Sur l'indice des sous-alg\`ebres biparaboliques de $\mathfrak{gl}(n)$

TL;DR

This paper investigates the index of seaweed subalgebras in the complex Lie algebra rak{gl}(n), deriving formulas and identifying new Frobenius Lie algebras.

Contribution

It provides new formulas for the index of certain seaweed subalgebras and introduces new families of Frobenius Lie algebras.

Findings

Formulas for the index of specific seaweed subalgebras

Identification of new Frobenius Lie algebra families

Properties that facilitate index computation

Abstract

We give some properties on the index of seaweed subalgebras of the complex Lie algebra $\mathfrak{gl}(n)$ which allow to obtain formulas for the index of some interesting classes of this family and to give new families of Frobenius Lie algebras.

Equations

$$aestpaireta\wedge b=1(\ast )$$

$${\varphi }_m(a,b)=\{\begin{array}{l}[\frac{m}{2}]+1siaimpairetbimpair\\ [\frac{m+1}{2}]siaimpairetbpair\\ 1siapairetbimpair\end{array}$$

$$\chi [\mathfrak{p}(\underset{m}{\underbrace{a,\dots ,a}},b)]=(a\wedge b){\varphi }_m(\frac{a}{a\wedge b},\frac{b}{a\wedge b})$$

$$\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_k)]=\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_i+\alpha |d_i|,\dots ,a_k)],1\le i\le k$$

$$\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_k)]=\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_{i-1},a_i[|d_i|],a_{i+1}\dots ,a_k)],1\le i\le k$$

$$\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_k)]=a_i+\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_{i-1},a_{i+1}\dots ,a_k)]$$

$$(x.f)(y)=f([y,x]),\forall x,y\in \mathfrak{g}\text{et}f\in {\mathfrak{g}}^{\ast }$$

$$(x.f)(y)=f(\mathrm{Ad}{x}^{-1}y),\forall x\in \text{mathbold}G,y\in \mathfrak{g}\text{et}f\in {\mathfrak{g}}^{\ast }$$

$$\text{mathbold}{G}_f=\{x\in \text{mathbold}G;f(\mathrm{Ad}{x}^{-1}y)=f(y),\forall y\in \mathfrak{g}\}$$

$${\mathfrak{g}}_f=\{x\in \mathfrak{g};f([x,y])=0,\forall y\in \mathfrak{g}\}$$

$$\chi [\mathfrak{g}]=\min \{\dim {\mathfrak{g}}_f,f\in {\mathfrak{g}}^{\ast }\}$$

$$\chi (\mathfrak{q}(\underline{a}\mid \underline{b}))=2\times (nombredecycles)+nombredesegments$$

$$\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_k)]$$

$$=\chi [\mathfrak{q}(a_k,\dots ,a_{i+1}\mid a_1,\dots ,a_i,-t_i)]$$

$$=\chi [\mathfrak{q}(a_1,\dots ,a_i,-t_i\mid a_k,\dots ,a_{i+1})]$$

$$\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_k)]=\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_{i-1},a_i+d_i,a_{i+1},\dots ,a_k)]$$

$$\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_k)]$$

$$=\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_i,a_i+d_i,a_{i+1},\dots ,a_k)]$$

$$\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_k)]$$

$$=\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_i,|a_i+d_i|,a_{i+1},\dots ,a_k)]$$

$$\chi [\mathfrak{p}(b_1^i,\dots ,b_k^i)]$$

$$=\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_i,a_i+d_i,a_{i+1},\dots ,a_k)]$$

$$=\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_k)]$$

$$\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_k)]$$

$$=\chi [\mathfrak{q}(a_1\mid a_k,\dots ,a_2,a_1+d_1)]$$

$$=\chi [\mathfrak{p}(a_k,\dots ,a_2,a_1+d_1)]$$

$$=\chi [\mathfrak{p}(a_1+d_1,a_2,\dots ,a_k)]$$

$$\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_k)]=\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_i+\alpha |d_i|,\dots ,a_k)],1\le i\le k$$

$$\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_k)]=\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_{i-1},a_i[|d_i|],a_{i+1}\dots ,a_k)],1\le i\le k$$

$$\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_k)]=a_i+\chi [\mathfrak{p}(a_1,\dots ,a_{i-1},a_{i+1}\dots ,a_k)]$$

$$0<a_i<|a_1+\cdots +a_{i-1}-(a_{i+1}+\cdots +a_k)|,1\le i\le k$$

$$\chi [\mathfrak{q}(111,13,79\mid 165,18,20)]$$

$$=\chi [\mathfrak{p}(111,13,20,18,165)]$$

$$=\chi [\mathfrak{p}(111,13,20,18,3)]$$

$$=\chi [\mathfrak{p}(3,13,20,18,3)]$$

$$=\chi [\mathfrak{p}(3,3)]+\chi [\mathfrak{p}(13,20,18)]$$

$$=(3\wedge 3)+((13+20)\wedge (20+18))$$

Full text

1. Introduction

Soit $\mathfrak{g}$ l’algèbre de Lie d’un groupe de Lie algébrique complexe $\mathbold{G}$ et $\mathfrak{g}^{\ast}$ son dual. Pour $f\in\mathfrak{g}^{*}$, on note $\mathfrak{g}_{f}$ le stabilisateur de $f$ pour l’action coadjointe. On appelle indice de $\mathfrak{g}$ et on note $\chi[\mathfrak{g}]$ la dimension minimale de $\mathfrak{g}_{f}$ lorsque $f$ parcourt $\mathfrak{g}^{\ast}$. Si $\chi[\mathfrak{g}]=0$, $\mathfrak{g}$ est dite une algèbre de Frobenius.

Dans toute la suite, les groupes et les algèbres de Lie considérés sont algébriques définis sur le corps des complexes. Pour tous entiers naturels $r$ et $s$, on notera $r[s]$ le reste de la division euclidienne de $r$ par $s$ et $r\wedge s$ le plus grand commun diviseur de $r$ et $s$.

Pour toute paire $(\underline{a},\underline{b})$ de compositions d’un entier $n\in\mathbb{N}^{\times}$, $\underline{a}=(a_{1},\ldots,a_{k})$ et $\underline{b}=(b_{1},\ldots,b_{t})$, on associe une unique sous-algèbre biparabolique de $\mathfrak{gl}(n)$ (à conjugaison près) qu’on notera $\mathfrak{q}(\underline{a}\mid\underline{b})$, et toutes les sous-algèbres biparaboliques de $\mathfrak{gl}(n)$ sont ainsi obtenues (voir [1]). Si $\underline{b}=n$ (resp. $\underline{a}=n$), $\mathfrak{q}(\underline{a}\mid n)$ (resp. $\mathfrak{q}(n\mid\underline{b})$) est une sous-algèbre parabolique de $\mathfrak{gl}(n)$, on la notera simplement $\mathfrak{p}(\underline{a})$ (resp. $\overline{\mathfrak{p}}(\underline{b}))$. Soient $\underline{a}=(a_{1},\ldots,a_{k})\in\mathbb{N}^{k}$ et $\underline{b}=(b_{1},\ldots,b_{t})\in\mathbb{N}^{t}$ tels que $\sum_{1\leq l\leq k}a_{l}=\sum_{1\leq l\leq t}b_{l}=n$ et $\underline{a}^{{}^{\prime}}$ (resp. $\underline{b}^{{}^{\prime}}$) la composition de $n$ obtenue de $\underline{a}$ (resp. $\underline{b}$) en supprimant les termes nuls. Alors, on convient que $\mathfrak{p}(\underline{a})=\mathfrak{p}(\underline{a}^{{}^{\prime}})$ et $\mathfrak{q}(\underline{a}\mid\underline{b})=\mathfrak{q}(\underline{a}^{{}^{\prime}}\mid\underline{b}^{{}^{\prime}})$.

