On bifurcation of the four Liouville tori in one generalized integrable model of the vortex dynamics

TL;DR

This paper investigates bifurcations in a generalized integrable vortex dynamics model, revealing complex transitions and new bifurcation diagrams involving four Liouville tori, with implications for physical vortex systems.

Contribution

It introduces a new bifurcation diagram for positive vortex pairs and analyzes the bifurcation of four tori, connecting different limit cases in vortex dynamics.

Findings

New bifurcation diagram with four tori bifurcation

Analytical reduction to a one-degree-of-freedom system

Stability analysis of vortex configurations

Abstract

The article deals with a generalized mathematical model of the dynamics of two point vortices in the Bose-Einstein condensate enclosed in a harmonic trap, and of the dynamics of two point vortices in an ideal fluid bounded by a circular region. In the case of a positive vortex pair, which is of interest for physical experimental applications, a new bifurcation diagram is obtained, for which the bifurcation of four tori into one is indicated. The presence of bifurcations of three and four tori in the integrable model of vortex dynamics with positive intensities indicates a complex transition and the connection of bifurcation diagrams of both limit cases. Analytical results of this publication (the bifurcation diagram, the reduction to a system with one degree of freedom, the stability analysis) form the basis of computer simulation of absolute dynamics of vortices in a fixed coordinate system in the case of arbitrary values of the physical parameters of the model (the intensities, the vortex interaction and etc.)

Equations

$${\Gamma }_k{\dot{x}}_k=\frac{\partial H}{\partial y_k}(z_1,z_2);{\Gamma }_k{\dot{y}}_k=-\frac{\partial H}{\partial x_k}(z_1,z_2),k=1,2,$$

$$\begin{array}[]{l}\displaystyle{H=\frac{1}{2}\Bigl{[}\Gamma_{1}^{2}\ln(1-|z_{1}|^{2})+\Gamma_{2}^{2}\ln(1-|z_{2}|^{2})+}\\[14.22636pt] \displaystyle{+\Gamma_{1}\Gamma_{2}\ln\left(\frac{[|z_{1}-z_{2}|^{2}+(1-|z_{1}|^{2})(1-|z_{2}|^{2})]^{\varepsilon}}{|z_{1}-z_{2}|^{2(c+\varepsilon)}}\right)\Bigr{]}.}\end{array}$$

$$\mathcal{P}=\{(z_1,z_2):|z_1|<1,|z_2|<1,z_1\ne z_2\}.$$

$$\{z_k,{\bar{z}}_j\}=-\frac{2\mathrm{i}}{{\Gamma }_k}{\delta }_{kj},$$

$$F={\Gamma }_1|z_1{|}^2+{\Gamma }_2|z_2{|}^2.$$

$$\begin{array}[]{l}F_{1}=x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2},\\[8.53581pt] F_{2}=[x_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})-x_{2}]\Bigl{\{}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})[x_{1}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})-cx_{2}]+\\[8.53581pt] x_{2}[(c-2)(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})^{2}x_{1}^{2}+cx_{2}^{2}]\Bigr{\}}+\\[8.53581pt] +\varepsilon(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-1)(x_{1}^{2}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})-x_{2}^{2})[(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(x_{1}^{2}-x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-x_{2}^{2}]\end{array}$$

$$x_1+x_2=0,y_1+y_2=0$$

$$F_1=0,F_2=0.$$

$$x_1=r_1\cos {\theta }_1,y_1=r_1\sin {\theta }_1,x_2=r_2\cos {\theta }_2,y_2=r_2\sin {\theta }_2.$$

$$\left\{\begin{array}[]{l}\theta_{1}=\theta_{2}+\pi;\\ \left[\begin{array}[]{l}r_{1}=r_{2};\\ (1+r_{1}r_{2})[(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})(r_{1}r_{2}+c)-(c-2)r_{1}^{2}r_{2}^{2}-c]+\\[8.53581pt] +\varepsilon(1-r_{1}^{2})(1-r_{2}^{2})(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}-1)=0.\end{array}\right.\end{array}\right.$$

$$\begin{array}[]{l}\displaystyle{\gamma_{1}:h=\ln\Bigl{(}1-\dfrac{f}{2}\Bigr{)}-\frac{1}{2}(c+\varepsilon)\ln(2f)+\varepsilon\ln\left(1+\frac{f}{2}\right),\quad 0<f<2;}\\[8.53581pt] \gamma_{2}:\left\{\begin{array}[]{l}\displaystyle{h=\ln\Bigl{(}x^{\varepsilon}\sqrt{x^{2}-1}z^{1-c}\Bigr{)},}\\[8.53581pt] \displaystyle{f=z^{2}-2xz+2,}\\[8.53581pt] \displaystyle{z=\frac{x[(\varepsilon+c)(x^{2}-1)+1]}{(\varepsilon+1)x^{2}-\varepsilon}},\end{array}\right.x\in(1;x_{0}].\end{array}$$

