Generalization of Dirac conjugation in the superalgebraic theory of spinors

TL;DR

This paper introduces a generalized Dirac conjugation within the superalgebraic framework of spinors, ensuring Lorentz covariance and preserving algebraic structures, advancing the mathematical understanding of spinor transformations.

Contribution

It proposes a new form of Dirac conjugation in superalgebraic spinor theory that maintains Lorentz covariance and algebraic consistency.

Findings

Generalized gamma matrices' signature and number are determined by the conjugation variant.

Decomposition of second quantization by momenta aligns with the generalized conjugation.

The CAR-algebra remains invariant under the new spinor transformations.

Abstract

In the superalgebraic representation of spinors using Grassmann densities and derivatives with respect to them, a generalization of Dirac conjugation is introduced, which provides Lorentz-covariant transformations of conjugate spinors. It is shown that the signature of the generalized gamma matrices and their number, as well as the decomposition of the second quantization by momentums, are given by the variant of the generalized Dirac conjugation and by the requirement that the CAR-algebra be preserved in the transformations of the spinors and conjugate spinors.

Equations

$$\{\frac{\partial }{\partial {\theta }^b(p)},{\theta }^a(p^{\prime })\}={\delta }_b^a\delta (p-p^{\prime }),$$

$$\{\frac{\partial }{\partial {\theta }^a(p)},\frac{\partial }{\partial {\theta }^b(p^{\prime })}\}=\{{\theta }^a(p),{\theta }^b(p^{\prime })\}=0.$$

$$\Psi$$

$$\Phi$$

$$\{{\Psi }^{+},\Phi \}$$

$$({\theta }^b(p),{\theta }^a(p^{\prime }))=(\frac{\partial }{\partial {\theta }^a(p^{\prime })},\frac{\partial }{\partial {\theta }^b(p)})=\frac{1}{2}{\delta }_b^a\delta (p-p^{\prime }),$$

$$({\theta }^a(p),\frac{\partial }{\partial {\theta }^b(p^{\prime })})=(\frac{\partial }{\partial {\theta }^a(p)},{\theta }^b(p^{\prime }))=0.$$

$${\Phi }_{{\lambda }_1...{\lambda }_{\text{a}}}^{{\chi }_1...{\chi }_b}=\frac{\partial }{\partial {\theta }^{{\lambda }_1}(p)}...\frac{\partial }{\partial {\theta }^{{\lambda }_a}(p^{\prime })}{\theta }^{{\chi }_1}(p^{\prime \prime })...{\theta }^{{\chi }_b}(p^{\prime \prime \prime }).$$

$$({\theta }^b(p),{\theta }^a(p^{\prime }))=(1,\frac{\partial }{\partial {\theta }^b(p)}{\theta }^a(p^{\prime }))=\frac{1}{2}{\delta }_b^a\delta (p-p^{\prime }),$$

$$(\frac{\partial }{\partial {\theta }^a(p^{\prime })},\frac{\partial }{\partial {\theta }^b(p)})=(1,{\theta }^a(p^{\prime })\frac{\partial }{\partial {\theta }^b(p)})=\frac{1}{2}{\delta }_b^a\delta (p-p^{\prime }),$$

$$(1,\frac{\partial }{\partial {\theta }^b(p)}{\theta }^a(p^{\prime })-{\theta }^a(p^{\prime })\frac{\partial }{\partial {\theta }^b(p)})=\frac{1}{2}{\delta }_b^a\delta (p-p^{\prime })-\frac{1}{2}{\delta }_b^a\delta (p-p^{\prime })=0,$$

$$(1,\frac{\partial }{\partial {\theta }^b(p)}{\theta }^a(p^{\prime })+{\theta }^a(p^{\prime })\frac{\partial }{\partial {\theta }^b(p)})=(1,1)(\frac{1}{2}{\delta }_b^a\delta (p-p^{\prime })+\frac{1}{2}{\delta }_b^a\delta (p-p^{\prime }))={\delta }_b^a\delta (p-p^{\prime }),$$

$$(\Phi ,\Psi )=(\frac{\partial }{\partial {\theta }^{{\lambda }_1}(p)}...\frac{\partial }{\partial {\theta }^{{\lambda }_a}(p^{\prime })}{\theta }^{{\chi }_1}(p^{\prime \prime })...{\theta }^{{\chi }_b}(p^{\prime \prime \prime }),\Psi ).$$

$$(\Phi ,\Psi )=(1,\frac{\partial }{\partial {\theta }^{{\chi }_b}(p^{\prime \prime \prime })}...\frac{\partial }{\partial {\theta }^{{\chi }_1}(p^{\prime \prime })}{\theta }^{{\lambda }_a}(p^{\prime })...{\theta }^{{\lambda }_1}(p)\Psi )=(1,{\Phi }^{+}\Psi ).$$

$$(\frac{\partial }{\partial {\theta }^b(p_1)}{\theta }^a(p_2),\frac{\partial }{\partial {\theta }^d(p_3)}{\theta }^c(p_4))=\frac{1}{4}{\delta }_b^a{\delta }_d^c\delta (p_1-p_2)\delta (p_3-p_4)+\frac{1}{4}{\delta }_d^b{\delta }_a^c\delta (p_1-p_3)\delta (p_2-p_4).$$

$$\hat{A}\Phi =[A,\ast ]\Phi =A\Phi -\Phi A.$$

$$(\hat{A}\Phi {)}^{+}=(A\Phi -\Phi A{)}^{+}={\Phi }^{+}A{}^{+}-A{}^{+}{\Phi }^{+}=-{\hat{A}}^{+}{\Phi }^{+}.$$

$${\Phi }^{\prime }=e^{{\hat{\gamma }}^{\mu }{\hat{\gamma }}^{\nu }{\phi }_{\mu \nu }/2}\Phi ,$$

$${\hat{A}}^{\prime }=e^{{\hat{\gamma }}^{\mu }{\hat{\gamma }}^{\nu }{\phi }_{\mu \nu }/2}\hat{A}{e}^{-{\hat{\gamma }}^{\mu }{\hat{\gamma }}^{\nu }{\phi }_{\mu \nu }/2}.$$

$$\Psi (p)={\psi }_{\alpha }(p)\frac{\partial }{\partial {\theta }^{\alpha }(p)}+{\psi }_{\tau }(p){\theta }^{\tau }(p).$$

$$e^{{\hat{\gamma }}^{\mu }{\hat{\gamma }}^{\nu }{\phi }_{\mu \nu }/2}{\Phi }_V={\Phi }_V.$$

$$e^{{\hat{\gamma }}^{\mu }{\hat{\gamma }}^{\nu }{\phi }_{\mu \nu }/2}\Psi (p){\Phi }_V=(e^{{\hat{\gamma }}^{\mu }{\hat{\gamma }}^{\nu }{\phi }_{\mu \nu }/2}\Psi (p)){\Phi }_V,$$

$${\Psi }^{\prime }(p)=e^{{\hat{\gamma }}^{\mu }{\hat{\gamma }}^{\nu }{\phi }_{\mu \nu }/2}\Psi (p).$$

$${\Psi }^{\prime }(p{)}^{+}=e^{{\hat{\gamma }}^{\mu +}{\hat{\gamma }}^{\nu +}{\phi }_{\mu \nu }/2}\Psi (p{)}^{+}.$$