Dans [4], les auteurs s’intéressent au cas des sous-algèbres paraboliques de $\mathfrak{gl}(n)$ de la forme $\mathfrak{p}(a,\ldots,a,b)$, où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels non nuls, et montrent que la propriété suivante :

[TABLE]

est suffisante pour que $\mathfrak{p}_{s}(a,\ldots,a,b):=\mathfrak{p}(a,\ldots,a,b)\cap\mathfrak{sl}(n)$ soit une sous-algèbre de Frobenius de $\mathfrak{sl}(n)$. Pour cette famille de sous-algèbres paraboliques de $\mathfrak{gl}(n)$, on montre le théorème suivant (théorème 2.6) :

Théorème 1.1**.**

Soient $I=\{(a,b)\in\mathbb{N^{\times}}^{2}\mid a\;est\;impair\;ou\;b\;est\;impair\}$, $m\in\mathbb{N}^{\times}$ et $\phi_{m}$ la fonction définie sur $I$ par :

[TABLE]

Pour tous $a,b,m\in\mathbb{N^{\times}}$, on a :

[TABLE]

.

Ainsi, on obtient une formule pour l’indice de $\mathfrak{p}(a,\ldots,a,b)$ et on en déduit en particulier que, pour $n=ma+b$, $\mathfrak{p}_{s}(a,\ldots,a,b)$ est une sous-algèbres de Frobenius de $\mathfrak{sl}(n)$ si et seulement si $a\wedge b=1$ et de plus l’une des conditions suivantes est vérifiée

• (i)

m=1

• (ii)

$a$ est pair, $b$ est impair

• (iii)

$a$ est impair, $b$ est pair et $m=2$

Dans [5], Dergachev et Kirillov associent à chaque sous-algèbre biparabolique $\mathfrak{q}(\underline{a},\underline{b})$ de $\mathfrak{gl}(n)$ un graphe appelé méandre de $\mathfrak{q}(\underline{a},\underline{b})$, et au moyen de ce graphe, ils décrivent l’indice de $\mathfrak{q}(\underline{a},\underline{b})$ (voir théorème 2.1). La description de $\chi[\mathfrak{q}(\underline{a}\mid\underline{b})]$ en fonction de $\underline{a}$ et $\underline{b}$ est une question intéressante. En effet, avoir une réponse à cette question permettrait en particulier de déterminer les sous-algèbres biparaboliques de $\mathfrak{sl}(n)$ qui sont de Frobenius. Dans [6] et [3], les auteurs ont obtenu l’indice de $\mathfrak{p}(\underline{a})$ lorsque $k=2$ et $k=3$ :

Théorème 1.2**.**

[6]** $\chi[\mathfrak{p}(a_{1},a_{2})]=a_{1}\wedge a_{2}$

Théorème 1.3**.**

[3]** $\chi[\mathfrak{p}(a_{1},a_{2},a_{3})]=(a_{1}+a_{2})\wedge(a_{2}+a_{3})$

Dans notre présent travail, on montre qu’on peut ramener la question précédente au cas des sous-algèbres paraboliques de $\mathfrak{gl}(2n)$ : en effet, à toute sous-algèbre biparabolique $\mathfrak{q}$ de $\mathfrak{gl}(n)$, on associe de manière naturelle une sous-algèbre parabolique $\mathfrak{p}$ de $\mathfrak{gl}(2n)$ ayant le même indice (voir lemme 2.2). Nous démontrons ensuite, d’une manière indépendante, le théorème suivant qui est une généralisation du lemme 4.2 de [7] :

Théorème 1.4**.**

Soient $\mathfrak{p}(a_{1},\ldots,a_{k})$ une sous-algèbre parabolique de $\mathfrak{gl}(n)$, $d_{k}=-(a_{1}+\cdots+a_{k-1})$ et $d_{i}=(a_{1}+\cdots+a_{i-1})-(a_{i+1}+\cdots+a_{k})$, $1\leq i\leq k-1$. Soit $1\leq i\leq k$.

Supposons que $d_{i}\neq 0$. Pour tout $\alpha\in\mathbb{Z}$ tel que $a_{i}+\alpha|d_{i}|\geq 0$, on a

[TABLE]

En particulier, on a*

[TABLE]

• 2)

Supposons que $d_{i}=0$. Alors, on a

[TABLE]

Ce théorème fournit un algorithme de réduction permettant le calcul de l’indice d’une sous-algèbre parabolique de $\mathfrak{gl}(n)$. De plus, il permet de redémontrer d’une manière simple les théorèmes 1.2 et 1.3 (voir théorème 2.3), d’obtenir l’indice de certaines classes des sous-algèbres paraboliques de $\mathfrak{gl}(n)$ (voir théorème 2.5) et de donner en particulier de nouvelles familles de sous-algèbres de Frobenius de $\mathfrak{gl}(n)$ (voir corollaire 2.1 et lemme 2.5).

2. Réduction

Soit $\mathbold{G}$ un groupe de Lie algébrique complexe, $\mathfrak{g}$ son algèbre de Lie et $\mathfrak{g}^{\ast}$ le dual de $\mathfrak{g}$. Au moyen de la représentation coadjointe, $\mathfrak{g}$ et $\mathbold{G}$ opèrent dans $\mathfrak{g}^{*}$ par :

[TABLE]

[TABLE]

Pour $f\in\mathfrak{g}^{*}$, soit $\mathbold{G}_{f}$ le stabilisateur de $f$ pour cette action et $\mathfrak{g}_{f}$ son algèbre de Lie:

[TABLE]

[TABLE]

On appelle indice de $\mathfrak{g}$ l’entier $\chi[\mathfrak{g}]$ défini par:

[TABLE]

Si $\chi[\mathfrak{g}]=0$, $\mathfrak{g}$ est dite une algèbre de Frobenius.

Soient $\underline{a}=(a_{1},\dots,a_{k})$ et $\underline{b}=(b_{1},\ldots,b_{t})$ deux compositions d’un entier $n\in\mathbb{N}^{\times}$. Pour tout $1\leq i\leq k$ (resp. $1\leq j\leq t$), soient $\theta_{i}$ (resp. $\theta^{{}^{\prime}}_{j}$) l’involution de $I_{i}=[a_{1}+\dots+a_{i-1}+1,a_{1}+\dots+a_{i-1}+a_{i}]\cap\mathbb{N}$ (resp. $J_{j}=[b_{1}+\dots+b_{j-1}+1,b_{1}+\dots+b_{j}]\cap\mathbb{N}$) définie par $\theta_{i}(x)=2(a_{1}+\dots+a_{i-1})+a_{i}-x+1,\;x\in I_{i}$ (resp. $\theta^{{}^{\prime}}_{j}(y)=2(b_{1}+\dots+b_{j-1})+b_{j}-y+1,\;y\in J_{j}$). Soient $I=\cup_{1\leq i\leq k}I_{i}=\cup_{1\leq j\leq t}J_{j}=[1,n]\cap\mathbb{N}$. On associe à la paire $(\underline{a},\underline{b})$, les deux involutions $\theta_{\underline{a}}$ et $\theta_{\underline{b}}$ de $I$ telles que la restriction de $\theta_{\underline{a}}$ (resp. $\theta_{\underline{b}}$) à $I_{i}$ (resp. $J_{j}$) est égale à $\theta_{i}$ (resp. $\theta^{{}^{\prime}}_{j}$), $1\leq i\leq k$ (resp. $1\leq j\leq t$). Soit $\mathbb{K}_{(\underline{a},\underline{b})}=<\theta_{\underline{a}},\theta_{\underline{b}}>$ le groupe engendré par $\theta_{\underline{a}}$ et $\theta_{\underline{b}}$, il agit dans $I$.

