This paper investigates the cohomological equation for hyperbolic affine automorphisms of the torus, demonstrating the closedness of the image of the cobord operator and the existence of a continuous solution operator.
Contribution
It establishes the closedness of the cobord operator’s image and constructs a continuous linear solution operator for the cohomological equation in this setting.
Findings
01
The image of the cobord operator is a closed subspace of the function space.
02
The cohomology space is a nontrivial Fréchet space.
03
A continuous linear operator solving the cohomological equation exists.
Abstract
We study the discrete cohomological equation of a hyperbolic affine automorphism Y of the torus (whose linear part is not necessarily diagonalisable). More precisely ; if d is the cobord operator defined by : d (h) = h-hoY for every element h of the Fr\'echet space E of the differentiable functions on the torus, we show that the image Im(d) is a closed of E and that consequently the space of cohomology H^1(Y; E):=E/Im(d) is a nontrivial Fr\'echet space. We also prove the existence of a continuous linear operator L defined from Im(d) to E such that for every element g of Im(d), the image f = L(g) is a solution of the discrete cohomological equation f-foY = g.
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Taxonomy
TopicsMathematical Dynamics and Fractals · Geometric and Algebraic Topology · Geometry and complex manifolds
Full text
Équation cohomologique d’un
automorphisme affine hyperbolique
du tore
Abdellatif ZEGGAR
(Février 2019)
Résumé : Soit A une matrice hyperbolique
(matrice sans valeur propre de module égal à 1) appartenant à
GL(p,Z) et soit b un élément de IRp.
L’automorphisme affine γ:x↦γ(x)=Ax+b de
IRp induit sur le tore Tp=IRp/Zp
un automorphisme affine hyperbolique (d’Anosov) que l’on note
encore γ. L’objet de ce travail est l’étude de l’équation
cohomologique :
[TABLE]
Plus précisément, nous montrons que l’image
Im(δ) de l’opérateur cobord
[TABLE]
est un fermé de l’espace de Fréchet C∞(Tp) et que par conséquence l’espace de cohomologie
[TABLE]
est un espace de Fréchet non trivial. Nous prouvons
également l’existence d’un opérateur linéaire continu L:Im(δ)→C∞(Tp) tel que, pour toute fonction g∈Im(δ), la fonction f=L(g) est une solution de
l’équation cohomologique (∗). Autrement dit : δ∘L=idIm(δ).
Ce résultat généralise le théorème 5.1 de [DE] prouvé par A.
Dehghan-Nezhad et A. El Kacimi dans le cas où b=0 et A est une
matrice diagonalisable dont toutes les valeurs propres sont
réelles et positives.
0. Introduction
Si M est une variété différentiable connexe, l’espace vectoriel
E=C∞(M) des fonctions de classe C∞ sur M
est un espace de Frechet pour la topologie C∞
(topologie de la convergence uniforme de toutes les dérivées sur
les compacts). Une action différentiable d’un groupe dénombrable
Γ (supposé de présentation finie) sur M induit sur E
une action naturelle donnée par :
[TABLE]
On peut donc considérer l’espace vectoriel H1(Γ,E) désignant le premier espace de cohomologie du groupe Γ à valeurs dans le Γ-module E.
Dans le cas où Γ est fini et le
cas où Γ agit librement et proprement sur M, (cas où la
projection canonique M→M/Γ est un
revétement) on montre que H1(Γ,E) est trivial.
Dans le cas où le groupe Γ est engendré par un seul
élément γ, nous avons Γ={γk∣k∈Z} et on peut montrer facilement que l’espace
H1(Γ,E) qu’on notera H1(γ,E) est le conoyau de
l’opérateur cobord :
[TABLE]
Le calcul du conoyau E/δ(E) de δ revient à
résoudre l’équation suivante :
[TABLE]
dite équation cohomologique associée au système
dynamique discret γ:M→M. Les références [A],
[E], [MMY] et [KR] permettent d’avoir une idée sur ce que peut
représenter cette équation dans certains domaines des
mathématiques.
Dans ce qui suit, nous allons étudier cette équation dans le
cas d’un automorphisme affine hyperbolique sur un tore [BS].
