Le cristal de Dieudonn\'e des sch\'emas en $\mathbb{F}$-vectoriels

TL;DR

This paper explores the Dieudonné crystal associated with finite locally free group schemes equipped with a finite field vector action, crucial for understanding torsion points of p-divisible modules.

Contribution

It describes the Dieudonné crystal structure for -vector schemes, extending Raynaud's classification to analyze torsion points of p-divisible modules under specific Lie algebra conditions.

Findings

Characterization of Dieudonné crystals for -vector schemes

Extension of Raynaud's classification to new cases

Insights into the structure of torsion points of p-divisible modules

Abstract

In this paper we describe the Dieudonn\'e crystal of a finite locally free group scheme with a vector action of a finite field $\mathbb{F}$. These $\mathbb{F}$-vector schemes appear when we consider torsion points of $p$-divisible modules. A particular class of $\mathbb{F}$-vector schemes has been classified by Raynaud in [Ray74], which allows us to determine the structure of torsion points of $p$-divisible modules, under certain conditions on the Lie algebra.

Equations

$$A=\underset{\chi \in {\mathbb{F}}^{\vee }}{⨁}{A}_{\chi }.$$

$${\mathrm{Ch}}_S(G):=\sum _{\chi \in {\mathbb{F}}^{\vee }}{\mathrm{rang}}_R(A_{\chi })[\chi ]\in \mathbb{N}[{\mathbb{F}}^{\vee }].$$

$$\mathbb{D}(G)=\underset{\chi \in {\mathbb{F}}^{+}}{⨁}\mathbb{D}(G{)}_{\chi },$$

$${\mathrm{ch}}_S(\mathbb{D}(G)):=\sum _{\chi \in {\mathbb{F}}^{+}}{\mathrm{rang}}_{R/pR}(\mathbb{D}(G{)}_{\chi })[\chi ]\in \mathbb{N}[{\mathbb{F}}^{+}],$$

$${\mathrm{Ch}}_S(G)=\prod _{\chi \in {\mathbb{F}}^{+}}{\left(1+[\chi ]+\cdots +[{\chi }^{p-1}]\right)}^{n_{\chi }}.$$

$$\mathrm{Lie}(X)=\underset{\chi \in {\mathbb{F}}^{+}}{⨁}\mathrm{Lie}(X{)}_{\chi },$$

$${\mathrm{rang}}_R(\mathrm{Lie}(X{)}_{\chi })={\mathrm{rang}}_R(\mathrm{Lie}(X{)}_{{\chi }^q}).$$

$$[\lambda ][{\lambda }^{\prime }]=[\lambda {\lambda }^{\prime }]\text{ et }[\lambda +{\lambda }^{\prime }]=\mu \circ ([\lambda ]\otimes [{\lambda }^{\prime }])\circ \Delta .$$

$$\forall f,g\in \mathrm{End}(A),f+g=\mu \circ (f\otimes g)\circ \Delta ,$$

$$\{G\text{ sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur }S\}\xleftrightarrow{}\left\{\begin{array}[]{c}(A,\iota),\ A\text{ une R-Alg bre de Hopf}\\ \text{finie localement libre, commutative et}\\ \text{co-commutative, de pr sentation finie, }\\ \iota\colon\mathbb{F}\rightarrow\operatorname{End}(A),\text{ morphisme d'anneaux.}\\ \end{array}\right\}.$$

$$D[{\mathbb{F}}^{\times }]=\prod _{\chi \in {\mathbb{F}}^{\vee }}{D}_{\chi },$$

$$\mathcal{A}=\underset{\chi \in {\mathbb{F}}^{\vee }}{⨁}{\mathcal{A}}_{\chi },{\mathcal{A}}_{\chi }=p_{\chi }(\mathcal{A}).$$

$$\mathcal{I}=\underset{\chi \in {\mathbb{F}}^{\vee }}{⨁}{\mathcal{I}}_{\chi },\mathcal{I}=p_{\chi }(\mathcal{I}).$$

$${\mathrm{Ch}}_S(G)=\sum _{\chi \in {\mathbb{F}}^{\vee }}{\mathrm{rang}}_S({\mathcal{A}}_{\chi })[\chi ]\in \mathbb{N}[{\mathbb{F}}^{\vee }].$$

$${\mathrm{Ch}}_S(G)={\mathrm{Ch}}_{S^{\prime }}(G{\otimes }_S{S}^{\prime }).$$

$$s\in S{\dim }_{\kappa (s)}({\mathcal{A}}_{\chi }{\otimes }_S\kappa (s)),$$

$${\mathrm{Ch}}_S(G)={\mathrm{Ch}}_k(G{\otimes }_{S}k).$$

$$\forall f\in G^D,\lambda \in \mathbb{F},x\in G,(\lambda f)(x)=f(\lambda x)$$

$${\mathrm{Ch}}_S(G)={\mathrm{Ch}}_S(G^D).$$

$$\chi =\prod _{i=0}^{p-1}{\chi }_i^{a_i},\text{tel que ai∈[[0,p−1]], pour tout i∈[[0,r−1]]}.$$

$$\underline{G}(U,T,\delta )=\mathrm{Hom}(U,G),$$

$$\mathbb{D}(G)={\mathrm{Ext}}_{S/\Sigma }^1(\underline{G^D},{\mathcal{O}}_{S/\Sigma }{)}^{({\sigma }^{-1})},$$

$$[\lambda ]:G\to G,$$

$$\mathbb{D}(G)=\underset{\chi \in {\mathbb{F}}^{+}}{⨁}\mathbb{D}(G{)}_{\chi },\text{ o }\mathbb{D}(G{)}_{\chi }=p_{\chi }\cdot \mathbb{D}(G).$$

$$\mathbb{D}(G)=\underset{\chi \in {\mathbb{F}}^{\vee }}{⨁}\mathbb{D}(G{)}_{\chi },\text{ o }\mathbb{D}(G{)}_{\chi }=p_{\chi }\cdot \mathbb{D}(G).$$

$$\mathrm{End}(G)\to \mathrm{End}(\mathbb{D}(G)).$$

$$(\lambda +{\lambda }^{\prime })\cdot =\lambda \cdot +{\lambda }^{\prime }\cdot .$$

$$W(\mathbb{F}){\otimes }_{{\mathbb{Z}}_p}W(\mathbb{F})=\prod _{\chi \in {\mathbb{F}}^{+}}W(\mathbb{F}{)}_{\chi },$$

$$S_{\mathbb{F}}=\underset{\chi \in {\mathbb{F}}^{+}}{⨆}{S}_{\chi }\text{ o }{S}_{\chi }=S{\otimes }_{W(\mathbb{F})}W(\mathbb{F}{)}_{\chi }.$$

$${\mathcal{O}}_{S_{\mathbb{F}}/\Sigma }=\underset{\chi \in {\mathbb{F}}^{+}}{⨁}({\mathcal{O}}_{S/\Sigma }{)}_{\chi }.$$

Full text

1. Introduction

Soit $p$ un nombre premier et $\mathbb{F}$ un corps fini $q=p^{r}$ l ments. On note $\Sigma=\operatorname{Spec}\operatorname{W}(\mathbb{F})$, o $W$ d signe le foncteur des vecteurs de Witt. Soit $S$ un sch ma sur $\Sigma$ tel que $p$ soit localement nilpotent sur $S$. Dans cette introduction on supposera que $S$ est affine, de la forme $\operatorname{Spec}R$ pour $R$ une $\operatorname{W}(\mathbb{F})$-alg bre. Dans [BBM82], les auteurs ont introduit, par la cohomologie cristalline, une th orie de Dieudonn pour les sch mas en groupes finis localement libres et les groupes $p$-divisibles sur $S$. $G$ un sch ma en groupes fini localement libre (resp. $X$ un groupe $p$-divisible) sur $S$ on associe de mani re fonctorielle un cristal $\mathbb{D}(G)$ (resp. $\mathbb{D}(X)$) sur le site cristallin $\operatorname{CRIS}(S/\Sigma)$. Le foncteur $\mathbb{D}$ et ses propri t s de pleine fid lit ont beaucoup t tudi s (cf. [dJM99]) mais nous ne ferons pas usage de ces r sultats. Nous utiliserons seulement que dans le cas o $S$ est le spectre d’un corps parfait, le cristal de Dieudonn est quivalent au module de Dieudonn et que alors $\mathbb{D}$ est une quivalence de cat gories.

Un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels $G$ sur $S$ est un sch ma en groupes fini localement libre tel que pour tout sch ma $X$ sur $S$, $G(X)$ soit un espace vectoriel sur $\mathbb{F}$. C’est- -dire que $G$ est muni d’une action du groupe multiplicatif $\mathbb{F}^{\times}$, satisfaisant des conditions suppl mentaires. Comme $S$ est affine, $G=\operatorname{Spec}A$, o $A$ est une alg bre de Hopf sur $R$ munie d’une action de $\mathbb{F}^{\times}$. Cette action satisfait une propri t suppl mentaire : l’addition dans $\mathbb{F}^{\times}\subset\mathbb{F}$ est compatible avec la convolution dans $A$. Cette propri t correspond l’axiome que pour tout $\lambda$, $\lambda^{\prime}\in\mathbb{F}$ et $v\in G(X)$, pour $X$ un sch ma sur $S$, $(\lambda+\lambda^{\prime})v=\lambda v+\lambda^{\prime}v$111Noter que cet axiome est l g rement subtil car les deux sommes ne sont pas de m me nature.. Cette action d termine une graduation index e par $\mathbb{F}^{\vee}$, le groupe des caract res de $\mathbb{F}^{\times}$ valeurs dans $\bar{}\mathbb{Q}_{p}$,

[TABLE]

Il n’est pas vrai que toute graduation de type $\mathbb{F}^{\vee}$ sur $A$ donne lieu une structure de sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $G$. En effet toute action de $\mathbb{F}^{\times}$ sur $A$ ne s’ tend pas n cessairement en une action vectorielle de $\mathbb{F}$. Notons que, comme $A$ est localement libre sur $R$, il en est de m me pour les $A_{\chi}$. Dans [Ray74], ces sch mas ont t tudi s et ils sont classifi s dans le cas o pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$ non-trivial, $A_{\chi}$ est localement libre de rang $1$ sur $R$ et $A_{1}=R\oplus A_{1}^{\prime}$, pour $A_{1}$ la composante isotypique du caract re trivial, tel que $A_{1}^{\prime}$ est localement libre de rang $1$. On est donc naturellement int ress par le rang des $A_{\chi}$.

