The semigroup of monotone co-finite partial homeomorphisms of the real line
Oleg Gutik, Kateryna Melnyk
TL;DR
This paper studies the algebraic structure of the semigroup of monotone co-finite partial homeomorphisms of the real line, revealing its factorizability, structure, and relation to group actions, with implications for understanding its internal symmetries.
Contribution
It characterizes the semigroup's structure, including its band, ideals, and maximal subgroups, and establishes its isomorphism to a semidirect product involving the group of orientation-preserving homeomorphisms.
Findings
The semigroup is factorizable and $F$-inverse.
The structure of the band and ideals is described.
The semigroup is isomorphic to a semidirect product of a free semilattice and a group.
Abstract
In the paper we investigate the semigroup of monotone co-finite partial homeomorphisms of the space of the usual real line . We prove that the inverse semigroup is factorizable and -inverse. We describe the structure of the band of the semigroup , its two-sided ideals, maximal subgroups and Green's relations. We prove that the quotient semigroup , where is the maximum group congruence on , is isomorphic to the group of all oriental homeomorphisms of the space , and showe that the semigroup…
Peer Reviews
No public reviews on file for this paper yet. If you reviewed it on a platform where reviews are public (OpenReview, ICLR, NeurIPS, ICML), you can paste yours below so the community can read it here.
Videos
No videos yet. Explain this paper in a talk, walkthrough, or lecture? Add one.
Taxonomy
Topicssemigroups and automata theory · Fuzzy and Soft Set Theory · Mathematical Dynamics and Fractals
Напiвгрупа монотонних ко-скiнченних часткових гомеоморфiзмiв дiйсноï прямоï
Олег Гутiк, Катерина Мельник
Механiко-математичний факультет, Львiвський нацiональний унiверситет iм. Iвана Франка, Унiверситецька 1, Львiв, 79000, Україна
[email protected], [email protected], [email protected]
Анотацiя.
У данiй працi дослiджується структура напiвгрупи усiх монотонних ко-скiнченних часткових гомеоморфiзмiв звичайної дiйсної прямої . Доведено, що iнверсна напiвгрупа є факторизовною та -iнверсною. Описано структуру в’язки напiвгрупи , її двобiчнi iдеали, максимальнi пiдгрупи та вiдношення Грiна на нiй. Доведено, що фактор-напiвгрупа за найменшою груповою конгруенцiєю iзоморфна групi усiх гомеоморфiзмiв, що зберiгають орiєнтацiю простору , а також, що напiвгрупа iзоморфна напiвпрямому добутку вiльної напiвгратки з одиницею з групою .
Oleg Gutik, Kateryna Melnyk, The semigroup of monotone co-finite partial homeomorphisms of the real line
In the paper we investigate the semigroup of monotone co-finite partial homeomorphisms of the space of the usual real line . We prove that the inverse semigroup is factorizable and -inverse. We describe the structure of the band of the semigroup , its two-sided ideals, maximal subgroups and Green’s relations. We prove that the quotient semigroup , where is the maximum group congruence on , is isomorphic to the group of all oriental homeomorphisms of the space , and showe that the semigroup is isomorphic to a semidirect product of the free semilattice with unit by the group .
Key words and phrases:
Semigroup of partial homeomorphisms, group of homeomorphisms, inverse semigroup, minimum group congruence, semidirect product, real line.
2010 Mathematics Subject Classification:
20M15, 20M50, 18B40
1. Термiнологiя та означення
В данiй працi ми користуватимемося термiнологiєю з [21, 22, 32].
Надалi у текстi потужнiсть множини позначатимемо через , перший нескiнченний кардинал через , i множину натуральних чисел — через . Також, будемо вважати, що на множинi дiйсних чисел визначена звичайна (евклiдова) топологiя.
Якщо визначене часткове вiдображення з множини у множину , то через i будемо позначати його область визначення та область значень, вiдповiдно, а через i — образи елемента та пiдмножини при частковому вiдображеннi , вiдповiдно. Часткове вiдображення називається ко-скiнченним, якщо множини та є скiнченними.
Часткове вiдображення називається частковим гомеоморфiзмом простору , якщо його звуження є гомеоморфiзмом.
Рефлексивне, антисиметричне та транзитивне вiдношення на множинi називається частковим порядком на . Множина iз заданим на нiй частковим порядком називається частково впорядкованою множиною i позначається .
Елемент частково впорядкованої множини називається:
- •
максимальним (мiнiмальним) в , якщо з вiдношення () в випливає рiвнiсть ;
- •
найбiльшим (найменшим) в , якщо () для всiх .
