Approximation simultan\'ee des valeurs de la fonction exponentielle dans les ad\`eles

TL;DR

This paper demonstrates that Hermite's approximations to exponential function values at algebraic numbers are nearly optimal from an adelic perspective, considering all completions of a number field.

Contribution

It introduces an adelic framework to evaluate the optimality of Hermite's approximations for exponential values at algebraic points.

Findings

Hermite's approximations are nearly optimal adelically.

The approach accounts for all completions of a number field.

Provides a new perspective on approximation quality in number theory.

Abstract

We show that Hermite's approximations to values of the exponential function at given algebraic numbers are nearly optimal when considered from an adelic perspective. We achieve this by taking into account the ratio of these values whenever they make sense in the various completions (Archimedean or $p$-adic) of a number field containing these algebraic numbers.

Equations

$$e=[2,(1,2n,1{)}_{n=1}^{\infty }]=[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,\dots ].$$

$$e^z=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{z^k}{k!}$$

$$|x||x{e}^{\alpha }-y|\ge c(\log |x|{)}^{-2g-1}$$

$${\mathcal{C}}_n$$

$${\Lambda }_n$$

$$(c{n}^2{)}^{-1}\le {\lambda }_1({\mathcal{C}}_n,{\Lambda }_n)\le {\lambda }_2({\mathcal{C}}_n,{\Lambda }_n)\le c{n}^2,$$

$$|x||x{e}^3-y|\ge c_{ϵ}|x{|}^{-ϵ}$$

$$|x||x{e}^3-y|\ge (3\log |x|\log \log |x|{)}^{-1}\text{si}4\le |x|\le 10^{500000}.$$

$$|x_1||x_1{e}^3-x_2||x_1{e}^3-x_2{|}_3\ge (\log |x_1|{)}^{-g}$$

$$|x_1||x_1{e}^{{\alpha }_2}-x_2|\cdots |x_1{e}^{{\alpha }_s}-x_s|\ge c_{ϵ}|x_1{|}^{-ϵ}$$

$$\mu (K_{\mathbb{A}}/K)=2^{-r_2}|D(K){|}^{1/2},$$

$$\mathcal{C}=\prod _v{\mathcal{C}}_v\subset K_{\mathbb{A}}^s$$

$$\lambda \mathcal{C}=\prod _{v\mid \infty }\lambda {\mathcal{C}}_v\prod _{v\nmid \infty }{\mathcal{C}}_v$$

$$2^{s{r}_1}(s!{)}^{-d}\le {\left({\lambda }_1(\mathcal{C})\cdots {\lambda }_s(\mathcal{C})\right)}^d\mu (\mathcal{C})\le 2^{s(r_1+r_2)}|D(K){|}^{s/2}.$$

$$f_{\mathbf{n}}(z)=(z-{\alpha }_1{)}^{n_1}\cdots (z-{\alpha }_s{)}^{n_s}\text{et}{P}_{\mathbf{n}}(z)=\sum _{k=0}^N{f}_{\mathbf{n}}^{(k)}(z)$$

$$N=n_1+\cdots +n_s$$

$$a_{\mathbf{n}}:=\big{(}P_{\mathbf{n}}(\alpha_{1}),\dots,P_{\mathbf{n}}(\alpha_{s})\big{)}\in K^{s}.$$

$$\frac{d}{dz}\big{(}P_{\mathbf{n}}(z)e^{-z}\big{)}=\big{(}P_{\mathbf{n}}^{\prime}(z)-P_{\mathbf{n}}(z)\big{)}e^{-z}=-f_{\mathbf{n}}(z)e^{-z}.$$

$$P_{\mathbf{n}}({\alpha }_i)e^{-{\alpha }_i}-P_{\mathbf{n}}({\alpha }_j)e^{-{\alpha }_j}={\int }_{{\alpha }_i}^{{\alpha }_j}{f}_{\mathbf{n}}(z)e^{-z}dz,$$

$$\underset{z\in [{\alpha }_i,{\alpha }_j]}{\max }|f_{\mathbf{n}}(z)|\le R^N\text{avec}R=\underset{1\le k,\ell \le s}{\max }|{\alpha }_k-{\alpha }_{\ell }|,$$

$$\left|P_{\mathbf{n}}({\alpha }_i)e^{-{\alpha }_i}-P_{\mathbf{n}}({\alpha }_j)e^{-{\alpha }_j}\right|\le c_1{R}^N$$

$$P_{\mathbf{n}}({\alpha }_i)={\int }_0^{\infty }{f}_{\mathbf{n}}(z+{\alpha }_i)e^{-z}dz,$$

$$|P_{\mathbf{n}}({\alpha }_i)|\le {\int }_0^{\infty }(t+R{)}^N{e}^{-t}dt\le e^R{\int }_0^{\infty }{t}^N{e}^{-t}dt=e^{R}N!.$$

$$R_v=\underset{1\le k,\ell \le s}{\max }|{\alpha }_k-{\alpha }_{\ell }{|}_v$$

$${\left|P_{\mathbf{n}}({\alpha }_i)e^{-{\alpha }_i}-P_{\mathbf{n}}({\alpha }_j)e^{-{\alpha }_j}\right|}_v$$

$${\left|P_{\mathbf{n}}({\alpha }_i)\right|}_v$$

$$\frac{b^N}{(n_i)!}{P}_{\mathbf{n}}({\alpha }_i)=\sum _{k=n_i}^N\frac{b^N}{(n_i)!}{f}^{(k)}({\alpha }_i)=\sum _{k=n_i}^N\frac{b^{k}k!}{(n_i)!}\cdot \frac{g^{(k)}(b{\alpha }_i)}{k!}\in {\mathcal{O}}_K.$$

$${\Delta }_{\mathbf{n}}:=\det (a_{\mathbf{n}-{\mathbf{e}}_1},\dots ,a_{\mathbf{n}-{\mathbf{e}}_s})=\prod _{i=1}^s\left((n_i-1)!\prod _{k\ne i}({\alpha }_i-{\alpha }_k{)}^{n_k}\right)\ne 0.$$

$$|x_i{|}_v\le e^{R_v}(N-1)!\text{et}|x_i{e}^{{\alpha }_j-{\alpha }_i}-x_j{|}_v\le \underset{1\le k\le s}{\max }\left|{\int }_{\sigma ({\alpha }_i)}^{\sigma ({\alpha }_j)}{f}_{\mathbf{n}-{\mathbf{e}}_k}^{\sigma }(z)e^{\sigma ({\alpha }_j)-z}dz\right|$$

$$|x_{i}|_{v}\leq p^{3}N\prod_{1\leq k\leq s}\max\big{\{}|\alpha_{i}-\alpha_{k}|_{v},\,p^{-1/(p-1)}\big{\}}^{n_{k}}$$

$$|x_{i}e^{\alpha_{j}-\alpha_{i}}-x_{j}|_{v}\leq p^{3}N\prod_{1\leq k\leq s}\max\big{\{}|\alpha_{i}-\alpha_{k}|_{v},|\alpha_{j}-\alpha_{k}|_{v}\big{\}}^{n_{k}}.$$

Full text

Recherche supportée en partie par une subvention à la découverte du CRSNG

1. Introduction

On sait, grâce à Euler, que le nombre $e$ possède un développement en fraction continue qui consiste de progressions arithmétiques imbriquées

[TABLE]

Euler, Sundman et Hurwitz ont aussi montré un résultat semblable pour les nombres $e^{2/m}$ où $m$ est un entier non nul [13, §§31-32]. En conséquence, on peut donner de très bonnes mesures d’approximation rationnelle de ces nombres (voir par exemple les résultats entièrement explicites de Bundschuch [6, Satz 2], pour le cas où $m$ est pair). C’est cette dernière propriété qui nous intéresse ici. Nous en proposons l’explication heuristique suivante: les quotients $2/m$ avec $m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ sont les seuls nombres rationnels $z$ non nuls pour lesquels la série usuelle

[TABLE]

ne converge qu’au sens réel. En effet, soit $p$ un nombre premier et soit $\mathbb{C}_{p}$ le complété de la cloture algébrique $\bar{\mathbb{Q}}$ de $\mathbb{Q}$ pour la valeur absolue $p$-adique de $\mathbb{Q}$ étendue à $\bar{\mathbb{Q}}$, avec $|p|_{p}=p^{-1}$. On sait que, pour $z\in\mathbb{C}_{p}$, la série (1.1) converge dans $\mathbb{C}_{p}$ si et seulement si $|z|_{p}<p^{-1/(p-1)}$. En particulier, pour un nombre rationnel $z$, vu comme élément de $\mathbb{C}_{p}$, cette série converge si et seulement si le numérateur de $z$ est divisible par $p$ lorsque $p\neq 2$, et par $4$ lorsque $p=2$.

Ce phénomène se généralise aux nombres algébriques. En effet, soit $K$ un corps de nombres, c’est-à-dire une extension algébrique de degré fini de $\mathbb{Q}$. Alors toute valeur absolue sur $K$ induit la même topologie sur $K$ que celle provenant d’un plongement de $K$ dans $\mathbb{C}$ ou dans $\mathbb{C}_{p}$ pour un nombre premier $p$. On dit que de tels plongements définissent la même place $v$ de $K$ s’ils induisent la même valeur absolue sur $K$ notée $|\ |_{v}$. On désigne alors par $K_{v}$ le complété de $K$ pour cette valeur absolue. Si la place $v$ est associée à un plongement de $K$ dans $\mathbb{C}$, on dit qu’elle est archimédienne et on écrit $v\mid\infty$. Sinon, on dit qu’elle est ultramétrique, et on écrit $v\mid p$ si elle est associée à un plongement de $K$ dans $\mathbb{C}_{p}$. Si $\alpha\in K$, alors la série pour $e^{\alpha}$ converge dans chaque complété archimédien de $K$ mais ne converge que dans un nombre fini de complétés ultramétriques. En particulier, si $K$ ne possède qu’une seule place archimédienne, c’est-à-dire si $K=\mathbb{Q}$ ou si $K$ est quadratique imaginaire, alors il arrive que $e^{\alpha}$ n’ait un sens que pour cette place. Dans ce cas, nous obtenons l’estimation suivante où ${\mathcal{O}}_{K}$ désigne l’anneau des entiers de $K$.

Proposition 1.1**.**

Soit $K\subset\mathbb{C}$ le corps $\mathbb{Q}$ ou une extension quadratique imaginaire de $\mathbb{Q}$, et soit $\alpha$ un élément non nul de $K$ tel que $|\alpha|_{v}\geq p^{-1/(p-1)}$ pour tout nombre premier $p$ et tout place $v$ de $K$ avec $v\mid p$. Alors, pour tout choix de $x,y\in{\mathcal{O}}_{K}$ avec $x\neq 0$, on a

[TABLE]

où $g$ désigne le nombre de places $v$ de $K$ avec $v\mid\infty$ ou $|\alpha|_{v}\neq 1$ et où $c>0$ est une constante qui ne dépend que de $\alpha$ et de $K$.

Par exemple si $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$, on peut prendre $\alpha=2(1\pm\sqrt{-2})/m$ où $m\in{\mathcal{O}}_{K}\setminus\{0\}$. Si $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$, on peut prendre $\alpha=(1\pm\sqrt{-23})/(2m)$ où $m\in{\mathcal{O}}_{K}\setminus\{0\}$. Dans certains cas, $e^{\alpha}$ admet un développement en fraction continue généralisé semblable à celui de $e$ (avec quotients partiels dans ${\mathcal{O}}_{K}$) mais nous ne considérons pas cette question ici.

Plus généralement, soient $\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}$ des éléments distincts d’un corps de nombres $K\subset\mathbb{C}$. Le théorème de Lindemann-Weierstrass [18] nous apprend que $e^{\alpha_{1}},\dots,e^{\alpha_{s}}\in\mathbb{C}$ sont linéairement indépendants sur $K$ et la preuve classique de ce résultat, dans toutes ses variantes (voir [11, Appendix]), utilise les approximations d’Hermite dont nous rappelons la définition au prochain paragraphe. Le but de ce travail est de montrer que ces approximations sont quasiment optimales au sens de la géométrie des nombres dans les adèles de $K$, en tenant compte de toutes les places $v$ de $K$ et de toutes les paires d’indices $i,j$ avec $1\leq i<j\leq s$ telles que la série pour $e^{\alpha_{i}-\alpha_{j}}$ soit convergente dans $K_{v}$. Il est possible que cette observation soit le reflet d’une propriété plus large des valeurs de la fonction exponentielle.

Par exemple la série pour $e^{3}$ converge dans $\mathbb{R}$ et dans $\mathbb{Q}_{3}$ mais pas dans $\mathbb{Q}_{p}$ quel que soit le nombre premier $p\neq 3$. Alors notre approche conduit au résultat suivant.

Proposition 1.2**.**

Pour tout entier $n\geq 1$, on définit un corps convexe ${\mathcal{C}}_{n}$ de $\mathbb{R}^{2}$ et un réseau $\Lambda_{n}$ de $\mathbb{R}^{2}$ par

[TABLE]

Pour $i=1,2$, on note $\lambda_{i}({\mathcal{C}}_{n},\Lambda_{n})$ le $i$-ième minimum de ${\mathcal{C}}_{n}$ relativement au réseau $\Lambda_{n}$,c’est-à-dire le plus petit $\lambda>0$ tel que $\lambda{\mathcal{C}}_{n}$ contienne au moins $i$ éléments de $\Lambda_{n}$ linéairement indépendants sur $\mathbb{Q}$. Alors on a

[TABLE]

pour une constante $c>1$ indépendante de $n$.

