\"{U}ber die Winkel zwischen Unterr\"{a}umen

TL;DR

This paper investigates how well rational subspaces approximate real subspaces in Euclidean space, providing partial solutions to a longstanding problem about the relationship between approximation quality and the height of rational subspaces.

Contribution

It offers a metric result on the approximation of linear subspaces by rational subspaces with bounded height, addressing a problem posed by Schmidt in 1967, especially in the case of 4-dimensional space.

Findings

Partial solution for the case d=4, n=2

Establishes bounds on the angle of approximation

Advances understanding of rational subspace approximation

Abstract

We prove a metric statement about approximation of a $n$-dimensional linear subspace $A$ in $\mathbb{R}^d$ by $n$-dimensional rational subspaces. We consider the problem of finding a rational subspace $B$ of bounded height $H=H(B)$ for which the angle of inclination $\psi (A,B) $ is small in terms of $H$. In the simplest case $d=4, n=2$ we give a partial solution of a problem formulated by W.M. Schmidt in 1967.

Equations

$$⟨\mathbf{w},\mathbf{z}⟩=w_1{z}_1+...+w_d{z}_d.$$

$$|\mathbf{z}|=\sqrt{z_1^2+...+z_d^2}.$$

$$\rho ({\mathcal{A}}_1,{\mathcal{A}}_2)=\underset{\mathbf{w}\in {\mathcal{A}}_1,\mathbf{z}\in {\mathcal{A}}_2}{\min }|\mathbf{w}-\mathbf{z}|$$

$${\mathcal{U}}_{\epsilon }(\mathcal{A})=\{\mathbf{z}\in {\mathbb{R}}^d:\rho (\mathbf{z},\mathcal{A})⩽\epsilon \}$$

$$\text{got}S=\{\mathbf{z}=(z_1,...,z_d)\in {\mathbb{R}}^d:z_1^2+...+z_d^2=1\}$$

$$\psi (L_1,L_2)=\underset{\mathbf{w}\in {\omega }_{L_1},\mathbf{z}\in {\omega }_{L_2}}{\min }\sigma (\mathbf{w},\mathbf{z}),$$

$$\cos \left(\sigma (\mathbf{w},\mathbf{z})\right)=\frac{⟨\mathbf{w},\mathbf{z}⟩}{|\mathbf{w}|\cdot |\mathbf{z}|}.$$

$$|\mathbf{w}-\mathbf{z}|⩽\sigma (\mathbf{w},\mathbf{z})$$

$$\psi (A,B)⩽C_1(H(B){)}^{-\frac{d(d-1)}{(d-n)(d-k)}}.$$

$$\psi (A,B)⩾C_2(H(B){)}^{-\frac{k(d-k)+1}{d+1-n-k}}.$$

$$\psi (A,B)⩽C_1{H}^{-3}\text{und}H(B)⩽H.$$

$$\psi (A,B)⩾C_2(H(B){)}^{-5}\text{fu¨r alle 2-dimensionalen rationalen Unterra¨ume}B.$$

$$\sum _{j=1}^{\infty }j\omega \left(\sqrt{j}\right)<+\infty .$$

$$\psi (A,B)⩾C(A)\omega (H(B))\text{fu¨r alle 2-dimensionalen rationalen Unterra¨ume}B\text{in}{\mathbb{R}}^4.$$

$$\psi (A,B)⩾C(A,\epsilon )(H(B){)}^{-4-\epsilon }\text{fu¨r alle 2-dimensionalen rationalen Unterra¨ume}B\text{in}{\mathbb{R}}^4\text{gilt}.$$

$${\mathbf{q}}_1=(q_{1,1},q_{1,2},q_{1,3},q_{1,4}),{\mathbf{q}}_2=(q_{2,1},q_{2,2},q_{2,3},q_{2,4})$$

$$p_{i,j}=\left|\begin{array}[]{cc}q_{1,i}&q_{1,j}\cr q_{2,i}&q_{2,j}\end{array}\right|,\,\,\,i,j\in\{1,2,3,4\}$$

