Universal norms and Greenberg conjecture

Jean-Fran\c{c}ois Jaulent (IMB)

arXiv:1904.07014·math.NT·February 28, 2020

Universal norms and Greenberg conjecture

Jean-Fran\c{c}ois Jaulent (IMB)

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TL;DR

This paper explores the properties of universal norms in cyclotomic Z{ ext{ extonehalf}}-towers of totally real fields and examines their relation to Greenberg's conjecture on Iwasawa invariants.

Contribution

It provides new insights into the structure of universal norms and their connection to Greenberg's conjecture in Iwasawa theory.

Findings

01

Analysis of universal norms in cyclotomic towers

02

Connections established with Greenberg's conjecture

03

Potential implications for Iwasawa invariants

Abstract

We investigate the group of universal norms attached to the cyclotomic Z {\ell}-tower of a totally real number field in connection with Grenberg's conjecture on Iwasawa invariants of such a field.

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TopicsAlgebraic Geometry and Number Theory · Advanced Algebra and Geometry · Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology

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Normes universelles et conjecture de Greenberg

Jean-François Jaulent

Résumé. Nous étudions le groupe des normes universelles attaché à la ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -tour cyclotomique d’un corps de nombres totalement réel à la lumière de la conjecture de Geenberg sur la trivialité des invariants d’Iwasawa.

Abstract. We investigate the group of universal norms attached to the cyclotomic ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -tower of a totally real number field in connection with Grenberg’s conjecture on Iwasawa invariants of such a field.

Table des matières

Introduction
1 Énoncé de la conjecture en termes de normes universelles
2 Interprétation en termes de capitulation logarithmique
3 Comparaison avec la formule d’indice des unités circulaires
4 Étude du cas complètement décomposé
5 Non-trivialité du quotient normique $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}/\mathcal{N}_{K}$
Appendice: description du groupe des normes universelles

Introduction

Étant donnés un corps de nombres $K$ et un nombre premier $\ell$ arbitraires, le pro- $\ell$ -groupe des normes universelles de $K$ , étudié par Greither dans [6] et dont il est question ici, est le groupe universel pour le foncteur norme attaché à la ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -extension cyclotomique $K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}K_{n}$ de $K$ , relatif aux $\ell$ -adifiés $\,\mathcal{E}^{\prime}_{K_{n}}={\mathbb{Z}_{\ell}}\otimes_{\mathbb{Z}}E^{\prime}_{K_{n}}$ des groupes de $\ell$ -unités $E^{\prime}_{K_{n}}$ des divers étages $K_{n}$ .

C’est tout simplement l’intersection des groupes de normes $\,\mathcal{N}_{K}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}N_{K_{n}/K}(\mathcal{E}^{\prime}_{K_{n}})$ et sa définition est irréductiblement globale.

Il se présente ainsi comme un sous-groupe naturel du pro- $\ell$ -groupe des normes cyclotomiques $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}N_{K_{n}/K}(\mathcal{R}_{K_{n}})$ , défini, lui, comme intersection des groupes de normes attachés aux $\ell$ -adifiés $\mathcal{R}_{K_{n}}={\mathbb{Z}_{\ell}}\otimes_{\mathbb{Z}}K_{n}^{\times}$ des groupes multiplicatifs des $K_{n}$ , et qui peut donc être décrit localement en vertu du principe de Hasse (cf. e.g. [11], App.). De fait, $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}$ n’est rien d’autre que le pro- $\ell$ -groupe des unités logarithmiques introduit dans [9].

Le but de la présente note est de comparer ces deux groupes qui jouent un rôle central dans plusieurs questions de la Théorie d’Iwasawa et, plus précisément, d’étudier le quotient $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}/\mathcal{N}_{K}$ à la lumière de la conjecture de Greenberg (cf. [5]).

Notre point de départ est le Théorème 1 infra, qui relie l’indice $(\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}}:\mathcal{N}_{K}\,)$ au cardinal du $\ell$ -groupe des classes logarithmiques $\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}$ du corps considéré.

1 Énoncé de la conjecture en termes de normes universelles

La conjecture de Greenberg pour un nombre premier $\ell$ postule que les $\ell$ -groupes de classes d’idéaux $\,\mathcal{C}\!\ell_{K_{n}}$ attachés aux étages finis $K_{n}$ de la ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -extension cyclotomique d’un corps de nombres totalement réel $K$ sont d’ordre borné indépendamment de $n$ .

Sous la conjecture de Leopoldt, donc inconditionnellement pour $K$ abélien sur $\mathbb{Q}$ , il est bien connu que les sous-groupes sauvages $\,\mathcal{C}\!\ell_{K_{n}}^{\,\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{[\ell]}}}$ , i.e. les sous-groupes respectifs des $\mathcal{C}\!\ell_{K_{n}}^{\phantom{*}}$ construits sur les places au-dessus de $\ell$ , sont d’ordre borné; de sorte que la conjecture de Greenberg revient à postuler qu’il en est de même des quotients $\,\mathcal{C}\!\ell^{\prime}_{K_{n}}=\mathcal{C}\!\ell_{K_{n}}^{\phantom{*}}/\mathcal{C}\!\ell_{K_{n}}^{\,\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{[\ell]}}}$ , i.e. des $\ell$ -groupes de $\ell$ -classes.

En d’autres termes la Conjecture affirme que la limite projective pour les applications normes111Ce $\Lambda$ -module, dit de Kuz’min-Tate, (ou de Tate par Kuz’min [14]) est noté $\,\mathcal{T}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}$ dans [11] et $\,\mathcal{C}^{\prime}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}$ dans [13].

$\mathcal{T}^{\phantom{*}}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}=\,\mathcal{C}^{\prime}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}=\varprojlim\,\mathcal{C}\!\ell^{\prime}_{K_{n}}$

regardée comme module sur l’algèbre d’Iwasawa $\Lambda={\mathbb{Z}_{\ell}}[[\gamma-1]]$ construite sur un générateur topologique $\gamma$ du groupe procyclique $\Gamma=\operatorname{Gal}(K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}/K)$ est pseudo-nulle.

