$ T $-matrix scattering elements for coulomb interaction systems

TL;DR

This paper develops a new representation of two-particle T-matrix scattering elements for Coulomb interactions, facilitating solutions to three-body problems by simplifying integral equations without partial wave expansion.

Contribution

It introduces a basis-based representation of T-matrix elements that simplifies the Faddeev equations for three-particle Coulomb systems, avoiding partial wave expansion.

Findings

Representation simplifies Faddeev equations

Applicable to small-particle Coulomb systems

Reduces integral equations to a factored form

Abstract

The paper derives the representation of the two-particle T-matrix scattering elements for the Coulomb interaction with respect to special bases without expansion in terms of partial waves. The results obtained are applicable to small-particle systems. The advantage of this expansion also arises in three-body problems when solving the Faddeev equation for three-particle systems. The main problem in solving the Faddeev equation is the approximate choice of approximation for the interaction potentials, at which the T-matrix scattering elements acquire a separable form. However, even in this case the solution to the Faddeev equation does not always become practical in view of the fact that the T-matrix elements themselves do not factor in the integral equations. Here we give the results with the T-matrix elements represented in the basis, for which there is an addition theorem and hence the integral Faddeev equations are reduced to a factored form.

Equations

$$⟨{\mathbf{k}}_2\left|T(z)\right|{\mathbf{k}}_1⟩=⟨{\mathbf{k}}_2\left|V\right|{\mathbf{k}}_1⟩+\int \frac{d\mathbf{p}}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}\frac{⟨{\mathbf{k}}_2\left|V\right|\mathbf{p}⟩⟨\mathbf{p}\left|T(z)\right|{\mathbf{k}}_1⟩}{z-\frac{{\hslash }^2{p}^2}{2\mu }},(z=E+i0)$$

$$f({\mathbf{q}}_2,{\mathbf{q}}_1)=-\frac{\mu }{2\pi {\hslash }^2}⟨{\mathbf{q}}_2\left|T(E+i0)\right|{\mathbf{q}}_1⟩$$

$$⟨\mathbf{k}\left|V\right|\mathbf{p}⟩=\int \frac{d\mathbf{r}}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}V(\mathbf{r})e^{-i(\mathbf{k}-\mathbf{p})\mathbf{r}}=\sigma \alpha \sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{1}{|\mathbf{k}-\mathbf{p}{|}^2}=\frac{\sigma \alpha }{{\gamma }^2}\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\left|\frac{\mathbf{k}}{\gamma }-\frac{\mathbf{p}}{\gamma }\right|}^{-2}$$

$$\alpha =\left|\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{4\pi {ϵ}_0}\right|,\sigma =\pm 1$$

$$⟨\mathbf{k}\left|V\right|\mathbf{p}⟩=\frac{\sigma \alpha }{2{\gamma }^4}(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}\sqrt{k^2+{\gamma }^2}\sqrt{p^2+{\gamma }^2}\sum _{n,l,m}{\upsilon }_{n,l}{H}_{n,l,m}\left(\frac{\mathbf{k}}{\gamma }\right)H_{n,l,m}^{\ast }\left(\frac{\mathbf{p}}{\gamma }\right)$$

$${\upsilon }_{n,l}=\frac{1}{n+l+1}$$

$$H_{n,l,m}\left(\mathbf{k}\right)={\eta }_{n,l}(k)Y_{l,m}(\hat{\mathbf{k}})$$

$$\begin{gathered} {\eta }_{n,l}(k)=4^{l+1}l!\sqrt{\frac{n!(n+l+1)}{\pi (n+2l+1)!}}\frac{k^l}{{\left(k^2+1\right)}^{l+\frac{3}{2}}}{C}_n^{l+1}\left(\frac{k^2-1}{k^2+1}\right)= \\ =\frac{2}{\Gamma \left(l+\frac{3}{2}\right)}\sqrt{\frac{(n+l+1)(n+2l+1)!}{n!}}\frac{k^l}{{\left(k^2+1\right)}^{l+\frac{3}{2}}}{}_2{F}_1\left[\begin{array}{c}-nn+2l+2\\ l+\frac{3}{2}\end{array}|\frac{1}{k^2+1}\right] \end{gathered}$$

$$\int d\mathbf{k}{H}_{n_1,l_1,m_1}\left(\frac{\mathbf{k}}{\gamma }\right)H_{n_2,l_2,m_2}^{\ast }\left(\frac{\mathbf{k}}{\gamma }\right)={\gamma }^3{\delta }_{n_1,n_2}{\delta }_{l_1,l_2}{\delta }_{m_1,m_2}$$

