est loin de cerner tous les concepts qui seront abordés, le lecteur est donc supposé familier avec les définitions des notions basiques d’algèbre et de topologie, et les propriétés élémentaires de ces structures, qui ont été vues et revues pendant notre programme de licence, et introduites bien avant.
1. Algèbre générale
1.1. Compléments sur les groupes
La théorie des groupes constitue une partie fondamentale de l’algèbre générale. La notion de groupe quotient, dont on aura besoin pour notre sujet, est apparue, pour la première fois, chez Jordan, mais c’est Hölder qui a introduit l’expression ”quotient des groupes et ” en 1889.
1.1.1. Groupes quotients
Construction du quotient d’un groupe :
Soit un groupe et un sous-groupe de . On considère la relation définie sur par :
On vérifie facilement que est une relation d’équivalence sur . On note l’ensemble des classes d’équivalence de la relation sur . C’est l’ensemble quotient du groupe suivant . Sous des conditions sur , on peut définir sur l’ensemble une loi de groupe.
Sous-groupe distingué :
On dit que le sous-groupe de est distingué ou normal, si pour tout dans et tout dans on a : .
On note le fait que soit normal dans .
Construction du groupe quotient :
Si est un sous-groupe distingué de , l’ensemble muni de la loi interne induite de sur a une structure de groupe.
Exemple :
Soit . Si on définit sur la relation d’équivalence suivante : .
On considère le groupe additif et son sous-groupe . L’ensemble des classes d’équivalence de la relation , , muni de la loi induite est un groupe commutatif.
On peut définir sur une loi multiplicative. L’ensemble muni de cette loi n’est pas toujours un groupe. Une conséquence directe du théorème de Bézout est que est un groupe si et seulement si est un nombre premier.
1.1.2. Propriétés
est un groupe trivial, réduit à l’élément neutre de .
Si est commutatif ou cyclique, il en est de même pour .
Rappelons qu’il n’existe, à isomorphisme près, qu’un seul groupe cyclique infini qui est , et qu’un seul groupe d’ordre , qui est .
1.2. Compléments sur les anneaux et les corps
La théorie des anneaux et des corps a été développée à partir de la fin du 19ème siècle, notamment sous l’influence de David Hilbert et Emmy Noether. Elle a joué un rôle central dans le développement des mathématiques du 20 ème siècle, et elle a, jusqu’à nos jours, des applications en mathématiques, en cryptographie et en physique.
1.2.1. Définitions initiales
Un corps commutatif est un anneau commutatif non nul pour lequel tout élément non nul admet un inverse.
i.e. est un groupe abélien dont l’élément neutre est noté [math],
est également un groupe abélien et son élément neutre est noté ,
est distributive par rapport à .
Soit une partie de . Si est un sous groupe de et muni de un sous groupe de , alors est un sous corps de .
Le plus petit sous-corps d’un corps contenant la partie est appelée sous-corps de engendré par .
Un corps est dit premier s’il ne contient aucun sous-corps strict.
Si est un corps, le sous-corps engendré par est un corps premier. C’est le sous-corps premier de .
1.2.2. Rappel et complément sur les idéaux
Définition :
Une partie d’un anneau est appelée idéal à gauche (resp. à droite) de , lorsque :
-
est un sous-groupe additif de A
-
Pour tout de et tout de , (resp. ).
On appelle idéal bilatère de , toute partie qui est simultanément idéal à gauche et à droite.
Si est un idéal bilatère, le groupe quotient peut être muni d’une structure d’anneau, qu’on appelle anneau quotient.
Idéal premier :
Un idéal de est dit premier si et seulement si l’anneau quotient est un anneau intègre.
Idéal maximal :
Un idéal de est dit maximal si et seulement si est contenu exactement dans deux idéaux, et lui-même.
Dans un anneau commutatif, un idéal bilatère est maximal si et seulement si l’anneau quotient est un corps.
Tout idéal maximal est donc premier.
Prolongement d’une fonction :
Soient et deux fonctions définies respectivement sur et à valeurs dans et (respectivement) tel que , coïncide avec sur et , on dit alors que est un prolongement de .
Anneau intègre :
On dit qu’un anneau est intègre (ou que est un anneau d’intégrité) s’il est commutatif, non réduit à , et si le produit de deux éléments non nuls de est non nul.
Anneau local et corps résiduel d’un anneau :
Un anneau local est un anneau possédant un unique idéal maximal . Le quotient d’un anneau local par son idéal maximal s’appelle le corps résiduel de , on le note souvent .
Anneau principal :
Un anneau principal est un anneau intègre dont tout idéal est principal (un idéal principal est un idéal engendré par un seul élément).
Anneau noethérien :
On dit qu’un anneau est noethérien si toute suite croissante d’idéaux de est stationnaire 111rappelons qu’une suite est stationnaire s’il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont égaux(ou, ce qui revient au même, si tout idéal de est engendré par un nombre fini d’éléments).
Corps des fractions d’un anneau :
Le corps des fractions d’un anneau intègre est le plus petit corps commutatif (à isomorphisme près) contenant .
Relation de domination entre anneaux locaux :
Soient et deux anneaux locaux. On dit que domine si est un sous-anneau de et si . On notera que si est un anneau, la relation ” domine ” est une relation d’ordre dans l’ensemble des sous-anneaux locaux de .
Anneau intégralement clos :
Un élément d’un anneau contenant est dit entier sur s’il vérifie une équation dite ” de dépendance intégrale ” :
, avec
On dit que est intégralement fermé dans un anneau le contenant si tout élément de qui est entier sur appartient à . On dit que est intégralement clos s’il est intègre et s’il est intégralement fermé dans son corps des fractions.
1.2.3. Extension de corps
Définition d’une extension de corps :
Soit un corps, une extension de est un corps tel que soit sous-corps de . On note le fait que soit une extension de .
Si est une extension de , il est muni d’une structure de K-espace vectoriel via la multiplication.
Degré d’une extension :
Si est de dimension finie sur , on note la dimension du K-espace vectoriel . C’est un entier qu’on appelle degré de l’extension sur . On dit dans ce cas que est fini sur .
Si est fini sur et est fini sur , alors est fini sur et on a :
Élément algébrique - élément transcendant :
Un élément de est dit algébrique s’il est racine d’un polynôme non nul à coefficients dans , sinon il est transcendant.
Plus formellement, si est une extension et un élément de . On définit un morphisme d’anneaux (également de K-espaces vectoriels) par ,
-
Si est injectif, on dit que est transcendant sur .
-
Si n’est pas injectif, on dit que est algébrique sur .
Extension algébrique :
Une extension est dite algébrique si tout élément de est algébrique sur .
Clôture algébrique :
Un corps commutatif est dit algébriquement clos si tout polynôme de degré supérieur ou égal à , à coefficients dans , admet (au moins) une racine dans .
Une extension d’un corps commutatif est dite clôture algébrique si est algébrique et est algébriquement close.
Tout corps possède une clôture algébrique, et elle est unique à isomorphisme près (non trivial).
2. Topologie générale
Ce qu’on appelle aujourd’hui topologie générale est l’étude mathématique qualitative des lieux et des relations spatiales : elle introduit, entre autres, les notions de proximité, frontière, localité, continuité, ainsi que leurs liens mutuels. C’est Riemann qui est généralement considéré comme étant à l’origine de la topologie.
2.1. Structure topologique
2.1.1. Ensemble ouvert
Définition (Topologie et ensemble ouvert) :
On appelle structure topologique (ou topologie) sur un ensemble une structure constituée par la donnée d’un ensemble de parties de possédant les propriétés suivantes (dites axiomes des structures topologiques) :
(): Toute réunion d’ensembles de est un ensemble de O.
- -
(): Toute intersection finie d’ensembles de est un ensemble de .
Les ensembles de sont appelés ensembles ouverts de la structure topologique définie par sur .
On appelle ensemble fermé le complémentaire d’un ensemble ouvert de .
On appelle espace topologique un ensemble muni d’une structure topologique et on note .
Remarque :
Certains exposés ajoutent inutilement aux axiomes et l’axiome selon lequel et sont des éléments de , qu’on peut déduire des deux premiers comme suit :
L’axiome () implique en particulier que la réunion de la partie vide de , (c’est-à-dire l’ensemble vide) appartient à .
En effet pour une famille de sous ensembles de tel que quel que soit alors que pour on a , donc .
- -
L’axiome () implique que l’intersection de la partie vide de , (c’est-à-dire l’ensemble ) appartient à .
En effet pour une famille de sous ensembles de tel que pour fini alors si on prend on a , donc .
Définition (Recouvrement ouvert) :
Un recouvrement de est une famille de telle que , si de plus est un ensemble fini, on dit que est un recouvrement fini de .
- -
Soit un recouvrement de . Si tel que , on dit que est un sous-recouvrement de . Si de plus, est fini, on dit alors que est un sous-recouvrement fini de .
- -
Un recouvrement d’une partie A d’un espace topologique est dit ouvert si tous les sont ouverts dans .
2.1.2. Exemples de topologies :
Un ensemble peut généralement être muni de plusieurs topologies distinctes. Parmi celles-ci on peut citer :
Topologie grossière et topologie discrète :
La topologie grossière est celle qui comporte le moins d’ouverts : .
À l’autre extrémité, la topologie discrète est celle pour laquelle toute partie de est ouverte : , ensemble de toutes les parties de .
Topologie des espaces métriques :
La notion d’espace métrique fut introduite en 1906 par M. Fréchet, et développée quelques années plus tard par F. Hausdorff. Elle acquit une grande importance après 1920, d’une part grâce aux travaux fondamentaux de S. Banach sur les espaces normés et leurs applications à l’analyse fonctionnelle, de l’autre en raison de l’intérêt que présente la notion de valeur absolue en Arithmétique et en Géométrie algébrique (où notamment la complétion par rapport à une valeur absolue se montre très féconde).
Une distance (ou métrique) sur un ensemble est une application
possédant, pour tous , les propriétés suivantes :
- -
- -
(Inégalité triangulaire)
Muni de la distance , est appelé espace métrique, et on note un tel espace . Le nombre réel positif est appelé la distance entre et dans .
Dans un un espace métrique , et pour et . On appelle boule ouverte de centre et de rayon l’ensemble :
On peut définir une topologie sur un espace métrique comme étant l’ensemble des boules ouvertes de .
Topologie de et :
Soit un ensemble = ou .
On appelle intervalle ouvert toute partie de de l’un des types suivants :
, .
- -
, .
- -
, .
On appelle ouvert de toute réunion d’intervalles ouverts. Les ouverts de définissent une topologie dite topologie ordonnée.
2.2. Voisinages
2.2.1. Définitions
Voisinages :
Dans un espace topologique , on appelle voisinage d’une partie A de tout ensemble qui contient un ensemble ouvert contenant A.
Les voisinages d’une partie réduite à un seul point s’appellent aussi voisinages du point .
On note la famille des voisinages de .
Base de voisinages :
Soient un espace topologique et . On appelle système fondamental de voisinages de ou base de voisinages de , toute famille de voisinages de telle que pour tout voisinage de , il existe tel que .
2.2.2. Exemple : Base de voisinages sur la droite rationnelle
Sur la droite rationnelle , l’ensemble des intervalles ouverts contenant un point est un système fondamental de voisinages de ce point. Il en est de même pour l’ensemble des intervalles ouverts , et pour l’ensemble des intervalles fermés avec ou une suite infinie strictement croissante à valeurs dans . 222On a des résultats analogues pour la droite numérique de .
2.3. Adhérence
Définition :
Dans un espace topologique , on dit qu’un point est adhérent à un ensemble lorsque tout voisinage de rencontre . L’ensemble des points adhérents à s’appelle adhérence de et se note .
2.4. Densité
Définition (par l’adhérent) :
On dit qu’une partie A d’un espace topologique est dense dans 333ou encore est partout dense, lorsqu’il n’en résulte pas de confusion sur si .
Autrement dit, si pour toute partie ouverte non vide de , est non vide.
Définition (par les suites) :
On dit qu’une partie d’un espace topologique est dense dans si et seulement si pour tout de il existe une suite qui converge vers .
2.5. Séparabilité
Définition (espace topologique séparé) :
Un espace topologique est dit séparé ou un espace de Hausdorf s’il vérifie la propriété suivante, appelée axiome de Hausdorff: 444Certains mathématiciens définissent un espace séparé par six axiomes, alors qu’on peut les résumer à celui de Hausdorff
(H): Pour tout couple de points distincts de , il existe un voisinage de et un voisinage de disjoints.
Exemples :
La droite des nombres rationnels :
La droite rationnelle est séparée, car si , sont deux nombres rationnels tels que , et un nombre rationnel tel que , les voisinages respectifs et de et ne se rencontrent pas.
Les espaces métriques :
Tout espace métrique est séparé : soient en effet et deux points distincts de ; alors et sont des voisinages, respectivement de et de , disjoints.
2.6. Complétude
Définition (Suite de Cauchy) :
Soit (X, d) un espace métrique.
Une suite dans est dite suite de Cauchy si pour tout , il existe tel que pour tout vérifiant et , on ait .
Il revient au même de dire que pour tout , il existe tel que pour tout vérifiant et pour tout , on a .
Définition (Espace complet) :
Soit un espace métrique. On dit que est complet si toute suite de Cauchy dans est convergente.
2.7. Complétion
La complétion est une notion indispensable pour notre sujet, c’est, en de simples mots, l’extension d’un espace uniforme (souvent un espace métrique pour nous) en un autre espace dans lequel s’envoie , qui est complet et qui est minimal parmi ceux-ci.
Construction :
Un espace métrique non complet possède au moins une suite de Cauchy qui ne converge pas. Le complété de est obtenu en ajoutant les limites des suites de Cauchy. Par exemple, , muni de la métrique de distance, n’est pas complet car il existe des suites de Cauchy qui ne convergent pas, en l’occurrence, 1, 1.4, 1.41, 1.414, … ne converge pas parce que n’est pas rationnel. Le complété de est . Remarquons que le complété dépend de la métrique. Par exemple, pour tout premier, peut être muni de la norme p-adique, et alors le complété de l’ensemble des rationnels est l’ensemble des nombres p-adiques.
Techniquement parlant, le complété de est l’ensemble des limites des suites de Cauchy. est contenu dans cet ensemble, en considérant les suites constantes.
Lorsque est séparé - c’est en particulier le cas si est métrique - est un sous-espace de son complété.