У випадку, якщо — частково впорядкована множина i , для деяких , то будемо говорити, що елементи та — порiвняльнi в . Якщо ж для елементiв не виконується жодне з вiдношень або , то говоритимемо, що елементи та є непорiвняльними в частково впорядкованiй множинi . Частковий порядок на називається лiнiйним, якщо довiльнi два елементи в є порiвняльними.
Пiдмножина частково впорядкованої множини називається:
- •
ланцюгом, якщо вiдношення iндукує на лiнiйний порядок;
- •
антиланцюгом, якщо довiльнi два рiзнi елементи в є непорiвняльними стосовно iндукованого з часткового порядку.
З леми Цорна випливає, що кожен ланцюг (антиланцюг) частково впорядкованої множини мiститься в максимальному ланцюзi (антиланцюзi) , стосовно вiдношення включення пiдмножин, а отже кожен ланцюг (антиланцюг) в можна доповнити (необов’язково єдиним чином) до максимального ланцюга (антиланцюга). Лiнiйно впорядкована множина, яка є порядково iзоморфна множинi вiд’ємних цiлих чисел зi звичайним порядком називається -ланцюгом.
Вiдображення з частково впорядкованої множини в частково впорядковану множину називається монотонним, якщо з випливає .
Якщо — напiвгрупа, то її пiдмножина iдемпотентiв позначається через . Напiвгрупа називається iнверсною, якщо для довiльного її елемента iснує єдиний елемент такий, що та . В iнверснiй напiвгрупi вище означений елемент називається iнверсним до . В’язка — це напiвгрупа iдемпотентiв, а напiвгратка — це комутативна в’язка. Надалi через позначатимемо вiльну напiвгратку з одиницею над множиною дiйсних чисел, тобто множину усiх скiнченних (включно з порожньою) пiдмножин множини з операцiєю об’єднання.
Вiдношення еквiвалентностi на напiвгрупi називається конгруенцiєю, якщо для елементiв i напiвгрупи з того, що виконується умова випливає, що , для всiх . Вiдношення ми також будемо записувати , i в цьому випадку будемо говорити, що елементи i є -еквiвалентними. На кожнiй напiвгрупi iснують наступнi конгруенцiї: унiверсальна та одинична (дiагональ) . Такi конгруенцiї називаються тривiальними. Кожен двобiчний iдеал напiвгрупи породжує на нiй конгруенцiю Рiса: .
Якщо — напiвгрупа, то на визначено частковий порядок:
[TABLE]
Так означений частковий порядок на називається природним.
Означимо вiдношення на iнверснiй напiвгрупi наступним чином:
[TABLE]
для деякого iдемпотента . Так означений частковий порядок називається природним частковим порядком на iнверснiй напiвгрупi [26]. Очевидно, що звуження природного часткового порядку на iнверснiй напiвгрупi на її в’язку є природним частковим порядком на . Iнверсна напiвгрупа називається факторизовною, якщо для кожного елемента iснує елемент групи одиниць напiвгрупи такий, що стосовно природного часткового порядку на .
Надалi, через ми позначатимемо множину усiх монотонних ко-скiнченних часткових гомеоморфiзмiв топологiчного простору .
Оскiльки для довiльного елемента i для довiльної пiдмножини звуження є частковим гомеоморфiзмом простору , обернене часткове вiдображення до iснує, i , то виконується наступне твердження.
Твердження 1.1**.**
Множина з операцiєю композицiя часткових вiдображень є iнверсним пiдмоноїдом симетричного iнверсного моноїда над множиною дiйсних чисел .
Надалi одиницю та групу одиниць напiвгрупи будемо позначати через та , вiдповiдно. З означення напiвгрупи випливає, що її група одиниць iзоморфна групi усiх гомеоморфiзмiв, що зберiгають орiєнтацiю (монотонних гомеоморфiзмiв) простору , причому група є простою (див. [18, Наслiдок 1]).
2. Мотивацiя дослiджень i коротка iсторична довiдка
Дослiдження автоморфiзмiв i груп автоморфiзмiв многовидiв малої розмiрностi формують широку область сучасної математики, яка дуже швидко розвивається та розташована на стику топологiї, алгебри та теорiї динамiчних систем. Ця область охоплює вивчення груп гомеоморфiзмiв прямої та кола, теорiю автоморфiзмiв поверхонь i теорiю груп класiв вiдображень, найважливiшим частковим випадком яких є групи кос Артiна, — в силу чого вказана область тiсно пов’язана практично з усiма роздiлами маловимiрної топологiї (у першу чергу — с теорiєю вузлiв i зачеплень), з диференцiальною та гiперболiчною геометрiєю, теорiєю ламинацiй та теорiєю Тайхмюллєра, з комбiнаторною та геометричною теорiєю груп, теорiєю впорядкованих груп, i навiть з криптографiєю.
