Description of generalized jacobians of singular hyperelliptic curves through phase spaces of Mumford systems

TL;DR

This paper explores the algebraic and geometric descriptions of singular hyperelliptic spectral curves associated with Mumford systems, focusing on generalized Jacobians and their relation to integrable systems.

Contribution

It provides a detailed analysis of the generalized Jacobians of singular hyperelliptic curves within the context of Mumford systems, linking algebraic and geometric perspectives.

Findings

Characterization of generalized Jacobians for singular hyperelliptic curves

Connection between Lax equations and spectral curve geometry

Insights into the dual algebraic and geometric descriptions

Abstract

Many finite dimensional integrable systems qre expressed with the help of the Lax equation which highlights a spectral parameter and therefore a spectral curve. These spectral curves are the starting point of an algebro-geometric investigation. The algebraic aspect of this investigation will be expressed using the Jacobians of smooth spectral curves and generalized jacobians of singular spectral curves and in the other hand the geometrical aspect will be attributed to the vector fields which are defined by the Lax equation. In this article will be dedicated only to singular hyperelliptic spectral curves that are associated to Mumford systems. We will study the complementarity of these two mathematical approaches to describe the same object and revealing their characteristics.

Equations

$$C_{reg}=C^{\prime }-\{p_1,\cdots ,p_s\},$$

$$C=C_{reg}\cup \{s\}.$$

$$\mathcal{O}_{p}=\left\{\begin{array}[]{cc}\mathcal{O}^{\prime}_{p}&\text{ si }p\in C_{reg},\\ \mathbb{C}+I_{s}&\text{ si }p=s,\end{array}\right.$$

$$0⟶{\mathbb{C}}^{\ast k-1}\times {\mathbb{C}}^{(\sum _{i=1}^k{n}_i-k)}⟶\mathrm{Jac}(C)⟶\mathrm{Jac}(C^{\prime })⟶0,$$

$$\det (A(x)-I{d}_{r}y)=0,$$

$$A(x)=A_d{x}^d+A_{d-1}{x}^{d-1}+...+A_0\text{ ouˋ }{A}_i\in gl(\mathbb{C}).$$

$$A(x)=A_{g+1}{x}^{g+1}+A_g{x}^g+...+A_0\text{ avec }{A}_i\in g{l}_2(\mathbb{C}),$$

$$\frac{dA(x)}{dt}$$

$$D=\sum _{p\in C}{n}_{p}p,\text{ ouˋ les }{n}_p\text{ sont des entiers presque tous nuls}.$$

$$(f)=\sum _{p\in C}{v}_p(f)p,$$

$${\pi }^{-1}(U)$$

$$\begin{array}[]{ccc}U\times\mathbb{C}&\longrightarrow&V\times\mathbb{C}\\ (p,x)&\longrightarrow&(p,f(p)x)\end{array}$$

$$\begin{array}[]{cccc}\phi_{U}(s):&U&\longrightarrow&U\times\mathbb{C}\\ &p&\longrightarrow&(p,s_{U}(p))\end{array}$$

$$s_U=g_{UV}{s}_V.$$

$$s_U=g_{UV}{s}_V\text{et}{t}_U=g_{UV}{t}_V;$$

$$\frac{s_U}{t_U}=\frac{s_V}{t_V};$$

$$(s+t)(m):=s(m)+t(m)\text{et}(\lambda s)(m)=\lambda s(m).$$

$$s_0(z)=z^n{s}_1(z_1),$$

$$\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i{z}^i=z^n\sum _{i=0}^{\infty }{b}_i{z}^{-i}z\in {\mathbb{C}}^{\ast },$$

$$0⟶\mathbb{Z}\stackrel{\exp (2\pi \star )}{⟶}\mathcal{O}⟶{\mathcal{O}}^{\ast }⟶1$$

$$\begin{array}{rl}& 0⟶\mathbb{Z}⟶\mathbb{C}⟶{\mathbb{C}}^{\ast }⟶\\ & H^1(C,\mathbb{Z})⟶H^1(C,\mathcal{O})⟶H^1(C,{\mathcal{O}}^{\ast })\\ ⟶& H^2(C,\mathbb{Z})⟶H^2(C,\mathcal{O})⟶H^2(C,{\mathcal{O}}^{\ast })⟶...\end{array}$$

$$\mathbb{C}\stackrel{surjectif}{⟶}{\mathbb{C}}^{\ast }\stackrel{\text{application }0}{⟶}{H}^1(C,\mathbb{Z})\stackrel{injectif}{⟶}{H}^1(C,\mathcal{O})⟶H^1(C,{\mathcal{O}}^{\ast })⟶H^2(C,\mathbb{Z})⟶0.$$

$$0⟶\frac{H^1(C,\mathcal{O})}{H^1(C,\mathbb{Z})}⟶H^1(C,{\mathcal{O}}^{\ast })⟶H^2(C,\mathbb{Z})⟶0.$$

$$\varphi :C^{\prime }-\mathrm{supp}\mathfrak{n}⟶C-S$$

$$\varphi :C^{\prime }⟶C$$

$$l_{\mathfrak{n}}(D)-i_{\mathfrak{n}}(D)=\mathrm{deg}(D)+1-\pi .$$

$$\left\{\begin{array}[]{lc}\pi=g^{\prime}&\text{ si }\mathfrak{n}=0\;,\\ \pi=g^{\prime}+\delta&\text{ si }\mathfrak{n}\neq 0\;,\\ \end{array}\right.$$

$$i_{\mathfrak{n}}(D+p)=i_{\mathfrak{n}}(D)-1.$$

$$D^{\prime }\underset{\mathfrak{n}}{\sim }D+\sum _{i=1}^{\pi }{M}_i.$$

$$R\underset{\mathfrak{n}}{\sim }$$

Full text

Description de jacobiennes généralisées de courbes hyperelliptiques singulières à travers des espaces de phases de systèmes de Mumford

Yasmine FITTOUHI

1 Introduction

De nombreux systèmes intégrables à dimension finie peuvent être exprimés à l’aide de l’équation de Lax qui met en évidence un paramètre spectral et par conséquent une courbe spectrale. Ces courbes spectrales sont le point de départ d’une investigation algébro-géométrique; l’aspect algébrique de cette investigation sera adjointe aux jacobiennes de courbes spectrales lisses et aux jacobiennes généralisées de courbes spectrales singulières et l’aspect géométrique sera attribué aux champs de vecteurs qui sont définis par l’équation de Lax. Cet article sera dédié uniquement aux courbes spectrales hyperelliptiques singulières qui sont associées à des systèmes de Mumford, on s’intéressera à la complémentarité de ces deux approches mathématiques pour décrire un même objet et dévoiler leurs caractéristiques.

1.1

En 1954, Rosenlicht introduisait les jacobiennes généralisées de courbes singulières [21]. Soit $C^{\prime}$ une courbe lisse compacte et soient $p_{1},\cdots,p_{s}$ des points distincts de $C^{\prime}$ composant le support du diviseur effectif $\mathfrak{m}=\sum\limits_{i=1}^{k}n_{i}p_{i}$. Au moyen de la courbe lisse $C^{\prime}$ et du diviseur $\mathfrak{m}$ on peut construire une courbe singulière $C$ en un point $s\in C^{\prime}$ définie en deux étapes, on retire de la courbe $C^{\prime}$ le sous ensemble $\{p_{1},\cdots,p_{k}\}$,

[TABLE]

puis on attribut un point $s$ représentant le support de $\mathfrak{m}$

[TABLE]

On obtient une projection $C^{\prime}\longrightarrow C$.