Pour simplifier, on suppose $S=\operatorname{Spec}R$ connexe. Alors le rang des $A_{\chi}$ est constant sur $R$ et on peut d finir le caract re de $G$ comme

[TABLE]

Dans cet article on calcule ce caract re partir du cristal de Dieudonn de $G$. Le cristal $\mathbb{D}(G)$ est muni d’une action de $\mathbb{F}^{\times}$ et donc admet une graduation du m me type que (1.1). La relation de convolution implique que cette graduation est de la forme

[TABLE]

o $\mathbb{F}^{+}\subset\mathbb{F}^{\vee}$ est l’ensemble des caract res $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$, tels que si on pose $\chi(0)=0$, $\chi$ est additif. Or, comme $G$ est annul par $p$, $\mathbb{D}(G)$ est localement libre modulo $p$. On peut donc parler du rang des $\mathbb{D}(G)_{\chi}$. On d finit le caract re infinit simal de $G$ par

[TABLE]

o $\operatorname{rang}_{R/pR}(\mathbb{D}(G)_{\chi})$ est le rang modulo $p$ de la composante $\chi$-isotypique de $\mathbb{D}(G)$. Le th or me central de cet article est que le caract re et le caract re infinit simal de $G$ sont reli s par une relation "exponentielle" :

Th or me 1.1**.**

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$ connexe. Soit $\operatorname{\mathfrak{ch}}_{S}(\mathbb{D}(G))=\sum_{\chi\in\mathbb{F}^{+}}n_{\chi}[\chi]$ le caract re infinit simal de $G$ et $\operatorname{Ch}_{S}(G)$ son caract re. Alors on a

[TABLE]

On montre ce th or me en le r duisant au cas o $S$ est le spectre d’un corps parfait $k$ de caract ristique $p$. On utilise ensuite que sur le spectre d’un corps parfait le cristal de Dieudonn est quivalent au module de Dieudonn de $G$. Notons que dans ce cas, on obtient une quivalence entre sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels et modules de Dieudonn gradu s sur $\mathbb{F}^{+}$ tels que $F$ et $V$, respectivement le Frobenius et le Verschibung, d finissent des endomorphismes gradu s. On prouve ensuite le th or me par un calcul explicite lorsque $G$ est annul par $V$, puis par un argument de d vissage on en d duit le th or me dans le cas o $V$ est nilpotent. On conclut finalement par un argument de dualit . Une cons quence de ce th or me est que l’on peut d duire du cristal de Dieudonn d’un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels $G$ sur $S$ si $G$ est un sch ma de Raynaud. Cette relation devrait avoir des applications dans des situations o $G$ n’est pas un sch ma de Raynaud.

La formule des caract res (1.2) est apparue dans l’ tude des $O_{D}$-modules formels sp ciaux de Drinfeld (cf. [Dri76]) en vue de la construction d’un mod le formel du premier rev tement de l’espace de Drinfeld (cf. [Van19]). On note $K$ une extension finie de $\mathbb{Q}_{p}$ de degr $n=ef$ et $D$ une alg bre division centrale sur $K$ d’invariant $1/d$, $d\geqslant 2$. On note $O_{D}$ l’ordre maximal de $D$ et $\Pi$ une uniformisante de $O_{D}$. Un groupe $p$-divisible muni d’une action de $O_{D}$ est appel $O_{D}$-module $p$-divisible. Maintenant, $\mathbb{F}$ d signe le corps r siduel de $O_{D}$, c’est- -dire que $r=fd$ avec les notations pr c dentes ; $S=\operatorname{Spec}R$ d signe toujours un sch ma sur $\Sigma$ tel que $p$ est localement nilpotent sur $S$. Notons que si $X$ est un $O_{D}$-module $p$-divisible sur $S$ alors le sch ma des $\Pi$-points de torsion $X[\Pi]$ est un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$. Le but de la derni re section est de calculer le caract re des points de torsion de certains modules $p$-divisibles, en particulier des $O_{D}$-module $p$-divisibles.

Si $X$ est un $O_{D}$-module $p$-divisible sur $S$, son alg bre de Lie est munie d’une action de $\mathbb{F}$. On note $\kappa$ le corps r siduel de $K$ et $\mathbb{F}^{+}_{\kappa}\subset\mathbb{F}^{+}$ l’ensemble des caract res $\kappa$-lin aires. L’alg bre de Lie est gradu e sur $\mathbb{F}^{+}$,

[TABLE]

et on dit que l’action de $O_{D}$ est stricte sur $X$ si $\operatorname{Lie}(X)_{\chi}=0$ pour tout $\chi\notin\mathbb{F}_{\kappa}^{+}$. Si, de plus, pour tout $\chi\in\mathbb{F}_{\kappa}^{+}$, $\operatorname{Lie}(X)_{\chi}$ est localement libre de rang $1$ sur $S$, alors $X$ est appel $O_{D}$-module formel sp cial. Notons que dans ce cas, $X$ est de hauteur $nd^{2}$. L’impulsion de d part de ce travail tait de trouver une preuve alternative au r sultat suivant :

Proposition 1.2**.**

Si $X$ est un $O_{D}$-module formel sp cial sur $S$, alors $X[\Pi]$ est un sch ma de Raynaud.

Ce r sultat est d montr par exemple dans [Wan14] en utilisant que tout $O_{D}$-module formel sp cial admet un rel vement en caract ristique z ro, puis qu’un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels tale de rang $q$ est un sch ma de Raynaud. L’int r t est d’avoir des equations explicites pour $X[\Pi]$. l’aide de la formule des caract res (1.2), on prouve une condition n cessaire et suffisante pour que $X[\Pi]$ soit un sch ma de Raynaud.

Th or me 1.3**.**

Soit $X$ un $O_{D}$-module $p$-divisible de hauteur $hnd^{2}$, pour $h$ un entier, sur $S$. Alors $X[\Pi]$ est un sch ma de Raynaud si et seulement si $h=1$ et pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{+}$ on a

[TABLE]

Ces conditions sont v rifi es pour les $O_{D}$-modules formels sp ciaux, ou plus g n ralement pour les $O_{D}$-modules formels $r$-sp ciaux consid r s dans [RZ17].

J’aimerais remercier chaleureusement L. Fargues de m’avoir donn les cl s du th or me 1.1 et de ses encouragements constants pour sa d monstration. Je remercie aussi S. Bartling et V. Hernandez pour leurs relectures attentives et leur int r t pour ce travail.

Table des matières

1. 1 Introduction
2. 2 Sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels
3. 3 Formule des caract res et $\mathbb{F}$-exponentielle
4. 4 Application aux modules $p$-divisibles

2. Sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels

On fixe un nombre premier $p$ et un corps fini $\mathbb{F}$ $q=p^{r}$ l ments. Dans cette section on rappelle la d finition de sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels introduite dans [Ray74] et ses premi res propri t s. On d finira aussi le cristal associ un sch ma en groupes fini et on introduira les caract res du groupe et du cristal.

2.1. G n ralit s

2.1.1.

Commen ons par d finir l’anneau de base $D$. Soit $\bar{}\mathbb{Q}$ une cloture alg brique de $\mathbb{Q}$, soit $C\subset\bar{\mathbb{Q}}$ le sous-corps engendr sur $\mathbb{Q}$ par $\mu_{q-1}(\bar{}\mathbb{Q})$, les racines $(q-1)$-i mes de l’unit de $\bar{}\mathbb{Q}$. Soit $D^{\prime}$ l’anneau des entiers de $C$. Alors si $\xi$ est une racine $(q-1)$-i me primitive de l’unit on a $\mathbb{Z}[\xi]=D^{\prime}\subset C=\mathbb{Q}(\xi)$. Soit $\mathfrak{p}$ un id al premier fix de $D^{\prime}$ au-dessus de $p$. Soit $D$ l’anneau obtenu partir de $D^{\prime}$ en inversant $(q-1)$ et les id aux premiers au-dessus de $p$ diff rents de $\mathfrak{p}$. Dans la suite de cette section $S$ sera un sch ma sur $D$. Sauf mention explicite du contraire, les sch mas en groupes sur $S$ consid r s seront tous ab liens.

2.1.2.

D finition 2.1**.**

Un foncteur $(\operatorname{\mathbf{Sch}}/S)^{\circ}\rightarrow(\operatorname{\mathbf{Vect}}/\mathbb{F})$ de la cat gorie des sch mas sur $S$ vers la cat gorie des $\mathbb{F}$-espaces vectoriels sera appel sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels s’il est repr sentable par un sch ma fini, localement libre et de pr sentation finie. C’est donc un sch ma en groupes ab liens muni d’une action de $\mathbb{F}$.

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels. Comme $G$ est fini sur $S$, il est relativement affine sur $S$ i.e. il existe un $\mathscr{O}_{S}$-module $\mathscr{A}$ tel que $G=\operatorname{Spec}_{S}\mathscr{A}$. De plus, $\mathscr{A}$ est une $\mathscr{O}_{S}$-alg bre de Hopf qui est munie d’une co-action de $\mathbb{F}$. Notons :

• $\bullet$

$\mu\colon\mathscr{A}\otimes_{S}\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{A}$ la multiplication,

• $\bullet$

$\Delta\colon\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{A}\otimes_{S}\mathscr{A}$ la comultiplication,

• $\bullet$

$\mathscr{I}$ l’id al d’augmentation de $\mathscr{A}$, qui est le noyau de la co-unit ,

• $\bullet$

$[\lambda]\colon\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{A}$ pour tout $\lambda\in\mathbb{F}$ la co-action de $\mathbb{F}$. Pour tout $\lambda,\lambda^{\prime}\in\mathbb{F}$ on a les relations

[TABLE]

Pour $n\geqslant 2$ un entier, la co-associativit (resp. l’associativit ) permet de d finir la $n$-i me it ration de $\Delta$ (resp. $\mu$) comme tant une application $\Delta_{n}:\mathscr{A}\otimes_{S}\dots\otimes_{S}\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{A}$ (resp. $\mu_{n}:\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{A}\otimes_{S}\dots\otimes_{S}\mathscr{A}$) o $\mathscr{A}$ appara t $n$ fois.

