Oscillation properties of one boundary problem of fourth order with a   spectral parameter in the boundary conditions

A.A.Vladimirov; E.S.Karulina

arXiv:1905.01439·math.CA·May 7, 2019

Oscillation properties of one boundary problem of fourth order with a spectral parameter in the boundary conditions

A.A.Vladimirov, E.S.Karulina

PDF

Open Access

TL;DR

This paper investigates a fourth-order boundary value problem with a spectral parameter in the boundary condition, establishing the simplicity of its spectrum and analyzing the oscillation behavior of its eigenfunctions.

Contribution

It proves the spectrum's simplicity and explores oscillation properties of eigenfunctions for a specific fourth-order boundary problem with spectral parameters.

Findings

01

Spectrum is simple.

02

Eigenfunctions exhibit specific oscillation properties.

03

Results contribute to understanding spectral problems with boundary parameters.

Abstract

For one boundary problem of fourth order with a spectral parameter in the boundary condition we prove the simplicity of the spectrum and the oscillation properties of the system of the eigenfunctions derivatives.

Equations32

\halign{\hbox to\displaywidth{$\hfil\displaystyle#\hfil$}\cr 0.0pt{\hfil$\displaystyle(py^{\prime\prime})^{\prime\prime}-(qy^{\prime})^{\prime}=\lambda ry,\cr 0.0pt{\hfil$\displaystyle y(0)=y^{\prime}(0)=0,\cr 0.0pt{\hfil$\displaystyle y(\xi_{i}+0)-y(\xi_{i}-0)=y^{\prime}(\xi_{i}+0)-\eta_{i}y^{\prime}(\xi_{i}-0)={}\kern 142.26378pt\cr 0.0pt{\hfil$\displaystyle{}=\eta_{i}(py^{\prime\prime})(\xi_{i}+0)-(py^{\prime\prime})(\xi_{i}-0)-\alpha_{i}y^{\prime}(\xi_{i}-0)={}\cr 0.0pt{\hfil$\displaystyle\kern 142.26378pt{}=[(py^{\prime\prime})^{\prime}-qy^{\prime}](\xi_{i}+0)-[(py^{\prime\prime})^{\prime}-qy^{\prime}](\xi_{i}-0)=0,\cr 0.0pt{\hfil$\displaystyle(py^{\prime\prime})(1)-\alpha\lambda y^{\prime}(1)=[(py^{\prime\prime})^{\prime}-qy^{\prime}](1)+\beta\lambda y(1)=0,\crcr}}}}}}}

\halign{\hbox to\displaywidth{$\hfil\displaystyle#\hfil$}\cr 0.0pt{\hfil$\displaystyle(py^{\prime\prime})^{\prime\prime}-(qy^{\prime})^{\prime}=\lambda ry,\cr 0.0pt{\hfil$\displaystyle y(0)=y^{\prime}(0)=0,\cr 0.0pt{\hfil$\displaystyle y(\xi_{i}+0)-y(\xi_{i}-0)=y^{\prime}(\xi_{i}+0)-\eta_{i}y^{\prime}(\xi_{i}-0)={}\kern 142.26378pt\cr 0.0pt{\hfil$\displaystyle{}=\eta_{i}(py^{\prime\prime})(\xi_{i}+0)-(py^{\prime\prime})(\xi_{i}-0)-\alpha_{i}y^{\prime}(\xi_{i}-0)={}\cr 0.0pt{\hfil$\displaystyle\kern 142.26378pt{}=[(py^{\prime\prime})^{\prime}-qy^{\prime}](\xi_{i}+0)-[(py^{\prime\prime})^{\prime}-qy^{\prime}](\xi_{i}-0)=0,\cr 0.0pt{\hfil$\displaystyle(py^{\prime\prime})(1)-\alpha\lambda y^{\prime}(1)=[(py^{\prime\prime})^{\prime}-qy^{\prime}](1)+\beta\lambda y(1)=0,\crcr}}}}}}}

λ_{0} \mathchar 13366 λ_{1} \mathchar 13366 \dots \mathchar 13366 λ_{n} \mathchar 13366 \dots

λ_{0} \mathchar 13366 λ_{1} \mathchar 13366 \dots \mathchar 13366 λ_{n} \mathchar 13366 \dots

τ^{'} (ξ_{i} + 0) = η_{i} τ^{'} (ξ_{i} - 0) .