$$(z-2x{)}^2=4(x^2-1),x>1.$$

$$\begin{array}[]{l}\displaystyle{x_{0}=\frac{\sqrt{570}}{1140}\sqrt{2312+\sqrt[3]{2885048-294690\sqrt{6}}+\sqrt[3]{2885048+294690\sqrt{6}}}\approx 1,06678;}\\[8.53581pt] \displaystyle{f_{C}=\frac{2}{57}\Bigl{[}45+\frac{\sqrt[3]{141^{2}}}{\sqrt[3]{45+19\sqrt{6}}}-\sqrt[3]{141(45+19\sqrt{6})}\Bigr{]}\approx 0,9667958154;}\\[8.53581pt] h_{C}\approx-2,8066772742.\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}\gamma_{1}:C_{F}=(4-c+3\varepsilon)f^{3}+2(c+4-7\varepsilon)f^{2}+4(c+5\varepsilon)f-8(c+\varepsilon),\quad 0<f<2.\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}x_{1}=u\cos(\alpha)-v\sin(\alpha),\quad y_{1}=u\sin(\alpha)+v\cos(\alpha),\\[8.53581pt] \displaystyle{x_{2}=\sqrt{f-u^{2}-v^{2}}\cos(\alpha),\quad y_{2}=\sqrt{f-u^{2}-v^{2}}\sin(\alpha).}\end{array}$$

$$U=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}},V=\frac{y_1{x}_2-x_1{y}_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$$

$$\{U,V\}=-\{V,U\}=1,\{U,U\}=\{V,V\}=0.$$

$$\dot{u}=\frac{\partial H_1}{\partial v},\dot{v}=-\frac{\partial H_1}{\partial u}$$

$$\begin{array}[]{l}\displaystyle{H_{1}=\frac{1}{2}\Bigl{\{}\ln[(1-u^{2}-v^{2})(1-f+u^{2}+v^{2})]-(c+\varepsilon)\ln(f-2u\sqrt{f-u^{2}-v^{2}})+}\\[8.53581pt] \displaystyle{+\varepsilon\ln[(1-u\sqrt{f-u^{2}-v^{2}})^{2}+v^{2}(f-u^{2}-v^{2})]\Bigr{\}}}.\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}\displaystyle{\dot{\alpha}=\frac{1}{1-f+u^{2}+v^{2}}+c\frac{R_{1}(u,v)}{Q_{1}(u,v)}+\varepsilon\frac{R_{2}(u,v)}{Q_{2}(u,v)}},\end{array}$$

$$\begin{array}[]{l}R_{1}(u,v)=f(u+\sqrt{f-u^{2}-v^{2}})-2u[v^{2}+u(u+\sqrt{f-u^{2}-v^{2}})],\\[8.53581pt] Q_{1}(u,v)=\sqrt{f-u^{2}-v^{2}}[(f-2u^{2})^{2}+4u^{2}v^{2}],\\[8.53581pt] R_{2}(u,v)=(1-u^{2}-v^{2})[\sqrt{f-u^{2}-v^{2}}(1+u^{2}+v^{2})-u(1+f-u^{2}-v^{2})],\\[8.53581pt] Q_{2}=\sqrt{f-u^{2}-v^{2}}\Bigl{\{}(u^{2}+v^{2})f^{2}-2\sqrt{f-u^{2}-v^{2}}(1+u^{2}+v^{2})(1+f-u^{2}-v^{2})u+\\[8.53581pt] +f[1-(u^{2}+v^{2})^{2}]+4u^{2}(f-u^{2}-v^{2})\Bigr{\}}\end{array}$$