$${\Psi }^{\prime }(p){}^{+}=e^{{\hat{\gamma }}^{\mu }{\hat{\gamma }}^{\nu }{\phi }_{\mu \nu }/2}\Psi (p){}^{+}.$$

$${\Psi }^{\prime }(p){}^{+}=e^{-{\hat{\gamma }}^0{\hat{\gamma }}^k{\phi }_{0k}/2}\Psi (p){}^{+}.$$

$$\bar{\Psi }=(M\Psi {)}^{+},$$

$${\bar{\Psi }}^{\prime }(p)=e^{{\hat{\gamma }}^0{\hat{\gamma }}^k{\phi }_{0k}/2}\bar{\Psi }(p).$$

$$\begin{array}[]{ccc}M&=&M_{0}(\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})+\hat{\gamma}_{+}^{1}M_{+}^{1}(\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})\,+\\ &&\hat{\gamma}_{-}^{1}M_{-}^{1}(\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})+\hat{\gamma}_{+}^{1}\hat{\gamma}_{-}^{1}M_{+-}^{11}(\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q}),\end{array}$$

$$\begin{array}[]{ccc}\bar{\Psi}&=&(M_{0}(\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})^{+}-\hat{\gamma}_{+}^{1}M_{+}^{1}(\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})^{+}\,\,+\\ &&\hat{\gamma}_{-}^{1}M_{-}^{1}(\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})^{+}-\hat{\gamma}_{+}^{1}\hat{\gamma}_{-}^{1}M_{+-}^{11}(\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})^{+})\Psi^{+}.\end{array}$$

Full text

Санкт-Петербургский государственный университет

v.v.monahov@spbu.ru

(Статья принята в журнал <<Теоретическая и математическая физика>>, 2019

Accepted in <<Theoretical and Mathematical Physics>>, 2019)

Ключевые слова: вторичное квантование, CAR-алгебра, алгебра Клиффорда, матрицы Дирака, спиноры, дираковское сопряжение, преобразования Лоренца, Лоренц-ковариантность, причинность, оператор заряда

1 Введение

Уравнение Дирака и дираковское сопряжение играют важнейшую роль в теории спиноров (фермионов). Исторически сложилось несколько подходов к теориям спиноров [1]-[3].

Первоначально рассматривались так называемые ковариантные спиноры [4], [5], открытые Картаном. В дальнейшем основным стал подход, основанный на алгебрах Клиффорда [1]-[3], [6]-[13], в нем рассматриваются алгебраические спиноры. Это a-спиноры [2] – идеалы, образованные с помощью умножения всех элементов клиффордовой алгебры на примитивный идемпотент, и e-спиноры [2] – идеалы, образованные с помощью умножения элементов клиффордовой алгебры на произвольный идемпотент. Также рассматриваются так называемые операторные спиноры [2], [3], [11]-[13], не эквивалентные дираковским фермионам, и которым пока не найдено соответствия среди физических частиц.

Несмотря на доказанную для лоренцевской метрики эквивалентность ковариантных и алгебраических спиноров [2], в случае искривленного пространства их расслоения ведут себя по-разному [2], поэтому пока нет однозначности в том, какой из этих типов спиноров соответствует физическим частицам – либо же физическим частицам соответствует еще какой-то тип спиноров, который в плоском пространстве-времени эквивалентен им.

В обычном подходе [1], [10] при рассмотрении спиноров а качестве первичной рассматривается алгебра Клиффорда. В ней рассматривается группа Липшица и показывается, что отображения ее подгрупп (спинорных групп) на группы псевдоортогональных вращений векторного базиса алгебры Клиффорда являются двукратными накрывающими. Спиноры являются линейными представлениями спинорных групп. Пространство спиноров является идеалом, образованным с помощью умножения всех элементов алгебры Клиффорда на примитивный эрмитовый идемпотент. Данный идемпотент рассматривается как клиффордовый вакуум. (В случае сигнатуры пространства-времени с $(p-q)\,mod\,8=1$ идеал не является минимальным и состоит из прямой суммы двух идеалов).

В работах [14]-[16] автором разработан супералгебраический подход к построению представлений алгебры Клиффорда с инволюцией (алгебраического обобщения алгебры гамма-матриц Дирака), операторов поля фермионов, физического вакуума и преобразований Лоренца, позволяющий взглянуть на теорию алгебраических спиноров и клиффордовых алгебр с новой точки зрения. В этом подходе в качестве первичных рассматриваются грассмановы переменные и производные по ним, и из этих переменных строятся базисные клиффордовы векторы – обобщения гамма-матриц Дирака. Супералгебраическое представление является фермионным аналогом представления Баргмана-Фока [17], используемого для бозонов, альтернативным предложенному ранее в [18].

В работе [16] для пространства с сигнатурой $(p,q)=(1,3)$ удалось построить Лоренц-ковариантную супералгебраическую теорию спиноров и дираковски сопряженных к ним, удовлетворяющих уравнению Дирака и соответствующих теории вторичного квантования. В том числе удалось построить Лоренц-инвариантный оператор физического вакуума. Предложенный подход соответствует построению физических теорий вторичного квантования на основе супералгебр с использованием грассмановых переменных [19]-[22], и отличается тем, что используются плотности грассмановых переменных в импульсном пространстве и производные по ним, а гамма-матрицы Дирака строятся из этих плотностей и производных.

В данной работе предложенный подход развивается и обобщается на пространства произвольной размерности и сигнатуры.

Статья состоит из двух частей. Первая часть (разделы 2-4) посвящена выводу общего вида дираковски сопряженных супералгебраических спиноров, обеспечивающего их Лоренц-ковариантность.

В разделе <<2 Грассмановы плотности, эрмитово сопряжение, скалярное произведение и операторы>> вводятся основные понятия, следующие из работы [16], используемые далее. Основа подхода – то, что базисные клиффордовы векторы рассматриваются как составные объекты, построенные из грассмановых плотностей и производных по ним.

В разделе <<3 Обобщенное дираковское сопряжение операторов для сигнатуры пространства-времени (1, n-1)>> в рамках предлагаемого формализма обобщается понятие дираковского сопряжения и выводится общий вид дираковски сопряженных супералгебраических спиноров в n-мерном псевдоевклидовом пространстве с одной времениподобной осью.

В разделе <<4 Обобщенное дираковское сопряжение для произвольной сигнатуры пространства-времени>> полученный результат обобщается на псевдоевклидовы пространства произвольной сигнатуры.

Вторая часть статьи (разделы 5-7) посвящена изучению следствий из первой части в частном случае четырехмерного пространства-времени.

Раздел <<5 Преобразования, порожденные четырьмя грассмановыми плотностями и производными по ним>> посвящен выводу общего вида преобразований, сохраняющих CAR-алгебру супералгебраических спиноров. Показано существование двух дополнительных аналогов гамма-матриц $\hat{\gamma}^{6}$ и $\hat{\gamma}^{7}$ по сравнению с обычной теорией Дирака (что связано с возможностью в супералгебраическом подходе перемешивания спиноров и дираковски сопряженных спиноров), а также наличие дополнительных преобразований супералгебраических спиноров помимо лоренцевских вращений.

В разделе <<6 Разложение оператора поля по импульсам для пространства с одной времениподобной осью>> показано, что первая часть этих дополнительных преобразований ведет к появлению разложения вторичного квантования решений уравнения Дирака.

