Modules C-minimaux sur des anneaux de polyn\^omes tordus

TL;DR

This paper characterizes $C$-minimal modules over non-commutative skew polynomial rings, showing certain valued modules, including Puiseux series and ultraproducts of valued fields, are $C$-minimal.

Contribution

It provides a complete characterization of $C$-minimal valued modules over specific non-commutative skew polynomial rings, extending the understanding of $C$-minimality in valued modules.

Findings

Puiseux series over finite fields are $C$-minimal as modules.

Ultraproducts of algebraically closed valued fields with non-standart Frobenius are $C$-minimal.

Characterization of $C$-minimal modules over non-commutative rings of skew polynomials.

Abstract

In this article we study modules endowed with a ultrametric, from the point of view of the geometric notion $C$-minimality. We give a complete characterization of $C$-minimal valued modules over non-commutative rings of skew polynomials of the form $R:=K[t;\varphi]$, where $K$ is a field, $\varphi$ an endomorphism of $K$ and $R$ is the $K$-algebra generated by $t$, such that $at=ta^{\varphi}$ for $a\in K$. We deduce for instance that the ring of Puiseux series over a finite field $\mathbb{F}$ of characteristic $p>0$, as a valued module over $\mathbb{F}[t;x\mapsto x^p]$ is $C$-minimal. Moreover, any ultraproduct $\mathcal{K}$, of algebraically closed valued fields $\mathcal{K}_{p^n}$ of characteristic $p>0$, endowed each with the morphism $x\mapsto x^{p^n}$, following a ultrafilter $U$ over $\{p^n\ |\ n\in \mathbb{N}, \, \text{et} \; p \; \text{prime}\}$, equipped with the {\it non-standart Frobenius}, i.e., the map $\sigma_{U}:=\lim_{U} x \mapsto x^{p^n}$, is $C$-minimal as a $\mathcal{K}[t;\sigma]$-valued module.

Equations

$$C(x,y,z)\iff d(x,y)=d(x,z)>d(y,z).$$

$$C(x,y,z)\iff v(x-y)=v(x-z)<v(y-z).$$

$$at=t{a}^{\phi }$$

$$r=t^n{s}_1\dots s_1,$$

$$\{x\in M|x.r=0\}.$$

$${ann}_M(r)\text{fini}\iff (M.r\ne 0)\iff M.r=M.$$

$$0⟶M_{tor}⟶M\stackrel{.(t^k-1)}{\to }(M_{>\theta })⟶0.$$

$$v(z-y.r)>v(y.r)=v(y)\cdot r.$$

$$\varphi (x)\wedge \psi (v(t_1(x)),\dots ,v(t_k(x)),\overline{\gamma }),$$

$$\forall x\underset{c\in an{n}_M(r)}{\bigvee }v(x.r)=v((x-c).r)=v(x-c)\cdot r.$$

$$v(x.r)>v(x)\cdot r.$$

Full text

On en déduit par exemple que l’anneau des séries de Puiseux sur un corps fini $\mathbb{F}$ de caractéristique $p>0$, est $C$-minimal comme module valué sur l’anneau $\mathbb{F}[t;x\mapsto x^{p}]$, l’anneau des polynômes additives sur $\mathbb{F}$. De plus, tout ultraproduit $\mathcal{K}$, des corps algèbriquement clos valués $\mathcal{K}_{p^{n}}$ de caractéristique $p>0$, équippé chacun du morphisme $x\mapsto x^{p^{n}}$, selon un ultrafiltre $U$ sur $\{p^{n}\;\>|\>\>n\in\mathbb{N},\;\text{et}\;p\;\text{premier}\}$ muni de l’automorphisme limite, Frobenius non-standard, i.e., $\sigma_{U}:=\lim_{U}x\mapsto x^{p^{n}}$, est $C$-minimal comme $\mathcal{K}[t;\sigma]$-module valué.

We deduce for instance that the ring of Puiseux series over a finite field $\mathbb{F}$ of characteristic $p>0$, as a valued module over $\mathbb{F}[t;x\mapsto x^{p}]$ is $C$-minimal. Moreover, any ultraproduct $\mathcal{K}$, of algebraically closed valued fields $\mathcal{K}_{p^{n}}$ of characteristic $p>0$, endowed each with the morphism $x\mapsto x^{p^{n}}$, following a ultrafilter $U$ over $\{p^{n}\;\>|\>\>n\in\mathbb{N},\,\text{et}\;p\;\text{prime}\}$, equipped with the non-standart Frobenius, i.e., the map $\sigma_{U}:=\lim_{U}x\mapsto x^{p^{n}}$, is $C$-minimal as a $\mathcal{K}[t;\sigma]$-valued module.

Research partially funded by DFG through SFB 878.

1. Introduction

Pour nous, une $C$-relation est une relation ternaire satisfaisant les axiomes suivants:

1. (1)

$\forall x,y,z\;\>{C}(x,y,z)\rightarrow{C}(x,z,y)$, 2. (2)

$\forall x,y,z\;\>{C}(x,y,z)\rightarrow\neg{C}(y,x,z)$, 3. (3)

$\forall x,y,z,w\;\>{C}(x,y,z)\rightarrow({C}(w,y,z)\vee{C}(x,w,z)),$ 4. (4)

$\forall x,y\;\>x\neq y\rightarrow{C}(x,y,y)$.

Une $C$-relation interprète toujours un arbre (cf. [Adeleke and Neumann, 1998]): pour des chaînes maximales $x,y$ et $z$, ${C}(x,y,z)$, exprime que $y$ et $z$ branchent au-dessus de là où $x$ et $y$ (ou $z$) branchent.

On rappelle qu’une distance ultramétrique, est un triplet $(M,\Gamma,d)$, où $M$ est un ensemble, $\Gamma$ est un ordre linaire ayant un minimum [math], et $d:M^{2}\to\Gamma$, une application surjective, telle que, pour tout $x,y,z\in M$,

1. (1)

$d(x,y)=0$ si et seulement si $x=y$, 2. (2)

$d(x,z)\leqslant\min\{d(x,y),d(y,z)\}$.

Une distance ultramétrique induit la $C$-relation

[TABLE]

Donc un groupe abélien ou un corps valué porte en particulier la $C$-relation canonique en inversant l’inégalité ci-dessus:

[TABLE]

Une valuation triviale, c’est-à-dire prenant au plus deux valeurs, induit la $C$-relation triviale: ${C}(x,y,z)\Leftrightarrow x\neq y=z$.

