On properties of Bernstein functions of several complex variables

TL;DR

This paper extends Bernstein functions to multiple complex variables, providing new proofs and examples to deepen understanding of their properties in higher dimensions.

Contribution

It introduces a multidimensional Bernstein class, offers a new proof of their integral representation, and explores their properties through examples.

Findings

Established a multidimensional Bernstein class

Provided a new proof of integral representation

Presented illustrative examples

Abstract

A multidimensional generalization of the Bernstein class of functions and the properties of functions of the introduced class are examined. In particular, a new proof of the integral representation of Bernstein functions of many variables is given. Examples are considered.

Equations

$$\psi (s)=c_0+c_1\cdot s+\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }\left(e^{s\cdot u}-1\right)d\mu (u),$$

$$c_0=\psi (-0):=\underset{s\to -0}{\lim }\psi (s),c_1=\nabla \psi (-\infty )\in {\mathbb{R}}_{+}^n,$$

$$\frac{\partial \psi (s)}{\partial s_i}=\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n}{\int }{e}^{s\cdot u}d{\sigma }_i(u).$$

$$\underset{U_i}{\int }\phi d{\mu }_i=\underset{U_i}{\int }\phi (u)\frac{1}{u_i}d{\sigma }_i(u),$$

$$\frac{1}{u_i}d{\sigma }_i(u)=\frac{1}{u_j}d{\sigma }_j(u)\text{mbox}\text{T}2A\text{cyrv}{U}_i\cap U_j.$$

$$\underset{E_i}{\int }{e}^{s\cdot u}d\mu =\underset{E_i}{\int }{e}^{s\cdot u}\frac{1}{u_i}d{\sigma }_i(u)\le \frac{1}{\delta }\underset{E_i}{\int }{e}^{s\cdot u}d{\sigma }_i(u)\le \frac{1}{\delta }\frac{\partial \psi (s)}{\partial s_i},$$

$$\frac{\partial \psi (s)}{\partial s_i}=\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n}{\int }{e}^{s\cdot u}d{\sigma }_i(u)=\frac{\partial }{\partial s_i}\left(\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }\left(e^{s\cdot u}-1\right))d\mu (u)+c_1^i{s}_i\right),$$

$$\frac{\partial {\psi }_{ϵ}(s)}{\partial s_i}=\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n}{\int }{e}^{(s-\overline{ϵ})\cdot u}d{\sigma }_i(u)=\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n}{\int }{e}^{s\cdot u}{e}^{-\overline{ϵ}\cdot u}d{\sigma }_i(u)$$

$$\psi (s-\overline{ϵ})=\psi (-\overline{ϵ})+c_1\cdot s+\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }\left(e^{s\cdot u}-1\right)e^{-\overline{ϵ}\cdot u}d\mu (u).$$

$$\psi (z)=c_0+c_1\cdot z+\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }(e^{z\cdot u}-1)d\mu (u)$$

$$\{\mathrm{Re}z<0\}:=\{z\in {\mathbb{C}}^n:\mathrm{Re}{z}_j<0,j=1,\dots ,n\}$$

$$\left\{\zeta \in \mathbb{C}:\frac{\pi }{2}+\frac{\theta }{2}<\arg \zeta <\frac{3\pi }{2}-\frac{\theta }{2}\right\},\theta \in [0;\pi ].$$

$$\mathrm{Re}\psi (z)=c_0+c_1\cdot s+\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }(e^{s\cdot u}\cos (y\cdot u)-1)d\mu (u).$$

$$\frac{|e^{u\cdot s}\sin (u\cdot y)|}{1-e^{u\cdot s}\cos (u\cdot y)}=\frac{|\sin (u\cdot y)|}{e^{-u\cdot s}-\cos (u\cdot y)}\le \frac{|u\cdot y|}{(1-u\cdot s)-1}\le \mathrm{ctg}\frac{\theta }{2}.$$

$$\mathrm{Im}\psi (z)=c_1\cdot y+\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }{e}^{s\cdot u}\sin (y\cdot u)d\mu (u),$$

$$\mathrm{Re}\psi (s+iy)-\psi (s)\ge 2(\mathrm{Re}\psi (r+iy)-c_0-c_1\cdot r),$$

$$\mathrm{Re}\psi (s+iy)=c_0+c_1\cdot s+\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }(e^{s\cdot u}\cos (y\cdot u)-1)d\mu (u)=$$

$$c_0+c_1\cdot s+\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }(e^{s\cdot u}-1)\cos (y\cdot u)d\mu (u)+\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }(\cos (y\cdot u)-1)d\mu (u)\le 0.$$

$$|\mathrm{Re}\psi (s+iy)|=|c_0|+|c_1\cdot s|+\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }(1-e^{s\cdot u})|\cos (y\cdot u)|d\mu (u)+$$