Автоморфiзмам i групам автоморфiзмiв многовидiв розмiрностi 1 i 2 присвяченi фундаментальнi працi Клейна, Фрике, Пуанкаре, Гурвiца, Дена, Данжуа, Александера, Нiльсена, Артiна, Керек’ярто, А.А.Маркова. Пiзнiше вказаною проблематикою займалися В. Магнус, В. Бурау, Дж. Бiрман, X. Цiшанг, В. I. Арнольд, Г. А. Маргулiс, У. Тьорстон, О. Я. Вiро, Ф. Гарсайд, В. Джонс, Е. Гiз i багато iнших. В останнє десятилiття в цiй областi отриманi такi важливi результати, як розв’язок С. Керкхофом проблеми Нiльсена про реалiзацiю, вiдкриття порядку Деорнуа, доведення лiнiйностi груп кос (Д. Краммер, С. Бiгелоу) та iншi. Розв’язок схожого типу проблем потребує рiзноманiтної технiки, а новi досягнення теорiї (груп) автоморфiзмiв застосовуються (i, як правило, мають суттєвi наслiдки) в сумiжних областях математики.
Так, зокрема сучаснi дослiдження груп гомеоморфiзмiв прямої викладено в оглядах Бекларяна [1, 2] та її застосування в теорiї динамiчних систем у монографiї [25].
Основнi результати теорiї напiвгруп перетворень отриманi в перiод 50-70-х рокiв минулого столiття викладенi в оглядах Меггiла [27] та Глускiна, Шайна, Шнепермана та Ярокера [23]. У цьому напрямку працювали такi вiдомi математики, як Гауi, Гельфанд, Глускiн, Грiн, Енгелькiнг, Клiффорд, Ляпiн, Меггiл, Престон, Саббах, Серпiнський, Сушкевич, Улам, Шайн, Шнеперман, Шутов, Ярокер. На думку Меггiла (див. [27]) теорiя напiвгруп неперервних перетворень топологiчних просторiв бере свiй початок з робiт Глускiна [3, 4, 5, 6, 7, 8]. В основному цi працi Глускiна присвяченi описанню структури напiвгрупи неперервних перетворень одиничного вiдрiзка , а також описанню пiднапiвгруп напiвгрупи неперервних перетворень топологiчного простору . Напiвгрупа неперервних перетворень одиничного вiдрiзка також дослiджувалась Шутовим в працях [16, 17], де вiн описав максимальну власну конгруенцiю на .
Напiвгрупа також дослiджувалась в працях [9, 11, 12, 13, 15, 19, 24, 29, 33, 34], зокрема в роботах [3, 9] були описанi конгруенц-простi пiднапiвгрупи в . Шнеперман [14] та Уарндоф [35] показали, що одиничний вiдрiзок визначається напiвгрупою неперервних перетворень. Iншi класи топологiчних просторiв, що визначаються своїми напiвгрупами неперервних перетворень були описанi Уарндофом в [35] i Росiцким в [33, 34]. Зокрема такими є: локально зв’язнi сепарабельнi метричнi континууми, локально евклiдовi гаусдорфовi простори, нульвимiрнi метричнi простори, -комплекси та iншi. Також О’Рейлi в працi [31] довела, що кожен гаусдорфовий простiр визначається напiвгрупою усiх компактних вiдношень на .
Зауважимо, що група гомеоморфiзмiв дiйсної прямої iзоморфна групi гомеоморфiзмiв одиничного вiдрiзка (iнтервалу). Таким чином виникає задача: описати структуру напiвгрупи часткових гомеоморфiзмiв топологiчного простору , а в частковому випадку одиничного вiдрiзка, чи дiйсної прямої. Однiєю з останнiх робiт з цiєї тематики є стаття Чучмана [20], в якiй описано структуру напiвгрупи замкнених зв’язних часткових гомеоморфiзмiв одиничного вiдрiзка з однiєю нерухомою точкою.
У данiй працi дослiджується структура напiвгрупи усiх монотонних ко-скiнченних часткових гомеоморфiзмiв дiйсної прямої . Доведено, що iнверсна напiвгрупа є факторизовною та -iнверсною. Описано структуру в’язки напiвгрупи , її двобiчнi iдеали, максимальнi пiдгрупи та вiдношення Грiна на нiй. Доведено, що фактор-напiвгрупа за найменшою груповою конгруенцiєю iзоморфна групi усiх гомеоморфiзмiв, що зберiгають орiєнтацiю простору , а також, що напiвгрупа iзоморфна напiвпрямому добутку вiльної напiвгратки з одиницею з групою .
3. Алгебраїчнi властивостi напiвгрупи
Наступне твердження описує в’язку напiвгрупи .