Soit A est une matrice de GL(p,Z) qui n’a aucune valeur
propre de module égal à 1 dans C et b un élément de
IRp. L’automorphisme affine γ:IRp→IRp,x↦γ(x)=Ax+b de IRp induit sur le tore
Tp=IRp/Zp un automorphisme affine
hyperbolique que l’on note encore γ.
L’équation cohomologique associée au système dynamique
hyperbolique γ:Tp→Tp est la suivante :
[TABLE]
et l’objet de notre travail est d’établir le théorème
suivant :
0.2. Théorème principal.Avec les
conditions et les notations ci-dessus, nous avons les résultats
suivants :
(i)* L’image Im(δ) de
l’opérateur cobord δ:C∞(Tp)→C∞(Tp),h↦δ(h)=h−h∘γ est un fermé de l’espace de Fréchet
C∞(Tp) et par conséquence l’espace de
cohomologie H1(γ,C∞(Tp)):=C∞(Tp)/Im(δ) est
un espace de Fréchet non trivial.*
(ii)* Il existe un opérateur linéaire continu L:Im(δ)→C∞(Tp) tel que, pour tout élément g de Im(δ), la fonction f=L(g) est une solution de
l’équation cohomologique (0.1). Autrement dit :
δ∘L=idIm(δ).*
Avant de commencer la preuve de ce théorème, donnons quelques
exemples d’automorphismes hyperboliques et rappelons quelques
notions qui seront utilisées dans la démonstration.
1. Exemples de matrices définissant des
automorphismes hyperboliques sur des tores
1.1. Matrice hyperbolique diagonalisable à valeurs
propres strictement positives :
Un exemple bien connu sur le tore T2 est l’automorphisme
hyperbolique (dit du chat d’Arnold) défini par la matrice \;\displaystyle A=\left(\begin{array}[]{cc}1&1\\
1&2\end{array}\right)\; dont les valeurs propres sont : λ1=23−5
et λ2=23+5.
A est une matrice hyperbolique diagonalisable
dont les valeurs propres sont strictement positives. Elle
appartient donc à la famille F des matrices
étudiées dans l’article [DE].
1.2. Matrice hyperbolique diagonalisable à valeurs
propres non toutes strictement positives :
La matrice \;\displaystyle A=\left(\begin{array}[]{cc}1&1\\
1&0\end{array}\right),\; dont les valeurs propres sont : λ1=21−5
et λ2=21+5, définit un
automorphisme hyperbolique sur le tore T2. Cette matrice
est diagonalisable mais ses valeurs propres ne sont pas toutes
strictement positives. Elle n’appartient pas donc à la famille F.
1.3. Matrice hyperbolique diagonalisable à valeurs
propres non toutes réelles :
Soit la matrice \displaystyle\;A=\left(\begin{array}[]{ccc}1&1&1\\
1&0&0\\
0&1&0\end{array}\right)\;. Son polynôme caractéristique PA(X) est donné par :
[TABLE]
Étudions les variations de la fonction PA:x↦PA(x) sur IR. Sa dérivée se factorise de la manière suivante
:
[TABLE]
La fonction PA induit donc, par restriction, les trois
bijections suivantes :
[TABLE]
Le polynôme PA n’admet donc qu’une seule racine réelle
μ située entre les valeurs 23 et 2 car PA(23)=811>0 et PA(2)=−1<0.
Soient λ=a+ib et λ=a−ib
les deux autres racines de PA dans C (le
polynôme étant à coefficients réels). On a : b=0 et 1=det(A)=μλλ=μ∣λ∣2.
Nous avons donc trois valeurs propres μ,λ,λ telles que μ>1 et ∣λ∣=∣λ∣=μ1<1.
**1.4. Matrice hyperbolique non diagonalisable : **
Soit le polynôme Q(X)=(PA(X))2 où PA(X) est le polynôme de l’exemple 1.3. ci-dessus. Q(X)=X6−2X5−X4+3X2+2X+1∈Z[X] est à la fois le polynôme
caractéristique et le plynôme minimal de sa matrice compagnon :
[TABLE]
CQ est donc une matrice de GL(6,Z)
admettant μ,λ et λ
comme valeurs propres doubles. Ce qui montre que CQ est
une matrice hyperbolique non diagonalisable avec des valeurs
propres qui ne sont pas toutes réelles.
2. L’espace C∞(Tp)
On munit l’espace vectoriel IRp de son produit scalaire
usuel et on désigne par Cper∞(IRp) l’espace
vectoriel des fonctions φ:IRp⟶C
qui sont de classe C∞ et Zp-péroidiques,
i.e.