$$\begin{gathered} ⟨{\mathbf{k}}_2\left|T(z)\right|{\mathbf{k}}_1⟩=\frac{\alpha }{2{\gamma }^4}(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}\sqrt{k_2^2+{\gamma }^2}\sqrt{k_1^2+{\gamma }^2}\times \\ \times \sum _{n_2,n_1,l,m}\sqrt{{\upsilon }_{n_2,l}{\upsilon }_{n_1,l}}{\tau }_{n_2,n_1;l}(z)H_{n_2,l,m}\left(\frac{{\mathbf{k}}_2}{\gamma }\right)H_{n_1,l,m}^{\ast }\left(\frac{{\mathbf{k}}_1}{\gamma }\right) \end{gathered}$$

$${\tau }_{n_2,n_1;l}(z)=\sigma {\delta }_{n_2,n_1}+\sigma \sum _{n_3=0}^{\infty }{A}_{n_2,n_3;l}^{-1}{\tau }_{n_3,n_1;l}(z)$$

$$A_{n_2,n_3;l}^{-1}=\frac{\alpha \mu }{\gamma {\hslash }^2}\sqrt{{\upsilon }_{n_2,l}{\upsilon }_{n_3,l}}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}dx{x}^2\frac{x^2+1}{\frac{2\mu z}{{\gamma }^2{\hslash }^2}-x^2}{\eta }_{n_2,l}(x){\eta }_{n_3,l}(x)$$

$$\mathbf{\tau }=\sigma {\left(\mathbf{E}-\sigma {\mathbf{A}}^{-1}\right)}^{-1}$$

$$\mathbf{\tau }=\sigma {\left(\mathbf{A}-\sigma \mathbf{E}\right)}^{-1}\mathbf{A}$$

$$A_{n_1,n_2;l}=\frac{\gamma {\hslash }^2}{\alpha \mu }\frac{1}{\sqrt{{\upsilon }_{n_1,l}{\upsilon }_{n_2,l}}}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}dx{x}^2\frac{\frac{2\mu z}{{\gamma }^2{\hslash }^2}-x^2}{x^2+1}{\eta }_{n_1,l}(x){\eta }_{n_2,l}(x)$$

$$\frac{x^2-1}{x^2+1}{\eta }_{n,l}(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(n+1)(n+2l+2)}{(n+l+1)(n+l+2)}}{\eta }_{n+1,l}(x)+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n(n+2l+1)}{(n+l)(n+l+1)}}{\eta }_{n-1,l}(x)$$

$${\varphi }_n=i\sqrt{\frac{y+1}{2\rho }}\sqrt{\frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)\Gamma \left(\frac{n+3}{2}+l\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}+l+1\right)}}$$

$$y=\frac{2\mu z}{{\gamma }^2{\hslash }^2},\rho =\frac{\alpha \mu }{\gamma {\hslash }^2}$$

$$A_{n_1,n_2}=\frac{y-1}{2\rho }(n_1+l+1){\delta }_{n_1,n_2}+{\varphi }_{n_1}{\varphi }_{n_2}({\delta }_{n_1+1,n_2}+{\delta }_{n_1-1,n_2})$$

$$\Gamma \left(\frac{n}{2}+z\right)\Gamma \left(\frac{n+1}{2}+z\right)=2^{-2z-n+1}\sqrt{\pi }\Gamma (n+2z)$$

$${\tau }_{n_2,n_1;l}(-E)={\delta }_{n_2,n_1}\sigma {\left(1+\sigma \sqrt{\frac{E_{n_1,l}}{E}}\right)}^{-1},E_{n_1,l}=\frac{E_b}{(n_1+l+1{)}^2}$$

$$\mathbf{A}=\mathbf{b}{\mathbf{b}}^T$$

$$b_{n,m}={\varphi }_n\sqrt{{\beta }_m}{\delta }_{n+1,m}+\frac{{\varphi }_n}{\sqrt{{\beta }_m}}{\delta }_{n,m}$$

$${\varphi }_n^2\left({\beta }_{n+1}+\frac{1}{{\beta }_n}\right)=\frac{y-1}{2\rho }(n+l+1)-\sigma ={\lambda }_n,n=0,1,2,\dots$$

