Local model of Hilbert-Siegel moduli schemes in $\Gamma_1(p)$-level

TL;DR

This paper constructs a local model for Hilbert-Siegel moduli schemes with specific level structure and bad reduction, using advanced Lie complex techniques to relate integral and local models over a number field.

Contribution

It introduces a novel approach to local models of Hilbert-Siegel schemes with $ ext{Gamma}_1(p)$-level, employing a variant of the Lie complex over the small Zariski site.

Findings

Explicit local model construction for Hilbert-Siegel schemes with $ ext{Gamma}_1(p)$-level.

Calculation of the $ extbf{F}_q$-equivariant Lie complex of Raynaud group schemes.

Establishment of a relation between integral and local models using Lie complex techniques.

Abstract

We construct a local model for Hilbert-Siegel moduli schemes with $\Gamma_1(p)$-level bad reduction over $\text{Spec }\mathbb{Z}_{q}$, where $p$ is a prime unramified in the totally real field and $q$ is the residue cardinality over $p$. Our main tool is a variant over the small Zariski site of the ring-equivariant Lie complex $_A\underline{\ell}_G^{\vee}$ defined by Illusie in his thesis, where $A$ is a commutative ring and $G$ is a scheme of $A$-modules. We use it to calculate the $\mathbb{F}_{q}$-equivariant Lie complex of a Raynaud group scheme, then relate the integral model and the local model.

Equations

$$(A,H_1\subset ...\subset H_g),$$

$${\underline{\mathrm{Spec}}}_{{\mathcal{O}}_S}({\underline{\mathrm{Sym}}}_{{\mathcal{O}}_S}\mathcal{L}/(a-1){\mathcal{L}}^{\otimes p})$$

$$z^{\otimes (p-1)}=a.$$

$$(A,H_1\subset ...\subset H_g,z_1,...,z_g),$$

$$Y_1\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\leftarrow }{Z}_1^{+}\stackrel{f^{\prime }}{\to }{M}_1^{+}$$

$${\omega }_A\leftarrow {\omega }_{A/H_1}\leftarrow ...\leftarrow {\omega }_{A/H_g}$$

$$i:H\hookrightarrow X={\underline{\mathrm{Spec}}}_{{\mathcal{O}}_S}({\underline{\mathrm{Sym}}}_{{\mathcal{O}}_S}\mathcal{L}).$$

$$[{\mathcal{L}}^{\otimes p}\stackrel{a}{\to }\mathcal{L}]\cong [e^{\ast }(\mathcal{I}/{\mathcal{I}}^2)\to e^{\ast }{i}^{\ast }{\Omega }_X].$$

$$[e^{\ast }(\mathcal{I}/{\mathcal{I}}^2)\to e^{\ast }{i}^{\ast }{\Omega }_X]\cong {\ell }_H\cong [{\omega }_{B/H}\to {\omega }_B]$$

$$\det [{\mathcal{L}}^{\otimes p}\stackrel{a}{\to }\mathcal{L}]\cong \det [{\omega }_{B/H}\to {\omega }_B],$$

$$0\to H\to B\to B/H\to 0$$

$${\underline{\ell }}_H^{{\mathbb{F}}_q^{\times },\vee }\in {\mathrm{D}}^{\mathrm{b}}(\mathbb{Z}[{\mathbb{F}}_q^{\times }]\otimes {\mathcal{O}}_{S_{\mathrm{fpqc}}}),$$

$$[e^{\ast }(\mathcal{I}/{\mathcal{I}}^2)\to e^{\ast }{i}^{\ast }{\Omega }_X{]}^{\vee }\cong {\underline{\ell }}_H^{{\mathbb{F}}_q^{\times },\vee }$$

$${}_{{\mathcal{O}}_F}{\underline{\ell }}_H^{\vee }\in {\mathrm{D}}^{\mathrm{b}}({\mathcal{O}}_F\otimes {\mathcal{O}}_{S_{\mathrm{fpqc}}}).$$

$${}_{{\mathcal{O}}_F}{\underline{\ell }}_H^{\vee }\cong [{\omega }_{B/H}\to {\omega }_B{]}^{\vee }$$

$${}_{{\mathbb{F}}_q}{\underline{\ell }}_H^{\vee }\in {\mathrm{D}}^{\mathrm{b}}({\mathbb{F}}_q\stackrel{\mathrm{L}}{\otimes }{\mathcal{O}}_{S_{\mathrm{fpqc}}})$$

$${\mathbb{F}}_q^{\times }\hookrightarrow {\mathbb{F}}_q\twoheadleftarrow {\mathcal{O}}_F.$$

$${\mathbb{F}}_q\stackrel{\mathrm{L}}{\otimes }{\mathcal{O}}_{S_{\mathrm{fpqc}}}$$

$${}_A{\underline{\ell }}_G^{\vee }\in {\mathrm{D}}^{\mathrm{b}}(A\stackrel{\mathrm{L}}{\otimes }{\mathcal{O}}_{S_{\mathrm{fpqc}}})$$

$${}_A{\ell }_G^{\vee }\in {\mathrm{D}}^{\mathrm{b}}(A\otimes {\mathcal{O}}_S)$$

$$\mathrm{Com}:{\mathrm{D}}^{\mathrm{b}}(A\otimes {\mathcal{O}}_S)\to {\mathrm{D}}^{\mathrm{b}}(\mathbb{Z}[A^{\mathrm{mon}}]\otimes {\mathcal{O}}_S)$$

$$\mathrm{Com}{(}_A{\ell }_G^{\vee })\cong {\ell }_G^{A^{\mathrm{mon}},\vee }$$

$${\mathrm{GSp}}_{2g,F}(R)=\{(h,c)\in {\mathrm{GL}}_{2g}(R)\times R^{\times }|⟨hv,hw⟩=c⟨v,w⟩,\forall v,w\in R^{2g}\}.$$

$$G=\{(h,c)\in {\mathrm{Res}}_{F/\mathbb{Q}}{\mathrm{GSp}}_{2g,F}|c\in G_{m,\mathbb{Q}}\}.$$

$$M_{\cdot }=(M_0\leftarrow M_1\leftarrow \dots \leftarrow M_g,q_0,q_g),$$

$$\dots \leftarrow M_g\simeq M_g^{\vee }\leftarrow \dots \leftarrow M_0^{\vee }\simeq M_0\leftarrow M_1\leftarrow \dots \leftarrow M_g\leftarrow \dots$$

$$S{t}_{\cdot }=(S{t}_0\leftarrow S{t}_1\leftarrow \dots \leftarrow S{t}_g,q_0,q_g),$$

$$A\to A/H_1\to \dots \to A/H_g.$$

$${\mathcal{H}}^1(A/H_{\cdot })=({\mathcal{H}}^1(A)\leftarrow {\mathcal{H}}^1(A/H_1)\leftarrow \dots \leftarrow {\mathcal{H}}^1(A/H_g),q_0,q_g)$$

$$(A,\lambda ,\iota ,\bar{\eta },H_{\cdot },\varphi )$$

Full text

We construct a local model for Hilbert-Siegel moduli schemes with $\Gamma_{1}(p)$-level bad reduction over $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$, where $p$ is a prime unramified in the totally real field and $q$ is the residue cardinality over $p$. Our main tool is a variant over the small Zariski site of the ring-equivariant Lie complex ${}_{A}\underline{\ell}_{G}^{\vee}$ defined by Illusie in his thesis, where $A$ is a commutative ring and $G$ is a scheme of $A$-modules. We use it to calculate the $\mathbb{F}_{q}$-equivariant Lie complex of a Raynaud group scheme, then relate the integral model and the local model.

1. 1 Introduction

2. 2 Schémas de Hilbert-Siegel de niveau $\Gamma_{0}(p)$

3. 2.1 Le schéma $Y_{0}$

4. 2.2 Le modèle local $M_{0}$

5. 2.2.1

6. 2.2.2

7. 3 Schémas de Hilbert-Siegel de niveau $\Gamma_{1}(p)$

8. 3.1 Théorie de Raynaud

9. 3.1.1

10. 3.1.2

11. 3.2 Le schéma $Y_{1}$

12. 4 Complexes de Lie

13. 4.1 Un lemme

14. 4.2 Les complexes équivariants d’Illusie

15. 4.2.1

16. 4.2.2

17. 4.2.3

18. 4.2.4

19. 4.3 Les dg-anneaux

20. 4.4 Le foncteur $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$

21. 4.4.1

22. 4.4.2

23. 4.4.3

24. 4.4.4

25. 4.5 Le foncteur $\operatorname{ner}^{\circ}$

26. 4.5.1

27. 4.5.2

28. 4.5.3

29. 4.5.4

30. 4.6 Preuve de la proposition 4.9

31. 4.6.1

32. 4.6.2

33. 4.6.3

34. 4.6.4

35. 4.7 Le complexe ${}_{A}\ell_{G}^{\vee}$

36. 4.7.1

37. 4.7.2

38. 4.7.3

39. 4.8 Le complexe $\ell^{M,\vee}_{K}$

40. 4.8.1

41. 4.8.2

42. 4.9 La compatibilité des complexes de Lie

43. 5 Modèle local de niveau $\Gamma_{1}(p)$

44. 5.1 Le déterminant d’un complexe parfait

45. 5.1.1

46. 5.1.2

47. 5.1.3

48. 5.2 Complexe de Lie d’un schéma de Raynaud

49. 5.2.1

50. 5.2.2

51. 5.3 Les modèles locaux $M_{0}^{+}$ et $M_{1}^{+}$

52. 5.3.1

53. 5.3.2

54. 5.3.3

55. 5.3.4

56. 5.3.5

57. 5.3.6

58. 5.3.7

59. 5.4 Le cas non-ramifié général

1. Introduction

Deux sujets sont abordés dans cet article. Premièrement nous étudions la mauvaise réduction de certaines variétés de Shimura: nous construisons un modèle entier et un modèle local des variétés de Hilbert-Siegel de niveau $\Gamma_{1}(p)$, où $p$ est un nombre premier non-ramifié dans le corps totalement réel. En même temps, nous définissons une variante du complexe de Lie anneau-équivariant d’un schéma en modules construit par Illusie [Ill1]. Cette redéfinition du complexe de Lie est notre outil principal pour la construction du modèle local, mais nous pensons qu’elle est indépendamment intéressante, et nous espérons qu’elle trouvera des applications dans différents problèmes de déformation équivariante.

La mauvaise réduction des variétés de Shimura a été étudiée par beaucoup d’auteurs. Une attention toute particulière est portée aux niveaux parahoriques parce qu’une large classe de modèles entiers est construite par Rapoport-Zink [RZ]. Un des problèmes centraux est alors le calcul de la fonction zêta. Le modèle local est utile pour ce problème car il possède le même faisceau de cycles proches—la donnée locale clé de la fonction zêta. La théorie des modèles locaux parahoriques est établie par de Jong [dJ], Deligne-Pappas [DP], Rapoport-Zink [RZ], plus récemment par Pappas-Zhu [PZ] en toute généralité via la théorie des groupes.

Au contraire, la théorie des modèles entiers et modèles locaux aux niveaux plus profonds est moins développée à présent. Dans le cas de niveau $\Gamma_{1}(p)$ (c’est-à-dire que le sous-groupe de niveau est le radical pro-unipotent d’un sous-groupe d’Iwahori), des modèles entiers sont construits et étudiés par Pappas [Pap1] pour les schémas de Hilbert-Blumenthal, et par Haines-Rapoport [HR] pour les variétés de Shimura de type Harris-Taylor. Plus récemment dans un travail de Haines et Stroh [HS], les auteurs ont étudié les variétés de Siegel de niveau $\Gamma_{1}(p)$; ils ont établi une théorie du modèle local pour ces variétés. Les modèles locaux en niveau $\Gamma_{1}(p)$ pour les variétés de Siegel (et certaines variétés de Shimura unitaires) sont aussi considérés par Shadrach [Sh].

Dans cet article, nous tentons également d’étudier des niveaux non-parahoriques. Plus précisément nous généralisons le modèle local de Haines-Stroh [HS] aux variétés de Hilbert-Siegel. Pour énoncer nos résultats, nous rappelons les modèles entiers définis dans [HS]. Soit $p$ un nombre premier, et $g$ un entier strictement positif. Notons $Y_{0}/\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{p}$ le schéma de Siegel de niveau $\Gamma_{0}(p)$. Par définition $Y_{0}$ est le schéma de module des systèmes

[TABLE]

où $A$ est un schéma abélien de genre $g$ (avec d’autres structures qui garantissent la représentabilité), et $H_{i}$ est un sous-groupe fini plat isotrope de $A[p]$ tel que $\operatorname{rg}(H_{i})=p^{i}$ pour tout $i$. Dans [HS], les auteurs ont construit un modèle entier $Y_{1}/\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{p}$ de la variété de Siegel de niveau $\Gamma_{1}(p)$. Le schéma $Y_{1}$ est construit par la théorie d’Oort-Tate [OT]: en fait, les schémas en groupes $H_{i}/H_{i-1}$ sont de rang $p$ donc classifiés par [OT]. 111La même idée est utilisée aussi dans [HR] et [Sh] pour construire les modèles entiers.

Définition 1.1**.**

Soit $S/\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{p}$ un schéma, et $H/S$ un schéma en groupes d’Oort-Tate [OT]. D’après [OT], $H$ est isomorphe à

[TABLE]

pour un fibré en droites $\mathcal{L}$ sur $S$ et un élément $a$ de $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{S}}(\mathcal{L}^{\otimes p},\mathcal{L})$. On dit que $(\mathcal{L},a)$ est le paramètre d’Oort-Tate de $H$. On appelle un générateur d’Oort-Tate de $H$ un élément $z$ de $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{S}}(\mathcal{L},\mathcal{O}_{S})$ tel que

[TABLE]

La définition de $Y_{1}$ par [HS] est la suivante: $Y_{1}$ est le schéma de module des systèmes

[TABLE]

où $z_{i}$ est un générateur d’Oort-Tate de $H_{i}/H_{i-1}$. 222Il est également nécessaire de choisir des générateurs pour les duaux de Cartier $(H_{i}/H_{i-1})^{\vee}$, voir la définition 3.8.

Les définitions des schémas $Y_{0}$ et $Y_{1}$ se généralisent aux variétés de Hilbert-Siegel. Dans ce cas, les schémas en groupes $H_{i}/H_{i-1}$ sont classifiés par la théorie de Raynaud [Ray], et on a une définition de générateur similaire à la définition 1.1. Pour être précis, on fixe quelques notations. Soit $F/\mathbb{Q}$ un corps totalement réel degré $n$, $\mathcal{O}_{F}$ son anneau des entiers, et $p$ un nombre premier non-ramifié dans $F$. Dans cette introduction et la plupart de cet article, on suppose que $p$ est inerte 333Le cas non-ramifié général est traité dans §5.4. et on note $q=p^{n}$. Le schéma de Hilbert-Siegel $Y_{0}/\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{p}$ de niveau $\Gamma_{0}(p)$ est défini exactement comme le précédent, sauf qu’on suppose que $\operatorname{rg}H_{i}=q^{i}$ et on ajoute une $\mathcal{O}_{F}$-action sur $A$ et $(H_{i})$ avec la condition de Kottwitz. Les schémas $H_{i}/H_{i-1}$ sont des schémas en $\mathbb{F}_{q}$-vectoriel de dimension $1$ et classifiés par [Ray]. 444C’est vrai au moins sur la base $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$. Dans la définition 3.4 on va définir la notion de générateur de Raynaud. On obtient le modèle entier $Y_{1}/\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$ de niveau $\Gamma_{1}(p)$ par le même problème de module que le paragraphe précédent, sauf qu’ici $z_{i}$ est un générateur de Raynaud de $H_{i}/H_{i-1}$. Notre résultat principal sur les variétés de Shimura est le théorème suivant (le théorème 5.8).

Théorème 1.2**.**

Avec les notations précédentes, le schéma de Hilbert-Siegel $Y_{1}/\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$ admet un modèle local $M_{1}^{+}/\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$ défini explicitement par les définitions 5.6, 5.7: il existe un diagramme de modèle local

[TABLE]

où les morphismes $\pi^{\prime}$ et $f^{\prime}$ sont lisses, et $\pi^{\prime}$ est surjectif.

Dans la suite de cette introduction, nous expliquons les idées pour construire $M_{1}^{+}$ et démontrer le théorème 1.2. Comme on a remarqué le point clé est un complexe de Lie équivariant. On explique d’abord comment le complexe de Lie intervient en considérant le cas $F=\mathbb{Q}$. On note $M_{0}/\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{p}$ le modèle local de $Y_{0}$ défini par [dJ] et [RZ]. Par la définition de $M_{0}$, la chaîne

[TABLE]

des algèbres de co-Lie de $A/H_{i}$ descend sur $M_{0}$. On note $(\mathcal{L}_{i},\alpha_{i})$ le paramètre d’Oort-Tate de $H_{i}/H_{i-1}$, cf. la définition 1.1. D’après la définition de $Y_{1}$, on sait que pour construire le modèle local $M_{1}^{+}$ de $Y_{1}$ au-dessus de $M_{0}$, il suffit de trouver le paramètre $\alpha_{i}$ dans le complexe $[\omega_{A/H_{i}}\to\omega_{A/H_{i-1}}]$.

L’idée de [HS] pour répondre cette question est inspirée par la théorie du degré des schémas en groupes finis plats de Fargues [Far]. On suppose que $S/\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{p}$ est un schéma et $(A,H_{1}\subset...\subset H_{g})$ est un $S$-point de $Y_{0}$. On note $H=H_{i}/H_{i-1}$, $B=A/H_{i-1}$ donc $B/H=A/H_{i}$, et $(\mathcal{L},a)$ le paramètre d’Oort-Tate de $H$. On considère l’immersion fermée naturelle

[TABLE]

On note $\mathcal{I}=(a-1)\mathcal{L}^{\otimes p}\subset\operatorname{\underline{Sym}}_{\mathcal{O}_{S}}\mathcal{L}$ l’idéal de $i$, et $e$ la section neutre de $H$. Par [HS], il existe un isomorphisme canonique de complexe

[TABLE]

On note $\ell_{H}$ le complexe de co-Lie de $H$ défini par [Ill1]. Comme $i$ est une immersion régulière et $X$ est lisse, par la théorie de complexe cotangent [Ill1] on obtient deux isomorphismes canoniques

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathcal{O}_{S})$. Le déterminant de complexe parfait ([KM]) nous fournit, d’après (2) et (3), un isomorphisme de fibré en droites

[TABLE]

qui commute avec les sections canoniques. Le fibré à gauche est isomorphe à $\mathcal{L}^{\otimes(1-p)}$ avec la section canonique $a$, donc on a trouvé le paramètre $a$ dans le complexe $[\omega_{B/H}\to\omega_{B}]$.

