Balayage of measures and subharmonic functions on a system of rays. III. Growth of entire functions of exponential type

TL;DR

This paper develops a technique of bilateral balayage for measures and subharmonic functions of finite type on a line, applying it to analyze growth, zero subsequences, and representation of entire and meromorphic functions of exponential type.

Contribution

It introduces a new bilateral balayage method for genus 1 on a line, enabling detailed analysis of entire functions of exponential type and their zero sets.

Findings

Characterization of weight classes of entire functions constrained along a line

Full description of zero subsequences for exponential type classes

Existence of entire function multipliers and meromorphic function representations

Abstract

In the second part of this work was developed a technique of balayage of finite genus $q=0,1,2,\dots$ for measures (charges) and ($\delta$-) subharmonic functions of finite order to an arbitrary closed system of rays $S$ with vertex at origin on the complex plane $\mathbb C$. In this third part of our work, we use only the case $q=1$ when $S$ is a pair of oppositely directed rays, i.e., $S$ is a straight line as the point set, and balayage is made from both sides of this line. We consider measures and subharmonic functions of finite type of order $1$. This bilateral balayage of genus $1$ will be applied to the non-triviality of weight classes of entire functions of exponential type $E$ that allocated only constraint on their growth along the line; for the full description of subsequences of zeros for classes $E$; the existence of entire functions-multipliers of $h$ for entire functions of exponential type $g$, limiting by the multiplication of their growth as $fh\in E$; the possibility of the representation of meromorphic functions in the form of a ratio of functions from $E$. The origins of the study lies in the classical Malliavin-Rubel Theorem on the conditions of existence of an entire function of exponential type vanishing on a given sequence of positive numbers. These studies also are parallel to the famous Beurling-Malliavin Theorems on the multiplier and on the radius of completeness.

Equations

$$J(v):=J_{-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}}^{[1]}(1,+\infty ;v)\stackrel{\text{ cite[cite][@@bibrefKhII, 4.6,(4.16)]}}{:=}{\int }_1^{+\infty }\frac{v(-iy)+v(iy)}{y^2}dy,$$

$${\mathbb{R}}_{-\infty }:=\{-\infty \}\cup \mathbb{R},{\mathbb{R}}_{+\infty }:=\mathbb{R}\cup \{+\infty \},{\mathbb{R}}_{\pm \infty }:={\mathbb{R}}_{-\infty }\cup {\mathbb{R}}_{+\infty }$$

$$x^{+}:=\max \{0,x\},X^{+}:=\{x^{+}:x\in X\},X_{\ast }:=X\setminus \{0\},X_{\ast }^{+}:=(X_{\ast }{)}^{+}.$$

$$D(\infty ,r):=\{z\in {\mathbb{C}}_{\infty }:|z|>1/r\},\frac{1}{+\infty }:=0,\frac{1}{0}:=+\infty .$$

$$\begin{array}{rl}{\mathbb{C}}^{\mathrm{up}}:=\{z\in \mathbb{C}:\mathrm{Im}z>0\},& {\mathbb{C}}_{\mathrm{low}}:=\{z\in \mathbb{C}:\mathrm{Im}z<0\},\\ {\mathbb{C}}_{\mathrm{right}}:=\{z\in \mathbb{C}:\mathrm{Re}z>0\},& {}_{\mathrm{left}}\mathbb{C}:=\{z\in \mathbb{C}:\mathrm{Re}z<0\},\\ {\mathbb{C}}^{\overline{\mathrm{up}}}:={\mathbb{C}}^{\mathrm{up}}\cup \mathbb{R},& {\mathbb{C}}_{\overline{\mathrm{low}}}:={\mathbb{C}}_{\mathrm{low}}\cup \mathbb{R},\\ {\mathbb{C}}_{\overline{\mathrm{right}}}:={\mathbb{C}}_{\mathrm{right}}\cup i\mathbb{R},& {}_{\overline{\mathrm{left}}}\mathbb{C}:={}_{\mathrm{left}}\mathbb{C}\cup i\mathbb{R}\end{array}$$

$$C_v(z,r)$$

$$B_v(z,r)$$

$$M_v(z,r)$$

$${\mathrm{type}}_1[v]\stackrel{\text{cite[cite][@@bibrefKhI, 2.1]}}{:=}{\mathrm{type}}_1^{\infty }[v]\stackrel{\text{eqref}df:MCBm}{:=}\underset{r\to +\infty }{\mathrm{limsup}}\frac{M_v(r)}{r}<+\infty .$$

$${\mathrm{ind}}_p[u]:\theta \mapsto \underset{{\mathbb{R}}^{+}\ni r\to +\infty }{\mathrm{limsup}}\frac{u(r{e}^{i\theta })}{r^p},\theta \in \mathbb{R},$$

$$\nu(z,r):=\nu\bigl{(}\,\overline{D}(z,r)\bigr{)},\quad\nu^{\text{\tiny\rm rad}}(r):=\nu(0,r)$$

$${\mathrm{type}}_1[\nu ]\stackrel{\text{cite[cite][@@bibrefKhI, 2.1]}}{:=}{\mathrm{type}}_1^{\infty }[\nu ]:=\underset{r\to +\infty }{\mathrm{limsup}}\frac{|\nu {|}^{\text{rad}}(r)}{r}<+\infty .$$

$$\nu^{\mathbb{R}}(x):=\begin{cases}-\nu\bigl{(}[x,0)\bigr{)}\;&\text{ при }x<0,\\ \nu\bigl{(}[0,x]\bigr{)}\;&\text{ при }x\geqslant 0,\end{cases}$$

$$\nu^{i\mathbb{R}}(y):=\begin{cases}-\nu\bigl{(}[iy,0)\bigr{)}\;&\text{ при }y<0,\\ \nu\bigl{(}[0,iy]\bigr{)}\;&\text{ при }y\geqslant 0,\end{cases}$$

$${\int }_r^R\dots dn:={\int }_{(r,R]}\dots dn$$

$$n_{\mathsf{Z}}:=\sum _k{\delta }_{{\mathsf{z}}_k},n_{\mathsf{Z}}(S)=\sum _{z\in S}\mathsf{Z}(z)=\sum _{{\mathsf{z}}_k\in S}1\text{для любых S⊂D}.$$

$$\begin{array}{rl}{n}_{\mathsf{Z}}(z,r),n_{\mathsf{Z}}^{\text{rad}}(r)\stackrel{\text{eqref}df:nup}{:=}& (n_{\mathsf{Z}}{)}^{\text{rad}}(r),r\in {\mathbb{R}}^{+},\\ n_{\mathsf{Z}}^{\mathbb{R}}(x)\stackrel{\text{eqref}nuR}{:=}(n_{\mathsf{Z}}{)}^{\mathbb{R}}(x),n_{\mathsf{Z}}^{i\mathbb{R}}(y)\stackrel{\text{eqref}nuiR}{:=}& (n_{\mathsf{Z}}{)}^{i\mathbb{R}}(y),x,y\in \mathbb{R};\end{array}$$

$${\mathrm{type}}_1[\mathsf{Z}]\stackrel{\text{eqref}fden}{:=}{\mathrm{type}}_1[n_{\mathsf{Z}}]<+\infty .$$

$$\begin{split}\operatorname{Exp}^{\sf Z}:=\bigl{\{}z\mapsto z^{p}e^{{\sf z}_{k}z}\colon&z\in\mathbb{C},\;p\in\mathbb{N}_{0},\bigr{.}\\ &\bigl{.}0\leqslant p\leqslant n_{\sf Z}\bigl{(}\{{\sf z}_{k}\}\bigr{)}-1\overset{\eqref{df:divmn}}{=}{\sf Z}({\sf z}_{k})-1\bigr{\}}.\end{split}$$

$$I({\sf Z}):=\bigl{\{}f\in\operatorname{Hol}(\mathbb{C})\colon f({\sf Z})=0\bigr{\}}\subset\operatorname{Hol}(\mathbb{C})$$

$$I^{1}({\sf Z})\overset{\eqref{FZf}}{:=}I({\sf Z})\cap\bigl{\{}f\in\operatorname{Hol}(\mathbb{C})\colon{\operatorname{type}_{1}}\bigl{[}\log|f|\bigr{]}\overset{\eqref{typev}}{<}+\infty\bigr{\}}.$$

$$\begin{array}{rl}{I}_{\ast }(\mathsf{Z})& \stackrel{\text{eqref}FZf}{:=}I(\mathsf{Z})\setminus \{0\}=I(\mathsf{Z})\cap {\mathrm{Hol}}_{\ast }(\mathbb{C}),\\ I_{\ast }^1(\mathsf{Z})& \stackrel{\text{eqref}FZf1}{:=}{I}^1(\mathsf{Z})\setminus \{0\}=I^1(\mathsf{Z})\cap {\mathrm{Hol}}_{\ast }(\mathbb{C}).\end{array}$$

$$l_{\mathsf{Z}}(r):=\sum _{0<{\mathsf{z}}_k⩽r}\frac{1}{{\mathsf{z}}_k}\stackrel{\text{eqref}nuR,\text{eqref}LS}{=}{\int }_0^r\frac{1}{x}d{n}_{\mathsf{Z}}^{\mathbb{R}}(x),0<r⩽+\infty .$$

$$l_{\mathsf{Z}}(r,R)\stackrel{\text{eqref}logZ}{:=}{l}_{\mathsf{Z}}(R)-l_{\mathsf{Z}}(r),0<r<R⩽+\infty ,$$

$$\bigl{|}f(iy)\bigr{|}\leqslant\bigl{|}g(iy)\bigr{|}\quad\text{при всех $y\in\mathbb{R}$};$$

$$l_{\mathsf{Z}}(r,R)\stackrel{\text{eqref}logZ-}{⩽}{l}_{\mathsf{W}}(r,R)+C\text{при всех/ 0<r<R<+∞};$$

$${\mathrm{Spf}}_S(z):=\underset{s\in S}{\sup }\mathrm{Re}s\bar{z},z\in \mathbb{C};$$

$$\operatorname{Spf}_{S}\bigm{|}_{\partial\mathbb{D}}(e^{i\theta}),\quad e^{i\theta}\in\partial\mathbb{D},\theta\in\mathbb{R};$$

$${\mathrm{spf}}_S(\theta ):=\underset{s\in S}{\sup }s{e}^{-i\theta },\theta \in \mathbb{R}.$$

$${\mathrm{width}}_S(\theta ):={\mathrm{spf}}_S(\theta +\pi /2)+{\mathrm{spf}}_S(\theta -\pi /2)$$

$$\text{ray}(\theta ):=\{t{e}^{i\theta }:t\in {\mathbb{R}}^{+}\},$$

Full text

Библиография: 32 названия

Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда (проект № 18-11-00002).