2.8. Compacité
Définition (Espace topologique compact) :
Soit un espace topologique séparé. On dit que est compact s’il vérifie la propriété dite **propriété de Borel-Lebesgue :
**De tout recouvrement ouvert de , on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Autrement dit, pour toute famille d’ouverts de telle que , il existe un sous-ensemble fini de tel que .
Proposition :
Soit un espace topologique séparé. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
est compact.
De toute famille de fermés de dont l’intersection est vide, on peut extraire une sous-famille finie dont l’intersection est vide.
Toute famille de fermés de dont toute sous-famille finie est d’intersection non vide, est elle-même d’intersection non vide.
Propriétés:
Si est une famille de parties compactes de , alors l’intersection quelconque est compacte, toute réunion finie de parties compactes est également compacte.
- -
Si est compact et est fermée dans , alors est compacte.
- -
Tout intervalle fermé et borné de est compact (Théorème de Heine).
Définition (Espace topologique localement compact) :
Soit un espace topologique séparé. On dit que est localement compact si tout point de admet un voisinage compact.
Exemples :
- a -
Tout espace compact est localement compact.
- b -
La droite réelle et plus généralement, l’espace , sont localement compacts.
- c -
Tout espace muni de la topologie discrète est localement compact. En particulier, (muni de sa topologie de sous-espace de ) est localement compact.
- d -
L’ensemble des rationnels , pour sa topologie de sous-espace de , n’est pas localement compact.
Propriétés :
Les parties ouvertes et les parties fermées d’un espace localement compact sont localement compactes.
- -
Dans un espace séparé, l’intersection de deux parties localement compactes est localement compacte. Par contre, la réunion de deux parties localement compactes n’est pas en général localement compacte.
Définition (Espace topologique précompact) :
Un espace métrique est dit précompact si son complété est compact.
Proposition :
Un espace métrique est précompact si et seulement si, pour tout , cet espace peut être recouvert par un nombre fini de boules ouvertes de rayon .
2.9. Compactification
2.9.1. Espace compactifié
Définition (Compactifié d’un espace topologique) :
Une compactification d’un espace topologique est la donnée d’un couple constitué d’un espace compact et d’un homéomorphisme de sur un sous-ensemble dense de .
On identifie fréquemment l’espace avec . Et on dit simplement que est un compactifié de . Si est déjà compact, l’espace est homéomorphe à , et dans ce cas, il ne sert à rien de parler de compactifié de .
2.9.2. Compactification d’Alexandroff
Ingrédients pour construire un espace compactifié d’Alexandroff :
Soit un espace localement compact. Ajoutons à un nouveau point, noté ou et appelé point à l’infini, et considérons l’ensemble :
.
On dit souvent que est le point à l’infini de , et que résulte de par adjonction d’un point à l’infini.
Soit l’ensemble des parties de défini par : une partie de appartient à si appartient à , ou bien si est le complémentaire dans d’un compact de . On peut vérifier que est une topologie sur .
Il est clair que l’espace , muni de la topologie , est séparé.555On peut construire l’espace pour n’importe quel espace topologique , mais dans ce cas, n’est pas toujours séparé. En fait, est séparé si et seulement si est localement compact.
Définition (compactifié d’Alexandroff) :
Soit un espace localement compact. L’espace compact est appelé le **compactifié d’Alex-
androff** de .
2.10. Compacité des espaces quotients
2.10.1. Définitions :
Définition (Application propre) :
Soient des espaces topologiques, avec séparé et une application.
On dit que est propre si est continue et fermée (envoie les fermés du premier espace vers les fermés du second) et si pour tout , est une partie compacte de .
Définition (Saturé pour une relation d’équivalence) :
Soit un ensemble et soit A une partie de , l’ensemble des points de qui sont équivalents à un point de A est appelé le saturé de A pour la relation d’équivalence.
Le saturé de A s’écrit alors où est la projection canonique de sur .
Définition (Relation d’équivalence ouverte/fermée) :
soient une relation d’équivalence ouverte (resp. fermée) dans un espace topologique , l’application canonique , A une partie de . Supposons que l’une des deux conditions suivantes soit vérifiée :
- a -
A est ouvert (resp. fermé) dans .
- b -
A est saturé pour .
Sous ces conditions, la relation induite sur A est ouverte (resp. fermée) et l’application canonique de sur est un homéomorphisme.
Définition (Graphe d’une relation d’équivalence) :
Soient une relation d’équivalence sur un espace topologique , on appelle graphe de l’ensemble .
Définition (Séparation d’un espace quotient) :
Cherchons des conditions pour qu’un espace quotient soit séparé (auquel cas on dit que la relation d’équivalence est séparée). En premier lieu, si est séparé, les ensembles réduits à un point dans sont fermés, donc toute classe d’équivalence suivant est fermée dans . Cette condition nécessaire n’est pas suffisante; la définition des ensembles ouverts dans donne la condition nécessaire et suffisante suivante :
Pour que soit séparé, il faut et il suffit que deux classes d’équivalence distinctes dans soient respectivement contenues dans deux ensembles ouverts saturés sans point commun.
Autre condition plus maniable : Pour qu’un espace quotient soit séparé, il est nécessaire que le graphe de soit fermé dans . Cette condition est suffisante lorsque la relation est ouverte.
Dans un espace régulier (séparé et l’ensemble des voisinages fermés d’un point quelconque de est un système fondamental de voisinages de ce point), toute relation d’équivalence à la fois ouverte et fermée est séparée.
2.10.2. Espaces quotients compacts
Soient un espace compact, une relation d’équivalence dans , son graphe dans et l’application quotient. Les propriétés suivantes sont équivalentes.
L’espace topologique quotient est séparé.
Le graphe est fermé dans .
La relation est fermée.
L’application quotient est propre.
En outre, lorsque une de ces propriétés est vérifiée, alors l’espace est compact.
2.10.3. Espaces quotients localement compacts
Soient un espace compact, une relation d’équivalence dans , son graphe dans et l’application quotient.
Soient = le compactifié d’Alexandroff de ; et la relation d’équivalence dans dont le graphe est . Les propriétés suivantes sont équivalentes :
L’application quotient est propre.
Le saturé pour de toute partie compacte de est un ensemble compact.
La relation est fermée.
La restriction à de l’application de dans est propre.
La relation est fermée et les classes suivant sont compactes.
En outre, lorsqu’une de ces propriétés est vérifiée, alors l’espace est localement compact.
2.10.4. Corollaire et proposition :
Soient un espace séparé, un espace topologique, une application propre. Pour que soit compact (resp. localement compact), il faut et il suffit que soit compact (resp. localement compact), et il suffit que Y soit compact (resp. localement compact).
Soient un espace localement compact, une relation d’équivalence ouverte et séparée dans , l’application canonique . Alors est localement compact, et pour toute partie compacte de , il existe une partie compacte de telle que .
Première partie :
*Corps valués et propriétés
1. La valeur absolue
1.1. Corps valué
Définition (Valeur absolue archimédienne) :
On appelle valeur absolue sur un corps une application de dans , satisfaisant aux conditions suivantes :
, .
, .
, .
En outre, une telle application est appelée valeur absolue archimédienne.
Définition (Valeur absolue non-archimédienne) :
Une valeur absolue sur un corps est dite non-archimédienne si elle vérifie de plus l’inégalité suivante :
, (Inégalité ultra-métrique)
Remarque :
D’après , on a , et comme il existe d’après au moins un tel que , on a ; on en tire , d’où également = 1, et par suite on en conclut que :
on a
Soit une valeur absolue sur un corps . L’inégalité triangulaire peut être généralisée (par récurrence) à éléments de par :
Soit une valeur absolue sur un corps . L’inégalité ultramétrique peut être généralisée (encore par récurrence) à éléments de par :
Soit une valeur absolue sur un corps . On a le résultat suivant :
, .
On l’utilise souvent pour montrer la continuité de la fonction valeur absolue.
On note (resp. ) l’ensemble des valeurs absolues (resp. des valeurs absolues ultramétriques) de .
Définition (Corps valué) :
On appelle corps valué un corps muni de la structure définie par la donnée d’une valeur absolue sur . Et on le note .
Si la valeur absolue est archimédienne, est appelé corps valué archimédien.
Si la valeur absolue est non-archimédienne, est appelé corps valué non-archimédien.
Exemples :
Valeur absolue impropre / triviale :
Soit un corps quelconque ; pour tout , posons = 1 si , et = 0 ; l’application ainsi définie est une valeur absolue sur , dite valeur absolue impropre.
Tout corps est donc valué car il possède au moins la valeur absolue triviale.
Remarque :
Si, dans un corps valué, est racine de l’unité, on a , car si pour un entier , on en tire d’où . En particulier, la seule valeur absolue sur un corps fini est la valeur absolue impropre, puisque tout élément du corps est racine de l’unité.
Valeur absolue d’un nombre réel/rationnel :
La fonction définie de ou vers (ou resp. ) :
|x|=\left\{\begin{array}[]{rcl}x&\mbox{si}&x\geqslant 0\\ -x&\mbox{si}&x\leqslant 0\end{array}\right.
est bel et bien une valeur absolue sur (resp. ).
Valeur absolue définie par une valuation :
Sur un corps , une valuation réelle est une fonction , définie dans , à valeurs dans , satisfaisant aux conditions suivantes:
Pour , , .
si en outre , .
Si est un nombre réel quelconque , on définit alors sur une valeur absolue en posant = pour , et = 0 pour .
En effet, de la relation pour et , on déduit la relation = pour ces valeurs de et , et cette relation est trivialement vérifiée si l’un des éléments est nul, de même, de pour , et , on déduit
\mid x+y\mid\leqslant\sup(\mid x\mid,\mid y\mid)\leqslant\mid x\mid+\mid y\mid\
Et ces inégalités sont encore vérifiées si l’un des éléments , , est nul.
Valeur absolue -adique sur :
C’est un cas particulier de l’exemple précédent, si est la valuation p-adique sur le corps des nombres rationnels (Exposant de dans la décomposition de en produit de facteurs premiers), la valeur absolue correspondante = est dite valeur absolue p-adique sur le corps .
Plus précisément :
Soit un nombre premier. On considère la fonction définie par ,
\mid x\mid_{p}=\left\{\begin{array}[]{rcl}p^{-k}&\mbox{si}&x=p^{k}\dfrac{a}{b}\\ 0&\mbox{si}&x=0\\ \end{array}\right. avec , où désigne le PGCD de et .
Lemme :
L’application est une valeur absolue sur . Elle vérifie, en outre, l’inégalité (ultramétrique) :
, .
Cette valeur absolue est appelée valeur absolue p-adique de .
Preuve :
Par définition de , l’égalité est satisfaite.
Si et avec alors et , ce qui nous donne et démontre l’égalité .
D’autre part, en supposant que (sinon on échange et ), on a
et
Puisque est un entier, il existe deux entiers et tels que = avec et .
En outre, est premier à et donc est premier à , ce qui nous donne l’inégalité
qui démontre les inégalités . et
1.2. Topologie des corps valués
1.2.1. Métrique définie par une valeur absolue
Soit un corps valué, alors on peut munir d’une métrique dite associée à la valeur absolue sur définie de la façon suivante :
,
En effet:
:
. d’où d’après :
:
d’après la première Remarque.
:
Et alors est un espace métrique. Si la valeur absolue de est non-archimédienne, alors la distance satisfait l’inégalité ultramétrique suivante :
1.2.1. Topologie d’un corps valué
Soient un corps valué, et . L’ensemble :
est la boule ouverte de centre et de rayon . Et l’ensemble :
est la boule fermée de centre et de rayon .
Pour et l’ensemble de toutes les boules ouvertes est une base de la topologie métrique définie sur .
Définition (Corps topologique) :
Soit un corps valué, alors muni de la topologie définie par la distance , est appelé corps topologique. C’est-à-dire les applications suivantes sont continues :
- 1 -
\begin{array}[]{ccccc}f_{1}&:&K^{2}&\to&K\\ &&(x,y)&\mapsto&x+y\\ \end{array}
- 2 -
\begin{array}[]{ccccc}f_{2}&:&K^{2}&\to&K\\ &&(x,y)&\mapsto&x.y\\ \end{array}
- 3 -
\begin{array}[]{ccccc}f_{3}&:&K^{2}&\to&K\\ &&(x,y)&\mapsto&x^{-1}\\ \end{array}
- 4 -
\begin{array}[]{ccccc}f_{4}&:&K^{2}&\to&K\\ &&(x,y)&\mapsto&-x\\ \end{array}
1.3. Équivalence des valeurs absolues666Dans cette sous-partie, désignera systématiquement un nombre premier.
Définition (Deux valeurs absolues équivalentes) :
Deux valeurs absolues sur un corps sont dites équivalentes si, et seulement si, elles définissent la même topologie (naturelle) sur . Autrement dit si, et seulement si, leurs distances associées respectives induisent la même topologie sur .
Remarque :
La relation ”être équivalent” est une relation d’équivalence sur l’ensemble des valeurs absolues d’un corps.
Lemme :
Soit un corps et , deux valeurs absolues sur . Les valeurs absolues et sont équivalentes ssi pour toute suite de
lorsque lorsque
Preuve :
– Supposons que les valeurs absolues et sont équivalentes.
Soit une suite de convergeant vers 0 pour la distance . Alors, pour tout voisinage ouvert de 0 (pour la distance ), il existe un rang tel que , . Or tout ouvert pour est un ouvert de , donc pour tout voisinage ouvert de 0 (pour la distance ), il existe un rang tel que , ce qui démontre que converge vers 0 pour .
– Supposons que pour toute suite de
lorsque lorsque
Démontrons que les ouverts pour sont les ouverts pour revient à démontrer que les fermés pour sont les fermés de (le complémentaire d’un ouvert est un fermé et vice-versa). La caractérisation séquentielle des fermés montre que est fermé ssi pour toute suite d’éléments de convergeant vers dans pour la distance alors .
Soit un fermé pour la distance et soit une suite d’éléments de convergeant vers pour la distance . Alors
.
On en déduit que la suite converge vers dans pour la distance et, puisque est fermé pour la distance , .
L’ensemble est donc fermé pour la distance . En échangeant les rôles de et , on conclut.
Théorème :
Soient et deux valeurs absolues sur , alors et , sont équivalentes ssi il existe un réel positif tel que ,
Preuve :
L’implication réciproque est évidente grâce au lemme précédent.
Pour l’implication directe, soit un élément de tel que .