$$\text{got}p=(p_{1,2}:p_{1,3}:p_{1,4}:p_{2,3}:p_{2,4}:p_{3,4})$$

$$\text{got}G=\{\text{got}p\in {\mathbb{P}}^5:p_{1,2}{p}_{3,4}-p_{1,3}{p}_{2,4}+p_{1,4}{p}_{2,3}=0\}.$$

$$\text{got}{G}^{[0]}=\{L\in \text{got}G:\exists i,j\text{mit}{p}_{i,j}=0\}.$$

$$\mathbf{p}=(p_{1,2},p_{1,3},p_{1,4},p_{2,3},p_{2,4},p_{3,4})$$

$$\text{got}{E}_{i,j}=\{\mathbf{p}=(p_{1,2},p_{1,3},p_{1,4},p_{2,3},p_{2,4},p_{3,4})\in {\mathbb{R}}^6:p_{i,j}=1\}\subset {\mathbb{R}}^6$$

$$\text{got}{G}_{i,j}=\{\mathbf{p}\in \text{got}{E}_{i,j}:p_{1,2}{p}_{3,4}-p_{1,3}{p}_{2,4}+p_{1,4}{p}_{2,3}=0\}\subset \text{got}{E}_{i,j},$$

$$\text{got}{V}_{i,j}=\{\mathbf{p}\in \text{got}{E}_{i,j}:|p_{l,k}|⩽1,l<k\},\text{got}{W}_{i,j}=\{\mathbf{p}\in \text{got}{V}_{i,j}:p_{1,2}{p}_{3,4}-p_{1,3}{p}_{2,4}+p_{1,4}{p}_{2,3}=0\}$$

$$\text{got}W=\bigcup _{i<j}\text{got}{W}_{i,j}.$$

$$\pi :\text{got}G\to \text{got}W,L\text{mit Koordinaten}\text{got}p\mapsto \mathbf{p},$$

$$\pi :\text{got}G\setminus \left({\pi }^{-1}\left(\partial \text{got}W\right)\right)\to \text{got}W\setminus \left(\partial \text{got}W\right)$$

$$\partial \text{got}W=\text{got}W\cap \left(\bigcup _{i<j}\{\mathbf{p}\in \text{got}{V}_{i,j}:\exists (k,l)\text{mit}{p}_{k,l}=-1\}\right)$$

$$\mathbf{p}=(p_{1,2},p_{1,3},p_{1,4},p_{2,3},p_{2,4},p_{3,4})\in \text{got}{W}_{i_1,i_2}.$$

$$p_{i_1,i_2}{p}_{i_3,i_4}-p_{i_1,i_3}{p}_{i_2,i_4}+p_{i_1,i_4}{p}_{i_2,i_3}=0,$$

Full text

Über die Winkel zwischen Unterräumen

Nikolay Moshchevitin111Diese Arbeit wurde an der Nationalen Pazifik-Universität durchgeführt und durch RNF unterstützt (Grant no. 18-41-05001)

Abstract. We prove a metric statement about approximation of a $n$-dimensional linear subspace $A$ in $\mathbb{R}^{d}$ by $n$-dimensional rational subspaces. We consider the problem of finding a rational subspace $B$ of bounded height $H=H(B)$ for which the angle of inclination $\psi(A,B)$ is small in terms of $H$. In the simplest case $d=4,n=2$ we give a partial solution of a problem formulated by W.M. Schmidt in 1967.

AMS Subject Classification: 11J13.

**Keywords: Diophantine Approximation, subspaces, angles of inclination. **

Das Ziel dieser Arbeit ist es, einen neuen metrischen Satz über Approximationen der $n$-dimensionalen reelen Unterräume von $\mathbb{R}^{d}$ durch $n$-dimensionale rationale Unterräume zu beweisen. Die wichtigsten Fragen zur Theorie dieser Approximationen wurden im Jahr 1967 von W.M. Schmidt formuliert [5]. Hier beschränken wir uns auf den einfachsten Fall $d=4,n=2$, den Schmidt betrachtet hat. Wir formulieren unseren Hauptsatz (Satz 1) in Sektion 1 und in den Sektionen 2 bis 6 geben wir den vollständigen Beweis. In Sektion 7 formulieren wir einen allgemeinen Satz ohne Beweis.