Par un argument classique de Théorie d’Iwasawa (cf. e.g. [13], Lem. 1), cela revient à postuler que le sous-module des points fixes $\,\mathcal{T}{\!}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}^{\;\Gamma}$ et le quotient de co-points fixes ${}^{\Gamma}\mathcal{T}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}$ sont deux ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -modules finis et de même ordre. Or, ces deux modules ont une interprétation simple:

—

Le quotient des genres ${}^{\Gamma}\mathcal{T}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}=\,\mathcal{T}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}/\,\mathcal{T}{\!}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}^{\;(\gamma-1)}$ n’est rien d’autre que le $\ell$ -groupe des classes logarithmiques introduit dans [9] et calculé dans [1] et [2]:

${}^{\Gamma}\mathcal{T}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}=\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}$ .

—

Et le sous-groupe ambige $\,\mathcal{T}{\!}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}^{\;\Gamma}$ est donné par un isomorphisme de Kuz’min (cf. [14], Prop. 7.5 ou e.g. [11], Th. 17, pour son interprétation logarithmique); il s’identifie au quotient

$\mathcal{T}{\!}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}^{\;\Gamma}\simeq\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}^{\phantom{*}}_{K}/\mathcal{N}_{K}$ ,

du groupe $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}$ des unités logarithmiques de $K$ par le sous-groupe $\mathcal{N}_{K}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}N_{K_{n}/K}(\mathcal{E}^{\prime}_{K_{n}})$ des normes universelles, défini comme intersection des groupes de normes de $\ell$ -unités, mais qui est encore l’intersection $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\nu}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}N_{K_{n}/K}(\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K_{n}})$ des sous-groupes de normes d’unités logarithmiques attachés aux divers étages de la tour cyclotomique (cf. Lem. 12 infra).

En résumé, il vient ainsi:

Théorème 1.

Étant donné un corps de nombres totalement réel $K$ qui vérifie la conjecture de Leopoldt pour un premier donné $\ell$ (par exemple un corps abélien réel), la conjecture de Greenberg pour le corps $K$ et le premier $\ell$ affirme exactement que l’indice du sous-groupe des normes universelles $\mathcal{N}_{K}=\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\nu}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}N_{K_{n}/K}(\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K_{n}})$ dans le pro- $\ell$ -groupe des unités logarithmiques $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}$ du corps $K$ coïncide avec le cardinal du $\ell$ -groupe des classes logarithmiques:

$(\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}}:\mathcal{N}_{K}\,)\,=\,|\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}^{\phantom{*}}|$ .

Dans la formule obtenue, le $\ell$ -groupe des classes logarithmiques $\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}$ est effectivement calculable (cf. [1, 2]) et un algorithme performant est désormais implanté dans pari (cf. [1]). Il en est de même du pro- $\ell$ -groupe $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}$ , à cette réserve près que, les unités logarithmiques étant de nature $\ell$ -adique, l’algorithme fournit un système minimal de générateurs de $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}$ déterminés à puissance $\ell^{n_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{0}}}}$ -ième près, pour tout $n_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{0}}}$ fixé à l’avance. En revanche, le sous-groupe des normes universelles, quoique bien défini dans $K$ , reste difficilement calculable. La formule du Théorème fournit ainsi un critère (conjectural) d’arrêt. Donnons tout de suite un exemple (cf. Prop. 4 infra):

Corollaire 2.

Soient $K$ un corps abélien réel de degré $d=[K:\mathbb{Q}]$ étranger à $\ell$ et de groupe $\Delta$ , puis ${\mathbb{Z}_{\ell}}[\Delta]=\bigoplus_{\varphi}{\mathbb{Z}_{\ell}}[\Delta]e_{\varphi}=\bigoplus_{\varphi}\mathbb{Z}_{\varphi}$ la décomposition semi-locale de son algèbre de Galois.

Le groupe des unités logarithmiques de $K$ , regardé comme ${\mathbb{Z}_{\ell}}[\Delta]$ -module, est alors somme directe de ses composantes isotypiques $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\,e_{\varphi}}$ , lesquelles sont $\mathbb{Z}_{\varphi}$ -monogènes (à l’exception éventuelle de la composante unité $\{\pm 1\}^{{\mathbb{Z}_{\ell}}}\times\ell^{{\mathbb{Z}_{\ell}}}$ , qui est formée exclusivement de normes unverselles).

Sous la conjecture de Greenberg, la $\varphi$ -composante isotypique $\mathcal{N}_{K}^{\,e_{\varphi}}$ du sous-groupe des normes universelles $\mathcal{N}_{K}$ est ainsi, pour chaque caractère $\varphi$ , l’unique sous-module de $\,\mathcal{E}_{K}^{\,e_{\varphi}}$ d’indice $|\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}^{\,e_{\varphi}}|$ .

2 Interprétation en termes de capitulation logarithmique

Considérons, comme dans le Théorème 1, un corps totalement réel $K$ et un nombre premier $\ell$ ; notons $K_{n}$ le $n$ -ième étage de la ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -tour cyclotomique $K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}/K$ et $\Gamma_{n}$ le groupe cyclique $\operatorname{Gal}(K_{n}/K)$ .