Définition 1.1**.**

On dit qu’une expansion $\mathcal{U}=(U,{C},\dots)$ d’une $C$-relation est $C$-minimale si, pour tout $\mathcal{U}^{\prime}=(U^{\prime},{C},\dots)$, élémentairement équivalente à $\mathcal{U}$, tout sous-ensemble définissable (avec paramètres) de $U^{\prime}$, est définissable sans quantificateur en n’utilisant que la relation ternaire $C$.

Remarque 1.2*.*

En présence d’une distance ultramétrique, la $C$-minimalité se traduit par le fait que tout sous-ensemble définissable (de la structure elle-même) est une combinaison booléenne de boules «ouvertes» ou «fermées».

La $C$-minimalité apparaît comme une généralisation commune de la minimalité forte et de l’$o$-minimalité. Par exemple, une structure munie de la $C$-relation triviale est $C$-minimale si et seulement si elle est fortement minimale. Plus généralement ces trois notions sont étroitement liées. Notons également que les théories $C$-minimales sont dépendantes, i.e, elles ont la propriété NIP, comme les théories fortement minimales, $o$-minimales et $P$-minimales (on pourra consulter [Haskell and Macpherson, 1997] pour les définitions des théories $o$-minimales, $C$-minimales et $P$-minimales, dont le théorème 4.2.6 et la discussion qui le précède pour le résultat concernant NIP). Noter que si une structure est $o$-minimale, alors il va de même pour sa théorie complète, i.e. toute structure qui lui est élémentairement équivalente est $o$-minimale. Cette dernière propriété est fausse pour les structures fortement minimales et par voie de conséquence pour les structures $C$-minimales.

Le groupe additif de $\mathbb{Q}_{p}$, muni de sa valuation $p$-adique, est $C$-minimal mais le corps $\mathbb{Q}_{p}$ ne l’est pas, par exemple l’ensemble des carrés n’y est pas définissable sans quantificateur dans le langage des corps valués, donc dans le langage des corps équipés de la $C$-relation non plus. De fait, un corps valué est $C$-minimal si et seulement s’il est algébriquement clos (cf. [Haskell and Macpherson, 1994]).

Dans cette étude, on reprend les notations et les définitions (cf. Section 2 pour un rappel) figurant dans nos articles [Onay, 2017] et [Onay, 2018]. Soit $K$ un corps et $\varphi$ un endomorphisme de $K$. On pose $R:=K[t;\varphi]$, $K$-algèbre engendré par $t$ selon la loi de commutativité

[TABLE]

pour tout $a\in K$. Dans cette article, on caractérise les $R$-modules valués $C$-minimaux.

Nos résultats principaux se résument dans les trois théorèmes ci-dessous.

Théorème 1.3**.**

Un $R$-module trivialement valué infini $M$ est $C$-minimal (i.e. fortement minimal dans ce cas, justifiant la notation $M$, à la place de $(M,v)$) si et seulement si l’une des conditions ci-dessous est vérifiée:

1. $1.$

$M$* est divisible et, pour tout $r\in R\setminus\{0\}$, $\text{ann}_{M}(r)$ est fini* 2. $2.$

l’idéal annulateur de $M$, $\{q\in R\;\>|\>\>x.q=0,\;\>\forall x\in M\}$, est engendré par un polynôme irréductible $r$, $R/rR$ est un corps et $M$ est un $(R/rR)$-espace vectoriel.

Théorème 1.4**.**

Soit $(M,v)$ un module $K$-trivialement valué infini et non-trivialement valué. Alors $(M,v)$ est $C$-minimal si et seulement si $v(M)$ est $o$-minimal dans le langage $L^{\prime}_{V}$, pour tout $r\in R\setminus\{0\}$, $\text{ann}_{M}(r)$ est fini, $(M,v)$ est henselien et si l’une des conditions ci-dessous est vérifiée;

1. $1.$

$(M,v)$* est divisible,* 2. $2.$

$M_{>\theta}.t$* contient une boule d’indice fini et $M=M_{tor}\oplus M_{>\theta}$, où $M_{tor}$ est divisible et fortement minimal s’il n’est pas fini.*

Théorème 1.5**.**

Soit $(M,v)$ un module valué non $K$-trivialement. Alors il est $C$-minimal si et seulement s’il est affinement maximal, résiduellement divisible et tel que $v(M)$ soit une $L_{V}$-structure $o$-minimale.

Cet article est organizée comme suit. La section 2 rappelle les définitions introduites dans [Onay, 2017] et [Onay, 2018]. La section 3,5,6 traîtent respectivement les cas d’une valuation triviale, d’une valuation non-triviale et $K$-triviale et d’une valuation non $K$-triviale. La section 4 s’agit d’une interlude des résultats généraux sur la $C$-minimialité utilisés dans les sections 5 et 6.

2. Préliminaires

Soit $K$ un corps infini, $\varphi$ un endomorphisme de $K$, et $R:=K[t,\varphi]$. On renvoi le lecteur à la section 2 de [Onay, 2017] pour les généralités sur l’anneau $R$ et les $R$-modules.

Rappelons les faits suivants.

On appelle polynôme un élément de $R$ et donc un monôme un term de la forme $t^{n}a$, où $a\in K$ et $n\in\mathbb{N}$. Cet anneau est euclidien à droite, en conséquence tout $r\in R$ s’écrit comme

[TABLE]

où les $s_{i}$ sont irréducibles et séparables (i.e., non divible par $t$). Il s’en suit l’existence du $\text{ppcm}(r,q)$ pour $r,q\in R$. Il vient aussi qu’un $R$-module est divisible si et seulement s’il l’est par $t$ et par tout $s$ séparable. Par un $R$-module, on entendra un $R$-module à droite. Par $ann_{M}(r)$ $(r\in R)$ on désigne l’ensemble des éléments annulés par $r$ dans un $R$-module $M$, i.e., l’ensemble

[TABLE]

La clôture divisible d’un sous module $A$ dans un $R$-module divisible $M$, est un sous-module $A^{\prime}\supseteq A$ tel que pour tout $a\in A^{\prime}$ il existe un $r\in R$, non nul avec $a.r\in A$. Les clôtures divisibles de $A$ sont isomorphes au-dessus de $A$ en tant que $R$-modules (cf. Lemma 2.6 (4) [Onay, 2017] et la discussion suivant la preuve).

