On the semigroup $\textbf{ID}_{\infty}$

TL;DR

This paper investigates the algebraic structure and topological properties of the semigroup of all partial isometries of integers, revealing its isomorphism to a semidirect product and exploring conditions for various topologies.

Contribution

It characterizes the semigroup $ extbf{ID}_{ abla}$, establishes its isomorphism to a semidirect product, and analyzes topological conditions for $ extbf{ID}_{ abla}$.

Findings

$ extbf{ID}_{ abla}$ is an $F$-inverse semigroup.

The quotient $ extbf{ID}_{ abla}/ extsf{C}_{ ext{mg}}$ is isomorphic to ${ extsf{Iso}}( abla)$.

Conditions for discrete and non-discrete Hausdorff topologies are provided.

Abstract

We study the semigroup $\textbf{{ID}}_{\infty}$ of all partial isometries of the set of integers $\mathbb{Z}$. It is proved that the quotient semigroup $\textbf{{ID}}_{\infty}/\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}$, where $\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}$ is the minimum group congruence, is isomorphic to the group ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})$ of all isometries of $\mathbb{Z}$, $\textbf{{ID}}_{\infty}$ is an $F$-inverse semigroup, and $\textbf{{ID}}_{\infty}$ is isomorphic to the semidirect product ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})\ltimes_\mathfrak{h}\mathscr{P}_{\!\infty}(\mathbb{Z})$ of the free semilattice with unit $(\mathscr{P}_{\!\infty}(\mathbb{Z}),\cup)$ by the group ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})$. We give the sufficient conditions on a shift-continuous topology $\tau$ on $\textbf{{ID}}_{\infty}$ when $\tau$ is discrete. A non-discrete Hausdorff semigroup topology on $\textbf{{ID}}_{\infty}$ is constructed. Also, the problem of an embedding of the discrete semigroup $\textbf{{ID}}_{\infty}$ into Hausdorff compact-like topological semigroups is studied.

Equations

$$e⩽f\text{T}2A\text{cyrt}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrd}\text{T}2A\text{cyrii}\text{T}2A\text{cyrii}\text{T}2A\text{cyrl}\text{T}2A\text{cyri}\text{T}2A\text{cyrsh}\text{T}2A\text{cyre}\text{T}2A\text{cyrt}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrd}\text{T}2A\text{cyrii},\text{T}2A\text{cyrk}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrl}\text{T}2A\text{cyri}ef=fe=e.$$

$$s⩽t\text{T}2A\text{cyrt}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrd}\text{T}2A\text{cyrii}\text{T}2A\text{cyrii}\text{T}2A\text{cyrl}\text{T}2A\text{cyri}\text{T}2A\text{cyrsh}\text{T}2A\text{cyre}\text{T}2A\text{cyrt}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrd}\text{T}2A\text{cyrii},\text{T}2A\text{cyrk}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrl}\text{T}2A\text{cyri}s=te,$$

$$s{\mathfrak{C}}_{\text{mg}}t\text{leavevmode}\text{nobreak}\text{T}2A\text{cyrv}\text{leavevmode}\text{nobreak}S\text{leavevmode}\text{nobreak}\text{T}2A\text{cyrt}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrd}\text{T}2A\text{cyrii}\text{T}2A\text{cyrii}\text{T}2A\text{cyrl}\text{T}2A\text{cyri}\text{T}2A\text{cyrsh}\text{T}2A\text{cyre}\text{T}2A\text{cyrt}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrd}\text{T}2A\text{cyrii},\text{T}2A\text{cyrk}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrl}\text{T}2A\text{cyri}\text{T}2A\text{cyrii}\text{T}2A\text{cyrs}\text{T}2A\text{cyrn}\text{T}2A\text{cyru}\text{T}2A\text{cyrie}\text{T}2A\text{cyrii}\text{T}2A\text{cyrd}\text{T}2A\text{cyre}\text{T}2A\text{cyrm}\text{T}2A\text{cyrp}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrt}\text{T}2A\text{cyre}\text{T}2A\text{cyrn}\text{T}2A\text{cyrt}\text{leavevmode}\text{nobreak}e\in S\text{leavevmode}\text{nobreak}\text{T}2A\text{cyrt}\text{T}2A\text{cyra}\text{T}2A\text{cyrk}\text{T}2A\text{cyri}\text{T}2A\text{cyrishrt},\text{T}2A\text{cyrshch}\text{T}2A\text{cyro}\text{leavevmode}\text{nobreak}es=et.$$

$$\mathfrak{G}:{\text{ID}}_{\infty }\to H(1):\alpha \mapsto {\gamma }_{\alpha }.$$

$$\alpha {\mathfrak{C}}_{\text{mg}}\beta \text{leavevmode}\text{nobreak}\text{T}2A\text{cyrt}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrd}\text{T}2A\text{cyrii}\text{T}2A\text{cyrii}\text{T}2A\text{cyrl}\text{T}2A\text{cyri}\text{T}2A\text{cyrsh}\text{T}2A\text{cyre}\text{T}2A\text{cyrt}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrd}\text{T}2A\text{cyrii},\text{T}2A\text{cyrk}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrl}\text{T}2A\text{cyri}\text{leavevmode}\text{nobreak}(\alpha )\mathfrak{G}=(\beta )\mathfrak{G}.$$

$$\downarrow s=\{x\in S:x⩽s\},$$

$$u\ast v=t_{uv},u,v\in T_S,$$

$$(f){\mathfrak{F}}_t=tf{t}^{-1},f\in E(S),$$

$$\left((1_S){\mathfrak{F}}_u\right){\mathfrak{F}}_v\cdot (f){\mathfrak{F}}_{u\ast v}=\left((f){\mathfrak{F}}_u\right){\mathfrak{F}}_v,\text{T}2A\text{cyrd}\text{T}2A\text{cyrl}\text{T}2A\text{cyrya}\text{T}2A\text{cyrd}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrv}\text{T}2A\text{cyrii}\text{T}2A\text{cyrl}\text{T}2A\text{cyrsftsn}\text{T}2A\text{cyrn}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrg}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrii}\text{T}2A\text{cyrd}\text{T}2A\text{cyre}\text{T}2A\text{cyrm}\text{T}2A\text{cyrp}\text{T}2A\text{cyro}\text{T}2A\text{cyrt}\text{T}2A\text{cyre}\text{T}2A\text{cyrn}\text{T}2A\text{cyrt}\text{T}2A\text{cyra}f\in S;$$

$$f\cdot (g){\mathfrak{F}}_u⩽e_{u\ast v},$$

$$(f,u)\circ (g,v)=\left(f\cdot (g){\mathfrak{F}}_u,u\ast v\right).$$

$$(a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2)=\left(a_1{a}_2,(b_1){\mathfrak{h}}_{a_2}{b}_2\right),a_1,a_2\in A,b_1,b_2\in B$$

$$(\epsilon \iota ){\mathfrak{h}}_{\gamma }={\gamma }^{-1}\epsilon \iota \gamma ={\gamma }^{-1}\epsilon \gamma {\gamma }^{-1}\iota \gamma =(\epsilon ){\mathfrak{h}}_{\gamma }(\iota ){\mathfrak{h}}_{\gamma },$$

$$(\gamma \epsilon {\gamma }^{-1}){\mathfrak{h}}_{\gamma }={\gamma }^{-1}(\gamma \epsilon {\gamma }^{-1})\gamma =\epsilon ,$$

$${\gamma }^{-1}\epsilon \gamma =(\epsilon ){\mathfrak{h}}_{\gamma }=(\iota ){\mathfrak{h}}_{\gamma }={\gamma }^{-1}\iota \gamma$$

$$\epsilon =1\epsilon 1=\gamma {\gamma }^{-1}\epsilon \gamma {\gamma }^{-1}=\gamma {\gamma }^{-1}\iota \gamma {\gamma }^{-1}=1\iota 1=\iota ,$$

$$(\epsilon ){\mathfrak{h}}_{\gamma \delta }=(\gamma \delta {)}^{-1}\epsilon \gamma \delta ={\delta }^{-1}{\gamma }^{-1}\epsilon \gamma \delta ={\delta }^{-1}(\epsilon ){\mathfrak{h}}_{\gamma }\delta =\left((\epsilon ){\mathfrak{h}}_{\gamma }\right){\mathfrak{h}}_{\delta }=(\epsilon )\left({\mathfrak{h}}_{\gamma }\cdot {\mathfrak{h}}_{\delta }\right),$$

$$(\alpha )\mathfrak{T}=\left({\gamma }_{\alpha },{\alpha }^{-1}\alpha \right),$$

$$\alpha ={\gamma }_{\alpha }{\alpha }^{-1}\alpha ={\gamma }_{\beta }{\beta }^{-1}\beta =\beta ,$$