1. Winkel zwischen Unterräumen.

Wir betrachten den $d$-dimensionalen euklidischen Raum $\mathbb{R}^{d}$ mit Koordinaten $(z_{1},...,z_{d})$ versehen mit dem Skalarprodukt

[TABLE]

Weiters bezeichnen wir die euklidische Norm des Vektors $\boldsymbol{z}$ mit

[TABLE]

Sei

[TABLE]

der euklidische Abstand zwischen den Mengen $\mathcal{A}_{1}$ und $\mathcal{A}_{2}$. Mit

[TABLE]

bezeichnen wir die $\varepsilon$-Umgebung der Menge $\mathcal{A}\subset\mathbb{R}^{d}$.

Gegeben sei das Gitter $\mathbb{Z}^{d}\subset\mathbb{R}^{d}$. Für jeden linearen $n$-dimensionalen Unterraum $L\subset\mathbb{R}^{d}$ betrachten wir das Gitter $\Gamma_{L}=L\cap\mathbb{Z}^{d}$. Der Unterraum $L$ heißt rational, wenn der Rang des Gitters $\Gamma_{L}$ gleich der Dimension des Unterraums $L$ ist. Für einen $n$-dimensionalen rationalen Unterraum $L$ definieren wir die Höhe $H(L)$ des Unterraums $L$ als die Gitterdiskriminante des Gitters $\Gamma_{L}$. Es ist klar, dass $H(L)\geqslant 1$ und $(H(L))^{2}\in\mathbb{Z}$ gelten muss. Es sei

[TABLE]

die Oberfläche der Einheitskugel im $\mathbb{R}^{d}$. Wir definieren den Winkel $\psi(L_{1},L_{2})$ zwischen zwei Unterräumen $L_{1}$ und $L_{2}$ durch

[TABLE]

wobei $\omega_{L}=L\cap\hbox{\got S},$ und $\sigma(\boldsymbol{w},\boldsymbol{z})$ den Winkel zwischen den Vektoren $\boldsymbol{w}$ und $\boldsymbol{z}$ bezeichnet, also

[TABLE]

Daher entspricht $\sigma(\boldsymbol{w},\boldsymbol{z})$ dem Abstand zwischen den Punkten $\boldsymbol{w}$ und $\boldsymbol{z}$ auf S (in der Notation der Arbeit [5] haben wir daher $\psi(L_{1},L_{2})=\psi_{1}(L_{1},L_{2})$). Es ist klar, dass für $\boldsymbol{w},\boldsymbol{z}\in\hbox{\got S}$ die Ungleichung

[TABLE]

gilt.

1967 bewies W. M. Schmidt [5] viele Resultate über diophantische Approximationen mit Unterräumen, darunter die folgenden Sätze A und B bewiesen (siehe Theorem 12 und Theorem 16 sowie Corollary 2 aus [5]).

Satz A. Seien $n,k$ positive ganze Zahlen mit $n+k\leqslant d$. Es gibt eine positive Konstante $C_{1}$ mit der folgenden Eigenschaft.

Für jeden $n$-dimensionalen Unterraum $A$ und jedes $H>1$ gibt es einen rationalen $k$-dimensionalen Unterraum $B$ mit

(i)*      $H(B)\leqslant H$,*

(ii)*     $\psi(A,B)\leqslant C_{1}H^{-\frac{(d-1)n}{(d-n)(d-k)}}\cdot(H(B))^{-\frac{d-1}{d-k}}.$*

Insbesondere wenn $A\cap B^{\prime}=\{\boldsymbol{0}\}$ für alle $k$-dimensionalen rationalen Unterräume $B^{\prime}$ gilt, gibt es unendlich viele $k$-dimensionale rationale Unterräume $B$ mit

[TABLE]

Satz B. Seien $n,k$ positive ganze Zahlen mit $n+k\leqslant d$. Dann gibt es ein positives $C_{2}$ und einen $n$-dimensionalen Unterraum $A$ mit der folgenden Eigenschaft. Für jeden rationalen $k$-dimensionalen Unterraum $B$ hat man