Une $K$-chaîne est un ordre linéaire $\Delta$ avec un maximum $\infty$, muni d’une action de $K$ satisfaisant, pour tout $a,b\in K^{\times}$ et $\delta,\gamma\in\Delta\setminus\{\infty\}$, les axiomes suivantes:

1. (1)

$\gamma>\delta\to\gamma\cdot a>\delta\cdot a$, 2. (2)

$\gamma\cdot ab=(\gamma\cdot a)\cdot b$, 3. (3)

$\gamma\cdot a>\gamma\to\delta\cdot a>\delta$, 4. (4)

$\gamma\cdot(a\pm b)\geqslant\min\{\gamma\cdot a,\gamma\cdot b\}$, 5. (5)

$\gamma\cdot 0=\infty\;;\gamma\cdot 1=\gamma\;;\infty\cdot b=\infty$.

Cet action induit une valuation $v_{K}$ sur $K$ (cf. [Onay, 2018] Proposition 2.4).

Définition 2.1**.**

On dit que cette action est $K$-triviale si $v_{K}$ est la valuation triviale, sinon on dit qu’elle est $K$-non-triviale.

Définition 2.2** ($R$-chains).**

Une $R$-chaîne $(\Delta,<,\infty,\cdot r_{r\in R})$ est une $K$-chaîne telle que

1. (1)

$\cdot t$ is strictement croissant $\Delta\setminus\{\infty\}$, et $\infty\cdot t=\infty$, 2. (2)

$\gamma\cdot ta=(\gamma\cdot t)\cdot a$ et $\gamma\cdot t^{n}a=(\gamma\cdot t^{n-1})\cdot ta$ pour tout $\gamma\in\Delta$, et $a\in K$, 3. (3)

$\gamma\cdot r=\min_{i}\{\gamma\cdot\mathbf{m}_{i}\}$, pour tout $r\in R$ non nul, où les $\mathbf{m}_{i}$ sont les monômes de $r$ et pour tout $\gamma\in\Delta$, 4. (4)

$\gamma\cdot\mathbf{m}_{1}\leqslant\gamma\cdot\mathbf{m}_{2}\to\left(\forall\delta\;\>(\delta<\gamma\to\delta\cdot\mathbf{m}_{1}<\delta\cdot\mathbf{m}_{2})\right)$ pout tout monômes $\mathbf{m}_{1},\mathbf{m}_{2}\in R$ tels que $0\leqslant\deg(\mathbf{m}_{2})<\deg(\mathbf{m}_{1})$, et pour tout $\gamma\neq\infty$.

Définition 2.3**.**

Un $R$-module valué est un $R$-module, qui est de plus un groupe abélien valué $(M,\Delta,v)$ (en particulier $v:M\to\Delta$ est surjective), où $\Delta$ est une $R$-chaîne telle que pour tout $x\in M$, l’on ait

1. (1)

$v(x.a)=v(x)\cdot a$, for all $a\in K$, 2. (2)

$v(x.t)=v(x)\cdot t.$

Un $R$-module valué est dit $K$-trivialement valué (respectivement $K$-non-trivialement valué) si l’action de $K$ sur $\Delta$ est $K$-triviale (respectivement $K$-non-triviale), i.e., $v(x.a)=v(x)$ pour tout $x\in M$ et $a\in K$. Enfin, $(M,\Delta,v)$ est dit trivialement valué si $|v(M)|\leqslant 2$.

Il est clair que la définition ci-dessus d’un $R$-module $K$-trivialement valué coïncide bien avec la celle donnée dans [Onay, 2017] (cf. la définition 3.4). En particulier l’application $x\mapsto x.t$ est injective dans tout $R$-module valué.

Soit $(M,\Delta,v)$ un $R$-module valué.

Notation 2.4*.*

On rappelle que l’on note $\theta$ la coupure de $\Delta$, définie par l’axiome (4) en prenant $\mathbf{m}_{1}=t$ et $\mathbf{m}_{2}=1$. Par conséquent, on note, dans un $R$-module valué $(M,\ldots)$, indépendemment du fait que cette coupure soit realisée dans $\Delta$;

• •

$M_{>\theta}:=\{x\in M\;\>|\>\>v(x.t)>v(x)\}$

• •

$M_{\geqslant\theta}:=\{x\in M\;\>|\>\>v(x.t)\geqslant v(x)\}$.

Par ailleurs, tout $\gamma\in v(M)\setminus\{\theta,\infty\}$, on note $M_{\geqslant\gamma}$ (respectivement $M_{>\gamma}$) la boule fermée (respectiement la boule ouverte) centrée [math] et de rayon $\gamma$. Notez que si la sous-module de torsion $M_{tor}$ est non triviale alors $v(M_{tor})=\{\theta,\infty\}$ est un sous $R$-module trivialement valué (cf. Lemma 3.10 (3) [Onay, 2017]).

Notation 2.5*.*

Comme dans une $R$-chaîne munie d’une action $K$-triviale, l’application $\gamma\mapsto\gamma\cdot r$ est égale à $\gamma\mapsto\gamma\cdot t^{k}$, pour un certain $k\in\mathbb{N}$, suivant [Onay, 2017], on notera parfois $\tau$, l’application $\gamma\mapsto\gamma\cdot t$.

Définition 2.6** (cf. Definition 3.23 [Onay, 2017]).**

Soit $(M,\Delta,v)$ un $R$-module $K$-trivialement valué. On dit qu’il est hensélien si pour tout $s$ séparable, $x\mapsto x.s$ est une bijection de $M_{>\theta}$ (autrement dit, le sous-module $M_{>\theta}$ est divisible par les polynômes séparables).

On peut prendre l’énoncé ci-dessous comme la défition d’un $R$-module résiduellement divisible et affinement maximal.

Fait 2.7* (reformulation du Théorème 3.35, [Onay, 2018]).*

$(M,\Delta,v)$ est résiduelement divisible et affinement maximal si et seulement si pour tout non zéro $r\in R$ pour tout $z\in M$, il y a un $y\in M$ tel que

• •

$y.r=z$,

• •

$v(y.r)=v(y)\cdot r$.