Full text

УДК 532.5.031, 517.938.5

О БИФУРКАЦИИ ЧЕТЫРЕХ ТОРОВ ЛИУВИЛЛЯ В ОДНОЙ ОБОБЩЕННОЙ ИНТЕГРИРУЕМОЙ МОДЕЛИ ВИХРЕВОЙ ДИНАМИКИ

П. Е. Рябов1,2,3

1​ Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации

125993, Россия, г. Москва, Ленинградский проспект, д. 49

2​ Институт машиноведения РАН им. А. А. Благонравова

119334, Россия, г. Москва, ул. Бардина, д. 4

3​ Удмуртский государственный университет

426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, д. 1

E-mail: PERyabov@fa.ru

1 Введение

Обобщенная математическая модель динамики двух точечных вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате, заключенном в гармонической ловушке, и динамики двух точечных вихрей в идеальной жидкости, ограниченной круговой областью, описывается системой дифференциальных уравнений, которая может быть представлена в гамильтоновой форме

[TABLE]

где гамильтониан $H$ имеет вид:

[TABLE]

Здесь через $z_{k}=x_{k}+{\rm i}y_{k}$ обозначены декартовы координаты $k$-ого вихря ($k=1,2$) с интенсивностями $\Gamma_{k}$. Физический параметр $``c``$ выражает собой меру вихревого взаимодействия, $\varepsilon$ – параметр деформации, который характеризует два предельных случая, а именно, при $\varepsilon=0$ – модель двух точечных вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате, заключенном в гармонической ловушке [1], [2], [3], а при $c=0$, $\varepsilon=1$ – модель двух точечных вихрей в идеальной жидкости, ограниченной круговой областью [4], [5], [6].

Фазовое пространство $\cal P$ задается в виде прямого произведения двух открытых кругов радиуса $1$ с выколотом множеством столкновениий вихрей:

[TABLE]

Пуассонова структура на фазовом пространстве $\cal P$ задается в стандартном виде

[TABLE]

где $\delta_{kj}$ – символ Кронекера.

Система $\eqref{x1}$ допускает один дополнительный первый интеграл движения – момент завихренности:

[TABLE]

Функция $F$ вместе с гамильтонианом $H$ образуют на $\cal P$ полный инволютивный набор интегралов системы $\eqref{x1}$. Согласно теореме Лиувилля-Арнольда регулярная поверхность уровня первых интегралов вполне интегрируемой гамильтоновой системы представляет собой несвязное объединение торов, заполненных условно-периодическими траекториями. Определим интегральное отображение ${\cal F}\,:\,{\cal P}\to{\mathbb{R}}^{2}$, полагая $(f,h)={\cal F}(\boldsymbol{x})=(F(\boldsymbol{x}),H(\boldsymbol{x}))$. Обозначим через $\cal C$ совокупность всех критических точек отображений момента, то есть точек, в которых $\mathop{\rm rank}\nolimits d{\cal F}(\boldsymbol{x})<2$. Множество критических значений $\Sigma={\cal F}({\cal C}\cap{\cal P})$ называется бифуркационной диаграммой.

В работах [7] и [8] при определенном значении параметра вихревого взаимодействия ($c=1$) в случае интенсивностей противоположных и одинаковых знаков аналитически исследована бифуркационная диаграмма задачи о движении системы двух точечных вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате. В [9] и [10] выполнена редукция к системе с одной степенью свободы и при отсутствии параметра деформации ($\varepsilon=0$) для значениях физического параметра $c>3$ обнаружена бифуркация трёх торов в один. Такая бифуркация оказалась неустойчивой и приведено её возмущённое слоение. Для другого предельного случая ($c=0,\varepsilon=1$) бифуркационный анализ динамики двух точечных вихрей в идеальной жидкости, ограниченной круговой областью, выполнен в [5] и [6]. Для указанных предельных случаев были получены совершенно различные бифуркационные диаграммы. А. В. Борисов предложил рассмотреть обе эти интегрируемые модели и выяснить, как связаны бифуркационные диаграммы обоих предельных случаев. В настоящей публикации в случае положительной вихревой пары ($\Gamma_{1}=\Gamma_{2}=1$), представляющий интерес для физических экспериментальных приложений, для обобщенной математической модели, описываемой (1), (2), получена новая бифуркационная диаграмма, для которой указана бифуркация четырех торов в один. Наличие бифуркаций трех и четырех торов в интегрируемой модели динамики вихрей, имеющих положительные интенсивности, свидетельствует о сложном переходе и связи бифуркационных диаграмм обоих предельных случаев.

2 Бифуркационная диаграмма

В случае положительной вихревой пары ($\Gamma_{1}=\Gamma_{2}=1$) определим полиномиальные выражения $F_{k}$ от фазовых переменных

[TABLE]

и обозначим через ${\cal N}_{1}$ и ${\cal N}_{2}$ замыкания множеств решений следующих систем

[TABLE]

и

[TABLE]

Тогда справедлива теорема.

