Topological classification of Liouville foliations for the Kovalevskaya integrable case on the Lie algebra so(4)

TL;DR

This paper analyzes the topology of Liouville foliations in the Kovalevskaya integrable case on so(4), computing invariants and describing parameter stratification to classify the foliations.

Contribution

It provides the first detailed calculation of Fomenko-Zieschang invariants for this specific integrable system on so(4).

Findings

Computed Fomenko-Zieschang invariants for the foliations.

Described the stratification of parameter space.

Classified Liouville foliations for the Kovalevskaya case on so(4).

Abstract

Topology of Liouville foliations for an analogue of the Kovalevskaya integrable case on Lie algebra so(4) is discussed. Fomenko-Zieschang invariants (i.e. marked molecules) were calculated for these foliations on every regular isoenergy submanifold. The corresponding stratification of the three-dimensional space of parameters of these manifolds is described in details.

Figures

Tables

Table 1. Таблица 1: Список молекул с матрицами склейки. Часть 1.

Table 2. Таблица 2: Список молекул с матрицами склейки. Часть 2.

Table 3. Таблица 3: Классификация слоений на связных компонентах Q a , b , h 3 subscript superscript 𝑄 3 𝑎 𝑏 ℎ Q^{3}_{a,b,h} .

класс $L_i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
молекула	1, 7, 11	2, 9	3	4	5	6	8	10	12, 15	13, 31	14	16	17

Table 4. Таблица 4: Новые семейства дуг бифуркационных диаграмм.

символ	дуга бифуркационной диаграммы	атом	семейство торов
${\xi }_1$	$(z_4,z_3),(z_4,z_5),(z_4,z_{11}),(z_4,z_8),(z_7,z_5),(z_7,z_8)$	A	(1)
${\xi }_2$	$(z_3,z_2),(z_5,z_2)$	2 A	(3)
${\xi }_3$	$(z_2,z_1),(z_{10},z_1)$	2 A	(2)
${\xi }_4$	$(z_6,z_5),(z_6,z_8),(z_7,z_5),(z_7,z_8)$	A	(4)
${\xi }_5$	$(z_8,z_9),(z_8,z_{10}),(z_{11},z_{10}),(z_{11},z_9)$	A	(1)

Table 5. Таблица 5: Промежутки X-XII: порядок 3-камер и особых точек.

X.1	$y_1$	1	$y_4$	2	$y_2$	3	$y_3$	4	$z_7$	5	$z_5$	6	$z_2$	7	$z_1$
X.2	$y_1$	1	$y_4$	2	$y_2$	3	$z_7$	8	$y_3$	5	$z_5$	6	$z_2$	7	$z_1$
XI.1	$y_1$	1	$y_4$	2	$z_7$	9	$y_2$	8	$z_8$	10	$z_{10}$	7	$z_1$
XI.2	$y_1$	1	$y_4$	2	$z_7$	9	$z_8$	11	$y_2$	10	$z_{10}$	7	$z_1$
XII	$y_1$	1	$y_4$	2	$z_7$	9	$z_8$	11	$z_9$

Table 6. Таблица 6: Области VI-IX: порядок 3-камер и особых точек.

IX.1	$y_1$	$1$	$y_6$	$2$	$z_4$	$12$	$z_6$	$9$	$z_8$	$11$	$z_9$
IX.2	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_6$	$12$	$z_6$	$9$	$z_8$	$11$	$z_9$
VIII	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$z_{11}$	$11$	$z_9$
VII.1	$y_1$	$1$	$y_6$	$2$	$z_4$	$12$	$z_6$	$9$	$z_8$	$11$	$y_2$	$10$	$z_{10}$	$7$	$z_1$
VII.2	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_6$	$12$	$z_6$	$9$	$z_8$	$11$	$y_2$	$10$	$z_{10}$	$7$	$z_1$
VII.3	$y_1$	$1$	$y_6$	$2$	$z_4$	$12$	$z_6$	$9$	$y_2$	$8$	$z_8$	$10$	$z_{10}$	$7$	$z_1$
VII.4	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_6$	$12$	$z_6$	$9$	$y_2$	$8$	$z_8$	$10$	$z_{10}$	$7$	$z_1$
VII.5	$y_1$	$1$	$y_6$	$2$	$z_4$	$12$	$y_2$	$14$	$z_6$	$8$	$z_8$	$10$	$z_{10}$	$7$	$z_1$
VII.6	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_6$	$12$	$y_2$	$14$	$z_6$	$8$	$z_8$	$10$	$z_{10}$	$7$	$z_1$
VII.7	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_2$	$15$	$y_6$	$14$	$z_6$	$8$	$z_8$	$10$	$z_{10}$	$7$	$z_1$
VI.1	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$z_{11}$	$11$	$y_2$	$10$	$z_{10}$	$7$	$z_1$
VI.2	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_2$	$15$	$z_{11}$	$10$	$z_{10}$	$7$	$z_1$

Table 7. Таблица 7: Область V: порядок 3-камер и особых точек.

V.3	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_2$	$15$	$y_6$	$14$	$z_6$	$8$	$y_3$	$5$	$z_5$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
V.4	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_2$	$15$	$y_6$	$14$	$y_3$	$17$	$z_6$	$5$	$z_5$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
V.5	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$z_4$	$15$	$y_6$	$14$	$y_3$	$17$	$z_6$	$5$	$z_5$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
V.6	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$z_4$	$15$	$y_6$	$14$	$z_6$	$8$	$y_3$	$5$	$z_5$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
V.7	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_6$	$3$	$z_4$	$14$	$z_6$	$8$	$y_3$	$5$	$z_5$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
V.9	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_6$	$3$	$z_4$	$14$	$y_3$	$17$	$z_6$	$5$	$z_5$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
V.12	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_6$	$3$	$y_3$	$4$	$z_4$	$17$	$z_6$	$5$	$z_5$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
V.2	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_6$	$12$	$y_2$	$14$	$z_6$	$8$	$y_3$	$5$	$z_5$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
V.1	$y_1$	$1$	$y_6$	$2$	$z_4$	$12$	$y_2$	$14$	$z_6$	$8$	$y_3$	$5$	$z_5$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
V.8	$y_1$	$1$	$y_6$	$2$	$y_2$	$3$	$z_4$	$14$	$z_6$	$8$	$y_3$	$5$	$z_5$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
V.10	$y_1$	$1$	$y_6$	$2$	$y_2$	$3$	$z_4$	$14$	$y_3$	$17$	$z_6$	$5$	$z_5$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
V.11	$y_1$	$1$	$y_6$	$2$	$y_2$	$3$	$y_3$	$4$	$z_4$	$17$	$z_6$	$5$	$z_5$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$

Table 8. Таблица 8: Область IV: порядок 3-камер и особых точек.

IV.1	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_2$	$15$	$y_6$	$14$	$y_3$	$17$	$y_5$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
IV.2	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$z_4$	$15$	$y_6$	$14$	$y_3$	$17$	$y_5$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
IV.3	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_6$	$3$	$z_4$	$14$	$y_3$	$17$	$y_5$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
IV.4	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_6$	$3$	$y_3$	$4$	$z_4$	$17$	$y_5$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
IV.5	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_6$	$3$	$y_3$	$4$	$y_5$	$19$	$z_4$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$

Table 9. Таблица 9: Область III: порядок 3-камер и особых точек.

III.1	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_2$	$15$	$y_9$	$20$	$y_7$	$21$	$z_3$	$22$	$y_8$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
III.2	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_2$	$15$	$y_9$	$20$	$y_7$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
III.3	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$z_4$	$15$	$y_9$	$20$	$y_7$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
III.4	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_9$	$23$	$z_4$	$20$	$y_7$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
III.5	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_9$	$23$	$y_7$	$24$	$z_4$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
III.6	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_9$	$23$	$y_7$	$24$	$y_8$	$19$	$z_4$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$

Table 10. Таблица 10: Область II: порядок 3-камер и особых точек. Нетривиальная часть.

II.1	$y_1$	$1$	$z_4$	13	$y_2$	$15$	$y_{11}$	$25$	$y_7$	$26$	$z_3$	$27$	$y_{10}$	$22$	$y_8$
II.3	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_2$	$15$	$y_{11}$	$25$	$y_7$	$26$	$y_{10}$	$21$	$z_3$	$22$	$y_8$
II.4	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_2$	$15$	$y_{11}$	$25$	$y_{10}$	$20$	$y_7$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$
II.5	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$z_4$	$15$	$y_{11}$	$25$	$y_{10}$	$20$	$y_7$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$
II.6	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_{11}$	$28$	$z_4$	$25$	$y_{10}$	$20$	$y_7$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$
II.7	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_{11}$	$28$	$y_{10}$	$23$	$z_4$	$20$	$y_7$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$
II.8	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_{11}$	$28$	$y_{10}$	$23$	$y_7$	$24$	$z_4$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$
II.9	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_{11}$	$28$	$y_{10}$	$23$	$y_7$	$24$	$y_8$	$19$	$z_4$	$18$	$z_3$
II.2	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_2$	$15$	$y_{11}$	$25$	$y_{10}$	$20$	$y_7$	$21$	$z_3$	$22$	$y_8$
II.10	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_2$	$15$	$y_{11}$	$25$	$y_7$	$26$	$y_{10}$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$
II.11	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$z_4$	$15$	$y_{11}$	$25$	$y_7$	$26$	$y_{10}$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$
II.12	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_{11}$	$28$	$z_4$	$25$	$y_7$	$26$	$y_{10}$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$
II.13	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_{11}$	$28$	$y_7$	$29$	$z_4$	$26$	$y_{10}$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$
II.14	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_{11}$	$28$	$y_7$	$29$	$y_{10}$	$24$	$z_4$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$
II.15	$y_1$	$1$	$y_2$	$16$	$y_{11}$	$28$	$y_7$	$29$	$y_{10}$	$24$	$y_8$	$19$	$z_4$	$18$	$z_3$

Table 11. Таблица 11: Область I: порядок 3-камер и особых точек.

I.1	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_{12}$	$30$	$z_3$	$31$	$y_{13}$	$27$	$y_{10}$	$22$	$y_8$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
I.2	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_{12}$	$30$	$y_{13}$	$26$	$z_3$	$27$	$y_{10}$	$22$	$y_8$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
I.3	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_{12}$	$30$	$y_{13}$	$26$	$y_{10}$	$21$	$z_3$	$22$	$y_8$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
I.4	$y_1$	$1$	$z_4$	$13$	$y_{12}$	$30$	$y_{13}$	$26$	$y_{10}$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
I.9	$y_1$	$1$	$y_{12}$	$32$	$z_4$	$30$	$z_3$	$31$	$y_{13}$	$27$	$y_{10}$	$22$	$y_8$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
I.10	$y_1$	$1$	$y_{12}$	$32$	$z_4$	$30$	$y_{13}$	$26$	$z_3$	$27$	$y_{10}$	$22$	$y_8$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
I.11	$y_1$	$1$	$y_{12}$	$32$	$z_4$	$30$	$y_{13}$	$26$	$y_{10}$	$21$	$z_3$	$22$	$y_8$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
I.5	$y_1$	$1$	$y_{12}$	$32$	$z_4$	$30$	$y_{13}$	$26$	$y_{10}$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
I.6	$y_1$	$1$	$y_{12}$	$32$	$y_{13}$	$29$	$z_4$	$26$	$y_{10}$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
I.7	$y_1$	$1$	$y_{12}$	$32$	$y_{13}$	$29$	$y_{10}$	$24$	$z_4$	$21$	$y_8$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$
I.8	$y_1$	$1$	$y_{12}$	$32$	$y_{13}$	$29$	$y_{10}$	$24$	$y_8$	$19$	$z_4$	$18$	$z_3$	$6$	$z_2$	$7$	$z_1$

Table 12. Таблица 12: Соответствие обозначений для семейств особых точек.

$\varkappa =0$	$H$	$U_1$	$U_2$	$U_3$	$M_1$	$M_2$	$e_1$	$e_2$	$c_1$	$c_2$	$h_1$	$h_2$
$\varkappa >0$	$y_1$	$y_3$	$y_7$	$y_{12}$	$y_{10}$	$y_{11}$	$y_2$	$y_{13}$	$y_6$	$y_9$	$y_5$	$y_8$

Table 13. Таблица 13: Список молекул с матрицами склейки. Часть 1.

Table 14. Таблица 14: Список молекул с матрицами склейки. Часть 2.

Table 15. Таблица 15: Перестройки меченых молекул для компактного случая Ковалевской.