Définition 2.8**.**

Un élément $y\in M$, tel que $v(y.r)=v(y)\cdot r$, est appellé régulier pour $r$.

Rappelons que $L_{V}=\{<,(\cdot r)_{r\in R},\infty\}$, dit, le langage des $R$-chaînes et $L_{V}^{\prime}=L_{V}\cup\{(R_{n})_{n\in\mathbb{N}}\}$, où les $R_{n}$ sont des prédicats unaires telles que, $M\models R_{n}(\gamma)$ si et seulement si, $|M_{\geqslant\gamma}/M_{>\gamma}|\geqslant n$. Par la suite, on notera $(M,v)$ pour désigner un $R$-module valué.

3. Cas fortement minimal

On considère les $R$-modules trivialement valués. Notez qu’un $R$-module trivialement valué est $C$-minimale si et seulement s’il est fortement minimal.

Lemme 3.1**.**

Si $M$ est un $R$-module fortement minimal infini alors, pour tout $r\in R\setminus\{0\}$,

[TABLE]

Démonstration.

Pour tout $r\in R\setminus\{0\}$, ${ann}_{M}(r)$ et $M.r$, étant définissables, sont finis ou cofinis; de plus, étant des sous-groupes, ils ne peuvent être cofinis propres. Si tous les deux sont finis, en considérant l’application $M\to M,x\mapsto x.r$, qui a comme noyau $ann_{M}(r)$, on devrait avoir $M$ fini. Donc la seule possibilité restante est celle qui est énoncée. ∎

Lemme 3.2**.**

Soit $I$ un idéal bilatère non nul de $R$. Si $\varphi^{n}=1$ pour un certain $n\in\mathbb{N}$, alors il existe $q\in R$ à coefficients dans $Fix(\varphi)$ tel que $I=t^{n}qR$. Si $\varphi$ n’est pas d’ordre fini, alors $I$ est de la forme $t^{k}R$ pour un certain $k\in\mathbb{N}$.

Démonstration.

Voir la proposition 2.2.8 dans [Cohn, 1995]. ∎

Corollaire 3.3**.**

Soit $(M,v)$ un $R$-module trivialement valué, infini et fortement minimal. Soit $I=\{r\in R\;\>|\>\>M.r=0\}$. Alors, ou bien $I=\{0\}$ et dans ce cas $M$ est divisible et les annulateurs $\text{ann}_{M}(r)$ sont finis, ou bien $I\neq\{0\}$ et dans ce cas, $I=rR$ pour un $r\in R$ irréductible et $M$ est un $R/rR$-espace vectoriel.

Démonstration.

Le cas où $I=\{0\}$ découle du lemme 3.1. Supposons donc $I\neq\{0\}$. Remarquons que $I$ est un idéal bilatère et que, par le lemme 3.2, il existe $r\in K_{0}[t;\varphi]$, où $K_{0}=Fix(\varphi)$), tel que $I=rR$. Soit $d$ le degré de $r$. Alors pour tout $q$ de degré $<d$ vérifiant $r=qs$ on a $M.q\neq 0$ d’où par 3.1, $M.q=M$. Par conséquent $M.r=M.qs=M.s=0$, d’où $s\in I$. Donc $q\in K$. C’est-à-dire que $r$ est irréductible. Par l’existence du ppcm, et par le théorème de Bézout, le quotient $R/rR$ est un corps. ∎

Lemme 3.4**.**

Si $M$ est un $R$-module fortement minimal, si l’action de $t$ est injective et si $\varphi$ n’est pas d’ordre fini, alors l’idéal $I$ ci-dessus est nul.

Démonstration.

Si $\varphi$ n’est pas d’ordre fini et si $I\neq\{0\}$, par le lemme 3.2, $I$ est engendré par $t^{k}$, pour un certain $k\in\mathbb{N}_{>0}$. Puisque la multiplication par $t$ est injective ceci n’est pas possible. ∎

Preuve du théorème 1.3. Par ce qui précède il suffit de montrer qu’un $R$-module satisfaisant $1$ ou $2$ est fortement minimal. Si $M$ est un $R$-module satisfaisant $1$, alors, par la proposition 2.15 [Onay, 2017], toute partie définissable de $M$ est finie ou cofinie. Si $M$ satisfait $2$, alors la structure de $R$-module sur $M$ coïncide avec sa structure de $R/rR$-espace vectoriel. Or tout espace vectoriel est fortement minimal.

4. Interlude: conséquences de la $C$-minimalité

Rappelons que dans un groupe (ou module )valué $G$, on note $G_{\geqslant\gamma}$ (respectivement $G_{>\gamma}$ la boule fermée de centre [math] et de rayon $\gamma$ (respectivement la boule ouverte de centre [math] et de rayon $\gamma$). On utilisera très fréquemment la proposition ci-dessous.

Proposition 4.1**.**

Si $G$ est un groupe valué ${C}$-minimal alors, pour tout sous-groupe définissable infini propre $F$ de G, il existe $\gamma\in v(G)$, tel que $F$ contient $G_{\geqslant\gamma}$ (ou $G_{>\gamma}$), et $G_{\geqslant\gamma}$ (ou $G_{>\gamma}$) est d’indice fini dans $F$.

Démonstration.

Voir [Macpherson and Steinhorn, 1996] ou [Simonetta, 2001] 1.6(ii). ∎

Proposition 4.2**.**

Soit $\mathbb{G}=(G,v,\dots)$ un groupe valué, porteur de structure additionnelle, et $C$-minimal. Alors

1. $1.$

pour tout $\gamma\in v(G)$, le groupe $G_{\geqslant\gamma}/G_{>\gamma}$ muni de la structure induite par $\mathbb{G}$ est fortement minimal, 2. $2.$

la chaîne $v(G)$ munie de la structure induite par $\mathbb{G}$ est $o$-minimale.

Démonstration.

Voir [Macpherson and Steinhorn, 1996]. ∎

Corollaire 4.3**.**

Soit $(M,v)$ un $R$-module valué $C$-minimal. Notons $K/v_{K}$ le corps résiduel associé à la valuation $v_{K}$ induit par l’action $K$ sur $v(M)$. Alors,

1. (1)

pour tout $\gamma\in v(M)$, $M_{\geqslant\gamma}/M_{>\gamma}$ est un $(K/v_{K})$-espace vectoriel fortement minimal et, 2. (2)

la $R$-chaîne $v(M)$ est $o$-minimale.