La suite converge vers 0 dans donc elle converge vers 0 dans c’est-à-dire lorsque d’où . En échangeant le rôle joué par les deux valeurs absolues, on obtient que
ensuite en remplaçant par , on obtient
et par conséquent
Ainsi si est la valeur absolue triviale, on en déduit que est également la valeur triviale.
Supposons ne soit pas triviale : il existe tel que (donc ) ce qui implique qu’il existe
tel que
Soit tel que . Considérons le réel pour lequel . Pour tout rationnel , on a les équivalences suivantes :
En faisant tendre vers dans , on obtient que . En appliquant le même raisonnement à un rationnel puis en passant à la limite, on obtient que ce qui nous fournit l’égalité
valable pour tout élément de tel que . En remplaçant par et en utilisant la multiplicativité des valeurs absolues, on en déduit que
, tel que .
Soit tel que . L’élément qui vérifie donc on a :
(car ), ce qui nous permet d’affirmer que :
Corollaire :
Deux valeurs absolues et (respectivement -adique et -adique) sont équivalentes si, et seulement si, .
Preuve :
La réciproque est triviale. Pour l’implication directe, il suffit de considérer la suite . Elle converge vers 0 pour car :
quand
et si , elle ne converge pas vers 0 pour car :
Proposition :
Soient , , … et des valeurs absolues non triviales et non équivalentes deux à deux sur un corps , alors :
Il existe tel que et
Preuve :
Par récurrence sur :
Pour : n’est pas équivalente à
donc : \left\{\begin{array}[]{rcl}\mid b\mid_{1}<1&\mbox{et}&\mid b\mid_{2}\geqslant 1\\ \mid a\mid_{1}\geqslant 1&\mbox{et}&\mid a\mid_{2}<1\\ \end{array}\right.
Il suffit donc de prendre .
Pour , on choisit tel que et et tel que et . On a alors :
cas : Si , alors convient.
cas : Si , alors
Il suffit de prendre (pour assez grand).
cas : Si , alors
Ainsi convient pour assez grand.
Théorème (Approximation faible d’Artin-Whaples) :
Soit un corps muni des valeurs absolues , , … et non triviales et non équivalentes deux à deux , alors :
et , :
(C’est à dire que la diagonale de est partout dense dans ).
Preuve :
et .
Soit
= pour
et convient pour assez grand.
Lemme :
Une valeur absolue sur un corps est ultramétrique si et seulement si elle est bornée sur l’anneau premier.
Démonstration :
La nécessité est triviale.
Inversement :
Pour tout et pour tout .
On peut écrire (formule du binôme de Newton et inégalité triangulaire):
où est telle que , , d’où :
.
Il suffit de faire tendre vers pour obtenir le résultat.
Premier théorème d’Ostrowski :
Sur , il n’existe à l’équivalence près qu’une seule valeur absolue non ultramétrique. Elles sont toutes de la forme : où est la valeur absolue usuelle et .
Preuve :
Soit une valeur absolue non ultramétrique sur , alors pour tout entier naturel on a : .
D’où .
Soient et deux entiers supérieurs strictement à 1, alors il existe
tel que (1)
Et et (et si , ) (l’écriture de dans la base ).
On a : , alors :
(2) et
donc : (d’après (1) et le fait que )
alors :
d’après (2)
Si l’on substitue dans cette formule , , à et l’on prend la racine on a : Comme , ; on a :
(3)
étant non ultramétrique, elle n’est pas bornée sur (d’après le lemme précédent), il existe tel que ; pour , on a :
de sorte que (3) devient :
c’est à dire que . Par symétrie, ces deux membres ont la même valeur . D’où ou encore ;
On obtient : et de sorte que est équivalente à sur .
1.4. Caractérisations des valeurs absolues
Pour une application de dans , et un nombre réel , nous noterons la relation :
:
Nous noterons l’ensemble des applications de dans vérifiant les deux axiomes et de la valeur absolue et pour lesquelles il existe un (dépendant de ) tel que soit vraie.
On remarquera que si , on a, en faisant , dans , , donc .
Proposition 1 :
Pour qu’une application de dans vérifiant et appartienne à , il faut et il suffit que :
; : soit borné.
Démonstration :
:
Soit , si vérifie , On a :
et si , on aura :
Donc :
Donc :
; : est borné
:
Inversement, supposons que pour les tels que (ce qui entraîne ); alors :
Si ou :
la condition est vérifiée;
Si au contraire et , on peut par exemple supposer , donc, d’après :
et par suite , ce qui donne, en vertu de :
D’où
.
Si est une valeur absolue sur , on a par récurrence sur l’entier à partir de ; réciproquement :
Proposition 2 :
Soit une application de dans appartenant à ; s’il existe tel que pour tout entier , est une valeur absolue sur .
Démonstration :
Par récurrence sur , on déduit de () la relation
(1)
pour toute famille () de éléments de . Posons ; pour tout , on déduit de (1)
car on a donc
.
Faisons tendre vers , il vient pour tout ; appliquons cette inégalité en remplaçant par (pour ) et en tenant compte de (), on obtient la relation (), ce qui prouve la proposition.
Corollaire 1 :
Pour qu’une application de dans soit une valeur absolue, il faut et il suffit qu’elle vérifie les conditions (), () et ().
Démonstration :
C’est nécessaire, car () entraîne
.
Inversement, supposons que vérifie (), () et (); pour tout entier , soit le plus petit entier tel que ; si dans (1) on remplace par 2, les d’indice par 1 et les d’indice par 0, on obtient ; on peut alors appliquer la proposition 2 avec , donc est une valeur absolue.
Corollaire 2 :
Pour qu’une application de dans appartienne à , il faut et il suffit qu’elle soit de la forme , où et est une valeur absolue, sur .
En effet, dire que vérifie () équivaut à dire que vérifie (), comme il existe tel que , le corolaire 1 montre que pour une telle valeur de , est une valeur absolue.
Remarque :
On peut donner une autre définition d’une valeur absolue ultramétrique on se basant sur les derniers résultats :
On dit qu’une application de dans est une valeur absolue ultramétrique si elle vérifie les conditions (), () et () (ce qui entraîne évidemment que est une valeur absolue).
Proposition 3 :
Soit une application de dans . Les propriétés suivantes sont équivalentes :
- a) -
est une valeur absolue ultramétrique.
- b) -
Il existe une valuation de , à valeurs dans , et un nombre, réel tels que et .
- c) -
appartient à et l’on a pour tout entier .
- d) -
Pour tout , est une valeur absolue.
Démonstration :
Pour tout nombre réel tel que , l’application est un isomorphisme du groupe ordonné (muni de l’ordre opposé à l’ordre usuel) sur le groupe ordonné ; cela montre l’équivalence de a) et b) 777On parlera de façon plus détaillée de la relation entre les valeurs absolues et les valuations dans le début de la partie suivante.. Il est clair que a) implique c); c) entraîne d), car on déduit de c) que pour tout entier et la proposition 2 montre que est une valeur absolue. Enfin d) entraîne a) : en effet, si est une valeur absolue, elle vérifie (), donc vérifie () pour tout , et par suite aussi ( en faisant tendre vers .
Corollaire 3 :
Si est un corps (pas nécessairement commutatif) de caractéristique , toute fonction de est une valeur absolue ultramétrique.
Démonstration :
En effet, tout élément ( entier positif ) non nul appartient au sous-corps premier de , donc vérifie la relation , ce qui entraîne et l’on peut appliquer la proposition 3, c).
Remarque :
Étant donné un nombre réel tel que , les formules
,
établissent donc une correspondance biunivoque entre valeurs absolues ultramétr-iques sur et valuations de à valeurs réelles.
A la valeur absolue impropre correspond la valuation impropre. Soient , deux valuations de à valeurs réelles, et , les valeurs absolues correspondantes; pour que et soient équivalentes, il faut et il suffît que et le soient : en effet, dire que et sont équivalentes revient à dire que les relations et sont équivalentes, ou encore que les relations et sont équivalentes; il suffit donc d’appliquer les propositions vues précédemment.
2. Complétude et complétion d’un corps valué
2.1. Construction du complété d’un corps valué
Corps valué complet :
Soit un corps valué. On dit que est complet si l’espace métrique est complet.
i.e. Toute suite de Cauchy dans est convergente dans .
Complété d’un corps valué :
Soit un corps valué.
Comme mentionné dans la partie préliminaire, on peut obtenir le complété de en ajoutant les limites des suites de Cauchy de , est également contenu dans son complété en considérant les suites constantes, on verra que cette construction, dont l’origine est très simple, devient plutôt compliquée quand traduite en langage mathématique. Plus formellement, on pose :
l’ensemble des suites de Cauchy de , qui est un anneau unitaire,
qui est un idéal de ,
Et l’anneau quotient.
Proposition :
Soit un corps valué. L’ensemble est un corps. La valeur absolue de se prolonge de façon unique sur et on la note également . De plus, est complet et il est unique à un isomorphisme près.
est appelé complété de .
Démonstration :
On montre d’abord que est un anneau unitaire et que est un idéal de .
Toute suite est bornée. En effet,
Il existe entier tel que , on a :
;
En particulier,
, .
D’où
, et
est un anneau unitaire, d’unité .
Il suffit de vérifier que est un sous-anneau de l’anneau produit .
Si et deux éléments de , on a pour et :
ainsi :
Où :
et .
On en déduit que :
,
C’est-à-dire .
Soit maintenant dans , puisque :
On a :
Ce qui implique que . On vérifie facilement que est un idéal de .
L’anneau quotient est un corps.
Considérons . Puisque
la suite est de Cauchy dans , donc :
.
Ainsi, il existe et pour tout , on a :
,
Donc :
, .
Soit , la suite définie par pour et pour . Alors
, pour et .
De plus
,
Avec
.
Il vient que
et .
D’autre part, comme , , on a :
Posons la classe de modulo . Puisque , on a . Mais , il vient que si , sa classe est inversible dans . Mais la classe d’un élément de est non nulle dans si et seulement si . On en déduit que tout élément non nul de est inversible et est un corps.
Extension de la valeur absolue.
Soient et sa classe dans . Posons alors ne dépend pas de . En effet, si , on a :
Et comme
et
On obtient
On vérifie alors que
définit une valeur absolue sur .
Considérons l’injection canonique définie par . On a .
est complet.
Soit une suite de Cauchy. Considérons . Pour tout , il existe tel que pour , on a :
.
Mais il existe tel que , on a :
, pour tous .
Ainsi :
, , on a .
La suite appartient à . Si est la classe de , on a :
, pour tout
Donc
C’est-à-dire
et est complet.
Proposition :
est dense dans qui est unique à un isomorphisme près.
Démonstration :
Soit la classe de , pour tout , il existe tel que pour , on a :
Ainsi :
.
Il vient que :
et est dense dans .
Soient un corps valué complet, un morphisme isométrique de corps. Alors se prolonge de façon unique en un morphisme isométrique :
,
En posant pour ,
.
Si de plus est dense dans , on a :
Dans ces conditions et sont isométriquement isomorphes et est unique à un isomorphisme isométrique près.
2.2. Exemples
muni de la valeur absolue usuelle se complète en :
Le corps des nombres réels peut être construit de plusieurs façons équivalentes dont deux sont les plus importantes : la construction par les coupures de Dedekind, imaginée par Richard Dedekind, et la complétion de pour la valeur absolue usuelle. Ce qui implique, entre autres et d’après ce qui précède, que est complet et que est dense dans .
muni de la valeur absolue -adique se complète en :
On peut munir , comme vu précédemment, de la valeur absolue -adique, définie à partir de la valuation -adique; compléter ce corps entraînera la construction du corps des nombres -adiques, qu’on notera et qu’on utilisera tout au long de notre projet. Cette complétion a été l’origine de l’émergence de toute une branche de mathématiques : l’analyse -adique.
Définitions :
Anneau des entiers.
Soit un corps valué et la boule unité fermée de centre [math] et de rayon définie comme suit :
.
est un sous-anneau de qui contient l’unité, il est appelé l’anneau des entiers de .
est appelé le corps des nombres -adiques. Son anneau des entiers est l’anneau des entiers -adiques.
Théorème : Développement de Hensel
Tout élément de admet un développement unique sous forme de série convergente dans :
où et , pour tout entier .
L’anneau des entiers -adiques est égal à l’ensemble des séries de la forme et est dense dans .
2.3. Résultats et conséquences
Proposition 1 :
Soit un corps valué non archimédien, alors muni du prolongement de est aussi non archimédien.
Démonstration :
Soit , alors :
et où et ;
D’où :
Et :
Or :
Et on a :
D’où :
Proposition 2 :
Pour tout tel que , les intersections avec des voisinages ouverts assez petits de et sont contenus dans deux boules ouvertes disjointes de .
Conséquences :
Un corps valué est complet si, et seulement, toute chaîne de boules emboîtées dont le rayon devient arbitrairement petit a une intersection non vide.
Le complété d’un corps valué s’obtient en comblant ses trous de diamètre nul.
Démonstration :
Soit un corps valué complet et une suite strictement décroissante de boules et ;
, .
Montrons que l’intersection de cette chaîne de boules est non vide.
La suite est de Cauchy (pourquoi?) et donc convergente. Si on pose :
alors .
En effet, résulte de la décroissance de vers 0 et du fait que . L’unicité se déduit de l’inégalité pour tout que réaliserait tout élément de et qui implique que .
La réciproque est triviale.
3. Propriétés topologiques des Corps valués
3.1. Topologie générale (ou topologie de Hausdorff)
On a défini dans ce qui précède la notion de distance induite par une valeur absolue sur un corps ainsi que la notion de boule dans un corps topologique. On s’intéresse dans cette sous-partie aux propriétés topologiques des corps valués ultra-métriques (ou non-archimédiens) considérés comme des espaces métriques non-archimédiens (n.a).
Dans toute la suite est considéré comme étant un espace métrique muni de la métrique . Si la valuation est triviale alors la topologie associée à est discrète.
Un tel corps topologique est un corps doté d’une topologie dite de Hausdorff qui rend l’addition, la multiplication et la division continues.
Pour tout point de , la famille est un système fondamental de voisinages de . On peut considérer les figures principales des espaces métriques, triangles, boules, sphères, en particulier on a les propriétés suivantes :
Proposition (Principe du triangle isocèle) :
Pour tous et dans , si , alors :
.
Preuve :
Soit tel que , alors (par exemple) :
D’où :
Or :
Il en résulte :
Et :
Car :
Sinon entraîne que :
Ce qui contredit l’hypothèse. Donc
Remarques :
Géométriquement, dans le plan non-archimédien, tout triangle est isocèle et la base en est le plus petit côté.
