On H\"older continuity of mappings in domains and on boundaries

TL;DR

This paper investigates the conditions under which certain mappings in Euclidean spaces and solutions to Beltrami equations exhibit H"older continuity, especially near boundaries, based on Dini-type conditions.

Contribution

It establishes H"older and Lipschitz continuity for a class of spatial mappings with Dini-type characteristic and identifies boundary conditions for solutions of degenerate Beltrami equations.

Findings

Mappings with Dini-type characteristics are H"older continuous in a domain.

Generalized solutions to degenerate Beltrami equations are H"older continuous at boundary points under specific coefficient conditions.

Conditions on complex coefficients ensure boundary regularity of solutions.

Abstract

We study mappings with branching of a domain of Euclidean space. The H\"older and Lipschitz continuity are established for one class of spatial mappings whose characteristic satisfies the Dini type condition in a given domain. In addition, we found conditions on the complex coefficient of the degenerate Beltrami equations in the unit disk under which generalized homeomorphic solutions of this equation are H\"older continuous at the points of the boundary.

Equations

$$M\left(f\left(\Gamma \left(S_1,S_2,A\right)\right)\right)⩽\underset{A}{\int }Q(x)\cdot {\eta }^n(|x-x_0|)dm(x)$$

$$\underset{r_1}{\overset{r_2}{\int }}\eta (r)dr⩾1.$$

$$\underset{t\to 0}{\mathrm{limsup}}\underset{t}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\left(\alpha -\frac{1}{q_{x_0}^{1/(n-1)}(r)}\right)\cdot \frac{dr}{r}<+\infty .$$

$$|f(x)-f(x_0)|⩽C|x-x_0{|}^{\alpha }\forall x\in U_0.$$

$$h(x,\infty )=\frac{1}{\sqrt{1+{|x|}^2}},h(x,y)=\frac{|x-y|}{\sqrt{1+{|x|}^2}\sqrt{1+{|y|}^2}},x\ne \infty \ne y,$$

$$h(f(x),f(x_0))⩽\frac{{\alpha }_n}{\delta }\exp \left\{-\underset{|x-x_0|}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\frac{dr}{r{q}_{x_0}^{\frac{1}{n-1}}(r)}\right\},$$

$$|f(x)-f(x_0)|⩽C_n\exp \left\{-\underset{|x-x_0|}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\frac{dr}{r{q}_{x_0}^{\frac{1}{n-1}}(r)}\right\},$$

$$\frac{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0{|}^{\alpha }}⩽C_n\cdot \frac{\exp \left\{-\underset{|x-x_0|}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\frac{dr}{r{q}_{x_0}^{\frac{1}{n-1}}(r)}\right\}}{|x-x_0{|}^{\alpha }}=$$

$$=C_n\cdot \frac{\exp \left\{-\underset{|x-x_0|}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\frac{dr}{r{q}_{x_0}^{\frac{1}{n-1}}(r)}\right\}}{\exp \left\{-\alpha \underset{|x-x_0|}{\overset{1}{\int }}\frac{dr}{r}\right\}}=\widetilde{C_n}\cdot \exp \left\{\underset{|x-x_0|}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\frac{\alpha dr}{r}-\underset{|x-x_0|}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\frac{dr}{r{q}_{x_0}^{\frac{1}{n-1}}(r)}\right\}=$$

$$=\widetilde{C_n}\cdot \exp \left\{\underset{|x-x_0|}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\left(\alpha -\frac{1}{q_{x_0}^{1/(n-1)}(r)}\right)\cdot \frac{dr}{r}\right\},$$

$$\exp \left\{\underset{|x-x_0|}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\left(\alpha -\frac{1}{q_{x_0}^{1/(n-1)}(r)}\right)\cdot \frac{dr}{r}\right\}⩽M_0\forall x\in B(x_0,{\epsilon }_0)\setminus \{x_0\}.$$

$$\underset{t\to 0}{\mathrm{limsup}}\underset{t}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\left(1-\frac{1}{q_{x_0}^{1/(n-1)}(r)}\right)\cdot \frac{dr}{r}<+\infty ,$$

$$|f(x)-f(x_0)|⩽C|x-x_0|\forall x\in B(x_0,{\epsilon }_0),$$

$$\underset{r\to 0}{\mathrm{limsup}}\underset{r<|x|<1}{\int }\frac{Q(x)-1}{|x{|}^n}dm(x)<\infty .$$

$$|f(x)|⩽C|x|\forall x\in {\mathbb{B}}^n.$$

$$\underset{r\to 0}{\mathrm{limsup}}\underset{r<|x|<{\epsilon }_0}{\int }\frac{Q(x)-1}{|x{|}^n}dm(x)<\infty .$$

$$\underset{r<|x|<{\epsilon }_0}{\int }\frac{Q(x)-1}{|x{|}^n}dm(x)=\underset{r}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\underset{S(0,r)}{\int }\frac{Q(x)-1}{|x{|}^n}dSdr=$$

$${\omega }_{n-1}\cdot \underset{r}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\frac{q_0(r)-1}{r}dr.$$

$$\underset{t}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\left(1-\frac{1}{q_0^{1/(n-1)}(r)}\right)\cdot \frac{dr}{r}⩽K\cdot {\omega }_{n-1}\cdot \underset{t}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\frac{q_0(r)-1}{r}dr,$$

