Le th\'eor\`eme de r\'eduction stable de Deligne et Mumford

TL;DR

The paper explains the stable reduction theorem of Deligne and Mumford, which is key to understanding the compactification of the moduli space of algebraic curves by including stable curves with controlled singularities.

Contribution

It introduces the concepts of stable curves and the stable reduction theorem, providing foundational understanding of the compactification of moduli spaces of curves.

Findings

Construction of the projective compactification of the moduli space.

Proof of the properness of the compactification.

Relation between stable reduction and the geometry of moduli spaces.

Abstract

The stable reduction theorem of Deligne and Mumford --- The moduli space of smooth projective curves of genus $g$ is a quasi-projective algebraic variety, but is not projective. To understand its geometry, it may be crucial to consider compactifications of this space. By allowing to parameterize as well curves with controlled singularities (the so called stable curves), Deligne and Mumford constructed a projective compactification. The properness of this compactification translates into the stable reduction theorem that they prove, its projectivity is a later theorem of Knudsen and Mumford. This text is based on the oral presentation and aims at introducing these objects.

Equations

$$g(X)=\dim (H^0(X,{\Omega }_X^1))=\dim (H^1(X,{\mathcal{O}}_X)).$$

$$\mathrm{deg}({\Omega }_X^1)=2g-2.$$

$$3g-3=\dim (H^0(X,({\Omega }_X^1{)}^{\otimes 2}).$$

$$\dim (H^0(X,({\Omega }_X^1{)}^{\otimes 3}))=3(2g-2)+1-g=5g-5,$$

$$P_{\iota (X)}(n)$$

$$=3n(2g-2)+1-g=(6n-1)(g-1).$$

$$g(C)={\dim }_k(H^1(C,{\mathcal{O}}_C)).$$

$$-E^2=E\cdot ({\mathcal{S}}_0^{\prime }-E)$$

Full text

\alttitle

The stable reduction theorem of Deligne and Mumford {altabstract} The moduli space of smooth projective curves of genus $g$ is a quasi-projective algebraic variety, but is not projective. To understand its geometry, it may be crucial to consider compactifications of this space. By allowing to parameterize as well curves with controlled singularities (the so called stable curves), Deligne and Mumford constructed a projective compactification. The properness of this compactification translates into the stable reduction theorem that they prove, its projectivity is a later theorem of Knudsen and Mumford. This text is based on the oral presentation and aims at introducing these objects.

1 Surfaces de Riemann

Les objets de base auxquels on s’intéresse ici sont les surfaces de Riemann compactes (connexes, non vides). Du point de vue topologique, leur classification est très simple, puisqu’elles sont distinguées par leur genre qui est un entier positif ou nul. Pour $g=0$, il s’agit de la sphère $\mathbf{S}_{2}$; pour $g=1$, il s’agit d’un tore $(\mathbf{S}_{1})^{2}$; pour $g\geq 2$, on obtient des «   tores à $g$ trous   ». Cependant, les surfaces de Riemann sont plus que leur espace topologique sous-jacent, puisqu’elles sont munies d’une structure complexe supplémentaire et, en tant que telles, leur classification est plus délicate. Le genre apparaît alors via le théorème de Riemann–Roch: c’est la dimension de l’espace des formes différentielles holomorphes, ou bien, avec un peu d’anachronisme, la dimension du premier groupe de cohomologie cohérente:

[TABLE]

Aussi, une forme différentielle méromorphe (non identiquement nulle) possède $2g-2$ zéros comptés avec multiplicités, les éventuels pôles étant comptés négativement:

[TABLE]