Твердження 3.1**.**
Елемент напiвгрупи є iдемпотентом тодi i лише тодi, коли — тотожне вiдображення ко-скiнченної пiдмножини в .
В’язка iзоморфна вiльнiй напiвгратцi з одиницею стосовно вiдображення , означеного за формулою .
Кожен максимальний ланцюг напiвгратки є -ланцюгом.
Кожен максимальний антиланцюг напiвгратки , що не мiстить її одиницю має потужнiсть континуум.
Доведення.
Твердження випливає з твердження 1.1. Твердження є очевидним, i з нього випливають i . ∎
Оскiльки при гомеоморфiзмi зберiгається кiлькiсть компонент зв’язностi, то виконується наступне твердження.
Твердження 3.2**.**
Якщо , то . Бiльше того, якщо — частковий монотонний гомеоморфiзм простору такий, що , то .
Наступне твердження випливає з означення напiвгрупи .
Твердження 3.3**.**
Для довiльних елементiв i напiвгрупи виконується умова
[TABLE]
Лема 3.4**.**
Нехай — довiльне невiд’ємне цiле число. Тодi для довiльних елементiв i напiвгрупи таких, що iснують елементи i в такi, що i .
Доведення.
Нехай i — елементи напiвгрупи такi, що . У випадку маємо, що i — елементи групи одиниць напiвгрупи , а отже iснують елементи такi, що i . Тому, надалi будемо вважати, що . Нехай i , причому i . Через позначимо довiльний гомеоморфiзм iнтервала на iнтервал , через позначимо довiльний гомеоморфiзм iнтервала на iнтервал , i для довiльного натурального числа — через позначимо довiльний гомеоморфiзм iнтервала на iнтервал . Такi гомеоморфiзми (навiть як лiнiйнi вiдображення) iснують, оскiльки кожнi такi два iнтервали є попарно гомеоморфними [22]. Покладемо . Тодi, очевидно, що , i . Таким чином, отримуємо
[TABLE]
З побудови гомеоморфiзму випливає, що i . Звiдси отримуємо, що , а отже i . Таким чином, елементи i — шуканi. ∎
Наступне твердження випливає з твердження 3.3 та леми 3.4, i воно описує двобiчнi iдеали напiвгрупи .
Твердження 3.5**.**
Для довiльного невiд’ємного цiлого числа множина
[TABLE]
є двобiчним iдеалом в . Бiльше того, i для кожного власного двобiчного iдеалу напiвгрупи iснує натуральне число таке, що iдеали та є iзоморфними.
Якщо — напiвгрупа, то через , , , i позначаються вiдношення Грiна на (див. [21, §2.1]):
[TABLE]
Наступна теорема описує вiдношення Грiна на напiвгрупi .
Теорема 3.6**.**
Нехай . Тодi:
* тодi i лише тодi, коли ;*
* тодi i лише тодi, коли ;*
* тодi i лише тодi, коли i ;*
* тодi i лише тодi, коли ;*
* в .*
Доведення.
Нехай i — елементи напiвгрупи такi, що . Позаяк — iнверсна напiвгрупа i , то з теореми 1.17 [21] випливає, що i , а отже . Таким чином, виконується рiвнiсть .
Навпаки, нехай i — елементи напiвгрупи такi, що . Тодi . Позаяк — iнверсна напiвгрупа, то з теореми 1.17 [21] випливає, що , а отже виконується рiвнiсть .
Доведення аналогiчне доведенню пункту .
Пункт випливає з та .
Нехай i — елементи напiвгрупи такi, що . Тодi iснує елемент напiвгрупи такий, що i . За твердженнями та маємо, що та . Тодi, використавши твердження 3.2, отримуємо
[TABLE]
Навпаки, нехай i — елементи напiвгрупи такi, що , де — деяке невiд’ємне цiле число. У випадку маємо, що i — елементи групи одиниць напiвгрупи , тобто i є гомеоморфiзмами простору , а отже вони є -еквiвалентними, оскiльки . Тому, надалi будемо вважати, що . Нехай i , причому i . Через позначимо довiльний гомеоморфiзм iнтервала на iнтервал , через позначимо довiльний гомеоморфiзм iнтервала на iнтервал , i для довiльного натурального числа — через позначимо довiльний гомеоморфiзм iнтервала на iнтервал . Такi гомеоморфiзми (навiть як лiнiйнi вiдображення) iснують, оскiльки кожнi такi два iнтервали попарно гомеоморфнi [22]. Покладемо . Тодi, очевидно, що , i , а отже .
Включення випливає з означень вiдношень Грiна i . Обернене включення випливає з пункту , леми 3.4 та твердження 3.5. ∎
Лема 3.7**.**
Для довiльного елемента напiвгрупи iснує єдиний елемент групи одиниць такий, що .
Доведення.