Pour tous et dans , si , alors
Propositions :
Tout point d’une boule, ouverte ou fermée, en est un centre .
Pour tous et ; les boules ouvertes et fermées sont des ouverts et fermés (O.F.) à la fois dans .
Toute sphère est un O.F.
Preuve :
Soit et ; alors, pour tout on a :
:
L’inégalité ultra-métrique nous donne :
Alors :
Donc :
d’où :
Par symétrie, on a aussi , et par suite :
On fait de même pour avoir :
:
Soit et alors :
est un fermé de , montrons que c’est un ouvert de .
Soit , alors :
Or , d’où :
Par la même démarche, on montre que est un fermé de .
On a .
Proposition :
Une famille finie de boules ouvertes (resp. fermées) non disjointes est une famille de cercles, notamment son intersection et sa réunion sont des boules ouvertes (resp. fermées).
Preuve :
Soit une famille de boules ouvertes telle que :
Soit , alors :
:
Soient et , Alors :
et
Conséquence :
Deux boules sont ou bien disjointes ou bien l’une contient l’autre.
Proposition :
La distance d’un point, en dehors d’une boule, aux points de cette boule ne dépend pas du choix de ces points.
Preuve :
Soit une boule et soient et deux points de et un élément extérieur à , alors :
et
D’où le triangle est isocèle de base , d’où :
Et on a aussi :
D’où
Proposition :
La distance des points de deux boules disjoints et ne dépendent pas du choix des points, et elle est égale à : .
Preuve :
Soient et , alors :
Théorème :
Soit un ouvert non vide de , alors il existe une partition de en des boules de . Plus précisément, étant donné une suite strictement décroissante de réels à termes strictement positifs, peut être couvert par des boules disjointes de la forme :
tel que et .
Preuve :
Pour chaque , considérons la boule définie par :
B_{a}=\left\{\begin{array}[]{rcl}B(a,r_{1})&\mbox{si}&B(a,r_{1})\subset U\\ B(a,r_{n})&\mbox{si}&B(a,r_{n})\subset U\text{ et }B(a,r_{n-1})\nsubseteq U\end{array}\right.
Et on a : pour tout , si , alors d’après la conséquence précédente (par exemple)
(1)
D’où si et , on a (d’après i. de la deuxième proposition : ” Tout point d’une boule, ouverte ou fermée, en est un centre”) :
Mais le rayon de est le plus grand parmi les , d’où :
Ou encore c’est à dire que :
(2)
Donc d’après (1) et (2):
Il s’ensuit que la collection est disjointe.
3.2. V-topologie
Nous avons vu que les valeurs absolues ainsi que les valuations (générales) induisent canoniquement sur leur corps une topologie pour laquelle toutes les opérations de corps sont continues, avec la propriété supplémentaire suivante :
et soit on a : ou
C-à-d si le produit de deux éléments est un voisinage de [math] forcément au moins l’un de ces deux éléments est voisin de [math].
De telles topologies de corps sont appelées V-topologies. Dans cette sous-partie, nous allons étudier cette topologie et on va monter que, inversement, toute V-topologie sur un corps doit être induite par une valeur absolue ou une valuation de .
Un corps topologique doté d’une topologie de Hausdorff qui rend l’addition, la multiplication et la division continues. Compte tenu de la continuité de l’addition, une telle topologie peut être spécifiée simplement en donnant un système fondamental de voisinage de . En fait, à partir de on obtient, via la translation , un système de voisinages de chaque élément . Par conséquent, pour un corps , nous nous référerons à un système fondamental de voisinages de comme topologie sur , et à la paire comme un corps topologique.
Rappelons que pour deux sous-ensembles R et S de K nous utilisons les notations:
si
Définition (V-Topologie) :
Une topologie (non-discrète) T sur un corps est dite V-topologie si elle vérifie les axiomes suivantes :
-
-
= ;
-
-
-
-
:
-
-
:
-
-
:
-
-
: ou
Exemples :
Un exemple typique d’une V-topologie est la topologie donnée par une valeur absolue . Les boules ouvertes , avec sont les éléments de .
Un autre exemple de V-topologie est la topologie générée par une valuation, prenons les voisinages à la place de , on remarque que cette topologie satisfait aux axiomes précédentes. Inversement, on a le théorème suivant dû à Kowaslky et Durbaum.
Théorème :
Soit un corps et une topologie sur . Alors est une V-topologie si et seulement s’il existe une valeur absolue archimédienne ou une valuation sur dont la topologie induite coïncide avec .
4. Structures définies sur des corps valués
4.1. Espaces normés sur un corps valué
On suppose, pour ce qui suit, que le lecteur est familier avec les définitions d’une norme, distance associée à une norme…
On renvoie également à la partie 1.2.3. (Extensions de corps) des préliminaires où on a mentionné la structure d’espace vectoriel lié à un corps.
Définitions :
On appelle espace normé sur un corps valué non discret un espace vectoriel sur le corps , muni de la structure définie par la donnée d’une norme sur .
On appelle espace normable sur un espace vectoriel sur , muni d’une topologie qui peut être définie par une norme.
Exemple :
Sur un corps valué non discret , considéré comme espace vectoriel par rapport à lui-même, la valeur absolue est une norme.
Théorème :
Soit un corps valué complet. Toutes les normes sur un -espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes.
i.e. si et sont deux normes sur , alors il existe et tels que :
, .
Démonstration :
Soit une base du -espace vectoriel de dimension finie .
On pose pour :
.
définit une norme sur .
On va montrer que toute norme est équivalente à .
est d’abord isométriquement isomorphe à où
Puisque est complet, est complet et donc est complet.
On a :
où
Pour l’existence de , on procède par récurrence sur la dimension de .
Pour , on a et tout est de la forme , avec . Ainsi, et sont équivalentes.
On suppose que sur tout espace vectoriel de dimension strictement inférieure à , toutes les normes sont équivalentes (H.R).
On pose pour , ; alors :
est un sous-espace vectoriel de de dimension .
Par hypothèse de récurrence, toutes les normes sur sont équivalentes. En particulier, les restrictions de et à sont équivalentes. Puisque est complet, l’espace normé est également complet. Ainsi, est fermé dans . Il vient que est une partie fermée de .
Posons . Puisque et fermée dans , on a :
. On pose
Soit ; pour fixé, on a :
- Si , alors :
- Si , alors :
et
D’où :
Donc :
,
Ce qui implique que :
On a également :
D’où les deux normes sont équivalentes, ce qui clôt la démonstration par récurrence.
Corollaire :
Soit un corps valué complet. Si est un extension finie de , il existe au plus une valeur absolue sur qui prolonge celle de .
Esquisse de démonstration :
est un sur-corps de tel que . On considère une valeur absolue quelconque qui prolonge celle de , c’est une norme sur le -espace vectoriel de dimension finie . En considérant une norme quelconque sur , il vient que notre valeur absolue appliqué à un élément de est égale à . D’où son unicité si elle existe.
4.2. Algèbres normées sur un corps valué
Définitions :
Étant donné une algèbre sur un corps valué commutatif non discret , on dit qu’une norme sur est compatible avec la structure d’algèbre de si elle vérifie la relation : pour tous et dans . Une algèbre sur , munie de la structure définie par une norme compatible avec sa structure d’algèbre, est appelé algèbre normée.
Lorsqu’une algèbre est munie d’une topologie pouvant être définie par une norme, et pour laquelle est continue, on dit que l’algèbre topologique est normable.
Deuxième partie :
*Corps valués locaux
Introduction :
En théorie des nombres et en mathématiques en général, la localisation est une technique importante, qui permet de simplifier de nombreux problèmes. Pour reprendre une expression de Neukirch, ”la localisation c’est la division”, et on divise pour mieux régner. Il y a derrière cette notion en fait beaucoup plus que ça, mais c’est l’idée primaire. Nous allons, dans cette partie, essayer de présenter l’idée de localisation des corps valués qui a été à l’origine de ce qu’on appelle corps valués locaux.
Tous les anneaux considérés dans cette partie - sauf mention expresse du contraire - sont supposés être commutatifs et posséder un élément unité. Tous les homomorphismes d’anneaux sont supposés transformer l’élément unité en l’élément unité.
Tout sous-anneau d’un anneau est supposé contenir l’élément unité de . Si est un anneau local, son idéal maximal sera noté , son corps résiduel sera noté ou simplement , et le groupe multiplicatif des éléments inversibles de sera noté ; on a donc .
1. Anneau de valuation et de valuation discrète
1.1. Valeur absolue et valuation, quelle relation ?
Nous avons déjà défini dans la partie précédente la notion de ”valeur absolue” ainsi que celle de ”valuation”, on rappelle qu’une valuation est une application d’un anneau commutatif unitaire non nul vers un groupe abélien totalement ordonné union l’infini vérifiant les trois axiomes suivants :
- •
: si et seulement si .
- •
:
- •
: pour tout
Remarque :
1.
On utilise les conventions classiques et , .
2.
Certains auteurs se restreignent aux valuations sur un corps commutatif. (C’est le cas intéressant en effet).
3.
Que soit un corps ou non, est un morphisme de monoïdes de dans .
4.
Lorsque est un corps, est donc un morphisme de groupes de dans , si bien que est un sous-groupe de .
5.
Lorsque est un corps, on demande parfois à d’être surjective, mais on peut toujours se ramener à cette situation en remplaçant par .
6.
Deux valuations et ’ sur sont dites équivalentes s’il existe un isomorphisme de demi-groupes (un ensemble muni d’une loi de composition interne associative) ordonnés: tel que .
Valuation triviale :
Sur un corps une valuation est dite triviale si elle est définie par :
Valuation discrète :
Lorsque muni de l’addition, est dite valuation de Dedekind ou valuation discrète. Deux valuations discrètes et ’ sur sont équivalentes si et seulement si elles sont proportionnelles, c’est-à-dire s’il existe un rationnel non nul tel que
.
On note l’ensemble des valuations de et l’ensemble des valeurs absolues ultramétriques de .
Soit avec . Alors l’ensemble des valuations de est en correspondance biunivoque avec l’ensemble . En effet :
- 1 -
À toute valeur absolue ultramétrique on associe une valuation telle que
\left\{\begin{array}[]{rcl}-log(|x|)&\mbox{pour tout}&x\in K^{*}\\ +\infty&\mbox{pour}&x=0\end{array}\right.
- 2 -
À toute valuation sur on associe la valeur absolue ultramétrique définie par :
Quant aux valeurs absolues non ultra-métriques, on sait (Ostrowski) qu’elles sont de la forme : , avec et est la valeur absolue (module) sur , où est un isomorphisme de sur un sous-corps du corps des nombres complexes.
Théorème :
Soit . Alors la correspondance suivante :
est une bijection.
En effet, puisque pour tout l’application est un isomorphisme du groupe ordonné sur le groupe ordonné .
Remarque :
D’après cette petite partie préliminaire à propos de la relation entre les valuations et les valeurs absolues, on conclut qu’il est équivalent de raisonner en termes de valeur absolue ultra-métrique ou en termes de valuation.
1.2. Anneaux de valuation
1.2.1. Cas général :
Théorème :
Soit un corps, et un sous-anneau de . Les conditions suivantes sont équivalentes :
- a)
est un élément maximal de l’ensemble des sous-anneaux locaux de , cet ensemble étant ordonné par la relation ” domine ” entre et .
- b)
Il existe un corps algébriquement clos , et un homomorphisme de dans qui est maximal dans l’ensemble des homomorphismes de sous-anneaux de dans , ordonné par la relation ” est un prolongement de ” entre et .
- c)
Si , alors .
- d)
Le corps des fractions de est , et l’ensemble des idéaux principaux de est totalement ordonné par la relation d’inclusion.
- e)
Le corps des fractions de est , et l’ensemble des idéaux de est totalement ordonné par la relation d’inclusion.
Définitions :
Anneau de valuation pour un corps :
On dit que est un anneau de valuation pour le corps si les conditions équivalentes a), b), c), d), e) sont satisfaites.
Anneau de valuation :
On dit qu’un anneau est un anneau de valuation s’il est intègre et si c’est un anneau de valuation pour son corps des fractions.
Exemples d’anneaux de valuation :
Tout corps est un anneau de valuation.
Pour un nombre premier, l’anneau local le sous-ensemble du corps des rationnels formé des fractions , où n’est pas divisible par est un anneau de valuation.
1.2.2. Cas des corps valués non-archimédiens :
Soient un corps valué non-archimédien.
On a défini dans la partie précédente la boule ouverte de centre et de rayon par :
.
et la boule fermée de centre et de rayon par :
On a vu également que la boule ouverte est un fermé de et la boule fermée est un ouvert de . Par conséquent, les boules et sont les boules unités ouverte et fermée respectivement.
Proposition :
La boule est un sous anneau de qui contient .
La boule est l’ensemble des éléments non inversibles de et est son unique idéal maximal.
Le quotient est un corps.
Démonstration :
i-
On a : , d’où , et pour tout
et
d’où :
et
Et il est bien évident que .
Donc :
est un sous anneau de .
ii-
Il est évident que est un sous anneau de .
Et pour tout et on a :
Donc , et par suite est un idéal de .
Montrons que est l’ensemble des éléments non inversibles de :
Soit ; supposons que est inversible dans alors :
tel que et
Alors :
Ou encore :
Or d’où :
Ce qui est en contradiction avec le fait que
Inversement, soit : et , alors :
.
Donc et est inversible dans .
Le disque unité de étant égal à l’ensemble des éléments inversibles de donc est un idéal maximal de ; et il est bien évident que c’est l’unique ayant cette propriété. On le notera ou tout simplement .
iii-
La démonstration repose sur le théorème -qu’on admet- suivant :
”Soit un anneau commutatif unitaire et un idéal de tel que . On a les équivalences suivantes :
est un idéal premier de est un anneau intègre.
est un idéal maximal de est un anneau corps.”
Définition (Anneau de valuation de la valeur absolue) :
Soit un corps valué non-archimédien. s’appelle l’anneau d’intégrité de ou l’anneau de valuation de la valeur absolue ; on le note ou ou .
Le corps s’appelle le corps résiduel de on le note ou .
Définition (Anneau de valuation d’une valuation) :
Soit un corps commutatif muni d’une valuation . Les éléments de de valuation positive ou nulle constituent un sous-anneau appelé l’anneau de valuation associé à la valuation sur :
le corps des fractions de est .
