Spectral properties and approximations of joinings for infinite rank-one actions

TL;DR

This paper investigates the spectral properties of infinite rank-one transformations, revealing complex behaviors of their joinings and spectra, including the existence of transformations with mixed spectral types depending on parameters.

Contribution

It introduces a class of infinite rank-one transformations with polynomial weak closure, exhibiting minimal self-joinings and novel spectral phenomena.

Findings

Existence of transformations with simple singular spectrum for certain powers

Transformations with Lebesgue spectrum for other powers

Similar spectral effects in Gaussian and Poisson suspensions

Abstract

An ergodic self-joining of an infinite rank-one transformation is a part of the weak limit of off-diagonal measures. A class of uncountaible cardinality of nonisomorphic transformations with polynomial weak closure is presented. Such actions have minimal self-joinings and some unusual spectral properties. For any set $M$ of positive integers there exists an infinite transformation $T$ such that the products $T\otimes T^m$ have simple singular spectrum as $1<m\in M$, and Lebesgue spectrum as $1<m\notin M$. There are similar effects for the corresponding Gaussian and Poisson suspensions.

Equations

$${\xi }_j=\{E_j,T{E}_j,T^2{E}_j,\dots ,T^{h_j}{E}_j,{\tilde{E}}_j\}$$

$${\Delta }^n={\Delta }_{T^n}.$$

$${\Delta }^{k(j)}\to \frac{1}{2}\nu +{\nu }^{\prime }.$$

$$(Pf,g)={\int }_{X\times X}f\otimes gd\nu .$$

$$T^{k(j)}\to \frac{1}{2}P+P^{\prime },$$

$$C_j^k=\underset{i=0}{\overset{h_j-k}{⨆}}{T}^{i+k}{E}_j\times T^i{E}_j,k\in [0,h_j],$$

$$C_j^k=\underset{i=0}{\overset{h_j+k}{⨆}}{T}^i{E}_j\times T^{i-k}{E}_j,k\in [-1,-h_j].$$

$${\Delta }_j^k(A\times B)={\Delta }^k((A\times B)\cap C_j^k),k\in [-h_j,h_j],$$

$$\sum _{|k|\le h_j}{a}_j^k{\Delta }_j^k(A\times B)\to \nu (A\times B),j\to \infty ,$$

$$a_j^k\ge 0,\sum _{|k|\le h_j}{a}_j^k\to a,1\le a\le 2.$$

$$\sum _{|k|\le h_j}{c}_j^k{\Delta }_j^k(A\times B)\to c\nu (A\times B),j\to \infty ,$$

$$c_j^k\ge 0,\sum _{|k|\le h_j}{c}_j^k=1.$$

$$D(\epsilon ,j):=\{k:{\Delta }_j^k(A\times B)-c\nu (A\times B)>\epsilon \}.$$

$$\sum _{k\in D(\epsilon ,j)}{c}_j^k\to 0.$$

$$\sum _{k\in D(\epsilon ,j)}{c}_j^k\to c^{\prime }>0.$$

$$\sum_{|k|\leq h_{j}}\tilde{c}_{j}^{k}=1,\ \sum_{k\in D(\varepsilon,j)}\tilde{c}_{j}^{k}\Delta^{k}_{j}\to\tilde{c}\nu.\$$

$$\sum_{k\in D(\varepsilon,j)}\tilde{c}_{j}^{k}\Delta^{k}_{j}(A\times B)\geq(c+\varepsilon)\nu(A\times B),\$$

$$\bar{D}(\epsilon ,j):=\{k:{\Delta }_j^k(A\times B)-c\nu (A\times B)<-\epsilon \},$$

$$\sum _{k\in \bar{D}(\epsilon ,j)}{c}_j^k\to 0.$$

$${\Delta }_j^k(A\times B)-c\nu (A\times B)\ge c^{\prime \prime }\epsilon .$$

$${\Delta }_j^{k(j)}(A\times B)\to c\nu (A\times B),c\ge \frac{1}{2}.$$

$${\Delta }^{k(j)}\to \frac{1}{2}\nu +{\nu }^{\prime }.$$

$$Lim(T^n)=\{2^{-m}{T}^s:m\ge 1,s\in \mathbf{Z}\}\cup \{0\}.$$

$${\bar{s}}_j=(s_j(1),s_j(2),\dots ,s_j(r_j-1),s_j(r_j)),s_j(i)\ge 0.$$

$$E_j,T{E}_j,T^2{E}_j,\dots ,T^{h_j-1}{E}_j,$$

$$E_j^i,T{E}_j^i,T^2{E}_j^i,\dots ,T^{h_j-1}{E}_j^i,T^{h_j}{E}_j^i,T^{h_j+1}{E}_j^i,\dots ,T^{h_j+s_j(i)-1}{E}_j^i.$$