Теорема 1**.**

В случае положительной вихревой пары множество $\cal C$ критических точек отображения момента $\cal F$ совпадает с множеством решений систем (4) и (5). Множества ${\cal N}_{1}$ и ${\cal N}_{2}$ являются двумернымы инвариантными подмногообразиями системы (1) с гамильтонианом (2).

Для определения бифуркационной диаграммы $\Sigma$ удобно перейти к полярным координатам:

[TABLE]

Подстановка (6) в (4) и (5) приводит к системе

[TABLE]

Бифуркационная диаграмма $\Sigma$ определена на плоскости ${\mathbb{R}}^{2}(f,h)$ и состоит из двух кривых $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$, где

[TABLE]

Здесь через $x_{0}$ обозначен корень уравнения

[TABLE]

На рис. 1 и рис. 2 в случае положительной вихревой пары для значений параметров $\varepsilon=28,c=12$ приведена бифуркационная диаграмма и ее увеличенный фрагмент. Отметим, что кривая $\gamma_{2}$ имеет точки возврата $A,B$ и точку касания $C$ с кривой $\gamma_{1}$ для указанных значений параметров при

[TABLE]

Указанная на рис. 2 a) точка касания $C$ удовлетворяет (8).

Знаки $``+``$ и $``-``$ соответствуют эллиптическим (устойчивым) и гиперболическим периодическим решениям в фазовом пространстве [11]. Как и следовало ожидать, смена типа происходит в точках возврата $A$ и $B$, а также в точке касания $C$ бифуркационной диаграммы $\Sigma$. Для наглядности, приведем явное выражение коэффициента $C_{F}$, который отвечает за тип (эллиптический/гиперболический) гладкой ветви кривой $\gamma_{1}$:

[TABLE]

При $C_{F}<0$ получим точку типа ‘‘центр’’ (соответствующее периодическое решение имеет эллиптический тип, является устойчивым периодическим решением в фазовом пространстве, пределом концентрического семейства двумерных регулярных торов), а при $C_{F}>0$ получим точку типа ‘‘седло’’ (соответствующее периодическое решение имеет гиперболический тип, существуют движения, асимптотические к этому решению, лежащие на двумерных сепаратрисных поверхностях).

3 О бифуркации четырех торов

Выполним явное приведение к системе с одной степенью свободы в случае положительной вихревой пары ($\Gamma_{1}=\Gamma_{1}=1$) подобно тому, как это сделано в [9]. Для этого в системе (1) с гамильтонианом (2) перейдем от фазовых переменных $(x_{k},y_{k})$ к новым переменным $(u,v,\alpha)$ по формулам:

[TABLE]

Физические переменные $(u,v)$ представляют собой декартовы координаты одного из вихрей в системе координат, связанной с другим вихрем, вращающейся вокруг центра завихренности. Обратная замена

[TABLE]

приводит к каноническим переменным относительно скобки (3):

[TABLE]

Система по отношению к новым переменным $(u,v)$ является гамильтоновой

[TABLE]

с гамильтонианом

[TABLE]

Угол поворота $\alpha(t)$ вращающейся системы координат удовлетворяет дифференциальному уравнению

[TABLE]

где

[TABLE]

Неподвижные точки редуцированной системы (9) определяются критическими точками приведенного гамильтониана (10) и соответствуют относительным равновесиям вихрей в системе (1). Для фиксированного значения интеграла момента завихренности $f$ регулярные уровни приведенного гамильтониана – компактны и движения происходят по замкнутым кривым. Можно показать, что критические значения приведенного гамильтониана определяют бифуркационную диаграмму (7). В точке $S$ пересечения бифуркационных кривых $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$ (рис. 2 б)), для которой $x_{S}=1,008383;f_{0}=0,9989101;h_{0}=-3,1903429$, движение на плоскости $(u,v)$ происходит по кривой, которая топологически устроена как $\mathbb{S}^{1}\,\dot{\cup}\,\mathbb{S}^{1}\,\dot{\cup}\,\mathbb{S}^{1}\,\dot{\cup}\,\mathbb{S}^{1}$ (рис. 3 а), а интегральная критическая поверхность представляет собой тривиальое расслоение над $\mathbb{S}^{1}$ со слоем $\mathbb{S}^{1}\,\dot{\cup}\,\mathbb{S}^{1}\,\dot{\cup}\,\mathbb{S}^{1}\,\dot{\cup}\,\mathbb{S}^{1}$.

