The Paley-Wiener-Gelfand tauberian theorem for semigroups with invariant measure

TL;DR

This paper extends the Paley-Wiener-Gelfand Tauberian theorem to abelian topological semigroups with invariant measure, broadening its applicability in harmonic analysis.

Contribution

It generalizes the Gelfand version of the Paley-Wiener Tauberian theorem to a wider class of semigroups with invariant measures.

Findings

The theorem is proved for abelian topological semigroups with invariant measure.

Several corollaries of the generalized theorem are provided.

Abstract

The theorem is proved that generalizes the Gelfand generalization of the Paley-Wiener tauberian theorem to general abelian topological semigroups with invariant measure. Several corollaries of this theorem are given.

Equations

$$\underset{\Sigma }{\int }\phi d\nu =\underset{S}{\int }\phi \circ \tau d\mu .$$

$$w(st)\le w(s)w(t)(s,t\in S).$$

$$\tilde{k}(\gamma )=\underset{S}{\int }k\overline{\gamma }d\mu ,$$

$$f_s(t)=f^{\prime }(\tau (s{)}^{-1}\tau (t)),t\in S.$$

$$(f\ast k)(t)=\underset{S}{\int }{f}_s(t)k(s)d\mu (s),t\in S,$$

$$\underset{\Sigma }{\int }{h}^{\prime }\phi d\nu =\underset{S}{\int }h({\tau }^{\prime }\phi )d\mu ,$$

$$\underset{\Sigma }{\int }{h}^{\prime }\phi d\nu =\underset{S}{\int }(h^{\prime }\circ \tau )(\phi \circ \tau )d\mu .$$

$$\underset{S}{\int }(h^{\prime }\circ \tau )gd\mu =\underset{S}{\int }hgd\mu ,$$

$$|f\ast k|w\le (|f|w)\ast (|k|w).$$

$$|f_s(t)|w(t)=|f^{\prime }(\tau (t)\tau (s{)}^{-1})|w^{\prime }(\tau (t)\tau (s{)}^{-1}\tau (s))\le$$

$$\le |f^{\prime }(\tau (t)\tau (s{)}^{-1})|w^{\prime }(\tau (t)\tau (s{)}^{-1})w^{\prime }(\tau (s))$$

$$\underset{S}{\int }|f_s(t)||k(s)|d\mu (s)w(t)\le \underset{S}{\int }(|f|w{)}_s(t)||k(s)|w(s)d\mu (s)=(|f|w)\ast (|k|w)(t),$$

$$\underset{S}{\int }{f}_t(s)\phi (s)d\mu (s)=\underset{S}{\int }f(s)\phi (ts)d\mu (s).$$

$$\underset{S}{\int }{k}_t(s)h(s)w(s)d\mu (s)=\underset{S}{\int }k(s)h(ts)w(ts)d\mu (s).$$

$$\underset{S}{\int }{f}_t\phi d\mu =\underset{S}{\int }{f}_{\tau (t)}^{\prime }(\tau (s)){\phi }^{\prime }(\tau (s))d\mu (s)=\underset{\Sigma }{\int }{f}_{\tau (t)}^{\prime }(x){\phi }^{\prime }(x)d\nu (x)=$$

$$=\underset{\Sigma }{\int }{f}^{\prime }(z){\phi }^{\prime }(\tau (t)z)d\nu (z)=\underset{S}{\int }{f}^{\prime }(\tau (s)){\phi }^{\prime }(\tau (ts))d\mu (s)=$$

$$=\underset{S}{\int }f(s)\phi (ts)d\mu (s).$$

$$\underset{D}{\int }(1_E{)}_{t}d\mu =\underset{S}{\int }{1}_D(1_E{)}_{t}d\mu =\underset{S}{\int }{1}_D(ts)1_E(s)d\mu (s)=$$

$$=\underset{S}{\int }{1}_{t^{-1}D}(s)1_E(s)d\mu (s)=\mu (t^{-1}D\cap E),$$

$$\mu (t^{-1}D\cap E)=\mu (D\cap tE)={\int }_D{1}_{tE}d\mu .$$

$$(f\ast k{)}^{\prime }=f^{\prime }\ast k^{\prime },$$

$$(f\ast k)(t)=\underset{S}{\int }{f}_s(t)k(s)d\mu (s)=\underset{S}{\int }{f}_{\tau (s)}^{\prime }(\tau (t))k^{\prime }(\tau (s))d\mu (s)=$$

$$=\underset{\Sigma }{\int }{f}_x^{\prime }(\tau (t))k^{\prime }(x)d\nu (x)=(f^{\prime }\ast k^{\prime })(\tau (t)).$$

$$|(f\ast k)(t)|\le \underset{S}{\int }|f_s(t)||k(s)|d\mu (s)\le \Vert f{\Vert }_{\infty }\Vert k{\Vert }_1.$$