Remarque 4.4*.*

Dans le point $1$ ci-dessus, si $(M,v)$ est $K$-trivialement valué, i.e. si $v_{K}$ est triviale, alors $K/v_{K}=K$ et donc tout $M_{\geqslant\gamma}/M_{>\gamma}$ est un $K$ espace-vectoriel.

5. Cas d’une valuation non triviale et $K$-triviale

Une des implications du théorème 1.4 est contenue dans la proposition suivante.

Proposition 5.1**.**

Si $(M,v)$ est un module $K$-trivialement valué divisible henselien, si pour tout $q\in R\setminus\{0\}$, $\text{ann}_{M}(q)$ est fini et si $v(M)$ est ${o}$-minimal dans le langage $L^{\prime}_{V}$, alors $(M,v)$ est ${C}$-minimal.

Démonstration.

Noter qu’un tel $(M,v)$ est résiduellement divisible et affinement maximal par le corollaire 3.29, [Onay, 2017]. Nous renvoyons donc à la preuve de la proposition 6.1 dont la présente proposition n’est qu’un cas particulier. ∎

Lemme 5.2**.**

Soit $(M,v)$ un module $K$-trivialement valué, tel que

1. (1)

$M_{tor}$* est fini et $M=M_{tor}\oplus M_{>\theta}$, et* 2. (2)

$M_{>\theta}$* est divisible et $v(M)$ est $o$-minimal.*

Alors $(M,v)$ est $C$-minimal.

Démonstration.

Si $M_{tor}=0$ alors, $M=M_{>\theta}$ est divisible henselien donc $C$-minimal par la proposition précédante. Sinon, soit $N^{\prime}$ une clôture divisible de $M_{tor}$. Posons $N:=N^{\prime}\oplus M_{>\theta}$ et on étend $v$ à $N$ en posant $v(x_{tor}+x_{>\theta})=\theta$ si $x_{tor}$ est non nul. D’où $(N,v)$ est divisible henselien et $v(N)=v(M)$, donc $(N,v)$ est $C$-minimal par la proposition précédente. Alors $M=\bigcup_{a\in M_{tor}}M_{>\theta}+a$, est une union finie de boules de $N$, par conséquent il est $C$-minimal. ∎

Une conséquence immédiate des deux résultats précédents est:

Corollaire 5.3**.**

L’anneau de valuation d’un corps de caractéristique $p>0$, parfait, muni d’une valuation henselienne, de corps résiduel fini ou p-clos, et de groupe de valuation divisible, est C-minimal en tant que $\mathbb{F}_{p}[t;x\to x^{p}]$-module valué.

Démonstration.

Un groupe abélien ordonné divisible est $o$-minimal, donc a fortiori sa restriction à la structure de $\mathbb{F}_{p}[t;x\to x^{p}]$-chaîne. Le corollaire découle donc du lemme 3.24 [Onay, 2017], avec la proposition 5.1 si le corps résiduel est $p$-clos et avec le lemme 5.2 si le corps résiduel est fini. ∎

Exemple 5.4**.**

Soit $R=\mathbb{F}_{p}[t;x\mapsto x^{p}]$. L’anneau des séries de Puiseux sur $\mathbb{F}_{p}$ ou sur un corps $p$-clos est $C$-minimal en tant que $R$-module valué, mais le corps des séries de Puiseux ne l’est pas (en tant que $R$-module).

Le lemme ci-dessous, avec le lemme précédent, montreront que la condition $2.$ cité dans le théorème 1.4, implique la $C$-minimalité.

Lemme 5.5**.**

Soit $(M,v)$ un module $K$-trivialement valué henselien et tel que

1. (1)

$M_{tor}$* est fini et $M=M_{tor}\oplus M_{>\theta}$,* 2. (2)

$M_{>\theta}.t$* contient une boule de la forme $M_{\geqslant\gamma}$ ou $M_{>\gamma}$, qui est d’indice fini dans $M_{>\theta}.t$ et $v(M_{>\theta})$ est $o$-minimal.*

Alors $(M,v)$ est $C$-minimal.

Démonstration.

Si $M_{>\theta}$ est divisible, alors l’assertion suit de lemme ci-dessus.

Montrons d’abord que la valuation sur $M_{>\theta}$ détermine une et une seule valuation sur chacune de ses clôtures divisibles (toutes sont déjà isomorphes en tant que $R$-modules). Soit $N$ une clôture divisible de $M_{>\theta}$. Alors, puisque $M_{>\theta}$ est divisible par tous les polynômes séparables, $x\in N$ si et seulement si $x.t^{n}\in M_{>\theta}$ pour un certain $n\in N$. Soit alors $x\in N\setminus M_{>\theta}$ et $n$ minimal tel que $x.t^{n}\in M_{>\theta}$. Soit $\gamma=v(x.t^{n})$. On définit $\bar{v}(x)$ comme le couple $(\gamma,n)$. Si $y\in N\setminus M_{>\theta}$ est tel que $\bar{v}(y)=(\delta,k)$, on décrète que $\bar{v}(x)<\bar{v}(y)$ si et seulement si $\tau^{k}(\gamma)<\tau^{n}(\delta)$. Il est immédiat de vérifier que $(N,\bar{v})$ est un module $K$-trivialement valué, et que $\bar{v}$ prolonge $v$.

Montrons maintenant que $M_{>\theta}$ s’identifie à une union finie de boules de $(N,\bar{v})$. Soit $B$ la boule de $M$, d’indice fini dans $M_{>\theta}.t$, dont l’existence est donnée par l’hypothèse du corollaire. Montrons que $B$ est en fait une boule de $N$. Soit $\gamma$ le rayon de $B$, i.e. $B=M_{>\gamma}$ ou $B=M_{\geqslant\gamma}$. Soit $x\in N\setminus M_{>\theta}$ , avec $v(x)>\gamma$, et soit $k\geqslant 1$ minimal tel que $\overline{x}.t^{k}\in M_{>\theta}$. On a, $v(x.t^{k})>\tau^{k}(\gamma)>\gamma$. Or $M_{>\theta}.t\supset B$ implique $x.t^{k-1}\in M_{>\theta}$. Contradiction. D’où $B=N_{\geqslant\gamma}$ ou $B=N_{>\gamma}$. En écrivant $M_{>\theta}.t=\bigcup_{i}B+a_{i}$, on a $M_{>\theta}=B.t^{-1}+a_{.}t^{-1}$, où $B.t^{-1}$ est nécessairement la boule ouverte ou fermée de rayon $\tau^{-1}(\gamma)$ et $a_{i}.t^{-1}$ est l’unique $b_{i}\in N$ tel que $b_{i}.t=a_{i}$. Par conséquent, $M_{>\theta}$ est une union finie de boules de $N$ donc $M$ est une union finie de boules de $N\oplus M_{tor}$ et il suffit de montrer que $N\oplus M_{tor}$ est $C$-minimal. Puisque $(N,\overline{v})$ est divisible henselien sans-torsion, le lemme 5.2 dit qu’il suffit de montrer que $\overline{v}(N)$ est $o$-minimal.