грань	$p_1$	$p_2$	$p_3$	$p_4$	$p_5$	$p_6$	$p_7$	$p_8$	$p_9$	$p_{10}$	$p_{11}$	$p_{12}$	$p_{13}$	$p_{14}$
точка	$y_1$	$y_2$	$y_3$	$z_5$	$z_2$	$z_1$	$y_3$	$y_2$	$z_8$	$z_{10}$	$z_9$	$y_2$	$z_9$	$y_6$
выше	1	3	5	6	7	$\oslash$	4	8	10	7	11	10	$\oslash$	2
ниже	$\oslash$	2	8	5	6	7	3	9	8	10	9	11	11	1
грань	$p_{15}$	$p_{16}$	$p_{17}$	$p_{18}$	$p_{19}$	$p_{20}$	$p_{21}$	$p_{22}$	$p_{23}$	$p_{24}$	$p_{25}$	$p_{26}$	$p_{27}$	$p_{28}$
точка	$z_4$	$z_6$	$z_4$	$y_6$	$z_{11}$	$y_2$	$z_6$	$y_2$	$y_6$	$z_{11}$	$y_3$	$z_6$	$y_2$	$z_4$
выше	12	9	13	12	11	14	8	15	14	10	17	5	16	15
ниже	2	12	1	13	13	12	14	13	15	15	14	17	1	16
грань	$p_{29}$	$p_{30}$	$p_{31}$	$p_{32}$	$p_{33}$	$p_{34}$	$p_{35}$	$p_{36}$	$p_{37}$	$p_{38}$	$p_{39}$	$p_{40}$	$p_{41}$	$p_{42}$
точка	$y_6$	$z_4$	$z_4$	$y_5$	$z_3$	$y_5$	$z_4$	$y_9$	$y_7$	$z_3$	$y_8$	$y_8$	$y_9$	$z_4$
выше	3	17	14	18	6	19	18	20	21	22	6	18	23	20
ниже	16	4	3	17	18	4	19	15	20	21	22	21	16	23
грань	$p_{43}$	$p_{44}$	$p_{45}$	$p_{46}$	$p_{47}$	$p_{48}$	$p_{49}$	$p_{50}$	$p_{51}$	$p_{52}$	$p_{53}$	$p_{54}$	$p_{55}$	$p_{56}$
точка	$y_7$	$z_4$	$y_8$	$y_{11}$	$y_7$	$z_3$	$y_{10}$	$y_{10}$	$y_{10}$	$y_{11}$	$z_4$	$y_{10}$	$y_7$	$z_4$
выше	24	21	19	25	26	27	22	21	20	28	25	23	29	26
ниже	23	24	24	15	25	26	27	26	25	16	28	28	28	29
грань	$p_{57}$	$p_{58}$	$p_{59}$	$p_{60}$	$p_{61}$	$p_{62}$	$p_{63}$	$p_{64}$	$p_{65}$	$p_{66}$
точка	$y_{10}$	$y_{12}$	$z_3$	$y_{13}$	$y_{13}$	$y_{12}$	$z_4$	$y_{13}$	$S^1$	$S^2$
выше	24	30	31	27	26	32	30	29	$\oslash$	$\oslash$
ниже	29	13	30	31	30	1	32	32	13	31

Table 16. Таблица 16: Семейства особых точек Σ a , b superscript Σ 𝑎 𝑏 \Sigma^{a,b} и поверхности первой серии

$-l$	$+l$	$-r$	$+r$	$lt$	$rt$	$cusp$	$l$	$int$
$y_1$	$y_3,y_7,y_{12}{z}_9,z_{10}$	$z_4$	$z_3,z_6,z_{11}$	$y_5,y_8$	$z_2,z_8$	$y_6,y_9$	$y_2,y_{13}$	$z_5$

Table 17. Таблица 17: Разделяющие кривые для особых точек первой серии.

№	формула	$(x_1,x_2)$	пары особых точек
0	$u\left(v\right)=0$	$(0,\infty )$
1	$v\left(u\right)=u$	$(0,\infty )$	${(-l,+l)}_0$, ${(-r,+r)}_0$, ${(l,lt,rt,z_1)}_0$
2	$v\left(u\right)=u+4\tau \sqrt{u}+4{\tau }^2$	$(0,\infty )$	${(+l,-r)}_1$
3	$v\left(u\right)=u-4\tau \sqrt{u}+4{\tau }^2$	$(0,{\tau }^2)$	${(+l,+r)}_1$
4	$v\left(u\right)=\frac{u^2}{{\tau }^2}$	$({\tau }^2,\infty )$	${(+l,lt)}_0$, ${(cusp,+l)}_0$, ${(cusp,lt)}_0$
5	$v\left(u\right)=\tau \sqrt{u}$	$(0,{\tau }^2)$	${(+r,rt)}_0$, ${(cusp,+r)}_0$, ${(cusp,rt)}_0$
7	$v\left(u\right)=\frac{2u^{3/2}}{\sqrt{u}-\tau }$	$({\tau }^2,\infty )$	${(lt,-r)}_1$
8	$v\left(u\right)=\frac{2u^{3/2}}{\sqrt{u}+\tau }$	$({\tau }^2,\infty )$	${(+r,lt)}_1$
9	$u\left(v\right)={\tau }^2$	${\tau }^2,\infty )$	${(lt,+r)}_1$, ${(+r,int)}_0$, ${(lt,int)}_1$
10	$v\left(u\right)={\tau }^2$	$(0,{\tau }^2)$	${(+l,rt)}_1$, ${(+l,int)}_0$, ${(int,rt)}_1$
13	$v\left(u\right)=8\tau \sqrt{u}$	$(0,\mathrm{\hspace{0.17em}64}{\tau }^2)$	${(cusp,-r)}_1$
14	$v\left(u\right)=\frac{1}{4}{\left(\tau +\frac{u}{\tau }\right)}^2$	$(0,{\tau }^2)$	${(l,+l)}_1$
14	$v\left(u\right)=\frac{1}{4}{\left(\tau +\frac{u}{\tau }\right)}^2$	$({\tau }^2,\infty )$	${(l,+l)}_1,{(+l,rootl)}_1{(l,rootl)}_1$
15	$v\left(u\right)=2u+2\tau \sqrt{u}+{\tau }^2$	$(0,\infty )$	${(l,-r)}_1$
16	$v\left(u\right)=2u-2\tau \sqrt{u}+{\tau }^2$	$(0,\infty )$	${(l,+r)}_1$
17	$v\left(u\right)=\frac{{\left(2u+{\tau }^2\right)}^3}{27{\tau }^{2}u}$	$(0,\infty )$	${(cusp,l)}_1$
18	$v\left(u\right)=\frac{{\tau }^2}{2}$	$(0,\frac{{\tau }^2}{2})$	${(l,rt)}_1$

Table 18. Таблица 18: Кривые с конечным числом точек разделяющего множества Θ Θ \Theta .

№	формула	$(x_1,x_2)$	пары особых точек
6	$u\left(v\right)=\frac{2v^{3/2}}{\sqrt{v}+\tau }$	$(0,{\tau }^2)$	${(rt,+l)}_1$
11	$v\left(u\right)=\frac{{\tau }^2}{2}\left(1+\frac{{\tau }^2/2}{u-{\tau }^2/2}\right)$	$(\frac{{\tau }^2}{2},{\tau }^2)$	${(lt,rt)}_1$
12	$v\left(u\right)=\frac{u^2}{64{\tau }^2}$	$(64{\tau }^2,\infty )$	${(-l,cusp)}_1$
19	$𝐚\left(𝐛\right)=3b^{2/3}{c}_1^{2/3}\varkappa -{\varkappa }^2{c}_1^2$	$\oslash$	(cusp, int)

Table 19. Таблица 19: Вид кривых в координатах ( q , s ) 𝑞 𝑠 (q,s) .

номер	название	вид в $(u,v)$	вид в $(q,s)$
$f_1$	$f_l$	$v=u$	$s\left(q\right)=q^2$
$f_4$	$f_r$	$v=\frac{u^2}{{\tau }^2}$	$s\left(q\right)=\frac{q^{4/3}}{{\tau }^{2/3}}$
$f_9$	$f_m$	$u={\tau }^2$	$s\left(q\right)=\frac{q}{\tau }$
$f_{14}$	$f_t$	$v=\frac{1}{4}{\left(\tau +\frac{u}{\tau }\right)}^2$	$q\left(s\right)=\tau s\sqrt{-1+\frac{2}{\tau \sqrt{s}}}$
$f_{24}$	$f_k$	$\oslash$	$s\left(q\right)=-\frac{1}{{\tau }^2}\left(2-3{\tau }^{2/3}{q}^{2/3}\right)+\frac{2}{{\tau }^2}{\left(1-{\tau }^{2/3}{q}^{2/3}\right)}^{\frac{3}{2}}$

Equations

$$з\{f,g\}=⟨x,[df{|}_x,dg{|}_x]⟩.$$

$${\dot{x}}_i=\{x_i,H\},$$

$$\{J_i,J_j\}={\epsilon }_{ijk}{J}_k,\{J_i,x_j\}={\epsilon }_{ijk}{x}_k,\{x_i,x_j\}=\varkappa {\epsilon }_{ijk}{J}_k,$$

$$f_1=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+\varkappa (J_1^2+J_2^2+J_3^2),f_2=x_1{J}_1+x_2{J}_2+x_3{J}_3.$$

$$M_{a,b}=\{(\text{J},\text{x})|f_1(\text{J},\text{x})=a,f_2(\text{J},\text{x})=b\}$$

$$H=J_1^2+J_2^2+2J_3^2+2c_1{x}_1,$$

$$K=(J_1^2-J_2^2-2c_1{x}_1+\varkappa c_1^2{)}^2+(2J_1{J}_2-2c_1{x}_2{)}^2,$$

$${\Sigma }^{a,b}=\{(h,k)|\exists x_0\in {\mathfrak{F}}^{-1}(h,k),rk\mathfrak{F}{|}_{x_0}<2\}.$$

$$Q_{a,b,h}=\{(\text{J},\text{x})|f_1(\text{J},\text{x})=a,f_2(\text{J},\text{x})=b,H(\text{J},\text{x})=h\}.$$

$$1.\text{Прямая}k=0,$$

$$h(z)=\frac{b^2{c}_1^2}{z^2}+2z,k(z)=\left(4a{c}_1^2-\frac{4b^2{c}_1^2}{z}+\frac{b^4{c}_1^4}{z^4}\right)-2\varkappa c_1^{2}h(z)+{\varkappa }^2{c}_1^4,$$

$$k={\left(h-\varkappa c_1^2-\frac{a}{\varkappa }+\frac{\sqrt{a^2-4\varkappa b^2}}{\varkappa }\right)}^2$$

$$k={\left(h-\varkappa c_1^2-\frac{a}{\varkappa }-\frac{\sqrt{a^2-4\varkappa b^2}}{\varkappa }\right)}^2.$$

$$f_k(b)=\frac{3b^{4/3}+6\varkappa b^{2/3}{c}_1^{4/3}-{\varkappa }^2{c}_1^{8/3}}{4c_1^{2/3}}$$

$$f_r(b)=\frac{b^{4/3}}{c_1^{2/3}}+\varkappa b^{2/3}{c}_1^{2/3}$$

$$f_m(b)=\frac{b^2}{\varkappa c_1^2}+{\varkappa }^2{c}_1^2$$

$$f_t(b)={\left(\frac{\varkappa c_1^2+t^2}{2c_1}\right)}^2+\varkappa t^2,\text{где}b=t\left(\frac{\varkappa c_1^2+t^2}{2c_1}\right)$$

$$f_l(b)=2\sqrt{\varkappa }|b|$$

$$\left(\begin{array}{c}{\lambda }_2\\ {\mu }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& {\epsilon }_1\\ {\epsilon }_2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\mu }_1\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c}{\lambda }_{{\xi }_1}\\ {\mu }_{{\xi }_1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\lambda }_{{\gamma }_1}\\ {\lambda }_{{\gamma }_3}\end{array}\right).$$

$$\left(\begin{array}{c}{\lambda }_{{\xi }_2}\\ {\mu }_{{\xi }_2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\sigma & 0\\ p& \sigma \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\lambda }_{{\beta }_2}\\ -{\lambda }_{{\gamma }_2}\end{array}\right).$$

$$\left(\begin{array}{c}{\lambda }_{{\xi }_3}\\ {\mu }_{{\xi }_3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\lambda }_{{\delta }_1}\\ {\lambda }_{{\beta }_1}\end{array}\right).$$

$$\left(\begin{array}{c}{\lambda }_{{\xi }_5}\\ {\mu }_{{\xi }_5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\lambda }_{{\gamma }_3}\\ {\lambda }_{{\beta }_1}\end{array}\right).$$

$$\text{VIII:}{y}_1,1,z_4,13,z_{11},11,z_9.$$

$$\{\begin{array}{ll}u=a-\sqrt{a^2-4\varkappa b^2}& \\ v=a+\sqrt{a^2-4\varkappa b^2}& \end{array},\{\begin{array}{ll}a=(u+v)/2& \\ b^2=uv/(4\varkappa )& \end{array}$$

$$\frac{{\varkappa }^2{c}_1^2}{4}:l,+r,z_1,\frac{{\varkappa }^2{c}_1^2}{2}:l,rt,{\varkappa }^2{c}_1^2:+l,int,rt,4{\varkappa }^2{c}_1^2:+l,-r$$

$$\{\begin{array}{ll}q(u,v)=\frac{\sqrt{u}}{v}& \\ s(v)=1/v& \end{array},\{\begin{array}{ll}u=\frac{q^2}{s^2}& \\ v=1/s& \end{array}$$

$$f_{24}(q)=-\frac{1}{{\tau }^2}(2-3{\tau }^{2/3}{q}^{2/3})+\frac{2}{{\tau }^2}{\left(1-{\tau }^{2/3}{q}^{2/3}\right)}^{\frac{3}{2}}.$$

$$f_i:s(q)=\frac{-(1+2{\sigma }_i\tau q)+\sqrt{(1+2{\sigma }_i\tau q{)}^2-2{\tau }^2\left(2q^2-8\frac{q^2}{w_i(q)}+128{\tau }^2\frac{q^4}{w_i^4(q)}\right)}}{{\tau }^2},$$

$$w_{20}=\left(1+\sqrt{1-8{\sigma }_{20}\tau \sqrt{u}/v}\right),w_{21,22}=\left(1\pm \sqrt{1-8{\sigma }_{21}\tau \sqrt{u}/v}\right).$$

$$f_1=f_l,f_2,f_{16},f_{20},f_8,f_{15},f_{22},f_7,f_{14}=f_t,f_{23},f_{24}=f_k,f_4=f_r,f_7,f_9=f_m,f_{17},f_0.$$

$$h_{\pm l}=\frac{u\pm 2\tau \sqrt{v}}{2\varkappa },h_{\pm r}=\frac{v\pm 2\tau \sqrt{u}}{2\varkappa },h_{lt}=\frac{v}{u}\varkappa c_1^2+\frac{u}{\varkappa },h_{rt}=\frac{u}{v}\varkappa c_1^2+\frac{v}{\varkappa },$$

Full text

Топологическая классификация слоений Лиувилля для интегрируемого

случая Ковалевской на алгебре Ли so(4)

В. А. Кибкало

(03.04.2018)

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, (грант № 17-11-01303).