У випадку твердження леми є очевидним, а тому далi вважатимемо, що . Нехай i , причому i в . Означимо вiдображення за формулою
[TABLE]
Тодi, очевидно, що так означене вiдображення є монотонним гомеоморфiзмом простору , та оскiльки i — тотожнi вiдображення множин i , вiдповiдно, то отримуємо, що .
Єдинiсть елемента випливає з означення напiвгрупи . ∎
З леми 3.7 випливає
Наслiдок 3.8**.**
* — факторизовна iнверсна напiвгрупа.*
Конструкцiя 3.9**.**
Нехай — довiльний, вiдмiнний вiд одиничного елемента, iдемпотент напiвгрупи . Тодi за твердженням 3.1 iснують дiйснi числа , , такi, що , — тотожне вiдображення i . З теореми 3.6 випливає, що для кожного елементу -класу , який мiстить iдемпотент , виконується умова . Позаяк для довiльних рiзних дiйсних чисел , i iнтервали , i є гомеоморфними, то надалi для спрощення викладу покладемо i . Для довiльного числа означимо часткове вiдображення наступним чином: i
[TABLE]
Тодi очевидно, що .
В термiнах попередньої конструкцiї зробимо наступне зауваження.
Зауваження 3.10**.**
За теоремою 3.6 маємо, що для довiльних та .
Якщо — iдемпотент, то , для довiльного числа .
для довiльного елемента , причому це зображення єдине з точнiстю до перестановки множникiв i множення на iдемпотент напiвгрупи .
Оскiльки довiльний iнтервал дiйсної прямої гомеоморфний цiй прямiй, то для довiльного числа пiдмножина з iндукованою з бiнарною операцiєю є групою, яка iзоморфна групi .
Наслiдок 3.11 описує структуру максимальних пiдгруп напiвгрупи i вiн випливає з пунктiв та зауваження 3.10.
Наслiдок 3.11**.**
Нехай — неодиничний iдемпотент напiвгрупи . Тодi -клас , який мiстить iдемпотент , iзоморфний прямому степеню , де .
Виконується наступне твердження:
Твердження 3.12**.**
Кожен елемент напiвгрупи стосовно природного часткового порядку порiвняльний з єдиним елементом групи одиниць .
Доведення.
З леми 3.7 i леми 1.4.6 [26] випливає, що для довiльного елемента напiвгрупи iснує елемент групи одиниць такий, що . Припустимо протилежне до твердження: iснує елемент напiвгрупи такий, що i для двох рiзних . З твердження 1.4.10 [26] випливає, що . Тодi iснує дiйсне число таке, що . З означення напiвгрупи випливає, що її група одиниць iзоморфна групi усiх гомеоморфiзмiв, що зберiгають орiєнтацiю простору , а отже за гаусдорфовiстю простору отримуємо, що iснує дiйсне число таке, що для всiх . Тодi з твердження 3.1 випливає, що для довiльного iдемпотента напiвгрупи , а це суперечить тому, що . З отриманого протирiччя випливає єдинiсть елемента . ∎
Найменша групова конгруенцiя на iнверснiй напiвгрупi визначається наступним чином (див. [32, III.5]):
[TABLE]
За твердженням 3.12 для довiльного елемента напiвгрупи iснує єдиний елемент групи одиниць такий, що , а отже визначено вiдображення
[TABLE]
Також, з тверджень 1.4.7 [26] i 3.12 випливає, що так означене вiдображення є сюр’єктивним гомоморфiзмом, i бiльше того для маємо, що
[TABLE]
Таким чином, нами доведена наступна теорема:
Теорема 3.13**.**
Фактор-напiвгрупа iзоморфна групi усiх гомеоморфiзмiв, що зберiгають орiєнтацiю простору , причому природний гомоморфiзм визначається за формулою 2.
Наступне твердження трiшки ‘‘посилює’’ властивостi напiвгрупи за модулем леми 3.7.
Твердження 3.14**.**
Для довiльного елемента напiвгрупи iснує єдиний елемент групи одиниць напiвгрупи такий, що
[TABLE]
Доведення.
Для елемента напiвгрупи означимо гомеоморфiзм простору наступним чином. Якщо — елемент групи одиниць напiвгрупи , то покладемо .
Нехай i . Тодi iснують дiйснi числа такi, що , , i . Означимо вiдображення за формулою (1). Очевидно, що так означене вiдображення є монотонним гомеоморфiзмом простору та елемент групи одиниць напiвгрупи задовольняє умову (3). Також з неперервностi вiдображення та ко-скiнченностi множин та в випливає, що , для довiльного гомеоморфiзму простору такого, що звуження збiгається з частковим вiдображенням . Таким чином, так побудований гомеоморфiзм єдиний, що задовольняє умову (3). ∎
Далi ми опишемо додатковi властивостi -еквiвалентних елементiв у напiвгрупi, якi пов’язанi з її групою одиниць.