En utilisant le fait que $3^{n}\mathbb{Z}^{2}\subset\Lambda_{n}$, on en déduit que $\lambda_{1}({\mathcal{C}}_{n},\mathbb{Z}^{2})\geq(cn^{2}3^{n})^{-1}$ pour tout $n\geq 1$. En conséquence, pour chaque $\epsilon>0$, il existe une constante $c_{\epsilon}>0$ telle que

[TABLE]

pour tout $(x,y)\in\mathbb{Z}^{2}$ avec $x\neq 0$. On peut même faire un peu mieux (voir [6, Satz 1]). Or, des calculs numériques expliqués au paragraphe 12 donnent

[TABLE]

Des calculs plus laborieux que nous ne décrivons pas ici suggèrent même qu’il existe un réel $g>0$ tel que

[TABLE]

pour tout $(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{Z}^{3}$ avec $|x_{1}|$ assez grand. Enfin, un résultat important de Baker [2] montre que si $\alpha_{2},\dots,\alpha_{s}\in\mathbb{Q}$ sont des nombres rationnels distincts non nuls, alors, pour chaque $\epsilon>0$, il existe aussi une constante $c_{\epsilon}>0$ telle que

[TABLE]

pour tout $(x_{1},\dots,x_{s})\in\mathbb{Z}^{s}$ avec $|x_{1}|\neq 0$. Les propriétés des approximations d’Hermite suggèrent que le membre de droite de cette inégalité $c_{\epsilon}|x_{1}|^{-\epsilon}$ pourrait être remplacé par $(\log|x_{1}|)^{-g}$ pour une constante $g>0$ qui ne dépend que de $(\alpha_{2},\dots,\alpha_{s})$, lorsque $|x_{1}|$ est assez grand.

Dans cet article, $\mathbb{N}$ désigne l’ensemble des entiers positifs ou nul et $\mathbb{N}_{+}=\mathbb{N}\setminus\{0\}$ l’ensemble des entiers positifs.

Remerciements: L’auteur remercie chaleureusement Michel Waldschmidt pour de nombreux échanges sur ces questions. En particulier, ses notes de cours [17] sont une des sources d’inspiration de ce travail.

2. Énoncé du résultat principal

Soit $K$ un corps de nombres, soit ${\mathcal{O}}_{K}$ son anneau d’entiers, soit $d=[K:\mathbb{Q}]$ son degré sur $\mathbb{Q}$, et soit $s$ un entier positif. On note ${\mathcal{O}}_{K}$ l’anneau des entiers de $K$. Pour toute place ultramétrique $v$ de $K$, on désigne par ${\mathcal{O}}_{v}=\{x\in K_{v}\,;\,|x|_{v}\leq 1\}$ l’anneau des entiers de $K_{v}$ et par $d_{v}=[K_{v}:\mathbb{Q}_{p}]$ le degré local de $K_{v}$, où $p$ désigne le nombre premier en dessous de $v$ (notation $v\mid p$), c’est-à-dire le nombre premier $p$ tel que $|\ |_{v}$ étende la valeur absolue $p$-adique sur $\mathbb{Q}$. Suivant McFeat [12, §2.2], on note $\mu_{v}$ la mesure de Haar sur $K_{v}$ normalisée de telle sorte que $\mu_{v}({\mathcal{O}}_{v})=1$. Pour une place archimédienne (notation $v\mid\infty$), on note encore $d_{v}=[K_{v}:\mathbb{R}]$ le degré local de $K_{v}$ et on désigne par $\mu_{v}$ la mesure de Lebesgue sur $K_{v}$ (ce corps est $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). On note $r_{1}$ (resp. $r_{2}$) le nombre de places $v\mid\infty$ avec $d_{v}=1$ (resp. $d_{v}=2$), de sorte que $d=r_{1}+2r_{2}$.

L’anneau des adèles de $K$ est le produit $K_{\mathbb{A}}=\prod_{v}K_{v}$ étendu à toute les places $v$ de $K$, avec la topologie restreinte. C’est un anneau localement compact qu’on munit de la mesure de Haar $\mu$, produit des $\mu_{v}$. On voit $K$ comme un sous-corps de $K_{\mathbb{A}}$ via le plongement diagonal. Alors $K$ est un sous-groupe discret de $K_{\mathbb{A}}$ et, avec la normalisation de $\mu$, on a

[TABLE]

où $D(K)$ désigne le discriminant de $K$. Par abus de notation, on désigne encore par $\mu$ la mesure sur $K_{\mathbb{A}}^{s}$, produit de $s$ copies de $\mu$. Pour toute place $v$ de $K$, on désigne aussi par $\mu_{v}$ la mesure sur $K_{v}^{s}$, produit de $s$ copies de $\mu_{v}$. Avec notre normalisation de la valeur absolue sur $K_{v}$, si $T\colon K_{v}^{s}\to K_{v}^{s}$ est une application $K_{v}$-linéaire et si $E$ est un sous-ensemble mesurable de $K_{v}^{s}$, alors $T(E)$ est mesurable de mesure $\mu_{v}(T(E))=|\det T|_{v}^{d_{v}}\mu_{v}(E)$.

2.1. Minima des convexes adéliques

Un convexe adélique de $K^{s}$ est un produit

[TABLE]

portant sur toutes les places $v$ de $K$, qui possède les propriétés suivantes:

• (i)

si $v\mid\infty$, alors ${\mathcal{C}}_{v}$ est un corps convexe de $K_{v}^{s}$, c’est-à-dire un voisinage compact et convexe de [math] dans $K_{v}^{s}$ tel que $\alpha\,{\mathcal{C}}_{v}={\mathcal{C}}_{v}$ pour tout $\alpha\in K_{v}$ avec $|\alpha|_{v}=1$,

• (ii)

si $v\nmid\infty$, alors ${\mathcal{C}}_{v}$ est un sous-${\mathcal{O}}_{v}$-module de $K_{v}^{s}$ de rang $s$ et de type fini (donc libre),

• (iii)

${\mathcal{C}}_{v}={\mathcal{O}}_{v}^{s}$ pour toutes sauf un nombre fini de places $v$ de $K$ avec $v\nmid\infty$.

Supposons donné un tel produit ${\mathcal{C}}$. Pour chaque $i=1,\dots,s$, on définit son $i$-ième minimum $\lambda_{i}({\mathcal{C}})$ comme étant le plus petit $\lambda>0$ tel que le convexe adélique

[TABLE]

contienne au moins $i$ éléments de $K^{s}$ linéairement indépendants sur $K$. Avec ces notations et notre choix de normalisation des mesures, la version adélique du théorème de Minkowski s’énonce ainsi.

Théorème 2.1** (McFeat, Bombieri et Vaaler).**

Pour tout convexe adélique ${\mathcal{C}}$ de $K^{s}$, on a

[TABLE]

On renvoie le lecteur à [12, Theorem 5] et [4, Theorem 3] pour la borne supérieure du produit des minimas (voir aussi la majoration de Thunder dans [16, Theorem 1 and Corollary]). La borne inférieure donnée ici est celle de [12, Theorem 6], un peu moins précise que celle de [4, Theorem 6].

2.2. Approximations d’Hermite

Soient $\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}$ des éléments distincts de $K$. Pour tout $s$-uplet $\mathbf{n}:=(n_{1},\dots,n_{s})\in\mathbb{N}^{s}$, on définit des polynômes de $K[z]$ par

[TABLE]

où

[TABLE]

représente le degré de $f_{\mathbf{n}}$, et où $f_{\mathbf{n}}^{(k)}$ désigne la $k$-ième dérivée de $f_{\mathbf{n}}$ pour chaque entier $k\geq 0$. Puis on forme le point

[TABLE]

Nous l’appelerons l’approximation d’Hermite d’ordre $\mathbf{n}$ associée au $s$-uplet $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s})$. Le but de ce travail est de donner un sens précis au terme “approximation”, en travaillant sur les adèles de $K$.

Rappelons d’abord quelques propriétés de ces points. Pour simplifier, commençons par supposer $K\subset\mathbb{C}$. On trouve

[TABLE]

Donc, pour toute paire d’indices $i,j\in\{1,\dots,s\}$, on a

[TABLE]

l’intégrale étant prise sur n’importe quel chemin de $\alpha_{i}$ à $\alpha_{j}$ dans $\mathbb{C}$. En intégrant le long du segment de droite $[\alpha_{i},\alpha_{j}]$ qui lie ces deux points et en notant que

[TABLE]

on en déduit que

[TABLE]

pour une constante $c_{1}>0$ indépendante du choix de $i$, $j$ et $\mathbf{n}$. De même, pour $i=1,\dots,s$, l’équation (2.1) livre

[TABLE]

l’intégrale étant prise sur la demi-droite $[0,\infty)\subset\mathbb{R}$. Comme $|f_{\mathbf{n}}(t+\alpha_{i})|\leq(t+R)^{N}$ pour tout $t\geq 0$, on en déduit que

[TABLE]

Plus généralement, soit $v$ une place archimédienne de $K$. Posons

[TABLE]

et choisissons un plongement $\sigma\colon K\to\mathbb{C}$ tel que $|\alpha|_{v}=|\sigma(\alpha)|$ pour tout $\alpha\in K$. Alors, pour toute paire d’indices $i,j\in\{1,\dots,s\}$, les calculs ci-dessus livrent

[TABLE]

où $f^{\sigma}_{\mathbf{n}}$ désigne l’image de $f_{\mathbf{n}}$ sous l’homomorphisme d’anneaux de $K[z]$ dans $\mathbb{C}[z]$ qui fixe $z$ et étend $\sigma$, et où $c_{v}>0$ ne dépend que de $v$ et de $\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}$. Ainsi, $a_{\mathbf{n}}$ est une approximation projective de $(e^{\alpha_{1}},\dots,e^{\alpha_{s}})$ en chaque place archimédienne de $K$.

Dans ce travail, nous établissons une majoration de l’intégrale de (2.3) qui est plus fine que $c_{v}R_{v}^{N}$ pour chaque place archimédienne $v$ de $K$. Nous donnons aussi des analogues de (2.3) et de (2.4) pour les places ultramétriques $v$ de $K$ chaque fois que leur membre de gauche possède un sens dans $K_{v}$. Plus précisément, comme $e^{\alpha_{j}-\alpha_{i}}$ peut avoir un sens dans $K_{v}$ sans que $e^{\alpha_{i}}$ et $e^{\alpha_{j}}$ en aient un, nous considérons plutôt les quantités $|P_{\mathbf{n}}(\alpha_{i})e^{\alpha_{j}-\alpha_{i}}-P_{\mathbf{n}}(\alpha_{j})|_{v}$. Ici encore, nous aurons besoin d’estimations fines alors que d’habitude on s’affranchit de manière expéditive des estimations ultramétriques. En général, on choisit un dénominateur commun $b$ de $\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}$, c’est-à-dire un entier $b\geq 1$ tel que $b\alpha_{1},\dots,b\alpha_{s}\in{\mathcal{O}}_{K}$. Alors le polynôme $g(t):=b^{N}f(t/b)$ est à coefficients dans ${\mathcal{O}}_{K}$ et, pour tout $i=1,\dots,s$, on trouve

[TABLE]

Par exemple, si $n_{1}=\cdots=n_{s}=n$, cela implique que $(b^{N}/n!)a_{\mathbf{n}}\in{\mathcal{O}}_{K}^{s}$.

Les estimations ci-dessus sont des ingrédients-clés dans la preuve classique du théorème de Lindemann-Weiertrass visant à montrer que $e^{\alpha_{1}},\dots,e^{\alpha_{s}}$ sont linéairement indépendants sur $K$. Il en manque cependant encore deux. Le premier est une astuce de réduction de Weierstrass qui est expliquée dans [11, Appendix, §3] (voir aussi [3, Chapitre 1, §3]). Le second est l’existence de familles de $s$ approximations linéairement indépendantes sur $K$. Hermite lui-même avait souligné et résolu cette difficulté pour établir la transcendance de $e$. Nous utiliserons ici le remarquable résultat de Mahler que voici.

Théorème 2.2** (Mahler).**

Supposons que $\mathbf{n}=(n_{1},\dots,n_{s})\in\mathbb{N}_{+}^{s}$ ait toutes ses coordonnées positives. On note $\mathbf{e}_{1}=(1,0,\dots,0),\dots,\mathbf{e}_{s}=(0,\dots,0,1)$ les éléments de la base canonique de $\mathbb{Z}^{s}$. Alors, on a

[TABLE]

La preuve de Mahler est astucieuse. Elle est donnée dans [10, §8] et reprise dans [11, Appendix, §16]. Dans le cas où $n_{1}=\dots=n_{s}$, ce résultat est dû à Hermite [9]. La preuve d’Hermite est différente et utilise les relations de récurrence que satisfont les points $\mathbf{a}_{\mathbf{n}}$ et que nous rappelons dans l’appendice A.

2.3. Énoncé du résultat principal

Avec les notations précédantes, on note $E$ l’ensemble fini constitué des places archimédiennes de $K$ ainsi que des places ultramétriques $v$ de $K$ telles que $|\alpha_{i}-\alpha_{j}|_{v}\neq 1$ pour au moins un couple d’entiers $i,j\in\{1,\dots,s\}$ avec $i\neq j$. Pour chaque $s$-uplet $\mathbf{n}=(n_{1},\dots,n_{s})\in\mathbb{N}_{+}^{s}$, on note $N$ sa somme et on définit un convexe adélique ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n}}=\prod_{v}{\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ de $K^{s}$ de la manière suivante.

• (i)

Si $v\,|\,\infty$ est la place associée à un plongement $\sigma\colon K\hookrightarrow\mathbb{C}$, on définit $R_{v}$ par (2.2). Alors ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ est l’ensemble des points $(x_{1},\dots,x_{s})\in K_{v}^{s}$ qui satisfont

[TABLE]

pour chaque paire d’entiers $i,j\in\{1,\dots,s\}$ avec $i\neq j$.

