Proof of Radon's theorem by lowering the dimension

TL;DR

This paper presents a new proof of Radon's theorem in d-dimensional space by employing a dimension-lowering technique, offering an alternative perspective to the classical proof.

Contribution

The paper introduces a novel proof of Radon's theorem using a dimension-lowering approach, providing insights different from traditional methods.

Findings

Validates Radon's theorem through a new proof technique.

Demonstrates the effectiveness of dimension-lowering in geometric proofs.

Offers an alternative proof that may simplify understanding of the theorem.

Abstract

There is the classical Radon theorem. Given integer $d \geq 1$ and $d+2$ points in d-dimensional space $R^d$. Then these points can be divided into two disjoint subsets whose convex hulls have a non-empty intersection. The original proof of this theorem is usually used. In this article, this is another proof of it, by lowering the dimension.

Figures

Full text

Доказательство теоремы Радона при помощи понижения размерности

Е.С.Колпаков111Работа выполнена при частичной поддержке Добрушинской студенческой стипендии. Автор выражает благодарность А.Б. Скопенкову за полезные замечания и А. Акопяну за сообщение о статье [2].

Известна классическая теорема Радона [1]:

Дано целое $d\geq 1$ и $d+2$ точек в $d$-мерном пространстве $\mathbb{R}^{d}$. Тогда эти точки можно разбить на два непересекающихся подмножества, чьи выпуклые оболочки имеют непустое пересечение.

Первоначальное алгебраическое доказательство этой теоремы см. [3]. Оно обычно и приводится. В настоящей статье содержится другое её доказательство — через понижение размерности. Ещё одно доказательство через понижение размерности, несколько более сложное, приводится в статье [2]. В нём используется

Лемма об отделении: Даны $d+2$ точек в $d$-мерном пространстве. Тогда существует гиперплоскость, натянутая на $d$ точек из данных, которая разделяет две оставшиеся точки.

В настоящей статье лемма об отделении не используется. Оба доказательства через понижение размерности дают следующий, более сильный

Разбиение множества точек на два подмножества, выпуклые оболочки которых пересекаются ровно по одной точке, называется радоновским.

Количественная теорема Радона. * Для любого целого $d\geq 1$ и $d+2$ точек общего положения в $d$-мерном пространстве $\mathbb{R}^{d}$ радоновское разбиение множества этих точек существует и единственно. *

Теорема Радона связана со следующими теоремами, которые могут быть доказаны через понижение размерности (см. [4], [5]).

Теорема Конвея-Гордона-Закса. * Для любых шести точек в пространстве, никакие 4 из которых не лежат в одной плоскости, найдутся два зацеплённых треугольника с вершинами в этих точках. *

Теорема ван Кампена-Флореса.* Среди любых семи точек в четырёхмерном пространстве $\mathbb{R}^{4}$ можно выбрать две непересекающиеся тройки точек так, что треугольники с вершинами в них пересекаются. *

Доказательство количественной теоремы Радона. Проведём индукцию по $d$.

База: $d=1$. Даны 3 точки на прямой. Тогда есть ровно одно радоновское разбиение: одно из множеств состоит из двух крайних точек, другое из средней точки.

*Переход от $d-1$ к $d$.

• Обозначим через $A_{1},...,A_{d+2}$ данные точки в пространстве $\mathbb{R}^{d}$. Меняя, если нужно, нумерацию точек, можно выбрать гиперплоскость $\alpha$ так, чтобы точка $A_{d+2}$ лежала в одном полупространстве относительно $\alpha$, а точки $A_{1},...,A_{d+1}$ - в другом полупространстве. Тогда точка $A_{d+2}$ не лежит в симплексе $A_{1}...A_{d+1}$. Для $1\leq i\leq d+1$ обозначим через $A_{i}^{\prime}$ пересечение $\alpha$ с $A_{d+2}A_{i}$.

Выпуклая оболочка множества $X$ будет обозначаться $\langle X\rangle$.

1. Доказательство существования радоновского разбиения. По предположению индукции имеется радоновское разбиение множества точек ${A_{1}^{\prime},...,A_{d+1}^{\prime}}=I^{\prime}\sqcup J^{\prime}$ в $(d-1)$-мерном пространстве $\alpha$. Поскольку точки $A_{1},...,A_{d+1}$ находятся в общем положении, пересечение $I^{\prime}$ c $J^{\prime}$ состоит из единственной точки, которую обозначим $Y^{\prime}$ (рис. 1).