1. Введение

1.1. Цели

Основная цель настоящей третьей и последующей четвёртой частей исследования — описать условия существования ненулевой целой функции экспоненциального типа (пишем ц.ф.э.т.) $f\neq 0$ на комплексной плоскости $\mathbb{C}$, обращающейся в нуль на заданной последовательности точек ${\sf Z}=\{{\sf z}_{k}\}\subset\mathbb{C}$, с ограничениями на ее рост вдоль прямой. При этом будут существенно использованы методы и техника первой [3] и, в особенности, второй [4] частей нашего исследования, касающиеся выметания рода $1$ мер и субгармонических функций на прямую. По традиции, восходящей к Л. А. Рубелу и П. Мальявену, в качестве такой прямой, как правило, выбираем мнимую ось $i\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$, где $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ — вещественная ось. Такого рода задача была полностью решена в совместной работе Л. А. Рубела и П. Мальявена [5, теорема 4.1] для положительной последовательности точек ${\sf Z}\subset\mathbb{R}^{+}:=\{x\in\mathbb{R}\colon x\geqslant 0\}$, и с ограничением сверху $|f|\leqslant|g|$ на $i\mathbb{R}$, где $g$ — заранее заданная ц.ф.э.т., обращающаяся в нуль на некоторой, вообще говоря, другой последовательности ${\sf W}\subset\mathbb{R}^{+}$. Этой задаче посвящена одна из основных частей монографии Л. А.Рубела в сотрудничестве с Дж. Э. Коллиандром [6, раздел 22] 1996 г. Но ещё в работах первого из авторов 1988–91 гг. все эти результаты были уже перенесены на произвольные комплексные последовательности ${\sf Z},{\sf W}\subset\mathbb{C}$ с ограничением сверху вида $\log|f|\leqslant p$ вдоль $i\mathbb{R}$ через специальную субгармоническую функцию-мажоранту $p$: для $p(z)=\varepsilon|z|$ в [7, основная теорема] или с $p(z)=\log|g(z)|+\varepsilon|z|$ со сколь угодно малым числом $\varepsilon>0$ [8, теорема 1], [9, основная теорема]. При жестком требовании $\varepsilon=0$ и условии Картрайт вдоль $i\mathbb{R}$ на функцию $g$, заключающемся в конечности интеграла J\bigl{(}\log^{+}|g|\bigr{)}, уже использованного в111По-прежнему ссылки над знаками бинарных отношений означают, что эти соотношения как-то связаны с приведёнными ссылками. [4, 4.6, (4.16)]:

[TABLE]

где $\log^{+}:=\max\{0,\log\}$, эта проблематика полностью вписывается в знаменитые теоремы Бёрлинга – Мальявена о мультипликаторе и о радиусе полноты [12, 3.2]–[24] и в определенном смысле окончательно ими решается не только с ограничениями вдоль $i\mathbb{R}$, но и с ограничениями на тип функции $f$ при порядке $1$. Этот простой, конечно же, только после теорем Бёрлинга – Мальявена, случай будет в расширенном варианте обсуждаться в намечаемых последующих статьях, продолжающих цикл работ, состоящих из настоящей статьи и тесно взаимосвязанных с ней статей [3], [4].

Наиболее сильные на начало 1990-х гг. результаты для $\varepsilon=0$, но с функцией $g$, не удовлетворяющей условию Картрайт, получены в [10, основная теорема] при условии расположения последовательностей ${\sf Z},{\sf W}\subset\mathbb{C}$ вне какой-нибудь пары открытых углов, содержащих $i\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Аналогичные более общие результаты для случая субгармонической функции-мажоранты $p$ конечного типа при порядке $1$, гармонической вне такой же пары углов, затрагивались в диссертации [11, теорема 2.4.1], но в научных журналах они не публиковались. В данной третьей части работы мы их существенно развиваем на основе выметания рода $1$ на мнимую ось $i\mathbb{R}$ мер и субгармонических функций.

Частичная сводка этих результатов дана в [12, 3.2] и ниже в подразделе 5. При этом возникла необходимость обобщить, развить и распространить введенные Л. А. Рубелом и П. Мальявеном ранее только для положительных последовательностей $\sf Z\subset\mathbb{R}^{+}$ различные виды плотности их распределения около бесконечности на комплексные последовательности $\sf Z\subset\mathbb{C}$ и на меры на $\mathbb{C}$. В настоящей третьей части работы и намечаемой четвёртой части мы существенно развиваем эти результаты и охватываем ряд новых вопросов. Определенные параллели в этих наших исследованиях прослеживаются со знаменитыми теоремами Бёрлинга – Мальявена о мультипликаторе и о радиусе полноты [12, 3.2]–[24].

Из наших результатов, развивающих теорему Рубела – Мальявена, будут выведены в четвертой части настоящего цикла работ дополнительные критерии (не)полноты экспоненциальных систем функций в (под)пространствах голоморфных функций в неограниченных областях $D\subset\mathbb{C}$ в различных топологиях, а также в пространствах функций на вещественной оси $\mathbb{R}$. Наряду с результатами различных авторов в этом направлении, достаточно полно освещенных в монографии-обзоре первого из авторов [12, 3.2], из свежих результатов 2017 г., не вошедших в наш обзор, отметим совместную работу А. С. Кривошеева и А. Ф. Кужаева [25, теорема 4], где в форме критерия даны условия полноты экспоненциальной системы с положительными показателями, вкладываемыми в измеримые последовательности, т. е. очень <<правильно распределенными>>, для пространств голоморфных функций в выпуклой области $D$, включающей или нет в себя отрезок заданной длины, параллельный мнимой оси.

1.2. Основные обозначения, определения и соглашения

Первоначально этот подраздел 1.2, по-видимому, целесообразно пропустить и обращаться к нему лишь по мере необходимости. Подавляющая часть обозначений и определений согласована с первой [3] и второй [4] частями нашей работы и в значительной мере соответствует таковым из монографии-обзора [12] первого из авторов. Здесь мы напоминаем те из них, которые непосредственно потребуются в настоящей третьей части работы, дополняя некоторыми новыми определениями и обозначениями.

1.2.1. Множества, порядок, топология

Как обычно, $\mathbb{N}=\{1,2,\dots\}$ и $\mathbb{Z}$ — множества натуральных и целых чисел, $\mathbb{N}_{0}:=\{0\}\cup\mathbb{N}$ — <<французский>> натуральный ряд. Расширения вещественной прямой $\mathbb{R}$

[TABLE]

рассматриваем с естественными отношением порядка $-\infty\leqslant x\leqslant+\infty$ для любого $x\in\mathbb{R}_{\pm\infty}$. Для $\varnothing\subset\mathbb{R}_{\pm\infty}$ по определению $\sup\varnothing:=-\infty$ и $\inf\varnothing:=+\infty$. Расширенная числовая прямая $\mathbb{R}_{\pm\infty}$ снабжается естественной порядковой топологией: базу открытых множеств образуют множества $(a,b):=\{x\in\mathbb{R}_{\pm\infty}\colon a<x<b\}$, $(a,+\infty]:=\{x\in\mathbb{R}_{\pm\infty}\colon a<x\}$, $[-\infty,b):=\{x\in\mathbb{R}_{\pm\infty}\colon x<b\}$ с произвольными $\mathbb{R}\ni a<b\in\mathbb{R}$. Интервал — связное подмножество в $\mathbb{R}_{\pm\infty}$. Для $x\in\mathbb{R}_{\pm\infty}$ и $X\subset\mathbb{R}_{\pm\infty}$ полагаем

[TABLE]

$\mathbb{C}_{\infty}:=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ — расширенная комплексная плоскость, или одноточечная компактификация Александрова комплексной плоскости $\mathbb{C}$ с естественной нормой-модулем $|\cdot|$; $|\infty|:=+\infty$. $S_{*}:=S\setminus\{0\}$ при $S\subset\mathbb{C}_{\infty}$.

$D(z,r):=\{z^{\prime}\in\mathbb{C}\colon|z^{\prime}-z|<r\}$ — открытый круг с центром $z\in\mathbb{C}$ радиуса $r\in\mathbb{R}_{+\infty}^{+}$; $D(r):=D(0,r)$; $\mathbb{D}:=D(1)$ — единичный круг. Открытые круги с центром $z=\infty$ в настоящей статье удобно определить как

[TABLE]

Тогда \bigl{\{}D(z,r)\colon z\in\mathbb{C}_{\infty},r\in\mathbb{R}_{*}^{+}\bigr{\}} — база открытых множеств в $\mathbb{C}_{\infty}$. Кроме того, $\overline{D}(z,r):=\{z^{\prime}\in\mathbb{C}\colon|z^{\prime}-z|\leqslant r\}$ — замкнутый круг; D_{*}(z,r):=\bigl{(}D(z,r)\bigr{)}_{*}, $D_{*}(r):=D_{*}(0,r)$, \overline{D}_{*}(z,r):=\bigl{(}\overline{D}(z,r)\bigr{)}_{*}, $\overline{D}_{*}(r):=\overline{D}_{*}(0,r)$. Область — открытое связное подмножество в $\mathbb{C}_{\infty}$. Для $S\subset\mathbb{C}_{\infty}$ полагаем $S_{\infty}:=S\cup\{\infty\}$. Так, $\mathbb{R}_{\infty}=\mathbb{R}\cup\{\infty\}\subset\mathbb{C}_{\infty}$ — замыкание $\mathbb{R}$ в $\mathbb{C}_{\infty}$.

[TABLE]

— соотв.222Сокращение для ¡¡соответственно¿¿ открытые верхняя, нижняя, правая и левая полуплоскости, а также их замыкания в топологии комплексной плоскости $\mathbb{C}$.

На $S\subset\mathbb{C}_{\infty}$ индуцируется топология с $\mathbb{C}_{\infty}$, но при рассмотрении $S\subset\mathbb{R}_{\pm\infty}$ как подмножества в $\mathbb{R}_{\pm\infty}$ уже с $\mathbb{R}_{\pm\infty}$. Для $z\in\mathbb{C}$ и $S\subset\mathbb{C}$ полагаем $zS:=\{zz^{\prime}\colon z^{\prime}\in S\}$, что вполне согласуется с обозначениями $i\mathbb{R}$ и $i\mathbb{R}^{+}$ соотв. для мнимой оси и мнимой положительная полуоси. Для $z\in\mathbb{C}$ и $S\subset\mathbb{C}_{\infty}$, $\bar{z}$, как обычно, сопряжённое к $z$ число, $\bar{\infty}:=\infty$, $\bar{S}:=\{\bar{z}\colon z\in S\}$. Одним и тем же символом [math] обозначаем, по контексту, число нуль, нулевой вектор, нулевую функцию, нулевую меру (заряд) и т. п.; $\varnothing$ — пустое множество. Для подмножества $X$ векторной решётки функций, мер и т. п. с отношением порядка $\geqslant$ также используем обозначения (1.3). Положительность понимается как $\geqslant 0$. Аналогично отрицательность — $\leqslant 0$.

Для подмножества $S$ топологического пространства $T$ через $\operatorname{clos}S$, $\operatorname{int}S$, $\partial S$ обозначаем соотв. замыкание, внутренность и границу множества $S$ в $T$. Если замыкание $\operatorname{clos}S$ — компакт в $T$, то $S$ предкомпактно в $T$ и пишем $S\Subset T$. В частности, для $S\subset\mathbb{C}_{\infty}$ через $\operatorname{clos}S$, $\operatorname{int}S$ и $\partial S$ обозначаем соотв. замыкание, внутренность, и границу подмножества $S$ в $\mathbb{C}_{\infty}$.