Definition 1.1**.**

Soit $\mathcal{O}^{\prime}$ le faisceau de $C^{\prime}$. On note par $\mathcal{O}$ un faisceau de $C$ défini de la manière suivante:

[TABLE]

où $I_{s}$ est l’idéal composé des fonctions $f$ de $\mathcal{O}^{\prime}_{s}$ tel que pour tout $1\leqslant i\leqslant k$, les fonctions $f$ sont nulles au point $p_{i}$ au moins d’ordre $n_{i}$.

Notation 1.1**.**

Soit $D_{1}$ et $D_{2}$ deux diviseurs de $C^{\prime}$ étrangers au support de diviseur $\mathfrak{m}$. On note $D_{1}\underset{\mathfrak{m}}{\sim}D_{2}$, s’il existe une fonction méromorphe de $C^{\prime}$ telle que $(f)=D_{1}-D_{2}$ et $f-1$ est nulle au points $\{p_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant k}$ au moins d’ordre $\{n_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant k}$ (respectivement). On note par $\operatorname{Pic}(C)$ l’ensemble des classes d’équivalence $\operatorname{Div}(C)/\underset{\mathfrak{m}}{\sim}$

Definition 1.2**.**

La jacobienne generalisée de la courbe $C$ est le groupe algébrique $\operatorname{Pic}^{0}(C)$ composé des diviseurs $D\in\operatorname{Pic}(C)$ de degré zéro; notée $\operatorname{Jac}(C)$ ou $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}(C^{\prime})$.

La construction de la jacobienne géneralisée nous permet de faire la liaison entre $\operatorname{Jac}(C)$ et $\operatorname{Jac}(C^{\prime})$ avec la proposition ci-dessous:

Proposition 1.1**.**

La suite suivante

[TABLE]

est exacte.

1.2

Une courbe spectrale est une courbe d’équation affine $y^{r}+s_{1}(x)y^{r-1}+\cdots+s_{r}(x)=0$. Les courbes spectrales tiennent leur nom du fait qu’elles représentent le spectre de matrices et cela se traduit de la manière suivante:

[TABLE]

où $A(x)$ est une matrice carrée $r\times r$ de la forme

[TABLE]

Les courbes hyperelliptiques sont des cas particuliers des courbes spectrales représentant le spectre de matrices carrées $2\times 2$. Nous allons focaliser notre étude aux courbes hyperelliptiques singulières associées aux systèmes de Mumford. Tout l’enjeu de cette article est de tirer profit des systèmes de Mumford pour compléter nos connaissances des jacobiennes généralisées de courbes hyperelliptiques.

1.3

L’espace de phase $M_{g}$ du système de Mumford d’ordre $g$ avec $g\in\mathbb{N}^{*}$ est l’ensemble des matrices polynomiales carrées $2\times 2$ à trace nulle de la forme suivante:

[TABLE]

où A_{g+1}=\left(\begin{array}[]{cc}0&0\\ 1&0\end{array}\right) , A_{g}=\left(\begin{array}[]{cc}0&1\\ w_{g}&0\end{array}\right) avec $w_{g}\in\mathbb{C}$.

Soit A(x)=\left(\begin{array}[]{cc}v(x)&u(x)\\ w(x)&-v(x)\end{array}\right) de $M_{g}$. L’équation de Lax du système de Mumford est la suivante:

[TABLE]

Pour plus de details sur les systèmes de Mumford voir [20].

Soit $h$ un polynôme de degré $2g+1$. Soit $C$ la courbe hyperelliptique d’equation affine $y^{2}=h(x)$, on note $M_{g}(h)$ la fibre du système de Mumford associée à $C$. Pour décrire les fibres des systèmes de Mumford, nous allons utiliser le fait que chaque fibre admet une stratification. La description des fibres revient à décrire les strates des systèmes de Mumford, comme on l’a vu précédemment chaque strate est isomorphe à une strate maximale d’un système de Mumford. Par conséquent notre description se réduit à décrire les strates maximales, c’est-à-dire les strates $M_{g,g}(h)$ composée des matrices A(x)=\left(\begin{array}[]{cc}v(x)&u(x)\\ w(x)&-v(x)\end{array}\right)\in M_{g}(h) telles que $\deg(\operatorname{PGCD}(u,v,w))=0$. Rappelons, quand $h$ est sans racine multiple, $M_{g,g}(h)$ coincide avec la fibre $M_{g}(h)$ et est d’après Mumford un ouvert de la jacobienne de la courbe hyperelliptique lisse $C:y^{2}=h(x)$.

1.4

Cet article est composé de trois parties. La première partie consiste à rappeler la construction de la jacobienne d’une courbe lisse ainsi que l’élaboration de la jacobienne généralisée d’une courbe singulière. Dans la deuxième partie nous nous restreignons aux courbes hyperelliptiques en rappelant leurs caractéristiques, puis nous définirons la jacobienne généralisée d’une courbe hyperelliptique singulière en calculant explicitement l’entier naturel $\delta$ par le lemme 3.1 qui est l’indice central du théorème de Riemann-Roch généralisé. Nous établirons aussi la jacobienne généralisée d’une courbe hyperelliptique singulière comme une extension de groupe à l’aide d’une suite exacte (34).Dans la troisième partie, après un bref rappel des systèmes de Mumford comme systèmes algébriquement intégrables et de la stratifications des fibres de l’application moment d’un système de Mumford. Comme chaque strate fine d’une fibre singulière de $M_{g}$ est isomorphe à une strate maximale d’une fibre de l’espace de phase $M_{g^{\prime}}$, où $g^{\prime}<g$. Le reste de cette article sera dédié à établir toutes les caractéristiques des matrices composant une strate maximale dont la caractéristique la plus considerable est exprimée dans le lemme 4.1. Ceci nous permettra de construire l’application injective $\Phi$ introduite dans la definition 4.1 qui liera la strate maximale $M_{g,g}(h)$ avec la jacobienne généralisée de la courbe hyperelliptique $C$ d’équation $y^{2}=h(x)$, puis nous nous emploierons à démontrer que $\Phi$ est une application bien définie et qu’elle est le bon choix pour définir un isomorphisme entre $M_{g,g}(h)$ et un ouvert de la jacobienne généralisée $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}(C^{\prime})$, qui sera établi par la proposition 4.5.

2 Rappels

Dans cette section, nous rappelons brièvement la notion de diviseur sur une courbe algébrique et nous énonçons la définition et les propriétés fondamentales des courbes hyperelliptiques et nous rappelons la construction de la jacobienne généralisée ( voir les details et informations complémentaires dans [14] et [22] ).

Soit ${C}$ une courbe algébrique projective. Le groupe des diviseurs de ${C}$ est le groupe abélien libre, engendré par les points de ${C}$. Il est noté $\operatorname{Div}({C})$ et ses éléments sont appelés diviseurs (de ${C}$). Tout diviseur $D$ de ${C}$ s’écrit comme

[TABLE]

Le support de $D$, noté $\operatorname{supp}(D)$, est l’ensemble de points $p\in{C}$ tel que $n_{p}\neq 0$. Le degré de $D$ est l’entier $\sum\limits_{p\in{C}}n_{p}$, noté $\deg(D)$. La fonction $\deg:\operatorname{Div}(C)\to\mathbb{Z}$ est un morphisme de groupes, dont le noyau est noté $\operatorname{Div}^{0}({C})$. Soit $D=\sum\limits_{p\in{C}}n_{p}p$ un diviseur de ${C}$ et $p$ un point de ${C}$ on appelle $n_{p}$ la multiplicité de $D$ en $p$, noté $D|_{p}$.