Pour $g=0$, il n’y a qu’un modèle, la droite projective complexe $\mathbf{P}_{1}(\mathbf{C})$, que l’on obtient en adjoignant au plan complexe $\mathbf{C}$ un point à l’infini, et la notion de fonction holomorphe au voisinage de l’infini étant donnée par le changement de variable $z^{\prime}=1/z$. Pour $g=1$, on parle de courbes elliptiques; elles s’obtiennent comme quotient du plan complexe $\mathbf{C}$ par un réseau $\Lambda$, et deux tels quotients $\mathbf{C}/\Lambda$ et $\mathbf{C}/\Lambda^{\prime}$ donnent lieu à la même courbe elliptique s’il existe un nombre complexe non nul $a$ tel que $\Lambda^{\prime}=a\Lambda$. À homothétie près, on peut ainsi choisir une base de $\Lambda$ de la forme $(1,\tau)$, où $\tau$ est un élément du demi-plan de Poincaré $\mathfrak{h}$, et la classification des courbes elliptiques revient alors à l’étude du quotient du demi-plan de Poincaré par l’action du groupe $\operatorname{SL}(2,\mathbf{Z})$ agissant par homographies.

C’est le cas des surfaces de Riemann de genre $g\geq 2$ qui fait l’objet de cet exposé, et nous adopterons un point de vue algébrique: d’après le théorème d’existence de Riemann, toute surface de Riemann compacte connexe peut être considérée comme une courbe projective lisse connexe sur le corps des nombres complexes. De nombreux aspects de leur étude s’étendent au cas des courbes sur un corps arbitraire, et même sur un anneau arbitraire; le théorème de Deligne et Mumford évoqué par le titre de cet exposé en est un exemple remarquable.

Riemann avait déjà observé qu’une telle surface dépend de $3g-3$ paramètres complexes, qu’il appelle modules. Fricke et Teichmüller ont étudié plus précisément l’ensemble des structures complexes sur une surface topologique orientée, modulo isotopies ; l’espace de Teichmüller qu’on obtient alors est une boule de l’espace $\mathbf{C}^{3g-3}$. Dans la théorie des déformations introduites par Kuranishi, l’entier $3g-3$ apparaît comme la dimension de l’espace des formes différentielles holomorphes de degré $2$:

[TABLE]

Mais c’est à Mumford qu’on doit la construction de «   l’espace des courbes de genre $g\geq 2$   » : une variété algébrique complexe $M_{g}$ munie d’une bijection de l’ensemble des classes d’isomorphie de courbes projectives de genre $g$ sur l’ensemble des points complexes $M_{g}(\mathbf{C})$ de cette variété, bijection qui est naturelle au sens suivant: pour toute famille $\mathcal{C}\to S$ de courbes projectives de genre $g$, l’application de $S(\mathbf{C})$ dans $M_{g}(\mathbf{C})$ donnée par $s\mapsto[\mathcal{C}_{s}]$ est régulière. Cela demande de préciser la notion de famille: il s’agit ici d’un morphisme propre et lisse dont toutes les fibres $\mathcal{C}_{s}$ en tout point $s\in S(\mathbf{C})$ sont des courbes de genre $g$. L’espace $M_{g}$ est lisse, de dimension $3g-3$, quasi-projectif. Si $d$ est un entier $\geq g+1$, Severi a démontré que toute courbe de genre $g$ peut être vue comme un revêtement de degré $d$ de la sphère de Riemann, dont la ramification est le plus simple possible (au plus un point double dans chaque fibre), puis, utilisant les travaux de Hurwitz et Clebsch, en a déduit que $M_{g}$ est connexe.

En fait, Mumford a construit un schéma $M_{g}$ sur $\mathbf{Z}$, qui paramètre les courbes algébriques de genre $g$ sur tout corps algébriquement clos. La connexité de ses fibres est le résultat principal de l’article de Deligne et Mumford. Fulton avait pu étendre l’approche de Severi à la caractéristique assez grande.

Pour la construction de Mumford, deux propriétés géométriques d’une courbe $X$ de genre $g\geq 2$ sont fondamentales:

Comme $3(2g-2)\geq 2g+1$, le fibré tricanonique $(\Omega^{1}_{X})^{\otimes 3}$ est très ample; 2. 2.

Le groupe d’automorphismes de $X$ est fini (précisément, on a l’inégalité de Hurwitz $\operatorname{Card}(\operatorname{Aut}(X))\leq 42(2g-2)$.

