Equation cohomologique d'un automorphisme affine hyperbolique du tore

TL;DR

This paper investigates the cohomological equation for hyperbolic affine automorphisms of the torus, demonstrating the closedness of the image of the cobord operator and the existence of a continuous solution operator.

Contribution

It establishes the closedness of the cobord operator’s image and constructs a continuous linear solution operator for the cohomological equation in this setting.

Findings

The image of the cobord operator is a closed subspace of the function space.

The cohomology space is a nontrivial Fréchet space.

A continuous linear operator solving the cohomological equation exists.

Abstract

We study the discrete cohomological equation of a hyperbolic affine automorphism Y of the torus (whose linear part is not necessarily diagonalisable). More precisely ; if d is the cobord operator defined by : d (h) = h-hoY for every element h of the Fr\'echet space E of the differentiable functions on the torus, we show that the image Im(d) is a closed of E and that consequently the space of cohomology H^1(Y; E):=E/Im(d) is a nontrivial Fr\'echet space. We also prove the existence of a continuous linear operator L defined from Im(d) to E such that for every element g of Im(d), the image f = L(g) is a solution of the discrete cohomological equation f-foY = g.

Equations

$$f-f\circ \gamma =g\text{ouˋ}f\in C^{\infty }({\mathbb{T}}^p)\text{est inconnue et}g\in C^{\infty }({\mathbb{T}}^p)\text{est donneˊe}$$

$$\delta :C^{\infty }({\mathbb{T}}^p)\to C^{\infty }({\mathbb{T}}^p),h\mapsto \delta (h)=h-h\circ \gamma$$

$$H^1\left(\gamma ,C^{\infty }({\mathbb{T}}^p)\right):=C^{\infty }({\mathbb{T}}^p)/Im(\delta )$$

$$\forall \gamma \in \Gamma ,\forall f\in E,\gamma .f=f\circ {\gamma }^{-1}$$

$$\delta :E\to E,f\mapsto \delta (f)=f-f\circ \gamma$$

$$f-f\circ \gamma =g\text{ouˋ}\text{cases}f\in E\text{est inconnue}\text{cr}\text{et}\text{cr}g\in E\text{est donneˊe.}$$

$$f-f\circ \gamma =g\text{ouˋ}\text{cases}f\in C^{\infty }({\mathbb{T}}^p)\text{est inconnue}\text{cr}\text{et}\text{cr}g\in C^{\infty }({\mathbb{T}}^p)\text{est donneˊe.}$$

$$P_A(X)=det(A-XI)=-X^3+X^2+X+1\text{avec}det(A)=P_A(0)=1$$

$$P_A^{\prime }(x)=-3x^2+2x+1=(x^2+2x+1)-4x^2=(x+1{)}^2-(2x{)}^2=(x+1+2x)(x+1-2x)=(3x+1)(1-x)$$

$$P_A:\left]-\infty ,-\frac{1}{3}\right]\to \left[\frac{22}{7},+\infty \right[;P_A:\left[-\frac{1}{3},1\right]\to \left[\frac{22}{7},2\right];P_A:\left[1,+\infty \right[\to \left]-\infty ,2\right]$$

$$C_{Q}=\left(\begin{array}[]{cccccc}0&0&0&0&0&-1\\ 1&0&0&0&0&-2\\ 0&1&0&0&0&-3\\ 0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&1&2\end{array}\right)$$

$$\forall m\in {\mathbb{Z}}^p,\forall x\in \mathrm{I}{\mathrm{R}}^{\mathrm{p}}:\phi (x+m)=\phi (x).$$

$$C^{\infty }({\mathbb{T}}^p)⟶C_{per}^{\infty }(\mathrm{I}{\mathrm{R}}^{\mathrm{p}}),\mathrm{h}⟼\mathrm{h}\circ \pi$$

$$h=\sum _{m\in {\mathbb{Z}}^p}\hat{h}(m){\Theta }_m$$

$$\hat{h}(m)={\int }_{{\mathbb{T}}^p}h(x)e^{-i2\pi <x,m>}dx={\int }_{[0,1{]}^p}h(t)e^{-i2\pi <t,m>}d{t}_1...d{t}_p$$

$$\forall x\in \mathrm{I}{\mathrm{R}}^{\mathrm{p}},{\Theta }_m(x)=e^{i2\pi <x,m>}<.,.>\text{eˊtant le produit scalaire usuel sur}\mathrm{I}{\mathrm{R}}^{\mathrm{p}}.$$

$$\forall r\in \mathrm{I}\mathrm{N},\underset{|m|\to +\infty }{\lim }|m{|}^{\mathrm{r}}|{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}}|=0$$

$$C^{\infty }({\mathbb{T}}^p)⟶\mathcal{S}({\mathbb{Z}}^p,\mathbb{C}),h⟼{\left(\hat{h}(m)\right)}_{m\in {\mathbb{Z}}^p}$$

$$\mathcal{S}({\mathbb{Z}}^p,\mathbb{C})=\bigcap _{r\in \mathrm{I}\mathrm{N}}{W}^{1,r}\text{et}\mathcal{S}({\mathbb{Z}}^p,\mathbb{C})=\bigcap _{r\in \mathrm{I}\mathrm{N}}{W}^{2,r}$$

$$\Vert (a_m){\Vert }_{1,r}=|a_0|+\sum _{m\in {\mathbb{Z}}^p\setminus \{0\}}|m{|}^r|a_m|\left(resp.\Vert (a_m){\Vert }_{2,r}=\sqrt{|a_0|+\sum _{m\in {\mathbb{Z}}^p\setminus \{0\}}|m{|}^{2r}|a_m{|}^2}\right)$$

$$j_{1,r}:W^{1,r+1}\hookrightarrow W^{1,r}\text{et}{j}_{2,r}:W^{2,r+1}\hookrightarrow W^{2,r}$$