Montrons d’abord que $\overline{v}(N)$ est la clôture de $v(B)$ par $\tau^{-1}$. Soit $x\in M_{>\theta}$, tel que $x.t\notin B$. On a $v(x.t-a_{i})>v(x.t)=v(a_{i})$ pour un certain $i\in\{1,\dots,n\}$. Dans ce cas , $v(x.t^{2})>v(x.t)$ et donc pour tout $i$, $v(x.t^{2}-a_{i})=v(a_{i})$. Alors $x.t^{2}\in B$ nécessairement. Par ailleurs, si $x.t\in B$ de même pour $x.t^{2}$. Donc $N$ est aussi la clôture divisible de $B$. D’où $\overline{v}(N)$ est la clôture de $v(B)$ par $\tau^{-1}$, $\overline{v}(N)=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}\tau^{-i}v(B)$, et chaque $\tau^{-i}v(B)$ est isomorphe à $v(B)$ donc ils sont tous $o$-minimaux.

Puisque $v(M)$ est $o$-minimal $v(M)\setminus\{\theta,\infty\}$ est dense ou discret: Soit $DE$ l’ensemble des points ayant un voisinage dense et $DI$ l’ensemble des points ayant un prédécesseur et un successeur; par $o$-minimalité, $v(M)$ se partionne comme $DE\cup DI\cup F$, avec $F$ fini, plus précisement $DE$ et $DI$ sont des unions finis d’intervalles séparés par au moins un point de $F$; par ce que $\tau$ est strictement croissant, il préserve chacun des trois ensembles, $DE$, $DI$ et $F$, et parce qu’il n’admet aucun point fixe sur $v(M)\setminus\{\theta,\infty\}$, $F\setminus\{\theta,\infty\}=\emptyset$, par conséquent $v(M)\setminus\{\theta,\infty\}=DE$ ou $v(M)\setminus\{\theta,\infty\}=DI$.

Maintenant, par [Pillay and Steinhorn, 1987], si $v(M)$ est discret alors $\tau$ est une translation sur $v(M)$ et donc $\overline{v}(N)$ est discret et $\tau$ reste une translation. Sinon si $v(M)$ est dense, par construction $\overline{v}(N)$ est dense. Dans le deux cas, la $\overline{v}(N)$ est $o$-minimal par le corollaire 1.16 de [Maalouf, 2010]. ∎

Les lemmes qui suivent établissent des réciproques aux résultat ci-dessus et ainsi complètent la preuve du théorème 1.4.

Lemme 5.6**.**

Soit $(M,v)$ un module $K$-trivialement valué, ${C}$-minimal, infini. S’il existe $a\in M$ tel que $v(a)<\theta$ alors M est divisible.

Démonstration.

Soit $q\in R$, non nul. S’il existe un $a\in M$ comme ci-dessus, alors $v(M.q)$ n’a pas de premier élément. Si $M.q\neq M$ alors par la proposition 4.1 il contient un sous-groupe $H$ de la forme $M_{\geqslant\gamma}$ ou de la forme $M_{>\gamma}$ qui est d’indice fini dans $M.q$. Alors $M.q$ est la réunion disjointe finie des $H+a_{i}$ et donc $v(M.q)$ a un premier élément. Contradiction. ∎

Lemme 5.7**.**

Soit $(M,v)$ un module non trivialement valué qui est $K$-trivialement valué et $C$-minimal. Alors, pour tout $r\in R\setminus\{0\}$, $\text{ann}_{M}(r)$ est fini.

Démonstration.

Si $\text{ann}_{M}(r)$, est une partie propre infini de $M$, alors par la proposition 4.1 il existe $\gamma\in\Delta$ tel que $\text{ann}_{M}(r)$ contient une boule de la forme $M_{\geqslant\gamma}$ ou $M_{>\gamma}$ qui est d’indice fini dans $\text{ann}_{M}(r)$. Comme $v(\text{ann}_{M}(r))=\{\theta\}$, on obtient $\gamma=\theta$; dans ce cas là, on a nécessairement $M_{>\theta}={0}$ et donc $\text{ann}_{M}(r)=M_{\geqslant\theta}=M_{tor}$. Cela implique en particulier $\infty$ est l’unique élément qui est strictement$>\theta$. Puisque $(M,v)$ est non trivialement valué, il existe donc des éléments de valuation $<\theta$. Par le lemme ci-dessus $M$ est alors divisible; d’où $M_{tor}$ est divisible. Or ceci contredit le fait que $M_{tor}$ est annulé par un seul élément. ∎

Corollaire 5.8**.**

Soit $(M,v)$ non trivialement valué, $K$-trivialement valué et $C$-minimal. Si $M_{tor}$ est infini alors $M_{tor}$ est divisible et fortement minimal.

Démonstration.

$M_{tor}$ se plonge dans le $R$-module $M_{\geqslant\theta}/M_{>\theta}$ qui est fortement minimal, on a la divisibilité de $M_{\geqslant\theta}/M_{>\theta}$ par le lemme ci-dessus et par le lemme 3.1, d’où la divisibilité de $M_{tor}$. Alors par la proposition 2.15 dans [Onay, 2017], tout sous-ensemble définissable de $M_{tor}$ est une combinaison booléenne d’ensembles du type $\text{ann}_{M}(r)$, avec $r\in R\setminus\{0\}$. D’où, par le théorème 3.1 et par le fait que chaque annulateur est fini, la forte minimalité de $M_{tor}.$ ∎

Lemme 5.9**.**

Soit $(M,v)$ un module $K$-trivialement valué ${C}$-minimal. Alors $(M,v)$ est henselien.