[TABLE]
Si π:IRp→Tp=IRp/Zp est la projection
canonique de IRp sur le tore Tp, nous avons la
bijection :
[TABLE]
permettant d’identifier les éléments de C∞(Tp) à ceux de Cper∞(IRp). On
utilisera cette identification dans tout ce qui suit. Pour plus de
détail, on pourra consulter la référence [C] par exemple.
D’autre part, toute fonction h∈C∞(Tp) peut être développée en série de Fourier sous la forme :
[TABLE]
où pour tout m∈Zp,h(m) est
le m-ième coefficient de Fourier de h donné par :
[TABLE]
et Θm:IRp⟶C est la
fonction Zp-périodique définie par :
[TABLE]
On sait que la famille de nombres complexes (h(m))m∈Zp appartient à l’espace
vectoriel S(Zp,C) constitué des familles
(am)m∈Zp à décroissance rapide c’est-à-dire telles que :
[TABLE]
où pour tout x=(x1,...,xp)∈IRp, on ∣x∣=∣x1∣+...+∣xp∣. De plus, l’application :
[TABLE]
est une bijection linéaire qui permet d’identifier C∞(Tp) à l’espace S(Zp,C) qu’on peut exprimer sous les deux formes suivantes :
[TABLE]
où pour tout r∈IN,W1,r (resp. W2,r) désigne l’espace vectoriel des suites de nombres
complexes (am)m∈Zp telles que m∈Zp∑∣m∣r∣am∣<∞ (resp.
m∈Zp∑∣m∣2r∣am∣2<∞)
muni de la norme
[TABLE]
De plus, pour tout r∈IN, les espaces W1,r et W2,r sont complets et les injections
suivantes sont des opérateurs compacts :
[TABLE]
3. Conditions nécessaires de résolution de
l’équation (0.1)
Pour tout k∈Z, on note :
[TABLE]
Supposons que l’équation (0.1) admet une
solution f. Alors on doit avoir :
[TABLE]
En effet, on a :
[TABLE]
Plus généralement, nous avons Φ(g)=0 pour toute forme
linéaire Φ:C∞(Tp)→C
vérifiant : ∀h∈C∞(Tp),Φ(h∘γ)=Φ(h), . Autrement dit,
[TABLE]
La prmières condition nécessaire ci-dessus étant un cas
particulier de (3.1) puisque la forme linéaire h⟼∫Tph(x)dx est γ-invariantes
sur C∞(Tp).
La propriété (3.1) ci-dessus est donc une condition
nécessaire pour que l’équation cohomologique (0.1) admette
au moins une solution pour la donnée g.
Remarquons que, pour tout k∈Z, l’équation f∘γk−f∘γk+1=g∘γk est équivalente à l’équation cohomologique (0.1). Ce qui se traduit, au niveau des coefficients de Fourier,
par :
[TABLE]
Considérons la matrice B∈GL(p,Z) transposée de la
matrice inverse de A et notons, pour tout k∈Z, bk=γk(0). On a alors le lemme suivant :
3.3. Lemme :
(a) Pour k∈Z, m∈Zp et h∈C∞(Tp), nous avons :
[TABLE]
(b) Pour m∈Zp∖{0} et h∈C∞(Tp), les trois séries :
[TABLE]
sont absolument convergentes. De plus, pour chaque
m∈Zp∖{0}, les formes linéaires :
[TABLE]
[TABLE]
[TABLE]
[TABLE]
sont continues.
(c) Si l’équation cohomologique (0.1)
admet une solution f pour la donnée g alors :
[TABLE]
Preuve du Lemme :
(a) Nous avons : 0=γ−k[γk(0)]=γ−k(bk)=A−kbk+b−k. D’où b−k=−A−kbk.