Le groupe des diviseurs $\operatorname{Div}({C})$ est naturellement muni d’une relation d’ordre partiel. Soient $D=\sum\limits_{p\in{C}}n_{p}p$ et $D^{\prime}=\sum\limits_{p\in{C}}n^{\prime}_{p}p$ deux diviseurs de ${C}$. On dit que $D\geqslant D^{\prime}$ si $n_{p}\geqslant n^{\prime}_{p}$ pour tout $p\in{C}$. Un diviseur $D\in\operatorname{Div}({C})$ est dit effectif si $D\geqslant 0$. L’ensemble des diviseurs effectifs est noté $\operatorname{Div}^{+}({C})$. Les diviseurs effectifs de ${C}$ de degré $n$ sont en bijection avec les éléments de ${C}^{(n)}$, où ${C}^{(n)}$ est le produit symétrique $n$-ième de la courbe ${C}$. Par abus de language, on appelle les éléments de ${C}^{(n)}$ aussi des diviseurs de $C$.

Supposons maintenant que ${C}$ soit une courbe non-singulière. Une fonction rationnelle $f$ sur ${C}$ définit un diviseur, noté $(f)$, où

[TABLE]

avec $v_{p}$ la valuation de la fonction $f$ au point lisse $p$. Un tel diviseur est appelé diviseur principal. Les diviseurs principaux de ${C}$ forment un sous-groupe de $\operatorname{Div}^{0}({C})$, noté $\operatorname{Princ}({C})$. deux diviseurss $D$ et $D^{\prime}$ de ${C}$ sont dit linéairement équivalents si leur différence est un diviseur principal. On écrira alors $D\sim D^{\prime}$ et on note $[D]$ la classe d’équivalence de $D$. Les diviseurs principaux de ${C}$ sont donc les diviseurs $D$ avec $D\sim 0$. La relation d’équivalence linéaire est compatible avec la structure de groupe de $\operatorname{Div}({C})$: si $D\sim D^{\prime}$ alors $D+D^{\prime\prime}\sim D^{\prime}+D^{\prime\prime}$ pour tout $D^{\prime\prime}\in\operatorname{Div}({C})$. Par conséquent, le quotient $\operatorname{Div}({C})/\operatorname{Princ}({C})$ est un groupe qu’on appelle le groupe de Picard, noté $\operatorname{Pic}({C})$. Puisque le degré de tout diviseur principal est zéro, le morphisme $\deg:\operatorname{Div}({C})\to\mathbb{Z}$ induit un morphisme $\deg:\operatorname{Pic}(C)\longrightarrow\mathbb{Z}$. Son noyau est constitué de classe d’équivalence linéaire de tous les diviseurs de degré zéro de ${C}$ est un groupe abélien, appelé la jacobienne de la courbe ${C}$, notée $\operatorname{Jac}({C})$. C’est une variété abélienne de dimension $g$ qui est très utile dans l’étude de la courbe lisse ${C}$. Plus loin, nous considèrerons les jacobiennes généralisées, qui généralisent la notion de jacobienne pour des courbes singulières, mais au préalable donnons une autre definition équivalente à cette dernière definition de la jacobienne d’une courbe lisse ${C}$.

Definition 2.1**.**

Un faisceau de droites $L$ sur une surface de Riemann $C$, est une variété complexe de dimension deux, munie d’un holomorphisme $\pi:L\longrightarrow C$ tel que:

• —

L’image inverse par $\pi$ d’un point $p\in C$ a une structure d’espace vectoriel de dimension 1 noté $L_{p}$,

• —

Pour tout $p\in C$, il existe un ouvert $U$ contenant $p$ est un isomorphisme $\phi_{U}:\pi^{-1}(U)\overset{\sim}{\longrightarrow}U\times\mathbb{C}$,

[TABLE]

• —

Soit $U$ et $V$ deux ouverts, le morphisme $\phi_{V}\circ\phi_{U}^{-1}$ est de la forme

[TABLE]

avec $f$ une fonction holomorphe non-nul.

Notation 2.1**.**

Le holomorphisme $f$ défini dans (7) est noté $g_{UV}$ et est appelé fonction de transition des fonctions de trivializations locales $\phi_{U}$ et $\phi_{V}$.

Definition 2.2**.**

Une section holomorphe d’un faisceau de droites $L$ d’une surface de Riemann $C$ est une fonction holomorphe $s:C\longrightarrow L$ telle que $\pi\circ s=id$.

Le relation entre une section $s$ et une fonction trivialization locale $\phi_{U}$ est la suivante

[TABLE]

Où $s_{U}$ est une fonction holomorphique définie sur l’ouvert $U$. Soit $V$ un autre ouvert de $C$, on a sur l’intersection $U\cap V$

[TABLE]

Remarque 2.1**.**

Soit $s$ et $t$ deux sections d’un faisceau de droites $L$, et $U,V$ deux ouverts de $C$, on a sur l’ouvert $U\cap V$

[TABLE]

ce qui implique que sur $U\cap V$ on ait

[TABLE]

*En regroupant toutes les fractions de la forme (10), on reconstruit une fonction méromorphe sur toute la courbe $C$.

Notation 2.2**.**

Pour tous $s$ et $t$ deux sections d’un faisceau de droites $L$ et pour tout point $p$ de $C$, on note

[TABLE]

*avec $\lambda\in\mathbb{C}.$

L’ensemble des sections d’un faisceau de droites $L$ muni des relations (11) est un espace vectoriel noté $H^{0}(C,L)$.*

Théorème 2.1**.**

Soit $L$ un faisceau de droites de $C$, l’espace $H^{0}(C,L)$ est de dimension finie.

L’exemple suivant nous permettra d’apercevoir la relation entre courbe et faisceau en droite

Exemple 2.1**.**

Soit l’espace projectif $\mathbb{P}^{1}$ muni de sa carte usuelle $(U_{0},z)$ et $(U_{1},{z}_{1})$. On note par $\mathcal{O}(n)$ le faisceau en droite doté de la fonction de transition $g_{01}(z)=z^{n}$ sur $U_{0}\cap U_{1}=\mathbb{C}^{*}$. Une section $(s_{0},s_{1})$ de $H^{0}(\mathbb{P}^{1},\mathcal{O}(n))$ doit satisfaire la condition suivante

[TABLE]

sur l’intersection $U_{0}\cap U_{1}$. Rappelons que les sections $(s_{0},s_{1})$ sont holomophes de forme: $s_{0}(z)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_{i}z^{i},\quad s_{1}(z_{1})=\sum\limits_{i=0}^{\infty}b_{i}z_{1}^{i},$ en outre sur l’ouvert $\mathbb{C}^{*}$ on a $z_{1}=\frac{1}{z}$ alors l’equation (12) devient

[TABLE]

On a abouti au fait que la section $s(z)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}z^{i}$, car en identifiant, les coefficients des deux parties de l’equation (13) on a $a_{i}=b_{i}=0$ pour $i>n$ et $a_{i}=b_{n-i}$ pour $i\leqslant n$. On conclut que toute section de section de $H^{0}(\mathbb{P}^{1},\mathcal{O}(n))$ doit être un polynôme d’ordre au plus $n$, de ce fait $\dim(H^{0}(\mathbb{P}^{1},\mathcal{O}(n)))\leqslant n+1$.

Soit $C$ une surface de Riemann et soit la suite exacte suivante

[TABLE]

où $\mathbb{Z}$ est le faisceau des fonctions constantes sur $C$ à valeur dans $\mathbb{Z}$, $\mathcal{O}$ est le faisceau des fonctions holomorphiques sur $C$ et $\mathcal{O}^{*}$ est le faisceau des fonctions holomorphiques non-nulles sur $C$.

À l’aide de la cohomologie de groupe la suite exacte (14) nous induit une suite exacte longue suivante:

[TABLE]

Cette longue suite s’arrête car $C$ est une courbe compacte on a $H^{2}(C,\mathbb{C})=0$.