La proposition suivante est imm diate :

Proposition 2.2**.**

Tout sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels est annul par $p$ et est localement de rang une puissance de $p$.

∎

Rappelons que par [ABD*+*66, Th or me 2.4.2 exp. $VII_{B}$], si $S$ est le spectre d’un corps, la cat gorie des sch mas en groupes finis sur $S$ est une cat gorie ab lienne, il en est donc de m me pour la cat gorie des sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$. De plus, pour un sch ma $S$ sur $D$ quelconque la cat gorie des sch mas en groupes finis localement libres n’est pas ab lienne mais elle s’identifie une sous-cat gorie exacte (au sens de Quillen) de la cat gorie des faisceaux fppf sur $S$ (cf. [ABD*+*66, Expos V]. Ainsi, dans ce contexte, on peut parler de suite exacte et de foncteur exact. Ces consid rations s’appliquent donc aussi la cat gorie des sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$.

2.1.3.

Supposons dans ce paragraphe que $S=\operatorname{Spec}R$ o $R$ est une $D$-alg bre. On sait que la cat gorie des sch mas en groupes finis localement libres et de pr sentation finie sur $S$ est quivalente la cat gorie des $R$-alg bres de Hopf finies localement libres et de pr sentation finie, commutatives et co-commutatives. Les relations 2.1 nous indiquent alors que se donner un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels $G$ sur $S$ est quivalent se donner une $R$-alg bre de Hopf $A$ et un morphisme d’anneaux commutatifs $\iota\colon\mathbb{F}\rightarrow\operatorname{End}(A)$. Rappelons que $\operatorname{End}(A)$ est l’anneau des endomorphismes de l’alg bre de Hopf $A$ o l’addition est donn e par la convolution

[TABLE]

et le produit est le produit usuel. On obtient ainsi une quivalence de cat gories :

Proposition 2.3**.**

Supposons que $S=\operatorname{Spec}R$ pour $R$ une $D$-alg bre. Le foncteur qui $G$, un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels, associe la paire $(A,\iota)$ induit une quivalence de cat gories

[TABLE]

Remarque 2.4**.**

Pour $S$ un sch ma quelconque sur $D$, on obtient sans peine une version faisceautique du th or me pr c dent : se donner un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels $G$ sur $S$ est quivalent se donner une $\mathscr{O}_{S}$-alg bre $\mathscr{A}$, avec les m mes conditions de finitudes, munie d’un morphisme de faisceaux d’anneaux $\mathbb{F}\rightarrow\operatorname{End}(\mathscr{A})=\operatorname{End}(G)$.

2.1.4.

Soit $\mathbb{F}^{\vee}=\operatorname{Hom}(\mathbb{F}^{\times},\mu_{q-1}(D))$ les caract res multiplicatifs de $\mathbb{F}^{\times}$. Notons que comme l’ordre de $\mathbb{F}^{\times}$ est $(q-1)$, qui est inversible dans $D$ par construction, $\mathbb{F}^{\vee}$ est l’ensemble des repr sentations lin aires de $\mathbb{F}^{\times}$ coefficients dans $D$. En particulier,

[TABLE]

o $D_{\chi}$ est la repr sentation de $\mathbb{F}^{\times}$ sur $D$ de rang $1$ associ e $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$. Pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$ on note $p_{\chi}\colon D[\mathbb{F}^{\times}]\rightarrow D_{\chi}$ le projecteur associ cette d composition.

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels et $\mathscr{A}$ la $\mathscr{O}_{S}$-alg bre de Hopf associ e. Alors $\mathscr{A}$ est en particulier un faisceau de repr sentations de $\mathbb{F}^{\times}$, i.e., par le morphisme structural $D\rightarrow\mathscr{O}_{S}$, un faisceau en $D[\mathbb{F}^{\times}]$-modules. Ainsi, par ce qui pr c de

[TABLE]

Il est de plus clair que cette d composition est une graduation de $\mathscr{O}_{S}$-alg bre de Hopf, i.e. elle est compatible au produit et au co-produit. On a montr la proposition suivante :

Proposition 2.5**.**

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$, alors sa $\mathscr{O}_{S}$-alg bre de Hopf $\mathscr{A}$ est munie d’une $\mathbb{F}^{\vee}$-graduation de $\mathscr{O}_{S}$-alg bre de Hopf qui d termine la co-action de $\mathbb{F}$.

∎

Remarque 2.6**.**

Notons que comme $\mathbb{F}^{\times}$ agit trivialement sur $\mathscr{O}_{S}$, la graduation sur le noyau de la co-unit $\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{O}_{S}$ est induite par la graduation sur $\mathscr{A}$. Ainsi la graduation de l’id al d’augmentation est de la forme

[TABLE]

C’est la graduation consid r e dans [Ray74].

2.1.5.

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$ et $\mathscr{A}$ sa $\mathscr{O}_{S}$-alg bre de Hopf gradu e associ e. On suppose pour simplifier les notations que $S$ soit connexe ; on va s’int resser au rang des $\mathscr{A}_{\chi}$ que l’on notera $\operatorname{rang}_{S}(\mathscr{A}_{\chi})$.

D finition 2.7**.**

On conserve les notations et hypoth ses pr c dentes. On d finit le caract re de $G$ par

[TABLE]

Cette d finition a toujours un sens si $G$ est un sch ma en groupe fini et plat muni d’une action de $\mathbb{F}^{\times}$. On remarque que le caract re est invariant par changement de base : pour $S^{\prime}\rightarrow S$ un morphisme on a

[TABLE]

Notons de m me que pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$ la fonction de rang

[TABLE]

o $\kappa(s)$ est le corps r siduel en $s\in S$, est constante sur $S$ gale au rang de $\mathscr{A}_{\chi}$ comme $\mathscr{O}_{S}$-module. Ainsi pour tout point g om trique $\operatorname{Spec}(k)\hookrightarrow S$ on a

[TABLE]

Ceci nous permettra de restreindre le calcul du caract re au cas o $S$ est le spectre d’un corps parfait.

2.1.6.

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$. Soit $G^{D}=\operatorname{\mathscr{H}om}(G,\mathbb{G}_{m})$ le dual de Cartier du sch ma en groupe fini et plat sous-jacent. Alors comme $\mathbb{F}^{\times}$ est commutatif, $G^{D}$ est muni d’une action de $\mathbb{F}^{\times}$ d finie par :

[TABLE]

De plus, il est clair que cette action d finit naturellement une structure de $\mathbb{F}$-vectoriels sur $G$. On obtient

[TABLE]

Il est important de noter que ceci est faux si on munit $G^{D}$ de l’action contragr diente de $\mathbb{F}^{\times}$.

2.2. Cristaux de Dieudonn gradu s

2.2.1.

D finition 2.8**.**

Soit $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$. On dit que $\chi$ est primitif s’il est additif. On note $\mathbb{F}^{+}\subset\mathbb{F}^{\vee}$ l’ensemble des caract res primitifs de $\mathbb{F}^{\vee}$.

Remarque 2.9**.**

• $\bullet$

On a un isomorphisme d’anneau $D^{\prime}\cong\mathbb{Z}[\mathbb{F}^{\vee}]$ qui identifie les racines primitives de l’unit aux caract res primitifs. C’est pourquoi on pr f re cette terminologie celle de "fondamental" dans [Ray74].

• $\bullet$

Si $\chi$ un caract re primitif, alors $\chi^{p}$ est primitif et $\mathbb{F}^{+}=\{\chi,\chi^{p},\chi^{p^{2}},\dots,\chi^{p^{r-1}}\}$. On a de plus un isomorphisme222Les isomorphismes sont donn s par les identifications $\mathbb{F}^{\times}\cong\mu_{q-1}(D)\subset C$. non-canonique $\mathbb{F}^{+}\cong\operatorname{Gal}(\mathbb{F}/\mathbb{F}_{p})$, plus pr cis ment, $\mathbb{F}^{+}$ est un espace principal homog ne sous $\operatorname{Gal}(\mathbb{F}/\mathbb{F}_{p})$.

On fixe un caract re primitif $\chi_{1}\in\mathbb{F}^{+}$ et on note $\chi_{i}=\chi_{1}^{p^{i}}$ pour tout entier $i\in\llbracket 0,r-1\rrbracket$. Tout caract re non-trivial $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$ a un unique d veloppement $p$-adique de la forme

[TABLE]

Le caract re trivial $\chi_{0}$ s’ crit de deux mani res diff rentes : on a $\chi_{0}=\prod_{i=0}^{p-1}\chi_{i}^{p-1}=\chi_{1}^{0}$.

2.2.2.

