On Shilov boundary and Gelfand spectrum of algebras of generalized analytic functions

TL;DR

This paper investigates the structure of boundaries and the Gelfand spectrum of algebras of generalized analytic functions on semigroup character spaces, revealing conditions under which these boundaries coincide with the character group.

Contribution

It characterizes the strong and Shilov boundaries of these algebras as unions of maximal subgroups and computes the Gelfand spectrum when certain ideal conditions are met.

Findings

Boundaries are unions of maximal subgroups of the semicharacter semigroup.

Boundaries coincide with the character group if no nontrivial simple ideals exist.

Gelfand spectrum is explicitly calculated in the absence of simple ideals.

Abstract

Let $S$ be a discrete abelian semigroup with unit and concellations and $\widehat {S}$ the semigroup of semicharacters of $S$. We shaw that the strong boundary and the Shilov boundary of the algebra of generalized analytic functions defined on $\widehat {S}$ are unions of some maximal subgroups of $\widehat {S}$. We shaw also that the both boundaries coincide with the character group of $S$ if $S$ does not contain nontrivial simple ideals. In the last case the Gelfand spectrum of the algebra under consideration is calculated.

Equations

$$L(fg)=\varphi (f)L(g)+\varphi (g)L(f),f,g\in A.$$

$$L(fg)=f(y)L(g)+g(y)L(f),f,g\in A.$$

$$\Gamma =\coprod _{\rho \in F}\rho X,$$

$$f(\psi ):=\sum _{n=1}^{\infty }\psi (s_n)\overline{\chi (s_n)}v(s_n)=⟨\psi ,\chi ⟩,$$

$$U(\psi ;t_1,\dots ,t_n;ϵ):=\{\zeta \in \hat{S}:|\zeta (t_i)-\psi (t_i)|<ϵ\text{mbox}\text{T}2A\text{cyrp}\text{T}2A\text{cyrr}\text{T}2A\text{cyri}i=1,\dots ,n\},$$

$$|f({\rho }_1^n)|\le \underset{r\in \mathbb{R}}{\sup }|f({\rho }_1^{ir})|.$$

$${\partial }_{A(\hat{S})}=\coprod _{\rho \in K}\rho X,$$

$$\left[\coprod _{\rho \in D}\rho X\right]=\coprod _{\rho \in [D]}\rho X.$$

$${\partial }_{A(\hat{S})}=[\Gamma ]=\coprod _{\rho \in [F]}\rho X.$$

$$\Gamma ={\partial }_{A(\hat{S})}=X.$$

$$\begin{array}[]{ccc}A_{S_{1}}&=&A(X)\\ \uparrow\hbox to0.0pt{$\displaystyle i_{0}$\hss}&&\uparrow\hbox to0.0pt{$\displaystyle i$\hss}\\ A_{0}(\widehat{S_{1}})&\stackrel{{\scriptstyle j}}{{\longrightarrow}}&A(\widehat{S})\end{array}$$

$$\tilde{\psi }(xy)=j(\widehat{xy})(\psi )=j(\hat{x})(\psi )j(\hat{y})(\psi )=\tilde{\psi }(x)\tilde{\psi }(y).$$

$${\Delta }_{\alpha \beta }=\{(z_1,z_2)\in {\overline{\mathbb{D}}}^2||z_1{|}^{\alpha }\le |z_2|\le |z_1{|}^{\beta }\}.$$

Full text

УДК 517.986

О границе Шилова и спектре Гельфанда алгебр обобщенных аналитических функций

А.Р. Миротин

amirotin@yandex.ru

В работе изучается алгебра обобщенных аналитических функций, определенных на полугруппе полухарактеров $\widehat{S}$ дискретной абелевой полугруппы $S$ с сокращениями и единицей, более широкая, чем алгебра Аренса-Зингера. Показано, что строгая граница и граница Шилова этой алгебры являются объединениями максимальных подгрупп полугруппы $\widehat{S}$. Если $S$ не содержит нетривиальных простых идеалов, обе границы совпадают с группой характеров полугруппы $S$. В последнем случае вычислен и спектр Гельфанда рассматриваемой алгебры.

Ключевые слова. Граница Шилова, спектр Гельфанда, равномерная алгебра, обобщенная аналитическая функция.

Abstract. Let $S$ be a discrete abelian semigroup with unit and concellations and $\widehat{S}$ the semigroup of semicharacters of $S$. We shaw that the strong boundary and the Shilov boundary of the algebra of generalized analytic functions defined on $\widehat{S}$ are unions of some maximal subgroups of $\widehat{S}$. We shaw also that the both boundaries coincide with the character group of $S$ if $S$ does not contain nontrivial simple ideals. In the last case the Gelfand spectrum of the algebra under consideration is calculated.

Keywords. Shilov boundary, Gelfand spectrum, uniform algebra, generalized analytic function.