On associe à la paire $(\underline{a},\underline{b})$ une sous-algèbre biparabolique de $\mathfrak{gl}(n)$ notée $\mathfrak{q}(\underline{a}\mid\underline{b})$, qui est unique à conjugaison près par le groupe $GL(n)$ (voir [1]) et un graphe noté $\Gamma(\underline{a}\mid\underline{b})$ et appelé méandre associé à $\mathfrak{q}(\underline{a}\mid\underline{b})$ ou méandre de $\mathfrak{q}(\underline{a}\mid\underline{b})$, dont les sommets sont $n$ points consécutifs situés sur une droite horizontale D et numérotés $1,2,\ldots,n$. Il est construit de la manière suivante: on relie par un arc au dessous (resp. au dessus) de la droite D toute paire de sommets distincts de $\Gamma(\underline{a}\mid\underline{b})$ de la forme $(x,\theta_{\underline{a}}(x))$ (resp. $(x,\theta_{\underline{b}}(x))$), $x\in I$.

Exemple 2.1**.**

$\Gamma(2,4,3\mid 5,2,2)$*=

Si $\underline{b}=n$, $\mathfrak{q}(\underline{a}\mid n)$ est une sous-algèbre parabolique de $\mathfrak{gl}(n)$ qu’on notera plus simplement $\mathfrak{p}(\underline{a})$, et on notera son méandre $\Gamma(\underline{a})$.

Définition 2.1**.**

[1]** Si X est un sous-graphe de $\Gamma(\underline{a}\mid\underline{b})$, on note $S_{X}$ l’ensemble des sommets de $\Gamma(\underline{a}\mid\underline{b})$ appartenant à X.

Lemme 2.1**.**

[1]** Un sous-graphe connexe X de $\Gamma(\underline{a}\mid\underline{b})$ est une composante connexe si et seulement si $S_{X}$ est une $\mathbb{K}_{(\underline{a}\mid\underline{b})}$-orbite.

Définition 2.2**.**

[1*]** Une composante connexe X de $\Gamma(\underline{a}\mid\underline{b})$ est dite un cycle si tout $x\in S_{X}$ est distinct de $\theta_{\underline{a}}(x)$ et de $\theta_{\underline{b}}(x)$.

Une composante connexe X de $\Gamma(\underline{a}\mid\underline{b})$ est dite un segment si elle n’est pas un cycle $($i.e. il existe $x\in S_{X}$ vérifiant $\theta_{\underline{a}}(x)=x$ ou $\theta_{\underline{b}}(x)=x)$.*

Théorème 2.1**.**

[5]** Soient $\mathfrak{q}(\underline{a}\mid\underline{b})$ une sous-algèbre biparabolique de $\mathfrak{gl}(n)$ et $\Gamma(\underline{a}\mid\underline{b})$ son méandre, on a :

[TABLE]

Remarque 2.1**.**

Si $\mathfrak{q}(\underline{a}\mid\underline{b})$ est une sous-algèbre biparabolique de $\mathfrak{gl}(n)$, alors $\mathfrak{q}_{s}(\underline{a}\mid\underline{b}):=\mathfrak{q}(\underline{a}\mid\underline{b})\cap\mathfrak{sl}(n)$ est une sous-algèbre biparabolique de $\mathfrak{sl}(n)$ et $\chi(\mathfrak{q}_{s}(\underline{a}\mid\underline{b}))=\chi(\mathfrak{q}(\underline{a}\mid\underline{b}))-1$.

Lemme 2.2**.**

Soient $\underline{a}=(a_{1},\ldots,a_{k})$ et $\underline{b}=(b_{1},\ldots,b_{t})$ deux compositions de n. Si on pose $\underline{a}^{{}^{\prime}}=(a_{k},\ldots,a_{1})$ et $\underline{b}^{{}^{\prime}}=(b_{t},\ldots,b_{1})$, on a :

$\chi[\mathfrak{q}(\underline{a}\mid\underline{b})]=\chi[\mathfrak{q}(\underline{b}\mid\underline{a})]$. 2. 2)

$\chi[\mathfrak{q}(\underline{a}\mid\underline{b})]=\chi[\mathfrak{q}(\underline{a}^{{}^{\prime}}\mid\underline{b}^{{}^{\prime}})]$. 3. 3)

$\chi[\mathfrak{q}(\underline{a}\mid\underline{b})]=\chi[\mathfrak{p}(a_{1},\dots,a_{k},b_{t},\dots,b_{1})]$. 4. 4)

Soit $t_{i}=(a_{1}+\cdots+a_{i})-(a_{i+1}+\cdots+a_{k}),\;1\leq i\leq k-1$, on a:

$\chi[\mathfrak{p}(a_{1},\ldots,a_{k})]=\begin{cases}\chi[\mathfrak{q}(a_{1},\ldots,a_{i}\mid a_{k},\ldots,a_{i+1},t_{i})]\;si\;t_{i}\geq 0\\ \chi[\mathfrak{q}(a_{1},\ldots,a_{i},-t_{i}\mid a_{k},\ldots,a_{i+1})]\;si\;t_{i}<0\end{cases}\\$** 5. 5)

Supposons qu’il existe $1\leq i<k$ et $i+1<i^{{}^{\prime}}\leq k$ tels que $a_{1}+\cdots+a_{i}=a_{i^{{}^{\prime}}}+\cdots+a_{k}$, alors : $\chi[\mathfrak{p}(\underline{a})]=\chi[\mathfrak{p}(a_{1},\ldots,a_{i},a_{i^{{}^{\prime}}},\ldots,a_{k})]+\chi[\mathfrak{p}(a_{i+1},\ldots,a_{i^{{}^{\prime}}-1})]$ . 6. 6)

Supposons qu’il existe $1\leq i<k$ et $1\leq j<t$ tels que $a_{1}+\cdots+a_{i}=b_{1}+\cdots+b_{j}$, alors : $\chi[\mathfrak{q}(\underline{a}\mid\underline{b})]=\chi[\mathfrak{q}(a_{1},\ldots,a_{i}\mid b_{1},\ldots,b_{j})]+\chi[\mathfrak{q}(a_{i+1},\ldots,a_{k}\mid b_{j+1},\ldots,b_{t})]$ .

Démonstration.

Remarquons que $\mathbb{K}_{(\underline{a},\underline{b})}=\mathbb{K}_{(\underline{b},\underline{a})}$, par suite $\Gamma(\underline{b}\mid\underline{a})$ et $\Gamma(\underline{a}\mid\underline{b})$ ont les mêmes composantes connexes. Le résultat se déduit du théorème 2.1. 2. 2)

Soit $\theta$ l’involution de $I$ définie par $\theta(x)=n-x+1,\;x\in I$. On a $\theta_{\underline{a}^{{}^{\prime}}}=\theta\theta_{\underline{a}}\theta$ et $\theta_{\underline{b}^{{}^{\prime}}}=\theta\theta_{\underline{b}}\theta$, par suite $\mathbb{K}_{(\underline{a}^{{}^{\prime}},\underline{b}^{{}^{\prime}})}$ est le conjugué de $\mathbb{K}_{(\underline{a},\underline{b})}$ par $\theta$. De plus, un point $x\in I$ est invariant par $\theta_{\underline{a}}$ (resp. $\theta_{\underline{b}}$) si et seulement si $\theta(x)$ est invariant par $\theta_{\underline{a}^{{}^{\prime}}}$ (resp. $\theta_{\underline{b}^{{}^{\prime}}}$). D’où $\Gamma(\underline{a}\mid\underline{b})$ et $\Gamma(\underline{a}^{{}^{\prime}}\mid\underline{b}^{{}^{\prime}})$ ont les mêmes composantes connexes. 3. 3)

Soient $\underline{c}=(a_{1},\cdots,a_{k},b_{t},\cdots,b_{1})$, $I^{{}^{\prime}}=[1,2n]\cap\mathbb{N}$ et $\theta$ l’involution de $I^{{}^{\prime}}$ définie par $\theta(x)=2n-x+1,\;x\in I^{{}^{\prime}}$. Alors $\theta_{\underline{a}}$ (resp. $\theta_{\underline{b}}$) est la restriction à $I$ de $\theta_{\underline{c}}$ (resp. $\theta\theta_{\underline{c}}\theta$). Par suite, prendre l’intersection avec $I$, induit une bijection de l’ensemble des $\mathbb{K}_{(\underline{c},2n)}$-orbites de $I^{{}^{\prime}}$ sur l’ensemble des $\mathbb{K}_{(\underline{a},\underline{b})}$-orbites de $I$. De plus, un point $x\in I$ est invariant par $\theta_{\underline{b}}$ si et seulement si $\theta(x)$ est invariant par $\theta_{\underline{c}}$. D’où, il existe une bijection de l’ensemble des composantes connexes de $\Gamma(\underline{a}\mid\underline{b})$ sur celui des composantes connexes de $\Gamma(\underline{c}\mid 2n)$ qui conserve le nombre de cycles, ainsi que le nombre de segments. Le résultat se déduit du théorème 2.1. 4. 4)

Supposons $t_{i}\geq 0$, le résultat se démontre de la même manière que $3)$(voir figure 1).