1 Введение

С.В. Ковалевской в знаменитой работе [1] был открыт новый случай интегрируемости уравнений динамики тяжелого твердого тела при всех значениях постоянной площадей. Данная система, рассмотренная на двойственном пространстве к алгебре Ли $e(3)$, была вложена И.В. Комаровым [2] в семейство динамических систем на пучке $so(3,1)-e(3)-so(4)$ с вещественным параметром $\varkappa$. Значению $\varkappa=0$ соответствуют алгебра Ли $e(3)$ и интегрируемая система, называемая классическим случаем Ковалевской. В работе исследуется случай алгебры Ли $so(4)$, который реализуется при $\varkappa>0$. Соответствующую интегрируемую систему будем называть компактным случаем Ковалевской, т.к. для алгебры Ли $so(4)$ совместные уровни функций Казимира компактны. Особое множество и его топология изучались в работе И.К. Козлова [3]

Для исследований классического случая Ковалевской использовались разнообразные методы. Например, Г.Г. Аппельротом в работе [4] были классифицированы особые орбиты с алгебраической точки зрения. М.П. Харламовым в работах [5], [6], [7] были развиты новые подходы, основанные на идеях Смейла исследования фазовой топологии и конструкциях симплектической геометрии.

Интересен ответ на вопрос, как устроены замыкания решений общего положения на неособых уровнях энергии для интегрируемых систем, открытых в физике и механике. Оказывается, совпадение таких замыканий решений двух систем задается отношением их лиувиллевой эквивалентности.

В работах А.Т. Фоменко и его школы изучаются слоения Лиувилля вполне интегрируемых систем на неособых трехмерных многообразиях $Q^{3}$ (см. работы [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14]). Эти поверхности расслоены на неособые торы и особые слои уровня дополнительного интеграла $F$. Две системы $M^{4}_{i},v_{i}=\mathrm{sgrad}\,H_{i}$ на неособых $Q^{3}_{i},i=1,2$ называют лиувиллево эквивалентными, если существует послойный диффеоморфизм $Q^{3}_{1}$ на $Q^{3}_{2}$, который сохраняет ориентации особых окружностей интеграла $F$. Теория топологической классификации слоений Лиувилля и ее приложения подробно изложены в книгах А.В. Болсинова и А.Т. Фоменко [15].

Классы лиувиллевой эквивалентности различаются построенным в работе [16] инвариантом Фоменко–Цишанга (меченой молекулой). Это конечный граф, оснащенный буквами и некоторыми числовыми метками $r,\varepsilon,n$. Его ребра соответствуют семействам регулярных торов. Вершины соответствуют особым слоям и обозначены символами 3-атомов (типов перестроек торов Лиувилля в окрестности этого особого слоя). Инвариант Фоменко–Цишанга без числовых меток, называемый графом Фоменко или грубой молекулой, также является важным инвариантом топологии слоения Лиувилля.

Теорема 1.1 ($\left(\textrm{А.Т.\,Фоменко, Х.\,Цишанг}\right)$).

Слоения Лиувилля на неособых $Q^{3}$ лиувиллево эквивалентны, в точности если совпадают их инварианты Фоменко–Цишанга.

Замечание 1.1.

Таким образом, две нерезонансные системы имеют одинаковые замыкания решений общего положения, в точности если совпадают инварианты Фоменко–Цишанга их слоений Лиувилля.

Перечисление инвариантов Фоменко–Цишанга системы и их сопоставление неособым уровням энергии называют лиувиллевым анализом.

В работе [17]  А.В. Болсиновым, П. Рихтером и А.Т. Фоменко лиувиллев анализ был проведен для классического случая Ковалевской. В этой системе имеется ровно $10$ неэквивалентных слоений.

Теорема 1.2.

В системе Ковалевской на алгебре Ли $so\mathrm{(4)}$ имеется ровно $27$ классов $L_{1},...,L_{27}$ лиувиллево неэквивалентных слоений на связных компонентах неособых изоэнергетических поверхностей.

В таблицах 1 и 2 перечислены инварианты Фоменко–Цишанга всех слоений на неособых $Q^{3}_{a,b,h}$ при фиксированной ориентации $Q^{3}$ и направлении роста интеграла $K$. Классы лиувиллевой эквивалентности $L_{1},\dots,L_{27}$ для связных компонент этих слоений $1$-$32$ указаны в таблице 3.

Пунктирная линия в таблицах 1 и 2 означает совпадение меток слева и справа от нее, т.е. симметрию слоения Лиувилля и его меченой молекулы на данных ‘‘ярусах’’, т.е. особых уровнях дополнительного интеграла.

Теорема 1.3.

Среди слоений $L_{1},\dots,L_{27}$ компактного случая Ковалевской следующие слоения лиувиллево эквивалентны слоениям известных интегрируемых систем в некоторых зонах энергии:

1) слоения $L_{1},L_{12},L_{3},L_{4},L_{15},L_{27},L_{24},L_{20},L_{24},L_{18}$ эквиваленты слоениям $A,\,...\,,J$ классического случая Ковалевской (см. ([17])) соответственно,

2) слоения $L_{2}$ и $L_{23}$ эквивалентны слоениям случая Ковалевской–Яхьи в зонах энергии $h_{2}$ и $h_{10},h_{23}$ (см. [18], [19]) соответственно,

3) слоения $L_{1},L_{2},L_{9},L_{10}$ эквивалентны слоениям $1,2,6,7$ случая Клебша (см. [20]) соответственно,

4) слоения $L_{1},L_{2},L_{4}$ эквивалентны слоениям $A,B,F$ случая Соколова (см. [21]) соответственно,

5) интегрируемые биллиарды в областях $A_{0}^{\prime},A_{2},A_{1},A_{0}$, ограниченных дугами софокусных квадрик (см. [22]), моделируют слоения Лиувилля $L_{1},L_{2},L_{6},L_{8}$ компактного случая Ковалевской.

При проведении лиувиллева анализа мы используем результаты из работ [17] и [3]. В [17] для классического случая Ковалевской были найдены допустимые базисы для дуг бифуркационных диаграмм и вычислен инвариант Фоменко–Цишанга для слоений изоэнергетических поверхностей. В работе [3] для компактного случая Ковалевской были описаны все бифуркационные диаграммы отображения момента.

Таким образом, для нахождения всех меченых молекул компактного случая Ковалевской остается сделать следующее:

выразить через $\lambda$-циклы, известные из [17], допустимые базисы для дуг $\xi_{1},\dots,\xi_{5}$ (см. таблицу 4) бифуркационных диаграмм, которые не возникали в классическом случае Ковалевской. Это сделано в утверждении 3.2. На рисунке 1 однозначно определенные $\lambda$-циклы для дуг $\alpha_{1},\dots,\xi_{5}$ изображены как элементы целочисленной решетки на плоскости. 2. 2.

описать, в каком порядке вдоль оси $H$ могут располагаться особые точки бифуркационных диаграмм в зависимости от параметров — значений функций Казимира. Имеется лишь конечное число вариантов, все они приведены в таблицах 5-11. Интервалу между соседними особыми точками сопоставлен номер молекулы. Отметим, что в таблице 10 для краткости не указано ‘‘тривиальное окончание’’ $6,z_{2},7,z_{1}$.

Для дуг, сохраняющихся в классическом случае Ковалевской, мы используем те же обозначения $\alpha_{1},\dots,\delta_{2}$ и те же базисы, что и в [17]. Для особых точек мы используем те же обозначения $y_{i},z_{j}$, что и в [3]. Области I-IX плоскости значений функций Казимира, описанные в [3], изображены на рисунках 3-3. Полученное в настоящей работе их разбиение на подобласти изображено на рисунках 4-5. Дуги, разделяющие подобласти, описаны в утверждении 3.10.

Автор благодарит Анатолия Тимофеевича Фоменко и Ивана Константиновича Козлова за постановку задачи и помощь при написании работы.

2 Постановка задачи

2.1 Динамические системы на пучке алгебр Ли

И.В. Комаров в работе [2] обнаружил, что на пучке алгебр Ли $so(4)-e(3)-so(3,1)$ с вещественным параметром $\varkappa$ можно задать семейство интегрируемых систем с тем же параметром $\varkappa$, содержащее при $\varkappa=0$ классический случай Ковалевской, т.е. известный случай интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела. Приведем ниже описание предложенной им конструкции.

Скобку Пуассона $\{\cdot,\cdot\}$ функций $f$ и $g$ на двойственном пространстве $\mathfrak{g}^{*}$ к конечномерной вещественной алгебре Ли $\mathfrak{g}$ можно задать следующим образом:

[TABLE]

Запись $\langle\cdot,\cdot\rangle$ обозначает спаривание ковектора из $\mathfrak{g}^{*}$ и вектора из $\mathfrak{g}$. Коммутатор в алгебре Ли $\mathfrak{g}$ записан как $[\cdot,\cdot]$. Отметим, что мы пользовались каноническим отождествлением $\mathfrak{g}^{**}$ и $\mathfrak{g}$.

Динамическая система на $\mathfrak{g}^{*}$ в линейных координатах $x_{1},\dots,x_{n}$ задается гладкой функцией $H$ с помощью уравнений Эйлера:

[TABLE]

Зададим на пространстве $\mathbb{R}^{6}$ с координатами $(\mathbf{J},\mathbf{x})=(J_{1},J_{2},J_{3},x_{1},x_{2},x_{3})$ семейство скобок Ли-Пуассона c параметром $\varkappa\in\mathbb{R}$, определяющее пучок алгебр Ли $\textrm{so}(3,1)-\textrm{e}(3)-\textrm{so}(4)$:

[TABLE]

где $\varepsilon_{ijk}$ — знак перестановки $\{123\}\rightarrow\{ijk\}$. Случай $\varkappa>0$ соответствует алгебре Ли $\textrm{so}(4)$, случай $\varkappa=0$ — алгебре Ли $\textrm{e}(3)$, а $\varkappa<0$ — алгебре Ли $\textrm{so}(3,1)$. Случай $\varkappa<0$ в настоящей работе не рассматривается.

Функции Казимира скобки Пуассона (2.1.3) имеют вид:

[TABLE]

В случае $\varkappa>0$ при $a\geq 2\sqrt{\varkappa}|b|$ и в случае $\varkappa=0$ при $a>0$ совместная поверхность уровня

[TABLE]

функций Казимира является орбитой коприсоединенного представления и симплектическим листом скобки (2.1.3). При $\varkappa\geq 0$ регулярными являются орбиты $M_{a,b}$, для которых $a>2\sqrt{\varkappa}|b|$. Они диффеоморфны прямому произведению двумерных сфер $S^{2}\times S^{2}$ для $\varkappa>0$ и кокасательному расслоению к двумерной сфере $T^{*}S^{2}$ для $\varkappa=0$. При $\varkappa>0$ орбита сингулярна, если $a=2\sqrt{\varkappa}|b|$. Орбита $M_{0,0}$ является точкой, а остальные сингулярные орбиты диффеоморфны $S^{2}$. Слоение на них описано в лемме 3.1. Парам $a<2\sqrt{\varkappa}|b|$ не соответствует ни одной орбиты.

И.В. Комаровым было найдено возмущение $K$ известного интеграла Ковалевской, находящееся в инволюции с гамильтонианом $H$ при всех $\varkappa\in\mathbb{R}$:

[TABLE]

[TABLE]

где $c_{1}$ — произвольная постоянная. Можно считать, что $c_{1}=1$ и $\varkappa\in\{-1,0,1\}$.

2.2 Интегрируемые системы на орбитах

При всех $\varkappa\in\mathbb{R}$ первые интегралы $H$ и $K$ функционально независимы и находятся в инволюции относительно скобки (2.1.3). Т.е. на каждой регулярной орбите задана вполне интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система с двумя степенями свободы.

Отображение момента $\mathfrak{F}=(H,K):M^{4}_{a,b}\rightarrow\mathbb{R}^{2}(h,k)$ определяет на каждой орбите слоение Лиувилля. Слоение на регулярной орбите удобно описывать с помощью бифуркационных диаграмм $\Sigma^{a,b}$ отображения $\mathfrak{F}$:

[TABLE]

Бифуркационная диаграмма $\Sigma^{a,b}$ лежит в $\mathbb{R}^{2}(h,k)$ и состоит в случае $\varkappa\geq 0$ из конечного числа гладких дуг (возможно, неограниченных) и особых точек. Напомним, что особыми точками бифуркационной диаграммы называют точки пересечения, касания и возврата или потери гладкости кривых, содержащих дуги $\Sigma^{a,b}$, т.е. концы этих дуг.

Замечание 2.1.

Система имеет симметрию $(\textbf{J},\textbf{x})\rightarrow(-\textbf{J},\textbf{x})$, переводящую точки совместного уровня $(a,b,h,k)$ функций $f_{1},f_{2},H,K$ в точки совместного уровня $(a,-b,h,k)$. Тем самым, бифуркационные диаграммы $\Sigma^{a,-b}$ и $\Sigma^{a,+b}$ состоят из одних и тех же точек плоскости $Ohk$, прообразы которых при отображении момента устроены одинаково. Далее считаем, что $b\geq 0$.

Напомним, что кривую $\gamma$ без самопересечений в плоскости $Ohk$ называют допустимой, если она не проходит через особые точки $\Sigma^{a,b}$ и пересекает ее дуги трансверсально.

Изоэнергетическими поверхностями $Q_{a,b,h}$ называют совместные поверхности уровня функций Казимира $f_{1},f_{2}$ и гамильтониана $H$

[TABLE]

Назовем $Q_{a,b,h}$ и соответствующую тройку $(a,b,h)$ неособыми, если образ $\mathfrak{F}(Q_{a,b,h})$ является допустимой кривой. Отметим, что образ неособой $Q_{a,b,h}$ является отрезком, лежащим на вертикальной прямой $H=h$ плоскости $Ohk$, поскольку орбиты $M^{4}_{a,b}$ компактны в случае алгебры Ли $so(4)$. Неособая $Q_{a,b,h}$ является гладким трехмерным подмногообразием в $M^{4}_{a,b}$ без границы. Остальные непустые $Q_{a,b,h}$ будем называть особыми.