В разделе <<7 Оператор заряда для пространства с одной времениподобной осью>> показано, что вторая часть дополнительных преобразований, связанная с вращениями в плоскости базисных векторов $\hat{\gamma}^{6}$ и $\hat{\gamma}^{7}$, ведет к существованию оператора заряда, имеющего аналог в теории вторичного квантования и обычно отождествляемого с оператором электрического заряда.

2 Грассмановы плотности, эрмитово сопряжение, скалярное произведение

и операторы

Рассмотрим грассмановы плотности $\theta^{a}(p)$ и производные по ним $\partial/\partial\theta^{a}(p)$ [16], обладающие антикоммутационными соотношениями

[TABLE]

[TABLE]

где $p$ – непрерывный параметр (вообще говоря, многомерный), $\delta(p-p^{\prime})$ – дельта-функция Дирака (вообще говоря, многомерная), $\delta_{b}^{a}$ – дельта-символ Кронекера, а $a$ и $b$ – индексы, меняющиеся в пределах от 1 до $n_{G}$, где $n_{G}$ – число независимых грассмановых переменных при заданном значении $p$.

Формулы (1), (2) называют каноническими антикоммутационными соотношениями, они порождают CAR-алгебру.

Эрмитово сопряженной к величине $\theta^{a}(p)$ является производная $\theta^{a}(p)^{+}=\partial/\partial\theta^{a}(p)$, а к величине $k\theta^{a}(p)$ величина $k^{*}\partial/\partial\theta^{a}(p)$, где $k$ – числовой коэффициент, а $k^{*}$ – комплексно сопряженный к нему.

Пусть величины $\Psi$ и $\Phi$ являются линейной комбинацией образующих для заданных значений $p$ и $p^{\prime}$:

[TABLE]

где $\psi^{\alpha}(p),\psi_{\tau}(p),\phi^{\beta}(p^{\prime}),\phi_{\rho}(p^{\prime})$ комплексные коэффициенты.

Из (1) и (2) следует

[TABLE]

поэтому результат является комплексным числом. Антикоммутатор $\frac{1}{2}\{\Psi{}^{+},\Phi\}$ удовлетворяет всем требованиям к скалярному произведению величин $\Psi$ и $\Phi$, и его можно считать скалярным произведением $(\Psi,\Phi)$. Поэтому (1) и (2) можно переписать как

[TABLE]

[TABLE]

Множитель $\frac{1}{2}$ введен для того, чтобы далее получилось $(1,1)=1$.

Рассмотрим двусторонний модуль над алгеброй с единицей, в которой величины $\theta^{a}(p)$ и $\partial/\partial\theta^{a}(p)$ являются образующими. Будем предполагать, что в состав модуля входит 1, и модуль предлагается рассматривать как бимодуль над CAR-алгеброй, с возможностью умножения образующих алгебры на элементы модуля как слева, так и справа. Базис модуля состоит из 1 и величин

[TABLE]

В силу (1), (2) мы можем считать, что в (3) величины $\partial/\partial\theta^{\lambda}(p)$ всегда стоят слева от $\theta^{\chi}(p)$. Действие элемента $\theta^{\chi}(p)$ из алгебры на единицу модуля как слева, так и справа дает элемент $\theta^{\chi}(p)$ из модуля: $\theta^{\chi}(p)1=1\theta^{\chi}(p)=\theta^{\chi}(p)$. В результате действия оператора $\theta^{\chi}(p)$ из алгебры слева или справа на любой элемент $\Phi$ модуля, не содержащий $\theta^{\chi}(p)$ или $\partial/\partial\theta^{\chi}(p)$, результат соответствует дополнительному элементу $\theta^{\chi}(p)$ в качестве элемента каждого монома в $\Phi$ с учетом изменения знака перед мономом при нечетной перестановке этого элемента слева или справа на соответствующее место. А при наличии в $\Phi$ $\text{величин }\theta^{\chi}(p)$ или $\partial/\partial\theta^{\chi}(p)$ обмен местами или обнуление производится с учетом (1) и (2). Поэтому элементы $\theta^{\chi}(p)$ из алгебры и из модуля можно обозначать одним символом. В то же время возможны два варианта действия на единицу модуля элементов $\partial/\partial\theta^{\lambda}(p)$: в первом не только $\theta^{\chi}(p)$, но и $\partial/\partial\theta^{\lambda}(p)$ являются образующими модуля, и $\frac{\partial}{\partial\theta^{\lambda}(p)}1=1\frac{\partial}{\partial\theta^{\lambda}(p)}=\frac{\partial}{\partial\theta^{\lambda}(p)}$ , во втором варианте $\frac{\partial}{\partial\theta^{\lambda}(p)}1=1\frac{\partial}{\partial\theta^{\lambda}(p)}=0$. Мы будем рассматривать первый вариант, так как в нем удалось построить как нетривиальное вакуумное состояние (отличное от 1), так и супералгебраическую форму преобразований Лоренца [16].

Обобщение скалярного произведения для произвольных элементов модуля вида (3), составленных из грассмановых плотностей и производных по ним, осуществляется по правилам, аналогичным действию полиформ на поливекторы в дифференциальной геометрии, где аналогом касательных векторов служат грассмановы плотности $\partial/\partial\theta^{a}(p)$, а дифференциальных 1-форм – грассмановы плотности $\theta^{a}(p)$. Единственное заметное отличие заключается в появлении в аналогах полиформ помимо множителей вида $\theta^{a}(p)$ множителей вида $\partial/\partial\theta^{b}(p^{\prime})$, и появлении в аналогах поливекторов помимо $\partial/\partial\theta^{a}(p)$ множителей вида $\theta^{b}(p^{\prime})$. Требования $\theta^{a}(p)^{+}=\partial/\partial\theta^{a}(p)$ и $(\partial/\partial\theta^{a}(p))^{+}=\theta^{a}(p)$ приводят к соотношениям

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

То есть $(1,1)=1$, а скалярное произведение 1 и $\frac{\partial}{\partial\theta^{b}(p)}\theta^{a}(p^{\prime})-\theta^{a}(p^{\prime})\frac{\partial}{\partial\theta^{b}(p)}$ равно нулю.

Рассмотрим скалярное произведение $(\Phi,\Psi)$ величин $\Phi=\Phi_{\lambda_{1}...\lambda_{\text{a}}}^{\chi_{1}...\chi_{b}}$и $\Psi=\Psi_{\mu_{1}...\mu_{\text{c}}}^{\eta_{1}...\eta_{d}}$вида (3).

[TABLE]

Перенося из левой части скалярного произведения в правую множители $\partial/\partial\theta^{a}(p)$, получаем величины $\theta^{a}(p)$, перемноженные в обратном порядке, а перенося множители $\theta^{b}(p)$, получаем величины $\partial/\partial\theta^{b}(p)$, перемноженные в обратном порядке. Результат переноса обозначим как $\Phi^{+}$:

[TABLE]

Введем общее правило нахождения такого скалярного произведения аналогично правилу действия полиформ на поливекторы с учетом упомянутых ранее особенностей. В нем величины $\partial/\partial\theta^{a}(p)$ и $\theta^{b}(p)$, входящие в состав $\Phi^{+}\Psi$, действуют по модифицированному правилу Лейбница на стоящие справа от них элементы – сворачиваются с ними. Если между сворачиваемыми элементами стоит нечетное число множителей, перед соответствующим слагаемым указывается знак минус, если четное (в том числе ноль), указывается знак плюс. Свертки элементов $\partial/\partial\theta^{a}(p)$ с $\partial/\partial\theta^{b}(p^{\prime})$ и $\theta^{a}(p)$ с $\theta^{b}(p^{\prime})$ равны нулю. Свертка $\partial/\partial\theta^{a}(p)$ с $\theta^{b}(p^{\prime})$ дает $\frac{1}{2}\delta_{a}^{b}\delta(p-p^{\prime})$, такой же результат дает свертка $\theta^{b}(p^{\prime})$ с $\partial/\partial\theta^{a}(p)$. Скалярное произведение $(1,1)=1,$ а скалярное произведение 1 с любыми другими оставшимися после сверток элементами дает 0.