τ^{'} (ξ_{i} + 0) = η_{i} τ^{'} (ξ_{i} - 0) .

u \in D \mathchar 13322 {u \in W_{2}^{2} [0, 1] : u (0) = u^{'} (0) = 0} .

u \in D \mathchar 13322 {u \in W_{2}^{2} [0, 1] : u (0) = u^{'} (0) = 0} .

\int_{0}^{1} \mathaccent 28766 p u^{''} \overline{v^{''}} d x + ⟨ \mathaccent 28766 q, \overline{u^{'}} v^{'} ⟩ - λ \cdot [\int_{0}^{1} \mathaccent 28766 r u \overline{v} d x + \mathaccent 28766 α u^{'} (1) \overline{v^{'} (1)} + β u (1) \overline{v (1)}] = 0,

\int_{0}^{1} \mathaccent 28766 p u^{''} \overline{v^{''}} d x + ⟨ \mathaccent 28766 q, \overline{u^{'}} v^{'} ⟩ - λ \cdot [\int_{0}^{1} \mathaccent 28766 r u \overline{v} d x + \mathaccent 28766 α u^{'} (1) \overline{v^{'} (1)} + β u (1) \overline{v (1)}] = 0,

⟨ \mathaccent 28766 q, u ⟩ \equiv \int_{0}^{1} q \cdot [τ^{'}]^{2} \overline{u \circ τ} d x + i = 0 \sum m α_{i} \cdot [τ^{'} (ξ_{i} - 0)]^{2} \overline{u (τ (ξ_{i}))} .

⟨ \mathaccent 28766 q, u ⟩ \equiv \int_{0}^{1} q \cdot [τ^{'}]^{2} \overline{u \circ τ} d x + i = 0 \sum m α_{i} \cdot [τ^{'} (ξ_{i} - 0)]^{2} \overline{u (τ (ξ_{i}))} .

⟨ \mathaccent 28766 T (λ) u, v ⟩ \equiv \int_{0}^{1} \mathaccent 28766 p u^{''} \overline{v^{''}} d x + ⟨ \mathaccent 28766 q, \overline{u^{'}} v^{'} ⟩ - λ \cdot [\int_{0}^{1} \mathaccent 28766 r u \overline{v} d x + \mathaccent 28766 α u^{'} (1) \overline{v^{'} (1)} + β u (1) \overline{v (1)}] .

⟨ \mathaccent 28766 T (λ) u, v ⟩ \equiv \int_{0}^{1} \mathaccent 28766 p u^{''} \overline{v^{''}} d x + ⟨ \mathaccent 28766 q, \overline{u^{'}} v^{'} ⟩ - λ \cdot [\int_{0}^{1} \mathaccent 28766 r u \overline{v} d x + \mathaccent 28766 α u^{'} (1) \overline{v^{'} (1)} + β u (1) \overline{v (1)}] .

{D}_{1}\mathchar 13322\relax\left\{u\in W_{2}^{1}[0,1]\;:\;u(0)=0\right\},\end{equation}\immediate\immediate\T2A\cyra\T2A\cyrt\T2A\cyra\T2A\cyrk\T2A\cyrzh\T2A\cyre\T2A\cyrb\T2A\cyri\T2A\cyre\T2A\cyrk\T2A\cyrc\T2A\cyri\T2A\cyryu Q\colon{D}_{1}\to{D}\T2A\cyrv\T2A\cyri\T2A\cyrd\T2A\cyra[Qy]^{\prime}\equiv y.\T2A\CYRO\T2A\cyrp\T2A\cyre\T2A\cyrr\T2A\cyra\T2A\cyrt\T2A\cyro\T2A\cyrr S\mathchar 13322\relax Q^{*}\mathaccent 28766{T}(0)Q\T2A\cyrp\T2A\cyrr\T2A\cyri\T2A\cyrerev\T2A\cyrt\T2A\cyro\T2A\cyrm\T2A\cyrp\T2A\cyro\T2A\cyrl\T2A\cyro\T2A\cyrzh\T2A\cyri\T2A\cyrt\T2A\cyre\T2A\cyrl\T2A\cyrsftsn\T2A\cyrn\T2A\cyro\T2A\cyro\T2A\cyrp\T2A\cyrr\T2A\cyre\T2A\cyrd\T2A\cyre\T2A\cyrl\T2A\cyryo\T2A\cyrn\T2A\cyri\T2A\cyrp\T2A\cyro\T2A\cyrd\T2A\cyrch\T2A\cyri\T2A\cyrn\T2A\cyrya\T2A\cyre\T2A\cyrt\T2A\cyrs\T2A\cyrya\T2A\cyrt\T2A\cyro\T2A\cyrzh\T2A\cyrd\T2A\cyre\T2A\cyrs\T2A\cyrt\T2A\cyrv\T2A\cyru