2.3 Результаты И.К. Козлова для случая $so(4)$

В работе И.К. Козлова [3] анализировался случай $\varkappa>0$. Были найдены четыре кривые, в объединении которых содержится бифуркационная диаграмма.

Лемма 2.1.

Пусть $b\neq 0$ и $\varkappa\neq 0$. Тогда для любой регулярной орбиты $M_{a,b}$ (такой, что $a^{2}-4\varkappa b^{2}>0$) бифуркационная диаграмма $\Sigma^{a,b}$ интегрируемой системы с гамильтонианом (2.1.6) и интегралом (2.1.7) содержится в объединении следующих трёх семейств кривых на плоскости $\mathbb{R}^{2}(h,k)$:

[TABLE]

Параметрическая кривая,

[TABLE]

где $z\in\mathbb{R}-\{0\}$. 2. 3.

Объединение двух парабол

[TABLE]

и

[TABLE]

Взаимное расположение этих кривых, попадание их точек в образ отображения момента и устройство прообразов особых точек существенно зависит от значений $(a,b)$. И.К. Козловым установлено, что $5$ кривых $f_{l},f_{t},f_{k},f_{r},f_{m}$ делят множество $a\geq 2\sqrt{\varkappa}b,b>0$ на $9$ областей с одинаковым устройством бифуркационной диаграммы:

Теорема 2.1 ($\left(\textrm{И.К.\,Козлов, \cite[cite]{[\@@bibref{}{Kozlov14}{}{}]}}\right)$).

Пусть $\varkappa>0$ и $b>0$. Функции $f_{k},f_{r},f_{m},f_{t}$ и $f_{l}$ заданные формулами

[TABLE]

делят множество орбит $\{b>0,a\geq 2\sqrt{\varkappa}b\}\subset\mathbb{R}^{2}(a,b)$ на $9$ областей (см. рис. 3 и 3).

Аналогичные утверждения были доказаны для луча $b=0,\,a>0$. Кроме этого, были построены круговые молекулы особых точек $y_{1},...,z_{11}$, проверена невырожденность критических точек отображения момента и установлена ‘‘непрерывность’’  предельного перехода бифуркационных диаграмм $\Sigma^{a,b}(\varkappa)$ при $\varkappa\rightarrow+0$.

Лемма 2.2.

Рассмотрим произвольные $a,b\in\mathbb{R}$, где $a>0$. Тогда точка $x$ принадлежит бифуркационной диаграмме $\Sigma(a,b,0)$ тогда и только тогда, когда существует последовательность точек $x_{n}\in\Sigma(a_{n},b_{n},\varkappa_{n})$ такая, что $\lim_{n\to\infty}(a_{n},b_{n},\varkappa_{n})=(a,b,0)$.

Как следствие, из областей I-IX случая $\varkappa>0$ при предельном переходе ‘‘выживают’’ области I-IV, а из четырех кривых, содержащих $\Sigma^{a,b}(\varkappa)$ — все кроме правой параболы (2.3.4). При таком предельном переходе сохраняются круговая молекула и тип особой точки, если она не вырождается. В таблице 12 показано соответствие обозначений для семейств особых точек в работах [17] и [3]. Отметим, что точка типа $y_{4}$, встречающаяся в $\Sigma^{a,b}$ при $b=0$, соответствует суперсингулярной точке $S_{0}$. Точка $z_{7}$ тоже присутствует только на орбитах с $b=0$, т.е. может быть названа суперсингулярной.

3 Основные результаты

3.1 Выбор допустимых базисов

Для вычисления меток найдем допустимые базисы на граничных торах всех 3-атомов и вычислим матрицы перехода между ними, называемые матрицами склейки. Общие правила выбора допустимых базисов изложены в [15]. Для эллиптических атомов мы приведем эквивалентное описание перед утверждением 3.1.

По аналогии с работой [17] мы одновременно выберем допустимые базисы для всех перестроек и выразим их через однозначно определенные $\lambda$-циклы. Для этого для каждой дуги бифуркационной диаграммы мы рассмотрим маленький вертикальный интервал $I$. Отметим, что в компактном случае Ковалевской у дуг бифуркационной диаграммы отсутствуют вертикальные касательные. После этого выберем допустимый базис для соответствующего 3-атома по правилам, сформулированным в [15].

Семействам дуг, для которых не существует аналогов в классическом случае Ковалевской, соответствует эллиптический атом $A$. Он диффеоморфен полноторию $S^{1}\times D^{2}$, расслоенному на торы Лиувилля и одну особую минимальную или максимальную окружность. Базой такого расслоения является 2-атом А. Утверждение 3.1 позволяет выбрать допустимые базисы на двух дугах, пересекающихся в особой точке, прообраз $\mathfrak{F}^{-1}$ которой содержит особенность типа центр-центр. Переформулируем ниже определение допустимого базиса для атома $A$ в более удобных для подсчета терминах.

Определение 3.1.

Базис $(\lambda,\mu)$ в $\pi_{1}(T^{2})$ на граничном торе 3-атома А назовем допустимым, если

цикл $\lambda$ стягиваем, 2. 2.

ориентация цикла $\mu$ задана векторным полем $\mathrm{sgrad}\,H$ на особом слое, 3. 3.

базис $(\lambda,\mu)$ в $\pi_{1}(T^{2})$ задает положительную ориентацию на граничном торе.

Базис $(u,v)$ в касательном пространстве $T_{x}T^{2}$ к граничному тору положительно ориентирован, если четверка векторов $(\textrm{grad}\,H,N,u,v)$ положительно ориентирована относительно формы объема $\omega\wedge\omega$. Здесь $N$ — внешняя нормаль к $3$-атому.

Каждому фрагменту допустимой кривой, соединяющему концы двух вертикальных интервалов $I_{i}$ и не пересекающему дуги $\Sigma$, соответствует $2\times 2$ матрица перехода от допустимого базиса на границе одного атома к допустимому базису на границе другого. Для изоэнергетической поверхности $H=\mathrm{const}$ определители таких матриц равны $-1$, а для поверхности $K=\mathrm{const}$ они равны $+1$. Можно доказать следующее общее утверждение о допустимых базисах для особенностей типа центр-центр.

Утверждение 3.1.

Пусть точка является особой точкой типа центр-центр бифуркационной диаграммы. Обозначим знаки производных функции $H$ в направлении пересекающихся дуг $\gamma_{i},i=1,2$ как $\varepsilon_{i}=\pm 1,i=1,2$ соответственно. Тогда допустимые базисы $(\lambda_{i},\mu_{i})$ для этих дуг могут быть выбраны следующим образом:

[TABLE]

По аналогии с работой [17] обозначим ‘‘новые’’  дуги бифуркационной диаграммы символами $\xi_{1},...,\xi_{5}$. В таблице 4 эти дуги заданы своими концами $z_{1},...,z_{11}$. Семейства торов были пронумерованы в [17].

Утверждение 3.2.

Следующие базисы $(\lambda_{\xi_{i}},\mu_{\xi_{i}})$ являются допустимыми для дуг $\xi_{i},i=1..5$:

$\begin{pmatrix}\lambda_{\xi_{1}}\\ \mu_{\xi_{1}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\,\,1&-1\\ \,\,1&\,\,\,\,0\,\,\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\,\,\lambda_{\gamma_{1}}\\ \,\,\lambda_{\gamma_{3}}\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}\lambda_{\xi_{2}}\\ \mu_{\xi_{2}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\,\,-1&\,\,\,\,0\,\,\\ \,\,0&\,\,\,\,1\,\,\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\,\,\lambda_{\beta_{2}}\\ \lambda_{\gamma_{2}}\end{pmatrix}$**

$\begin{pmatrix}\lambda_{\xi_{3}}\\ \mu_{\xi_{3}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\,\,0&-1\\ -1&\,\,0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\,\,\lambda_{\delta_{1}}\\ \,\,\lambda_{\beta_{1}}\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}\lambda_{\xi_{4}}\\ \mu_{\xi_{4}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\,\,1&-1\\ \,\,1&\,\,\,\,0\,\,\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\,\,\lambda_{\gamma_{4}}\\ \,\,\lambda_{\gamma_{3}}\end{pmatrix}$**

$\begin{pmatrix}\lambda_{\xi_{5}}\\ \mu_{\xi_{5}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\,\,0&-1\\ \,\,1&\,\,\,\,0\,\,\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\,\,\lambda_{\gamma_{3}}\\ \,\,\lambda_{\beta_{1}}\end{pmatrix}$**

Доказательство.

Рассмотрим орбиту, для которой $(a,b)$ лежит в области V. Особая точка $z_{4}$ является точкой типа центр-центр. В обозначениях утверждения 3.1 знаки производных $H$ в направлении дуг $\gamma_{1}$ и $\xi_{1}$ равны $\varepsilon_{1}=-1$ и $\varepsilon_{2}=1$ соответственно. Cогласно ему, $\lambda_{\xi_{1}}=p\lambda_{\gamma_{1}}-\lambda_{\gamma_{3}}$. Особая точка $z_{5}$ является точкой типа центр-седло, поэтому $\lambda_{\xi_{1}}=\pm\lambda_{\beta_{2}}=\pm(\lambda_{\gamma_{3}}-\lambda_{\gamma_{1}})$. Т.е. $p=1$, и допустимый базис для $\xi_{1}$ имеет вид

[TABLE]

Аналогично, при $b=0$ получаем допустимый базис для дуги $\xi_{4}$ из анализа точки $z_{7}$ . 2. 2.

Особая точка $z_{2}$ является вырожденной особой точкой ранга 1, поэтому можно выбрать $\mu_{\xi_{2}}=\lambda_{\gamma_{2}}$. Особая точка $z_{5}$ является точкой типа центр-седло, поэтому

[TABLE]

Получили, что $p=0$ и $\sigma=-1$. 3. 3.

Рассмотрим орбиту, для которой $(a,b)$ лежит в области $VII$. Особая точка $z_{5}$ является точкой типа центр-седло, поэтому $\lambda_{\xi_{3}}=\pm\lambda_{\beta_{1}}$. Особая точка $z_{1}$ является точкой типа центр-центр, $\varepsilon_{1}=-1$ и $\varepsilon_{2}=-1$ для дуг $\delta_{1}$ и $\xi_{3}$ соответственно. Тогда

[TABLE] 4. 4.

Особая точка $z_{10}$ является точкой типа центр-седло, поэтому $\lambda_{\xi_{5}}=\pm\lambda_{\beta_{1}}$. Особая точка $z_{8}$ является образом вырожденной одномерной орбиты, поэтому можно взять $\mu_{\xi_{5}}=\lambda_{\gamma_{3}}$.

Рассмотрим орбиту, для которой $(a,b)$ лежит в области $VIII$. Особая точка $z_{9}$ является особой точкой типа центр-центр, $\varepsilon_{1}=-1$ и $\varepsilon_{2}=-1$ для дуг $\alpha_{1}$ и $\xi_{5}$ соответственно. Тогда

[TABLE]

Утверждение 3.2 доказано. ∎

Инвариант Фоменко–Цишанга слоения Лиувилля в прообразе любой фиксированной допустимой кривой алгоритмически вычисляется по найденным выражениям для $\lambda_{\xi_{i}},\mu_{\xi_{i}}$ и соотношениям из [17]. При вычислении меток $n$ для семей в $Q^{3}_{a,b,h}$ мы ориентировали ребра молекулы единообразно по возрастанию $K$ на прямой $H=\mathrm{const}$. Напомним, что замена ориентации на $Q^{3}$ или знака дополнительного интеграла $K$ не меняет класс лиувиллевой эквивалентности.

3.2 Классы слоений на неособых $Q^{3}_{a,b,h}$

Напомним, что точке $(a,b,h)$ из пространства параметров $\mathbb{R}^{3}(a,b,h)$ соответствуют изоэнергетическая поверхность $Q_{a,b,h}$ со структурой слоения. Каждая регулярная орбита $M^{4}_{a,b}$ задается парой $(a,b)$, где $a>f_{l}(b)>0$. Бифуркационная диаграмма $\Sigma^{a,b}$ содержит конечное число особых точек, имеющих на плоскости $Ohk$ абсциссы $h_{i}$. Каждому такому $h_{i}$ соответствует или одна особая точка, или несколько.

Образ $\mathfrak{F}(Q_{a,b,h})$ лежит на прямой $H=h$ плоскости $Ohk$. Пересечения этой прямой с $\Sigma^{a,b}$ являются образами бифуркационных слоев. Для неособой $Q^{3}_{a,b,h}$ они не совпадают с особыми точками $\Sigma^{a,b}$, т.е. лежат на дугах $\Sigma^{a,b}$ и соответствуют атомам графа Фоменко (молекулы без меток). Приписав каждому атому графа название $\alpha_{1},\dots,\xi_{5}$ семейства пересекаемой дуги $\Sigma^{a,b}$, получим граф, который будем называть графом Фоменко с именованными атомами.

Утверждение 3.3.

В компактном случае Ковалевской встречается ровно $32$ различных графа Фоменко с именованными атомами (таблицы 13-14) слоений на неособых $Q^{3}_{a,b,h}$.

Замечание 3.1.

Из данного результата сразу следует теорема 1.2: инвариант Фоменко–Цишанга однозначно вычисляется по по графу Фоменко с именованными атомами и допустимым базисам для дуг $\alpha_{1},\dots,\xi_{5}$.

В таблицах 13-14 также указаны вычисленные по допустимым базисам матрицы склейки на ребрах графов $1$-$32$. Их классы лиувиллевой эквивалентности $L_{1},\dots L_{27}$ указаны в таблице 3.

Пусть все особые точки $\Sigma^{a,b}$ принадлежат семействам $y_{1},\dots,z_{11}$ и имеют попарно различные абсциссы $h_{i}$. Тогда слоение на $M^{4}_{a,b}$ можно закодировать, записывая по очереди, по возрастанию $h$, названия семейств особых точек и номера графов Фоменко с именованными атомами, соответствующие интервалам $(h_{i},h_{i+1})$ оси $Oh$. В качестве примера приведем код для любой точки $(a,b)$ из области VIII:

[TABLE]

Определение 3.2.