Если $\Phi^{+}$ является аналогом полиформы, а $\Psi$ аналогом поливектора, данное правило идентично правилу действия полиформы на поливектор.

Легко проверить, что введенное правило согласуется со всеми приведенными ранее формулами и позволяет находить скалярные произведения любых элементов вида (3). Например, в соответствии с этим правилом получаем, что

[TABLE]

Рассмотрим теперь операторы, действующие на элементы модуля. Поскольку модуль является бимодулем над CAR-алгеброй, и определены левое и правое умножение образующих $\partial/\partial\theta^{\lambda}(p)$ и $\theta^{\chi}(p)$ на произвольный элемент $\Phi$ данного модуля, для любого элемента $A$ алгебры вместо правого умножения $A$ на $\Phi$, то есть $\Phi A$, удобно рассматривать коммутатор $[A,*]$, который далее будем обозначать как $\hat{A}$, и который является разностью между результатами левого и правого умножения:

[TABLE]

Таким образом, операторы, действующие на элементы модуля, в общем случае будут состоять из сумм и произведений величин вида (3) и коммутаторов. При этом

[TABLE]

Будем искать условия, при которых у гамма-матриц Дирака $\gamma^{\mu}$ существуют супералгебраические аналоги $\hat{\gamma}^{\mu}$(реализация клиффордовых векторов с помощью грассмановых плотностей), обладающие такими же коммутационными соотношениями и так же себя ведущих при эрмитовом сопряжении. Будем называть собственными супералгебраическими преобразованиями Лоренца супералгебраическое представление псевдоортогональных (клиффордовых) вращений псевдоевклидова пространства произвольной размерности. Они осуществляются оператором $\hat{T}=exp(\hat{\gamma}^{\mu}\hat{\gamma}^{\nu}\varphi_{\mu\nu}/2)$, где $\varphi_{\mu\nu}$ – параметры поворота [16]:

[TABLE]

[TABLE]

Пусть оператор $\Psi(p)$ является линейной комбинацией образующих для заданного значения $p$:

[TABLE]

Будем рассматривать ситуацию, когда существует Лоренц-инвариантный вектор состояния вакуума $\Phi_{V}$, то есть когда выполняется соотношение

[TABLE]

При умножении оператора поля $\Psi(p)$ на $\Phi_{V}$ получаем новый вектор состояния $\Psi(p)\Phi_{V}$, который преобразуется как

[TABLE]

где скобки ограничивают область действия оператора $exp(\hat{\gamma}^{\mu}\hat{\gamma}^{\nu}\varphi_{\mu\nu}/2)$. Поэтому в случае подобных состояний (одночастичных) можно считать, что

[TABLE]

Эрмитово сопрягая (5) и учитывая (4), получаем, что эрмитово сопряженный оператор поля преобразуется по правилу [16]

[TABLE]

В случае, когда все гамма-матрицы имеют одинаковую сигнатуру, преобразование (6) превращается в соотношение (7):

[TABLE]

Которое означает, что сопряженные операторы поля при преобразованиях Лоренца преобразуются ковариантно. Если же среди гамма-матриц имеются матрицы с разной сигнатурой и, например, $\gamma^{0+}=\gamma^{0}$, а $\gamma^{k+}=-\gamma^{k},\,k=1,2,3$, то эрмитово сопряженные операторы поля при преобразованиях Лоренца преобразуются нековариантно, так как знак в показателе экспоненты меняется на противоположный:

[TABLE]

Требование замены преобразований (8) сопряженных спиноров на Лоренц-ковариантные приводит к необходимости введения обобщенного дираковского сопряжения.

3 Обобщенное дираковское сопряжение операторов для сигнатуры пространства-времени

(1, n-1)

Назовем обобщенным дираковским сопряжением оператора $\Psi$ величину

[TABLE]

где $M$ – некая матрица (оператор) в супералгебраическом представлении, а $\Psi$ является линейной комбинацией величин $\Phi_{\lambda_{1}...\lambda_{\text{a}}}^{\chi_{1}...\chi_{b}}$ вида (3). Если оператор $M$ единичный, обобщенное дираковское сопряжение является эрмитовым сопряжением, а если $M=\hat{\gamma}^{0}$, обобщенное дираковское сопряжение является супералгебраическим аналогом обычного дираковского сопряжения. В дальнейшем для краткости слово ‘‘обобщенное” будем опускать. Рассмотрим возможные варианты сопряжений (9), обеспечивающие Лоренц-ковариантность преобразований величины $\bar{\Psi}$, то есть такие, при которых выполняется условие (10):

[TABLE]

Пусть имеется n-мерное псевдоевклидово пространство с сигнатурой $(p,q)$, где $p+q=n$. Обозначение $p$, относящееся к сигнатуре, по контексту легко отличить от обозначения $p$, относящегося к параметру грассмановой плотности (энергии-импульсу), поэтому мы будем использовать для них одну и ту же букву.

Обозначим базисные клиффордовы векторы с положительной сигнатурой как $\hat{\gamma}_{+}^{1},\hat{\gamma}_{+}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{+}^{p}$, а с отрицательной сигнатурой как $\hat{\gamma}_{-}^{1},\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q}$. Далее будем исходить из того, что оператор $M$ в (9) является элементом алгебры Клиффорда, и поэтому построен из сумм и произведений базисных клиффордовых векторов с некими комплексными или вещественными коэффициентами. В соответствии с периодичностью Картана-Ботта возможны три варианта матричных представлений алгебр Клиффорда – вещественные, комплексные и кватернионные [1], [10]. В случае если матричная алгебра вещественная, элементы матриц вещественные, в случае комплексной – комплексные. В случае кватернионной алгебры можно рассматривать кватернионные элементы матриц, но удобнее рассматривать комплексные матрицы с удвоенным количеством строк и столбцов. Супералгебраическое представление матриц полностью повторяет эти варианты.

В более общем случае оператор $M$ может являться оператором обобщенной матричной алгебры [14], [15] и приводить к преобразованиям суперсимметрии [15], однако такой вариант требует отдельного рассмотрения.

Рассмотрим случай, когда один базисный клиффордов вектор $\hat{\gamma}_{+}^{1}$ имеет положительную сигнатуру, а остальные $\hat{\gamma}_{-}^{1},\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q}$ – отрицательную, где $q=n-1$. Представим $M$ в виде

[TABLE]

где в скобках указаны базисные клиффордовы векторы, от которых может зависеть соответствующая величина $M_{\cdots}^{\cdots}$, то есть в состав которой могут входить слагаемые с мономами, содержащими данные векторы. Будем считать параметры в скобках частью обозначения величин. Поэтому, например, $M_{0}(\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})$ и $M_{0}(\hat{\gamma}_{-}^{3},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})$ это разные величины $M_{0}$.