$$(f\ast k{)}_t(s)=(f\ast k{)}_{\tau (t)}^{\prime }(\tau (s))=(f^{\prime }\ast k^{\prime }{)}_{\tau (t)}(\tau (s))=(f^{\prime }\ast k_{\tau (t)}^{\prime })(\tau (s)),$$

$$(f\ast k)(t)=(f^{\prime }\ast k^{\prime })(\tau (t))=\underset{\Sigma }{\int }{f}^{\prime }(x)k_x^{\prime }(\tau (t))d\nu (x)=$$

$$=\underset{S}{\int }{f}^{\prime }(\tau (s))k_{\tau (s)}^{\prime }(\tau (t))d\mu (s)=\underset{S}{\int }f(s)k_s(t)d\mu (s).$$

$$\underset{S\setminus C_1}{\int }|k_1|d\mu <\frac{ϵ}{2\Vert f_1{\Vert }_{\infty }},\text{mbox}\text{T}2A\text{cyri}|f_1(s)|<\frac{ϵ}{2\Vert k_1{\Vert }_1}\text{mbox}\text{T}2A\text{cyrp}\text{T}2A\text{cyrr}\text{T}2A\text{cyri}s\in S\setminus C_2.$$

$$|f_1|\ast |k_1|(t)=\underset{C_1}{\int }|(f_1{)}_s(t)||k_1(s)|d\mu (s)+\underset{S\setminus C_1}{\int }|(f_1{)}_s(t)||k_1(s)|d\mu (s).$$

$$\underset{C_1}{\int }|(f_1{)}_s(t)||k_1(s)|d\mu (s)=\underset{S}{\int }|(f_1{)}_s(t)||k_1(s)|1_{C_1}(s)d\mu (s)=$$

Full text

THE PALEY-WIENER-GELFAND TAUBERIAN THEOREM FOR SEMIGROUPS WITH INVARIANT MEASURE

Mirotin A. R.

amirotin@yandex.ru

The theorem is proved that generalizes the Gelfand generalization of the Paley-Wiener tauberian theorem to general abelian topological semigroups with invariant measure. More precisely, it is shown that if $w$ is a weight on an Abelian invariant measure semigroup $S,$ $fw\in L^{\infty}(S),\ K\in L^{1}(w)$, and $\widetilde{K}(\psi)\neq-1$ for all $\psi\in\widetilde{S}_{w},$ then $(f+K\ast f)w\to 0$ on $\infty$ implies $fw\to 0$ on $\infty.$ Several corollaries of this theorem are given.

**ТАУБЕРОВА ТЕОРЕМА ПЭЛИ-ВИНЕРА-ГЕЛЬФАНДА ДЛЯ ПОЛУГРУПП С ИНВАРИАНТНОЙ МЕРОЙ

**

Доказана теорема, переносящая обобщение Гельфанда тауберовой теоремы Пэли-Винера на общие абелевы топологические полугруппы с инвариантной мерой. Приведено несколько следствий этой теоремы.

**1. Ведение и предварительные сведения **

Как известно, теоремы, в которых асимптотическое поведение некоторого усреднения функции выводится из асимптотического поведения самой этой функции, называются абелевскими, а теоремы, в которых утверждается обратное, носят название тауберовых. Как правило, справедливость тауберовой теоремы требует наличия некоторого дополнительного (по сравнению с соответствующей абелевской теоремой) условия, которое принято называть тауберовым. Терминология восходит к классическим результатам Абеля и Таубера, в которых речь шла о рядах. Первоначальным стимулом к развитию этого направления в анализе послужили задачи теории чисел, в дальнейшем появились и другие приложения, в частности, к теории операторов (см. [1]).

Р. Пэли и Н. Винеру [2] принадлежит теорема тауберовского типа, утверждающая, что для функции $k$ из $L^{1}(\mathbb{R}_{+})$, такой, что её преобразование Лапласа $\tilde{k}(z)$ не принимает значения -1 при ${\rm Re}z\geq 0$, и функции $f$ из $L^{\infty}(\mathbb{R}_{+})$ соотношение $f(x)+f\ast k(x)\to s$ влечет соотношение $f(x)\to s/(1+\tilde{k}(1))\quad(x\to+\infty).$ Ими же показано, что тауберово условие здесь существенно. В качестве частного случая получается следующая теорема Мерсера: если $0<\alpha<1$ и если $\alpha x_{n}+(1-\alpha)n^{-1}\sum_{k=1}^{n}x_{k}\to x$, то $x_{n}\to x$. Теорема Пэли-Винера на абелевы полугруппы с инвариантной мерой была перенесена в [3].