Назовем разделяющим множеством $\Theta$ множество пар $(a,b)$ плоскости $Oab$, в окрестности которых есть пары $(a_{i},b_{i})$ с различными кодами или пара $(a^{\prime},b^{\prime})$, которой не соответствует кода.

Кривые $f_{l},f_{t},f_{k},f_{r},f_{m}$, описанные И.К.Козловым в [3], содержатся в $\Theta$, т.к. их точкам соответствуют некоторые перестройки бифуркационных диаграмм. В частности, для точек кривой $f_{l}$ орбита $M_{a,b}$ сингулярна, а для точек $(a,b)$ остальных кривых диаграмма $\Sigma^{a,b}$ имеет вырожденную особую точку, не принадлежащую семействам $y_{1},\dots,z_{11}$. Эти кривые разделяют множество орбит c $b>0$ на 9 областей I-IX, а луч $b=0,a>0$ на три промежутка X-XII.

Остальные дуги $\Theta$ состоят из точек $(a,b)$, для которых совпадают значения $h$ гамильтониана $H$ для двух и более особых точек $\Sigma^{a,b}$. Следующее утверждение описывает, как разделяющее множество делит плоскость $Oab$.

Утверждение 3.4.

В компактном случае Ковалевской

1) разделяющее множество $\Theta$, описанное в утверждении 3.10 как конечное объединение дуг, изображено на рисунках 4-5 в координатах $(u,v)$.

2) $\Theta$ разбивает области I-IX плоскости $Oab$ на $61$ подобласть, а промежутки X-XII оси $Oa$ разбиваются на 4 интервала и луч. Точкам из одного подмножества соответствуют одинаковые коды, приведенные в таблицах 6-11 для случая $b\neq 0$ и в таблице 5 для оси $b=0$.

3) номер графа Фоменко с именованными атомами, соответствующего произвольному неособому уровню $h$ для пары $(a,b)\in\Theta\backslash f_{l}$, входит в код каждой из подобластей, содержащих эту пару $(a,b)$ в своей границе.

Замечание 3.2.

Для краткости в кодах подобластей области II опустим одинаковые символы в конце кода: $\dots,6,z_{2},7,z_{1}$.

На рисунках указаны номера всех подобластей и функций $f_{i}$, задающих ребра $\Theta$. Вершины $\Theta$, в которых пересекается более двух кривых, пронумерованы от 0 до 9.

Замечание 3.3.

Отметим, что на рисунке 4-5 разделяющее множество изображено в других координатах $(u,v)$. Из леммы 3.2 следует, что образ $\Theta$ при сделанной замене $(a,b)\rightarrow(u,v)$ удовлетворяет определению 3.2.

3.3 Стратификация пространства параметров системы

3.3.1 Трехмерные камеры неособых троек $(a,b,h)$

Опишем, каким тройкам $(a,b,h)$ пространства параметров $\mathbb{R}^{3}(a,b,h)$ соответствуют одинаковые графы Фоменко с именованными атомами. Назовем камерой связное множество троек $(a,b,h)$ с неособой $Q_{a,b,h}$, а особым множеством $\mathbb{A}^{2}$ — множество троек $(a,b,h)$ с особой $Q_{a,b,h}$.

Заметим, что если особая точка $\Sigma^{a,b}$ принадлежит семействам $y_{1},\dots,\widehat{y_{4}},\dots,$ $\widehat{z_{7}},\dots,z_{11}$, то ее абсцисса $h$ является гладкой функцией от значений функций Казимира. Для нулей параметрической кривой (2.3.2) это верно, т.к. функции $h(a,b,z)$ и $k(a,b,z)$, определяющие ее, являются полиномами от $z$ и $z^{-1}$. Для оставшихся точек это следует из леммы 4.1, в которой описаны явные уравнения поверхностей. Отметим, что при $b=0$ некоторые из поверхностей первой серии могут склеиваться друг с другом непрерывно, но не гладко. Множеству точек склейки соответствуют особые точки типа $y_{4}$ и $z_{7}$. Из данных соображений следует, что объединение границ всех камер совпадает с особым множеством $\mathbb{A}^{2}$. Отсюда особое множество замкнуто, а все камеры открыты. Сформулируем основное утверждение об устройстве пространства параметров $\mathbb{R}^{3}(a,b,h)$.

Утверждение 3.5.

Каждая камера в пространстве параметров $\mathbb{R}^{3}(a,b,h)$ является открытым диском $D^{3}$, всем точкам $(a,b,h)$ которого соответствует одинаковый граф Фоменко с именованными атомами слоения на $Q^{3}_{a,b,h}$.

Каждая камера либо симметрична самой себе относительно плоскости $b=0$ и трансверсально пересекает ее, либо не имеет с ней общих точек, расположена строго по одну сторону от нее и симметрична другой камере.

Каждый граф Фоменко с именованными атомами реализуется в одной камере (графы 1-11) или паре камер (графы 12-32), симметричных относительно плоскости $b=0$.

Замечание 3.4.

Множество троек $(a,b,h)$ с пустыми $Q_{a,b,h}$ также гомеоморфно трехмерному диску.

Тем самым, каждой камере в полупространстве $b>0$ можно биективно сопоставить граф Фоменко с именованными атомами. Далее для каждого из ребер $\Theta$ можно перечислить графы Фоменко с именованными атомами, соответствующие неособым тройкам $(a,b,h)$ с парой $(a,b)$, лежащей на данном ребре.

Односвязность камеры следует из односвязности слоя проекции $(a,b,h)\rightarrow(a,b)$ камеры на плоскость $Oab$ и односвязности базы. Она проверяется явно по таблицам кодов 6-11 и 5. Пусть некоторый номер графа Фоменко c именованными атомами присутствует в кодах двух соседних по дуге из $\Theta$ подобластей и для $(a,b)$ с этой дуги, кроме возможно, ее концов. Из пункта 3 утверждения 3.4 на их объединение проецируется одна камера с данным графом.

3.3.2 Граф соседства трехмерных камер

Назовем соседними две камеры, которые граничат друг с другом по двумерному подмножеству. Напомним, что граница каждой камеры лежит в особом множестве $\mathbb{A}^{2}$.

Максимальное связное подмножество $\mathbb{A}^{2}$, каждой точке $(a,b,h)$ которого соответствует ровно одна особая точка $\Sigma^{a,b}$ фиксированного семейства $y_{1},\dots,z_{11}$ кроме $y_{4}$ и $z_{11}$, назовем гранью. Проекция такой грани на плоскость $Oab$ является инъекцией.

Теперь определим грани, лежащие в плоскостях $a=f_{l}(b)$ пространства $\mathbb{R}^{3}(a,b,h)$. Парам $a=f_{l}(b)>0$ соответствуют сингулярные двумерные орбиты $M^{2}_{a,b}\cong S^{2}$. Для каждой из них множество троек $(a,b,h)$ c непустыми $Q_{a,b,h}$ является точкой или вертикальным отрезком.

Лемма 3.1.

Пусть $\varkappa>0$ и $a=f_{l}(b)$, тогда на $M^{2}_{a,b}$ функции $H$ и $K$ зависимы, неособый слой гомеоморфен одной или двум окружностям $S^{1}$ или $2S^{1}$. Слоение на $M^{2}_{a,b}$ можно однозначно описать его особыми слоями:

• •

при $0<b\leq\sqrt{\varkappa^{3}c_{1}^{4}}$ оба особых слоя, минимальный и максимальный, являются точкой,

• •

при $\sqrt{\varkappa^{3}c_{1}^{4}}<b$ седловой слой гомеоморфен восьмерке, минимальный является точкой, а максимальный — двумя точками.

Паре $(0,0)$ соответствует одноточечная орбита $M_{0,0}$, а при $a=2\varkappa^{2}c_{1}^{2},b=\varkappa^{3/2}c_{1}^{2}$ происходит перестройка особых слоев. Здесь гранями назовем максимальные связные подмножества троек $(a,b,h)$ с фиксированным числом окружностей в $Q_{a,b,h}$, реализующих неособые слои в $M^{2}$. Следующее утверждение доказывается аккуратным рассмотрением проекций граней на плоскость $Oab$.

Утверждение 3.6.

Каждая грань является открытым двумерным диском. Пересечение границ двух соседних камер (за исключением пары камер 1 и 2), содержит ровно одну грань. В таблице 15 перечислены все пары соседних камер. Для каждой из них указано семейство особых точек, соответствующее точкам грани.

Замечание 3.5.

Пара камер 1 и 2 граничит по двум граням, симметричным относительно плоскости $b=0$. Их точкам соответствует семейство $y_{6}$. В плоскости $b=0$ точкам кривой, являющейся границей этих граней, соответствует особая точка из семейства $y_{4}$. При этом типичная особенность типа седло-узел перестроилась в типичную особенность типа ‘‘эллиптическая вилка’’, см. [17].

Семейство $z_{7}$ соответствует точкам кривой в плоскости $b=0$, лежащей в границе нескольких граней. При $b\rightarrow 0$ не происходит перестроек прообразов особых точек типа $z_{4}$ и $z_{6}$, имеющих тип центр-центр.

Замечание 3.6.

В таблице 15 камеры в паре упорядочены по возрастанию $h$. Для граней $p_{65},p_{66}$ (и граней, симметричных им при $b<0$) указано семейство особых точек $\Sigma^{a,b}$ или количество окружностей, одна или две, составляющих $Q_{a,b,h}$. Знак $\oslash$ обозначает множество всех троек $(a,b,h)$ с пустыми $Q_{a,b,h}$.

3.4 Связь с классическим случаем Ковалевской

Многие динамические системы, возникающие в механике, могут рассматриваться как системы на алгебре Ли $e(3)$. В классическом случае Ковалевской можно без потери общности положить геометрический интеграл $f_{1}$ равным $1$. Тогда плоскость $Obh$ разбивается несколькими кривыми на области с лиувиллево эквивалентными слоениями $Q^{3}_{1,b,h}$. На рисунке 6 изображено данное разбиение, т.е. сечение особого множества $\mathbb{A}^{2}$ классического случая Ковалевской уровнем $a=1$. Сплошные кривые разделяют области с негомеоморфными $Q^{3}_{1,b,h}$, а пунктирные линии — области с гомеоморфными $Q^{3}_{a,b,h}$, но неэквивалентными слоениями Лиувилля. Им соответствуют типы $e_{1},e_{2},c_{1},c_{2},h_{1},h_{2}$ особых точек — вырождения классов Аппельрота [17].

В случае $\varkappa=0$ прообразы особых точек бифуркационных диаграмм $\Sigma^{1,b}$ содержатся в поверхностях $Q^{3}_{1,b,h}$, соответствующих изображенным кривым. Данные линии имеют $9$ общих точек. Семь из них соответствуют вырождению критических точек. В [17] они назывались суперсингулярными и были объединены в классы $S_{0},S_{1},S_{2},S_{3}$. Отметим, что при пересечении кривых $M$ и $U$ вырождения не происходит — образы критических точек на $Ohk$ имеют разное значение интеграла $K$.

В работе [3] установлено, что при предельном переходе $\varkappa\rightarrow+0$ сохраняются типы перестроек для ‘‘старых’’ дуг $\alpha_{1},\dots,\delta_{2}$ и особых точек $y_{1},\dots,y_{13}$. Тем самым, области I-IV компактного случая Ковалевской соответствуют интервалам, на которые ось $Ob$ разбивается проекциями суперсингулярных точек на рисунке 6. Отметим, что координата $b$ точки пересечения кривых $M$ и $U$ разделяет один из интервалов на два, с разным порядком особых точек $y_{3}$ и $y_{10}$ по оси $Oh$.

По следствию 1.3 каждое слоение на неособом $Q^{3}_{a,b,h}$ классического случая Ковалевской лиувиллево эквивалентно одному из слоений компактного случая.

Утверждение 3.7.

Заштрихованные на рисунке 4 подобласти I.8, II.15, II.9, III.6 и IV.5 компактного случая Ковалевской, лежащие выше кривой $v=f_{7}(u)=2u^{3/2}/(\sqrt{u}-\sqrt{2}\varkappa c_{1})$, соответствуют интервалам классического случая Ковалевской, а именно

в данных подобластях компактного случая все ‘‘старые’’ (имеющие аналоги в классическом случае Ковалевской) особые точки $y_{i}\in\Sigma^{a,b}$ лежат левее всех ‘‘новых’’ (не имеющих таких аналогов) особых точек $z_{i}$. 2. 2.

начало кода (т.е. последовательность до первой точки $z_{i}$ особых точек $y_{i}$ и молекул Фоменко с именованными атомами при возрастании $h$) этих подобластей компактного случая совпадает с кодами интервалов классического случая Ковалевской.

Отметим, что соседним интервалам оси $Ob$ на рисунке 6, ограниченным значениями $b_{i}$ общих точек изображенных на нем кривых соответствуют соседние подобласти компактного случая. В силу независимости устройства сечения от выбора $a>0$ для случая $\varkappa=0$, можно говорить о ‘‘вложении’’ классического случая Ковалевской при ненулевой постоянной площадей в компактный случай Ковалевской.

3.5 Устройство разделяющего множества

3.5.1 Поверхности в $\mathbb{R}^{3}(a,b,h)$ и особые точки $\Sigma^{a,b}$

Абсциссы $h$ особых точек $\Sigma^{a,b}$ кроме нулей параметрической кривой (2.3.2) удовлетворяют хотя бы одному из уравнений $h=h_{i}(a,b)$ или $h=h(a,b,z_{i}(a,b))$. Все особые точки из одного семейства $y_{1},\dots,\widehat{y_{4}},\dots,\widehat{z_{7}},\dots,z_{11}$ удовлетворяют ровно одному из этих уравнений.

