The semigroup of partial co-finite isometries of positive integers

TL;DR

This paper investigates the algebraic structure of the semigroup of all partial co-finite isometries of positive integers, describing its relations, congruences, and its connection to the additive group of integers.

Contribution

It characterizes the semigroup's Green's relations, band, simplicity, and describes its least group congruence and quotient structure, revealing its isomorphism to the integers.

Findings

The semigroup is simple, $E$-unitary, and $F$-inverse.

The quotient by the least group congruence is isomorphic to the integers.

A non-group congruence exists, and group congruences are characterized by restrictions on a bicyclic subsemigroup.

Abstract

The semigroup $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ of all partial co-finite isometries of positive integers is studied. We describe Green's relations on the semigroup $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$, its band and proved that $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ is a simple $E$-unitary $F$-inverse semigroup. We described the least group congruence $\mathfrak{C}_{\mathbf{mg}}$ on $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ and proved that the quotient-semigroup $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}/\mathfrak{C}_{\mathbf{mg}}$ is isomorphic to the additive group of integers. An example of a non-group congruence on the semigroup $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ is presented. Also we proved that a congruence on the semigroup $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ is a group congruence if and only if its restriction onto an isomorphic copy of the bicyclic semigroup in $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ is a group congruence.

Equations

$$d((n_{\alpha }+1)\alpha ,(n_{\alpha })\alpha )=\left|(n_{\alpha }+1)\alpha -(n_{\alpha })\alpha \right|=1,$$

$$(n_{\alpha }+1)\alpha =(n_{\alpha })\alpha +1або(n_{\alpha }+1)\alpha =(n_{\alpha })\alpha -1.$$

$$\mathrm{dom}\gamma =\mathbb{N},\mathrm{ran}\gamma =\left\{n\in \mathbb{N}:n⩾n_{\beta }^{\mathbf{d}}\right\},$$

$$(i)\gamma =i-1+n_{\beta }^{\mathbf{d}}длявс\text{T}2A\text{cyrii}хi\in \mathrm{dom}\gamma$$

$$\mathrm{dom}\delta =\left\{n\in \mathbb{N}:n⩾n_{\beta }^{\mathbf{r}}\right\},\mathrm{ran}\delta =\mathbb{N},$$

$$(j)\delta =i-n_{\beta }^{\mathbf{r}}+1длявс\text{T}2A\text{cyrii}хj\in \mathrm{dom}\delta .$$

$$(i)\text{leavevmode}{\mathbf{z}}_{\alpha }<0;(ii)\text{leavevmode}{\mathbf{z}}_{\alpha }=0або(iii)\text{leavevmode}{\mathbf{z}}_{\alpha }>0.$$

$$\mathrm{dom}{\alpha }_{\mathbf{m}}=\left\{i\in \mathbb{N}:i⩾-{\mathbf{z}}_{\alpha }+1\right\},$$

$$\mathrm{ran}{\alpha }_{\mathbf{m}}=\left\{i\in \mathbb{N}:i⩾-{\mathbf{z}}_{\alpha }+1\right\}$$

$$\mathrm{dom}\alpha =\mathbb{N},\mathrm{ran}\alpha =\mathbb{N}\setminus \{1\},(n)\alpha =n+1$$

$$\mathrm{dom}\beta =\mathbb{N}\setminus \{1\},\mathrm{ran}\beta =\mathbb{N},(n)\beta =n-1.$$

$$\begin{split}&(\eta)\mathfrak{H}(\mu)\mathfrak{H}=\beta^{n_{\eta}^{\mathbf{d}}-1}\alpha^{\mathbf{z}_{\eta}+n_{\eta}^{\mathbf{d}}-1}\beta^{n_{\mu}^{\mathbf{d}}-1}\alpha^{\mathbf{z}_{\mu}+n_{\mu}^{\mathbf{d}}-1}=\\ &=\left\{\begin{array}[]{ll}\beta^{n_{\eta}^{\mathbf{d}}-1}\alpha^{\mathbf{z}_{\eta}+\mathbf{z}_{\mu}+n_{\eta}^{\mathbf{d}}-1},&\hbox{якщо\leavevmode\nobreak\ }\mathbf{z}_{\eta}+n_{\eta}^{\mathbf{d}}>n_{\mu}^{\mathbf{d}};\\ \beta^{n_{\eta}^{\mathbf{d}}-1}\alpha^{\mathbf{z}_{\mu}+n_{\mu}^{\mathbf{d}}-1},&\hbox{якщо\leavevmode\nobreak\ }\mathbf{z}_{\eta}+n_{\eta}^{\mathbf{d}}=n_{\mu}^{\mathbf{d}};\\ \beta^{n_{\mu}^{\mathbf{d}}-\mathbf{z}_{\eta}-1}\alpha^{\mathbf{z}_{\mu}+n_{\mu}^{\mathbf{d}}-1},&\hbox{якщо\leavevmode\nobreak\ }\mathbf{z}_{\eta}+n_{\eta}^{\mathbf{d}}<n_{\mu}^{\mathbf{d}}.\end{array}\right.\end{split}$$

$$n_{\eta \mu }^{\mathbf{d}}=\max \left\{{\mathbf{z}}_{\eta }+n_{\eta }^{\mathbf{d}},n_{\mu }^{\mathbf{d}}\right\}-{\mathbf{z}}_{\eta }.$$