И. М. Гельфанд [4] обобщил результат Пэли и Винера на случай весовой алгебры $L^{1}(\mathbb{R}_{+},w)$. Целью настоящей работы является перенесение тауберовой теоремы Пэли-Винера-Гельфанда на общие абелевы полугруппы с инвариантной мерой и получение некоторых её многомерных и дискретных аналогов.

Далее $S$ будет обозначать абелеву топологическую полугруппу, ${\cal B}(S)$ – $\sigma$-алгебру борелевских подмножеств $S$. Полугруппа $S$ будет предполагаться наделенной инвариантной мерой, а именно, ненулевой положительной мерой Радона $\mu$, такой, что $\mu(sB)=\mu(B)$ для любых $B\in{\cal B}(S)$, обладающих тем свойством, что $sB\in{\cal B}(S)\quad(s\in S)$. Мера $\mu$ будет предполагаться также локально ограниченной в том смысле, что каждая точка обладает окрестностью конечной меры. Простейшие примеры таких полугрупп мы получим, рассматривая борелевские подполугруппы локально компактных абелевых групп с суженной на них мерой Хаара. Другим примером является плоскость Немыцкого с обычным сложением и плоской мерой Лебега. Так как $S$ есть полугруппа с инвариантной мерой в смысле [5], мы будем использовать построенную там структурную теорию таких полугрупп (см. также [6, глава 1]). В частности, в [5] было показано, что существует локально компактная абелева группа $G$, ненулевой гомоморфизм $\tau$ полугруппы $S$ на подполугруппу $\Sigma$ группы $G$ и идеал $S_{0}$ полугруппы $S$, такие, что 1) сужение $\tau_{0}$ гомоморфизма $\tau$ на $S_{0}$ есть топологическое вложение; 2) идеал $\tau(S_{0})$ полугруппы $\Sigma$ открыт в $G$ и порождает $G$; 3) образ $\tau_{0}(\mu)$ и сужение меры Хаара $\nu$ группы $G$ на $\tau(S_{0})$ совпадают; 4) $\mu(C)=\nu(\tau(C))$ для любых компактных $C\subset S$. Отсюда следует, что для любой функции $\varphi\in L^{1}(G)$ имеет место равенство ([6, следствие 1.2.5])

[TABLE]

Будем предполагать дополнительно, что $\Sigma=\tau(S)$ есть борелевское подмножество группы $G$ (хотя часть результатов справедлива и без этого предположения). Все функции на $\Sigma$ считаем доопределенными нулем на $G\setminus\Sigma$.

Нам также понадобятся некоторые свойства алгебр $L^{1}(w)$ и $L^{\infty}(S)$, установленные в [6].

Определение 1. Полухарактером полугруппы $S$ будем называть непрерывный гомоморфизм этой полугруппы в мультипликативную полугруппу $\mathbb{C}$, отличный от тождественно нулевого. Через $\widetilde{S}$ ($\widetilde{S}_{+}$) мы обозначаем пространство всех не локально $\mu$-пренебрежимых (соответственно всех не локально $\mu$-пренебрежимых неотрицательных) полухарактеров полугруппы $S$, наделенное компактно-открытой топологией.

Определение 2. Неотрицательная измеримая функция $w$ на $S$ называется весом, если она локально ограничена (т. е. ограничена в достаточно малой окрестности любой точки $s\in S$), и справедливо неравенство

[TABLE]

Далее будем считать, что вес $w$ факторизуем, т. е. $w=w^{\prime}\circ\tau$, где $w^{\prime}$ — вес на $\Sigma$. (В силу следствия 1.2.2 из [6] каждый вес факторизуем, если $S$ — полугруппа с сокращениями.)

Всюду ниже через $\widetilde{S}_{w}$ обозначается множество всех $\gamma\in\widetilde{S}$, для которых $|\gamma|\leq w$. Если $w=\rho\in\widetilde{S}_{+}$ — неотрицательный полухарактер, то каждый полухарактер из $\widetilde{S}_{\rho}$ имеет вид $\psi=\rho\xi$, где $\xi\in\widetilde{S}$ — ограниченный полухарактер.

Пространство $L^{1}(S,w\mu)$ будем для краткости обозначать $L^{1}(w)$. Оно является коммутативной банаховой алгеброй со сверткой в качестве умножения, стандартная норма в ней будет обозначаться $\|.\|_{w}$.

Определение 3 [7]. Пусть $k\in L^{1}(w)$. Функцию $\tilde{k}$ на $\widetilde{S}_{w}$, определенную равенством

[TABLE]

будем называть преобразованием Лапласа функции $k$.

Следующая теорема, доказанная в [6], (см. там теорему 3.2.8) является обобщением результатов Гельфанда и Эдвардса ([8, с. 370 – 372]). В частном случае $w\in\widetilde{S}_{+}$ она была опубликована в [7].