$$T^{h_j+s_j(i)}{E}_j^i=E_j^{i+1}$$

$$E_{j+1},T{E}_{j+1},T^2{E}_{j+1},\dots ,T^{h_{j+1}-1}{E}_{j+1},$$

$$h_{j+1}=h_j{r}_j+\sum _{i=1}^{r_j}{s}_j(i).$$

$$\sum _j\sum _{i=1}^{r_j}\frac{s_j(i)}{h_j{r}_j}=\infty .$$

Full text

1 Аппроксимации самоприсоединений преобразования ранга 1

Действия ранга 1 в эргодической теории представляют интерес по разным причинам. Они позволяют строить динамические системы с разнообразными алгебраическими, асимптотическими и спектральными свойствами (см., например, [1],[2]). Cтруктуры самоприсоединений (self-joinings), факторов и централизатора действия ранга 1 связаны с его слабым замыканием. Например, в [12] доказано, что для пространства с конечной мерой централизатор преобразования ранга один лежит в слабом замыкании его степеней. Аналог этого утверждения в случае бесконечного пространства был установлен только для перемешивающих действий [4] (см. также [5]).

В предлагаемой заметке будет получена частичная аппроксимируемость эргодических самоприсоединений бесконечного преобразования ранга 1 сдвигами диагональной меры. Этот факт обобщает результат работы [4] и применяется к классу неперемешивающих конструкций с полиномиальным слабым замыканием: для них получено свойство минимальных самоприсоединений. Предъявляется континуум неизоморфных преобразований с полиномиальным слабым замыканием. Они обладают сингулярным спектром, но попарные свертки их спектральных мер являются лебеговскими. Гауссовские и пуассоновские надстройки над ними также обладают сингулярным спектром, а тензорные произведения надстроек имеют лебеговскую компоненту в спектре. Модификация конструкций позволяет получать разнообразие спектральных свойств тензорных произведений степеней преобразования.

Напомним необходимые определения. Сохраняющее меру обратимое преобразование $T:X\to X$ пространства Лебега $(X,\mu)$ имеет ранг 1, если существует последовательность

[TABLE]

измеримых разбиений пространства $X$ таких, что $\xi_{j}$ стремится к разбиению на точки. Это означает, что любое множество конечной меры сколь угодно точно для всех достаточно больших $j$ приближается $\xi_{j}$-измеримыми множествами.

Cамоприсоединением преобразования $T$, называется мера $\nu$ на $X\times X$, для которой выполнены следующие свойства:

$(T\times T)\nu=\nu$, 2. 2.

$\nu(X\times A)=\nu(A\times X)=\mu(A)$ для любого множества $A$ конечной меры.

Пусть обратимое сохраняющее меру преобразование $S$ коммутирует с $T$. Рассмотрим меру $\Delta_{S}$ на $(X\times X)$, определенную равенством $\Delta_{S}=(Id\times S)\Delta$, где $\Delta$ – диагональная мера: $\Delta(A\times B)=\mu(A\cap B)$. Так как $S$ коммутирует с $T$, то мера $\nu=\Delta_{S}$ удовлетворяет условию инвариантности $(T\times T)\nu=\nu$.

Отображение $x\rightarrow(x,Sx),x\in X$, задает изоморфизм между системами $(T,X,\mu)$ и $(T\times T,X\times X,\Delta_{S})$. Следовательно, если мера $\mu$ эргодическая, то мера $\Delta_{S}$ также будет эргодической. В частности, эргодическими самоприсоединениями эргодического преобразования $T$ будут все меры вида

[TABLE]

Если же у преобразования нет эргодических самоприсоединений, отличных от $\Delta_{T^{n}}$, говорят, что оно обладает минимальными самоприсоединениями (minimal self-joinings). Действие с минимальными самоприсоединениями обладает тривиальным централизатором, то есть коммутирует только со своими степенями.