$$\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }(1-\cos (y\cdot u))d\mu (u)\le$$

$$-c_0-c_1\cdot s+\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }(1-e^{s\cdot u})d\mu (u)+\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }(1-\cos (y\cdot u))d\mu (u)=$$

$$-\psi (s)+\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }(1-\cos (y\cdot u))d\mu (u).$$

$$|\mathrm{Re}\psi (r+iy)|=-c_0-c_1\cdot r+\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }(1-e^{r\cdot u}\cos (y\cdot u))d\mu (u).$$

$$\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }(1-\cos (y\cdot u))d\mu (u)\le 2\underset{{\mathbb{R}}_{+}^n\setminus \{0\}}{\int }(1-e^{r\cdot u}\cos (y\cdot u))d\mu (u)=$$

$$2(|\mathrm{Re}\psi (r+iy)|+c_0+c_1\cdot r).$$

$$|\mathrm{Re}\psi (s+iy)|\le -\psi (s)+2(|\mathrm{Re}\psi (r+iy)|+c_0+c_1\cdot r),$$

$$-\mathrm{Re}\psi (s+iy)\le -\psi (s)+2(-\mathrm{Re}\psi (r+iy)+c_0+c_1\cdot r),$$

$$|\mathrm{Re}{\psi }_k(s+iy)|\le |{\psi }_k(s)|+2|\mathrm{Re}{\psi }_k(r+iy)|+\nabla {\psi }_k(-\infty )\cdot r+2{\psi }_k(0)\le$$

$$|{\psi }_k(s)|+2|\mathrm{Re}{\psi }_k(r+iy)|+2{\psi }_k(0).$$

$$\phi (s)=\underset{s}{\overset{0}{\int }}\psi (t)w(t)dt,s<0$$

Full text

Свойства функций Бернштейна нескольких комплексных переменных

А. Р. Миротин

amirotin@yandex.ru

Вводится многомерное обобщение класса функций Бернштейна и исследуются свойства функций введенного класса. В частности, дается новое доказательство интегрального представления функций Бернштейна многих переменных. Рассматриваются примеры.

Ключевые слова: функция Бернштейна, абсолютно монотонная функция, марковский процесс.

Abstract. A multidimensional generalization of the Bernstein class of functions and the properties of functions of the introduced class are examined. In particular, a new proof of the integral representation of Bernstein functions of many variables is given. Examples are considered.

Key words and phrases: Bernstein function, absolutely monotone function, Markov process.

Mathematical Notes, 2013, Vol. 93, No. 2, pp. 257–265. Original Russian Text © A. R. Mirotin, 2013, published in Matematicheskie Zametki, 2013, Vol. 93, No. 2, pp. 216–226.

0.1 Введение

Функции Бернштейна одного переменного возникают в математическом анализе, теории потенциала (см. [1], с. 141 – 142), теории вероятностей (см. [2], глава XIII, §7; [3]), а также теории операторов (см., например, [4]). Класс функций Бернштейна нескольких переменных был введен автором в [5] и использовался в работах [5] — [12] для построения функционального исчисления генераторов многопараметрических полугрупп операторов. Эти функции естественным образом возникают также в теории марковских процессов. В заметке устанавливается ряд свойств функций этого класса, включая их интегральное представление, даны новые способы построения функций Бернштейна одного и двух переменных, а также указана связь этого класса с теорией марковских процессов.

Следует отметить, что в литературе чаще всего встречается класс  $\mathcal{B}$ (положительных) функций Бернштейна одного переменного, теория которого тождественна теории введенного ниже класса $\mathcal{T}_{1}$ отрицательных функций Бернштейна, поскольку элементы последнего класса получаются из функций класса $\mathcal{B}$ отражением относительно начала координат.

Ниже все меры считаются мерами Радона, неравенства между векторами – покоординатные. Для векторов $a,b\in\mathbb{C}^{n}$ выражение $a\cdot b$ обозначает $\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$.

0.2 Основные свойства функций класса ${\cal T}_{n}$

Определение 1

[5]** Скажем, что неположительная функция из $C^{\infty}((-\infty;0)^{n})$ принадлежит классу ${\cal T}_{n}$, если все ее частные производные первого порядка абсолютно монотонны (функция из $C^{\infty}((-\infty;0)^{n})$ называется абсолютно монотонной, если она неотрицательна вместе со своими частными производными всех порядков).

Последнее условие на функцию $\psi\in{\cal T}_{n}$ равносильно тому, что $\partial^{\alpha}\psi\geq 0$ для любого мультииндекса $\alpha\neq 0$. Функции класса ${\cal T}_{n}$ будем называть также отрицательными функциями Бернштейна $n$ переменных.