Теорема 1. Комплексные гомоморфизмы алгебры $L^{1}(w)$ есть в точности отображения вида $f\mapsto\tilde{f}(\gamma)$, где $\gamma\in\widetilde{S}_{w}$. Гельфандов спектр алгебры $L^{1}(w)$ можно отождествить с $\widetilde{S}_{w}$, и при этом отождествлении преобразование Гельфанда для $L^{1}(w)$ есть преобразование Лапласа.

**2. Одна теорема абелевского типа **

Всюду ниже вес $w$ считается положительным.

Определение 4. Измеримую функцию $f$ на $S$ вида $f=f^{\prime}\circ\tau$, где $f^{\prime}$ — измеримая функция на $\Sigma$, назовем факторизуемой.

Определение 5. Для факторизуемой функции $f$ на $S$, $f=f^{\prime}\circ\tau$, определим сдвиг на элемент $s\in S$ равенством

[TABLE]

Определение 6. Пусть функции $f$ и $k$ определены на $S$, причем $f$ факторизуема. Определим свертку функций $f$ и $k$ равенством

[TABLE]

если интеграл в правой части существует для $\mu$-почти всех $t$. В этом случае функции $f$ и $k$ будем называть свертываемыми.

Для получения основных результатов нам понадобится ряд лемм. Часть из них опубликована в [6], мы приводим доказательства ввиду труднодоступности этого источника.

Лемма 1. Отображение $\tau^{\prime}:f^{\prime}\mapsto f^{\prime}\circ\tau$ есть изоморфизм сверточных алгебр $L^{1}(w^{\prime})$ и $L^{1}(w)$. В частности, $L^{1}(w)$ есть коммутативная банахова алгебра.

Доказательство. Достаточно убедиться в справедливости равенства $k\ast g=(k^{\prime}\ast g^{\prime})\circ\tau$, а это сразу вытекает из формулы (1).

Лемма 2. Отображение $h^{\prime}\mapsto h^{\prime}\circ\tau$ есть изометрический изоморфизм банаховой алгебры $L^{\infty}(\Sigma)$ на банахову алгебру $L^{\infty}(S)$.

Доказательство. Из леммы 1 следует, что отображение $f\mapsto f\circ\tau^{\prime}$ есть изометрический изоморфизм сопряженных пространств $L^{1}(S)^{\prime}$ и $L^{1}(\Sigma)^{\prime}$. В силу общего вида линейных функционалов в пространствах $L^{1}$ отсюда выводим, что отображение, которое каждой функции $h^{\prime}\in L^{\infty}(\Sigma)$ ставит в соответствие функцию $h\in L^{\infty}(S)$, удовлетворяющую при всех $\varphi\in L^{1}(\Sigma)$ условию

[TABLE]

есть изометрический изоморфизм пространства $L^{\infty}(\Sigma)$ на пространство $L^{\infty}(S)$ (это отображение, обратное к $f\mapsto f\circ\tau^{\prime}$). Но по формуле (1) при всех $\varphi\in L^{1}(\Sigma)$

[TABLE]

Таким образом, с учетом леммы 1 при всех $g\in L^{1}(S)$ справедливо равенство

[TABLE]

а потому $h=h^{\prime}\circ\tau$.

Лемма 3. Пусть функция $f$ на полугруппе $S$ измерима, $w$ — вес на $S$, $fw\in L^{\infty}(S)$, $k\in L^{1}(w)$. Тогда функции $f$ и $k$ свертываемы, и

[TABLE]

Доказательство. Функция $fw$ факторизуема в силу леммы 2. Кроме того, из легко проверяемого неравенства $\|(fw)_{t}\|_{\infty}\leq\|fw\|_{\infty}$ следует, что $fw$ и $kw$ свертываемы. В силу факторизуемости и положительности веса, факторизуема и сама функция $f$. Используя введенные выше обозначения, имеем

[TABLE]

[TABLE]

(обе части последнего неравенства равны нулю при $\tau(t)\tau(s)^{-1}\notin\Sigma$). Таким образом, $|f_{s}(t)|w(t)\leq(|f|w)_{s}(t)w(s)$. Следовательно,

[TABLE]

что доказывает лемму.

Лемма 4. а) Для любых $f\in L^{\infty}(S),\varphi\in L^{1}(S)$ и $t\in S$ справедливо равенство

[TABLE]

б) Для любых $k\in L^{1}(w),h\in L^{\infty}(S)$ и $t\in S$ справедливо равенство

[TABLE]

Доказательство. а). Пусть $f^{\prime}\in L^{\infty}(\Sigma),\varphi^{\prime}\in L^{1}(\Sigma)$ таковы, что $f=f^{\prime}\circ\tau,\varphi=\varphi^{\prime}\circ\tau$. Дважды используя формулу (1), имеем

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Доказательство пункта б) проводится аналогично.

Ниже через $1_{E}$ обозначается индикатор множества $E\subset S$.