Pour démontrer le théorème 1.2, on va généraliser l’idée de [HS] à un corps totalement réel $F$ quelconque. On reformule la question de retrouver les paramètres de $H$ pour $F$ quelconque. On note $n$ le degré $[F:\mathbb{Q}]$. Soit $S/\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$ un schéma, et $H/S$ un schéma en groupes classifié par [Ray], cf. la définition 3.1. D’après [Ray], $H$ admet un paramètre $(\mathcal{L}_{0},...,\mathcal{L}_{n-1},a_{0},...,a_{n-1})$, où les $\mathcal{L}_{k}$ sont des fibrés en droites sur $S$, et $a_{k}$ appartient à $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{S}}(\mathcal{L}_{k-1}^{\otimes p},\mathcal{L}_{k})$ pour tout $k$. Soit

[TABLE]

une résolution $\mathcal{O}_{F}$-équivariante de $H$ par un schéma abélien $B/S$ muni d’une $\mathcal{O}_{F}$-action. La question est la suivante: est-ce qu’on peut trouver les $a_{k}$ dans le complexe $[\omega_{B/H}\to\omega_{B}]$?

On essaie de généraliser l’idée de [HS]. Il se trouve que l’isomorphisme (2) se généralise bien à cette situation: il existe une immersion $\mathbb{F}_{q}^{\times}$-équivariante de $H$ qui généralise (1), et que les $a_{k}$ sont isomorphes aux composantes $\mathbb{F}_{q}^{\times}$-isotypiques de $[e^{*}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^{2})\to e^{*}i^{*}\Omega_{X}]$, cf. le lemme 4.1. La difficulté est que le groupe $\mathbb{F}_{q}^{\times}$ n’agit pas naturellement sur $[\omega_{B/H}\to\omega_{B}]$, donc a priori ce n’est pas évident comment trouver les $a_{k}$ via (3).

Nous proposons la stratégie suivante pour résoudre ce problème. On note que dans (3) il existe une $\mathcal{O}_{F}$-action naturelle sur $[\omega_{B/H}\to\omega_{B}]$, et on peut considérer les composantes $\mathcal{O}_{F}$-isotypiques (car $S$ est défini sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$). On utilise systématiquement la théorie de complexe cotangent équivariant de Illusie [Ill1] VII (on rappelle les définitions dans §4.2.1 avec plus de détails). On note $S_{\operatorname{fpqc}}$ le grand site fpqc de $S$, et $\otimes=\otimes_{\mathbb{Z}}$. L’action du groupe $\mathbb{F}_{q}^{\times}$ sur $H$ définit le complexe de Lie $\mathbb{F}_{q}^{\times}$-équivariant de $H$:

[TABLE]

où $\mathbb{Z}[\mathbb{F}_{q}^{\times}]$ est l’algèbre de groupe de $\mathbb{F}_{q}^{\times}$ sur $\mathbb{Z}$. Il existe un isomorphisme

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathbb{Z}[\mathbb{F}_{q}^{\times}]\otimes\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}})$, qui induit des isomorphismes sur les composantes $\mathbb{F}_{q}^{\times}$-isotypiques. D’autre part, la structure de $\mathcal{O}_{F}$-module sur $H$ définit le complexe de Lie $\mathcal{O}_{F}$-équivariant de $H$:

[TABLE]

Il existe un autre isomorphisme

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathcal{O}_{F}\otimes\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}})$, qui induit des isomorphismes sur les composantes $\mathcal{O}_{F}$-isotypiques. La question de retrouver les paramètres $a_{k}$ dans $[\omega_{B/H}\to\omega_{B}]$ se réduit à trouver un isomorphisme entre les composantes isotypiques de $\underline{\ell}_{H}^{\mathbb{F}_{q}^{\times},\vee}$ et ${}_{\mathcal{O}_{F}}{\underline{\ell}}_{H}^{\vee}$.

Pour cela, on considère

[TABLE]

le complexe de Lie $\mathbb{F}_{q}$-équivariant de $H$. On veut définir les composantes isotypiques de ${}_{\mathbb{F}_{q}}{\underline{\ell}}_{H}^{\vee}$ et les relier aux composantes de $\underline{\ell}_{H}^{\mathbb{F}_{q}^{\times},\vee}$ et ${}_{\mathcal{O}_{F}}{\underline{\ell}}_{H}^{\vee}$ via les morphismes évidents

[TABLE]

Or, comme $S_{\operatorname{fpqc}}$ est un grand site, le faisceau $\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}}$ n’est pas plat sur $\mathbb{Z}$, donc

[TABLE]

est un dg-anneau (§4.3), et ce n’est pas évident comment définir la notion de composante isotypique dans $\operatorname{D^{b}}(\mathbb{F}_{q}\operatorname{\mathop{\otimes}\limits^{L}}\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}})$. 555On peut bien sûr calculer $\mathbb{F}_{q}\operatorname{\mathop{\otimes}\limits^{L}}\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}}$ en utilisant la résolution évidente $0\to\mathbb{Z}_{q}\xrightarrow{p}\mathbb{Z}_{q}\to\mathbb{F}_{q}\to 0$. Néanmoins, il ne nous semble pas facile d’en déduire une notion de composante isotypique qui soit compatible avec celle dans $\operatorname{D^{b}}(\mathbb{Z}[\mathbb{F}_{q}^{\times}]\otimes\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}})$. On a donc fait le choix de remplacer partout le grand site $S_{\operatorname{fpqc}}$ par le petit site de Zariski de $S$, en vérifiant que les constructions de [Ill1] s’adaptent bien à ce nouveau cas. 666 Le choix du grand site dans [Ill1] n’est pas au hasard. Le point est que le complexe ${}_{A}\underline{\ell}_{G}^{\vee}$ sur le grand site permet de décrire les déformations $A$-équivariantes de $G$, mais avec le petit site ce n’est plus vrai. On obtient la proposition suivante (la proposition 4.17), qui est notre résultat technique clé. 777Nous croyons que cette redéfinition était déjà connue par Illusie. Le problème de définir les composantes isotypiques de ${}_{\mathbb{F}_{q}}{\underline{\ell}}_{H}^{\vee}$ est alors résolu quand on prend $S=Y_{0}$.

Proposition 1.3**.**

Soit $A$ un anneau commutatif, $S$ un schéma plat 888La démonstration de cette proposition sera valable sans cette hypothèse de platitude. On l’ajoute ici simplement pour minimiser les discussions sur les dg-anneaux. sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$, et $G$ un schéma en $A$-modules, plat et de présentation finie sur $S$. On note ${\mathcal{O}}_{S_{\operatorname{fpqc}}}$ (resp. $\mathcal{O}_{S}$) l’anneau structurel du grand site fpqc (resp. petit site de Zariski) de $S$. Alors la construction de [Ill1] sur le complexe

[TABLE]

reste valable si l’on remplace $\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}}$ par $\mathcal{O}_{S}$. On note

[TABLE]

l’objet obtenu par la reconstruction.

On obtient aussi la proposition suivante (la proposition 4.25) sur la compatibilité des complexes de Lie équivariants. Avec la proposition 1.3, elle nous permet de relier les composantes de ${\ell}_{H}^{\mathbb{F}_{q}^{\times},\vee}$, ${}_{\mathbb{F}_{q}}{{\ell}}_{H}^{\vee}$ et ${}_{\mathcal{O}_{F}}{{\ell}}_{H}^{\vee}$, donc répondre la question de trouver les paramètres de Raynaud, cf. la proposition 5.4, le corollaire 5.5.

Proposition 1.4**.**

Dans le contexte de la proposition 1.3, on note $A^{\operatorname{mon}}$ le monoïde multiplicatif sous-jacent de $A$, et ${\ell}_{G}^{A^{\operatorname{mon}},\vee}$ le complexe de Lie $A^{\operatorname{mon}}$-équivariant de $G$. On considère le foncteur

[TABLE]

induit par le morphisme évident $\mathbb{Z}[A^{\operatorname{mon}}]\to A$. Alors il existe un isomorphisme canonique

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathbb{Z}[A^{\operatorname{mon}}]\otimes\mathcal{O}_{S})$.

Quelques remarques sur le complexe ${}_{A}\underline{\ell}_{G}^{\vee}$ d’Illusie. Une application principale de ${}_{A}\underline{\ell}_{G}^{\vee}$ est de décrire les déformations d’un groupe de Barsotti-Tate, cf. [Ill2]. La définition de ${}_{A}\underline{\ell}_{G}^{\vee}$ dans [Ill1] est non-triviale et très compliquée: elle dépend de façon essentielle d’une idée topologique. Cette idée est formulée dans [Ill1] VI (voir aussi §4.2.3 de cet article) et appelée la «stabilisation d’un foncteur non-additif», qui a été utilisée pour calculer la homologie de Hochschild topologique, cf. l’article de Breen [B].

Voici le plan de cet article. Dans §2 nous rappelons les définitions des schémas $Y_{0}$ et $M_{0}$. Dans §3 nous définissons le schéma $Y_{1}$ via la théorie de Raynaud. Dans §4 nous démontrons les propositions 1.3 et 1.4. Nous rappelons dans §4.2 les définitions des complexes équivariants d’Illusie, et nous expliquons pourquoi on peut les généraliser au site de Zariski. Enfin, dans §5 nous rappelons le déterminant d’un complexe parfait et démontrons le théorème 1.2.

Remerciements*.*

Je remercie mon directeur de thèse Benoît Stroh pour m’avoir proposé ce problème, et pour les discussions et son soutien depuis longtemps. Je remercie sincèrement Monsieur Luc Illusie pour son attention à ce travail et son encouragement. Je remercie aussi Sophie Morel d’avoir corrigé une démonstration dans une version préliminaire.

2. Schémas de Hilbert-Siegel de niveau $\Gamma_{0}(p)$

2.1. Le schéma $Y_{0}$

Dans cette section, on définit le schéma de Hilbert-Siegel de niveau $\Gamma_{0}(p)$. Fixons d’abord les notations. Soit $n$ un entier positif. Soit $F$ un corps de nombres totalement réel de degré $n$ sur $\mathbb{Q}$. On note $\mathcal{O}_{F}$ l’anneau des entiers de $F$. Soit $p$ un nombre premier, non-ramifié dans $F$. On suppose d’abord que $p$ est inerte, avec le cas général traité en §5.4. Soit $g\geq 1$ un autre entier.

On note $\langle\ ,\ \rangle:F^{2g}\times F^{2g}\to F$ la forme symplectique standard sur $F^{2g}$. Elle est normalisée par $\langle e_{i},e_{2g+1-j}\rangle=\delta_{i,j}$ pour tout $i,j\in\{1,...,2g\}$, où $e_{i}$ est le $i$-ième élément dans la base canonique de $F^{2g}$. Le groupe de similitudes symplectiques  $\operatorname{GSp}_{2g,F}$ est un groupe algébrique sur $F$, tel que pour toute $F$-algèbre $R$,

[TABLE]

On définit le sous-groupe algébrique $G/\mathbb{Q}$ de $\operatorname{Res}_{F/\mathbb{Q}}\operatorname{GSp}_{2g,F}$ par

[TABLE]

Soit $S$ un schéma, et $A,A^{\prime}$ des schémas abéliens sur $S$. On appelle une quasi-isogénie $f:A\to A^{\prime}$ au-dessus de $S$ une $\mathbb{Z}_{(p)}^{\times}$–isogénie si le degré de $f$ appartient à $\mathbb{Z}_{(p)}^{\times}$. Lorsque $A^{\prime}=A^{\vee}$ est le dual de $A$, on dit que $f$ est une $\mathbb{Z}_{(p)}^{\times}$–polarisation s’il existe de plus $N\in\mathbb{N}^{*}$ tel que $Nf$ est une polarisation. On note que si $f$ est une $\mathbb{Z}_{(p)}^{\times}$-isogénie, alors elle induit un isomorphisme de schémas en groupes $f:A[p]\to A^{\prime}[p]$ sur les $p$-torsions. On note $\operatorname{End}(A)$ l’anneau des endomorphismes de $A$. On note $\omega_{A}=e^{*}\Omega_{A/S}$ l’algèbre de co-Lie de $A$, où $e$ la section unité.

On note $(\text{Sch}/\mathbb{Z}_{(p)})$ (resp. $(\text{Ens})$) la catégorie des schémas sur $\mathbb{Z}_{(p)}$ (resp. des ensembles). On note $\mathbb{A}_{f}^{p}$ les adèles finies de $\mathbb{Q}$ hors de $p$, et on fixe un sous-groupe ouvert compact $K^{p}$ de $G(\mathbb{A}_{f}^{p})$ suffisamment petit. Dans cet article on utilise la notation $\otimes$ (resp. $\operatorname{Hom}$) pour le bi-foncteur $\otimes_{\mathbb{Z}}$ (resp. $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}$), sauf précisé autrement.

Définition 2.1**.**

On définit le foncteur $Y_{0}:(\text{Sch}/\mathbb{Z}_{(p)})\to(\text{Ens})$, tel que pour tout schéma $S/\mathbb{Z}_{(p)}$, $Y_{0}(S)$ est égal à l’ensemble des classes d’isomorphismes de $(A,\lambda,\iota,\bar{\eta},H_{\centerdot})$, où

1. –

$A/S$ est un schéma abélien de genre $ng$; 2. –

$\lambda:A\to A^{\vee}$ est une $\mathbb{Z}_{(p)}^{\times}$–polarisation; 3. –

$\iota:\mathcal{O}_{F}\otimes\mathbb{Z}_{(p)}\to\operatorname{End}(A)\otimes\mathbb{Z}_{(p)}$ est un morphisme d’anneau, tel que pour tout $a$ qui appartient à $\mathcal{O}_{F}\otimes\mathbb{Z}_{(p)}$, $\iota(a)$ commute avec $\lambda$. On suppose que localement sur $S$, $\omega_{A}$ est un $\mathcal{O}_{F}\otimes\mathcal{O}_{S}$ -module libre (avec l’action de $\mathcal{O}_{F}$ induite par $\iota$). 4. –

$\bar{\eta}$ est une $K^{p}$-structure de niveau au sens de Kottwitz. Plus précisément $\bar{\eta}$ est une $K^{p}$-orbite de similitudes symplectiques $F$-linéaires $\eta:F^{2g}\otimes\mathbb{A}_{f}^{p}\to H_{1}^{et}(A_{\bar{s}},\mathbb{A}_{f}^{p})$ qui est aussi $\pi_{1}(S,\bar{s})$-invariante. Ici $\bar{s}$ est un point géométrique de  $S$, et $H_{1}^{et}(A_{\bar{s}},\mathbb{A}_{f}^{p})$ est muni la forme symplectique induite par $\lambda$. 5. –

$H_{\centerdot}=(H_{1}\subseteq...\subseteq H_{g})$ est un drapeau de sous-groupes finis plats de $A[p]$ stables par l’action de $\mathcal{O}_{F}$, tel que $\operatorname{rg}H_{i}=p^{ni}$ pour tout $i$, et $H_{g}$ est $\lambda$-isotrope. On suppose que localement sur $S$, $\omega_{A/H_{i}}$ est un $\mathcal{O}_{F}\otimes\mathcal{O}_{S}$ -module libre pour tout  $i$.

Un isomorphisme $f$ entre $(A,\lambda,\iota,\bar{\eta},H_{\centerdot})$ et $(A^{\prime},\lambda^{\prime},\iota^{\prime},\bar{\eta^{\prime}},H^{\prime}_{\centerdot})$ est une $\mathbb{Z}_{(p)}^{\times}$–isogénie $f:A\to A^{\prime}$, telle que

1. –

sur chaque composante connexe de $S$, on a $\lambda=r\cdot f^{\vee}\lambda^{\prime}f$ pour une constante $r\in\mathbb{Z}_{(p)}^{\times}$; 2. –

pour tout $a\in\mathcal{O}_{F}\otimes\mathbb{Z}_{(p)}$, $f\iota(a)=\iota^{\prime}(a)f$; 3. –

$f_{*}\bar{\eta}=\bar{\eta^{\prime}}$; 4. –

pour tout $i$, $f:H_{i}\to H^{\prime}_{i}$ est un isomorphisme de schémas en groupes.

Le foncteur $Y_{0}$ est défini dans [RZ] definition 6.9. Ici on utilise aussi le langage de [Lan]. On remarque que dans [RZ], la condition imposée sur $\omega_{A}$ (resp. $\omega_{A/H_{i}}$) est la condition de déterminant de Kottwitz ([Kot] §5), mais elle est équivalente à notre définition. D’après [RZ], [Kot], le foncteur $Y_{0}$ est représentable par un schéma quasi-projectif sur $\mathbb{Z}_{(p)}$. On le note aussi par $Y_{0}$. La fibre générique de $Y_{0}$ est la variété de Shimura pour le groupe $G$ de niveau $K_{p}K^{p}$ avec $K_{p}$ le sous-groupe d’Iwahori standard de $G(\mathbb{Q}_{p})\subset\operatorname{GSp}_{2g}(\mathbb{Q}_{q})$, où $\mathbb{Q}_{q}$ est l’extension non-ramifiée de $\mathbb{Q}_{p}$ de degré $n$. On appelle donc $Y_{0}$ le schéma de Hilbert-Siegel de niveau $\Gamma_{0}(p)$.

2.2. Le modèle local $M_{0}$

2.2.1.

Nous rappelons d’abord la notion de chaîne polarisée définie dans [RZ] definition 3.14 pour les variétés de Hilbert-Siegel. On donne une définition équivalente, qui est similaire à la définition dans [dJ] pour les variétés de Siegel. Soit $S$ un schéma sur $\mathbb{Z}_{(p)}$. Pour tout $\mathcal{O}_{S}$-module $M$ localement libre de type fini, on note $M^{\vee}$ le $\mathcal{O}_{S}$-module $\underline{\operatorname{Hom}}_{\mathcal{O}_{S}}(M,\mathcal{O}_{S})$.

Définition 2.2**.**

On appelle une chaîne de $\mathcal{O}_{F}\otimes\mathcal{O}_{S}$-modules polarisée, ou simplement une chaîne polarisée sur $S$, la donnée

[TABLE]

où

1. –

Pour $i=0,...,g$, $M_{i}$ est un faisceau de $\mathcal{O}_{F}\otimes\mathcal{O}_{S}$-modules qui est localement sur $S$ libre de rang $2g$, et le morphisme $M_{i-1}\leftarrow M_{i}$ est $\mathcal{O}_{F}\otimes\mathcal{O}_{S}$-linéaire. 2. –

Pour $j=0$ ou $g$, $q_{j}:M_{j}\times M_{j}\to\mathcal{O}_{S}$ est une forme alternée parfaite, et $q_{j}(ax,y)=q_{j}(x,ay)$ pour tout $a\in\mathcal{O}_{F}$ et $x,y\in M_{j}$. 3. –

Pour $j=0$ ou $g$, en identifiant $M_{j}$ avec $M_{j}^{\vee}$ via $q_{j}$, on obtient une chaîne $2g$-périodique

[TABLE]

On suppose que la composée des flèches dans chaque période est égale à la multiplication par $p$. 4. –

Pour $i=1,...,g$, localement sur $S$ le $\mathcal{O}_{F}/p\otimes\mathcal{O}_{S}$-module $M_{i-1}/M_{i}$ est libre de rang $1$.