De plus les flèches suivantes ont les particularités suivantes:

[TABLE]

Alors la suite (15) devient

[TABLE]

En outre, le groupe $H^{2}(C,\mathbb{Z})$ est isomorphe au groupe $\mathbb{Z}$, car $C$ est une surfaces de Riemann compactes.

Notation 2.3**.**

L’application $H^{1}(C,\mathcal{O}^{*})\longrightarrow H^{2}(C,\mathbb{Z})$ de suite exacte (17) est notée $c_{1}$. Soit $L$ un faisceau de droite de $H^{1}(C,\mathcal{O}^{*})$, on appelle $c_{1}(L)$ la première classe de Chern de $L$ et peut aussi être notée $deg(L)$.

Definition 2.3**.**

Soit $C$ une surface de Riemann lisse, le groupe $\frac{H^{1}(C,\mathcal{O})}{H^{1}(C,\mathbb{Z})}$ est appelé la jacobienne de la surface de Riemann $C$.

2.1   Jacobiennes généralisées

Les jacobiennes généralisées sont des groupes algébriques non-compacts. Nous construirons les jacobiennes généralisées en s’appuyant sur les travaux de Serre [22] , puis nous restreindrons notre étude aux courbes hyperelliptiques singulières.

Commençons par établir les notations qui seront utilisées dans cette section:

Notation 2.4**.**

Soit $C$ une courbe projective singulière, avec $S$ l’ensemble de ses points singuliers. On note ${C^{\prime}}$ la normalisée de courbe projective $C$, la courbe ${C^{\prime}}$ est lisse de genre $g^{\prime}$. Soit $\mathfrak{n}$ un diviseur effectif de ${C^{\prime}}$, appelé module (de ${C^{\prime}}$) tel qu’il existe une projection $\phi$ entre la courbe $C^{\prime}$ et la courbe $C$ où

[TABLE]

est un isomorphisme birégulier.

On note aussi par $\phi$ le prolongement de l’application (19)

[TABLE]

Definition 2.4**.**

Deux diviseurs $D$ et $D^{\prime}$ de ${C^{\prime}}$ sont dits $\mathfrak{n}$-équivalents, noté $D\underset{\mathfrak{n}}{\sim}D^{\prime}$, s’il existe une fonction rationnelle $f$ de $C$ telle que $(f-1)|_{p}\geqslant\mathfrak{n}|_{p}$ pour tout $p\in\operatorname{supp}(\mathfrak{n})$ et $D-D^{\prime}=(f)$.

Remarque 2.2**.**

Deux diviseurs $D$ et $D^{\prime}$ de ${C^{\prime}}$ sont $D\underset{\mathfrak{n}}{\sim}D^{\prime}$, induit que le diviseur $D-D^{\prime}$ est de support étranger à $\operatorname{supp}(\mathfrak{n})$.

Notation 2.5**.**

L’ensemble des diviseurs ${C^{\prime}}$ étrangers à $\operatorname{supp}(\mathfrak{n})$, sera noté $\operatorname{Div}_{\mathfrak{n}}(C^{\prime})$.

Definition 2.5**.**

Soit $D$ un diviseur de $\operatorname{Div}_{\mathfrak{n}}(C^{\prime})$. L’espace vectoriel $L_{\mathfrak{n}}(D)$ est composé des fonctions $f$ telles que $(f)\geqslant-D$ et $f$ admet une même valeur $c\in\mathbb{C}$ sur tous les points du $\operatorname{supp}(\mathfrak{n})$ avec $(f-c)|_{p}\geqslant\mathfrak{n}|_{p}$ pour tout $p\in\operatorname{supp}{\mathfrak{n}}$. La dimension de $L_{\mathfrak{n}}(D)$ est notée $l_{\mathfrak{n}}(D)$. L’espace vectoriel $I_{\mathfrak{n}}(D)$ est l’ensemble des formes $\omega$ telles que $(\omega)\geqslant D-\mathfrak{n}$. La dimension de $I_{\mathfrak{n}}(D)$ est notée $i_{\mathfrak{n}}(D)$.

Notation 2.6**.**

Pour tout point $p$ de $C$ (resp. tout point $q$ de $C^{\prime}$), on note par $\mathcal{O}_{p}$ (resp. $\mathcal{O}^{\prime}_{q}$) l’anneau local de $C$ (resp. $C^{\prime}$).

Sous les mêmes transcriptions vues dans la notation 2.4, on illustre le poids d’un point singulier de la manière suivante:

Soit $Q\in S$

$\bullet$ Si $\phi^{-1}(Q)=Q$ alors $\delta_{Q}=\dim(\mathcal{O}^{\prime}_{Q}/\mathcal{O}_{Q})$,

$\bullet$ Si $\phi^{-1}(Q)=\{Q_{1},\cdots,Q_{L}\}$ alors $\delta_{Q}=\dim(\mathcal{O}^{\prime}_{Q_{1}}/\bigcap\limits_{1\leqslant i\leqslant L}\mathcal{O}^{\prime}_{Q_{i}}).$

Le théorème classique de Riemann-Roch se généralise de la façon suivante:

Théorème 2.2** (Riemann-Roch).**

Soient ${C^{\prime}}$ une courbe projective lisse de genre $g^{\prime}$ et soit $\mathfrak{n}$ un diviseur effectif de ${C^{\prime}}$. Si $D$ est un diviseur de ${C^{\prime}}$, étranger à $\operatorname{supp}(\mathfrak{n})$, alors

[TABLE]

où

[TABLE]

*où $\delta=\sum\limits_{Q\in S}\delta_{Q}$ quand $\mathfrak{n}$ est un diviseur générique. Rappelons la definition de $\delta_{Q}$: Soit $Q\in S$ et soit l’application $\phi:C^{\prime}\longrightarrow C$ définie plus haut (19):

$\bullet$ Si $\phi^{-1}(Q)=Q$ alors $\delta_{Q}=\dim(\mathcal{O}^{\prime}_{Q}/\mathcal{O}_{Q})$,

$\bullet$ Si $\phi^{-1}(Q)=\{Q_{1},\cdots,Q_{L}\}$ alors $\delta_{Q}=\dim(\mathcal{O}^{\prime}_{Q_{1}}/\bigcap\limits_{1\leqslant i\leqslant L}\mathcal{O}^{\prime}_{Q_{i}}).$*

Ci-dessous nous énonçons quelques résultats qui découlent du théorème Riemann-Roch généralisé qui nous permettront de construire la jacobienne généralisée (voir [22]):

Lemme 2.1**.**

Soient ${C^{\prime}}$ une courbe projective lisse de genre $g^{\prime}$ et soit $\mathfrak{n}$ un module de ${C^{\prime}}$. Soit $D$ un diviseur de ${C^{\prime}}$ étranger à $\operatorname{supp}(\mathfrak{n})$ et soit $p$ un point générique de ${C^{\prime}}$. Si $i_{\mathfrak{n}}(D)\geqslant 1$, alors

[TABLE]

Une application répétée de ce lemme prouve le résultat suivant:

Lemme 2.2**.**

Soit ${C^{\prime}}$ une courbe projective lisse de genre $g^{\prime}$ et soit $\mathfrak{n}$ un module de ${C^{\prime}}$. Soit $D$ un diviseur de degré zéro de ${C^{\prime}}$ étranger à $\operatorname{supp}(\mathfrak{n})$ et soient $M_{1},\dots,M_{\pi}$ des points génériques de ${C^{\prime}}$. Alors il existe un unique diviseur effectif $D^{\prime}$ de ${C^{\prime}}$ tel que

[TABLE]

Lemme 2.2 implique que si $M$ et $N$ sont des points génériques de ${C^{\prime}}^{(\pi)}$, alors le lemme implique qu’il existe un unique élément $R$ de ${C^{\prime}}^{(\pi)}$, satisfaisant

[TABLE]

où $P_{0}$ est un point arbitraire de ${C^{\prime}}-\operatorname{supp}(\mathfrak{n})$.