Тогда из (9) следует

[TABLE]

Рассмотрим преобразование

[TABLE]

[TABLE]

где $\varphi$ – произвольный вещественный параметр (угол поворота в плоскости $\hat{\gamma}_{+}^{1},\hat{\gamma}_{-}^{1}$).

При таком преобразовании первое и последнее слагаемые, получаемые в (11) после раскрытия скобок, если они ненулевые, преобразуются нековариантно. Поэтому $M_{0}(\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})=M_{+-}^{11}(\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})=0$, и получаем

[TABLE]

[TABLE]

Введем обозначение

[TABLE]

Если $n=2,\,p=1,\,q=1$, получаем $\hat{\gamma}=\hat{\gamma}_{+}^{1}\hat{\gamma}_{-}^{1}$, $\hat{\gamma}^{2}=1$, $\hat{\gamma}_{-}^{1}=\hat{\gamma}_{+}^{1}\hat{\gamma}$. Поэтому

[TABLE]

Если $n>2,\,p=1,\,q>1$, разложим в (12) величины $M_{+}^{1}(\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})$ и $M_{-}^{1}(\hat{\gamma}_{-}^{2},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})$:

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Рассмотрим преобразование

[TABLE]

[TABLE]

При нем второе и третье слагаемые в (14) после раскрытия скобок, если они ненулевые, преобразуются нековариантно. Поэтому $M_{+-}^{12}(\hat{\gamma}_{-}^{3},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})=M_{-}^{1}(\hat{\gamma}_{-}^{3},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q})=0$, и

[TABLE]

[TABLE]

При рассмотрении поворотов в пространстве с образующими $\hat{\gamma}_{+}^{1},\,\hat{\gamma}_{-}^{1},\,\hat{\gamma}_{-}^{2}$ помимо преобразования (15) возможно преобразование

[TABLE]

[TABLE]

Очевидно, что оно ковариантно преобразует величину $\bar{\Psi}$, задаваемую выражением (16). Продолжая процесс для $\hat{\gamma}_{-}^{3},\ldots,\hat{\gamma}_{-}^{q}$ , получаем в итоге

[TABLE]

Поскольку в этом случае $\hat{\gamma}=\hat{\gamma}_{+}^{1}\hat{\gamma}_{-}^{1}\hat{\gamma}_{-}^{2}\ldots\hat{\gamma}_{-}^{q}$, и $\hat{\gamma}_{-}^{1}\hat{\gamma}_{-}^{2}\ldots\hat{\gamma}_{-}^{q}=\hat{\gamma}_{+}^{1}\hat{\gamma}$, можно переписать (17) в виде

[TABLE]

Из (13) видно, что формула (18) применима и для $n=2,\,p=1,\,q=1$. Поэтому она верна для $n\geq 2,\,p=1,\,q\geq 1$. Свойства клиффордова числа $\hat{\gamma}=\hat{\gamma}_{+}^{1}\hat{\gamma}_{-}^{1}\hat{\gamma}_{-}^{2}\ldots\hat{\gamma}_{-}^{q}$ заметно отличаются для четномерных $n=2m$ и нечетномерных $n=2m+1$ пространств и при разных размерностях. В случае нечетномерных пространств $\hat{\gamma}$ коммутирует со всеми базисными клиффордовыми векторами и потому является, наряду с единицей, образующей центра соответствующей клиффордовой алгебры. Для рассматриваемого случая $(p,q)=(1,n-1)$ при $n=3$ имеем $(\hat{\gamma})^{2}=-1$, то есть $\hat{\gamma}$ играет роль клиффордовой мнимой единицы. При $n=5$ получается $(\hat{\gamma})^{2}=1$.

В общем случае для нечетномерных пространств размерности $n=2m+1$

[TABLE]

В случае четномерных пространств $n=2m$ величина $\hat{\gamma}$ антикоммутирует со всеми базисными клиффордовыми векторами и потому с точностью до сигнатуры является аналогом известной матрицы Дирака $\gamma^{5}$ . При этом

[TABLE]

Для случая $n=4$ по определению $\hat{\gamma}^{5}=i\hat{\gamma}_{+}^{1}\hat{\gamma}_{-}^{1}\hat{\gamma}_{-}^{2}\hat{\gamma}_{-}^{3}=i\hat{\gamma}$.

4 Обобщенное дираковское сопряжение для произвольной сигнатуры пространства-времени

В случае сигнатуры $(p,q)=(n,0)$ тем же методом получаем

[TABLE]

а в случае сигнатуры $(p,q)=(0,n)$ получаем

[TABLE]

Рассмотрение случая $p=2,q=1$ совершенно аналогично случаю $p=1,\,q=2$, в результате получается

[TABLE]

В случае $p=2,q=n-2>1$ справедливы все рассуждения, приводящие к формуле (17), только величины $M_{+}^{1}$ и $M_{--\ldots-}^{12\ldots q}$ становятся зависимыми от $\hat{\gamma}_{+}^{2}$. Поэтому выполняется соотношение

[TABLE]

Совершенно аналогично предыдущим выкладкам получаем

[TABLE]

[TABLE]

Рассмотрим преобразование

[TABLE]

[TABLE]

При нем первое и последнее слагаемое в (19), если они ненулевые, преобразуются нековариантно. Поэтому $M_{+}^{1}=M_{+--\ldots-}^{212\ldots q}=0$, и

[TABLE]

Обозначим по аналогии со случаем с одной времениподобной осью

[TABLE]

Тогда $\hat{\gamma}_{-}^{1}\ldots\hat{\gamma}_{-}^{q}=-\hat{\gamma}_{+}^{1}\hat{\gamma}_{+}^{2}\hat{\gamma}$, поэтому

[TABLE]

С учетом того, что $\hat{\gamma}^{+}=\hat{\gamma}$, получаем

[TABLE]

При преобразованиях

[TABLE]

[TABLE]

величина $\bar{\Psi}$, задаваемая формулой (20), преобразуется ковариантно. Поэтому при всех возможных преобразованиях Лоренца $\bar{\Psi}$ преобразуется ковариантно.

Совершенно аналогичным образом получаем формулы для $p=3,\,q=4$, и так далее. В итоге получаем формулу (21)

[TABLE]

справедливую для всех значений $p$ и $q$. Если в (21) $p=0$, то $M=M_{+}+\hat{\gamma}_{-}^{1}\ldots\hat{\gamma}_{-}^{q}M_{-}$, а если $q=0$, то $M=\hat{\gamma}_{+}^{1}\ldots\hat{\gamma}_{+}^{p}M_{+}+M_{-}$.

Будем помечать величины $M$ для сигнатуры $(p,q)$ как $M$p,q. При этом (21) приобретет окончательный вид

[TABLE]

В случае нечетного числа измерений $n=p+q$ величина

[TABLE]

принадлежит центру алгебры. В результате (22) можно переписать в виде

[TABLE]

где величины $M_{+}$ и $M_{-}$ являются коммутирующими со всеми элементами алгебры гиперкомплексными константами, в состав которых может входить величина $\hat{\gamma}$.