Comme

[TABLE]

la première propriété entraîne que toute courbe de genre $g\geq 2$ peut être plongée dans l’espace projectif $\mathbf{P}_{5g-6}$ et permet d’appliquer la théorie des schémas de Hilbert, due à Grothendieck, qui construit ainsi l’ensemble des sous-schémas fermés de polynôme de Hilbert donné d’un espace projectif. En effet, le polynôme de Hilbert de l’image $\iota(X)$ est déterminé: pour tout entier $n\geq 1$, on a

[TABLE]

On peut alors démontrer que $\iota(X)$ est définie par des équations homogènes dont le degré est contrôlé et représenter $\iota(X)$ par le sous-espace de ses équations de tel degré parmi l’espace des polynômes homogènes de ce même degré. Le schéma de Hilbert $H_{g}$ des courbes tricanoniquement plongées apparaît ainsi comme sous-schéma d’une variété grassmannienne.

La seconde étape de la construction consiste à «   oublier   » le choix d’un plongement, c’est-à-dire à passer au quotient l’espace $H_{g}$ par l’action naturelle du groupe $\operatorname{PGL}(5g-5,\mathbf{C})$. C’est là qu’intervient la théorie géométrique des invariants développée par Mumford. Il démontre en effet que l’algèbre graduée des «   polynômes   » sur $H_{g}$ qui sont invariants sous l’action du groupe $\operatorname{PGL}(5g-5,\mathbf{C})$ est de type fini, et que des points de $H_{g}$ qui ne sont pas dans la même orbite sont distingués par ces polynômes invariants. (C’est là qu’intervient la finitude du groupe d’automorphismes.) L’espace de modules $M_{g}$ n’est alors autre qu’un ouvert du spectre projectif de cette algèbre graudée.

Par construction, l’espace $M_{g}$ ainsi construit est quasi-projectif. Pour en comprendre les propriétés géométriques de $M_{g}$, il est nécessaire de le compactifier d’une façon naturelle. La façon qu’ont proposée Deligne et Mumford consiste à lui adjoindre des courbes qui soient assez singulières (pour ajouter assez de points), mais pas trop (pour que la compactification obtenue reste raisonnable); c’est la notion de courbe stable.

2 Courbes stables

Deligne et Mumford appellent courbe stable sur un corps $k$ algébriquement clos un schéma $C$ propre, connexe, réduit, de dimension $1$ vérifiant les deux propriétés suivantes:

Ses singularités sont des points doubles ordinaires; 2. 2.

Si $E$ est une composante irréductible lisse de $C$ de genre [math], alors $E$ rencontre les autres composantes en au moins trois points.

Il y a plusieurs façons de donner un sens précis à la première propriété. On peut la formuler pour la «   topologie étale   » : $C$ est alors localement croisement de deux axes de coordonnées. On peut aussi décrire les anneaux locaux complétés : pour tout point singulier $c\in C$, il existe un isomorphisme de $k[[x,y]]/(xy-a)$ sur $\widehat{\mathcal{O}_{C,c}}$. On appelle alors genre d’une telle courbe stable $C$ la dimension du premier groupe de cohomologie cohérente:

[TABLE]

On observe que cette notion est stable par extension de corps algébriquement clos.

Les singularités d’une courbe stable $C$ sont les plus simples possibles ; elles garantissent l’existence d’un faisceau dualisant $\omega_{C}$ qui est localement libre de rang $1$. Sa description est également très simple. Notons $p\colon C^{\prime}\to C$ la normalisation de $C$; si $z_{1},\dots,z_{n}$ sont les points singuliers de $C$, notons $x_{i},y_{i}$ les deux antécédents de $z_{i}$ par $p$. Alors, le faisceau $p^{-1}(\omega_{C})$ s’identifie au sous-faisceau de $\Omega^{1}_{C^{\prime}}(\sum x_{i}+\sum y_{i})$, faisceau des formes différentielles sur $C^{\prime}$ à pôles au plus simples en les $x_{i}$ et $y_{i}$, formé des formes différentielles $\omega$ telles que, pour tout $i$, la somme des résidus de $\omega$ en $x_{i}$ et $y_{i}$ soit nulle.