1 Введение

Первые работы по теории обобщенных аналитических функций на пространствах полухарактеров принадлежат Р. Аренсу и И.М. Зингеру [1], [2]. В настоящее время это довольно развитый раздел функционального анализа, расположенный на стыке теории равномерных алгебр, абстрактного гармонического анализа и теории аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных. Современное состояние предмета отражено в монографиях [3] – [9].

С другой стороны, имеются задачи, для решения которых понятие обобщенной аналитичности в смысле Аренса-Зингера оказывается слишком ограничительным. Так, в работе [10] была решена задача описания образа пространства квадратично суммируемых функций на подполугруппе $S$ топологической абелевой группы относительно преобразования Лапласа на этой полугруппе. В случае полуоси ответ на этот вопрос дает, как известно, классическая теорема Пэли-Винера. Согласно этой теореме образом в этом случае служит пространство Харди $H^{2}$ в полуплоскости, которое состоит из функций, аналитических в этой полуплоскости и удовлетворяющих некоторым дополнительным ограничениям. В случае общих полугрупп, рассмотренном в [10], ответом служит обобщенное пространство Харди $H^{2}(\widehat{S})$, состоящее из функций, определенных на пространстве $\widehat{S}$ полухарактеров полугруппы $S$ и аналитических в смысле, более общем, чем в [1]. В то же время, равномерная алгебра $A(\widehat{S})$, состоящая из функций, непрерывных на пространстве полухарактеров дискретной полугруппы и аналитических "внутри"  этого пространства в этом более общем, чем у Аренса и Зингера, смысле, оставалась неисследованной. Такие исследования полезны и для самой теории Аренса-Зингера. Например, представляет интерес вопрос об условиях, при которых алгебра Аренса-Зингера и алгебра $A(\widehat{S})$ совпадают, поскольку его решение дает новое удобное определение аналитичности по Аренсу-Зингеру. Другая задача теории алгебр Аренса-Зингера, при решении которой возникают алгебры типа $A(\widehat{S})$, — это проблема описания интерполяционных подмножеств (см. [11]). Сужения алгебр типа $A(\widehat{S})$ на группу характеров полугруппы $S$ дают новые примеры сдвигово-инвариантных алгебр в смысле ([9], с. 120). Добавим, что для многих полугрупп соответствующее пространство $\widehat{S}$ является (вещественным или комплексным) многообразием, что приводит к результатам об алгебрах аналитических функций на этих многообразиях.

Следует заметить, что теория алгебр типа $A(\widehat{S})$ оказалась в некоторых отношениях более трудной, чем теория алгебр Аренса-Зингера, и в ней возникает ряд интересных задач. Например, проблема описания спектра Гельфанда таких алгебр в общем случае остается нерешенной.

Основные результаты данной работы описывают структуру строгой границы и границы Шилова равномерной алгебры функций, аналитических в смысле [10]. Если полугруппа не содержит нетривиальных простых идеалов, обе границы совпадают с группой характеров этой полугруппы. В последнем случае получен ответ на вопрос о спектре Гельфанда рассматриваемой алгебры. При других предположениях эти вопросы рассматривались в [11]. Отметим также, что нижеследующие теоремы 1 и 2 усиливают результаты, анонсированные в [12]. Статья продолжает цикл работ автора, посвященных гармоническому анализу на полугруппах, см. [4], [5], [6].

Всюду ниже $S$ — дискретная абелева полугруппа с сокращениями и единицей $e$, записываемая мультипликативно, $G=S^{-1}S$ — группа частных для $S$. Полухарактером полугруппы $S$ называется гомоморфизм $\psi$ полугруппы $S$ в мультипликативную полугруппу $\overline{\mathbb{D}}=\{z\in\leavevmode\nobreak\ \mathbb{C}:|z|\leq 1\}$, не являющийся тождественным нулем. Характерами называются полухарактеры, равные по модулю единице.

Множество всех полухарактеров полугруппы $S$ далее обозначается через $\widehat{S}$, а его подмножество, состоящее из неотрицательных полухарактеров, — через $\widehat{S}_{+}$. Символом $E(\widehat{S})$ будем обозначать множество всех идемпотентов полугруппы $\widehat{S}$, т. е. полухарактеров, принимающих лишь значения 0 и 1. Множества $\widehat{S},\widehat{S}_{+}$ и $E(\widehat{S})$, наделенные топологией поточечной сходимости на $S$, являются компактными топологическими полугруппами по умножению с единицей $1$ (они замкнуты в $\overline{\mathbb{D}}^{S}$). Компактную группу всех характеров полугруппы $S$ будем обозначать $X$.