1.2.2. Функции

Произвольной функции $f\colon X\to\mathbb{R}_{\pm\infty}$ сопоставляем пару функций $f^{+}\colon x\mapsto(f(x))^{+}$, $f^{-}:=(-f)^{+}$. Функция $f\colon X\to Y$ с упорядоченными $(X,\leqslant)$ и $(Y,\leqslant)$ возрастающая, если для $x_{1},x_{2}\in X$ из $x_{1}\leqslant x_{2}$ следует $f(x_{1})\leqslant f(x_{2})$. Аналогично для убывания. В основном $Y\subset\mathbb{R}_{\pm\infty}$. На множествах функций с упорядоченным множеством значений отношение порядка индуцируется с множества значений как поточечное.

Для $X\ni x_{0}$ и $f\colon X\setminus\{x_{0}\}\to\mathbb{R}_{\pm\infty}$ записи <<$f(x)\leqslant O(1)$ при $x\to x_{0}$>> или $f(x)\underset{x\to x_{0}}{\leqslant}O(1)$ означает, что функция $f$ в какой-то проколотой окрестности точки $x_{0}$ ограничена сверху некоторым числом из $\mathbb{R}$.

Пусть $S\subset\mathbb{C}_{\infty}$. Классы $\operatorname{Hol}(S)$ и $\operatorname{sbh}(S)$ состоят из сужений на $S$ функций, соотв. голоморфных и субгармонических в каком-либо открытом множестве, включающем в себя $S$ [26], [27]; \operatorname{har}(S):=\operatorname{sbh}(S)\cap\bigl{(}-\operatorname{sbh}(S)\bigr{)} — класс гармонических функций на $S$; \operatorname{\text{\delta{\rm-sbh}}}(S):=\operatorname{sbh}(S)-\operatorname{sbh}(S) — класс $\delta$-субгармонических, или разностей субгармонических, функций на $S$ [28], [29, 2], [30, 3.1]. Полагаем $\operatorname{Hol}_{*}(S):=\operatorname{Hol}(S)\setminus\{0\}$. Тождественную $-\infty$ или $+\infty$ на $S$ обозначаем соотв. $\boldsymbol{-\infty}\in\operatorname{sbh}(S)$ или \boldsymbol{+\infty}\in-\operatorname{sbh}(S)\subset\operatorname{\text{\delta{\rm-sbh}}}(S); $\operatorname{sbh}_{*}(S):=\operatorname{sbh}(S)\setminus\{\boldsymbol{-\infty}\}$, \operatorname{\text{\delta{\rm-sbh}}}_{*}(S):=\operatorname{\text{\delta{\rm-sbh}}}(S)\setminus\{\boldsymbol{\pm\infty}\}. В то же время для топологии на $S$, индуцированной с $\mathbb{C}_{\infty}$, $C(S)$ — банахово пространство над $\mathbb{C}$ непрерывных функций $f\colon S\to\mathbb{C}$ с $\sup$-нормой $\|f\|_{S}:=\sup_{z\in S}|f(z)|$.

Для области $D$ пространство $\operatorname{Hol}(D)$ над полем $\mathbb{C}$ снабжается топологией равномерной сходимости на компактах, если не оговорено противное.

Для открытого подмножества $O\subset\mathbb{C}_{\infty}$ через $C(\operatorname{clos}O)\cap\operatorname{Hol}(O)$ обозначаем нормированное пространство функций $f\in C(O)$ с сужением f\bigm{|}_{O}\in\operatorname{Hol}(O) с $\sup$-нормой $\|\cdot\|_{\operatorname{clos}O}$.

Для замкнутого подмножества $S\subset\mathbb{C}_{\infty}$ пространство ростков $\operatorname{Hol}(S)$ состоит из классов эквивалентности при факторизации относительно отношения эквивалентности <<функции равны на некотором открытом множестве $O\supset S$>>. Пусть $S$— пересечение открытых множеств $O_{m}\subset\mathbb{C}_{\infty}$. Топология индуктивного предела на $\operatorname{Hol}(S)$ определяется базой окрестностей нуля, получаемых как абсолютно выпуклые оболочки всевозможных объединений непустых открытых шаров ненулевого радиуса с центрами в нуле из нормированных пространств $C(\operatorname{clos}O_{m})\cap\operatorname{Hol}(O_{m})$ [12, 0.1.2].

Для $z\in\mathbb{C}$ и числа $r\geqslant 0$ определим интегральные средние по окружности $\partial\overline{D}(z,r)$ от функции $v\colon\partial D(z,r)\to\mathbb{R}_{\pm\infty}$:

[TABLE]

что при v\in\operatorname{sbh}\bigl{(}\overline{D}(z,r)\bigr{)} совпадает с верхней гранью функции $v$ в круге $\overline{D}(z,r)$. Конечно же, в (1.6) для (1.6c) и (1.6b) подразумевается существование интегралов [26, определение 2.6.7], [27], для которых, вообще говоря, допускаются значения $\pm\infty$. Функция $v\in\operatorname{sbh}(\mathbb{C})$ конечного типа (при порядке $1$), если [3, 2.1]

[TABLE]

Функция v\in\operatorname{\text{\delta{\rm-sbh}}}_{*}(\mathbb{C}) конечного типа (при порядке $1$), если она представима333Исходное определение естественнее давать как функцию $v$ с характеристикой Неванлинны $T_{v}$ конечного типа (при порядке $1$), но для функций конечного порядка это классическое определение эквивалентно приводимому здесь. в виде разности двух функций из $\operatorname{sbh}_{*}(\mathbb{C})$ конечного типа. Функция $f\in\operatorname{Hol}(\mathbb{C})$ — целая функция экспоненциального типа (ц.ф.э.т.), если функция $\log|f|\in\operatorname{sbh}(\mathbb{C})$ конечного типа (при порядке $1$).

Произвольной функции $u\colon\mathbb{C}\overset{\eqref{R+-}}{\to}\mathbb{R}_{\pm\infty}$ сопоставляем ее индикатор роста при порядке $p\in\mathbb{R}^{+}$, а именно:

[TABLE]

— $2\pi$-периодическая функция. Если $v\in\operatorname{sbh}_{*}(\mathbb{C})$ — субгармоническая функция конечного типа и $f\in\operatorname{Hol}_{*}(\mathbb{C})$ — ц.ф.э.т., то ${\operatorname{ind}_{1}}[v]\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{-\infty}$, а также ${\operatorname{ind}_{1}}[\log|f|]\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{-\infty}$ — тригонометрически выпуклые функции [31], [32].

Число $C$ и постоянную функцию, тождественно равную $C$, не различаем. Через ${\rm const}_{a_{1},a_{2},\dots}$ обозначаем вещественные постоянные, зависящие от $a_{1},a_{2},\dots$ и, если не оговорено противное, только от них.

1.2.3. Меры и заряды

Далее $\operatorname{Meas}(S)$ — класс444В [3], [4] вместо $\operatorname{Meas}$ использоваловался символ $\mathcal{M}$. всех счетно-аддитивных функций борелевских подмножеств борелевского множества $S\subset\mathbb{C}_{\infty}$ со значениями в $\mathbb{R}_{\pm\infty}$, конечных на компактах из $S$. Элементы из $\operatorname{Meas}(S)$ называем зарядами, или вещественными мерами, на $S\subset\mathbb{C}_{\infty}$; \operatorname{Meas}^{+}(S):=\bigl{(}\operatorname{Meas}(S)\bigr{)}^{+} — подкласс положительных мер, или просто мер. Заряд $\mu\in\operatorname{Meas}(S)$ сосредоточен на $\mu$-измеримом подмножестве $S_{0}\subset S$, если $\mu(S^{\prime})=\mu(S^{\prime}\cap S_{0})$ для любого $\mu$-измеримого подмножества $S^{\prime}\subset S$. Очевидно, заряд $\mu$ сосредоточен на носителе $\operatorname{supp}\mu\subset S$. Для измеримого по $\mu\in\operatorname{Meas}(S)$ подмножества $S_{0}\subset S$ через \mu\bigm{|}_{S_{0}} обозначаем сужение заряда $\mu$ на $S_{0}$. Через $\lambda_{\mathbb{C}}$, $\lambda_{\mathbb{R}}$ и $\lambda_{i\mathbb{R}}$ обозначаем лебеговы меры соотв. на $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}$ и $i\mathbb{R}$, а также их сужения на подмножества из $\mathbb{C}$. Нижний индекс $\mathbb{C}$ в $\lambda_{\mathbb{C}}$ при этом часто опускаем. Через $\delta_{z}$ обозначаем меру Дирака в точке $z\in\mathbb{C}_{\infty}$, т. е. вероятностную меру с $\operatorname{supp}\delta_{z}=\{z\}$. Как обычно, для $\mu\in\operatorname{Meas}(\mathbb{C})$ через $\mu^{+}:=\max\{0,\mu\}$, $\mu^{-}:=(-\mu)^{+}$ и $|\mu|:=\mu^{+}+\mu^{-}$, обозначаем верхнюю, нижнюю и полную вариации заряда $\mu=\mu^{+}-\mu^{-}$. Для заряда $\nu\in\operatorname{Meas}(S)$ и круга $D(z,r)\subset S$ полагаем

[TABLE]

— соотв. считающая функция с центром $z$ и считающая радиальная функция заряда $\nu$. Заряд $\nu\in\operatorname{Meas}(\mathbb{C})$ конечной верхней плотности (при порядке $1$), если [3, 2.1]

[TABLE]

Для $\nu\in\operatorname{Meas}(\mathbb{C})$ используем и функцию распределения $\nu^{\mathbb{R}}$ сужения \nu\bigm{|}_{\mathbb{R}} заряда $\nu$ на $\mathbb{R}$ [3, (1.9)]:

[TABLE]

а также функцию распределения $\nu^{i\mathbb{R}}$ сужения \nu\bigm{|}_{iR} заряда $\nu$ на $\mathbb{R}$:

[TABLE]

которые являются функциями локально ограниченной вариации. Интегралы Лебега – Стилтьеса по интервалу по таким функциям $n\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ обычно, если не оговорено противное, понимаем как

[TABLE]

Для открытого $\mathcal{O}\subset\mathbb{C}_{\infty}$ меру Рисса функции $v\in\operatorname{sbh}_{*}({\mathcal{O}})$ обозначаем как $\nu_{v}:=\frac{1}{2\pi}\Delta v\in\operatorname{Meas}^{+}(\mathcal{O})$ или $\mu_{v}$ и т. п., где оператор Лапласа $\Delta$ действует в смысле теории обобщённых функций. Для функции $\boldsymbol{-\infty}\in\operatorname{sbh}(\mathcal{O})$ её мера Рисса по определению равна $+\infty$ на любом подмножестве из ${\mathcal{O}}$. Функции v\in\operatorname{\text{\delta{\rm-sbh}}}(\mathcal{O}) сопоставляется заряд Рисса $\nu_{v}:=\frac{1}{2\pi}\Delta v\in\operatorname{Meas}(\mathcal{O})$. Для функции \boldsymbol{+\infty}\in-\operatorname{sbh}(\mathcal{O})\subset\operatorname{\text{\delta{\rm-sbh}}}(\mathcal{O}) её заряд Рисса по определению равен $-\infty$ на любом подмножестве из ${\mathcal{O}}$.