$$\begin{split}(\alpha)\mathfrak{T}(\beta)\mathfrak{T}&=\left(\gamma_{\alpha},\alpha^{-1}\alpha\right)\left(\gamma_{\beta},\beta^{-1}\beta\right)=\\ &=\big{(}\gamma_{\alpha}\gamma_{\beta},\gamma_{\beta}^{-1}\alpha^{-1}\alpha\gamma_{\beta}\beta^{-1}\beta\big{)}=\\ &=\big{(}\gamma_{\alpha\beta},\gamma_{\beta}^{-1}\alpha^{-1}\alpha\gamma_{\beta}\beta^{-1}\beta\big{)}.\end{split}$$

$$\begin{array}{rl}{\gamma }_{\beta }^{-1}{\alpha }^{-1}\alpha {\gamma }_{\beta }{\beta }^{-1}\beta & =\left({\gamma }_{\beta }^{-1}{\alpha }^{-1}\alpha {\gamma }_{\beta }\right)\left({\beta }^{-1}\beta \right)\left({\beta }^{-1}\beta \right)=\\ & =\left({\beta }^{-1}\beta {\gamma }_{\beta }^{-1}\right)\left({\alpha }^{-1}\alpha \right)\left({\gamma }_{\beta }{\beta }^{-1}\beta \right)=\\ & ={\left({\gamma }_{\beta }{\beta }^{-1}\beta \right)}^{-1}\left({\alpha }^{-1}\alpha \right)\left({\gamma }_{\beta }{\beta }^{-1}\beta \right)=\\ & ={\beta }^{-1}\left({\alpha }^{-1}\alpha \right)\beta =\\ & =\left({\beta }^{-1}{\alpha }^{-1}\right)\left(\alpha \beta \right)=\\ & ={\left(\alpha \beta \right)}^{-1}\left(\alpha \beta \right).\end{array}$$

$$(\alpha \beta )\mathfrak{T}=\left({\gamma }_{\alpha \beta },(\alpha \beta {)}^{-1}\alpha \beta \right)=(\alpha )\mathfrak{T}(\beta )\mathfrak{T},$$

$$\left(\mathbb{Z}(+)⋊{\mathbb{Z}}_2\right){⋉}_{\mathfrak{h}}{\mathcal{P}}_{\infty }(\mathbb{Z}).$$

$$\uparrow \alpha =\left\{\beta \in {\text{ID}}_{\infty }:\alpha ⩽\beta \right\}$$

$$\uparrow \alpha =\left\{\beta \in {\text{ID}}_{\infty }:\alpha =\alpha {\alpha }^{-1}\beta \right\},$$

$$R(\alpha |\beta )=\left\{\chi \in {\text{ID}}_{\infty }:\alpha \chi =\beta \right\}iL(\alpha |\beta )=\left\{\chi \in {\text{ID}}_{\infty }:\chi \alpha =\beta \right\}$$

$$R=\left\{\chi \in {\text{ID}}_{\infty }:{\alpha }^{-1}\alpha \chi ={\alpha }^{-1}\beta \right\},$$

$$\left\{\chi \in {\text{ID}}_{\infty }:\chi \beta ={\alpha }_0\right\}$$

$${\mathbb{T}}^1=\left\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\right\}$$

$$\theta :\mathbb{Z}(+)⋊{\mathbb{Z}}_2\to {\mathbb{T}}^1⋊{\mathbb{Z}}_2:(z,a)\mapsto (e^{iz},a)$$

Full text

**Oleg Gutik, Anatolii Savchuk, On the semigroup $\textbf{ID}_{\infty}$ **

We study the semigroup $\textbf{{ID}}_{\infty}$ of all partial isometries of the set of integers $\mathbb{Z}$. It is proved that the quotient semigroup $\textbf{{ID}}_{\infty}/\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}$, where $\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}$ is the minimum group congruence, is isomorphic to the group ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})$ of all isometries of $\mathbb{Z}$, $\textbf{{ID}}_{\infty}$ is an $F$-inverse semigroup, and $\textbf{{ID}}_{\infty}$ is isomorphic to the semidirect product ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})\ltimes_{\mathfrak{h}}\mathscr{P}_{\!\infty}(\mathbb{Z})$ of the free semilattice with unit $(\mathscr{P}_{\!\infty}(\mathbb{Z}),\cup)$ by the group ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})$. We give the sufficient conditions on a shift-continuous topology $\tau$ on $\textbf{{ID}}_{\infty}$ when $\tau$ is discrete. A non-discrete Hausdorff semigroup topology on $\textbf{{ID}}_{\infty}$ is constructed. Also, the problem of an embedding of the discrete semigroup $\textbf{{ID}}_{\infty}$ into Hausdorff compact-like topological semigroups is studied.

1. Термiнологiя та означення

Ми користуватимемося термiнологiєю з [14, 16, 32, 35, 37].

Надалi у текстi потужнiсть множини $A$ позначатимемо через $|A|$, перший нескiнченний кардинал через $\omega$, i множину цiлих чисел — через $\mathbb{Z}$. Через $\operatorname{cl}_{X}(A)$ i $\operatorname{int}_{X}(A)$ позначатимемо замикання та внутрiшнiсть пiдмножини $A$ в топологiчному просторi $X$.

Якщо визначене часткове вiдображення $\alpha\colon X\rightharpoonup Y$ з множини $X$ у множину $Y$, то через $\operatorname{dom}\alpha$ i $\operatorname{ran}\alpha$ будемо позначати його область визначення й область значень, вiдповiдно, а через $(x)\alpha$ i $(A)\alpha$ — образи елемента $x\in\operatorname{dom}\alpha$ та пiдмножини $A\subseteq\operatorname{dom}\alpha$ при частковому вiдображеннi $\alpha$, вiдповiдно. Часткове вiдображення $\alpha\colon X\rightharpoonup Y$ називається ко-скiнченним, якщо множини $X\setminus\operatorname{dom}\alpha$ та $Y\setminus\operatorname{ran}\alpha$ — скiнченнi.

Рефлексивне, антисиметричне та транзитивне вiдношення на множинi $X$ називається частковим порядком на $X$. Множина $X$ iз заданим на нiй частковим порядком $\leqslant$ називається частково впорядкованою множиною i позначається $(X,\leqslant)$.

Елемент $x$ частково впорядкованої множини $(X,\leqslant)$ називається:

• •

максимальним (мiнiмальним) в $(X,\leqslant)$, якщо з вiдношення $x\leqslant y$ ($y\leqslant x$) в $(X,\leqslant)$ випливає рiвнiсть $x=y$;

• •

найбiльшим (найменшим) в $(X,\leqslant)$, якщо $y\leqslant x$ ($x\leqslant y$) для всiх $y\in X$.

У випадку, якщо $(X,\leqslant)$ — частково впорядкована множина i $x\leqslant y$, для деяких $x,y\in X$, то будемо говорити, що елементи $x$ та $y$ — порiвняльнi в $(X,\leqslant)$. Якщо ж для елементiв $x\leqslant y$ не виконується жодне з вiдношень $x\leqslant y$ або $y\leqslant x$, то говоритимемо, що елементи $x$ та $y$ — непорiвняльнi у частково впорядкованiй множинi $(X,\leqslant)$. Частковий порядок $\leqslant$ на $X$ називається лiнiйним, якщо довiльнi два елементи в $(X,\leqslant)$ — порiвняльнi.

Вiдображення $h\colon X\rightarrow Y$ з частково впорядкованої множини $(X,\leqslant)$ в частково впорядковану множину $(Y,\leqslant)$ називається монотонним, якщо з $x\leqslant y$ випливає $(x)h\leqslant(y)h$.

Якщо $S$ — напiвгрупа, то її пiдмножина iдемпотентiв позначається через $E(S)$. Напiвгрупа $S$ називається iнверсною, якщо для довiльного її елемента $x$ iснує єдиний елемент $x^{-1}\in S$ такий, що $xx^{-1}x=x$ та $x^{-1}xx^{-1}=x^{-1}$. В iнверснiй напiвгрупi $S$ вищеозначений елемент $x^{-1}$ називається iнверсним до $x$. В’язка — це напiвгрупа iдемпотентiв, а напiвґратка — це комутативна в’язка. Надалi через $(\mathscr{P}_{\!\infty}(\mathbb{R}),\cup)$ позначатимемо вiльну напiвґратку з одиницею над множиною дiйсних чисел, тобто множину усiх скiнченних (разом з порожньою) пiдмножин множини $\mathbb{R}$ з операцiєю об’єднання.

Вiдношення еквiвалентностi $\mathfrak{K}$ на напiвгрупi $S$ називається конгруенцiєю, якщо для елементiв $a$ i $b$ напiвгрупи $S$ з того, що виконується умова $(a,b)\in\mathfrak{K}$ випливає, що $(ca,cb),(ad,bd)\in\mathfrak{K}$, для всiх $c,d\in S$. Вiдношення $(a,b)\in\mathfrak{K}$ ми також будемо записувати $a\mathfrak{K}b$, i в цьому випадку говоритимемо, що елементи $a$ i $b$ є $\mathfrak{K}$-еквiвалентними.