Supposons $t_{i}\leq 0$, on a :

[TABLE] 5. 5)

Résulte du fait que $\Gamma(\underline{a}\mid\underline{b})$ est réunion disjointe des méandres $\Gamma(a_{1},\ldots,a_{i},a_{i^{{}^{\prime}}},\ldots,a_{k})$ et $\Gamma(a_{i+1},\ldots,a_{i^{{}^{\prime}}-1})$. 6. 6)

Résulte de 3) et 5).

∎

Lemme 2.3**.**

• *Soient $(a_{1},\ldots,a_{k})$ une composition de n, $d_{k}=-(a_{1}+\cdots+a_{k-1})$ et $d_{i}=(a_{1}+\cdots+a_{i-1})-(a_{i+1}+\cdots+a_{k})$, $1\leq i\leq k-1$. On a *

$\chi[\mathfrak{p}(a_{1},\ldots,a_{k})]=\chi[\mathfrak{p}(a_{1},\ldots,a_{i},|a_{i}+d_{i}|,a_{i+1},\ldots,a_{k})]$, $1\leq i\leq k-1$.

• 2)

Pour tout $1\leq i\leq k$ tel que $a_{i}+d_{i}\geq 0$, on a :

[TABLE]

Démonstration.

Soit $1\leq i\leq k-1$. Si $a_{i}+d_{i}\geq 0$, D’après le 4) puis le 3) du lemme 2.2, on a :

[TABLE]

De même, si $a_{i}+d_{i}\leq 0$, on a :

[TABLE] 2. 2)

Pour tout $2\leq i\leq k-1$ tel que $a_{i}+d_{i}\geq 0$, considérons la composition $\underline{b}^{i}=(b^{i}_{1},\ldots,b^{i}_{k})$ où $b^{i}_{j}=a_{j}$ si $j\neq i$ et $b^{i}_{i}=a_{i}+d_{i}$. Soit $T^{i}_{i-1}=(b^{i}_{1}+\dots+b^{i}_{i-2})-(b^{i}_{i}+\dots+b^{i}_{k}),\;2\leq i\leq k-1$. On vérifie que $|b^{i}_{i-1}+T^{i}_{i-1}|=a_{i},\;2\leq i\leq k-1$. Il résulte de 1) que pour tout $2\leq i\leq k-1$, on a :

[TABLE]

D’où le résultat pour $2\leq i\leq k-1$.

Supposons $a_{1}+d_{1}\geq 0$, il résulte de lemme 2.2 que :

[TABLE]

D’où le résultat pour $i=1$.

Puisque $\chi[\mathfrak{p}(a_{1},\ldots,a_{k})]=\chi[\mathfrak{p}(a_{k},\ldots,a_{1})]$, on en déduit alors le résultat pour $i=k$.

∎

Exemple 2.2**.**

*Soit $\Gamma(5,1,2,4)$. Puisque $|5+1-4|=2$, alors $\chi[\mathfrak{p}(5,1,2,4)]=\chi[\mathfrak{p}(5,1,4)]$. Aussi $|5-4|=1$, alors $\chi[\mathfrak{p}(5,1,4)]=\chi[\mathfrak{p}(5,4)]=1$.

$\Gamma(5,1,2,4)$=

$\Gamma(5,1,4)$=

$\Gamma(5,4)$=

Le théorème suivant est une conséquense imédiate des lemmes 2.2 et 2.3.

Théorème 2.2**.**

Soient $\mathfrak{p}(a_{1},\ldots,a_{k})$ une sous-algèbre parabolique de $\mathfrak{gl}(n)$, $d_{k}=-(a_{1}+\cdots+a_{k-1})$ et $d_{i}=(a_{1}+\cdots+a_{i-1})-(a_{i+1}+\cdots+a_{k})$, $1\leq i\leq k-1$. Soit $1\leq i\leq k$.

Supposons que $d_{i}\neq 0$. Pour tout $\alpha\in\mathbb{Z}$ tel que $a_{i}+\alpha|d_{i}|\geq 0$, on a

[TABLE]

En particulier, on a*

[TABLE]

• 2)

Supposons que $d_{i}=0$. Alors, on a

[TABLE]

Lemme 2.4**.**

Si $k\geq 2$ est un entier, il n’existe pas de k-uplet $(a_{1},\ldots,a_{k})$ de réels vérifiant les inégalités

[TABLE]

Démonstration.

On peut ramener la démonstration au cas $a_{k}<a_{1}+\cdots+a_{k-1}$, en particulier l’ensemble $\Xi:=\{1\leq i\leq k-1\;tel\;que\;a_{1}+\cdots+a_{i}>a_{i+1}+\cdots+a_{k}\}$ est non vide ($k-1\in\Xi$). Soit $i_{0}=\inf\{i\in\Xi\}$, on voit alors que $i_{0}$ vérifie $a_{1}+\cdots+a_{i_{0}-1}\leq a_{i_{0}}+\cdots+a_{k}$ et $a_{1}+\cdots+a_{i_{0}}>a_{i_{0}+1}+\cdots+a_{k}$, en particulier $a_{i_{0}}\geq|a_{1}+\cdots+a_{i_{0}-1}-(a_{i_{0}+1}+\cdots+a_{k})|$. D’où le résultat. ∎

Remarque 2.2**.**

Il suit du lemme précédent et du lemme 2.2 que le théorème 2.2 donne un algorithme pour le calcul de l’indice des sous-algèbres biparaboliques de $\mathfrak{gl}(n)$.

Exemple 2.3**.**

[TABLE]

Théorème 2.3**.**

Pour tous $a_{1},a_{2}\;et\;a_{3}\in\mathbb{N}^{\times}$, on a :

$\chi[\mathfrak{p}(a_{1},a_{2})]=a_{1}\wedge a_{2}$.

• 2)

$\chi[\mathfrak{p}(a_{1},a_{2},a_{3})]=(a_{1}+a_{2})\wedge(a_{2}+a_{3})$.

Démonstration.

C’est clair d’après le théorème 2.2.

• 2)

Soit $n=a_{1}+a_{2}+a_{3}$, le résultat est vrai pour $n=3$ puisque $\chi[\mathfrak{p}(1,1,1)]=2$. Supposons que $n>3$, si $a_{1}=a_{3}$, le résultat est vrai d’après le lemme 2.2, si $a_{1}\neq a_{3}$, il suit du lemme 2.4 que les entiers naturels $a_{1},a_{2}$ et $a_{3}$ vérifient l’une des conditions suivantes :

i) $a_{1}\geq a_{2}+a_{3}$

ii) $a_{3}\geq a_{1}+a_{2}$

iii) $a_{2}\geq|a_{1}-a_{3}|$

En appliquant le théorème 2.2, le résultat s’en déduit par récurrence sur $n$.

