Demostraci\'on simplificada de la Conjetura de Modularidad de Serre (carta)

TL;DR

This paper simplifies the proof of Serre's Modularity Conjecture over c by leveraging a recent Modularity Lifting Theorem, eliminating complex weight reduction steps used in previous proofs.

Contribution

It introduces a streamlined proof of Serre's Conjecture that avoids traditional weight reduction techniques by applying Pan's theorem and a new lemma, simplifying the overall argument.

Findings

Proof of Serre's Conjecture over c is simplified

Weight reduction achieved with fewer applications of Pan's theorem

Elimination of the need for weight reduction via Galois conjugation

Abstract

We explain in this letter how using a recent Modularity Lifting Theorem proved by Lue Pan the proofs of Serre's Modularity Conjecture over $\mathbb{Q}$ given by Khare-Wintenberger and the author can be greatly simplified. The main difference with the previous proofs is that neither the process of "weight reduction" developed by Khare in his proof of the level 1 case nor the alternative method of "weight reduction via Galois conjugation" developed by the author are required: weight reduction can now be obtained just with two applications of Pan's result, together with a Lemma that guarantees that the residual representations in the last two steps are not in the bad-dihedral case.

Full text

A Jean-Pierre Wintenberger (1954-2019), in Memoriam.

1 Carta datada en Septiembre de 2018

Hola Basil,

Te hago notar que, usando el teorema de L. Pan, en la versión que él dijo que pronto demostrará, en la cual quita la condición tediosa local en $p$ (sobre el cociente de los dos caracteres en la representación residual), al menos para $p>3$, se puede probar la conjetura de Serre sobre ${\mathbb{Q}}$ de manera muy simple. De hecho, la fase de “killing the level” es muy sencilla y ya está explicada en mi paper “Remarks on Serre’s modularity conjecture”, y una vez hecho esto, se acaba con el teorema de Pan en sólo dos pasos más!

Te recuerdo la parte de “killing the level”: como el teorema de Kisin ya ha sido mejorado por otros autores (Y. Hu, F. Tan y S. Tung), quitando precisamente la condición tediosa sobre el cociente de los dos caracteres de la representación residual local en $p$, tal como anticipé que pasaría en la sección final de mi paper (sección 7), “killing ramification” se hace de la forma más simple imaginable: se introduce un Good Dihedral prime $q$ en el nivel para garantizar “large residual images” y se matan uno tras otro los primos $p_{i}$ del nivel, es decir, se reduce módulo $p_{i}$ y se toma un levantamiento minimal sin $p_{i}$ en el nivel. Hecho esto, la conjetura de Serre queda reducida al caso de nivel $q^{2}$, peso $k\geq 2$. Es decir, se aplica el método tal como fuera explicado en mi paper, pero del modo simplificado que se mencionaba en la Sección 7 del mismo gracias a que el teorema de Kisin ya ha sido mejorado.

Observación: en realidad, estoy suponiendo que el nivel es impar. Si fuera par, para matar el primo $2$ del nivel, se procede como en los papers de Khare-Wintenberger, la idea es la siguiente: después de haber hecho lo anterior (introducir el Good Dihedral prime $q$ en el nivel y matar todos los primos impares del nivel) tomando un levantamiento de peso $2$ modulo un primo auxiliar $r$ se puede suponer que se está en un caso de peso $2$ (el primo $r$ será un primo que está ahora en el nivel pero que se mata luego de la forma sencilla ya indicada en el párrafo anterior, basta con cogerlo menor que una cota apropiada para que el good dihedral prime $q$ garantice imagen residual grande modulo $r$), y una vez hecho esto, el único problema técnico para matar el $2$ del nivel es que los “$2$-adic modularity lifting theorems” (el de Kisin es el que ellos aplican) requieren que sea una representación potentially Barsotti-Tate (no son válidos en el caso semiestable no-cristalino). Para resolver este problema técnico, Khare-Wintenberger hacen un truco que podríamos llamar “three-two trick”: Si están en el caso malo, o sea con un sistema compatible que localmente en el $2$ está en el caso semistable (up to twist), prueban que se puede hacer una congruencia modulo $3$ con otro sistema cuyo tipo local en el $2$ sea tal que la representación $2$-adica del nuevo sistema es potentially Barsotti-Tate. Hecho esto, ya se puede usar el teorema $2$-adico de Kisin para matar el $2$ del nivel, y se tiene una congruencia con una representación de conductor impar y peso $2$ o $4$. Es en este momento dónde podemos matar el primo $r$ del nivel tal como hicimos con el resto de primos impares del nivel.