• (ii)

Si $v\in E$ et si $v\,|\,p$ pour un nombre premier $p$, alors ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ est l’ensemble des points $(x_{1},\dots,x_{s})\in K_{v}^{s}$ qui satisfont

[TABLE]

pour $i=1,\dots,s$, ainsi que

[TABLE]

pour chaque paire d’entiers $i,j\in\{1,\dots,s\}$ avec $0<|\alpha_{j}-\alpha_{i}|_{v}<p^{-1/(p-1)}$.

• (iii)

Enfin, si $v\notin E$, alors ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ est l’ensemble des points $(x_{1},\dots,x_{s})\in K_{v}^{s}$ qui satisfont

[TABLE]

pour $i=1,\dots,s$.

La particularité cruciale de ces convexes adéliques ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n}}$ est que les formes linéaires qui les définissent ne font intervenir que les valeurs complexes ou $p$-adiques de la fonction exponentielle en les nombres $\alpha_{i}$ ou $\alpha_{j}-\alpha_{i}$. Comme le montrent les estimations du paragraphe §2.2, leur composante ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ contient les points $a_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{1}},\dots,a_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{s}}$ pour toute place archimédienne $v$ de $K$. On va montrer au paragraphe suivant que cela vaut en fait pour toutes les places de $K$, d’où la première assertion de l’énoncé suivant.

Théorème 2.3**.**

Soit $\mathbf{n}=(n_{1},\dots,n_{s})\in\mathbb{N}_{+}^{s}$. Alors le convexe adélique ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n}}$ contient les points $a_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{1}},\dots,a_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{s}}$. De plus, en posant $N=n_{1}+\cdots+n_{s}$, on a les estimations suivantes.

• (i)

Si $v\mid\infty$, alors

[TABLE]

pour une constante $c_{v}>0$ qui ne dépend que $\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}$ et de $v$.

• (ii)

Si $v\in E$ et si $v\mid p$ pour un nombre premier $p$, alors

[TABLE]

• (iii)

Si $v\notin E$, alors $\mu_{v}({\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v})^{1/d_{v}}=|\Delta_{\mathbf{n}}|_{v}$.

On remarquera que, pour toutes les places $v$ de $K$, ces estimations enferment le volume de ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ entre deux bornes dont le rapport est un polynôme en $N$ alors que les bornes elles mêmes croissent comme $|\Delta_{\mathbf{n}}|_{v}$ c’est-à-dire en gros comme une exponentielle en $N$ si $v\nmid\infty$ et même comme $N!$ si $v\mid\infty$. Pour $v\mid\infty$, on donne une valeur explicite de la constante $c_{v}$ au théorème 8.1.

Les bornes inférieures pour $\mu_{v}({\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v})$ découlent aisément de la définition de $\Delta_{\mathbf{n}}$ donnée au théorème 2.2, si on accepte le fait que ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ contient les points $\mathbf{a}_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{i}}$ pour $i=1,\dots,s$. En effet, soit $T\colon K_{v}^{s}\to K_{v}^{s}$ l’application $K_{v}$-linéaire donnée par

[TABLE]

pour tout $(x_{1},\dots,x_{s})\in K_{v}^{s}$. Alors ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ contient $T({\mathcal{E}}_{v})$ où ${\mathcal{E}}_{v}$ est donné par

[TABLE]

Comme $|\det T|_{v}=|\Delta_{\mathbf{n}}|_{v}$, on a $\mu_{v}(T({\mathcal{E}}_{v}))=|\Delta_{\mathbf{n}}|_{v}^{d_{v}}\mu_{v}({\mathcal{E}}_{v})$. Si $v\mid\infty$, on a aussi $\mu_{v}({\mathcal{E}}_{v})\geq(s!)^{-d_{v}}$, donc $\mu_{v}({\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v})^{1/d_{v}}\geq(s!)^{-1}|\Delta_{\mathbf{n}}|_{v}$. Si $v\nmid\infty$, on a simplement $\mu_{v}({\mathcal{E}}_{v})=1$, donc $\mu_{v}({\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v})^{1/d_{v}}\geq|\Delta_{\mathbf{n}}|_{v}$.

L’essentiel du travail concerne donc les majorations de volume des ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$. On en donne un aperçu plus bas. Elles conduisent à une majoration du volume de ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n}}$ dont on tire la conclusion suivante grâce au théorème de Minkowski adélique.

Corollaire 2.4**.**

Avec les notations du théorème 2.3, on a

[TABLE]

où $c>0$ est une constante qui ne dépend que de $\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}$.

Démonstration.

Comme $\prod_{v}|\Delta_{\mathbf{n}}|_{v}^{d_{v}}=1$ et que $E$ contient toutes les places archimédiennes de $K$, on trouve

[TABLE]

où $c_{1}>0$ est une constante indépendante de $\mathbf{n}$. Comme ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n}}$ contient les points $a_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{1}},\dots,a_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{s}}$ de $K^{s}$ et qu’en vertu du théorème 2.2 ceux-ci sont linéairement indépendants sur $K$, on a aussi

[TABLE]

Alors en vertu du théorème 2.1, on a

[TABLE]

donc $\lambda_{1}({\mathcal{C}}_{\mathbf{n}})\geq cN^{-g}$ avec $c=1/(c_{1}s!)$. ∎

La preuve du théorème 2.3 utilise des résultats généraux sur les polynômes $f(z)\in\mathbb{C}[z]$ à coefficients complexes que nous n’avons pas trouvés dans la littérature. Supposons $f$ de degré $N\geq 1$. Soit $A$ l’ensemble de ses racines dans $\mathbb{C}$ et soit $B$ l’ensemble des racines de sa dérivée $f^{\prime}$ qui ne sont pas dans $A$. Au paragraphe 5, on considère les chemins de descente maximale pour $|f|$ issus d’un point quelconque $\beta$ de $\mathbb{C}$. Ceux-ci terminent nécessairement sur un élément de $A$. On montre qu’ils sont contenus dans l’enveloppe convexe de $A\cup\{\beta\}$, de longueur au plus $\pi RN$ où $R$ est le rayon d’un disque qui contient $A\cup\{\beta\}$. Au paragraphe 6, pour chaque $\beta\in B$, on note $m(\beta)$ la multiplicité de $\beta$ comme racine de $f^{\prime}$ et, partant du point $\beta$, on choisit $m(\beta)+1$ chemins de descente pour $|f|$ qui sont localement distincts au voisinage de $\beta$. Ces chemins dessinent un graphe sur $A\cup B$ et on montre que ce graphe est en fait un arbre. On en extrait un sous-graphe $G$ sur $A$ qui est aussi un arbre avec ses arêtes indexées par $B$. Pour chaque arête de $G$ d’extrémités $\alpha,\alpha^{\prime}\in A$, associée à un point $\beta\in B$, on dispose d’un chemin qui joint $\alpha$ à $\alpha^{\prime}$ en passant par $\beta$, de longueur contrôlée, le long duquel $|f|$ est maximal au point $\beta$.

Pour la preuve du théorème 2.3 (i), on peut supposer que la place $v\mid\infty$ donnée provient d’une inclusion $K\subset\mathbb{C}$ et on applique la construction décrite ci-dessus en prenant pour $f$ le pgcd des polynômes $f_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{1}},\dots,f_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{s}}$ pour le choix de $\mathbf{n}\in\mathbb{N}_{+}^{s}$ donné. Si les coordonnées de $\mathbf{n}$ sont toutes $\geq 2$, on obtient ainsi un arbre $G$ sur $A=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}\}$. Alors, pour chaque arête de $G$ d’extrémités $\alpha_{i},\alpha_{j}$, on peut majorer les intégrales qui apparaissent dans (2.6) en fonction de $|f(\beta)|$ où $\beta\notin A$ est le zéro de $f^{\prime}$ associé à l’arête. On en déduit au paragraphe 8 une majoration du volume du convexe ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ en fonction du produit des $|f(\beta)|^{m(\beta)}$, lequel est le semi-résultant de $f$ et de $f^{\prime}$. La majoration annoncée pour $\mu_{v}({\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v})$ s’ensuit grâce au calcul de ce semi-résultant (paragraphe 7). Le cas général où au moins une coordonnée de $\mathbf{n}$ est égale à $1$ demande un petit ajustement.

Le traitement des places ultramétriques $v\nmid\infty$ est plus simple. Au paragraphe 3, on montre que ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ contient les points $\mathbf{a}_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{1}},\dots,\mathbf{a}_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{s}}$. Plus loin, au paragraphe 9, on construit une forêt sur $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}\}$ associée à la place $v$. Ce graphe permet de sélectionner $s$ inégalités parmi (2.7) et (2.8). Au paragraphe 10, on en déduit la majoration annoncée pour le volume de ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$. Les notions utiles de théorie des graphes sont rappelées au paragraphe 4.

Au paragraphe 11, on revisite notre résultat principal pour les approximations “diagonales” de deux exponentielles, c’est-à-dire pour $s=2$ et $n_{1}=n_{2}$. On en donne une forme plus fine dont la preuve utilise seulement les estimations des paragraphes 2.2 et 3. On s’en sert ensuite ensuite pour démontrer les propositions 1.1 et 1.2 de l’introduction.

Pour conclure, on explique au paragraphe 12 comment les formules de récurrence d’Hermite rappelées dans l’appendice A permettent de calculer efficacement les quotients partiels du développement en fraction continue de $e^{3}$. Cela permet de vérifier les inégalités (1.2) en moins de deux heures de calculs sur un petit ordinateur.

3. Estimations ultramétriques

Soit $v$ une place de $K$ au-dessus d’un nombre premier $p$. Le but de ce paragraphe est de compléter la preuve de la première assertion du théorème 2.3 en montrant que la composante ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ de ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n}}$ contient les points $\mathbf{a}_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{1}},\dots,\mathbf{a}_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{s}}$ pour tout $\mathbf{n}\in\mathbb{N}_{+}^{s}$. Pour y parvenir, on utilise les notations et résultats suivants.

Pour tout $a\in\mathbb{C}_{p}$ et tout $r>0$, on note

[TABLE]

le disque fermé de $\mathbb{C}_{p}$ de centre $a$ et de rayon $r$ (à la fois un fermé et un ouvert de $\mathbb{C}_{p}$). Pour un tel disque $B=B(a,r)$ et pour toute fonction analytique $g\colon B\to\mathbb{C}_{p}$, on pose

[TABLE]

Cette quantité s’exprime aussi en fonction du développement en série de Taylor de $g$ autour du point $a$ via la formule

[TABLE]

dont on tire la forme $p$-adique des inégalités de Cauchy

[TABLE]

(voir [14, §1.5]). Pour les calculs, on utilise aussi les estimations

[TABLE]

qui découlent de la formule $|k!|_{p}=p^{-m}$ où $m=\sum_{\ell=1}^{\infty}\lfloor k/p^{\ell}\rfloor$.

Lemme 3.1**.**

Soit $\mathbf{n}=(n_{1},\dots,n_{s})\in\mathbb{N}^{s}$, soit $N=n_{1}+\cdots+n_{s}$, et soient $i,j\in\{1,\dots,s\}$. Alors, on a

[TABLE]

Si $|\alpha_{i}-\alpha_{k}|_{v}\leq 1$ pour $k=1,\dots,s$, on a aussi

[TABLE]

Enfin, si $\rho=|\alpha_{i}-\alpha_{j}|_{v}$ satisfait $0<\rho<\delta$, on a

[TABLE]

Démonstration.

Pour simplifier, on peut supposer $K\subset\mathbb{C}_{p}$ et $|\alpha|_{v}=|\alpha|_{p}$ pour tout $\alpha\in K$. Alors, on peut voir le polynôme $f_{\mathbf{n}}(z)\in K[z]$ comme une fonction analytique $f_{\mathbf{n}}\colon\mathbb{C}_{p}\to\mathbb{C}_{p}$. Pour estimer $|P_{\mathbf{n}}(\alpha_{i})|_{v}=|P_{\mathbf{n}}(\alpha_{i})|_{p}$, on pose

[TABLE]

Pour $k=0,1,\dots,N$, les inégalités de Cauchy jointes à (3.1) livrent

[TABLE]

donc

[TABLE]

On en déduit l’estimation (3.2) car

[TABLE]

Si $|\alpha_{i}-\alpha_{k}|_{v}\leq 1$ pour tout $k$, le même calcul fournit $|f_{\mathbf{n}}|_{B}\leq 1$ en prenant $B=B(\alpha_{i},1)$. Alors les inégalités de Cauchy donnent $|f_{\mathbf{n}}^{(k)}(\alpha_{i})|_{p}\leq|k!|_{p}$ pour tout $k\in\mathbb{N}$. Comme on a $f_{\mathbf{n}}^{(k)}(\alpha_{i})=0$ pour $k=0,\dots,n_{i}-1$, on en déduit $|f_{\mathbf{n}}^{(k)}(\alpha_{i})|_{v}\leq|n_{i}!|_{v}$ pour tout $k\in\mathbb{N}$ et l’estimation (3.3) s’ensuit.

Supposons enfin que $0<\rho=|\alpha_{i}-\alpha_{j}|_{p}<\delta$. Pour démontrer (3.4), on utilise cette fois

[TABLE]

Comme $\rho<\delta$, la fonction $g\colon B\to\mathbb{C}_{p}$ donnée par

[TABLE]

est analytique avec $g(\alpha_{j})=0$ et

[TABLE]

Pour tout entier $\ell=0,1,\dots,N$, on a

[TABLE]

Comme $\displaystyle f_{\mathbf{n}}^{(\ell)}=0$ pour $\ell>N$, cette estimation s’étend à tout $\ell\in\mathbb{N}$. Alors, grâce à (3.5), la formule de Leibniz pour la dérivée d’un produit livre, pour tout entier $k\geq 1$,

[TABLE]

Comme $\alpha_{i}\in B$ et que $g(\alpha_{j})=0$, on en déduit

[TABLE]

L’estimation (3.4) s’ensuit car

[TABLE]

Théorème 3.2**.**

Soit $\mathbf{n}=(n_{1},\dots,n_{s})\in\mathbb{N}_{+}^{s}$. Alors le sous-${\mathcal{O}}_{v}$-module ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ de $K_{v}^{s}$ défini au paragraphe 2.3 contient les points $\mathbf{a}_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{1}},\dots,\mathbf{a}_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{s}}$.