[TABLE]

Im einfachsten Fall $k=1$ ist Satz 1 analog zum Schubfachprinzip von Dirichlet (siehe [1], Ch.1, Theorem VI, oder [6], Ch.2). Ebenfalls für $k=1$ ist Satz B analog zu der Behauptung aus dem Buch [1] (siehe [1], Ch.1, Theorem VIII), die auf Perron [4] zurück geht. Der Beweis von Satz A für $k>1$ basiert auf mehreren Anwendungen des Minkowskischen Gitterpunktsatzes. Der Unterraum $A$ aus Satz B wurde mittels algebraischer Zahlen konstruiert.

Betrachten wir nun den Fall $d=4,n=k=2$. Dann lauten die Aussagen der Sätze A und B kurz wie folgt:

a) für jeden $2$-dimensionalen Unterraum $A$ und jedes $H>1$ gibt es einen rationalen $2$-dimensionalen Unterraum $B$ mit

[TABLE]

b) es gibt einen $2$-dimensionalen Unterraum $A$ mit

[TABLE]

In [5],§16 stellt Schmidt die Frage nach dem bestmöglichen Exponenten in den Behauptungen a) und b). Nun formulieren wir eine Verschärfung der Behauptung b).

Satz 1.  Sei $\omega(j)\geqslant 0,j\geqslant 1,$ eine positive monoton fallende Funktion mit

[TABLE]

Dann gibt es für fast jeden 2-dimensionalen Unterraum $A\subset\mathbb{R}^{4}$ eine positive Konstante $C(A)$ mit

[TABLE]

Insbesondere existiert für jedes $\varepsilon>0$ für fast jeden 2-dimensionalen Unterraum $A\subset\mathbb{R}^{4}$ eine positive Konstante $C(A,\varepsilon)$ sodass

[TABLE]

Auf der Menge der Unterräme existiert ein invariantes Maß  (siehe zum Beispiel [7], Ch. 13), dessen Verwendung kann hier allerdings umgangen werden. In der nächsten Sektion erklären wir die Bedeutung von "für fast alle Unterräume". Das $l$-dimensionale Lebesgumaß in $\mathbb{R}^{l}$ sei nach folgend mit $\mu_{l}(\cdot)$ bezeichnet.

2. Projektionen und die Mengen von Unterräumen.

Sei $L$ ein zweidimensionaler linearer Unterraum des Raumes $\mathbb{R}^{4}$ und sei

[TABLE]

eine Basis des Raums $L$. Wir definieren

[TABLE]

und betrachten die homogenen Plücker-Koordinaten

[TABLE]

des Unterraums $L$. Die Menge der zweidimensionalen Unterräume des $\mathbb{R}^{4}$ kann mit der Graßmann-Mannigfaltigkeit $\hbox{\got G}=\hbox{\got G}(2,2)$ identifiziert werden (siehe [3]). Die Graßmann-Mannigfaltigkeit G ist eine Mannigfaltigkeit im reellen projektiven Raum $\mathbb{P}^{5}$, die mittels Plücker-Koordinaten definiert werden kann:

[TABLE]

Diese Darstellung liefert eine Bijektion zwischen der Menge der zweidimensionalen Unterräume und $\hbox{\got G}.$ In der Folge identifizieren wir die Unterräume von $\mathbb{R}^{4}$ mit den Punkten von G. Weiters betrachten wir die Menge

[TABLE]

Wir schreiben Punkte in $\mathbb{R}^{6}$ als

[TABLE]

und betrachten für $i<j$ die affinen Unterräume

[TABLE]

sowie die Mengen

[TABLE]

[TABLE]

und

[TABLE]

Dann gibt es eine Karte

[TABLE]

die im Allgemeinen nicht bijektiv ist, sondern lediglich die eingeschränkte Karte

[TABLE]

ist bijektiv. Hier ist

[TABLE]

die "Grenze" der Menge W.