{D}_{1}\mathchar 13322\relax\left\{u\in W_{2}^{1}[0,1]\;:\;u(0)=0\right\},\end{equation}\immediate\immediate\T2A\cyra\T2A\cyrt\T2A\cyra\T2A\cyrk\T2A\cyrzh\T2A\cyre\T2A\cyrb\T2A\cyri\T2A\cyre\T2A\cyrk\T2A\cyrc\T2A\cyri\T2A\cyryu Q\colon{D}_{1}\to{D}\T2A\cyrv\T2A\cyri\T2A\cyrd\T2A\cyra[Qy]^{\prime}\equiv y.\T2A\CYRO\T2A\cyrp\T2A\cyre\T2A\cyrr\T2A\cyra\T2A\cyrt\T2A\cyro\T2A\cyrr S\mathchar 13322\relax Q^{*}\mathaccent 28766{T}(0)Q\T2A\cyrp\T2A\cyrr\T2A\cyri\T2A\cyrerev\T2A\cyrt\T2A\cyro\T2A\cyrm\T2A\cyrp\T2A\cyro\T2A\cyrl\T2A\cyro\T2A\cyrzh\T2A\cyri\T2A\cyrt\T2A\cyre\T2A\cyrl\T2A\cyrsftsn\T2A\cyrn\T2A\cyro\T2A\cyro\T2A\cyrp\T2A\cyrr\T2A\cyre\T2A\cyrd\T2A\cyre\T2A\cyrl\T2A\cyryo\T2A\cyrn\T2A\cyri\T2A\cyrp\T2A\cyro\T2A\cyrd\T2A\cyrch\T2A\cyri\T2A\cyrn\T2A\cyrya\T2A\cyre\T2A\cyrt\T2A\cyrs\T2A\cyrya\T2A\cyrt\T2A\cyro\T2A\cyrzh\T2A\cyrd\T2A\cyre\T2A\cyrs\T2A\cyrt\T2A\cyrv\T2A\cyru

)

)

\leqalignno{[Vu]&=u\circ\omega,\cr[Vu]^{\prime}&=(u^{\prime}\circ\omega)\cdot\sigma,\cr[Vu]^{\prime\prime}&=(u^{\prime\prime}\circ\omega)\cdot\sigma^{2}+(u^{\prime}\circ\omega)\cdot\sigma^{\prime}.}

\leqalignno{[Vu]&=u\circ\omega,\cr[Vu]^{\prime}&=(u^{\prime}\circ\omega)\cdot\sigma,\cr[Vu]^{\prime\prime}&=(u^{\prime\prime}\circ\omega)\cdot\sigma^{2}+(u^{\prime}\circ\omega)\cdot\sigma^{\prime}.}

⟨ \mathaccent 28798 T (λ) u, v ⟩ \equiv \int_{0}^{1} \mathaccent 28798 p u^{''} \overline{v^{''}} d x + γ σ (1) u^{'} (1) \overline{v^{'} (1)} - λ \cdot [\int_{0}^{1} \mathaccent 28798 r u \overline{v} d x + \mathaccent 28798 α u^{'} (1) \overline{v^{'} (1)} + β u (1) \overline{v (1)}],

⟨ \mathaccent 28798 T (λ) u, v ⟩ \equiv \int_{0}^{1} \mathaccent 28798 p u^{''} \overline{v^{''}} d x + γ σ (1) u^{'} (1) \overline{v^{'} (1)} - λ \cdot [\int_{0}^{1} \mathaccent 28798 r u \overline{v} d x + \mathaccent 28798 α u^{'} (1) \overline{v^{'} (1)} + β u (1) \overline{v (1)}],

(\mathaccent 28798{p}u^{\prime\prime})^{\prime\prime}=\lambda\mathaccent 28798{r}u,\end{equation}\immediate\immediate

(\mathaccent 28798{p}u^{\prime\prime})^{\prime\prime}=\lambda\mathaccent 28798{r}u,\end{equation}\immediate\immediate

)

)