Графиками этих функций от $(a,b)$ являются двумерные поверхности в $\mathbb{R}^{3}(a,b,h)$, обозначим их $int,l$ и $\pm r,\pm l,lt,rt,cusp$. Будем называть их и соответствующие им особые точки $\Sigma^{a,b}$ поверхностями и особыми точками первой серии. В таблице 16 указано соответствие поверхностей и семейств особых точек.

В зависимости от $(a,b)$ точке $(a,b,h)$ такой поверхности может соответствовать одна или несколько особых точек, или $\Sigma^{a,b}$ может не содержать особых точек с такой абсциссой $h$.

Тройкам $(a,b,h)$ из поверхностей $\pm r,\pm l$ соответствуют точки пересечения параметрической кривой (2.3.2) с левой и правой параболами, тройкам из $lt,rt$ — касания этих кривых. Тройки из поверхности $cusp,int$ и $l$ соответствуют точке возврата кривой (2.3.2), точке пересечения парабол и вершине левой параболы.

Нулям параметрической кривой (2.3.2), в том числе особым точки из семейств $y_{10},y_{11}$ и $z_{1}$, соответствует поверхность $root$, заданная неявно: $k(a,b,z)=0$. Она не является однозначной над областями I и II. Эти семейства и поверхность будем относить ко второй серии.

Для удобства дальнейших вычислений перепараметризуем множество орбит $D=\{(a,b)|a\geq f_{l}\geq 0\}$ значениями $(u,v)$ новых функций Казимира, которые выражаются через $f_{1},f_{2}$ как решения уравнения $f^{2}-2f_{1}f+4f_{2}^{2}=0$.

[TABLE]

Следующая лемма о порождаемом при этом отображении $\rho:\,(a,b)\rightarrow(u,v)$ в плоскости $Oab$ доказывается явным вычислением. При этом образом лучей ${b=0,a\geq 0}$ и ${a=f_{l}(b)\geq 0,b\geq 0}$ являются лучи ${u=0,v\geq 0}$ и ${v=u,u\geq 0}$. Далее сохраним для $\rho(D)$ обозначение $D$.

Лемма 3.2.

Пусть $\varkappa>0$, тогда замена (3.5.1) регулярна в $\mathrm{Int}\,D$ и является гомеоморфизмом множеств $D$ и $\{(u,v)|\,v\geq u\geq 0\}$.

Функции $h_{i}(a,b)$ и $z_{i}(a,b)$ для поверхностей первой серии были найдены в работе [3]. В лемме 4.1 они будут записаны как функции от $(u,v)$.

3.5.2 Равенство абсцисс особых точек первой серии

Укажем орбиты, для которых равны значения функций $h_{i}$ первой серии, т.е. совпадают абсциссы $h_{i}$ особых точек из семейств первой серии или происходит перестройка особых точек.

В утверждении 3.8 попарно приравняем их функции $h_{i}(a,b)$ и $h(a,b,z_{i}(a,b))$ и решим возникающие уравнения. Иными словами, поверхности первой серии будут в $\mathbb{R}^{3}(a,b,h)$ пересекаться или касаться над кривыми на плоскости орбит, перечисленными в таблицах 17 и 18.

Утверждение 3.8.

Пусть $\varkappa>0$, тогда поверхности первой серии пересекаются в точности для пар $(u,v)$, лежащих на разделяющих кривых $f_{0},...,f_{19}$.

В таблицах 17 и 18 для них указаны явные формулы вида $y=y(x)$ и значения $x_{1},x_{2}$ аргумента $x$, при которых $f_{i}$ лежит в $D$.

Замечание 3.7.

В таблицах 17 и 18

в указанных интервалах $x\in(x_{1},x_{2})$ функция $f_{i}$ определена, и точка с координатами $x$ и $f_{i}(x)$ лежит в $D$, т.е. ей соответствует непустая орбита. 2. 2.

семейства в паре упорядочены по возрастанию абсцисс $h$ их особых точек при $f_{i}(x)+\varepsilon>y>f_{i}(x)$, т.е. там $h_{1}\leq h_{2}$. Паре сопоставлен нижний индекс [math], если на кривой достигается минимум $h_{2}-h_{1}$, и $1$, если знак этой разности изменяется при переходе через кривую. 3. 3.

кривые $f_{l}$ и $f_{t}$ являются графиками функций $f_{1}$ и $f_{14}$, а кривые $f_{r}$, $f_{m}$ — объединением графиков функций $f_{4}$ и $f_{5}$, $f_{9}$ и $f_{10}$ соответственно.

Утверждение 3.8 доказано в пункте 4.2.

Следствие 3.1.

Пусть $\varkappa>0$, тогда луч $a>0,b=0$ содержит ровно $4$ точки, для которых имеются пересечение поверхностей первой серии:

[TABLE]

3.5.3 Равенство абсцисс особых точек из разных серий

Теперь опишем разделяющие кривые, для точек $(u,v)$ которых нуль параметрической кривой имеет абсциссу $h$, удовлетворяющую одному из уравнений первой серии $h=h_{i}(u,v)$ или $h=h(u,v,z_{i}(u,v))$. Отметим, что этим нулем не является точка $z_{1}$ — самая правая особая точка $\Sigma^{a,b}$, если содержится в ней.

Первой такой кривой является $f_{k}$, на которой точка возврата с параметром $z_{cusp}$ является нулем кривой (2.3.2), т.е. $k(f_{k}(b),b,z_{cusp}(f_{k}(b),b))=0$. Оставшиеся четыре кривые $f_{20},f_{21},f_{22},f_{23}$ описаны в утверждении 3.9. Рассмотрим замены координат $q=q(u,v),s=s(v)$ и $\widetilde{q}=q(v,u),\widetilde{s}=s(u)$.

[TABLE]

Лемма 3.3.

Пусть $\varkappa>0$, тогда замена (3.5.2) задает гомеоморфизм множеств $E=\{(u,v)|v\geq u\geq\tau^{2}\}$ и $\{(q,s)\,|\,q/\tau\geq s\geq q^{2},0<q\leq 1/\tau\}$ и регулярна в $\mathrm{Int}\,E$.

В координатах $(q,s)$ разделяющие кривые $f_{l},f_{t},f_{r}$ и $f_{m}$ являются графиками функций одной переменной, как и в исходных координатах $(a,b)$. Эти функции указаны в таблице 19. Для кривой $f_{k}$ верен аналогичный факт, который будет доказан в разделе 4.3.

Лемма 3.4.

Пусть $\varkappa>0$, тогда в координатах (3.5.2) дуга кривой $f_{k}$, лежащая в области $E$ является графиком явной функции $s=f_{24}(q)$

[TABLE]

Далее будем обозначать листы поверхности $root$, соответствующие нулям $y_{11}$ и $y_{10}$ как $rootl$ и $rootr$ соответственно. Эти поверхности в пространстве $\mathbb{R}^{3}(a,b,h)$ склеиваются в точках $(a,b,h)$ при $h=h(a,b,z_{cusp}(a,b)),a=f_{k}(b)$. Заметим, что проводить все попарные проверки поверхностей первой серии и $rootl$, $rootr$ на совпадение значений $h$ не требуется.

Лемма 3.5.

При $\varkappa>0$ достаточно проверить следующие пары поверхностей из разных серий:

• •

область I:   $(rootr,-r)$, $(rootr,+r)$,

• •

область II: $(rootr,-r)$, $(rootr,+r)$, $(rootr,+l)$ и $(rootl,-r)$.

Действительно, как было установлено в [3], $h_{z}^{\prime}<0$ при $0<z<\sqrt[3]{b^{2}c_{1}^{2}}=z_{cusp}$ и $h_{z}^{\prime}>0$ при остальных $z\neq 0$. Отсюда $h(z_{1})>h(rt)>h(lt)>h(rootr)$ и $h(+l)>h(rootl)$. Т.к. $h(-l)<h_{l}<h(rootl)$ в области II и $h_{l}<h(rootr)$ в областях I, II, то положение оставшихся точек относительно $rootr$ и $rootl$ известно. Отсюда следует утверждение леммы 3.5.

Найдем уравнения разделяющих кривых $f_{20},...,f_{23}$, на которых достигаются равенства значений гамильтониана в точках $\pm r$ или $\pm l$ и $rootl,rootr$.

Утверждение 3.9.

Пусть $\varkappa>0$, тогда

1) равенства $h(rootr)=h(+r)$, $h(rootl)=h(-r)$ и $h(rootr)=h(-r)$ в координатах $(q,s)=(v^{-1}\sqrt{u},v^{-1})$ достигается на графиках следующих функций $s=f_{i}(q)$ в плоскости $Oqs$, где $i\in\{20,21,22\}$ соответственно:

[TABLE]

2) равенство $h(rootr)=h(+l)$ достигается на кривой, которая в координатах $(\widetilde{q},\widetilde{s})=(u^{-1}\sqrt{v},u^{-1})$ $\widetilde{s}=f_{23}(\widetilde{q})$ является графиком функции $\widetilde{s}=f_{20}(\widetilde{q})$.

Здесь $\sigma_{20}=-1,\sigma_{21}=\sigma_{22}=+1$. В выражении $w_{i}$ знаки ‘‘+’’ и ‘‘$-$’’ перед корнем определяются выбором правого или левого корня $rootr$ и $rootl$ соответственно, а знаки ‘‘+’’ и ‘‘$-$’’ под корнем равны $-\sigma_{i}$ и зависят от выбора $+r$ или $-r$:

[TABLE]

Замечание 3.8.

При $1-8\tau q<0,$ выражения $w_{21},w_{22}$ не определены. Значение $q=1/(8\tau)$ соответствует общей точке $(u_{0},f_{13}(u_{0}))$ кривых $f_{21},f_{22},f_{13}$ и $f_{k}$.

Благодаря явному заданию кривых можно утверждать, что на рисунки 4 и 5 попали все ветви этих кривых, содержащиеся в $\Theta$.

3.5.4 Дуги разделяющих кривых, входящие в $\Theta$

На следующем шаге для каждой из функций $f_{i}$ укажем подмножество промежутка $(x_{1},x_{2})$, на котором точка графика $f_{i}$ содержится в $\Theta$. Отметим, что общая тройка $(a,b,h)$ двух поверхностей содержится в $\mathbb{A}^{2}$, т.е. пара $(a,b)\in\Theta$, в точности если $\Sigma^{a,b}$ содержит две особые точки с равными значениями $h$ или осуществляется одна из перестроек бифуркационных диаграмм, происходящих при пересечении кривых $f_{l},f_{t},f_{k},f_{r},f_{m}$ или $b=0$.

Проверим, на каких дугах кривых $f_{i}$ лежат тройки, которым соответствуют две особые точки $\Sigma^{a,b}$ с равными абсциссами. Функция $f_{i}$ была записана в таблицу 18, если ее график содержит конечное или нулевое число точек из $\Theta$, или в таблицу 17, если целая дуга графика $f_{i}$ содержится в $\Theta$. Следующее утверждение доказано в пункте 4.5.

Утверждение 3.10.

В компактном случае Ковалевской разделяющее множество $\Theta$ состоит из следующих дуг кривых $f_{i}$:

$f_{0}$, $f_{1}$, $f_{2}$, $f_{3}$, $f_{4}$, $f_{5}$, $f_{7}$, $f_{8}$, $f_{9}$, $f_{10}$, $f_{14}$, $f_{15}$, $f_{16}$ — с указанными в таблице 17 областями определения в координатах $(u,v)$, заданных формулой (3.5.1), 2. 2.

$v=f_{18}(u)$* — при $u\in(0,\tau^{2}/4)$,* 3. 3.

$v=f_{13}(u)$* — при $u\in(0,u_{0})$. Здесь $u_{0}=\cfrac{(5+3\sqrt{3})^{2}}{16}\tau^{2}$,* 4. 4.

$v=f_{17}(u)$* — при $u\in(0,\tau^{2}/4)$,* 5. 5.

$a=f_{k}(b)$* — при $b\geq 0$.* 6. 6.

Кривые $f_{6},f_{11},f_{12},a=f_{19}(b)$ не добавляют новых дуг и точек в $\Theta$. 7. 7.

Описанные в утверждении 3.9 кривые $f_{20},f_{22},f_{23}$ входят в $\Theta$ целиком, кривая $f_{21}$ — до пересечения с $f_{t}$.

Замечание 3.9.

Точка $(u_{0},f_{13}(u_{0}))$ лежит на кривых $f_{13}$, где $h_{cusp}=h_{-r}$, и на кривой $f_{k}$, общей для поверхностей $rootr$, $rootl$ и $cusp$.

Таким образом, на рисунках 4 и 5 указаны все дуги разделяющих кривых, входящих в $\Theta$. В частности, отсутствуют иные ветви кривых $f_{20},\dots,f_{23}$.

3.5.5 Точки пересечения разделяющих кривых

Остается удостовериться, что на эти рисунки попали все точки пересечения этих дуг. В утверждении 3.11 докажем, что все точки пересечения дуг $\Theta$, лежащие в достаточно малой окрестности вершины $2$, уже указаны на рисунке 5 (т.е. при рассмотрении такой окрестности ‘‘под микроскопом’’ не обнаружатся новые вершины графа $\Theta$).

Утверждение 3.11.

Все пересечения кривых из $\Theta$ вблизи точки $(\tau^{2},\tau^{2})$ указаны на рисунке 5. А именно, кривые $f_{r}$, $f_{16}$ не имеют там точек пересечения с другими кривыми, кривая $f_{8}$ пересекает кривые $f_{k},f_{23},f_{t}$, кривая $f_{20}$ пересекает кривую $f_{t}$.

Теперь опишем поведение кривых $\Theta$ на большом удалении от нуля в плоскости $Ouv$. В утверждении 3.12 докажем, что дуги $\Theta$ не пересекаются при достаточно больших $(u,v)$, т.е. все вершины $\Theta$ попали на рисунок 4.

Утверждение 3.12.

Кривые $\Theta$ пересекают окружность достаточно большого радиуса с центром в начале координат в следующем порядке. Окружность обходится против часовой стрелки.