Le quotient $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}^{\phantom{*}}_{K}/N_{K_{n}/K}(\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K_{n}})$ s’identifie au groupe de cohomologie $H^{2}(\Gamma_{n},\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}})$ relatif à l’action de $\Gamma_{n}=\operatorname{Gal}(K_{n}/K)$ sur le $\ell$ -groupe des unités logarithmiques de $K_{n}$ . Or, sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans $K_{n}$ , donc en particulier ici sous la conjecture de Leopoldt, le quotient de Herbrand $q(\Gamma_{n},\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}})=|H^{2}(\Gamma_{n},\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}})|/|H^{1}(\Gamma_{n},\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}})|$ est égal à 1 (cf. [9], Th. 3.6); de sorte que l’on a l’égalité:

$(\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}^{\phantom{*}}_{K}:\,N_{K_{n}/K}(\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K_{n}}))=|H^{2}(\Gamma_{n},\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}})|=|H^{1}(\Gamma_{n},\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}})|$ .

D’autre part, l’extension $K_{n}/K$ étant logarithmiquement non ramifiée, le groupe $H^{1}(\Gamma_{n},\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}})$ mesure la capitulation logarithmique dans $K_{n}/K$ (cf. [9], Th. 4.5):

$H^{1}(\Gamma_{n},\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}})\simeq\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\mathcal{C}\!ap}_{K_{n}/K}=\operatorname{Ker}(\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}\to\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K_{n}})$ .

L’ordre de celle-ci étant borné par le cardinal du groupe des classes logarithmiques $\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}$ , la suite décroissante des groupes $N_{K_{n}/K}(\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K_{n}}))$ stationne donc à partir d’un certain rang, disons, $n_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{0}}}$ :

$\mathcal{N}_{K}=\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\nu}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}N_{K_{n}/K}(\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K_{n}}^{\phantom{*}})=N_{K_{n}/K}(\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K_{n}}^{\phantom{*}})$ , pour tout $n\geq n_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{0}}}$ .

Et le résultat de capitulation donné dans [13, 16] peut ainsi être précisé comme suit:

Théorème 3.

Sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans $K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}$ , l’indice des normes universelles $(\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}^{\phantom{*}}_{K}:\,\mathcal{N}_{K}^{\phantom{*}}\,)$ mesure la capitulation logarithmique dans $K_{n}/K$ pour tout $n$ assez grand:

$(\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}^{\phantom{*}}_{K}:\mathcal{N}_{K}\,)=|\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\mathcal{C}\!ap}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}/K}|=|\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\mathcal{C}\!ap}_{K_{n}/K}|$ , pour $n\gg 0$ .*

En particulier on a: $(\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}^{\phantom{*}}_{K}:\mathcal{N}_{K}\,)\leq|\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}|$ et l’égalité si et seulement si le corps $K$ vérifie la conjecture de Greenberg pour le premier $\ell$ .

Sous des hypothèses de semi-simplicité, il est facile, en outre, de raffiner l’inégalité obtenue: supposons que le corps $K$ soit abélien sur un sous-corps $F$ avec $\ell\nmid[K:F]$ et notons $\Delta=\operatorname{Gal}(K/F)$ son groupe de Galois. Dans ce cas, l’algèbre de Galois ${\mathbb{Z}_{\ell}}[\Delta]$ est un anneau semi local, produit direct d’extensions non-ramifiées $\mathbb{Z}_{\varphi}$ de ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ indexées par les caractères $\ell$ -adiques irréductibles de $\Delta$ ; ce qui permet d’écrire tout ${\mathbb{Z}_{\ell}}[\Delta]$ -module $M$ comme somme directe de ses composantes isotypiques:

$M=\oplus_{\varphi}M^{e_{\varphi}}$ , avec $e_{\varphi}=\frac{1}{|\Delta|}\sum_{\sigma\in\Delta}\varphi(\sigma)\sigma^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{-1}}}$ .

Il vient ainsi:

Proposition 4.

Sous les mêmes hypothèses et lorsque en outre le corps totalement réel $K$ est abélien sur un sous-corps $F$ de degré relatif $[K:F]$ étranger à $\ell$ , l’égalité précédente vaut pour chaque composante isotypique de l’algèbre de Galois ${\mathbb{Z}_{\ell}}[\Delta]$ associée au groupe $\Delta=\operatorname{Gal}(K/F)$ :

$(\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}^{\,e_{\varphi}}_{K}:\mathcal{N}_{K}^{\,e_{\varphi}}\,)=|\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{{\mathcal{C}!ap}}} $}\hss}}{\mathcal{C}\!ap}_{K_{n}/K}^{\,e_{\varphi}}|$ , pour $n\gg 0$ .

Ce résultat vaut, en particulier, si $K$ est un corps abélien réel de degré $[K:\mathbb{Q}]$ pour tout premier $\ell$ qui ne divise pas $[K:\mathbb{Q}]$ , auquel cas les $\varphi$ -composantes du groupe des unités logarithmiques $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}$ sont respectivement libres de dimension 1 sur l’anneau $Z_{\varphi}={\mathbb{Z}_{\ell}}[\Delta]e_{\varphi}$ .

*Preuve. *Dans le cas abélien, en effet, le corps (totalement) réel $K$ vérifie la conjecture de Leopoldt pour tout premier $\ell$ et, par suite, celle de Gross-Kuz’min; laquelle assure que le caractère de $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}$ est le caractère régulier (cf. [9], Th. 3.6). Sous l’hypothèse $\ell\nmid[K:\mathbb{Q}]$ , c’est donc le produit de son sous groupe de torsion $\mu_{K}$ (qui est trivial pour $\ell\neq 2$ ) et d’un ${\mathbb{Z}_{\ell}}[\Delta]$ -module libre de dimension 1.

*Exemple. *Pour $\ell$ impair et $K$ quadratique réel, le groupe $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}$ des unités logarithmiques de $K$ est la somme directe de sa composante unité $\ell^{\mathbb{Z}_{\ell}}$ , qui est formée de normes universelles, et de sa composante d’augmentation, qui est un ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -module libre de rang 1. En particulier, le quotient $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}^{\phantom{*}}_{K}/N_{K_{n}/K}(\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K_{n}})$ est cyclique d’ordre inférieur ou égal au degré $\ell^{n}$ de l’extension $K_{n}/K$ . Il suit de là que la capitulation logarithmique dans $K_{n}/K$ est d’ordre au plus $\ell^{n}$ . Si le groupe des classes logarithmiques $\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}$ est d’ordre $\ell^{m}$ , il faut donc monter au moins jusqu’au $m$ -ième étage de la tour cyclotomique pour le faire capituler, quel que soit l’exposant de $\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}$ .