Sei $i_{1},i_{2},i_{3},i_{4}$ eine Permutation der Folge $1,2,3,4$ mit $i_{1}<i_{2},i_{3}<i_{4}$ und

[TABLE]

Dann ist

[TABLE]

und für $p_{i,j}$ hat man

[TABLE]

mit reellen $\ell_{i,j}\in[-1,1]$ und $\Delta(\boldsymbol{\ell})=\ell_{1,1}\ell_{2,2}-\ell_{2,1}\ell_{1,2}\in[-1,1]$.

Nun möchten wir eine einfache Behauptung formulieren, die sofort aus den Eigenschaften der Karte $\pi$ folgt.

Hilfssatz 1.  Sei $L\subset\mathbb{R}^{4}$ ein $2$-dimensionaler Unterraum. Dann gibt es eine Permutation $i_{1},i_{2},i_{3},i_{4}$, so dass man in den Koordinaten

[TABLE]

die Identität

[TABLE]

mit $\ell_{i,j}$ aus (3) hat. Insbesondere ist

[TABLE]

Beweis. Wir betrachten nur den Fall $\boldsymbol{p}\in\hbox{\got W}_{1,2}$ und $(i_{1},i_{2},i_{3},i_{4})=(1,2,3,4)$. Dann sind

[TABLE]

und

[TABLE]

Lösungen des Systems

[TABLE]

und die Vektoren (2) erfüllen die Gleichungen aus (4).$\Box$

Wir definieren nun die Mengen

[TABLE]

[TABLE]

und die Karten

[TABLE]

und

[TABLE]

wobei die reellen Zahlen $\ell_{i,j}$ durch (3) definiert wurden und

[TABLE]

die "Grenze" der Menge $\hbox{\got W}_{i,j}$ ist. Betrachten wir die Mengen

[TABLE]

und

[TABLE]

so haben wir die bijektive Karte

[TABLE]

definiert, wobei $\pi(L)\in\hbox{\got E}_{i,j}$ und $\ell_{i,j}$ durch (3) definiert wurden.

Für eine Menge $\hbox{\got A}\subset\hbox{\got G}$ definieren wir die Projektionen

[TABLE]

Nun erklären wir die Bedeutung des Satzes 1. Die Behauptung gilt "für fast alle Unterräume" wenn man für die Ausnahmemenge $\hbox{\got A}\subset\hbox{\got G}$

[TABLE]

hat. Wir bemerken an dieser stelle noch, dass

[TABLE]

gilt. Insbesondere ist die Grenze eine Nullmenge.

Wir brauchen mehrere Projektionen. Wir definieren die Karte

[TABLE]

[TABLE]

sodass $\lambda_{i,j;k,l}$ die zentrale Projektion aus $\hbox{\got E}_{i,j}$ nach $\hbox{\got E}_{k,l}$ ist . Weiters setzen wir

[TABLE]

Sei $\delta>0$. Wir definieren die Mengen

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

und

[TABLE]

Es ist nun klar, dass $\nu_{i,j;i,j}({\mathcal{E}}(\delta))={\mathcal{E}}(\delta).$

Hilfssatz 2.  Für $(i,j)\neq(k,l)$ hat man

[TABLE]

Beweis. Es genügt, die Karten $\nu_{1,2;k,l}$ mit $(k,l)=(3,4)$ oder $(k,l)\in\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}$ zu betrachten.

Falls $(k,l)=(3,4)$, betrachten wir den Unterraum $L=(\pi^{-1}\circ\nu_{1,2}^{-1})(\ell)$ mit $\ell\in\mathcal{E}(\delta)$. Dann kann $L$ sowohl durch die Gleichungen

[TABLE]

als auch durch die anderen Gleichungen

[TABLE]

definiert werden. Also ist \left(\begin{array}[]{cc}\ell_{1,1}^{\prime}&\ell_{1,2}^{\prime}\cr\ell_{2,1}^{\prime}&\ell_{2,2}^{\prime}\end{array}\right) die Inverse der Martix von \left(\begin{array}[]{cc}\ell_{1,1}&\ell_{1,2}\cr\ell_{2,1}^{\prime}&\ell_{2,2}\end{array}\right) und