$$\mathbf{\tau }=\sigma {\mathbf{B}}^T\mathbf{BA}$$

$$B_{n,m}=\{\begin{array}{ll}\frac{(-1{)}^{n+m}}{{\varphi }_m\sqrt{{\beta }_n}}\prod _{i=n}^m{\beta }_i,& m⩾n\\ 0,& m<n\end{array}$$

$$(\mathbf{A}-\sigma \mathbf{E}{)}_{n,m}^{-1}={\mathbf{B}}^T\mathbf{B}=\{\begin{array}{ll}\frac{(-1{)}^{n+m}}{{\varphi }_n{\varphi }_m}\left(1+\sum _{i=0}^{m-1}\prod _{j=0}^i{\beta }_{m-j-1}{\beta }_{m-j}\right)\prod _{k=m}^n{\beta }_k,& n⩾m\\ \text{то же самое при перестановки }n\leftrightarrow m,& n<m\end{array}$$

$$\mathbf{BA}=\mathbf{SB}$$

$$S_{n,m}=\left(\sigma +\frac{{\varphi }_n^2}{{\beta }_n}+{\beta }_n{\varphi }_{n-1}^2\right){\delta }_{n,m}+{\varphi }_n^2\sqrt{\frac{{\beta }_m}{{\beta }_n}}{\delta }_{n+1,m}+{\varphi }_m^2\sqrt{\frac{{\beta }_n}{{\beta }_m}}{\delta }_{n,m+1}$$

$$\mathbf{S}={\mathbf{s}}^T\mathbf{G}\mathbf{s}$$

$$G_{n,m}=\frac{g_n}{1-g_n}{\delta }_{n,m}$$

Full text

Keywords: Coulomb systems, scattering matrix, hypergeometric function.

$T$-матричные элементы рассеяния для кулоновских систем взаимодействия.

Ахметьянов Р.Ф., Шиховцева Е.С

*Институт физики молекул и кристаллов УФИЦ РАН,

Россия, 450075, г. Уфа, пр. Октября, 151

E-mail: robertu@mail.ru*

Аннотация: В работе содержится вывод представления двухчастичных $T$-матричных элементов рассеяния для кулоновского взаимодействия по специальным базисам без разложения по парциальным волнам. Полученные результаты применимы к малочастичным системам. Преимущество данного разложения возникает и в задачах трех тел при решении уравнения Фаддеева для трёхчастичных систем. Основной проблемой решении уравнения Фаддеева является приближенный выбор аппроксимации потенциалов взаимодействии, при котором $T$-матричные элементы рассеяния приобретали сепарабельный вид. Однако даже в таком случае решение уравнения Фаддеева не всегда становятся практичным в виду того, что входящие $T$-матричные элементы в интегральные уравнения уже не факторизуются. Здесь мы представим результаты, в котором $T$-матричные элементы представляются в базисе, для которых существует теорема сложения и вследствие чего интегральные уравнения Фаддеева приводятся к к факторизованному виду.

Ключевые слова: кулоновские системы, матрица рассеяния, гипергеометрическая функция.

1 Введение.

Применение разложения обратно степенных потенциалов взаимодействия от трехмерных векторов по сферическим функциям широко используется в физических и математических задачах, обладающих сферической симметрии. Однако возможно особый интерес в физических и математических приложениях и задачах представляет не разделение по отдельности угловым и пространственным переменным, а разделение по полным векторам. Как было показано в [AkhR_UNC] такое разделение существует для трехмерных двух векторов, и в конечных результатах угловые и пространственные переменные входят равноправно. К примеру, в задачах многих тел [Dzibuti], [Shmidt_problem_tree_body] появляется возможность не разделять отдельно гиперсферические угловые функции и решать отдельно систему по пространственным координатам, а решать общую систему по полным векторам. В работе рассматривается двухчастичная $T$-матрица в импульсном представлении, определяемая интегральным уравнением [Shmidt_problem_tree_body]

[TABLE]

здесь $E$-энергия относительного движения двух частиц, $\mu$-приведенная масса. Отметим, что амплитуда упругого рассеяния частиц выражается через $T$-матрицу как [Shmidt_problem_tree_body]

[TABLE]

на энергетической поверхности $E=\dfrac{\hbar^{2}\,q_{1}^{2}}{2\mu}=\dfrac{\hbar^{2}q_{2}^{2}}{2\mu}$, где $\mathbf{q}_{1}$ – налетающий импульс, $\mathbf{q}_{2}$ – рассеянный. Для кулоновского поля $V(\mathbf{r})=\dfrac{\sigma\,\alpha}{r}$ потенциал взаимодействия в импульсном представлении есть как

[TABLE]

где в последнем выражении мы используем условие однородности функции, $\gamma$ –любое число которое можно задать в дальнейшем. Здесь $\sigma=+1$ соответствует потенциалу отталкивания двух зарядов $Z_{1}e$ и $Z_{2}e$ , а $\sigma=-1$ потенциалу притяжения.