Якщо $S$ — напiвгрупа, то на $E(S)$ визначено частковий порядок

[TABLE]

Так означений частковий порядок на $E(S)$ називається природним.

Означимо вiдношення $\leqslant$ на iнверснiй напiвгрупi $S$ так:

[TABLE]

для деякого iдемпотента $e\in S$. Так означений частковий порядок називається природним частковим порядком на iнверснiй напiвгрупi $S$ [32]. Очевидно, що звуження природного часткового порядку $\leqslant$ на iнверснiй напiвгрупi $S$ на її в’язку $E(S)$ є природним частковим порядком на $E(S)$. Iнверсна напiвгрупа $S$ називається факторизовною, якщо для кожного елемента $s\in S$ iснує елемент $g$ групи одиниць напiвгрупи $S$ такий, що $s\leqslant g$ стосовно природного часткового порядку $\leqslant$ на $S$.

Вiдомо, що група ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})$ iзометрiй множини цiлих чисел $\mathbb{Z}$ iзоморфна напiвпрямому добутку $\mathbb{Z}(+)\rtimes\mathbb{Z}_{2}$ адитивної групи цiлих чисел $\mathbb{Z}(+)$ циклiчною групою другого порядку $\mathbb{Z}_{2}$.

Через $\textbf{{ID}}_{\infty}$ позначимо напiвгрупу всiх часткових коскiнченних iзометрiй множини цiлих чисел $\mathbb{Z}$. Напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}$ означена в працi Безущак [8], де описано її твiрнi та доведено, що вона має експоненцiальний рiст. Зауважимо, що напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є iнверсною i, очевидно, є пiднапiвгрупою напiвгрупи всiх часткових коскiнченних бiєкцiй множини цiлих чисел $\mathbb{Z}$, а елементи напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ — це саме звуження iзометрiй множини цiлих чисел $\mathbb{Z}$ на коскiнченнi пiдмножини в розумiннi Лоусона (див. [32, с. 9]). У працi [9] описанi вiдношення Ґрiна та головнi iдеали напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$.

Пiдмножина $A$ топологiчного простору $X$ називається:

• •

щiльною в $X$, якщо $\operatorname{cl}_{X}(A)=X$;

• •

кощiльною в $X$, якщо $X\setminus A$ — щiльна в $X$;

• •

нiде не щiльною в $X$, якщо $\operatorname{cl}_{X}(A)$ — кощiльна в $X$;

• •

$F_{\sigma}$-множиною, якщо $A$ є злiченним об’єднанням замкнених множин.

Компактифiкацiєю Стоуна-Чеха тихоновського простору $X$ називається компактний гаусдорфовий простiр $\beta X$, який мiстить $X$ як щiльний пiдпростiр такий, що довiльне неперервне вiдображення $f\colon X\to Y$ в компактний гаусдорфовий простiр $Y$ продовжується до неперервного вiдображення $\overline{f}\colon\beta X\to Y$ [16].

Топологiчний простiр $X$ називається:

• •

квазiрегулярним, якщо для довiльної непорожньої вiдкритої пiдмножини $U$ в $X$ iснує вiдкрита непорожня пiдмножина $V\subseteq U$ така, що $\operatorname{cl}_{X}(V)\subseteq U$;

• •

компактним, якщо довiльне вiдкрите покриття простору $X$ мiстить скiнченне пiдпокриття;

• •

секвенцiально компактним, якщо довiльна послiдовнiсть в $X$ мiстить збiжну пiдпослiдовнiсть;

• •

злiченно компактним, якщо довiльне злiченне вiдкрите покриття простору $X$ мiстить скiнченне пiдпокриття;

• •

слабко компактним, якщо довiльна локально скiнченна сiм’я вiдкритих непорожнiх пiдмножин в $X$ є скiнченною [4];

• •

$d$-слабко компактним або DFCC-простором, якщо довiльна дискретна сiм’я вiдкритих непорожнiх пiдмножин в $X$ є скiнченною (див. [33]);

• •

псевдокомпактним, якщо $X$ є цiлком регулярним i кожна неперервна дiйснозначна функцiя на $X$ є обмеженою;

• •

локально компактним, якщо для кожної точки $x\in X$ iснує вiдкритий окiл $U(x)$ точки $x$ в $X$ з компактним замиканням $\operatorname{cl}_{X}(U(x))$;

• •

повним за Чехом, якщо $X$ є цiлком регулярним i нарiст $\beta X\setminus X$ є $F_{\sigma}$-множиною в $\beta X$;

• •

берiвським, якщо для кожної послiдовностi $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n},\ldots$ нiде нещiльних множин з $X$ об’єднання $\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}$ є кощiльною пiдмножиною в $X$;

• •

спадково берiвським, якщо довiльна непорожна замкнена пiдмножина в $X$ є берiвським простором.

За теоремою 3.10.22 з [16], цiлком регулярний простiр $X$ є слабко компактним тодi i лише тодi, коли $X$ є псевдокомпактним. Кожен компакний та кожен секвенцiально компактний простiр є злiченно компактним, кожен злiченно компактний простiр є слабко компактним, а кожен слабко компактний простiр є $d$-слабко компактним.

Топологiчний простiр $X$ iз заданою на ньому напiвгруповою операцiєю називається напiвтопологiчною (топологiчною) напiвгрупою, якщо ця напiвгрупова операцiя на $X$ є нарiзно (сукупно) неперервною. Iнверсна топологiчна напiвгрупа з неперервною iнверсiєю називається топологiчною iнверсною напiвгрупою. Топологiя $\tau$ на [iнверснiй] напiвгрупi $S$ називається [iнверсною] напiвгруповою, якщо $(S,\tau)$ — топологiчна [iнверсна] напiвгрупа. Також, топологiя $\tau$ на напiвгрупi $S$ називається трансляцiйно неперервною, $(S,\tau)$ — напiвтопологiчна напiвгрупа

Вивчення напiвгрупових недискретних тополологiзацiй напiвгруп починається з класичної працi Ебергарта та Селдена [15], у якiй доведено, що кожна напiвгрупова гаусдорфова топологiя на бiциклiчному моноїдi $\mathscr{C}(p,q)$ є дискретною. У працi [7] Бертман i Уест довели, що кожна гаусдорфова трансляцiйно неперервна топологiя на $\mathscr{C}(p,q)$ є також дискретною. У працях [17, 23] згаданi результати були поширенi на розширену бiциклiчну напiвгрупу $\mathscr{C}_{\mathbb{Z}}$ та на iнтерасоцiативностi бiциклiчного моноїда. Також Тайманов у [38] побудував приклад напiвгрупи, яка допускає лише дискретну напiвгрупову гаусдорфову топологiю та в [39] вiн визначив достатнi ознаки недискретної напiвгрупової топологiзацiї комутативної напiвгрупи. Напiвгрупа $T$ називається Таймановою, якщо вона мiстить двi рiзнi точки $0_{T},\infty_{T}$ такi, що $xy=\infty_{T}$ для довiльних рiзних точок $x,y\in T\setminus\{0_{T},\infty_{T}\}$ i $xy=\infty_{T}$ у всiх iнших випадках [20]. У працi [20] доведено, що довiльна Тайманова напiвгрупа має такi топологiчнi властивостi: (i) кожна $T_{1}$-топологiя з неперервними зсувами на $T$ є дискретною; (ii) $T$ замкнена в довiльнiй $T_{1}$-топологiчнiй напiвгрупi, що мiстить $T$ як пiднапiвгрупу; (iii) кожен неiзоморфний гомоморфний образ $Z$ напiвгрупи $T$ є напiвгрупою з нульовим множенням i, отже, є топологiчною напiвгрупою в довiльнiй топологiї на $Z$. Дискретнi та недискретнi топологiзацiї напiвгруп перетворень за модулем берiвського чи локально компактного простору вивчали в працях [5, 6, 12, 13, 19, 22, 26, 28, 29].

Проблема iзоморфного занурення напiвгруп у гаусдорфовi топологiчнi напiвгрупи близькi до компактних дослiджували в [1, 2, 3, 6, 12, 13, 18, 21, 23, 24, 25, 27].

Ми доводимо, що фактор-напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}/\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}$ за мiнiмальною груповою конгруенцiєю $\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}$ iзоморфна групi ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})$ усiх iзометрiй множини $\mathbb{Z}$; напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є $F$-iнверсною напiвгрупою, а також, що напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}$ iзоморфна напiвпрямому добутку ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})\ltimes_{\mathfrak{h}}\mathscr{P}_{\!\infty}(\mathbb{Z})$ вiльної напiвґратки з одиницею $(\mathscr{P}_{\!\infty}(\mathbb{Z}),\cup)$ групою ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})$. Визначено достатнi умови, за виконання яких трансляцiйно неперервна топологiя на $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є дискретною, а також побудовано недискретну гаусдорфову напiвгрупову топологiю на $\textbf{{ID}}_{\infty}$. Дослiджується проблема iзоморфного занурення дискретної напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ у гаусдорфовi топологiчнi напiвгрупи близькi до компактних.