$$\begin{split}&(\eta\mu)\mathfrak{H}=\beta^{n_{\eta\mu}^{\mathbf{d}}-1}\alpha^{\mathbf{z}_{\eta\mu}+n_{\eta\mu}^{\mathbf{d}}-1}=\\ =&\beta^{\max\{\mathbf{z}_{\eta}{+}n_{\eta}^{\mathbf{d}},n_{\mu}^{\mathbf{d}}\}{-}\mathbf{z}_{\eta}{-}1}\alpha^{\mathbf{z}_{\eta}{+}\mathbf{z}_{\mu}{+}\!\max\{\mathbf{z}_{\eta}{+}n_{\eta}^{\mathbf{d}},n_{\mu}^{\mathbf{d}}\}{-}\mathbf{z}_{\eta}{-}1}\!\\ =&\beta^{\max\left\{\mathbf{z}_{\eta}+n_{\eta}^{\mathbf{d}},n_{\mu}^{\mathbf{d}}\right\}-\mathbf{z}_{\eta}-1}\alpha^{\mathbf{z}_{\mu}+\max\left\{\mathbf{z}_{\eta}+n_{\eta}^{\mathbf{d}},n_{\mu}^{\mathbf{d}}\right\}-1}=\\ =&\left\{\begin{array}[]{ll}\beta^{n_{\eta}^{\mathbf{d}}-1}\alpha^{\mathbf{z}_{\eta}+\mathbf{z}_{\mu}+n_{\eta}^{\mathbf{d}}-1},&\hbox{якщо\leavevmode\nobreak\ }\mathbf{z}_{\eta}+n_{\eta}^{\mathbf{d}}>n_{\mu}^{\mathbf{d}};\\ \beta^{n_{\eta}^{\mathbf{d}}-1}\alpha^{\mathbf{z}_{\mu}+n_{\mu}^{\mathbf{d}}-1},&\hbox{якщо\leavevmode\nobreak\ }\mathbf{z}_{\eta}+n_{\eta}^{\mathbf{d}}=n_{\mu}^{\mathbf{d}};\\ \beta^{n_{\mu}^{\mathbf{d}}-\mathbf{z}_{\eta}-1}\alpha^{\mathbf{z}_{\mu}+n_{\mu}^{\mathbf{d}}-1},&\hbox{якщо\leavevmode\nobreak\ }\mathbf{z}_{\eta}+n_{\eta}^{\mathbf{d}}<n_{\mu}^{\mathbf{d}}.\end{array}\right.\end{split}$$

$$\ker \mathfrak{H}=\left\{\left(\eta ,\mu \right)\in \mathbf{I}{\mathbb{N}}_{\infty }\times \mathbf{I}{\mathbb{N}}_{\infty }:(\eta )\mathfrak{H}=(\mu )\mathfrak{H}\right\},$$

$$\mathbf{I}{\mathbb{N}}_{\infty }\text{ignorespaces}\text{ignorespaces}\text{ignorespaces}\text{ignorespaces}\text{ignorespaces}\text{ignorespaces}\text{ignorespaces}\text{ignorespaces}$$

$$\begin{array}{rl}& {\underline{n}}_{\xi }^{\mathbf{d}}=\min \left\{n\in \mathbb{N}:n\in \mathrm{dom}\xi \right\},\\ & {\underline{n}}_{\xi }^{\mathbf{r}}=\min \left\{n\in \mathbb{N}:n\in \mathrm{ran}\xi \right\},\\ & {\overline{n}}_{\xi }^{\mathbf{d}}=\max \left\{n\in \mathrm{dom}\xi :n<n_{\xi }^{\mathbf{d}}\right\},\\ & {\overline{n}}_{\xi }^{\mathbf{r}}=\max \left\{n\in \mathrm{ran}\xi :n<n_{\xi }^{\mathbf{r}}\right\}.\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}q^{i}p^{i+1}\cdot q^{i+1}p^{i}=q^{i}p^{i},\\ q^{i+1}p^{i}\cdot q^{i}p^{i+1}=q^{i+1}p^{i+1},\\ q^{i}p^{i+1}\cdot q^{i}p^{i}=q^{i}p^{i+1},\\ q^{i}p^{i}\cdot q^{i}p^{i+1}=q^{i}p^{i+1},\\ q^{i+1}p^{i}\cdot q^{i}p^{i}=q^{i+1}p^{i},\\ q^{i}p^{i}\cdot q^{i+1}p^{i}=q^{i+1}p^{i}\end{array}$$

$$\mathrm{ran}\gamma =\left\{i-{\underline{n}}_{\epsilon }^{\mathbf{d}}+{\overline{n}}_{\epsilon }^{\mathbf{d}}:i\in \mathrm{dom}\epsilon \right\}$$

$$\epsilon \gamma =\gamma \epsilon =\gamma ,$$

$${\gamma }^{-1}\epsilon ={\gamma }^{-1}{\epsilon }^{-1}=(\epsilon \gamma {)}^{-1}={\gamma }^{-1},$$

$$\epsilon {\gamma }^{-1}={\epsilon }^{-1}{\gamma }^{-1}=(\gamma \epsilon {)}^{-1}={\gamma }^{-1},$$

$$\gamma {\gamma }^{-1}=\epsilon i{\gamma }^{-1}\gamma \ne \epsilon ,$$

$${\epsilon }_i=\underset{i-раз\text{T}2A\text{cyrii}в}{\underbrace{{\gamma }^{-1}\dots {\gamma }^{-1}}}\underset{i-раз\text{T}2A\text{cyrii}в}{\underbrace{\gamma \dots \gamma }}.$$

$$\underset{i-раз\text{T}2A\text{cyrii}в}{\underbrace{\gamma \dots \gamma }}\underset{i-раз\text{T}2A\text{cyrii}в}{\underbrace{{\gamma }^{-1}\dots {\gamma }^{-1}}}=\epsilon ,$$

$$\mathrm{dom}{\epsilon }_{i+1}⫋\mathrm{dom}{\epsilon }_i⫋\mathrm{dom}\epsilon$$

$${\underline{n}}_{\epsilon }^{\mathbf{d}}={\underline{n}}_{\epsilon }^{\mathbf{r}}⩽{\overline{n}}_{\epsilon }^{\mathbf{d}}={\overline{n}}_{{\gamma }^i}^{\mathbf{d}}<n_{\epsilon }^{\mathbf{d}}=n_{{\gamma }^i}^{\mathbf{d}},$$

$${\underline{n}}_{\epsilon }^{\mathbf{d}}={\underline{n}}_{\epsilon }^{\mathbf{r}}<{\underline{n}}_{{\gamma }^i}^{\mathbf{r}}⩽{\overline{n}}_{{\gamma }^i}^{\mathbf{r}}<n_{{\gamma }^i}^{\mathbf{r}},$$

$${\underline{n}}_{{\gamma }^i}^{\mathbf{r}}<{\underline{n}}_{{\gamma }^{i+k}}^{\mathbf{r}},{\overline{n}}_{{\gamma }^i}^{\mathbf{r}}<{\overline{n}}_{{\gamma }^{i+k}}^{\mathbf{r}}i{n}_{{\gamma }^i}^{\mathbf{r}}<n_{{\gamma }^{i+k}}^{\mathbf{r}},$$

$${\epsilon }_j\preccurlyeq {\phi }_2\preccurlyeq {\phi }_1\preccurlyeq \epsilon \preccurlyeq {\phi }_0,$$