[TABLE]

Следствие 3.2.

Разделяющее множество имеет структуру графа с $75$ вершинами и $199$ ребрами, симметричного относительно прямой $b=0$. Все вершины и ребра $\Theta$ изображены на рисунках 4-5.

4 Доказательства утверждений о разделяющем множестве

4.1 Доказательство лемм

4.1.1 Явные формулы для поверхностей первой серии

Лемма 4.1.

Пусть $\varkappa>0$, тогда в области $\hat{D}=\{(a,b)\,|\,a>2\sqrt{\varkappa}b>0\}$ абсциссы особых точек первой серии в координатах $(u,v)$, заданных формулой (3.5.1), имеют следующий вид, где $\tau=\sqrt{2}\varkappa c_{1}$:

[TABLE]

[TABLE]

Доказательство.

Несложно посчитать, что

[TABLE]

Для поверхностей класса $h=h(a,b,z_{i}(a,b))$ данные выражения были получены подстановкой $z_{i}(u,v)$ в формулу

[TABLE]

Лемма 4.1 доказана. ∎

4.1.2 Доказательство леммы 3.1 о сингулярных орбитах

При $\varkappa>0$ из $f_{1}=f_{l}(f_{2})$ следует, что $x_{i}=\sqrt{\varkappa}J_{i}$, т.е. объединение сингулярных орбит изоморфно $\mathbb{R}^{3}(\textbf{J})$ со структурой алгебры Ли $so(3)$. Функцией Казимира является $f=J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2}=b\varkappa^{-1/2}$. Интегралы $H,K$ и $f$ зависимы:

[TABLE]

[TABLE]

Тем самым, $H=-\sqrt{K}+\varkappa c_{1}^{2}+2b\varkappa^{-1/2}$. Образ отображения момента $(H,K)$ одномерен и лежит на параболе $k=\left(h-a\varkappa^{-1}-\varkappa c_{1}^{2}\right)^{2}$. 2. 2.

Интеграл $H(J_{1},J_{2})$ расслаивает $\mathbb{R}^{3}(\textbf{J})$ на соосные круговые цилиндры и особую прямую $J_{1}=\sqrt{\varkappa}c_{1},J_{2}=0$. Значение $b_{0}=\sqrt{\varkappa^{3}c_{1}^{4}}$ соответствует касанию оси цилиндров и орбиты $J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2}=b\varkappa^{-1/2}$.

Рассмотрим множество троек $(f_{l}(b),b,h)$, для которых $Q_{f_{l}(b),b,h}$ не диффеоморфно $S^{1}$ или $2S^{1}$. Для каждой сингулярной орбиты $M^{2}_{a,b}$ таковыми являются две точки $p_{1}^{\pm}$ касания цилиндров и сферы, а при $b_{0}<b$ также две точки $p_{2}^{\pm}$ пересечения оси цилиндров и сферы. Нетрудно найти их координаты:

[TABLE]

При $0<b\leq b_{0}$ минимум и максимум $H$ достигаются в точках $p_{1}^{-}$ и $p_{1}^{+}$ соответственно. При $b_{0}<b$ слой, содержащий точку $p_{1}^{+}$, диффеоморфен окружности, а максимум $H$ достигается в точках $p_{2}^{\pm}$. При этом $K(p_{1}^{\pm})>0$ и $K(p_{2}^{\pm})=0$. 3. 3.

Из леммы 4.1 при $a=f_{l}(b)$ имеем равенства $z_{-r}=z_{-l}$, $z_{+l}=z_{+r}$, $z_{lt}=z_{rt}$. Явно проверено, что $H(p_{1}^{-})=h_{-l},H(p_{1}^{+})=h_{+l}$ и $H(p_{2}^{\pm})=h_{l}=h_{rt}$. Равенство $H(p_{2}^{\pm})=h(z_{1})$ по непрерывности следует из расположения $z_{1}$ между вершинами парабол (2.3.3) и (2.3.4). Этих данных достаточно, чтобы описать $\mathbb{A}^{2}$ в окрестности плоскостей $a=f_{l}(b)$.

Лемма 3.1 доказана.

4.2 Доказательство утверждения 3.8

Достаточно сравнить значения функций $h_{i}(a,b)$ и $h(a,b,z_{i}(a,b))$ из леммы 4.1 для 36 пар поверхностей.

Сравнение значений $h$ поверхностей $\pm l,\pm r,lt,rt$ не представляет сложностей. Для сравнения $h_{cusp}$ и значения $h$ для поверхностей $\pm l,\pm r$ сделаем замену $w=w(u,v)>0$ и получим кубический многочлен с кратным корнем. Например, для $-l$  замена и многочлен имеют вид $w=u^{1/3}v^{-1/6}\tau^{-1/3}$ и $(w-2)(w+1)^{2}$ соответственно. Для пар $(lt,cusp)$ и $(rt,cusp)$ используется похожая замена $w=u^{-2/3}v^{1/3}\tau^{2/3}$.

Значения функций $h_{+l}$ и $h_{cusp}$, $h_{+r}$ и $h_{cusp}$ равны на кривых $v=u^{2}/\tau^{2},u>\tau^{2}$ и $u=v^{2}/\tau^{2},0<v<\tau$ соответственно. Две эти кривые являются образом кривой $f_{r}$ в координатах $(u,v)$. 2. 2.

Функции $h_{l}$ и $h_{+l}$ равны на кривой $a=f_{t}(b(t),t),b=b(t)$. Приняв за $t=\sqrt{u/(2\varkappa)}$, и подставив $a=a(u,v),b=b(u,v)$, получим уравнение кривой $f_{14}$. Отметим, что при $u\in(0,\tau^{2})$ совпадают точки трех поверхностей: $+l$, $l$ и $z_{1}$. При $v<f_{14}(u),0\leq u<\tau^{2}$ точкам поверхностей $l$ и $z_{1}$ не соответствует особых точек $\Sigma^{u,v}$.

Сравнение значений $h_{l}$ и $h_{int}$ друг с другом или с одной из функций $h_{-l}$, $h_{\pm r}$, $h_{lt}$, $h_{rt}$ не представляет сложностей. Отметим, что образ кривой $f_{m}$ в координатах $(u,v)$ является объединением отрезка $v=\tau^{2},0\leq u\leq\tau^{2}$ и луча $u=\tau^{2},v\geq\tau^{2}$, на которых равны значения пар функций $h_{int}$ и $h_{rt}$, $h_{int}$ и $h_{lt}$ соответственно. 3. 3.

Кривая $v=f_{17}(u)$, в точках которой равны $h_{l}$ и $h_{cusp}$, и луч $v=u,u>0$ не имеют общих точек кроме точки $(\tau^{2},\tau^{2})$, поскольку значение функции $uf_{17}(u)-u^{2}>0$ положительно в точках ее экстремумов $u=\tau^{2}$ и $u=\tau^{2}/4$ и в точке $u=0$. 4. 4.

Пару $cusp$ и $int$ рассмотрим в координатах $(a,b)$. Полученная кривая $a=f_{19}(b)$ не войдет в $\Theta$, т.к. она лежит ниже прямой $a=f_{l}(b)$ при $b>0,b\neq\varkappa^{3/2}c_{1}^{2}$:

[TABLE]

Т.к. при $b>0$ полученный многочлен от $b^{1/3}$ неотрицателен, и равен нулю только при $b=\varkappa^{3/2}c_{1}^{2}$, то единственной точкой кривой $f_{19}$ в $\Theta$ является вершина $2$.

Утверждение 3.8 доказано.

4.3 Уравнения кривых $f_{l},f_{t},f_{k},f_{r},f_{m}$ в координатах $(q,s)$

Подставив выражения $u(s,q)$ и $v(s)$ в уравнения кривых $f_{1},f_{4}$,  $f_{9},f_{14}$ из таблицы 17, легко получить уравнения из таблицы 19 для кривых $f_{l},f_{t},f_{r}$ и $f_{m}$. 2. 2.

Проделав то же самое с уравнением кривой $f_{k}$ в координатах $(u,v)$, получим квадратное уравнение относительно $s$.

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE] 3. 3.

Выбор знака перед радикалом, т.е. нужной ветви $f_{k}^{-}$ или $f_{k}^{+}$, определяется попаданием данной ветви в $E$, т.е. условием $f_{m}(q)\leq f_{k}(q)\leq f_{l}(q)$ на промежутке $q\in(0,1]$.

Найдя корни уравнений $f_{k}^{\pm}(q)=f_{l}(q)$ и $f_{k}^{\pm}(q)=f_{m}(q)$ с учетом их кратностей, легко увидеть, что $f_{k}^{-}(q)\geq f_{m}(q)\geq f_{k}^{+}(q)\geq f_{l}(q)$ при $0<q\leq\tau^{-1}$. Значит, $f_{k}=f_{k}^{+}$.

Лемма 3.4 доказана.

4.4 Доказательство утверждения 3.9

Подробно обоснуем формулы для кривой $f_{20}$, разделяющей точки $+r$ и $rootr$. Небольшие отличия для остальных случаев будут указаны в пункте 3.

1. Приравняем $h(z)=h(z_{\delta r})$, тогда $z_{\delta r}$ и один из нулей параметрической кривой $z_{rootr},z_{rootl}$ сопряжены как корни этого уравнения

[TABLE]

Разделим многочлен на двучлен $z-z_{\delta r}=\left(z-\delta c_{1}\sqrt{u/2}\right)$ и вычислим корни квадратного трехчлена:

[TABLE]

[TABLE]

В выражении $w_{x,y}(u,v)$ индексы $x\in\{rootl,rootr\}$ и $y\in\{+l,-r,+r\}$ указывают, абсциссы какой пары особых точек $\Sigma^{a,b}$ были приравнены. Правило выбора знака в выражении $w(u,v)$ с индексами $x,y$ опишем в пункте 3. Получили, что $w(u,v)$ является функцией одной переменной $q=\sqrt{u}/v$ в случае $y=\pm r$ или одной переменной $\sqrt{v}/u$ в случае $y=+l$.

2. Подставим найденные $z_{root}$ в уравнение $k(z)=0$  и разделим на $v^{2}$:

[TABLE]

[TABLE]

Перепишем уравнение в координатах $(q,s)$:

[TABLE]

[TABLE]

Здесь $w=w_{x,+r}=\left(1\pm\sqrt{1+8\delta\tau q}\right)$. Получена явная формула кривой $s(q)$, содержащей те и только те точки $(q,s)$ для которых абсцисса корня совпадает с абсциссой $z_{+r}$.

3. Опишем выбор знаков для $s(q)$, $w_{x,y}(q)$ и $\sigma_{i}$. Достаточно описать пары $(x,y)\in\{(rootr,+r),(rootl,-r),(rootr-r)\}$, т.к. для пары $(rootr,+r)$ вычисления проходятся аналогично случаю $(rootr,+r)$, в координатах $(\widetilde{q},\widetilde{s})=(q(v,u),s(u))$.

Из пункта 1 видно, что знак $\delta_{i}=\textrm{sgn}\,z_{\pm r}$, т.е. $\sigma_{i}=-\delta_{i},w_{i}(q)=1\pm\sqrt{1-8\sigma_{i}\tau q}$. Т.е. под радикалом функции $w_{x,y}(q)$ выбирают знак "плюс"  для точки $+r$ и "минус"  для $-r$.

Знак перед радикалом в $w_{x,-r}(q)$ определяет выбор корня — знак "плюс"  для $rootr$ и знак "минус"  для $rootl$. Отметим, что $h(+r)>h(rootl)$, поэтому этой паре не соответствует дуг $\Theta$.

Знак перед внешним радикалом в итоговой функции $s(q)$ определяется двумя требованиями: неотрицательностью подкоренного выражения и принадлежностью кривой области $E$. Таким образом, перед внешним корнем надо выбрать знак "плюс"  для всех трех кривых $f_{20},f_{21},f_{22}$.

Получили указанные в утверждении выражения для $\sigma_{i},w_{i}(q)$ и $f_{i}(q),i\in\{20,21,22\}.$ Утверждение 3.9 доказано.

4.5 Доказательство утверждения 3.10

Кривые $f_{i},i\in\{1,4,5,9,10,14\}$ с указанными в таблице 17 областями определения являются образами кривых $f_{l},f_{t},$ $f_{r},f_{m}$ при замене $(a,b)\rightarrow(u,v)$, и потому входят в $\Theta$.

Остальные кривые $f_{i}$ соответствуют парам пересекающихся поверхностей. Проекция кривой их пересечения или касания на $Oab$ имеет конечное число общих точек с границами областей I-IX. Для каждой кривой назовем подходящими те области, где обе особые точки входят в $\Sigma^{a,b}$. Дуга кривой, лежащая в такой области, войдет в разделяющее множество $\Theta$.

Для кривых $f_{2},f_{3},f_{7},f_{8},f_{15}$ подходящими являются области I-V, V, I-IV, I-III, I-V. На всей области определения, указанной в таблице 17, каждая из кривых содержится в замыкании своих подходящих областей. Достаточно проанализировать порядок роста данных кривых, а для кривой $f_{8}$ — значения $f_{t}^{\prime},f_{k}^{\prime},f_{8}^{\prime}$ и $f_{r}^{\prime}$ в точке $(\tau^{2},\tau^{2})\in Ouv$.

Для кривой $f_{16}$ области I, VI и VII являются подходящими. Кривая лежит именно в них, поскольку $f_{t}(u)=f_{14}(u)<f_{16}(u)<\tau^{2}$ при $0<u<\tau^{2}$ и $f_{l}(u)<f_{16}(u)<f_{t}(u)$ при $u>\tau^{2}$. Это легко обосновать, рассмотрев $f_{14}^{\prime}-f_{16}^{\prime}$ при $u<\tau^{2}$ и $f_{16}^{\prime\prime\prime}(u),f_{14}^{\prime\prime\prime}(u)$ при $u=\tau^{2}+0$. 2. 2.