On introduit quelques notations dans ce paragraphe, suivant principalement [BBM82]. Soit $\Sigma=\operatorname{Spec}\operatorname{W}(\mathbb{F})$, c’est un sch ma sur $D$. Supposons que $S$ est un sch ma sur $\Sigma$ tel que $p$ est (Zariski)-localement nilpotent sur $S$. On note $\sigma\colon\operatorname{W}(\mathbb{F})\rightarrow\operatorname{W}(\mathbb{F})$ l’automorphisme de Frobenius. On consid re la cat gorie cristalline $\operatorname{CRIS}(S/\Sigma)$ munie de la topologie fppf. Soit $G$ un sch ma en groupes fini et plat sur $S$, alors on d finit un pr faisceau sur $\operatorname{CRIS}(S/\Sigma)$ en posant

[TABLE]

pour tout objet $(U,T,\delta)$ de $\operatorname{CRIS}(S/\Sigma)$. Le pr faisceau $\underline{G}$ est en effet un faisceau fppf (cf. [BBM82, Corolaire 1.1.8]). Soit $\mathscr{O}_{S/\Sigma}$ le faisceau structural usuel sur le site $\operatorname{CRIS}(S/\Sigma)$. On consid re le cristal de Dieudonn (covariant) de $G$,

[TABLE]

qui est un cristal en $\mathscr{O}_{S/\Sigma}$-modules localement de pr sentation finie (cf. [BBM82, Corollaire 3.1.3]). Notez qu’on change $G$ par $G^{D}$ par rapport la d finition de [BBM82] pour avoir un foncteur covariant, et que l’on tord l’action de $\operatorname{W}(\mathbb{F})$ par $\sigma^{-1}$. Cette derni re modification nous vitera d’introduire des d calages dans la suite. La dualit de Cartier $G\rightsquigarrow G^{D}=\operatorname{\mathscr{H}om}_{S}(G,\mathbb{G}_{m})$ est une anti- quivalence exacte des sch mas en groupes finis et localement libres sur $S$, donc cette modification est innocente pour l’application des r sultats de [BBM82] dans la suite.

Si $G$ est annul par $p$, de rang constant $p^{d}$, par exemple si $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur une base $S$ connexe, alors $\mathbb{D}(G)$ est un $\mathscr{O}_{S/\Sigma}/p\mathscr{O}_{S/\Sigma}$-module localement libre de rang fini $d$ (cf. [BBM82, Proposition 4.3.1]) et de plus le foncteur $G\rightsquigarrow\mathbb{D}(G)$ restreint la cat gorie des sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels est exact.

2.2.3.

Supposons que $G$ est un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$. Alors l’action de $\mathbb{F}^{\times}$ induit une structure de $\mathscr{O}_{S/\Sigma}$-module $\mathbb{F}^{\times}$- quivariant sur $\mathbb{D}(G)$, ou de mani re quivalente, une graduation de type $\mathbb{F}^{\vee}$ sur $\mathbb{D}(G)$. Plus pr cis ment, par la fonctorialit de $\mathbb{D}$ l’endomorphisme

[TABLE]

pour $\lambda\in\mathbb{F}^{\vee}$, induit un morphisme $\lambda\cdot\colon\mathbb{D}(G)\rightarrow\mathbb{D}(G)$. De m me pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$, on peut d finir un endomorphisme idempotent $p_{\chi}\cdot\colon\mathbb{D}(G)\rightarrow\mathbb{D}(G)$. On a la proposition suivante :

Proposition 2.10**.**

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$. Alors

[TABLE]

Ainsi, $\mathbb{D}$ est un foncteur de la cat gorie des sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$ dans la cat gorie des $\mathscr{O}_{S/\Sigma}/p\mathscr{O}_{S/\Sigma}$-modules gradu s sur $\mathbb{F}^{+}$.

Démonstration.

Par ce qui pr c de, on a

[TABLE]

Il suffit de montrer que pour $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}\backslash\mathbb{F}^{+}$, $p_{\chi}\cdot\mathbb{D}(G)=0$. Or, le foncteur $\mathbb{D}$ est additif et donc on obtient un morphisme d’anneaux

[TABLE]

Soit $\lambda,\lambda^{\prime}\in\mathbb{F}$. Comme le morphisme ci-dessus associe $\lambda\cdot$ $[\lambda]$ et comme il respecte l’addition, on a

[TABLE]

Si $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$ alors $\lambda\cdot\colon\mathbb{D}(G)_{\chi}\rightarrow\mathbb{D}(G)_{\chi}$ quivaut la multiplication par $\chi(\lambda)$. Ainsi, si $\mathbb{D}(G)_{\chi}$ est non-nul, $\chi(\lambda+\lambda^{\prime})=\chi(\lambda)+\chi(\lambda^{\prime})$, et donc $\chi\in\mathbb{F}^{+}$. ∎

On pose $S_{\mathbb{F}}=S\otimes_{\mathbb{Z}_{p}}\operatorname{W}(\mathbb{F})$. C’est naturellement un sch ma sur

[TABLE]

donc, comme $S$ est un sch ma sur $\operatorname{W}(\mathbb{F})$, on obtient

[TABLE]

Ainsi,

[TABLE]

La proposition pr c dente peut alors s’ noncer de la mani re suivante :

Corollaire 2.11**.**

Le foncteur $\mathbb{D}$ induit un foncteur exact de la cat gorie des sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels dans la cat gorie des cristaux en $\mathscr{O}_{S_{\mathbb{F}}/\Sigma}/p\mathscr{O}_{S_{\mathbb{F}}/\Sigma}$-modules localements libres de rang fini et de pr sentation finie.

∎

Remarque 2.12**.**

Ce foncteur pour les sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels poss de les m mes propri t s que le foncteur sous-jacent pour les sch mas en groupes finis et localement libres, i.e pour certaines restrictions sur $S$ il est fid le, pleinement fid le ou une quivalence de cat gories333Par exemple si $S$ est de caract ristique $p$, localement noetherien d’anneaux locaux intersection compl te, $\mathbb{D}$ est fid le [dJM99] et si $S$ est le spectre d’un corps parfait c’est une quivalence comme on le rappellera..

Supposons $S$ connexe et fixons $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$. Alors comme $\mathbb{D}(G)$ est localement libre sur $\mathscr{O}_{S/\Sigma}/p\mathscr{O}_{S/\Sigma}$, on peut d finir $\operatorname{rang}_{\mathscr{O}_{S/\Sigma}/p\mathscr{O}_{S/\Sigma}}(\mathbb{D}(G)_{\chi})$, le rang de la composante $\chi$-isotypique, pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{+}$.

D finition 2.13**.**

Soit $\mathscr{F}$ un $\mathscr{O}_{S_{\mathbb{F}}/\Sigma}/p\mathscr{O}_{S_{\mathbb{F}}\Sigma}$-module localement libre de rang fini. On d finit le caract re de $\mathscr{F}$ par

[TABLE]

On consid rera en particulier $\operatorname{\mathfrak{ch}}_{S}(\mathbb{D}(G))$.

2.2.4.

Dans ce paragraphe on suppose que $S=\operatorname{Spec}(k)$ pour $k$ un corps parfait de caract ristique $p$ contenant $\mathbb{F}$. Soit $G$ un sch ma en groupes fini et localement libre sur $S$. On pose

[TABLE]

C’est un $\operatorname{W}(k)$-module de longueur finie (cf. [BBM82, Proposition 4.2.10]) muni de deux morphismes $F\colon D(G)\rightarrow D(G)^{(\sigma)}$ et $V\colon D(G)^{(\sigma)}\rightarrow D(G)$ tels que $FV=VF=p$. C’est le dual du module de Dieudonn de $G$ au sens de [Fon77, Chapitre IV] d’apr s [BBM82, Th or me 4.2.14], i.e. c’est le module de Dieudonn covariant de $G$. On sait que $D$ tablit une quivalence entre la cat gorie des sch mas en groupes finis et les modules de Dieudonn sur $\operatorname{W}(k)$ (cf. [Fon77, IV 1.3]).

Si $G$ est un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriel alors d’apr s le corollaire 2.11, $D(G)$ est naturellement un module de Dieudonn gradu sur $\mathbb{F}^{+}$ au sens suivant :

D finition 2.14**.**

Soit $M$ un $W(k)$ module muni de deux morphismes $F\colon M\rightarrow M^{(\sigma)}$ et $V\colon M^{(\sigma)}\rightarrow M$ tels que $FV=VF=0$. On dit que $M$ est un *module de Dieudonn gradu * sur $\mathbb{F}^{+}$ si on a de plus une graduation

[TABLE]

telle que $F$ et $V$ se restreignent en

[TABLE]

pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{+}$.

Ainsi l’ quivalence de cat gories pour les sch mas en groupes finis et localement libres nous donne la caract risation suivante :

Proposition 2.15**.**

Le foncteur $D$ induit une quivalence de cat gories

[TABLE]

∎

2.2.5.

Soit $M$ un $\operatorname{W}(k)$-module de Dieudonn gradu sur $\mathbb{F}^{+}$. De m me que dans la d finition 2.13, on peut d finir le caract re de $M$ :

[TABLE]

Soit nouveau $S$ un sch ma connexe sur $\Sigma$ tel que $p$ est localement nilpotent sur $S$. Soit $s\colon\operatorname{Spec}(k)\hookrightarrow S$ un point g om trique. Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$, alors comme $\mathbb{D}(G)$ est un cristal et qu’il est compatible aux changements de base, on a pour tout l ment $(U,T,\delta)$ de $\operatorname{CRIS}(S/\Sigma)$ un isomorphisme

[TABLE]

Ainsi, comme $\mathbb{D}(G)$ est un $\mathscr{O}_{S/\Sigma}/p\mathscr{O}_{S/\Sigma}$ module libre de rang fini, on a

[TABLE]

Ceci nous permettra de ramener le calcul du caract re sur une base g n rale au calcul du caract re sur un corps parfait. Le cristal de Dieudonn ne se comporte pas tr s bien par rapport la dualit de Cartier. N anmoins, la description pr c dente nous donne le r sultat suivant :

Lemme 2.16**.**

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$ connexe. Alors

[TABLE]

Démonstration.