$${\gamma }^k=\text{cases}id\text{si}k=0\text{cr}\underset{kfois}{\underbrace{\gamma \circ ...\circ \gamma }}\text{si}k>0\text{cr}\underset{|k|fois}{\underbrace{{\gamma }^{-1}\circ ...\circ {\gamma }^{-1}}}\text{si}k<0$$

$${\int }_{{\mathbb{T}}^p}g(x)dx=0$$

$${\int }_{{\mathbb{T}}^p}g(x)dx={\int }_{{\mathbb{T}}^p}f(x)dx-{\int }_{{\mathbb{T}}^p}f\left[\gamma (x)\right]dx={\int }_{{\mathbb{T}}^p}f(x)dx-{\int }_{{\mathbb{T}}^p}f(t)dt=0.$$

$$g\text{annule tout forme lineˊaire}\gamma -\text{invariant sur}{C}^{\infty }({\mathbb{T}}^p)$$

$$\forall k\in \mathbb{Z},\forall m\in {\mathbb{Z}}^p,\widehat{f\circ {\gamma }^k}(m)-\widehat{f\circ {\gamma }^{k+1}}(m)=\widehat{g\circ {\gamma }^k}(m)$$

$$b_{-k}=-A^{-k}{b}_k\text{et}\widehat{h\circ {\gamma }^k}(m)=e^{i2\pi <b_k,B^{k}m>}\hat{h}(B^{k}m)$$

$$\sum _{k\ge 0}\widehat{h\circ {\gamma }^k}(m),\sum _{k<0}\widehat{h\circ {\gamma }^k}(m)=-\sum _{k\ge 0}\widehat{h\circ {\gamma }^{-k}}(m)et\sum _{k\in \mathbb{Z}}\widehat{h\circ {\gamma }^k}(m)$$

$${\Phi }_0:C^{\infty }({\mathbb{T}}^p)\to \mathbb{C},h\mapsto {\Phi }_0(h)={\int }_{{\mathbb{T}}^p}h(x)dx$$

$${\Phi }_m:C^{\infty }({\mathbb{T}}^p)\to \mathbb{C},h\mapsto {\Phi }_m(h)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\widehat{h\circ {\gamma }^k}(m)$$

Full text

Équation cohomologique d’un

automorphisme affine hyperbolique du tore

Abdellatif ZEGGAR

(Février 2019)

Résumé : Soit $A$ une matrice hyperbolique (matrice sans valeur propre de module égal à $1$) appartenant à $\hbox{GL}(p,\mathbb{Z})$ et soit $b$ un élément de $\rm I\!R^{p}$. L’automorphisme affine $\gamma:x\mapsto\gamma(x)=Ax+b$ de $\rm I\!R^{p}$ induit sur le tore $\displaystyle\mathbb{T}^{p}=\rm I\!R^{p}/\mathbb{Z}^{p}$ un automorphisme affine hyperbolique (d’Anosov) que l’on note encore $\gamma$. L’objet de ce travail est l’étude de l’équation cohomologique :

[TABLE]

Plus précisément, nous montrons que l’image $\displaystyle Im(\delta)$ de l’opérateur cobord

[TABLE]

est un fermé de l’espace de Fréchet $C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})$ et que par conséquence l’espace de cohomologie

[TABLE]

est un espace de Fréchet non trivial. Nous prouvons également l’existence d’un opérateur linéaire continu $\;\displaystyle L:Im(\delta)\rightarrow C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})\;$ tel que, pour toute fonction $\;\displaystyle g\in Im(\delta),\;$ la fonction $\;\displaystyle f=L(g)\;$ est une solution de l’équation cohomologique $(\ast)$. Autrement dit : $\delta\circ L=id_{Im(\delta)}$.

Ce résultat généralise le théorème 5.1 de [DE] prouvé par A. Dehghan-Nezhad et A. El Kacimi dans le cas où $b=0$ et $A$ est une matrice diagonalisable dont toutes les valeurs propres sont réelles et positives.

0. Introduction

Si $M$ est une variété différentiable connexe, l’espace vectoriel $E=C^{\infty}(M)$ des fonctions de classe $C^{\infty}$ sur $M$ est un espace de Frechet pour la topologie $C^{\infty}$ (topologie de la convergence uniforme de toutes les dérivées sur les compacts). Une action différentiable d’un groupe dénombrable $\Gamma$ (supposé de présentation finie) sur $M$ induit sur $E$ une action naturelle donnée par :

[TABLE]

On peut donc considérer l’espace vectoriel $H^{1}(\Gamma,E)$ désignant le premier espace de cohomologie du groupe $\Gamma$ à valeurs dans le $\Gamma$-module $E$.

Dans le cas où $\Gamma$ est fini et le cas où $\Gamma$ agit librement et proprement sur $M$, (cas où la projection canonique $\displaystyle M\rightarrow M/\Gamma$ est un revétement) on montre que $H^{1}(\Gamma,E)$ est trivial.

Dans le cas où le groupe $\Gamma$ est engendré par un seul élément $\gamma$, nous avons $\displaystyle\Gamma=\{\gamma^{k}\;|\;k\in\mathbb{Z}\}$ et on peut montrer facilement que l’espace $H^{1}(\Gamma,E)$ qu’on notera $H^{1}(\gamma,E)$ est le conoyau de l’opérateur cobord :

[TABLE]

Le calcul du conoyau $E/\delta(E)$ de $\delta$ revient à résoudre l’équation suivante :

[TABLE]

dite équation cohomologique associée au système dynamique discret $\;\gamma:M\rightarrow M$. Les références [A], [E], [MMY] et [KR] permettent d’avoir une idée sur ce que peut représenter cette équation dans certains domaines des mathématiques.

Dans ce qui suit, nous allons étudier cette équation dans le cas d’un automorphisme affine hyperbolique sur un tore [BS].