∎

Corollaire 2.1**.**

Soient $a,b,c,\alpha\in\mathbb{N}^{\times}$, on a :

$\chi[\mathfrak{p}(\alpha(a+b+c),a,b,c)]=\chi[\mathfrak{p}(a,\alpha|a-b-c|,b,c)]=\chi[\mathfrak{p}(a,b,\alpha|a+b-c|,c)]=\chi[\mathfrak{p}(a,b,c)]$**

• 2)

Supposons $(a+b)\wedge(b+c)=1$, les sous-algèbres $\mathfrak{p}_{s}(a,b,c)$,$\mathfrak{p}_{s}(\alpha(a+b+c),a,b,c)$, $\mathfrak{p}_{s}(a,\alpha|a-b-c|,b,c)$, $\mathfrak{p}_{s}(a,b,\alpha|a+b-c|,c)$ et $\mathfrak{p}_{s}(a,b,c,\alpha(a+b+c))$ sont des sous-algèbres de Frobenius de $\mathfrak{sl}(n)$.

Lemme 2.5**.**

Pour tout $r\in\mathbb{N}^{\times}$ et (\alpha_{1},\ldots,\alpha_{r})\in{\color[rgb]{0,0,0}(\mathbb{N}^{\times})^{r}}, on pose $a_{0}=1$, $a_{i}=\alpha_{i}(a_{0}+\dots+a_{i-1}),\;1\leq i\leq r$ et $n=a_{0}+\dots+a_{r}$. Alors $\mathfrak{p}_{s}(a_{0},\ldots,a_{r})$ est une sous-algèbre de Frobenius de $\mathfrak{sl}(n)$.

Démonstration.

Il suffit de remarquer que $a_{i}[a_{0}+\dots+a_{i-1}]=0,\;1\leq i\leq r$. Le résultat découle du théorème 2.2. ∎

Lemme 2.6**.**

Soit $(a_{1},\cdots,a_{k})$ une composition d’un entier $n\in\mathbb{N}^{\times}$. Pour tout $\alpha\in\mathbb{N}^{\times}$, on a :

[TABLE]

En particulier, $(a_{1}\wedge\ldots\wedge a_{k})$ divise $\chi[\mathfrak{p}(a_{1},\cdots,a_{k})]$.

Démonstration.

On a $\chi[\mathfrak{p}(\alpha)]=\alpha=\alpha\chi[\mathfrak{p}(1)]$, d’où le résultat pour $n=1$. Soient $d_{k}=-(a_{1}+\cdots+a_{k-1})$ et $d_{i}=(a_{1}+\cdots+a_{i-1})-(a_{i+1}+\cdots+a_{k})$, $1\leq i\leq k-1$. D’après le lemme 2.4, il existe $1\leq i\leq k$ vérifiant $a_{i}\geq|d_{i}|$. Supposons que $d_{i}=0$, alors $\chi[\mathfrak{p}(\alpha a_{1},\cdots,\alpha a_{k})]=\alpha a_{i}+\chi[\mathfrak{p}(\alpha a_{1},\cdots,\alpha a_{i-1},\alpha a_{i+1},\cdots,\alpha a_{k})]$, sinon, d’après le théorème 2.2, on a $\chi[\mathfrak{p}(\alpha a_{1},\cdots,\alpha a_{k})]=\chi[\mathfrak{p}(\alpha a_{1},\cdots,\alpha a_{i-1},\alpha(a_{i}[|d_{i}|]),\alpha a_{i+1},\cdots,\alpha a_{k})]$

Le résultat s’ensuit alors par récurrence sur $n$. ∎

Lemme 2.7**.**

Pour tous $a,k\in\mathbb{N}$ tel que $a>1$, on a :

[TABLE]

Démonstration.

On a $\chi[\mathfrak{p}(1)]=\chi[\mathfrak{p}(1,a)]=1$, si bien que le résultat est vraie pour $k=0$ et $k=1$. Supposons que $k\geq 2$, d’après le théorème 2.2, on a :

[TABLE]

Le résultat s’obtient alors par récurrence sur $k$. ∎

Lemme 2.8**.**

Soient $(a_{1},\ldots,a_{k})$ une composition de n, $d_{k}=-(a_{1}+\cdots+a_{k-1})$ et $d_{i}=(a_{1}+\cdots+a_{i-1})-(a_{i+1}+\cdots+a_{k})$, $1\leq i\leq k$.

Supposons $a_{i}+d_{i}\geq 0$ pour $2\leq i\leq k-1$, alors :

[TABLE]

• 2)

Supposons $a_{1}+d_{1}\leq 0$, alors :

[TABLE]

• 3)

Supposons $a_{k}+d_{k}\leq 0$, alors :

[TABLE]

Démonstration.

D’après le lemme 2.2, on a :

[TABLE]

Il résulte du théorème 2.2 que :

[TABLE]

• 2)

D’après le lemme 2.2, on a :

[TABLE]

Il résulte du théorème 2.2 que :

[TABLE]

Enfin, on a :

[TABLE]

• 3)

Résulte de 2) et du fait que $\chi[\mathfrak{p}(a_{1},\ldots,a_{k})]=\chi[\mathfrak{p}(a_{k},\ldots,a_{1})]$.

∎

Corollaire 2.2**.**

*Soient $\underline{a}=(a_{1},\ldots,a_{k})$, $\underline{b}=(b_{1},\ldots,b_{t})$ deux compositions de n, $\tilde{a}_{i}=a_{i}+\cdots+a_{k}$, $1<i\leq k$, et $\tilde{b}_{i}=b_{1}+\cdots+b_{i}$, $1\leq i\leq t$. On a :

*Pour tout $1<i\leq k$,

---

[TABLE] 2. 2)

*Pour tout $1\leq i\leq t$,

---

[TABLE]

Démonstration.

D’après le théorème 2.2 et le 1) du lemme 2.8, on a :

[TABLE]

Supposons $a_{1}\geq 2\tilde{a}_{i}$, alors $2n-a_{1}-2\tilde{a}_{i}\geq 2(n-a_{1})$. D’après le théorème 2.2, on a :

[TABLE]

Supposons $a_{1}<2\tilde{a}_{i}$, on distingue deux cas :

Si $n\geq 2\tilde{a}_{i}$, il suit du théorème 2.2, puis du lemme 2.8 que l’on a :

[TABLE]

Si $n<2\tilde{a}_{i}$, il suit du lemme 2.8, puis du théorème 2.2 que l’on a :

[TABLE] 2. 2)

C’est une conséquense imédiate de 1) et du lemme 2.2.

∎

Théorème 2.4**.**

Soient a et b deux entiers naturels non nuls, on a :

[TABLE]

Démonstration.

Comme $\chi[\mathfrak{p}(a,a,a,b)]=\chi[\mathfrak{p}(b,a,a,a)]$, il suit du lemme 2.8 que l’on a :

$\chi[\mathfrak{p}(a,a,a,b)]=\chi[\mathfrak{p}(a,a,a,b[a])]$. On peut se ramener alors au cas $b<a$.

Mais alors, appliquant le lemme 2.8 et le résultat précédent, on a :

[TABLE]

On peut supposer alors que $2b<a$.

D’après le théorème 2.2, on a :

[TABLE]

Supposons $a=1$, alors $\chi[\mathfrak{p}(1,1,1,b)]=\chi[\mathfrak{p}(1,1,1,b[3])]$. Or, $\chi[\mathfrak{p}(1,1,1)]=\chi[\mathfrak{p}(1,1,1,1)]=\chi[\mathfrak{p}(1,1,1,2)]=2$. Par suite, le résultat est vrai pour $a=1$.

D’autre part on a :

$(a[2b]-(a\wedge b))\wedge(a[2b]+(a\wedge b))=(a-(a\wedge b))\wedge(a+(a\wedge b))$

Le résultat s’obtient alors par récurrence sur $a$ .