-Q^{*}\mathaccent 28798{T}^{\prime}(0)Qu=w+\mathaccent 28798{\alpha}u(1)\mathchar 1806\relax_{1},\end{equation}\immediate\immediate\T2A\cyrg\T2A\cyrd\T2A\cyre\mathchar 1806\relax_{1}\in{D}_{1}^{*}\leavevmode\nobreak\ {}---\T2A\cyrd\T2A\cyre\T2A\cyrl\T2A\cyrsftsn\T2A\cyrt\T2A\cyra-\T2A\cyrf\T2A\cyru\T2A\cyrn\T2A\cyrk\T2A\cyrc\T2A\cyri\T2A\cyrya\T2A\cyrs\T2A\cyrn\T2A\cyro\T2A\cyrs\T2A\cyri\T2A\cyrt\T2A\cyre\T2A\cyrl\T2A\cyre\T2A\cyrm\T2A\cyrv\T2A\cyrt\T2A\cyro\T2A\cyrch\T2A\cyrk\T2A\cyre 1,\T2A\cyra\T2A\cyrf\T2A\cyru\T2A\cyrn\T2A\cyrk\T2A\cyrc\T2A\cyri\T2A\cyrya w\in C[0,1]\T2A\cyro\T2A\cyrp\T2A\cyrr\T2A\cyre\T2A\cyrd\T2A\cyre\T2A\cyrl\T2A\cyrya\T2A\cyre\T2A\cyrt\T2A\cyrs\T2A\cyrya\T2A\cyrt\T2A\cyro\T2A\cyrzh\T2A\cyrd\T2A\cyre\T2A\cyrs\T2A\cyrt\T2A\cyrv\T2A\cyro\T2A\cyrm

-Q^{*}\mathaccent 28798{T}^{\prime}(0)Qu=w+\mathaccent 28798{\alpha}u(1)\mathchar 1806\relax_{1},\end{equation}\immediate\immediate\T2A\cyrg\T2A\cyrd\T2A\cyre\mathchar 1806\relax_{1}\in{D}_{1}^{*}\leavevmode\nobreak\ {}---\T2A\cyrd\T2A\cyre\T2A\cyrl\T2A\cyrsftsn\T2A\cyrt\T2A\cyra-\T2A\cyrf\T2A\cyru\T2A\cyrn\T2A\cyrk\T2A\cyrc\T2A\cyri\T2A\cyrya\T2A\cyrs\T2A\cyrn\T2A\cyro\T2A\cyrs\T2A\cyri\T2A\cyrt\T2A\cyre\T2A\cyrl\T2A\cyre\T2A\cyrm\T2A\cyrv\T2A\cyrt\T2A\cyro\T2A\cyrch\T2A\cyrk\T2A\cyre 1,\T2A\cyra\T2A\cyrf\T2A\cyru\T2A\cyrn\T2A\cyrk\T2A\cyrc\T2A\cyri\T2A\cyrya w\in C[0,1]\T2A\cyro\T2A\cyrp\T2A\cyrr\T2A\cyre\T2A\cyrd\T2A\cyre\T2A\cyrl\T2A\cyrya\T2A\cyre\T2A\cyrt\T2A\cyrs\T2A\cyrya\T2A\cyrt\T2A\cyro\T2A\cyrzh\T2A\cyrd\T2A\cyre\T2A\cyrs\T2A\cyrt\T2A\cyrv\T2A\cyro\T2A\cyrm

Peer Reviews

No public reviews on file for this paper yet. If you reviewed it on a platform where reviews are public (OpenReview, ICLR, NeurIPS, ICML), you can paste yours below so the community can read it here.

Videos

No videos yet. Explain this paper in a talk, walkthrough, or lecture? Add one.

Taxonomy

TopicsDifferential Equations and Boundary Problems · Differential Equations and Numerical Methods · Spectral Theory in Mathematical Physics

Full text

Осцилляционные свойства одной многоточечной граничной задачи четвёртого порядка со спектральным параметром в граничном условии А. А. Владимиров, Е. С. Карулина

[TABLE]

1 Введение

\thesubsection

ассмотрим граничную задачу

[TABLE]

где $\lambda$ — спектральный параметр, $0<\xi_{0}<\ldots<\xi_{m}<1$ , $\eta_{i}>0$ , $\alpha\mathchar 13374\relax 0$ , $\beta>0$ , $p,1/p\in L_{\infty}[0,1]$ неотрицательны, $q\in L_{1}[0,1]$ вещественнозначна, а $r\in L_{1}[0,1]$ почти всюду положительна. Основным результатом настоящей статьи является следующее утверждение:

\thesubsubsection

prop:1.1 В случае, если все собственные значения

[TABLE]

рассматриваемой задачи положительны, они являются простыми, причём для соответствующих собственных функций $y_{n}$ производные $y^{\prime}_{n}$ имеют в точности по $n$ перемен знака. В некоторых частных случаях аналогичные утверждения были установлены, например, в работе [??].