Definition 2.6**.**

Soit la loi de composition $\star$ définie de la manière suivante:

[TABLE]

où

[TABLE]

avec $M$ et $N$ des points génériques de ${C^{\prime}}^{(\pi)}$ et $P_{0}$ est un point arbitraire de ${C^{\prime}}-\operatorname{supp}(\mathfrak{n})$.

Proposition 2.1**.**

La variété ${C^{\prime}}^{(\pi)}$, munie de la loi de composition $\star$ est un groupe birationnel.

Énonçons maintenant un résultat fondamental qui nous permettra la construction de jacobiennes généralisées

Proposition 2.2**.**

Tout groupe birationnel est birationnellement isomorphe à un (unique) groupe algébrique.

La proposition 2.2 révèle qu’il existe un groupe algébrique birationnellement isomorphe à $({C^{\prime}}^{(\pi)},\star)$. Ce groupe algébrique est de dimension $\pi$ et est appelé la

• jacobienne généralisée* de ${C^{\prime}}$ relative au module $\mathfrak{n}$, notée $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{n}}({C^{\prime}})$.

Notation 2.7**.**

On note par $\varphi$ le morphisme birationnellement isomorphe entre $({C^{\prime}}^{(\pi)},\star)$ et $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{n}}({C^{\prime}})$.

La construction suivante nous permettra de prolonger le morphisme $\varphi$ du groupe $({C^{\prime}}^{(\pi)},\star)$ vers le groupe des diviseurs étrangers à $\mathfrak{n}$. Fixons un point $P_{0}$ arbitraire de ${C^{\prime}}-\operatorname{supp}(\mathfrak{n})$ et $M=\sum\limits_{i=1}^{\pi}M_{i}$ un point générique de ${C^{\prime}}^{(\pi)}$. Soit $D$ un diviseur de $\operatorname{Div}_{\mathfrak{n}}(C^{\prime})$, il existe un élément de ${C^{\prime}}^{(\pi)}$ tel que

[TABLE]

On note par $\theta$ le morphisme de $\operatorname{Div}_{\mathfrak{n}}(C^{\prime})$ vers $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{n}}({C^{\prime}})$ défini de la manière suivante:

[TABLE]

Proposition 2.3**.**

L’application $\theta$ est indépendante du choix du point $P_{0}$ et de l’élément $M$.

L’application $\theta$, peut-être appelée le morphisme de Serre. Exposons la relation entre la jacobienne généralisée de $C^{\prime}$ associée au diviseur ${\mathfrak{n}}$ et la jacobienne généralisée de $C^{\prime}$ associée au diviseur ${\mathfrak{n}^{\prime}}$ où:

[TABLE]

Le morphisme suivant permet d’établir la relation entre les jacobiennes:

[TABLE]

Du fait que $({C^{\prime}}^{(\pi)},\star)$ est rationnellement isomorphe à $\operatorname{Jac}(C^{\prime})_{\mathfrak{n}}$ et à l’aide du morphisme de Serre entre $\operatorname{Div}_{\mathfrak{n^{\prime}}}({C^{\prime}})$ et $\operatorname{Jac}(C^{\prime})_{\mathfrak{n^{\prime}}}$, on aboutit au morphisme suivant:

[TABLE]

Remarque 2.3**.**

Lorsque le diviseur $\mathfrak{n^{\prime}}$ est nul, le morphisme (26) sera entre la jacobienne généralisée $\operatorname{Jac}(C^{\prime})_{\mathfrak{n}}$ et la jacobienne usuelle $\operatorname{Jac}(C^{\prime})$.

3 Jacobienne généralisée d’une courbe hyperelliptique

Nous allons nous intéresser, aux jacobiennes généralisées de courbes hyperelliptiques singulières, afin de compléter notre compréhension des fibres des systèmes de Mumford. Nous nous limiterons dans cette section aux rappels vus au paragraphe 2.1 des courbes hyperelliptiques et nous expliciterons le lien entre la jacobienne généralisée et la jacobienne usuelle évoquée dans la section 2.

3.1   Courbes hyperelliptiques

Definition 3.1**.**

Une courbe hyperelliptique $C$ est une surface de Riemann, d’équation affine ${y^{2}=P(x)}$ où $P\in\mathbb{C}[x]$ avec $\deg(P)\geqslant 3$. Le genre arithmétique $g$ de la courbe $C$ est égal à la partie entière de la fraction $\left[\frac{\deg(P)}{2}\right]$.

On a deux types d’équation affine de courbe hyperelliptique $C$ de genre $g$:

[TABLE]

et

[TABLE]

où les coefficients $c_{i}$ et les racines $a_{i}$ appartiennent à $\mathbb{C}$.

Autrement exprimé une courbe hyperelliptique est les zéros de polynômes homogènes de formes suivantes

[TABLE]

Toute courbe hyperelliptique admet une application $\imath$ appelée l’involution hyperelliptique définie comme il suit:

[TABLE]

Il y a des points d’une courbe hyperelliptique qu’on appelle les points à l’infini qu’on note $\infty$ et $+\infty,-\infty$, ces points à l’infini se manifestent lorsque $x$ atteint le point infini:

[TABLE]

où $\tilde{x}=\frac{1}{x}$ et $\tilde{y}=\frac{y}{x^{g}}$. Quand $x$ est le point infini, le point $\tilde{x}$ est zéro, ce qui implique

[TABLE]

Alors les points à l’infini de courbes hyperelliptiques sont

[TABLE]

Soit $C$ une courbe hyperelliptique singulière 111 les notations introduites dans ce paragraphe seront utilisées tout au long de cet article. , d’équation affine $y^{2}=h(x)$, où $h$ est un polynôme unitaire de degré $2g+1$. Notons par $P(x)$ le diviseur quadratique maximal de $h(x)$, c’est-à-dire $P(x)$ est le polynôme unitaire de degré maximal tel que $P^{2}(x)$ divise $h(x)$. La normalisée de $C$ est aussi une courbe hyperelliptique lisse qu’on notera $C^{\prime}$ d’équation affine $z^{2}=h^{\prime}(x)$. Le genre de $C^{\prime}$ est $g^{\prime}$ car $h^{\prime}$ est un polynôme unitaire de degré $2g^{\prime}+1$. On a le morphisme entre $C^{\prime}$ et $C$ défini de la manière suivante:

[TABLE]

Afin de définir le module sur $C^{\prime}$ qui correspond aux points singuliers de $C$, nous devons factoriser $P$ et distinguer les racines communes entre $P$ et $h^{\prime}$ des autres.

La factorisation de $P$ est la suivante:

[TABLE]

où toutes les racines $a_{i}\in\mathbb{C}$ de $P$ sont distinctes, avec $h^{\prime}(a_{i})=0$ pour $1\leqslant i\leqslant d$ et $h^{\prime}(a_{i})=b_{i}^{2}\neq 0$ pour $d+1\leqslant i\leqslant k$. Notons par $n$ le degré de $P$, alors

[TABLE]

On note par $\mathfrak{m}$ le module de ${C^{\prime}}$, défini par

[TABLE]

Dans le lemme suivant nous calculons la valeur des entiers $\delta$ et $\pi$ qui figurent dans le théorème de Riemann-Roch 2.2.