D’apr s ce qui pr c de, on peut supposer que $S=\operatorname{Spec}(k)$ o $k$ est un corps parfait de caract ristique $p$. On pose $\operatorname{W}_{\infty}=\operatorname{W}(k)[\frac{1}{p}]/\operatorname{W}(k)$ le module dualisant et on d finit pour tout $\operatorname{W}(k)$-module de Dieudonn gradu sur $\mathbb{F}^{+}$, le $\operatorname{W}(k)$-module

[TABLE]

Comme dans le cas des sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels, $M^{*}$ est naturellement muni d’une structure de $\operatorname{W}(k)$-module gradu 444Encore une fois l’action de $\mathbb{F}^{\times}$ sur $M$ n’est pas l’action contragr diente, qui ne d finit pas une graduation sur $\mathbb{F}^{+}$, mais l’action de l’oppos de $\mathbb{F}^{\times}$ qui lui est gale par commutativit . et $\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}(M)=\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}(M^{*})$. Or, d’apr s [Fon77, Chapitre IV, §5, Corollaire 2], on a un isomorphisme fonctoriel en $G$, $D(G^{D})\cong D(G)^{*}$. D’o le r sultat. ∎

3. Formule des caract res et $\mathbb{F}$-exponentielle

Dans cette section on d montre la formule des caract res. On commence par d finir la $\mathbb{F}$-exponentielle.

D finition 3.1**.**

On appelle $\mathbb{F}$-exponentielle l’application multiplicative $\exp_{\mathbb{F}}\colon\mathbb{N}[\mathbb{F}^{+}]\rightarrow\mathbb{N}[\mathbb{F}^{\vee}]$ d finie pour $f=\sum_{\chi\in\mathbb{F}^{+}}n_{\chi}[\chi]\in\mathbb{N}[\mathbb{F}^{+}]$ par

[TABLE]

Par multiplicatif on entend que $\exp_{\mathbb{F}}(f+g)=\exp_{\mathbb{F}}(f)\exp_{\mathbb{F}}(g)$ pour tout $f,g\in\mathbb{N}[\mathbb{F}^{+}]$. Le but est de d montrer le th or me suivant :

Th or me 3.2**.**

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur un $\operatorname{W}(\mathbb{F})$-sch ma connexe $S$ tel que $p$ est localement nilpotent sur $S$. Alors

[TABLE]

D’apr s ce qu’on a expliqu au paragraphe 2.2.5, ce th or me est quivalent au th or me suivant :

Th or me 3.3**.**

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur un corps parfait $k$ de caract ristique $p$ tel que $\mathbb{F}\subset k$. Alors

[TABLE]

Dans toute cette section on suppose que $G$ est un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur un corps parfait $k$ de caract ristique $p$ tel que $\mathbb{F}\subset k$. On notera toujours $\sigma\colon k\rightarrow k$ l’automorphisme de Frobenius.

3.1. Multiplicativit du caract re

3.1.1.

Le caract re des modules de Dieudonn gradu s sur $\mathbb{F}^{+}$ est additif, plus pr cis ment, on a directement :

Lemme 3.4**.**

Soit

[TABLE]

une suite exacte de $\operatorname{W}(k)$-modules de Dieudonn gradu s sur $\mathbb{F}^{+}$, en particulier les morphismes sont gradu s. Alors

[TABLE]

∎

Ainsi, d’apr s le th or me 3.3, on devrait obtenir que $\operatorname{Ch}_{k}$ est multiplicatif. La d monstration du th or me 3.3 repose sur ce fait ; on montre donc dans cette partie la proposition suivante :

Proposition 3.5**.**

Soit

[TABLE]

une suite exact de sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels555Notez que les morphismes de sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels sont des morphismes de sch mas en groupes qui respectent l’action de $\mathbb{F}$.. Alors

[TABLE]

3.1.2.

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $k$ et $A$ son alg bre de Hopf. On suppose que $G$ est connexe, c’est- -dire que $A$ est une $k$-alg bre artinienne locale. Rappelons qu’on a une graduation

[TABLE]

D finition 3.6**.**

Soit $M$ un $A$-module. Supposons que $M$ est gradu sur $\mathbb{F}^{\vee}$. Alors on dira que $M$ est un $A$-*module gradu * si pour tout $\chi,\chi^{\prime}\in\mathbb{F}^{\vee}$ on a $A_{\chi}\cdot M_{\chi^{\prime}}\subset M_{\chi\chi^{\prime}}$. On dira de plus qu’un l ment de $M$ est homog ne de type $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$ s’il appartient $M_{\chi}$.

Exemple 3.7**.**

Pour $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$, on note $A(\chi)$ le $A$-module libre de rang $1$ muni d’une graduation sur $\mathbb{F}^{\vee}$ telle que pour tout $\mu\in\mathbb{F}^{\vee}$ on ait $A(\chi)_{\mu}=A_{\chi^{-1}\mu}$. C’est un $A$-module gradu . On peut d finir de m me $M(\chi)$ pour tout $A$-module gradu $M$. En particulier, on a les $k(\chi)$ o $k$ est muni de la graduation triviale.

Proposition 3.8**.**

Soit $M$ un $A$-module gradu et libre de rang $d$ sur $A$. Alors on a une d composition

[TABLE]

telle que $\sum_{\chi\in\mathbb{F}^{\vee}}d_{\chi}=d$.

Démonstration.

Il suffit de montrer qu’il existe une $A$-base de $M$, constitu e d’ l ments homog nes. On consid re le produit tensoriel $M_{k}=M\otimes_{A}k$ pour la co-unit $A\rightarrow k$ ; c’est un $k$-module gradu sur $\mathbb{F}^{\vee}$,

[TABLE]

De plus, $M\rightarrow M_{k}$ est surjectif et respecte la graduation car $k\subset A_{\chi_{0}}$, c’est- -dire que $M_{\chi}\rightarrow k(\chi)^{d_{\chi}}\subset M_{k}$ est surjectif pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$. Ainsi, pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$ on peut fixer un ensemble $d_{\chi}$ l ments homog nes $\mathfrak{B}_{\chi}\subset M_{\chi}$ tels que leurs images dans $M_{k}$ forment une $k$-base de $k(\chi)^{d_{\chi}}$. On pose $\mathfrak{B}=\cup\mathfrak{B}_{\chi}$, c’est un ensemble $d$ l ments que nous notons $v_{1},\dots,v_{d}$. Par le lemme de Nakayama, $\mathfrak{B}$ est une famille g n ratrice de $M$ en tant que $A$-module. On a donc une surjection de $A$-modules

[TABLE]

Or, c’est une surjection entre $k$-espaces vectoriels de m me dimension et donc c’est un isomorphisme de $A$-modules. Ce qui montre que $\mathfrak{B}$ est une $A$-base homog ne de $M$. ∎

3.1.3.

On d duit de la proposition pr c dente une formule pour les dimensions des composantes isotypiques.

Corollaire 3.9**.**

On conserve les notations et hypoth ses de la proposition 3.8. On a alors

[TABLE]

o la somme porte sur les $\mu,\mu^{\prime}\in\mathbb{F}^{\vee}$ tels que $\mu\mu^{\prime}=\chi$.

∎

Soit $G_{1}$, $G_{2}$ deux sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $k$ tels que $G_{1}$ soit connexe. Soit $A_{1}$, $A_{2}$ leurs alg bres de Hopf respectives. Supposons que l’on a une une surjection $G_{2}\rightarrow G_{1}\rightarrow 0$, alors d’apr s [ABD*+*66, Expos VIIB 2.4] ce morphisme est plat. Ainsi $G_{2}$ est localement libre sur $G_{1}$ car $G_{1}$ est noetherien. Or, $A_{1}$ est Artinien donc $A_{2}$ est libre sur $A_{1}$ et on peut appliquer la proposition pr c dente, qui donne une d composition

[TABLE]

Proposition 3.10**.**

Soit $0\rightarrow G_{1}\rightarrow G_{2}\rightarrow G_{3}\rightarrow 0$ une suite exacte de sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels. Supposons que $G_{3}$ soit connexe. Alors

[TABLE]

Démonstration.

Soit $A_{i}$ la $k$-alg bre de Hopf associ e $G_{i}$, pour $i\in\{1,2,3\}$. D’apr s ce qui pr c de, on a la d composition (3.1). Or $G_{1}=G_{2}\times_{G_{3}}\operatorname{Spec}k$, pour le morphisme unit $\operatorname{Spec}k\rightarrow G_{3}$, donc

[TABLE]

en particulier $d_{\mu}=\dim_{k}(A_{3,\mu})$ pour tout $\mu\in\mathbb{F}^{\vee}$. Par le corollaire 3.9 on a pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$ la relation

[TABLE]

ce qui prouve la proposition. ∎

3.1.4.

On est maintenant en mesure de conclure l’argument pour montrer la proposition 3.5, i.e. d’enlever dans la proposition pr c dente l’hypoth se que $G_{3}$ soit connexe. Soit

[TABLE]

une suite exacte de sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels tales sur $k$. Comme la dualit de Cartier est exacte pour les sch mas en groupes finis sur $k$ et comme le dual d’un sch ma en groupes fini tale est connexe, on obtient une suite exacte de sch mas en groupes connexes

[TABLE]

Donc, d’apr s la proposition 3.10 et le lemme 2.16, on obtient

[TABLE]

Ainsi, le caract re ${\mathrm{Ch}}_{k}$ est multiplicatif sur les sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels tales.

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels. Alors, en tant que sch ma en groupes fini, comme $k$ est parfait, on a $G\cong G^{\circ}\times_{k}G^{\text{ t}}$ o $G^{\circ}$ est connexe et $G^{\text{ t}}$ est tale. Or, comme cette d composition est fonctorielle, $G^{\circ}$ et $G^{\text{ t}}$ sont naturellement des sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels. La d composition nous donne une surjection non canonique $G\rightarrow G^{\circ}$ et on d duit que

[TABLE]

Comme ${\mathrm{Ch}}_{k}$ est multiplicatif sur les sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels tales et sur les sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels connexes, on en d duit que ${\mathrm{Ch}}_{k}$ est multiplicatif, ce qui termine la d monstration de la proposition 3.5. ∎

3.2. Formule des caract res

Dans cette partie on d montre le th or me 3.3. On commencera par le d montrer dans le cas o $G$ est de type additif, puis par un d vissage et un argument de dualit , on le montrera en toute g n ralit .