[TABLE]

Die Fälle $(k,l)=(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)$ sind ähnlich. Wir betrachten den Fall $(k,l)=(1,3)$. Dann wird der Unterraum $L$ durch die Gleichungen (13) definiert, und wieder können wir denselben Unterraum $L$ auch durch die Gleichungen

[TABLE]

definieren. Daraus ergibt sich, dass

[TABLE]

und $\max_{i,j}|\ell_{i,j}^{\prime}|\leqslant\frac{1}{\delta}$ ist.$\Box$

3. Die Ausnahmemenge.

Für einen rationalen Unterraum $B$ definieren wir die Mengen

[TABLE]

Sei $\hbox{\got Q}\subset\hbox{\got G}$ die Menge aller rationalen zweidimensionalen Unterräume. Dann ist die Ausnahmemenge von Satz 1 durch

[TABLE]

gegeben. Sei $\mathcal{A}_{i,j}(B,\varepsilon)=\nu_{i,j}\left(\hbox{\got A}_{i,j}^{[1]}(B,\varepsilon)\right)$. Aus (7) folgt, dass, um den Satz 1 zu beweisen, es genügt zu zeigen, dass die Mengen

[TABLE]

Nullmengen sind. Mehr noch, wenn wir die Mengen

[TABLE]

betrachten, haben wir

[TABLE]

Das heißt, um den Satz 1 zu beweisen genügt es zu beweisen, dass für jedes $\delta>0$ die Mengen

[TABLE]

Nullmengen sind.

Es gilt

[TABLE]

wo jedes $B\in\hbox{\got Q}_{i_{1},i_{2}}$ wie in (4) mit $x_{1}=z_{i_{1}},x_{2}=z_{i_{2}},y_{1}=z_{i_{3}},y_{2}=z_{i_{4}}$ dargestellt werden kann, nämlich, durch

[TABLE]

Es ist klar, dass $\Omega\subset{\mathcal{E}}(\delta)$ eine Nullmenge ist, dann und nur dann wenn $\nu_{i,j;k,l}(\Omega)\subset\nu_{i,j;k,l}(\mathcal{E}(\delta))$ eine Nullmenge ist. Um Satz 1 zu beweisen, genügt es also zu zeigen, dass für jedes $\delta>0$ und für alle $(k,l)$ und $(i,j)$ die Mengen

[TABLE]

Nullmengen sind.

Wegen $A\in\hbox{\got G}(\delta)$ wobei die Menge $\hbox{\got G}(\delta)$ in (11) definiert ist, kann $A$ als

[TABLE]

dargestellt werden mit

[TABLE]

(siehe (12)). Dann folgt, dass

[TABLE]

wobei wir

[TABLE]

gesetzt haben. Damit haben wir bewiesen, dass

[TABLE]

und Satz 1 folgt.

4. Die Menge $\Omega(B,\varepsilon;\delta)$.

Hilfssatz 3.  Seien $A$ und $B$ zwei Unterräume definiert durch (15) und (14). Dann hat mann, falls $A\cap B\neq\{\boldsymbol{0}\}$, dass

[TABLE]

Beweis. Falls $A\cap B\neq\{\boldsymbol{0}\}$, gibt es $(x_{1},x_{2})\neq(0,0)$ und $(y_{1},y_{2})$ mit

[TABLE]

Dann bekommt man

[TABLE]

und (17) folgt.$\Box$

Für $B$ aus (18) definieren wir die Fläche

[TABLE]

Hilfssatz 4.  *Es gilt $\Omega(B,\varepsilon;\delta)\subset\mathcal{U}_{\varepsilon_{1}}\left(\Sigma_{B}\right)$ mit $\varepsilon_{1}=3\varepsilon\sqrt{2+4\delta^{-2}}$. *

Beweis. Der Beweis verläuft analog zu [2]. Für $A$ mit $\boldsymbol{a}\in\Omega(B,\varepsilon)$ gibt es $\boldsymbol{z}_{A}=(x_{1}^{*},x_{2}^{*},y_{1}^{*},y_{2}^{*})\in\omega_{B}$ mit