Необходимо отметить еще один момент: в приведенных доказательствах рассматривалась ковариантность относительно преобразований Лоренца. Если же, как будет показано далее, имеются дополнительные по отношению к теории Дирака базисные клиффордовы векторы, соответствующие внутренним степеням свободы спинора, величины $M_{+,p,q}$ и $M_{-,p,q}$ в (22), а также $M_{+}$ и $M_{-}$ в (23) могут содержать слагаемые с различными произведениями этих дополнительных векторов.

5 Преобразования, порожденные четырьмя грассмановыми плотностями и

производными по ним

Пусть у нас имеется четыре грассмановы переменные (плотности) $\theta^{\alpha}(p)$ и соответствующие им производные $\partial/\partial\theta^{\alpha}(p)$, которые также являются грассмановыми переменными. Вместе они образуют CAR-алгебру (1), (2).

Мы уже знаем, что с помощью четырех таких переменных и производных по ним можно образовать базисные клиффордовы векторы $\hat{\gamma}^{0}$, $\hat{\gamma}^{1}$,$\hat{\gamma}^{2}$,$\hat{\gamma}^{3}$, $\hat{\gamma}^{5}$, являющиеся аналогами соответствующих гамма-матриц Дирака [16]. Встает вопрос, исчерпывается ли ими набор базисных клиффордовых векторов, которые можно образовать из этих переменных. Для ответа на него рассмотрим все возможные линейные преобразования этих переменных в области около $p=0$ при действии на них операторов, сохраняющих CAR-алгебру (1), (2). Поскольку с помощью эрмитова сопряжения грассмановых плотностей получаются производные по ним и наоборот, такой набор будет преобразовываться нековариантно. То есть не будут существовать операторы, действующие как на грассмановы плотности, так и на производные по ним. Эта проблема может быть решена использованием дираковского сопряжения вместо эрмитова, так как в супералгебраическом представлении дираковски сопряженные величины, как мы ранее видели, при псевдоортогональных вращениях преобразуются ковариантно.

Величины после преобразования будем помечать штрихами. В данном разделе будем использовать $M=\hat{\gamma}^{0}$, то есть супералгебраический аналог обычного дираковского сопряжения $\bar{\Psi}=(\hat{\gamma}^{0}\Psi)^{+}$.

Поскольку $\hat{\gamma}^{0}\partial/\partial\theta^{i}(p)=\partial/\partial\theta^{i}(p)$, для удобства будем рассматривать преобразования величин $\partial/\partial\theta^{i}(p)$ как первичные, а преобразования величин $\theta^{i}(p)$ как дираковски сопряженных к ним, то есть будем считать $\theta^{i}(p)^{\prime}=\overline{\partial/\partial\theta^{i}(p)}^{\prime}=(\hat{\gamma}^{0}\partial^{\prime}/\partial\theta^{i}(p))^{+}$. Тогда получаем формулу для преобразованных производных

[TABLE]

а для преобразованных грассмановых плотностей

[TABLE]

где $\alpha,\beta=1,2,3,4$, величины $\delta k_{\beta}^{\alpha}$ – бесконечно малые комплексные коэффициенты, а символ

• означает комплексное сопряжение.

Сохранение соотношений CAR-алгебры приводит к ряду соотношений между коэффициентами. Из того, что

[TABLE]

при $\alpha=\beta$ следует

[TABLE]

В (27) и далее по индексам в треугольных скобках нет суммирования. Из (27) следует $\delta k_{5}^{1}=\delta k_{6}^{2}=\delta k_{7}^{3}=\delta k_{8}^{4}=0$.

Аналогично, из (26) при $\alpha=1,\,\beta=2$ следует, что

[TABLE]

Поэтому $\delta k_{5}^{2}+\delta k_{6}^{1}=0$, и так далее. В результате получаем соотношения между коэффициентами:

[TABLE]

где $\delta a_{i}$ – бесконечно малые вещественные параметры.

С учетом (28) соотношение (24) переходит в (29), где далее для краткости не указывается импульс в качестве параметра:

[TABLE]

а (25) переходит в (30)

[TABLE]

Легко убедиться, что преобразования (29) и (30) осуществляются инфинитезимальным оператором

[TABLE]

где

[TABLE]

Введем величины

[TABLE]

Величины $\hat{\gamma}^{\mu},\,\mu=0,1,2,3$ из (33) являются супералгебраическим аналогом соответствующих матриц Дирака $\gamma^{\mu}$, при этом $\hat{\gamma}^{4}$ соответствует $i\gamma^{5}$, а $\hat{\gamma}^{6},\hat{\gamma}^{7}$ – базисные клиффордовы векторы, перемешивающие компоненты спиноров и сопряженных спиноров, не имеющие аналогов в теории Драка. При этом $(\hat{\gamma}^{4})^{2}=(\hat{\gamma}^{6})^{2}=(\hat{\gamma}^{7})^{2}=-1$. Необходимо отметить, что из семи данных величин только шесть являются независимыми, так как их произведение равно $-i$. Первые четыре соответствуют осям пространства-времени, $\hat{\gamma}^{5}=-i\hat{\gamma}^{4}$ является псевдовектором, а $\hat{\gamma}^{6}$ и $\hat{\gamma}^{7}$ не имеют аналогов в матричной теории спиноров и задают двумерное пространство внутренних степеней свободы спиноров.

Обозначим

[TABLE]

Тогда

[TABLE]

То есть

[TABLE]

Обозначим

[TABLE]

Тогда (34) преобразуется в

[TABLE]

Аналогично, обозначив

[TABLE]

получаем

[TABLE]

Из (31), (32), (35), (36) следует, что оператор поля, состоящий из линейной комбинации величин $\partial/\partial\theta^{i}(p)$ и $\theta^{i}(p)$, преобразуется как

[TABLE]

где $j,k,l=0,1,2,3,4,6,7,\,k<l$. Интегрирование (37) по инфинитезимальным вещественным параметрам $d\omega_{j}$ и $d\omega_{kl}$ дает экспоненциальную форму разложения с конечными параметрами:

[TABLE]

6 Разложение оператора поля по импульсам для пространства с одной времениподобной

осью

Разложение, аналогичное (38), известно для решений уравнения Дирака в варианте Дирака-Кэлера, оно описывает дираковскую частицу с внутренними степенями свободы [23]. Наличие в (38) дополнительных базисных клиффордовых векторов по сравнению с обычной теорией Дирака увеличивает число внутренних степеней свободы.

Смысл множителя $exp(\hat{\gamma}^{k}\hat{\gamma}^{l}\omega_{kl})$ очевиден – это клиффордовы (в том числе лоренцевы) вращения.

Рассмотрим действие множителя $exp(i\hat{\gamma}^{j}\omega_{j})$ в системе покоя спинора, когда

[TABLE]

где $\alpha,\tau=1,2,3,4$, $\phi^{\alpha}$ и $\chi_{\tau}$ числовые коэффициенты, и когда $\omega_{j}=0$ при $j\neq 0$, то есть при $exp(i\hat{\gamma}^{j}\omega_{j})=exp(i\hat{\gamma_{0}}\omega^{0})$. Обозначим $\omega^{0}=-x^{0}m$ , где $m$ – масса спинора (положительная вещественная константа), $p_{0}=m$ и $x^{0}$- компонента некоторого 4-вектора. Тогда

[TABLE]

При преобразовании Лоренца $exp(\hat{\gamma}^{k}\hat{\gamma}^{l}\omega_{kl})$ величина $exp(-i\hat{\gamma}_{0}mx^{0})$ перейдет в $exp(i\hat{\gamma}^{j}\omega_{j})$, и с учетом того, что $p_{0}x^{0}=p^{\prime\prime}_{\mu}x^{\prime\prime\mu}$, мы получим

[TABLE]

где $b_{\alpha}(p)$ и $\bar{b}_{\tau}(p)$ – операторы из (24), (25). Как уже отмечалось, они обладают такими же антикоммутационными свойствами, как обычные операторы рождения-уничтожения.