3 Comparaison avec la formule d’indice des unités circulaires

La formule conjecturale donnée par le Théorème 1 peut être mise en parallèle avec l’identité

$(\,\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}}:\,\mathcal{E}_{K}^{\circ}\,)\,=\,|\,\mathcal{C}\!\ell_{K}^{\phantom{*}}|$ .

reliant l’indice du sous-groupe circulaire $\,\mathcal{E}_{K}^{\circ}$ dans le $\ell$ -adifié $\,\mathcal{E}_{K}={\mathbb{Z}_{\ell}}\otimes_{\mathbb{Z}}E_{K}$ du groupe des unités au cardinal $|\,\mathcal{C}\!\ell_{K}^{\phantom{*}}\,|$ du $\ell$ -groupe des classes d’idéaux, obtenue par voie analytique (cf. [22], Th. 8.2).

Donnons un exemple très simple:

Proposition 5.

Soit $\ell$ un nombre premier impair, $n_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{0}}}\geq 1$ , puis $K=\mathbb{Q}[\zeta+\zeta^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{-1}}}]$ le sous-corps réel du corps cyclotomique $\mathbb{Q}[\zeta]$ engendré par les racines $\ell^{n_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{0}}}}$ -ièmes de l’unité et $G=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ son groupe de Galois.

Le corps $K$ vérifie la conjecture de Greenberg pour $\ell$ si et seulement si le groupe $\mathcal{N}_{K}$ des normes universelles de $K$ coïncide avec le groupe circulaire $\,\mathcal{C}_{K}^{\circ}$ , multiplicativement engendré sur l’algèbre de groupe ${\mathbb{Z}_{\ell}}[G]$ par l’élément $\eta^{\phantom{*}}_{K}=(1-\zeta)(1-\zeta^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{-1}}})$ construit sur une racine primitive $\ell^{n_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{0}}}}$ -ième de l’unité $\zeta$ ; autrement dit, si l’on a: $N_{K_{n}/K}(\mathcal{E}^{\prime}_{K_{n}})=\,\mathcal{C}_{K}^{\circ}$ pour $n$ assez grand.

*Preuve. *Rappelons que le $\ell$ -groupe circulaire $\,\mathcal{C}^{\,\circ}_{K^{\prime}}$ du corps cyclotomique $K^{\prime}=\mathbb{Q}[\zeta]$ est le ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -module multiplicatif engendré par la racine primitive $\zeta$ , l’élément $\eta=1-\zeta$ et ses conjugués. Son sous-groupe réel $\,\mathcal{C}_{K}^{\circ}$ est l’image par la norme $N_{K^{\prime}/K}=1+\tau$ ou, si l’on préfère ( $\ell$ étant impair), par l’idempotent $e_{+}=\frac{1}{2}(1+\tau)$ associé à la conjugaison complexe $\tau$ . C’est donc le ${\mathbb{Z}_{\ell}}[G]$ -module engendré par $\eta_{K}^{\phantom{*}}=\eta^{(1+\tau)}$ , qui est contenu dans le $\ell$ -adifié $\,\mathcal{E}^{\prime}_{K}={\mathbb{Z}_{\ell}}\otimes_{\mathbb{Z}}E^{\prime}_{K}$ du groupe des $\ell$ -unités.

Observons d’abord que toute $\ell$ -unité $\varepsilon^{\prime}\in\mathcal{E}^{\prime}_{K}$ s’écrit de façon unique $\varepsilon^{\prime}=\eta_{K}^{\alpha}\,\varepsilon$ avec $\alpha\in{\mathbb{Z}_{\ell}}$ et $\varepsilon\in\mathcal{E}_{K}$ ; de sorte que nous avons la décomposition directe:

$\mathcal{E}^{\prime}_{K}=\,\eta_{K}^{\mathbb{Z}_{\ell}}\oplus\,\mathcal{E}_{K}$ .

Regardons maintenant le sous-groupe circulaire $\,\mathcal{C}^{\circ}_{K}$ . Il contient évidemment $\eta_{K}^{\mathbb{Z}_{\ell}}$ . Et son intersection avec le ${\mathbb{Z}_{\ell}}[G]$ -module des unités $\,\mathcal{E}_{K}$ est, par convention, le $\ell$ -groupe des unités circulaires $\,\mathcal{E}_{K}^{\circ}$ . Ainsi, de la décomposition

$\mathcal{C}^{\circ}_{K}=\,\eta_{K}^{\mathbb{Z}_{\ell}}\oplus\,\mathcal{E}^{\circ}_{K}$ ,

nous concluons:

$\mathcal{E}^{\prime}_{K}/\,\mathcal{C}_{K}^{\circ}\simeq\,\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}}/\,\mathcal{E}_{K}^{\circ}$ , puis $(\,\mathcal{E}^{\prime}_{K}:\,\mathcal{C}_{K}^{\circ}\,)=(\,\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}}:\,\mathcal{E}_{K}^{\circ}\,)=|\,\mathcal{C}\!\ell_{K}^{\phantom{*}}|$ .