Lemme 3.1**.**

L’entier $\delta$ est donné par $\delta=\sum\limits_{i=1}^{k}\delta_{(a_{i},0)}$ où $\delta_{(a_{i},0)}=\ell_{i}$, pour $i=1,\dots,k$. En particulier, $\pi=g^{\prime}+\delta=g^{\prime}+n=g$.

Preuve.

Soit $\phi$ la projection de $C^{\prime}$ vers $C$:

[TABLE]

Pour un point $p$ de $C$ (resp. un point $q$ de $C^{\prime}$), on note par $\mathcal{O}_{p}$ (resp. $\mathcal{O}^{\prime}_{q}$) l’anneau local de $C$ (resp. $C^{\prime}$). Pour $p=(a_{i},0)$ pour $1\leqslant i\leqslant d$

[TABLE]

Par définition, $\delta_{(a_{i},0)}=\dim(\mathcal{O}^{\prime}_{(a_{i},0)}/\phi^{-1}(\mathcal{O}_{(a_{i},0)}))$, donc

[TABLE]

Pour $p=(a_{i},0)$ pour $d+1\leqslant i\leqslant k$

[TABLE]

Par la définition de $\delta_{(a_{i},0)}$, on a dans ce cas également

[TABLE]

L’application $\phi$ est un isomorphisme entre $C-\{(a_{1},0),\dots,(a_{d},0),(a_{d+1},0),\dots,(a_{k},0)\}$ et ${C^{\prime}-\operatorname{supp}{\mathfrak{m}}}$ où on rappelle que $\mathfrak{m}=\sum\limits_{i=1}^{d}2l_{i}(a_{i},0)+\sum\limits_{i=d+1}^{k}l_{i}((a_{i},b_{i})+(a_{i},-b_{i}))$. Pour tout point $p$ de $C-\left\{(a_{1},0),\dots,(a_{d},0),(a_{d+1},0),\dots,(a_{k},0)\right\}$, on a

[TABLE]

Par conséquent,

[TABLE]

pour tout $p$ différent des points singuliers de $C$. Puisque, par définition, $\delta=\sum\limits_{p\in C}\delta_{p}$, on trouve

[TABLE]

et donc

[TABLE]

∎

Le théorème Riemann-Roch (2.2) prend la forme suivante

[TABLE]

D’après les rappels du paragraphe 2.1, on sait que le produit symétrique ${C^{\prime}}^{(g)}$ muni d’une loi de composition rationnelle en fait un groupe birationnel, qui est birationnellement isomorphe avec la jacobienne généralisée $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}({C^{\prime}})$. Le morphisme de Serre $\theta$ est entre le groupe des diviseurs de ${C^{\prime}}$, étrangers à $\operatorname{supp}(\mathfrak{m})$, et $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}({C^{\prime}})$ induit un autre morphisme $\tau:\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}({C^{\prime}})\to\operatorname{Jac}_{0}({C^{\prime}})=\operatorname{Jac}({C^{\prime}})$., En traduisant un élément $u$ de $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}({C^{\prime}})$ comme la classe de $\mathfrak{m}$-équivalence d’un diviseur de degré zéro, disjoint du support de $\mathfrak{m}$, dès lors l’élément $\tau(u)$ est simplement la classe d’équivalence linéaire de $u$. Ceci implique que $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}({C^{\prime}})$ est une extension de $\operatorname{Jac}({C^{\prime}})$ par $L_{\mathfrak{m}}:=\operatorname{Ker}\tau$. Serre décrit ce dernier groupe abélien comme produit de plusieurs copies du groupe additif $\mathbb{C}$ et du groupe multiplicatif $\mathbb{C}^{*}$. Sur la courbe hyperelliptique singulière $C$, on peut montrer que

[TABLE]

De ces faits, on a la suite exacte de groupes abéliens suivante:

[TABLE]

4 Description géométro-algébrique des strates $M_{g,g}(h)$

L’objectif de cette section est de décrire les fibres du système de Mumford impair d’ordre $g$ à l’aide des outils de la géométrie algébrique. Lorsque la fibre est lisse , elle est décrite par Mumford comme isomorphe à une jacobienne usuelle moins son diviseur thêta. Consacrons-nous à l’étude des fibres singulières.

4.1   Rappel du systeme de Mumford

Soit $g$ entier positif et soit $M_{g}$ un espace affine complexe de dimension ${3g+1}$ de coordonnées $u_{g-1},u_{g-2},\cdots,u_{0},$ $v_{g-2},\cdots,v_{0},$ $w_{g},w_{g-1},\cdots,w_{0}$ , s’exprimant à l’aide de matrices polynomiales $2\times 2$ de trace nulle de la forme suivante:

[TABLE]

Le système de Mumford d’ordre $g$ est un système intégrable d’espace de phases $M_{g}$.

Le determinant d’une matrice A(x)=\left(\begin{array}[]{cc}v(x)&u(x)\\ w(x)&-v(x)\end{array}\right) de $M_{g}$, est un polynôme de degré $2g+1$

[TABLE]

La forme des determinants des matrices de $M_{g}$, nous incite à définir l’application $\mathbf{H}$

[TABLE]

où ${H}_{g}$ est l’ensemble des polynômes unitaires de degré $2g+1$. L’application $\mathbf{H}$ est l’application moment du système de Mumford.

La fibre de l’application moment $\mathbf{H}$ au-dessus d’un polynôme $h(x)$ de ${H}_{g}$ est notée $M_{g}(h)$ et est déterminée de cette manière

[TABLE]

Toutes les matrices appartenant à une fibre $M_{g}(h)$ ont un même polynôme caractéristique, les annulateurs de ce dernier forment une courbe hyperelliptique $C$ d’équation affine $y^{2}=h(x)$ et de genre arithmétique $g$. Lorsque $h(x)=P^{2}(x)h^{\prime}(x)$, la fibre est associée à une courbe hyperelliptique singulière d’équation affine $C:y^{2}=h(x)$. Nous avons vu précédemment, que quand le polynôme $h$ admet des racines multiples, la fibre $M_{g}(h)$ de $\mathbf{H}$ admet une stratification (la stratification fine) telle que chaque strate est isomorphe à la strate maximale d’une fibre d’un système de Mumford d’ordre inférieur. Par conséquent, afin de décrire les fibres singulières $M_{g}(h)$ du système de Mumford, il suffit de décrire les strates maximales $M_{g,g}(h)$ où l’on rappelle que

[TABLE]

On note par $(D_{i})_{i=0,1,\dots,g-1}$ les champs de vecteurs qui définissent le système de Mumford et qui s’écrivent sous la forme de l’équation de Lax

[TABLE]

avec $\left[{\frac{A(x)}{x^{i+1}}}\right]_{+}$ est la partie polynomiale de la matrice ${\frac{A(x)}{x^{i+1}}}$. On peut réécrire $M_{g,g}(h)$ à l’aide des champs de vecteurs $(D_{i})_{i=0,1,\dots,g-1}$ de la manière suivante:

[TABLE]

Notation 4.1**.**

Pour deux polynômes $S$ et $q$, on note par $S_{q}$ le quotient de $S$ par $q$,

[TABLE]

L’ensemble des polynômes unitaires $Q$ de $\mathbb{C}[x]$ tel que $Q^{2}$ divise $h$ est noté par $\mathbb{C}[x]_{h}$.

4.2   Lien entre la strate $M_{g,g}(h)$ et la jacobienne $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}(C^{\prime})$.

Dans cette section, nous définissons un morphisme injectif entre la strate $M_{g,g}(h)$ et un ouvert de la jacobienne $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}({C^{\prime}})$. Nous montrons également que les champs de vecteurs indépendants $D_{i}$ sont envoyés par ce morphisme sur des champs invariants sur le groupe algébrique $J_{\mathfrak{m}}({C^{\prime}})$.