**Теорема 1. **Если $\nu$ – эргодическое самоприсоединение бесконечного преобразования $T$ ранга 1, то для некоторой последовательности $k(j)$ и некоторой меры $\nu^{\prime}$ выполнено

[TABLE]

Оператор $P$ в $L_{2}(X,\mu)$ называем марковским, если $P$ положителен, т.е. сопоставляет неотрицательным функциям неотрицательные, и операторы $P,P^{\ast}$ сохраняют интеграл. Самоприсоединениям преобразования $T$ отвечают марковские операторы, коммутирующие с $T$ (в заметке $T$ обозначает и преобразование и соответствующий ему оператор: $Tf(x)=f(Tx)$). Эта связь задается формулой

[TABLE]

На операторном языке утверждение теоремы 1 имеет вид

[TABLE]

где марковский оператор $P$ отвечает самоприсоединению $\nu$, а $P^{\prime}$ – некоторый положительный оператор.

**Следствие. ***Если слабое замыканине действия преобразования $T$ ранга 1 полиномиально, т.е. состоит из линейных комбинаций степеней этого преобразования, то $T$ обладает минимальными самоприсоединениями. *

Действительно, эргодическое самоприсоединение $\nu$ есть некоторая линейная комбинация мер $\Delta^{k}$,$k\in\bf Z$, но в силу его эргодичности оно может состоять только из одной эргодической компоненты. Следовательно, $\nu=\Delta^{n}$.

2 Доказательство теоремы 1

Так как $T$ – преобразование ранга один, найдется последовательность разбиений $\{E_{j},\ TE_{j},\ T^{2}E_{j},\ \dots,T^{h_{j}}E_{j},\tilde{E}_{j}\}$, стремящаяся к разбиению на точки. Определим множества

[TABLE]

[TABLE]

Обозначим $\Delta^{k}=\Delta_{T^{k}}$, определим меру $\Delta^{k}_{j}$ равенством

[TABLE]

где $A,B$ – множества конечной меры. В работе [4] показано, что

[TABLE]

причем будут выполнены условия

[TABLE]

Положив $c_{j}^{k}=a_{j}^{k}/a$, перепишем приведенное утверждение в виде

[TABLE]

где

[TABLE]

Пусть далее последовательность $c_{j}^{k}$, удовлетворяющая указанным условиям, выбирана так, чтобы число $c$ было максимальным ($\frac{1}{2}\leq c\leq 1$). Положим

[TABLE]

Покажем, что для множеств $A,B$ конечной меры, $\nu(A\times B)>0$, выполняется

[TABLE]

Если это не так, то для некоторой подпоследовательности $j_{n}$, которую снова обозначим через $j$, имеем

[TABLE]

Из этого, как мы увидим, следует, что выбранное число $c$ не является максимальным. Действительно, положив $\tilde{c}_{j}^{k}=\frac{c_{j}^{k}}{c^{\prime}}$ для $k\in D(\varepsilon,j)$ и $\tilde{c}_{j}^{k}=0$ для остальных $k$, получим

[TABLE]

Сходимость к $c\nu$ имеет место по причине того, что предельная мера инвариантна относительно $T\times T$ и абсолютно непрерывна относительно эргодической меры $\nu$. При $\nu(A\times B)>0$ имеем

[TABLE]

следовательно, $\tilde{c}>c$. Это противоречит максимальности числа $c$.

Обозначая

[TABLE]

получим

[TABLE]

Иначе некоторая подпоследовательность этих сумм болше, чем $c^{\prime\prime}>0$. Тогда, переходя к рассмотрению комбинаций мер $\Delta^{k}_{j}$ для номеров $k$ вне множества $\bar{D}(\varepsilon,j)$, получим, что в среднем для них выполняется

[TABLE]

Это противоречит максимальности числа $c$.

Таким образом, для весового большинства номеров $k$ (когда сумма $c^{k}_{j}$ по таким $k$ близка к 1) значения $\Delta^{k}_{j}(A\times B)$ близки к $c\nu(A\times B)$. Диагональным методом для любого счетного набора пар $A,B$, множеств конечной меры, удовлетворяющих условию $\nu(A\times B)>0$, можно выбрать последовательность $k(j)$ такую, что

[TABLE]

Пусть такой набор плотен в семействе всех пар множеств конечной меры. В силу проекционных свойств рассматриваемых мер сходимость имеет место для любых пар множеств $A,B$ конечной меры. Отсюда сразу следует, что

[TABLE]

Теорема доказана.