2 Матричная формулировка.

Представим (1.2) в виде разложения из [AkhR_UNC], [Robert_1711.07337] для трёхмерных векторов как (здесь и далее для сокращенной записи $\sum\limits_{n,l,m}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{l=0}^{\infty}\sum\limits_{m=-l}^{+l}$ )

[TABLE]

[TABLE]

где функции $H_{n,l,m}(\mathbf{k})$ определяются в виде

[TABLE]

здесь $Y_{l,m}(\hat{\mathbf{k}})$ сферическая функция от единичного трехмерного вектора $\hat{\mathbf{k}}=\dfrac{\mathbf{k}}{k}$.

[TABLE]

Здесь и далее $\,{}_{2}F_{1}\left[\left.\ldots\right|z\right]$– гипергеометрическая функция Гаусса, $(a)_{n}=\dfrac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(a)}$–символ Похгаммера. Отметим, что $\eta_{n,l}(k)$-функции ортонормированные с весом $k^{2}$ на всей действительной оси $k\geqslant 0$ , и соответственно ортогональны (2.2) ( $d\mathbf{k}=k^{2}\,dk\,d\Omega_{\hat{\mathbf{k}}}$–элемент объема, $d\Omega_{\hat{\mathbf{k}}}$–элемент телесного угла)

[TABLE]

Здесь $\gamma\in\mathbb{R}$ . Очевидно, что из вида представления (2.1), решением интегрального уравнения (1.1) можно представить в виде как

[TABLE]

где элементы $\tau_{n_{2},n_{1};l}(z)$ из условия (2.4) определяются системой алгебраических уравнений.

[TABLE]

где

[TABLE]

или в одной из матричной формы

[TABLE]

($\mathbf{E}$–единичная матрица). Из полноты ортогональных функции, элементы матрицы $\mathbf{A}$ представляются в виде как

[TABLE]

Используя рекуррентное соотношение для гипергеометрической функции Гаусса [Beitman_1, Гл.2] в (2.3), где верхние индексы отличаются на единицу, можно получить рекуррентное соотношение для функции $\eta_{n,l}(x)$ в виде

[TABLE]

учитывая условие ортогональности $\eta_{n,l}(x)$-функции, а также вводя вспомогательные элементы

[TABLE]

где

[TABLE]

представим (2.9) в простом матричном виде

[TABLE]

Для введения вспомогательного элемента $\phi_{n}$ мы использовали соотношение вида [Beitman_1, Гл.1, п.1.2]

[TABLE]

Отметим, что матрица $\mathbf{A}^{-1}$ в (2.7), как и $\mathbf{A}$ в (2.12) – бесконечномерные. Интеграл в (2.7) сходится всегда и сходится даже для потенциалов $\sim r^{-v}$ при $v<\dfrac{5}{2}$ . Однако его значение сильно зависит от $z$ , и может принимать разный вид как для действительных положительных, действительных отрицательных и комплексных значении $z$ . Хотя мы всегда можем выбрать такой параметр $\gamma$ для однозначного вида интеграла, но при комплексном значении $\gamma$ теряется свойство ортогональности (2.4), что крайне не желательно в дальнейшем, и поэтому лучше придерживаться условием $\gamma^{2}>0$ . Преимущество (2.9) перед (2.7) заключается в том, что $z$ может входить входит как параметр и не влиять на интегралы, что и было получено (2.12).

В самом простом частном случае, когда $z=-E\in\mathbb{R}$ , и выбирая параметр $\gamma^{2}=\dfrac{2\mu E}{\hbar^{2}}$ получим, что матричные элементы (2.7) (как и (2.12)) диагональные а элементы (2.6) представятся в простом виде как

[TABLE]

где $E_{b}=13.6$ эВ-энергия основного состояния. При $\sigma{=}-1$ , $\tau_{n_{2},n_{1};l}(-E)$ имеет полюс $E=E_{n_{1},l}$ с вычетом $-2\,\sqrt{\left(E_{n_{1},l}\right)^{3}}$.