Поскольку функция $\psi\in{\cal T}_{n}$ монотонно возрастает по каждому переменному в отдельности, неравенство $x\leq y$, где $x,y\in(-\infty;0)^{n}$, влечет $\psi(x)\leq\psi(y)$. Очевидно, что ${\cal T}_{n}$ есть конус относительно поточечного сложения функций и умножения на скаляр. Он также инвариантен относительно сдвигов на векторы из $(0;\infty)^{n}$. Более того, в силу отмеченной выше монотонности функция $\psi(s-c)-\psi(-c)$ принадлежит ${\cal T}_{n}$ вместе с $\psi\ (c\in(0;\infty)^{n})$.

Следующая теорема была анонсирована в [5] и доказана в [12] с использованием одного нетривиального результата из [1] (относительно одномерного случая см., например, [13], с. 256–258). Ниже мы даем прямое доказательство. Остальные утверждения данной работы являются следствиями этой теоремы (далее запись $s\to-0$ означает, что $s_{1}\to-0,\ldots,s_{n}\to-0$).

Теорема 1

Пусть $m,n$ – натуральные числа. Для функции $\psi:(-\infty;0)^{n}\to(-\infty;0]$ следующие утверждения равносильны:

1)* $\psi\in{\cal T}_{n};$*

2)* при $s\in(-\infty;0)^{n}$*

[TABLE]

где

[TABLE]

а положительная мера $\mu$ на $\mathbb{R}_{+}^{n}\setminus\{0\}$ определяется однозначно и обладает следующими свойствами: для достаточно малого $\delta>0$ функции $u\mapsto u_{j}\ \mu$-интегрируемы на $[0;\delta)^{n}\setminus\{0\},j=1,\ldots,n,$ и $\mu(\mathbb{R}_{+}^{n}\setminus[0;\delta)^{n})<\infty$;

3)* для любой функции $f$, абсолютно монотонной на $(-\infty;0)^{m}$, сложная функция $(s,r)\mapsto f(\psi(s),r)$ абсолютно монотонна на $(-\infty;0)^{m+n-1}\ (s\in(-\infty;0)^{n},r\in(-\infty;0)^{m-1}).$*

Доказательство. Утверждение $1\Rightarrow 3$ проверяется непосредственным дифференцированием.

Для доказательства импликации $3\Rightarrow 1$ достаточно рассмотреть случай $f(x)=e^{vx_{1}},v>0$.

Утверждение $2\Rightarrow 1$ доказывается дифференцированием под знаком интеграла в (2.1) (условия, накладываемые на меру, гарантируют его сходимость).

Докажем, что $1\Rightarrow 2$. В силу многомерного варианта теоремы Бернштейна-Уиддера абсолютно монотонная функция $\partial\psi/\partial s_{i}$ есть $n$-мерное преобразование Лапласа положительной меры $\sigma_{i}$, т.е. имеет интегральное представление $(i=1,\ldots,n)$

[TABLE]

Введем в рассмотрение множества $U_{i}=\{u\in\mathbb{R}_{+}^{n}|u_{i}>0\}$ и определим в $U_{i}$ меру Радона $\mu_{i}$ по правилу

[TABLE]

где $\varphi$ есть непрерывная функция с компактным носителем, содержащимся в $U_{i}$. Заметим, что $U_{i}$ образуют открытое покрытие пространства $\mathbb{R}_{+}^{n}\setminus\{0\}$. Кроме того, меры $\mu_{i}$ согласованы в том смысле, что для любой пары $(i,j)$ имеет место равенство сужений $\mu_{i}|(U_{i}\cap U_{j})=\mu_{j}|(U_{i}\cap U_{j})$, то есть

[TABLE]

В самом деле, $u_{i}d\sigma_{j}(u)=u_{j}d\sigma_{i}(u)$, поскольку обе части являются представляющими мерами для смешанной производной $\partial^{2}\psi/\partial s_{i}\partial s_{j}=\partial^{2}\psi/\partial s_{j}\partial s_{i}$. Следовательно (см., например, [14], глава 3, §2, Предложение 1), существует такая положительная мера $\mu$ на $\mathbb{R}_{+}^{n}\setminus\{0\}$, что $\mu|U_{i}=\mu_{i}$.

Предположим на время, что $\partial\psi(-0)/\partial s_{i}\neq\infty$ при всех $i$. Покажем, что тогда функция $u\mapsto e^{s\cdot u}-1$ $\mu$-интегрируема для любого $s\in(-\infty;0)^{n}$. Для $\delta>0$ рассмотрим множества $E_{i}=\{u\in\mathbb{R}_{+}^{n}|u_{i}\geq\delta\}$. Так как при всех $i$ справедливо неравенство

[TABLE]