Soit $A$ est une matrice de $GL(p,\mathbb{Z})$ qui n’a aucune valeur propre de module égal à $1$ dans $\mathbb{C}$ et $b$ un élément de $\rm I\!R^{p}$. L’automorphisme affine $\gamma:\rm I\!R^{p}\rightarrow\rm I\!R^{p},\;x\mapsto\gamma(x)=Ax+b$ de $\rm I\!R^{p}$ induit sur le tore $\displaystyle\mathbb{T}^{p}=\rm I\!R^{p}/\mathbb{Z}^{p}$ un automorphisme affine hyperbolique que l’on note encore $\gamma$.

L’équation cohomologique associée au système dynamique hyperbolique $\displaystyle\gamma:\mathbb{T}^{p}\rightarrow\mathbb{T}^{p}$ est la suivante :

[TABLE]

et l’objet de notre travail est d’établir le théorème suivant :

0.2. Théorème principal. Avec les conditions et les notations ci-dessus, nous avons les résultats suivants :

(i)* L’image $\displaystyle Im(\delta)$ de l’opérateur cobord $\displaystyle\delta:C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})\rightarrow C^{\infty}(\mathbb{T}^{p}),\;h\mapsto\delta(h)=h-h\circ\gamma$ est un fermé de l’espace de Fréchet $C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})$ et par conséquence l’espace de cohomologie $H^{1}\left(\gamma,C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})\right):=C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})/Im(\delta)$ est un espace de Fréchet non trivial.*

(ii)* Il existe un opérateur linéaire continu $\;\displaystyle L:Im(\delta)\rightarrow C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})\;$ tel que, pour tout élément $g$ de $\;\displaystyle Im(\delta)$, la fonction $\displaystyle f=L(g)$ est une solution de l’équation cohomologique ${\bf(0.1)}$. Autrement dit : $\displaystyle\delta\circ L=id_{Im(\delta)}$.*

Avant de commencer la preuve de ce théorème, donnons quelques exemples d’automorphismes hyperboliques et rappelons quelques notions qui seront utilisées dans la démonstration.

1. Exemples de matrices définissant des automorphismes hyperboliques sur des tores

1.1. Matrice hyperbolique diagonalisable à valeurs propres strictement positives :

Un exemple bien connu sur le tore $\;\mathbb{T}^{2}\;$ est l’automorphisme hyperbolique (dit du chat d’Arnold) défini par la matrice \;\displaystyle A=\left(\begin{array}[]{cc}1&1\\ 1&2\end{array}\right)\; dont les valeurs propres sont : $\;\lambda_{1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\;$ et $\;\lambda_{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.

$\;A\;$ est une matrice hyperbolique diagonalisable dont les valeurs propres sont strictement positives. Elle appartient donc à la famille $\;\mathcal{F}\;$ des matrices étudiées dans l’article [DE].

1.2. Matrice hyperbolique diagonalisable à valeurs propres non toutes strictement positives :

La matrice \;\displaystyle A=\left(\begin{array}[]{cc}1&1\\ 1&0\end{array}\right),\; dont les valeurs propres sont : $\;\lambda_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\;$ et $\;\lambda_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\;$ définit un automorphisme hyperbolique sur le tore $\;\mathbb{T}^{2}$. Cette matrice est diagonalisable mais ses valeurs propres ne sont pas toutes strictement positives. Elle n’appartient pas donc à la famille $\;\mathcal{F}$.

1.3. Matrice hyperbolique diagonalisable à valeurs propres non toutes réelles :

Soit la matrice \displaystyle\;A=\left(\begin{array}[]{ccc}1&1&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0\end{array}\right)\;. Son polynôme caractéristique $\;P_{A}(X)\;$ est donné par :

[TABLE]

Étudions les variations de la fonction $\;P_{A}:x\mapsto P_{A}(x)\;$ sur $\rm I\!R$. Sa dérivée se factorise de la manière suivante :

[TABLE]

La fonction $\;P_{A}\;$ induit donc, par restriction, les trois bijections suivantes :

[TABLE]

Le polynôme $\;P_{A}\;$ n’admet donc qu’une seule racine réelle $\;\mu\;$ située entre les valeurs $\;\frac{3}{2}\;$ et $\;2\;$ car $\;P_{A}(\frac{3}{2})=\frac{11}{8}>0\;$ et $\;P_{A}(2)=-1<0\;$.

Soient $\;\lambda=a+ib\;$ et $\;\overline{\lambda}=a-ib\;$ les deux autres racines de $\;P_{A}\;$ dans $\;\mathbb{C}\;$ (le polynôme étant à coefficients réels). On a : $\;b\neq 0\;$ et $\;1=\hbox{det}(A)=\mu\lambda\overline{\lambda}=\mu|\lambda|^{2}\;$.

Nous avons donc trois valeurs propres $\;\mu,\;\lambda,\;\overline{\lambda}\;$ telles que $\;\mu>1\;$ et $\;|\lambda|=|\overline{\lambda}|=\frac{1}{\sqrt{\mu}}<1\;$.

**1.4. Matrice hyperbolique non diagonalisable : **

Soit le polynôme $\;Q(X)=\left(P_{A}(X)\right)^{2}\;$ où $\;P_{A}(X)\;$ est le polynôme de l’exemple 1.3. ci-dessus. $\;Q(X)=X^{6}-2X^{5}-X^{4}+3X^{2}+2X+1\in\mathbb{Z}[X]\;$ est à la fois le polynôme caractéristique et le plynôme minimal de sa matrice compagnon :

[TABLE]

$C_{Q}\;$ est donc une matrice de $\hbox{GL}(6,\mathbb{Z})\;$ admettant $\;\mu,\;\lambda\;$ et $\;\overline{\lambda}\;$ comme valeurs propres doubles. Ce qui montre que $\;C_{Q}\;$ est une matrice hyperbolique non diagonalisable avec des valeurs propres qui ne sont pas toutes réelles.