Démonstration.

Fixons un entier $\ell\in\{1,\dots,s\}$ quelconque et posons $P=P_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{\ell}}$. Pour montrer que ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ contient le point $\mathbf{a}_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{\ell}}=(P(\alpha_{1}),\dots,P(\alpha_{s}))$, on choisit $i,j\in\{1,\dots,s\}$ quelconques. Comme $\max\{|\alpha_{i}-\alpha_{\ell}|_{v},\,\delta\}\geq\delta\geq 1/p$, l’inégalité (3.2) du lemme 3.1 livre

[TABLE]

Si $|\alpha_{i}-\alpha_{k}|_{v}=1$ pour tout $k=1,\dots,s$ avec $k\neq i$, l’inégalité (3.3) du même lemme donne aussi

[TABLE]

Enfin, si $\rho=|\alpha_{j}-\alpha_{i}|_{v}$ satisfait $0<\rho<\delta$, alors, comme $\max\{|\alpha_{i}-\alpha_{\ell}|_{v},\,|\alpha_{j}-\alpha_{\ell}|_{v}\}\geq\rho$, l’inégalité (3.4) du lemme livre

[TABLE]

4. Préliminaires de théorie des graphes

Un graphe $G$ est un couple d’ensembles finis $(V,E)$ où $E$ consiste de sous-ensembles de $V$ avec deux éléments. Les éléments de $V$ sont appelés les sommets de $G$ et ceux de $E$ les arêtes de $G$ en accord avec la représentation graphique usuelle.

Soit $G=(V,E)$ un graphe. Une chaîne élémentaire dans $G$ est une suite $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{m})$ d’éléments distincts de $V$ avec $m\geq 2$ telle que $\{\alpha_{i},\alpha_{i+1}\}\in E$ pour $i=1,\dots,m-1$. On dit que $G$ est connexe si, pour toute paire d’éléments distincts $\alpha,\beta$ de $V$, il existe au moins une chaîne élémentaire $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{m})$ dans $G$ avec $\alpha_{1}=\alpha$ et $\alpha_{m}=\beta$. On dit que $G$ est un arbre s’il existe exactement une telle chaîne pour chaque choix de $\alpha,\beta\in V$ avec $\alpha\neq\beta$. Lorsque $G$ est connexe, on a $|V|\leq|E|+1$ avec égalité si et seulement si $G$ est un arbre.

En général, pour un graphe $G=(V,E)$, il existe un et un seul choix d’entier $r\geq 1$ et de partitions $V=V_{1}\cup\cdots\cup V_{r}$ et $E=E_{1}\cup\cdots\cup E_{r}$ de $V$ et $E$ en $r$ sous-ensembles disjoints tel que $G_{i}=(V_{i},E_{i})$ soit un graphe connexe pour $i=1,\dots,r$. On dit que $G_{1},\dots,G_{r}$ sont les composantes connexes de $G$. Si celles-ci sont des arbres, on dit que $G$ est une forêt. Lorsque $G$ possède $r$ composantes connexes, on a $|V|\leq|E|+r$ avec égalité si et seulement si $G$ est une forêt.

Une forêt enracinée est un triplet $G=(R,V,E)$ où $(V,E)$ est une forêt et où $R$ est un sous-ensemble de $V$ qui contient exactement un sommet de chacune des composantes connexes de $(V,E)$. On dit que $R$ est l’ensemble des racines de $G$. Alors, pour tout $\beta\in V\setminus R$, il existe une et une seule chaîne élémentaire $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{m})$ avec $\alpha_{1}\in R$ et $\alpha_{m}=\beta$. Cela permet de définir un ordre partiel sur $V$ en posant $\alpha<\beta$ si $\beta\notin R\cup\{\alpha\}$ et si la chaîne qui lie $\beta$ à un élément de $R$ contient $\alpha$. En particulier, toute arête $\{\alpha,\beta\}$ de $G$ peut être ordonnée de sorte que $\alpha<\beta$. Les couples $(\alpha,\beta)$ ainsi formés sont appelés les arcs de $G$. Pour $\alpha\in V$ fixé, on dit que $D_{G}(\alpha)=\{\beta\in V\,;\,\alpha<\beta\}$ est l’ensemble des descendants de $\alpha$. L’ensemble $S_{G}(\alpha)$ des éléments minimaux de $D_{G}(\alpha)$ est appelé l’ensemble des successeurs de $\alpha$. Les couples $(\alpha,\beta)\in V\times V$ avec $\beta\in S_{G}(\alpha)$ sont donc les arcs de $G$. De plus, tout $\beta\in V\setminus R$ est le successeur d’un et un seul $\alpha\in V$. Cela permet de formuler le résultat suivant.

Proposition 4.1**.**

Soit $G=(R,V,E)$ une forêt enracinée, soit $K$ un corps, soit $(x_{\alpha})_{\alpha\in V}$ une famille d’indéterminées sur $K$ indexée par $V$, et soit $\varphi\colon E\to K$ une fonction. Pour tout $\beta\in V$, on pose

[TABLE]

Alors, en étendant l’ordre partiel sur $V$ à un ordre total, la matrice des formes linéaires $(L_{\beta})_{\beta\in V}$ dans la base $(x_{\alpha})_{\alpha\in V}$ est triangulaire inférieure avec $1$ partout sur la diagonale.

5. Chemins de croissance maximale

Dans ce paragraphe, on fixe un polynôme unitaire non constant $f(z)\in\mathbb{C}[z]$, un sous-ensemble convexe compact ${\mathcal{K}}$ de $\mathbb{C}$ contenant toutes les racines de $f$, et un disque fermé $D$ de $\mathbb{C}$ contenant ${\mathcal{K}}$. On note $N$ le degré de $f$, et $R$ le rayon de $D$. Le but principal de ce paragraphe est de démontrer le résultat suivant.

Théorème 5.1**.**

Soit $\beta\in{\mathcal{K}}$. Il existe une racine $\alpha$ de $f$ et un chemin $\gamma\colon[0,1]\to\mathbb{C}$ joignant $\gamma(0)=\alpha$ à $\gamma(1)=\beta$, tel que $f(\gamma(t))=tf(\beta)$ pour tout $t\in[0,1]$. L’image d’un tel chemin est contenue dans ${\mathcal{K}}$, de longueur au plus $\pi RN$.

Par chemin, on entend ici une fonction $\gamma\colon I\to\mathbb{C}$ continue et différentiable par morceaux sur un intervalle fermé $I$ de $\mathbb{R}$. Pour un chemin $\gamma$ comme dans l’énoncé du théorème, $\gamma(0)$ est forcément une racine de $f$ et on a $\max\{|f(\gamma(t))|\,;\,0\leq t\leq 1\}=|f(\beta)|$. En fait, on va voir que $\gamma$ est un chemin de croissance maximale pour $|f|$.

Pour la preuve, on considère le polynôme $f$ comme un revêtement de surfaces de Riemann $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ de degré $N$, ramifié en un nombre fini de points. Alors tout chemin $\gamma\colon[0,1]\to\mathbb{C}$ se relève en $N$ chemins $\gamma_{1},\dots,\gamma_{N}\colon[0,1]\to\mathbb{C}$ tels que $f^{-1}(\gamma(t))=\{\gamma_{1}(t),\dots,\gamma_{N}(t)\}$ pour tout $t\in[0,1]$. Ces derniers ne sont pas uniques en général, à cause de la ramificaton, et on les obtient par recollement comme dans la preuve de [8, Theorem 4.14]. Pour un chemin $\gamma$ de la forme $\gamma(t)=tf(\beta)$ avec $f(\beta)\neq 0$, on en déduit l’énoncé suivant.

Lemme 5.2**.**

Soit $\beta\in\mathbb{C}$ avec $f(\beta)\neq 0$, et soit $m=m(\beta)\geq 0$ l’ordre de la dérivée de $f$ en $\beta$. Alors, il existe $\delta\in(0,1)$ et $m+1$ chemins $\gamma_{0},\dots,\gamma_{m}$ de $[0,1]$ dans $\mathbb{C}$ tels que

• (i)

$\gamma_{0}(1)=\cdots=\gamma_{m}(1)=\beta$,

• (ii)

$f(\gamma_{0}(t))=\cdots=f(\gamma_{m}(t))=tf(\beta)$* pour tout $t\in[0,1]$,*

• (iii)

$\gamma_{0}(t),\dots,\gamma_{m}(t)$* sont $m+1$ nombres distincts pour chaque $t\in(1-\delta,1)$.*

De plus, pour $j=0,1,\dots,m$ et pour chaque $t\in(0,1)$ tel que $f^{\prime}(\gamma_{j}(t))\neq 0$, la fonction $\gamma_{j}$ est analytique en $t$ et sa dérivée $\gamma_{j}^{\prime}(t)$ pointe dans la direction où la norme $|f|$ de $f$ croît le plus vite.

La dernière affirmation du lemme signifie que $\gamma_{0},\dots,\gamma_{m}$ sont des chemins de croissance maximale pour la norme de $f$. En fait, c’est vrai pour tout chemin $\gamma$ tel que $f(\gamma(t))=ct$ ($0\leq t\leq 1$) avec $c\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ fixé car la courbe $t\mapsto ct$ décrit une demi-droite orthogonale aux cercles centrés à l’origine. Comme l’application $f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ est conforme en dehors des points de ramification, la préimage $\gamma$ de cette courbe est orthogonale aux courbes de niveau de $|f|$ en dehors de ces points. Nous revisiterons la construction des $\gamma_{j}$ au lemme 6.3.

Démonstration du théorème 5.1

Si $f(\beta)=0$, le chemin constant $\gamma(t)=\beta$ pour tout $t\in[0,1]$ est le seul chemin possible et il possède les popriétés requises. Supposons donc que $f(\beta)\neq 0$. Alors le lemme précédant fournit un chemin $\gamma\colon[0,1]\to\mathbb{C}$ avec $\gamma(1)=\beta$ et $f(\gamma(t))=tf(\beta)$ pour tout $t\in[0,1]$. Fixons un tel chemin. Pour les calculs, on note $\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}$ les racines distinctes de $f$ danc $\mathbb{C}$ et $n_{1},\dots,n_{s}$ leurs multiplicités respectives de sorte que

[TABLE]

On désigne aussi par $B$ l’ensemble des zéros de la dérivée $f^{\prime}$ de $f$.

Le théorème de Gauss-Lucas nous apprend que $B$ est contenu dans l’enveloppe convexe des racines de $f$, donc $B\subset{\mathcal{K}}$. Le fait que l’image de $\gamma$ soit contenue dans ${\mathcal{K}}$ se démontre de manière semblable. En effet, supposons que ce ne soit pas le cas. Alors, comme ${\mathcal{K}}$ est convexe, il existe un demi-plan qui contient ${\mathcal{K}}$ mais pas l’image de $\gamma$. Autrement dit, il existe $a,b\in\mathbb{C}$ avec $|a|=1$ tels que $\operatorname{Re}(az+b)\leq 0$ pour tout $z\in{\mathcal{K}}$ et que $\operatorname{Re}(a\gamma(t)+b)>0$ pour au moins un $t\in[0,1]$. Choisissons $t_{0}\in[0,1]$ tel que $\operatorname{Re}(a\gamma(t_{0})+b)$ soit maximal, et posons $z_{0}=\gamma(t_{0})$. Comme $\operatorname{Re}(az_{0}+b)>0$, on a $z_{0}\notin{\mathcal{K}}$, donc $t_{0}\in(0,1)$ et $z_{0}\notin B$. Par suite $\gamma$ est différentiable en $t_{0}$ avec $\operatorname{Re}(a\gamma^{\prime}(t_{0}))=0$. Par ailleurs, en dérivant les deux membres de l’égalité $f(\gamma(t))=tf(\beta)$ en $t=t_{0}$, on obtient

[TABLE]

Comme $\operatorname{Re}(a(z_{0}-\alpha_{\ell}))=\operatorname{Re}(az_{0}+b)-\operatorname{Re}(a\alpha_{\ell}+b)\geq\operatorname{Re}(az_{0}+b)>0$ pour $\ell=1,\dots,s$, on en déduit que $\operatorname{Re}(a\gamma^{\prime}(t_{0}))>0$, une contradiction.

Pour estimer la longueur $L(\gamma)$ du chemin $\gamma$, on utilise la formule de Cauchy-Crofton

[TABLE]

(voir par exemple la jolie démonstration de [1]). Fixons $r,\theta\in\mathbb{R}$ et considérons le polynôme

[TABLE]

Si $t_{0}\in[0,1]$ satisfait $\operatorname{Re}(\gamma(t_{0})e^{-i\theta})=r$, on peut écrire $\gamma(t_{0})=(r+iu_{0})e^{i\theta}$ avec $u_{0}\in\mathbb{R}$. On en déduit $f((r+iu_{0})e^{i\theta})=t_{0}f(\beta)$ et par suite $g_{r,\theta}(u_{0})=0$. Comme $\gamma$ est injective sur $[0,1]$ (car $f\circ\gamma$ l’est), cela signifie que $N(r,\theta)$ est au plus égal au nombre de racines réelles de $g_{r,\theta}$. Or, comme $f$ est de degré $N$, le polynôme $g_{r,\theta}(u)$ est de degré au plus $N$ et son coefficient de $u^{N}$ est $\operatorname{Im}((ie^{i\theta})^{N}/f(\beta))$. Donc, si on excepte les $2N$ valeurs de $\theta\in[0,2\pi)$ pour lesquelles ce coefficient est nul, on a nécessairement $g_{r,\theta}\neq 0$, donc $N(r,\theta)\leq N$.