\thesubsection

ператорную модель, на основе которой будет проводиться изучение поставленной задачи, мы вводим следующим образом. Пусть $\tau\colon[0,1]\to[0,1]$ — непрерывное возрастающее кусочно-линейное отображение отрезка $[0,1]$ на себя, имеющее изломы только в точках $\xi_{i}$ и подчиняющееся при этом уравнениям

[TABLE]

Тогда всякая функция $y$ , удовлетворяющая граничным условиям, допускает представление в виде $y=u\circ\tau$ , где

[TABLE]

При этом решению задачи отвечает такая и только такая функция $u\in{D}$ , которая при всяком выборе пробной функции $v\in{D}$ подчиняется равенству

[TABLE]

где $\mathaccent 28766{p}\circ\tau=p\cdot[\tau^{\prime}]^{3}$ , $\mathaccent 28766{r}\circ\tau=r/\tau^{\prime}$ , $\mathaccent 28766{\alpha}=\alpha\cdot[\tau^{\prime}(1)]^{2}$ , а обобщённая функция $\mathaccent 28766{q}\in W_{2}^{-1}[0,1]$ определяется тождеством

[TABLE]

Соответственно, исходная спектральная граничная задача равносильна спектральной задаче для линейного операторного пучка $\mathaccent 28766{T}\colon{C}\to{\cal B}({D},{D}^{*})$ вида

[TABLE]

Очевидное совпадение знаков величин $y^{\prime}(x)=u^{\prime}(\tau(x))\cdot\tau^{\prime}(x)$ и $u^{\prime}(\tau(x))$ в каждой точке $x\in[0,1]$ , не являющейся точкой излома функции $\tau$ , означает, что искомые осцилляционные свойства собственных функций исходной задачи также совпадают с таковыми для собственных функций пучка $\mathaccent 28766{T}$ . Именно этот пучок и будет подвергаться изучению в основной части статьи. При этом выполнение предположений утверждения ?? будет предполагаться без специальных оговорок. Отметим, что в работе [??] многоточечные граничные задачи рассмотренного нами вида названы «задачами на графах-цепочках». Построенная в настоящем пункте операторная модель показывает, что с принципиальной точки зрения такие задачи не отличаются от обычных двухточечных граничных задач.

2 Редукция задачи и простота спектра

\thesubsection

аметим, что оператор $\mathaccent 28766{T}(0)$ представляет собой вполне непрерывное возмущение некоторого равномерно положительного оператора, а оператор $\mathaccent 28766{T}^{\prime}(0)$ есть отрицательный вполне непрерывный оператор. Соответственно, из части 5 теоремы [??: Theorem 1] немедленно вытекает, что оператор $\mathaccent 28766{T}(0)$ является положительно определённым. Введём в рассмотрение пространство

[TABLE]

⟨Su,v⟩≡∫_0^1^pu’¯v’ dx+ ⟨^q,¯uv⟩.

[TABLE]

(∀v∈D_1) ∫_0^1^pσ’¯v’ dx +⟨^q,σv⟩=γ¯v(1), где $\gamma>0$ — некоторая постоянная. Полагая без ограничения общности выполненным равенство $\int_{0}^{1}\sigma\,dx=1$ , мы можем ввести в рассмотрение биективное отображение $\omega\colon[0,1]\to[0,1]$ со свойством $\omega^{\prime}=\sigma$ , а также связанное с ним биективное отображение $V:{D}\to{D}$ вида

[TABLE]

Количества знакоперемен функций $u^{\prime}$ и $[Vu]^{\prime}$ при этом очевидным образом совпадают. Соответственно, для доказательства утверждения ?? достаточно установить искомое для случая пучка операторов $\mathaccent 28798{T}(\lambda)\mathchar 13322\relax V^{*}\mathaccent 28766{T}(\lambda)V$ , имеющих вид

[TABLE]

где $\mathaccent 28798{p}\circ\omega=\mathaccent 28766{p}\sigma^{3}$ , $\mathaccent 28798{r}\circ\omega=\mathaccent 28766{r}/\sigma$ и $\mathaccent 28798{\alpha}=\mathaccent 28766{\alpha}\sigma^{2}(1)$ , а $\gamma$ — постоянная из тождества (??). Собственные значения и собственные функции такого пучка определяются классически понимаемой граничной задачей

[TABLE]

u(0)=u’(0)=(~~pu”)(1)+[γσ(1)-~~α**λ]u’(1)= (~pu”)’(1)+βλu(1)=0.Отметим, что проведённый в настоящем пункте переход от пучка $\mathaccent 28766{T}$ к пучку $\mathaccent 28798{T}$ ранее применялся, например, в работах [??, ??].