Cela étant, comme l’unique place de $K$ au-dessus de $\ell$ est principale, nous avons $\,\mathcal{C}\!\ell_{K}^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{[\ell]}}}=1$ , i.e. $\,\mathcal{C}\!\ell_{K}^{\phantom{*}}=\,\mathcal{C}\!\ell_{K}^{\prime}$ . Portons enfin notre attention sur les $\ell$ -groupes logarithmiques: rappelons qu’ils sont définis en remplaçant les valuations habituelles $v_{\mathfrak{p}}$ attachées aux places finies de $K$ par leurs analogues logarithmiques $\widetilde{v}_{\mathfrak{p}}$ , lesquelles coïncident avec les précédentes pour ${\mathfrak{p}}\nmid\ell$ et vérifient en outre une formule du produit (cf. [9]). Dans le cas qui nous occupe, puisque $K$ contient une unique place au-dessus de $\ell$ et que sa ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -extension cyclotomique $K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}/K$ est totalement ramifiée, nous avons directement: $\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}^{\phantom{*}}=\,\mathcal{C}\!\ell_{K}^{\prime}$ ; ce qui nous donne: $(\,\mathcal{E}^{\prime}_{K}:\,\mathcal{C}_{K}^{\circ}\,)=|\,\mathcal{C}\!\ell^{\prime}_{K}|=|\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}^{\phantom{*}}|$ .

Enfin, toujours parce qu’il n’existe qu’une seule place au-dessus de $\ell$ , le $\ell$ -groupe $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}$ des unités logarithmiques coïncide avec $\,\mathcal{E}^{\prime}_{K}$ . En fin de compte, l’égalité précédente s’écrit aussi bien:

$(\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}:\,\mathcal{C}^{\circ}_{K}\,)=|\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}^{\phantom{*}}|$ ;

tandis que la formulation de la conjecture de Greenberg donnée par le Théorème s’écrit, elle:

$(\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}:\mathcal{N}_{K}\,)=|\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}^{\phantom{*}}|$ .

Et, comme on a l’inclusion banale $\,\mathcal{C}_{K}^{\circ}\subset\mathcal{N}_{K}$ du fait des identités normiques satisfaites par les unités circulaires $\eta^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{n}}}}=1-\zeta^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{n}}}}$ , on voit que la conjecture de Greenberg pour $K$ et $\ell$ postule tout simplement l’égalité:

$\,\mathcal{C}_{K}^{\circ}=\mathcal{N}_{K}$ ,

qui affirme que l’intersection $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}N_{K_{n}/K}(\mathcal{E}^{\prime}_{K_{n}})$ se réduit à $\,\mathcal{C}_{K}^{\circ}$ ; autrement dit, que l’on a:

$N_{K_{n}/K}(\mathcal{E}^{\prime}_{K_{n}})=\,\mathcal{C}_{K}^{\circ}$ , pour $n$ assez grand,

comme annoncé.

4 Étude du cas complètement décomposé

On peut se demander si la coïncidence entre normes universelles et éléments circulaires donnée par la proposition précédente dans le cas particulier du sous-corps réel du corps cyclotomique $\mathbb{Q}[\zeta^{\phantom{*}}_{\ell^{n}}]$ est générale. Il n’en est rien, comme le montre le cas complètement décomposé.

Pour voir cela, partons d’un corps abélien réel $K$ dans lequel $\ell$ se décompose complètement; notons $G=G_{K}$ son groupe de Galois et $f=f_{K}$ son conducteur (qui n’est donc pas divisible par $\ell$ ). Puis, pour chaque diviseur $d>1$ de $f$ , faisons choix d’une racine $d$ -ième primitive de l’unité $\zeta_{d}^{\phantom{*}}$ et posons $\eta_{d}^{\phantom{*}}=1-\zeta_{d}^{\phantom{*}}$ .

Le pro- $\ell$ -groupe des éléments circulaires (de Sinnott) $\,\mathcal{C}^{\circ}_{K}$ est alors le ${\mathbb{Z}_{\ell}}[G]$ -module multiplicatif engendré par le $\ell$ -groupe $\mu_{K}^{\phantom{*}}$ des racines de l’unité contenues dans $K$ et les normes $N_{K[\zeta_{d}]/K}(\eta_{d}^{\phantom{*}})$ des $\eta_{d}^{\phantom{*}}$ . Il est bien connu que les $\eta_{d}^{\phantom{*}}$ sont des unités, pour $d$ non primaire; des $p$ -unités, sinon. Dans tous les cas, ce sont donc des unités en $\ell$ , de sorte que l’intersection de $\,\mathcal{C}^{\circ}_{K}$ avec le $\ell$ -groupe des $\ell$ -unités $\,\mathcal{E}^{\prime}_{K}$ est contenu dans $\,\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}}$ : c’est le $\ell$ -groupe $\,\mathcal{E}^{\circ}_{K}$ des unités circulaires de Sinnott (cf. [20]).

Or, comme observé par Greither (cf. [6], p. 218, l. 11–13), on a le résultat suivant:

Proposition 6.

Pour tout corps abélien réel $K$ dans lequel le nombre premier $\ell$ est complètement décomposé l’intersection $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\circ}$ du $\ell$ -groupe circulaire $\,\mathcal{C}^{\circ}_{K}$ avec le $\ell$ -groupe de unités logarithmique $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}}$ se réduit au $\ell$ -groupe $\mu_{K}^{\phantom{*}}$ des racines de l’unité contenues dans $K$ :

$\,\mathcal{C}_{K}^{\circ}\cap\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}}=\,\mathcal{E}_{K}\cap\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\phantom{*}}=\mu_{K}^{\phantom{*}}$ .

Posant $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\circ}=\mathcal{C}_{K}^{\circ}\cap\,\mathcal{E}_{K}$ , on obtient donc, dans ce contexte:

$\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}^{\circ}=\mu_{K}^{\phantom{*}}$ ; mais $\mathcal{N}_{K}^{\phantom{*}}\simeq\mu_{K}^{\phantom{*}}\times{\mathbb{Z}_{\ell}}^{[K:\mathbb{Q}]}$ ,

puisque le groupe des normes universelles $\mathcal{N}_{K}$ est le produit de $\mu_{K}$ et d’un ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -module libre de rang $[K:\mathbb{Q}]$ , indépendamment de toute conjecture (cf. e.g. [6]).