Exemple 2.3*.*

La chaîne polarisée standard sur $\mathbb{Z}_{(p)}$ est la chaîne

[TABLE]

où $St_{i}=\mathcal{O}_{F}^{2g}\otimes\mathbb{Z}_{(p)}$ pour tout $i$, et pour $i=1,...,g$ la flèche $St_{i-1}\leftarrow St_{i}$ est définie par la matrice $\operatorname{diag}(1,...,p,...,1)$ avec $p$ en la $i$-ième place. On définit $q_{0}=q_{g}=\operatorname{tr}_{F/\mathbb{Q}}\langle\ ,\ \rangle$, qui est une forme alternée parfaite sur $\mathcal{O}_{F}^{2g}\otimes\mathbb{Z}_{(p)}$. Pour tout schéma $S$ sur $\mathbb{Z}_{(p)}$, on définit la chaîne polarisée standard sur $S$ par le produit tensoriel $St_{\centerdot}\otimes\mathcal{O}_{S}$.

Nous proposons un analogue de [dJ] proposition 3.6 sur la forme standard d’une chaîne polarisée arbitraire. Cette proposition est démontrée en toute généralité par [RZ] théorème 3.16, en supposant $p$ localement nilpotent sur $S$. Cette dernière condition est enlevée par [Pap2] theorem 2.2 et [Hai] theorem 6.3.

Proposition 2.4**.**

Soit $M_{\centerdot}$ une chaîne polarisée sur $S$. Alors localement sur $S$ pour la topologie de Zariski, $M_{\centerdot}$ est isomorphe à $St_{\centerdot}\otimes\mathcal{O}_{S}$. De plus, le groupe d’automorphisme de $St_{\centerdot}$ est un schéma en groupes lisse sur $\mathbb{Z}_{(p)}$.

2.2.2.

Nous définissons le modèle local $M_{0}$ et son diagramme de modèle local. Soit $(A,\lambda,\iota,\bar{\eta},H_{\centerdot})$ un $S$-point de $Y_{0}$. On obtient une chaîne de schémas abéliens sur $S$ avec $\mathcal{O}_{F}$-action

[TABLE]

On note $H_{0}=0$. Pour tout $i$, on note $\mathcal{H}^{1}(A/H_{i})$ la première cohomologie de de Rham de $A/H_{i}$. Comme $\lambda:A\to A^{\vee}$ est une $\mathbb{Z}_{(p)}^{\times}$-polarisation, elle induit un isomorphisme $\mathcal{H}^{1}(A)\xleftarrow{\sim}\mathcal{H}^{1}(A^{\vee})$ de $\mathcal{O}_{F}\otimes\mathcal{O}_{S}$-module. L’argument de [dJ] $\S$2 montre que pour $j=0$ et $g$, $\lambda$ définit une forme alternée parfaite $q_{j}$ sur $\mathcal{H}^{1}(A/H_{j})$.

Lemme 2.5**.**

La chaîne

[TABLE]

est une chaîne polarisée sur $S$.

Démonstration.

On doit vérifier les quatre conditions de la définition 2.2. La première condition est montrée dans [DP] §2.8. La deuxième condition est automatique. La troisième condition est vérifiée par [dJ] proposition 1.7. Et la dernière condition est montrée par [dJ] lemma 2.3 ou [RZ] §3.23 d). ∎

On construit maintenant le diagramme de modèle local. On définit d’abord un schéma $Z_{0}$ sur $\mathbb{Z}_{(p)}$, tel que pour tout schéma $S$ sur $\mathbb{Z}_{(p)}$, $Z_{0}(S)$ est égal à l’ensemble des classes d’isomorphismes de

[TABLE]

où $(A,\lambda,\iota,\bar{\eta},H_{\centerdot})$ est un $S$-point de $Y_{0}$, et

[TABLE]

est un isomorphisme de chaînes polarisées. On note la projection canonique par

[TABLE]

La proposition 2.4 implique que $\pi$ est un torseur pour la topologie de Zariski sous un schéma en groupes lisse.

Définition 2.6**.**

Le modèle local $M_{0}$ est le schéma sur $\mathbb{Z}_{(p)}$ tel que pour tout schéma $S$ sur $\mathbb{Z}_{(p)}$, $M_{0}(S)$ est égal à l’ensemble des classes d’isomorphismes de

[TABLE]

où

1. –

Pour $i=0,...,g$, $W_{i}\subset St_{i}\otimes\mathcal{O}_{S}$ est un sous-$\mathcal{O}_{F}\otimes\mathcal{O}_{S}$-module, qui est un $\mathcal{O}_{S}$-facteur direct, et localement sur $S$ il est isomorphe à $\mathcal{O}_{F}^{g}\otimes\mathcal{O}_{S}$. 2. –

La flèche $St_{i-1}\otimes\mathcal{O}_{S}\leftarrow St_{i}\otimes\mathcal{O}_{S}$ envoie $W_{i}$ dans $W_{i-1}$. 3. –

Pour $j=0$ et $g$, $W_{j}$ est isotrope pour $q_{j}$.

Par définition $M_{0}$ est un sous-schéma fermé d’un produit de $(g+1)$ Grassmanniennes. On définit un morphisme

[TABLE]

tel que, soit $(A,\lambda,\iota,\bar{\eta},H_{\centerdot},\phi)$ un $S$-point de $Z_{0}$, alors son image par $f$ est égale à $(\phi(\omega_{A}),...,\phi(\omega_{A/H_{g}}))$. On remarque que la propriété d’isotropie de $\omega_{A}$ et $\omega_{A/H_{g}}$ est prouvée par [dJ] §2, donc $f$ est bien défini. La proposition suivante est un corollaire de la théorie de Grothendieck-Messing sur la déformation des schémas abéliens.

Proposition 2.7**.**

Le morphisme $f$ est lisse.

3. Schémas de Hilbert-Siegel de niveau $\Gamma_{1}(p)$

3.1. Théorie de Raynaud

3.1.1.

La construction de schémas de Hilbert-Siegel en niveau $\Gamma_{1}(p)$ est basée sur la théorie de Raynaud [Ray], qui classifie les schémas en $\mathbb{F}_{q}$-vectoriels de dimension $1$ vérifiant une certaine hypothèse sur une base au-dessus de $\operatorname{Spec}D$, où $D$ est un anneau de Dedekind défini dans [Ray] §1.1. On note $q=p^{n}$, $\mathbb{Q}_{q}$ l’extension non-ramifiée de degré $n$ de $\mathbb{Q}_{p}$, et $\mathbb{Z}_{q}$ l’anneau des entiers de $\mathbb{Q}_{q}$. Nous rappelons la théorie de [Ray] en supposant que la base est un schéma sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$.

Dans [Ray] §1.3 (17), un élément particulier

[TABLE]

est défini. On note

[TABLE]

le caractère de Teichmüller, qui est un relèvement du morphisme de Frobenius

[TABLE]

Pour tout $m\in\mathbb{Z}$, on note $\chi^{m}:\mathbb{F}_{q}^{\times}\to\mathbb{Z}_{q}^{\times}$ la $m$-ième puissance de $\chi$. On en déduit que tout caractère de $\mathbb{F}_{q}^{\times}$ vers $\mathbb{Z}_{q}^{\times}$ est de la forme $\chi^{m}$ pour $m\in\{1,...,q-1\}$.

Soit $S$ un schéma au-dessus de $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$. Soit $H$ un schéma en groupes fini plat de rang $q$ sur $S$ muni d’une action de $\mathbb{F}_{q}$. On note $\mathcal{A}$ l’algèbre de Hopf de $H$. Alors $\mathcal{A}$ est une $\mathcal{O}_{S}$-algèbre localement libre de rang $q$, et il existe une décomposition $\mathcal{A}=\mathcal{O}_{S}\oplus\mathcal{J}$, où $\mathcal{J}$ est l’idéal d’augmentation de $H$, i.e. $\mathcal{J}$ est le faisceau des fonctions sur $H$ qui s’annulent en l’élément neutre. L’action de $\mathbb{F}_{q}$ sur $H$ induit une action de $\mathbb{F}_{q}^{\times}$ sur $\mathcal{J}$, donc on peut décomposer $\mathcal{J}$ en composantes $\mathbb{F}_{q}^{\times}$-isotypiques:

[TABLE]

La définition suivante est signalée dans [Ray] §1.2, la condition $(\star\star)$.

Définition 3.1**.**

On dit que $H$ est un schéma en groupes de Raynaud si pour tout $m\in\{1,...,q-1\}$, le faisceau $\mathcal{J}_{\chi^{m}}$ est un fibré en droites sur $S$ (i.e. il est de rang $1$).

Le théorème suivant est le théorème principal de [Ray] (cf. théorème 1.4.1) qui classifie les schémas en groupes de Raynaud.

Théorème 3.2** (Raynaud).**

Soit $S$ un schéma sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$. Il existe une bijection canonique entre les classes d’isomorphismes de schémas en groupes de Raynaud sur $S$ et les classes d’isomorphismes des systèmes $(\mathcal{L}_{k},a_{k},b_{k})_{k=0,...,n-1}$, où $\mathcal{L}_{0},\mathcal{L}_{1},...,\mathcal{L}_{n-1}$ sont des fibrés en droites sur $S$, et

[TABLE]

sont des morphismes de fibrés en droites (avec $\mathcal{L}_{-1}=\mathcal{L}_{n-1}$) tels que

[TABLE]

On appelle $(\mathcal{L}_{k},a_{k},b_{k})_{k=0,...,n-1}$ le paramètre du schéma en groupes de Raynaud associé.

Remarque 3.3*.*

La bijection dans le théorème 3.2 est construite de la manière suivante. Soit $H/S$ un schéma en groupes de Raynaud, et $\mathcal{A}$ et $\mathcal{J}$ comme précédemment. Alors le paramètre de $H$ est défini par

[TABLE]

et $a_{k}$ et $b_{k}$ sont induits par la multiplication et la comultiplication de $\mathcal{A}$, respectivement. Réciproquement, si $(\mathcal{L}_{k},a_{k},b_{k})$ est un système dans le théorème 3.2 , alors l’algèbre de Hopf de $H$ est définie par

[TABLE]

(Ici on note $\otimes=\otimes_{\mathcal{O}_{S}}$). Pour tout $\lambda\in\mathbb{F}_{q}^{\times}$, $\lambda$ agit sur $\mathcal{L}_{0}^{\otimes r_{0}}\otimes...\otimes\mathcal{L}_{n-1}^{\otimes r_{n-1}}$ par la multiplication par $\chi^{r_{0}+r_{1}p+...+r_{n-1}p^{n-1}}(\lambda)$, et [math] agit par la multiplication par [math] sur tous les $\mathcal{L}_{k}$.

3.1.2.

Nous définissons la notion de générateur de Raynaud d’un schéma en groupes de Raynaud. Soit $S$ un schéma sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$, et $H/S$ un schéma en groupes de Raynaud. On note $(\mathcal{L}_{k},a_{k},b_{k})$ le paramètre de $H$. On considère le morphisme composé

[TABLE]

on note

[TABLE]

l’élément qui correspond à cette flèche composée.

Définition 3.4**.**

On appelle un générateur de Raynaud de $H$ un élément

[TABLE]

qui vérifie l’équation

[TABLE]

Exemple 3.5*.*

Soit $H$ un schéma en groupes de Raynaud sur $\operatorname{Spec}\mathbb{C}$. Comme tous les fibrés $\mathcal{L}_{k}$ sont triviaux sur $\operatorname{Spec}\mathbb{C}$, on peut regarder les $a_{k},b_{k}$ comme des éléments de $\mathbb{C}$. Avec les notations précédentes, on a

[TABLE]

Comme $w_{p}$ est inversible dans $\mathbb{C}$, on a $a_{k}\neq 0$ pour tout $k$. Donc $H$ est étale sur $\operatorname{Spec}\mathbb{C}$, et $H(\mathbb{C})$ est un espace $\mathbb{F}_{q}$-vectoriel de dimension $1$. Un générateur de Raynaud $x$ de $H$ définit un point non-nul de $H(\mathbb{C})$ en prenant $t_{0}=x$, et vice-versa. On en déduit que, dans ce cas la notion de générateur de Raynaud et de générateur naïf coïncident.

Remarque 3.6*.*

Soit $H$ un schéma en groupes de Raynaud sur $S$, et $(\mathcal{L}_{k},a_{k},b_{k})$ son paramètre. On note $H^{\vee}$ le dual de Cartier de $H$. On voit facilement que $H^{\vee}$ vérifie la définition 3.1 avec le paramètre $(\mathcal{L}_{k}^{\vee},b_{k},a_{k})$. Supposons

[TABLE]

des générateurs de Raynaud de $H$ et $H^{\vee}$, respectivement. Alors $y$ définit un élément de $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{S}}(\mathcal{O}_{S},\mathcal{L}_{0})$. On note $xy$ l’élément de $\Gamma(S,\mathcal{O}_{S})$ qui correspond à la flèche composée $\mathcal{O}_{S}\xrightarrow{y}\mathcal{L}_{0}\xrightarrow{x}\mathcal{O}_{S}$.

3.2. Le schéma $Y_{1}$

Nous définissons le schéma de Hilbert-Siegel $Y_{1}/\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$ de niveau $\Gamma_{1}(p)$. On note $Y_{0,\mathbb{Z}_{q}}$ le changement de base du schéma $Y_{0}$ sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$. Dans la suite de cet article (sauf §5.4), on fixe un isomorphisme $\mathcal{O}_{F}/p\cong\mathbb{F}_{q}$.

Lemme 3.7**.**

Soit $S$ un schéma sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$, et $(A,\lambda,\iota,\bar{\eta},H_{\centerdot})$ un $S$-point de $Y_{0,\mathbb{Z}_{q}}$. Alors pour $i=1,...,g$, $H_{i}/H_{i-1}$ est un schéma en groupes de Raynaud (avec la notation $H_{0}=0$).

Démonstration.

On voit facilement que la définition 3.1 est préservée par tout changement de base, donc il suffit vérifier le lemme pour le point universel $(A,\lambda,\iota,\bar{\eta},H_{\centerdot})$ de $Y_{0,\mathbb{Z}_{q}}$. Dans [Ray] proposition 1.2.2, Raynaud a montré que si $S$ est un schéma intègre de corps des fractions de caractéristique [math], alors tout schéma en $\mathbb{F}_{q}$-vectoriels, fini plat de rang $q$ au-dessus de $S$ est un schéma en groupes de Raynaud. D’après [PZ] theorem 0.1 (qui dépend des résultats de Görtz [G]), le modèle local $M_{0}$ est normal. Comme la normalité est préservée par tout morphisme lisse, le diagramme de modèle local implique que $Y_{0}$ (donc $Y_{0,\mathbb{Z}_{q}}$) est aussi normal. Donc chaque composante connexe de $Y_{0,\mathbb{Z}_{q}}$ est intègre, et on peut appliquer [Ray] proposition 1.2.2 pour conclure. ∎

Définition 3.8**.**

On définit le schéma $Y_{1}$ sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$ tel que pour tout $S$ sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$, $Y_{1}(S)$ est égal à l’ensemble des classes d’isomorphismes de

[TABLE]

où $A,\lambda,\iota,\bar{\eta},H_{\centerdot}$ sont comme dans la définition 2.1, et pour tout $i$, $x_{i}$ (resp. $y_{i}$) est un générateur de Raynaud de $H_{i}/H_{i-1}$ (resp. $(H_{i}/H_{i-1})^{\vee}$) tel que

[TABLE]

au sens de la remarque 3.6.

Remarque 3.9*.*

Le schéma $Y_{1}$ est plat sur $\mathbb{Z}_{q}$. En fait, comme $M_{0}$ est plat ([PZ] et [G]), il suffit de montrer que $Y_{1}\to Y_{0,\mathbb{Z}_{q}}$ est plat. Mais c’est un corollaire du fait que, dans la définition 3.4 de générateur de Raynaud le coefficient dominant de $x$ est égal à $1$.

4. Complexes de Lie

4.1. Un lemme

Nous montrons la relation entre les composantes $\mathbb{F}_{q}^{\times}$-isotypiques de $[e^{*}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^{2})\to e^{*}i^{*}\Omega_{X}]$ dans §1 et les paramètres de Raynaud. On précise d’abord les définitions de $\mathcal{I}$ et $X$. Soit $S$ un schéma sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$, et $H$ un schéma en groupe de Raynaud sur $S$ de paramètre $(\mathcal{L}_{k},a_{k},b_{k})$. On définit deux $\mathcal{O}_{S}$-algèbres

[TABLE]

[TABLE]

donc $H=\underline{\operatorname{Spec}}_{\mathcal{O}_{S}}(\mathcal{A})$. On définit $X=\underline{\operatorname{Spec}}_{\mathcal{O}_{S}}(\mathcal{S})$. Les morphismes $a_{k}:\mathcal{L}_{k-1}^{\otimes p}\to\mathcal{L}_{k}$ induisent une surjection $\mathcal{S}\twoheadrightarrow\mathcal{A}$, et on note $\mathcal{I}$ son noyau. L’action de $\mathbb{F}_{q}^{\times}$ sur $\mathcal{A}$ (cf. la remarque 3.3) s’étend à une action sur $\mathcal{S}$ telle que les $a_{k}$ et $\mathcal{S}\twoheadrightarrow\mathcal{A}$ sont $\mathbb{F}_{q}^{\times}$-équivariants. On en déduit que l’immersion fermée $i:H\to X$ définie par $\mathcal{I}$ est $\mathbb{F}_{q}^{\times}$-équivariante.

On note $e:S\to H$ la section unité, et $\operatorname{d}:\mathcal{I}/\mathcal{I}^{2}\to i^{*}\Omega_{X/S}$ la différentielle. Pour $k=0,...,n-1$, on note

[TABLE]

la composante $\chi^{p^{k}}$-isotypique de $[e^{*}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^{2})\xrightarrow{\operatorname{d}}e^{*}i^{*}\Omega_{X/S}]$. (On rappelle que $\chi:\mathbb{F}_{q}^{\times}\to\mathbb{Z}_{q}^{\times}$ est le caractère de Techmüller.)

Lemme 4.1**.**

Il existe un isomorphisme canonique de complexe

[TABLE]

pour $k=0,...,n-1$.

Démonstration.

On note $\mathcal{N}$ le noyau de $e^{*}i^{*}:\mathcal{S}\to\mathcal{O}_{S}$ la projection sur le premier facteur de $\mathcal{S}$. Alors $e^{*}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^{2})=e^{*}i^{*}(\mathcal{I})=\mathcal{I}/\mathcal{I}\mathcal{N}.$ Pour tout $k$, on définit un morphisme de $\mathcal{O}_{S}$-modules

[TABLE]

qui envoie un élément $u$ de $\mathcal{L}_{k-1}^{\otimes p}$ à $(-u,a_{k}u)$ de la composante $\mathcal{L}_{k-1}^{\otimes p}\oplus\mathcal{L}_{k}$ de $\mathcal{S}$. Par définition, $\varphi_{k}(\mathcal{L}_{k-1}^{\otimes p})\subset\mathcal{I}$. On note

[TABLE]

la somme de tous les $\varphi_{k}$.