Лема 3.15**.**
Для довiльних -еквiвалентних iдемпотентiв та напiвгрупи iснує елемент групи одиниць напiвгрупи такий, що .
Доведення.
За теоремою 3.6 маємо, що . Покладемо
[TABLE]
Не зменшуючи загальностi, можемо вважати, що i . Означимо вiдображення за формулою
[TABLE]
Легко бачити, що вiдображення означене коректно, причому . Позаяк вiдображення є кусково-лiнiйним, то воно, очевидно, є гомеоморфiзмом простору , а отже є елементом групи одиниць напiвгрупи . Також з означення вiдображення випливає, що виконується рiвнiсть . ∎
Твердження 3.16**.**
Для довiльних -еквiвалентних елементiв та напiвгрупи iснують елементи та групи одиниць напiвгрупи такi, що .
Доведення.
За теоремою 3.6 iдемпотенти та є -еквiвалентними в напiвгрупi . Тодi за лемою 3.15 iснує елемент групи одиниць напiвгрупи такий, що . З леми 3.7 випливає, що iснує елемент групи одиниць такий, що . Тодi отримуємо, що , а отже маємо:
[TABLE]
За твердженням 3.14 iснує єдиний елемент групи одиниць напiвгрупи такий, що . Таким чином, отримуємо:
[TABLE]
де, очевидно, що i — елементи групи одиниць напiвгрупи . ∎
4. Структурна теорема для напiвгрупи
Нагадаємо, що iнверсна напiвгрупа називається -iнверсною, якщо -клас кожного елемента має найбiльший елемент стосовно природного часткового порядку в [28]. Очевидно, що кожна -iнверсна напiвгрупа мiстить одиницю.
З твердження 3.12 випливає
Наслiдок 4.1**.**
* — -iнверсна напiвгрупа.*
Для довiльного елемента iнверсної напiвгрупи позначимо , де — природний частковий порядок на .
Нехай — довiльна -iнверсна напiвгрупа. Тодi для довiльного елемента напiвгрупи через позначимо iдемпотент , через — найбiльший елемент стосовно природного часткового порядку в в -класi елемента , i нехай . Тодi напiвгрупа є диз’юнктним об’єднанням множин , де [28].
Структура -iнверсних напiвгруп викладена у наступних твердженнях з працi [28], i ми далi скористаємося ними для описання напiвгрупи .
Лема 4.2** ([28, лема 3]).**
Нехай — -iнверсна напiвгрупа з одиницею . Тодi:
* — одиниця напiвгратки ;*
множина з бiнарною операцiєю
[TABLE]
є групою з нейтральним елементом , i є оберненим до елемента в групi ;
для кожного елемента вiдображення , означене за формулою
[TABLE]
є сюр’єктивним гомоморфiзмом, причому є тотожним вiдображенням на ;
* й , для довiльного елемента ;*
для довiльних елементiв виконується рiвнiсть
[TABLE]
якщо , то
[TABLE]
для всiх iдемпотентiв та напiвгрупи .
Теорема 4.3** ([28, теорема 3]).**
Нехай — -iнверсна напiвгрупа i . Означимо на бiнарну операцiю наступним чином: якщо , то для iдемпотентiв та покладемо
[TABLE]
Тодi — напiвгрупова операцiя на i напiвгрупа iзоморфна напiвгрупi стосовно вiдображення .
Нехай та — напiвгрупи, — напiвгрупа ендоморфiзмiв напiвгрупи та визначено гомоморфiзм . Тодi множина з бiнарною операцiєю
[TABLE]
називається напiвпрямим добутком напiвгрупи напiвгрупою стосовно гомоморфiзму i позначається [26]. У цьому випадку кажуть, що визначена права дiя напiвгрупи на напiвгрупi ендоморфiзмами (гомоморфiзмами). Зауважимо, що напiвпрямий добуток iнверсних напiвгруп не завжди є iнверсною напiвгрупою (див. [26, роздiл 5.3]).
Лема 4.4**.**
Вiдображення , де — автоморфiзм напiвгратки , є гомоморфiзмом, причому — тотожний автоморфiзм напiвгратки .
Доведення.
Для довiльних , маємо, що
[TABLE]
а отже — гомоморфiзм напiвгратки . Також, оскiльки для довiльних та елемент є iдемпотентом напiвгрупи i , то гомоморфiзм є сюр’єктивним вiдображенням. Очевидно, що — тотожне вiдображення напiвгратки .
Припустимо, що , для деяких , . Оскiльки — група одиниць напiвгрупи , то з рiвностей
[TABLE]
випливає, що
[TABLE]
а отже — автоморфiзм напiвгратки .