$$(1+\lambda {)}^n⩾1+n\lambda \forall n\in \mathbb{N},$$

$$\left(1-\frac{1}{q_0^{1/(n-1)}(r)}\right)\cdot \frac{1}{r}⩽\frac{1}{n-1}\cdot \frac{q_0(r)-1}{r}.$$

$$1-\frac{1}{q_0^{1/(n-1)}(r)}⩽\frac{1}{n-1}\cdot (q_0(r)-1).$$

$$1-\frac{1}{s}⩽\frac{1}{n-1}\cdot (s^{n-1}-1).$$

$$s-1⩽\frac{1}{n-1}\cdot (s^n-s),$$

$$(n-1)(s-1)⩽s^n-s$$

$$s^n⩾ns-n+1.$$

$$\underset{t}{\overset{{\epsilon }_0}{\int }}\left(1-\frac{1}{q_{x_0}^{1/(n-1)}(r)}\right)\cdot \frac{dr}{r}⩽K\cdot \underset{t<|x|<{\epsilon }_0}{\int }\frac{Q(x)-1}{|x{|}^n}dm(x).$$

$$\underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{limsup}}\frac{1}{{\Omega }_n\cdot {\epsilon }^n}\underset{B(x_0,\epsilon )}{\int }Q(x)dm(x)⩽C.$$

$$h(f(x),f(x_0))⩽{\alpha }_n\cdot |x-x_0{|}^{{\beta }_n},$$

$$\phi (2t)⩽\gamma \cdot \phi (t).$$

Full text

1 Введение

В работе [1] получены неравенства типа Липшица для квазиконформных отображений единичного шара в себя, в связи с чем отметим также публикацию [2]. В настоящей заметке мы распространим эти результаты на отображения, допускающие наличие точек ветвления, при этом, характеристике квазиконформности отображений разрешается быть неограниченной. Ниже нами использовано достаточно общее условие, согласно которому указанная характеристика обязана удовлетворять некоторому (довольно сильному) ограничению. Как будет показано ниже, это ограничение является более общим, чем [1, условие (1.9)] для отображений, чья интегральная характеристика не меньше 1.

Все отображения $f:D\rightarrow{\mathbb{R}}^{n},$ участвующие в статье, рассматриваются в области $D\subset{\mathbb{R}}^{n},$ $n\geqslant 2,$ и предполагаются непрерывными. Обозначим, как обычно, $B(x_{0},r)=\left\{x\in{\mathbb{R}}^{n}:|x-x_{0}|<r\right\},$ ${\mathbb{B}}^{n}:=B(0,1),$ $S(x_{0},r)=\{x\,\in\,{\mathbb{R}}^{n}:|x-x_{0}|=r\},$ ${\mathbb{S}}^{n-1}:=S(0,1),$ $A(x_{0},r_{1},r_{2})=\{x\,\in\,{\mathbb{R}}^{n}:r_{1}<|x-x_{0}|<r_{2}\}.$ Пусть $E,$ $F\subset\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ – произвольные множества. В дальнейшем через $\Gamma(E,F,D)$ мы обозначаем семейство всех кривых $\gamma:[a,b]\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}},$ которые соединяют $E$ и $F$ в $D,$ т.е. $\gamma(a)\in E,\,\gamma(b)\in F$ и $\gamma(t)\in D$ при $t\in(a,\,b).$ Пусть $M$ – конформный модуль семейств кривых в ${\mathbb{R}}^{n}$ (см. [3, разд. 6]), $r_{0}\,=\,{\rm dist}\,(x_{0}\,,\partial D),$ $Q:D\rightarrow\,[0\,,\infty]$ – измеримая по Лебегу функция, $S_{\,i}\,=\,S(x_{0},r_{i}),$ $i=1,2.$ Согласно [4, раздел 11.3], отображение $f:D\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ называется кольцевым $Q$-отображением в точке $x_{0}\,\in\,D,$ если соотношение

[TABLE]

выполнено для любого кольца $A=A(x_{0},r_{1},r_{2}),$  $0<r_{1}<r_{2}<r_{0}$ и для каждой измеримой функции $\eta:(r_{1},r_{2})\rightarrow[0,\infty]\,$ такой, что

[TABLE]

Заметим, что все конформные и квазиконформные отображения удовлетворяют соотношению (1.1) с некоторой функцией $Q,$ которая является, при этом, ограниченной (см., напр., [4, теоремы 8.1, 8.6]). Напомним, что отображение $f:D\rightarrow{\mathbb{R}}^{n}$ называется открытым, если образ любого открытого множества $U\subset D$ является открытым множеством в ${\mathbb{R}}^{n},$ и дискретным, если прообраз $f^{\,-1}\left(y\right)$ каждой точки $y\in{\mathbb{R}}^{n}$ состоит только из изолированных точек. Имеет место следующая

Теорема 1.1**.**

Пусть $\alpha\in(0,1],$ $r_{0}>0,$ $f:D\rightarrow B(0,r_{0})$ – открытое дискретное отображение, удовлетворяющее условию (1.1) в точке $x_{0}\in D.$ Предположим, что при некотором $0<\varepsilon_{0}<{\rm dist}\,(x_{0},\partial D)$

[TABLE]