[TABLE]

Betrachten wir zwei dreidimensionale Unterräume

[TABLE]

im Raum $\mathbb{R}^{4}=\mathbb{R}^{4}_{[\boldsymbol{z}]}$ mit Koordinaten $\boldsymbol{z}=(x_{1},x_{1},y_{1},y_{2})$, so ist $A=A_{1}\cap A_{2}$, und

[TABLE]

Daraus erhält man wegen $\boldsymbol{a}=(a_{1,2},a_{1,2},a_{2,1},a_{2,2})\in\Pi_{\delta}$ die Abschätzungen

[TABLE]

und

[TABLE]

Nun betrachten wir dreidimensionale affine Unterräume

[TABLE]

mit den Normalvektoren

[TABLE]

die orthogonal zueinander sind. Diese Unterräume sind im euklidischen Raum $\mathbb{R}^{4}=\mathbb{R}^{4}_{[\boldsymbol{c}]}$ mit Koordinaten $(c_{1,1},c_{1,2},c_{2,1},c_{2,2})$ enthalten. Man hat

[TABLE]

Da $\boldsymbol{z}_{A}\in\omega_{B}\subset\hbox{\got S},$ $|b_{i,j}|\leqslant 1,$ haben wir

[TABLE]

und

[TABLE]

Nun gilt für die Menge $\mathcal{Z}=\mathcal{Z}(A)=\mathcal{Z}_{1}\cap\mathcal{Z}_{2}$, dass

[TABLE]

Es gibt daher ein $\boldsymbol{c}^{*}\in\mathcal{Z}(A)$ mit

[TABLE]

Für jeden Unterraum $C\subset\mathbb{R}^{4}_{[\boldsymbol{z}]}$ mit $\boldsymbol{c}\in\mathcal{Z}=\mathcal{Z}(A)$ haben wir $\boldsymbol{z}_{A}\in C\cap B$, sodass $C\cap B\neq\{\boldsymbol{0}\}$ und $\boldsymbol{c}\in\Sigma_{B}$ nach dem Hilfssatz 3 gilt. Also ist $\boldsymbol{c}^{*}\in\Sigma_{B}$ und $\rho(\boldsymbol{a},\Sigma_{B})\leqslant\rho(\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}^{*})\leqslant\varepsilon_{1}$.$\Box$

Es ist klar, dass

[TABLE]

wobei

[TABLE]

und

[TABLE]

Es erweist sich als praktisch, mit anderen Koordinaten

[TABLE]

zu arbeiten. Dann gilt

[TABLE]

und statt der Fläche $\Sigma_{0}$ können wir die Fläche

[TABLE]

betrachten.

5. Über die Umgebung der Fläche $\Sigma$.

Betrachten wir nun die Kugel

[TABLE]

Damit ergibt sich folgender Hilfssatz.

Hilfssatz 5. Für jede $\varepsilon>0$ , $T\geqslant 1$ und $\boldsymbol{Z}\in\mathbb{R}^{4}$ gilt

[TABLE]

Beweis.   Wir betrachten die Parameterdarstellung

[TABLE]

der Fläche $\Sigma$. Dann ist

[TABLE]

das Bild eines beschränkten Gebietes $\mathcal{D}_{T}=\mathcal{D}_{T,\boldsymbol{Z}}\subset\mathbb{R}^{3}$. Betrachten wir den Normalenvektor

[TABLE]

für $\boldsymbol{Z}+\Sigma$ im Punkt $\boldsymbol{\zeta}=\boldsymbol{Z}+\boldsymbol{\zeta}(r,\varphi,\psi)$.