Una vez que se acaba la fase de killing the level, que es muy sencilla, ya estamos en el caso de nivel $q^{2}$ y peso $k>1$. Aquí, si suponemos la mejora del teorema de Pan (para $p>3$) que él anunció en su charla del congreso de Rio de Janeiro (tal como dije al principio: un teorema que no requiera la condición tediosa local en $p$ para $p>3$, con lo que queda un teorema como el de Skinner-Wiles, es decir un teorema de modularidad para el caso residualmente reducible, pero que cubre también el caso no-ordinario, y que tiene como únicas condiciones las que son necesarias para que la representación $p$-adica considerada pueda ser modular, o sea las condiciones de la conjetura de Fontaine-Mazur-Langlands) se puede acabar en dos pasos: reducir modulo $q$ y, si fuera residualmente irreducible y con imagen large, tomar un levantamiento minimal para así pasar a una congruencia con un sistema de nivel $1$ y peso mayor que $1$ (aquí hay que tener en cuenta que al reducir modulo $q$ estamos perdiendo el Good Dihedral prime y ya no tenemos control sobre la imagen residual): si en este paso la imagen residual es “large” se aplica de nuevo el Teorema de Kisin (como en mi paper ya citado) para garantizar que la modularidad se preserva en esta congruencia (se propaga de la de nivel $1$ a la de nivel $q^{2}$). Si la representación residual es reducible, se aplica el teorema de L. Pan (en la versión mejorada) y se concluye modularidad. Queda un tercer caso, que es el caso donde la imagen residual es bad-dihedral (o sea, irreducible pero tal que su restricción al cuerpo cuadrático ramificado sólo en $q$ es reducible), pero en un lema al final de este mensaje probaré que este tercer caso no puede ocurrir. Notese que queremos eliminar este caso para poder aplicar el Teorema de Kisin y para poder aplicar el resultado de existencia de un levantamiento minimal.

En el paso siguiente, que sólo se lleva a cabo si la representación modulo $q$ es irreducible, se coge el levantamiento minimal de nivel 1 y peso $k>1$, y el sistema compatible que lo contiene, y se reduce modulo $5$. Tras un apropiado twist, podemos suponer que el peso de Serre de esta representación módulo $5$ es $k=2,4$ o $6$. En los tres casos, la conjetura de Serre la damos por cierta: estos tres casos base se reducen fácilmente (usando la maquinaria de modularity lifting theorems, minimal lifts, compatible systems…) a resultados de Serre (y Tate) módulo $p=3$ para los casos $k=2$ y $4$ y a resultados de Schoof para $k=6$ (sobre variedades abelianas semiestables con buena reducción fuera del $5$). De hecho, son tres casos de la conjetura de Serre que fueron probados en los primeros papers sobre conjetura de Serre en trabajos de Khare-Wintenberger y míos de 2003 y 2004. Así que los consideramos como casos ya probados. Como no hay formas modulares cuspidales con nivel $1$ y peso $2,4$ o $6$, esto significa que la representación módulo $5$ tiene que ser reducible (de hecho, aplicando el lema al final de esta carta se ve en particular que no puede ser bad-dihedral), con lo cual se concluye modularidad del sistema compatible aplicando una vez más el teorema de L. Pan. Y esto acaba la demostración de la Conjetura de Serre.