Démonstration.

On va considérer $2$ cas:

a. $v(M_{>\theta})$* n’a pas de premier élément.* Par la proposition 4.1, si $M_{>\theta}.r$ ($r\in R\setminus 0$) n’est pas égal à $M_{>\theta}$, alors il contiendrait une boule ouverte ou fermée d’indice fini. En particulier, ou bien $v(M_{>\theta}.r)$ aurait un plus petit élément ou bien pour un certain $\gamma>\theta$ on aurait $M_{>\theta}.r=M_{>\gamma}$. Ces deux cas sont impossibles car si $r$ est séparable et $x\in M_{>\theta}$, on a $v(x.r)=v(x)$.

b. $v(M_{>\theta})$* a un plus petit élément.* Soit $\gamma_{0}$ ce plus petit élément $>\theta$. Soit $s\in R_{sep}$. Écrivons $s$ comme $tq+a$ avec $a\in K$. Encore par le lemme 4.1, si $M_{>\theta}.s\neq M_{>\theta}$ alors il contient un certain $M_{>\gamma}$ ou $M_{\geqslant\gamma}$ qui est d’indice fini dans $M_{>\theta}.s$. Supposons que c’est $M_{>\gamma}$, l’autre cas se traite de même. Puisque $M_{>\gamma}$ est d’indice fini dans $M_{>\theta}.s$, il existe $\gamma_{1},\dots\gamma_{k}$ tel que $\gamma_{0}<\gamma_{1}<\dots<\gamma_{k}=\gamma$ avec $\gamma_{i+1}$ le successeur de $\gamma_{i}$ dans $v(M)$. Soit $x$ de valuation $\gamma_{0}$, alors $x_{0}:=(x-x.a^{-1}(tq+a))=(x-x.a^{-1}s)$ est de valuation $\geqslant\gamma_{1}>\gamma_{0}$. Ainsi on définit $x_{i}:=(x_{i-1}-x_{i-1}.a^{-1}s)$, avec $v(x_{i})>\gamma_{i}$, pour $1\leqslant i\leqslant k$. Donc $v(x_{k})>\gamma$. Par conséquent $x_{k}$ est divisible par $s$, et donc $x$ aussi. On a montré que $M_{>\theta}$ est divisible par les polynômes séparables, i.e. $(M,v)$ est henselien. ∎

Par ce qui précède, on peut supposer que $M=M_{\geqslant\theta}$ et que $M_{tor}$ est fini. Il nous reste alors à montrer le résultat suivant, avec lequel s’achève la preuve du théorème 1.4.

Lemme 5.10**.**

Soit $(M,v)$ un module $K$-trivialement valué $C$-minimal non divisible et tel que $M_{\geqslant\theta}=M$ et $M_{tor}$ est fini. Alors $M=M_{tor}\oplus M_{>\theta}$.

Démonstration.

Puisque $M_{tor}$ est fini la multiplication par $t$ induit une bijection de $M_{tor}$. Donc $M_{tor}=\text{ann}_{M}(t^{k}-1)$ pour un certain $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$. Par conséquent, $M_{tor}$ n’est pas divisible donc $M$ non plus. Donc $M.(t^{k}-1)$ contient une boule (ouverte ou fermée) qui y est d’indice fini, d’après le lemme 4.1. En particulier le quotient $M.(t^{k}-1)/(M_{>\theta}\cap M.(t^{k}-1))$ est fini; de plus il est sans torsion. Or, puisque $R$ est infini, le seul module sans torsion fini est le module [math]. Cela implique que $M.(t^{k}-1)\subset M_{>\theta}$.

Montrons l’inclusion réciproque $M_{>\theta}\subset M.(t^{k}-1)$: $(M,v)$ est henselien par le lemme ci-dessus; en particulier $M_{>\theta}$ est divisible par le polynôme $t^{k}-1$; cela implique que la suite ci-dessous est exacte (et clairement scindée):

[TABLE]

D’où $M_{>\theta}$ est facteur direct dans $M$. ∎

6. Cas d’une valuation non $K$-triviale

Les propositions ci-dessous établissent la preuve du théorème 1.5. Rappelons que $(M,v)$ est dit résiduellement divisible, si pour tout non zero $r\in R$, non zero $z\in M$ il existe $y\in M$, tel que

[TABLE]

Notons que l’égalité dans l’expression ci-dessus peut ne peut être toujours vérifiée (on peut penser au cas où $y$ est non zero et annulé par $r$.)

Proposition 6.1**.**

Un module valué $(M,v)$ affinement maximal, résiduellement divisible, ayant sa chaîne $v(M)$ $o$-minimale et tel que, pour chaque $r\in R\setminus\{0\}$, $\text{ann}_{M}(r)$ est fini, est $C$-minimal.

Démonstration.

Par [Onay, 2018], Théorème 4.6, on sait que toute formule à une seule variable libre $x$, avec paramètres, est équivalente à une formule de la forme

[TABLE]

où $\phi$ est une formule sans quantificateur avec paramètres dans le langage des $R$-modules, $\psi$ est une formule sans paramètres de $L_{V}^{\prime}$, les $t_{i}$ sont des termes avec paramètres dans le langage des $R$-modules et $\overline{\gamma}$ est un $n$-uplet d’éléments de $v(M)$. En particulier, $\phi$ est une combinaison booléenne de formules de la forme $x.r=b$. Puisque $\text{ann}_{M}(r)$ est fini, elle définit un ensemble fini ou cofini. On se ramène donc à montrer que $\psi(v(t_{i}(x))_{i})$ décrit une combinaison booléenne de boules ouvertes ou fermées. On se contentera de montrer que l’on peut remplacer les termes $v(t_{i}(x))$ par des termes de la forme $\tau^{k}(v(x-c_{i}))$ où $k\in\mathbb{N}$ et $c_{i}\in M$. Ainsi $\psi$ sera de la forme $\psi^{\prime}(v(x-c_{1}),\dots,v(x-c_{n}))$. La $C$-minimalité de $(M,v)$ suit alors de l’$o$-minimalité de la $R$-chaîne $v(M)$ par des considérations ultramétrique générales (comme il a été explicité dans la preuve de la proposition 36 de [Maalouf, 2010]).