Согласно ([1], теорема 3.1) каждый полухарактер $\psi\in\widehat{S}$ может быть представлен в виде $\psi=\rho\chi$, где $\chi\in X$, а полухарактер $\rho=|\psi|\in\widehat{S}_{+}$ определяется по $\psi$ однозначно (полярное разложение). С полухарактером $\rho\in\widehat{S}_{+}$ связаны подполугруппы $S(\rho):=\{s\in S:\rho(s)>0\}$ и $S^{\rho}:=\{s\in S:\rho(s)=1\}$ полугруппы $S$, дополнения которых, если они не пусты, являются идеалами полугруппы $S$. Идеалы, дополнения которых есть полугруппа, называются простыми. Простые идеалы, отличные от $S\setminus\{e\}$, будем называть нетривиальными. Через $\theta_{S}$ (или просто $\theta$, если это не будет приводить к недоразумениям) обозначим индикатор подмножества $\{e\}\subset S$. Это полухарактер полугруппы $S$, если и только если $S^{-1}\cap S=\{e\}$. Наконец отметим, что степень $\rho^{0}$ по определению есть индикатор $S(\rho)$, и что $\rho^{z}\in\widehat{S}\setminus X$ при $\rho\in\widehat{S}_{+},\quad\rho\neq 1,\quad z\in\Pi$, где $\Pi:=\{{\rm Re}z>0\}$ ([1], §7). Относительно понятий и обозначений из теории коммутативных банаховых алгебр, не определенных в данной работе, см. [3].

2 Границы

Пусть $A$ есть коммутативная банахова алгебра со спектром Гельфанда $M_{A}$. Точечной производной в точке $\phi\in M_{A}$ называется такой линейный функционал $L$ на $A$, для которого

[TABLE]

В частности, если $A$ есть равномерная алгебра на компакте $Y$, то точечная производная в точке $y\in Y$ удовлетворяет равенству

[TABLE]

Напомним, что строгой границей равномерной алгебры $A$ на компакте $Y$ называется множество всех ее $p$-точек, т. е. точек из $Y$, являющихся пересечениями множеств пика.

Для доказательства основных результатов нам понадобятся три леммы. Следующее утверждение сформулировано в ([3], c. 92). Ввиду отсутствия ссылок на работу, где эта лемма доказана, приводим здесь ее доказательство.

Лемма 1

Пусть $A$ есть равномерная алгебра на компакте $Y$. Если точка $p\in Y$ принадлежит строгой границе алгебры $A$, то любая точечная производная в точке $p$ тривиальна.

Доказательство. Рассмотрим максимальный идеал $I_{p}=\{f\in A:f(p)=0\}$ алгебры $A$ и покажем, что он имеет ограниченную аппроксимативную единицу. Ввиду теоремы Альтмана (см., например, [13], c. 58) достаточно проверить, что для любых $f\in I_{p}$ и $\epsilon>0$ найдется такой $u\in I_{p}$, $\|u\|\leq 2$, что $\|f-fu\|<\epsilon$. Для проверки выберем окрестность $U$ точки $p$, для которой $|f(x)|<\epsilon$ при $x\in U$ . В силу ([3], лемма II.12.2) найдется такое множество пика $F$, что $p\in F\subset U$. Если функция $h$ образует пик на $F$, то для натурального $n$, при котором $|h(y)|^{n}<\epsilon/\|f\|$ для $y\in Y\setminus U$, функция $u=1-h^{n}$ удовлетворяет поставленным требованиям. Теперь в силу факторизационной теоремы Коэна (см., например, [14], следствие (32.26)) для любого $f\in I_{p}$ найдутся такие $f_{1},f_{2}\in I_{p}$, что $f=f_{1}f_{2}$. Если $L$ есть точечная производная в точке $p$, то $L(f)=f_{1}(p)L(f_{2})+f_{2}(p)L(f_{1})=0$. Поскольку коразмерность $I_{p}$ равна 1, и $L(1)=0$, то $L=0.\Box$

Следующее понятие в неявной форме впервые появилось в [10], а в явной – в [11].

Определение 1

Комплекснозначную функцию $F$ на $\widehat{S}\setminus X$ будем называть обобщенной аналитической, если для любых полухарактеров $\rho,\psi$ из $\widehat{S}\setminus X$, $\rho\geq 0$ отображение $z\mapsto F(\rho^{z}\psi)$ аналитично в открытой правой полуплоскости $\Pi$ и непрерывно в +0.

Равномерную алгебру функций, непрерывных на $\widehat{S}$ и обобщенных аналитических на $\widehat{S}\setminus X$, обозначим $A(\widehat{S})$. Границу Шилова алгебры $A(\widehat{S})$ будем обозначать через $\partial_{A(\widehat{S})}$, а строгую границу – через $\Gamma$.

Легко проверить, что функции вида $\widehat{a}(\xi):=\xi(a)\ (a\in S,\ \xi\in\widehat{S})$ принадлежат $A(\widehat{S})$. Равномерная алгебра на $\widehat{S}$, порожденная этими функциями, называется алгеброй Аренса-Зингера и обозначается $A_{0}(\widehat{S})$. Ясно, что $A_{0}(\widehat{S})\subseteq A(\widehat{S})$, причем строгое включение возможно ([11], пример 1).