Интегрируя по всем возможным значениям импульса, получаем супералгебраическую форму разложения вторичного квантования решений уравнения Дирака [16]:

[TABLE]

Откуда сразу следует физический смысл величин $x{}^{\mu}$ – это координаты в пространстве-времени.

Необходимо отметить, что разложение (39) по импульсам справедливо только для времениподобного вектора $\hat{\gamma}^{j}\omega_{j}$, в противном случае не существует преобразования Лоренца, переводящего в него вектор $-\hat{\gamma}_{0}mx^{0}$. Вещественность массы спинора обеспечивается вещественностью параметров $\omega_{j}$ в (38).

Если вектор $\hat{\gamma}^{j}\omega_{j}$ пространственноподобный, системы покоя спинора не существует, но в качестве начального состояния можно выбрать произвольную систему с равной нулю составляющей импульса вдоль оси времени. В силу произвольности направления пространственных осей выберем в качестве такой оси $\hat{\gamma}^{1}$, и будем рассматривать инфинитезимальные преобразования. Обозначим $d\omega^{1}=-dx^{1}m$, где, как и ранее, $m>0$. Тогда $\hat{\gamma}^{j}d\omega_{j}=-\hat{\gamma}^{1}m\,dx_{1}=-\hat{\gamma}_{1}m\,dx^{1}$, $p=p_{1}=m$, и мы получаем

[TABLE]

[TABLE]

В (41) величина $dx^{1}$ бесконечно малая, но последовательное применение преобразований (41) даст формулу для конечных значений $x^{1}$:

[TABLE]

Перепишем разложение (40) в виде разложения по собственным векторам $\hat{\gamma}_{1}$, опуская для краткости аргумент $p_{1}$:

[TABLE]

где $\psi_{1+}=(\phi^{1}-i\chi_{4})/2,\,\psi_{1-}=(\phi^{1}+i\chi_{4})/2$, и так далее.

Тогда (42) можно переписать в виде

[TABLE]

Оба слагаемых в (43) являются расходящимися, первое при $x^{1}\rightarrow+\infty$, а второе при $x^{1}\rightarrow-\infty$. Поэтому нормированное решение (43) в любой конечной области оказывается равным нулю. Таким образом, в супералгебраической теории спиноров тахионные решения имеют нулевую амплитуду, то есть отсутствуют.

Если вектор $\hat{\gamma}^{j}\omega_{j}$ светоподобный, системы покоя спинора не существует, но в качестве начального состояния можно выбрать систему с равными составляющими импульса вдоль оси времени и вдоль произвольной пространственной оси. Выберем в качестве такой оси, например,$\hat{\gamma}^{1}$ , при этом $\hat{\gamma}^{j}\omega_{j}=-(\hat{\gamma}^{0}+\hat{\gamma}^{1})\,mx_{1},\,p_{0}=p_{1}$ и $(\hat{\gamma}^{0}+\hat{\gamma}^{1})^{2}=0$.

Поскольку $\hat{\gamma}^{0}+\hat{\gamma}^{1}=\hat{\gamma}^{0}(1-\hat{\gamma}^{1}\hat{\gamma}^{0})$, из-за чего $(\hat{\gamma}^{0}+\hat{\gamma}^{1})\frac{1+\hat{\gamma}^{1}\hat{\gamma}^{0}}{2}=0$ и $(\hat{\gamma}^{0}+\hat{\gamma}^{1})\frac{1-\hat{\gamma}^{1}\hat{\gamma}^{0}}{2}=\hat{\gamma}^{0}+\hat{\gamma}^{1}$ , разложим $\Psi$ по собственным векторам величины $\hat{\gamma}^{1}\hat{\gamma}^{0}$. Ими являются величины $\frac{\partial}{\partial\theta^{1}}-\theta^{4},\,\frac{\partial}{\partial\theta^{2}}-\theta^{3},\,\frac{\partial}{\partial\theta^{4}}+\theta^{1},\,\frac{\partial}{\partial\theta^{3}}+\theta^{2}$ с собственным числом +1, и величины $\frac{\partial}{\partial\theta^{1}}+\theta^{4},\,\frac{\partial}{\partial\theta^{2}}+\theta^{3},\,\frac{\partial}{\partial\theta^{4}}-\theta^{1},\,\frac{\partial}{\partial\theta^{3}}-\theta^{2}$ с собственным числом -1. Тогда

[TABLE]

Аналогом (37) без лоренцевых поворотов в этом случае будет

[TABLE]

Из-за нильпотентности величины $\hat{\gamma}^{0}+\hat{\gamma}^{1}$ предыдущий подход, основанный на интегрировании инфинитезимальных преобразований (37) и получении экспоненциальной формы (38) преобразований, некорректен. Однако легко убедиться, что в этом случае справедливо уравнение (44) для произвольных конечных значений $x_{1}$ – такое преобразование сохраняет коммутационные свойства $\partial^{\prime}/\partial\theta^{i}$ и $(\theta^{j})^{\prime}$.

Требование конечности $\Psi^{\prime}$ приводит к равенству нулю последнего слагаемого в (44), что выполняется только при $\Psi_{-}=0$. Поэтому $\Psi=\Psi_{+}$ и $\Psi^{\prime}=\Psi$. Таким образом, отсутствует зависимость $\Psi^{\prime}$ от координат и времени, и разложение по импульсам для спиноров с нулевой массой в рамках супералгебраической теории спиноров не возникает.

В итоге можно констатировать, что в супералгебраической теории оказываются возможны только спиноры с времениподобными импульсами, и эта особенность обусловлена чисто алгебраическими причинами, без привлечения принципа причинности.

Совершенно аналогично производится разложение по импульсам в случае других сигнатур пространства-времени. При этом сигнатура базисных клиффордовых векторов, получающихся в формулах, аналогичных (35)-(36), определяется вариантом дираковского сопряжения (22).

7 Оператор заряда для пространства с одной времениподобной осью

Легко видеть, что оператор поля (39) удовлетворяет уравнению Дирака:

[TABLE]

В то же время этот оператор содержит в два раза больше компонент, чем обычный 4-спинор Дирака, так как в нем присутствуют как компоненты спинора, так и компоненты сопряженного спинора. Ведь в супералгебраическом представлении они удовлетворяют одному и тому же уравнению Дирака [16]. Для решения этой проблемы рассмотрим набор взаимно коммутирующих линейно независимых операторов, построенных из базисных клиффордовых векторов. В таком качестве можно взять плотности в импульсном пространстве при $p=0$

[TABLE]

где $\hat{S}_{3}$ и $\hat{W}_{3}$ – компоненты операторов спина и связанной со спином части вектора Паули-Любанского, а $\hat{Q}(p)$ – оператор плотности некоторого заряда. Интегрируя по всем импульсам для различных лоренцевых поворотов, приходим к формуле заряда

[TABLE]

Рассмотрим собственные векторы $\Psi$ и собственные числа $q$ оператора $\hat{Q}$. При действии на вакуум $\hat{Q}\Psi_{V}=0$. Для спиноров из (46) и (39) следует, что $\hat{Q}\Psi=q\Psi$ только если четыре компоненты восьмикомпонентного спинора $\Psi$ нулевые – а ненулевые, например, при $\alpha=1,2,\,\tau=3,4$. В этом случае $\hat{Q}\Psi=\Psi$, $\hat{Q}\bar{\Psi}=-\bar{\Psi}$.