2. Структурна теорема для напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$

Найменша групова конгруенцiя $\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}$ на iнверснiй напiвгрупi $S$ визначається так (див. [35, III.5]):

[TABLE]

З означення напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ випливає, що для довiльного елемента $\alpha$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ iснує єдиний елемент $\gamma_{\alpha}$ групи одиниць $H(1)$ такий, що $\alpha\leqslant\gamma_{\alpha}$, а отже, означено вiдображення

[TABLE]

З означення напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ випливає, що так означене вiдображення $\mathfrak{G}$ є сюр’єктивним гомоморфiзмом, i тим бiльше для $\alpha,\beta\in\textbf{{ID}}_{\infty}$ маємо, що

[TABLE]

Отож, ми довели таку теорему

Теорема 1**.**

Фактор-напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}/\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}$ iзоморфна групi ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})$ усiх iзометрiй множини $\mathbb{Z}$, причому природний гомоморфiзм $\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}^{\natural}\colon\textbf{{ID}}_{\infty}\rightarrow{\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})$ визначається за формулою (1).

Нагадаємо, що iнверсна напiвгрупа $S$ називається $F$-iнверсною, якщо $\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}$-клас $s_{\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}}$ кожного елемента $s$ має найбiльший елемент стосовно природного часткового порядку в $S$ [34]. Очевидно, що кожна $F$-iнверсна напiвгрупа мiстить одиницю.

З означення напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ випливає, що довiльного елемента $\alpha$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ iснує єдиний елемент $\gamma_{\alpha}$ групи одиниць $H(1)$ такий, що $\alpha\leqslant\gamma_{\alpha}$, а отже, виконується

Наслiдок 1**.**

$\textbf{{ID}}_{\infty}$* є $F$-iнверсною напiвгрупою.*

Для довiльного елемента $s$ iнверсної напiвгрупи $S$ позначимо

[TABLE]

де $\leqslant$ — природний частковий порядок на $S$.

Нехай $S$ — довiльна $F$-iнверсна напiвгрупа. Тодi для довiльного елемента $s$ напiвгрупи $S$ через $e_{s}$ позначимо iдемпотент $ss^{-1}\in S$, через $t_{s}$ — найбiльший елемент стосовно природного часткового порядку на $S$ в $\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}$-класi $s_{\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}}$ елемента $s$, i нехай $T_{S}=\{t_{s}\colon s\in S\}$. Тодi напiвгрупа $S$ є диз’юнктним об’єднанням множин ${\downarrow}t$, де $t\in T_{S}$ [34].

Структура $F$-iнверсних напiвгруп викладена у [34], надалi ми далi використаємо такi два твердження для описання напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$.

Лема 1** ([34, лема 3]).**

Нехай $S$ — $F$-iнверсна напiвгрупа з одиницею $1_{S}$. Тодi:

• $(i)$

$1_{S}$* — одиниця напiвґратки $E(S)$;*

• $(ii)$

множина $T_{S}$ з бiнарною операцiєю

[TABLE]

є групою з нейтральним елементом $1_{S}$, i $t^{-1}$ є оберненим до елемента $t$ в групi $(T_{S},\ast)$;

• $(iii)$

для кожного елемента $t\in T_{S}$ вiдображення $\mathfrak{F}_{t}\colon E(S)\rightarrow{\downarrow}e_{t}$, означене за формулою

[TABLE]

є сюр’єктивним гомоморфiзмом, причому $\mathfrak{F}_{1_{S}}$ є тотожним вiдображенням на $E(S)$;

• $(iv)$

$(1_{S})\mathfrak{F}_{t}=e_{t}$* й $(e_{t})\mathfrak{F}_{t^{-1}}=e_{t^{-1}}$, для довiльного елемента $t\in T_{S}$;*

• $(v)$

для довiльних елементiв $u,v\in S$ виконується рiвнiсть

[TABLE]

• $(vi)$

якщо $u,v\in T_{S}$, то

[TABLE]

для всiх iдемпотентiв $f\leqslant e_{u}$ та $g\leqslant e_{v}$ напiвгрупи $S$.

Теорема 2** ([34, теорема 3]).**

Нехай $S$ — $F$-iнверсна напiвгрупа та $\mathscr{S}{=}\displaystyle\!\bigcup_{t\in T_{S}}\!\left({\downarrow}e_{t}{\times}\{t\}\right)$. Означимо на $\mathscr{S}$ бiнарну операцiю $\circ$ так: якщо $u,v\in T_{S}$, то для iдемпотентiв $f\leqslant e_{u}$ та $g\leqslant e_{v}$ приймемо

[TABLE]

Тодi $\circ$ — напiвгрупова операцiя на $\mathscr{S}$ i напiвгрупа $\left(\mathscr{S},\circ\right)$ iзоморфна напiвгрупi $S$ стосовно вiдображення $\mathfrak{H}\colon S\rightarrow\mathscr{S}\colon s\mapsto\left(ss^{-1},t_{s}\right)$.

Нехай $A$ та $B$ — напiвгрупи, $\operatorname{\textsf{End}}(B)$ — напiвгрупа ендоморфiзмiв напiвгрупи $B$ i визначено гомоморфiзм $\mathfrak{h}\colon A\rightarrow\operatorname{\textsf{End}}(B)\colon b\mapsto\mathfrak{h}_{b}$. Тодi множина $A\times B$ з бiнарною операцiєю

[TABLE]

називається напiвпрямим добутком напiвгрупи $A$ напiвгрупою $B$ стосовно гомоморфiзму $\mathfrak{h}$ i позначається $A\ltimes_{\mathfrak{h}}B$ [32]. У цьому випадку кажуть, що визначена права дiя напiвгрупи $A$ на напiвгрупi $B$ ендоморфiзмiв (гомоморфiзмiв). Зауважимо, що напiвпрямий добуток iнверсних напiвгруп не завжди є iнверсною напiвгрупою (див. [32, роздiл 5.3]).

Лема 2**.**

Вiдображення $\mathfrak{h}\colon H(1)\rightarrow\operatorname{\textsf{End}}\left(E(\textbf{{ID}}_{\infty})\right)\colon\gamma\mapsto\mathfrak{h}_{\gamma}$, де $(\alpha)\mathfrak{h}_{\gamma}=\gamma^{-1}\alpha\gamma$ — автоморфiзм напiвґратки $E(\textbf{{ID}}_{\infty})$, є гомоморфiзмом, причому $\mathfrak{h}_{1}$ — тотожний автоморфiзм напiвґратки $E(\textbf{{ID}}_{\infty})$.

Доведення.

Для довiльних $\gamma\in H(1)$, $\varepsilon,\iota\in E(\textbf{{ID}}_{\infty})$ отримаємо, що

[TABLE]

а отже, $\mathfrak{h}_{\gamma}$ — гомоморфiзм напiвґратки $E(\textbf{{ID}}_{\infty})$. Оскiльки для довiльних $\gamma\in H(1)$ та $\varepsilon\in E(\textbf{{ID}}_{\infty})$ елемент $\gamma\varepsilon\gamma^{-1}$ є iдемпотентом напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ i

[TABLE]

то гомоморфiзм $\mathfrak{h}_{\gamma}$ — сюр’єктивне вiдображення. Очевидно, що $\mathfrak{h}_{1}$ — тотожне вiдображення напiвґратки $E(\textbf{{ID}}_{\infty})$.

Припустимо, що $(\varepsilon)\mathfrak{h}_{\gamma}=(\iota)\mathfrak{h}_{\gamma}$, для деяких $\gamma\in H(1)$, $\varepsilon,\iota\in E(\textbf{{ID}}_{\infty})$. Оскiльки $H(1)$ — група одиниць напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$, то з рiвностей

[TABLE]

випливає, що

[TABLE]

а отже, $\mathfrak{h}_{\gamma}$ — автоморфiзм напiвґратки $E(\textbf{{ID}}_{\infty})$.

Зафiксуємо довiльнi $\gamma,\delta\in H(1)$. Тодi для довiльного iдемпотента $\varepsilon\in\textbf{{ID}}_{\infty}$ маємо, що

[TABLE]

а отже, так означене вiдображення $\mathfrak{h}\colon H(1)\rightarrow\operatorname{\textsf{End}}\left(E(\textbf{{ID}}_{\infty})\right)$ є гомоморфiзмом. ∎

Наступна теорема описує структуру напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$.

Теорема 3**.**

Напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}$ iзоморфна напiвпрямому добутку ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})\ltimes_{\mathfrak{h}}\mathscr{P}_{\!\infty}(\mathbb{Z})$ вiльної напiвґратки з одиницею $(\mathscr{P}_{\!\infty}(\mathbb{Z}),\cup)$ групою ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})$ усiх iзометрiй множини цiлих чисел $\mathbb{Z}$.

Доведення.