On montre que $\varphi$ est un isomorphisme. Comme la question est d’une nature locale, on peut supposer que tous les $\mathcal{L}_{k}$ sont triviaux sur $S$, et identifier les $a_{k}$ avec des éléments de $\Gamma(S,\mathcal{O}_{S})$. On obtient des isomorphismes naturels

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Par la définition de $\varphi$, on voit directement qu’il est surjectif. L’injectivité de $\varphi$ vient d’une comparaison de degré des éléments dans $\mathcal{I}$ et $\mathcal{I}\mathcal{N}$.

Comme $\mathcal{S}=\operatorname{\underline{Sym}}_{\mathcal{O}_{S}}(\mathcal{L}_{0}\oplus\mathcal{L}_{1}\oplus...\oplus\mathcal{L}_{n-1})$ , il existe un isomorphisme canonique

[TABLE]

On obtient un diagramme

[TABLE]

En prenant des coordonnées locales comme précédemment, on voit que ce diagramme est commutatif. Par définition $\varphi$ et $\psi$ sont $\mathbb{F}_{q}^{\times}$-équivariants. On obtient l’isomorphisme dans l’énoncé quand on prend les composantes $\mathbb{F}_{q}^{\times}$-isotypiques (on rappelle que $\mathbb{F}_{q}^{\times}$ agit sur $\mathcal{L}_{k}$ via $\chi^{p^{k}}$). ∎

Remarque 4.2*.*

Dans la démonstration on voit que le complexe $[e^{*}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^{2})\xrightarrow{}e^{*}i^{*}\Omega_{X/S}]$ ne possède que des composantes isotypiques pour les caractères $\chi^{p^{k}}$, i.e. les caractères fondamentaux. Ce phénomène est en fait un corollaire du complexe ${}_{\mathbb{F}_{q}}{\ell}_{H}^{\vee}$ de notre redéfinition.

4.2. Les complexes équivariants d’Illusie

4.2.1.

On rappelle les deux complexes équivariants définis par Illusie [Ill1]. On suppose que $S$ est un schéma. On note $S_{\operatorname{fpqc}}$ le grand site fpqc de $S$, et $\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}}$ son faisceau structurel.

Soit $M$ un monoïde commutatif, et $K/S$ un schéma en groupes plat et de présentation finie, muni d’une action de $M$. On note l’anneau $\mathbb{Z}[M]=\mathop{\bigoplus}\limits_{m\in M}\mathbb{Z}m$, avec la multiplication et l’unité définies par celles de $M$. La théorie de [Ill1] VII 2.2 définit le complexe de co-Lie $M$-équivariant de $K$:

[TABLE]

On remarque que le complexe défini dans [Ill1] est le complexe cotangent équivariant $\operatorname{L}_{K}^{M}$; par définition $\underline{\ell}^{M}_{K}$ est égal à $\operatorname{L}e^{*}\operatorname{L}_{K}^{M}$ avec $e$ la section unité de $K$.

Soit d’autre part $A$ un anneau commutatif, et $G$ un schéma en $A$-modules, plat et de présentation finie sur $S$. Dans [Ill1] VII 4.1 Illusie a défini le complexe de Lie $A$-équivariant de $G$:

[TABLE]

Ici $\operatorname{D^{b}}(A\operatorname{\mathop{\otimes}\limits^{L}}\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}})$ est la catégorie dérivée du dg-anneau $A\operatorname{\mathop{\otimes}\limits^{L}}\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}}$, cf. §4.3.

4.2.2.

On explique les idées dans les définitions de $\underline{\ell}^{M}_{K}$ et ${}_{A}\underline{\ell}_{G}^{\vee}$. Commençons par $\underline{\ell}^{M}_{K}$. Un objet basique est le nerf $\operatorname{Ner}(M,K)$. C’est le schéma simplicial

[TABLE]

où les flèches $\operatorname{d}_{i}$ et $\operatorname{s}_{j}$ sont définis dans §4.5.2: par exemple entre les deux derniers sommets, $\operatorname{d}_{0}$ est l’action de $M$ sur $K$, $\operatorname{d}_{1}$ est la projection sur $K$, et $\operatorname{s}_{0}$ est la section neutre de $M$. On obtient le schéma simplicial $\operatorname{Ner}(M,S)$ par la même définition (en remplaçant $K$ par $S$), tel que $\operatorname{Ner}(M,K)$ est un schéma simplicial au-dessus de $\operatorname{Ner}(M,S)$ par un morphisme structurel.

On considère le complexe cotangent $\operatorname{L}_{\operatorname{Ner}(M,K)/\operatorname{Ner}(M,S)}$ associé à ce morphisme structurel. L’idée est qu’on utilise $\operatorname{L}_{\operatorname{Ner}(M,K)/\operatorname{Ner}(M,S)}$ pour définir une $M$-structure sur le complexe cotangent usuel $\operatorname{L}_{K/S}$. Comme on travaille sur les complexes de co-Lie, on utilise plutôt $\ell_{\operatorname{Ner}(M,K)}=\operatorname{L}e^{*}\operatorname{L}_{\operatorname{Ner}(M,K)/\operatorname{Ner}(M,S)}$ , où $e:\operatorname{Ner}(M,S)\to\operatorname{Ner}(M,K)$ est la section unité.

On note $\underline{\ell}_{\operatorname{Ner}(M,K)}$ le complexe sur le grand site fpqc associé à $\ell_{\operatorname{Ner}(M,K)}$. C’est un objet de $\operatorname{D^{b}}(\operatorname{Ner}(M,S)_{\operatorname{fpqc}})$, où $\operatorname{Ner}(M,S)_{\operatorname{fpqc}}$ est le site total fpqc de $\operatorname{Ner}(M,S)$. On rappelle la définition du site et topos total de [Ill1] VI 5.1: un faisceau sur $\operatorname{Ner}(M,S)_{\operatorname{fpqc}}$ est un système $(N_{n})_{n\in\mathbb{N}}$, où $N_{n}$ est un faisceau fpqc sur $M^{n}\times S$, avec les morphismes de transition $\operatorname{d}_{i}^{*}N_{n}\to N_{n+1}$ et $\operatorname{s}_{j}^{*}N_{n+1}\to N_{n}$ pour tout $n,i$ et $j$, vérifiant les conditions de cocycle.

Alors on a un foncteur naturel

[TABLE]

induit par l’action de $M$, cf. la définition 4.8 pour la définition précise. On veut définir $\underline{\ell}^{M}_{K}$ via l’isomorphisme

[TABLE]

mais on doit montrer que $\underline{\ell}_{\operatorname{Ner}(M,K)}$ est dans l’image essentielle de $\operatorname{ner}$. C’est démontré par un théorème clé de [Ill1] (cf. le théorème 4.10) avec la pleine fidélité de $\operatorname{ner}$. On obtient donc la définition de $\underline{\ell}^{M}_{K}$.

4.2.3.

On considère maintenant le complexe ${}_{A}\underline{\ell}_{G}^{\vee}$. La situation est plus compliquée parce que $A$ contient plus de structure qu’un monoïde. Pour rappeler les idées de [Ill1], on va utiliser la langage des diagrammes (cf. §4.4.1). On note pour toute catégorie $T$ et tout $r\in\mathbb{N}$, $\operatorname{Diag}_{r}(T)$ (resp. $\operatorname{Simp}_{r}(T)$) la catégorie des $r$-diagrammes (resp. objets $r$-simpliciaux) de $T$.

Supposons que $T$ est une catégorie abélienne. Un outil clé de [Ill1] est un foncteur particulier

[TABLE]

voir §4.4 pour la définition précise. On note $\operatorname{Mod}_{\mathbb{Z}}$ la catégorie des $\mathbb{Z}$–modules. Alors $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ est un objet de monoïde dans $\operatorname{Simp}_{1}(\operatorname{Diag}_{1}(\operatorname{Mod}_{\mathbb{Z}}))$, et on a une action de $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ sur $\operatorname{C}_{\centerdot}G(1)$. On peut imiter les constructions de §4.2.2 pour $M=\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ et $K=\operatorname{C}_{\centerdot}G(1)$: on définit un foncteur (cf. la définition 4.8)

[TABLE]

on considère le complexe de Lie $\underline{\ell}^{\vee}_{\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}G(1))}$, et on applique le théorème 4.10. On déduit qu’il existe un unique objet $L\in\operatorname{D^{b}}(\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]\otimes\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}})$, tel que

[TABLE]

Les propriétés particulières de $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$ permettent de descendre le complexe $L$ à la catégorie $\operatorname{D^{b}}(A\operatorname{\mathop{\otimes}\limits^{L}}\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}})$. Pour le décrire, on utilise la notation $\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1}$ de §4.4, qui est un $1$-diagramme de catégories. On note $\operatorname{Diag}_{\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1}}(T)$ la catégorie des $2$-diagrammes de type $\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1}$ dans $T$. Par définition on sait que les images de $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$ appartiennent à $\operatorname{Diag}_{\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1}}(T)$. Par [Ill1] VI 9.5 et VI 11.5.2.2, il existe un foncteur

[TABLE]

tel que son composé avec $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$ est quasi-isomorphe au foncteur de l’objet simplicial constant de $\operatorname{Mod}_{\mathbb{Z}}$ à $\operatorname{Simp}_{1}(\operatorname{Mod}_{\mathbb{Z}})$. Dans [Ill1] VI 9.5, Illusie considère le foncteur

[TABLE]

On note $\operatorname{N}\mathbb{Z}^{\operatorname{st}}[-]$ le complexe de $\mathbb{Z}$-modules associé à $\mathbb{Z}^{\operatorname{st}}[-]$ via la correspondance de Dold-Kan, et $\tau_{\geq-1}\operatorname{N}\mathbb{Z}^{\operatorname{st}}[-]$ sa troncation en degré $-1$. Une propriété clé est que $\tau_{\geq-1}\operatorname{N}\mathbb{Z}^{\operatorname{st}}[-]$ est quasi-isomorphe au foncteur identité de $\operatorname{Mod}_{\mathbb{Z}}$, cf. [Ill1] VI 11.4.1.5.

Ces propriétés de $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$ définissent un diagramme commutatif (cf. [Ill1] VI 11.5.2.2)

[TABLE]

où la flèche oblique est la restriction de scalaire via $\operatorname{N}\mathbb{Z}^{\operatorname{st}}[A]\to A$. Comme $\tau_{\geq-1}\operatorname{N}\mathbb{Z}^{\operatorname{st}}[A]$ est une résolution de $A$, on a une équivalence de catégorie

[TABLE]

Cette équivalence nous permet de descendre $L$ de $\operatorname{D}^{[0,1]}(\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]\otimes\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}})$ à $\operatorname{D}^{[0,1]}(A\operatorname{\mathop{\otimes}\limits^{L}}\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}})$. On définit donc ${}_{A}\underline{\ell}_{G}^{\vee}\in\operatorname{D}^{[0,1]}(A\operatorname{\mathop{\otimes}\limits^{L}}\mathcal{O}_{S_{\operatorname{fpqc}}})$ par l’isomorphisme

[TABLE]

4.2.4.

On explique pourquoi la généralisation de ${}_{A}\underline{\ell}_{G}^{\vee}$ au petit site de Zariski est possible. On voit que dans §4.2.3, la définition consiste en deux étapes: une descente par $\operatorname{ner}^{\circ}$ et une descente par $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$. La partie pour $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$ est purement algébrique, donc se généralise automatiquement. Néanmoins la généralisation sur $\operatorname{ner}^{\circ}$ n’est pas évidente: avec le petit site de Zariski, on ne voit pas pourquoi on peut appliquer le théorème 4.10. On le verra via un autre site (qu’on appelle le site des isomorphismes locaux), tel que son topos est équivalent au topos de Zariski. Cette idée sera expliquée dans §4.6 en détail.

4.3. Les dg-anneaux

Dans cette section on rappelle les rudiments sur les dg-anneaux (anneaux différentiels gradués) utilisés dans [Ill1]. On ne considère que des dg-anneaux de degré $\leq 0$. Par définition, un dg-anneau $P_{\centerdot}$ est un complexe de $\mathbb{Z}$–modules

[TABLE]

muni d’une multiplication

[TABLE]

et un élément unité dans $P_{0}$, tel que les axiomes usuels d’anneau sont vérifiés. (Ici $P_{\centerdot}\otimes P_{\centerdot}$ est le complexe total d’un double complexe.) Un $P_{\centerdot}$–module $M_{\centerdot}$ est un complexe de $\mathbb{Z}$–modules muni d’une action de $P_{\centerdot}$. On note $\operatorname{C}(P_{\centerdot})$ la catégorie des $P_{\centerdot}$–modules. La catégorie dérivée $\operatorname{D}(P_{\centerdot})$ est définie comme la localisation de $\operatorname{C}(P_{\centerdot})$ par l’ensemble des quasi-isomorphismes. La même définition vaut pour $\operatorname{D}^{+}(P_{\centerdot}),\operatorname{D}^{-}(P_{\centerdot})$ et $\operatorname{D^{b}}(P_{\centerdot})$.

Soient $A$ et $B$ deux anneaux commutatifs usuels. Alors la définition de

[TABLE]

dépend du choix d’une résolution de $A$ (ou de $B$). Soit $P_{\centerdot}$ est une résolution plate de $A$ qui est muni d’une structure de dg-anneau, tel que $P_{\centerdot}\to A$ est un morphisme de dg-anneau. Alors le complexe $P_{\centerdot}\otimes B$ est aussi un dg-anneau. On peut définir

[TABLE]

La catégorie $\operatorname{D}(A\operatorname{\mathop{\otimes}\limits^{L}}B)$ est bien définie à équivalence près, cf. [Ill1] VI 10.3.15. Comme $\mathbb{Z}$ est de tor-dimension $1$, on peut prendre $P_{\centerdot}$ d’une forme plus simple:

[TABLE]

où $P_{0}$ est un anneau plat sur $\mathbb{Z}$, la flèche est injective et l’image de $P_{1}$ est un idéal de $P_{0}$.

Soit maintenant $A$ un anneau commutatif et $S$ un schéma. On note $\mathcal{O}_{S}$ le faisceau structurel du schéma $S$.

Lemme 4.3**.**

Si $S$ est plat sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$, alors $A\otimes\mathcal{O}_{S}$ est un représentant canonique de $A\operatorname{\mathop{\otimes}\limits^{L}}\mathcal{O}_{S}$.

Démonstration.

Soit $[P_{1}\to P_{0}]$ une résolution de $A$ de la forme précédente. Il suffit de voir que

[TABLE]

est exacte en prenant la localisation en chaque point de $S$. ∎

Corollaire 4.4**.**

Si $S$ est plat sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$, alors il existe une équivalence canonique $\operatorname{D}^{*}(A\operatorname{\mathop{\otimes}\limits^{L}}\mathcal{O}_{S})\cong\operatorname{D}^{*}(A\otimes\mathcal{O}_{S})$ pour $*=\varnothing,+,-,b$.

4.4. Le foncteur $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$

4.4.1.

Dans cette section on rappelle la définition du foncteur $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$ de [Ill1]. Ce foncteur est une composition de deux foncteurs $\text{--}(1)$ et $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}$. On va définir la translation $\text{--}(1)$ dans §4.4.2, puis le foncteur $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}$ dans §4.4.3.

On fixe d’abord les notations pour les objets multi-simpliciaux et les multi-diagrammes. On note $\Delta$ la catégorie des simplexes standards. Par définition les objets de $\Delta$ sont les ensembles finis $[n]:=\{0,1,...,n\}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. Les morphismes de $\Delta$ sont engendrés par les flèches

[TABLE]

[TABLE]

où $\operatorname{d}^{i}$ est le morphisme croissant en oubliant $i$, et $\operatorname{s}^{j}$ est le morphisme croissant en répétant $j$. On note $\Delta^{\circ}$ la catégorie opposée de $\Delta$.

On note $\overline{\Delta}$ la catégorie des simplexes standards augmentés. Par définition les objets de $\overline{\Delta}$ sont tous les objets de $\Delta$ avec un objet supplémentaire: l’ensemble vide $\varnothing$. Les morphismes de $\overline{\Delta}$ sont engendrés par les $\operatorname{d}^{i},\operatorname{s}^{j}$ et l’unique morphisme $\varnothing\to[0]$. On note $\overline{\Delta}^{\prime}$ la catégorie des simplexes stricts augmentés ([Ill1] VI 4.1). C’est la sous-catégorie de $\overline{\Delta}$ en gardant les mêmes objets mais en oubliant tous les morphismes non-injectifs (i.e. les morphismes composés par au moins un $\operatorname{s}^{j}$).

Soit $T$ une catégorie, et $r\in\mathbb{N}$. Par définition, un objet $r$-simplicial de $T$ est un foncteur de $(\Delta^{\circ})^{r}$ dans $T$. On note $\operatorname{Simp}_{r}(T)$ la catégorie des objets $r$-simpliciaux de $T$.

On utilise la langage des multi-diagrammes ([Ill1] VI 5.6 b)). Par définition, un $1$-diagramme de $T$ est un foncteur d’une petite catégorie dans $T$. Soit $X:I\to T$ un tel foncteur. La catégorie $I$ est appelée le type de $X$. Pour deux $1$-diagrammes $X:I\to T$ et $Y:J\to T$, un morphisme de $X$ vers $Y$ consiste en un couple $(u,v)$, où $u$ est un foncteur de $I$ vers $J$, et $v$ est un morphisme de foncteur entre $X$ et $Y\circ u$. On note la catégorie des $1$-diagrammes de $T$ par $\operatorname{Diag}_{1}(T)$. Par récurrence, on peut définir pour tout $r\geq 1$ la catégorie des $r$-diagrammes de $T$ en prenant $\operatorname{Diag}_{r}(T)=\operatorname{Diag}_{1}(\operatorname{Diag}_{r-1}(T))$. Le foncteur de type s’étend en un foncteur de $\operatorname{Diag}_{r}(T)$ à $\operatorname{Diag}_{r-1}(\operatorname{Cat})$, où $(\operatorname{Cat})$ est la catégorie des petites catégories.

4.4.2.

Supposons que $T$ est une catégorie abélienne. On rappelle la définition du foncteur $\text{--}(1):T\to\operatorname{Diag}_{2}(T)$ de [Ill1]. On définit d’abord un $1$-diagramme

[TABLE]

tel que pour tout $n\in\mathbb{N}\cup\{-1\}$ (avec $[-1]:=\varnothing$),

[TABLE]

où ${(\Delta^{\circ})}^{0}=\operatorname{pt}$ est la catégorie pointée. Pour tout $n$ et $i=0,...,n+1$, le morphisme $\operatorname{d}^{i}:\operatorname{S}_{1}([n])\to\operatorname{S}_{1}([n+1])$ est défini par la formule

[TABLE]

On voit que les $\operatorname{d}^{i}$ vérifient bien la loi de composition de $\overline{\Delta}^{\prime}$, donc $\operatorname{S}_{1}$ est un foncteur.