Зафiксуємо довiльнi . Тодi для довiльного iдемпотента маємо, що
[TABLE]
а отже так означене вiдображення є гомоморфiзмом. ∎
Наступна теорема описує структуру напiвгрупи .
Теорема 4.5**.**
Напiвгрупа iзоморфна напiвпрямому добутку вiльної напiвгратки з одиницею групою усiх гомеоморфiзмiв, що зберiгають орiєнтацiю простору .
Доведення.
Оскiльки група одиниць напiвгрупи iзоморфна групi усiх гомеоморфiзмiв, що зберiгають орiєнтацiю простору , то за твердженням 3.1 нам достатньо показати, що напiвгрупа iзоморфна напiвпрямому добутку напiвгратки групою одиниць напiвгрупи стосовно гомоморфiзму , де .
Означимо вiдображення за формулою
[TABLE]
де елемент групи одиниць напiвгрупи , визначений у твердженнi 3.12. З твердження 3.1 i наслiдку 4.1 випливає, що вiдображення означене коректно, i воно є сюр’єктивним. Припустимо, що iснують елементи та напiвгрупи такi, що . Тодi i, використавши твердження 3.12 i лему 1.4.6 з [26], отримуємо
[TABLE]
а отже вiдображення є сюр’єктивним.
Нехай та — довiльнi елементи напiвгрупи . Тодi за теоремою 3.13 маємо, що , i оскiльки , то отримуємо, що . Звiдси випливає, що
[TABLE]
За лемою 4.4 вiдображення є автоморфiзмом напiвгратки , а отже отримуємо, що елемент є iдемпотентом напiвгрупи . Оскiльки — iнверсна напiвгрупа, то за твердженням 3.12 i лемою 1.4.6 з [26] маємо, що , а отже:
[TABLE]
Таким чином, отримуємо
[TABLE]
а отже вiдображення є гомоморфiзмом, що i завершує доведення нашої теореми. ∎
Подяка
Автори виражають щиру подяку рецензенту за кориснi зауваження та коментарi до рукопису цiєї працi.
Лiтература
- [1]
Л. А. Бекларян, Группы гомеоморфизмов прямой и окружности. Топологические характеристики и метрические инварианты, УМН 59:4(358) (2004), 3–68; English version in: L. A. Beklaryan, Groups of homeomorphisms of the line and the circle. Topological characteristics and metric invariants, Russian Math. Surveys 59:4 (2004), 599–660.
- [2]
Л. А. Бекларян, Группы гомеоморфизмов прямой и окружности. Метрические инварианты и вопросы классификации, УМН, 70:2(422) (2015), 3–54; English version in: L. A. Beklaryan, Groups of line and circle homeomorphisms. Metric invariants and questions of classification, Russian Math. Surveys 70:2 (2015), 203–248.
- [3]
Л. M. Глускин, Полугруппа гомеоморфных отображений отрезка, Матем. сб. 49(91):1 (1959), 13–28.
- [4]
Л. M. Глускин, Полугруппы топологических отображений, ДАН СССР 125 (1959), 699–702.
- [5]
Л. M. Глускин, Транзитивные полугруппы преобразований, ДАН СССР 129 (1959), 16–18.
- [6]
Л. M. Глускин, Идеалы полугрупп преобразований, Матем. сб. 47(89):1 (1959), 111–130.
- [7]
Л. М. Глускiн, Про одну пiвгруппу непреривиих функцiй, Доповiдi АН УРСР 5 (1960), 582–585.
- [8]
Л. М. Глускин, Полугруппы топологических преобразований, Изв. вузов. Матем. 1 (1963), 54-–65.
- [9]
Х. Н. Инасаридзе, О простых полугруппах, Матем. сб. 57(99):2 (1962), 225–232.
- [10]
Л. Б. Шнеперман, Полугруппы непрерывных преобразований, ДАН СССР 144:3 (1962), 509–511.
- [11]
Л. Б. Шнеперман, Полугруппы непрерывных преобразований и гомеоморфизмов простой дуги, ДАН СССР 146 (1962), 1301–1304.
- [12]
Л. Б. Шнеперман,, Полугруппы непрерывных преобразований метрических пространств, Матем. сб. 61(103):3 (1963), 306-–318.
- [13]
Л. Б. Шнеперман, Полугруппы непрерывных преобразований замкнутых множеств числовой прямой, Изв. вузов. Матем. 6 (1965), 166–175.
- [14]
Л. Б. Шнеперман, Полугруппы непрерывных преобразований топологических пространств, Сиб. матем. журн. 4:1 (1965), 221–229.