Оскiльки група одиниць $H(1)$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ iзоморфна групi ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})$ усiх iзометрiй множини $\mathbb{Z}$, то нам достатньо довести, що напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}$ iзоморфна напiвпрямому добутку $H(1)\ltimes_{\mathfrak{h}}E(\textbf{{ID}}_{\infty})$ напiвґратки $E(\textbf{{ID}}_{\infty})$ групою одиниць $H(1)$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ стосовно гомоморфiзму $\mathfrak{h}\colon H(1)\rightarrow\operatorname{\textsf{End}}\left(E(\textbf{{ID}}_{\infty})\right)\colon\gamma\mapsto\mathfrak{h}_{\gamma}$, де $(\alpha)\mathfrak{h}_{\gamma}=\gamma^{-1}\alpha\gamma$.

Означимо вiдображення $\mathfrak{T}\colon\textbf{{ID}}_{\infty}\rightarrow H(1)\ltimes_{\mathfrak{h}}E(\textbf{{ID}}_{\infty})$ за формулою

[TABLE]

де елемент $\gamma_{\alpha}$ групи одиниць $H(1)$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$, визначений формулою (1). Оскiльки для довiльного елемента $\alpha$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ iснує єдиний елемент $\gamma_{\alpha}$ групи одиниць $H(1)$ такий, що $\alpha\leqslant\gamma_{\alpha}$, то з наслiдку 1 випливає, що вiдображення $\mathfrak{T}\colon\textbf{{ID}}_{\infty}\rightarrow H(1)\ltimes_{\mathfrak{h}}E(\textbf{{ID}}_{\infty})$ означене коректно, i воно є сюр’єктивним. Припустимо, що iснують елементи $\alpha$ та $\beta$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ такi, що $(\alpha)\mathfrak{T}=(\beta)\mathfrak{T}$. Тодi $\left(\gamma_{\alpha},\alpha^{-1}\alpha\right)=\left(\gamma_{\beta},\beta^{-1}\beta\right)$ i, використавши властивiсть, що для довiльного елемента $\alpha$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ iснує єдиний елемент $\gamma_{\alpha}$ групи одиниць $H(1)$ такий, що $\alpha\leqslant\gamma_{\alpha}$, i лему 1.4.6 з [32], отримуємо

[TABLE]

а отже, вiдображення $\mathfrak{T}\colon\textbf{{ID}}_{\infty}\rightarrow H(1)\ltimes_{\mathfrak{h}}E(\textbf{{ID}}_{\infty})$ є сюр’єктивним.

Нехай $\alpha$ та $\beta$ — довiльнi елементи напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$. Тодi з формули (1) i теореми 1 випливає, що $\alpha\beta\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}\gamma_{\alpha}\gamma_{\beta}$, i оскiльки $\gamma_{\alpha},\gamma_{\beta}\in H(1)$, то отримуємо, що $\gamma_{\alpha}\gamma_{\beta}=\gamma_{\alpha\beta}$. Звiдси випливає, що

[TABLE]

За лемою 2 вiдображення $\mathfrak{h}_{\gamma}\colon E(\textbf{{ID}}_{\infty})\rightarrow E(\textbf{{ID}}_{\infty})\colon\alpha\mapsto\gamma^{-1}\alpha\gamma$ є автоморфiзмом напiвґратки $E(\textbf{{ID}}_{\infty})$, а отже отримуємо, що елемент $\gamma_{\beta}^{-1}\alpha^{-1}\alpha\gamma_{\beta}$ є iдемпотентом напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$. Оскiльки $\textbf{{ID}}_{\infty}$ — iнверсна напiвгрупа, то для довiльного елемента $\alpha$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ iснує єдиний елемент $\gamma_{\alpha}$ групи одиниць $H(1)$ такий, що $\alpha\leqslant\gamma_{\alpha}$. З леми 1.4.6 з [32] виливає, що $\beta=\gamma_{\beta}\beta^{-1}\beta$, а отже,

[TABLE]

Отож, отримуємо

[TABLE]

а отже, вiдображення $\mathfrak{T}\colon\textbf{{ID}}_{\infty}\rightarrow H(1)\ltimes_{\mathfrak{h}}E(\textbf{{ID}}_{\infty})$ є гомоморфiзмом, що i завершує доведення теореми. ∎

Позаяк група ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})$ iзоморфна напiвпрямому добутку $\mathbb{Z}(+)\rtimes\mathbb{Z}_{2}$, то з теореми 3 випливає наслiдок.

Наслiдок 2**.**

Напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}$ iзоморфна напiвпрямому добутку

[TABLE]

Надалi нам буде потрiбне таке твердження.

Твердження 1**.**

Для довiльного $\alpha\in\textbf{{ID}}_{\infty}$ множина

[TABLE]

скiнченна.

Доведення.

З леми 1.4.6 [32] випливає, що

[TABLE]

i, використавши те, що у напiвгрупi $\textbf{{ID}}_{\infty}$ усi iдемпотенти є частковими тотожними вiдображеннями коскiнченних у $\mathbb{Z}$ пiдмножин, отримуємо, що пiдмножина ${\uparrow}\alpha$ є скiнченною в $\textbf{{ID}}_{\infty}$. ∎

Твердження 2**.**

Для довiльних $\alpha,\beta\in\textbf{{ID}}_{\infty}$ множини

[TABLE]

скiнченнi. Причому, якщо $R(\alpha|\beta)\neq\varnothing$ $(L(\alpha|\beta)\neq\varnothing)$, то $\left|R(\alpha|\beta)\cap H(1)\right|=1$ $(\left|L(\alpha|\beta)\cap H(1)\right|=1)$.

Доведення.

Зауважимо, очевидно, що $R(\alpha|\beta)$ є пiдмножиною множини

[TABLE]

оскiльки $\alpha^{-1}\alpha$ є iдемпотентом напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$, то отримуємо, що $R\subseteq{\uparrow}\alpha^{-1}\beta$. Тодi за твердженням 1 отримуємо, що $R$ — скiнченна, а отже, $R(\alpha|\beta)$ — скiнченна пiдмножина в $\textbf{{ID}}_{\infty}$. Останнє твердження випливає з того, що $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є $F$-напiвгрупою. Доведення твердження у випадку множини $L(\alpha|\beta)$ є аналогiчним. ∎

3. Про (напiв)топологiчну напiвгрупу $\textbf{{ID}}_{\infty}$

Твердження 3**.**

Нехай $\tau$ — $T_{1}$-топологiя на напiвгрупi $\textbf{{ID}}_{\infty}$ стосовно якої лiвi (правi) зсуви в $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$ є неперервними вiдображеннями та топологiчний простiр $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$ мiстить iзольовану точку. Тодi група одиниць $H(1)$ є дискретним пiдпростором в $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$.

Доведення.

Припустимо, що лiвi зсуви в $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$ є неперервними вiдображеннями. Нехай $\alpha_{0}$ — iзольована точка в $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$. Тодi з неперервностi лiвих зсувiв у $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$ випливає, що множина ${\uparrow}\alpha_{0}$ — вiдкрито-замкнена, як повний прообраз вiдкрито-замкненої множини при неперервному лiвому зсувi на iдемпотент $\alpha_{0}\alpha_{0}^{-1}$. Позаяк $\tau$ — $T_{1}$-топологiя на напiвгрупi $\textbf{{ID}}_{\infty}$, то за твердженням 2 група одиниць $H(1)$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ мiстить iзольовану точку в $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$. Але в кожнiй групi рiвняння $ax=b$ має єдиний розв’язок i множина $\textbf{{ID}}_{\infty}\setminus H(1)$ є двобiчним iдеалом в напiвгрупi $\textbf{{ID}}_{\infty}$, то з неперервностi лiвих зсувiв у $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$ випливає, що кожен елемент групи одиниць $H(1)$ є iзольованою точкою в просторi $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$.

Для правих зсувiв доведення аналогiчне. ∎

Теорема 4**.**

Нехай $\tau$ — берiвська $T_{1}$-топологiя на напiвгрупi $\textbf{{ID}}_{\infty}$, стосовно якої лiвi (правi) зсуви в $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$ є неперервними вiдображеннями. Тодi група одиниць $H(1)$ є дискретним пiдпростором в $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$.

Доведення.

Припустимо, що лiвi зсуви в $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$ є неперервними вiдображеннями. Позаяк напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}$ злiченна, то з беровостi $T_{1}$-простору $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$ випливає, що хоча б один елемент сiм’ї $\left\{\left\{\alpha\right\}\colon\alpha\in\textbf{{ID}}_{\infty}\right\}$ має непорожню внутрiшнiсть в $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$, а отже, простiр $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$ мiстить iзольовану точку. Далi скористаємося твердженням 3. ∎

Кажуть, що топологiя $\tau$ на напiвгрупi $S$ є лiво (право) $E$-берiвською, якщо для довiльного iдемпотента $e\in S$ пiдпростiр $eS$ ($Se$) в $S$ є берiвським.