On a une description concrète pour un $2$-diagramme de type $\operatorname{S}_{1}$. Soit $X$ est un tel $2$-diagramme dans $T$. Alors la donnée de $X$ est équivalente au système

[TABLE]

où pour tout $r$ et tout $i$, $X^{r}\in\operatorname{Simp}_{r}(T)$ et $\operatorname{d}^{r,i}:X^{r}\to\partial^{1}_{i}X^{r+1}$ un morphisme de $\operatorname{Simp}_{r}(T)$ dont la loi de composition est déterminée par celle de $\overline{\Delta}^{\prime}$. Ici $\partial^{1}_{i}$ est le foncteur de la $i$-ième face de degré $1$: il est égal à la composition avec $\operatorname{d}^{i}:(\Delta^{\circ})^{r}\to(\Delta^{\circ})^{r+1}$. (On peut prendre $X^{r}=X([r-1])$ pour tout $r\in\mathbb{N}$.)

Pour tout $r$, on a le foncteur de translation des objets $r$-simpliciaux

[TABLE]

Via la correspondance de Dold-Kan, il devient la translation usuelle des $r$-complexes. La définition suivante apparaît dans [Ill1] VI 9.2.

Définition 4.5**.**

On définit le foncteur

[TABLE]

tel que pour tout objet $X$ de $T$, $X(1)$ est le $2$-diagramme de $T$ de type $\operatorname{S}_{1}$ qui vérifie

[TABLE]

pour tout $r\in\mathbb{N}$, où le $X$ à droite est l’objet $r$-simplicial constant de valeur $X$; pour $i=0,...,r$, on définit

[TABLE]

Voici un dessin de $X(1)$, où on trouve $X(1)^{r}$ avec $r=0,1,2$.

[TABLE]

4.4.3.

On rappelle la définition du foncteur $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}$ dans [Ill1] VI 11.1.2. Soit $T^{\prime}$ une catégorie qui possède des sommes quelconques. On décrit le foncteur

[TABLE]

Soit $U:I\to T^{\prime}$ un $1$-diagramme de $T^{\prime}$. Alors $\operatorname{C}_{\centerdot}U$ est un objet simplicial de $T^{\prime}$, dont le $n$-ième étage est

[TABLE]

pour tout $n\in\mathbb{N}$, où $r_{0}\to...\to r_{n}$ parcourt toutes les chaînes de longueur $n$ de flèches dans $I$. Pour $i=0,...,n+1$, le morphisme $\operatorname{d}_{i}:\operatorname{C}_{n+1}U\to\operatorname{C}_{n}U$ envoie le facteur indexé par $r_{0}\to...\to r_{n+1}$ vers celui indexé par $r_{0}\to...\to r_{i-1}\to r_{i+1}\to...\to r_{n+1}$ en composant les flèches $r_{i-1}\to r_{i}\to r_{i+1}$. Sur le facteur $U_{r_{0}}$, $\operatorname{d}_{0}$ est le morphisme fonctoriel $U_{r_{0}}\to U_{r_{1}}$, et $\operatorname{d}_{i}$ est l’ identité si $i\geq 1$. On a une description similaire pour les morphismes $\operatorname{s}_{j}$ en répétant $r_{j}$ dans l’index.

Soit $T$ une catégorie abélienne. On peut donc définir le foncteur

[TABLE]

comme la composition de $\text{--}(1)$ et $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}$, i.e. dans la définition de $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}$, on prend $U$ égal à

[TABLE]

pour un objet $X$ de $T$. On obtient pour tout $n\in\mathbb{N}$,

[TABLE]

où $[m_{0}]\to...\to[m_{n}]$ parcourt toutes les chaînes de longueur $n$ des flèches de $\overline{\Delta}^{\prime}$. 999La somme $X\sqcup Y$ de deux objets $X:I\to T$ et $Y:J\to T$ de $\operatorname{Diag}_{1}(T)$ est l’extension évidente de $X$ et $Y$ à $I\sqcup J$, la réunion disjointe des catégories $I$ et $J$. On remarque que $\operatorname{C}_{\centerdot}X(1)$ est un $2$-diagramme de type $\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1}$.

4.4.4.

On note $\operatorname{Mod}_{\mathbb{Z}}$ la catégorie des $\mathbb{Z}$–modules. Soit $A$ un anneau commutatif, et on le voit comme un objet de $\operatorname{Mod}_{\mathbb{Z}}$. Les constructions de §4.4.2, §4.4.3 nous donnent les $2$-diagrammes $A(1)$ et $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ de $\operatorname{Mod}_{\mathbb{Z}}$. La structure d’anneau sur $A$ définit les structures de monoïde sur $A(1)$ et $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ qu’on rappelle ici (cf. [Ill1] VI 11.1).

Le $2$-diagramme $A(1)$ est de type $\operatorname{S}_{1}:\overline{\Delta}^{\prime}\to(\operatorname{Cat}).$ Il existe une structure de monoïde évidente sur la catégorie $\overline{\Delta}^{\prime}$, telle que la multiplication est définie par le foncteur

[TABLE]

et l’élément neutre est l’objet $[-1]$. Il existe une structure de monoïde sur $\operatorname{S}_{1}$ au-dessus de $\overline{\Delta}^{\prime}$: la multiplication $\operatorname{S}_{1}\times\operatorname{S}_{1}\to\operatorname{S}_{1}$ est les identifications $(\Delta^{\circ})^{m+1}\times(\Delta^{\circ})^{n+1}=(\Delta^{\circ})^{m+n+2}$. Pour définir la structure de monoïde sur $A(1)$, il suffit de définir une multiplication $A(1)\times A(1)\to A(1)$ dans $\operatorname{Diag}_{2}(\operatorname{Mod}_{\mathbb{Z}})$, qui est équivalente aux morphismes d’objets $(r+s)$-simpliciaux

[TABLE]

pour tout $r,s\in\mathbb{N}$. Mais d’après la définition 4.5 on voit qu’un tel morphisme est induit par la multiplication de $A$ de façon évidente. Par la fonctorialité de $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$, la multiplication de $A(1)$ définit une multiplication sur $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$, tel que $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ est un monoïde dans $\operatorname{Simp}_{1}(\operatorname{Diag}_{1}\operatorname{Mod}_{\mathbb{Z}})$.

On note $\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]$ l’objet de $\operatorname{Simp}_{1}(\operatorname{Diag}_{1}\operatorname{Mod}_{\mathbb{Z}})$ obtenu en appliquant $\mathbb{Z}[\text{--}]$ sur chaque sommet de $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$. La multiplication de $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ induit un morphisme

[TABLE]

tel que $\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]$ est muni d’une structure d’anneau au sens de [Ill1] VI 11.2.2. On peut considérer les $\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]$-modules: par définition, un $\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]$-module est un objet de $\operatorname{Simp}_{1}(\operatorname{Diag}_{1}\operatorname{Mod}_{\mathbb{Z}})$ de type $\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1}$ muni d’une action de $\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]$ par $\otimes$ comme plus haut.

Soit $S$ un schéma. On note $\operatorname{Mod}(\mathcal{O}_{S})$ la catégorie des faisceaux de $\mathcal{O}_{S}$-modules. On note $\operatorname{Mod}(\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1},\mathcal{O}_{S})$ la catégorie des $2$-diagrammes de $\operatorname{Mod}(\mathcal{O}_{S})$ de type $\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1}$, et $\operatorname{Mod}(\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]\otimes\mathcal{O}_{S})$ la catégorie des $\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]\otimes\mathcal{O}_{S}$-modules. On a un foncteur d’oubli naturel de $\operatorname{Mod}(\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]\otimes\mathcal{O}_{S})$ dans $\operatorname{Mod}(\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1},\mathcal{O}_{S})$. Le foncteur $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$ induit un foncteur exact

[TABLE]

La proposition suivante de [Ill1] est la propriété clé pour le foncteur $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$, où $\operatorname{D}^{*}(...)$ est la catégorie dérivée de $\operatorname{Mod}(...)$.

Proposition 4.6**.**

Supposons que $S$ est plat sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$. Alors le foncteur

[TABLE]

est pleinement fidèle, et son image essentielle se compose des objets $Y\in\operatorname{D^{b}}(\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]\otimes\mathcal{O}_{S})$ tels que, en tant qu’objet de $\operatorname{D^{b}}(\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1},\mathcal{O}_{S})$, $Y$ est dans l’image essentielle de $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1):\operatorname{D}^{[0,1]}(\mathcal{O}_{S})\to\operatorname{D^{b}}(\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1},\mathcal{O}_{S})$.

Démonstration.

Via le corollaire 4.4, c’est un cas particulier de [Ill1] VI 11.5.2.4 en prenant $\mathcal{O}=\mathcal{O}_{S}$. ∎

4.5. Le foncteur $\operatorname{ner}^{\circ}$

4.5.1.

Soit $S$ un schéma et $A$ un anneau commutatif. Par la construction de §4.4, on a les $2$-diagrammes $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ et $\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)$ de type $\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1}$. Dans cette section on définit une action de $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ sur $\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)$ induite par l’action triviale de $A$ sur $S$. On considère dans §4.5.2 et §4.5.4 le diagramme $\operatorname{Ner}$ et le foncteur $\operatorname{ner}^{\circ}$ associé à cette action.

On définit d’abord $\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)$. On applique la définition 4.5 lorsque $T$ est la catégorie des faisceaux abéliens fpqc sur $S$, et $X=S$. On obtient le $2$-diagramme $S(1)$ de $T$, tel que pour tout $r\in\mathbb{N}$, $S(1)^{r}$ est le schéma $r$-simplicial constant de valeur $S$. On note $(\operatorname{Sch}/S)$ la catégorie des schémas sur $S$, et on voit $S(1)$ comme un $2$-diagramme dans $(\operatorname{Sch}/S)$. En appliquant $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$ on obtient le $2$-diagramme $\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)$. Par la fonctorialité, l’action triviale de $A$ sur $S$ induit une action 101010Cette action est non-triviale et caractérisée par la structure de monoïde (non-triviale) de $\operatorname{S}_{1}$. de $A(1)$ sur $S(1)$ dans $\operatorname{Diag}_{2}(\operatorname{Sch}/S)$, puis une action de $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ sur $\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)$ dans $\operatorname{Simp}_{1}(\operatorname{Diag}_{1}\operatorname{Sch}/S)$.

4.5.2.

On rappelle la construction du diagramme $\operatorname{Ner}$ par [Ill1] VI 2.5.1, VI 11.1.2.4 pour une action générale dans une catégorie $T$. On suppose que $T$ possède des produits finis et un objet final. Soit $K$ un objet de $T$, et $M$ un monoïde de $T$ qui agit sur $K$. On lui associe l’objet simplicial

[TABLE]

dont on explique la définition. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, son $n$-ième étage est $\operatorname{Ner}_{n}(M,K)=M^{n}\times K$. On définit les morphismes $\operatorname{d}_{i}:\operatorname{Ner}_{n+1}(M,K)\to\operatorname{Ner}_{n}(M,K)$ par les formules

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

pour tout $(a_{0},...,a_{n},x)\in M^{n+1}\times K$, et les $\operatorname{s}_{j}:\operatorname{Ner}_{n}(M,K)\to\operatorname{Ner}_{n+1}(M,K)$ par

[TABLE]

pour tout $(a_{0},...,a_{n-1},x)\in M^{n}\times K$. Quand on prend $T=\operatorname{Simp}_{1}(\operatorname{Diag}_{1}\operatorname{Sch}/S)$, l’action de $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ sur $\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)$ définit l’objet

[TABLE]

4.5.3.

Soit $X$ un multi-diagramme de schémas. Dans cette section on définit une catégorie $\operatorname{Mod}(X)$ de systèmes de faisceaux sur $X$ qu’on utilise dans la définition 4.8. La catégorie $\operatorname{Mod}(X)$ est similaire au topos total $\operatorname{Top}^{\circ}$ de [Ill1] VI 5.2, mais elle n’est pas un cas particulier de $\operatorname{Top}^{\circ}$.

Notation**.**

Pour tout morphisme de schéma $f:X\to Y$, on note $f^{-1}$ le foncteur d’image inverse ensembliste, et $f^{*}$ l’image inverse de $\mathcal{O}_{X}$-module, dans tous les topos: Zariski, fpqc, etc..

On remarque que dans [Ill1] VI, VII, Illusie utilise $f^{*}$ pour l’image inverse ensembliste, parce qu’il travaille avec un grand site (donc $f^{-1}=f^{*}$). Dans notre cas, nous travaillons avec un petit site et $f^{-1}$ et $f^{*}$ ne sont pas égaux. On note que les théorèmes dans [Ill1] VI 8, qui sont écrits avec $f^{*}$, ne sont valables que pour notre $f^{-1}$.

On donne la définition de $\operatorname{Mod}(X)$. On considère le cas où $X$ est un $1$-diagramme, avec une généralisation évidente sur les $r$-diagrammes pour tout $r$. On suppose que $X$ est un $1$-diagramme de schémas de type $I$. On note $\operatorname{ob}I$ l’ensemble des objets de $I$, et $\operatorname{fl}I$ l’ensemble des flèches de $I$. Pour toute flèche $f:i\to j$ de $I$, on note $f:X_{i}\to X_{j}$ le morphisme de schémas associé. On rappelle que $\operatorname{Mod}(\mathcal{O}_{Y})$ est la catégorie des faisceaux (Zariskiens) de $\mathcal{O}_{Y}$-modules pour tout schéma $Y$.

Définition 4.7**.**

On note $\operatorname{Mod}(X)$ la catégorie des systèmes $(M_{i},M_{f})_{i\in\operatorname{ob}I,f\in\operatorname{fl}I}$, où $M_{i}$ appartient à $\operatorname{Mod}(\mathcal{O}_{X_{i}})$ pour tout $i$, et $M_{f}:M_{i}\to f^{*}M_{j}$ est un morphisme de $\operatorname{Mod}(\mathcal{O}_{X_{i}})$ pour toute $f:i\to j$, tel que les $M_{f}$ vérifient la condition de cocycle évidente. Les morphismes de $\operatorname{Mod}(X)$ sont les morphismes de système $(M_{i})$ compatibles avec tous les $M_{f}$.

On appelle $M_{f}$ les morphismes de transition. La catégorie $\operatorname{Mod}(X)$ est abélienne lorsque tous les $f:X_{i}\to X_{j}$ sont plats. Dans ce cas on note $\operatorname{D}^{*}(X)$ la catégorie dérivée de $\operatorname{Mod}(X)$.

4.5.4.

On donne la définition du foncteur $\operatorname{ner}^{\circ}$. On note

[TABLE]

les différentielles entre les deux derniers étages de $\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}S(1))$: $\operatorname{d}_{0}$ est induite par l’action de $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ sur $\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)$, et $\operatorname{d}_{1}$ est la projection sur $\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)$. Alors pour tout objet $M$ de $\operatorname{Mod}(\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]\otimes\mathcal{O}_{S})$, $M$ est un faisceau sur $\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)$ tel que la $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$-structure de $M$ est équivalente à un morphisme de faisceau sur $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)\times\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)$:

[TABLE]

qui vérifie la condition de cocycle de [Ill1] VI 8.1.1. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note

[TABLE]

la projection sur $\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)$.

Définition 4.8**.**

On définit le foncteur

[TABLE]

comme suit. Pour tout $M\in\operatorname{Mod}(\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]\otimes\mathcal{O}_{S})$ et tout $n\in\mathbb{N}$, son $n$-ième étage est défini par

[TABLE]

Les morphismes de transition sont définis de la manière suivante ([Ill1] VI 8.1.5): $\operatorname{ner}^{\circ}_{n+1}(M)\to\operatorname{d}_{i}^{*}\operatorname{ner}^{\circ}_{n}(M)$ est égal à l’identité pour $i=1,...,n+1$, et à $(\operatorname{d}_{2}...\operatorname{d}_{n+1})^{*}a_{M}$ pour $i=0$; $\operatorname{ner}^{\circ}_{n}(M)\to\operatorname{s}_{j}^{*}\operatorname{ner}^{\circ}_{n+1}(M)$ est égal à l’identité pour $j=0,...,n$.

On note que $\operatorname{ner}^{\circ}$ est un foncteur exact, et on utilise la même notation pour son foncteur dérivé. La proposition suivante est la clé pour définir les complexes de Lie sur le topos de Zariski. Sa démonstration est l’objectif de §4.6.

Proposition 4.9**.**

Le foncteur

[TABLE]

est pleinement fidèle, et son image essentielle se compose des objets $Y\in\operatorname{D^{b}}(\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)))$, tels que pour tout $i\in\mathbb{Z}$, l’objet $\operatorname{H}^{i}(Y)$ de $\operatorname{Mod}(\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)))$ est dans l’image essentielle de $\operatorname{ner}^{\circ}$ pour les $\operatorname{Mod}(...)$.

4.6. Preuve de la proposition 4.9

4.6.1.

Notre démonstration pour la proposition 4.9 est une application (indirecte) d’un théorème d’Illusie [Ill1] VI 8.4.2.1. Pour rappeler ce théorème on fixe quelques notations. On appelle $X$ un topos fibré simplicial (ou un topos fibré au-dessus de $\Delta^{\circ}$) si $X$ consiste en la donnée suivante: un topos $X_{n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ , et les morphismes de topos

[TABLE]

pour $i=0,...,n+1$ et $j=0,...,n$, tel que les $\operatorname{d}_{i},\operatorname{s}_{j}$ vérifient la loi de composition dans $\Delta^{\circ}$. Pour un topos fibré simplicial $X$, on appelle son topos classifiant $\operatorname{B}X$ la catégorie des couples $(M,a_{M})$, où $M$ est un objet de $X_{0}$, et $a_{M}:\operatorname{d}_{1}^{-1}M\to\operatorname{d}_{0}^{-1}M$ est un morphisme dans $X_{1}$ qui vérifie la condition de cocycle (cf. [Ill1] VI 8.1.1). On appelle son topos total $\operatorname{Top}^{\circ}X$ la catégorie des systèmes $(M_{n},M_{f})_{n\in\mathbb{N},f\in\operatorname{fl}\Delta^{\circ}}$, où pour tout $n\in\mathbb{N}$, $M_{n}$ est un objet de $X_{n}$, et pour tout $f:[m]\to[n]$ dans $\Delta^{\circ}$,

[TABLE]

est un morphisme de $X_{m}$ qui vérifie la condition de cocycle évidente. On remarque que la définition de $\operatorname{Top}^{\circ}$ se généralise à un topos fibré sur une catégorie quelconque. Les mêmes formules que dans la définition 4.8 (en remplaçant ∗ par -1) définissent un foncteur

[TABLE]

Soit $\mathcal{O}$ un anneau de $\operatorname{B}X$ tel que $a_{\mathcal{O}}$ est un isomorphisme. On note $\operatorname{Mod}(\operatorname{B}X)$ la catégorie des $\mathcal{O}$-modules dans $\operatorname{B}X$, et $\operatorname{Mod}(\operatorname{Top}^{\circ}X)$ la catégorie des $\operatorname{ner}^{\circ}\mathcal{O}$-modules dans $\operatorname{Top}^{\circ}X$. Le foncteur $\operatorname{ner}^{\circ}$ induit naturellement un foncteur exact

[TABLE]

On rappelle deux conditions techniques dans l’énoncé de [Ill1] VI 8.4.2.1. Pour un topos fibré simplicial $X$, on dit que $X$ est bon si tous les $\operatorname{d}_{i}^{-1}$ et $\operatorname{s}_{j}^{-1}$ admettent des adjoints à gauche. On dit que $X$ est une pseudo-catégorie si pour tout $n\in\mathbb{N}$, le morphisme de changement de base

[TABLE]

relatif au carré

[TABLE]

est un isomorphisme. Le théorème suivant est démontré dans [Ill1] VI 8.4.2.1.