Лемма 2

Если полухарактер $\psi$ полугруппы $S$ принадлежит строгой границе $\Gamma$ алгебры $A(\widehat{S})$, то $|\psi|\in E(\widehat{S})$.

Доказательство. Пусть $\psi=\rho\chi$ – полярное разложение полухарактера $\psi$. Допустим противное, т. е. $\rho\notin E(\widehat{S})$. Если положим $\kappa(z)=\rho^{z}\psi\ (z\in\Pi)$, то функционал, определенный на функциях $F\in A(\widehat{S})$ равенством $L(F)=(F\circ\kappa)^{\prime}(1),$ есть, как легко проверить, точечная производная алгебры $A(\widehat{S})$ в точке $\psi$. Кроме того, если элемент $a\in S$ таков, что $\rho(a)\neq 0,1$, то $L(\widehat{a})=\psi(a)\log\rho(a)\neq 0$. Применение леммы 1 приводит к противоречию.$\Box$

Обозначим через $E_{0}(\widehat{S})$ множество тех полухарактеров $\rho_{0}\in E(\widehat{S})$, для каждого из которых найдется такой полухарактер $\rho_{1}\in\widehat{S}_{+}$, что $\rho_{1}(s)=1$ при $s\in S(\rho_{0})$ и $0<\rho_{1}(s)<1$ при $s\notin S(\rho_{0})$.

Нижеследующее предложение показывает, что утверждение, обратное лемме 2, вообще говоря, неверно.

Предложение 1

$\theta\notin E_{0}(\widehat{S})\cap\Gamma$.

Доказательство. Пусть $\theta\in E_{0}(\widehat{S})$. В силу ([11], теорема 2) для любой функции $F\in A(\widehat{S})$ справедливо равенство $\int\limits_{X}F(\chi)d\chi=F(\theta),$ где $d\chi$ есть нормированная мера Хаара (компактной) группы $X$. Таким образом, комплексный гомоморфизм $F\mapsto F(\theta)$ алгебры $A(\widehat{S})$ имеет представляющую меру $\sigma\neq\delta_{\theta}$, что невозможно для точек строгой границы (см., например, [3], теорема II.11.3 и замечание с. 86; [15], утверждение 10.3.1).$\Box$

Ниже (см. теорему 1) обобщим предложение 1 для случая, когда полугруппа $S$ счетна.

В связи со следующей леммой отметим, что множество $E(T)$ идемпотентов абелевой компактной полугруппы $T$ есть компактная полугруппа, и для каждого $e\in E(T)$ существует наибольшая подгруппа $H(e)$, содержащая $e$. Эта группа компактна и называется максимальной подгруппой полугруппы $T$, содержащей $e$; кроме того, множество $H=\coprod_{e\in E(T)}H(e)$ также компактно в $T$ (см., например, [16], c. 17 - 18).

Лемма 3

Для любого полухарактера $\rho_{0}\in E(\widehat{S})$ справедливо равенство $H(\rho_{0})=\rho_{0}X$.

Доказательство. Поскольку $\rho_{0}X$ является группой, содержащей $\rho_{0}$, то $\rho_{0}X\subseteq H(\rho_{0})$. Пусть теперь $\psi\in H(\rho_{0}),\ |\psi|=\rho$. Так как $\rho_{0}\psi=\psi$, то, переходя к модулям, получаем $\rho_{0}\rho=\rho$. Следовательно, $S(\rho)\subseteq S(\rho_{0})$. С другой стороны, найдется такой $\psi^{\prime}\in H(\rho_{0})$, что $\psi\psi^{\prime}=\rho_{0}$. Если $\rho^{\prime}=|\psi^{\prime}|$, то $\rho\rho^{\prime}=\rho_{0}$, а потому $\rho=\rho_{0}.\Box$

Теорема 1

Строгая граница $\Gamma$ алгебры $A(\widehat{S})$ есть объединение максимальных подгрупп полугруппы $\widehat{S}$, т. е.

[TABLE]

где $F$ содержится в $E(\widehat{S})$. Если $S$ счетна, то $1\in F$, а $E_{0}(\widehat{S})\cap F=\emptyset$.

Доказательство. По лемме 2 любой полухарактер $\psi\in\Gamma$ имеет полярное разложение $\psi=\rho\chi$, в котором $\rho\in E(\widehat{S})$. С учетом леммы 3 это означает, что $\psi$ принадлежит максимальной подгруппе $\rho X$ полугруппы $\widehat{S}$. Заметим, что каждому характеру $\xi\in X$ соответствует автоморфизм алгебры $A(\widehat{S})$, переводящий $f\in A(\widehat{S})$ в $f_{\xi}:\psi\mapsto f(\xi\psi)$. Отсюда следует, что $\xi\Gamma=\Gamma$, а потому $\psi X=\rho X\subseteq\Gamma$. Если $F$ есть образ $\Gamma$ при отображении $\psi\mapsto|\psi|$, то $\Gamma=\coprod_{\rho\in F}\rho X$.