Тогда найдётся $C>0,$ зависящее только от $n,$ $r_{0},$ $\varepsilon_{0}$ и функции $Q(x)$ такое, что в некоторой окрестности $U_{0}\subset D$ точки $x_{0},$ зависящей только от этой точки и функции $Q,$

[TABLE]

2 Доказательство основного результата

Пусть $h$ – хордальная метрика в $\overline{{\mathbb{R}}^{n}},$

[TABLE]

$h(C):=\sup\limits_{x,y\in C}\,h(x,y)$ – хордальный диаметр множества $C\subset\overline{{\mathbb{R}}^{n}}.$ Зафиксируем $\varepsilon_{0}$ из условия теоремы 1.1. Заметим, прежде всего, что для каждой точки $x\in B(x_{0},\varepsilon_{0})$ имеет место неравенство

[TABLE]

где $\delta:=h\left(\overline{{\mathbb{R}}^{n}}\setminus B(0,r)\right),$ постоянная $\alpha_{n}$ зависит только от $n,$ а среднее значение $q_{x_{0}}(r)$ функции $Q(x)$ по сфере $S(x_{0},r)$ как обычно, определено соотношением $q_{x_{0}}(r)=\frac{1}{\omega_{n-1}r^{n-1}}\int\limits_{S(x_{0},\,r)}Q(x)d\mathcal{H}^{n-1},$ где $\mathcal{H}^{n-1}$ – $(n-1)$-мерная мера Хаусдорфа (см. [5, теорема 3.5.1]). Поскольку $h(x,y)\geqslant\frac{|x-y|}{1+r^{2}_{0}}$ при всех $x,y\in B(0,r_{0}),$ из (2.1) получаем, что

[TABLE]

где постоянная $C_{n}$ может зависеть только от $n,$ $r_{0}$ и функции $Q.$ Разделим левую и правую часть (2.2) на $|x-x_{0}|^{\alpha},$ $0<\alpha\leqslant 1.$ Тогда из (2.2) будем иметь:

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

где $\widetilde{C_{n}}=C_{n}/\varepsilon_{0}^{\alpha}.$ Однако, ввиду условия (1.2) найдётся такое $M_{0}>0,$ зависящее только от $n,$ $\alpha$ и функции $Q$ такое, что

[TABLE]

Тогда из (2.3) вытекает соотношение $|f(x)-f(x_{0})|\leqslant C\cdot|x-x_{0}|^{\alpha},$ где $C=\widetilde{C_{n}}\cdot M_{0},$ что и требовалось установить. $\Box$

Следствие 2.1**.**

Если в условиях теоремы 1.1 вместо соотношения (1.2) потребовать, что

[TABLE]

то отображение $f$ удовлетворяет оценке

[TABLE]

другими словами, $f$ – липшицево в точке $x_{0}.$ **

Следующий результат указывает на то, что утверждение теоремы 1.8 в [1] является частным случаем теоремы 1.1, по крайней мере, при $Q\geqslant 1$ и произвольном $n\geqslant 2,$ либо при $Q\geqslant 0$ при $n=2.$

Следствие 2.2**.**

Пусть $f:{\mathbb{B}}^{n}\rightarrow{\mathbb{B}}^{n},$ $f(0)=0$ – открытое дискретное отображение, удовлетворяющее условию (1.1) в нуле, такое, что

[TABLE]

Тогда найдётся постоянная $C>0,$ зависящая только от $n$ и $Q,$ такая, что

[TABLE]

В частности, утверждение следствия 2.2 имеет место, если $f$ – квазиконформное отображение, а $Q(x)$ – его касательная дилатация (см. [1, формула (1.5) и лемма 2.4]).

Доказательство.

Из (2.5) следует, что для произвольного $0<\varepsilon_{0}<1$

[TABLE]

Достаточно установить, что условие (2.6) влечёт неравенство (2.4). По теореме Фубини интеграл в (2.6) может быть записан в виде

[TABLE]

[TABLE]

Покажем, что почти всюду

[TABLE]

где $K=\frac{1}{(n-1)\omega_{n-1}}.$ Для этой цели сравним между собой подинтегральные части выражений в (2.8). Прежде всего, напомним, что при $\lambda\geqslant-1$ имеет место следующее неравенство Бернулли:

[TABLE]

которое непосредственно проверяется методом математической индукции. Далее, установим неравенство

[TABLE]

В самом деле, (2.10) эквивалентно соотношению

[TABLE]

При $q_{0}(r)=0$ или $q_{0}(r)=+\infty$ последнее соотношение, а значит, и (2.10), очевидно. Пусть теперь $0<q_{0}(r)<\infty.$ Обозначив $s=q_{0}^{1/(n-1)}(r),$ (2.10) можно переписать в виде

[TABLE]

Домножая последнее соотношение на $s,$ получаем

[TABLE]

что в свою очередь неравенствам

[TABLE]

и

[TABLE]

Но (2.11) есть соотношение (2.9), в котором положено $s=\lambda+1.$ Таким образом, соотношение (2.11) имеет место, а значит, выполняется эквивалентное ему неравенство (2.10). Однако, из (2.10) немедленно следует (2.8). Комбинируя (2.7) и (2.8), мы получаем, что

[TABLE]

Оставшаяся часть утверждения вытекает из последнего соотношения с учётом предположения в (2.5) и следствия 2.1. $\Box$ ∎

3 Об отображениях, характеристика которых имеет конечное среднее

значение

В монографии [4, лемма 6.1] установлены некоторые полезные свойства функций конечного среднего колебания, которые в дальнейшем используются при решении различных вопросов теории отображений (см. напр., [6], [7] и [8]). В настоящем разделе мы рассмотрим функции с более жёстким ограничением, когда их среднее значение по малым шарам конечно. Как будет видно, такие условия существенно <<более выгодны>>, поскольку их использование позволяет получить качественно более сильные результаты.