On a pour tout élément non nul de , et donc est un élément inversible de si et seulement si . Par conséquent, est un anneau local dont l’unique idéal maximal est constitué des éléments de valuation strictement positifs :
Caractérisations des anneaux de valuation :
Il existe diverses caractérisations des anneaux de valuation (on les énonce sans démonstrations) :
Soient un anneau intègre et son corps des fractions. Les conditions suivantes sont équivalentes :
est un anneau de valuation (pour une certaine valuation sur ) ;
- 2.
Pour tout élément de qui n’appartient pas à , l’inverse de appartient à ;
- 3.
Sur l’ensemble des idéaux principaux de , l’ordre défini par l’inclusion est total ;
- 4.
Sur l’ensemble des idéaux de , l’ordre défini par l’inclusion est total.
Remarque :
Deux valuations et ’ sur sont équivalentes si et seulement si elles ont le même anneau de valuation.
1.3. Anneaux de valuation discrète
1.3.1. Définition et exemple
Définition (Anneaux de valuation discrète) :
Première définition :
Un anneau de valuation discrète est un anneau de valuation dont la valuation est discrète mais non triviale.
Autrement dit, est un anneau commutatif unitaire intègre, et il existe sur son corps des fractions une valuation , à valeurs entières mais non toutes nulles, telle que :
Par conséquent (comme tout anneau d’une valuation non triviale) est un anneau local mais pas un corps, et son unique idéal maximal est non nul, et constitué des éléments de valuation strictement positive :
De plus (comme la valuation est à valeurs entières) tout idéal est engendré par n’importe lequel de ses éléments de valuation minimum, si bien que est principal. En particulier, un générateur de est appelé uniformisante ou paramètre local de l’anneau.
La réciproque est claire : tout anneau local et principal qui n’est pas un corps est un anneau de valuation discrète. On pose égal à l’entier naturel tel que . On obtient donc une définition équivalente :
Seconde définition :
On appelle un anneau anneau de valuation discrète si c’est un anneau principal, et s’il possède un et un seul idéal premier non nul . [On rappelle qu’un idéal d’un anneau commutatif est dit premier si l’anneau quotient est intègre.]
Exemple d’anneau de valuation discrète :
Soit un nombre premier, et soit le sous-ensemble du corps des rationnels formé des fractions , où n’est pas divisible par ; c’est un anneau de valuation discrète de corps résiduel le corps à éléments. Si désigne la valuation associée, n’est autre que l’exposant de dans la décomposition de en facteurs premiers.
1.3.2. Caractérisations des anneaux de valuation discrète
Proposition 1 :
Soit un anneau commutatif. Pour que soit un anneau de valuation discrète, il faut et il suffit que ce soit un anneau local noethérien, et que son idéal maximal soit engendré par un élément non nilpotent.
Proposition 2 :
Soit un anneau intègre noethérien. Pour que soit un anneau de valuation discrète, il faut et il suffit qu’il vérifie les deux conditions suivantes :
est intégralement clos.
possède un idéal premier non nul et un seul.
2. Corps valués locaux
2.1. Compacité des corps valués
En considérant un corps valué comme étant un espace métrique qui est un corps topologique (muni d’une topologie pour laquelle toutes les opérations de corps sont continues), on peut parler de la notion de compacité de corps valués.
Définition (Corps valué compact) :
Soit un corps valué séparé. On dit que est compact si de tout recouvrement ouvert de , on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Autrement dit, pour toute famille d’ouverts de telle que :
Il existe un sous-ensemble fini de tel que :
Avec est une réunion de boules ouvertes définies à partir de la distance qui provient de la valeur absolue (ou de la valuation).
2.2. Compacité locale des corps valués
2.2.1. Définitions et exemples
Définition (Corps valué localement compact) :
Soit un corps valué séparé. On dit que est localement compact si tout point de admet un voisinage compact.
Définition (Corps valué local) :
Un corps valué est dit local s’il est localement compact pour une topologie non discrète.
Si la topologie provient d’une valeur absolue archimédienne, le corps est dit corps valué local archimédien.
Si la topologie provient d’une valeur absolue non-archimédienne, le corps est dit corps valué local non-archimédien.
Notons que pour une valuation discrète on peut donner la définition suivante:
Soit un corps valué complet par rapport à la valeur absolue induite par une valuation discrète . On dit que est un corps local si son corps résiduel est fini.
Exemples :
Pour tout nombre premier le corps des nombres p-adiques est localement compact, donc un corps valué local.
En effet, la démonstration repose sur le fait que soit compact , et que les boules de soient isomorphes à donc compactes. Remarquons pour commencer que l’image de par la valeur absolue p-adique est qui est un sous-groupe discret de . En conséquence toute boule fermée de rayon strictement positif est ouverte et toute boule ouverte de rayon strictement positif est fermée (on a déjà montrer ce résultat d’une autre façon dans la partie précédente) : l’espace topologique est totalement discontinu (c’est la définition même, tout point possède une base de voisinages à la fois ouverts et fermés).
À cause de l’inégalité ultramétrique : , les boules de centrées en [math] sont des sous-groupes additifs. La multiplicativité nous dit que toute boule de rayon inférieur ou égal à 1 centrée en 0 est stable par multiplication.
Examinons en particulier la boule unité fermée de :
C’est l’anneau des entiers -adiques, formé des sommes
;
en particulier est l’adhérence de dans . La boule unité ouverte est l’idéal maximal de , soit l’ensemble des sommes , . Enfin les boules fermées
,
forment un système fondamental de voisinages de 0.
Nous allons montrer que la boule unité est compacte. Il en résultera que l’espace topologique est localement compact.
Pour montrer la compacité de : puisque c’est un espace métrique, il suffit de remarquer qu’il est séquentiellement compact (un espace séquentiellement compact est un espace topologique dans lequel toute suite possède au moins une sous-suite convergente), comme produit dénombrable d’espaces qui le sont : , d’après la représentation en série.
La compacité locale de découle donc du fait que , est voisinage compact de .
Si est un corps fini, le corps des séries formelles de Laurent à coefficients dans est un corps local.
Avec :
Une série formelle en sur le corps est une expression :
Soit l’anneau des séries formelles sur . Le corps des fractions de est appelé corps des séries de Laurent sur et noté . L’anneau des entiers de est et son corps résiduel est , qui est fini par hypothèse.
Le corps des nombres réels muni de la valeur absolue usuelle est un corps valué local.
L’ensemble des rationnels , pour sa topologie de sous-espace de , n’est pas localement compact. En effet, comme est dénombrable, alors est séparable et dénombrable à l’infini. Soit . Si possède un voisinage compact dans , alors est un voisinage compact de dans , donc il existe tel que , ce qui est impossible. Par conséquent, n’est pas localement compact.
Tout espace compact est localement compact, car il est un voisinage compact de chacun de ses points. Donc tout corps valué compact est un corps local.
Remarque :
Soit un corps muni d’une valuation discrète, pour que soit local, il faut et il suffit qu’il soit complet et que son corps résiduel soit un corps fini.
On a vu dans le début de cette partie qu’il y a une relation biunivoque entre l’ensemble des valuations et l’ensemble des valeurs absolues ultramétriques et cette relation repose sur le choix d’un nombre quelconque, on ajoute que lorsque le corps vérifie les conditions de la dernière définition (correspond à une valuation discrète), il y a une façon canonique de choisir le nombre : on prend , où est le nombre d’éléments du corps résiduel . La valeur absolue correspondante est dite normalisée. La proposition suivante en donne une caractérisation ” analytique ” :
Proposition :
Soit un corps vérifiant les conditions de les conditions de la dernière définition (muni d’une valuation discrète), et soit une mesure de Haar du groupe additif localement compact . Pour toute partie mesurable de , et pour tout , on a alors :
où désigne la valeur absolue normalisée de .
Si on prend ( l’anneau de valuation de (discret)), on voit que est réunion de classes modulo d’où , et . Comme est égal à , on trouve bien :
avec est Le cardinal de l’ensemble des classes à gauche (modulo ) qu’on appelle l’indice du sous-groupe par rapport à ; il est égal au cardinal de l’ensemble des classes à droite.
Quelques rappels :
Mesure :
Une application est appelée mesure positive, ou simplement mesure, sur si elle vérifie les deux propriétés suivantes :
.
- 1.
-additivité : Pour toute suite d’éléments de deux-à-deux disjoints :
=
Mesure de Haar :
Soit G un groupe localement compact. On appelle mesure de Haar à gauche (resp. à droite) sur G une mesure positive non nulle sur G, invariante à gauche (resp. à droite).
.
L’existence d’une mesure de Haar est assurée dans tout groupe localement compact. Elle est finie sur les parties compactes de .
2.2.2. Fonction module sur un corps local
Définitions :
Soient un groupe localement compact (un groupe dont l’espace sous-jacent est localement compact), un automorphisme de , une mesure de Haar à gauche sur . Il est clair que est encore une mesure de Haar à gauche sur . Il existe donc un nombre et un seul tel que . Ce nombre est indépendant du choix de . Remarquons que, si l’on partait d’une mesure de Haar à droite, par exemple , on aboutirait au même scalaire : car, comme laisse invariant, on a . = ..
Module d’un automorphisme :
Le nombre tel que s’appelle le module de l’automorphisme et se note ou simplement .
Fonction module :
Soit un corps localement compact (non nécessairement commutatif). On définit la fonction mod (ou ) sur comme suit : on a et pour dans , le nombre est le module de l’automorphisme du groupe additif de .
Proposition 1 :
Si est un corps local,la fonction appartient à . En outre :
- i-
Si est tel que soit une valeur absolue, alors définit la topologie de .
- i-
Si est non discret et si est une valeur absolue ultramétrique, il existe une valuation discrète normée sur , dont l’anneau est compact et le corps résiduel fini à éléments, de sorte que . La topologie de est définie par .
Proposition 2 :
Soient , deux corps locaux (non nécessairement commutatifs) tels que soit un sous-corps topologique de et que soit non discret. Alors :
est un espace vectoriel à gauche (resp. à droite) de dimension finie sur .
Si est contenu dans le centre de , on a, pour tout
.
Théorème :
Soit un corps valué complet non discret. Un espace vectoriel topologique séparé sur qui admet un voisinage de [math] précompact est de dimension finie. Si n’est pas réduit à 0, et sont alors localement compacts.
Démonstration :
Pour démontrer la première assertion, on peut se limiter au cas où est complet, car est un sous-espace partout dense de son complété et l’adhérence de dans est compacte et est un voisinage de 0 dans .
On peut donc supposer qu’il y a dans un voisinage compact de [math]. Soit tel que ; il y a donc des points en nombre fini tels que
Soit le sous-espace (de dimension finie) de engendré par les ; il est fermé dans ; dans l’espace vectoriel topologique séparé , l’image canonique de est un voisinage compact de [math] tel que ; ceci s’écrit encore , d’où par récurrence sur , a pour tout entier positif . Comme est absorbant, on en déduit que ; autrement dit est compact. Pour prouver la première assertion, il suffit donc de démontrer le lemme suivant :
Lemme :
Tout espace vectoriel topologique compact sur un corps valué non discret est réduit à [math].
En effet, comme est complet, on peut supposer qu’il en est de même pour . Si n’était pas réduit à [math], il contiendrait une droite, fermée dans , donc compacte,et isomorphe à , et par suite serait compact ; mais cela est absurde, car l’application de dans est continue, donc serait bornée, alors qu’il existe des tels que , donc tels que soit arbitrairement grand.
Revenant au théorème, on voit que si admet un voisinage de [math] précompact et n’est pas réduit à [math], est de dimension finie sur , donc isomorphe à un espace avec ; comme est complet, il en est de même pour , qui est donc localement compact. Puisque est isomorphe à une droite de , nécessairement fermée dans , est localement compact.
Remarque :
La conclusion du théorème ne subsiste plus lorsque est un corps discret, comme le montre l’exemple de (muni de la topologie usuelle) considéré comme espace vectoriel topologique sur le corps discret.
Corollaire 1 :
Tout corps localement compact dont le centre est non discret est de rang fini sur son centre.
En effet, le centre d’un corps localement compact est fermé dans , donc localement compact.
Corollaire 2 :
Soient un corps localement compact et un sous-corps fermé de (non nécessairement commutatifs). Si est un espace vectoriel à gauche (resp. à droite) de dimension finie sur , on a
pour tout .
En effet, de façon générale, on sait que dans un espace vectoriel (à gauche ou à droite) de dimension finie sur , l’homothétie de rapport a un module égal à ; il suffit d’appliquer cela à .
2.2.3. Quelques propriétés topologiques des corps valués locaux
Remarque :
Il est clair que tout espace compact est localement compact, mais la réciproque n’est pas vraie ; par exemple, tout espace discret est localement compact, mais pas compact s’il est infini.
Proposition 1 :
Soit un corps local, alors l’ensemble des voisinages fermés d’un point quelconque de est un système fondamental de voisinages de ce point.
En outre, un espace séparé qui vérifie cette propriété est dit espace régulier.
Démonstration :
Tout point d’un corps local (localement compact) possède un voisinage compact .
Comme est séparé, est fermé :
Dans le corps qui est un espace topologique séparé, tout ensemble compact est fermé. En effet, si est une partie compacte de l’espace séparé et un point de , il résulte alors de la proposition vue en S5 :
”Soient un espace séparé, et deux parties compactes de sans point commun. Alors il existe un voisinage de et un voisinage de qui ne se rencontrent pas.”
qu’il y a un voisinage de ne rencontrant pas , puisque est fermé (car dans un espace séparé, tout ensemble fini est fermé.888Il suffit de remarquer que tout ensemble réduit à un point est fermé en vertu de l’axiome Hausdorff : L’intersection des voisinages fermés d’un point quelconque de est l’ensemble réduit à ce point. Donc est ouvert, d’où est un fermé.
est un sous-espace régulier :
Tout espace compact est régulier. (On admet ce résultat car la démonstration repose sur des notion avancer qui dépasse le niveau du licence).
est régulier :
Si, dans un espace topologique , tout point possède un voisinage fermé qui est un sous-espace régulier de , est régulier. En effet, est séparé ; d’autre part, soit un point quelconque de et soit un voisinage fermé de dans , qui est un sous-espace régulier de . Pour tout voisinage de dans tel que , est un voisinage de dans , donc il existe par hypothèse un voisinage de dans , fermé dans et contenu dans . Mais est aussi un voisinage de dans puisque est un voisinage de dans , et est fermé dans puisque est fermé dans .