Далее будем предполагать, что $S$ счетна, $S=\{s_{n}:n=1,2,\ldots\}$. Зафиксируем строго положительную функцию $v$ на $S$, удовлетворяющую условию $\sum_{n=1}^{\infty}v(s_{n})=1$, а также точку $\chi\in X$ и рассмотрим функцию

[TABLE]

где угловые скобки обозначают скалярное произведение в весовом пространстве $l_{2}(S,v)$. Ясно, что $f\in A(\widehat{S})$ как сумма равномерно по $\psi$ сходящегося ряда аналитических функций (мажорантным рядом является $\sum_{n=1}^{\infty}v(s_{n})=1$). Неравенство Коши-Буняковского $|f(\psi)|\leq\|\psi\|\|\chi\|\leq 1$ показывает, что $|f|$ достигает своего максимума, равного $1$, в точке $\chi$ и только в этой точке (если оно при некотором $\psi\in\widehat{S}$ превращается в равенство, то $\psi(s)=c\chi(s)$, и при $s=e$ получаем $c=1$). Таким образом, $X$ содержится в любой границе алгебры $A(\widehat{S})$, а тогда $1\in F$.

Заметим, наконец, что по критерию А. С. Мищенко (см., например, [17], c. 391) компактное пространство $\widehat{S}$ метризуемо, так как каждая его точка $\psi$ обладает счетной базой окрестностей вида

[TABLE]

где $t_{i}\in S,n\in\mathbb{N},\epsilon\in\mathbb{Q}_{+}$. В этой ситуации, как известно, $\Gamma$ есть наименьшая из границ алгебры $A(\widehat{S})$. Пусть $f\in A(\widehat{S}),\rho_{0}\in E_{0}(\widehat{S})$ и $\rho_{1}\in\widehat{S}_{+}$ таков, что $\rho_{1}(s)=1$ при $s\in S(\rho_{0})$ и $0<\rho_{1}(s)<1$ при $s\notin S(\rho_{0})$. Так как функция $\phi(z)=f(\rho_{1}^{z})$ непрерывна и ограничена в замкнутой правой полуплоскости $\overline{\Pi}$ и аналитична в $\Pi$, то по принципу Фрагмена-Линделефа $\sup_{z\in\overline{\Pi}}|\phi(z)|=\sup_{r\in\mathbb{R}}|\phi(ir)|$. Отсюда следует, что при всех натуральных $n$ справедливо неравенство

[TABLE]

Поскольку $\rho_{1}^{ir}\in X$, то, устремляя $n$ к $\infty$, получаем $|f(\rho_{0})|\leq\max\limits_{X}|f|$. Но $X\subset\Gamma$, и $\Gamma$ минимальна. Следовательно, $\rho_{0}\notin\Gamma$. $\Box$

Отметим, что в условиях предложения полухарактер $\theta\notin F$.

Выясним теперь структуру границы Шилова алгебры $A(\widehat{S})$ (ниже квадратные скобки обозначают замыкание в $\widehat{S}$).

Теорема 2

Для границы Шилова алгебры $A(\widehat{S})$ справедливо равенство

[TABLE]

где $K=[F]$ есть компактное подмножество $E(\widehat{S})$, содержащее $1$.

Доказательство. Заметим сначала, что для любого замкнутого $C\subset E(\widehat{S})$ множество $M:=\coprod_{\rho\in C}\rho X$ замкнуто в $\widehat{S}$. Действительно, если направленность $\psi_{n}$ из $M$ сходится к полухарактеру $\psi\in\widehat{S}$, то $|\psi_{n}|$ сходится к $|\psi|$. А так как $|\psi_{n}|\in C$, то и $|\psi|\in C$. В силу полярного разложения $\psi\in|\psi|\cdot X\subset M$.

Покажем теперь, что для любого множества $D\subset E(\widehat{S})$ справедливо равенство

[TABLE]

Действительно, левая часть содержится в правой по причине замкнутости последней. Для доказательства обратного включения возьмем полухарактер $\psi\in\coprod_{\rho\in[D]}\rho X$. Он имеет полярное разложение $\psi=\rho\chi$, где $\rho\in[D],\ \chi\in X$. Тогда $\rho=\lim_{n}\rho_{n}$ для некоторой направленности $\rho_{n}\in D$. Поэтому направленность $\psi_{n}:=\rho_{n}\chi\to\psi$, причем $\psi_{n}\in\coprod\limits_{\rho\in D}\rho X$. Значит, $\psi\in\left[\coprod\limits_{\rho\in D}\rho X\right]$.