Используя подход, применённый при доказательстве леммы 6.1 в [4], мы установим далее некоторое интегральное соотношение для функций с конечным средним значением по шарам с некоторым <<весом>>. Затем указанный результат будет применён для решения проблем локального и граничного поведения одного класса отображений. Следует отметить, что основные результаты здесь получаются как следствия из этого свойства и наших более ранних результатов.

Всюду далее $h$ – хордальное расстояние в $\overline{{\mathbb{R}}^{n}}={\mathbb{R}}^{n}\cup\{\infty\}$ (см. [3, определение 12.1]). Имеют место следующие утверждения.

Теорема 3.1**.**

Пусть $f:D\rightarrow\overline{{\mathbb{R}}^{n}}$ – гомеоморфизм, удовлетворяющий условию (1.1) в точке $x_{0}\in D,$ такой, что $h\left(\overline{{\mathbb{R}}^{n}}\setminus f\left(D\right)\right)\geqslant\delta>0.$ Предположим, найдётся постоянная $0<C<\infty$ такая, что

[TABLE]

Тогда найдётся $\varepsilon(x_{0})\in(0,\infty)$ такое, что для всех $x\in B(x_{0},\varepsilon(x_{0}))$ имеет место неравенство

[TABLE]

где постоянная $\alpha_{n}$ зависит только от $n$ и $\delta,$ а $\beta_{n}$ – только от $n$ и постоянной $C$ в (3.1).**

Теорема 3.2**.**

Пусть $f:D\rightarrow B(0,r),$ $r>0,$ – открытое дискретное отображение, удовлетворяющее условию (1.1) в точке $x_{0}\in D.$ Предположим, найдётся постоянная $0<C<\infty$ такая, что выполнено соотношение (3.1). Тогда найдётся $\varepsilon(x_{0})\in(0,\infty)$ такое, что для всех $x\in B(x_{0},\varepsilon(x_{0}))$ имеет место неравенство (3.2), где постоянная $\alpha_{n}$ зависит только от $n$ и $r,$ а $\beta_{n}$ – только от $n$ и постоянной $C$ в (3.1).**

Мы докажем теоремы 3.1 и 3.2 после того, как будет доказано ключевое утверждение, сформулированное ниже. Пусть $a>0$ и $\varphi\colon[a,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ — неубывающая функция, такая что при некоторых постоянных $\gamma>0,$ $T>0$ и всех $t\geqslant T$ выполнено неравенство вида

[TABLE]

Несложные примеры таких функций хорошо известны: 1) $\varphi(t)=t^{\alpha},$ $\alpha\geqslant 0;$ 2) $\varphi(t)=\log t;$ 3) $\varphi(t)=t^{\alpha}+\log^{\beta}t$ и $\varphi(t)=t^{\alpha}\log^{\beta}t,$ где $\alpha,\beta\geqslant 0.$ Вообще, можно указать достаточно большое количество функций с указанным свойством (см. [9, разд. 4, § 4, гл. I]). Условимся называть такие функции функциями, удовлетворяющими условию удвоения.

Пусть теперь $\varphi\colon[a,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ – функция с условием удвоения, тогда функция $\widetilde{\varphi}(t):=\varphi(1/t)$ не возрастает и определена на полуинтервале $(0,1/a].$ Имеет место следующее ключевое утверждение.

Лемма 3.1**.**

Пусть $a>0,$ $\varphi\colon[a,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ – неубывающая функция с условием удвоения (3.3), $x_{0}\in{\mathbb{R}}^{n},$ $n\geqslant 2,$ и пусть $Q:{\mathbb{R}}^{n}\rightarrow[0,\infty]$ – измеримая по Лебегу функция, удовлетворяющая при некотором $0<C<\infty$ условию

[TABLE]

Тогда найдётся $\varepsilon_{0}>0$ такое, что

[TABLE]

где $C_{1}:=\frac{\gamma C\Omega_{n}2^{n}}{\log 2}.$ **

Доказательство.

Возьмём за основу подход, использованный при доказательстве [4, лемма 6.1]. Не ограничивая общности, можно в дальнейшем положить $x_{0}=0.$ Так как по условию выполнено соотношение (3.4), то найдётся $\varepsilon_{0}>0$ такое, что $Q\in L^{1}(B(0,\varepsilon_{0})).$ Можно считать, что $1/a<\varepsilon_{0},$ где $a$ – число из области определения функции $\varphi$ и, в частности, число $1/T$ из (3.3) также меньше $\varepsilon_{0}.$

Заметим также, что ввиду соотношения (3.4)

[TABLE]