Лемма 5. а) Для любых $E\in{\cal B}(S),\ t\in S$ таких, что $tE\in{\cal B}(S)$, справедливо равенство $(1_{E})_{t}=1_{tE}$ (в смысле алгебры $L^{\infty}(S))$;

б) $\|f_{t}\|_{\infty}\leq\|f\|_{\infty}\mbox{ \T2A\cyrd\T2A\cyrl\T2A\cyrya \T2A\cyrl\T2A\cyryu\T2A\cyrb\T2A\cyrery\T2A\cyrh}\ f\in L^{\infty}(S),t\in S.$

Доказательство. а). Для любого компактного $D\subset S$ имеем в силу леммы 4

[TABLE]

[TABLE]

где $t^{-1}D:=\{s\in S:ts\in D\}$ – борелевское множество. Но, поскольку $t(t^{-1}D\cap E)=D\cap tE$, то

[TABLE]

Следовательно, $(1_{E})_{t}=1_{tE}\quad\mu$-п.в.

б). Это является непосредственным следствием определений.

Лемма 6. Для $f\in L^{\infty}(S),\ k\in L^{1}(S)$ справедливо равенство

[TABLE]

где $f=f^{\prime}\circ\tau,k=k^{\prime}\circ\tau$ и $f^{\prime}\in L^{\infty}(\Sigma),\ k^{\prime}\in L^{1}(\Sigma)$.

Доказательство. Применяя формулу (1), получаем

[TABLE]

[TABLE]

Лемма 7. Пусть $f\in L^{\infty}(S),\ k,g\in L^{1}(S)$. Тогда

а) $f\ast k\in L^{\infty}(S)\cap C(S)$ , $\quad\|f\ast k\|_{\infty}\leq\|f\|_{\infty}\|k\|_{1}$;

б) $(f\ast k)_{t}=f\ast k_{t}$;

в) $(f\ast k)\ast g=f\ast(k\ast g)$;

г) $(f\ast k)(t)=\int_{S}f(s)k_{s}(t)d\mu(s)$.

Доказательство. а). В силу леммы 5 имеем

[TABLE]

Осталось установить непрерывность свертки (т. е. показать, что соответствующий класс эквивалентности содержит непрерывную функцию). Но известно (см., например, [10, гл. 5, §20]), что свертка $f^{\prime}\ast k^{\prime}$ $\nu$-почти всюду совпадает с некоторой функцией $h^{\prime}\in L^{\infty}(\Sigma)\cap C(\Sigma)$. Следовательно, $f\ast k=h^{\prime}\circ\tau$ $\mu$-п.в. (В противном случае $(f^{\prime}\ast k^{\prime})\circ\tau\neq h^{\prime}\circ\tau$ на некотором компакте $C\subset S$ положительной $\mu$-меры, а тогда $f^{\prime}\ast k^{\prime}\neq h^{\prime}$ на $\tau(C)$, причем $\nu(\tau(C))=\mu(C)>0$, — противоречие).

б). С учетом леммы 6 получаем, что

[TABLE]

причем по определению $k^{\prime}_{\tau(t)}=(k_{t})^{\prime}$.

в). Это легко выводится из соответствующего свойства свертки на группе $G$ с помощью леммы 6.

г). Снова используя свойства свертки на группе $G$ и лемму 6, имеем в силу формулы (1)

[TABLE]

[TABLE]

Будем говорить, что функция $f$ на полугруппе $S$ стремится к числу $c$ на $\infty$ (и писать $f\to c$ на $\infty$), если для любого $\epsilon>0$ вне некоторого компакта $K_{\epsilon}\subset S$ выполняется неравенство $|f(x)-c|<\epsilon$.

Теперь мы можем установить следующее утверждение абелевского типа.

Теорема 2. Если функция $F$ измерима на $S$, $Fw\in L^{\infty}(S)$, $k\in L^{1}(w)$ и $Fw\to 0$ на $\infty$, то существует $F\ast k$, и $(F\ast k)w\to 0$ на $\infty$.

Доказательство. Существование $F\ast k$ сразу следует из леммы 3. Положим $f_{1}:=Fw,\ k_{1}:=kw$. В силу той же леммы можно считать, что $f_{1}\neq 0,\ k_{1}\neq 0$. Для любого $\epsilon>0$ выберем такие компактные $C_{1},\ C_{2}\subset S$, что

[TABLE]

Очевидно, что

[TABLE]

Пусть $t\notin C_{1}C_{2}$. Тогда в силу лемм 5 и 7 имеем

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

поскольку $1_{sC_{1}}(t)=0$ при $t\notin C_{1}C_{2},\ s\in C_{2}$.