1.2.4. Последовательности точек в области

Пусть ${\sf Z}=\{{\sf z}_{k}\}$ — не более чем счётное множество точек области $D\subset{\mathbb{C}}$, проиндексированное некоторым набором индексов $k\in\mathbb{Z}$. В ${\sf Z}$ допускаются совпадения нескольких точек с различными индексами. Однако всегда предполагаем, что ${\sf Z}$ не имеет предельных точек в $D$, если не оговорено противное. Возможно, что ${\sf Z}$ конечно или ${\sf Z}=\varnothing$. Такое проиндексированное множество ${\sf Z}$ естественнее воспринимать как целочисленную положительную функцию, т. е. как положительный дивизор ${\sf Z}\colon D\to\mathbb{Z}^{+}$, равный в каждой точке $z\in D$ числу вхождений точки $z$ в ${\sf Z}$, или как целочисленную считающую меру

[TABLE]

В частности, n_{\sf Z}\bigl{(}\{z\}\bigr{)}={\sf Z}(z) при всех $z\in D$. Такой подход отличается от стандартного взгляда на последовательность точек как на функцию натурального или целого аргумента. При последнем стандартном подходе, когда нумерация последовательности имеет значение, изображаем ее в круглых скобках, т. е. в виде ${\sf Z}=({\sf z}_{k})$. Тем не менее как проиндексированное множество ${\sf Z}=\{{\sf z}_{k}\}$, так и занумерованную последовательность ${\sf Z}=({\sf z}_{k})$ часто называем просто последовательностью точек.

Две последовательности ${\sf Z}=\{{\sf z}_{k}\}$ и ${\sf W}=\{{\sf w}_{k}\}$ из $D$ равны и соотв. пишем ${\sf Z}={\sf W}$, если для их дивизоров имеет место тождество ${\sf Z}(z)\equiv{\sf W}(z)$ при всех $z\in D$, т. е. $n_{\sf Z}\overset{\eqref{df:divmn}}{=}n_{\sf W}$ как меры. Иначе говоря, каждая последовательность точек рассматривается как представитель некоторого класса эквивалентности, состоящего из последовательностей в $D$ с одинаковыми дивизорами. При этом носитель $\operatorname{supp}{\sf Z}:=\operatorname{supp}n_{\sf Z}$. Запись $z\in{\sf Z}$ (соотв. $z\notin{\sf Z}$) означает, что $z\in\operatorname{supp}{\sf Z}$ (соотв. $z\notin\operatorname{supp}{\sf Z}$). Для подмножества $S\subset{\mathbb{C}}$ запись ${\sf Z}\subset S$ означает, что $\operatorname{supp}{\sf Z}\subset S$; ${\sf Z}\cap S$ — сужение последовательности $\sf Z$ на $S$ с дивизором {\sf Z}\bigm{|}_{S} и считающей мерой n_{\sf Z}\bigm{|}_{S}.

Последовательность точек ${\sf W}\subset D$ включена (содержится) в ${\sf Z}$, если ${\sf W}(z)\leqslant{\sf Z}(z)$ в терминах дивизоров при всех $z\in D$, т. е. $n_{\sf W}\overset{\eqref{df:divmn}}{\leqslant}n_{\sf Z}$. При этом пишем ${\sf W}\subset{\sf Z}$ и говорим, что ${\sf W}$ — подпоследовательность из ${\sf Z}$.

Объединение ${\sf Z}\cup{\sf W}$ через дивизоры задается тождеством $({\sf Z}\cup{\sf W})(z)\equiv{\sf Z}(z)+{\sf W}(z)$, т. е. $n_{{\sf Z}\cup{\sf W}}\overset{\eqref{df:divmn}}{=}n_{\sf Z}+n_{\sf W}$, а пересечение ${\sf Z}\cap{\sf W}$ через дивизоры — тождеством ({\sf Z}\cup{\sf W})(z)\equiv\min\bigl{\{}{\sf Z}(z),{\sf W}(z)\bigr{\}}, т. е. $n_{{\sf Z}\cap{\sf W}}\overset{\eqref{df:divmn}}{=}\inf\{n_{\sf Z},n_{\sf W}\}$. При ${\sf W}\subset{\sf Z}$ разность последовательностей ${\sf Z}\setminus{\sf W}$ определяет дивизор $({\sf Z}\setminus{\sf W})(z)\equiv{\sf Z}(z)-{\sf W}(z)$, $z\in D$, или считающая мера $n_{{\sf Z}\setminus{\sf W}}\overset{\eqref{df:divmn}}{=}n_{\sf Z}-n_{\sf W}$. На последовательностях точек операции и отношения, отличные от приведенных выше, понимаются поэлементно. Так, $z{\sf Z}:=\{z{\sf z}_{k}\}$, ${\rm Re\,}{\sf Z}:=\{{\rm Re\,}{\sf z}_{k}\}$; ${\sf Z}\geqslant 0$, если ${\sf z}_{k}\geqslant 0$ для всех $k$, и т. п.

В соответствии с (1.9)–(1.12) определяются

[TABLE]

${\sf Z}\subset\mathbb{C}$ конечной верхней плотности (при порядке 1), если

[TABLE]

Последовательности ${\sf Z}=\{{\sf z}_{k}\}\subset\mathbb{C}$ сопоставляем экспоненциальную систему $\operatorname{Exp}^{\sf Z}\subset\operatorname{Hol}_{*}(\mathbb{C})$ с последовательностью показателей $\sf Z$:

[TABLE]

1.2.5. Последовательности нулей голоморфных функций

Для функции $f\in\operatorname{Hol}_{*}(D)$ в области $D\subset{\mathbb{C}}$ через $\operatorname{Zero}_{f}$ обозначаем последовательность точек в $D$, дивизор которой в каждой точке $z\in D$ равен кратности нуля функции $f$ в этой точке. Последовательность $\operatorname{Zero}_{f}$ называем последовательностью нулей, или корней, функции $f\in\operatorname{Hol}_{*}(D)$, перенумерованной с учетом кратности. Для нулевой функции в $D$ по определению ее дивизор $\operatorname{Zero}_{0}=\boldsymbol{+\infty}$ на $D$. Для любой последовательности точек ${\sf Z}\subset D$ по определению ${\sf Z}\subset\operatorname{Zero}_{0}$. Функция $f\in\operatorname{Hol}(D)$ обращается в нуль на ${\sf Z}$, если ${\sf Z}\subset\operatorname{Zero}_{f}$. При этом пишем $f({\sf Z})=0$.

Пусть $H\subset\operatorname{Hol}(D)$. Последовательность ${\sf Z}\subset D$ — последовательность нулей для $H$, если существует $f\in H$ с $\operatorname{Zero}_{f}={\sf Z}$; ${\sf Z}$ — подпоследовательность нулей для $H$, если существует функция $f\neq 0$ из $H$, для которой ${\sf Z}\subset\operatorname{Zero}_{f}$. Если $H$ — векторное подпространство, то подпоследовательность нулей для $H$ называем еще и множеством, или последовательностью, неединственности для $H$; ${\sf Z}$ — множество, или последовательность, единственности для $H$, если из $f\in H$ и $f({\sf Z})=0$ следует $f=0$.

2. Результаты П. Мальявена и Л. А. Рубела

и их развитие и обобщения

Произвольная последовательность точек на $\mathbb{C}$ без предельных точек в $\mathbb{C}$ называем комплексной последовательностью на $\mathbb{C}$. Комплексная последовательность на $\mathbb{C}$ положительная, если ее носитель — подмножество $\mathbb{R}^{+}$.

2.1. Случай положительных последовательностей

Следуя [5, 2], [6, 22], последовательности ${\sf Z}=\{{\sf z}_{k}\}\subset\mathbb{C}$ сопоставляем идеал

[TABLE]

в кольце $\operatorname{Hol}(\mathbb{C})$, а также идеал в кольце всех ц.ф.э.т.555В [5, 2] и [6, 22] идеал $I^{1}({\sf Z})$ обозначен соотв. как $\mathcal{F}({\sf Z})$ и $F({\sf Z})$.

[TABLE]

Полагаем

[TABLE]

Предложение 2.1** ([31],[32]).**

$I_{*}({\sf Z})\neq\varnothing$* тогда и только тогда, когда последовательность $\sf Z$ не имеет предельных точек в $\mathbb{C}$ — частный случай классической теоремы Вейерштрасса для $\mathbb{C}$.*

$I^{1}_{*}({\sf Z})\neq\varnothing$* тогда и только тогда, когда последовательность $\sf Z$ конечной верхней плотности при порядке $1$, т. е. выполнено (1.16), —частный случай классической теоремы Адамара – Вейерштрасса.*

Для положительной последовательности ${\sf Z}:=\{{\sf z}_{k}\}\subset\mathbb{R}^{+}_{*}$ в [5, 1], [6, 22] определен ее характеристический логарифм $l_{\sf Z}\colon(\mathbb{R}^{+}_{*})_{+\infty}\to\mathbb{R}^{+}_{+\infty}$ как666В [5], [6] пределы суммирования даны как $0<{\sf z}_{k}<r$, но при рассмотрении последовательностей ${\sf Z}$ конечной верхней плотности это несущественно.

[TABLE]

Там же рассмотрен разностный характеристический логарифм

[TABLE]

— логарифмическая функция интервалов $(r,R]\subset(\mathbb{R}_{+\infty}^{+})_{*}$.

Теорема MR 1** (Мальявена – Рубела [5, теорема 4.1], [6, 22, основная теорема]).**

Пусть ${\sf Z}\subset\mathbb{R}_{*}^{+}$ и ${\sf W}=\{{\sf w}_{k}\}\subset\mathbb{R}_{*}^{+}$ — две положительные последовательности конечной верхней плотности (1.16). Тогда в обозначениях (2.2)–(2.3) следующие три утверждения эквивалентны:

1. (i)

для любой $g\overset{\eqref{II1}}{\in}I_{*}^{1}({\sf W})$ найдется $f\overset{\eqref{II1}}{\in}I^{1}_{*}({\sf Z})$ с ограничением

[TABLE] 2. (ii)

существует постоянная $C\in\mathbb{R}$, для которой

[TABLE] 3. (iii)

Существует пара функций $f\in I_{*}^{1}({\sf Z})$ и $g\in I^{1}_{*}({\sf W})$ c $\operatorname{Zero}_{g}\cap\,\mathbb{C}_{\operatorname{\text{\rm\tiny right}}}={\sf W}$, т. е. с сужением n_{\operatorname{Zero}_{g}}\bigm{|}_{\mathbb{C}_{\operatorname{\text{\rm\tiny right}}}}=n_{\sf W}, с ограничением (2.6).

Пусть $S\subset\mathbb{C}$. Опорной функцией множества $S$ называют три расширенные числовые функции, однозначно определяющие друг друга:

1. [sf1]

выпуклую положительно однородную функцию на $\mathbb{C}$:

[TABLE] 2. [sf2]

сужение предыдущей функции на единичную окружность $\partial\mathbb{D}$:

[TABLE] 3. [sf3]

$2\pi$-периодическую тригонометрически выпуклую функцию на $\mathbb{R}$:

[TABLE]

В теории функций одной комплексной переменной традиционно большей частью используется версия [sf3] опорной функции. Функция $\operatorname{spf}_{S}$ принимает значение $-\infty$, если и только если $S=\varnothing$. Функция $\operatorname{spf}_{S}$ принимает значение $+\infty$, если и только если множество $S$ неограниченно в $\mathbb{C}$.