2. L’espace $\;C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})\;$

On munit l’espace vectoriel $\;\rm I\!R^{p}\;$ de son produit scalaire usuel et on désigne par $\;C_{per}^{\infty}(\rm I\!R^{p})\;$ l’espace vectoriel des fonctions $\;\varphi:\rm I\!R^{p}\longrightarrow\mathbb{C}\;$ qui sont de classe $\;C^{\infty}\;$ et $\;\mathbb{Z}^{p}$-péroidiques, i.e.

[TABLE]

Si $\;\pi:\rm I\!R^{p}\rightarrow\mathbb{T}^{p}=\rm I\!R^{p}/\mathbb{Z}^{p}\;$ est la projection canonique de $\;\rm I\!R^{p}\;$ sur le tore $\mathbb{T}^{p}$, nous avons la bijection :

[TABLE]

permettant d’identifier les éléments de $\;C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})\;$ à ceux de $\;C_{per}^{\infty}(\rm I\!R^{p})$. On utilisera cette identification dans tout ce qui suit. Pour plus de détail, on pourra consulter la référence [C] par exemple.

D’autre part, toute fonction $\;h\in C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})\;$ peut être développée en série de Fourier sous la forme :

[TABLE]

où pour tout $\;m\in\mathbb{Z}^{p},\;\widehat{h}(m)\;$ est le $\;m$-ième coefficient de Fourier de $\;h\;$ donné par :

[TABLE]

et $\;\Theta_{m}:\rm I\!R^{p}\longrightarrow\mathbb{C}\;$ est la fonction $\;\mathbb{Z}^{p}$-périodique définie par :

[TABLE]

On sait que la famille de nombres complexes $\;\left(\widehat{h}(m)\right)_{m\in\mathbb{Z}^{p}}\;$ appartient à l’espace vectoriel $\;\mathcal{S}(\mathbb{Z}^{p},\mathbb{C})\;$ constitué des familles $\;\displaystyle(a_{m})_{m\in\mathbb{Z}^{p}}$ à décroissance rapide c’est-à-dire telles que :

[TABLE]

où pour tout $\;x=(x_{1},...,x_{p})\in\rm I\!R^{p}$, on $|x|=|x_{1}|+...+|x_{p}|$. De plus, l’application :

[TABLE]

est une bijection linéaire qui permet d’identifier $\;C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})\;$ à l’espace $\;\mathcal{S}(\mathbb{Z}^{p},\mathbb{C})\;$ qu’on peut exprimer sous les deux formes suivantes :

[TABLE]

où pour tout $\;r\in\rm I\!N,\;W^{1,r}\;$ (resp. $\;W^{2,r}\;$) désigne l’espace vectoriel des suites de nombres complexes $\;\displaystyle(a_{m})_{m\in\mathbb{Z}^{p}}\;$ telles que $\;\displaystyle\sum_{m\in\mathbb{Z}^{p}}|m|^{r}|a_{m}|<\infty\;$ (resp. $\;\displaystyle\sum_{m\in\mathbb{Z}^{p}}|m|^{2r}|a_{m}|^{2}<\infty\;$) muni de la norme

[TABLE]

De plus, pour tout $\;r\in\rm I\!N,\;$ les espaces $\;\;W^{1,r}\;$ et $\;\;W^{2,r}\;$ sont complets et les injections suivantes sont des opérateurs compacts :

[TABLE]

3. Conditions nécessaires de résolution de l’équation (0.1)

Pour tout $k\in\mathbb{Z}$, on note :

[TABLE]

Supposons que l’équation $\;{\bf(0.1)}\;$ admet une solution $f$. Alors on doit avoir :

[TABLE]

En effet, on a :

[TABLE]

Plus généralement, nous avons $\;\Phi(g)=0$ pour toute forme linéaire $\;\Phi:C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})\rightarrow\mathbb{C}\;$ vérifiant : $\forall h\in C^{\infty}(\mathbb{T}^{p}),\;\Phi(h\circ\gamma)=\Phi(h),\;$ . Autrement dit,

[TABLE]

La prmières condition nécessaire ci-dessus étant un cas particulier de ${\bf(3.1)}$ puisque la forme linéaire $\;h\longmapsto\int_{{\mathbb{T}}^{p}}h(x)dx\;$ est $\gamma$-invariantes sur $\;C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})\;$.

La propriété ${\bf(3.1)}$ ci-dessus est donc une condition nécessaire pour que l’équation cohomologique ${\bf(0.1)}$ admette au moins une solution pour la donnée $g$.

Remarquons que, pour tout $\;k\in\mathbb{Z},\;$ l’équation $\;\displaystyle f\circ\gamma^{k}-f\circ\gamma^{k+1}=g\circ\gamma^{k}\;$ est équivalente à l’équation cohomologique ${\bf(0.1)}$. Ce qui se traduit, au niveau des coefficients de Fourier, par :

[TABLE]

Considérons la matrice $B\in\hbox{GL}(p,\mathbb{Z})$ transposée de la matrice inverse de $A$ et notons, pour tout $k\in\mathbb{Z}$, $b_{k}=\gamma^{k}(0)$. On a alors le lemme suivant :

3.3. Lemme :

(a) Pour $k\in\mathbb{Z}$, $m\in\mathbb{Z}^{p}$ et $h\in C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})$, nous avons :

[TABLE]

(b) Pour $m\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\}$ et $h\in C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})$, les trois séries :

[TABLE]

sont absolument convergentes. De plus, pour chaque $m\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\}$, les formes linéaires :

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

sont continues.

(c) Si l’équation cohomologique ${\bf(0.1)}$ admet une solution $f$ pour la donnée $g$ alors :

[TABLE]

Preuve du Lemme :

(a) Nous avons : $0=\gamma^{-k}\left[\gamma^{k}(0)\right]=\gamma^{-k}(b_{k})=A^{-k}b_{k}+b_{-k}$. D’où $b_{-k}=-A^{-k}b_{k}$.