De fait, en l’absence même de toute hypothèse d’abélianité, l’indépendance (aux racines de l’unité près) entre groupes d’unités et groupes d’unités logarithmiques dans le cas complètement décomposé se lit déjà au niveau semi-local:

Théorème 7.

Soit $K$ un corps de nombres arbitraire dans lequel le nombre premier $\ell$ se décompose complètement; puis, pour chaque place ${\mathfrak{l}}$ de $K$ au-dessus de $\ell$ , soit $\ell_{\mathfrak{l}}$ l’image canonique de $\ell$ dans le $\ell$ -adifié $\mathcal{R}_{K_{\mathfrak{l}}}=\varprojlim K_{\mathfrak{l}}^{\times}/K_{\mathfrak{l}}^{\times\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{n}}}}$ du groupe multiplicatif du complété $K_{\mathfrak{l}}$ .

Avec ces notations, le $\ell$ -adifié $\mathcal{R}_{K_{\mathfrak{l}}}$ s’écrit comme produit direct du sous-groupe des unités $\mathcal{U}_{K_{\mathfrak{l}}}=\{\pm 1\}^{\mathbb{Z}_{\ell}}(1+\ell_{\mathfrak{l}})^{\mathbb{Z}_{\ell}}$ et du sous-groupe des unités logarithmiques $\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{U}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{U}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{U}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{U}}} $}\hss}}\mathcal{U}_{K_{\mathfrak{l}}}=\ell_{\mathfrak{l}}^{\mathbb{Z}_{\ell}}$ :

$\mathcal{R}_{K_{\mathfrak{l}}}=\mathcal{U}_{K_{\mathfrak{l}}}\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{U}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{U}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{U}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{U}}} $}\hss}}\mathcal{U}_{K_{\mathfrak{l}}}=\{\pm 1\}^{\mathbb{Z}_{\ell}}(1+\ell_{\mathfrak{l}})^{\mathbb{Z}_{\ell}}\ell_{\mathfrak{l}}^{\mathbb{Z}_{\ell}}$ .

Corollaire 8.

Lorsque $K$ est totalement réel, et sous la conjecture de Leopoldt pour $\ell$ , l’application de semi-localisation $s_{\ell}$ identifie ainsi le produit $\,\mathcal{E}^{\prime}_{K}\,(1+\ell)^{\mathbb{Z}_{\ell}}$ du $\ell$ -adifié $\,\mathcal{E}^{\prime}_{K}$ du groupe des $\ell$ -unités par le ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -module libre engendré par $1+\ell$ à un sous-module d’indice fini du produit:

$\mathcal{R}_{K_{\ell}}=\prod_{{\mathfrak{l}}\mid\ell}\mathcal{R}_{K_{\mathfrak{l}}}=\prod_{{\mathfrak{l}}\mid\ell}\{\pm 1\}^{\mathbb{Z}_{\ell}}(1+\ell_{\mathfrak{l}})^{\mathbb{Z}_{\ell}}\ell_{\mathfrak{l}}^{\mathbb{Z}_{\ell}}$ .

Il suit:

$\,\mathcal{E}_{K}\,(1+\ell)^{\mathbb{Z}_{\ell}}\cap\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}=1$ , pour $\ell\neq 2$ ; $\,\mathcal{E}_{K}\,(1+\ell)^{\mathbb{Z}_{\ell}}\cap\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}=\{\pm 1\}$ , pour $\ell=2$ .

*Preuve. *Dès lors que la place $\ell$ est complètement décomposée dans $K/\mathbb{Q}$ , chacun des complétés $K_{\mathfrak{l}}$ au-dessus de $\ell$ s’identifie à $\mathbb{Q}_{\ell}$ . La décomposition des $\ell$ -adifiés $\mathcal{R}_{K_{\mathfrak{l}}}$ résulte donc directement de celle de $\mathbb{Q}_{\ell}^{\times}$ :

$\mathbb{Q}_{\ell}^{\times}=(1+\ell)^{\mathbb{Z}_{\ell}}\ell^{\mathbb{Z}}$ , pour $\ell$ impair; $\mathbb{Q}_{\ell}^{\times}=\{\pm 1\}(1+4)^{\mathbb{Z}_{\ell}}2^{\mathbb{Z}}$ , pour $\ell=2$ .

Si, de plus, $K$ vérifie la conjecture de Leopoldt pour le premier $\ell$ (cf. e.g. [10], §2.3), l’application de semi-localisation $s_{\ell}$ envoie injectivement le tensorisé $\,\mathcal{E}^{\prime}_{K}={\mathbb{Z}_{\ell}}\otimes E^{\prime}_{K}$ du groupe des $\ell$ -unités de $K$ dans le produit $\mathcal{R}_{K_{\ell}}=\prod_{{\mathfrak{l}}\mid\ell}\mathcal{R}_{K_{\mathfrak{l}}}$ et se prolonge donc, du fait de l’égalité des rangs, en un pseudo-isomorphisme injectif du produit direct $\,\mathcal{E}^{\prime}_{K}\,(1+\ell)^{\mathbb{Z}_{\ell}}$ dans $\mathcal{R}_{K_{\ell}}$ . D’où le résultat annoncé.

5 Non-trivialité du quotient normique $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}/\mathcal{N}_{K}$

Revenons au cas général: considérons un corps totalement réel $K$ et intéressons-nous à la trivialité du quotient $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}/\mathcal{N}_{K}$ sous la conjecture de Gross-Kuz’min. Notons $\,\mathcal{T}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}=\varprojlim\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K_{n}}$ le module de Kuz’min-Tate et écrivons $\,\mathcal{F}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}$ son sous-module fini. Il est bien connu que $\,\mathcal{F}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}$ est la limite projective des sous-groupes de capitulation $\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}C\!ap_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}/K_{n}}=\operatorname{Ker}\,(\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K_{n}}\to\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}})$ (cf. [8, 11, 15]:

$\,\mathcal{F}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}=\varprojlim\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}C\!ap_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}/K_{n}}$ .