Full text

[TABLE]

а отже виконується одна з умов

[TABLE]

Припустимо, що $(n_{\alpha}+1)\alpha=(n_{\alpha})\alpha-1$. Тодi за iндукцiєю, оскiльки $\alpha$ — часткова коскiнченна iзометрiя множини натуральних чисел, то отримуємо, що $(n_{\alpha}+i)\alpha=(n_{\alpha})\alpha-i$ для довiльного натурального числа $i$, що суперечить тому, що множина натуральних чисел має найменший елемент. З отриманого протирiччя випливає, що виконується рiвнiсть $(n_{\alpha}+1)\alpha=(n_{\alpha})\alpha+1$. Аналогiчно, за iндукцiєю, оскiльки $\alpha$ — часткова коскiнченна iзометрiя множини натуральних чисел, то отримуємо, що $(n_{\alpha}+i)\alpha=(n_{\alpha})\alpha+i$ для довiльного натурального числа $i\geqslant 2$. Також з вище доведеного випливає, що $(n)\alpha=(n_{\alpha})\alpha-n_{\alpha}+n$ для довiльного $n\in\operatorname{dom}\alpha$, а отже виконується друге твердження леми. ∎

Через $\mathscr{I}_{\infty}^{\!\nearrow}(\mathbb{N})$ позначимо напiвгрупу монотонних коскiнченних часткових бiєкцiй множини натуральних чисел (див. [8]). Оскiльки iснують монотоннi коскiнченнi частковi бiєкцiї множини натуральних чисел, якi не є частковими iзометрiями, то з леми 1 випливає

• $(i)$

$E(\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty})=E(\mathscr{I}_{\infty}^{\!\nearrow}(\mathbb{N}))$* в $\mathscr{I}_{\infty}^{\!\nearrow}(\mathbb{N})$, а отже напiвгратка $E(\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty})$ iзоморфна вiльнiй напiвгратцi з одиницею $(\mathscr{P}_{\!\infty}(\mathbb{N}),\cup)$, i цей iзоморфiзм визначається вiдображенням $(\varepsilon)h=\mathbb{N}\setminus\operatorname{dom}\varepsilon$.*

• $(ii)$

Якщо $\varepsilon,\iota\in E(\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty})$, то $\varepsilon\leqslant\iota$ тодi i лише тодi, коли $\operatorname{dom}\varepsilon\subseteq\operatorname{dom}\iota$.

• $(iii)$

Кожен максимальний ланцюг у напiвгратцi $E(\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty})$ є $\omega$-ланцюгом.

• $(iv)$

$\alpha\mathscr{L}\beta$* в $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ тодi i лише тодi, коли $\operatorname{dom}\alpha=\operatorname{dom}\beta$.*

• $(v)$

$\alpha\mathscr{R}\beta$* в $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ тодi i лише тодi, коли $\operatorname{ran}\alpha=\operatorname{ran}\beta$.*

• $(vi)$

$\alpha\mathscr{H}\beta$* в $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ тодi i лише тодi, коли $\alpha=\beta$.*

• $(vii)$

$\alpha\mathscr{D}\beta$* в $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ тодi i лише тодi, коли $\operatorname{dom}\alpha$ $(\operatorname{ran}\alpha)$ є зсувом множини $\operatorname{dom}\beta$ $(\operatorname{ran}\beta)$.*

Твердження $(ii)$–$(vi)$ є наслiдками твердження 2.1 з [8].

$(vii)$ Еквiвалентнiсть того, шо множина $\operatorname{dom}\alpha$ $(\operatorname{ran}\alpha)$ є зсувом множини $\operatorname{dom}\beta$ $(\operatorname{ran}\beta)$ випливає з другого твердження леми 1.

За означенням вiдношення Ґрiна $\mathscr{D}$ маємо, що $\mathscr{D}=\mathscr{L}\circ\mathscr{R}=\mathscr{R}\circ\mathscr{L}=\mathscr{R}\bigvee\mathscr{L}$, i оскiльки $\alpha\mathscr{L}\alpha\alpha^{-1}$ i $\beta\mathscr{R}\beta^{-1}\beta$, то $\alpha\mathscr{D}\beta$ в $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ тодi i лише тодi, коли $\alpha\alpha^{-1}\mathscr{D}\beta^{-1}\beta$,. Тодi за твердженням 3.2.5 з [9] iснує елемент $\gamma\in\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ такий, що $\gamma\gamma^{-1}=\alpha\alpha^{-1}$ i $\gamma^{-1}\gamma=\beta^{-1}\beta$. Останнi двi рiвностi виконуються тодi i лише тодi, коли $\operatorname{dom}\alpha=\operatorname{dom}\gamma$ i $\operatorname{ran}\gamma=\operatorname{ran}\beta$, а отже умова $\alpha\mathscr{D}\beta$ еквiвалентна умовi, що $\operatorname{dom}\alpha$ є зсувом множини $\operatorname{ran}\beta$. ∎

Зафiксуємо довiльний елемент $\beta$ напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$. Оскiльки за лемою 1 кожен елемент напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ є звуженням часткового зсуву множини натуральних чисел на коскiнченну пiдмножину в $\mathbb{N}$ i $(\mathbb{N},\leqslant)$ — цiлком впорядкована множина, то iснує найменше натуральне число $n_{\beta}^{\mathbf{d}}\in\operatorname{dom}\beta$ таке, що $n\in\operatorname{dom}\beta$ для всiх натуральних $n\geqslant n_{\beta}^{\mathbf{d}}$ та iснує найменше натуральне число $n_{\beta}^{\mathbf{r}}\in\operatorname{ran}\beta$ таке, що $n\in\operatorname{dom}\beta$ для всiх натуральних $n\geqslant n_{\beta}^{\mathbf{r}}$. Покладемо

[TABLE]

[TABLE]

i

[TABLE]

[TABLE]

Тодi з леми 1 випливає, що $\gamma\beta\delta=\mathbb{I}$. ∎

Наступне очевидне твердження описує природний частковий порядок на напiвгрупi $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ i воно випливає з описання природного часткового порядку на симетричному iнверсному моноїдi, оскiльки $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ є iнверсним пiдмоноїдом симетричного iнверсного моноїда $\mathscr{I}_{\omega}$ над множиною натуральних чисел $\mathbb{N}$.