Nous avons également : $\displaystyle\widehat{h\circ\gamma^{k}}(m)=\int_{{\mathbb{T}}^{p}}h\circ\gamma^{k}(x)e^{-i2\pi<x,m>}dx$

$\displaystyle=\int_{{\mathbb{T}}^{p}}h\left[\gamma^{k}(x)\right]e^{-i2\pi<x,m>}dx$

$\displaystyle=\int_{{\mathbb{T}}^{p}}h(u)e^{-i2\pi<\gamma^{-k}(u),m>}du$

$\displaystyle=\int_{{\mathbb{T}}^{p}}h(u)e^{-i2\pi<A^{-k}(u)+b_{-k},m>}du$

$\displaystyle=e^{-i2\pi<b_{-k},m>}\int_{{\mathbb{T}}^{p}}h(u)e^{-i2\pi<A^{-k}(u),m>}du$

$\displaystyle=e^{i2\pi<A^{-k}b_{k},m>}\int_{{\mathbb{T}}^{p}}h(u)e^{-i2\pi<A^{-k}(u),m>}du$

$\displaystyle=e^{i2\pi<b_{k},B^{k}m>}\int_{{\mathbb{T}}^{p}}h(u)e^{-i2\pi<u,B^{k}m>}du$

$\displaystyle=e^{i2\pi<b_{k},B^{k}m>}\widehat{h}(B^{k}m)$

(b) les sommes partielles de chacune des deux séries $\;\displaystyle\sum_{k\geq 0}|\widehat{h}(B^{k}m)|\;$ et $\;\displaystyle\sum_{k<0}|\widehat{h}(B^{k}m)|\;$ sont majorées par la somme $\;\displaystyle\sum_{\alpha\in\mathbb{Z}^{p}}|\widehat{h}(\alpha)|\;$. Les trois séries :

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

sont donc absolument convergentes. On en déduit que les formes linéaires $\Phi_{m}$, $\Phi^{+}_{m}$ et $\Phi^{-}_{m}$ sont bien définies pour chaque $m\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\}$. De plus, nous avons :

[TABLE]

[TABLE]

De même, nous avons : $\displaystyle\forall h\in C^{\infty}(\mathbb{T}^{p}),\;|\Phi^{+}_{m}(h)|\leq\|h\|_{1,0}$ et $\displaystyle|\Phi^{-}_{m}(h)|\leq\|h\|_{1,0}$. Ce qui prouve la continuité des quatre formes linéaires.

(c) Si $f$ est une solution de ${\bf(0.1)}$ pour la donnée $g$, alors

[TABLE]

et si $m\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\}$ et $n\in\rm I\!N^{*}$, nous avons :

[TABLE]

De plus, la série numérique $\displaystyle\sum_{k\geq 0}\widehat{f\circ\gamma^{k}}(m)$ est convergente. Donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\widehat{f\circ\gamma^{n+1}}(m)=0$ et par suite $\displaystyle\sum_{k\geq 0}\widehat{g\circ\gamma^{k}}(m)=\widehat{f}(m)$ soit $\displaystyle\Phi^{+}_{m}(g)=\widehat{f}(m)$.

De même, $\displaystyle\Phi^{-}_{m}(g)=-\sum_{k<0}\widehat{g\circ\gamma^{k}}(m)=\widehat{f}(m)$ et donc aussi $\displaystyle\displaystyle\sum_{k\in\mathbb{Z}}\widehat{g\circ\gamma^{k}}(m)=\Phi^{+}_{m}(g)-\Phi^{-}_{m}(g)=0$.

$\diamondsuit$

Le point (c) du lemme ci-dessus exprime que pour que l’équation cohomologique ${\bf(0.1)}$ admette une solution $\;f,\;$ pour la donnée $g$, on doit avoir :

[TABLE]

4. Résultats préliminaires :

Supposons que la matrice $\;A\;$ est hyperbolique. La matrice $\;B,\;$ transposée de l’inverse de $\;A,\;$ est également hyperbolique puisque ses valeurs propres sont les inverses de celles de $\;A\;$.

Notons $\;\lambda_{1},...,\lambda_{q},\lambda_{q+1},...,\lambda_{r}\;$ les valeurs propres de $\;B\;$ dans $\;\mathbb{C}\;$ avec :

[TABLE]

Pour tout indice $\;j\in\{1,...,r\},\;$ on considère l’espace caractéristique $\;E_{j}=ker\left(B-\lambda_{j}I_{p}\right)^{k_{j}}\;$ où $\;k_{j}\in\rm I\!N^{*}\;$ est la multiplicité de la valeur propre $\;\lambda_{j}\;$ comme racine du polynôme minimal $\;P_{B}(X)\;$. Le lemme des noyaux donne les décompositions :

[TABLE]

où $\;E_{-}=E_{1}\oplus...\oplus E_{q}\;$ (sous-espace stable) et $\;E_{+}=E_{q+1}\oplus...\oplus E_{r}\;$ (sous-espace instable). Ces décompositions de l’espace vectoriel $\mathbb{C}^{p}$ en des sous-espaces invariants par $\;B,\;$ permettent de définir les projecteurs naturels :

[TABLE]

[TABLE]

ainsi que les automorphismes induits par $\;B\;$ :

[TABLE]

D’autre part, pour tout $\;j\in\{1,...,r\},\;$ l’opérateur $\;D_{j}=\lambda_{j}\Pi_{j}\;$ est diagonalisable, l’opérateur $\;N_{j}=(B-\lambda_{j}I_{p})\Pi_{j}\;$ est nilpotent d’indice $\;k_{j}\;$ et nous avons la décomposition spéctrale :

[TABLE]

Nous avons donc, pour tout entier $\;k,\;$ avec $\;\displaystyle k\geq k_{0}=\max_{1\leq j\leq r}(k_{j}),\;$ et pour $\;x=x_{1}+...+x_{r}\in E\;$ :