Шириной множества $S$ в направлении $\theta$ называется величина

[TABLE]

— наименьшая ширина замкнутых в $\mathbb{C}$ полос, включающих в себя $S$, со сторонами, параллельными замкнутому лучу

[TABLE]

или направлению $\theta$. Для $b\in\mathbb{R}_{+\infty}^{+}$, $\theta\in\mathbb{R}$

[TABLE]

— соотв. открытая и замкнутая в $\mathbb{C}$ полосы ширины

[TABLE]

в направлении [math] и со сторонами, параллельными $\mathbb{R}$, со средней линией $\mathbb{R}$. Кроме того, в подразделе 2.2 будет использован прямоугольник

[TABLE]

При $g(z):=\sin\pi bz$ и ${\sf W}=\frac{1}{b}\mathbb{N}$ из теоремы MR1 вытекает

Следствие MR 1** ([5, теорема 6.1, следствие 9.1], [6, теорема 22.1]).**

Пусть $b\in\mathbb{R}^{+}$ и ${\sf Z}\subset\mathbb{R}_{*}^{+}$. Следующие три утверждения эквивалентны:

1. (i)

существует $f\in I_{*}^{1}({\sf Z})$, удовлетворяющая ограничению

[TABLE] 2. (ii)

существует постоянная $C\in\mathbb{R}$, для которой

[TABLE] 3. (iii)

экспоненциальная система777В [5, следствие 9.1] — система $\operatorname{Exp}^{-{\sf Z}}$, что в данном случае можно не различать.* $\operatorname{Exp}^{\sf Z}$ с последовательностью показателей $\sf Z$ в обозначении (1.17) для любого или некоторого $s\in\mathbb{C}$ не полна в пространстве функций, непрерывных в замкнутой полосе $s+\overline{\operatorname{strip}}_{\pi b}$ и голоморфных в открытой полосе $s+{\operatorname{strip}}_{\pi b}$, в топологии равномерной сходимости на компактах из $s+\overline{\operatorname{strip}}_{\pi b}\subset\mathbb{C}$.*

При более слабых требованиях на ограничение роста функции $f\in I_{*}^{1}({\sf Z})$, чем в теореме MR1 и в следствии MR1, с начала 1960-х гг. известно также

Следствие MR 2** ([5, теоремы 6.3–5]).**

Пусть ${\sf Z}=\{{\sf z}_{k}\}\subset\mathbb{R}_{*}^{+}$ — последовательность конечной верхней плотности и задано число $b\in\mathbb{R}^{+}$. Следующие два утверждения эквивалентны:

1. (i)

существует функция $f\in I_{*}^{1}({\sf Z})$, для которой ${\operatorname{ind}_{1}}[\log|f|](\pm\pi/2)\leqslant\pi b$; 2. (ii)

существуют $q\colon{\mathbb{R}}^{+}\to\mathbb{R}^{+}$ с $\lim\limits_{R\to+\infty}q(R)=0$ и $C\in\mathbb{R}$, для которых

[TABLE]

Следуя [5], рассмотрим следующие плотности:

[TABLE]

где последняя точная нижняя граница $\inf$ берется по всем таким $b\in\mathbb{R}_{*}^{+}$, что найдется постоянная $C_{b}\in\mathbb{R}$, для которой

[TABLE]

В [5, 3] показано, что для последовательности ${\sf Z}$ конечной верхней плотности они совпадают и внешний верхний предел $\limsup$ в правой части (2.19l) можно заменить на обычный предел $\lim$. Все они в этом случае называются логарифмической блок-плотностью последовательности ${\sf Z}$.

Следствие MR 3** ([5, теорема 6.2, следствие 9.1]).**

Пусть ${\sf Z}=\{{\sf z}_{k}\}\subset\mathbb{R}_{*}^{+}$ и $b\in\mathbb{R}_{*}^{+}$. Следующие три утверждения эквивалентны:

1. (i)

существует функция $f\in I_{*}^{1}({\sf Z})$, для которой ${\operatorname{ind}_{1}}[f](\pm\pi/2)<\pi b$; 2. (ii)

${\operatorname{dens}}_{\log}({\sf Z})<b$; 3. (iii)

система $\operatorname{Exp}^{\sf Z}$ не полна в пространстве $\operatorname{Hol}(S_{\pi b})$.

В [5] установлены и иные весьма содержательные результаты, например, об аналитическом продолжении рядов [5, теоремы 9.2] и др.

2.2. Случай комплексных последовательностей

Первые результаты, позволяющей перейти в теореме Мальявена – Рубела к произвольным комплексным последовательностям $\sf Z\subset\mathbb{C}$ и ${\sf W}\subset\mathbb{C}$ были получены в конце 1980-х гг. в работах [7]–[9] первого из соавторов. Пусть ${\sf Z}=\{{\sf z}_{k}\}\subset\mathbb{C}$ — комплексная последовательность. Развивая (2.4), определим * правый и левый характеристические логарифмы* последовательности ${\sf Z}$ как

[TABLE]

а также правую и левую логарифмические функции интервалов [8]–[10, § 1]

[TABLE]

Для ${\sf Z}=\varnothing$ по определению $l_{\sf Z}(r,R)\equiv 0$ при всех $0<r<R\leqslant+\infty$.

В начале 1990-х гг. в работе первого из соавторов [10] удалось достичь уровня ограничения (2.6) для последовательностей * комплексных* точек при некотором дополнительном условии. Говорим, что последовательность ${\sf Z}=\{{\sf z}_{k}\}\subset\mathbb{C}$ отделена от мнимой оси, если

[TABLE]

Пара эквивалентных ограничений (2.23) геометрически означает, что найдется пара непустых открытых вертикальных углов, содержащих $i\mathbb{R}_{*}$, для которой точки ${\sf z}_{k}$ лежат вне этой пары углов при всех больших $|k|$.

Теорема Kh 1** ([10, основная теорема]–[12, 3.2.2]).**

Пусть комплексные последовательности ${\sf Z}\subset\mathbb{C}$ и ${\sf W}\subset\mathbb{C}_{\operatorname{\text{\rm\tiny right}}}$ отделены от $i\mathbb{R}$. Тогда утверждения (i)–(iii) теоремы MR1 по-прежнему попарно эквивалентны.

Следствие Kh 1** ([10, основная теорема]–[12, 3.2.2]).**

Пусть $b\in\mathbb{R}^{+}$ и комплексная последовательность ${\sf Z}\subset\mathbb{C}$ отделена от $i\mathbb{R}$. Тогда утверждения (i)–(iii) следствия MR1 попарно эквивалентны.

Следствие Kh 2** ([10, следствие 4.1]–[12, теорема 3.2.5, следствие 3.2.1]).**

Пусть $b\in\mathbb{R}^{+}$ и комплексная последовательность ${\sf Z}=\{{\sf z}_{k}\}\subset\mathbb{C}$ отделена от $i\mathbb{R}$. Тогда каждое из утверждений (i) и (ii) следствия MR2 эквивалентно одному и тому же утверждению

1. (iii)

существует число $D\in\mathbb{R}^{+}$, для которого система $\operatorname{Exp}^{\sf Z}$ не полна в пространстве ростков $\operatorname{Hol}(s+\Pi(D,\pi b))$ на любом или некотором сдвиге $s+\Pi(D,\pi b)$ прямоугольника $\Pi(D,\pi b)$ из (2.15), $s\in\mathbb{C}$.

Различные виды логарифмических плотностей для комплексной последовательности ${\sf Z}$ определяем в точности как в (2.19)–(2.20) на основе логарифмической функции интервалов (2.22l). Для последовательности конечной плотности эти плотности совпадают [9, § 1]–[14, теорема 1] и по-прежнему называем их логарифмической блок-плотностью уже * комплексной* последовательности ${\sf Z}$.

Следствие Kh 3**.**

Пусть $b\in\mathbb{R}_{*}^{+}$ и ${\sf Z}\subset\mathbb{C}$ — комплексная последовательность. Тогда утверждения (i)–(iii) из следствия MR3 по-прежнему попарно эквивалентны, если в п. (ii) добавить требование конечности верхней плотности последовательности ${\sf Z}$.

Следующий исторически начальный результат конца 1980-х гг. при переходе от положительных к комплексным последовательностям точек не содержит, как и предшествующее следствие Kh3, никаких дополнительных ограничений на последовательности, кроме естественного, в свете частного случая классической теоремы Адамара – Вейерштрасса из предложения 2.1, условия конечности верхней плотности последовательностей. Он может быть получен с помощью [13, основная теорема] из теоремы Kh1.

Теорема Kh 2** ([8, основная теорема], [9, основная теорема], [12, теорема 3.2.1]).**

Пусть комплексные последовательности ${\sf Z}\subset\mathbb{C}$ и ${\sf W}\subset\mathbb{C}_{\operatorname{\text{\rm\tiny right}}}$ конечной верхней плотности при порядке $1$. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

1. (i)

для любой функции $g\overset{\eqref{II1}}{\in}I^{1}_{*}({\sf W})$ при любом $\varepsilon\in\mathbb{R}_{*}^{+}$ найдется функция $f_{\varepsilon}\overset{\eqref{II1}}{\in}I^{1}_{*}({\sf Z})$, для которой

[TABLE]

т. е. подмножество $E_{\varepsilon}\subset\mathbb{R}$ конечной лебеговой меры на $\mathbb{R}$; 2. (ii)

для любого $\varepsilon\in\mathbb{R}_{*}^{+}$ найдется постоянная $C\in\mathbb{R}^{+}$, для которой

[TABLE] 3. (iii)

Существует функция $g\in I^{1}_{*}({\sf W})$ c $\operatorname{Zero}_{g}\cap\,\mathbb{C}_{\operatorname{\text{\rm\tiny right}}}={\sf W}$, для которой при любом $\varepsilon\in\mathbb{R}_{*}^{+}$ найдется $f_{\varepsilon}\in I^{1}_{*}({\sf Z})$ с ограничением (2.24).

Замечание 2.1**.**

Теоремы Kh1, Kh1 и следствия Kh1–Kh3 доказываются в первоисточниках [7]–[11] ad ovo без использования теоремы Мальявена – Рубела MR1 и следствий MR1–MR3, хотя, безусловно, ряд идей доказательств почерпнуты из основополагающей работы П. Мальявена и Л. А. Рубела [5]. К таковым относится и идея применения выметания на мнимую ось, но уже не только меры или заряда с носителем на положительной полуоси $\mathbb{R}^{+}$, но и мер и зарядов, <<размазанных>> по всей плоскости $\mathbb{C}$.

3. Субгармонические результаты

Сформулированные в § 3 результаты не только распространяют результаты из § 2 на меры и субгармонические функции в $\mathbb{C}$, но и в значительной мере развивают и усиливают их и в традиционном варианте применительно к последовательностям точек/нулей в $\mathbb{C}$ и целым функциям.