• $(i)$

$\alpha\preccurlyeq\beta$* в $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$;*

• $(ii)$

часткове вiдображення $\alpha$ є звуженням часткового вiдображення $\beta$ на $\operatorname{dom}\alpha$;

• $(iii)$

часткове вiдображення $\alpha$ є козвуженням111Нехай $\alpha\colon X\rightharpoonup Y$ — часткове вiдображення та $B$ — пiдмножина в $Y$. Пiд козвуженням часткове вiдображення $\alpha$ будемо розумiти часткове вiдображення $\alpha{\downharpoonright}_{B}\colon X\rightharpoonup Y$ з $\operatorname{dom}\alpha{\downharpoonright}_{B}=\{x\in X\colon(x)\alpha\in B\}$ i $\operatorname{ran}\alpha{\downharpoonright}_{B}=B$.* часткового вiдображення $\beta$ на $\operatorname{ran}\alpha$.*

Нагадаємо [9], шо iнверсна напiвгрупа $S$ називається $E$-унiтарною, якщо $ex$ – iдемпотент в $S$ для деякого iдемпотента $e\in S$ та $x\in S$, то $x$ – iдемпотент напiвгрупи $S$. Тодi з твердження 5 i другої частини леми 1 випливає:

Найменша групова конгруенцiя $\mathfrak{C}_{\mathbf{mg}}$ на iнверснiй напiвгрупi $S$ визначається так (див. [11, III.5]: $s\mathfrak{C}_{\mathbf{mg}}t$ в $S$ тодi i лише тодi, коли iснує iдемпотент $e\in S$ такий, що $es=et$.

Наступне твердження описує найменшу групову конгруенцiю $\mathfrak{C}_{\mathbf{mg}}$ на напiвгрупi $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$.

• $(i)$

$\alpha\mathfrak{C}_{\mathbf{mg}}\beta$;

• $(ii)$

iснує натуральне число $i\in\operatorname{dom}\alpha\cap\operatorname{dom}\beta$ таке, що $(i)\alpha=(i)\beta$;

• $(iii)$

$(i)\alpha=(i)\beta$* для всiх $i\in\operatorname{dom}\alpha\cap\operatorname{dom}\beta$.*

$(iii)\Rightarrow(i)$ Якщо $i\alpha=i\beta$ для всiх $i\in\operatorname{dom}\alpha\cap\operatorname{dom}\beta$, то поклавши $\varepsilon\colon\operatorname{dom}\alpha\cap\operatorname{dom}\beta\to\operatorname{dom}\alpha\cap\operatorname{dom}\beta$ — тотожне вiдображення, отримуємо, що $\varepsilon\in E(\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty})$ i $\varepsilon\alpha=\varepsilon\beta$.

$(i)\Rightarrow(ii)$ Припустимо, що $\varepsilon\alpha=\varepsilon\beta$ для деякого iдемпотента $\varepsilon$ напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$. Оскiльки $\varepsilon$ — тотожне вiдображення коскiнченної пiдмножини $\operatorname{dom}\varepsilon$ множини натуральних чисел, то з означення напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ випливає, що $\operatorname{dom}\alpha\cap\operatorname{dom}\beta\cap\operatorname{dom}\varepsilon\neq\varnothing$, а також, що $(i)\alpha=(i)\varepsilon\alpha=(i)\varepsilon\beta=(i)\beta$ для всiх $i\in\operatorname{dom}\alpha\cap\operatorname{dom}\beta\cap\operatorname{dom}\varepsilon$. ∎

Надвлi в цiй працi через $(\mathbb{Z},+)$ позначатимемо адитивну групу цiлих чисел.

Означимо вiдображення $\mathfrak{F}\colon\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}\to(\mathbb{Z},+)$ за формулою $(\alpha)\mathfrak{F}=\mathbf{z}_{\alpha}$. З леми 1 i твердження 7 випливає, що вiдображення $\mathfrak{F}\colon\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}\to(\mathbb{Z},+)$ визначено коректно. Тодi для довiльних елементiв $\alpha$ та $\beta$ напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ маємо, що $(i)\alpha\beta=(i+\mathbf{z}_{\alpha})\beta=i+\mathbf{z}_{\alpha}+\mathbf{z}_{\beta}$, для всiх $i\in\operatorname{dom}(\alpha\beta)$. Таким чином, ми отримуємо, що $(\alpha\beta)\mathfrak{F}=\mathbf{z}_{\alpha}+\mathbf{z}_{\beta}=(\alpha)\mathfrak{F}+(\beta)\mathfrak{F}$, а отже $\mathfrak{F}\colon\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}\to(\mathbb{Z},+)$ — гомоморфiзм. Очевидно, що так визначене вiдображення $\mathfrak{F}$ є сюр’єктивним.

Також, з твердження 7 випливає, що $(\alpha)\mathfrak{F}=(\beta)\mathfrak{F}$ тодi i лише тодi, коли $\alpha\mathfrak{C}_{\mathbf{mg}}\beta$. Таким чином, найменша групова конгруенцiя $\mathfrak{C}_{\mathbf{mg}}$ на iнверснiй напiвгрупi $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ породжує гомоморфiзм $\mathfrak{F}\colon\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}\to(\mathbb{Z},+)$ i конгруенцiя $\mathfrak{C}_{\mathbf{mg}}$ є ядром цього гомоморфiзму, а отже виконується твердження теореми. ∎

Нагадаємо, що iнверсна напiвгрупа $S$ називається $F$-iнверсною, якщо $\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}$-клас $s_{\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}}$ кожного елемента $s$ має найбiльший елемент стосовно природного часткового порядку $\preccurlyeq$ в $S$ [10].