De l’inclusion $\mathcal{T}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}^{\,\Gamma}\subset\,\mathcal{F}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}$ , donnée par la conjecture de Gross-Kuz’min, on tire directement:

$\mathcal{T}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}^{\,\Gamma}=1\Rightarrow\,\mathcal{F}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}^{\,\Gamma}=1\Rightarrow\,\mathcal{F}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}^{\phantom{*}}=1\,{\Rightarrow}\,\mathcal{T}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}^{\,\Gamma}=1$ .

de sorte que la trivialité de $\mathcal{T}{\!}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}^{\;\Gamma}\simeq\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}^{\phantom{*}}_{K}/\mathcal{N}_{K}$ , équivaut à celle de $\,\mathcal{F}_{K}$ , ce qui revient à postuler que les morphismes d’extension $\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K_{n}}\to\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}$ sont ultimement injectifs. Plus précisément:

Proposition 9.

Sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans $K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}$ , on a $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}=\mathcal{N}_{K}$ , i.e. $\,\mathcal{F}_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}=1$ si et seulement si le groupe des classes logarithmiques $\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}$ s’injecte dans $\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}$ , i.e. $\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}C\!ap_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}/K}=1$ .

*Preuve. *D’après la suite exacte des classes logarithmiques ambiges (cf. [9], Th. 4.5), il vient:

$\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}=\mathcal{N}_{K}\underset{n\gg 0}{\Leftrightarrow}\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}=N_{K_{n}/K}(\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K_{n}})\underset{n\gg 0}{\Leftrightarrow}H^{1}(\Gamma_{n},\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K_{n}})=1\underset{n\gg 0}{\Leftrightarrow}\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}C\!ap_{K_{n}/K}=1\underset{n\gg 0}{\Leftrightarrow}\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.86108pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{C!ap}} $}\hss}}C\!ap_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}/K}=1$ .

Ainsi, il suffit que $\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}$ s’injecte dans $\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}$ , pour qu’il en soit de même de tous les $\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K_{n}}$ .

*Remarque. *La condition $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}/\mathcal{N}_{K}=1$ peut être regardée comme un critère suffisant de la conjecture de Gross-Kuz’min, a priori moins exigeant que la condition $\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathcal{C}!\ell}} $}\hss}}\mathcal{C}\!\ell_{K}=1$ . Pour $K$ totalement réel cependant, la conjecture de Greenberg postule qu’elles sont équivalentes, en vertu du Théorème 1.

Il peut être intéressant de donner un critère suffisant effectif de non-trivialité de $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}/\mathcal{N}_{K}$ .

Partons d’un corps totalement réel $K$ , supposons pour simplifier $\ell\neq 2$ et notons $L=F[\zeta+\bar{\zeta}]$ le sous-corps réel du corps $N=F[\zeta]$ engendré sur $F$ par une racine $\ell$ -ième primitive de l’unité $\zeta$ . Écrivons enfin $|\mu^{\phantom{*}}_{L}|=\ell^{m}$ l’ordre du $\ell$ -groupe des racines de l’unité dans $N$ ; notons $N_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}=\bigcup N_{n}$ la ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -tour cyclotomique de $N$ (avec, donc, $N_{n}=K[\zeta^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m+n}}}}$ ); et introduisons les radicaux universels ${\mathfrak{R}}_{L}=(\mathbb{Q}_{\ell}/{\mathbb{Z}_{\ell}})\otimes_{\mathbb{Z}}L_{\phantom{*}}^{\times}\subset{\mathfrak{R}}_{N_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}}=(\mathbb{Q}_{\ell}/{\mathbb{Z}_{\ell}})\otimes_{\mathbb{Z}}N_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}^{\times}$ (cf. [7]); puis considérons:

—

le sous-radical normique ${}^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m}}}}\!{\mathfrak{N}}_{L}=\{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{-m}}}\otimes x\in{\mathfrak{R}}_{L}\,|\,x\in\mathcal{N}_{L}\}$ , image des normes universelles;

—

le radical logarithmique ${}^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m}}}}\!\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}\mathfrak{E}_{L}=\{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{-m}}}\otimes x\in{\mathfrak{R}}_{L}\,|\,x\in\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{L}\}\subset(\mathbb{Q}_{\ell}/{\mathbb{Z}_{\ell}})\otimes_{\mathbb{Z}_{\ell}}\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{L}$ ;

—

le radical initial ${}^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m}}}}{\mathfrak{Z}}_{L}=\{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{-m}}}\otimes x\in{\mathfrak{R}}_{L}\,|\,N_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}[\sqrt[\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m}}}]{x}]\subset Z\}=\operatorname{Rad}(Z/N_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}})$ attaché au compositum $Z$ des ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -extensions de $N$ ;

—

et le noyau universel de Tate ${}^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m}}}}{\mathfrak{U}}_{L}=\{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{-m}}}\otimes x\in{\mathfrak{R}}_{L}\,|\,\{\zeta_{\ell_{\phantom{*}}^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m}}}}^{\phantom{*}},x\}=1\;{\rm dans}\;K_{2}(N)\}$ .

Il est bien connu que ${}^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m}}}}{\mathfrak{U}}_{L}$ est un $(\mathbb{Z}/\ell^{m}\mathbb{Z})$ -module libre de dimension $[L:\mathbb{Q}]$ ; qu’il en est de même de ${}^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m}}}}\!\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}\mathfrak{E}_{L}$ sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans $N$ , et de ${}^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m}}}}{\mathfrak{Z}}_{L}$ sous celle de Leopoldt; qu’enfin ${}^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m}}}}\!{\mathfrak{N}}_{L}$ est contenu dans chacun des trois précédents (cf. [8, 11, 12, 15, 17, 18, 19, 21]. En particulier, il ne peut coïncider avec ${}^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m}}}}\!\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}\mathfrak{E}_{L}$ que s’il coïncide avec les trois. Descendant alors par la norme (ou par l’idempotent $\frac{1}{[L:K]}N_{L/K})$ de l’algèbre de Galois ${\mathbb{Z}_{\ell}}[\operatorname{Gal}(L/K)]$ , nous en déduisons:

Théorème 10 (Critère de non-trivialité).