\thesubsection

меет место следующий факт:

\thesubsubsection

prop:2.2 Всякое собственное значение граничной задачи (??), (??) является простым. При этом всякая собственная функция указанной задачи подчиняется неравенству $(\mathaccent 28798{p}u^{\prime\prime})(x)\neq 0$ при $x=0$ , а также при $u^{\prime}(x)=0$ .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду равносильности рассматриваемой граничной задачи спектральной задаче для пучка $\mathaccent 28798{T}$ , собственные значения этой задачи положительны. Соответственно, собственные функции подчинены известной лемме [??: Lemma 2.1]. А именно, любое нетривиальное решение граничной задачи (??), (??), удовлетворяющее дополнительному условию $(\mathaccent 28798{p}u^{\prime\prime})(0)=0$ , обязано иметь отличные от нуля значения величин $u(1)$ и $(\mathaccent 28798{p}u^{\prime\prime})^{\prime}(1)$ , знак которых совпадает со знаком величины $(\mathaccent 28798{p}u^{\prime\prime})^{\prime}(0)$ . Однако это несовместимо с условием $\beta>0$ . Таким образом, нами установлен факт заведомой простоты собственных значений, а также выполнение неравенства $(\mathaccent 28798{p}u^{\prime\prime})(0)\neq 0$ для всякой собственной функции. Далее, каждая точка $x\in(0,1)$ со свойством $u^{\prime}(x)=(\mathaccent 28798{p}u^{\prime\prime})(x)=0$ должна подчиняться какому-то из неравенств $(\mathaccent 28798{p}u^{\prime\prime})^{\prime}(x)\cdot u(x)\mathchar 13374\relax 0$ либо $(\mathaccent 28798{p}u^{\prime\prime})^{\prime}(x)\cdot u(x)\mathchar 13366\relax 0$ . В первом случае вышеуказанная лемма снова гарантирует выполнение несовместимого с условием $\beta>0$ неравенства $(\mathaccent 28798{p}u^{\prime\prime})^{\prime}(1)\cdot u(1)>0$ . Во втором же случае из леммы [??: Lemma 2.2] вытекает противоречащее граничным условиям неравенство $u(0)\neq 0$ . $\mathchar 1027\relax$

3 Завершение доказательства

\thesubsection

ведём в рассмотрение действующий в пространстве ${D}_{1}$ вида (??) оператор $K\mathchar 13322\relax-Q^{-1}[\mathaccent 28798{T}(0)]^{-1}\mathaccent 28798{T}^{\prime}(0)Q$ , где $Q\colon{D}_{1}\to{D}$ есть, как и ранее, биективный оператор интегрирования. Имеет место следующий факт:

\thesubsubsection

prop:3.1 Оператор $K$ не повышает числа знакоперемен никакой вещественной функции $u\in{D}_{1}$ .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство $Ku=v$ равносильно равенству $-\mathaccent 28798{T}^{\prime}(0)Qu=\mathaccent 28798{T}(0)Qv$ , а потому и равенству $-Q^{*}\mathaccent 28798{T}^{\prime}(0)Qu=Q^{*}\mathaccent 28798{T}(0)Qv$ . Оператор $Q^{*}\mathaccent 28798{T}(0)Q\colon{D}_{1}\to{D}_{1}^{*}$ при этом представляет собой положительно определённый оператор Штурма–Лиувилля, и потому знакорегулярен (см., например, [??]). Соответственно, число знакоперемен функции $v\in{D}_{1}$ мажорируется числом знакоперемен обобщённой функции $Q^{*}\mathaccent 28798{T}(0)Qv\in{D}_{1}^{*}$ . Для завершения доказательства, таким образом, остаётся установить, что число знакоперемен обобщённой функции $-Q^{*}\mathaccent 28798{T}^{\prime}(0)Qu\in{D}_{1}^{*}$ мажорируется числом знакоперемен функции $u\in{D}_{1}$ . Заметим, что имеет место равенство

[TABLE]

w(t)≡∫_t^1~r⋅(Qu) dx+β⋅(Qu)(1).