3 Действия с полиномиальным слабым замыканием

Бесконечные преобразования $T$, обладающие свойством $T^{k}\to_{w}0$ при $k\to\infty$, называются перемешивающими. Для них полугруппа слабых пределов степеней $Lim(T^{n})$ есть $\{0\}.$ Мы рассмотрим преобразования с нетривиальной полиномиальной полугруппой. Пример такого преобразования $T$ имеется в заметке [6], где доказано, что

[TABLE]

В этом параграфе будет приведено континуальное семейство попарно неизоморфных преобразований с полиномиальным слабым замыканием.

**Конструкция преобразования ранга 1. **Фиксируем натуральное число $h_{1}$ (высота башни на этапе 1), последовательность $r_{j}\to\infty$ ($r_{j}\geq 2$ – число колонн, на которое разрезается башня на этапе $j$) и последовательность целочисленных наборов

[TABLE]

Параметры $r_{j}$, $\bar{s}_{j}$ полностью определяют конструкцию преобразования ранга 1, напомним ее описание.

Пусть на шаге $j\geq 1$ определена система непересекающихся полуинтервалов, одинаковой длины (башня высоты $h_{j}$)

[TABLE]

причем на на полуинтервалах $E_{j},TE_{j},\dots,T^{h_{j}-2}E_{j}$ пребразование $T$ действует как перенос полуинтервалов.

Представим $E_{j}$ как дизъюнктное объединение полуинтервалов $E_{j}^{i}$, $1\leq i\leq r_{j}$, одинаковой длины. Набор $E_{j}^{i},TE_{j}^{i},T^{2}E_{j}^{i},\dots,T^{h_{j}-1}E_{j}^{i}$ называется $i$-ой колонной этапа $j$. К этому набору добавим $s_{j}(i)$ полуинтервалов меры $\mu(E_{j}^{i})$, получая набор непересекающихся полуинтервалов

[TABLE]

Терерь соберем надстроенные колонны в одну башню, для этого положим

[TABLE]

при $i<r_{j}.$ Обозначая $E_{j+1}=E^{1}_{j}$, получили башню этапа $j+1$:

[TABLE]

где

[TABLE]

Продолжая построение до бесконечности, определяем преобразование $T$ на объединении $X$ всех рассматриваемых полуинтервалов. Преобразование $T$ обратимо и сохраняет меру Лебега. Мера пространства $Х$ бесконечна, если выполнено

[TABLE]

Преобразование ранга 1 является эргодическим и имеет простой спектр.

Примеры. Рассмотрим следующий класс конструкций. Пусть $r_{j}=r\geq 2$ и выполнено

[TABLE]

$...<<...$ означает, что отношение левой части к правой стремится к 0 при $j\to\infty$. Если последовательность $n(k)$ имеет вид

[TABLE]

причем ${j_{1}(k)}>{j_{2}(k)}>\dots\ >{j_{p}(k)}\to\infty$, то

[TABLE]

Хотя такие последовательности $n(k)$ при $r>2$ не описывают все последовательности с ненулевым пределом для $T^{n(k)}$, можно показать, что пределов, отличных от [math] и $\frac{1}{r^{p}}T^{s}$, для такой конструкции нет. Рассмотрим наиболее простой случай.

**Утверждение 1. **Пусть конструкция $T$ задана параметрами $r_{j}=2,$ $s_{j}(1)=0,$ $s_{j}(2)>>h_{j}.$ Тогда $Lim(T^{n})=\{2^{-m}T^{s}:m\geq 1,s\in\bf Z\}\cup\{0\}.$

Доказательство. Фиксируем $\xi_{j_{0}}$-измеримые множества $A,B$. Если

[TABLE]

то для достаточно больших $k$ для некоторой последовательности $j(k)$ выполнется

[TABLE]

Иначе имеем

[TABLE]

Но в этом случае получим $\mu(T^{n(k)}A\cap B)=0$, так как $A,B$ лежат в башне этапа $j(k)-1$, а эта башня не пересекается с ее образом под действием $T^{n(k)}$.