Théorème 4.10** (Illusie).**

Soit $X$ un topos fibré simplicial, et $\mathcal{O}$ un anneau de $\operatorname{B}X$ comme précédemment. Supposons que $X$ est une bonne pseudo-catégorie, telle que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $(\operatorname{d}_{0}...\operatorname{d}_{0})^{-1}$ envoie les injectifs de $\operatorname{Mod}(X_{0})$ sur des injectifs de $\operatorname{Mod}(X_{n})$. Alors

[TABLE]

est pleinement fidèle, et son image essentielle se compose des objets $Y\in\operatorname{D^{b}}(\operatorname{Top}^{\circ}X)$, tels que pour tout $i\in\mathbb{Z}$, $\operatorname{H}^{i}(Y)$ est dans l’image essentielle du foncteur $\operatorname{ner}^{\circ}:\operatorname{Mod}(\operatorname{B}X)\to\operatorname{Mod}(\operatorname{Top}^{\circ}X)$.

4.6.2.

On explique pourquoi la proposition 4.9 n’est pas un corollaire direct du théorème 4.10. L’idée naïve est d’utiliser le topos fibré simplicial $X$ tel que pour tout $n$,

[TABLE]

le $\operatorname{Top}^{\circ}$ du petit topos de Zariski de $\operatorname{Ner}_{n}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}S(1))$. Le problème est que les définitions des morphismes de transition pour les catégories $\operatorname{Top}^{\circ}X$ et $\operatorname{Mod}(X)$ (cf. §4.6.1 et la définition 4.7) ne sont pas les mêmes (à cause de la différence entre $f^{-1}$ et $f^{*}$). Donc avec ce choix de $X$, $\operatorname{D^{b}}(\operatorname{Top}^{\circ}X)$ n’est pas la même catégorie que celle dans la proposition 4.9.

Néanmoins, on observe que $f^{-1}$ et $f^{*}$ coïncident lorsque $f$ appartient au site ambiant. Un calcul direct à partir de la définition implique que tous les morphismes dans $\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}S(1))$ sont des morphismes dans $(\operatorname{Sch}/S)$ de la forme $A^{m}\times S\to A^{n}\times S$ pour certains $m$ et $n$. Ces morphismes sont des isomorphismes locaux (au sens de §4.6.3) dont le topos ambiant est équivalent au topos de Zariski. Donc essentiellement on peut appliquer le théorème 4.10 au topos de Zariski dans la proposition 4.9 (via le site des isomorphismes locaux).

4.6.3.

On définit la notion d’isomorphisme local. On dit qu’un morphisme de schéma $f:Y\to X$ est un isomorphisme local, s’il existe un recouvrement ouvert $(V_{i})_{i\in I}$ de $Y$, tel que pour tout $i$, la restriction de $f$ sur $V_{i}$ est une immersion ouverte.

Définition 4.11**.**

Soit $X$ un schéma. On définit le site $X_{\operatorname{loc}}$ de la manière suivante: comme une catégorie, on a

[TABLE]

les familles couvrantes d’un objet $Y$ de $X_{\operatorname{loc}}$ sont toutes les familles $(f_{\alpha}:Y_{\alpha}\to Y)_{\alpha\in A}$ de morphismes dans $X_{\operatorname{loc}}$ telles que $\mathop{\bigcup}\limits_{\alpha}f_{\alpha}(Y_{\alpha})=Y$. On appelle $X_{\operatorname{loc}}$ le site loc de $X$.

On note $X_{\operatorname{Zar}}$ le petit site de Zariski de $X$, et $\widetilde{X_{\operatorname{loc}}},\widetilde{X_{\operatorname{Zar}}}$ les topos associés aux sites $X_{\operatorname{loc}}$ et $X_{\operatorname{Zar}}$, respectivement. Le morphisme de site naturel $X_{\operatorname{Zar}}\to X_{\operatorname{loc}}$ définit un morphisme de topos

[TABLE]

La donnée de $\delta$ consiste en un couple de foncteurs adjoints $(\delta^{-1},\delta_{*})$, où $\delta_{*}:\widetilde{X_{\operatorname{loc}}}\to\widetilde{X_{\operatorname{Zar}}}$ est la restriction d’un faisceau sur $X_{\operatorname{loc}}$ à $X_{\operatorname{Zar}}$, et $\delta^{-1}:\widetilde{X_{\operatorname{Zar}}}\to\widetilde{X_{\operatorname{loc}}}$ est la faisceautisation d’un faisceau sur $X_{\operatorname{Zar}}$. On montre que $\delta$ est une équivalence de topos.

Proposition 4.12**.**

Les foncteurs $\delta_{*}$ et $\delta^{-1}$ sont quasi-inverses entre eux.

Démonstration.

Comme tout objet de $X_{\operatorname{loc}}$ est recouvert par des objets de $X_{\operatorname{Zar}}$, c’est un cas particulier de [SGA4] III, théorème 4.1. ∎

Pour tout schéma $X$, on note $\mathcal{O}_{X_{\operatorname{loc}}}$ le faisceau $\delta^{-1}\mathcal{O}_{X}$ sur $X_{\operatorname{loc}}$, et $\operatorname{Mod}(\mathcal{O}_{X_{\operatorname{loc}}})$ la catégorie des $\mathcal{O}_{X_{\operatorname{loc}}}$-modules. On obtient

Corollaire 4.13**.**

Le foncteur $\delta_{*}:\operatorname{Mod}(\mathcal{O}_{X_{\operatorname{loc}}})\to\operatorname{Mod}(\mathcal{O}_{X})$ est une équivalence de catégorie.

Soit $f:Y\to X$ un morphisme de schéma quelconque. Alors $f$ induit un morphisme de site $X_{\operatorname{loc}}\to Y_{\operatorname{loc}}$ par le changement de base via $f$, et un morphisme de topos $f:\widetilde{Y_{\operatorname{loc}}}\to\widetilde{X_{\operatorname{loc}}}$, qui consiste en un couple de foncteurs adjoints

[TABLE]

où $f_{*}$ est la restriction d’un faisceau sur $Y_{\operatorname{loc}}$ à $X_{\operatorname{loc}}$, et $f^{-1}$ est défini d’une façon similaire à l’image inverse ensembliste usuelle pour le site de Zariski. Lorsque $f$ est un isomorphisme local, on a $f^{-1}\mathcal{O}_{X_{\operatorname{loc}}}=\mathcal{O}_{Y_{\operatorname{loc}}}$, donc $f^{-1}$ induit un foncteur $f^{-1}:\operatorname{Mod}(\mathcal{O}_{X_{\operatorname{loc}}})\to\operatorname{Mod}(\mathcal{O}_{Y_{\operatorname{loc}}})$. On vérifie aisément que

Lemme 4.14**.**

Si $f:Y\to X$ est un isomorphisme local, alors le diagramme

[TABLE]

est commutatif.

4.6.4.

Nous finissons la démonstration de la proposition 4.9. On définit un topos fibré simplicial $X=(X_{n})_{n\in\mathbb{N}}$, tel que pour tout $n\in\mathbb{N}$,

[TABLE]

le $\operatorname{Top}^{\circ}$ du topos loc de $\operatorname{Ner}_{n}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}S(1))$, et les $\operatorname{d}_{i},\operatorname{s}_{j}$ pour $X$ sont induits par ceux pour $\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}S(1))$. On note $\mathcal{O}\in X_{0}$ le faisceau structurel de $\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)_{\operatorname{loc}}$, qui est un objet de $\operatorname{B}X$ parce que $\operatorname{d}_{0}^{-1}\mathcal{O}$ et $\operatorname{d}_{1}^{-1}\mathcal{O}$ sont canoniquement isomorphes au faisceau structurel de $(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)\times\operatorname{C}_{\centerdot}S(1))_{\operatorname{loc}}$. Il existe un isomorphisme canonique

[TABLE]

tel que $\operatorname{ner}^{\circ}\mathcal{O}$ est égal au faisceau structurel de $\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}S(1))_{\operatorname{loc}}$. On note la catégorie des $\operatorname{ner}^{\circ}\mathcal{O}$-modules par $\operatorname{Mod}(\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}S(1))_{\operatorname{loc}})$.

Proposition 4.15**.**

Soit $X$ le topos fibré simplicial défini ci-dessus. Alors

[TABLE]

est pleinement fidèle, et son image essentielle se compose des objets $Y$ tels que pour tout $i$, $\operatorname{H}^{i}(Y)$ est dans l’image essentielle du foncteur $\operatorname{ner}^{\circ}$ pour les modules.

Démonstration.

Pour appliquer le théorème 4.10 on doit vérifier

1. a)

X est un bon topos fibré; 2. b)

X est une pseudo-catégorie; 3. c)

$(\operatorname{d}_{0}...\operatorname{d}_{0})^{-1}$ envoie les injectifs dans les injectifs.

Les conditions a) et c) sont essentiellement un corollaire du fait que, les $\operatorname{d}_{i}$ et $\operatorname{s}_{j}$ dans le diagramme $\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}S(1))$ sont des isomorphismes locaux (cf. §4.6.2), donc ils sont des morphismes de localisation pour le site loc (donc admettent des adjoints à gauche exacts). La condition b) se déduite facilement de la propriété suivante: dans le diagramme

[TABLE]

la première ligne est une réunion disjointe de la deuxième ligne avec les morphismes verticaux comme les projections. ∎

Preuve de la proposition 4.9.

Soit $X$ le topos fibré simplicial défini dans la proposition 4.15. L’équation [Ill1] VI 11.5.3.2 implique un isomorphisme entre $\operatorname{D^{b}}(\operatorname{B}X)$ et $\operatorname{D^{b}}(\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]\otimes\mathcal{O}_{S_{\operatorname{loc}}})$. On en déduit un diagramme commutatif

[TABLE]

où la flèche $\operatorname{ner}^{\circ}$ en haut (resp. en bas) est le foncteur dans la proposition 4.9 (resp. la proposition 4.15). Le diagramme est commutatif par le lemme 4.14, et les flèches verticales sont des équivalences par le corollaire 4.13. Donc la proposition 4.9 se déduit de la proposition 4.15. ∎

Remarque 4.16*.*

Il semble que la réduction via le site loc de la proposition 4.9 au théorème 4.10 est élémentaire; néanmoins le théorème 4.10 lui-même est non-trivial (qui dépend de la théorie des modules induits et coinduits dans [Ill1] VI 8.3). Comme la proposition 4.9 est d’une nature combinatoire, il existe probablement une preuve directe (sans utiliser les sites), mais elle ne doit pas être simple à cause de la théorie de [Ill1] VI 8.3.

4.7. Le complexe ${}_{A}\ell_{G}^{\vee}$

4.7.1.

Dans cette section nous définissons la variante ${}_{A}\ell_{G}^{\vee}$ sur le topos de Zariski du complexe ${}_{A}\underline{\ell}_{G}^{\vee}$ d’Illusie. Nous rappelons d’abord le complexe cotangent usuel. Soit $X\to Y$ un morphisme de schéma. Son complexe cotangent $\operatorname{L}_{X/Y}$ est le $\mathcal{O}_{X}$-module simplicial

[TABLE]

où $\operatorname{P}_{\centerdot}(\mathcal{O}_{X})$ est la résolution standard ([Ill1] I 1.5) de $\mathcal{O}_{X}$ sur $\mathcal{O}_{Y}$. L’objet de $\operatorname{D}^{\leq 0}(\mathcal{O}_{X})$ qui correspond à $\operatorname{L}_{X/Y}$ sera noté par la même notation.

On rappelle que la notion de complexe cotangent s’étend aux morphismes de multi-diagrammes de schémas par [Ill1] VII 1.2.1. On rappelle la définition pour les morphismes de $1$-diagrammes. Soit $X$ un $1$-diagramme de schémas de type $I$. On note $\widetilde{X_{\operatorname{Zar}}}$ le petit topos de Zariski de $X$. 111111$\widetilde{X_{\operatorname{Zar}}}$ est un topos fibré au-dessus de $I$: c’est la donnée de topos $\widetilde{X_{i,\operatorname{Zar}}}$ pour tout $i\in\operatorname{ob}I$, avec les morphismes de topos $\widetilde{X_{i,\operatorname{Zar}}}\to\widetilde{X_{j,\operatorname{Zar}}}$ induit par ceux entre les schémas $X_{i}\to X_{j}$ pour tout $i\to j$ dans $I$. On considère le topos total $\operatorname{Top}X_{\operatorname{Zar}}$ de $\widetilde{X_{\operatorname{Zar}}}$ ([Ill1] VI 5.2.1): les objets de $\operatorname{Top}X_{\operatorname{Zar}}$ sont les systèmes $(M_{i},M_{f})_{i\in\operatorname{ob}I,f\in\operatorname{fl}I}$, où pour tout $i$, $M_{i}$ est un faisceau sur $X_{i,\operatorname{Zar}}$, et pour tout $f:i\to j$, $M_{f}:f^{-1}M_{j}\to M_{i}$ est un morphisme dans $\widetilde{X_{i,\operatorname{Zar}}}$ qui vérifie la condition de cocycle. Le faisceau structurel $\mathcal{O}_{X}$ de $\widetilde{X_{\operatorname{Zar}}}$ est un objet de $\operatorname{Top}X_{\operatorname{Zar}}$, et on peut considérer les $\mathcal{O}_{X}$-modules dans $\operatorname{Top}X_{\operatorname{Zar}}$.

On suppose que $X\to Y$ est un morphisme de $1$-diagramme de schémas. Par définition, son complexe cotangent $\operatorname{L}_{X/Y}$ est le $\mathcal{O}_{X}$-module simplicial, tel que pour tout $i$, la restriction de $\operatorname{L}_{X/Y}$ sur $X_{i}$ est égale à $\operatorname{L}_{X_{i}/Y_{\alpha(i)}}$, où $Y_{\alpha(i)}$ est le sommet de $Y$ au-dessous de $X_{i}$; le morphisme de transition $f^{-1}\operatorname{L}_{X_{j}/Y_{\alpha(j)}}\to\operatorname{L}_{X_{i}/Y_{\alpha(i)}}$ est défini par la fonctorialité du complexe cotangent ([Ill1] II 1.2.7.2).

Maintenant on rappelle la définition du complexe de Lie. On considère d’abord le cas d’un seul schéma en groupes, puis les diagrammes de schémas en groupes. Soit $S$ un schéma, et $G$ un schéma en groupes, plat et de présentation finie sur $S$. Le complexe de co-Lie de $G$ est l’objet de $\operatorname{D}^{\leq 0}(\mathcal{O}_{S})$ défini par

[TABLE]

où $e$ est la section unité de $G$. On appelle

[TABLE]

le complexe de Lie de $G$.

On étend les définitions de $\ell_{G}$ et $\ell_{G}^{\vee}$ aux diagrammes. Soit $S$ un $1$-diagramme de schémas de type $I$. Soit $G$ un schéma en groupes plat et de présentation finie sur $S$. 121212Par définition, $G$ est un $1$-diagramme de schémas du même type que $S$, tel que pour tout $i\in\operatorname{ob}I$, $G_{i}$ est un schéma en groupes plat et de présentation finie sur $S_{i}$, et pour tout $i\to j$, le morphisme $G_{i}\to G_{j}$ est un morphisme de schémas en groupes (sur $S_{j}$). On définit

[TABLE]

[TABLE]

On rappelle que $\operatorname{D}^{\geq 0}(S)$ est la catégorie définie par la définition 4.7.

4.7.2.

On donne la définition de ${}_{A}\ell_{G}^{\vee}$. On suppose que $A$ est un anneau commutatif, $S$ est un schéma, et $G$ est un schéma en $A$-modules, plat et de présentation finie sur $S$. D’après la définition 4.5 on a un 2-diagramme $G(1)$ de $(\operatorname{Sch}/S)$. 131313 Contrairement à la description de §4.5.1 pour $S(1)$, les composantes $G(1)^{r}$ de $G(1)$ ne sont pas des schémas $r$-simpliciaux constants mais bien des translations. Par la fonctorialité on a une action de $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ sur $\operatorname{C}_{\centerdot}G(1)$ dans $\operatorname{Simp}_{1}(\operatorname{Diag}_{1}\operatorname{Sch}/S)$. On considère le nerf

[TABLE]

et on voit facilement que $\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}G(1))$ est un schéma en groupes sur $\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}S(1))$. Le complexe ${}_{A}\ell_{G}^{\vee}$ est défini par la proposition suivante.

Proposition 4.17**.**

Supposons que $S$ est plat sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$. Alors il existe un objet

[TABLE]

unique à isomorphisme unique près, tel que

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)))$. (On rappelle que les foncteurs $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$ et $\operatorname{ner}^{\circ}$ sont définis dans les propositions 4.6 et 4.9.)

Démonstration.

Avec les propositions 4.6 et 4.9, c’est essentiellement la même démonstration que [Ill1] VII 4.1.4.1 pour ${}_{A}\underline{\ell}_{G}^{\vee}$. On montre d’abord que $\ell^{\vee}_{\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}G(1))}$ est dans l’image essentielle de $\operatorname{ner}^{\circ}$. D’après la proposition 4.9, c’est équivalent à montrer que les $\operatorname{H}^{i}$ de $\ell^{\vee}_{\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}G(1))}$ sont dans l’image essentielle de $\operatorname{ner}^{\circ}$ pour les modules. Par [Ill1] VI 8.1.6, c’est équivalent au fait que les $\operatorname{H}^{i}$ de

[TABLE]

sont cartésiens, où $\operatorname{Dec}_{1}$ est le foncteur de décalé ([Ill1] VI 1.3). Or, $\operatorname{Dec}_{1}\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}G(1))$ est cartésien au-dessus de $\operatorname{Dec}_{1}\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}S(1))$, donc $\ell^{\vee}_{\operatorname{Dec}_{1}\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}G(1))}$ est quasi-cartésien par la compatibilité du complexe de Lie avec le changement de base ([Ill1] VII 3.1.1.4).