Sous les conjectures de Leopoldt et de Gross-Kuz’min dans $N$ (par exemple lorsque le corps $K$ est abélien sur $\mathbb{Q}$ ), le quotient normique $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K}/\mathcal{N}_{K}$ ne peut être trivial que s’il y a coïncidence entre le radical logarithmique ${}^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m}}}}\!\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}\mathfrak{E}_{K}$ , le radical initial attaché aux ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -extensions ${}^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m}}}}{\mathfrak{Z}}_{K}$ et le noyau universel de Tate ${}^{\phantom{*}}_{\ell^{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{m}}}}{\mathfrak{U}}_{K}$ .

Scolie 11.

Lorsque $K$ est un corps abélien réel de degré $d=[K:\mathbb{Q}]$ étranger à $\ell$ et de groupe de Galois $\Delta=\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ , le résultat vaut pour chaque composante isotypique de l’algèbre semi-locale ${\mathbb{Z}_{\ell}}[\Delta]$ ; en d’autres termes, pour chaque caractère $\ell$ -adique irréductible $\varphi$ de $\Delta$ on a l’implication:

$\mathcal{F}_{K}^{\,e_{\varphi}}=1\quad\Leftrightarrow\quad\mathcal{N}^{\,e_{\varphi}}_{K}=\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}^{\,e_{\varphi}}_{K}\quad\Rightarrow\quad{}^{\phantom{*}}_{\ell}\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-1.29167pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{\mathfrak{E}}} $}\hss}}\mathfrak{E}^{\,e_{\varphi}}_{K}={}^{\phantom{*}}_{\ell}{\mathfrak{Z}}^{\,e_{\varphi}}_{K}={}^{\phantom{*}}_{\ell}{\mathfrak{U}}^{\,e_{\varphi}}_{K}$ .

Appendice: description du groupe des normes universelles

L’interprétation des normes universelles comme normes logarithmiques s’obtient comme suit:

Lemme 12.

Soient $\ell$ un nombre premier, $K$ un corps de nombres et $K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}K_{n}$ sa ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -extension cyclotomique. Pour tout ensemble fini $S$ de places finies de $K$ contenant celles au-dessus de $\ell$ , l’intersection $\mathcal{N}_{K}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}N_{K_{n}/K}(\mathcal{E}^{S}_{K_{n}})$ des groupes normiques attachés aux $\ell$ -adifiés $\,\mathcal{E}^{S}_{K_{n}}={\mathbb{Z}_{\ell}}\otimes E^{S}_{K_{n}}$ des groupes de $S$ -unités est indépendante de $S$ et coïncide avec l’intersection $\,\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}^{\nu}_{K}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}N_{K_{n}/K}(\,\mathchoice{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \displaystyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \textstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}{\hbox to0.0pt{\raisebox{-0.43057pt}{$ \scriptscriptstyle\kern 0.0pt\widetilde{\phantom{!\mathcal{E}}} $}\hss}}\!\mathcal{E}_{K_{n}})$ des sous-groupes normiques d’unités logarithmiques.

*Preuve. *Partons d’un $\eta^{\phantom{*}}_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{0}}}$ de $\mathcal{N}_{K}$ et écrivons-le $N_{K_{n}/K}(\varepsilon_{n})$ avec $\varepsilon_{n}\in\mathcal{E}^{S}_{K_{n}}$ , pour tout $n\in\mathbb{N}$ . Observons que $\eta^{\phantom{*}}_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{0}}}$ est une unité logarithmique (puisque norme à chaque étage fini $K_{n}/K$ de la ${\mathbb{Z}_{\ell}}$ -tour $K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{\infty}}}/K$ ) et que, le groupe $\,\mathcal{E}_{K_{1}}^{S}$ étant compact, la suite $\big{(}N_{K_{n}/K_{1}}(\varepsilon_{n})\big{)}_{n\geq 1}$ possède une valeur d’adhérence $\eta^{\phantom{*}}_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{1}}}$ . De l’égalité $\eta^{\phantom{*}}_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{1}}}=\lim N_{K_{n_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{k}}}}/K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{1}}}}(\varepsilon_{n_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{k}}}})$ , pour une suite extraite convenable $(\varepsilon_{n_{k}})^{\phantom{*}}_{k\in\mathbb{N}}$ , les groupes normiques $N_{K_{n}/K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{1}}}}(\mathcal{E}^{S}_{K_{n}})$ étant fermés, on tire:

$\eta^{\phantom{*}}_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{1}}}\in N_{K_{n_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{k}}}}/K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{1}}}}(\mathcal{E}^{S}_{K_{n_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{k}}}}})$ pour tout $n_{k}$ ; et finalement $\eta^{\phantom{*}}_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{1}}}\in N_{K_{n}/K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{1}}}}(\mathcal{E}^{S}_{K_{n}})$ pour tout $n\geq 1$ .

D’où le résultat par itération du procédé, puisqu’on a par construction $\eta^{\phantom{*}}_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{0}}}=N_{K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{1}}}/K_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{0}}}}(\eta^{\phantom{*}}_{\vstretch{.8}{\hstretch{.8}{1}}})$ .

Références

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[10] J.-F. Jaulent, Théorie $\ell$ -adique globale du corps de classes, J. Théor. Nombres Bordeaux 10 (1998), 355–397.
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[TABLE]

Bibliography22

The reference list from the paper itself. Each links out to its DOI / PubMed record.

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