Таким образом, если потребовать, чтобы спиноры являлись собственными векторами оператора заряда, количество компонент спиноров и сопряженных спиноров уменьшается до четырех, как в теории Дирака. При этом спиноры и сопряженные спиноры обладают противоположными значениями данного заряда, а вакуум обладает нулевым зарядом.

Существование подобного заряда спиноров с аналогичной $\hat{Q}$ формулой хорошо известно в теории вторичного квантования, и обычно его отождествляют с электрическим зарядом [24]. Обычным путем [24] легко показать, что из уравнения (45) следует, что этот заряд является интегралом движения.

8 Заключение

Таким образом, построена супералгебраическая теория спиноров, которая автоматически является вторично квантованной. В этой теории введено скалярное произведение для операторов поля и векторов состояний, и для пространств произвольной размерности и сигнатур введено обобщение дираковского сопряжения, обеспечивающее Лоренц-ковариантное преобразование сопряженных спиноров.

Показано, что сигнатура базисных клиффордовых векторов, являющихся аналогом гамма-матриц Дирака, и их количество, а также разложение вторичного квантования по импульсам задаются вариантом обобщенного дираковского сопряжения и требованием сохранения при преобразованиях спиноров и сопряженных спиноров их CAR-алгебры. При этом разложение вторичного квантования по импульсам оказывается возможным только для спиноров с времениподобными импульсами, то есть с ненулевой массой и не нарушающих причинность. Такое разложение имеет чисто алгебраическую природу, и для его построения нет необходимости привлекать принцип причинности.

В матричной теории дираковские спиноры и сопряженные к ним спиноры существуют в разных пространствах (сопряженных). Однако в теории вторичного квантования операторы поля должны существовать в одном и том же пространстве, что и реализуется в построенной супералгебраической теории спиноров. Благодаря этому в ней возникают два дополнительных базисных клиффордовых вектора, порождающие внутреннюю степень свободы спиноров. Оператор вращения в соответствующей этим векторам плоскости является оператором заряда, аналогичный оператору электрического заряда в обычной теории вторичного квантования спиноров.

Список литературы

• [1] P. Lounesto, Clifford algebras and spinors, Cambridge university press (2001).
• [2] V. L. Figueiredo, E. C. de Oliveira, & W. A. Rodrigues, Covariant, algebraic, and operator spinors. International journal of theoretical physics, 29:4 (1990), 371-395.
• [3] W. A. Rodrigues, & E. C. de Oliveira, The Hidden Geometrical Nature of Spinors. In The Many Faces of Maxwell, Dirac and Einstein Equations, Springer, Cham (2016), 69-105.
• [4] Э. Картан, Теория спиноров, Платон, Волгоград, 1997; E. Cartan, La Theorie des Spineurs, Mercier, Paris (1938).
• [5] R. Brauer, H. Weyl, Spinors in n dimensions, Amer. Journ. Math., 57 (1935), 425–449.
• [6] J. A. Schouten, On the geometry of spin spaces I, II, III, IV. Proc. Kon. Ned. Akad. 52:6 (1949), 597–609; 52:7 (1949), 687–695; 52:9 (1949), 938-948; 53:3 (1950), 261–272.
• [7] C. Chevalley, Algebraic Theory of Spinors and Clifford Algebras, collected works, vol. 2, Springer (1996).
• [8] А. Зоммерфельд, Строение атома и спектры, т.2, Гос. издательство технико-теоретической литературы, М., 1956. A. Sommerfeld, Atombau und Spektrallinien, II band, F. Vieweg und Sohn, Braunschweig (1951).
• [9] П. К. Рашевский, Теория спиноров, УМН, 10:2(64) (1955), 3–110; P. K. Rashevskii, Uspekhi Mat. Nauk, 10, No. 2(64), 3–110 (1955).
• [10] D. S. Shirokov. Clifford Algebras and Their Applications to Lie Groups and Spinors. Geometry, Integrability and Quantization , 19, 11-53 (2018). doi:10.7546/giq-19-2018-11-53
• [11] P. Lounesto, Clifford algebras and Hestenes spinors, Foundations of physics, 23:9 (1993), 1203-1237.
• [12] J. H. Da Silva, & R. da Rocha, Unfolding physics from the algebraic classification of spinor fields, Physics Letters B, 718:4-5 (2013), 1519-1523.
• [13] M.Pavšič, Space inversion of spinors revisited: A possible explanation of chiral behavior in weak interactions, Physics Letters B, 692:3 (2010), 212-217.
• [14] В.В. Монахов, Cупералгебраическое представление матриц Дирака. ТМФ, 186: 1 (2016), 87-100; V.V. Monakhov, Superalgebraic representation of Dirac matrices, Theor. and Math. Physics, 186: 1, 70-82 (2016).
• [15] В.В. Монахов, Матрицы Дирака как элементы супералгебраической матричной алгебры, Изв. Российской Академии Наук. Серия физическая, 80: 8 (2016), 1074-1078; V.V.Monakhov, Dirac matrices as elements of superalgebraic matrix algebra, Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics, 80:8, 985-988 (2016).
• [16] V.V.Monakhov, Superalgebraic structure of Lorentz transformations, J. of Physics: Conf. Series, 1051 (2018), 012023.
• [17] V. Bargmann, On a Hilbert space of analytic functions and an associated integral transform, Comm. Pure Appl. Math., 14:3 (1961), 187–214.
• [18] H. P. Thienel, A generalization of the Bargmann-Fock representation to supersymmetry, J. Phys. A: Math. Gen., 29, 21 (1996) 6983–6989.
• [19] Ф. А. Березин, Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными, Изд. Московского университета, 1983.
• [20] Ф. А. Березин, Метод вторичного квантования, Изд. Наука, М., 1965; F. A. Berezin, The Method of Second Quantization, N.Y. (1966).
• [21] В. С. Владимиров, И. В. Волович, Суперанализ. I. Дифференциальное исчисление, ТМФ, 59:1 (1984), 3–27; V. S. Vladimirov, I. V. Volovich, Differential calculus, Theor. and Math. Phys., 59:1 (1984), 317–335.
• [22] В. С. Владимиров, И. В. Волович, Суперанализ. II. Интегральное исчисление, ТМФ, 60:2 (1984), 169–198; V. S. Vladimirov, I. V. Volovich, Superanalysis. II. Integral calculus, Theor. and Math. Phys., 60:2 (1984), 743–765.
• [23] И. А. Сатиков, В. И. Стражев, О квантовом описании поля Дирака–Кэлера, ТМФ, 73:1 (1987), 16–25; I.A. Satikov, V.I. Strazhev, Theor. and Math. Phys., 73:1 1028–1034 (1987).
• [24] Д. Д. Бьеркен, С. Д. Дрелл, Релятивистская квантовая теория, Том 2. Релятивистские квантовые поля, Изд. Наука, М., 1978; J. D.Bjorken, S. D. Drell, Relativistic quantum fields, Mcgraw-Hill Book Company (1965).