Теперь, поскольку строгая граница $\Gamma$ плотна в $\partial_{A(\widehat{S})}$ (см., например, [15], c. 90), с учетом теоремы 1 имеем

[TABLE]

Компактность $[F]$ следует из компактности $E(\widehat{S})$. Наконец, заметим, что алгебра $A(\widehat{S})$ содержит в качестве замкнутой подалгебры алгебру Аренса-Зингера $A_{0}(\widehat{S})$, границей Шилова которой служит $X$ [1], а потому $X\subset\partial_{A(\widehat{S})}$.$\Box$

Следствие 1

Если $E(\widehat{S})$ содержит лишь конечное множество $p$-точек, то $\Gamma=\partial_{A(\widehat{S})}$. Кроме того, $\theta\notin E_{0}(\widehat{S})\cap\partial_{A(\widehat{S})}$.

Доказательство. По условию множество $F=\Gamma\cap E(\widehat{S})$ конечно. Поэтому первое утверждение следует из равенства $K=[F]$, а второе — из предложения 1. $\Box$

Следствие 2

Если полугруппа $S$ не содержит нетривиальных простых идеалов, то

[TABLE]

Доказательство. В силу теоремы 2 имеем $X\subset\partial_{A(\widehat{S})}$. Поскольку дополнения к $S(\rho)$ и $S^{\rho}$ в случае их непустоты являются простыми идеалами, а множество $S\setminus\{e\}$ есть по условию единственный простой идеал полугруппы $S$, то все неотрицательные полухарактеры $\rho$, отличные от $\theta$, удовлетворяют условию $0<\rho(s)<1$ при всех $s\in S,s\neq e$, а идемпотентами полугруппы $\widehat{S}$ являются только $1$ и $\theta$ ($S\setminus(S^{-1}\cap S)$ есть простой идеал, и значит, $S^{-1}\cap S=\{e\}$). Поэтому в силу следствия 1 и теоремы 1 $\Gamma=\partial_{A(\widehat{S})}\subseteq X\cup\{\theta\}$. Из ([15], теорема 4.5.2) следует $\widehat{S}_{+}\neq\{1,\theta\}$ (см. также [18], теорема 2.3.9), а значит выполнены все условия следствия 1 и $\theta\in E_{0}(\widehat{S})$. Следовательно, $\theta\notin\partial_{A(\widehat{S})}.$ $\Box$

3 Спектр Гельфанда

Следствие 2 позволяет вычислить спектр Гельфанда алгебры $A(\widehat{S})$ в случае, когда $S$ не содержит нетривиальных простых идеалов. Ниже через $A(X)$ обозначаем алгебру, образованную сужениями на $X$ функций из $A(\widehat{S})$, а $S_{1}$ есть подполугруппа группы $G$, порожденная носителями преобразований Фурье функций из $A(X)$.

Теорема 3

Пусть полугруппа $S$ не содержит нетривиальных простых идеалов. Тогда

1)* $S_{1}^{-1}\cap S_{1}=\{e\}$;*

2)* $\widehat{S}$ есть подполугруппа полугруппы $\widehat{S_{1}}$ в том смысле, что $S\subseteq S_{1}$ и отображение сужения на $S$ есть топологический изоморфизм некоторой подполугруппы полугруппы $\widehat{S_{1}}$ и полугруппы $\widehat{S}$;*

3)* отображение сужения на $\widehat{S}$ есть изометрический изоморфизм алгебры Аренса-Зингера $A_{0}(\widehat{S_{1}})$ и алгебры $A(\widehat{S})$;*

4)* спектр Гельфанда алгебры $A(\widehat{S})$ можно отождествить с $\widehat{S_{1}}$.*

Доказательство. Сначала докажем 1, 2). Для любого $a\in S$ обозначим через $\widetilde{a}$ функцию вычисления $\psi\mapsto\psi(a)\ (\psi\in\widehat{S})$. Тогда $\widetilde{a}\in A(\widehat{S})$. Заметим, прежде всего, что носителем преобразования Фурье сужения функции $\widetilde{a}$ на $X$ служит множество $\{a\}$. Поэтому $S\subseteq S_{1}$. Также легко проверить, что группы характеров полугрупп $S$ и $S_{1}$ естественно изоморфны группе характеров $X$ группы $G$ (характеры этих полугрупп однозначно продолжаются на $G$), поэтому далее будем их отождествлять.