Nous avons également :
h∘γk(m)=∫Tph∘γk(x)e−i2π<x,m>dx
=∫Tph[γk(x)]e−i2π<x,m>dx
=∫Tph(u)e−i2π<γ−k(u),m>du
=∫Tph(u)e−i2π<A−k(u)+b−k,m>du
=e−i2π<b−k,m>∫Tph(u)e−i2π<A−k(u),m>du
=ei2π<A−kbk,m>∫Tph(u)e−i2π<A−k(u),m>du
=ei2π<bk,Bkm>∫Tph(u)e−i2π<u,Bkm>du
=ei2π<bk,Bkm>h(Bkm)
(b) les sommes partielles de chacune des deux
séries k≥0∑∣h(Bkm)∣ et
k<0∑∣h(Bkm)∣ sont majorées
par la somme α∈Zp∑∣h(α)∣. Les trois séries :
[TABLE]
[TABLE]
[TABLE]
sont donc absolument convergentes. On en déduit que
les formes linéaires Φm, Φm+ et Φm− sont
bien définies pour chaque m∈Zp∖{0}. De plus,
nous avons :
[TABLE]
[TABLE]
De même, nous avons : ∀h∈C∞(Tp),∣Φm+(h)∣≤∥h∥1,0 et
∣Φm−(h)∣≤∥h∥1,0. Ce qui prouve la
continuité des quatre formes linéaires.
(c) Si f est une solution de (0.1) pour
la donnée g, alors
[TABLE]
et si m∈Zp∖{0} et n∈IN∗, nous
avons :
[TABLE]
De plus, la série numérique k≥0∑f∘γk(m) est convergente. Donc
n→+∞limf∘γn+1(m)=0 et par suite k≥0∑g∘γk(m)=f(m) soit
Φm+(g)=f(m).
De même, Φm−(g)=−k<0∑g∘γk(m)=f(m) et donc aussi k∈Z∑g∘γk(m)=Φm+(g)−Φm−(g)=0.
♢
Le point (c) du lemme ci-dessus exprime que pour que l’équation
cohomologique (0.1) admette une solution f, pour
la donnée g, on doit avoir :
[TABLE]
4. Résultats préliminaires :
Supposons que la matrice A est hyperbolique. La matrice
B, transposée de l’inverse de A, est également
hyperbolique puisque ses valeurs propres sont les inverses de
celles de A.
Notons λ1,...,λq,λq+1,...,λr les valeurs propres de B
dans C avec :
[TABLE]
Pour tout indice j∈{1,...,r}, on considère
l’espace caractéristique Ej=ker(B−λjIp)kj où kj∈IN∗ est la multiplicité
de la valeur propre λj comme racine du polynôme
minimal PB(X). Le lemme des noyaux donne les
décompositions :
[TABLE]
où E−=E1⊕...⊕Eq (sous-espace
stable) et E+=Eq+1⊕...⊕Er (sous-espace
instable). Ces décompositions de l’espace vectoriel Cp
en des sous-espaces invariants par B, permettent de
définir les projecteurs naturels :
[TABLE]
[TABLE]
ainsi que les automorphismes induits par B :
[TABLE]
D’autre part, pour tout j∈{1,...,r}, l’opérateur Dj=λjΠj est diagonalisable, l’opérateur Nj=(B−λjIp)Πj est nilpotent d’indice kj
et nous avons la décomposition spéctrale :
[TABLE]
Nous avons donc, pour tout entier k, avec k≥k0=1≤j≤rmax(kj), et pour
x=x1+...+xr∈E :
Bk(x)=j=1∑rBk(xj)
=j=1∑r[N+D]k(xj)
=j=1∑r(l=0∑kCklNl(xj)Dk−l(xj))
=j=1∑r(l=0∑kCklNjl(xj)Djk−l(xj))
=j=1∑r(l=0∑kCklλjk−lNjl(xj))
=j=1∑rl=0∑k0−1Cklλjk−lNjl(xj)
4.1. Remarque : Pour toute valeur
propre λj de B,λj′=λj1 est une valeur propre de B′=B−1 d’ordre kj dont le sous-espace caractéristique Ej′ associé
n’est rien d’autre que Ej. En effet, nous avons :
[TABLE]
Ce qui implique E+′=E−,E−′=E+ et
pour tout x∈E,x+′=x− et x−′=x+.
4.2. Lemme : Pour tout x∈E−,k→+∞lim∥Bkx∥=0 et pour tout x∈E+,k→+∞lim∥B−kx∥=0. Par conséquent, nous
avons : k→+∞lim∥∣B−k∥∣=0 et k→+∞lim∥∣B+−k∥∣=0, ∣∣∣.∣∣∣ étant la norme induite par le produit
hermitien usuel de Cp sur chacun des espaces
End(Cp),End(E−) et End(E+).