Для кривой $f_{18}$ подходящей является область VII. Данная кривая $v=\tau^{2}/2$ пересекает кривую $f_{r}:v(u)=\tau\sqrt{u}$ в точке $(\tau^{2}/4,\tau^{2}/2)$, т.е. при $u<\tau^{2}/4$ график $f_{18}(u)$ лежит в VII. 3. 3.

На кривой $f_{13}$ совпадают абсциссы особых точек $-r$ и $cusp$. Подходящими областями являются III, IV, V, VII, IX. При $0<u<\tau^{2}$ имеем $f_{13}(u)>f_{5}(u)$, т.е. график лежит в подходящих областях V, VII и IX. Порядок роста функции $f_{13}$ равен $1/2$, т.е. график пересечет кривые $f_{4}$, $f_{k}$ и $f_{14}$. Найдем точку пересечения $u_{0}$ кривых $f_{13}$ и $f_{k}$, подставив $v=8\tau\sqrt{u}$ в (4.3.1):

$u+8\tau\sqrt{u}=3u+3\tau\sqrt{u}-\cfrac{\tau^{2}}{4}$

$2u-5\tau\sqrt{u}-\cfrac{\tau^{2}}{4}=0,\qquad u_{0}=\cfrac{(5+3\sqrt{3})^{2}\tau^{2}}{16}.$ 4. 4.

В точках пересечения кривых $f_{17}$ и $f_{k}$ имеем $h_{cusp}=h_{l}$ и $cusp=rootl=rootr$. Значит, в ней $h_{rootl}=h_{l}$, и эта точка принадлежит $f_{t}$. Точка $(\tau^{2},\tau^{2})$ является единственной общей точкой трех кривых $f_{t},f_{17},f_{k}$, т.е. график $f_{17}$ лежит ниже графика $f_{k}$ и не попадает в подходящие области (III и IV) при $u>\tau^{2}$.

Кривая $f_{17}$ пересекает кривую $f_{r}$ в точке $(\tau^{2}/2,\tau^{2}/\sqrt{2})$, области V и VII являются подходящими, а область VIII нет. 5. 5.

Дуга $v<\tau^{2}$ кривой $f_{6}$ находится в областях VI и VIII, которые не являются для нее подходящими: при $v<\tau^{2}$ имеем $f_{r}(u)>f_{6}(u)>u$.

[TABLE]

Аналогично, при $0<u<\tau^{2}/2$ график $v=f_{11}(u)$ лежит ниже прямой $v=0$, а при $\tau^{2}/2<u<\tau^{2}$ график лежит выше прямой $v=\tau^{2}$, т.е. в не подходящей для $f_{11}$ области V. Из утверждения 3.8 следует, что график кривой $a=f_{19}(b)$ лежит вне $D$. 6. 6.

Функции $f_{20},f_{22},f_{24}$ определены при сколь угодно близких к нулю значениях $q$, т.е. при сколь угодно больших $v$. Эти кривые $s=f_{i}(q)$ лежат выше кривой $s=f_{l}(q)=q^{2}$. Равенство абсциссы $h$ для нуля параметрической кривой и одной из точек типов $-r,+r,+l$ возможно только при $f_{l}(b)\leq a\leq f_{k}(b)$, т.к только в областях I и II параметрическая кривая (2.3.2) имеет нули, отличные от $z_{1}$. Напомним, точка $z_{1}$ на плоскости $Ohk$ всегда лежит правее остальных особых точек.

Для кривой $f_{21}$ данный факт следует из рассмотрения области определения радикала. Самая правая на плоскости $Osq$ точка кривой $s=f_{21}(q)$ лежит на кривой $f_{t}$.

Утверждение 3.10 доказано.

4.6 Доказательство утверждения 3.11

В координатах $(u,v)$ кривые $f_{24}=f_{k},f_{20}$ и $f_{23}$, выходящие из вершины $2$ c координатами $(\tau^{2},\tau^{2})$, заданы неявно. Вид разделяющего множества для ‘‘средних’’ по величине значений $(u,v)$, изображенных на рисунке 4, достоверен. Устройство $\Theta$ в окрестности этой вершины $\Theta$ докажем аналитически.

На кривой $f_{20}$ равны $h_{rootr}$ и $h_{+l}$, на кривой $f_{23}$ — $h_{rootr}$ и $h_{+r}$. При этом $h(+r)=h(+l)$ на кривой $f_{3}$ при $u\leq\tau^{2}$. Т.е. $f_{20}$ и $f_{23}$ имеют одну общую точку $(\tau^{2},\tau^{2})$.

Кривая $f_{23}$ может пересечь $f_{k}$ только в точке $(u,v)$, для которой $h(+l)=h(cusp)$, т.е. на кривой $f_{4}=f_{r}$ при $u\geq\tau^{2}$. Значит, $f_{k}$ лежит выше кривой $f_{23}$ при $u>\tau^{2}$. Т.к. $f_{20}$ пересекает $f_{23}$ только в вершине $2$, то она тоже не пересекает $f_{k}$ при $u>\tau^{2}$. 2. 2.

Через точку пересечения $f_{8}$ и $f_{4}$ пройдет кривая $f_{3}$. Т.е. это только точка $(\tau^{2},\tau^{2}).$

Пару кривых $f_{8}$ и $f_{k}$ рассмотрим в координатах $(q,s)$. Уравнение $f_{k}$ выведено в лемме 3.4, а уравнение $f_{8}$ несложно найти: $s>0$, и в следующем уравнении требуется выбрать знак $+$

[TABLE]

Численное решение уравнения $f_{8}(q)=f_{k}(q)$ дает корень $q_{0}=1/\tau$ и корень $q_{1}\approxeq 0,57$, отделенный от нуля и $q_{0}$. При этом в точке $q_{0}$ имеем $f_{8}^{\prime}(q_{0}-0)=5\sqrt{2}/6<\sqrt{2}=f_{k}^{\prime}(q_{0}-0)$. Значение $q_{0}^{\prime}\approxeq 0,65$ является ближайшей к $q_{0}$ точкой равенства $f^{\prime}_{k}$ и $f_{8}^{\prime}$.

Из теории вычислительных методов следует, что достаточно исследовать достаточно малую окрестность $q_{0}$ на наличие общих точек этих кривых. Поскольку производные непрерывны, достаточно показать сохранение знака $f_{k}^{\prime}(q)-f_{8}^{\prime}(q)$ в некоторой окрестности.

Докажем, что на $(q_{0}^{\prime},q_{0})$ нет нулей второй производной, т.е. там $f_{k}^{\prime\prime}(q)>f_{8}^{\prime\prime}(q)$. Используем оценку:

Вторая производная $f_{k}^{\prime\prime}(q)$ имеет асимптотику $(q-q_{0})^{r},-1<r<0$, а $f_{8}^{\prime\prime}(q)$ определена и конечна в этой точке.

Для всех $q$ из промежутка $0,69=p<q<q_{0}$ верна оценка

[TABLE]

С помощью сеточного разбиения и оценки на третьи производные доказывается отсутствие нуля $f_{k}^{\prime\prime}-f_{8}^{\prime\prime}$ на промежутке $[q_{0}^{\prime},p]$. Поскольку между нулями непрерывной $f^{\prime}$ лежит ноль $f^{\prime\prime}$, то на промежутке $q_{1},q_{0}$ разность $f_{k}-f_{8}$ не обращается в ноль и не меняет знака.

Утверждение 4.6 доказано.

4.7 Доказательство утверждения 3.12

Кривые $f_{l},f_{t},f_{k},f_{r},f_{m}$ не пересекаются друг с другом при больших значениях $u^{2}+v^{2}$. Кривые $f_{7}$ при $u\rightarrow\tau^{2}+0$ и $f_{17}$ при $u\rightarrow+0$ неограниченно возрастают, приближаясь справа к прямым $f_{m}$ и $u=0$ соответственно.

Все кривые, возможно, кроме $f_{k}$ и $f_{20},...,f_{23}$, монотонно возрастают при больших $u$ с известной скоростью. Кривая $f_{7}$ не пересекается с $f_{15}$ при больших $u$, т.к. $f_{7}(u)-f_{15}(u)=const_{7}-const_{15}+o(1)$, где $const_{7}=2\tau^{2}>\tau^{2}=const_{15}$. Аналогично в случае кривых $f_{8}$ и $f_{16}$.

Кривая $f_{2}$ имеет порядок роста как $u+const\sqrt{u}+...$. Начиная с некоторого $u$ кривая $f_{2}$ лежит ниже всех остальных кривых, значит, это свойство сохранится далее из монотонности кроме $f_{l}$ на большом удалении $u^{2}+v^{2}$. 2. 2.

Докажем, что кривая $f_{22}$ лежит между $f_{7}$ и $f_{15}$ при больших u. Все три кривые неограниченно возрастают при $q\rightarrow 0$. На кривой $f_{7}$ равны абсциссы $h_{l}=h_{-r}$, на кривой $f_{15}$ — $h(z_{lt}=h_{-r}$, на кривой $f_{22}$ имеем $h_{rootr}=h_{-r}$. При этом точка $rootr$ лежит левее точки $z_{lt}$ и правее точки $h_{l}$. Значит, данные кривые не могут пересекаться. Аналогично кривая $f_{20}$ лежит между $f_{8}$ и $f_{16}$ при больших $u$. 3. 3.

Кривая $f_{23}$, в точках $(u,v)$ которой $h_{rootr}=h_{+l}$, лежит на $Ouv$ между $f_{k}$ и $f_{t}$ при всех отмеченных на чертеже $u$. На кривой $f_{k}$ имеем совпадение особых точек: $rootr=rootl=cusp$. При этом кривая $h(z_{+l})=h(z_{cusp})$ есть кривая $f_{r}$ при $u>\tau^{2}$. Аналогично, на кривой $f_{t}$ $+l=h_{l}=rootl$. Поскольку $rootr=rootl$ есть кривая $f_{k}$, то кривые $f_{t}$ и $f_{20}$ не пересекаются при $u>\tau^{2}$. 4. 4.

Кривые $f_{t},f_{r}$ имеют квадратичный порядок роста $u^{2}$, $f_{k}$ находится между ними, потому все три кривые повторно не пересекутся достаточно далеко с кривыми линейного порядка роста.

Утверждение 3.12 доказано.

Список литературы

• [1] S. Kowalewski, Sur le probléme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe // Acta Mathematica 12 177–-232, 1889.
• [2] И. В. Комаров, Базис Ковалевской для атома водорода // ТМФ 47 (1), 67–7, 1981.
• [3] И. К. Козлов, Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) // Матем. сб. 205 (4), 79–-120, 2014.
• [4] Г. Г. Аппельрот, Не вполне симметричные тяжелые гироскопы // Движение твердого тела вокруг неподвижной точки // М.-Л., Изд-во АН СССР, 1940.
• [5] М. П. Харламов, *Топологический анализ классических интегрируемых систем в динамике твердого тела

• // Доклады АН СССР ** 273 ** (6), 1322–-1325, 1983.

• [6] М. П. Харламов, *Бифуркации совместных уровней первых интегралов в случае Ковалевской * // Прикладная математика и механика ** 47 ** (6), 922–-930, 1983.
• [7] М. П. Харламов, Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела // Ленинград, Изд-во ЛГУ, 1988.
• [8] Е. А. Кудрявцева, И. Н. Никонов, А. Т. Фоменко, *Максимально симметричные клеточные разбиения и их накрытия * // Матем. сб. ** 199 ** (9), 3–-96, 2008.
• [9] A. T. Fomenko, A. Yu. Konyaev, *New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems * // Topology and Its Applications 159, 1964–-1975, 2012.
• [10] Е. А. Кудрявцева, А. Т. Фоменко, *Группы симметрий правильных функций Морса на поверхностях * // Доклады РАН, серия: Математика ** 446 ** (6), 615–-617, 2012.
• [11] A. T. Fomenko, A. Yu. Konyaev, Algebra and geometry through Hamiltonian systems // Continuous and distributed systems. Theory and applications. Ser. Solid Mechanics and Its Applications/ Ed. by V.Z. Zgurovsky, V.A. Sadovnichiy. // Cham, Springer, 2014.
• [12] A. T. Fomenko, C. C. Nikolaenko, *The Chaplygin case in dynamics of a rigid body in fluid is orbitally equivalent to to the Euler case in rigid body dynamics and to the Jacobi problem about geodesics on the ellipsiod. * // Journal of Georemry and Physics 87, 115–-133, 2015.
• [13] В. В. Фокичева, А. Т. Фоменко, *Интегрируемые биллиарды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твердого тела * // Доклады РАН, серия: Математика 465 (2), 150–-153, 2015.
• [14] В. В. Ведюшкина, А. Т. Фоменко, *Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы * // Известия РАН, серия: Математика 81 (4), 20–-67, 2017.
• [15] А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация // Ижевск, Издат. дом ‘‘Удмурт. ун-т’’, 1999.
• [16] А. Т. Фоменко, Х. Цишанг, *Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы * // Изв. РАН 54 (3), 546–-575, 1990.
• [17] А. В. Болсинов, П. Х. Рихтер, А. Т. Фоменко, *Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской * // Матем. сб. ** 191 ** (2), 3–-42, 2000.
• [18] П. В. Морозов, *Вычисление инвариантов Фоменко–Цишанга в интегрируемом случае Ковалевской-Яхьи

• // Матем. сб. ** 198 ** (8), 59–-82, 2007.

• [19] Н. С. Славина, *Топологическая классификация систем типа Ковалевской-Яхьи

• // Матем. сб. ** 205 ** (1), 105–-160, 2014.

• [20] П. В. Морозов, *Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша

• // Матем. сб. ** 193 ** (10), 113–-138, 2002.

• [21] П. В. Морозов, *Топология слоений Лиувилля случаев интегрируемости Стеклова и Соколова уравнений Кирхгофа

• // Матем. сб. ** 195 ** (3), 69–-114, 2004.

• [22] В. В. Фокичева, *Топологическая классификация биллиардов в локально-плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик

• // Матем. сб. ** 206 ** (10), 127–-176, 2015.