Пусть ${A_{1},...,A_{d+1}}=I\sqcup J$ соответствующее разбиение множества точек $A_{1},...,A_{d+1}$. А именно, пусть $I$ — множество таких точек $A_{i}$, что $A_{i}^{\prime}$ лежит в $I^{\prime}$. Аналогично определим множество $J$. Тогда отрезок $A_{d+2}Y^{\prime}$ лежит в симплексах $\langle\{A_{d+2}\}\cup J\rangle$ и $\langle\{A_{d+2}\}\cup I\rangle$. Следовательно, луч $A_{d+2}Y^{\prime}$ пересекает каждый из симплексов $\langle I\rangle$ и $\langle J\rangle$. Обозначим $Y_{1}:=A_{d+2}Y\cap\langle I\rangle$ и $Y_{2}:=A_{d+2}Y\cap\langle J\rangle$.

Не ограничивая общность рассуждения, считаем, что $Y_{1}$ лежит на отрезке $A_{d+2}Y_{2}$. Тогда симплекс $\langle I\rangle$ пересекает симплекс $\langle\{A_{d+2}\}\cup J\rangle$ по точке $Y_{1}$. Поскольку точки $A_{1},...,A_{d+2}$ находятся в общем положении, получаем, что $Y_{1}$ - единственная точка пересечения $\langle I\rangle$ и $\langle\{A_{d+2}\}\cup J\rangle$.

Значит, $I\sqcup(\{A_{d+2}\}\cup J)$ или $(\{A_{d+2}\}\cup I)\sqcup J$ является радоновским разбиением множества точек $A_{1},...,A_{d+2}$.

2. Доказательство единственности радоновского разбиения. Предположим, что радоновских разбиений хотя бы два. Пусть $I$ и $J$ — одно из них, $\widetilde{I}$ и $\widetilde{J}$ — другое. Положим $X=\langle I\rangle\cap\langle J\rangle$.

Без ограничения общности $A_{d+2}\in J$. Положим $X^{\prime}=A_{d+2}X\cap\alpha$. Пусть $I^{\prime}$ — множество таких точек $A_{i}^{\prime}$, что $A_{i}$ лежит в $I$, а $J^{\prime}$ — множество таких точек $A_{i}^{\prime}$, что $A_{i}$ лежит в $J$. Тогда $X^{\prime}$ является единственной точкой пересечения $\langle I^{\prime}\rangle$ и $\langle J^{\prime}\rangle$. Значит, $I^{\prime}\sqcup J^{\prime}$ есть радоновское разбиение множества точек $A_{1}^{\prime},...,A_{d+1}^{\prime}$.

Аналогично из множеств $\widetilde{I}$ и $\widetilde{J}$ строится другое радоновское разбиение множества точек $A_{1}^{\prime},...,A_{d+1}^{\prime}$, отличное от $I^{\prime}\sqcup J^{\prime}$.

Таким образом, у множества точек $A_{1}^{\prime},...,A_{d+1}^{\prime}$ из $(d-1)$-мерного пространства $\alpha$ есть два радоновских разбиения, что противоречит предположению индукции. Значит, число радоновских разбиений множества точек $A_{1},...,A_{d+2}$ не больше 1. Переход индукции доказан.

Список литературы

• [1] Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли и её применения. // М.: Мир,

1968. С. 12, 21.

• [2] B. B. Peterson. The Geometry of Radon’s Theorem // American Mathematical Monthly. 1972. Vol. 79. No. 9. P. 949-963.
• [3] J. Radon. Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten // Math. Ann. Vol.

1921. Bd. 83. S. 113-115.

• [4] A. Skopenkov. On van Kampen-Flores, Conway-Gordon-Sachs and Radon theorems // https://arxiv.org/abs/1704.00300v1
• [5] A. Skopenkov. Realizability of hypergraphs and Ramsey link theory // https://arxiv.org/abs/1402.0658

Егор Сергееевич Колпаков, МГУ и НМУ

kolpak317bel@gmail.com