Preuve : Soit x=x1+...+xq∈E−=E1⊕...⊕Eq. Pour k≥k0, nous avons
:
De plus, pour tout j∈{1,...,q}, et pour
tout l∈{0,...,k0−1}, nous avons k→+∞limCkl∣λj∣k−l=0 car
∣λj∣<1. Donc k→+∞lim∥Bkx∥=0. A l’aide de la remarque ci-dessus, on déduit
qu’on a aussi k→+∞lim∥B−kx∥=0 pour x∈E+.
Pour k∈IN, nous avons ∥∣B−k∥∣=max{∥Bkx∥∣x∈E−et∥x∥=1}=∥Bku∥ avec u∈E−. Donc, k→+∞lim∥∣B−k∥∣=k→+∞lim∥Bku∥=0. De même, on a : k→+∞lim∥∣B+−k∥∣=0.
4.3. Lemme : Pour tout m∈Zp∖{0}, nous avons : m−=0 et m+=0.
Preuve : Soit m∈Zp∖{0}.
Si m+=0, alors k→+∞lim∥Bk(m)∥2=k→+∞lim∥Bk(m−)∥2=0 d’après le lemme (4.2). La suite d’entiers
strictement positifs (∥Bkm∥2) est donc nulle à partir
d’un certain rang. Ce qui est absurde. D’où m+=0. De
même, m−=m+′=0 d’après la remarque (4.1). D’où le
lemme.
4.4. Proposition : Il existe une
norme ∥.∥∗ sur Cp=E−⊕E+ telle que :
(a) pour tout (x−,x+)∈E−×E+,∥x−+x+∥∗=max(∥x−∥∗,∥x+∥∗)
(b) ∥∣B−∥∣∗<1 et ∥∣B+−1∥∣∗<1.
On dit que la norme ∥.∥∗ est adaptée à l’automorphisme
hyperbolique B.
Preuve : D’après le lemme (4.2), k→+∞lim∥∣B−k∥∣=0 et
k→+∞lim∥∣B+−k∥∣=0.
Il existe donc un entier n≥1 tel que ∥∣B−n∥∣<1 et ∥∣B+−n∥∣<1. Pour (x−,x+)∈E−×E+, posons :
[TABLE]
Il est clair que ∥.∥∗ est une norme sur Cp
vérifiant la condition (a). Montrons qu’elle vérifie aussi la
condition (b).
Pour x∈E−∖{0}, nous avons :
[TABLE]
où φ(x)=∥x∥∥Bx∥+...+∥x∥∥Bn−1x∥≤αk=1∑n−1∥∣B−k∥∣.
La fonction t↦t+1t+∥∣B−n∥∣=1−t+11−∥∣B−n∥∣ est
strictement croissante sur [0,+∞[ et nous avons 0≤φ(x)≤α. Donc φ(x)+1φ(x)+∥∣B−n∥∣≤α+1α+∥∣B−n∥∣. D’où :
∥∣B−∥∣∗≤α+1α+∥∣B−n∥∣<1.
On montre de la même manière que ∥∣B+−1∥∣∗=∥∣B−′∥∣∗<1.
4.5. Remarque : Il est clair que la
norme ∥.∥∗ définie ci-dessus est aussi adaptée à
l’automorphisme hyperbolique B′=B−1.
4.6. Lemme : Soit m∈Zp∖{0}. Alors :
(a)Si ∥m∥∗=∥m+∥∗,, la
suite (∥Bkm∥∗)k≥0 est strictement croissante.
(b)Si ∥m∥∗=∥m−∥∗, alors la
suite (∥B−km∥∗)k≥0 est strictement
croissante.
Preuve : Soit m∈Zp∖{0}.
(a) Si ∥m∥∗=∥m+∥∗, alors
[TABLE]
[TABLE]
Nous avons donc ∥m∥∗<∥Bm∥∗
et ∥Bm∥∗=∥Bm+∥∗. Ce qui permet de
prouver par récurrence que ∀k∈IN, on a
∥Bkm∥∗<∥Bk+1m∥∗. La suite (∥Bkm∥∗)k≥0 est donc strictement croissante.