On a vu qu’il existe $L\in\operatorname{D^{b}}(\mathbb{Z}[\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)]\otimes\mathcal{O}_{S})$ tel que

[TABLE]

On montre que $L$ est dans l’image essentielle de $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$. D’après la proposition 4.6, il suffit de montrer la même propriété pour l’image de $L$ dans $\operatorname{D^{b}}(\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1},\mathcal{O}_{S})$. Or, la définition de $L$ implique que son image dans $\operatorname{D^{b}}(\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1},\mathcal{O}_{S})$ est isomorphe à $\ell^{\vee}_{\operatorname{C}_{\centerdot}G(1)}$. D’après [Ill1] VII 4.1.3.1, on a

[TABLE]

donc l’hypothèse de la proposition 4.6 est vérifiée. ∎

Proposition 4.18**.**

Soit $G$ un schéma en $A$-modules sur $S$ comme précédemment. Si $G$ est lisse sur $S$, alors il existe un isomorphisme canonique

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(A\otimes\mathcal{O}_{S})$, où la structure de $A$-module de $\omega_{G}^{\vee}$ est induite par celle de $G$.

Démonstration.

La lissité de $G$ implique $\ell^{\vee}_{\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}G(1))}\cong\omega^{\vee}_{\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}G(1))},$ donc la proposition se déduit de la pleine fidélité dans les propositions 4.6 et 4.9 et la définition de ${}_{A}\ell_{G}^{\vee}$. ∎

Proposition 4.19**.**

Soit $A$ et $S$ comme précédemment, et

[TABLE]

une suite exacte de schémas en $A$-modules, plats et de présentation finie sur $S$, telle que $B$ et $C$ sont lisses sur $S$. Alors il existe un isomorphisme canonique

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(A\otimes\mathcal{O}_{S})$, où le complexe à droite est placé en degrés [math] et $1$.

Démonstration.

Le triangle fondamental du complexe de Lie ([Ill1] VII 3.1.1.5) implique que

[TABLE]

est distingué, d’où un isomorphisme

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}A(1),\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)))$. Comme ${}_{A}\ell_{G}^{\vee}$ et $[\omega_{B}^{\vee}\to\omega_{C}^{\vee}]$ sont de degré cohomologique $0,1$, on peut utiliser la pleine fidélité de $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$ et $\operatorname{ner}^{\circ}$ pour conclure. ∎

Proposition 4.20**.**

Soit $G/S$ un schéma en $A$-modules comme précédemment, et $A^{\prime}\to A$ un morphisme d’anneau. On note

[TABLE]

le foncteur de restriction des scalaires induit par $A^{\prime}\to A$. Alors il existe un isomorphisme canonique

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(A^{\prime}\otimes\mathcal{O}_{S})$.

Démonstration.

C’est la même propriété que [Ill1] VII 4.1.5 a) pour ${}_{A}\underline{\ell}_{G}^{\vee}$. ∎

4.7.3.

La proposition suivante ne sera utilisée que dans §5.4.

Proposition 4.21**.**

Soit $S$ un schéma plat sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$, $A,A^{\prime}$ deux anneaux, et $G$ (resp. $G^{\prime}$) un schéma en $A$-modules (resp. schéma en $A^{\prime}$-modules), plat et de présentation finie sur $S$. Munissons le schéma en groupes $G\times_{S}G^{\prime}$ de la structure de $A\oplus A^{\prime}$-module naturelle. Alors il existe un isomorphisme canonique

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}((A\oplus A^{\prime})\otimes\mathcal{O}_{S})$.

On montre d’abord le lemme suivant. On remarque que ce lemme reste valable dans un contexte plus général des diagrammes de schémas.

Lemme 4.22**.**

Soit $B$ le schéma de base. On note $\times=\times_{B},\otimes=\otimes_{\mathcal{O}_{B}}$. Soient $S,T$ deux schémas plats sur $B$, et $X\to S,Y\to T$ deux morphismes plats de schémas sur $B$. Alors il existe un isomorphisme canonique

[TABLE]

dans $\operatorname{D}^{\leq 0}(\mathcal{O}_{X\times Y})$.

Démonstration.

Via le triangle fondamental du complexe cotangent, c’est un corollaire de [Ill1] II 2.3.11, le deuxième isomorphisme (appliqué à $X\times Y$ et $S\times T$, respectivement). ∎

Preuve de la proposition 4.21.

Il suffit d’appliquer le lemme 4.22 aux produits fibrés

[TABLE]

[TABLE]

où $S_{\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1},\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1})}$ est le diagramme de type $\operatorname{Ner}(\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1},\operatorname{C}_{\centerdot}\operatorname{S}_{1})$ de valeur constante $S$, puis utiliser les définitions de ${{}_{A}\ell_{G}^{\vee}},{{}_{A^{\prime}}\ell_{G^{\prime}}^{\vee}}$ et ${{}_{A\oplus A^{\prime}}\ell_{G\times G^{\prime}}^{\vee}}$. ∎

4.8. Le complexe $\ell^{M,\vee}_{K}$

4.8.1.

Dans cette section on donne la définition du complexe de Lie monoïde-équivariant $\ell^{M,\vee}_{K}$ sur le topos de Zariski. La définition de $\ell^{M,\vee}_{K}$ est similaire à celle de ${}_{A}\ell_{G}^{\vee}$ mais plus simple (sans utiliser le foncteur $\operatorname{C}_{\centerdot}\text{--}(1)$). On suppose que $M$ est un monoïde commutatif, $S$ est un schéma, et $K/S$ est un schéma en groupes, plat et de présentation finie, qui est muni d’une $M$-action. On les associe les objets simpliciaux $\operatorname{Ner}(M,K),\operatorname{Ner}(M,S)$ de $(\operatorname{Sch}/S)$, où $M$ agit trivialement sur $S$. La définition 4.8 nous fournit un foncteur

[TABLE]

et la proposition 4.9 reste vraie dans ce contexte. Par le même argument que la proposition 4.17, on obtient

Proposition 4.23**.**

Soit $K$ un schéma en groupes sur $S$ muni d’une $M$-action comme précédemment. Alors il existe un objet $\ell^{M,\vee}_{K}$ de $\operatorname{D^{b}}(\mathbb{Z}[M]\otimes\mathcal{O}_{S})$, unique à isomorphisme unique près, tel que

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\operatorname{Ner}(M,S))$.

4.8.2.

Lorsque $K$ s’injecte dans un schéma lisse par une immersion fermée régulière $M$-équivariante, il existe une formule explicite pour $\ell^{M,\vee}_{K}$, similaire à son analogue bien connu pour le complexe cotangent usuel ([Ill1] III 3.2.6). On omet la démonstration car c’est le même argument que [Ill1] VII 2.2.5 pour le complexe cotangent équivariant. On rappelle la notion d’une immersion régulière (dans le cas noethérien, et voir [Ill1] III 3.2.2 pour le cas général): soit $i:Y\to X$ une immersion fermée de schémas d’idéal $\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_{X}$, alors $i$ est régulière si localement sur $X$, $\mathcal{I}$ est engendré par une suite régulière de $\mathcal{O}_{X}$. Pour tout complexe de $\mathcal{O}_{S}$-modules $N$, on note $N^{\vee}$ le complexe défini par $N^{\vee}_{i}=\underline{\operatorname{Hom}}(N_{-i},\mathcal{O}_{S})$ pour tout $i\in\mathbb{Z}$.

Proposition 4.24**.**

Soit $K/S$ un schéma en groupes muni d’une $M$-action comme précédemment. Soit $X/S$ un schéma lisse muni d’une $M$-action, et $i:K\to X$ une immersion fermée régulière $M$-équivariante sur $S$. On note $\mathcal{I}\subset\mathcal{O}_{X}$ l’idéal de $i$, et $e$ la section unité de $K$. Alors il existe un isomorphisme canonique

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathbb{Z}[M]\otimes\mathcal{O}_{S})$, où le complexe de droite est placé en degrés $0,1$ et muni de la $M$-action naturelle (induite par les $M$-structures de $K$ et $X$).

4.9. La compatibilité des complexes de Lie

Soit $A$ un anneau commutatif, $S$ un schéma plat sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$, et $G$ un schéma en $A$-modules, plat et de présentation finie sur $S$. On note $A^{\operatorname{mon}}$ le monoïde multiplicatif sous-jacent à $A$, donc la $A$-structure sur $G$ induit une action de $A^{\operatorname{mon}}$ sur $G$. Dans cette section on montre une compatibilité entre les complexes ${}_{A}\ell_{G}^{\vee}$ et $\ell^{A^{\operatorname{mon}},\vee}_{G}$ (voir les propositions 4.17 et 4.23 pour les définitions). On note

[TABLE]

le foncteur défini par le morphisme d’anneau naturel $\mathbb{Z}[A^{\operatorname{mon}}]\to A$. On a la proposition suivante, qui est très simple mais ne figure pas dans [Ill1].

Proposition 4.25**.**

Soit $G$ un schéma en $A$-modules sur $S$ comme précédemment. Alors il existe un isomorphisme canonique

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathbb{Z}[A^{\operatorname{mon}}]\otimes\mathcal{O}_{S})$.

Démonstration.

Cette proposition résulte du fait que, quand on restreint l’action de $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ sur $\operatorname{C}_{\centerdot}G(1)$ (dans la définition de ${}_{A}\ell_{G}^{\vee}$) aux sommets de [math]-ièmes étages, on retrouve l’action de $A^{\operatorname{mon}}$ sur $G$. Plus précisément, on note $\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)$ l’objet de $\operatorname{Simp}_{1}(\operatorname{Diag}_{1}\operatorname{Sch}/S)$ défini dans §4.5.1. On a

[TABLE]

où $S(1)^{r}$ est l’objet constant de $\operatorname{Simp}_{r}(\operatorname{Sch}/S)$ de valeur $S$. En prenant $r=0$, on obtient un morphisme

[TABLE]

dans la catégorie $\operatorname{Diag}_{2}(\operatorname{Sch}/S)$. Le morphisme $i_{S}$ est équivariant par rapport à l’action triviale de $A^{\operatorname{mon}}$ sur $S$ et l’action de $\operatorname{C}_{\centerdot}A(1)$ sur $\operatorname{C}_{\centerdot}S(1)$. Donc il induit un morphisme

[TABLE]

dans $\operatorname{Simp}_{1}(\operatorname{Diag}_{2}\operatorname{Sch}/S)$.

On considère le diagramme commutatif

[TABLE]

Par définition de ${}_{A}\ell_{G}^{\vee}$ et $\ell^{A^{\operatorname{mon}},\vee}_{G}$, on a

[TABLE]

[TABLE]

Comme $\operatorname{ner}^{\circ}$ est pleinement fidèle, il suffit de montrer

[TABLE]

Mais c’est essentiellement la compatibilité du complexe de Lie avec le changement de base ([Ill1] VII 3.1.1.4): on l’applique au diagramme cartésien

[TABLE]

où $i_{G}$ est défini de façon similaire de $i_{S}$ (qui envoie $G$ au premier sommet de $\operatorname{C}_{\centerdot}G(1)$). ∎

5. Modèle local de niveau $\Gamma_{1}(p)$

5.1. Le déterminant d’un complexe parfait

5.1.1.

Nous rappelons la théorie du déterminant de Knudsen-Mumford [KM] qu’on utilisera plus loin dans la construction du modèle local. Le déterminant est un foncteur qui transforme un isomorphisme (dans la catégorie dérivée) entre complexes parfaits en un isomorphisme de fibrés en droites. Plus précisément, soit $S$ un schéma, et $F$ un complexe de $\mathcal{O}_{S}$-modules. On dit que $F$ est un complexe parfait ([SGA6] I 4.7) si localement sur $S$, $F$ est quasi-isomorphe à un complexe borné de $\mathcal{O}_{S}$-modules libres de type fini. On note $\operatorname{Parf}(S)$ la sous-catégorie pleine de $\operatorname{D}(\mathcal{O}_{S})$ qui consiste en tous les complexes parfaits, et $\operatorname{Parf-is}(S)$ la sous-catégorie de $\operatorname{Parf}(S)$ avec les mêmes objets mais seulement les isomorphismes. On note $\operatorname{Pic}(S)$ la catégorie des fibrés en droites sur $S$, et $\operatorname{Pic-is}(S)$ la sous-catégorie de $\operatorname{Pic}(S)$ avec les mêmes objets mais seulement les isomorphismes.

Un déterminant est la donnée $(\det,i)$, où

[TABLE]

est un foncteur, et pour tout suite exacte de complexes parfaits

[TABLE]

on l’associe un isomorphisme de fibrés en droites (avec $\otimes=\otimes_{\mathcal{O}_{S}}$)

[TABLE]

la donnée $(\det,i)$ doit vérifier les axiomes i) à v) de [KM] definition 1. Ici on ne répète pas les axiomes mais juste fait quelques remarques: l’axiome i) concerne la fonctorialité de $i_{\alpha,\beta}$ par rapport à la suite exacte; l’axiome v) implique que, si $F,G,H$ sont des $\mathcal{O}_{S}$-modules localement libres de type fini, alors $\det F=\bigwedge^{\max}F$ (et de même pour $G,H$), et si l’on suppose que $F,G,H$ sont libres, alors $i_{\alpha,\beta}$ est défini par

[TABLE]

où $x_{i}$ (resp. $y_{j}$) est une base de $G$ (resp. $H$). La donnée $(\det,i)$ est essentiellement déterminé par ces axiomes: d’après [KM] theorem 1, elle existe et est unique à isomorphisme unique près.

5.1.2.

Dans cet article, on ne considère que le déterminant des complexes parfaits d’un type particulier:

Hypothèse $(\star)$.

Soit $F$ un complexe de $\mathcal{O}_{S}$-modules. On dit que $F$ est de type $(\star)$ si $F=[F_{1}\xrightarrow{d_{F}}F_{0}]$ est concentré en degrés $-1,0$, tel que $F_{1},F_{0}$ sont des $\mathcal{O}_{S}$-modules localement libres de type fini, et $\operatorname{rg}F_{1}=\operatorname{rg}F_{0}$ sur chaque composante connexe de $S$.

On rappelle que, si $F=[F_{1}\xrightarrow{d_{F}}F_{0}]$ est de type $(\star)$, alors la définition de [KM] page 31 implique que

[TABLE]

avec la notion d’inverse $(\det F_{1})^{-1}$ bien choisie pour éviter le problème des signes (cf. [KM] page 20, l’isomorphisme $\delta$). La section de $\det F$ induite par $d_{F}$ est appelée la section canonique. Si $G=[G_{1}\xrightarrow{d_{G}}G_{0}]$ est un autre complexe de type $(\star)$ (qui n’est pas nécessairement de même rang que $F$), et $\lambda:F\to G$ est un isomorphisme dans $\operatorname{D}(\mathcal{O}_{S})$, alors par la fonctorialité on obtient un isomorphisme de fibrés en droites $\det(\lambda):\det F\xrightarrow{\sim}\det G$. Nous renvoyons le lecteur à [KM] page 26 pour la définition de $\det(\lambda)$ via le cylindre de $\lambda$.

On obtient les deux lemmes suivants. On omet leurs démonstrations car elles sont implicites dans [KM] (au moins dans le cas où $F$ et $G$ sont acycliques, mais ces démonstrations sont vraies en toute généralité). Pour le lemme 5.1, voir la fonctorialité de $\det$ dans [KM] page 30; pour le lemme 5.2 voir le diagramme commutatif de [KM] page 33.

Lemme 5.1**.**

Soient $F,G$ deux complexes de $\mathcal{O}_{S}$-modules de type $(\star)$, et $\lambda:F\to G$ un isomorphisme dans $\operatorname{D}(\mathcal{O}_{S})$. Alors le diagramme

[TABLE]

est commutatif.

Lemme 5.2**.**

Soient $F,G,H$ des complexes de $\mathcal{O}_{S}$-modules de type $(\star)$, et

[TABLE]

une suite exacte. Alors le diagramme

[TABLE]

est commutatif.

5.1.3.

Soit $[F_{1}\xrightarrow{d_{F}}F_{0}]$ un complexe de $\mathcal{O}_{S}$-modules de type $(\star)$. On considère le complexe dual $[F_{0}^{\vee}\xrightarrow{d_{F}^{\vee}}F_{1}^{\vee}]$ placé en degrés -1 et 0, qui est aussi de type $(\star)$. En identifiant $(\det F_{0}^{\vee})^{-1}$ avec $\det F_{0}$, on obtient un isomorphisme

[TABLE]

où on échange les deux facteurs de $\det[F_{1}\xrightarrow{}F_{0}]$ via la loi de Koszul $x\otimes y\mapsto(-1)^{(\operatorname{rg}F)^{2}}y\otimes x$. On vérifie aisément (en prenant les bases locales pour $F_{0}$ et $F_{1}$) que:

Lemme 5.3**.**

Avec les notations précédentes, le diagramme

[TABLE]

est commutatif.

5.2. Complexe de Lie d’un schéma de Raynaud

5.2.1.

On utilise les résultats de §4 pour calculer le complexe de Lie ${{}_{\mathbb{F}_{q}}\ell_{H}^{\vee}}$ associé à un schéma en groupes de Raynaud $H$, et répond la question de trouver les paramètres de Raynaud dans §1. On reprend les notations de §2 et §3: $F$ est un corps totalement réel de degré $n$, $p$ est inerte dans $F$, et on fixe un isomorphisme $\mathcal{O}_{F}/p\cong\mathbb{F}_{q}$. Le caractère de Teichmüller $\chi$ s’étend en un morphisme de monoïde multiplicatif $\chi:\mathbb{F}_{q}\to\mathbb{Z}_{q}$ avec $\chi(0)=0$. On note $\operatorname{Fr}:\mathbb{F}_{q}\to\mathbb{F}_{q}$ le morphisme de Frobenius et $\operatorname{Fr}^{(k)}$ sa $k$-fois composée. On obtient un diagramme commutatif

[TABLE]

pour $k=0,...,n-1$. Comme $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{F}$ est étale sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ en $p$, le critère infinitésimal implique que pour tout $k$, il existe un unique morphisme $\operatorname{Fr}^{(k)}:\mathcal{O}_{F}\to\mathbb{Z}_{q}$ qui est un relèvement de $\operatorname{Fr}^{(k)}:\mathbb{F}_{q}\to\mathbb{F}_{q}$ par le diagramme commutatif

[TABLE]

On définit pour tout $k$, l’élément

[TABLE]

de $\mathbb{Z}[\mathbb{F}_{q}^{\operatorname{mon}}]\otimes\mathbb{Z}_{q}$. Alors $e_{k}$ est le projecteur sur la composante $\chi^{p^{k}}$-isotypique d’une représentation de $\mathbb{F}_{q}^{\operatorname{mon}}$. D’autre part, on a des isomorphismes

[TABLE]

définis par la même formule $x\otimes y\mapsto(xy,\operatorname{Fr}(x)y,...,\operatorname{Fr}^{(n-1)}(x)y)$. On note (par un abus de notation)

[TABLE]

les projecteurs sur les $k$-ièmes composantes. Via les morphismes naturels

[TABLE]

on a la correspondance $e_{k}\mapsto e_{k}\leftarrow\!\shortmid e_{k}$.