то функция $u\mapsto e^{s\cdot u}$ $\mu$-интегрируема на множестве $\cup_{j=1}^{n}E_{j}=\mathbb{R}_{+}^{n}\setminus[0;\delta)^{n}$. Полагая в этом неравенстве последовательно $s_{1}\to-0,\ldots,s_{n}\to-0$, получим $\int_{E_{j}}d\mu\leq\delta^{-1}\partial\psi(-0)/\partial s_{i}\neq\infty$ при всех $i$, а потому и функция $u\mapsto e^{s\cdot u}-1$ $\mu$-интегрируема на $\mathbb{R}_{+}^{n}\setminus[0;\delta)^{n}$. Далее, функция $u\mapsto(-s)\cdot u\ \mu$-интегрируема на $[0;\delta)^{n}\setminus\{0\}$, поскольку меры $u_{j}d\mu(u)=d\sigma_{j}(u)$ конечны на этом множестве. Тогда соотношение $1-e^{s\cdot u}\sim(-s)\cdot u\ (u\to 0)$ показывает, что функция $u\mapsto e^{s\cdot u}-1$ $\mu$-интегрируема на множестве $[0;\delta)^{n}\setminus\{0\}$ при достаточно малом $\delta>0$. Окончательно получаем, что эта функция $\mu$-интегрируема на множестве $\mathbb{R}_{+}^{n}\setminus\{0\}$.

Следовательно, при всех $i$

[TABLE]

где $c_{1}^{i}=\sigma_{i}(\{0\})=\partial\psi(-\infty)/\partial s_{i}$, откуда и следует (2.1).

Наконец, если $\partial\psi(-0)/\partial s_{i}=\infty$ при некотором $i$, то для $\epsilon>0$ рассмотрим вектор $\overline{\epsilon}:=(\epsilon,\ldots,\epsilon)$ и функцию $\psi_{\epsilon}(s):=\psi(s-\overline{\epsilon})$ из ${\cal T}_{n}$, для которой $\partial\psi_{\epsilon}(-0)/\partial s_{i}\neq\infty$ при всех $i$. Поскольку

[TABLE]

есть преобразование Лапласа меры $d\sigma_{i}^{\epsilon}(u)=e^{-\overline{\epsilon}\cdot u}d\sigma_{i}(u)$, и $\psi_{\epsilon}(0)=\psi(-\overline{\epsilon})$, $\sigma_{i}^{\epsilon}(\{0\})=\sigma_{i}(\{0\})$, интегральное представление (2.1) для $\psi_{\epsilon}$ имеет вид

[TABLE]

Для завершения доказательства формулы (2.1) осталось положить тут $\epsilon\to+0$ и сослаться на теорему Б. Леви. Требуемые свойства меры $\mu$ установлены в лемме 3.1 из [12].

Наконец, единственность меры $\mu$ следует из теоремы единственности для преобразования Лапласа, поскольку дифференцирование (2.1) под знаком интеграла показывает, что $\partial\psi/\partial s_{i}$ есть преобразование Лапласа меры $u_{i}d\mu(u)$.

Композиция функций сохраняет принадлежность к классу ${\cal T}:=\cup_{n=1}^{\infty}{\cal T}_{n}.$ Точнее, имеет место такое следствие, показывающее, что ${\cal T}$ есть операда в смысле [15].

Следствие 1

Если $\psi_{1}(s)\in{\cal T}_{n}$ и $\psi_{2}(r)\in{\cal T}_{m},$ то функция $\psi(r,^{\prime}s):=\psi_{1}(\psi_{2}(r),^{\prime}s)$ принадлежит ${\cal T}_{m+n-1}$ (мы полагаем ${}^{\prime}s=(s_{2},\ldots,s_{n})).$ В частности, класс ${\cal T}_{1}$ устойчив относительно композиции.

Доказательство. По теореме 1 для любой абсолютно монотонной на $(-\infty;0)$ функции $f$ функция $f_{1}(s):=f(\psi_{1}(s))$ абсолютно монотонна. Аналогично, функция $f(\psi(r,^{\prime}s))=f_{1}(\psi_{2}(r),^{\prime}s)$ также абсолютно монотонна, и снова в силу теоремы 1 функция $\psi(r,^{\prime}s)$ принадлежит классу ${\cal T}_{m+n-1}$.

Замечание 1

Каждая функция $\psi\in{\cal T}_{n}$ по формуле

[TABLE]

продолжается до функции, голоморфной в области

[TABLE]

и непрерывной в ее замыкании (абсолютная сходимость интеграла в (2.2) была доказана в [12]). Класс функций, возникающий в результате такого аналитического продолжения, будем по-прежнему обозначать ${\cal T}_{n}$.

Далее $S_{\theta}$ есть замыкание сектора

[TABLE]

Теорема 2

Любая функция из ${\cal T}_{n}$, отличная от тождественно нулевой, отображает область $\{{\rm Re}z<0\}$ в полуплоскость $\{{\rm Re}\zeta<0\}$, а конус $S_{\theta}^{n}$ – в сектор $S_{\theta}$.