Теорема 5**.**

Кожна лiво (право) $E$-берiвська $T_{1}$-топологiя $\tau$ на напiвгрупi $\textbf{{ID}}_{\infty}$, стосовно якої правi (лiвi) зсуви в $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$ є неперервними вiдображеннями, дискретна.

Доведення.

Нехай $\tau$ — лiво $E$-берiвська $T_{1}$-топологiя на напiвгрупi $\textbf{{ID}}_{\infty}$, стосовно якої лiвi (правi) зсуви в $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$ є неперервними вiдображеннями. Оскiльки $\textbf{{ID}}_{\infty}$ — iнверсна напiвгрупа, то $\alpha\textbf{{ID}}_{\infty}=\alpha\alpha^{-1}\textbf{{ID}}_{\infty}$ для довiльного елемента $\alpha\in\textbf{{ID}}_{\infty}$, а отже, $\alpha\textbf{{ID}}_{\infty}$ — берiвський пiдпростiр в $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$. Тодi з беровостi $T_{1}$-простору $\alpha\textbf{{ID}}_{\infty}$ випливає, що хоча б один елемент сiм’ї $\left\{\left\{\beta\right\}\colon\beta\in\alpha\textbf{{ID}}_{\infty}\right\}$ має непорожню внутрiшнiсть в $\alpha\textbf{{ID}}_{\infty}$, а отже, простiр $\alpha\textbf{{ID}}_{\infty}$ мiстить iзольовану точку. Нехай $\alpha_{0}$ — iзольована точка в $\alpha\textbf{{ID}}_{\infty}$ i $\alpha\beta=\alpha_{0}$ для деякого $\beta\in\textbf{{ID}}_{\infty}$. Тодi з неперервностi правих зсувiв у $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$ та твердження 2 випливає, що множина

[TABLE]

є скiнченною та вiдкритою в $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$ як повний прообраз вiдкритої множини при неперервному правому зсувi на елемент $\beta$, i, крiм того, вона мiстить елемент $\alpha$. Звiдки випливає, що $\alpha$ — iзольована точка в $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$. З довiльностi вибору елемента $\alpha\in\textbf{{ID}}_{\infty}$ випливає, що усi точки простору $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau\right)$ iзольованi. ∎

Позаяк в гаусдорфовiй напiвтопологiчнiй напiвгрупi $S$ множини $eS$ i $Se$ — замкненi для довiльного iдемпотента $e\in S$, то з теореми 5 випливає такий наслiдок

Наслiдок 3**.**

Кожна гаусдорфова трансляцiйно неперервна спадково берiвська топологiя $\tau$ на напiвгрупi $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є дискретною.

Оскiльки кожен гаусдорфовий локально компактний топологiчний простiр є повним за Чехом, а кожен повний за Чехом є спадково берiвським (див. [16]), то з наслiдку 3 випливає наслiдок 4.

Наслiдок 4**.**

Кожна гаусдорфова трансляцiйно неперервна повна за Чехом (а отже, i локально компактна) топологiя $\tau$ на напiвгрупi $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є дискретною.

З наступного прикладу випливає, що на напiвгрупi $\textbf{{ID}}_{\infty}$ iснує недискретна неберiвська гаусдорфова топологiя $\tau_{\textsf{NB}}$ така, що $\left(\textbf{{ID}}_{\infty},\tau_{\textsf{NB}}\right)$ є топологiчною напiвгрупою.

Приклад 1**.**

Вiдомо, що група iзометрiй ${\textsf{Iso}}(\mathbb{T}^{1})$ одиничного кола

[TABLE]

на комплекснiй площинi iзоморфна напiвпрямому добутку $\mathbb{T}^{1}\rtimes\mathbb{Z}_{2}$ та вiдображення

[TABLE]

є iзоморфним (алгебричним) зануренням групи ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})$ в групу ${\textsf{Iso}}(\mathbb{T}^{1})$. Нехай на одиничному колi $\mathbb{T}^{1}$ задано компактну топологiю, iндуковану з $\mathbb{C}$, де на $\mathbb{C}$ визначена звичайна евклiдова топологiя, а на групi $\mathbb{Z}_{2}$ визначена дискретна топологiя. Тодi $\mathbb{T}^{1}\rtimes\mathbb{Z}_{2}$ з топологiєю добутку є компактною топологiчною групою (див. [36, приклад 6.22]), яка iндукує на пiдгрупi ${\textsf{Iso}}(\mathbb{Z})$ недискретну групову топологiю.

Нехай на напiвґратцi $\mathscr{P}_{\!\infty}(\mathbb{Z})$ задана дискретна топологiя. Тодi за теоремою 2.10 з [11, том 1, с. 67] напiвгрупа $\left(\mathbb{Z}(+)\rtimes\mathbb{Z}_{2}\right)\ltimes_{\mathfrak{h}}\mathscr{P}_{\!\infty}(\mathbb{Z})$ з топологiєю добутку є топологiчною напiвгрупою, яка, очевидно, не є дискретним простором.

Лема 3**.**

Якщо $A$ — дискретний щiльний пiдпростiр $T_{1}$-топологiчного простору $X$, то $A$ — вiдкритий пiдпростiр в $X$.

Доведення.

Припустимо протилежне: iснує точка $x\in A$ така, що кожен її вiдкритий окiл $U(x)$ перетинає множину $X\setminus A$. Зафiксуємо довiльний вiдкритий окiл $U_{0}(x)$ точки $x$ в топологiчному просторi $X$ такий, що $U_{0}(x)\cap A=\{x\}$. Тодi $U_{0}(x)$ є вiдкритим околом деякої точки $y\in U_{0}(x)\cap X\setminus A$ в топологiчному просторi $X$, а отже, $U_{0}(x)$ мiстить нескiнченну кiлькiсть точок множини $A$, що суперечить вибору околу $U_{0}(x)$. З отриманої суперечностi випливає твердження леми. ∎

Теорема 6**.**

Нехай дискретна напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є щiльною пiднапiвгрупою $T_{1}$-напiвтопологiчної напiвгрупи $S$ й $I=S\setminus\textbf{{ID}}_{\infty}\neq\varnothing$. Тодi $I$ є двобiчним iдеалом в $S$.

Доведення.

З леми 3 випливає, що $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є вiдкритим пiдпростором в $S$.

Зафiксуємо довiльний елемент $y\in I$, якщо $x\cdot y=z\notin I$ для деякого елемента $x\in\textbf{{ID}}_{\infty}$, то iснує вiдкритий окiл $U(y)$ точки $y$ в топологiчному просторi $S$ такий, що $\{x\}\cdot U(y)=\{z\}\subset\textbf{{ID}}_{\infty}$. Окiл $U(y)$ мiстить нескiнченну кiлькiсть елементiв напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$, що суперечить твердженню 2. З отриманого протирiччя випливає, що $x\cdot y\in I$ для всiх $x\in\textbf{{ID}}_{\infty}$ and $y\in I$. Доведення твердження, що $y\cdot x\in I$ для всiх $x\in\textbf{{ID}}_{\infty}$ та $y\in I$ є аналогiчним.

Припустимо протилежне: $x\cdot y=w\notin I$, для деяких $x,y\in I$. Тодi $w\in\textbf{{ID}}_{\infty}$ i з нарiзної неперервностi напiвгрупової операцiї в $S$ випливає, що iснують вiдкритi околи $U(x)$ та $U(y)$ точок $x$ та $y$ в просторi $S$, вiдповiдно, такi, що $\{x\}\cdot U(y)=\{w\}$ and $U(x)\cdot\{y\}=\{w\}$. Однак обидва околи $U(x)$ i $U(y)$ мiстять нескiнченну кiлькiсть елементiв напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$, а отже, обидвi рiвностi $\{x\}\cdot U(y)=\{w\}$ й $U(x)\cdot\{y\}=\{w\}$ суперечать попереднiй частинi доведення теореми, оскiльки $\{x\}\cdot\left(U(y)\cap\textbf{{ID}}_{\infty}\right)\subseteq I$. З отриманого протирiччя випливає, що $x\cdot y\in I$. ∎

Твердження 4**.**

Нехай гаусдорфова топологiчна напiвгрупа $S$ мiстить дискретну напiвгрупу $\textbf{{ID}}_{\infty}$ як щiльну пiднапiвгрупу. Тодi для довiльного $c\in\textbf{{ID}}_{\infty}$ множина

[TABLE]

вiкрито-замкнена в $S\times S$.

Доведення.

З леми 3 випливає, що $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є вiдкритим пiдпростором в $S$. Тодi з неперервностi напiвгрупової операцiї в напiвгрупi $S$ отримуємо, що $D_{c}$ — вiдкрита пiдмножина в просторi $S\times S$ для довiльного елемента $c\in\textbf{{ID}}_{\infty}$.