Grâce à la seconde propriété de la définition d’une courbe stable, on démontre que $\omega_{C}^{\otimes n}$ est très ample pour $n\geq 3$ et plonge $C$ dans $\mathbf{P}_{5g-6}$; son image est un sous-schéma fermé de polynôme de Hilbert $(6n-1)(g-1)$. De plus, le groupe d’automorphismes d’une courbe stable $C$ est fini.

Deligne et Mumford construisent alors un espace de modules $\overline{M}_{g}$ des courbes stables de genre $g$ sur $\mathbf{Z}$. C’est un schéma de type fini sur $\mathbf{Z}$ muni, pour tout corps algébriquement clos $k$, d’une bijection de l’ensemble des classes d’isomorphie de courbe stable de genre $g$ sur l’ensemble $\overline{M}_{g}(k)$, de sorte que pour toute famille $\mathcal{C}\to S$ de courbes stables de genre $g$, l’application $s\mapsto[\mathcal{C}_{s}]$ de $S$ dans $\overline{M}_{g}$ soit régulière. Là aussi, il faut préciser la notion de famille: il s’agit d’un morphisme $\mathcal{C}\to S$ propre et plat dont les fibres géométriques soient des courbes stables de genre $g$. Plus explicitement : pour tout point $s$ de $S$, le schéma $\mathcal{C}_{s}$ sur $\overline{\kappa(s)}$ soit une courbe stable, où $\kappa(s)$ est une clôture algébrique du corps résiduel $\kappa(s)$ de $s$. Toute courbe lisse de genre $g$ est évidemment stable, de sorte que l’espace $M_{g}$ apparaît comme une partie de $\overline{M}_{g}$, ouverte et dense.

C’est une compactification de l’espace des modules des courbes. En fait, Deligne et Mumford construisent un objet plus général et plus précis que $\overline{M}_{g}$ dans lequel on garde une trace des automorphismes des courbes stables : c’est le champ des modules $\overline{\mathcal{M}}_{g}$ des courbes stables de genre $g$. Il y a (dans la catégorie des champs algébriques) un morphisme canonique $\overline{\mathcal{M}}_{g}\to\overline{M}_{g}$ qui fait de l’espace de modules des courbes stables l’espace grossier de ce champ.

Le champ $\overline{\mathcal{M}}_{g}$ est propre et lisse sur $\mathbf{Z}$, de dimension relative $3g-3$, à fibres géométriques connexes (Deligne, Mumford). L’espace de modules grossier $\overline{M}_{g}$ est projectif (Gieseker, Knudsen, Mumford). On peut également décrire précisément le complémentaire $\overline{\mathcal{M}}_{g}\setminus\mathcal{M}_{g}$ du champ des courbes lisses dans celui des courbes stables, ou bien $\overline{M}_{g}\setminus M_{g}$ de l’espace grossier des courbes lisses dans celui des courbes stables.

Une fois la construction de ce champ acquise, sa lissité découle de la théorie des déformations des courbes stables. Sa propreté sera discutée au paragraphe suivant, et la connexité de ses fibres en découle, car on sait déjà qu’il en est ainsi de sa fibre au-dessus du point générique de $\operatorname{Spec}(\mathbf{Z})$, par la théorie classique.

3 Le théorème de réduction stable

On l’a déjà annoncé au paragraphe précédent, le champ $\overline{\mathcal{M}}_{g}$ des courbes stables de genre $g$ est propre. Le théorème de réduction stable de Deligne et Mumford est la traduction géométrique du critère valuatif de propreté pour ce champ.

La partie «   existence   » de ce critère est le théorème suivant: Soit $R$ un anneau de valuation discrète et soit $K$ son corps des fractions, soit $C$ une courbe projective lisse connexe de genre $g\geq 2$ sur $K$. Il existe une extension finie $K^{\prime}$ de $K$ et, notant $R^{\prime}$ la clôture intégrale de $R$ dans $K^{\prime}$, une famille stable $\mathcal{C}^{\prime}\to\operatorname{Spec}(R^{\prime})$ de fibre générique $\mathcal{C}^{\prime}_{K^{\prime}}=C_{K^{\prime}}$.