3.1. Виды и плотности зарядов и мер

Распространим логарифмические функции интервалов для ${\sf Z}\subset\mathbb{C}$ из (2.22) на заряды $\mu\in\operatorname{Meas}(\mathbb{C})$:

[TABLE]

Введем также некоторые считающие радиальные функции с весом. В [34, теорема A] они рассматривались в значительно более общей форме для последовательностей точек и множеств в $\mathbb{C}^{n}$. Для комплексных чисел $z\in\mathbb{C}$ главные значения аргументов $\arg z$ нам удобнее выбирать здесь из интервала $[-\pi/2,3\pi/2)$.

Определение 3.1**.**

Пусть $\mu\in\operatorname{Meas}(\mathbb{C})$. Введем в рассмотрение считающую функцию заряда $\mu$ с весом $k\colon[-\pi/2,3\pi/2)\to\mathbb{R}$:

[TABLE]

где $k$ — расширенная числовая борелевская функция на $[-\pi/2,3\pi/2)$.

В частных случаях

[TABLE]

из определений (3.26) в обозначениях (3.27)–(3.28) при любых значениях $0<r<R<+\infty$ интегрированием по частям получаем

[TABLE]

Согласно соотношениям (3.26m), (3.29) очевидно следующее

Предложение 3.1**.**

Для $\mu\in\operatorname{Meas}(\mathbb{C})$ конечного типа ${\operatorname{type}_{1}}[\mu]\overset{\eqref{nuR}}{<}+\infty$ для логарифмической функции интервалов

[TABLE]

при любом $r_{0}\in\mathbb{R}_{*}^{+}$ имеет место соотношение

[TABLE]

Замечание 3.1**.**

Для произвольной последовательности ${\sf Z}\subset\mathbb{C}$ со считающей мерой $n_{\sf Z}$ из (1.14) полагаем

[TABLE]

По предложению 3.1 ниже всюду в разделе 3 различные логарифмические функции интервалов $l_{\mu}$, $l_{\sf Z}$ из (2.22), (3.26)можно заменить соотв. на логарифмические функции интервалов $\overline{l}_{\mu}$ из (3.29), (3.30) и $\overline{l}_{\sf Z}$.

Заряд $\mu\subset\operatorname{Meas}(\mathbb{C})$ отделен от мнимой оси $i\mathbb{R}$, если

[TABLE]

Ограничение (2.23) геометрически означает, что найдется пара непустых открытых вертикальных углов, содержащих $i\mathbb{R}_{*}$, и число $R\in\mathbb{R}^{+}_{*}$, для которых множество $\operatorname{supp}\mu\setminus D(R)$ не пересекается с этой парой углов.

Заряд $\mu\in\operatorname{Meas}(\mathbb{C})$ удовлетворяет условию Бляшке как в правой $\mathbb{C}_{\operatorname{\text{\rm\tiny right}}}$, так и в левой ${{}_{\operatorname{\text{\rm\tiny left}}}}\mathbb{C}$ полуплоскостях, если [3, 4.1]

[TABLE]

При условии (3.33) заряд $\mu$ называем иначе зарядом, удовлетворяющий *условию Бляшке в $\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}$. * В терминах логарифмических функций интервалов (3.26), (3.30) для заряда $\mu$ конечного типа по предложению 3.1 условие Бляшке (3.33) эквивалентно соотношениям

[TABLE]

Пусть $I:=[iy_{1},iy_{2}]$ — замкнутый интервал на $i\mathbb{R}$, $-\infty<y_{1}<y_{2}<+\infty$. Двустороннюю гармоническую меру для $\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}$ в точке $z\in\mathbb{C}$ обозначаем как функцию интервалов

[TABLE]

равную делённому на $\pi$ углу, под которым виден интервал $I$ из точки $z\in\mathbb{C}$ [10, (3.1)], [3, 1.2.1, 3.1]. Если мера $\mu\in\operatorname{Meas}^{+}(\mathbb{C})$ конечного типа удовлетворяет условию Бляшке в $\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}$, то определено классическое выметание $\mu^{\rm{bal}}$ (рода [math] [4, определение 3.1]) этой меры на мнимую ось [3, следствие 4.1, теорема 4], задаваемое через функцию распределения $(\mu^{\rm{bal}})^{i\mathbb{R}}$ из (1.12) меры $\mu^{\rm{bal}}$ с носителем $\operatorname{supp}\mu\subset i\mathbb{R}$ как

[TABLE]

Заряд $\mu\in\operatorname{Meas}(\mathbb{C})$ конечной внешней плотности Кахана, если $\mu$ конечной верхней плотности, удовлетворяет условию Бляшке (3.33) в $\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}$ и существует липшицева функция

[TABLE]

для которой конечен логарифмический интеграл [19], [20], [23]

[TABLE]

Наряду с интегралом (3.38) используем и интегралы из [4, 4.6, (4.16)]:

[TABLE]

при $0<r<R\leqslant+\infty$. Заряд $\nu\in\operatorname{Meas}(\mathbb{C})$ удовлетворяет888Это условие, вообще говоря, действительно слабее, чем выполнение условия Бляшке из (3.33) одновременно в правой и левой полуплоскостях $\mathbb{C}_{\operatorname{\text{\rm\tiny right}}}$ и ${{}_{\operatorname{\text{\rm\tiny left}}}}\mathbb{C}$. слабому двустороннему условию Бляшке относительно мнимой оси $i\mathbb{R}$ рода $1$ [10, определение 2.2.1], [11, определение 2.2.1], [4, (3.23)], если при некотором $r_{0}>0$

[TABLE]

Заряд $\nu\in\operatorname{Meas}(\mathbb{C})$ удовлетворяет условию Линделёфа рода $1$ [10, § 2], [11, определение 2.3.1], [3, определение 4.7], если для некоторого $r_{0}\in\mathbb{R}^{+}_{*}$

[TABLE]

Замечание 3.2**.**

Очевидно, для меры $\nu\in\operatorname{Meas}^{+}(\mathbb{C})$, удовлетворяющей условию Линделёфа (3.41) рода $1$, при всех $0<r_{0}\leqslant r<R<+\infty$ имеем

[TABLE]

Если $\upsilon\in\operatorname{Meas}^{+}(\mathbb{C})$ — мера Рисса субгармонической функции конечного типа, то мера $\upsilon$ конечного типа и удовлетворяет условию Линделёфа рода $1$. Следовательно, для такой меры имеет место (3.42), где по предложению 3.1 функцию интервалов $l_{\nu}$ можно заменить на $\overline{l}_{\nu}$ из (3.29)–(3.30).

Обратно, если $u\in\operatorname{sbh}_{*}(\mathbb{C})$ — функция порядка [3, 2.1, (2.1a)]

[TABLE]

с мерой Рисса $\upsilon_{u}\in\operatorname{Meas}^{+}(\mathbb{C})$ конечного типа, удовлетворяющей* условию Линделёфа* (3.41) рода $1$, то* функция $u$ конечного типа,* что следует, например, из представления Вейерштрасса – Адамара для субгармонических функций конечного порядка [27, гл. 4, 4.2].

3.2. Основные теоремы и следствия

Теорема 1** (ср. с теоремой Kh1).**

Пусть заданы меры $\nu,\mu\in\operatorname{Meas}^{+}(\mathbb{C})$,

• [meas]

представленные в виде сумм мер

[TABLE]

где меры $\nu_{\infty},\mu_{\infty}$ отделены от мнимой оси $i\mathbb{R}$ в смысле (3.32).

Кроме того, пусть

[TABLE]

мера $\mu_{0}$ удовлетворяет условию Бляшке (3.33) в $\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}$, а мера $\nu_{0}$ конечной внешней плотности Кахана в смысле (3.36)–(3.38).

Тогда следующие три утверждения эквивалентны.

1. a1.

Для любой функции $M\in\operatorname{sbh}_{*}(\mathbb{C})$ конечного типа $\operatorname{type}_{1}[M]\overset{\eqref{typev}}{<}+\infty$ с мерой Рисса $\mu_{M}\geqslant\mu$, для любой функции $u\in\operatorname{sbh}_{*}(\mathbb{C})$ с мерой Рисса $\upsilon_{u}=\nu$, для любого числа $p\in\mathbb{R}^{+}$ найдётся такая целая функция $f\in\operatorname{Hol}_{*}(\mathbb{C})$, что

[TABLE] 2. a2.

Существует* постоянная $C\in\mathbb{R}^{+}$, для которой*

[TABLE]

где $l_{\nu}$ и/или $l_{\mu}$ можно заменить соотв. на $\overline{l}_{\nu}$ и/или $\overline{l}_{\mu}$ из (3.29)–(3.30). 3. a3.

Существуют**

1. i)

функция $M\in\operatorname{sbh}_{*}(\mathbb{C})$ конечного типа с сужением меры Рисса

[TABLE] 2. ii)

функция $U\in\operatorname{sbh}_{*}(\mathbb{C})$ конечного типа с мерой Рисса $\upsilon_{U}\geqslant\nu$, 3. iii)

число $y_{0}\in\mathbb{R}^{+}$ и функция $q\colon i\mathbb{R}_{*}\to\mathbb{R}_{*}^{+}$, $q(i\cdot)\colon\mathbb{R}_{*}\to\mathbb{R}_{*}^{+}$ возрастает на $\mathbb{R}_{*}^{+}$ и убывает на $-\mathbb{R}_{*}^{+}$ с ограничением

[TABLE]

для которых имеют место неравенства

[TABLE]

Теорема 2** (ср. со следствием Kh2).**

Пусть в соглашениях [meas] из теоремы 1 выполнено (3.45), а также ${\operatorname{type}_{1}}[\nu_{0}+\mu_{0}]\overset{\eqref{fden}}{=}0$.

Тогда следующие три утверждения эквивалентны.

1. b1.

Для любой функции M\in\operatorname{\text{\delta{\rm-sbh}}}_{*}(\mathbb{C}) конечного типа с мерой Рисса $\mu_{M}\geqslant\mu$, для любой функции $u\in\operatorname{sbh}_{*}(\mathbb{C})$ с мерой Рисса $\upsilon_{u}=\nu$, для любого числа $p\in\mathbb{R}^{+}$ найдётся такая целая функция $f\in\operatorname{Hol}_{*}(\mathbb{C})$, что имеет место (3.46t) и

[TABLE] 2. b2.

Существуют* функция*

[TABLE]

и постоянная $C\in\mathbb{R}^{+}$, для которых

[TABLE]

где $l_{\nu}$ и/или $l_{\mu}$ можно заменить соотв. на $\overline{l}_{\nu}$ и/или $\overline{l}_{\mu}$ из (3.29)–(3.30). 3. b3.

Существуют* функции $M$, $U$ из пп. a3i)–3ii) теоремы 1 и функция*

[TABLE]

для которых имеет место соотношение

[TABLE]

В следующей теореме 3 мы отказываемся от представления мер $\nu,\mu$ из (3.44) и соотв. от условий отделённости мер от мнимой оси из [meas].

Теорема 3** (ср. с теоремой Kh2).**

Пусть для мер $\nu,\mu\in\operatorname{Meas}^{+}(\mathbb{C})$ имеет место (3.45). Тогда следующие три утверждения эквивалентны.

1. c1.