[TABLE]

Покладемо:

• $(i)$

якщо $\mathbf{z}_{\alpha}<0$, то

[TABLE]

$\operatorname{ran}\alpha_{\mathbf{m}}=\mathbb{N}$ i $(j)\alpha_{\mathbf{m}}=j+\mathbf{z}_{\alpha}$ для всiх $j\in\operatorname{dom}\alpha_{\mathbf{m}}$;

• $(ii)$

якщо $\mathbf{z}_{\alpha}=0$, то $\alpha_{\mathbf{m}}\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ — тотожне вiдображення;

• $(iii)$

якщо $\mathbf{z}_{\alpha}>0$, то $\operatorname{dom}\alpha_{\mathbf{m}}=\mathbb{N}$,

[TABLE]

i $(j)\alpha_{\mathbf{m}}=j+\mathbf{z}_{\alpha}$ для всiх $j\in\operatorname{dom}\alpha_{\mathbf{m}}$.

Очевидно, що так визначене часткове вiдображення $\alpha_{\mathbf{m}}\colon\mathbb{N}\rightharpoonup\mathbb{N}$ є частковою iзометрiєю, а отже $\alpha_{\mathbf{m}}\in\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$. Тодi з твердження 7 випливає, що $\alpha\mathfrak{C}_{\mathbf{mg}}\alpha_{\mathbf{m}}$, а з твердження 5, що виконується вiдношення $\alpha\preccurlyeq\alpha_{\mathbf{m}}$.

Зауважимо, що за виконання умов:

• $(i)$

якщо $\mathbf{z}_{\alpha}<0$, то $\operatorname{ran}\alpha_{\mathbf{m}}=\mathbb{N}$;

• $(ii)$

якщо $\mathbf{z}_{\alpha}=0$, то $\operatorname{dom}\alpha_{\mathbf{m}}=\operatorname{ran}\alpha_{\mathbf{m}}=\mathbb{N}$;

• $(iii)$

якщо $\mathbf{z}_{\alpha}>0$, то $\operatorname{dom}\alpha_{\mathbf{m}}=\mathbb{N}$,

з того, що $\alpha_{\mathbf{m}}\preccurlyeq\beta$ для деяких $\alpha,\beta\in\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$, з твердження 5 випливає рiвнiсть $\alpha_{\mathbf{m}}=\beta$. Таким чином, $\alpha_{\mathbf{m}}$ — найбiльший елемент $\mathfrak{C}_{\textsf{mg}}$-класу елемента $\alpha$ стосовно природного часткового порядку $\preccurlyeq$ на напiвгрупi $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$. ∎

Нагадаємо (див. наприклад [7, §1.12]), що бiциклiчною напiвгрупою (або бiциклiчним моноїдом) ${\mathscr{C}}(p,q)$ називається напiвгрупа з одиницею, породжена двоелементною множиною $\{p,q\}$ i визначена одним визначальним спiввiдношенням $pq=1$. Бiциклiчна напiвгрупа вiдiграє важливу роль в теорiї напiвгруп. Так, зокрема, класична теорема Олафа Андерсена [4] стверджує, що ([math]-)проста напiвгрупа з iдемпотентом є цiлком ([math]-)простою тодi i лише тодi, коли вона не мiстить iзоморфну копiю бiциклiчної напiвгрупи. Стабiльнi напiвгрупи не мiстять iзоморфної копiї бiциклiчного моноїда [5].

1. Добре вiдомо (див. [7, §1.12]), що бiциклiчний моноїд ${\mathscr{C}}(p,q)$ iзоморфний напiвгрупi $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$, породженiй частковими перетвореннями $\alpha$ та $\beta$ множини натуральних чисел $\mathbb{N}$, якi визначабться наступним чином:

[TABLE]

i

[TABLE]

Оскiльки композицiя $\alpha\beta$ — тотожне вiдображення множини натуральних чисел, то з результатiв про бiциклiчний моноїд, отриманих у [7, §1.12] випливає, що кожен елемент напiвгрупи $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ однозначно зображається у виглядi $\beta^{i}\alpha^{j}$, де $i$ та $j$ — деякi невiд’ємнi цiлi числа, $\beta^{0}=\alpha^{0}$ — тотожне перетворення множини натуральних чисел, а також iзоморфiзм $\mathfrak{I}\colon\mathscr{C}_{\mathbb{N}}\to{\mathscr{C}}(p,q)$ визначається за формулою $(\beta^{i}\alpha^{j})\mathfrak{I}=q^{i}p^{j}$. Таким чином, напiвгрупа $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ мiстить iзоморфну копiю бiциклiчної напiвгрупи.

2. Легко бачити, що для довiльного елемента $\beta^{i}\alpha^{j}$ напiвгрупи $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$, де $i$ та $j$ — деякi невiд’ємнi цiлi числа, виконуються такi умови:

• (1)

$\operatorname{dom}(\beta^{i}\alpha^{j})=\mathbb{N}\setminus\{1,\ldots,i\}$,

• (2)

$\operatorname{ran}(\beta^{i}\alpha^{j})=\mathbb{N}\setminus\{1,\ldots,j\}$,

• (3)

$(n)\beta^{i}\alpha^{j}=n-j+i$, для $n\in\operatorname{dom}(\beta^{i}\alpha^{j})$.

Також очевидно, що кожен частковий зсув $\mu\colon\mathbb{N}\rightharpoonup\mathbb{N}$, $n\mapsto n+k$ нескiнченного променя $\left\{l,l+1,l+2,\ldots\right\}$ множини натуральних чисел $\mathbb{N}$ збiгається з частковим перетворенням $\beta^{l-1}\alpha^{k+l-1}$, яке є елементом напiвгрупи $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$.

З нижче викладеного прикладу випливає, що на напiвгрупi $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ iснують конгруенцiї, якi не є груповими.