La partie «   unicité   » affirme, quant à elle, que si $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}^{\prime}$ sont des $S$-courbes stables, le faisceau $\operatorname{Isom}_{S}(\mathcal{C},\mathcal{C}^{\prime})$ de leurs isomorphismes est fini et non ramifié sur $S$. En particulier, dans les conditions du théorème de réduction stable, la famille $\mathcal{C}^{\prime}$ est déterminée par sa fibre générique, c’est-à-dire par la courbe $C$.

L’importance du théorème de Deligne et Mumford, et sa difficulté, réside pour une grande part dans sa généralité ; en particulier, le corps résiduel de l’anneau de valuation discrète $R$ peut être de caractéristique arbitraire, et c’est la clef pour en déduire l’irréductibilité en toute caractéristique de l’espace des modules des courbes de genre $g$.

Nous allons cependant voir qu’en caractéristique zéro, ce théorème possède une démonstration assez simple.

Tout d’abord, nous allons raisonner comme si l’anneau de valuation discrète $R$ était l’anneau des fonctions holomorphes sur un disque $\Delta=D(0;1)$ du plan complexe, la courbe $C$ sur $K$ étant donnée par une surface $\mathcal{S}^{*}$ fibrée sur le disque épointé $\Delta^{*}=\Delta\setminus\{0\}$ dont les fibres sont des courbes lisses de genre $g$.

Une première étape consiste à «   prolonger   » cette surface au-dessus du point manquant [math]: on part ainsi d’une surface $\mathcal{S}$ munie d’un morphisme propre et plat $p\colon\mathcal{S}\to\Delta$ dont les fibres $\mathcal{S}_{t}$, pour $t\in\Delta^{*}$, sont des courbes lisses de genre $g$, mais dont la fibre $\mathcal{S}_{0}$ est éventuellement singulière. En utilisant le théorème de résolution des singularités des surfaces, on suppose que $\mathcal{S}$ est lisse; en utilisant également le théorème de résolution plongée des courbes, on se ramène au cas où les composantes irréductibles de $\mathcal{S}_{0}$ sont lisses et se coupent transversalement. Le diviseur de la fonction holomorphe $t$ sur $\mathcal{S}$ est de la forme $\mathcal{S}_{0}=\sum n_{i}E_{i}$: la famille $(E_{i})$ est la famille des composantes irréductibles de $\mathcal{S}_{0}$ et pour tout $i$, $n_{i}$ est la multiplicité de $E_{i}$ dans $\mathcal{S}_{0}$.

Cette première étape pourrait fonctionner en caractéristique positive, ou en caractéristique mixte, car on y dispose des théorèmes de résolution des singularités. Une seconde étape vise à éliminer les multiplicités et la méthode que nous allons utiliser ne fonctionnerait pas en caractéristique positive.

Notons $n$ le ppcm des $n_{i}$ et considérons le revêtement ramifié $\Delta^{\prime}=\Delta\to\Delta$ donné par $t\mapsto t^{n}$. Soit $\mathcal{S}^{\prime}$ la surface déduite de $\mathcal{S}$ par ce changement de base; explicitement, c’est l’ensemble des couples $s^{\prime}=(s,t)\in\mathcal{S}\times\Delta^{\prime}$ tels que $p(s)=t^{n}$, considéré comme famille au-dessus de $\Delta^{\prime}$ par la seconde projection $(s,t)\mapsto t$. Autour d’un point $s^{\prime}$ de la forme $(s,t)$ avec $t\neq 0$, la situation est aussi belle qu’auparavant, car le revêtement $\Delta^{\prime}\to\Delta$ n’est ramifié qu’au-dessus de l’origine. Pour analyser la structure locale de la surface $\mathcal{S}^{\prime}$ autour d’un point $s^{\prime}$ de la forme $(s,0)$, il y a deux cas, suivant que $s$ appartient à une seule, ou à deux composantes de $\mathcal{S}_{0}$.