Доказательство. Полагая в (2.2) $z=s+iy$, получаем, что

[TABLE]

Поскольку каждое слагаемое в правой части (2.3) неположительно, то ${\rm Re}\psi(z)\leq 0$ при всех $z$ c ${\rm Re}z<0$, причем равенство достигается лишь когда каждое слагаемое в правой части (2.3) равно нулю. Интерес представляет случай $\mu\neq 0$. В этом случае из равенства ${\rm Re}\psi(z)=0$ следует, что $c_{0}=c_{1}=0,\quad e^{s\cdot u_{0}}\cos(y\cdot u_{0})=1$ при некотором $u_{0}\in\mathbb{R}_{+}^{n}\setminus\{0\}$. Последнее равенство невозможно, поскольку $s<0$, что и доказывает первое утверждение теоремы.

Для доказательства второго утверждения возьмем $z=s+iy\in S_{\theta}^{n},z\neq 0,$ т.е. $s_{j}<0$ и $|y_{j}|/(-s_{j})\leq{\rm ctg}(\theta/2),j=1,\ldots,n.$ Тогда

[TABLE]

Теперь равенство (2.3) вместе с равенством

[TABLE]

которое также следует из (2.2), показывают, что $|{\rm Im}\psi(z)|\leq{\rm ctg}(\theta/2)(-{\rm Re}\psi(z)),$ т.е. $\psi(z)\in S_{\theta}$, что и требовалось доказать.

Определение 2

Будем говорить, что последовательность $\psi_{k}$ функций из ${\cal T}_{n}$ сходится в ${\cal T}_{n}$ к некоторой функции $\psi$, если $\psi$ определена на множестве $(-\infty;0)^{n}$ и $\psi_{k}$ сходятся к $\psi$ поточечно на этом множестве.

Следующий результат показывает, что описанная сходимость для класса ${\cal T}_{n}$ является естественной.

Теорема 3

Пусть последовательность $\psi_{k}$ сходится в ${\cal T}_{n}$ к функции $\psi$. Тогда

1)* $\psi\in{\cal T}_{n};$*

2)* последовательность $\psi_{k}$ сходится к $\psi$ равномерно на компактных подмножествах области $\{{\rm Re}z<0\}$;*

3)* последовательность $\psi_{k}$ равномерно ограничена на компактных подмножествах конуса $S_{\theta}^{n},\theta\in(0;\pi)$.*

Доказательство. Как отмечено в доказательстве теоремы 2, ${\rm Re}\psi_{k}(z)\leq 0$ при $k=1,2,\ldots,{\rm Re}z\leq 0$, т. е. $\psi_{k}$ выпускают значения из полуплоскости $\{{\rm Re}\zeta>0\}$. Следовательно, в силу многомерного варианта теоремы Монтеля семейство $(\psi_{k})$ нормально, т. е. любая его подпоследовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся равномерно внутри области $\{{\rm Re}z<0\}$ к аналитической функции или к бесконечности. Однако последнее невозможно ввиду поточечной сходимости $\psi_{k}$. Пределы всех сходящихся равномерно внутри $\{{\rm Re}z<0\}$ подпоследовательностей последовательности $\psi_{k}$ совпадают с $\psi$ на $(-\infty;0)^{n}$, а потому по одной из форм теоремы единственности совпадают между собой на $\{{\rm Re}z<0\}$ (см., например, [16], c. 32). Но тогда и сама последовательность $\psi_{k}$ сходится равномерно внутри $\{{\rm Re}z<0\}$ к функции, являющейся аналитическим продолжением $\psi$. Это продолжение мы также обозначим $\psi$. Теперь по теореме Вейерштрасса для любого мультииндекса $\alpha$ при $k\to\infty$ имеет место сходимость $\partial^{\alpha}\psi_{k}(s)\to\partial^{\alpha}\psi(s),s\in(-\infty;0)^{n}$, а потому $\psi\in{\cal T}_{n}$, что доказывает первые два утверждения теоремы.

Для доказательства третьего утверждения нам понадобится

Лемма 1

Для любой функции $\psi\in{\cal T}_{n}$ с интегральным представлением (2.2) справедливо неравенство

[TABLE]

где $y\in\mathbb{R}^{n};r,s\in(-\infty;0)^{n}.$

Доказательство леммы. В силу формулы (2.3)

[TABLE]

[TABLE]

Следовательно,

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Так как все слагаемые в правой части и подинтегральная функция в (2.3) неположительны, то

[TABLE]

Заметим, что при $t\in(0;1],z\in[-1;1]$ справедливо неравенство $1-z\leq 2(1-tz)$. Следовательно, $1-\cos(y\cdot u)\leq 2(1-e^{r\cdot u}\cos(y\cdot u))$, и в силу (2.6) имеем

[TABLE]

[TABLE]

С учетом этого неравенства (2.5) дает

[TABLE]

т.е.