Пусть теперь $\varepsilon<2^{\,-1}\varepsilon_{0},$ $\varepsilon_{k}=2^{\,-k+1}\varepsilon_{0},$ $A_{k}=\{x\in{\mathbb{R}}^{n}:\varepsilon_{k+1}\leqslant|x|<\varepsilon_{k}\},$ $B_{k}=B(0,\varepsilon_{k}).$ Пусть также $N$ – натуральное число такое, что $\varepsilon\in[\varepsilon_{N+1},\varepsilon_{N}).$ Обозначим

[TABLE]

[TABLE]

Заметим, что

[TABLE]

Поскольку $A_{k}\subset B_{k},$

[TABLE]

где, как обычно, $\Omega_{n}$ обозначает меру единичного шара ${\mathbb{B}}^{n}$ в ${\mathbb{R}}^{n}.$ Кроме того, для произвольного $x\in A_{k}$ с учётом условия удвоения (3.3), будем иметь: $|x|^{n}\geqslant 2^{-n}\varepsilon_{k}^{n},$ откуда $|x|\geqslant\varepsilon_{k}/2$ и

[TABLE]

Учитывая соотношения (3.6) и (3.7), а также определение числа $\delta$ в (3.5), мы получим, что

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Пусть $\varepsilon_{0}\in(0,2^{\,-1}).$ Поскольку $\varepsilon<\varepsilon_{N}$ по выбору $N,$ то

[TABLE]

Объединяя (3.8) и (3.9), мы получим, что

[TABLE]

Обозначив $C_{1}:=\frac{\gamma C\Omega_{n}2^{n}}{\log 2}$ и вспоминая о том, что $\alpha(t)=t^{-n}\cdot\varphi(1/t),$ последнее соотношение можно переписать в виде

[TABLE]

откуда, поскольку $A(\varepsilon,\varepsilon_{0})\subset A(\varepsilon_{N+1},\varepsilon_{0}),$ следует, что

[TABLE]

Поскольку $\varepsilon\in(0,\varepsilon_{0})$ – произвольно, утверждение леммы установлено. $\Box$ ∎

Доказательство теоремы 3.1 вытекает из леммы 3.1 и [4, лемма 7.6] при $\varphi(t)\equiv 1,$ $\psi(t)=1/t;$ теоремы 3.2 – из леммы 3.1 и [10, лемма 5] при $\varphi(t)\equiv 1,$ $\psi(t)=1/t.$ $\Box$

Основные результаты заметки могут быть применены в области дифференциальных уравнений, в частности, уравнений Бельтрами на плоскости (см., напр., [6], [7]).

4 О граничном поведении решений уравнений Бельтрами

В недавних работах, посвящённых изучению краевых задач для уравнения Бельтрами в анизотропных и неоднородных средах, использовалась логарифмическая ёмкость (см., например, [11]–[15]). Как известно, логарифмическая ёмкость совпадает с так называемым трансфинитным диаметром множества. Из этой геометрической характеристики следует, что множества нулевой ёмкости (в частности, функции, измеримые относительно логарифмической ёмкости) инвариантны при непрерывных по Гёльдеру отображениях. Это обстоятельство является мотивировкой нашего исследования, которому посвящён данный раздел статьи.

В дальнейшем, $D$ – область комплексной плоскости ${\mathbb{C}},$ т.е., связное открытое подмножество ${\mathbb{C}}$. Пусть $\mu\colon D\rightarrow{\mathbb{C}}$ – измеримая функция такая, что $|\mu(z)|<1$ почти всюду в $D.$ Уравнением Бельтрами называется уравнение вида

[TABLE]

где $f_{\bar{z}}=\overline{\partial}f=(f_{x}+if_{y})/2$, $f_{z}=\partial f=(f_{x}-if_{y})/2$, $z=x+iy$, $f_{x}$ и $f_{y}$ частные производные $f$ по $x$ и $y$, соответственно. Функция $\mu$ называется комплексной дилатацией, а

[TABLE]

– максимальной дилатацией уравнения (4.1). Якобиан $J_{f}(z)$ сохраняющего ориентацию и отображения $f$ в точке $z,$ имеющего частные производные в этой точке, вычисляется по правилу $J_{f}(z)=|f_{z}|^{2}-|f_{\overline{z}}|^{2}.$ В дальнейшем запись $K_{\mu}(z)$ может использоваться в следующих двух значениях: если задана функция $\mu,$ то мы вычисляем $K_{\mu}$ посредством формулы (4.2); если же задано отображение $f,$ имеющее частные производные, то мы вычисляем $\mu=\mu_{f}$ по правилу

[TABLE]

при этом, согласно формуле (4.2), полагаем: $K_{\mu}(z)=K_{\mu_{f}}(z).$ Уравнение (4.1) называется вырожденным, если ${\rm ess}\,{\rm sup}\,K_{\mu}=\infty.$ Существование гомеоморфных решений класса Соболева $W^{1,1}_{\rm loc}$ установлено для вырожденных уравнений Бельтрами при соответствующих условиях на $K_{\mu}$, см., напр., монографии [4] и [16]. В дальнейшем используются следующие стандартные обозначения для кругов и окружностей в комплексной плоскости:

[TABLE]

Важнейшим инструментом исследования уравнений Бельтрами является метод модулей. Следующее утверждение связывает решения этого уравнения с классом кольцевых $Q$-отображений, см. [17, теорема 3.1], [18, теорема 5.3] и [19, теорема 1].