$\displaystyle B^{k}(x)=\sum_{j=1}^{r}B^{k}(x_{j})$

$\displaystyle=\sum_{j=1}^{r}\left[N+D\right]^{k}(x_{j})$

$\displaystyle=\sum_{j=1}^{r}\left(\sum_{l=0}^{k}C_{k}^{l}N^{l}(x_{j})D^{k-l}(x_{j})\right)$

$\displaystyle=\sum_{j=1}^{r}\left(\sum_{l=0}^{k}C_{k}^{l}N_{j}^{l}(x_{j})D_{j}^{k-l}(x_{j})\right)$

$\displaystyle=\sum_{j=1}^{r}\left(\sum_{l=0}^{k}C_{k}^{l}\lambda_{j}^{k-l}N_{j}^{l}(x_{j})\right)$

$\displaystyle=\sum_{j=1}^{r}\sum_{l=0}^{k_{0}-1}C_{k}^{l}\lambda_{j}^{k-l}N_{j}^{l}(x_{j})$

4.1. Remarque : Pour toute valeur propre $\;\lambda_{j}\;$ de $\;B,\;\lambda^{\prime}_{j}=\frac{1}{\lambda_{j}}\;$ est une valeur propre de $\;B^{\prime}=B^{-1}\;$ d’ordre $\;k_{j}\;$ dont le sous-espace caractéristique $\;E^{\prime}_{j}\;$ associé n’est rien d’autre que $\;E_{j}$. En effet, nous avons :

[TABLE]

Ce qui implique $\;E^{\prime}_{+}=E_{-},\;E^{\prime}_{-}=E_{+}\;$ et pour tout $\;x\in E,\;x^{\prime}_{+}=x_{-}\;$ et $\;x^{\prime}_{-}=x_{+}$.

4.2. Lemme : Pour tout $\;\displaystyle x\in E_{-},\;\lim_{k\rightarrow+\infty}\|B^{k}x\|=0\;$ et pour tout $\;\displaystyle x\in E_{+},\;\lim_{k\rightarrow+\infty}\|B^{-k}x\|=0$. Par conséquent, nous avons : $\;\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}\||B^{k}_{-}\||=0\;$ et $\;\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}\||B^{-k}_{+}\||=0$, $|||\;.\;|||$ étant la norme induite par le produit hermitien usuel de $\mathbb{C}^{p}$ sur chacun des espaces $\;End(\mathbb{C}^{p}),\;End(E_{-})\;$ et $\;End(E_{+})$.

Preuve : Soit $\;x=x_{1}+...+x_{q}\in E_{-}=E_{1}\oplus...\oplus E_{q}$. Pour $\;k\geq k_{0},\;$ nous avons :

\displaystyle\begin{array}[]{rcl}\|B^{k}(x)\|&=&\|\sum_{j=1}^{q}\sum_{l=0}^{k_{0}-1}C_{k}^{l}\lambda_{j}^{k-l}N^{l}(x_{j})\|\\[8.5359pt] &\leq&\sum_{j=1}^{q}\sum_{l=0}^{k_{0}-1}C_{k}^{l}.|\lambda_{j}|^{k-l}.\|N^{l}(x_{j})\|\end{array}

De plus, pour tout $\;j\in\{1,...,q\},\;$ et pour tout $\;l\in\{0,...,k_{0}-1\},\;$ nous avons $\;\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}C_{k}^{l}|\lambda_{j}|^{k-l}=0\;$ car $\;|\lambda_{j}|<1$. Donc $\;\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}\|B^{k}x\|=0$. A l’aide de la remarque ci-dessus, on déduit qu’on a aussi $\;\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}\|B^{-k}x\|=0\;$ pour $\;x\in E_{+}$.

Pour $\;k\in\rm I\!N,\;$ nous avons $\;\displaystyle\||B^{k}_{-}\||=\max\{\|B^{k}x\|\;|\;x\in E_{-}\;\textrm{et}\;\|x\|=1\}=\|B^{k}u\|\;$ avec $\;u\in E_{-}$. Donc, $\;\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}\||B^{k}_{-}\||=\lim_{k\rightarrow+\infty}\|B^{k}u\|=0$. De même, on a : $\;\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}\||B^{-k}_{+}\||=0$.

4.3. Lemme : Pour tout $\;\displaystyle m\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\},\;$ nous avons : $\;m_{-}\neq 0\;$ et $\;\displaystyle m_{+}\neq 0$.

Preuve : Soit $\;m\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\}$.

Si $\;m_{+}=0,\;$ alors $\;\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}\|B^{k}(m)\|^{2}=\lim_{k\rightarrow+\infty}\|B^{k}(m_{-})\|^{2}=0\;$ d’après le lemme (4.2). La suite d’entiers strictement positifs $\;(\|B^{k}m\|^{2})\;$ est donc nulle à partir d’un certain rang. Ce qui est absurde. D’où $\;m_{+}\neq 0$. De même, $\;m_{-}=m^{\prime}_{+}\neq 0\;$ d’après la remarque (4.1). D’où le lemme.

4.4. Proposition : Il existe une norme $\;\|.\|_{*}\;$ sur $\;\mathbb{C}^{p}=E_{-}\oplus E_{+}\;$ telle que :

(a) pour tout $\;(x_{-},x_{+})\in E_{-}\times E_{+},\;\|x_{-}+x_{+}\|_{*}=\max(\|x_{-}\|_{*}\,,\,\|x_{+}\|_{*})\;$

(b) $\;\||B_{-}\||_{*}<1\;$ et $\;\||B^{-1}_{+}\||_{*}<1$.

On dit que la norme $\;\|.\|_{*}\;$ est adaptée à l’automorphisme hyperbolique $B$.