Pour $\theta$ fixé, l’ensemble $\{\operatorname{Re}(ze^{-i\theta})\,;\,z\in D\}$ est un intervalle $I_{\theta}$ de $\mathbb{R}$ de longueur $2R$. Comme l’image de $\gamma$ est contenue dans ${\mathcal{K}}\subset D$, on a forcément $N(r,\theta)=0$ si $r\notin I_{\theta}$. On en déduit que $A(\theta)\leq 2RN$ sauf pour au plus $2N$ valeurs de $\theta\in[0,2\pi)$, et par suite $L(\gamma)\leq\pi RN$.

6. Chemins entre racines complexes

Comme au paragraphe précédant, on fixe un polynôme unitaire non constant $f(z)\in\mathbb{C}[z]$. On note $N$ son degré, $A=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}\}$ l’ensemble de ses racines complexes, ${\mathcal{K}}$ l’enveloppe convexe de $A$, et $R$ le rayon d’un disque fermé $D$ qui contienne $A$. On note aussi $B=\{\beta_{1},\dots,\beta_{p}\}$ l’ensemble des racines de $f^{\prime}(z)$ qui ne sont pas racines de $f(z)$, c’est-à-dire l’ensemble des zéros de la dérivée logarithmique $f^{\prime}(z)/f(z)$. Alors on peut écrire

[TABLE]

pour des entiers $n_{1},\dots,n_{s}\geq 1$ de somme $N$, et des entiers $m_{1},\dots,m_{p}\geq 1$ de somme $s-1$.

Pour tout $\beta\in\mathbb{C}$, on désigne par $m(\beta)$ l’ordre de $f^{\prime}(z)$ en $\beta$. Avec cette notation, on a $m_{j}=m(\beta_{j})$ pour $j=1,\dots,p$. Le but de ce paragraphe est de montrer le résultat suivant.

Théorème 6.1**.**

Il existe un arbre $G$ qui possède les propriétés suivantes:

• (i)

L’ensemble de ses sommets est $A$.

• (ii)

Il possède $s-1$ arêtes, chacune indexée par un élément de $B$.

• (iii)

Pour chaque $\beta\in B$, il existe exactement $m(\beta)$ arêtes de $G$ indexées par $\beta$.

• (iv)

Si $\{\alpha,\alpha^{\prime}\}$ est une arête de $G$ indexée par $\beta$, il existe un chemin $\gamma\colon[0,1]\to\mathbb{C}$ de longueur au plus $2\pi RN$, contenu dans ${\mathcal{K}}$, joignant $\gamma(0)=\alpha$ à $\gamma(1)=\alpha^{\prime}$, tel que

[TABLE]

Lorsque les racines de $f(z)$ sont toutes réelles, on a $f(z)\in\mathbb{R}[z]$ et on peut donner une démonstration très simple du théorème. Pour cela, on suppose d’abord $\alpha_{1}<\cdots<\alpha_{s}$ listées par ordre croissant. Alors, dans chaque intervalle $[\alpha_{j},\alpha_{j+1}]$ avec $1\leq j\leq s-1$, la fonction $|f(z)|$ atteint son maximum en un zéro $\beta_{j}$ de $f^{\prime}(z)$ avec $\alpha_{j}<\beta_{j}<\alpha_{j+1}$. Comme $B$ est de cardinalité $p\leq s-1$, cela épuise tous les éléments de $B$: on a $p=s-1$ et $m_{1}=\cdots=m_{s-1}=1$. On prend pour $G$ le graphe de sommets $A$, dont les arêtes sont les paires $\{\alpha_{j},\alpha_{j+1}\}$ indexées par $\beta_{j}$ pour $j=1,\dots,s-1$. Alors $G$ est un arbre et, pour chaque $j=1,\dots,s-1$, le chemin $\gamma_{j}$ affine par morceaux avec $\gamma_{j}(0)=\alpha_{j}$, $\gamma_{j}(1/2)=\beta_{j}$ et $\gamma_{j}(1)=\alpha_{j+1}$ possède la propriété requise en (iv); sa longueur est $\alpha_{j+1}-\alpha_{j}\leq 2R$.

Étape 1

La preuve du cas général utilise plusieurs lemmes. Pour tout $\beta\in B$, on choisit une fois pour toute $m(\beta)+1$ chemins $\gamma_{\beta,0},\dots,\gamma_{\beta,m(\beta)}$ d’extrémité $\beta$ comme au lemme 5.2. Alors on a $\gamma_{\beta,j}(0)\in A$ pour $j=0,\dots,m(\beta)$. Notre objectif est de montrer que ces $m(\beta)+1$ points de $A$ sont distincts et que le graphe $G$ de sommets $\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}$ et d’arêtes $\{\gamma_{\beta,0}(0),\gamma_{\beta,j}(0)\}$ avec $\beta\in B$ et $1\leq j\leq m(\beta)$ possède les propriétés (i) à (iv) du théorème. On commence par établir la propriété (iv).

Lemme 6.2**.**

Soient $\beta\in B$ et $j\in\{1,\dots,m(\beta)\}$. Alors le chemin $\tilde{\gamma}$ de $\gamma_{\beta,0}(0)$ à $\gamma_{\beta,j}(0)$ donné par

[TABLE]

est contenu dans ${\mathcal{K}}$, de longueur au plus $2\pi RN$. De plus, il satisfait

[TABLE]

Démonstration.

On a $B\subset{\mathcal{K}}$ en vertu du théorème de Gauss-Lucas. Alors, pour tout $\beta\in B$, le théorème 5.1 montre que les chemins $\gamma_{\beta,0}$ et $\gamma_{\beta,j}$ sont contenus dans ${\mathcal{K}}$ de longueur au plus $\pi RN$. La conclusion suit car se sont des chemins de croissance maximale pour $|f|$. ∎

Étape 2

On démontre d’abord le résultat ci-dessous où $S=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ représente la sphère de Riemann munie de sa topologie usuelle. On l’utilise ensuite pour construire un arbre ${H}$ sur $A\cup B$.

Lemme 6.3**.**

Soit $\beta\in B$ et soit $m=m(\beta)$. Il existe $\delta>0$ et $m+1$ fonctions continues $\gamma^{+}_{0},\dots,\gamma^{+}_{m}$ de $[1,\infty]$ dans $S=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ telles que

• (i)

$\gamma^{+}_{0}(1)=\cdots=\gamma^{+}_{m}(1)=\beta$,

• (ii)

$f(\gamma^{+}_{0}(t))=\cdots=f(\gamma^{+}_{m}(t))=tf(\beta)$* pour tout $t\in[1,\infty]$,*

• (iii)

$\gamma^{+}_{0}(t),\dots,\gamma^{+}_{m}(t)$* sont $m+1$ nombres distincts pour chaque $t\in(1,1+\delta)$.*

Alors, les courbes $\Gamma^{+}_{0}=\gamma^{+}_{0}([1,\infty]),\dots,\Gamma^{+}_{m}=\gamma^{+}_{m}([1,\infty])$ ne se rencontrent qu’aux points $\beta$ et $\infty$ sur $S$. De plus, leur complément $S\setminus(\Gamma^{+}_{0}\cup\cdots\cup\Gamma^{+}_{m})$ est la réunion de $m+1$ ouverts connexes disjoints ${\mathcal{R}}_{0},\dots,{\mathcal{R}}_{m}$ de $\mathbb{C}$ tels que $\gamma_{\beta,j}([0,1))\subseteq{\mathcal{R}}_{j}$ pour $j=0,\dots,m$.

La preuve est illustrée par la figure 1. Elle utilise le théorème de Jordan sur les courbes fermées simples.

Démonstration.

En posant $\ell=m+1$, on obtient $f(z)=f(\beta)(1+(z-\beta)^{\ell}g(z))$ où $g(z)$ est un polynôme avec $g(\beta)\neq 0$. Alors pour $\epsilon>0$ assez petit, il existe un voisinage ouvert $V$ de $\beta$ et une fonction biholomorphe $h$ de $V$ dans $B(0,\epsilon)=\{z\in\mathbb{C}\,;\,|z|<\epsilon\}$ satisfaisant $h(\beta)=0$ et

[TABLE]

pour tout $z\in V$. Fixons un tel choix de $\epsilon$, $V$ et $h$, puis posons $\delta=\epsilon^{\ell}$ et $\rho=e^{\pi i/\ell}$. Pour $j=0,\dots,m$, on définit une fonction continue $\gamma^{+}_{j}\colon[1,1+\delta)\to V$ en posant

[TABLE]

Alors, pour $t\in(1,1+\delta)$ fixé, les nombres $z=\gamma^{+}_{0}(t),\dots,\gamma^{+}_{m}(t)$ sont les $\ell$ solutions distinctes de $f(z)=tf(\beta)$ avec $z\in V$. En particulier, $\gamma^{+}_{0},\dots,\gamma^{+}_{m}$ satisfont les conditions (i) et (iii) du lemme, ainsi que (ii) pour tout $t\in[1,1+\delta)$. Pour chaque $j=0,\dots,m$, on choisit un prolongement de $\gamma^{+}_{j}$ en une fonction continue $\gamma^{+}_{j}\colon[1,\infty]\to S$ satisfaisant $f(\gamma^{+}_{j}(t))=tf(\beta)$ pour tout $t\in[1,\infty]$.

De même, pour $j=0,\dots,m$, on définit une fonction continue $\gamma^{-}_{j}\colon(1-\delta,1]\to V$ en posant

[TABLE]

Pour $t\in(1-\delta,1)$ fixé, les nombres $z=\gamma^{-}_{0}(t),\dots,\gamma^{-}_{m}(t)$ sont les $\ell$ solutions distinctes de $f(z)=tf(\beta)$ avec $z\in V$, donc ils constituent une permutation de $\gamma_{\beta,0}(t),\dots,\gamma_{\beta,m}(t)$. Cette permutation étant indépendante de $t$, il n’y a pas de perte de généralité à supposer que $\gamma^{-}_{j}$ est la restriction de $\gamma_{\beta,j}$ à $(1-\delta,1]$ pour $j=0,\dots,m$. On étend alors chaque $\gamma_{\beta,j}\colon[0,1]\to\mathbb{C}$ en une fonction continue $\gamma^{-}_{j}\colon[-\infty,1]\to S$ telle que $f(\gamma^{-}_{j}(t))=tf(\beta)$ pour tout $t\in[-\infty,1]$.

Posons $\Gamma^{-}_{j}=\gamma^{-}_{j}([-\infty,1])$ et $\Gamma^{+}_{j}=\gamma^{+}_{j}([1,\infty])$ pour $j=0,\dots,m$, et fixons temporairement $j,k\in\{0,1,\dots,m\}$. Les courbes $\Gamma^{-}_{j}$ et $\Gamma^{+}_{k}$ ne se rencontrent qu’aux points $\beta$ et $\infty$ car si $\gamma^{-}_{j}(t)=\gamma^{+}_{k}(u)$ avec $t\in[-\infty,1]$ et $u\in[1,\infty]$, alors $tf(\beta)=uf(\beta)$, donc $t=u=1$ ou $-t=u=\infty$. Supposons maintenant $j<k$. Comme les courbes $\Gamma^{+}_{j}$ et $\Gamma^{+}_{k}$ se rencontrent à l’infini, il existe un plus petit $r\in[1+\delta,\infty]$ tel que $\gamma^{+}_{j}(r)=\gamma^{+}_{k}(r)$. Pour ce choix de $r$, la réunion $\gamma^{+}_{j}([1,r])\cup\gamma^{+}_{k}([1,r])$ est une courbe fermée simple $\Gamma$. En vertu du théorème de Jordan, son complément dans $S$ est donc la réunion de deux ouverts connexes ${\mathcal{R}}$ et ${\mathcal{R}}^{\prime}$ de frontière $\Gamma$. Par ailleurs, on a

[TABLE]

De plus, $B(0,\epsilon)\setminus P$ est la réunion de deux ouverts connexes disjoints ${\mathcal{U}}$ et ${\mathcal{U}}^{\prime}$ (des secteurs du disque $B(0,\epsilon)$), où ${\mathcal{U}}$ contient les rayons $(0,\epsilon)\rho^{2i+1}$ avec $j\leq i<k$ et où ${\mathcal{U}}^{\prime}$ contient ceux avec $0\leq i<j$ ou $k\leq i\leq m$. Comme $h\colon V\to B(0,\epsilon)$ est un homéomorphisme, $h({\mathcal{U}})$ et $h({\mathcal{U}}^{\prime})$ sont des ouverts connexes disjoints de $S$ dont l’union est $V\setminus\Gamma$. On peut supposer que $h({\mathcal{U}})\subset{\mathcal{R}}$ et $h({\mathcal{U}}^{\prime})\subset{\mathcal{R}}^{\prime}$. Alors, on obtient

[TABLE]

Or, ${\mathcal{R}}$ et ${\mathcal{R}}^{\prime}$ partagent la même frontière, contenue dans $\Gamma^{+}_{j}\cup\Gamma^{+}_{k}$. Donc aucun des ensembles $\Gamma^{-}_{i}\setminus\{\beta,\infty\}=\gamma_{i}^{-}((-\infty,1))$ ne rencontre cette frontière. Comme ce sont des courbes connexes, on en déduit que $\Gamma^{-}_{i}\setminus\{\beta,\infty\}$ est contenu dans ${\mathcal{R}}$ si $j\leq i<k$ et dans ${\mathcal{R}}^{\prime}$ sinon. En particulier, aucun des ouverts ${\mathcal{R}}$ ou ${\mathcal{R}}^{\prime}$ n’est borné et par suite, on doit avoir $r=\infty$. Cela signifie que $\Gamma^{+}_{j}$ et $\Gamma^{+}_{k}$ ne se rencontrent qu’en $\beta$ et en $\infty$.