Далее, имеем для некоторого $k^{\prime}\in L^{1}(\Sigma)$

[TABLE]

Рассмотрим функцию $h(x)=|k^{\prime}(x^{-1}\tau(t))|$ из $L^{1}(G)$. Учитывая инвариантность меры Хаара $\nu$ относительно сдвигов и отражения, получаем

[TABLE]

[TABLE]

Таким образом, $\int_{C_{1}}|(f_{1})_{s}(t)||k_{1}(s)|d\mu(s)\leq\epsilon/2.$ Но

[TABLE]

Для завершения доказательства осталось заметить, что $|F\ast k|w\leq|f_{1}|\ast|k_{1}|$ по лемме 3.

3. Тауберовы теоремы

В условиях предыдущей теоремы $(F+F\ast k)w\to 0$ на $\infty$. Оказывается, справедливо частичное обращение этого утверждения. Теоремы 1 и 2 позволяют получить этот результат как непосредственное следствие гельфандовской теории коммутативных банаховых алгебр (ср. [4, c. 124]).

Теорема 3. Пусть $f$ измерима на $S$, $fw\in L^{\infty}(S),\ K\in L^{1}(w)$, и $\widetilde{K}(\psi)\neq-1$ при всех $\psi\in\widetilde{S}_{w}$. Если $(f+K\ast f)w\to 0$ на $\infty$, то и $fw\to 0$ на $\infty$.

Доказательство. Напомним, что по теореме 1 гельфандов спектр алгебры $L^{1}(w)$ естественным образом отождествляется с $\widetilde{S}_{w}$, и при этом преобразование Гельфанда переходит в преобразование Лапласа. Обозначим через $V$ алгебру, получающуюся из $L^{1}(w)$ присоединением единицы $u$ (если это необходимо), умножение в $V$ тоже обозначим $\ast$. Для измеримой на $S$ функции $F$ и элемента $z=\lambda u+k\in V$ положим $z\ast F:=\lambda F+k\ast F$, при условии, что свертка существует. Тогда, если свертки существуют, то $z_{1}\ast(z_{2}\ast F)=(z_{1}\ast z_{2})\ast F$ при $z_{1},z_{2}\in V$. Тауберово условие означает, что элемент $u+K$ обратим в $V$. Если мы положим $F:=(u+K)\ast f$, то $Fw=fw+(K\ast f)w\in L^{\infty}(S)$ в силу лемм 3 и 7 а). Теперь в силу теоремы 2 $((u+K)^{-1}\ast F)w\to 0$ на $\infty$, причем свертка существует, и для завершения доказательства осталось заметить, что $(u+K)^{-1}\ast F=((u+K)^{-1}\ast(u+K))\ast f=f$.

Если учесть, что непрерывные полухарактеры полугруппы $\mathbb{R}_{+}^{n}$ имеют вид $x\mapsto e^{-x\cdot z}\ (z\in\mathbb{C}^{n}$), то из теоремы 3 вытекает следующая тауберова теорема для $n$-мерной усеченной свертки (ниже для $x\in\mathbb{R}_{+}^{n}$ положено $[0,x]=(x-\mathbb{R}_{+}^{n})\cap\mathbb{R}_{+}^{n}$).

Следствие 1. Пусть $w$ — положительный вес на аддитивной полугруппе $\mathbb{R}_{+}^{n}$, $fw\in L^{\infty}(\mathbb{R}_{+}^{n}),\ k\in L^{1}(w)$, причем

[TABLE]

при $z\in\mathbb{C}^{n}$ таких, что $x\cdot{\rm Re}z\geq-\log w(x)$ при всех $x\in\mathbb{R}_{+}^{n}.$ Если

[TABLE]

то

[TABLE]

Следствие 2. Пусть $S$ – дискретная полугруппа с единицей $e$ и сокращениями, $w$ — положительный вес на этой полугруппе, $fw\in L^{\infty}(S),\ k\in L^{1}(w)$, причем $\tilde{k}(\psi)\neq 0$ при всех $\psi\in\widetilde{S}_{w}$. Если $(f\ast k)w\to 0$ на $\infty$, то $fw\to 0$ на $\infty$.

Действительно, в этом случае алгебра $L^{1}(w)(=l_{1}(w))$ содержит единицу $u=1_{\{e\}}$. Тогда $(f\ast k)w=(f+f\ast(k-u))w$, причем $\widetilde{(k-u)}(\psi)\neq-1$ при всех $\psi\in\widetilde{S}_{w}.$

Следствие 3. Пусть $w$ — положительный вес на аддитивной полугруппе $\mathbb{Z}_{+}$, $fw\in l^{\infty}(\mathbb{Z}_{+}),\ k\in l^{1}(w)$, причем $\sum_{n=0}^{\infty}k(n)z^{n}\neq 0$ при всех $z\in\mathbb{C}$, таких, что $|z|\leq\inf_{n}\sqrt[n]{w(n)}$. Если $\sum_{i=0}^{\infty}f(i)k(n-i)w(n)\to 0$ при $n\to\infty$, то $f(n)w(n)\to 0$ при $n\to\infty$.