∎

Corollaire 2.3**.**

• (1)

$\chi[\mathfrak{p}(a,a,a,b)]=\begin{cases}2(a\wedge b)\;si\;a\;est\;impair\\ (a\wedge b)\;si\;a\;est\;pair\;et\;b\;est\;impair\\ \end{cases}$**

• (2)

$\chi[\mathfrak{p}(a,a,a,b)]=1$* si et seulement si a est pair et $a\wedge b=1$*

Théorème 2.5**.**

Soient $a,b,c,d\in\mathbb{N}^{\times}$, on a :

Supposons $(a+b+c)\wedge(b+c+d)\geq b+c$, alors :

[TABLE] 2. 2)

Supposons $(a+b+c)\wedge(c+d)\geq a+b$, alors :

[TABLE] 3. 3)

Supposons $(a+b)\wedge(b+c+d)\geq c+d$, alors :

[TABLE] 4. 4)

Supposons $a>d$ et $(b+a-d)\wedge(b+c)\geq a-d$, alors :

[TABLE]

Démonstration.

soient $a^{{}^{\prime}}=a+b+c,\;d^{{}^{\prime}}=b+c+d$ et $p=a^{{}^{\prime}}\wedge d^{{}^{\prime}}$. On a

[TABLE]

Supposons qu’il existe $\alpha\in\mathbb{N}$ tel que $a^{{}^{\prime}}-\alpha d^{{}^{\prime}}\geq b+c$, il résulte du théorème 2.2 que

[TABLE]

De même, s’il existe $\alpha\in\mathbb{N}$ tel que $d^{{}^{\prime}}-\alpha a^{{}^{\prime}}\geq b+c$, on a

[TABLE]

Or, par hypoths̀e, on a $p\geq b+c$. Ainsi, si on applique successivement le 1) du théorème 2.2, on se ramène au cas :

[TABLE]

Maintenant, si on utilise le 5) du lemme 2.2, on obtient

[TABLE]

Il suit alors du théorème 2.3 que l’on a :

[TABLE]

D’où le résultat. 2. 2)

Comme $\chi[\mathfrak{p}(a,b,c,d)]=\chi[\mathfrak{p}(d,c,b,a)]$, il suit du lemme 2.8 que si $c+d\geq a+b$, on a :

[TABLE]

Mais alors, si $(d+c)\wedge(a+b+c)\geq a+b$, il résulte du 1) que l’on a :

[TABLE]

D’où le résultat. 3. 3)

Résulte de 2) et du fait que $\chi[\mathfrak{p}(a,b,c,d)]=\chi[\mathfrak{p}(d,c,b,a)]$. 4. 4)

Soit $p=(b+a-d)\wedge(b+c)\geq a-d\geq 0$, la réduction du théorème 2.2 donne :

[TABLE]

∎

Lemme 2.9**.**

Soient $(a_{1},\ldots,a_{k})$ une composition de $n$ et $(b_{1},\ldots,b_{t})$ une composition de $n^{{}^{\prime}}$ avec $n\geq n^{\prime}$.

Supposons que $a_{1}>a_{k}$, on a :

[TABLE]

• 2)

Il existe une composition $(d_{1},\ldots,d_{s})$ de $n-n^{{}^{\prime}}$ et $\alpha\in\mathbb{N}$ telle que, $pour\;tout\;(c_{1},\ldots,c_{m})\in\mathbb{N}^{m}$,**

[TABLE]

.

Démonstration.

D’après le 3) du lemme 2.8, on a :

[TABLE]

D’après le théorème 2.2, on a :

[TABLE]

• 2)

D’après 1), on a :

[TABLE]

Le résultat s’ensuit par récurrence sur l’entier $n^{{}^{\prime}}$.

∎

Lemme 2.10**.**

Soient $(a,b_{1},\ldots,b_{t})\in(\mathbb{N^{*}})^{t+1}$ et $b=b_{1}+\cdots+b_{t}$. On a :

Si $a\geq 2b$, alors : $\chi[\mathfrak{p}(b_{1},\ldots,b_{t},\underbrace{a-2b,\ldots,a-2b}_{r},\underbrace{a,\ldots,a}_{n},\underbrace{a-2b,\ldots,a-2b}_{r})]=\\ \chi[\mathfrak{p}(b_{1},\ldots,b_{t},\underbrace{a-2b,\ldots,a-2b}_{n+2r})]$, pour tout $(r,n)\in\mathbb{N}^{2}$.

• 2)

Si $b<a<2b$, alors : $\chi[\mathfrak{p}(b_{1},\ldots,b_{t},\underbrace{a,\ldots,a}_{n})]=\chi[\mathfrak{p}(b_{t},\ldots,b_{1},\underbrace{2b-a,\ldots,2b-a}_{n})]$, pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Démonstration.

Il est clair que le résultat est vrai pour $n=0$. Pour $n=1$, le résultat découle du théorème 2.2. Supposons que $n\geq 2$.

D’après le lemme 2.9, il existe une composition $(d_{1},\ldots,d_{s})$ de $b$ et un entier $\alpha\geq 0$ tels que pour tout $(a_{1},\dots,a_{n})\in\mathbb{N}^{n}$, on a :

[TABLE]

En particulier, on a

[TABLE]

D’après le corollaire 2.2, on a :

[TABLE]

D’autre part on a : $2(d_{1}+\cdots+d_{s}+a-2b)=2(a-b)\geq a$. Il suit du corollaire 2.2, que l’on a :

$\chi[\mathfrak{p}(\underbrace{a,\ldots,a}_{n-1},d_{1},\ldots,d_{s},a-2b)]=\chi[\mathfrak{p}(d_{1},\ldots,d_{s},a-2b,\underbrace{a,\ldots,a}_{n-2},a-2b)]$. D’où :

$\chi[\mathfrak{p}(b_{1},\ldots,b_{t},\underbrace{a-2b,\ldots,a-2b}_{r},\underbrace{a,\ldots,a}_{n},\underbrace{a-2b,\ldots,a-2b}_{r})]=\\ \chi[\mathfrak{p}(b_{1},\ldots,b_{t},\underbrace{a-2b,\ldots,a-2b}_{r+1},\underbrace{a,\ldots,a}_{n-2},\underbrace{a-2b,\ldots,a-2b}_{r+1})]$. Le résultat s’ensuit par récurrence sur l’entier $n$.

• 2)

D’après le lemme 2.9, il existe une composition $(d_{1},\ldots,d_{s})\in\mathbb{N}^{s}$ de $a-b$ et un entier $\alpha\geq 0$ tels que pour tout $(a_{1},\dots,a_{n-1})\in\mathbb{N}^{n-1}$, on a :

$\chi[\mathfrak{p}(b_{1},\ldots,b_{t},a_{1},\ldots,a_{n-1},a)]=\alpha+\chi[\mathfrak{p}(d_{1},\ldots,d_{s},a_{1},\ldots,a_{n-1})]$

En particulier, on a

$\chi[\mathfrak{p}(b_{1},\ldots,b_{t},\underbrace{a,\ldots,a}_{n})]=\alpha+\chi[\mathfrak{p}(d_{1},\ldots,d_{s},\underbrace{a,\ldots,a}_{n-1})]$.

Puisque $a>2(a-b)$, on déduit alors de 1) que :

[TABLE]

Il suit du corollaire 2.2 que l’on a :

[TABLE]

D’où le résultat.

∎

Théorème 2.6**.**

Soient $I=\{(a,b)\in\mathbb{N^{\times}}^{2}\mid a\;est\;impair\;ou\;b\;est\;impair\}$, $m\in\mathbb{N}^{\times}$ et $\phi_{m}$ la fonction définie sur $I$ par :

[TABLE]

Pour tous $a,b,m\in\mathbb{N^{\times}}$, on a :

[TABLE]

.

Démonstration.

Si $m=1$, le résultat est vrai puisque $\phi_{1}(\frac{a}{a\wedge b},\frac{b}{a\wedge b})=1$. Supposons $m>1$.