Таким образом, выполнено (3). Обозначим последовательность $j(k)$ через $j_{1}(k)$. Заметим, что пересечение $T^{n(k)}A\cap B$ имеет меру в два раза меньше меры пересечения $T^{n(k)-h_{j(k)}}A\cap B$. Убедимся в этом. Запишем $A=A_{k}\bigsqcup T^{h_{j_{1}(k)}}A_{k}$, где $A_{k}$ – пересечение множества $A$ с первой колонной в башне этапа $j_{1}(k)$, пересечение множества $A$ со второй колонной есть $T^{h_{j_{1}(k)}}A_{k}$. Аналогично представим $B=B_{k}\bigsqcup T^{h_{j_{1}(k)}}B_{k}$. Получаем

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Теперь в (3), рассматриваем вместо последовательности $n(k)$ последовательность $n(k)\pm h_{j_{1}(k)}$. Если она не ограничена, получим

[TABLE]

Продолжая описанную процедуру, т.е. рассматривая вместо последовательности $n(k)$ последовательности $n(k)\pm h_{j_{1}(k)}\pm h_{j_{2}(k)}$ и т.д., для некоторого $m$ получим ограниченную последовательность

[TABLE]

Иначе для любых множеств $A,B$ конечной меры

[TABLE]

что противоречит исходному предположению о том, предел $T^{n(k)}$ ненулевой.

Таким образом, установлено, что $m(k)$ и $s(k):=n(k)\pm h_{j_{1}(k)}\pm h_{j_{2}(k)}\dots\pm h_{j_{m}(k)}$ являются постоянными для всех больших $k$ и выполняется

[TABLE]

4 Спектральные свойства конструкций

Преобразования, описанные в предыдущем параграфе обладают следующим свойством: если для некоторых множеств $A,B$ конечной меры

[TABLE]

(это верно, когда $T^{n(k)}$ имеет ненулевой предел), то для некоторой последовательности ${j(k)}$ имеем

[TABLE]

Это вытекает из (3) с учетом того, что ${h_{j(k)-1}}<<{h_{j(k)}}.$

Континуум неизоморфных преобразований с полиномиальным слабым замыканием. Зафиксируем некоторую конструкцию $T_{1}$ из утверждения 1. Для каждого $a>1$ рассмотрим конструкцию $T_{a}$, у которой соответствующие высоты асимптотически в $a$ раз больше, чем высоты у преобразования $T_{1}$. Рассмотрим $T_{a}$ и $T_{b}$ при $a<b$. Пусть для некоторого оператора $J$ выполнено $T_{a}J=JT_{b},$ тогда

[TABLE]

Пусть $h_{j}$ – последовательность высот для $T_{b}$. Получим

[TABLE]

следовательно, $J=0$. Тем самым мы установили спектральную дизъюнктность преобразований $T_{a}$ и $T_{b}$ при $a<b$.

Интересен тот факт, что все произведения $T_{a}\times T_{b}$ при $a<b$ спектрально изоморфны между собой. Напомним, что преобразование $S$ называется диссипативным, если все пространство представляется как объединение непересекающихся множеств $S^{i}D,i\in\bf Z$ для некоторого измеримого множества $D$. Спектр такого преобразования счетнократный лебеговский.

**Утверждение 2. **При $a<b$ произведение $T_{a}\times T_{b}$ диссипативно.

Доказательство. Для $\xi_{j}$-измеримого множества $A$, $\xi^{\prime}_{j}$-измеримого множества $A^{\prime}$ (оба конечной меры) выполнено

[TABLE]

для всех $k>h^{\prime}_{j}$ при условии, что $\frac{h_{i}}{h_{i}^{\prime}}$ близко к $\frac{a}{b}$ для всех $i\geq j$. Но это условие выполнено для достаточно больших $j$. Таким образом, $A\times A^{\prime}$ лежит в диссипативной части. Увеличивая $A$ и $A^{\prime}$, получим, что диссипативная часть произведения $T_{a}\times T_{b}$ совпадает со всем пространством $X\times X$.

Гауссовские и пуассоновские надстройки. Если $T$ – автоморфизм стандартного бесконечного пространства с мерой, ему соответствуют гаусовская $G(T)$ и пуассоновская $P(T)$ надстройки (см., например, [7]). Автоморфизмы $G(T)$ и $P(T)$ действуют на вероятностном пространстве, как операторы они унитарно эквивалентны

[TABLE]

где $T$ – оператор, отвечающий автоморфизму $T$, $T^{\odot 0}$ – одномерный тождественный оператор, $T^{\odot n}$ – симметрическая тензорная степень оператора $T$.