Припустимо, що iснує такий елемент $c\in\textbf{{ID}}_{\infty}$, що $D_{c}$ є незамкненою пiдмножиною в $S\times S$. Тодi iснує точка накопичення $(a,b)\in S\times S$ множини $D_{c}$. З неперервностi напiвгрупової операцiї в $S$ випливає, що $a\cdot b=c$. Але $\textbf{{ID}}_{\infty}\times\textbf{{ID}}_{\infty}$ є дискретним пiдпростором в $S\times S$, а отже, за теоремою 6 точки $a$ i $b$ належать до двобiчного iдеалу $I=S\setminus\textbf{{ID}}_{\infty}$, а звiдси випливає, що добуток $a\cdot b\in S\setminus\textbf{{ID}}_{\infty}$ не може дорiвнювати елементовi $c$. ∎

Теорема 7**.**

Якщо гаусдорфова топологiчна напiвгрупа $S$ мiстить напiвгрупу $\textbf{{ID}}_{\infty}$ як щiльну дискретну пiднапiвгрупу, то квадрат $S\times S$ не є слабко компактним простором.

Доведення.

З твердженням 4 для довiльного елемента $c\in\textbf{{ID}}_{\infty}$ квадрат $S\times S$ мiстить вiдкрито-замкнений дискретний пiдпростiр $D_{c}$. У випадку, коли $c$ є одиницею групи одиниць напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$, то множина $D_{c}$ мiстить нескiнченну пiдмножину $\left\{\left(x,x^{-1}\right)\colon x\in H(1)\right\}$, а отже, множина $D_{c}$ є нескiнченною. Звiдси випливає, що простiр $S\times S$ не є слабко компактним. ∎

З iншого боку, кожен злiченно компактний простiр є слабко компактним i за теоремою 3.10.4 з [16] замкнений пiдпростiр злiченно компактного простору є знову злiченно компактним, то з теореми 7 випливає наслiдок 5.

Наслiдок 5**.**

Якщо гаусдорфова топологiчна напiвгрупа $S$ мiстить дискретну напiвгрупу $\textbf{{ID}}_{\infty}$, то її квадрат $S\times S$ не є злiченно компактним простором.

Вiдомо, що компактнiсть i секвенцiальна компактнiсть зберiгається скiнченними добутками (див. [16, роздiл 3]), а отже, з наслiдку 5 випливають такi два наслiдки

Наслiдок 6**.**

Дискретна напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}$ не занурюється топологiчно iзоморфно в жодну гаусдорфову компактну топологiчну напiвгрупу.

Наслiдок 7**.**

Дискретна напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}$ не занурюється топологiчно iзоморфно в жодну гаусдорфову секвенцiально компактну топологiчну напiвгрупу.

Теорема 8**.**

Якщо гаусдорфова топологiчна напiвгрупа $S$ мiстить напiвгрупу $\textbf{{ID}}_{\infty}$ з iзольованою точкою в $\textbf{{ID}}_{\infty}$, то квадрат $S\times S$ не є злiченно компактним простором.

Доведення.

Якщо напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}$ мiстить iзольовану точку, то за твердженням 3 група одиниць $H(1)$ є дискретним пiдпростором в $\textbf{{ID}}_{\infty}$. Тодi за твердженням 2.3.3 з [16] отримаємо, що $\operatorname{cl}_{S\times S}(H(1)\times H(1))=\operatorname{cl}_{S}(H(1))\times\operatorname{cl}_{S}(H(1))$, а тодi з теореми 3.10.4 з [16] випливає, що $\operatorname{cl}_{S\times S}(H(1)\times H(1))$ — злiченно компактний простiр. Однак $\operatorname{cl}_{S\times S}(H(1)\times H(1))$ — замкнена пiднапiвгрупа в $S\times S$ (див. [11, т. 1, с. 9–10]), то з аналогiчних мiркувань (як i в доведеннi твердження 4 i теореми 7) отримуємо, що $\operatorname{cl}_{S\times S}(H(1)\times H(1))$ не є слабко компактним пiдпростором в $S\times S$, а отже, за теоремою 3.10.4 з [16] простiр $S\times S$ не є злiченно компактним. ∎

Теорема 9**.**

Слабко компактна квазi-регулярна $T_{1}$-топологiчна iнверсна напiвгрупа не мiстить напiвгрупу $\textbf{{ID}}_{\infty}$ як щiльну пiднапiвгрупу.

Доведення.

Припустимо протилежне: iснує слабко компактна квазi-регулярна $T_{1}$-топологiчна iнверсна напiвгрупа $S$, яка мiстить напiвгрупу $\textbf{{ID}}_{\infty}$ як щiльну пiднапiвгрупу. Тодi з теореми 2.8 монографiї [31] випливає, що простiр напiвгрупи $S$ є берiвським, а отже, хоча б один елемент сiм’ї $\mathscr{U}=\left\{s\colon s\in\textbf{{ID}}_{\infty}\right\}\cup\left\{S\setminus\textbf{{ID}}_{\infty}\right\}$ має непорожню внутрiшнiсть. Позаяк усi точки множини $S\setminus\textbf{{ID}}_{\infty}$ є точками дотику до множини $\textbf{{ID}}_{\infty}$ у просторi $S$, то $\operatorname{int}_{S}\left(S\setminus\textbf{{ID}}_{\infty}\right)=\varnothing$, а отже, напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}$ мiстить iзольовану точку в просторi $S$. Тодi за твердженням 3 група одиниць $H(1)$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є дискретним пiдпростором у напiвгрупi $\textbf{{ID}}_{\infty}$, а отже, i у просторi $S$. Припустимо, що група одиниць $H(1)$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ не є замкненим пiдпростором у топологiчнiй iнверснiй напiвгрупi $S$. Зафiксуємо довiльний елемент $s\in S$ такий, що $s\in\operatorname{cl}_{S}\left(H(1)\right)\setminus H(1)$. Доведемо, що $ss^{-1}\neq 1\neq s^{-1}s$. Нехай $U(1)$ — довiльний вiдкритий окiл одиницi $1$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ у топологiчнiй iнверснiй напiвгрупi $S$ такий, що $U(1)\cap\textbf{{ID}}_{\infty}=\{1\}$. Однак $S$ — топологiчна iнверсна напiвгрупа, а отже, iснує вiдкритий окiл $V(s)$ елемента $s$ у просторi $S$ такий, що

[TABLE]

Але окiл $V(s)$ елемента $s$ мiстить нескiнченну кiлькiсть елементiв групи одиниць $H(1)$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$, то

[TABLE]

а це суперечить вибору околу $U(1)$. З отриманої суперечностi випливає, що група одиниць $H(1)$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є замкненим пiдпростором у топологiчнiй iнверснiй напiвгрупi $S$, i бiльше того, група одиниць $H(1)$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є групою одиниць напiвгрупи $S$.

Далi зауважимо, що група одиниць $H(1)$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є вiдкритим пiдпростором в просторi $S$. Справдi, з наведених мiркувань випливає, що напiвгрупа $S$ мiстить iзольовану точку $s_{0}\in\textbf{{ID}}_{\infty}$ в просторi $S$. Позаяк $S$ — топологiчна iнверсна напiвгрупа, то повний прообраз $(\{s_{0}\})\rho_{s_{0}}^{-1}$ стосовно правого зсуву $\rho_{s_{0}}\colon S\rightarrow S:s\mapsto s\cdot s_{0}$ є вiдкритою пiдмножиною в $S$. З означення напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ випливає, що $(\{s_{0}\})\rho_{s_{0}}^{-1}\cap H(1)=\{1\}$. Доведемо, шо множина $(\{s_{0}\})\rho_{s_{0}}^{-1}$ скiнченна. Припустимо протилежне. Нехай $(\{s_{0}\})\rho_{s_{0}}^{-1}$ — нескiнченна множина в $S$. Тодi з твердження 2 випливає, що вiдкрита пiдмножина $(\{s_{0}\})\rho_{s_{0}}^{-1}$ мiстить нескiнченну кiлькiсть елементiв з наросту $S\setminus\textbf{{ID}}_{\infty}$, а отже, вона є вiдкритим околом деякої точки $x\in S\setminus\textbf{{ID}}_{\infty}$. Але довiльний вiдкритий окiл точки $x\in S\setminus\textbf{{ID}}_{\infty}$ мiстить нескiнченну кiлькiсть елементiв напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$, а це суперечить твердженню 2, оскiльки $\left((\{s_{0}\})\rho_{s_{0}}^{-1}\right)\rho_{s_{0}}=\left\{s_{0}\right\}$. Отож, ми отримали, що множина $(\{s_{0}\})\rho_{s_{0}}^{-1}$ вiдкрита та скiнченна, i, крiм того, вона мiстить одиницю $1$ групи одиниць $H(1)$. Отже, одиниця $1$ групи одиниць $H(1)$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є iзольованою точкою в просторi $S$. Зафiксуємо довiльний елемент $x_{0}$ групи одиниць $H(1)$. Позаяк $S$ — топологiчна iнверсна напiвгрупа, то повний прообраз $(\{1\})\rho_{x_{0}^{-1}}^{-1}$ стосовно правого зсуву $\rho_{x_{0}^{-1}}\colon S\rightarrow S:s\mapsto s\cdot x_{0}^{-1}$ є вiдкритою пiдмножиною в $S$. Тодi з означення напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ випливає, що $(\{1\})\rho_{x_{0}^{-1}}^{-1}\cap\textbf{{ID}}_{\infty}=\left\{x_{0}\right\}$. Використовуючи твердження 2, отримуємо, що $(\{1\})\rho_{x_{0}^{-1}}^{-1}\cap S=\left\{x_{0}\right\}$. Отож, група одиниць $H(1)$ напiвгрупи $\textbf{{ID}}_{\infty}$ є вiдкрито-замкненим дискретним пiдпростором у топологiчнiй iнверснiй напiвгрупi $S$, а це суперечить слабкiй компактностi простору $S$. З отриманого протирiччя випливає твердження теореми. ∎

Теорема 10**.**

Напiвгрупа $\textbf{{ID}}_{\infty}$ не занурюється в жодну злiченно компактну $T_{3}$-топологiчну iнверсну напiвгрупу.