Fixons le point $P_{0}$ égal au point $\infty$ de la courbe lisse ${C^{\prime}}$, comme le point de base du morphisme de Serre $\theta$ entre le groupe des diviseurs de ${C^{\prime}}$, étrangers à $\operatorname{supp}(\mathfrak{m})$, et $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}({C^{\prime}})$. Son noyau est formé des diviseurs étrangers au support de $\mathfrak{m}$ qui sont $\mathfrak{m}$-équivalents à un multiple de $\infty$.

Lemme 4.1**.**

*Soit A(x)=\left(\begin{array}[]{cc}v(x)&u(x)\\ w(x)&-v(x)\end{array}\right)\in M_{g,g}(h).

*Si $\operatorname{PGCD}(P^{2},u)=R$, alors $R$ est le carré d’un polynôme unitaire $Q=\operatorname{PGCD}(P,u,v)$. Réciproquement si $\operatorname{PGCD}(P,u,v)=Q$ alors $\operatorname{PGCD}(P^{2},u)=Q^{2}$.

Si $\operatorname{PGCD}(P^{2},w)=R$, alors $R$ est le carré d’un polynôme unitaire $Q=\operatorname{PGCD}(P,w,v)=Q$. Réciproquement si $\operatorname{PGCD}(P,w,v)=Q$ alors $\operatorname{PGCD}(P^{2},w)=Q^{2}$.

Preuve.

Soit A(x)=\left(\begin{array}[]{cc}v(x)&u(x)\\ w(x)&-v(x)\end{array}\right)\in M_{g,g}(h). Soit $a\in\mathbb{C}$ une racine de $\operatorname{PGCD}(P^{2},u)$, supposons que $\operatorname{PGCD}(P^{2},u,(x-a)^{2k})=(x-a)^{2k-1}$ avec $k\in\mathbb{N}^{*}$. On rappelle que

[TABLE]

Le polynôme $(x-a)^{2k-1}$ divise le côté gauche de l’égalité (38), donc $(x-a)^{2k-1}$ divise $v^{2}(x)$ ceci implique que $(x-a)^{2k}$ divise $v^{2}(x)$. De même, comme $(x-a)^{2k-1}$ divise $P^{2}(x)$ ceci implique que $(x-a)^{2k}$ divise $P^{2}(x)$, donc le polynôme $(x-a)^{2k}$ divise $u(x)w(x)$, étant donné que $\operatorname{PGCD}(u,v,w)=1$ et comme $a$ est une racine de $u$ alors $(x-a)^{2k}$ divise $u(x)$. on a bien:

[TABLE]

ce qui contredit l’hypothèse. On conclut que toute racine du polynôme $\operatorname{PGCD}(P^{2},u)$ est une racine d’ordre pair, d’où l’existence d’un polynôme unitaire $Q$ tel que $Q^{2}(x)=\operatorname{PGCD}(P^{2},u)$.

Afin de montrer que $\operatorname{PGCD}(P,u,v)=Q$, il suffit de montrer que toutes les racines de $Q$ sont des racines du $\operatorname{PGCD}(P,u,v)$ avec la même multiplicité. L’égalité (38), nous informe que si $\operatorname{PGCD}(P^{2},u)=Q^{2}$ alors $Q$ divise $v$. Soit $a$ une racine de $Q$ d’ordre $k$, c’est-à-dire $a$ est une racine de $\operatorname{PGCD}(P^{2},u)$d’ordre $2k$. En d’autres termes, $a$ est une racine d’ordre au moins $k$ de $u$, $P$ et $v$. Si $a$ est une racine d’ordre au moins $k+1$ de $P$ et $v$. L’égalité (38) et le fait que $\operatorname{PGCD}(u,v,w)=1$ impliquent que $a$ est une racine $u$ d’ordre $2k+2$; ceci entraine que $a$ est une racine d’ordre $2k+2$ de $\operatorname{PGCD}(P^{2},u)$, ce qui est une contradiction. Donc $a$ est une racine de $Q$ d’ordre $k$ et $\operatorname{PGCD}(P,u,v)=Q$.

Pour la réciproque, si $\operatorname{PGCD}(P,u,v)=Q$, l’égalité (38) devient

[TABLE]

De égalité (39) et du fait que $\operatorname{PGCD}(u,v,w)=1$, on a que $Q^{2}$ divise $u$, par conséquent $Q^{2}$ divise $\operatorname{PGCD}(P^{2},u)$. Si $Q^{2}$ divise $\operatorname{PGCD}(P^{2},u)$, mais $\operatorname{PGCD}(P^{2},u)\neq Q^{2}$, c’est-à-dire $\operatorname{PGCD}(P,u,v)\neq Q$, ceci est une contradiction. On conclut que si $\operatorname{PGCD}(P,u,v)=Q$ alors $\operatorname{PGCD}(P^{2},u)=Q^{2}$.

Pour prouver le second point de la proposition on refait les mêmes étapes et conclusions en remplaçant le polynôme $u$ par le polynôme $w$. ∎

Remarque 4.1**.**

Soit A(x)\in\left(\begin{array}[]{cc}v(x)&u(x)\\ w(x)&-v(x)\end{array}\right)\in M_{g,g}(h), et soit $Q$ le polynôme unitaire tel que $Q^{2}=\operatorname{PGCD}(P^{2},u)$, alors $Q\in\mathbb{C}[x]_{h}$.

Definition 4.1**.**

On note par $\Phi$ l’application entre $M_{g,g}(h)$ et $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}(C^{\prime})$ définie de la manière suivante:

[TABLE]

où $R(x)=\prod\limits_{i=1}^{k}(x-a_{i})^{\ell_{i}+1}$ .

Proposition 4.1**.**

L’application $\Phi$ de $M_{g,g}(h)$ vers $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}(C^{\prime})$ est bien définie.

Preuve.

Pour montrer que l’application $\Phi$ est bien définie, il suffit de montrer que le diviseur des zéros de $F(x,z)=\frac{R(x)(P(x)z+v(x))}{u(x)}+1$ est étranger à $\operatorname{supp}(\mathfrak{m})$.

Soit A(x)=\left(\begin{array}[]{cc}v(x)&{u(x)}\\ w(x)&-v(x)\end{array}\right)\in M_{g,g}(h), et soit $Q$ le polynôme égal au $\operatorname{PGCD}(P,u,v)$ de degré $j$. D’après le lemme 4.1, $Q^{2}$ divise le polynôme $u$, de plus $Q$ divise $R$, alors

[TABLE]

On note par $\{x_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant g-2j}$ les racines du polynôme $u_{Q^{2}}(x)$:

[TABLE]

Le diviseur principal de la fonction $F(x,z)$est donné par

[TABLE]

où $D$ est un diviseur effectif de degré $g+2(n+k-j)+1$. Afin d’expliciter l’égalité (40) , on détermine d’abord les zéros de $u_{Q^{2}}$ sur $C^{\prime}$:

[TABLE]

cependant les points $\{\left(x_{i},-\frac{v_{Q}(x_{i})}{P_{Q}(x_{i})}\right)\}_{{1}\leqslant i\leqslant{g-2j}}$, alors il ne reste des zeros de $u_{Q^{2}}$ que les points $\{\left(x_{i},\frac{v_{Q}(x_{i})}{P_{Q}(x_{i})}\right)\}_{{1}\leqslant i\leqslant{g-2j}}$ qui sont des pôles de la fonction $F$. Afin d’établir tous les pôles de $F$, on attribue $t$ comme paramètre local au voisinage de $\infty$, de telle sorte que $x=1/t^{2}$. Alors au voisinage de $\infty$, on a:

[TABLE]

Après substitution dans la fonction $F$ on trouve qu’au voisinage de $\infty$:

[TABLE]

Il résulte que les pôles de $F$ sont $\left[(2(k+n)+1)\infty+\sum\limits_{i=1}^{g-2j}\left(x_{i},\frac{v_{Q}(x_{i})}{P_{Q}(x_{i})}\right)\right]$. Du fait que le degré de tout diviseur principal est zéro, le diviseur $D$ est effectif et de degré $g+2(n+k=j)+1$.