Предложение 4.1**.**

Пусть $D$ и $D^{\,\prime}$ — области в ${\mathbb{C}}$ и $f:D\rightarrow D^{\,\prime}$ — гомеоморфное решение уравнения (4.1) такое, что $f\in W^{1,1}_{\rm loc}$ и $K_{\mu}\in L^{1}_{\rm loc}(D)$. Тогда $f$ является кольцевым $Q$-гомеоморфизмом в каждой точке $z_{0}\in D$ при $Q(z)=K_{\mu}(z)$.**

Следующее утверждение относится к вопросу о непрерывном продолжении решений (4.1) на единичную окружность. Согласно [20, следствие 7.4], имеет место следующее

Предложение 4.2**.**

Пусть $\mu:{\mathbb{D}}\rightarrow{\mathbb{C}}$ — измеримая в $\mathbb{D}$ функция такая, что $|\mu(z)|<1$ п.в., и пусть также $f:{\mathbb{D}}\rightarrow{\mathbb{D}}$ — гомеоморфное решение уравнения (4.1), принадлежащее $W_{\rm loc}^{1,1}$. Если для всех $\zeta\in\partial\mathbb{D}$ выполнено условие

[TABLE]

то $f$ имеет гомеоморфное продолжение $f:\overline{\mathbb{D}}\rightarrow\overline{\mathbb{D}}.$**

Нам также понадобится результат о локальном поведении кольцевых $Q$-гомеоморфизмов во внутренних точках области, см. [17, следствие 4.1].

Предложение 4.3**.**

Пусть $D$ и $D^{\,\prime}$ — области в $\mathbb{C}$, $Q:D\rightarrow[0,\infty]$ — измеримая по Лебегу функция, и пусть $f:D\rightarrow D^{\,\prime}$ — кольцевой $Q$-гомеоморфизм в точке $z_{0}\in D$ такой, что $h(\overline{{\mathbb{C}}}\setminus f(D))\geqslant\Delta>0.$ Предположим, что существуют $0<\varepsilon_{0}<{\rm dist}(z_{0},\partial D)$ и измеримая по Лебегу функция $\psi:(0,\infty)\rightarrow[0,\infty],$ удовлетворяющая условию

[TABLE]

при этом,

[TABLE]

Тогда для всех $z\in D(z_{0},\varepsilon_{0})$

[TABLE]

Полагая $\psi(t)=\frac{1}{t}$ в формулировке предложения 4.3, получаем следующее

Следствие 4.1**.**

Предположим, что в условиях предложения 4.3 вместо соотношения (4.3) имеет место условие

[TABLE]

Тогда для всех $z\in D(z_{0},\varepsilon_{0})$

[TABLE]

Следующая лемма связывает среднее значение функции по кругу и интеграл, участвующий в левой части неравенства (4.4).

Лемма 4.1**.**

Пусть $Q:{\mathbb{C}}\rightarrow[0,\infty]$ — измеримая по Лебегу функция, при этом, существуют $0<\delta_{0}<1$ и постоянная $C_{*}>0$ такие, что

[TABLE]

Тогда найдётся $\varepsilon_{0}>0$ такое, что для всех $\varepsilon\in(0,\varepsilon_{0})$ и $z_{0}\in\partial{\mathbb{D}}$

[TABLE]

Доказательство леммы 4.1 немедленно следует из леммы 3.1 при $n=2,$ $\varphi(t)\equiv 1$ и $C_{*}=C.$ $\Box$

Ключевым утверждением данного раздела является следующая

Лемма 4.2**.**

Пусть $\mu:{\mathbb{D}}\rightarrow{\mathbb{C}}$ — измеримая по Лебегу функция, удовлетворяющая условию $|\mu(z)|<1$ для п.в. $z\in\mathbb{D}.$ Предположим, $f_{0}:{\mathbb{D}}\rightarrow{\mathbb{D}},$ $f_{0}({\mathbb{D}})={\mathbb{D}},$ – гомеоморфное решение уравнения Бельтрами (4.1), принадлежащее пространству $W_{\rm loc}^{1,1}.$ Если $K_{\mu}\in L^{1}(\mathbb{D})$ и, кроме того, найдутся $\varepsilon_{0}\in(0,1)$ и $C\in[1,\infty),$ такие что

[TABLE]

то $f_{0}$ имеет гомеоморфное продолжение $f:\overline{\mathbb{D}}\rightarrow\overline{\mathbb{D}},$ при этом,

[TABLE]

где $\delta_{0}:=\min\left\{\frac{1}{2},\varepsilon_{0}^{2}\right\}$ и $\alpha:=\frac{\log 2}{68C}.$ **

Доказательство.