3.2.1.

On commence par rappeler la classification des sch mas en groupes finis sur $k$ de type additif (i.e. annul s par $V$). Soit $M$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie. On peut lui associer un sch ma en groupes sur $k$, annul par $V$, en posant pour tout sch ma affine $U=\operatorname{Spec}B$ sur $k$,

[TABLE]

o la structure de groupe est d termin e par le groupe additif sous-jacent l’anneau $B$. Notons que le Frobenius $F$ sur $\mathbb{G}_{a}$ induit un Frobenius, toujours not $F$ de $M\otimes\mathbb{G}_{a}$. Si, de plus, $M$ est muni d’un op rateur $\sigma$-lin aire $F_{M}\colon M\rightarrow M$, alors $M\otimes\mathbb{G}_{a}$ est muni d’un second Frobenius que l’on note $F_{M}$. Le foncteur des modules de Dieudonn sur $\operatorname{W}(k)$ annul s par $V$, dans les sch mas en groupes finis de type additif, d fini par $M\rightsquigarrow\ker(F-F_{M})$ est alors une quivalence de cat gories ab liennes (cf. [DG70, IV, §3, 6.6-6.7]). Comme ces constructions sont fonctorielles en $M$, si $M$ est gradu sur $\mathbb{F}^{+}$, alors $\ker(F-F_{M})$ est naturellement un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $k$, puisque les Frobenius introduits respectent la graduation. On en d duit la proposition suivante :

Proposition 3.11**.**

L’ quivalence de cat gories ab liennes

[TABLE]

d finie par $G\rightsquigarrow D(G)$ a pour quasi-inverse le foncteur

[TABLE]

∎

3.2.2.

En utilisant la proposition pr c dente, on d montre dans ce paragraphe le th or me 3.3 pour $G$ de type additif.

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $k$ de type additif, $A$ sa $k$-alg bre de Hopf et $D(G)$ son module de Dieudonn . Soit $x_{1},\dots,x_{n}$ une base homog ne de $D(G)$ et $\chi_{i}\in\mathbb{F}^{+}$ le caract re tel que $x_{i}\in D(G)_{\chi_{i}}$. Soit $I=\{1,2,\dots,n\}$, on a

[TABLE]

Il suffit donc de montrer que

[TABLE]

Soit $V=\{0,\dots,p-1\}^{I}$, l’ensemble des fonctions de $I$ valeurs dans $\{0,\dots,p-1\}$. Alors, en changeant la somme et le produit dans la relation pr c dente, on se ram ne montrer que

[TABLE]

D’apr s la proposition 3.11, il existe $a_{i,j}\in k$, pour tout $i,j\in I=\{1,2,\dots,n\}$, tel que

[TABLE]

Donc la famille $\{x_{1}^{k(1)}\dots x_{n}^{k(n)}\}_{k\in V}$ est une base homog ne de $A$ sur $k$. En particulier, pour $k\in V$ on a $x_{1}^{k(1)}\dots x_{n}^{k(n)}\in A_{\chi_{1}^{k(1)}\dots\chi_{n}^{k(n)}}$. Ceci d montre pr cis ment (3.2) et finit la d monstration du th or me 3.3 pour $G$ de type additif. ∎

Remarque 3.12**.**

Comme les sch mas en groupes finis tales sont de type additif, ceci montre en particulier le th or me pour $G$ tale.

3.2.3.

Dans ce paragraphe on conclut la d monstration du th or me 3.3. On commence par le cas o $V$ est nilpotent et on finit par un argument de dualit .

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $k$ tel que $V$ est nilpotent. Soit $M=D(G)$ son $\operatorname{W}(k)$-module de Dieudonn gradu . Si on pose pour tout entier $i\geqslant 0$, $M_{i}=V^{i}M$, on obtient une filtration d croissante de $M$ dont les quotients successifs sont annul s par $V$. Comme $V$ respecte la graduation, c’est une filtration d croissante gradu e sur $\mathbb{F}^{+}$ et elle d finit donc une filtration d croissante $\{G_{i}\}_{i\geqslant 0}$ de sous-sch mas ferm s en $\mathbb{F}$-vectoriels telle que les quotients successifs sont des sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels annul s par $V$. La multiplicativit de $\operatorname{Ch}_{k}$ et l’additivit de $\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}$ nous donnent donc

[TABLE]

Or, au paragraphe pr c dent on a montr que pour tout $i\geqslant 0$,

[TABLE]

Ainsi la multiplicativit de $\exp_{\mathbb{F}}$ nous permet de conclure dans ce cas.

Il reste le cas o $V$ est un isomorphisme. Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $k$ tel que $V$ est un isomorphisme et soit $D(G)$ son module de Dieudonn . Or, dans ce cas $F$ est nilpotent, ainsi $V$ est nilpotent sur $G^{D}$. Or, d’apr s le paragraphe 2.1.6 on a ${\mathrm{Ch}}_{k}(G)=\operatorname{Ch}_{k}(G^{D})$ et d’apr s le lemme 2.16 on a $\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}(D(G))=\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}(D(G^{D}))$. On se ram ne ainsi au cas o $V$ est nilpotent, ce qui termine la preuve du th or me. ∎

4. Application aux modules $p$-divisibles

Dans cette section on donne une application de la formule des caract res la structure des points de torsions de certains modules $p$-divisibles. On utilise pour cela la th orie des sch mas de Raynaud et leur structure (cf. [Ray74]). Apr s avoir rappel ces r sultats, on fera quelques rappels sur les cristaux des groupes $p$-divisibles et on tudiera les points de torsions des modules $p$-divisibles.

4.1. Sch mas de Raynaud

Dans cette partie on garde les notations de la premi re section, en particulier $S$ d signera un sch ma sur $D$. On fixe, de plus, un caract re primitif $\chi_{1}\in\mathbb{F}^{+}$ et on note $\chi_{i}=\chi_{1}^{p^{i}}$ le $i$- me caract re primitif.

4.1.1.

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$. Rappelons qu’on a une d composition de l’id al d’augmentation de $G$ de la forme

[TABLE]

Pour $\chi$ et $\chi^{\prime}$ des caract res primitifs, on peut restreindre la co-multiplication aux sommants de $\mathscr{I}$ et obtenir $\Delta_{\chi,\chi^{\prime}}\colon\mathscr{I}_{\chi\chi^{\prime}}\rightarrow\mathscr{I}_{\chi}\otimes_{S}\mathscr{I}_{\chi^{\prime}}$. De m me, pour la multiplication on obtient $\mu_{\chi,\chi^{\prime}}\colon\mathscr{I}_{\chi}\otimes_{S}\mathscr{I}_{\chi^{\prime}}\rightarrow\mathscr{I}_{\chi\chi^{\prime}}$. Comme pr c demment, l’associativit et la co-associativit nous permettent de d finir leurs it rations, pour tout $\chi_{1},\dots,\chi_{n}\in\mathbb{F}^{\vee}$, que l’on notera

[TABLE]

D finition 4.1**.**

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$. On dit que $G$ est un $\mathbb{F}$-sch ma de Raynaud si pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$ le $\mathscr{O}_{S}$-module $\mathscr{I}_{\chi}$ est inversible. On dira de plus que $G$ est un $\mathbb{F}$-sch ma de Raynaud libre si pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$ le $\mathscr{O}_{S}$-module $\mathscr{I}_{\chi}$ est un $\mathscr{O}_{S}$-module libre. S’il n’y a pas de confusion possible, nous dirons simplement que $G$ est un sch ma de Raynaud.

Il en r sulte en particulier que $G$ est de rang $q$. En particulier, les $\mathbb{F}_{p}$-sch mas de Raynaud sont les sch mas en groupes de Oort-Tate tudi s dans [TO70]. Une des diff rences dans ce cas est qu’un sch ma en $\mathbb{F}_{p}$-vectoriels localement libre de rang $p$ est toujours un $\mathbb{F}_{p}$-sch ma de Raynaud.

4.1.2.

On introduit quelques notations suppl mentaires pour noncer le th or me de classification. Soit $G$ un $\mathbb{F}$-sch ma de Raynaud sur $S$. Alors on consid re

• $\bullet$

le morphisme $\Delta_{i}=\Delta_{\chi_{i},\cdots,\chi_{i}}$ o le $i$- me caract re primitif $\chi_{i}$ est consid r $p$ fois. Cette application peut tre consid r e canoniquement comme $\Delta_{i}\colon\mathscr{I}_{i+1}\rightarrow\mathscr{I}_{i}^{p}$ puisque $\chi_{i}^{p}=\chi_{i+1}$,

• $\bullet$

le morphisme $\mu_{i}=\mu_{\chi_{i},\dots,\chi_{i}}$ o le $i$- me caract re primitif $\chi_{i}$ est consid r $p$ fois. De m me, on peut consid rer cette application comme $\mu_{i}\colon\mathscr{I}_{i}^{p}\rightarrow\mathscr{I}_{i+1}$,

• $\bullet$

la compos e $w_{i}=\Delta_{i}\circ\mu_{i}$ est un l ment de $\operatorname{End}(\mathscr{I}_{i+1})$ et par la d finition d’un sch ma de Raynaud on peut consid rer $w_{i}$ comme un l ment de $\Gamma(S,\mathscr{O}_{S})$.

Raynaud a tabli le lemme suivant (cf. [Ray74, Prop.1.3.1]) :

Lemme 4.2**.**

Il existe $w\in pD^{\times}$ tel que pour tout $i$ avec $1\leqslant i\leqslant r$, $w_{i}$ soit l’image de $w$ par $D\rightarrow\Gamma(S,\mathscr{O}_{S})$. En particulier, $w$ est ind pendant de $i$ et de $S$.