Le diviseur $D$ est étranger à $\operatorname{supp}{\mathfrak{m}}$, car la fraction $F$ ne s’annule pas sur le support de ${\mathfrak{m}}$, étant donné que $R_{Q}=\prod\limits_{i=1}^{k}(x-a_{i})P_{Q}$ s’annule en chaque $a_{i}$. ∎

Remarque 4.2**.**

Soit $M_{g,g}^{0}(h)$ l’ensemble des matrices A(x)=\left(\begin{array}[]{cc}v(x)&{u(x)}\\ w(x)&-v(x)\end{array}\right)\in M_{g,g}(h), tel que ${\operatorname{PGCD}(P,u,v)=1}$ est un ouvert dense de $M_{g,g}(h)$ où:

[TABLE]

Par consequent, la fonction $F$ nous permet d’avoir une $\mathfrak{m}$-équivalence entre ses zéros et ses pôles. Or, comme nous l’avons vu, les pôles sont simples à écrire, donc sur l’ouvert $M_{g,g}^{0}(h)$ le morphisme $\Phi$ est le suivant:

[TABLE]

le morphisme $\Phi$ généralise donc le morphisme de Mumford.

Remarque 4.3**.**

*L’application $\Phi:M_{g,g}(h)\longrightarrow\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}(C^{\prime})$ est continue. *

Afin de s’assurer que le morphisme $\Phi$ est le morphisme idéal pour décrire les strates du systeme de Mumford, il suffit de démontrer que $\Phi$ linéarise les champs de vecteurs du système de Mumford, à cet égard nous montrons que ces champs deviennent des champs invariants par translation sur la jacobienne généralisée.

Rappelons la relation entre les formes différentielles invariantes sur la jacobienne $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}(C^{\prime})$ et les formes différentielles de la courbe $C^{\prime}$:

Proposition 4.2**.**

L’application $\theta^{*}$ est une bijection entre l’ensemble des formes différentielles invariantes de $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}(C^{\prime})$ et l’ensemble des formes différentielles rationnelles $\alpha$ de la courbe $C^{\prime}$ telle que $(\alpha)\geqslant-\mathfrak{m}$.

Nous commençons avec le plus simple des champs de vecteurs des systèmes de Mumford, le champ de vecteurs $D_{g-1}$ qui, comme les autres champs de vecteurs $D_{i}$ est tangent à la strate $M_{g,g}(h)$.

Proposition 4.3**.**

Le champ de vecteurs $D_{g-1}$, restreint à la strate $M_{g,g}(h)$ est en dualité avec une forme différentielle invariante de $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}({C^{\prime}})$. Il est donc envoyé par $\Phi$ sur un champ de vecteurs invariant.

Preuve.

Il suffit de restreindre la preuve à l’ouvert $M_{g,g}(h)^{0}$ dense de $M_{g,g}(h)$. Soit A_{0}=\left(\begin{array}[]{cc}v_{0}&u_{0}\\ w_{0}&-v_{0}\end{array}\right)\in M_{g,g}(h)^{0} où $u^{0}(x)=\prod\limits_{i=1}^{g}(x-x^{0}_{i})$ avec les $x^{0}_{i}\in\mathbb{C}$. On sait que

[TABLE]

Puisqu’il n’y a pas de confusion possible, et afin de simplifier les formules nous omettrons de mettre l’indice [math] et écrirons l’équation (42) de la manière suivante

[TABLE]

En évaluant cette dernière équation en $x_{i}$ avec $1\leqslant i\leqslant g+n$, on obtient

[TABLE]

Comme $v(x_{i})=P(x_{i})z_{i}$ où $(x_{i},z_{i})\in C^{\prime}$ on a

[TABLE]

En sommant les équations (43) pour tout $i$ on aura

[TABLE]

Rappelons que le polynôme $P(x)=\prod\limits_{j=1}^{k}(x-a_{j})^{l_{j}}$ est le diviseur quadratique maximal de $h$ et il est de degré $n$. En multipliant l’équation (43) par les diviseurs du polynôme $P(x)$ suivant: $[(x-a_{1}),\dots,(x-a_{1})^{l_{1}},(x-a_{1})^{l_{1}}(x-a_{2}),\dots,P(x)]$ et puis en évaluant au point $x_{i}$, on obtient:

[TABLE]

En sommant chaque équation de (51), on obtient

[TABLE]

Refaisons les mêmes étapes que précédemment en multipliant l’équation (43) par $x^{{j}}P(x)$, pour $1\leqslant{{j}}\leqslant g^{\prime}-1$, puis évaluons l’équation obtenue au point $x_{i}$, et enfin, additionnons les équations pour tout $1\leqslant i\leqslant g$, on aura

[TABLE]

D’après Serre [22],

[TABLE]

est l’espace vectoriel de formes différentielles rationnelles invariantes sur $C^{\prime}$, qui définit les formes différentielles invariantes sur $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}({C^{\prime}})$. Le calcul ci-dessus montre alors que le champ de vecteurs $D_{g-1}$ est annulé par toutes ces formes différentielles sauf par une forme pour laquelle il est en dualité. Cela prouve que le champ $D_{g-1}$ est envoyé par $\Phi$ sur un champs de vecteurs invariant par translation. ∎

Proposition 4.4**.**

Les champs de vecteurs $D^{g}_{g-1},\cdots,D^{g}_{0}$, restreints à la strate $M_{g,g}(h)$ correspondent à des champs invariants sur la jacobienne généralisée $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}({C^{\prime}})$.

Preuve.

Comme les champs de vecteurs $D^{g}_{g-1},\cdots,D^{g}_{0}$ commutent, alors il est de même pour leur image. De plus comme l’image de $D_{g-1}$ est invariante par translation et comme elle commute avec les images de $D^{g}_{g-2},\cdots,D^{g}_{0}$, on conclut que les images de $D^{g}_{g-2},\cdots,D^{g}_{0}$ sont invariantes par translation. ∎

Proposition 4.5**.**

L’application $\Phi$ définit un isomorphisme entre $M_{g,g}(h)$ et un ouvert de la jacobienne généralisée $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}(C^{\prime})$.

Preuve.

Nous montrons d’abord que $\Phi$ est injective. Tout d’abord, $\Phi$ est localement injective, car d’une part les deux variétés lisses $M_{g,g}(h)$ et $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}(C^{\prime})$ ont la même dimension $g$ et de plus la proposition 4.4 révèle que $\Phi$ envoie les $g$ champs de vecteurs indépendants $D_{i}$ sur $g$ champs de vecteurs indépendants sur la jacobienne généralisée. En outre $\Phi$ est injective quand elle est restreinte à l’ouvert dense $M_{g,g}^{0}(h)$ de $M_{g,g}(h)$:

[TABLE]

Sur cet ouvert, l’application qui associe à une matrice $A(x)$ un diviseur sur $C^{\prime}$ est injective. De plus, Serre montre que si deux diviseurs effectifs génériques de degré $g$ sont $\mathfrak{m}$-équivalents, alors ils sont égaux. Cela veut dire que $\Phi$ est à la fois localement injective et injective sur un ouvert dense. $\Phi$ est donc injective et son image est un ouvert de $\operatorname{Jac}_{\mathfrak{m}}(C^{\prime})$. ∎

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