Preuve : D’après le lemme (4.2), $\;\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}\||B^{k}_{-}\||=0\;$ et $\;\displaystyle\lim_{k\rightarrow+\infty}\||B^{-k}_{+}\||=0$. Il existe donc un entier $\;n\geq 1\;$ tel que $\;\||B^{n}_{-}\||<1\;$ et $\;\||B^{-n}_{+}\||<1$. Pour $\;(x_{-},x_{+})\in E_{-}\times E_{+},\;$ posons :

[TABLE]

Il est clair que $\;\|.\|_{*}\;$ est une norme sur $\;\mathbb{C}^{p}\;$ vérifiant la condition (a). Montrons qu’elle vérifie aussi la condition (b).

Pour $\;x\in E_{-}\setminus\{0\},\;$ nous avons :

[TABLE]

où $\;\displaystyle\varphi(x)=\frac{\|Bx\|}{\|x\|}+...+\frac{\|B^{n-1}x\|}{\|x\|}\leq\underbrace{\sum_{k=1}^{n-1}\||B^{k}_{-}\||}_{\alpha}$.

La fonction $\;\displaystyle t\mapsto\frac{t+\||B^{n}_{-}\||}{t+1}=1-\frac{1-\||B^{n}_{-}\||}{t+1}\;$ est strictement croissante sur $\;[0,+\infty[\;$ et nous avons $\;0\leq\varphi(x)\leq\alpha\;$. Donc $\;\displaystyle\frac{\varphi(x)+\||B^{n}_{-}\||}{\varphi(x)+1}\leq\frac{\alpha+\||B^{n}_{-}\||}{\alpha+1}$. D’où : $\;\displaystyle\||B_{-}\||_{*}\leq\frac{\alpha+\||B^{n}_{-}\||}{\alpha+1}<1$.

On montre de la même manière que $\;\||B^{-1}_{+}\||_{*}=\||B^{\prime}_{-}\||_{*}<1$.

4.5. Remarque : Il est clair que la norme $\;\|.\|_{*}\;$ définie ci-dessus est aussi adaptée à l’automorphisme hyperbolique $B^{\prime}=B^{-1}$.

4.6. Lemme : Soit $\;\displaystyle m\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\}$. Alors :

${\bf(a)}\;$ Si $\;\|m\|_{*}=\|m_{+}\|_{*},\;$, la suite $\;(\|B^{k}m\|_{*})_{k\geq 0}\;$ est strictement croissante.

${\bf(b)}\;$ Si $\;\|m\|_{*}=\|m_{-}\|_{*},\;$ alors la suite $\;(\|B^{-k}m\|_{*})_{k\geq 0}\;$ est strictement croissante.

Preuve : Soit $\;m\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\}$.

${\bf(a)}\;$ Si $\;\|m\|_{*}=\|m_{+}\|_{*},\;$ alors

[TABLE]

[TABLE]

Nous avons donc $\;\displaystyle\|m\|_{*}<\|Bm\|_{*}\;$ et $\;\displaystyle\|Bm\|_{*}=\|Bm_{+}\|_{*}$. Ce qui permet de prouver par récurrence que $\forall k\in\rm I\!N$, on a $\|B^{k}m\|_{*}<\|B^{k+1}m\|_{*}$. La suite $\;(\|B^{k}m\|_{*})_{k\geq 0}\;$ est donc strictement croissante.

${\bf(b)}\;$ Si $\;\|m\|_{*}=\|m_{-}\|_{*},\;$ alors d’après les remarques (4.1) et (4.5) nous avons $\;\|m\|_{*}=\|m^{\prime}_{+}\|_{*}\;$ et donc d’après le cas précédent, la suite $\;(\|B^{\prime k}m\|_{*})_{k\geq 0}=(\|B^{-k}m\|_{*})_{k\geq 0}\;$ est strictement croissante.

5. Fin de la preuve du théorème

5.1. Preuve du point (i) du théorème :

Pour tout $m\in\mathbb{Z}^{p}$, la forme linéaire $\displaystyle\Phi_{m}$ est continue sur $\mathbb{C}^{\infty}(\mathbb{T}^{p})$. Ce qui implique que son noyau $Ker(\Phi_{m})$ est un fermé de $C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})$ et parsuite l’intersection $\displaystyle\mathcal{H}:=\cap_{m\in\mathbb{Z}^{p}}Ker(\Phi_{m})$ est un fermé de $C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})$.

D’autre part, si $g\in Im(\delta)$, alors l’équation ${\bf(0.1)}$ admet au moins une solution et donc $g\in\mathcal{H}$ d’après le point (c) du lemme 3.3. D’où l’inclusion : $\displaystyle Im(\delta)\subseteq\mathcal{H}$.

Réciproquement, si $g\in\mathcal{H}$, alors

[TABLE]

Montrons que la suite de nombres complexes $\;\displaystyle\left(\Phi_{m}^{+}(g)\right)_{m\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\}}\;$ est à décroissance rapide et définit ainsi une fonction $\;\displaystyle f=\sum_{m\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\}}\Phi_{m}^{+}(g)\Theta_{m}\in C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})\;$ solution de ${\bf(0.1)}$.

Pour cela, il suffit de prouver que pour tout $\;r\in\rm I\!N,\;$ $\;\displaystyle\lim_{\|m\|_{*}\rightarrow+\infty}\|m\|_{*}^{r}|\Phi_{m}^{+}(g)|=0\;$.

Soit $\;r\in\rm I\!N\;$ et soit $\;m\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\}$.