Sólo falta demostrar el lema que explica porqué al reducir módulo $q$ la representación residual no puede ser bad-dihedral:

Demostración del lema: Si la representación residual es bad-dihedral, tendrá peso de Serre $k>1$ (twisteando si fuera necesario, podemos suponer $1<k\leq q+1$), nivel de Serre $1$, y la característica del cuerpo es el primo $q$. Utilizando resultados de Ribet en los que este caso de imagen bad-dihedral se estudia en detalle, es bien sabido, y se aplicó en reiteradas ocasiones en las demostraciones de la conjetura de Serre de la pasada década (tanto en la de Khare-Wintenberger como en la mía, y de hecho también se aplicó en el resultado anterior de Dieulefait-Manoharmayum sobre modularidad de variedades de Calabi-Yau rígidas) que para que la representación sea bad-dihedral se tiene que tener la siguiente relación entre el primo $q$ y el peso de Serre $k$: o bien $q=2k-3$, o bien $q=2k-1$.

La primera se corresponde con el caso en que la inercia en $q$ actúa a través de caracteres fundamentales de niveau $2$ y la segunda con el caso de niveau $1$, es decir, potencias del caracter ciclotómico modulo $q$. Ahora bien, en el caso en que estamos, en el cual el nivel de Serre es $1$, un análisis más fino da lugar al “Lema de Wintenberger” (cuya demostración aparece en el ítem $1$ del lema 6.2 del paper de C. Khare “Serre’s modularity conjecture: the level 1 case” publicado en el Duke Math. Journal) en el que se demuestra que el caso bad-dihedral con $q=2k-3$ (es decir, el caso de caracteres fundamentales de niveau $2$) no puede ocurrir. Con lo cual, la única posibilidad es $q=2k-1$. Pero observemos que como el nivel de Serre es 1, nuestra representaci n residual (debido a que es una representación impar) tiene que tener un valor de $k$ par, con lo cual la igualdad $q=2k-1$ implica que $q$ es congruente con $3$ modulo $4$. Pero esto contradice la definición misma de Good Dihedral prime, puesto que parte de la definición impone que $q$ ha de ser congruente con $1$ módulo $8$ (vease el paper “Serre’s modularity conjecture (I)”, de Khare- Wintenberger). Por lo tanto el lema queda probado, y es válido en general para cualquier primo $p$ congruente con $1$ modulo $4$: si el nivel de Serre es $1$ en una representación modulo $p$ para un tal primo $p$, entonces la representación no puede ser bad-dihedral (por eso el comentario que hice antes de que este lema también podría aplicarse al reducir modulo $5$ para deducir que la representación residual no es bad-dihedral, puesto que $5$ es congruente con $1$ modulo $4$).

Bueno, habiendo acabado por completo esta demostración breve de la conjetura de Serre, queda sólo un comentario final: Cuál es la principal ventaja de esta demostración más corta? Que es mucho más sencilla. El mecanismo de inducción doble (en el nivel y en el peso) que aparece en la demostración dada por Khare-Wintenberger con la casuística que incluye es claramente más complicado. Por otro lado, en mi paper “Remarks on Serre’s modularity conjecture” ya se utiliza el resultado más fuerte de Kisin para hacer el proceso de killing the level más sencillo, pero una vez reducidos a casos de nivel $1$, hay que recordar que para reducir el peso de Serre tanto el método de reducción de peso de Khare (en su paper publicado en el Duke Math. Journal sobre el caso de nivel $1$) como mi método alternativo en mi paper “The level 1 case of Serre’s conjecture revisited”, publicado en Rendiconti dei Lincei (la ventaja de este paper era que evitaba el uso de primos auxiliares que dividieran a $p-1$, cosa que hacía Khare en su paper, mediante el truco de “weight reduction via Galois conjugation”) utilizaban versiones refinadas del postulado de Bertrand, con lo cual se trataba en ambos casos de un método inductivo sobre los primos utilizando técnicas analíticas. La demostración en esta carta, gracias al teorema de L. Pan, ejecuta la reducción de peso en un sólo paso, simplemente moviéndonos hasta el primo $p=5$.

Post Scriptum(January 2019): As expected, L. Pan proved his result in the stronger version required for the argument in this letter to work, this is the main result in his paper: “The Fontaine-Mazur conjecture in the residually reducible case” (L. Pan, available at ArXiv). Therefore, the short proof of Serre‘s conjecture described in this letter is now unconditional.