Поскольку алгебра $A(X)$, очевидно, инвариантна относительно сдвигов, она в силу ([9], предложение 4.1.8) равна алгебре $A_{S_{1}}$, состоящей из всех непрерывных на $X$ функций, преобразование Фурье которых сосредоточено на $S_{1}$. Последняя алгебра, в свою очередь, посредством отображения сужения $i_{0}:F\mapsto F|X$ изометрически изоморфна алгебре $A_{0}(\widehat{S_{1}})$ по теореме 2.6 из [1]. С другой стороны, равенство $\partial_{A(\widehat{S})}=X$ влечет то, что отображения сужения $i:\Phi\mapsto\Phi|X$ есть изометрический изоморфизм алгебр $A(\widehat{S})$ и $A(X)$. Таким образом, возникает изометрический изоморфизм $j:A_{0}(\widehat{S_{1}})\to A(\widehat{S})$ такой, что следующая диаграмма коммутативна:

[TABLE]

Покажем, что каждый полухарактер $\psi\in\widehat{S}$ продолжается до полухарактера $\widetilde{\psi}\in\widehat{S_{1}}$. Действительно, для любого $x\in S_{1}$ имеем $\widehat{x}\in A_{0}(\widehat{S_{1}})$. Положим $\widetilde{\psi}(x):=j(\widehat{x})(\psi)$. Тогда при всех $x,y\in S_{1}$

[TABLE]

Кроме того, изометричность $j$ дает $|\widetilde{\psi}(x)|=|j(\widehat{x})(\psi)|\leq\|j(\widehat{x})\|=\|\widehat{x}\|=1$. Следовательно, $\widetilde{\psi}\in\widehat{S_{1}}$.

Покажем, что $\widetilde{\psi}|S=\psi$. Заметим, что $j(\widehat{a})=i^{-1}(i_{0}(\widehat{a}))=i^{-1}(\widehat{a}|X)=\widetilde{a}$ ($a\in S$), поскольку функции из $A(\widehat{S})$ и $A_{0}(\widehat{S_{1}})$ однозначно определяются своими значениями на $X$, а значения $\widehat{a}$ и $\widetilde{a}$ на $X$ совпадают. Поэтому для любого $\psi\in\widehat{S_{1}}$ имеем $\widetilde{\psi}(a)=j(\widehat{a})(\psi)=\widetilde{a}(\psi)=\psi(a)$, что и утверждалось.

Как показано в доказательстве следствия 2, если полухарактер $\psi\neq\theta_{S}$, то $\psi(s)\in(0,1)$ при $s\neq e$. Следовательно, если $x=a^{-1}b\in S_{1}\ (a,b\in S)$, то необходимо $\widetilde{\psi}(x)=\psi(b)/\psi(a)$. Теперь ясно, что (очевидно, непрерывное и инъективное) отображение $h:\psi\mapsto\widetilde{\psi}$ из $\widehat{S}$ в $\widehat{S_{1}}$ есть гомоморфизм полугруппы $\widehat{S}\setminus\{\theta_{S}\}$ в $\widehat{S_{1}}$. В доказательстве следствия 2 показано также, что $S^{-1}\cap S=\{e\}$, а потому в силу ([19], лемма 3) полугруппа $\widehat{S}$ связна. Следовательно, полугруппа $\widehat{S}\setminus\{\theta_{S}\}$ плотна в $\widehat{S}$, и значит $h$ однозначно продолжается по непрерывности до гомоморфизма $h:\widehat{S}\to\widehat{S_{1}}$. Так как $\widehat{S}$ компактна, то $h$ есть гомеоморфизм $\widehat{S}$ на свой образ. Следовательно, отображение $h^{-1}$ (являющееся отображением сужения на $S$) есть топологический изоморфизм полугрупп $h(\widehat{S})$ и $\widehat{S}$. Это доказывает 2).

Для завершения доказательства утверждения 1) достаточно установить равенство $h(\theta_{S})=\theta_{S_{1}}$, так как из него следует, что $\theta_{S_{1}}$ есть полухарактер полугруппы $S_{1}$. Но $h(\theta_{S})(h(\psi)-1)=0$, поскольку $h$ есть гомоморфизм, т. е. $\widetilde{\theta_{S}}(\widetilde{\psi}-1)=0$ для любого $\psi\in\widehat{S}$. Пусть $x\in S_{1}\setminus\{e\}$, и $\psi=\chi|S$, где $\chi\in X,\ \chi(x)\neq 1$. Тогда равенство $\widetilde{\theta_{S}}(x)(\widetilde{\psi}(x)-1)=0$ влечет $\widetilde{\theta_{S}}(x)=0$, что и требовалось доказать.

3. Утверждение следует из 2) и того факта, что для любой функции $F\in A_{0}(\widehat{S_{1}})$ функции $j(F)$ и $F|\widehat{S}$ совпадают на $X$, а потому и всюду.