Доведення.

Припустимо, що iснує злiченно компактна $T_{3}$-топологiчна iнверсна напiвгрупа $S$, яка мiстить напiвгрупу $\textbf{{ID}}_{\infty}$. Тодi з теорем 2.1.6 i 3.10.4 з [16] випливає, що замикання $\operatorname{cl}_{S}\left(\textbf{{ID}}_{\infty}\right)$ є злiченно компактним $T_{3}$-простором, а з твердження II.2 з [15], що $\operatorname{cl}_{S}\left(\textbf{{ID}}_{\infty}\right)$ — топологiчна iнверсна напiвгрупа. Отже, $T_{3}$-топологiчна iнверсна напiвгрупа $\operatorname{cl}_{S}\left(\textbf{{ID}}_{\infty}\right)$ мiстить щiльну напiвгрупу, а це суперечить теоремi 9. З отриманого протирiччя випливає твердження теореми. ∎

Подяка

Автори висловлюють подяку С. Бардилi, О. Равському та рецензенту за кориснi коментарi та зауваження.

Лiтература

• [1]

L. W. Anderson, R. P. Hunter, and R. J. Koch, Some results on stability in semigroups, Trans. Amer. Math. Soc. 117 (1965), 521–529.

• [2]

T. O. Banakh, S. Dimitrova, and O. V. Gutik, The Rees-Suschkewitsch Theorem for simple topological semigroups, Mat. Stud. 31 (2009), no. 2, 211–218.

• [3]

T. Banakh, S. Dimitrova, and O. Gutik, Embedding the bicyclic semigroup into countably compact topological semigroups, Topology Appl. 157 (2010), no. 18, 2803–2814.

• [4]

R. W. Bagley, E. H. Connell, and J. D. McKnight, Jr., On properties characterizing pseudo-compact spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 9 (1958), no. 3, 500–506.

• [5]

S. Bardyla, Classifying locally compact semitopological polycyclic monoids, Мат. вiсник Наук. т-ва iм. T. Шевченка 13 (2016), 21–28.

• [6]

S. Bardyla and O. Gutik, On a semitopological polycyclic monoid, Algebra Discrete Math. 21 (2016), no. 2, 163–183.

• [7]

M. O. Bertman and T. T. West, Conditionally compact bicyclic semitopological semigroups, Proc. Roy. Irish Acad. A76 (1976), no. 21–23, 219–226.

• [8]

O. Bezushchak, On growth of the inverse semigroup of partially defined co–finite automorphisms of integers, Algebra Discrete Math. (2004), no. 2, 45–55.

• [9]

О. О. Безущак, Вiдношення Ґрiна iнверсної напiвгрупи частково визначених коскiнченних iзометрiй дискретної лiнiйки, Вiсник Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. (2008), no. 1, 12–16.

• [10]

В. В. Вагнер, Обощенные группы, ДАН СССР 84 (1952), 1119–1122.

• [11]

J. H. Carruth, J. A. Hildebrant, and R. J. Koch, The theory of topological semigroups, Vols. I and II, Marcell Dekker, Inc., New York and Basel, 1983 and 1986.

• [12]

I. Chuchman and O. Gutik, Topological monoids of almost monotone, injective cofinite partial selfmaps of positive integers, Carpathian Math. Publ. 2 (2010), no. 1, 119–132.

• [13]

I. Chuchman and O. Gutik, On monoids of injective partial selfmaps almost everywhere the identity, Demonstr. Math. 44 (2011), no. 4, 699–722.

• [14]

A. H. Clifford and G. B. Preston, The algebraic theory of semigroups, Vols. I and II, Amer. Math. Soc. Surveys 7, Providence, R.I., 1961 and 1967.

• [15]

C. Eberhart and J. Selden, On the closure of the bicyclic semigroup, Trans. Amer. Math. Soc. 144 (1969), 115–126.

• [16]

R. Engelking, General topology, 2nd ed., Heldermann, Berlin, 1989.

• [17]

I. Fihel and O. Gutik, On the closure of the extended bicyclic semigroup, Carpathian Math. Publ. 3 (2011), no. 2, 131–157.

• [18]

I. Гуран, O. Гутiк, О. Равський, I. Чучман, Симетричнi топологiчнi групи та пiвгрупи, Вiсник Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. 74 (2011), 61–73.

• [19]

O. Gutik, On the dichotomy of a locally compact semitopological bicyclic monoid with adjoined zero, Вiсник Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. 80 (2015), 33–41.

• [20]

O. Gutik, Topological properties of Taimanov semigroups, Мат. вiсник Наук. т-ва iм. T. Шевченка 13 (2016), 29–34.

• [21]

O. Gutik, J. Lawson, and D. Repovš, Semigroup closures of finite rank symmetric inverse semigroups, Semigroup Forum 78 (2009), no. 2, 326–336.

• [22]

O. Gutik and K. Maksymyk, On semitopological bicyclic extensions of linearly ordered groups, Мат. методи та фiз.-мех. поля 59 (2016), no. 4, 31–43.

• [23]

O. Gutik and K. Maksymyk, On semitopological interassociates of the bicyclic monoid, Вiсник Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. 82 (2016), 98–108.

• [24]

O. V. Gutik and K. P. Pavlyk, On topological semigroups of matrix units, Semigroup Forum 71 (2005), no. 3, 389–400.

• [25]

O. Gutik, K. Pavlyk, and A. Reiter, Topological semigroups of matrix units and countably compact Brandt $\lambda^{0}$-extensions, Mat. Stud. 32 (2009), no. 2, 115–131.

• [26]

O. Gutik and I. Pozdnyakova, On monoids of monotone injective partial selfmaps of Ln?lex? with cofinite domains and images, Algebra Discrete Math. 17 (2014), no. 2, 256–-279.

• [27]

O. Gutik and D. Repovš, On countably compact [math]-simple topological inverse semigroups, Semigroup Forum, 75 (2007), no. 2, 464–469.

• [28]

O. Gutik and D. Repovš, Topological monoids of monotone, injective partial selfmaps of $\mathbb{N}$ having cofinite domain and image, Stud. Sci. Math. Hungar. 48 (2011), no. 3, 342–353.

• [29]

O. Gutik and D. Repovš, On monoids of injective partial selfmaps of integers with cofinite domains and images, Georgian Math. J. 19 (2012), no. 3, 511–532.

• [30]

O. Gutik and D. Repovš, On monoids of injective partial cofinite selfmaps, Math. Slovaca 65 (2015), no. 5, 981–992.

• [31]

R. C. Haworth and R. A. McCoy, Baire spaces, Diss. Math 141, PWN, Warszawa, 1977.

• [32]

M. V. Lawson, Inverse semigroups. The theory of partial symmetries, World Scientific, Singapore, 1998.

• [33]

M. Matveev, A survey of star covering properties, Topology Atlas preprint, April 15, 1998.

• [34]

R. McFadden and L. O’Carroll, $F$-inverse semigroups, Proc. Lond. Math. Soc., III Ser. 22 (1971), 652–666.

• [35]

M. Petrich, Inverse semigroups, John Wiley $\&$ Sons, New York, 1984.

• [36]

W. Roelcke and S. Dierolf, Uniform structures on topological groups and their quotients, McGraw-Hill College, New-York, 1982.

• [37]

W. Ruppert, Compact semitopological semigroups: an intrinsic theory, Lect. Notes Math. 1079, Springer, Berlin, 1984.

• [38]

А. Д. Тайманов, Пример полугруппы, допускающей только дискретную топологию, Алгебра и логика 12 (1973), no. 1, 114–116; English transl. in: Algebra and Logic 12 (1973), no. 1, 64–65.

• [39]

А. Д. Тайманов, О топологизации коммутативных полугрупп, Матем. заметки 17 (1975), no. 5, 745–748; English transl. in: Math. Notes 17 (1975), no. 5, 443–444.