Les termes $t_{i}(x)$ sont de la forme $x.r_{i}-a_{i}$ ($r_{i}\in R$, $a_{i}\in M$). Par divisiblité de $M$, il existe $b_{i}\in M$ tel que $b_{i}.r_{i}=a_{i}$. Ainsi chaque terme $t_{i}(x)$ est égal à un terme de la forme $(x-b_{i}).r_{i}$. La preuve sera donc achevée dès que nous aurons prouvé l’assertion suivante:

Etant donné $r\in R\setminus\{0\}$, il existe un recouvrement fini de $M$ par des ensembles dont chacun, disons $E$, est une combinaison booléenne de boules de $M$ et tel que pour un certain paramètre $d$, $(M,v)\models\forall x\in E,v(x\cdot r)=v(x-d)\cdot r$.

En effet, d’une part par le résultat 3.36 dans [Onay, 2018], on a

[TABLE]

Et d’autre part, pour tout $c_{0}\in\text{ann}_{M}(r)$, l’ensemble $\{x\in M\;\>|\>\>v((x-c_{0}).r)=v(x-c_{0})\cdot r\}$ est exactement l’ensemble des éléments $x$ tel que $x-c_{0}$ est régulier pour $r$, et est égal, par le même résultat, l’ensemble $\{x\;\>|\>\>v(x-c_{0})=\max\{v(x-c_{0}-c);c\in\text{ann}_{M}(r)\}\}$. Ce dernier ensemble est clairement une combinaison booléenne de boules.

∎

Pour la démonstration suivante on rappelle que l’ensemble $Saut_{M}(r)$ (noté $\operatorname{Jump}_{M}(r)$ dans [Onay, 2018]) est l’ensemble des valeurs $\gamma$ tel qu’il existe un $x\in M$ de valuation $\gamma$ satisfaisant

[TABLE]

Proposition 6.2**.**

Soit $(M,v)$ un module valué non $K$-trivialement et $C$-minimal. Alors $(M,v)$ est affinement maximal et résiduellement divisible, et pour tout $r\in R\setminus\{0\}$, $\text{ann}_{M}(r)$ est fini.

Démonstration.

Puisque $v_{K}$ est non triviale sur $K$, $v(M)$ n’est pas minoré. Or $Saut_{M}(r)$ est fini pour tout $r\in R\setminus\{0\}$ donc $\text{ann}_{M}(r)$ ne peut pas contenir de boule propre d’indice fini et doit être fini. De plus, pour les mêmes raisons, $v(M.r)$ n’est pas minoré, donc $M.r$ ne peut contenir de boule propre d’indice fini et $M.r=M$. D’où $M$ est divisible.

Supposons que $(M,v)$ n’est pas affinement maximal. Comme $M$ est déjà divisible, il est résiduellement divisible. Dans ce cas, par le théorème 3.35 [Onay, 2018], il existe $r\in R\setminus\{0\}$ et $y\in M\setminus\{0\}$ tels que pour tout $x$ vérifiant $x.r=y$, $x$ est irrégulier pour $r$. Puisque $M$ est divisible, l’ensemble $A:=\{x\in M\;\>|\>\>x.r=y\}$ est non-vide et puisque $\text{ann}_{M}(r)$ est fini, il s’écrit comme $A=\{x_{1},\dots,x_{k}\}$. Posons $\gamma=\max_{i}\{v(x_{i})\}$ et prenons $x\in A$ de valuation $\gamma$. Alors $y\in M_{>\gamma\cdot r}\setminus\left(M_{>\gamma}\right).r$. On va montrer que ceci conduit à une contradiction. Puisque $\gamma$ est un saut, il est limite inférieure dans $v(M)$ des éléments $\delta\in v(M)\setminus Saut_{M}(r)$ par le lemme 2.11 [Onay, 2018] et par la finitude de $Saut_{M}(r)$; donc il est limite des éléments $\delta$ tel que $v(M_{>\delta}.r)$ et $v(M_{>\delta\cdot r})$ définissent le même segment final de $v(M)$. Cela impose que $M_{>\gamma\cdot r}=\left(M_{>\gamma}\right).r$. Contradiction. ∎

Enfin, on donne une conséquence du résultat ci-dessus dans le cas des corps valués: par le lemme 2.11 [Onay, 2018], il suit qu’une $R$-chaîne $o$-minimale est dense et pleine et il suit par le corollaire [Onay, 2018] 2.26, qu’une $R$-chaîne pleine et dense est $o$-minimale. De plus, par la remarque 2.29 [Onay, 2018], un groupe abélien ordonné plein comme $R$-chaîne est divisible. Ensuite, par l’exemple 2.28(2) [Onay, 2018], la $R$-chaîne $v(\mathcal{K})$, d’un corps aux difference valué $(\mathcal{K},\sigma,v)$, où $R=\mathcal{K}[t;\sigma]$ est pleine et dense que $v(\mathcal{K})$ est un $\mathbb{Z}[\sigma]$-module (de nouveau par [Onay, 2018], 2.28). Enfin par le corollaire [Onay, 2018], un corps valué hensélien $(K,v)$ de caractéristique $p>0$ est algébriquement maximal si et seulement s’il est affinement maximal comme $K[t;x\mapsto x^{p}]$-module valué.

Corollaire 6.3**.**

On a:

• •

Soit $(K,v)$ un corps valué infini hensélien et de caractéristique $p>0$. Alors $(K,v)$ est $C$-minimal comme $K[t;x\mapsto x^{p}]$-module valué si et seulement s’il est algébriquement maximal avec un corps résiduel $p$-clos et un groupe de valuation divisible.

• •

Soit $\mathcal{K}$ l’ultraproduit des corps algèbriquement valués $\mathcal{K}_{p^{n}}$, de caractéristique $p>0$, équippé chacun du morphisme $x\mapsto x^{p^{n}}$, selon un ultrafiltre $U$ sur $\{p^{n}\;\>|\>\>n\in\mathbb{N},\;\text{et}\;p\;\text{premier}\}$. $\mathcal{K}_{p^{n}}$ muni de l’automorphisme limite, Frobenius non-standard, i.e., $\sigma_{U}:=\lim_{U}x\mapsto x^{p^{n}}$, est $C$-minimal comme $\mathcal{K}[t;\sigma]$-module valué.

Remarque 6.4*.*

Noter que en prenant un ultrafiltre trivial, le second point ci-dessus implique le premir.

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