Supposons $a=1$, on a :

$\chi[\mathfrak{p}(\underbrace{1,\ldots,1}_{m},b)]=\chi[\mathfrak{p}(\underbrace{1,\ldots,1}_{m},b[m])]=\chi[\mathfrak{p}(\underbrace{1,\ldots,1}_{b[m]})]+\chi[\mathfrak{p}(\underbrace{1,\ldots,1}_{m-b[m]})]=[\frac{b[m]+1}{2}]+[\frac{m-b[m]+1}{2}]=\phi_{m}(1,b[m])=\phi_{m}(1,b)$. D’où le résultat pour $a=1$.

D’après le lemme 2.8, on a :

[TABLE]

et $\chi[\mathfrak{p}(\underbrace{a,\ldots,a}_{m},b)]=\chi[\mathfrak{p}(\underbrace{a,\ldots,a}_{m},ma-b)]$ si $b\leq ma$. Par suite, on peut se ramener au cas où $b\leq a$.

D’après le lemme 2.10, on a :

[TABLE]

Supposons que $a=2b$, alors $\chi[\mathfrak{p}(\underbrace{a,\ldots,a}_{m},b)]=b$. Le résultat est vrai vue que $\phi_{m}(\frac{a}{a\wedge b},\frac{b}{a\wedge b})=\phi_{m}(2,1)=1$. Supposons que $a\neq 2b$, on vérifie que $\phi_{m}(\frac{a}{a\wedge b},\frac{b}{a\wedge b})=\phi_{m}(\frac{|a-2b|}{|a-2b|\wedge b},\frac{b}{|a-2b|\wedge b})$. Le résultat s’ensuit alors par récurrence sur $a$. ∎

Corollaire 2.4**.**

$\chi[\mathfrak{p}(\underbrace{a,\ldots,a}_{m},b)]=1$* si et seulement si $a\wedge b=1$ et de plus l’une des conditions suivantes est vérifiée*

• (i)

m=1

• (ii)

$a$* est pair, $b$ est impair*

• (iii)

$a$* est impair, $b$ est pair et $m=2$*

3. quelques propriétés sur le méandre

Soient $\underline{a}=(a_{1},\ldots,a_{k})$ une composition de $n$, $\mathfrak{p}(\underline{a})$ une sous-algèbre parabolique de $\mathfrak{gl}(n)$ et $\Gamma(\underline{a})$ son méandre. Si X est un cycle de $\Gamma(\underline{a})$, il existe un entier $s>1$, appelé dimension de X et $k\in\mathbb{N}^{\times}$ tels que les sommets de X sont de la forme $x_{1}<x_{1}+s-1<x_{2}<\ldots<x_{k}<x_{k}+s-1$ (voir [1]). Si $s>2$, pour tous $1\leq i\leq k$ et $x_{i}\leq y\leq x_{i}+s-1$, on dit que le cycle (resp. segment) Y, tel que $y\in S_{Y}$, est à l’intérieur de X. Le cycle X est dit maximal s’il n’est pas à l’intérieur d’un autre cycle, auquel cas, sa dimension est donnée par $\dim(X)=2\mathop{\mathrm{card}}${cycles se trouvant à l’intérieur}$+\mathop{\mathrm{card}}${segments se trouvant à l’intérieur}$+2$ (voir [8]) . Par convention, un segment X qui n’est pas contenu dans un cycle est considéré comme un cycle maximal de dimension 1. Il suit du théorème 2.1 que l’indice de $\mathfrak{p}(\underline{a})$ est égal à la somme des dimensions des cycles maximaux de $\Gamma(\underline{a})$.

Remarque 3.1**.**

• i)

Un sommet $x$ est l’extrémité d’un segment de $\Gamma(\underline{a})$ si et seulement si, il existe $1\leq i\leq k$ tels que $a_{i}$ est impair et $x=a_{1}+\dots+a_{i-1}+[\frac{a_{i}+1}{2}]$ ou $n$ est impair et $x=\frac{n+1}{2}$.

• ii)

Un cycle maximal de $\Gamma(\underline{a})$ de dimension 1 peut être réduit à ** un* point $x$. On vérifie dans ce cas, que $n$ est un entier impair, et de plus, il existe $1\leq i\leq k$ tels que $a_{i}=1$ et $x=a_{1}+\dots+a_{i}=\frac{n+1}{2}$.*

Définition 3.1**.**

Soient X un cycle maximal de $\Gamma(\underline{a})$ de dimension $s>1$ et $x_{1}<x_{1}+s-1<x_{2}<\ldots<x_{k}<x_{k}+s-1$ les sommets de X. On appelle bout de X un arc de X joignant deux sommets de la forme $x_{i}$ et $x_{i}+s-1$.

Lemme 3.1**.**

[1]** Tout cycle maximal de $\Gamma(\underline{a})$ de dimension $s>1$ a exactement deux bouts.

Définition 3.2**.**

On dira que deux méandres $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ sont équivalents s’il existe une bijection de l’ensemble des composantes connexes de $\Gamma_{1}$ sur l’ensemble des composantes connexes de $\Gamma_{2}$ qui conserve le nombre de cycles maximaux, ainsi que leurs dimensions.

Compte tenu des réductions utilisées dans la preuve du lemme 2.2 dont découle le théorème 2.2, on déduit le lemme suivant :

Lemme 3.2**.**

Soit $(a_{1},\ldots,a_{k})$ une composition, $d_{k}=-(a_{1}+\cdots+a_{k-1})$ et $d_{i}=(a_{1}+\cdots+a_{i-1})-(a_{i+1}+\cdots+a_{k})$, $1\leq i\leq k-1$. Pour tout $1\leq i\leq k$ tel que $d_{i}\neq 0$, les méandres $\Gamma(a_{1},\ldots,a_{k})$ et $\Gamma(a_{1},\ldots,a_{i-1},a_{i}[|d_{i}|],a_{i+1},\ldots,a_{k})$ sont équivalents.

Lemme 3.3**.**

Pour tous $a_{1},a_{2}\in\mathbb{N}^{\times}$, le méandre $\Gamma(a_{1},a_{2})$ contient un seul cycle maximal de dimension $a_{1}\wedge a_{2}$. 2. 2)

Pour tous $a_{1},a_{2},a_{3}\in\mathbb{N}^{\times}$, le méandre $\Gamma(a_{1},a_{2},a_{3})$ contient deux cycles maximaux de dimensions respectives $p-a_{2}[p]$ et $a_{2}[p]$, où $p=(a_{1}+a_{2})\wedge(a_{2}+a_{3})$. 3. 3)

Soit $a,b,m\in\mathbb{N}^{\times}$ et $\phi_{m}$ la fonction définie au théorème 2.6, le méandre $\Gamma(\underbrace{a,\ldots,a}_{m},b)$ contient $\phi_{m}(\frac{a}{a\wedge b},\frac{b}{a\wedge b})$ cycles maximaux, chaque cycle est de dimension $(a\wedge b)$.

Démonstration.

Le méandre $\Gamma(1,1)$ est un segment, d’où le résultat pour $a_{1}=a_{2}=1$. Il suit du lemme 3.2 qu’un raisonnement par récurrence sur la somme $a_{1}+a_{2}$ donne le résultat.

• 2)

Le méandre $\Gamma(1,1,1)$ est composé de deux segments, d’où le résultat pour $a_{1}=a_{2}=a_{3}=1$. D’autre part, le méandre $\Gamma(a_{1},a_{2},a_{1})$ est composé de deux cycles maximaux de dimensions respectives $a_{1}$ et $a_{2}$, d’où le résultat pour $a_{1}=a_{3}$. De même, il suit du lemme 3.2 que le résultat s’obtient par récurrence sur la somme $a_{1}+a_{2}+a_{3}$ .