a) Supposons d’abord que $s$ n’appartient qu’à une seule composante de $\mathcal{S}_{0}$, de multiplicité $a$. Alors, on peut décrire $\mathcal{S}$ au voisinage de $s$ par deux paramètres $(u,v)$ et la projection vers $\Delta$ étant donnée par $(u,v)\mapsto u^{a}$. Au voisinage de $s^{\prime}$, on décrit alors $\mathcal{S}^{\prime}$ comme l’ensemble des triplets $(u,v,t)$ tels que $u^{a}=t^{n}$ et cette équation se factorise en $\prod_{\zeta^{a}=1}(u-\zeta t^{m}))=0$, où $m=n/a$. On obtient une réunion de $a$ surfaces lisses (paramétrées par $u=\zeta t^{m}$, pour $\zeta^{a}=1$), de projection vers $\Delta$ données par $(u,v,t)\mapsto t$; leur fibre en [math] est d’équation $u=0$: il n’y a plus de multiplicité.

b) Supposons maintenant que $s$ appartient à deux composantes de $\mathcal{S}_{0}$, de multiplités $a$ et $b$. On peut encore décrire $\mathcal{S}$ au voisinage de $s$ par deux paramètre $(u,v)$ mais la projection vers $\Delta$ est maintenant donnée par $(u,v)\mapsto u^{a}v^{b}$. Posons $d=\operatorname{pgcd}(a,b)$, soit $\alpha$ et $\beta$ des entiers (premiers entre eux) tels que $a=d\alpha$ et $b=d\beta$. Soit enfin $m=n/d\alpha\beta$; c’est un entier. Le changement de base fournit la surface de $\mathbf{C}^{3}$ d’équation $u^{d\alpha}v^{d\beta}=t^{md\alpha\beta}$; elle se décompose comme la réunion des $d$ surfaces d’équations $u^{\alpha}v^{\beta}=\zeta t^{m\alpha\beta}$, où $\zeta$ parcourt les racines $d$-ièmes de l’unité. On est ainsi essentiellement ramené au cas où $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

L’hypersurface de $\mathbf{C}^{3}$ d’équation $u^{a}v^{b}=t^{abm}$ est singulière en l’origine. Démontrons que sa normalisation est l’hypersurface d’équation $xy=t^{m}$, par l’application $(x,y,t)\mapsto(x^{b},y^{a},t)$. Cette application est en effet génériquement bijective: soit $(x_{1},y_{1},t_{1})$ et $(x_{2},y_{2},t_{2})$ des points de $\mathbf{C}^{3}$ qui vérifient $x_{1}y_{1}=t_{1}^{m}$, $x_{2}y_{2}=t_{2}^{m}$ et $x_{1}^{b}=x_{2}^{b}$, $y_{1}^{b}=y_{2}^{a}$ et $t_{1}=t_{2}$; posons $\zeta=x_{2}/x_{1}$ et $\xi=y_{2}/y_{1}$; on a $\zeta^{b}=\xi^{a}=\zeta\xi=1$, donc $\zeta=\xi=1$ puisque $a$ et $b$ sont premiers entre eux. L’hypersurface d’équation $xy=t^{m}$ est singulière en l’origine, avec une singularité normale, de type $A_{m-1}$. Sa résolution explicite est bien connue, elle insère «   dans le point singulier   » une chaîne de $(m-1)$ droites projectives, toutes de multiplicité $1$.

À l’issue de cette deuxième étape, nous avons, au prix d’un revêtement ramifié du disque, prolongé la surface $\mathcal{S}^{*}$ en une surface lisse $\mathcal{S}^{\prime}$ munie d’un morphisme vers $\Delta^{\prime}$ dont la fibre centrale est réunion de composantes lisses, de multiplicités 1, qui se coupent transversalement. Pour obtenir une famille stable, il reste à assurer la seconde condition de la définition: que les composantes lisses de genre [math] coupent les autres en au moins trois points, ce qui est l’objet de la troisième étape.