[TABLE]

\thesubsection

егко видеть, что всякой собственной паре $\{\lambda,u\}$ операторного пучка $\mathaccent 28798{T}$ отвечает собственная пара $\{\lambda^{-1},Q^{-1}u\}$ оператора $K$ , и наоборот. Соответственно, для завершения доказательства утверждения ?? достаточно установить, что система $\{h_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ собственных функций оператора $K$ , занумерованных в порядке убывания соответствующих собственных значений, обладает стандартными осцилляционными свойствами. Заметим, что система $\{Qh_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ собственных функций пучка $\mathaccent 28798{T}$ образует базис Рисса в пространстве ${D}$ . Ввиду биективности оператора $Q$ это означает, что система $\{h_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ образует базис Рисса в пространстве ${D}_{1}$ . Такое наблюдение, в свою очередь, позволяет провести следующие два рассуждения. Во-первых, при любом выборе числа $n\in{N}$ внутри линейной оболочки набора $\{x^{m}\}_{m=1}^{n+1}$ функций класса ${D}_{1}$ существует многочлен вида $g=\sum\limits_{k=N}^{\infty}{c_{k}h_{k}}$ , где $N\mathchar 13374\relax n$ и $c_{N}\neq 0$ . При этом будет справедливо равенство $\lim_{m\to\infty}\lambda_{N}^{m}K^{m}g=c_{N}h_{N}$ , ввиду утверждения ?? означающее, что число знакоперемен функции $h_{N}$ не превосходит такового для многочлена $g$ . Иначе говоря, для любого значения $n\in{N}$ существует значение $N\mathchar 13374\relax n$ , для которого число знакоперемен собственной функции $h_{N}$ не будет превосходить $n$ . Во-вторых, при любом выборе числа $n\in{N}$ внутри линейной оболочки набора $\{h_{m}\}_{m=0}^{n}$ найдётся функция $g=\sum\limits_{k=0}^{n}{c_{k}h_{k}}$ , удовлетворяющая неравенству $c_{n}\neq 0$ и имеющая не менее $n$ перемен знака. При этом каждая из функций вида $g_{m}=\sum\limits_{k=0}^{n}(\lambda_{k}/\lambda_{n})^{m}c_{k}h_{k}$ , обладающих свойством $\lambda_{n}^{m}K^{m}g_{m}=g$ , также должна, согласно утверждению ??, иметь не менее $n$ перемен знака. Между тем, функциональные последовательности $\{g_{m}\}_{m=0}^{\infty}$ и $\{\mathaccent 28798{p}g_{m}^{\prime}\}_{m=0}^{\infty}$ равномерно сходятся к функциям $c_{n}h_{n}$ и $c_{n}\mathaccent 28798{p}h_{n}^{\prime}$ , соответственно. Согласно утверждению ?? это означает, что при достаточно больших значениях индекса $m\in{N}$ функции $g_{m}$ имеют совпадающее с таковым для функции $h_{n}$ число знакоперемен. Иначе говоря, для любого значения $n\in{N}$ число знакоперемен собственной функции $h_{n}$ не может быть меньшим, чем $n$ . Объединяя результаты проведённых двух рассуждений, получаем, что при любом выборе значения $n\in{N}$ соответствующая функция $h_{n}$ имеет в точности $n$ знакоперемен. Доказательство утверждения ?? тем самым завершено.

\thesubsection

тверждение ?? может быть легко дополнено утверждениями о поведении числа знакоперемен прочих квазипроизводных собственных функций изучаемой задачи. Например, имеет место следующий факт:

\thesubsubsection При любом выборе индекса $n\in{N}$ соответствующая собственная функция

$y_{n}$ имеет не менее $n-1$ и не более $n$ перемен знака. При этом может быть указано такое не зависящее от выбора параметра $\alpha\mathchar 13374\relax 0$ число $\mathchar 1403\relax>0$ , что для всякого собственного значения $\lambda_{n}$ со свойством $\alpha\lambda_{n}\mathchar 13366\relax\mathchar 1403\relax$ соответствующая собственная функция $y_{n}$ будет иметь в точности $n$ перемен знака.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и ранее, достаточно рассмотреть случай граничной задачи (??), (??). Ввиду того, что функция $u_{n}^{\prime}$ имеет в точности $n$ знакоперемен, функция $u_{n}$ заведомо не может иметь более $n$ таковых. С другой стороны, функция $\mathaccent 28798{p}u_{n}^{\prime\prime}$ имеет не менее $n$ знакоперемен, а функция $(\mathaccent 28798{p}u_{n}^{\prime\prime})^{\prime}$ — не менее $n-1$ . Потому из уравнения (??) и заданной граничными условиями (??) связи между значениями $(\mathaccent 28798{p}u_{n}^{\prime\prime})^{\prime}(1)$ и $u_{n}(1)$ вытекает, что функция $u_{n}$ имеет не менее $n-1$ знакоперемен. Предположим теперь выполненным неравенство $\mathaccent 28798{\alpha}\lambda_{n}\mathchar 13366\relax\gamma\sigma(1)$ . Здесь в случае $(\mathaccent 28798{p}u_{n}^{\prime\prime})(1)\neq 0$ функция $\mathaccent 28798{p}u_{n}^{\prime\prime}$ имеет не менее $n+1$ знакоперемен. Это означает заведомое наличие не менее $n$ знакоперемен у функции $(\mathaccent 28798{p}u_{n}^{\prime\prime})^{\prime}$ , а тогда и у функции $u_{n}$ . $\mathchar 1027\relax$