Die Funktion

[TABLE]

gibt eine Parameterdarstellung von $\mathcal{U}_{\varepsilon}(\boldsymbol{Z}+\Sigma)$. Hier wollen wir bemerken, dass diese Funktion surjektiv, aber nicht injektiv ist, und so hat man für $\mathcal{D}\subset\mathbb{R}^{3}$ dass

[TABLE]

wobei $G$ ist die Gramsche Matrix der Vektoren

[TABLE]

Nun erhält man

[TABLE]

und für $|t|\leqslant\varepsilon,r\geqslant{\varepsilon}$ folgt daraus, dass

[TABLE]

Aus der Dreiecksungleichung folgt nun, dass

[TABLE]

gilt. Tatsächlich, falls $\boldsymbol{\gamma}\in\mathcal{U}_{\varepsilon}(\boldsymbol{Z}+\Sigma)\cap\mathcal{K}_{T}$ ist, so gilt für den Punkt $\boldsymbol{\zeta}\in\boldsymbol{Z}+\Sigma$ und $t\in[-\varepsilon,+\varepsilon]$ mit $\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\zeta}+t\boldsymbol{n}_{\boldsymbol{\zeta}}\in\mathcal{K}_{T}$ die Ungleichung $|\boldsymbol{\zeta}-\boldsymbol{\gamma}|\leqslant\varepsilon$. Also haben wir $\boldsymbol{\gamma}\in\mathcal{K}_{T+\varepsilon}$.

Wir betrachten nun die zwei Mengen

[TABLE]

und ihre Bilder

[TABLE]

Für sie haben wir

[TABLE]

Für $\mathcal{D}=\mathcal{D}_{T+\varepsilon}^{[1,\varepsilon]}$ aus (20) und (21) haben wir die Ungleichung

[TABLE]

Nun schätzen wir die Werte von $\mu_{4}\left(\mathcal{W}_{T+\varepsilon}^{[2,\varepsilon]}\right)$ ab. Aus der Dreiecksungleichung folgt

[TABLE]

sodass

[TABLE]

Hilfssatz folgt nun aus (22,23,24).$\Box$

6. Beweis von Satz 1.

Es genügt, (16) zu beweisen. Aus Hifssatz 4, Hilfssatz 5 mit $T\asymp\delta^{-1},\varepsilon\asymp\omega(H)\sqrt{1+2\delta^{-2}}\asymp\omega(H)$ und der Definition der Fläche $\Sigma$ folgt, dass, um (16) zu beweisen, man zeigen muss, dass die Reihe

[TABLE]

konvergiert. Sei dazu

[TABLE]

Es ist bekanntlich so, dass

[TABLE]

[TABLE]

(siehe Theorem 3 aus [5]). Mit Hilfe der abelschen partiellen Summation erhalten wir

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Daraus folgt, dass (25) konvergiert, falls (1) konvergiert.$\Box$

7. Eine Verallgemeinerung.

Hier möchten wir eine allgemeine Aussage formulieren, die mit der Methode dieses Artikels bewiesen werden kann. Wir formulieren sie ohne Beweis.

Satz 2.  Sei $d=2s$. Sei $\omega(j)\geqslant 0,j\geqslant 1$ eine monoton fallende Funktion. Angenommen die Reihe

[TABLE]

konvergiert. Dann gibt es für fast jeden $s$-dimensionalen Unterraum $A\subset\mathbb{R}^{d}$ eine positive Konstante $C(A)$ mit

[TABLE]

**Bemerkung. ** Für $n=k=s,d=2s$ folgt aus Satz B, dass es einen $s$-dimensionalen Unterraum $A$ mit

[TABLE]

gibt. Aus Satz 2 folgt die Verschärfung: für jedes $\varepsilon>0$ gibt es einen $s$-dimensionalen Unterraum $A$ mit

[TABLE]

Der Beweis dieses allgemeines Resultates verläuft analog zu jenem von Satz 1. Die Hauptunterschied besteht darin, dass statt der quadratischen Fläche (18) man für die Matrix

[TABLE]

eine nicht quadratische Fläche

[TABLE]

betrachten und die Ungleichung

[TABLE]

beweisen muss.

Literaturverzeichnis

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R. Schneider, W. Weil,   Stochastic and Integral Geometry, Springer, 2008.

Autor: Nikolay Moshchevitin,

Nationale Pazifik-Universität, Russland;

e-mail: moshchevitin@rambler.ru, moshchevitin@gmail.com