• 3)

Le méandre $\Gamma(\underbrace{1,\ldots,1}_{m+1})$ est composé de $[\frac{m+2}{2}]$ segments, d’où le résultat pour $a=b=1$. D’autre part, on a vu dans la preuve du théorème 2.6 qu’on peut se ramener au cas où $b\leq a$ et que

[TABLE]

Comme toutes les réductions utilisées dans cette preuve découlent du théorème 2.2, il suit du lemme 3.2 que si $a\geq 2b$ (resp. $a<2b$), le méandre $\Gamma(\underbrace{a,\ldots,a}_{m},b)$ et le méandre $\Gamma(\underbrace{a-2b,\ldots,a-2b}_{m},b)$ (resp. $\Gamma(\underbrace{2b-a,\ldots,2b-a}_{m},b)$) sont équivalents. Le résultat s’ensuit par récurrence sur $a$.

∎

Remarque 3.2**.**

Les assertions 1) et 2) du lemme précédent sont donnés d’une manière indépendante dans [2].

Lemme 3.4**.**

Soit $r$ le nombre de cycles maximaux de $\Gamma(a_{1},\ldots,a_{k})$, on a :

[TABLE] 2. 2)

$\Gamma(a_{1},\ldots,a_{k})$* contient un seul cycle maximal si est seulement si $\chi[\mathfrak{p}(a_{1},\ldots,a_{k})]=a_{1}\wedge a_{2}\wedge\ldots\wedge a_{k}$.*

Démonstration.

On pose $n=a_{1}+\dots+a_{k}$, $a_{k+1}=-n$,

$I_{i}=[a_{1}+\dots+a_{i-1}+1,a_{1}+\dots+a_{i}],\;1\leq i\leq k$ et $I_{k+1}=[1,n]$. Soit $1\leq i\leq k+1$ tel que $|a_{i}|>1$. Supposons qu’il existe deux cycles maximaux distincts X et Y de $\Gamma(a_{1},\ldots,a_{k})$, $x\in I_{i}\cap S_{X}$ et $y\in I_{i}\cap S_{Y}$ tels ques $x$ et $2(a_{1}+\dots+a_{i-1})+a_{i}-x+1$ sont liés par un bout de X, $y$ et $2(a_{1}+\dots+a_{i-1})+a_{i}-y+1$ sont liés par un bout de Y. On voit alors que, soit le sommet $x$ est compris entre les sommets $y$ et $2(a_{1}+\dots+a_{i-1})+a_{i}-y+1$, soit le sommet $y$ est compris entre les sommets $x$ et $2(a_{1}+\dots+a_{i-1})+a_{i}-x+1$. Il s’ensuit que l’un des deux cycles X et Y est à l’intérieur de l’autre, ce qui impossible. Il en résulte que pour tout $1\leq i\leq k+1$, il existe au plus un sommet x\leq{\color[rgb]{0,0,0}a_{1}+\cdots+a_{i-1}+}[\frac{a_{i}}{2}] appartenant à $I_{i}$ tel que $x$ et $2(a_{1}+\dots+a_{i-1})+a_{i}-x+1$ sont liés par un bout d’un cycle maximal de $\Gamma(a_{1},\ldots,a_{k})$. Compte tenu de la remarque 3.1 et du lemme 3.1, on déduit alors que le nombre de cycles maximaux de $\Gamma(a_{1},\ldots,a_{k})$ est majoré par $[\frac{k+1}{2}]$. 2. 2)

Pour tout $n\in\mathbb{N}^{\times}$, le méandre $\Gamma(\underbrace{1,\ldots,1}_{n})$ est composé de $[\frac{n+1}{2}]$ segments, où chaque segment est considéré un cycle maximal de dimension $1$, et le méandre $\Gamma(\underbrace{\alpha,\ldots,\alpha}_{n})$ est composé de $[\frac{n+1}{2}]$ cycles maximaux, où chaque cycle est de dimension $\alpha$.

Soit $1\leq i\leq k$, supposons que $d_{i}=0$ (voir les définitions des $d_{i}$ dans l’énoncé du lemme 3.2), le méandre $\Gamma(a_{1},\ldots,a_{k})$ est composé d’un cycle maximal de dimension $a_{i}$ et du méandre $\Gamma(a_{1},\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_{k})$, alors que le méandre $\Gamma(\alpha a_{1},\ldots,\alpha a_{k})$ est composé d’un cycle maximal de dimension $\alpha a_{i}$ et du méandre $\Gamma(\alpha a_{1},\ldots,\alpha a_{i-1},\alpha a_{i+1},\ldots,\alpha a_{k})$. Supposons que $d_{i}\neq 0$, il résulte du lemme 3.2 que les méandres $\Gamma(a_{1},\ldots,a_{k})$ et

$\Gamma(a_{1},\ldots,a_{i-1},a_{i}[|d_{i}|],a_{i+1},\ldots,a_{k})$ sont équivalents, aussi que les méandres

$\Gamma(\alpha a_{1},\ldots,\alpha a_{k})$ et $\Gamma(\alpha a_{1},\ldots,\alpha a_{i-1},\alpha(a_{i}[|d_{i}|]),\alpha a_{i+1},\ldots,\alpha a_{k})$ sont équivalents. Il s’ensuit qu’un raisonnement par récurrence sur la somme $a_{1}+\dots+a_{k}$ implique que les méandres $\Gamma(a_{1},\ldots,a_{k})$ et $\Gamma(\alpha a_{1},\ldots,\alpha a_{k})$ ont le même nombre de cycles maximaux, appelons-les respectivement $X_{1},\ldots,X_{e}$ et $\tilde{X}_{1},\ldots,\tilde{X}_{e}$, et qu’ils peuvent être numérotés de sorte que $\dim(\tilde{X}_{i})=\alpha\dim(X_{i}),\;1\leq i\leq e$. On en déduit alors que le PGCD de $a_{1},\ldots,a_{k}$ divise la dimension de chaque cycle maximal de $\Gamma(a_{1},\ldots,a_{k})$. En particulier, si $\chi[\mathfrak{p}(a_{1},\ldots,a_{k})]=a_{1}\wedge\ldots\wedge a_{k}$, alors $\Gamma(a_{1},\ldots,a_{k})$ contient un seul cycle maximal.

Réciproquement, supposons que $\Gamma(a_{1},\ldots,a_{k})$ contient un seul cycle maximal de dimension $s$, alors $s$ divise $a_{i}$, $1\leq i\leq k$, d’où $s$ divise le PGCD de $a_{1},\ldots,a_{k}$, et par suite $\chi[\mathfrak{p}(a_{1},\ldots,a_{k})]=s=a_{1}\wedge\ldots\wedge a_{k}$.

∎

Références

• [1]

M. Bouhani – «  Formes linéaires de type réductif et unipotent  », J. Lie Theory 29 (2019), no. 1, p. 143–179.

• [2]

V. Col, M. Hyatt, A. Dougherty & N. Mayers – «  Frobenius seaweed Lie algebras III  », J. Gen. Lie Theory Appl. (2017), 11: 266. doi: 10.4172/1736-4337.1000266.

• [3]

V. Col, M. Hyatt, C. Magnant & H. Wang – «  Frobenius seaweed Lie algebras II  », J. Gen. Lie Theory Appl. (2015), 9: 227. doi:10.4172/1736-4337.1000227.

• [4]

V. Coll, C. Magnant & H. Wang – «  Families of Frobenius seaweed Lie algebras  », ArXiv 1204.5266 (2012).

• [5]

V. Dergachev & A. A. Kirillov – «  Index of Lie algebras of seaweed type  », J. Lie Theory 10 (2010), no. 2, p. 331–343.

• [6]

A. G. Elashvili – «  On the index of parabolic subalgebras of semi-simple Lie algebras   », Preprint (1990).

• [7]

A. Karnauhova & S. Liebscher – «  Connected components of meanders: I. bi-rainbow meanders  », Discrete & Continuous Dynamical Systems - A (2017), p. 4835–4856, 37 (9) : doi: 10.3934/dcds.2017208.

• [8]

A. Moreau & O. Yakimova – «  Coadjoint orbits of reductive type of parabolic and seaweed Lie subalgebras  », Int. Math. Res. Not. IMRN (2012), no. 19, p. 4475–4519.