(b) Si ∥m∥∗=∥m−∥∗, alors
d’après les remarques (4.1) et (4.5) nous avons ∥m∥∗=∥m+′∥∗ et donc d’après le cas précédent, la
suite (∥B′km∥∗)k≥0=(∥B−km∥∗)k≥0
est strictement croissante.
5. Fin de la preuve du théorème
5.1. Preuve du point (i) du théorème :
Pour tout m∈Zp, la forme linéaire Φm
est continue sur C∞(Tp). Ce qui implique que
son noyau Ker(Φm) est un fermé de C∞(Tp) et parsuite l’intersection H:=∩m∈ZpKer(Φm) est un fermé de
C∞(Tp).
D’autre part, si g∈Im(δ), alors l’équation
(0.1) admet au moins une solution et donc g∈H d’après le point (c) du lemme 3.3. D’où l’inclusion :
Im(δ)⊆H.
Réciproquement, si g∈H, alors
[TABLE]
Montrons que la suite de nombres complexes (Φm+(g))m∈Zp∖{0} est à décroissance rapide et définit ainsi une
fonction f=m∈Zp∖{0}∑Φm+(g)Θm∈C∞(Tp) solution de (0.1).
Pour cela, il suffit de prouver que pour tout r∈IN,∥m∥∗→+∞lim∥m∥∗r∣Φm+(g)∣=0.
Soit r∈IN et soit m∈Zp∖{0}.
- Si ∥m∥∗=∥m+∥∗ alors, d’après le
lemme (4.6), la suite (∥Bkm∥∗)k≥0 est
strictement croissante et on a donc :
∥m∥∗r+2∣Φm+(g)∣=∥m∥∗r+2∣k≥0∑g∘γk(m)
≤k≥0∑∥m∥∗r+2∣g(Bkm)∣
≤k≥0∑∥Bkm∥∗r+2∣g(Bkm)∣
≤α∈Zp∖{0}∑∥α∥∗r+2∣g(α)∣
- Si ∥m∥∗=∥m−∥∗ alors, d’après le
lemme (4.6), la suite (∥B−km∥∗)k≥0 est
strictement croissante et on a donc :
∥m∥∗r+2∣Φm+(g)∣=∥m∥∗r+2∣Φm−(g)∣
=∥m∥∗r+2−k<0∑g∘γk(m)
=∥m∥∗r+2l>0∑g∘γ−l(m)
≤l>0∑∥m∥∗r+2∣g(B−lm)∣
≤l>0∑∥B−lm∥∗r+2∣g(B−lm)∣
≤α∈Zp∖{0}∑∥α∥∗r+2∣g(α)∣
Les normes x=(x1,...,xp)↦∣x∣=∣x1∣+...+∣xp∣ et x↦∥x∥∗ étant
équivalentes sur Cp, il existe des nombres réels η>0 et μ>0 tels que η∥x∥∗≤∣x∣≤μ∥x∥∗ pour tout x∈Cp. D’où :
[TABLE]
où ∥g∥1,r+2=α∈Zp∖{0}∑∣α∣r+2∣g(α)∣<∞.
Ce qui implique que ∀r∈IN,∥m∥∗→+∞lim∥m∥∗r∣Φm+(g)∣=0.
Nous avons donc f=m∈Zp∖{0}∑Φm+(g)Θm∈C∞(Tp) et d’après le point (a) du lemme 3.3 on a :
On a aussi (f−f∘γ)(0)=0=g(0). Ce qui prouve que g=δ(f)∈Im(δ). On en déduit que H⊂Im(δ).
Im(δ)=H est donc un fermé de
l’espace de Fréchet C∞(Tp). L’espace quotient
C∞(Tp)/Im(δ)=H qui
n’est rien d’autre que l’espace de cohomologie H1(γ,C∞(Tp)) est donc un espace de Fréchet.
5.2. Preuve du point (ii) du théorème :
L’opérateur linéaire :
[TABLE]
est continu. En effet,
[TABLE]
De plus, nous avons : ∀g∈Im(δ),δ∘L(g)=g. ♢
Références
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[DE] A. Dehghan-Nezhad & A. El Kacimi Alaoui
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[KR] A. Katok in collaboration with E. A. Robinson,
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[MMY] S. Marmi, P. Moussa & J.-C. Yoccoz The cohomological equation for roth-type interval
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[BS] N. Berline & C. Sabbah Aspects des systèmes dynamiques. Editions de l’Ecole
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