∎

Dans la suite, on notera aussi $w$ l’image dans $\Gamma(S,\mathscr{O}_{S})$. De m me que pr c demment, toujours avec $\chi=\prod_{j}\chi_{j}^{a_{j}}$, on peut d finir

• $\bullet$

le morphisme $\Delta_{\chi}=\Delta_{\chi_{1},\dots,\chi_{r}}\colon\mathscr{I}_{\chi}\rightarrow\mathscr{I}_{\chi_{1}}^{\otimes a_{1}}\otimes_{S}\dots\otimes_{S}\mathscr{I}_{\chi_{r}}^{\otimes a_{r}}$,

• $\bullet$

le morphisme $\mu_{\chi}=\mu_{\chi_{1},\dots,\chi_{r}}\colon\mathscr{I}_{\chi_{1}}^{\otimes a_{1}}\otimes_{S}\dots\otimes_{S}\mathscr{I}_{\chi_{r}}^{\otimes a_{r}}\rightarrow\mathscr{I}_{\chi}$,

• $\bullet$

la compos e $w_{\chi}=\Delta_{\chi}\circ\mu_{\chi}$ qui est un l ment de $\operatorname{End}(\mathscr{I}_{\chi})$. On peut consid rer $w_{\chi}$ comme un l ment de $\Gamma(S,\mathscr{O}_{S})$.

Raynaud a galement tabli le lemme suivant (cf. [Ray74, Prop 1.3.1]) :

Lemme 4.3**.**

Soit $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}$. Alors $w_{\chi}$ est dans l’image de $D^{\times}\rightarrow\Gamma(S,\mathscr{O}_{S})$. En particulier il est inversible.

∎

4.1.3.

On nonce maintenant le th or me principal de cette partie, tabli par M. Raynaud en [Ray74, Prop.1.4.1].

Th or me 4.4** (Classification des sch mas de Raynaud).**

Fixons $w\in pD^{\times}$. L’application d finit sur l’ensemble des classes d’isomorphismes de $\mathbb{F}$-sch mas de Raynaud

[TABLE]

est une bijection valeurs dans l’ensemble des triplets $(\mathscr{I}_{\chi_{i}},\Delta_{i},\mu_{i})_{1\leqslant i\leqslant r}$, constitu s de

• $\bullet$

un syst me $(\mathscr{I}_{i})_{1\leqslant i\leqslant r}$ de classes d’isomorphismes de $\mathscr{O}_{S}$-modules inversibles,

• $\bullet$

deux syst mes de morphismes

[TABLE]

v rifiant pour tout $i$, tel que $1\leqslant i\leqslant r$, la relation $\mu_{i}\circ\Delta_{i}=w\cdot\mathrm{id}_{\mathscr{I}_{i+1}}$ dans $\operatorname{End}(\mathscr{I}_{i+1})$.

∎

On retrouve pour $r=1$ la classification des sch mas en groupes d’ordre premier $p$ tablie dans [TO70].

En particulier, on obtient la description suivante des sch mas de Raynaud libres, qui s’applique par exemple si $S$ est le spectre d’un anneau local.

Corollaire 4.5**.**

Fixons $w\in pD^{\times}$. Soit $G$ un $\mathbb{F}$-sch ma de Raynaud libre sur $S$. Alors $G$ est enti rement d termin isomorphisme pr s par la donn e de $r$ couples $(x_{i},y_{i})_{1\leqslant i\leqslant r}$ d’ l ments de $\Gamma(S,\mathscr{O})$ tels que $x_{i}y_{i}=w$ pour tout $i$ avec $1\leqslant i\leqslant r$. De plus, $G$ est isomorphe

[TABLE]

o l’indice est consid r modulo $r$. La co-multiplication est donn e par

[TABLE]

pour $\chi=\prod_{j}\chi_{j}^{a_{j}}$, $\chi^{\prime}=\prod_{j}\chi_{j}^{a_{j}^{\prime}}$ et $h$ un entier d pendant de $\chi$ et $\chi^{\prime}$. Le dual de Cartier $G^{D}$ est obtenu en changeant les r les de $x_{i}$ et $y_{i}$.

De plus, les familles de couples $(x_{i},y_{i})_{1\leqslant i\leqslant r}$ et $(x_{i}^{\prime},y_{i}^{\prime})_{1\leqslant i\leqslant r}$, tels que $x_{i}y_{i}=x_{i}^{\prime}y_{i}^{\prime}=w$ pour tout $i$ avec $1\leqslant i\leqslant r$, d finissent des $S$-sch mas en $\mathbb{F}$-vectoriels isomorphes si et seulement s’il existe une famille d’unit s $\lambda_{i}\in\Gamma(S,\mathscr{O}_{S})^{\times}$ telles que

[TABLE]

∎

D finition 4.6**.**

Si $G$ est $\mathbb{F}$-sch ma de Raynaud libre sur $S$ de la forme (4.1) on dira que $G$ est le $\mathbb{F}$-sch ma de Raynaud de param tres $(x_{i},y_{i})_{1\leqslant i\leqslant r}$.

4.1.4.

On suppose maintenant que $p$ est localement nilpotent sur $S$. Soit $\mathscr{F}$ un cristal en $\mathscr{O}_{S_{\mathbb{F}}/\Sigma}$-modules. Alors on dira que $\mathscr{F}$ est sp cial si son caract re est de la forme

[TABLE]

ou de mani re quivalente, que ses composantes isotypiques $\mathscr{F}_{\chi}$ sont de rang $1$ sur $\mathscr{O}_{S/\Sigma}/p\mathscr{O}_{S/\Sigma}$ pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{+}$.

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$. Alors $G$ est un sch ma de Raynaud si et seulement si son caract re est de la forme

[TABLE]

Ainsi, par la formule des caract res du th or me 3.2, on a la proposition suivante :

Proposition 4.7**.**

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$. Alors $G$ est un sch ma de Raynaud si et seulement si $\mathbb{D}(G)$ est sp cial.

De plus, on montre que la condition pour tre un sch ma de Raynaud peut tre affaiblie :

Corollaire 4.8**.**

Soit $G$ un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$. Alors $G$ est un sch ma de Raynaud si et seulement si pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{+}$, le faisceau localement libre $\mathscr{I}_{\chi}$ est un faisceau inversible.

Démonstration.

La r ciproque est imm diate, on suppose donc que $G$ est un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels sur $S$ tel que $\mathscr{I}_{\chi}$ est un faisceau inversible pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{+}$. On veut montrer que $G$ est un sch ma de Raynaud.

D’apr s la formule des caract res, pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{+}$, il existe un entier positif $n_{\chi}$ tel que

[TABLE]

Or, d’apr s notre hypoth se il existe pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{\vee}\backslash\mathbb{F}^{+}$ un entier positif $a_{\chi}$ tel que

[TABLE]

On compare cette expression avec le d veloppement du produit dans (4.2). On obtient pour tout $\chi\in\mathbb{F}^{+}$ que $n_{\chi}\leqslant 1$ et que $n_{\chi}$ n’est pas nul ; donc $n_{\chi}=1$. Ainsi, $G$ est un sch ma de Raynaud. ∎

4.2. Modules $p$-divisibles

4.2.1.

Soit $S$ un $\operatorname{W}(\mathbb{F})$-sch ma tel que $p$ soit localement nilpotent. Soit $X$ un groupe $p$-divisible sur $S$. Comme pour les groupes finis, on peut alors lui associer un cristal de Dieudonn covariant

[TABLE]

o $X^{D}$ est le dual de Cartier de $X$. C’est un cristal en $\mathscr{O}_{S/\Sigma}$-modules localement libre (cf. [BBM82, Th or me 3.3.10]). De plus, si $X$ est de hauteur $h$ sur $S$, alors $\mathbb{D}(X)$ est localement libre de rang $h$. D’apr s [BBM82, Corollaire 3.3.5], on a une suite exacte de $\mathscr{O}_{S}$-modules, fonctorielle en $X$ et en $S$,

[TABLE]

o $\omega_{X^{D}}$ sont les diff rentielles en la section unit de $X^{D}$ et $\operatorname{Lie}(X)$ l’alg bre de Lie de $X$.

Supposons que $S$ soit le spectre d’un corps parfait $k$. Soit $f\colon X\rightarrow X$ une isog nie entre groupes $p$-divisibles sur $k$. Alors $G=\ker(f)$ est par d finition un sch ma en groupes fini et localement libre sur $S$. Alors d’apr s [BBM82, Proposition 3.3.13], l’application

[TABLE]

est surjective et son noyau est $f\cdot\mathbb{D}(X^{D})$, o $f\colon\mathbb{D}(X^{D})\rightarrow\mathbb{D}(X^{D})$ est induit de $f$ par fonctorialit . On en d duit par dualit , en passant au module de Dieudonn et en utilisant le fait que $\mathbb{D}(G)$ et $\mathbb{D}(X)$ sont des cristaux, que

[TABLE]

4.2.2.

On introduit quelques notations. Soit $K$ une extension finie de degr $n$ de $\mathbb{Q}_{p}$ et $O_{K}$ son anneau d’entiers. On fixe $\pi\in O_{K}$ une uniformisante et on note $\kappa=O_{K}/(\pi)$ son corps r siduel. On note $f$ le degr de $\kappa$ sur $\mathbb{F}_{p}$ et $e$ le degr de ramification de $K$ sur $\mathbb{Q}_{p}$. On garde les notations pr c dentes, $\kappa^{\vee}=\operatorname{Hom}(\kappa^{\times},\bar{C}^{\times})$ les caract res multiplicatifs de $\kappa$ et $\kappa^{+}\subset\kappa^{\vee}$ les caract res primitifs. On fixe $S$ un sch ma sur $\operatorname{W}(\kappa)$ tel que $p$ soit localement nilpotent.

D finition 4.9**.**

Un $O_{K}$-module $p$-divisible sur $S$ est un groupe $p$-divisible $X$ sur $S$ muni d’un morphisme d’anneaux

[TABLE]

Dans la suite de ce paragraphe on fixe un $O_{K}$-module $p$-divisible $X$ sur $S$. On a une d composition

[TABLE]

On note comme pr c demment $p_{\chi}\colon D\otimes_{\mathbb{Z}_{p}}\operatorname{W}(\kappa)\rightarrow D_{\chi}$ la projection pour tout $\chi\in\kappa^{+}$. On obtient des d compositions

[TABLE]

qui sont compatibles avec la suite exacte 4.3 car elle est fonctorielle en $X$.