Нехай $\eta$ та $\mu$ — довiльнi елементи напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$. Оскiльки за лемою 1 кожен елемент напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ є звуженням часткового зсуву множини натуральних чисел, то iснують найменшi натуральнi числа $n_{\eta}^{\mathbf{d}}\in\operatorname{dom}\eta$ i $n_{\mu}^{\mathbf{d}}\in\operatorname{dom}\mu$ такi, що $n\in\operatorname{dom}\eta$ та $m\in\operatorname{dom}\mu$ для всiх натуральних $n\geqslant n_{\eta}^{\mathbf{d}}$ i $m\geqslant n_{\mu}^{\mathbf{d}}$, та iснують цiлi числа $\mathbf{z}_{\eta}$ i $\mathbf{z}_{\mu}$ такi, що $(i)\eta=i+\mathbf{z}_{\eta}$ i $(j)\mu=j+\mathbf{z}_{\mu}$ для довiльних $i\in\operatorname{dom}\eta$ та $j\in\operatorname{dom}\mu$.

З означення вiдображення $\mathfrak{H}\colon\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}\rightarrow\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$, використавши зауваження 10(1), отримуємо:

[TABLE]

Оскiльки за лемою 1 кожен елемент напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ є звуженням часткового зсуву множини натуральних чисел, то $\mathbf{z}_{\eta\mu}=\mathbf{z}_{\eta}+\mathbf{z}_{\mu}$. Далi визначимо найменше натуральне число $n_{\eta\mu}^{\mathbf{d}}\in\operatorname{dom}\eta$ таке, що $n\in\operatorname{dom}(\eta\mu)$ для всiх натуральних $n\geqslant n_{\eta\mu}^{\mathbf{d}}$. Знову, оскiльки за лемою 1 кожен елемент напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ є звуженням часткового зсуву множини натуральних чисел, то отримуємо, що

[TABLE]

Тодi

[TABLE]

Таким чином, виконується рiвнiсть $(\eta\mu)\mathfrak{H}=(\eta)\mathfrak{H}(\mu)\mathfrak{H}$ для всiх елементiв $\eta$ i $\mu$ напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$, а отже вiдображення $\mathfrak{H}\colon\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}\rightarrow\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ є гомоморфiзмом моноїдiв. ∎

Очевидно, що ядро

[TABLE]

вище означеного гомоморфiзму $\mathfrak{H}\colon\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}\rightarrow\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ є конгруенцiєю на напiвгрупi $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$, яка не є груповою.

Гомоморфною ретракцiєю називається вiдображення з напiвгрупи $S$ в $S$, яке є одночасно ретракцiєю та гомоморфiзмом [7]. Образ напiвгрупи $S$ при її гомоморфнiй ретракцiї називається гомоморфним ретрактом. Тобто гомоморфний ретракт напiвгрупи $S$ — це така пiднапiвгрупа $T$ в $S$, що iснує гомоморфiзм з $S$ в $S$, для якого пiднапiвгрупа $T$ є множиною всiх його нерухомих точок.

З твердження 12 випливає

Виявляється, що пiднапiвгрупа $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ дає можливiсть отримати критерiй, коли конгруенцiя на $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ є груповою.

$(\Leftarrow)$ Припустимо, що конгруенцiя $\mathscr{C}$ на напiвгрупi $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ є такою, що її звуження $\mathfrak{C}_{\mathscr{C}_{\mathbb{N}}}$ на пiднапiвгрупу $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ не є вiдношенням рiвностi на $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$. Оскiльки за зауваженням 10(1) напiвгрупа $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ iзоморфна бiциклiчному моноїдовi, то з наслiдку 1.32 [7] випливає, що конгруенцiя $\mathfrak{C}_{\mathscr{C}_{\mathbb{N}}}$ на $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ є груповою, а отже всi iдемпотенти напiвгрупи $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ є $\mathfrak{C}_{\mathscr{C}_{\mathbb{N}}}$-еквiвалентними.

Нехай $\varepsilon$ — довiльний iдемпотент напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$. Оскiльки $\varepsilon$ є тотожним вiдображенням коскiнченної пiдмножини $\operatorname{dom}\varepsilon$ множини натуральних чисел i $(\mathbb{N},\leqslant)$ — цiлком впорядкована множина, то iснує найменше натуральне число $n_{\varepsilon}^{\mathbf{d}}\in\operatorname{dom}\varepsilon$ таке, що $n\in\operatorname{dom}\varepsilon$ для всiх натуральних $n\geqslant n_{\varepsilon}^{\mathbf{d}}$. Нехай $\overline{\varepsilon}$ — тотожне вiдображення множини $\left\{n\in\mathbb{N}\colon n\geqslant n_{\varepsilon}^{\mathbf{d}}+1\right\}$. Тодi очевидно, що $\overline{\varepsilon}$ — iдемпотент пiдмоноїда $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ моноїда $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$, а оскiльки конгруенцiя $\mathfrak{C}_{\mathscr{C}_{\mathbb{N}}}$ на $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ є груповою, то $\mathbb{I}\mathfrak{C}_{\mathscr{C}_{\mathbb{N}}}\overline{\varepsilon}$, а отже й $\mathbb{I}\mathfrak{C}\overline{\varepsilon}$. Також, легко бачити, що $\overline{\varepsilon}\preccurlyeq\varepsilon\preccurlyeq\mathbb{I}$, де $\preccurlyeq$ — природний частковий порядок на напiвгрупi $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$, i тодi з вiдношення $\mathbb{I}\mathfrak{C}\overline{\varepsilon}$ випливає, що $\varepsilon=(\varepsilon\mathbb{I})\mathfrak{C}(\varepsilon\overline{\varepsilon})=\overline{\varepsilon},$ а отже $\varepsilon\mathfrak{C}\mathbb{I}$. З довiльностi вибору iдемпотента $\varepsilon$ в $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ випливає, що всi iдемпотенти напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ є $\mathscr{C}$-еквiвалентними. Тодi з твердження 1.4.21(3) з монографiї [9] випливає, що $\mathscr{C}$ — групова конгруенцiя на напiвгрупi $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$. ∎

З теореми 15 випливає такий наслiдок:

1. $(1)$

$\mathfrak{C}$* — групова конгруенцiя на $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$;* 2. $(2)$

звуження природного гомоморфiзму $\mathfrak{C}^{\sharp}\colon\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}\to\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}/\mathfrak{C}$ на пiдмоноїд $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ є тотожним вiдображенням.