Avec les notations ci-dessus, on définit ${\mathcal{R}}_{j}={\mathcal{R}}$ pour le choix de $j\in\{0,\dots,m-1\}$ et de $k=j+1$. On définit aussi ${\mathcal{R}}_{m}={\mathcal{R}}^{\prime}$ pour le choix de $j=0$ et de $k=m$. Ce sont des ouverts connexes de $\mathbb{C}$ avec $\gamma_{\beta,j}([0,1))\subset\Gamma^{-}_{j}\setminus\{\beta,\infty\}\subset{\mathcal{R}}_{j}$ pour $j=0,\dots,m$. Il reste à montrer que ${\mathcal{R}}_{0},\dots,{\mathcal{R}}_{m}$ sont disjoints deux à deux. On note d’abord que si $j\neq k$, alors ${\mathcal{R}}_{j}\not\subseteq{\mathcal{R}}_{k}$ car $\Gamma^{-}_{j}\setminus\{\beta,\infty\}$ est contenu dans ${\mathcal{R}}_{j}$ mais pas dans ${\mathcal{R}}_{k}$. Donc si ${\mathcal{R}}_{j}$ et ${\mathcal{R}}_{k}$ ont au moins un point commun, alors ${\mathcal{R}}_{j}$ rencontre la frontière de ${\mathcal{R}}_{k}$. Par suite ${\mathcal{R}}_{j}$ contient au moins un point de $\Gamma^{+}_{i}\setminus\{\beta,\infty\}$ pour un indice $i\in\{0,1,\dots,m\}$. Par contre, le choix de ${\mathcal{R}}_{j}$ implique que $\gamma^{+}_{i}(t)\notin{\mathcal{R}}_{j}$ pour tout $t\in(1,1+\delta)$. Donc la courbe $\Gamma^{+}_{i}\setminus\{\beta,\infty\}$ n’est pas contenue dans ${\mathcal{R}}_{j}$ et, comme elle est connexe, elle rencontre la frontière de ${\mathcal{R}}_{j}$ sans être contenue dedans. C’est impossible car cette frontière est l’union de deux courbes parmi $\Gamma^{+}_{0},\dots,\Gamma^{+}_{m}$. ∎

Lemme 6.4**.**

Pour tout $\beta\in B$, les $m(\beta)+1$ points $\gamma_{\beta,j}(0)\in A$ avec $0\leq j\leq m(\beta)$ sont distincts deux-à-deux. De plus, soit ${H}$ le graphe dont l’ensemble des sommets est $A\cup B$ et dont les arêtes sont les couples $\{\beta,\gamma_{\beta,j}(0)\}$ avec $\beta\in B$ et $0\leq j\leq m(\beta)$. Alors ${H}$ est un arbre.

Démonstration.

La première affirmation découle directement du lemme précédant car, pour $\beta\in B$ et $m=m(\beta)$, ce lemme fournit des ouverts connexes disjoints ${\mathcal{R}}_{0},\dots,{\mathcal{R}}_{m}$ tels que $\gamma_{\beta,j}(0)\in{\mathcal{R}}_{j}$ pour $j=0,\dots,m$.

Supposons que ${H}$ ne soit pas une forêt. Alors ${H}$ contient un cycle simple, c’est-à-dire une chaîne élémentaire $(a_{1},\dots,a_{k})$ avec $k\geq 3$ telle que $\{a_{k},a_{1}\}$ soit une arête de ${H}$. Alors, $k$ est un entier pair et les $a_{i}$ appartiennent à $A$ ou à $B$ en alternance selon la parité de $i$. Quitte à permuter cycliquement les éléments de cette chaîne, on peut supposer que $a_{1}\in B$ et que $|f(a_{1})|\geq|f(a_{i})|$ pour $i=1,\dots,k$. Soit $m=m(a_{1})$ et soient ${\mathcal{R}}_{0},\dots,{\mathcal{R}}_{m}$ les ouverts connexes associés au point $a_{1}\in B$, comme au lemme 6.3. Pour tout point $z\neq a_{1}$ en dehors de ces ouverts, on a $f(z)=tf(a_{1})$ pour un nombre réel $t>1$, donc $|f(z)|>|f(a_{1})|$. On pose $a_{k+1}=a_{1}$ et, pour $i=1,\dots,k$, on note $\gamma_{i}$ le chemin de la forme $\gamma_{\beta,j}$ qui lie $a_{i}$ et $a_{i+1}$. Pour tout $t\in[0,1]$, on a $f(\gamma_{i}(t))=tf(a_{i})$ si $i$ est impair et $f(\gamma_{i}(t))=tf(a_{i+1})$ si $i$ est pair. Donc, dans les deux cas, on trouve $|f(\gamma_{i}(t))|\leq|f(a_{1})|$, avec l’inégalité stricte si $t\neq 1$. Comme $a_{1},\dots,a_{k}$ sont distincts et que $\gamma_{i}(1)\in\{a_{3},\dots,a_{k-1}\}$ si $2\leq i\leq k-1$, on en déduit que la courbe

[TABLE]

est contenue dans ${\mathcal{R}}_{0}\cup\cdots\cup{\mathcal{R}}_{m}$. Comme c’est un sous-ensemble connexe de $\mathbb{C}$, elle est donc toute entière contenue dans ${\mathcal{R}}_{j}$ pour un entier $j$. Comme $\gamma_{1}(1)=\gamma_{k}(1)=a_{1}$, cela implique que $\gamma_{1}=\gamma_{k}$, donc $a_{2}=\gamma_{1}(0)=\gamma_{k}(0)=a_{k}$, ce qui est impossible.

Ainsi ${H}$ est une forêt. Alors, le nombre de ces composantes connexes est égal au nombre de ses sommets moins celui de ses arêtes, c’est-à-dire

[TABLE]

Donc ${H}$ est un arbre. ∎

Étape 4. Preuve du théorème 6.1

Soit $G$ le graphe dont l’ensemble des sommets est $A$ et dont les arêtes sont les paires

[TABLE]

Comme ${H}$ est connexe, le graphe $G$ l’est aussi. Comme $G$ possède $s=|A|$ sommets et que $\sum_{\beta\in B}m(\beta)=s-1$, on en déduit que les $s-1$ arêtes (6.3) sont distinctes et que $G$ est un arbre. En particulier, pour chaque $\beta\in B$, le graphe $G$ possède $m(\beta)$ arêtes indexées par $\beta$ et le lemme 6.2 montre que, pour chacune d’elles, il existe un chemin qui remplit la condition (iv) du théorème.

7. Un calcul de semi-résultant

On montre d’abord la formule suivante.

Proposition 7.1**.**

Avec les notations du paragraphe précédant, on a

[TABLE]

Le membre de gauche de cette égalité est le semi-résultant de $f(z)$ et de $f^{\prime}(z)$ au sens de Chudnovski [5, 7].

Démonstration.

La formule pour la dérivée d’un produit appliquée à la factorisation (6.1) de $f(z)$ livre

[TABLE]

où

[TABLE]

En comparant avec la factorisation (6.2) de $f^{\prime}(z)$, on trouve aussi que

[TABLE]

En évaluant ces deux expressions pour $g(z)$ en $z=\alpha_{k}$, on en déduit la relation

[TABLE]

Comme $m_{1}+\cdots+m_{p}=s-1$, ces égalités se réécrivent

[TABLE]

On en déduit, comme annoncé,

[TABLE]

Corollaire 7.2**.**

Avec les mêmes notations, on a

[TABLE]

Démonstration.

Comme $N=n_{1}+\cdots+n_{s}$, on trouve

[TABLE]

On en tire $N!\prod_{i=1}^{s}n_{i}^{n_{i}}\leq N^{N}\prod_{i=1}^{s}n_{i}!$ , et la conclusion suit. ∎

8. Volume des composantes archimédiennes

On peut maintenant démontrer la majoration de volume du théorème 2.3 (i). Les notations sont celles du paragraphe 2.

Théorème 8.1**.**

Soit $v$ une place archimédienne de $K$ et soit ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ le corps convexe de $K_{v}^{s}$ défini au paragraphe 2.3 pour le choix d’un $s$-uplet $\mathbf{n}=(n_{1},\dots,n_{s})\in\mathbb{N}_{+}^{s}$. Alors, on a

[TABLE]

où $N=n_{1}+\cdots+n_{s}$, $R_{v}=\max_{1\leq i<j\leq s}|\alpha_{i}-\alpha_{j}|_{v}$, et $\mathbf{1}=(1,\dots,1)$.

Démonstration.

Pour simplifier, on peut supposer $K$ plongé dans $\mathbb{C}$ de sorte que $|\alpha|_{v}=|\alpha|$ pour tout $\alpha\in K$. Quitte à permuter $\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}$ si nécessaire, on peut aussi supposer que $n_{1}\geq\cdots\geq n_{s}$ forment une suite décroissante. On note $D$ le disque fermé de rayon $R_{v}$ et de centre $(\alpha_{1}+\dots+\alpha_{s})/s$ dans $\mathbb{C}$. Comme ce disque contient $\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}$, il contient aussi l’enveloppe convexe ${\mathcal{K}}$ de ces points.

Supposons d’abord que $n_{1}\geq 2$ et notons $r$ le plus grand indice tel que $n_{r}\geq 2$. On forme le polynôme

[TABLE]

L’ensemble de ses racines est $A=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{r}\}$ et son degré est $N-s$. Sa dérivée s’écrit

[TABLE]

où $B=\{\beta_{1},\dots,\beta_{p}\}$ est l’ensemble des racines de $f^{\prime}(z)$ en dehors de $A$, et où $m_{j}$ est la multiplicité de $\beta_{j}$ pour $j=1,\dots,p$. On choisit un arbre $G$ comme au théorème 6.1 pour ce polynôme $f(z)$. Par construction, l’ensemble de ses sommets est $A$. On étend ensuite $G$ en un graphe $\tilde{G}$ sur $\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}\}$ de la manière suivante. Pour chaque $j=r+1,\dots,s$, on choisit un chemin $\gamma_{j}\colon[0,1]\to\mathbb{C}$ tel que $\gamma_{j}(1)=\alpha_{j}$ et $f(\gamma_{j}(t))=tf(\alpha_{j})$ comme au théorème 5.1. Alors $\gamma_{j}(0)$ est une racine de $f$, donc un élément de $A$, et on ajoute l’arête $\{\gamma_{j}(0),\alpha_{j}\}$ au graphe $G$. Enfin, on enracine l’arbre $\tilde{G}$ ainsi construit en lui choisissant $\alpha_{1}\in A$ comme racine. Alors, ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ est contenu dans l’ensemble ${\mathcal{K}}_{v}$ des points $(x_{1},\dots,x_{s})$ de $K_{v}^{s}$ satisfaisant

[TABLE]

et

[TABLE]

pour chaque arc $(\alpha_{i},\alpha_{j})$ de $\tilde{G}$ avec $\alpha_{i}<\alpha_{j}$. Comme $\tilde{G}$ est un arbre enraciné, la proposition 4.1 montre que les $s$ formes linéaires qui définissent ${\mathcal{K}}_{v}$ sont linéairement indépendantes, de déterminant $\pm 1$. Donc ${\mathcal{K}}_{v}$ est un corps convexe de $K_{v}^{s}$ avec

[TABLE]

où $E$ désigne l’ensemble des arcs (arêtes ordonnées) de $\tilde{G}$.

Fixons temporairement $(\alpha_{i},\alpha_{j})\in E$ et $k\in\{1,\dots,s\}$. On a forcément $i\leq r$, c’est-à-dire $\alpha_{i}\in A$. Si $j\leq r$, on a aussi $\alpha_{j}\in A$ et $\{\alpha_{i},\alpha_{j}\}$ est une arête de $G$. Alors, le théorème 6.1 lui associe un élément $\beta$ de $B$ et un chemin $\gamma\colon[0,1]\to\mathbb{C}$ de longueur au plus $2\pi R_{v}N$, contenu dans ${\mathcal{K}}$, joignant $\alpha_{i}$ et $\alpha_{j}$, tel que

[TABLE]

On en déduit

[TABLE]

car $|z-\alpha_{\ell}|\leq R_{v}$ pour tout $z\in{\mathcal{K}}$ et tout $\ell=1,\dots,s$. Enfin, si $j>r$, on a $\alpha_{i}=\gamma_{j}(0)$ pour le chemin $\gamma_{j}$ choisi précédemment. En vertu du théorème 5.1, l’image de $\gamma_{j}$ est contenue dans ${\mathcal{K}}$ de longueur au plus $\pi R_{v}N\leq 2\pi R_{v}N$. Alors le même calcul que ci-dessus donne

[TABLE]

Comme chaque $\beta_{j}$ est associé à $m_{j}$ arêtes de $G$ et que $m_{1}+\cdots+m_{p}=r-1$, on déduit de (8.1) que

[TABLE]

Comme $n_{k}=1$ pour $k>r$, le corollaire 7.2 livre

[TABLE]

Pour $i=r+1,\dots,s$, on trouve aussi

[TABLE]

On en déduit que

[TABLE]

En substituant cette majoration dans (8.2), on obtient $\mu_{v}({\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v})^{1/d_{v}}\leq c_{v}N^{2s-2}|\Delta_{\mathbf{n}}|_{v}$, comme annoncé. ∎

9. Une forêt aux places ultramétriques

Soit $v$ une place ultramétrique de $K$. Dans ce paragraphe, on utilise la terminologie du paragraphe 4 pour bâtir une forêt sur un sous-ensemble quelconque, fini et non vide, de $K_{v}$. On commence par une construction préliminaire.