On suppose que $S$ est un schéma sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$ qui est plat sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$, et que $H/S$ est un schéma en groupes de Raynaud. On a un diagramme commutatif

[TABLE]

où $\operatorname{Res}$ (resp. $\operatorname{Com}$) est défini par la proposition 4.20 (resp. la proposition 4.25), et les flèches $e_{k}$ est la multiplication par $e_{k}$. Les propositions 4.23, 4.17 définissent deux complexes $\ell_{H}^{\mathbb{F}_{q}^{\operatorname{mon}},\vee}\in\operatorname{D^{b}}(\mathbb{Z}[\mathbb{F}_{q}^{\operatorname{mon}}]\otimes\mathcal{O}_{S})$ et ${{}_{\mathcal{O}_{F}}\ell_{H}^{\vee}}\in\operatorname{D^{b}}(\mathcal{O}_{F}\otimes\mathcal{O}_{S})$

Proposition 5.4**.**

Pour $k=0,...,n-1$, il existe un isomorphisme canonique

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathcal{O}_{S})$.

Démonstration.

Par les propositions 4.25 et 4.20, on a

[TABLE]

∎

5.2.2.

Soit $S$ un schéma comme précédemment et $H/S$ un schéma en groupes de Raynaud de paramètre $(\mathcal{L}_{k},a_{k},b_{k})$. On utilise les mêmes notations que dans §4.1. On a une immersions fermée canonique $i:H\to X$, où $H$ (resp. $X$) est définie par la $\mathcal{O}_{S}$-algèbre $\mathcal{A}$ (resp. $\mathcal{S}$). On note $\mathcal{I}\subset\mathcal{S}$ l’idéal de $i$. On rappelle que $i$ est $\mathbb{F}_{q}^{\operatorname{mon}}$-équivariante et elle est une immersion régulière. (On peut le vérifier par les coordonnées locales comme dans la démonstration du lemme 4.1.)

Comme $X/S$ est lisse, la proposition 4.24 implique qu’il existe un isomorphisme

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathbb{Z}[\mathbb{F}_{q}^{\operatorname{mon}}]\otimes\mathcal{O}_{S})$, qui induit des isomorphismes de composantes isotypiques

[TABLE]

pour tout $k$. D’après le lemme 4.1, 141414 Ici on utilise la $\mathbb{F}_{q}^{\operatorname{mon}}$-action, mais c’est équivalente à la $\mathbb{F}_{q}^{\times}$-action: tout $\mathbb{F}_{q}^{\operatorname{mon}}$-module $V$ s’écrit comme une somme directe $V_{0}\oplus V_{1}$, où $V_{0}$ est annulé par [math], et $V_{1}$ est un $\mathbb{F}_{q}^{\operatorname{mon}}$-module trivial.

on a

[TABLE]

donc un isomorphisme

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathcal{O}_{S})$. Soit

[TABLE]

une résolution $\mathcal{O}_{F}$-équivariante de $H$ par un schéma abélien $B/S$ muni d’une $\mathcal{O}_{F}$-action avec la condition de Kottwitz dans la définition 2.1. D’après la proposition 4.19, il existe un isomorphisme

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathcal{O}_{F}\otimes\mathcal{O}_{S})$, donc un isomorphisme

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathcal{O}_{S})$. La proposition 5.4 implique que

Corollaire 5.5**.**

Soit $S$ un schéma sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$ qui est plat sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$, et $H/S$ un schéma en groupe de Raynaud de paramètre $(\mathcal{L}_{k},a_{k},b_{k})$. Soit $B$ un schéma abélien qui résout $H$ comme précédemment. Alors il existe un isomorphisme canonique

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathcal{O}_{S})$ pour $k=0,...,n-1$.

5.3. Les modèles locaux $M_{0}^{+}$ et $M_{1}^{+}$

5.3.1.

Dans cette section on définit le modèle local $M_{1}^{+}$ pour le schéma de Hilbert-Siegel $Y_{1}$ de niveau $\Gamma_{1}(p)$. La construction consiste en deux étapes: d’abord on construit un $\mathbb{G}_{m}^{ng}$-torseur $M_{0}^{+}$ au-dessus de $M_{0,\mathbb{Z}_{q}}$, puis on définit le modèle local $M_{1}^{+}$ par la même équation que dans la définition 3.4, tel que $M_{1}^{+}$ est fini ramifié sur $M_{0}^{+}$. La nécessité de ce $\mathbb{G}_{m}^{ng}$-torseur vient du fait qu’on connaît les fibrés en droites $\mathcal{L}_{k}$ sur $Y_{1}$, mais que sur $M_{0,\mathbb{Z}_{q}}$ on ne connaît que $\mathcal{L}_{k}^{\otimes(p-1)}$.

D’abord une remarque sur la définition du modèle local $M_{0}$. On rappelle que $w_{p}$ est l’élément particulier de $\mathbb{Z}_{q}$ défini dans §3.1.1. On définit un schéma $M_{0,\mathbb{Z}_{q}}^{\prime}$ sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$ par le même problème de module que dans la définition 2.6 pour $M_{0}$, mais dans toutes les flèches $St_{i,\mathbb{Z}_{q}}\to St_{i-1,\mathbb{Z}_{q}}$ on remplace l’élément $p$ par $w_{p}$. Comme $w_{p}\in p\mathbb{Z}_{q}^{\times}$, il existe un isomorphisme naturel $M_{0,\mathbb{Z}_{q}}\cong M_{0,\mathbb{Z}_{q}}^{\prime}$. Dans la suite on identifie $M_{0,\mathbb{Z}_{q}}$ avec $M_{0,\mathbb{Z}_{q}}^{\prime}$ via cet isomorphisme.

On définit le $\mathbb{G}_{m}^{ng}$-torseur $M_{0}^{+}$. Soit $S$ un schéma sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$, et $(W_{0},\ldots,W_{g})$ un $S$-point de $M_{0,\mathbb{Z}_{q}}$: pour tout $i$, $W_{i}$ est un sous-$\mathcal{O}_{F}\otimes\mathcal{O}_{S}$-module de $\mathcal{O}_{F}^{2g}\otimes\mathcal{O}_{S}$ qui vérifie les hypothèses de la définition 2.6. On note pour $i=0,...,g$ et $k=0,...,n-1$,

[TABLE]

où $e_{k}\in\mathcal{O}_{F}\otimes\mathbb{Z}_{q}$ est le projecteur défini dans §5.2.1. La définition 2.6 implique que le $\mathcal{O}_{S}$-module $W_{i,k}$ est localement un facteur direct de $\mathcal{O}_{S}^{2g}$ de rang $g$. On en déduit que $[W_{i,k}\to W_{i-1,k}]$ est un complexe de type $(\star)$.

Définition 5.6**.**

On définit le schéma $M_{0}^{+}$ au-dessus de $M_{0,\mathbb{Z}_{q}}$, tel que pour tout schéma $S$ sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$ et tout élément $W_{\centerdot}\in M_{0,\mathbb{Z}_{q}}(S)$, l’ensemble de $S$-points de $M_{0}^{+}$ au-dessus de $W_{\centerdot}$ est égal à l’ensemble des trivialisations de fibré en droites

[TABLE]

5.3.2.

Nous expliquons la construction du modèle local $M_{1}^{+}$. On note $d_{i,k}$ la différentielle dans le complexe $[W_{i,k}\to W_{i-1,k}]$. Comme $W_{i,k}$ est un facteur direct de $\mathcal{O}_{S}^{2g}$, le complexe $[(\mathcal{O}_{S}^{2g}/W_{i-1,k})^{\vee}\to(\mathcal{O}_{S}^{2g}/W_{i,k})^{\vee}]$ est aussi de type $(\star)$. On note $d_{i,k}^{\vee}$ sa différentielle. On définit pour tout $i$ et $k$, un accouplement canonique

[TABLE]

par la composition des flèches

[TABLE]

où $\psi$ est défini dans le lemme 5.3, et $i$ est associé à la suite exacte

[TABLE]

Pour tout élément $(W_{i},v_{i,k})$ de $M_{0}^{+}(S)$, il existe une unique trivialisation

[TABLE]

telle que $v_{i,k}\otimes v_{i,k}^{\vee}=\operatorname{can}$. On note $v_{i,k}d_{i,k}$ (resp. $v_{i,k}^{\vee}d_{i,k}^{\vee}$) la composition de $v_{i,k}$ (resp. $v_{i,k}^{\vee}$) avec $d_{i,k}$ (resp. $d_{i,k}^{\vee}$); ce sont des éléments de $\Gamma(S,\mathcal{O}_{S})$.

Définition 5.7**.**

Le modèle local $M_{1}^{+}$ est le $M_{0}^{+}$-sous-schéma de $\mathbb{A}^{2g}_{M_{0}^{+}}$ défini par les équations (de variables $s_{1},...,s_{g},t_{1},...,t_{g}$) suivantes:

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

où $v_{i,k},v_{i,k}^{\vee},d_{i,k},d_{i,k}^{\vee}$ sont des objets universels sur $M_{0}^{+}$.

Théorème 5.8**.**

Le schéma $M_{1}^{+}$ est un modèle local pour $Y_{1}$: il existe un diagramme

[TABLE]

où $Z_{1}^{+}$ est un schéma sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$, et $\pi^{\prime},f^{\prime}$ sont des morphismes lisses. De plus, on a $\dim M_{1}^{+}=\dim Y_{1}+ng$. 151515Ici $\pi^{\prime}$ et $f^{\prime}$ n’ont pas la même dimension relative, néanmoins c’est suffisant pour comparer les cycles proches.

5.3.3.

Le reste de §5.3 est consacré à démontrer le théorème 5.8. On définit d’abord le schéma $Z_{1}^{+}$ et la projection $\pi^{\prime}$. Soit $S$ un schéma sur $\mathbb{Z}_{q}$. Prenons un $S$-point $(A,H_{i},x_{i},y_{i})$ de $Y_{1}$ (cf. la définition 3.8 pour la notation complète). Pour tout $i$, on note $(\mathcal{L}_{i,k},a_{i,k},b_{i,k})$ le paramètre de Raynaud de $H_{i}/H_{i-1}$. On définit le schéma $Z_{1}^{+}$ comme suit: l’ensemble des $S$-points de $Z_{1}^{+}$ au-dessus de $(A,H_{i},x_{i},y_{i})$ est égal à l’ensemble des systèmes $(\phi,u_{i,k})$ tels que

1. –

$\phi:\mathcal{H}^{1}(A/H_{\centerdot})\xrightarrow{\sim}St_{\centerdot,\mathbb{Z}_{q}}\otimes_{\mathbb{Z}_{q}}\mathcal{O}_{S}$ est un isomorphisme de chaînes polarisées; 2. –

$u_{i,k}:\mathcal{L}_{i,k}\xrightarrow{\sim}\mathcal{O}_{S}$ est une trivialisation de fibré en droites pour $i=1,...,g$ et $k=0,...,n-1$.

Le morphisme $\pi^{\prime}:Z_{1}^{+}\to Y_{1}$ est la projection vers $Y_{1}$, qui est un torseur sous un schéma en groupes lisse (la proposition 2.4).

5.3.4.

Pour définir le morphisme $f^{\prime}$, il suffit de définir pour tout $S$-point $(\phi,u_{i,k})$ de $Z_{1}^{+}$, son image par $f^{\prime}$ dans $M_{1}^{+}(S)$. D’après la définition 5.7, $f^{\prime}(\phi,u_{i,k})$ est de la forme $(W_{i},v_{i,k},s_{i},t_{i})$. La définition pour $W_{i}$ est claire: on pose pour tout $i$,

[TABLE]

5.3.5.

On définit les trivialisations $v_{i,k}$. On note d’abord $A,H_{i},\mathcal{L}_{i,k}$ les objets universels sur $Y_{0,\mathbb{Z}_{q}}$. Le corollaire 5.5 nous fournit des isomorphismes canoniques dans $\operatorname{Pic}(Y_{0,\mathbb{Z}_{q}})$:

[TABLE]

[TABLE]

On va utiliser les mêmes notations $c_{i,k},c_{i,k}^{\vee}$ pour leurs changements de base sur tout schéma au-dessus de $Y_{0,\mathbb{Z}_{q}}$.

Soit maintenant $(A,H_{i},x_{i},y_{i},\phi,u_{i,k})$ un $S$-point de $Z_{1}^{+}$, et $W_{i,k}$ le faisceau défini dans §5.3.4. Alors $\phi$ induit des isomorphismes

[TABLE]

[TABLE]

On définit la trivialisation $v_{i,k}$ par l’équation $v_{i,k}\cdot\phi\cdot c_{i,k}=u_{i,k-1}^{\otimes(-p)}\otimes u_{i,k}$. Dans le lemme suivant, on va voir que la trivialisation duale $v_{i,k}^{\vee}$ vérifie une équation similaire. La démonstration est une comparaison (via les lemmes 5.1, 5.2 et 5.3) entre les images de la section canonique.

Lemme 5.9**.**

Soit $v_{i,k}$ est la trivialisation définie ci-dessus, et $v_{i,k}^{\vee}$ sa trivialisation duale (§5.3.2). Alors on a une égalité des isomorphismes

[TABLE]

où $\psi$ est l’isomorphisme défini dans le lemme 5.3.

5.3.6.

On définit les racines $s_{i},t_{i}$ (comme des éléments de $\Gamma(S,\mathcal{O}_{S})$) par les équations

[TABLE]

On montre que les $s_{i},t_{i}$ vérifient les équations dans la définition 5.7. Comme $x_{i}$ est un générateur de Raynaud (cf. la définition 3.4), on a

[TABLE]

où pour tout $k$, $(u_{i,k-1}^{\otimes(-p)}\otimes u_{i,k})a_{i,k}$ est défini par la composition des flèches dans le diagramme

[TABLE]

D’après le lemme 5.1 et la définition de $v_{i,k}$, ce diagramme est commutatif, d’où l’équation de $s_{i}$ dans la définition 5.7. Un même argument sur le diagramme

[TABLE]

implique l’équation de $t_{i}$; la commutativité de ce diagramme est un corollaire du lemme 5.9.

5.3.7.

On montre que $f^{\prime}$ est lisse. On considère le morphisme $f:Z_{0}\to M_{0}$ défini dans §2.2.2. D’après la proposition 2.7 il suffit de montrer que $f^{\prime}:Z_{1}^{+}\xrightarrow{}Z_{0}\times_{M_{0}}M_{1}^{+}$ est étale. En fait, $Z_{0}\times_{M_{0}}M_{1}^{+}$ est le schéma de module des systèmes $(A,H_{.},\phi,v_{i,k},s_{i},t_{i})$, où $v_{i,k}$ est une trivialisation $\det[e_{k}\phi(\omega_{A/H_{i}})\to e_{k}\phi(\omega_{A/H_{i-1}})]$, et $s_{i},t_{i}$ sont définis par la définition 5.7. On définit un schéma $Z_{0}^{+}$ sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$, qui est le schéma de module des systèmes $(A,H_{i},\phi,u_{i,k})$, où les $u_{i,k}$ sont définies dans §5.3.3. On obtient un diagramme cartésien

[TABLE]

Il suffit de montrer que $h$ est étale. En fait, $h$ envoie $(A,H_{i},\phi,u_{i,k})$ sur $(A,H_{i},\phi,v_{i,k})$, tel que $v_{i,k}$ est associé à $u_{i,k}$ de la même manière de §5.3.5. Localement sur la base, $h$ est égal à $\mathbb{G}_{m}^{ng}\to\mathbb{G}_{m}^{ng}$, $(u_{i,k})\mapsto(u_{i,k-1}^{-p}u_{i,k}),$ donc il est étale en prenant son algèbre de Lie.

5.4. Le cas non-ramifié général

Dans cette section, on étend la construction de $M_{1}^{+}$ dans §5.3 au cas non-ramifié général. On suppose que $F/\mathbb{Q}$ est un corps totalement réel de degré $n$, et $p$ un nombre premier non-ramifié dans $F$, tel que le cardinal résiduel de $p$ dans $\mathcal{O}_{F}$ est égal à $q=p^{n^{\prime}}$ (donc $p$ est décomposé comme un produit de $n/n^{\prime}$ idéaux premiers). On considère d’abord la construction de $Y_{1}$ dans §3.2. Soit $S$ un schéma sur $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{q}$, et $(A,H_{i})$ un $S$-point de $Y_{0}$. Pour $i=1,...,g$, le schéma en groupes $H_{i}$ est muni d’une action de l’algèbre $\mathcal{O}_{F}/p=\mathop{\bigoplus}\limits_{r=1}^{n/n^{\prime}}\mathbb{F}_{q}$, donc décomposé comme le produit

[TABLE]

Pour tout $(i,r)$, $H_{i,r}/H_{i-1,r}$ est un schéma en groupes de Raynaud. La définition de générateur de Raynaud s’étend à $H_{i}/H_{i-1}$: un générateur $z_{i}$ de $H_{i}/H_{i-1}$ est la donnée

[TABLE]

où pour tout $r$, $z_{i,r}$ est un générateur de Raynaud de $H_{i,r}/H_{i-1,r}$ . Donc on peut définir le modèle entier $Y_{1}$ de la même façon que dans la définition 3.8.

Pour définir le modèle local $M_{1}^{+}$, il suffit d’expliquer pourquoi on peut trouver les paramètres de Raynaud de chaque schéma en groupes $H_{i,r}/H_{i-1,r}$ dans le même complexe $[\omega_{A/H_{i}}\to\omega_{A/H_{i-1}}]$. C’est réalisé par la proposition 4.21. En effet, d’après la proposition 4.19 il existe un isomorphisme

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathcal{O}_{F}\otimes\mathcal{O}_{S})$. Par la proposition 4.20, ${{}_{\mathcal{O}_{F}}\ell_{H_{i}/H_{i-1}}^{\vee}}$ est isomorphe à l’image de

[TABLE]

par le foncteur $\operatorname{Res}$. La proposition 4.21 implique qu’il existe une décomposition

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathcal{O}_{F}/p\otimes\mathcal{O}_{S})$. Si l’on note $\varepsilon_{r}$ le $r$-ième projecteur dans les anneaux $\mathcal{O}_{F}\otimes\mathbb{Z}_{p}=\mathop{\oplus}\limits_{r}\mathbb{Z}_{q}$ et $\mathcal{O}_{F}/p=\mathop{\oplus}\limits_{r}\mathbb{F}_{q}$ pour tout $r$, alors on a

[TABLE]

dans $\operatorname{D^{b}}(\mathbb{Z}_{q}\otimes_{\mathbb{Z}_{p}}\mathcal{O}_{S})$. Par la preuve de la proposition 5.4 et le corollaire 5.5, on sait que le $k$-ième paramètre de Raynaud de $H_{i,r}/H_{i-1,r}$ est isomorphe à $e_{k}\varepsilon_{r}[\omega_{A/H_{i}}\to\omega_{A/H_{i-1}}]$, où $e_{k}$ est le projecteur défini dans §5.2.

Donc on peut utiliser les mêmes idées de §5.3 pour définir les schémas $M_{0}^{+}$ et $M_{1}^{+}$ (pour définir $M_{0}^{+}$ il suffit de trivialiser tous les fibrés $\det[e_{k}\varepsilon_{r}W_{i}\to e_{k}\varepsilon_{r}W_{i-1}]$), et l’analogue du théorème 5.8 reste valable.

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