Proposition 2 :
Dans un corps local , tout ensemble compact admet un système fondamental de voisinages compacts.
Preuve :
En effet, l’intersection d’un voisinage fermé de et d’un voisinage compact de est un voisinage compact de , Car dans un espace compact, tout ensemble fermé est compact, Il suffit d’appliquer l’axiome ”* Toute famille d’ensembles fermés dans , dont l’intersection est vide, contient une sous-famille finie, dont l’intersection est vide*”,en remarquant que si est fermé dans un espace , tout ensemble fermé dans est fermé dans .
Proposition 3 :
Tout corps local est un espace de Baire, c’est à dire que le théorème de Baire s’y applique : toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense ou, autrement dit, toute union dénombrable de fermés d’intérieur vide est d’intérieur vide.
Démonstration :
Dans ce qui suit, int() désigne l’intérieur d’une partie de .
Soit un corps localement compact. Nous utiliserons que dans , tout ouvert non vide contient un compact d’intérieur non vide. En effet, tout ouvert contenant un point contient un voisinage compact de , puisque possède un système fondamental de voisinages compacts.
Soient une suite d’ouverts denses dans et un ouvert non vide quelconque ; nous voulons montrer que l’intersection des rencontre .
Puisque est dense, il rencontre . L’ouvert étant non vide, il contient un compact d’intérieur non vide. Une fois choisi, est un ouvert non vide, donc contient un compact d’intérieur non vide. En itérant cette construction, on obtient une suite décroissante de compacts non vides tels que et , .
L’intersection de ces compacts est donc incluse dans , or cette intersection des est non vide d’après la propriété de Borel-Lebesgue. En effet, les sont des fermés du compact et toute intersection d’un nombre fini d’entre eux est non vide (puisqu’ils forment une suite décroissante de parties non vides). Finalement, , ce qui prouve le résultat.
Remarque :
On peut donner une preuve express que est non localement compact car n’est pas de Baire.
2.3. Corps valués locaux archimédiens
Deuxième théorème d’Ostrowski :
Soit un corps local complet pour une valeur absolue archimédienne , donc est isomorphe à ou munis de leurs valeurs absolues archimédiennes usuelles.
Démonstration :
On admet que si est un corps valué archimédien donc la caractéristique de est nulle.
On a donc est de caractéristique égale à [math], donc , et la restriction de à est évidemment non triviale et en plus elle est ultra-métrique. Donc, selon le premier théorème d’Ostrowski, on peut remplacer par sur . Et puisque est complet, on a nécessairement .
Si on montre que tout élément de est solution d’une équation du second degré sur , on peut conclure que ou , et sachant que la seule extension archimédienne de la valeur absolue de est le module de - qui représente la valeur absolue usuelle de -. Soit , on considère la fonction définie par :
On a est continue et elle tend vers lorsque tend vers , donc admet un minimum global . L’objet est de montrer que , auquel cas est le zéro d’une équation quadratique sur .
Posons , on voit que est fermé puisque est continue, et il est borné car lorsque . Puisque est compact et est continu sur , on peut choisir un élément tel que pour tout .
Supposons que , choisissons tel que , considérons le polynôme défini sur par :
;
et supposons que sont les racines de . Alors , et ainsi . Par le choix de , nous devons avoir .
Pour tout entier positif , considérons le polynôme de sorte que puisque est un facteur de . Soit sont les zéros de en . Puisque cet ensemble de zéros est le même que l’ensemble de ses conjugués, nous avons
et
En substituant dans le polynôme et en appliquant la valeur absolue , on obtient
On a aussi par la définition de et l’inégalité triangulaire
On a , donc, , d’où :
Puisque , et est un entier positif arbitraire, faisons donne , contredisant . Ainsi .
Remarque :
Il est clair qu’on a pas utilisé le fait que le corps soit local, on en conclut que tout corps valué archimédien est isomorphe à ou .
2.4. Corps valués locaux non-archimédiens
On note la boule ouverte , c’est l’anneau de valuation pour la valeur absolue.
Proposition 1 :
Si un corps valué non-archimédien local, alors :
K est complet.
Le corps résiduel de K est fini.
La valuation de K est discrète.
Démonstration :
-
Soit un voisinage compact de 0. Soit tel que : .
Alors suffisamment grand tel que car sinon :
telle que ,
ce qui est en contradiction avec le fait que .
Or est un fermé de , donc est compact. D’où est compact, il est donc complet.
Donc, si ( est une suite de Cauchy dans , alors il existe tel que est de Cauchy dans , elle est donc convergente dans , et par suite est convergente dans .
-
Si ; alors pour tout ,
est un ouvert de et on a : , d’où, étant compact,
il existe , , …, , tel que donc . Donc le corps résiduel O/P est fini.
-
Soit l’élément de vérifiant : .
montrons que
Soit , alors il existe : et par suite :
Donc .
Inversement, soit alors : il existe tel que d’où et par suite et donc ; car si non on aura :
ce qui est absurde.
et . c’est à dire que . Donc ; c’est à dire que principal ; donc, d’après la proposition :
” Si () est un corps valué non archimédien alors est discret si, et seulement si, est un idéal principal.”
la valuation de est discrète.
Proposition 2 :
Soit () un corps valué non archimédien vérifiant les trois propriétés suivantes :
- -
Le corps est complet.
- -
Le corps résiduel de est fini.
- -
La valuation de est discrète.
Alors est local.
Démonstration :
Montrons que est compact ; soit un recouvrement de par des ouverts , montrons qu’on peut en extraire un recouvrement fini : par l’absurde, supposons que ce n’est pas le cas.
Comme où est fini et est l’élément défini dans 3.5 (le corps résiduel est fini et la valuation est discrète). D’où il existe au moins tel que ne peut être recouvert par un nombre fini de .
Ensuite de la même façon il existe tel que ne peut être recouvert par un nombre fini de .
Et ainsi de suite il existe une suite d’éléments de telle que pour tout n’est pas recouvert par un nombre fini de . Soit l’élément de défini par : ; alors .
Comme est ouvert, alors : . Ce qui est une contradiction parce que nous avons construit a de sorte qu’aucun des ensembles , , n’est couvert par une famille finie de .
Donc, pour tout , le sous-ensemble est un compact de ,car c’est limage directe par l’application continue du compact , de plus est un voisinage de car il contient le voisinage ouvert de . Donc est localement compact.
Corollaire :
Soit () un corps valué non archimédien est local si, et seulement si, les trois propriétés suivantes sont satisfaites :
- -
Le corps est complet.
- -
Le corps résiduel de est fini.
- -
La valuation de est discrète.
Remarque :
1 -
On peut maintenant donner une démonstration au premier exemple des corps valués locaux : le corps des nombre p-adiques :
•
On a vu dans la partie précédente que est le complété de , donc il est évident que est complet.
•
Le corps résiduel de est et il est de plus fini.
En effet, ce résultat provient de la proposition suivante :
”L’application naturelle de dans est un isomorphisme.”
Donc il est fini de cardinal .
•
La valuation p-adique est une valuation discrète .
2 -
Soit () un corps local, alors deux cas de figure se présentent, selon la caractéristique de et sa caractéristique résiduelle :
i -
Si la caractéristique de est différente de sa caractéristique résiduelle, le corps est nécessairement de caractéristique nulle, et il est isomorphe à une extension finie du corps des nombres -adiques, où désigne la caractéristique résiduelle de ; (qui est un nombre premier, le corps résiduel étant fini).
ii -
En cas de caractéristiques égales, le corps est isomorphe au corps des séries formelles de Laurent à coefficients dans son corps résiduel.
3. Extensions de corps locaux
3.1. Définitions et exemples
Définitions :
Soit une clôture algébrique de . On définit comme étant le complété de . i.e. .
On rappelle qu’un corps local est un corps complet pour une valuation discrète. En particulier, si est un corps local muni de la valuation , alors il existe tel que . On appelle uniformisante de un élément de tel que .
Exemples :
muni de est un corps local et en est une uniformisante.
Si est un corps, alors , corps des séries de Laurent à coefficient dans , muni de la valuation , est un corps local, et en est une uniformisante.
Proposition :
L’idéal maximal de l’anneau de est principal, et un élément de en est un générateur si et seulement si c’est une uniformisante.
3.2. Écriture et corps résiduel
Nous allons voir que les éléments de corps locaux possèdent tous une écriture particulière, sous forme de série, à partir de leur corps résiduel.
Théorème de représentation :
Soit un corps local, une uniformisante de et soit un système de représentants de contenant [math]. Alors tout s’écrit de façon unique comme une somme :
.
En particulier, ssi .
Démonstration :
Prenons . On sait qu’il existe un unique non nul tel que
avec . En itérant cette procédure pour , on obtient par récurrence
avec et . On peut écrire alors où est la somme partielle . Or, comme , il est clair que et alors la suite converge vers lorsque tend vers l’infini. Et en notant que la somme commence en , on a le résultat pour .
Maintenant, si , il suffit de noter qu’il existe un unique tel que , donc . Par ce qu’on vient de montrer, on voit immédiatement qu’on obtient une série pour commençant à l’indice .
3.3. Ramification et inertie
En théorie algébrique des nombres, on parle de ramification d’un idéal premier, lorsque le prolongement de cet idéal à un sur-corps admet au moins un facteur premier ayant une multiplicité plus grande que . Plus précisément, si est une extension finie de corps de nombres et un idéal premier de (l’anneau des entiers de ) alors l’idéal de se décompose sous la forme :
Nous allons maintenant voir que la théorie de la ramification pour les corps locaux (de corps résiduel de caractéristique non nulle) se trouve bien plus simple que celle des corps de nombres. Dans toute cette partie, sauf mention du contraire, désigne un corps complet pour une valuation discrète, dont le corps résiduel est de caractéristique ,(i.e. un corps local).
3.3.1. Extensions de valuations
Après avoir vu l’équivalence des normes en dimension finie, nous allons en déduire qu’il n’y a qu’une seule manière de prolonger une valuation sur un corps complet à une extension finie de celui-ci.
Définition :
Soit une extension finie d’un corps , et . Alors on définit la norme de de sur , comme étant le déterminant de l’endomorphisme du -espace vectoriel . Si est le polynôme minimal unitaire de sur , alors .
Théorème :
Soit un corps complet pour une valuation , et soit une extension finie de . Alors il existe une unique manière de prolonger en une valuation de . De plus, si , alors :
.
Démonstration :
Considérons d’abord l’unicité : peut être vu comme un -espace vectoriel de dimension finie . Si et sont deux valuations sur prolongeant sur , alors par l’équivalence des normes en dimension finie et la caractérisation de cette équivalence en terme de valuations : il existe tel que . En prenant , on obtient , ce qu’on voulait démontrer.
Maintenant, pour l’existence, montrons que la formule donnée définit bien une valuation sur . La seule chose non immédiate à vérifier est l’inégalité ultra-triangulaire : . En soustrayant ou de chaque côté de l’égalité (et en supposant , , sans ça, il n’y a rien à montrer), on est ramené à et Ceci revient alors à montrer que si , alors (en effet, montrer cette implication couvre bien le second cas de , qui se ramène bien l’inégalité ultra-triangulaire).
Soit , supposons que et montrons que . Soit le polynôme minimal de sur . On a alors (par multiplicativité des degrés) et . Ainsi, implique et l’irréductibilité de implique alors à coefficients dans , d’après le corollaire 1.2.14. De plus, le polynôme minimal de est et donc , ce qui conclut.
3.3.2. Définitions
Lemme :
Soient un corps valué complet et une extension finie de , alors est une extension algébrique de de degré .
Indice d’inertie de l’extension :
Si est une extension finie de , on a vu que est une extension finie de . Le degré de sur est l’indice d’inertie de l’extension , et sera noté .
Indice de ramification d’une extension :
Si , on a , donc et est un sous groupe d’indice fini de (en tant que sous-groupes, discrets, de ). est appelé l’indice de ramification de l’extension .
Divers type de ramification :
On dit que l’extension est non ramifiée si , et si est séparable. Elle est totalement ramifiée si . Elle est modérément ramifiée si est premier à la caractéristique du corps résiduel et si est séparable, et sauvagement ramifiée dans le cas contraire.
Lemme :
Si et sont deux extensions finies, alors et .
En effet, pour la seconde égalité, c’est simplement la multiplicativité des degrés. Pour la première, la multiplicativité des degrés, la propriété :
””
et la seconde égalité permettent de conclure.
3.4. Quelques structures des extensions
3.4.1. Extensions totalement ramifiées
Définition (Polynôme d’Eisenstein) :
Si est un corps local, on appelle polynôme d’Eisenstein de degré un polynôme tel que soit une uniformisante de et .
Remarque :
Un polynôme d’Eisenstein est irréductible (c’est une forme du critère d’Eisenstein).
Lemme :
Soit un corps complet pour une valuation discrète, et un polynôme d’Eisenstein de degré . Soit et l’image de dans . alors :
Si avec , alors et est totalement ramifiée.
est une uniformisante de .
Si , avec les dans , alors
Démonstration :
Pour le , on a la formule et étant d’Eisenstein, est une uniformisante, donc . Le donne alors le , comme on connait . Pour le , cela vient directement du fait que chaque terme a une valuation différente. Pour voir le fait qu’elles soient différentes, il suffit de constater que avec , d’après la définition de , et tout les ont une partie fractionnaire distincte (comme ).
3.4.2. Extensions non ramifiées
Théorème :
Soit une extension finie séparable de , alors il existe une extension non ramifiée de dont le corps résiduel est .
Si est une extension finie de , et si est une extension séparable, alors , l’extension est totalement ramifiée, et est l’unique extension non ramifiée de ayant ces deux propriétés.
3.4.3. Extensions galoisiennes
Galois -et beaucoup de chercheurs après lui- a créé un outil essentiel pour l’analyse des extensions d’un corps , il correspond aux automorphismes de laissant le corps invariant. L’ensemble de ces automorphismes, munis de la loi interne de composition des applications, forme un groupe. Cet outil est particulièrement efficace dans le cas des extensions finies, par exemple sur le corps des rationnels dans le cas d’un corps de décomposition. Un élément de ce groupe restreint à un ensemble de racines d’un polynôme correspond à une permutation de cet ensemble de racines. Dans le cas des extensions finies, il correspond à un groupe fini appelé groupe de Galois.