- [15]
Л. Б. Шнеперман, Полугруппа гомеоморфизмов простой дуги, Изв. вузов. Матем. 2 (1966), 127–136.
- [16]
Э. Г. Шутов, О гомоморфизмах некоторых полугрупп непрерывнвх функций, Сиб. матем. журн. 4:3 (1963), 695–701.
- [17]
Э. Г. Шутов, О гомоморфизмах некоторых полугрупп непрерывных монотонных функций, Сиб. матем. журн. 4:4 (1963), 944–950.
- [18]
R. D. Anderson, The algebraic simplicity of certain groups of homeomorphisms, Amer. J. Math. 80:4 (1958), 955—963.
- [19]
F. A. Cezus, Green’s relations in semigroups of functions, Ph.D. Thesis, Australian National University, Canberra, Australia, 1972.
- [20]
I. Chuchman, On a semigroup of closed connected partial homeomorphisms of the unit interval with a fixed point, Algebra Discr. Math. 12 (2011), 38–52.
- [21]
A. H. Clifford and G. B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Vols. I and II, Amer. Math. Soc. Surveys 7, Providence, R.I., 1961 and 1967.
- [22]
R. Engelking, General Topology, 2nd ed., Heldermann, Berlin, 1989.
- [23]
L. M. Gluskin, B. M. Schein, L. B. Šneperman, I. S. Yaroker, Addendum to a survey of semigroups of continuous self-maps, Semigroup Forum 14 (1977), 95–125.
- [24]
V. Jarnik, et V. Knichal, Sur l’approximation des fonctions continues par les superpositlons de deux fonctlons, Fund. Math. 24 (1935), 206–208.
- [25]
A. Katok and B. Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 54, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
- [26]
M. Lawson, Inverse Semigroups. The Theory of Partial Symmetries, Singapore: World Scientific, 1998.
- [27]
K. D. Magill, jr., A survey of semigroups of continuous selfmaps, Semigroup Forum 11 (1975/1976), 189–282.
- [28]
R. McFadden and L. O’Carroll, -inverse semigroups, Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 22 (1971), 652–666.
- [29]
J. V. Mioduszewski, On a quasi-ordering in the class of continuous mappings of a closed interval into itself, Colloq. Math. 9 (1962), 233–240.
- [30]
W. D. Munn, Uniform semilattices and bisimple inverse semigroups, Quart. J. Math., 17:1 (1966), 151–159.
- [31]
S. B. O’Reilly, The characteristic semigroup of topological space, Gen. Topoi. Appl. 5 (1975), 95–106.
- [32]
M. Petrich, Inverse Semigroups, John Wiley Sons, New York, 1984.
- [33]
J. V. Rosický, Remarks on topologies uniquely determined by their continuous self maps, Czechoslovak Math. J. 24:3 (1974), 373–377.
- [34]
J. V. Rosický, The topology of the unit interval is not uniquely determined by its continuous self maps among set systems, Colloq. Math. 31 (1974), 179–188.
- [35]
J. C. Warndof, Topologies uniquely determined by their continuous selfmaps, Fund. Math. 66:1 (1969), 25–43.
The reference list from the paper itself. Each links out to its DOI / PubMed record.
- 1[1] Л. А. Бекларян, Группы гомеоморфизмов прямой и окружности. Топологические характеристики и метрические инварианты, УМН 59 :4(358) (2004), 3–68; English version in: L. A. Beklaryan, Groups of homeomorphisms of the line and the circle. Topological characteristics and metric invariants , Russian Math. Surveys 59 :4 (2004), 599–660.
- 2[2] Л. А. Бекларян, Группы гомеоморфизмов прямой и окружности. Метрические инварианты и вопросы классификации, УМН, 70 :2(422) (2015), 3–54; English version in: L. A. Beklaryan, Groups of line and circle homeomorphisms. Metric invariants and questions of classification , Russian Math. Surveys 70 :2 (2015), 203–248.
- 3[3] Л. M. Глускин, Полугруппа гомеоморфных отображений отрезка, Матем. сб. 49 ( 91 ):1 (1959), 13–28.
- 4[4] Л. M. Глускин, Полугруппы топологических отображений , ДАН СССР 125 (1959), 699–702.
- 5[5] Л. M. Глускин, Транзитивные полугруппы преобразований , ДАН СССР 129 (1959), 16–18.
- 6[6] Л. M. Глускин, Идеалы полугрупп преобразований , Матем. сб. 47 ( 89 ):1 (1959), 111–130.
- 7[7] Л. М. Глускiн, Про одну пiвгруппу непреривиих функцiй , Доповiдi АН УРСР 5 (1960), 582–585.
- 8[8] Л. М. Глускин, Полугруппы топологических преобразований , Изв. вузов. Матем. 1 (1963), 54-–65.