Для любой функции M\in\operatorname{\text{\delta{\rm-sbh}}}_{*}(\mathbb{C}) конечного типа с мерой Рисса $\mu_{M}\geqslant\mu$, для любой функции $u\in\operatorname{sbh}_{*}(\mathbb{C})$ с мерой Рисса $\upsilon_{u}=\nu$, для любых чисел $\varepsilon\in\mathbb{R}^{+}_{*}$ и $p\in\mathbb{R}^{+}$ найдётся такая целая функция $f\in\operatorname{Hol}_{*}(\mathbb{C})$, что имеет место (3.46t) и

[TABLE] 2. c2.

Для любого числа $\varepsilon\in\mathbb{R}_{*}^{+}$ найдется постоянная $C_{\varepsilon}\in\mathbb{R}^{+}$, для которой

[TABLE]

где $l_{\nu}$ и/или $l_{\mu}$ можно заменить соотв. на $\overline{l}_{\nu}$ и/или $\overline{l}_{\mu}$ из (3.29)–(3.30). 3. c3.

Существует* такая функция $M$ из п. a3i) теоремы 1, что при любом $\varepsilon\in\mathbb{R}^{+}_{*}$ найдётся функция $U$ из п. a3ii) теоремы 1, для которой*

[TABLE]

4. Доказательства импликаций

x1${\Rightarrow}$x3${\Rightarrow}$x2, при $\bf x:=a,b,c$

для основных теорем 1–3

Знак вопроса ? над импликацией или эквивалентностью в виде $\overset{\mathbf{?}}{\Rightarrow}$ или $\overset{\mathbf{?}}{\Leftrightarrow}$ будет означать, что доказывается эта импликация или эквивалентность.

4.1. x1$\overset{\mathbf{?}}{\Rightarrow}$x3

Для меры $\mu\in\operatorname{Meas}^{+}(\mathbb{C})$ с $\operatorname{type}_{1}[\mu]<+\infty$ при условии (3.45) даже без* представления* $\mu\overset{\eqref{numu}}{=}\mu_{0}+\mu_{\infty}$ из [meas] сразу следует существование функции $M\in\operatorname{sbh}_{*}(\mathbb{C})$ с $\operatorname{type}_{1}[M]<+\infty$ с сужением меры Рисса \mu_{M}\bigm{|}_{\mathbb{C}_{\operatorname{\text{\rm\tiny right}}}}=\mu, как это требуется в (3.48). Для этого достаточно сначала выбрать меру $\mu_{M}:=\mu+\mu_{-}$, где $\mu_{(}S):=\mu(-S)$ для всех борелевских $S\subset\mathbb{C}$, которая, очевидно, удовлетворяет условию Линделёфа (3.41) рода $1$. После этого можно построить требуемую функцию $M$ конечного типа с помощью классического интегрального представления Вейерштрасса – Адамара [27, 4.1–4.2] через заряд $\mu_{M}$ и субгармоническое ядро Вейерштрасса – Адамара рода $1$ [3, 6.1]. В качестве функции $q$ соотв. в a33iii) с (3.49), в b3 с (3.54) выберем $q\equiv 1$ на $\mathbb{R}^{+}$, а в c3 положим $q(iy)\equiv\varepsilon|y|$. В качестве функции $U$ в a3, b3, c3 выберем функцию $u+\log|f|=:U$ соотв. из a1(3.46), b1(3.51), c1(3.56). При таком выборе соотношения a1(3.46), b1(3.51), c1(3.56) влекут за собой соотв. соотношения a3(3.50), b3(3.55), c3(3.58), поскольку для любой функции $M\in\operatorname{sbh}(\mathbb{C})$ имеем $B_{M}\overset{\eqref{df:MCB}}{\leqslant}C_{M}$ [26, теорема 2.6.8].

Замечание 4.1**.**

При доказательстве импликаций x1${\Rightarrow}$x3 использованы лишь ограничения (3.45) на меры $\nu,\mu\in\operatorname{Meas}^{+}(\mathbb{C})$, а именно:

меры $\nu,\mu$ конечного типа при порядке $1$, что необходимо для существования $u,M\in\operatorname{sbh}_{*}(\mathbb{C})$ с мерами Рисса соотв. $\upsilon_{u}\geqslant\nu$, $\mu_{M}\geqslant\mu$; 2. 2)

$\operatorname{supp}\mu\overset{\eqref{suppm}}{\subset}\mathbb{C}_{\overline{\operatorname{\text{\rm\tiny right}}}}$, что фактически тоже необходимо для существования функции $M$ из из п. a3i) теоремы 1.

Представления же [meas](3.44) для мер $\nu,\mu\in\operatorname{Meas}^{+}(\mathbb{C})$ не применялись.

4.2. x3$\overset{\mathbf{?}}{\Rightarrow}$x2

Пусть выполнено a3, b3 или c3 с функциями $q$ соотв. из a3iii) с ограничением (3.49), из (3.54) или вида $q(iy)=q_{\varepsilon}(iy)=\varepsilon|y|$, $y\in\mathbb{R}$, с $\varepsilon\in\mathbb{R}_{*}^{+}$. Не умаляя общности, в каждом из трёх случаев можно считать функцию $q(i\cdot)\colon\mathbb{R}_{*}\to\mathbb{R}^{+}$ гладкой, возрастающей на $\mathbb{R}^{+}$ и убывающей на $-\mathbb{R}^{+}$ с ограничением $q(iy)\leqslant a|y|=q_{a}(iy)$, $y\in\mathbb{R}_{*}$ при некотором $a\in\mathbb{R}_{*}^{+}$. Тогда открытое множество

[TABLE]

— объединение областей $O_{q}^{\operatorname{\text{\rm\tiny up}}}:=O_{q}\cap\mathbb{C}^{\operatorname{\text{\rm\tiny up}}}$ и $(O_{q})_{\operatorname{\text{\rm\tiny low}}}:=O_{q}\cap\mathbb{C}_{\operatorname{\text{\rm\tiny low}}}$ с границей $\partial D_{q}$, позволяющей определить субгармоническую в $\mathbb{C}$ функцию [27, 3.8], [26, теорема 2.4.5]

[TABLE]

не превышающую на $\mathbb{C}$ функцию $M_{q_{a}}$ — классическое выметание рода [math] функции $M$ из двух открытых вертикальных углов раствора $<\pi$ с вершиной в нуле [3, 6.2, теорема 7]. При этом функция $M_{q_{a}}$ конечного типа [3, теорема 8], [33, основная теорема]. Следовательно, и функция $M_{q}\leqslant M_{q_{a}}$ конечного типа. По построению (4.59)–(4.60) имеем

[TABLE]

а мера Рисса $\mu_{M_{q}}$ функции $M_{q}$ даёт сужения

[TABLE]

Из условий-неравенств (3.50), (3.55), (3.58) и из (4.61) в обозначении (3.39)

[TABLE]

при всех $1\leqslant r<R<+\infty$.

Лемма 4.1** ([4, предложение 4.1, (4.19)]).**

Пусть функция $u\in\operatorname{sbh}_{*}(\mathbb{C})$ конечного типа с мерой Рисса $\upsilon$. Тогда при $1\leqslant r<R<+\infty$ имеем

[TABLE]

Применение леммы 4.1 к каждой из функций $U$ и $M_{q}$ ввиду (4.63) даёт

[TABLE]

Мера $\mu_{M}$ удовлетворяет условию Линделёфа рода $1$, поэтому по замечанию 3.2 из (3.42), (4.65) и (3.48) следует

[TABLE]

где о мере $\mu_{M}^{q}\in\operatorname{Meas}^{+}(\mathbb{C})$ важно помнить то, что

[TABLE]

4.2.1. Завершение a3$\overset{\mathbf{?}}{\Rightarrow}$a2

Будет использована

Лемма 4.2**.**

Пусть $q\colon i\mathbb{R}_{*}\to\mathbb{R}^{+}$ из a3iii) с ограничением (3.49),

[TABLE]

Тогда мера $\eta$ удовлетворяет условию Бляшке (3.33)–(3.34) в $\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}$.

Доказательство леммы 4.2.

По определению (3.26+)

[TABLE]

где согласно a3iii) и (3.49) функция $Q$ возрастающая на $\mathbb{R}_{*}^{+}$, $J(Q)<+\infty$ и $Q(y)=o(y)$, $y\to+\infty$. Для правой части (4.69) имеем

[TABLE]

Из (4.69)–(4.70) имеем $l_{\eta}^{\operatorname{\text{\rm\tiny left}}}(1,+\infty)<+\infty$. Аналогично для $l_{\eta}^{\operatorname{\text{\rm\tiny left}}}(1,+\infty)$. ∎

Применение леммы 4.2 к мере $\eta=\mu_{M}^{q}$ из (4.67) даёт $l_{\mu_{M}^{q}}(r,R)=O(1)$ для всех $1\leqslant r<R<+\infty$, откуда согласно (4.66) получаем

[TABLE]

что и доказывает импликацию a3$\Rightarrow$a2.

4.2.2. Завершение b3$\overset{\mathbf{?}}{\Rightarrow}$b2

Будет использована

Лемма 4.3**.**

Пусть функция $q$ вида (3.54), a $\eta$ — мера из (4.68). Тогда найдутся функция $m$ вида (3.52) и число $C\in\mathbb{R}$, с которыми

[TABLE]

Доказательство леммы 4.3.

Изменим функцию $q$, положив

[TABLE]

где по построению (4.73) функция

[TABLE]

При этом условия вида (3.54) и (4.68) для новой функции $q$ из (4.73) сохраняются и для всех $1\leqslant r<R<+\infty$ имеем

[TABLE]

Для меры $\eta$ из (4.68) подобно (4.69) достаточно получить (4.72) для правой логарифмической функции интервалов $l_{\eta}^{\operatorname{\text{\rm\tiny right}}}(r,R)$.

В обозначении $\overline{O}_{q}\overset{\eqref{Oq},\eqref{qy}}{:=}\operatorname{clos}O_{q}$ имеем

[TABLE]

где постоянная ${\rm const}$ не зависит от $R,r\geqslant 1$. По построению множества $O_{q}$ в (4.59) при выборе функций $k$ и $q$ как в (4.73)–(4.74) легко видеть, что

[TABLE]

Таким образом, из (4.75), (4.76) и (4.77) получаем (4.72). ∎

Применение леммы 4.3 к мере $\eta=\mu_{M}^{q}$ из (4.67) даёт согласно (4.66) требуемое соотношение (3.53) с функцией $m$ вида (3.52).

4.2.3. Завершение c3$\overset{\mathbf{?}}{\Rightarrow}$c2

Пусть $\varepsilon\in\mathbb{R}_{*}^{+}$, $q(iy)=\varepsilon|y|$, $y\in\mathbb{R}$. Используем обозначения (4.62), оценку (4.66) и существование конечного числа

[TABLE]

не зависящего от $\varepsilon$. Имеют место оценки

[TABLE]

Отсюда в силу произвола в выборе $\varepsilon\in\mathbb{R}_{*}^{+}$ из (4.66) получаем требуемое (3.57) для любого $\varepsilon\in\mathbb{R}_{*}^{+}$. Импликация c3$\Rightarrow$c2 доказана.