Pour que cet outil soit pleinement pertinent, il faut en fait que les polynômes minimaux de l’extension n’aient pas de racines multiples. Ce qui est toujours le cas pour des extensions sur les corps des rationnels ou plus généralement sur un corps de caractéristique nulle. Dans ce cadre, il est par exemple possible de montrer qu’il existe un élément dit primitif tel que l’extension soit une extension simple égale à . Il faut de plus que l’extension contienne suffisamment de racines. Il faut en fait que le cardinal du groupe soit égal à la dimension de l’extension. Si ces deux hypothèses sont vérifiées, on parle alors d’extension de Galois.
Le groupe de Galois permet de comprendre finement la structure de l’extension. Par exemple, il existe une bijection entre ses sous-groupes et les sous-corps de l’extension. Il est utilisé pour la détermination des polygones constructibles à la règle et au compas ou pour le théorème d’Abel sur la résolution d’équations polynômiales par radicaux.
Définitions :
Soient un corps, une extension algébrique de , et la clôture algébrique de . est identifié à un sous-corps de , ce qui, dans le cas où l’extension est finie, ne nuit en rien à la généralité.
Extension normale :
L’extension est dite normale si tout morphisme de dans laissant invariant est un automorphisme de .
Remarque :
Un morphisme de corps est toujours injectif. Le morphisme est aussi un morphisme d’espaces vectoriels car dispose d’une structure d’espace vectoriel sur . Donc, si est une extension finie, alors il suffit que le morphisme ait une image incluse dans pour qu’un argument de dimension prouve la surjectivité.
Extension galoisienne :
L’extension est dite de Galois ou galoisienne si elle est normale et séparable.
Remarque :
L’extension de est dite séparable si le polynôme minimal sur de tout élément de n’a aucune racine multiple dans . Si est un corps parfait (par exemple s’il est de caractéristique [math] ou si c’est un corps fini), alors est toujours séparable sur .
Groupe de Galois :
L’ensemble des automorphismes de qui laissent invariant, muni de la loi de composition des applications, forme un groupe appelé le groupe de Galois de l’extension et est souvent noté .
Exemples :
Le corps des nombres complexes est une extension de Galois du corps des nombres réels. C’est une extension simple (c’est-à-dire engendrée par le corps des nombres réels et un seul élément supplémentaire) dont le groupe de Galois est le groupe cyclique d’ordre .
Démonstration :
Le corps des nombres complexes est une extension de dimension deux sur le corps des nombres réels. C’est donc une extension simple engendrée par l’imaginaire pur . Comme le corps des nombres complexes est algébriquement clos, tout morphisme de ce corps vers une extension quelconque laissant les nombres réels invariants est un automorphisme. Soit un automorphisme différent de l’identité. Un automorphisme permute les racines d’un polynôme à coefficients dans le corps de base. Donc est une racine du polynôme au même titre que . Et est différent de car sinon serait l’identité sur une base des nombres complexes: et serait donc égal à l’identité. Le polynôme précédent n’admet que deux racines car il est de degré deux. On vérifie que les deux racines sont et . L’image de la base par est donc . Cela signifie que est l’application conjuguée. Il est simple de vérifier que est effectivement un automorphisme d’ordre deux. Le groupe de Galois est donc bien un groupe à deux éléments isomorphe au groupe cyclique d’ordre deux.
L’extension simple engendrée par la racine cubique de deux sur le corps des rationnels n’est pas une extension de Galois. En effet, ce corps ne contient pas toutes les racines, il existe donc un morphisme de dont l’image n’est pas .
Démonstration :
Il est aisé de vérifier que possède pour base la famille des trois éléments un, la racine cubique de deux et la racine cubique de quatre. La démonstration est donnée par la proposition :
”Si est une extension de et un élément de algébrique sur , le -espace vectoriel a pour base , où désigne le degré du polynôme minimal de .”
appliquée au polynôme . Or si l’on note , où est une racine cubique complexe de l’unité, est aussi une racine du polynôme. On peut garantit l’existence d’un morphisme de dans l’extension de sur les nombres rationnels. L’extension n’est donc pas normale, ce n’est pas une extension galoisienne.
4. Corps locaux non commutatifs
4.1. Définitions
Le centre d’un corps :
Soit , Le centre de est le sous-ensemble de formé par tous les éléments de tels que pour tout de . Le centre de est un sous-corps commutatif de .
Le centre d’une algèbre :
Le centre d’une algèbre est constitué de tous les éléments de tels que pour tout de .
Algèbre de quaternions sur un corps :
On appelle algèbre de quaternions sur le corps toute algèbre (unitaire et associative) de dimension 4 sur qui est simple (c’est-à-dire que et sont les seuls idéaux bilatères) et dont le centre est .
Corps de quaternions :
On appelle corps de quaternions sur toute algèbre de quaternions sur dont l’anneau sous-jacent est un corps.
Exemple :
Le seul corps de quaternions sur (à isomorphisme près) est le corps des quaternions de Hamilton.
4.2. Structures des corps locaux non commutatifs
Il est possible d’élargir la définition équivalente ci-dessus d’un corps local non archimédien en autorisant les corps non commutatifs. Les notions d’anneau d’entiers, de corps résiduel et de caractéristique résiduelle s’étendent sans difficulté à ce cadre.
Le centre d’un corps local non commutatif est un corps local.
Un corps local non commutatif est localement compact si et seulement si son centre l’est, et si et seulement s’il a un corps résiduel fini. Dans ce cas, il est de dimension finie sur son centre.
Inversement, les corps non commutatifs localement compacts non discrets sont classés comme suit :
Si leur valeur absolue est archimédienne, ils sont isomorphes au corps des quaternions de Hamilton ;
Sinon, ce sont des algèbres cycliques sur leur centre, paramétrées par un élément de .
Troisième partie :
*Applications des corps valués locaux à la théorie des nombres
Introduction.
Il est toujours bien, dans l’abstraction et l’idéalité des maths, de donner des applications et des exemples concrets d’utilisation de notions mathématiques avancées, parce que, quoique cette abstraction soit suffisante en elle-même pour le cercle des adeptes de mathématiques, les non mathématiciens ne partagent généralement pas cet avis. On présente donc, dans cette dernière partie, quelques applications -mathématiques- des corps valués locaux, et surtout du corps local , qui est la grande nouveauté des corps valués.
Les corps valués locaux ont plusieurs applications en cryptographie, et particulièrement dans l’analyse des registres à décalage à rétroaction linéaire. On les retrouve également dans plusieurs preuves de théorèmes et lemmes en théorie des nombres, mais également dans les autres secteurs des mathématiques, on citera en l’occurrence le théorème de Monsky en géométrie carré triangles, qui affirme qu’il est impossible de partitionner un carré en un nombre impair de triangles de même aire, et dont la démonstration utilise le corps et surtout la valuation -adique. Des applications de cette notion sont également retrouvées en physique, et notamment dans la fameuse théorie des cordes.
Dans cette partie, nous allons parler de polynômes de Newton, qui est une théorie assez avancée dans l’étude des corps valués locaux, et qui convient en continuité avec la partie précédente, pour en déduire un critère d’irréductibilité purement ’arithmétique’ des polynômes dans et . On discutera ensuite des applications des -adiques aux équations diophantiennes et à la théorie des nombres élémentaires. On essaiera d’aller du plus compliqué vers le plus simple, terminant ainsi notre projet par les nombres -adiques expliqués à un lycéen.
1. Critère d’Eisenstein et polygones de Newton
La théorie des polygones de Newton est un outil très puissant pour l’étude des polynômes, qui nous permettra, en l’occurrence, de donner une généralisation du critère d’Eisenstein. Un polygone de Newton est, informellement, un polygone du plan euclidien que l’on peut associer à un polynôme, lorsque les coefficients de ce dernier sont des éléments d’un corps valué. Il est particulièrement utile lorsqu’il s’agit d’un corps local non archimédien, i.e. un corps des nombres -adiques ou un corps de séries de Laurent sur un corps fini.
Pour ce qui suit, on considère un corps valué muni de la valuation et on fixe une clôture algébrique de .
1.1. Construction d’un polygone de Newton
Soit un polynôme. On peut supposer, sans perte de généralité, que et écrire sous la forme :
où et . On considère l’ensemble des points du plan définis par :
et pour , en ignorant les indices pour lesquels . Le polygone de Newton de est alors la frontière inférieure de l’enveloppe convexe de cet ensemble de points. Rappelons que l’enveloppe convexe d’un ensemble est l’ensemble convexe le plus petit parmi ceux qui le contiennent.
Une construction plus explicite consiste à considérer l’axe des ordonnées, et le faire tourner autour de l’origine dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, jusqu’à ce qu’il rencontre l’un des points de ; on obtient alors le premier segment du polygone de Newton. Si l’on continue à faire tourner l’axe, autour du point cette fois, il finit par rencontrer un point , et on obtient ainsi le second segment . En répétant cette opération autant de fois que possible, on finit par obtenir le polygone de Newton.
1.2. Quelques résultats dans les corps locaux non archimédiens
Dans ce qui suit, est un corps local non archimédien ( ou ).
1.2.1. Définition (Polynôme pur) :
On dit qu’un polynôme est pur de pente si son polygone de Newton est un unique segment dont la pente est . Dans ce cas, on a nécessairement .
1.2.2. Théorème (Factorisation d’un polynôme) :
Le polynôme admet une factorisation de la forme :
Où chaque est un polynôme de de degré et de pente .
Conséquence :
Si est irréductible dans , alors il est pur de pente .
1.3. Cas de : Critère de Dumas et critère d’Eisenstein
On considère maintenant comme étant un corps de nombres -adiques , coïncide donc avec la valuation -adique .
En utilisant ce qui précède et le théorème donnant la localisation des racines dans ce cas, on retrouve un critère d’irréductibilité, dit critère de Dumas :
Critère de Dumas :
Si le polynôme est pur, et est premier avec , alors est irréductible dans .
Ce critère peut être démontré par contraposée. La réciproque est fausse (). Ce qui nous intéresse est le théorème suivant, qui est un cas particulier du critère de Dumas, appelé critère d’Eisenstein.
Critère d’Eisenstein :
Si vérifie pour tout et , alors est irréductible.
On voit toujours que cet énoncé utilise toujours les valuations et n’est probablement pas accessible aux lycéens ou à ceux qui ne sont pas familiers avec le corps , mais le critère peut être énoncé de la façon suivante, qui est sa forme la plus connue d’ailleurs :
Critère d’Eisenstein :
On considère un polynôme à coefficients entiers qu’on écrit comme suit :
Si on suppose qu’il existe un nombre premier tel que :
-
divise
-
ne divise pas
-
ne divise pas
Alors est irréductible dans . Si de plus les sont premiers entre eux, alors est irréductible dans .
Ce dernier énoncé n’est pas vraiment difficile à appliquer, on le retrouve par exemple dans le livre ’Olympiades de mathématiques, réflexes et stratégies’ du marocain Tarik Belhaj Soulami, qui est principalement destiné à des élèves de première et de terminale.
Exemple :
est irréductible dans pour tout entier (critère d’Eisenstein pour ), ce qui prouve qu’il y a dans des irréductibles de tout degré.
2. Nombres p-adiques et équations diophantiennes
Malgré l’origine théorique des nombres -adiques et leur construction presque indépendante de la théorie des nombres élémentaire, ils jouent très bien leur rôle dans le monde de l’arithmétique, et spécialement dans une théorie centrale de cette branche : la théorie des équations diophantiennes. La résolution de ces équations a même constitué la motivation de Hensel pour définir les nombres -adiques. Une équation diophantienne, nommée après Diophante quoique existant depuis l’antiquité, est un problème du type :
où est un polynôme à une ou plusieurs variables et où on recherche les solutions entières. Ce problème, très difficile, peut être attaqué en affaiblissant l’équation en considérant l’ensemble des congruences pour tout :
Ce qui équivaut, grâce au Théorème des restes chinois, de considérer l’ensemble des congruences :
Pour toutes les puissances de nombres premiers. On espère alors que l’existence ou la non-existence de solutions pour cette dernière équation pourrait nous donner des indices à propos des solutions de l’équation d’origine. Ce sont les nombres -adiques qui nous donnent la réponse.
Théorème :
Soient un polynôme à coefficients entiers et un nombre premier fixé. L’équation
est résoluble (admet des solutions) en entiers pour quelconque si et seulement si l’équation
est résoluble en entiers -adiques (dans ).
Équivalence (Somme de deux carrés de Fermat) :
Soit un entier. L’équation admet une solution dans si et seulement si, pour tout premier, elle a une solution dans .
Ce qui donnerait probablement le fameux théorème des deux carrés de Fermat, qui affirme que l’équation ci-dessus admet des solutions si et seulement si pour tout figurant dans la décomposition en facteurs premiers de : est pair.
Somme de trois carrés :
Soit un entier. L’équation admet une solution dans si et seulement si, pour tout premier, elle a une solution dans .
Ce qui se ramène à et .
On voit donc que les -adiques sont fortement reliés aux équations diophantiennes, qui constituent un sujet de recherche toujours actif pour les mathématiciens contemporains. Mieux analyser ce lien nécessite des connaissances assez avancées telles que la théorie du corps de classes local, les groupes de Brauer et le principe local-global notamment. Notre objectif dans cette partie étant de simplifier les choses, on laisse le soin au lecteur intéressé d’approfondir et explorer le sujet.
3. Valuations p-adiques et théorie des nombres élémentaire
Dans cette sous-partie, on présente les valuations -adiques d’entiers naturels, ce sont des définitions, théorèmes et applications accessibles à toute personne en connaissance des notions de base des entiers naturels et d’arithmétique, en l’occurrence les élèves de lycée.
Dans toute la suite, on considère un nombre premier.
3.1. Définitions et théorèmes
Définitions :
Soit un entier. On appelle valuation -adique de la puissance de qui apparaît dans la décomposition de en facteurs premiers. On la note .
est donc le plus grand entier naturel tel que (donc ).
On définit la valuation -adique d’une fraction comme suit :
.
Théorème 1 :
.
Preuve :
Posons et , on a alors : et avec et premiers avec .
Théorème 2 :
Si , on a .
Exemple d’application :
Montrer que n’est pas un entier pour .
Solution.
Remarquons que .
En utilisant le théorème 2, on trouve que : puis que , on itère pour finalement trouver l’égalité :
On suppose maintenant -par l’absurde- que est un entier, donc
D’où : , ce qui implique que , absurde puisque .
Autre exemple :
On procède presque de la même manière pour montrer que n’est pas un entier pour .