Это сразу вытекает из следствия 2, если заметить, что полухарактеры полугруппы $\mathbb{Z}_{+}$ имеют вид $\psi(n)=z^{n},\ z\in\mathbb{C}\ (0^{0}:=1)$.

С помощью следствия 2 мы сейчас получим тауберову теорему для свертки Дирихле.

Теорема 4. Пусть $\rho$ — положительный полухарактер мультипликативной полугруппы $\mathbb{N}^{*}$ натуральных чисел, $f\rho\in L^{\infty}(\mathbb{N}^{*})$, $k\in L^{1}(\rho)$, причем сумма соответствующего ряда Дирихле ограничена снизу в правой полуплоскости:

[TABLE]

Если $\sum_{d|n}f(d)k(n/d)\rho(n)\to 0$, то $f(n)\rho(n)\to 0$ при $n\to\infty.$

Доказательство сразу вытекает из следствия 2 и следующей леммы, обобщающей теорему 1 из [9], где рассмотрен случай $\rho=1$.

Лемма 8. Пусть $\rho$ — положительный полухарактер полугруппы $\mathbb{N}^{*}$, $k\in L^{1}(\rho)$. Если сумма ряда Дирихле ограничена снизу в правой полуплоскости как в теореме 4, то $\widetilde{k}(\psi)\neq 0$ при всех $\psi\in\widetilde{\mathbb{N}^{*}}_{\rho}$.

Доказательство. Так как $S=\mathbb{N}^{*}$ – свободная полугруппа, образующими которой являются простые числа, то общий вид полухарактера в $\mathbb{N}^{*}$ есть $\psi(n)=z^{\alpha(n)}:=z_{1}^{n_{1}}z_{2}^{n_{2}}\ldots$, где $z=(z_{1},z_{2},\ldots)\in{\mathbb{C}}^{\infty}$, $n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\ldots$ – каноническое разложение числа $n$ на простые множители, $\alpha(n)=(n_{1},n_{2},\ldots)$ – финитный мультииндекс. Следовательно, преобразование Лапласа для полугруппы $\mathbb{N}^{*}$ имеет вид

[TABLE]

Достаточно доказать, что для любого полухарактера $\psi$ полугруппы $\mathbb{N}^{*},\ |\psi|\leq\rho$ найдется такое число $s\in\mathbb{C},\ {\rm Re}s\geq 0$, что $|\widetilde{k}(\psi)-\widetilde{k}(\rho\overline{\psi_{s}})|<C/2$, где $\psi_{s}(n):=n^{-s}$. Если натуральное $m$ таково, что $\sum_{n=m+1}^{\infty}|k(n)|\rho(n)<C/8$, а $\psi(n)=\rho(n)z^{\alpha(n)}$, где $z\in\overline{\mathbb{D}}^{\infty}$ (каждый полухарактер $\psi$ полугруппы $\mathbb{N}^{*}$, удовлетворяющий условию $|\psi|\leq\rho$, имеет такой вид), то

[TABLE]

Выберем такие натуральные $r,M$, что любое натуральное $n\leq m$ имеет каноническое разложение с простыми множителями $p_{1},\ldots,p_{r}$ и показателями $n_{i}\leq M$. Доказательство леммы будет завершено, если мы убедимся, что найдется такое $s\in\mathbb{C},\ {\rm Re}s\geq 0$, для которого при всех $n_{i}\leq M$ справедливо неравенство

[TABLE]

Ввиду очевидного неравенства $|a^{l}-b^{l}|\leq l|a-b|$, справедливого для $a,b\in\overline{\mathbb{D}}$, достаточно показать, что за счет выбора $s\in\mathbb{C},\ {\rm Re}s\geq 0$ можно сделать сколь угодно малыми все разности $z_{j}-p_{j}^{-s}=z_{j}-e^{-s\log p_{j}}\ (j=1,\ldots,r)$. Дело легко сводится к случаю $z_{j}=e^{-i\varphi_{j}},\ s=it$ с вещественными $\varphi_{j},\ t$. Но поскольку числа $\log p_{j}$ линейно независимы над полем $\mathbb{Q}$, последнее утверждение следует из аппроксимационной теоремы Кронекера (см., например, [10, (26.19, ii)]).