При переходе через точку $S$ бифуркационной диаграммы $\Sigma$ вдоль прямой $h=h_{0}$ (рис. 2 б) реализуется бифуркация четырех торов в один $4\mathbb{T}^{2}\to\mathbb{S}^{1}\times\left(\mathbb{S}^{1}\,\dot{\cup}\,\mathbb{S}^{1}\,\dot{\cup}\,\mathbb{S}^{1}\,\dot{\cup}\,\mathbb{S}^{1}\right)$ $\to\mathbb{T}^{2}$. С помощью линий уровней приведенного гамильтониана (10) на рис. 3 наглядно продемонстрирована указанная бифуркация.

В заключении отметим, что аналитические результаты настоящей публикации (бифуркационная диаграмма (7), сведение к системе с одной степенью свободы (9), анализ устойчивости) в случае положительной вихревой пары ($\Gamma_{1}=\Gamma_{2}=1$) составляют основу компьютерного моделирования абсолютной динамики вихрей в неподвижной системе координат, описываемой (1) и (2), в случае произвольных значений интенсивностей $\Gamma_{1},\Gamma_{2}$, физического параметра $c$ и параметра деформации $\varepsilon$.

Автор выражает благодарность А. В. Борисову за постановку задачи. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 17-01-00846.

Список литературы

• [1] Torres, P. J., Kevrekidis, P. G., Frantzeskakis, D. J., Carretero-Gonzalez,  R., Schmelcher, P. and Hall, D. S., Dynamics of vortex dipoles in confined Bose–Einstein condensates, Phys. Lett. A., 2011, vol. 375, pp. 3044–3050.
• [2] Navarro, R., Carretero-González, R., Torres, P. J., Kevrekidis, P. G., Frantzeskakis, D. J., Ray, M. W., Altuntaş, E. and Hall, D. S., Dynamics of Few Co-rotating Vortices in Bose-Einstein Condensates, Phys. Rev. Lett., 2013, vol. 110, no. 22, pp. 225301-1–6.
• [3] Koukouloyannis,  V. and Voyatzis,  G. and Kevrekidis,  P. G., Dynamics of three noncorotating vortices in Bose–Einstein condensates, Phys. Rev. E., 2014, vol. 89, no. 4, pp. 042905-1–14.
• [4] Greenhill, A. G., Plane vortex motion // Quart. J. Pure Appl. Math., 1877/78, vol. 15, no. 58, pp. 10–27
• [5] Kilin, A. A., Borisov, A. V. and Mamaev, I. S., The Dynamics of Point Vortices Inside and Outside a Circular Domain, in Basic and Applied Problems of the Theory of Vortices Borisov, A. V. and Mamaev, I. S. and Sokolovskiy, M. A. (Eds.), Izhevsk: Regular and Chaotic Dynamics, Institute of Computer Science, 2003, pp. 414–440 (Russian).
• [6] Kilin, A. A., Borisov, A. V., Mamaev I. S., The Dynamics of Point Vortices Inside and Outside a Circular Domain, in * Mathematical methods of vortex structure dynamics* Borisov, A. V. and Mamaev, I. S.(Eds.) M.-Izhevsk: Regular and Chaotic Dynamics,, Institute of Computer Science, 2005, pp. 148–173 (Russian).
• [7]

Sokolov, S. V. and Ryabov, P. E., Bifurcation Analysis of the Dynamics of Two Vortices in a Bose–Einstein Condensate. The Case of Intensities of Opposite Signs, Regular and Chaotic Dynamics, 2017, vol. 22, no. 8, pp. 979–998.

• [8] Sokolov, S. V. and Ryabov, P. E. Bifurcation Diagram of the Two Vortices in a Bose-Einstein Condensate with Intensities of the Same Signs, Doklady Mathematics, 2018, vol. 97, no. 3, pp. 1–5.
• [9] Ryabov, P. E., Bifurcations of Liouville Tori in a System of Two Vortices of Positive Intensity in a Bose–Einstein Condensate, Doklady Mathematics, 2019, (to appear).
• [10] Ryabov, P. E. and Sokolov, S. V., Phase Topology of Two Vortices of the Identical Intensities in Bose-Einstein Condensate, Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2019, (to appear).
• [11] Bolsinov, A. V., Borisov, A. V. and Mamaev, I. S., Topology and Stability of Integrable Systems, Russian Math. Surveys, 2010, vol. 65, no. 2, pp. 259–318; see also: Uspekhi Mat. Nauk, 2010, vol. 65, no. 2, pp. 71–132.