Заметим, что $f_{0}$ допускает гомеоморфное продолжение $f:\overline{\mathbb{D}}\rightarrow\overline{\mathbb{D}}$ в силу предложения 4.2. Продолжим $f$ по симметрии на внешность круга $\mathbb{D},$ полагая

[TABLE]

При помощи прямых вычислений несложно установить, что комплексная дилатация отображения $F$ имеет вид

[TABLE]

По условию, $f_{0}\in W_{\rm loc}^{1,1}(\mathbb{D}),$ поэтому также $F\in W_{\rm loc}^{1,1}(\mathbb{D}).$ Покажем большее, а именно, что $F\in W^{1,1}(\mathbb{D})$ (другими словами, мы утверждаем, что частные производные отображения $F$ не только локально, но и глобально интегрируемы в $(\mathbb{D})$). Для этого заметим, что

[TABLE]

Отсюда

[TABLE]

Далее, применяя неравенство Гельдера, получаем

[TABLE]

В силу гомеоморфности отображения $F$, имеем

[TABLE]

см. [21, теоремы 3.1.4, 3.1.8 и 3.2.5]. Учитывая условие $K_{\mu}\in L^{1}(\mathbb{D})$, из оценок (4.6) и (4.7) получаем, что

[TABLE]

Покажем, теперь, что $F\in W^{1,1}(D_{R})$ для любого $R>1$, где $D_{R}:=D(0,R)$. Действительно, по аддитивности интеграла Лебега, имеем равенство

[TABLE]

В силу (4.8) имеем: $\int\limits_{\mathbb{D}}\,|F_{z}|\,dm(z)<\infty$.

Заметим, что $F\in ACL({\mathbb{C}}).$ В самом деле, единичный круг можно разбить на не более, чем счётное число прямоугольников, в которых $F$ абсолютно непрерывна на почти всех на координатных отрезках. Применив в каждом из прямоугольников критерий абсолютной непрерывности через интегрирование производных, см. [22, теорема IV.7.4], и воспользовавшись непрерывностью $f$ в $\overline{\mathbb{D}},$ мы получим абсолютную непрерывность $f$ на отрезках в $\overline{\mathbb{D}}$, одна из концевых точек которых может принадлежать единичной окружности. Аналогично можно рассуждать для области ${\mathbb{C}}\setminus D.$ В таком случае, абсолютная непрерывность на линиях $F$ в ${\mathbb{C}}$ вытекает из критерия [22, теорема IV.7.4] и аддитивности одномерного интеграла Лебега.

Осталось показать, что $\int\limits_{1<|z|\leqslant R}|F_{z}|\,dm(z)<\infty.$ Заметим, что в силу гомеоморфности отображения $F$

[TABLE]

см. [21, теоремы 3.1.4, 3.1.8 и 3.2.5]. Далее, покажем, что

[TABLE]

Сделав замену переменных $w=\frac{1}{\overline{z}}$ и воспользовавшись [21, теорема 3.25], преобразуем этот интеграл к виду:

[TABLE]

[TABLE]

Следовательно,

[TABLE]

Применяя неравенство Гёльдера и оценки (4.9), (4.10), получаем:

[TABLE]

[TABLE]

Включение $F\in W_{\rm loc}^{1,1}(\mathbb{C})$ установлено.

Оценим теперь интеграл $\int\limits_{D(\zeta,\varepsilon)}K_{\mu_{F}}(z)\,dm(z)$ при $\varepsilon\in(0,\varepsilon_{0})$. Для этого, разобьём его на две части:

[TABLE]

[TABLE]

Сделав замену переменных $w=\frac{1}{\overline{z}}$ и воспользовавшись [21, теорема 3.25], преобразуем второй интеграл к виду:

[TABLE]

[TABLE]

Проверим следующее неравенство:

[TABLE]

Действительно,

[TABLE]

[TABLE]

где $w=\zeta+\varepsilon e^{i\varphi},\zeta=e^{i\vartheta}$.

Таким образом, получаем:

[TABLE]

[TABLE]

Учитывая оценку (4.12) и равенство (4.11), мы получим отсюда, что

[TABLE]

Из условий (4.5) и (4.13) вытекает, что $\sup\limits_{\varepsilon\in(0,\varepsilon_{0})}\frac{1}{\pi\varepsilon^{2}}\int\limits_{D(\zeta,\varepsilon)}K_{\mu_{F}}(z)\,dm(z)<17\sup\limits_{\varepsilon\in(0,\varepsilon_{0})}\frac{1}{\pi\varepsilon^{2}}\int\limits_{{\mathbb{D}}\cap D(\zeta,\varepsilon)}K_{\mu}(z)\,dm(z)<17C.$ Далее, применяя лемму 4.1 при $C_{*}=17C,$ при некотором $0<\varepsilon_{0}<1$ получаем оценку

[TABLE]

Заметим, что $\frac{\log\frac{1}{\varepsilon}}{\log\left(\frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon}\right)}=1+\frac{\log\frac{1}{\varepsilon_{0}}}{\log\left(\frac{\varepsilon_{0}}{\varepsilon}\right)}<2$ для всех $\varepsilon\in(0,\delta_{0}).$ Тогда

[TABLE]

Окончательно, полагая $\varepsilon:=|z_{2}-z_{1}|$ и применяя следствие 4.1 с учётом предложения 4.1, получаем оценку:

[TABLE]

Поскольку $z_{1}$ и $z_{2}\in\partial{\mathbb{D}},$ мы получим, что

[TABLE]

Лемма доказана. ∎

В завершение нашей статьи рассмотрим следующий результат.

Теорема 4.1**.**

Пусть $\mu:{\mathbb{D}}\rightarrow{\mathbb{D}}$ – измеримая по Лебегу функция и $f:{\mathbb{D}}\rightarrow{\mathbb{D}}$ — гомеоморфное решение уравнения (4.1), принадлежащее классу $W_{\rm loc}^{1,1}$. Если $K_{\mu}\in L^{1}(\mathbb{D})$ и, кроме того, найдутся $\varepsilon_{0}\in(0,1)$ и $C\in[1,\infty)$ такие, что

[TABLE]

то $f$ имеет гомеоморфное продолжение на $\partial{\mathbb{D}},$ являющееся непрерывным по Гёльдеру.**

Доказательство.