Proposition 9.1**.**

Soit $A$ un sous-ensemble fini non vide de $K_{v}$ et soit $\alpha_{0}\in A$. Il existe un arbre $G$ enraciné en $\alpha_{0}$ avec $A$ pour ensemble des sommets, tel que, pour tout choix de $\alpha,\beta,\gamma\in A$ avec $\beta\in S_{G}(\alpha)$, on ait

[TABLE]

Démonstration.

On procède par récurrence sur la cardinalité $|A|$ de $A$. Si $|A|=1$, il n’y a rien à démontrer. Supposons $|A|\geq 2$. Soit $\rho$ la distance maximale entre deux éléments de $A$, et soit $\{\alpha_{0},\dots,\alpha_{k}\}$ un sous-ensemble maximal de $A$ contenant $\alpha_{0}$, dont les éléments sont à distance mutuelle $|\alpha_{i}-\alpha_{j}|_{v}=\rho$ pour $0\leq i<j\leq k$. Comme la distance est ultramétrique, on a $k\geq 1$ et les ensembles

[TABLE]

forment une partition de $A$. Pour $i=0,\dots,k$, on a $\alpha_{i}\in A_{i}$ et $|A_{i}|<|A|$, donc on peut supposer qu’il existe un arbre enraciné $G_{i}=(\alpha_{i},A_{i},E_{i})$ tel que la condition (9.1) soit remplie, avec $G$ remplacé par $G_{i}$, pour tout choix de $\alpha,\beta,\gamma\in A_{i}$ avec $\beta\in S_{G_{i}}(\alpha)$. On pose

[TABLE]

Alors $G=(\alpha_{0},A,E)$ est un arbre enraciné en $\alpha_{0}$. Soient $\alpha,\beta,\gamma\in A$ avec $\beta\in S_{G}(\alpha)$, et soit $i$ l’indice pour lequel $\alpha\in A_{i}$. Si $\beta\in A_{i}$, alors $\beta\in S_{G_{i}}(\alpha)$ et $D_{G}(\beta)=D_{G_{i}}(\beta)$, donc

[TABLE]

Si au contraire $\beta\in A_{j}$ avec $j\neq i$, on a forcément $i=0$, $\alpha=\alpha_{0}$ et $\beta=\alpha_{j}$. Alors $|\alpha-\beta|_{v}=\rho$ et $D_{G}(\beta)=A_{j}\setminus\{\alpha_{j}\}$, et on trouve encore

[TABLE]

Donc $G$ possède la propriété requise. ∎

Comme la preuve le fait voir, le graphe $G$ ainsi construit n’est en général pas unique (car le choix de $\alpha_{1},\dots,\alpha_{k}\in A$ ne l’est pas). On en déduit la construction suivante qui n’est généralement pas unique non plus.

Théorème 9.2**.**

Soit $A$ un sous-ensemble fini non vide de $K_{v}$, soit $\delta>0$, et soit $R$ un sous-ensemble maximal de $A$ dont les éléments sont à distance mutuelle supérieure ou égale à $\delta$. Alors, il existe une forêt enracinée $G$ dont $A$ est l’ensemble des sommets et $R$ l’ensemble des racines, qui possède les propriétés suivantes:

• (i)

pour tout $\beta\in R$ et tout $\gamma\in A$, on a

[TABLE]

• (ii)

pour tout choix de $\alpha,\beta,\gamma\in A$ avec $\beta\in S_{G}(\alpha)$, on a

[TABLE]

Démonstration.

Pour chaque $\rho\in R$, on définit

[TABLE]

et on choisit un arbre enraciné $G^{(\rho)}=(\rho,A^{(\rho)},E^{(\rho)})$ comme dans la proposition 9.1. Comme les ensembles $A^{(\rho)}$ avec $\rho\in R$ forment une partition de $A$, la réunion de ces graphes fournit une forêt enracinée $G=(R,A,E)$ où $E=\cup_{\rho\in R}E^{(\rho)}$. Par construction, elle possède la propriété (i). Pour montrer qu’elle possède aussi la propriété (ii), fixons $\alpha,\beta,\gamma\in A$ avec $\beta\in S_{G}(\alpha)$. Soit $\rho\in R$ tel que $\alpha\in A^{(\rho)}$. Puisque $\beta\in S_{G}(\alpha)$, on a forcément $\beta\in A^{(\rho)}$ et $D_{G}(\beta)=D_{G^{(\rho)}}(\beta)$. De plus si $\gamma$ satisfait $|\alpha-\beta|_{v}>|\beta-\gamma|_{v}$ alors $|\beta-\gamma|_{v}<\delta$ et par suite $\gamma\in A^{(\rho)}$. La condition (ii) sur $\alpha,\beta,\gamma$ est donc satisfaite dans $G$ car elle l’est dans $G^{(\rho)}$. ∎

On peut reformuler les conditions (i) et (ii) du théorème en termes de chaînes élémentaires de la manière suivante: pour $\gamma\in A$, une suite $(\gamma_{1},\dots,\gamma_{k})$ dans $G$, avec $k\geq 1$, commençant sur une racine $\gamma_{1}\in R$, peut être prolongée en une chaîne élémentaire $(\gamma_{1},\dots,\gamma_{\ell})$ terminant sur $\gamma_{\ell}=\gamma$ si et seulement si on a $k=1$ et $\delta>|\gamma_{1}-\gamma|_{v}>0$ ou bien $(\gamma_{1},\dots,\gamma_{k})$ est une chaîne élémentaire avec $k\geq 2$ et $|\gamma_{k-1}-\gamma_{k}|_{v}>|\gamma_{k}-\gamma|_{v}$.

10. Volume des composantes ultramétriques

On complète ici la preuve du théorème 2.3 en démontrant les majorations de volume des parties (ii) et (iii). Les notations sont celles du paragraphe 2.

Théorème 10.1**.**

Soit $v$ une place de $K$ au-dessus d’un nombre premier $p$, soit $\mathbf{n}=(n_{1},\dots,n_{s})\in\mathbb{N}_{+}^{s}$, et soit $N=n_{1}+\cdots+n_{s}$. Alors le sous-${\mathcal{O}}_{v}$-module ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ de $K_{v}^{s}$ défini au paragraphe 2.3 satisfait

[TABLE]

De plus, si $|\alpha_{i}-\alpha_{j}|_{v}=1$ pour tout choix de $i,j\in\{1,\dots,s\}$ avec $i\neq j$, on a aussi

[TABLE]

Démonstration.

On applique le théorème 9.2 avec $A=\{\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}\}$ et $\delta=p^{-1/(p-1)}$. Cela fournit une forêt enracinée $G$ de racines $R$, de sommets $A$ et d’arcs $E$. Pour chaque $\alpha\in A$, on définit $x_{\alpha}=x_{i}$ et $n_{\alpha}=n_{i}$ où $i$ est l’indice pour lequel $\alpha=\alpha_{i}$. Alors, ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ est contenu dans l’ensemble ${\mathcal{K}}_{v}$ des points $(x_{1},\dots,x_{s})\in K_{v}^{s}$ satisfaisant

[TABLE]

pour toute racine $\beta\in R$, ainsi que

[TABLE]

pour tout arc $(\alpha,\beta)\in E$, c’est-à-dire pour toute paire $\alpha,\beta\in A$ avec $\beta\in S_{G}(\alpha)$ (car alors on a $|\alpha-\beta|_{v}<\delta$). En vertu de la proposition 4.1, les $s$ formes linéaires qui définissent ${\mathcal{K}}_{v}$ sont linéairement indépendantes, de déterminant $\pm 1$. Donc ${\mathcal{K}}_{v}$ est un convexe de $K_{v}^{s}$ avec

[TABLE]

où

[TABLE]

Soient $\beta,\gamma\in A$. Si $\beta\in R$, la condition (i) du théorème 9.2 livre

[TABLE]

Par contre, si $\beta\notin R$, il existe un et un seul $\alpha\in A$ tel que $\beta\in S_{G}(\alpha)$ et, comme

[TABLE]

la condition (ii) du même théorème livre

[TABLE]

Comme $D_{G}(\beta)\cup\{\beta\}$ parcourt les composantes connexes de $G$ lorsque $\beta$ parcourt $R$ et qu’on a $\sum_{\gamma\in A}n_{\gamma}=N$, l’égalité (10.1) entraîne

[TABLE]

Par ailleurs, l’égalité (10.2) entraîne

[TABLE]

On en déduit que

[TABLE]

Comme $\delta^{N}=\prod_{\beta\in A}\delta^{n_{\beta}}\leq\prod_{\beta\in A}|n_{\beta}!|_{v}\leq\prod_{\beta\in A}|(n_{\beta}-1)!|_{v}$, on conclut que

[TABLE]

Enfin, si $|\alpha_{i}-\alpha_{j}|_{v}=1$ pour tout choix de $i,j\in\{1,\dots,s\}$ avec $i\neq j$, alors ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ est l’ensemble des points $(x_{1},\dots,x_{s})\in K_{v}^{s}$ qui satisfont

[TABLE]

pour $i=1,\dots,s$, donc

[TABLE]

11. Un cas particulier

Les convexes adéliques ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n}}$ associés à un point $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{s})\in K^{s}$ dépendent seulement des différences $\alpha_{j}-\alpha_{i}$ avec $1\leq i<j\leq s$. Donc, on peut toujours supposer que $\alpha_{1}=0$. Ainsi, pour $s=2$, on a simplement un couple $(0,\alpha)\in K^{2}$. La proposition ci-dessous précise le corollaire 2.4 pour un tel point et pour les paires $\mathbf{n}=(n,n)\in\mathbb{N}_{+}^{2}$ de la diagonale. Dans cet énoncé le convexe adélique est nomalisé de sorte que sa composante $v$-adique soit contenue dans ${\mathcal{O}}_{v}^{2}$ pour toute place ultramétrique $v$ de $K$. On l’utilise par la suite pour démontrer les propositions 1.1 et 1.2. Les notations sont celles du paragraphe 2.

Proposition 11.1**.**

Soit $\alpha\in K\setminus\{0\}$. On note $E$ l’ensemble fini des places $v$ de $K$ avec $v\mid\infty$ ou $|\alpha|_{v}\neq 1$. Pour chaque place $v$ de $K$ avec $v\nmid\infty$, on pose B_{v}=\min\big{\{}1,p^{1/(p-1)}|\alpha|_{v}\big{\}} où $p$ est le nombre premier tel que $v\mid p$. On pose encore

[TABLE]

Enfin, pour tout entier positif $n\in\mathbb{N}_{+}$, on note $\tilde{{\mathcal{C}}}_{n}$ le convexe adélique de $K^{2}$ dont les composantes $\tilde{{\mathcal{C}}}_{n,v}$ sont définies comme suit.

• (i)

Si $v\mid\infty$, alors $\tilde{{\mathcal{C}}}_{n,v}$ est l’ensemble des points $(x,y)\in K_{v}^{2}$ tels que

[TABLE]

• (ii)

Si $v\mid p$ pour un nombre premier $p$ et si $|\alpha|_{v}<p^{-1/(p-1)}$, alors $\tilde{{\mathcal{C}}}_{n,v}$ consiste des points $(x,y)\in K_{v}^{2}$ tels que

[TABLE]

• (iii)

Si $v\mid p$ pour un nombre premier $p$ et si $|\alpha|_{v}\geq p^{-1/(p-1)}$, alors $\tilde{{\mathcal{C}}}_{n,v}={\mathcal{O}}_{v}^{2}$.

Alors on a

[TABLE]

pour des constantes $c_{3},c_{4}>0$ indépendantes de $n$.

Démonstration.

Soit $n\in\mathbb{N}_{+}$. On considère le convexe adélique ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n}}$ construit au paragraphe 2.3 pour le choix de $\alpha_{1}=0$, $\alpha_{2}=\alpha$ et $\mathbf{n}=(n,n)$. Pour une place archimédienne $v$ de $K$ associée à un plongement $\sigma\colon K\hookrightarrow\mathbb{C}$ et pour $k=1,2$, on trouve

[TABLE]

Donc les points $(x,y)$ de ${\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}$ satisfont

[TABLE]

On en déduit que $a_{v}{\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}\subseteq\tilde{{\mathcal{C}}}_{n,v}$ en posant

[TABLE]

Pour tout nombre premier $p$ et toute place $v$ de $K$ avec $v\mid p$, on trouve aussi que $a_{v}{\mathcal{C}}_{\mathbf{n},v}\subseteq\tilde{{\mathcal{C}}}_{n,v}$ en posant

[TABLE]

où $t_{v}$ est l’entier pour lequel

[TABLE]

si $v\in E$ et où $t_{v}=0$ sinon. Ce calcul utilise simplement le fait que $|(n-1)!|_{v}\geq|n!|_{v}\geq p^{-n/(p-1)}$. Ainsi on obtient $a\,{\mathcal{C}}_{\mathbf{n}}\subseteq\tilde{{\mathcal{C}}}_{n}$ pour l’idèle $a=(a_{v})_{v}\in K_{\mathbb{A}}^{\times}$.