- Si $\;\|m\|_{*}=\|m_{+}\|_{*}\;$ alors, d’après le lemme (4.6), la suite $\;(\|B^{k}m\|_{*})_{k\geq 0}\;$ est strictement croissante et on a donc :

$\displaystyle\|m\|_{*}^{r+2}|\Phi_{m}^{+}(g)|=\|m\|_{*}^{r+2}|\left|\sum_{k\geq 0}\widehat{g\circ\gamma^{k}}(m)\right|$

$\displaystyle\leq\sum_{k\geq 0}\|m\|_{*}^{r+2}|\widehat{g}(B^{k}m)|$

$\displaystyle\leq\sum_{k\geq 0}\|B^{k}m\|_{*}^{r+2}|\widehat{g}(B^{k}m)|$

$\displaystyle\leq\sum_{\alpha\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\}}\|\alpha\|_{*}^{r+2}|\widehat{g}(\alpha)|$

- Si $\;\|m\|_{*}=\|m_{-}\|_{*}\;$ alors, d’après le lemme (4.6), la suite $\;(\|B^{-k}m\|_{*})_{k\geq 0}\;$ est strictement croissante et on a donc :

$\displaystyle\|m\|_{*}^{r+2}|\Phi_{m}^{+}(g)|=\|m\|_{*}^{r+2}|\Phi_{m}^{-}(g)|$

$\displaystyle=\|m\|_{*}^{r+2}\left|-\sum_{k<0}\widehat{g\circ\gamma^{k}}(m)\right|$

$\displaystyle=\|m\|_{*}^{r+2}\left|\sum_{l>0}\widehat{g\circ\gamma^{-l}}(m)\right|$

$\displaystyle\leq\sum_{l>0}\|m\|_{*}^{r+2}|\widehat{g}(B^{-l}m)|$

$\displaystyle\leq\sum_{l>0}\|B^{-l}m\|_{*}^{r+2}|\widehat{g}(B^{-l}m)|$

$\displaystyle\leq\sum_{\alpha\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\}}\|\alpha\|_{*}^{r+2}|\widehat{g}(\alpha)|$

Les normes $\displaystyle x=(x_{1},...,x_{p})\mapsto|x|=|x_{1}|+...+|x_{p}|$ et $\displaystyle x\mapsto\|x\|_{*}$ étant équivalentes sur $\mathbb{C}^{p}$, il existe des nombres réels $\eta>0$ et $\mu>0$ tels que $\displaystyle\eta\|x\|_{*}\leq|x|\leq\mu\|x\|_{*}$ pour tout $x\in\mathbb{C}^{p}$. D’où :

[TABLE]

où $\displaystyle\|g\|_{1,r+2}=\sum_{\alpha\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\}}|\alpha|^{r+2}|\widehat{g}(\alpha)|<\infty$.

Ce qui implique que $\displaystyle\forall r\in\rm I\!N,\;\lim_{\|m\|_{*}\rightarrow+\infty}\|m\|_{*}^{r}|\Phi_{m}^{+}(g)|=0$.

Nous avons donc $\;\displaystyle f=\sum_{m\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\}}\Phi_{m}^{+}(g)\Theta_{m}\in C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})\;$ et d’après le point (a) du lemme 3.3 on a :

$\displaystyle\forall m\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\},\;\widehat{f\circ\gamma}(m)=e^{i2\pi<b_{1},Bm>}\widehat{f}(Bm)$

$\displaystyle\hskip 119.50148pt=e^{i2\pi<b_{1},Bm>}\Phi^{+}_{Bm}(g)$

$\displaystyle\hskip 119.50148pt=\sum_{k\geq 0}e^{i2\pi<b_{1},Bm>}\widehat{g\circ\gamma^{k}}(Bm)$

$\displaystyle\hskip 119.50148pt=\sum_{k\geq 0}\widehat{g\circ\gamma^{k+1}}(m)$

D’où : $\displaystyle\forall m\in\mathbb{Z}^{p}\setminus\{0\},\;\widehat{\left(f-f\circ\gamma\right)}(m)=\sum_{k\geq 0}\widehat{g\circ\gamma^{k}}(m)-\sum_{k\geq 0}\widehat{g\circ\gamma^{k+1}}(m)=\widehat{g}(m)$.

On a aussi $\widehat{\left(f-f\circ\gamma\right)}(0)=0=\widehat{g}(0)$. Ce qui prouve que $g=\delta(f)\in Im(\delta)$. On en déduit que $\mathcal{H}\subset Im(\delta)$.

$Im(\delta)=\mathcal{H}$ est donc un fermé de l’espace de Fréchet $C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})$. L’espace quotient $\displaystyle C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})/Im(\delta)=\mathcal{H}$ qui n’est rien d’autre que l’espace de cohomologie $H^{1}\left(\gamma,C^{\infty}(\mathbb{T}^{p})\right)$ est donc un espace de Fréchet.

5.2. Preuve du point (ii) du théorème :

L’opérateur linéaire :

[TABLE]

est continu. En effet,

[TABLE]

De plus, nous avons : $\displaystyle\forall g\in Im(\delta),\;\delta\circ L(g)=g$. $\diamondsuit$

Références

[A] D. V. Anosov   On an additive functional homology equation connected with an ergodic rotation of the circle. Math. USSR, Izv. 7(1973), 1257-1271.

[C] Chou Chin-Cheng   Séries de Fourier et Théorie des distributions. Editions Scientifiques (1983).

[E] A. El Kacimi Alaoui   The $\overline{\partial}$ operator along the leaves and Guichard’s theorem for a complex simple foliation. Mathematische Annalen 347 (2010), 885–897.

[DE] A. Dehghan-Nezhad & A. El Kacimi Alaoui   Équations cohomologiques de flots riemanniens et de difféomorphismes d’Anosov. Journal of the Mathematical Society of Japan, Vol. 59 N° 4 (2007), 1105-1134.

[KR] A. Katok in collaboration with E. A. Robinson, Jr.   Cocycles, cohomology and combinatorial constructions in ergodic theory. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics Vol. 00 (2001).

[MMY] S. Marmi, P. Moussa & J.-C. Yoccoz   The cohomological equation for roth-type interval exchange maps. Journal of the American Mathematical Society, Vol. 18, N° 4 (2005), 823–872.

[BS] N. Berline & C. Sabbah   Aspects des systèmes dynamiques. Editions de l’Ecole Polytechnique, ISBN 978-2-7302-1560-2 (2009).

Université Polytechnique Hauts-de-France

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