В обозначениях леммы 4.2, при $|z_{1}-z_{2}|\geqslant\delta_{0}$ имеем тривиальную оценку $|f(z_{2})-f(z_{1})|\leqslant 2=\frac{2}{\delta_{0}^{\alpha}}\,\delta_{0}^{\alpha}\leqslant\frac{2}{\delta_{0}^{\alpha}}\,|z_{1}-z_{2}|^{\alpha}.$ Положим $L:=\max\left\{\frac{2}{\delta_{0}^{\alpha}},64\,\varepsilon_{0}^{-\alpha}\right\}.$ Тогда по лемме 4.2

[TABLE]

что и требовалось установить. ∎

Список литературы

• [1] V.Ya. Gutlyanskiĭ and A. Golberg, On Lipschitz continuity of quasiconformal mappings in space // J. d’ Anal. Math., 109 (2009), 233-–251.
• [2] Р.Р. Салимов, О липшицевости одного класса отображений // Мат. заметки, 94 (2013), № 4, 591–599.
• [3] J. Väisälä, Lectures on $n$-Dimensional Quasiconformal Mappings, Lecture Notes in Math. 229, Berlin etc.: Springer–Verlag, 1971.
• [4] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro and E. Yakubov, Moduli in Modern Mapping Theory, New York: Springer Science + Business Media, LLC, 2009.
• [5] Е.А. Севостьянов, Исследование пространственных отображений геометрическим методом, Киев: Наукова думка, 2014.
• [6] B. Bojarski, V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, On existence and representation of solutions for general degenerate Beltrami equations // Complex Variables and Elliptic Equations, 59 (2014), no. 1, 67-–75.
• [7] V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, E. Yakubov, The Beltrami equations and prime ends // Український математичний вiсник, 12 (2015), no. 1, 27–-66.
• [8] Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов, Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, К теории классов Орлича–Соболева // Алгебра и анализ, 25 (2013), № 6, 50–102.
• [9] М.А. Красносельский, Я.Б. Рутицкий, Выпуклые функции и пространства Орлича, Москва: Гос. издат. физ.-мат. лит.,

• [10] Е.А. Севостьянов, О нормальности семейств пространственных отображений с ветвлением // Укр. матем. ж., 60 (2008), № 10, 1389–1400.
• [11] V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, A. Yefimushkin, On the boundary value problems for quasiconformal functions in the plane // Ukr. Mat. Visn., 12 (2015), no. 3, 363–389; transl. in J. Math. Sci. (N.Y.), 214 (2016), no. 2, 200-–219.
• [12] V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, E. Yakubov, On a new approach to the study of plane boundary-value problems // Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki., (2017), no. 4, 12-–18.
• [13]

A. Yefimushkin, On Neumann and Poincare Problems in A-harmonic Analysis // Advances in Analysis., 1 (2016), no. 2, 114–120.

• [14] A. Efimushkin, V. Ryazanov, On the Riemann-Hilbert problem for the Beltrami equations in quasidisks // Ukr. Mat. Visn., 12 (2015), no. 2, 190-–209; transl. in J. Math. Sci. (N.Y.), 211 (2015), no. 5, 646-–659.
• [15]

A. Efimushkin, V. Ryazanov, On the Riemann–Hilbert Problem for the Beltrami Equations // Contemp. Math., 667 (2016), 299–316.

• [16] V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, U. Srebro and E. Yakubov, The Beltrami Equation. A Geometric Approach. Developments in Mathematics, 26. – New York: Springer, 2012.
• [17] T. Lomako, R. Salimov and E. Sevostyanov, * On equicontinuity of solutions to the Beltrami equations* // Ann. Univ. Bucharest, Ser. Math., 1(LIX) (2010), № 2, 263–-274.
• [18] Д.А. Ковтонюк, Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов, К теории отображений классов Соболева и Орлича-Соболева, под общей редакцией Рязанова В.И. – Киев: Наук. думка, 2013.
• [19] D.A. Kovtonyuk, I.V. Petkov, V.I. Ryazanov, The Beltrami equations and lower $Q$-homeomorphisms // Труды ИПММ НАН Украины, 21 (2010), 114–117.
• [20]

V. Ryazanov, R. Salimov, U. Srebro and E. Yakubov, On Boundary Value Problems for the Beltrami Equations // Contemp. Math., 591 (2013), 211-–242.

• [21] Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Москва: Наука, 1987.
• [22] С. Сакс, Теория интеграла, М.: Издательство иностранной литературы, 1949.

КОНТАКТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Рязанов Владимир Ильич

Институт прикладной математики и механики НАН Украины, ул. Добровольского 1, г. Славянск, Украина, 84100,

e-mail: vlryazanov1@rambler.ru

Салимов Руслан Радикович

Институт математики НАН Украины, ул. Терещенковская 3, г. Киев-4, Украина, 01601,

e-mail: ruslan.salimov1@gmail.com

Севостьянов Евгений Александрович

Житомирский государственный университет имени Ивана Франко, ул. Большая Бердичевская 40, г. Житомир, Украина, 10008,

e-mail: esevostyanov2009@gmail.com