Також з теорем 8 i 15 випливає наслiдок 17.

[TABLE]

є комутативною.

Припустимо, що $n_{\varepsilon}^{\mathbf{d}}>n_{\iota}^{\mathbf{d}}$. Нехай $\overline{\varepsilon}$ — тотожне вiдображення множини $\left\{k\in\mathbb{N}\colon k\geqslant n_{\iota}^{\mathbf{d}}-1\right\}$ i $\overline{\iota}$ — тотожне вiдображення множини $\left\{k\in\mathbb{N}\colon k\geqslant n_{\iota}^{\mathbf{d}}\right\}$. Тодi, очевидно, що $\overline{\varepsilon},\overline{\iota}\in E(\mathscr{C}_{\mathbb{N}})$ i $\overline{\varepsilon}\neq\overline{\iota}$. Позаяк $\varepsilon\mathfrak{C}\iota$, то $\overline{\varepsilon}=(\varepsilon\overline{\varepsilon})\mathfrak{C}(\iota\overline{\varepsilon})=\overline{\iota}$, а отже два рiзнi iдемпотенти пiдмоноїда $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ моноїда $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ є $\mathfrak{C}$-еквiвалентними. Тодi за теоремою 15 конгруенцiя $\mathfrak{C}$ є груповою, що суперечить припущенню. З отриманого протирiччя випливає, що нерiвнiсть $n_{\varepsilon}^{\mathbf{d}}>n_{\iota}^{\mathbf{d}}$ не виконується для двох рiзних $\mathfrak{C}$-еквiвалентних iдемпотентiв $\varepsilon$ i $\iota$ напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$.

Аналогiчно доводиться, що нерiвнiсть $n_{\varepsilon}^{\mathbf{d}}<n_{\iota}^{\mathbf{d}}$ не виконується для двох рiзних $\mathfrak{C}$-еквiвалентних iдемпотентiв $\varepsilon$ i $\iota$ напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$. ∎

1. $(1)$

$\xi\in\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$; 2. $(2)$

$n_{\xi}^{\mathbf{d}}=\min\{n\in\mathbb{N}\colon n\in\operatorname{dom}\xi\}$; 3. $(3)$

$n_{\xi}^{\mathbf{r}}=\min\{n\in\mathbb{N}\colon n\in\operatorname{ran}\xi\}$.

Iмплiкацiя $(2)\Rightarrow(1)$ випливає iз зауваження 10(2). Справдi, за лемою 1 елемент $\xi$ є звуженням часткового зсуву множини натуральних чисел на коскiнченну пiдмножину в $\mathbb{N}$, а отже маємо. що $(n)\xi=n-n_{\xi}^{\mathbf{d}}+n_{\xi}^{\mathbf{r}}$ для всiх $n\in\operatorname{dom}\xi$. Тодi iз зауваження 10(2) випливає, що $\xi=\beta^{n_{\xi}^{\mathbf{d}}-1}\alpha^{n_{\xi}^{\mathbf{r}}-1}$.

Еквiвалентнiсть умов (2) та (3) є наслiдком леми  1, оскiльки елемент $\xi$ є звуженням часткового зсуву множини натуральних чисел на коскiнченну пiдмножину в $\mathbb{N}$. ∎

[TABLE]

Очевидно, що виконуються наступнi умови: $\underline{n}_{\xi}^{\mathbf{d}}\leqslant\overline{n}_{\xi}^{\mathbf{d}}<n_{\xi}^{\mathbf{d}}$, $\underline{n}_{\xi}^{\mathbf{r}}\leqslant\overline{n}_{\xi}^{\mathbf{r}}<n_{\xi}^{\mathbf{r}}$, $(\underline{n}_{\xi}^{\mathbf{d}})\xi=\underline{n}_{\xi}^{\mathbf{r}}$ i $(\overline{n}_{\xi}^{\mathbf{d}})\xi=\overline{n}_{\xi}^{\mathbf{r}}$, для довiльного $\xi\in\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}\setminus\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$. Також, елемент $\xi\in\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}\setminus\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ є iдемпотентом тодi i лише тодi, коли $\underline{n}_{\xi}^{\mathbf{d}}=\underline{n}_{\xi}^{\mathbf{r}}$ i $\overline{n}_{\xi}^{\mathbf{d}}=\overline{n}_{\xi}^{\mathbf{r}}$.

[TABLE]

i $q^{i+1}p^{i+1}\neq q^{i}p^{i}$, а отже за лемою 1.31 з [7] пiднапiвгрупа в $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$, породжена елементами $q^{i}p^{i+1}$ i $q^{i+1}p^{i}$ iзоморфна бiциклiчнiй напiвгрупi.

Припустимо, що $\varepsilon\notin\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$. Тодi для iдемпотента $\varepsilon$ виконуються умови $\underline{n}_{\varepsilon}^{\mathbf{d}}\leqslant\overline{n}_{\varepsilon}^{\mathbf{d}}<{n}_{\varepsilon}^{\mathbf{d}}$. Означимо часткову бiєкцiю $\gamma\colon\mathbb{N}\rightharpoonup\mathbb{N}$ так: $\operatorname{dom}\gamma=\operatorname{dom}\varepsilon$,

[TABLE]

i $(n)\gamma=n-\underline{n}_{\varepsilon}^{\mathbf{d}}+\overline{n}_{\varepsilon}^{\mathbf{d}}$, для всiх $n\in\operatorname{dom}\gamma$. Тодi, очевидно, що $\gamma\in\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ i виконуються такi спiввiдношення:

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

а отже за лемою 1.31 з [7] пiднапiвгрупа в $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$, породжена елементами $\gamma$ i $\gamma^{-1}$ iзоморфна бiциклiчнiй напiвгрупi. ∎

1. $(1)$

$\mathfrak{C}$* — групова конгруенцiя на $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$;* 2. $(3)$

iснує пiднапiвгрупа $S$ в $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$, яка iзоморфна бiциклiчнiй напiвгрупi та два рiзнi елементи напiвгрупи $S$ є $\mathfrak{C}$-еквiвалентними; 3. $(3)$

для довiльної пiднапiвгрупи $T$ в $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$, яка iзоморфна бiциклiчнiй напiвгрупi, два рiзнi елементи напiвгрупи $T$ є $\mathfrak{C}$-еквiвалентними.