Soit $(E_{i})$ la famille des composantes irréductibles de $\mathcal{S}^{\prime}_{0}$; on peut écrire une égalité de diviseurs $\mathcal{S}^{\prime}_{0}=\sum E_{i}$. La théorie de l’intersection sur la surface $\mathcal{S}^{\prime}$ permet d’écrire, si $E$ est une composante,

[TABLE]

est le nombre de points d’intersection de $E$ avec les autres composantes. Si $E$ contredit la définition d’une famille stable, on a donc $E^{2}\in\{0,-1,-2\}$. Le cas $E^{2}=0$ est impossible; il signifierait que $E$ est isolée dans sa fibre, ce qui contredit le Main theorem de Zariski. De même, ces courbes exceptionnelles se regroupent en chaînes et la théorie des surfaces permet de les contracter. On démontre que la surface $\mathcal{S}^{\prime\prime}$ qui en résulte fournit la famille stable cherchée.

4 Et après ?

La combinaison des travaux de nombreux mathématiciens effectués dans les vingt dernières années, notamment ceux de Kollár, Hacon, McKernan et Xu, a permis de généraliser ce théorème de réduction stable aux familles de variétés de dimension strictement supérieure à $1$, en caractéristique nulle.

Une première étape, assez peu différente du cas des courbes, consiste à construire une famille dont l’espace total est lisse et dont la fibre centrale est un diviseur à croisements normaux. On y parvient grâce au théorème de résolution des singularités d’Hironaka.

Une seconde étape permet de supposer que les composantes de la fibre centrale sont de multiplicité $1$. Il s’agit là du théorème de réduction semi-stable de Kempf, Knudsen, Mumford et Saint-Donat.

La dernière étape est beaucoup plus difficile et demande déjà d’avoir précisé la définition de variété stable en dimension supérieure: ce seront des variétés aux singularités semi log-canoniques pour lesquelles le faisceau canonique est ample. Son aboutissement dépend des progrès récents dans la théorie du programme des modèles minimaux (mmp).

Je renvoie à l’exposé d’Olivier Benoist au Séminaire Bourbaki pour une introduction à ces développements.

Références

• [1]

E. Arbarello, M. Cornalba & P. A. Griffiths – Geometry of algebraic curves. Volume II, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 268, Springer, Heidelberg, 2011, With a contribution by Joseph Daniel Harris.

• [2]

O. Benoist – «  Réduction stable en dimension supérieure [d’après kollár, hacon–xu…]  », Exposé no1155, http://www.bourbaki.ens.fr/TEXTES/Exp1155-Benoist.pdf.

• [3]

P. Deligne & D. Mumford – «  The irreducibility of the space of curves of given genus  », Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 36 (1969), p. 75–110.

• [4]

A. Grothendieck – «  Techniques de construction et théorèmes d’existence en géométrie algébrique. IV. Les schémas de Hilbert  », in Séminaire Bourbaki, 1960/61, vol. 6, Soc. Math. France, Paris, 1995, Exposé no221, http://www.numdam.org/item/SB_1960-1961__6__249_0, p. 249–276.

• [5]

G. Kempf, F. F. Knudsen, D. Mumford & B. Saint-Donat – Toroidal embeddings. I, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 339, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1973.

• [6]

F. F. Knudsen – «  The projectivity of the moduli space of stable curves. II. The stacks $M_{g,n}$  », Math. Scand. 52 (1983), no. 2, p. 161–199.

• [7]

— , «  The projectivity of the moduli space of stable curves. III. The line bundles on $M_{g,n}$, and a proof of the projectivity of $\overline{M}_{g,n}$ in characteristic [math]  », Math. Scand. 52 (1983), no. 2, p. 200–212.

• [8]

F. F. Knudsen & D. Mumford – «  The projectivity of the moduli space of stable curves. I. Preliminaries on “det” and “Div”  », Math. Scand. 39 (1976), no. 1, p. 19–55.

• [9]

D. Mumford, J. Fogarty & F. Kirwan – Geometric invariant theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, no. 34, Springer-Verlag, 1994.