Теперь определим $\boldsymbol{\tau}$ из (2.8) при любом $z$ (принимающие комплексные или действительные значения) и произвольным параметром $\gamma\in\mathbb{R}$ . Из (2.12) видим, что $\mathbf{A}$ симметрична и трёхдиагональная. Поэтому представим ее как в виде произведения от двух бесконечномерных верхнеугольных матриц

[TABLE]

где элементы $\mathbf{b}$ представим в виде

[TABLE]

Данное представление (2.14) будет справедливым, если $\beta_{n}$ будут удовлетворять рекуррентному соотношению вида

[TABLE]

Таким образом (2.8) можно представить в виде как

[TABLE]

где $\mathbf{B}=\mathbf{b}^{-1}$ и его элементы имеют вид

[TABLE]

и соответственно легко получить

[TABLE]

Представление (2.16) не очень практично, даже в случае конечномерных матриц. Поэтому сделаем следующим образом. Представим в (2.16) произведение

[TABLE]

где элементы $\mathbf{S}$ есть как

[TABLE]

Так как $\mathbf{S}$–симметрична, разобьем его в виде как

[TABLE]

где

[TABLE]

[TABLE]

Объединяя (2.20), (2.19) с (2.16), запишем

[TABLE]

где $\mathbf{C}=\mathbf{s}\mathbf{B}$ , а из (2.21), и (2.17) его элементы будут иметь вид

[TABLE]

Отметим, что в разбиении (2.20) $g_{n}$ должны удовлетворять рекуррентным соотношением вида

[TABLE]

Введем новые функции вида

[TABLE]

Отметим, что при $\sigma{=}0$ из (2.23) все $g_{n}{=}\dfrac{1}{2}$ , и элементы $\mathbf{C}$ , как видно из (2.22) будут единичными, что как и следовало бы ожидать из (2.8).

3 Определение $\beta_{n}$.

Из (2.15) видим, что общее решение для $\beta_{n}$ определяется в виде бесконечной цепной дроби, если начальное значение $\beta_{0}$ не задано. Или в виде конечной цепной дроби, если $\beta_{0}$ задано. Здесь мы рассмотрим второй случай.

Представим $\beta_{n}$ в виде

[TABLE]

Данные представления удобны тем, что $\prod\limits_{k=n}^{m}\beta_{k}=\dfrac{Q_{m}}{Q_{n-1}}$ . Так, из (2.22) получим для функции (2.24a) простой вид

[TABLE]

и аналогично для (2.24b).

Из (3.1a) и (2.15) получим рекуррентное соотношения для $R_{n}$

[TABLE]

где

[TABLE]

с начальными условиям при $R_{-1}\neq 0$ и $R_{0}\neq 0$ , так как из (3.1b) $\beta_{0}$ должно быть регулярным.

Производящую функцию для $R_{n}$

[TABLE]

можно получить методами как в [Jones_Thron] , которая будет соответствовать виду

[TABLE]

где при любых комплексных значении $y$

[TABLE]

Из [Pollaczec_Acad_1950_230_1563, Pollaczec_Acad_1950_230_2254] можно получить общее выражение для $R_{-1},R_{0},R_{n},(n=1,2,\ldots)$ при любых комплексных (и положительных действительных) чисел $y$

[TABLE]

и когда $y$ принимает действительные отрицательные значения $y=-t,\,\,t>0$

[TABLE]

Отметим, что $R_{n}$ в (3.4) комплексное а $R_{-1}$ задается из (3.1b) при заданном начальным значением $\beta_{0}$ . Так как в (3.1) и (3.2) $Q_{n}$ (как и $R_{n}$ ) входят в виде отношения, то во всех приведенных формулах $\beta_{n}$ и $\Phi_{n,l,m}(\mathbf{k})$ уже не зависит от начального заданного $\beta_{0}$ . В виду линейности рекуррентного соотношения (3.3), кроме общего выражения (3.4) при $\Im y=0$ мы можем взять по отдельности как действительные так и мнимые части. Соответственно представим асимптотическое поведение в сумме (3.2) при больших $n_{1}$. Для (3.4) (при $\Im y=0$)

[TABLE]

где $\cos\theta{=}\dfrac{y-1}{y+1}$. И для (3.5)

[TABLE]

Так как для быстро осциллирующей функции $e^{-i\left(\theta(n_{1}+1)+\frac{\rho\sigma}{\sqrt{y}}\ln n_{1}\right)}<1$ то коэффициент в первом выражении будет убывать как $\dfrac{1}{n_{1}}$ . Для второго выражения сходимость в (3.2) будет быстрее только для отталкивательного потенциала ($\sigma{=}+1$).