3.2. L’art d’utiliser les valuations élémentairement
Exemple 1 :
Soient et deux entiers . On suppose que , montrer que .
Solution.
Il s’agit de montrer que pour tout nombre premier .
On a : .
Exemple 2 :
Soient trois entiers tels que
On note le des entiers . Montrer que les entiers , et sont des carrés parfaits.
Solution.
L’équation étant homogène en et le problème invariant par multiplication de par un même entier non nul, on peut supposer que sont premiers entre eux. Par symétrie de et , il s’agit finalement de montrer que et sont des carrés parfaits.
L’équation du problème devient puis . On en déduit que , ce qui réduit le problème à montrer que est un carré parfait donc que toutes ses valuations -adiques sont paires.
Soit un premier divisant , donc il divise , ce qui implique que ou . Puisque divisant leur différence, divise les deux. sont premiers entre eux, donc ne divise pas , d’où :
En particulier, donc d’où . Par symétrie, pair. CQFD.
Exemple 3 :
Soient trois entiers tels que la somme soit entière. Montrer que le produit est un cube.
Solution.
On procède de la même façon que pour l’exemple 2 pour supposer que sont premiers entre eux.
Soit un diviseur de . Puisque , on a , d’où ou bien ou bien .
On suppose donc que divise et (pas ) et on montre par l’absurde que (pas difficile) ce qui nous permet de conclure que , d’où est un cube.
3.3. Valuations p-adiques des factorielles
La factorielle et la valuation -adique sont de très bons amis. En effet, Legendre avait découvert un lien entre les valuations et les nombres factoriels des entiers, donnant ainsi, grâce à la formule qui porte son nom, des calculs assez simples de la valuation d’une factorielle.
Formule de Legendre :
Pour tout entier naturel et premier, on a :
Ébauche de démonstration :
Une idée de preuve repose sur la combinatoire en considérant l’ensemble et en comptant le nombre de fois où une puissance donnée de apparaît dans cet ensemble.
Remarque :
Quoique la somme ci-dessus ait l’air infinie, elle est bel et bien finie. En effet, est nécessairement nulle à partir d’un certain .
Autre formule de la valuation d’une factorielle :
Pour tout entier naturel et un nombre premier, on a :
Où représente la somme des chiffres de écrit en base .
Preuve :
En base , s’écrit sous la forme :
avec et pour
On utilise la formule précédente pour trouver :
On évalue maintenant le terme . On sait que , ce qui implique que :
D’où l’égalité.
Applications :
1.
Trouver tous les entiers naturels vérifiant
On a , ce qui veut dire que est une puissance de .
2.
On note le nombre des nombres premiers au plus égaux à et l’ensemble des nombres premiers.
- (a)
Montrer que divise
- (b)
Montrer que
- (c)
Montrer que quand tend vers .
(a)
On a et :
Or, ou 1 donc
De plus, les nombres premiers diviseurs de sont inférieurs à (lemme d’Euclide). Il en découle que .
(b)
On a
(c)
On passe au logarithme et on utilise une comparaison série intégrale pour déduire que . Puis on a et , ce qui nous permet de conclure.
3.4. Lifting The Exponent (LTE)
Théorème 1 :
Si est un nombre premier impair, premier avec les entiers et avec alors :
Preuve :
On procède par récurrence sur .
Cas : On a . Remarquons maintenant que :
Car . On en déduit que .
Cas : On pose avec et premier entre eux. On a alors :
On pose maintenant puisque . On trouve :
En utilisant le fait que pour tout , on trouve que (Thm 1 et 2 de 3.1.) :
D’où le résultat.
H.R. On suppose que notre théorème est vrai pour et on montre qu’il est vrai pour .
On pose . On aura alors :
Selon le cas et H.R.
Corollaire :
Si est un nombre premier impair, premier avec les entiers et avec et est un entier impair alors :
Théorème 2 :
Si , est pair et :
- —
alors
- —
alors
Application 1 :
Soient deux entiers strictement positifs et un nombre premier impair tel que . Montrer que .
Solution.
Il est clair que et sont premiers entre eux. D’après le petit théorème de Fermat, . Puisque , on en déduit que . On peut donc utiliser LTE et on obtient :
Le dernier terme étant supérieur ou égal à , il en découle que .
Application 2 :
Soit un entier strictement positif. Trouver tous les entiers strictement positifs tels que divise .
Solution.
Soit tel que divise . En raisonnant modulo 3, on voit que est pair. Écrivons donc avec . Alors divise . Comme 3 divise , on applique LTE :
On en déduit que . Ainsi divise .
Réciproquement, le même raisonnement donne que divise si divise .
4. Les nombres -adiques au lycée
Certes, la partie précédente étant constituée majoritairement de problèmes et d’applications aux olympiades des mathématiques, elle est techniquement accessible aux élèves de lycée. Mais elle ne parle que des valuations -adiques pour les nombres entiers, on essaiera d’élargir notre champ de vulgarisation dans cette partie, en trouvant une façon d’introduire tout l’ensemble des nombres -adiques , ainsi que celui des entiers -adiques , aux lycéens. On conclut donc notre projet par ce qu’on croit être la façon la plus simple d’aborder les nombres -adiques et donc l’un des deux corps valués locaux non archimédiens existants.
4.0. Construction des nombres réels
Si on oublie qu’on sait ce qu’un nombre réel est, on peut présenter autrement. En effet, fixons un entier naturel et considérons toutes les expressions éventuellement infinies à droite :
+…
où les sont des entiers naturels strictement inférieurs à . On peut construire tout l’ensemble des réels ainsi.
En effet, n’importe quel réel peut s’écrire avec une infinité de décimales
, ,
Inversement, on peut placer n’importe quel nombre avec une infinité de décimales sur la droite réelle. Tout réel positif s’écrit donc comme somme éventuellement infinie à droite :
+…
où les sont des entiers naturels entre 0 et 9.
Ceci reste valable si on remplace par un entier . D’où notre première définition.
On peut faire des opérations sur ces nombres en opérant sur leur partie **gauche.
**Prenons par exemple et calculons pour
On fait
puis etc
pour trouver qu’on identifie avec 2. On a donc .
On signe ensuite ces nombres pour construire tout .
4.1. Les nombres -adiques
On fixe toujours et on considère l’ensemble de toutes les expressions éventuellement **infinies à gauche **:
…+
où les sont des entiers naturels strictement inférieurs à .
On définit les opérations en considérant la partie droite de ces nombres. Prenons par exemple et calculons pour . On fait
puis etc
pour trouver que l’on identifie avec 1. Donc .
On peut aussi calculer si bien qu’en fait .
On obtient ainsi l’ensemble des nombres -adiques. Ceux qui n’ont pas de virgule sont les entiers -adiques dont l’ensemble est noté .
4.2. Les entiers -adiques
est donc l’ensemble des expressions éventuellement infinies à gauche :
…+
où les sont des entiers naturels strictement inférieurs à .
est un anneau. En particulier, tous les entiers -adiques ont alors un opposé. On a vu par exemple que dans .
On peut diviser dans , par exemple, dans :
4.3. La valuation -adique
La valuation -adique d’un nombre est le nombre de zéros à droite dans l’écriture de en base si est entier, ou l’opposé du nombre de chiffres après la virgule si est ’décimal’.
Plus formellement, si on écrit :
avec , on aura alors .
Par exemple, on a et . On peut aussi calculer et (pourquoi ?).
4.4. La valeur absolue -adique
Si alors la valeur absolue -adique de est :
Si alors la distance -adique entre et est définie par :
Par exemple, est -adiquement très proche de , car :
.
Ou encore, 3100 est 2-adiquement proche de 28. On peut calculer :
.
Car si bien que si bien que et .
4.5. Géométrie -adique
Comme on dispose d’une distance sur l’ensemble des nombres -adiques, on peut faire de la géométrie -adique :
Théorème :
La valeur absolue -adique vérifie l’inégalité ultramétrique
Conséquence :
Pour tout , on a
Cela veut dire que dans un triangle la longueur d’un côté quelconque est toujours inférieure à la longueur d’un des deux autres.
On peut démontrer d’autres résultats déconcertants en géométrie -adique :
Théorème 1 :
Tous les triangles sont isocèles.
Démonstration :
Notons les longueurs des côtés du triangle. On peut supposer que est plus petit que (ou égal à) . L’inégalité ultramétrique nous dit que est plus petit que ou plus petit que . De toutes façons, comme est plus petit que , sera plus petit que . Donc, le maximum de et est plus petit que . Mais l’inégalité ultramétrique nous dit qu’il est aussi plus grand que : il doit être égal à . Il y a donc bien deux côtés qui ont même longueur.
Théorème 2 :
N’importe quel point d’un disque est au centre du disque.
Démonstration :
Soit un point du disque de centre et de rayon . Alors, la distance de à est plus petite que . Si est un point quelconque du disque , alors la distance de à sera aussi plus petite que . Et l’inégalité ultramétrique implique que la distance de à est plus petite que . Ça veut dire que est dans le disque de centre et de rayon . Symétriquement, si est un point quelconque du disque , alors est dans le disque . Les deux disques sont donc identiques. Et est donc ”un” centre du disque .
Références
- [1]
A. El Amrani et M. Babahmed, Corps valués et espaces de Banach non-archimédiens, (2016).
- [2]
A.J. Engler, A. Prestel, Valued Fields, Springer Verlag, (2005).
- [3]
Abdellah Bechata Valeurs absolues de Q. article disponible sur : abdellah.bechata.free.fr/telechargement/p_adique/pdf/valeurs_absolues_Q.pdf.
- [4]
Bertin DIARRA, Analyse p-adique Cours de DEA - Algèbre Commutative FAST - Université du Mali, article disponible sur : math.univ-bpclermont.fr/~diarra/coursDEA.pdf.
- [5]
Bernard Le Stum, Les p-adiques au lycée Université de Rennes 1 disponible sur :perso.univ-rennes1.fr/bernard.le-stum/bernard.le-stum/Documents_files/pAdicLyceeprint.pdf
- [6]
David Harari, Algèbre 1-notions de théorie des corps, article disponible sur: math.u-psud.fr/~harari/exposes/corps.pdf.
- [7]
Dr. T. Dokchitser Local Fields Michaelmas (2007).
- [8]
Évariste Galois, Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, Académie des sciences, (1830).
- [9]
Giancarlo Lucchini Servetto, Li Wang, Le Théorème de Kronecker-Weber Local, disponible sur : math.ens.fr/enseignement/telecharger_fichier.php?fichier=438.
- [10]
Gilles Christol, Anne Cot et Charles-Michel Marie, Topologie. Ellipses Marketing, Paris (1998).
- [11]
H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainz, J. Neukirch, A. Prestel et R. Remmert, Graduate Texts in Mathematics : Numbers, Springer-Verlag New York (1991).
- [12]
Hassan Omari, cours de mesure et probabilité S5, (2017).
- [13]
Jean-Pierre Serre, Corps locaux, HERMANN Paris (1962).
- [14]
Justin Stevens, Olympiad Number Theory Through Challenging Problems, disponible sur : s3.amazonaws.com/aops-cdn.artofproblemsolving.com/resources/articles/olympiad-number-theory.pdf
- [15]
M. E. Charkani, Valeurs absolues et Valuations sur un corps, disponible sur : researchgate.net/profile/Mohammed_Charkani_Elhassani/publication/322386735_Valeurs_absolues_et_Valuations_sur_un_corps/data/5a573c3ba6fdcc30f86df4a4/Cours-I-Corps-de-Class.pdf.
- [16]
Nawfal El Hage Hassan, Topologie générale et espaces normés. Dunod, Malakoff, (2011).
- [17]
N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Algèbre. Chapitres 1 à 3 Springer, (2006).
- [18]
N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Algèbre. Chapitres 4 à 7 Springer, (2006).
- [19]
N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Algèbre commutative. Chapitres 1 à 4 Springer, (2006).
- [20]
N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Algèbre commutative. Chapitres 5 à 7 Springer, (2006).
- [21]
N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Espaces vectoriels topologiques. Chapitres 1 à 5 Springer, (2006).
- [22]
N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Topologie générale, Chapitres. 1 à 4. Springer, Berlin Heidelberg, (2007).
- [23]
N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Topologie générale, Chapitres. 5 à 10. Springer, Berlin Heidelberg, (2007).
- [24]
N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles. Springer, Berlin Heidelberg, (2006).
- [25]
N. Bourbaki Éléments d’histoire des mathématiques Springer (2006).
- [26]
Pierre Colmez, corps locaux, notes du cours de M2 disponible sur : webusers.imj-prg.fr/~pierre.colmez/CL.pdf.
- [27]
Pierre Colmez, Les nombres p-adiques, notes du cours de M2, disponible sur : webusers.imj-prg.fr/~pierre.colmez/nombres-p-adiques.
- [28]
Tristan Vaccon, Théorie du corps de classes local, disponible sur : perso.univ-rennes1.fr/tristan.vaccon/rapport2011.pdf.
- [29]
Groupes quotients, article disponible sur : les.mathematiques.free.fr/pdf/quotient.pdf.
- [30]
Local fields and p-adic groups, disponible sur : www.math.wm.edu/~vinroot/PadicGroups/local.pdf
The reference list from the paper itself. Each links out to its DOI / PubMed record.
- 1[1] A. El Amrani et M. Babahmed, Corps valués et espaces de Banach non-archimédiens, (2016).
- 2[2] A.J. Engler, A. Prestel, Valued Fields, Springer Verlag, (2005).
- 3[3] Abdellah Bechata Valeurs absolues de Q. article disponible sur : abdellah.bechata.free.fr/telechargement/p_adique/pdf/valeurs_absolues_Q.pdf .
- 4[4] Bertin DIARRA, Analyse p-adique Cours de DEA - Algèbre Commutative FAST - Université du Mali, article disponible sur : math.univ-bpclermont.fr/~diarra/cours DEA.pdf .
- 5[5] Bernard Le Stum, Les p-adiques au lycée Université de Rennes 1 disponible sur : perso.univ-rennes 1.fr/bernard.le-stum/bernard.le-stum/Documents_files/p Adic Lyceeprint.pdf
- 6[6] David Harari, Algèbre 1-notions de théorie des corps, article disponible sur: math.u-psud.fr/~harari/exposes/corps.pdf .
- 7[7] Dr. T. Dokchitser Local Fields Michaelmas (2007).
- 8[8] Évariste Galois, Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, Académie des sciences, (1830).