Le produit ${\mathcal{D}}=\prod_{v}\{x\in K_{v}\,;\,|x|_{v}\leq|a_{v}|_{v}\}\subset K_{\mathbb{A}}$ est un convexe adélique de $K$. En appliquant la formule du produit à l’idèle principale $\alpha^{n}(n-1)!\in K^{\times}$, on trouve que le volume de ${\mathcal{D}}$ est

[TABLE]

Comme $\prod_{v\mid\infty}B^{d_{v}}=B^{d}=\prod_{v\nmid\infty}B_{v}^{-d_{v}}$, cette formule se réécrit

[TABLE]

avec $c_{1}=2^{r_{1}}\pi^{r_{2}}\prod_{v\mid\infty}(4e^{|\alpha|_{v}})^{-d_{v}}$. Comme $p^{t_{v}}B_{v}^{n}=1$ si $v\notin E$ et que $p^{t_{v}}B_{v}^{n}<2np^{4}$ si $v\in E$ avec $v\mid p$, on en tire

[TABLE]

où $E^{\prime}=\{v\in E\,;\,v\nmid\infty\}$ et $c_{2}=c_{1}\prod_{v\in E^{\prime},\,v\mid p}(2p^{4})^{-d_{v}}$. En vertu du théorème 2.1 (avec $s=1$), on a donc $\lambda_{1}({\mathcal{D}})\leq c_{3}$ où $c_{3}=(2^{r_{1}+r_{2}}|D(K)|^{1/2}c_{2}^{-1})^{1/d}$. Autrement dit, il existe $\beta\in K^{\times}$ tel que, pour toute place $v$ de $K$ on ait $|\beta|_{v}\leq c_{3}|a_{v}|_{v}$ si $v\mid\infty$ et $|\beta|_{v}\leq|a_{v}|_{v}$ sinon. Par suite, on obtient

[TABLE]

ce qui entraîne aussitôt

[TABLE]

car $\beta{\mathcal{C}}_{\mathbf{n}}$ contient les points $\beta\mathbf{a}_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{1}},\beta\mathbf{a}_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{2}}\in K^{2}$ qui sont linéairement indépendants sur $K$. En vertu du théorème 2.1 (avec $s=2$), cela implique

[TABLE]

Enfin, pour toute place $v$ de $K$, on trouve

[TABLE]

Comme $B^{d}\prod_{v\nmid\infty}B_{v}^{d_{v}}=1$, cela implique que $\mu(\tilde{{\mathcal{C}}}_{n})^{1/d}\leq 4n^{2g-1}$, et on obtient (11.1) avec $c_{4}=(8c_{3}^{2})^{-1}$. ∎

Démonstration de la proposition

1.1.

Sous les hypothèses de cette proposition, le corps $K$ possède une seule place archimédienne $\infty$, induite par l’inclusion $K\subset\mathbb{C}$. De plus, dans les notations de la proposition 11.1, le choix de $\alpha$ entraîne $B_{v}=1$ pour toute autre place $v$ de $K$, donc, pour tout $n\in\mathbb{N}_{+}$, on a

[TABLE]

où $\tilde{{\mathcal{C}}}_{n,\infty}$ est l’ensemble des points $(x,y)$ de $K_{\infty}^{2}\subseteq\mathbb{C}^{2}$ qui satisfont

[TABLE]

De plus, en vertu de (11.1), on a $\lambda_{1}(\tilde{{\mathcal{C}}}_{n})\geq c_{4}n^{-2g+1}$ pour une constante $c_{4}>0$ indépendante de $n$.

Soit $(x,y)\in{\mathcal{O}}_{K}^{2}$ avec $x\neq 0$. Ce qui précède implique que, pour tout $n\in\mathbb{N}_{+}$,

[TABLE]

Si $|x|$ est assez grand, on peut écrire $h(n-1)\leq|x|<h(n)$ pour un entier $n\geq 2$ avec $h(n-1)\geq e^{n}$. Alors on a $n\leq\log|x|$ et on obtient

[TABLE]

avec $c_{5}=c_{4}^{2}|\alpha|/8$. Comme ${\mathcal{O}}_{K}$ est un sous-ensemble discret de $\mathbb{C}$, cela laisse de côté un nombre fini de valeurs de $x$ et pour les inclure dans la minoration finale il suffit de remplacer $c_{5}$ par une constante $c>0$ suffisamment petite. ∎

Démonstration de la proposition

1.2.

On applique la proposition 11.1 avec $K=\mathbb{Q}$ et $\alpha=3$. Dans ce cas, on a $g=2$ et $B=B_{3}^{-1}=3^{1/2}$. Alors, pour $n\in\mathbb{N}_{+}$, un calcul simple montre que la composante archimédienne $\tilde{{\mathcal{C}}}_{n,\infty}$ du convexe adélique $\tilde{{\mathcal{C}}}_{n}$ satisfait

[TABLE]

où ${\mathcal{C}}_{n}$ est le corps convexe de $\mathbb{R}^{2}$ défini dans la proposition 1.2. Pour les composantes ultramétriques, on trouve

[TABLE]

et $\tilde{{\mathcal{C}}}_{n,p}=\mathbb{Z}_{p}^{2}$ pour tout nombre premier $p$ avec $p\neq 3$. Donc les points de $\mathbb{Q}^{2}$ qui appartiennent à chacune de ces composantes sont précisément les points du réseau $\Lambda_{n}$ de la proposition 1.2. Par suite, les minima de $\tilde{{\mathcal{C}}}_{n}$ par rapport à $\mathbb{Q}^{2}$ au sens adélique sont aussi les minima de $\tilde{{\mathcal{C}}}_{n,\infty}$ par rapport à $\Lambda_{n}$ au sens classique. En vertu des inclusions (11.2), cela implique que $c_{4}n^{-2}\leq\lambda_{1}({\mathcal{C}}_{n},\Lambda)\leq\lambda_{2}({\mathcal{C}}_{n},\Lambda)\leq c_{3}n^{2}$ pour les constantes $c_{3}$ et $c_{4}$ données par la proposition 11.1. ∎

12. Calculs numériques

Les formules de l’appendice A permettent de calculer récursivement les approximations $\mathbf{a}_{n-1,n}$ et $\mathbf{a}_{n,n-1}$ de $(1,e^{3})$ pour chaque entier $n\geq 1$. Dans ce paragraphe, on montre comment ces dernières permettent à leur tour de calculer efficacement les quotients partiels du développement en fraction continue de $e^{3}\in\mathbb{R}$, puis de vérifier les inégalités (1.2) de l’introduction. Notre référence pour les fractions continues est [15, Ch. I].

Soit $e^{3}=[a_{0},a_{1},a_{2},\dots]$ le développement en fraction continue de $e^{3}$. Ses premiers termes sont

[TABLE]

sans régularité apparente. Pour chaque entier $n\geq 0$, on forme la $n$-ième réduite de $e^{3}$

[TABLE]

avec $p_{n}\in\mathbb{Z}$, $q_{n}\in\mathbb{N}$ et $\gcd(p_{n},q_{n})=1$. Le tableau ci-dessous liste les entiers $n\geq 1$ avec $q_{n-1}\leq 10^{500\,000}$ pour lesquels

[TABLE]

Pour chacun de ces entiers, il donne la valeur correspondante de $a_{n}$ et une approximation de $\log(q_{n-1})$ tronquée à la première décimale.

[TABLE]

[TABLE]

Il est facile d’en déduire les estimations (1.2). En effet, posons $\psi(x)=3\log(x)\log(\log(x))$ pour tout $x\geq e$. Pour chaque couple $(p,q)\in\mathbb{Z}^{2}$ avec $q\geq 1$, il existe un entier $n\geq 1$ tel que $q_{n-1}\leq q<q_{n}$. En vertu d’un théorème de Lagrange [15, Ch. I, Thm. 5E], on a

[TABLE]

En supposant $q\geq 3$, on en déduit

[TABLE]

On vérifie sans peine que le membre de droite de (12.1) est $\geq 1$ pour tous les entiers $n$ de la table avec $n\geq 10$, donc il l’est aussi pour tout entier $n\geq 10$ avec $q_{n-1}\leq 10^{500\,000}$. Un calcul rapide montre que c’est encore vrai pour $n=2,\dots,9$. Donc le membre de gauche de (12.1) est $\geq 1$ si $11\leq q\leq 10^{500\,000}$. Enfin, on vérifie que c’est encore le cas si $4\leq q\leq 10$.

Pour calculer les quotients partiels $a_{n}$, on pose

[TABLE]

pour chaque entier $n\geq 1$. Le corollaire A.3 de l’appendice montre que les lignes de $(n-1)!A_{n}$ sont les approximations d’Hermite $\mathbf{a}_{n-1,n}$ et $\mathbf{a}_{n,n-1}$ de $(1,e^{3})$ pour tout $n\in\mathbb{N}_{+}$, donc on a

[TABLE]

On note aussi que, pour tout $n\geq 2$, les matrices $C_{n}$ et $A_{n}$ appartiennent à l’ensemble

[TABLE]

C’est clair pour les $C_{n}$. Quant aux $A_{n}$, cela découle du fait que l’ensemble ${\mathcal{M}}$ est fermé sous le produit.

En général, si $A=\begin{pmatrix}t&u\\ t^{\prime}&u^{\prime}\end{pmatrix}\in{\mathcal{M}}$, les nombres rationnels $t/u$ et $t^{\prime}/u^{\prime}$ admettent des développements en fractions continues

[TABLE]

avec $a_{0}=a^{\prime}_{0}=0$ et $a_{\ell},a^{\prime}_{\ell^{\prime}}\geq 2$. Soit $(a_{0},\dots,a_{k})$ la partie initiale commune des suites $(a_{0},\dots,a_{\ell})$ et $(a^{\prime}_{0},\dots,a^{\prime}_{\ell^{\prime}})$. Si $k=0$, ce qui a lieu si $t=0$ ou $t^{\prime}=0$ ou $\lfloor u/t\rfloor\neq\lfloor u^{\prime}/t^{\prime}\rfloor$, on dit que $A$ est réduite. Sinon, on vérifie sans peine que

[TABLE]

où $R\in{\mathcal{M}}$ est réduite. Si $k=0$, cette formule tient encore en convenant que le produit de droite est $R$. En particulier, pour chaque $n\geq 2$, on peut écrire

[TABLE]

pour une matrice réduite $R_{n}\in{\mathcal{M}}$, des entiers $0\leq k(1)\leq k(2)\leq\cdots$ et des entiers positifs $a_{1},a_{2},\dots$ tels que

[TABLE]

avec la convention que le produit de droite est $R_{n+1}$ si $k(n+1)=k(n)$. Grâce à (12.2), la suite des $k(n)$ est non bornée et on conclut que

[TABLE]

sont les développements en fractions continues respectifs de $e^{-3}$ et de $e^{3}$. Pour le calcul des $a_{n}$, il suffit donc de construire récursivement les matrices $R_{n}$ dont la norme est en pratique beaucoup plus petite que celle de $A_{n}$ (on peut même à chaque pas extraire les puissances de $3$ qui divisent $R_{n}$). Pour les entiers $q_{n}$, on sauve aussi du temps de calcul en ne conservant que leur représentation en point flottant (nous avons utilisé 10 chiffres significatifs). Il faut alors un tout petit plus d’une heure de temps CPU pour produire les tables sous le logiciel MAPLE avec un processeur intel i5 de 64 bits.

Appendix A Relations de récurrence

On reprend les notations du paragraphe 2.2 et on étend la définition de $f_{\mathbf{n}}(z)$, $P_{\mathbf{n}}(z)$ et $a_{\mathbf{n}}$ à tout $s$-uplet $\mathbf{n}\in\mathbb{Z}^{s}$ en posant

[TABLE]

Pour tout $\mathbf{n}\in\mathbb{N}_{+}^{s}$, on note $A_{\mathbf{n}}$ la matrice dont la $\ell$-ième ligne est $\mathbf{a}_{\mathbf{n}-\mathbf{e}_{\ell}}$ pour $\ell=1,\dots,s$. Dans [9, §§IX-X], Hermite établit une formule de récurrence liant $A_{\mathbf{n}+\mathbf{1}}$ et $A_{\mathbf{n}}$ où $\mathbf{1}$ désigne le $s$-uplet $(1,\dots,1)$. On donne ici des formules de récurrence plus générales basées sur le même principe. La relation (A.1) ci-dessous est dûe à Hermite [9, §IX, p. 230] dans le cas où $\mathbf{n}\in\mathbb{N}_{+}^{s}$.

Proposition A.1**.**

Soit $\mathbf{n}=(n_{1},\dots,n_{s})\in\mathbb{N}^{s}$. On a

[TABLE]

De plus, si $k,\ell\in\{1,\dots,s\}$ avec $n_{k}\geq 1$, on a aussi

[TABLE]

Démonstration.

La formule pour la dérivée d’un produit donne

[TABLE]

En prenant la somme des dérivées des deux membres de cette égalité, on obtient

[TABLE]

et (A.1) s’ensuit. La formule (A.2) est immédiate si $k=\ell$. Supposons $k\neq\ell$ et $n_{k}\geq 1$ de sorte que $\mathbf{n}-\mathbf{e}_{k}\in\mathbb{N}^{s}$. Alors on a

[TABLE]

En prenant de nouveau la somme des dérivées, on obtient

[TABLE]

et (A.2) s’ensuit. ∎

Corollaire A.2**.**

Soient $\mathbf{n}=(n_{1},\dots,n_{s})\in\mathbb{N}_{+}^{s}$ et $\ell\in\{1,\dots,s\}$. Alors, on a

[TABLE]

où

[TABLE]

Démonstration.

Comme les coordonnées de $\mathbf{n}$ sont positives, le polynôme $f_{\mathbf{n}}$ s’annule aux points $\alpha_{1},\dots,\alpha_{s}$ et les formules de la proposition A.1 livrent

[TABLE]

Dans le cas où $s=2$, on en déduit une formule très simple pour les approximations diagonales $A_{n,n}$.

Corollaire A.3**.**

Supposons que $s=2$, $\alpha_{1}=0$ et $\alpha_{2}=\alpha\in K\setminus\{0\}$. Pour tout $n\in\mathbb{N}_{+}$, on a

[TABLE]

où

[TABLE]

Démonstration.

On trouve que $P_{0,1}(z)=z+1-\alpha$ et $P_{1,0}(z)=z+1$, donc $A_{1,1}=C_{1}$. En général, pour un entier $n\geq 1$, les formules du corollaire A.2 livrent

[TABLE]

et la conclusion suit par récurrence sur $n$. ∎