Замечание. Аналог теоремы 3 в случае ненулевого предела, вообще говоря, неверен, в чем нас убеждает следующий

Пример 1 [6]. Пусть $S=\mathbb{N}^{*}$ — мультипликативная полугруппа натуральных чисел, наделенная считающей мерой и дискретной топологией, $w=1$, и функция $q$ из $L^{1}(\mathbb{N}^{*})$ определена равенством $q(n)=1/2^{n+1}$. Так как $|\sum_{n\geq 1}q(n)n^{-s}|\leq 1/2$ при ${\rm Re}s\geq 0$, то для функции $k=u+q$, где $u=1_{\{1\}}$ — единица алгебры $L^{1}(\mathbb{N}^{*})$, имеем

[TABLE]

Лемма 8 показывает теперь, что $\widetilde{q}(\psi)\neq-1$ при всех $\psi\in\;\widetilde{S}_{1}$. С помощью теоремы о неявной функции, примененной к банаховой алгебре $L^{1}(\mathbb{N}^{*})$, выводим отсюда, что уравнение $K+q=-K\ast q$ имеет решение $K\in L^{1}(\mathbb{N}^{*})$. Так как $(u+K)(u+q)=u$, то $(1+\widetilde{K}(\psi)(1+\widetilde{q}(\psi))=1$ при всех $\psi\in\widetilde{S}_{1}$, а потому $\widetilde{K}(\psi)\neq-1$. Если мы положим $f\!=\!1\!+\!1\!\ast\!q$, то $f\!\in\!L^{\infty}(\mathbb{N}^{*})$, причем $f\!+\!f\!\ast\!K\!=\!1$. С другой стороны, $f(n)=1+\sum_{d|n}1/2^{d+1}\to 5/4$, если $n$ простое, $n\to\infty$, и $f(p!)\geq 1+\sum_{1\leq j\leq p}1/2^{j+1}\geq 11/8$, для любого простого $p\geq 3$. Поэтому $f$ не имеет предела на бесконечности.

В то же время, при дополнительных ограничениях на полугруппу аналог теоремы 3 в случае ненулевого предела все же имеет место (см. [3]).

В заключение отметим следующее приложение полученных результатов.

Теорема 5. Пусть $S$ – свободная абелева полугруппа с единицей $e$. Предположим, что на $S$ задана норма, т. е. такой гомоморфизм $N:S\to\mathbb{R}_{+}^{*}$, что $N(a)>1$ при $a\neq e$. Обозначим через $P$ множество простых элементов полугруппы $S$ (множество образующих). Тогда ряд $\sum_{p\in P}1/N(p)$ расходится вместе с рядом $\sum_{s\in S}1/N(s)$.

Доказательство см. в [6].

Пример 2. Пусть $K$ — поле алгебраических чисел (конечное расширение поля $\mathbb{Q}$), $S$ — полугруппа целых идеалов этого поля, отличных от нуля. Это свободная полугруппа с множеством образующих $\mathfrak{P}$, состоящим из простых идеалов $\mathfrak{p_{1}},\mathfrak{p_{2}},\ldots$, наделенная нормой $N$ (см., например, [11]). Известно, что ряд $\sum_{\mathfrak{a}\in S}1/N\mathfrak{a}$ расходится (точка $s=1$ является полюсом дзета-функции Дедекинда $\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a}\in S}1/N\mathfrak{a}^{s}$ поля $K$), поэтому расходится и ряд $\sum_{\mathfrak{p}\in\mathfrak{P}}1/N\mathfrak{p}$.

Замечание. Данная работа опубликована в [12].

Список литературы

• [1]

Korevaar J. A Century of Complex Tauberian Theory. Bull. Amer. Math. Soc. 2002. Vol. 39, No 4. P. 474 – 530.

• [2]

Винер Н. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964.

• [3]

Миротин А. Р. Общая форма тауберовой теоремы Пэли-Винера. Труды 4-й международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений"в 3-х томах. Т. 2. Математический анализ и приложения. Мн.: Ин-т математики НАН Беларуси. 2006. С. 103 – 108.

• [4]

Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: Физматгиз. 1960.

• [5]

Mirotin A. R. Every Invariant Measure Semigroup Contains an Ideal which is Embeddable in a Group. Semigroup Forum. 1999. Vol. 59, No 3. P. 354 – 361.

• [6]

Миротин А.Р. Гармонический анализ на абелевых полугруппах. Гомель: ГГУ. 2008.

• [7]

Миротин А.Р. Инвариантные меры в коммутативных топологических полугруппах. Известия вузов. Математика. 1988. № 3. С. 75 – 77.

• [8]

Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир. 1969.

• [9]

Hewitt E., Williamson J. H. Note on absolutely convergent Dirichlet series. Proc. Amer. Math. Soc. 1957. Vol. 8, No 4. P. 863 — 868.

• [10]

Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. М.: Наука, 1975.

• [11]

Ленг С. Алгебраические числа. М.: Мир. 1966.

• [12]

Миротин А.Р. Тауберова теорема Пэли-Винера-Гельфанда для полугрупп с инвариантной мерой, Труды Ин-та математики. 2013. - Т. 21, № 1. С. 88 - 97.