Таким образом, гауссовские и пуассоновские надстройки обсуждаемых конструкций $T_{a}$ имеют чисто сингулярный спектр, а их попарные тензорные произведения имеют счетнократную лебеговскую компоненту в спектре. Это вытекает из того, что спектр $T_{a}^{\odot m}$ сингулярный, а спектр $T_{a}^{\odot m}\otimes T_{b}^{\odot n}$ лебеговский при $m,n>0$.

О спектре произведений $\bf T\otimes T^{n}$. Слабая сходимость $T_{a}^{h_{j}}\to\frac{1}{2}I$ влечет за собой сингулярность спектра (см. [8], [9]). Спектр $T_{a}\times T_{a}$ также сингулярен, так как

[TABLE]

Но при $n>1$ произведения $T_{a}\times T_{a}^{n}$ имеют счетнократный лебеговский спектр, так как они диссипативны. Доказательство диссипативности произведений $T_{a}\times T_{a}^{n}$ при $n>1$ аналогично доказательству утверждения 2.

Модификации конструкций приводит к любопытным спектральным свойствам, представляющим самостоятельный интерес.

**Теорема 2. **Для любого $N\geq 2$ найдется автоморфизма $T$ такой, что при $1\leq m<n\leq N$ спектр произведения $T^{m}\otimes T^{n}$ простой и сингулярный, тензорные квадраты $T^{m}\otimes T^{m}$, $m\neq 0$, имеют однородный сингулярный спектр кратности 2, а при $n>N$ спектр $T\otimes T^{n}$ счетнократный лебеговский.

Доказательство. Подходящая конструкция ранга 1 задается параметрами:

$r_{j}=N+1$,

$\bar{s}_{j}=(0,0,\dots,0,s_{j}(N),s_{j}(N+1))$,

где $s_{j}(N+1)>>h_{j}$, а последовательнность $s_{j}(N)$ не имеет быстрого роста (скажем, $s_{j}(N)\leq j$) и каждое положительное значение она принимает бесконечное число раз. Например, годится последовательность

[TABLE]

Легко найти континуум незоморфных конструкций, удовлетворяющих указанным требованиям.

Пусть $1\leq n\leq N$, а $j^{\prime}$ пробегает лишь те значения, для которых $s_{j^{\prime}}(N)=p$. Тогда выполняется

[TABLE]

Вычисление таких пределов стандартно (похожие пределы использовались в работе [2]). Для отрицательных значений $p$ рассматриваем последовательность $T^{nh_{j}}$ вместо $T^{-nh_{j}}$. Обозначим через $W_{m,n}$ алгебру фон Неймана, являющуюся наименьшей слабо замкнутой алгеброй, порожденной степенями оператора $T^{m}\otimes T^{n}$. Из (4) следует

[TABLE]

для всех $p^{\prime}\in\bf Z$. Подставляя в (4) $n=N$, получим пределы $\frac{T^{p^{\prime}}}{N+1}$, для всех $p^{\prime}\in\bf Z$. Рассматривая замыкание множества операторов из (5), замечаем, что

[TABLE]

Теперь из (5),(6) и $I\otimes I\in W_{m,n}$ получим

[TABLE]

Положим $p=n$, тогда из инвариантности $W_{m,n}$ относительно оператора $T^{m}\otimes T^{n}$ приходим к

[TABLE]

Из (4) в силу результатов [2] вытекает, что все ненулевые степени $T^{p}$ имеют простой спектр. Рассмотрим циклический вектор $f$ для $T$, он является циклическим для всех степеней $T^{p}$. Поэтому из принадлежности

[TABLE]

для всех $k\in\bf Z$, где $C_{f\otimes f}$ – циклическое пространство с циклическим вектором ${f\otimes f}$ оператора $T^{m}\otimes T^{n}$, следует включение

[TABLE]

Так как $C_{f\otimes f}$ инвариантно относительно $T^{m}\otimes T^{n}$, имеем

[TABLE]

для всех $k\in\bf Z$. Но $f$ – циклический вектор для оператора $T^{n}$, что дает нужное равенство

[TABLE]

Простота спектра $T^{m}\otimes T^{n}$ установлена.

Из известных результатов (см. [2],[10]) вытекает, что $T^{m}\otimes T^{m}$, $m\neq 0$, имеет однородный сингулярный спектр кратности 2.

Осталось отметить, что диссипативность произведений $T\times T^{n}$ при $n>N$ вытекает очевидным образом из условий

[TABLE]

которые выполнены для любых $\xi_{j}$-измеримых множеств $A,B$ (конечной меры) и всех $k>h_{j}$. Теорема доказана.