Доведемо, що виконується iмплiкацiя $(2)\Rightarrow(1)$. Припустимо, що $S$ — пiднапiвгрупа в $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$, яка iзоморфна бiциклiчнiй напiвгрупi та два рiзнi елементи напiвгрупи $S$ є $\mathfrak{C}$-еквiвалентними. Тодi за наслiдком 1.32 з [7] усi iдемпотенти напiвгрупи $S$ є $\mathfrak{C}$-еквiвалентними.

Нехай $\varepsilon$ — одиниця напiвгрупи $S$. З теореми 15 випливає, що не зменшуючи загальностi, можемо вважати, що $\varepsilon\notin\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$. Справдi, припустивши, що $\varepsilon\in\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$, то, оскiльки за лемою 1 кожен елемент напiвгрупи $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$ є звуженням часткового зсуву множини натуральних чисел, iснує елемент $\gamma\in S\cap\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ такий, що $\operatorname{dom}\varepsilon=\operatorname{dom}\gamma$ i $\gamma\neq\varepsilon$. Тодi $\gamma\gamma^{-1}=\varepsilon$, $\gamma^{-1}\gamma\neq\varepsilon$ i $\gamma,\gamma^{-1},\gamma^{-1}\gamma\in\mathscr{C}_{\mathbb{N}}\cap S$. А отже, два iдемпотента напiвгрупи $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ є $\mathfrak{C}$-еквiвалентними. Тодi за наслiдком 1.32 з [7] i теоремою 15, $\mathfrak{C}$ — групова конгруенцiя на напiвгрупi $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$.

Зафiксуємо довiльний елемент $\gamma$ напiвгрупи $S$ такий, що $\gamma\mathscr{L}\varepsilon$. Для довiльного натурального числа $i$ покладемо

[TABLE]

Тодi, очевидно, що $\varepsilon_{i}$ — iдемпотент напiвгрупи $S$ i

[TABLE]

бо $\gamma\gamma^{-1}=\varepsilon$. Також, оскiльки всi $\mathscr{H}$-класи в бiциклiчному моноїдi є тривiальними та його напiвгрупа iдемпотентiв є $\omega$-ланцюгом, то

[TABLE]

для довiльного натурального числа $i$. З $\varepsilon\notin\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ випливає, що

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

для довiльних натуральних чисел $i$ та $k$.

Тодi iснує таке натуральне число $j$, що ${n}_{\gamma}^{\mathbf{r}}\leqslant\underline{n}_{\gamma^{j}}^{\mathbf{r}}$. Означимо: $\varphi_{0},\varphi_{1}$ i $\varphi_{2}$ — тотожнi вiдображення множин $\left\{n\in\mathbb{N}\colon n\geqslant\underline{n}_{\varepsilon}^{\mathbf{d}}\right\}$, $\left\{n\in\mathbb{N}\colon n\geqslant{n}_{\varepsilon}^{\mathbf{d}}\right\}$ i \big{\{}n\in\mathbb{N}\colon n\geqslant\underline{n}_{\gamma^{j}}^{\mathbf{d}}\big{\}}, вiдповiдно. Тодi $\varphi_{0},\varphi_{1}$ i $\varphi_{2}$ — рiзнi iдемпотенти напiвгрупи $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$, i оскiльки

[TABLE]

то з умови $\varepsilon_{j}\mathfrak{C}\varepsilon$ випливає, що $\varphi_{2}\mathfrak{C}\varphi_{1}$. Оскiльки напiвгрупа $\mathscr{C}_{\mathbb{N}}$ iзоморфна бiциклiчному моноїдовi, то за наслiдком 1.32 з [7] та теоремою 15, $\mathfrak{C}$ — групова конгруенцiя на напiвгрупi $\mathbf{I}\mathbb{N}_{\infty}$. ∎

СПИСОК ЛIТЕРАТУРИ

1. Безущак О.О. Вiдношення Ґрiна iнверсної напiвгрупи частково визначених коскiнченних iзометрiй дискретної лiнiйки // Вiсник Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. – 2008. – N1. – С. 12–16.

2. Вагнер В.В. Обобщённые группы // ДАН СССР – 1952. – 84. – С. 1119–1122.

3. Гутiк О., Савчук А. Про напiвгрупу $\mathbf{ID}_{\infty}$ // Вiсник Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2017. – 83. – С. 5–19.

4. Andersen O. Ein Bericht uber die Struktur abstrakter Halbgruppen. — PhD Thesis, Hamburg, 1952.

5. Anderson L.W., Hunter R.P., Koch R.J. Some results on stability in semigroups // Trans. Amer. Math. Soc. – 1965. – 117. – P. 521–529.

6. Bezushchak O. On growth of the inverse semigroup of partially defined co–finite automorphisms of integers // Algebra Discrete Math. – 2004. – N2. – P. 45–55.

7. Clifford A. H., Preston G. B. The algebraic theory of semigroups. – Providence: Amer. Math. Soc., 1961. – Vol. 1. — xv+224 p.; 1972. – Vol. 2. – xv+352 p.

8. Gutik O., Repovš D. Topological monoids of monotone, injective partial selfmaps of $\mathbb{N}$ having cofinite domain and image // Stud. Sci. Math. Hungar. – 2011. – 48, N3. – P. 342–353.

9. Lawson M. Inverse semigroups. The theory of partial symmetries. – Singapore: World Sci., 1998. – xiii+411 p.

10. McFadden R., O’Carroll L. $F$-inverse semigroups // Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser.  – 1971. – 22. – P. 652–666.

11. Petrich M. Inverse semigroups. – New York: John Wiley & Sons, 1984. – 674 p.