D finition 4.10**.**

Soit $\mathscr{F}$ un $\mathscr{O}_{S}$-module (resp. $\mathscr{O}_{S/\Sigma}$-module) localement libre gradu sur $\kappa^{+}$, i.e.

[TABLE]

Alors on d finit son caract re par

[TABLE]

Cette d finition ne porte pas confusion avec la d finition pr c dente de $\operatorname{\mathfrak{ch}}_{S}$ puisqu’il d pend de la nature de $\mathscr{F}$. De plus, ces d finitions sont compatibles, par exemple si $\mathscr{F}$ est un cristal en $\mathscr{O}_{S/\Sigma}$-modules

[TABLE]

Il est claire que ces caract res sont additifs. Ainsi, la filtration de Hodge 4.3 nous donne la relation

[TABLE]

On calcule maintenant le caract re d’un $O_{K}$-module $p$-divisible. Ce n’est pas un r sultat profond mais plus un exercice que l’on peut r soudre de plusieurs fa ons ; on propose ici un calcul similaire celui que l’on ferra pour les $O_{D}$-module $p$-divisibles. On note que $X[\pi]$ et $X[p]$ sont des sch mas en $\kappa$-vectoriels.

Proposition 4.11**.**

Soit $X$ un $O_{K}$-module $p$-divisible de hauteur $hn$ o $h$ est un entier positif. Alors

[TABLE]

Démonstration.

Comme pr c demment, (cf. 2.2.4) on peut supposer que $S=\operatorname{Spec}(k)$ o $k$ est un corps alg briquement clos de caract ristique $p$.

On note $M=D(X)$, le module de Dieudonn de $X$, il est gradu sur $\kappa^{+}$, i.e.

[TABLE]

Les deux op rateurs $F$ et $V$ induisent $F\colon M_{\chi}\rightarrow M_{\chi^{p}}$ et $V\colon M_{\chi^{p}}\rightarrow M_{\chi}$ pour tout $\chi\in\kappa^{+}$. Comme l’op rateur $V$ est injectif, on en d duit que $\operatorname{rang}_{\operatorname{W}(k)}M_{\chi}$ est ind pendant de $\chi\in\kappa^{+}$. Ainsi il existe un entier $a$ tel que

[TABLE]

Or, comme $X$ est de hauteur $hn=hef$, on en d duit que $a=he$, ce qui montre la deuxi me galit .

Montrons la premi re galit . D’apr s (4.4), on a $D(X[\pi])=M/\pi M$, c’est un module de Dieudonn gradu sur $\kappa^{+}$. Pour tout $\chi\in\kappa^{+}$, on a un diagramme commutatif, dont tous les membres ont m me rang sur $\operatorname{W}(k)$,

[TABLE]

Comme les co-noyaux des fl ches horizontales sont gaux, les co-noyaux des fl ches verticales ont m mes dimensions sur $k$ (on peut le d duire du lemme du serpent). Ainsi, comme pr c demment,

[TABLE]

ce qui montre la premi re galit . ∎

4.2.3.

On garde les notations du paragraphe pr c dent. Soit $d\geqslant 2$ un entier et $D$ l’alg bre division d’invariant $1/d$ sur $K$. Alors $D$ contient $\widetilde{K}$, l’extension non-ramifi de $K$ de degr $d$ ; on note $O_{\widetilde{K}}$ son anneau des entiers. On note $\mathbb{F}$ le corps r siduel de $D$, qui est le corps r siduel de $\widetilde{K}$ ; on notera $q$ le cardinal de $\mathbb{F}$. Soit $O_{D}$ l’ordre maximal de $D$. On fixe un l ment primitif $\Pi\in O_{D}$ tel que $\Pi^{d}=\pi$. On fixe $S$ un sch ma sur $\operatorname{W}(\mathbb{F})$, que l’on supposera connexe, tel que $p$ soit localement nilpotent.

D finition 4.12**.**

Un $O_{D}$-module $p$-divisible sur $S$ est un groupe $p$-divisible $X$ sur $S$, muni d’un morphisme d’anneaux

[TABLE]

En particulier, un $O_{D}$-module $p$-divisible est un $O_{\widetilde{K}}$-module $p$-divisible, ainsi les consid rations du paragraphe pr c dent sont toujours valables. Ainsi, la proposition 4.11 nous donne le corollaire suivant :

Corollaire 4.13**.**

Soit $X$ un $O_{D}$-module $p$-divisible de hauteur $hnd^{2}$ sur $S$, pour $h$ un entier positif. Alors

[TABLE]

∎

Soit $f=\sum_{\chi\in\mathbb{F}^{+}}a_{\chi}[\chi]\in\mathbb{N}[\mathbb{F}^{+}]$ un caract re. On notera

[TABLE]

Soit $X$ un $O_{D}$-module $p$-divisible de hauteur $hnd^{2}$ sur $S$, pour $h$ un entier positif. On consid re le caract re de $X[\Pi]$, qui est un sch ma en $\mathbb{F}$-vectoriels. L’additivit du caract re et le corollaire pr c dent impliquent alors que

[TABLE]

Ainsi, d’apr s la proposition 4.7, si $X[\Pi]$ est $\mathbb{F}$-sch ma de Raynaud alors $h=1$. On veut expliciter une condition sur $X$ pour d terminer si $X[\Pi]$ est un sch ma de Raynaud. On a le lemme suivant :

Lemme 4.14**.**

Soit $X$ un $O_{D}$-module $p$-divisible sur $S$. Alors on a la relation suivante :

[TABLE]

Démonstration.

Comme pr c demment on peut supposer que $S=\operatorname{Spec}(k)$, le spectre d’un corps alg briquement clos de caract ristique $p$. Soit $M=D(X)$ le module de Dieudonn de $X$. Alors on a le diagramme commutatif suivant, dont les lignes et colonnes sont exactes

[TABLE]

On a d j remarqu que comme $V$ est injectif sur $M$, $\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}(M)=\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}(M^{(p)})$. On note $K=\ker(\operatorname{Lie}(X)\xrightarrow{\Pi}\operatorname{Lie}(X)^{(q)})$. Par le lemme du serpent on a la suite exacte

[TABLE]

Ainsi $\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}((M/\Pi M)^{(qp)})-\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}((M/\Pi M)^{(q)})=\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}(\operatorname{Lie}(X[\Pi])^{(q)})-\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}(K)$. Mais de la derni re suite exacte verticale du diagramme, on a aussi $\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}(\operatorname{Lie}(X[\Pi])^{(q)})-\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}(K)=\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}(\operatorname{Lie}(X))-\operatorname{\mathfrak{ch}}_{k}(\operatorname{Lie}(X))^{(q)}$, d’o le lemme. ∎

On en d duit directement le th or me suivant, qui d termine quand les points de torsion d’un $O_{D}$-module formel forment un sch ma de Raynaud.

Th or me 4.15**.**

Soit $X$ un $O_{D}$-module $p$-divisible sur $S$ de hauteur $hnd^{2}$ pour $h$ un entier positif. Alors $X[\Pi]$ est un sch ma de Raynaud si et seulement si $h=1$ et $\operatorname{\mathfrak{ch}}_{S}(\operatorname{Lie}(X))=\operatorname{\mathfrak{ch}}_{S}(\operatorname{Lie}(X))^{(q)}$.

Cette condition est par exemple v rifi e pour les $O_{D}$-modules formels sp ciaux de Drinfeld [Dri76], ou plus g n ralement pour les $O_{D}$-modules formels $r$-sp ciaux consid r s par Rapoport-Zink dans [RZ17] comme expliqu dans l’introduction.

Références

• [ABD*+*66]

Michael Artin, Jean-Etienne Bertin, Michel Demazure, Alexander Grothendieck, Pierre Gabriel, Michel Raynaud, and Jean-Pierre Serre.

Schémas en groupes.

Séminaire de Géométrie Algébrique de l’Institut des Hautes Études Scientifiques. Institut des Hautes Études Scientifiques, Paris, 1963/1966.

• [BBM82]

Pierre Berthelot, Lawrence Breen, and William Messing.

Théorie de Dieudonné cristalline. II, volume 930 of Lecture Notes in Mathematics.

Springer-Verlag, Berlin, 1982.

• [DG70]

Michel Demazure and Pierre Gabriel.

Groupes algébriques. Tome I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs.

Masson & Cie, Éditeur, Paris; North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1970.

Avec un appendice -1t Corps de classes local par Michiel Hazewinkel.

• [dJM99]

A. J. de Jong and W. Messing.

Crystalline Dieudonné theory over excellent schemes.

Bull. Soc. Math. France, 127(2):333–348, 1999.

• [Dri76]

V. G. Drinfeld.

Coverings of $p$-adic symmetric domains.

Funkcional. Anal. i Priložen., 10(2):29–40, 1976.

• [Fon77]

Jean-Marc Fontaine.

Groupes $p$-divisibles sur les corps locaux.

Société Mathématique de France, Paris, 1977.

Astérisque, No. 47-48.

• [Ray74]

Michel Raynaud.

Schémas en groupes de type $(p,\dots,p)$.

Bull. Soc. Math. France, 102:241–280, 1974.

• [RZ17]

Michael Rapoport and Thomas Zink.

On the Drinfeld moduli problem of $p$-divisible groups.

Camb. J. Math., 5(2):229–279, 2017.

• [TO70]

John Tate and Frans Oort.

Group schemes of prime order.

Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 3:1–21, 1970.

• [Van19]

Arnaud Vanhaecke.

Sur le premier rev tement de l’espace sym trique de Drinfeld.

En pr paration, 2019.

• [Wan14]

Haoran Wang.

L’espace symétrique de Drinfeld et correspondance de Langlands locale I.

Math. Z., 278(3-4):829–857, 2014.