Похожие рассуждения приводят к следующему результату.

**Теорема 3. **Для любого $M\subset\bf N$ найдется бесконечный автоморфизма $T$ такой, что спектр произведения $T\otimes T^{m}$ простой сингулярный при $m\in M$ и счетнократный лебеговский при $m\notin M$.

5 Заключительные замечания.

Для преобразования $T$ из [6], верно, что произведения $T\otimes T^{n}$ имеют как лебеговский, так и сингулярный спектр для бесконечных множеств значений $n$. Похожими методами для некоторого бесконечного потока $T_{t}$ ранга 1 (см. [5]) можно получить необычное поведение спектральных кратностей произведений $T_{t}\otimes T_{at}$, что будет контрастировать с результатами работ [11],[12].

Действия преобразований, фигурировавших в доказательстве теоремы 2, обладают слабым замыканием с нетривиальной структурой. Последовательность $n(k)$, для которой $T^{n(k)}$ имеет ненулевой предел, обязана иметь вид

[TABLE]

где $m,s$ – некоторые константы, а $\alpha_{i}$ принимают целые значения от $-N$ до $N$. Соответствующие слабые пределы являются полиномами. Из теоремы 1 вытекает, что они обладают минимальными самоприсоединениями, в частности, тривиальным централизатором.

Эффекты, обнаруженные для бесконечных преобразований, в модифицированном виде наследуются гауссовскими и пуассоновскими надстройками, действующими на вероятностном пространстве. В качестве примера приведем следующее утверждение.

**Теорема 4. **Для любого $M\subset\bf N$ найдется пуассоновская надстройка $P$ такая, что спектр произведения $P\otimes P^{m}$ сингулярный при $m\in M$, а при $m\notin M$ в спектре имеется счетнократная лебеговская компонента.

Доказательство этой теоремы и ее вариаций будут даны в отдельной работе.

Тематика этой статьи обсуждалась на семинарах, работающих под руководством Б.М. Гуревича, А.А. Давыдова, Ю.А. Неретина, В.И. Оселедца,

С.А. Пирогова, Я.Г. Синая, А.М. Степина. Автор благодарен им за интерес к его работе.

Список литературы

• [1] D.Rudolph. An example of measure-preserving map with minimal self-joinings, and applications. J. d’Analyse Math., 35 (1979), 97-122
• [2] В. В. Рыжиков. Слабые пределы степеней, простой спектр симметрических произведений и перемешивающие конструкции ранга 1. Матем. сб. 198: 5 (2007), 137–159
• [3] J.L. King. The commutant is the weak closure of the powers, for the rank-1 transformation. Ergod. Th. Dynam. Sys. 6 (1986), 363-384.
• [4]

В. В. Рыжиков, Ж. -П. Тувено. О централизаторе бесконечного перемешивающего преобразования ранга один Функц. анализ и его прил. 49:3 (2015), 88–-91

• [5]

И. В. Климов, В. В. Рыжиков. Минимальные самоприсоединения бесконечных перемешивающих действий ранга 1 Матем. заметки. 102:6 (2017), 851–856

• [6]

А. Ю. Кушнир, В. В. Рыжиков. Слабые замыкания эргодических действий Матем. заметки. 100:6 (2016), 847–854

• [7] Ю.А. Неретин. О соответствии между бозонным пространством Фока и пространством $L^{2}$ по мере Пуассона. Матем. сб., 188:11 (1997), 19-50
• [8]

В. И. Оселедец. Автоморфизм с простым и непрерывным спектром без группового свойства. Матем. заметки. 5:3 (1969), 323–326

• [9]

А. Б. Каток, Я. Г. Синай, А. М. Степин Теория динамических систем и общих групп преобразований с инвариантной мерой. Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. 13(1975), 129–262, ВИНИТИ, М.

• [10]

O. N. Ageev. On ergodic transformations with homogeneous spectrum. J. Dyn. Control Syst. 5:1(1999), 149–152

• [11]

М. С. Лобанов, В. В. Рыжиков. Специальные слабые пределы и простой спектр тензорных произведений потоков Матем. сб. 209:5(2018), 62–73

• [12]

И. В. Климов. Простой спектр тензорных произведений и типичные свойства сохраняющих меру потоков. Матем. заметки. 104:6(2018), 942–944