[TABLE]

что и завершает доказательство леммы.

Доказательство утверждения 3). Любое ограниченное множество $M$ из $S_{\theta}^{n}$ при некотором $a<0$ содержится в множестве $\Delta^{n}$, где $\Delta=\{\zeta\in S_{\theta}:{\rm Re}\zeta\geq a\}$. В силу неравенства (2.4) при $r=(a,\ldots,a)$ имеем

[TABLE]

[TABLE]

Далее, последовательность $\psi_{k}(a,\ldots,a)$, будучи сходящейся, ограничена. А так как функция $s\mapsto\psi_{k}(s_{1},\ldots,s_{n})$ возрастает по каждому переменному в отдельности, то для всех $s\geq(a,\ldots,a)$ выполняется неравенство $\psi_{k}(a,\ldots,a)\leq\psi_{k}(s)\leq 0,$ т.е. последовательность $\psi_{k}$ равномерно ограничена на $[a;0]^{n}$. Из утверждения 2) следует, что последовательность $\psi_{k}$ равномерно ограничена на компакте $K=\{z\in\Delta^{n}:{\rm Re}z_{j}=a,j=1,\ldots,n\}$. По доказанному выше первое и третье слагаемые в правой части (2.7) ограничены, когда $s+iy\in\Delta^{n}$, так как тогда $s\in[a;0]^{n}$. Второе же слагаемое равномерно ограничено, поскольку $r+iy\in K$. Теперь утверждение 3) сразу следует из неравенства $|{\rm Im}\psi(z)|\leq{\rm ctg}(\theta/2)(-{\rm Re}\psi(z))$, установленного при доказательстве теоремы 2.

0.3 Примеры

Функции $c^{\alpha}-(c-s)^{\alpha}\ (0<\alpha<1,c\geq 0),\ \log b-\log(b-s),\ {\rm archb}-{\rm arch}(b-s)\ (b\geq 1)$ принадлежат классу ${\cal T}_{1}$ (см., например, [12] для случаев $c=0,b=1$; общий случай следует из замечания после определения 1). Приведем теорему, которая позволяет строить новые примеры функций из этого класса.

Теорема 4

Если функция $w(-p)$ есть изображение по Лапласу неотрицательного неубывающего оригинала, а $\psi\in{\cal T}_{1}$, причем $\psi^{\prime}(-\infty)=0$, то и функция

[TABLE]

также принадлежит ${\cal T}_{1}$ (при условии, что интеграл существует).

Доказательство. Ясно, что $\varphi(s)\leq 0\mbox{ \T2A\cyrp\T2A\cyrr\T2A\cyri }s<0$, так как $\psi(t)\leq 0,w(t)\geq 0(t<0)$. Рассмотрим два случая.

1. Пусть $\psi(s)=e^{us}-1,u\geq 0.$ Соответствующую ей по формуле (3.1) функцию обозначим $\varphi_{u}$. Проверим, что функция $\varphi_{u}^{\prime}(s)=-\psi(s)w(s)$ абсолютно монотонна. Если $w(-p)=({\cal L}f)(p),$ где $f\geq 0$ – неубывающий оригинал, (здесь и ниже ${\cal L}$ – преобразование Лапласа), то

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

где $g(r)=f(r)-f(r-u)\geq 0,r\in\mathbb{R}$, (у нас $f(s)=0$ при $s<0$). Таким образом, $\varphi^{\prime}_{u}(s)=({\cal L}g)(-s)(s<0)$ есть абсолютно монотонная функция.

2. Функция $\psi\in{\cal T}_{1}$ имеет интегральное представление (2.1), в котором $c_{1}=0$. Тогда в силу теоремы Фубини

[TABLE]

[TABLE]

(теорема Фубини применима, так как подинтегральная функция сохраняет знак в области интегрирования).

Первое слагаемое в правой части (3.2) принадлежит ${\cal T}_{1}$, поскольку оно неположительно, и функция $(c_{0}\int_{s}^{0}w(t)dt)^{\prime}=(-c_{0})w(s)$ абсолютно монотонна.

Представляя интеграл как предел интегральных сумм, получаем, что второе слагаемое в (3.2) есть предел в ${\cal T}_{1}$ последовательности функций вида ($\alpha_{j}>0$)

[TABLE]

которые принадлежат ${\cal T}_{1}$ по доказанному в случае

1. По теореме 3 получаем теперь, что и второе слагаемое в (3.2) принадлежит ${\cal T}_{1}$, что и завершает доказательство.