Замечание 4.2**.**

При доказательстве импликаций x3${\Rightarrow}$x2 использованы лишь ограничения (3.45) на меры $\nu,\mu\in\operatorname{Meas}^{+}(\mathbb{C})$, а именно:

меры $\nu,\mu$ конечного типа при порядке $1$, что необходимо для существования $U,M\in\operatorname{sbh}_{*}(\mathbb{C})$ с мерами Рисса соотв. $\upsilon_{U}\geqslant\nu$, $\mu_{M}\geqslant\mu$; 2. 2)

$\operatorname{supp}\mu\overset{\eqref{suppm}}{\subset}\mathbb{C}_{\overline{\operatorname{\text{\rm\tiny right}}}}$, что фактически тоже необходимо для возможности перехода от функции интервалов $l_{\mu_{M}}$ к $l_{\mu}$ при выводе x2.

Представления же [meas](3.44) для мер $\nu,\mu\in\operatorname{Meas}^{+}(\mathbb{C})$ не применялись.

5. Двустороннее выметание на мнимую ось $i\mathbb{R}$

Сформулированные в этом подразделе факты — сводка основных результатов второй части [4] нашей работы применительно к выметанию рода $1$ на систему из двух лучей $\{i\mathbb{R}^{+},-i\mathbb{R}^{+}\}$. Такое выметание представляет собой один из ключевых этапов доказательства теоремы 1 — основы доказательства теорем 2–3. При этом система двух лучей $\{i\mathbb{R}^{+},-i\mathbb{R}^{+}\}$ как точечное множество отождествляется с мнимой осью $i\mathbb{R}$. В частности, когда речь идет о выметании на пару лучей $\{i\mathbb{R}^{+},-i\mathbb{R}^{+}\}$, то говорим о выметании на мнимую ось $i\mathbb{R}$. Процедура выметания рода $1$ на мнимую ось $i\mathbb{R}$ заключается в сочетании двух выметаний рода $1$: отдельно из правой полуплоскости $\mathbb{C}_{\operatorname{\text{\rm\tiny right}}}$ и из левой полуплоскости ${}_{\operatorname{\text{\rm\tiny left}}}\mathbb{C}$. Таким образом, значительная часть результатов настоящего параграфа о двустороннем выметании следует из результатов о выметании рода $q=1$ из верхней полуплоскости $\mathbb{C}^{\operatorname{\text{\rm\tiny up}}}$ на $\mathbb{R}$, изложенных в [4, 3.2, 4.1], а также в [10, § 3], [11, гл. II].

5.1. Двустороннее выметание на $i\mathbb{R}$ заряда

Двусторонний гармонический заряд рода $1$ для $\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}$ в точке $z\in\mathbb{C}$ определяем на интервалах $[iy_{1},iy_{2}]$, $-\infty<y_{1}<y_{2}<+\infty$, как функцию интервалов [10, определение 3.1], [11, определение 2.1.1], [4, определение 2.1]

[TABLE]

Пусть $\nu\in\operatorname{Meas}(\mathbb{C})$ — заряд конечного типа при порядке $p$ с целой частью $[p]\leqslant 1$. Определим, следуя [10, определение 3.2], [11, определение 2.1.2], [4, определение 3.1, теорема 1, замечание 3.3], двустороннее выметание $\nu^{\rm{Bal}}\in\operatorname{Meas}(i\mathbb{R})$ заряда $\nu$ из $\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}$ на $i\mathbb{R}$, которое через функцию распределения (1.12) локально ограниченной вариации на $i\mathbb{R}$ можно задать как

[TABLE]

Теорема B 1**.**

Пусть $\nu\in\operatorname{Meas}(\mathbb{C})$ и ${\operatorname{type}_{1}}[\nu]\overset{\eqref{fden}}{<}+\infty$. Тогда существует двустороннее выметание $\nu^{\rm{Bal}}\overset{\eqref{df:baliR}}{\in}\operatorname{Meas}(i\mathbb{R})$, удовлетворяющее условиям [11, лемма 2.1.2, (1.16)], [4, теорема 3, п. 2]

[TABLE]

Если заряд $\nu$ удовлетворяет двустороннему условию Бляшке (3.40), то ${\operatorname{type}_{1}}[\nu^{\rm{Bal}}]\overset{\eqref{fden}}{<}+\infty$ [10, теорема 3.1], [11, теорема 2.2.1], [4, теорема 3, п. 4], а также

1. (i)

при дополнительном условии Линделёфа рода $1$ из (3.41) как выметание $\nu^{\rm{Bal}}\in\operatorname{Meas}(i\mathbb{R})$, так и разность зарядов $\nu-\nu^{\rm{Bal}}\in\operatorname{Meas}(\mathbb{C})$ удовлетворяют условию Линделёфа **[10, теорема 3.2]**, **[11, теорема 2.3.1]**; 2. (ii)

если заряд $\nu$ еще и отделён от мнимой оси $i\mathbb{R}$ в смысле (3.32), то найдутся числа $C\in\mathbb{R}^{+}$ и $y_{0}\in\mathbb{R}_{*}^{+}$, с которыми

[TABLE]

(в неявной форме см. [10, теорема 3.3], в явном виде — [11, теорема 2.2.2]) и [4, следствие 3.1, п. (ii), (3.24)]).**

5.2. Двустороннее выметание рода $1$ $\delta$-субгармонической функции на мнимую ось $i\mathbb{R}$

Пусть v\in\operatorname{\text{\delta{\rm-sbh}}}_{*}(\mathbb{C}). Функцию v^{{\rm{Bal}}}\in\operatorname{\text{\delta{\rm-sbh}}}_{*}(\mathbb{C}) называем выметанием функции $v$ из $\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}$ на $i\mathbb{R}$, если $v^{{\rm{Bal}}}=v$ на $i\mathbb{R}$ вне полярного множества и сужение v^{{\rm{Bal}}}\bigm{|}_{\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}} — гармоническая функция на $\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}$ [4, определение 4.1].

Теорема B 2** ([11, теорема 2.1.1]).**

Пусть v\in\operatorname{\text{\delta{\rm-sbh}}}_{*}(\mathbb{C}) c зарядом Рисса $\nu$ конечного типа при порядке $1$ и функция $v$ представима в виде разности

[TABLE]

Тогда существует выметание v^{\rm{Bal}}\in\operatorname{\text{\delta{\rm-sbh}}}_{*}(\mathbb{C}) из $\mathbb{C}\setminus i\mathbb{R}$ на $i\mathbb{R}$ c зарядом Рисса $\nu^{\rm{Bal}}$, представимое в виде разности

[TABLE]

В дополнение допустим, что в представлении (5.5) функции $v_{\pm}$ конечного типа при порядке $1$, т. е. ${\operatorname{type}_{1}}[v_{\pm}]\overset{\eqref{typev}}{<}+\infty$, а также заряд Рисса $\nu$ удовлетворяет слабому двустороннему условию Бляшке (3.40) и условию Линделёфа рода $1$ из (3.41). Тогда две функции $u_{\pm}$ в (5.6) можно выбрать так, что $\operatorname{type}_{1}[u_{\pm}]<+\infty$, т. е. функция v^{\rm{Bal}}\in\operatorname{\text{\delta{\rm-sbh}}}_{*}(\mathbb{C}) конечного типа, а также, если заряд $\nu$ еще и отделён от мнимой оси $i\mathbb{R}$, для некоторых $C\in\mathbb{R}^{+}$ и $y_{0}\in\mathbb{R}_{*}^{+}$ имеем неравенства

[TABLE]

Замечание 5.1** (Заключительное к настоящей третьей части).**

Оставшиеся недоказанными три импликации Полные доказательства импликаций x3${\Rightarrow}$x1 при $\bf x:=a,b,c$ для основных теорем 1–3 на основе результатов из § 5 и их развития будут даны в четвёртой части нашего исследования, оформление которой близко́ к завершению.

Список литературы

• [1]
• [2]
• [3]

, ‘‘’’, , (), , , :, ( ), , ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [4]

, ‘‘’’, , (), , , :, ( ), , ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [5]

, “”, , (), , , :, ( ), , ()  (),  pp., , arXiv: , (with ) .

• [6]

, , . V. : , (), , , , no. , , , ed. , , , ; , ; , , , ISBN: ()  (),  pp., , arXiv: , (with ) .

• [7]

, ‘‘’’, , (), , , :, ( ), , ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [8]

, ‘‘’’, , (), , , :, ( ), , ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [9]

, ‘‘’’, , (), , , :, ( ), , ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [10]

, ‘‘’’, , (), , , :, ( ), , ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [11]

, , . Т. : , (), , , , № , , , ред. , , , ; , ; , , , ISBN: ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [12]

, , . Т. : , (), , , , № , , , ред. , , , ; , ; , , , ISBN: ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [13]

, ‘‘’’, , (), , , :, ( ), , ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [14]

, ‘‘’’, : , , . Т. : , (), , , , № , , , ред. , , , ; , ; , , , , ISBN: ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [15]

, “”, , (), , , :, ( ), , ()  (),  pp., , arXiv: , (with ) .

• [16]

, “”, , (), , , :, ( ), , ()  (),  pp., , arXiv: , (with ) .

• [17]

, “”, , (), , , :, ( ), , ()  (),  pp., , arXiv: , (with ) .

• [18] P. Malliavin , “”, , (), , , :, ( ), , ()  (),  pp., , arXiv: , (with ) .
• [19]

, , . V. : , (), , , , no. , , , ed. , , , ; , ; , , , ISBN: ()  (),  pp., , arXiv: , (with ) .

• [20]

, , . V. : , (), , , , no. , , , ed. , , , ; , ; , , , ISBN: ()  (),  pp., , arXiv: , (with ) .

• [21]

, ‘‘’’, , (), , , :, ( ), , ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [22]

, , . V. : , (), , , , no. , , , ed. , , , ; , ; , , , ISBN: ()  (),  pp., , arXiv: , (with ) .

• [23]

, , . V. : , (), , , , no. , , , ed. , , , ; , ; , , , ISBN: ()  (),  pp., , arXiv: , (with ) .

• [24]

, ‘‘’’, , (), , , :, ( ), , ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [25]

, ‘‘’’, , (), , , :, ( ), , ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [26]

, , . V. : , (), , , , no. , , , ed. , , , ; , ; , , , ISBN: ()  (),  pp., , arXiv: , (with ) .

• [27]

, , . Т. : , (), , , , № , , , ред. , , , ; , ; , , , ISBN: ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [28]

, “”, , (), , , :, ( ), , ()  (),  pp., , arXiv: , (with ) .

• [29]

, ‘‘’’, : , , . Т. : , (), , , , № , , , ред. , , , ; , ; , , , , ISBN: ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [30]

, ‘‘’’, , (), , , :, ( ), , ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [31]

, , . Т. : , (), , , , № , , , ред. , , , ; , ; , , , ISBN: ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [32]

, , . V. : , (), , , , no. , , , ed. , , , ; , ; , , , ISBN: ()  (),  pp., , arXiv: , (with ) .

• [33]

, ‘‘’’, , (), , , :, ( ), , ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .

• [34]

, ‘‘’’, , (), , , :, ( ), , ()  (),  с., , arXiv: , (совм. с ) .