4. Это сразу вытекает из утверждения 3) и теоремы 4.1 [1], согласно которой спектр Гельфанда алгебры $A_{0}(\widehat{S_{1}})$ есть $\widehat{S_{1}}$. $\Box$

Пример. Выберем иррациональные числа $\alpha,\beta$, такие, что $\beta<\alpha<0$, и рассмотрим следующую подполугруппу группы $\mathbb{Z}^{2}$: $S_{\alpha\beta}=\{(m,n)\in\mathbb{Z}^{2}|\alpha m\leq n,\beta m\leq n\}.$ Полугруппа $S_{\alpha\beta}$ не содержит нетривиальных простых идеалов, и ее полухарактеры имеют в точности вид $\psi(m,n)=z_{1}^{m}z_{2}^{n}$, где $z_{1},z_{2}\in\overline{\mathbb{D}},\ |z_{1}|^{\alpha}\leq|z_{2}|\leq|z_{1}|^{\beta}\ (0^{0}:=1)$. Таким образом, полугруппа $\widehat{S_{\alpha\beta}}$ естественным образом отождествляется с замкнутой областью в $\mathbb{C}^{2}$

[TABLE]

Из вида полухарактеров следует, что $S_{\alpha\beta}$ является конусом в смысле [10], а потому в силу ([11], теорема 3) алгебра $A(\widehat{S_{\alpha\beta}})$ совпадает с алгеброй Аренса-Зингера $A_{0}(\widehat{S_{\alpha\beta}})$, отвечающей полугруппе $S_{\alpha\beta}$.

Предположим теперь, что $\alpha-\beta>1$. Тогда множество $S=S_{\alpha\beta}\setminus\{(0,1)\}$ является полугруппой, которая тоже не содержит нетривиальных простых идеалов. Так как ее полухарактеры, отличные от $\theta$, не принимают нулевых значений, они продолжаются на полугруппу $S_{\alpha\beta}$, и имеют тот же вид, что и у этой полугруппы. Алгебра $A(\widehat{S})$ состоит из функций, непрерывных на $\Delta_{\alpha\beta}$ и аналитических внутри этого множества, и не совпадает с $A_{0}(\widehat{S})$. В этом примере $S_{1}=S_{\alpha\beta}$. Следовательно, строгая граница и граница Шилова алгебры $A(\widehat{S})$ отождествляются с двумерным тором $\mathbb{T}^{2}$, а ее спектр Гельфанда — с пространством $\Delta_{\alpha\beta}$.

Список литературы

• [1]

Arens R., Singer I. M. Generalised analytic functions, Trans. Amer. Math. Soc. 81 (2), 379–393 (1956).

• [2]

Arens R. A Banach algebra generalization of conformal mappings of the disc, Trans. Amer. Math. Soc. 81 (3), 501–513 (1956).

• [3]

Гамелин Т. Равномерные алгебры. (Мир, М., 1973).

• [4]

Mirotin A. R. Every invariant measure semigroup contanes an ideal which is embeddable in a group // Semigroup Forum. - 1999. - V. 59. - N 3. - P. 354

• 361.
• [5]

A. R. Mirotin, On Hilbert Transform in Context of Locally Compact Abelian Groups, Int. J. Pure Appl. Math., 51:4 (2009), 463 – 474.

• [6]

A. R. Mirotin, Fredholm and spectral properties of Toeplitz operators on the spaces $H^{p}$ over ordered groups, Sbornik Math., 202:5 (2011), 101 – 116, http://dx.doi.org/10.1070/SM2011v202n05ABEH004163.

• [7]

Rudin W. Fourier Analysis on Groups. (Interscience, N. Y., 1962).

• [8]

Tonev T. Big planes, Boundaries and Function Algebras. (North-Holland, Amsterdam, 1992).

• [9]

Grigoryan S.A., Tonev T. Shift-invariant Uniform Algebras on Groups. (Birkhauser, Basel 2006).

• [10]

Миротин А. Р. Теорема Пэли-Винера для конусов в локально компактных абелевых группах, Известия вузов. Математика, No 3, 35-44 (1995).

• [11]

Миротин А. Р., Романова М. А. Интерполяционные множества алгебры обобщенных аналитических функций, Известия вузов. Математика, No 3, 51-59 (2007).

• [12]

Миротин А. Р., Романова М. А. О строгой границе и границе Шилова алгебр обобщенных аналитических функций, Новые математические методы и комп. техн. Материалы XI Респ. науч. конф. студ. и асп. (Гомель, 17 - 19 марта 2008 г), Ч. 1, 133-134 (Гомель, 2008).

• [13]

Bonsall F. F., Duncan J. Complete Normed Algebras. (Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1973).

• [14]

Хьюитт Э., Росс K. Абстрактный гармонический анализ. Т. 2. (Мир, М., 1974).

• [15]

Taylor J. L. Measure algebras. (AMS, Providence, 1973).

• [16]

Carruth J. H., Hildebrant J.  A., Coch R.  J. The theory of topological semigroups. (Marcel Dekker, inc., New York-Basel, 1983).

• [17]

Келли Дж. Общая топология (Наука, М., 1981).

• [18]

Миротин А. Р. Гармонический анализ на абелевых полугруппах. (ГГУ им. Ф. Скорины, Гомель, 2008).

• [19]

Миротин А. Р., Романова М. А. Об Н-автоморфных обобщенных аналитических функциях, Весцi Нацыянальнай акадэмii навук Беларусi. Серыя фiз.-мат. навук, No 2, 24-28 (2007).