Пример 1. Полилогарифмическая функция порядка $p\in\mathbb{N}$ имеет вид

[TABLE]

и может быть аналитически продолжена в полуплоскость $\{{\rm Re}z<0\}$, причем справедливо рекуррентное соотношение

[TABLE]

(см., например, [17]). Как легко проверить, ${\rm Li_{1}}(s)=-\log(1-s)\in{\cal T}_{1}$. Кроме того, $-t^{-1}=({\cal L}\theta)(-t),$ где $\theta$ – функция Хевисайда. Следовательно, теорема 4 и отмеченное рекуррентное соотношение показывают, что ${\rm Li_{p}}\in{\cal T}_{1}$, лишь только ${\rm Li_{p-1}}\in{\cal T}_{1}$. В силу принципа индукции это означает, что ${\rm Li_{p}}\in{\cal T}_{1}$ при всех $p$.

Функции из ${\cal T}_{n}$ можно строить, используя суммы функций из ${\cal T}_{1}$ (от различных аргументов), а также операцию композиции. Укажем еще один способ построения функций из ${\cal T}_{2}$, обобщающий первое утверждение теоремы 11.1 из [12].

Теорема 5

Пусть функция $\psi_{1}\in{\cal T}_{1}$ имеет интегральное представление

[TABLE]

причем $\omega:=\int_{0}^{\infty}ud\mu_{1}(u)\neq\infty$. Тогда функция

[TABLE]

принадлежит ${\cal T}_{2}$ и имеет интегральное представление

[TABLE]

где $d\mu(u_{1},u_{2})$ — образ меры $d\mu_{1}(v)dw$ при отображении

[TABLE]

(Под значением функции $\psi$ при $s_{1}=s_{2}$ мы, как обычно, понимаем ее предел при $s_{2}\to s_{1}$).

Доказательство. Пусть $\Delta$ есть угол в $(v,w)$-плоскости, ограниченный биссектрисами первого и четвертого координатных углов. Рассмотрим двойной интеграл

[TABLE]

[TABLE]

В случае $s_{1}\neq s_{2}$, вычисляя внутренний интеграл, получаем для правой части (3.3) значение

[TABLE]

В случае $s_{1}=s_{2}$ аналогичные вычисления дают для этой части значение

[TABLE]

С другой стороны, сделав в интеграле, стоящем в левой части (3.3), замену переменных по формулам $v=u_{1}+u_{2},w=u_{1}-u_{2}$, получим, что он равен

[TABLE]

что и завершает доказательство.

Пример 2. Как отмечено выше, функция $\psi_{1}(s)=\log b-\log(b-s)\ (b\geq 1)$ принадлежит классу ${\cal T}_{1}$. Нетрудно подсчитать, что этом случае $\omega=1/b$. Следовательно, функция

[TABLE]

принадлежит ${\cal T}_{2}$.

В заключение покажем, как функции класса ${\cal T}_{n}$ возникают в теории марковских процессов (при $n=1$ это было установлено Филлипсом [18], теорема 23.15.1; см. также [3], с. 1339–1340). Рассмотрим однородный во времени и пространстве (см., например, [18], п. 23.13) марковский процесс $\xi$ в фазовом пространстве $\mathbb{R}_{+}^{n}$. Соответствующее ему семейство вероятностей перехода $P(t,x),t>0,x\in\mathbb{R}_{+}^{n}$ порождает в силу уравнения Чепмена-Колмогорова сверточную полугруппу вероятностных мер $P_{t},t>0$ на $\mathbb{R}_{+}^{n}$. Пусть $g_{t}(s):=({\cal L}P_{t})(-s)$ (${\cal L}$ обозначает $n$-мерное преобразование Лапласа, $s<0$) – односторонняя характеристическая функция функции распределения $P(t,\cdot)$. Ясно, что $g_{t}$ абсолютно монотонна. Кроме того, для любого $m\in\mathbb{N}$

[TABLE]

где $P_{t}^{\ast m}$ обозначает $m$-ю сверточную степень меры $P_{t}$. Заменяя в последнем равенстве $t$ на $(k/m)t$, получаем $g_{rt}(s)=(g_{t}(s))^{r}$ для любого положительного рационального $r=k/m\ (k,m\in\mathbb{N})$. (Если дополнительно предположить, что отображение $t\mapsto P_{t}$ узко непрерывно, то при любом $a>0$ справедливо равенство $g_{at}(s)=(g_{t}(s))^{a}$. В самом деле, если последовательность положительных рациональных чисел $r_{k}$ сходится к $a$, то в силу нашего условия непрерывности $g_{at}(s)=\lim_{k\to\infty}g_{r_{k}t}(s)=(g_{t}(s))^{a}$ (см., например, [14], с. 529, предложение 14). В частности, $g_{t}(s)=(g_{1}(s))^{t}$.) Далее, вполне монотонная функция $g_{1}(-r)=({\cal L}P_{1})(r)$, как было показано выше, удовлетворяет равенству $g_{1}(-r)^{1/m}=g_{1/m}(-r),m\in\mathbb{N},r\in(0;\infty)^{n}$ и значит ее представляющая мера является безгранично делимым распределением (т. е. $g_{1}(-r)$ безгранично делима в смысле [19]). Поэтому $g_{1}(-r)=e^{\psi(-r)}$, где $\psi\in{\cal T}_{n}$ (в одномерном случае это хорошо известно, см., например, [2], глава XIII, §7; в общем случае это следует, например, из теоремы 3 в [19]). По аналогии с одномерным случаем функцию $\psi$ естественно называть лапласовским показателем процесса $\xi$. Таким образом, лапласовский показатель рассматриваемого марковского процесса принадлежит ${\cal T}_{n}$.