Литература

[1] Керимов Н. Б., Алиев З. С. Базисные свойства одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии // Матем. сб. — 2006. — Т. 197, 10. — С. 65–86.
[2] Кулаев Р. Ч. К вопросу о неосцилляции дифференциального уравнения на графе // Владикавказ. матем. журнал. — 2017. — Т. 19, 3. — С. 31–40.
[3] Lancaster P., Shkalikov A., Qiang Ye. Strongly definitizable linear pencils in Hilbert space // Integr. Equat. Oper. Th. — 1993. — V. 17. — P. 338–360.
[4] Владимиров А. А. К вопросу об осцилляционных свойствах положительных дифференциальных операторов с сингулярными коэффициентами // Матем. заметки. — 2016. — Т. 100, 6. — С. 800–806.
[5] Бен Амара Ж., Владимиров А. А. Об осцилляции собственных функций задачи четвёртого порядка со спектральным параметром в граничном условии // Фунд. и прикл. матем. — 2006. — Т. 12, 4. — С. 41–52.
[6] Бен Амара Ж., Владимиров А. А., Шкаликов А. А. Спектральные и осцилляционные свойства одного линейного пучка дифференциальных операторов четвёртого порядка // Матем. заметки. — 2013. — Т. 94, 1. — С. 55–67.
[7] Leighton W., Nehari Z. On the oscillation of solutions of self-adjoint linear differential equations of the fourth order // Trans. Amer. Math. Soc. — 1958. — Vol. 89. — P. 325–377.

Bibliography7

The reference list from the paper itself. Each links out to its DOI / PubMed record.

1[1] Керимов Н. Б., Алиев З. С. Базисные свойства одной спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии // Матем. сб. — 2006. — Т. 197, 10. — С. 65–86.
2[2] Кулаев Р. Ч. К вопросу о неосцилляции дифференциального уравнения на графе // Владикавказ. матем. журнал. — 2017. — Т. 19, 3. — С. 31–40.
3[3] Lancaster P., Shkalikov A., Qiang Ye. Strongly definitizable linear pencils in Hilbert space // Integr. Equat. Oper. Th. — 1993. — V. 17. — P. 338–360.
4[4] Владимиров А. А. К вопросу об осцилляционных свойствах положительных дифференциальных операторов с сингулярными коэффициентами // Матем. заметки. — 2016. — Т. 100, 6. — С. 800–806.
5[5] Бен Амара Ж., Владимиров А. А. Об осцилляции собственных функций задачи четвёртого порядка со спектральным параметром в граничном условии // Фунд. и прикл. матем. — 2006. — Т. 12, 4. — С. 41–52.
6[6] Бен Амара Ж., Владимиров А. А., Шкаликов А. А. Спектральные и осцилляционные свойства одного линейного пучка дифференциальных операторов четвёртого порядка // Матем. заметки. — 2013. — Т. 94, 1. — С. 55–67.
7[7] Leighton W., Nehari Z. On the oscillation of solutions of self-adjoint linear differential equations of the fourth order // Trans. Amer. Math. Soc. — 1958. — Vol. 89. — P. 325–377.

TL;DR

Contribution

Findings

Abstract

Peer Reviews

Videos

Taxonomy

1 Введение

\thesubsection

\thesubsubsection

\thesubsection

2 Редукция задачи и простота спектра

\thesubsection

\thesubsection

\thesubsubsection

3 Завершение доказательства

\thesubsection

\thesubsubsection

\thesubsection

\thesubsection

\thesubsubsection При любом выборе индекса n∈Nn\in{N}n∈N соответствующая собственная функция

\thesubsubsection При любом выборе индекса $n\in{N}$ соответствующая собственная функция