Следует отметить, что роль лапласовского показателя в теории марковских процессов весьма велика. Например, рассуждая как в [18], теорема 23.15.2, где рассмотрен случай $n=1$, можно показать, что генератор марковской полугруппы, отвечающей $\xi$, имеет вид $\psi(-\nabla)$, где значение лапласовского показателя $\psi$ от набора операторов $-\nabla=(-\partial/\partial s_{1},\ldots,-\partial/\partial s_{n})$ понимается в смысле исчисления, построенного в [12].

Список литературы

• [1]

C.  Berg, J. P. R. Christensen, P.   Ressel, Harmonic analysis on semigroups, Grad. Texts in Math., 100, Springer-Verlag, Berlin, 1982

• [2]

В.  Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Т. 2, Мир, М., 1984

• [3]

D.  Applebaum, Levy Processes – From Probability to Finance and Quantum Groups, Notices of the American Mathematical Society, vol 51, 2004, 1336–1347

• [4]

C.  Berg, K.  Boyadzhiev, R.  deLaubenfelse, Generation of generators of holomorphic semigroups, J. Austral. Math. Soc. (Series A), vol 55, 1993, 246–269

• [5]

А. Р. Миротин, Действие функций класса Шенберга ${\cal T}$ на конусе диссипативных элементов банаховой алгебры, Матем. заметки, т. 61, 1997, 630–633; English transl., Math. Notes 61:4 (1997), 524–527.

• [6]

А. Р. Миротин, Функции класса Шенберга ${\cal T}$ действуют в конусе диссипативных элементов банаховой алгебры, II, Матем. заметки, т.64, 1998, 423–430; English transl., Math. Notes 64:3 (1998), 364–370.

• [7]

Mirotin, A.R. Bernstein functions of several semigroup generators on Banach spaces under bounded perturbations. Operators and Matrices. 11, 199–217 (2017)

• [8]

Mirotin, A.R. Bernstein functions of several semigroup generators on Banach spaces under bounded perturbations. II. Operators and Matrices. 12, 445 – 463 (2018)

• [9]

А. Р. Миротин. О некоторых свойствах многомерного функционального исчисления Бохнера-Филлипса. Сиб. матем. журнал. 52 (6), 1300 – 1312 (2011); English transl.: Siberian Mathematical Journal. 52 (6), 1032–1041 (2011)

• [10]

А. Р. Миротин. О многомерном функциональном исчислении Бохнера-Филлипса. ПФМТ, 1 (1), 63–-66 (2009) (Mirotin, A.R. On multidimensional Bochner-Phillips functional calculus. Probl. Fiz. Mat. Tekh. 1 (1), 63–-66 (2009))

• [11]

А. Р. Миротин. О совместных спектрах наборов неограниченных операторов. Изв. РАН. Серия математическая. 79 (6), 145 – 170 (2015); English transl.: Izv.Math. 79 (6), 1235 – 1259 (2015). DOI 10.1070/IM2015v079n06ABEH002779

• [12]

А. Р. Миротин, Многомерное ${\cal T}$-исчисление от генераторов $C_{0}$-полугрупп, Алгебра и анализ, т. 11, 1999, 142–170; English transl.: St. Petersburg Math. J. 11 (2), 315–-335 (1999)

• [13] Н. И. Ахиезер, Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею, Физматгиз, М., 1961
• [14]

Н. Бурбаки, Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах., Элементы математики, Наука, М., 1977

• [15]

M. Markl, S. Shnider , and J. Stasheff, Operads in Algebra, Topology and Physics Math. Surveys Monogr., 96, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002

• [16] Б. В.  Шабат Введение в комплексный анализ. Ч. 2. Функции нескольких переменных. Наука, М. 1976
• [17]

A. B. Goncharov. The clasical trilogarithm, algebraic K-theory of fields, and Dedekind zeta function, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) vol. 24, 1991, 155–162

• [18] Э. Хилле, Р. Филлипс, Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, M., 1962
• [19]

А. Р. Миротин, Вполне монотонные функции на полугруппах Ли, Укр. матем. журн., т.52, 2000, 841–845; English transl.: Ukranian Math. J., vol 52, 2000.