Conditions de stabilit\'e et g\'eom\'etrie birationnelle [d'apr\`es Bridgeland, Bayer-Macr\`i, ...]

TL;DR

This paper surveys stability conditions in algebraic geometry, focusing on their application to the birational geometry of holomorphic symplectic varieties, with insights from Bridgeland and Bayer-Macrì.

Contribution

It provides a comprehensive overview of stability conditions and explores their implications in the birational geometry of specific complex varieties.

Findings

Stability conditions relate to the birational geometry of holomorphic symplectic varieties.

Applications include understanding the structure of derived categories on surfaces.

Connections to Bridgeland and Bayer-Macrì's work are highlighted.

Abstract

We survey some aspects of stability conditions both in general and on the derived category of coherent sheaves on a surface, with applications to the birational geometry of certain holomorphic symplectic varieties.

Equations

$$Z:K_0(\mathcal{A})\to \mathbb{C}$$

$$Z(X)=-d(X)+ir(X),$$

$$Z(X)\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }{e}^{i\pi \varphi }.$$

$$\varphi (B)<\varphi (A)$$

$$\varphi (B)\le \varphi (A)⟺\varphi (C)\ge \varphi (A)$$

$$\varphi (B)\ge \varphi (A)⟺\varphi (C)\le \varphi (A).$$

$$0=A_0\subset A_1\subset \cdots \subset A_n=A$$

$$\varphi =n+{\varphi }_0,$$

$$A_i\to A_{i+1}\to E_i\to A_i[1],$$

$${\varphi }^{+}(A)={\varphi }_0,{\varphi }^{-}(A)={\varphi }_{n-1}.$$

$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(A_1,A_2)=0.$$

$${\mathcal{D}}^{\ge 0}:=\mathcal{P}(\le \varphi +1),{\mathcal{D}}^{\le 0}:=\mathcal{P}(>\varphi )$$

$${\mathcal{D}}^{\ge n}={\mathcal{D}}^{\ge 0}[-n]=\mathcal{P}(\le \varphi +1)[-n]=\mathcal{P}(\le \varphi -n+1)$$

$${\mathcal{D}}^{\le n}={\mathcal{D}}^{\le 0}[-n]=\mathcal{P}(>\varphi )[-n]=\mathcal{P}(>\varphi -n).$$

$$A_i\to A_{i+1}\to E_i\to A_i[1],$$

$$A_i\to A\to E\to A[1],$$

$$\bigcup _{m,n\in \mathbb{Z}}{\mathcal{D}}^{\ge n}\cap {\mathcal{D}}^{\le m}=\bigcup _{m,n\in \mathbb{Z}}\mathcal{P}(>\varphi -m)\cap \mathcal{P}(\le \varphi -n+1)=\bigcup _{m,n\ge 0}\mathcal{P}(]\varphi -m,\varphi +n])=\mathcal{D},$$

$$\mathcal{P}(]0,1]).$$

$$Z:K_0(\mathcal{D})\to \mathbb{C}$$

$$Z(A)\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }{e}^{i\pi \varphi }.$$

$$0\to K\to A\to I\to 0.$$

$$g(\cos (\pi \varphi ),\sin (\pi \varphi ))\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }(\cos (\pi a(\varphi )),\sin (\pi a(\varphi ))).$$

$$(\mathcal{P},Z).(a,g)=(\mathcal{P}\circ a,g^{-1}\circ Z),$$

$$(\mathcal{P}\circ a)(\varphi )=\mathcal{P}(a(\varphi )).$$

$$T(\mathcal{P},Z)=(T.\mathcal{P},Z\circ T^{-1}).$$

$$v:K_0(\mathcal{D})\to \Lambda .$$

$$|Z(A)|\ge C\Vert v(A)\Vert ;$$

$$Q(w)=|Z(w){|}^2-C^2\Vert w{\Vert }^2.$$

$$a+b\mapsto \Vert a+b{\Vert }^2:=-Q(a)+|Z(b){|}^2,$$

Full text

\selectbiblanguage

french \addressindent65mm

\bbkannee70e année, 2017–2018 \bbknumero1147

Conditions de stabilit et g om trie birationnelle

d’apr s Bridgeland, Bayer-Macr ,…

François CHARLES

Laboratoire de math matiques d’Orsay

UMR 8628 du CNRS

Universit Paris-Sud, B timent 425

91405 Orsay cedex, France

francois.charles@math.u-psud.fr

(Juin 2018)

INTRODUCTION

L’objet principal de ce texte est la notion de condition de stabilit sur une cat gorie triangul e ${\mathcal{D}}$. Inspir par des travaux de physique th orique, Bridgeland a introduit cette notion dans [Bri07]. Un des aspects particuli rement frappants de celle-ci est le fait que l’ensemble des conditions de stabilit sur ${\mathcal{D}}$ — suppos es se factoriser par un groupe de type fini — est une vari t diff rentielle $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ de dimension finie, tale sur un espace vectoriel complexe. L’espace ${\mathcal{D}}$ est muni de structures de d composition en chambres et murs associ es certains param tres.

Un cas particulier important est celui o la cat gorie ${\mathcal{D}}$ est la cat gorie d riv e $D^{b}(X)$ de la cat gorie des faisceaux coh rents sur une vari t $X$ projective lisse sur $\mathbb{C}$. Dans ce cas, la notion de condition de stabilit tend, au moins si $X$ est une surface, celle de condition de stabilit la Gieseker, et la d composition en chambres et murs tend de telles d compositions venant de la th orie des variations de quotient GIT.

Dans le cas o $X$ est une surface $\mathrm{K}3$, Bayer-Macrì dans [BM14b, BM14a] relient la d composition d’une composante de $\operatorname{Stab}(X)$ la d composition de certains c nes de diviseurs dans des espaces de modules $M$ de faisceaux sur $X$, qui sont des vari t s symplectiques holomorphes. Ils montrent, en un sens pr cis, que le programme du mod le minimal sur un tel $M$ est induit par des ph nom nes de wall-crossing sur $\operatorname{Stab}(X)$. Le but de ce travail est d’exposer ces d veloppements.

Nous avons d laisser de c t plusieurs applications importantes des conditions de stabilit la g om trie alg brique. Nous ne mentionnerons donc pas le lien avec la sym trie miroir ou la g om trie num rative. Nous n’ voquerons pas non plus les r cents d veloppements autour de la construction de conditions de stabilit en dimension $3$ et des in galit s de Bogomolov en dimension sup rieure. Nous renvoyons aux beaux textes de survol [Bri09, Huy14, MS17, Hui17] pour des compl ments sur cet expos .

Les deux premi res sections de ce texte sont consacr es un expos des r sultats de Bridgeland [Bri07], revus par Kontsevich-Soibelman [KS08] sur les conditions de stabilit sur une cat gorie triangul e arbitraire. Nous adaptons des simplifications de Bayer [Bay16]. Dans la section 3, nous donnons des exemples de condition de stabilit sur les courbes et les surfaces, d’apr s notamment [AB13], et d crivons d’apr s [Bri08] une composante de l’espace des conditions de stabilit sur une surface $\mathrm{K}3$, simplifiant l encore la preuve en adaptant [Bay16]. Les sections 4 et 5 sont consacr es aux travaux de Bayer-Macrì [BM14b, BM14a].

Remerciements. Je remercie chaleureusement Arend Bayer, Tom Bridgeland et Daniel Huybrechts pour leurs commentaires pr cieux sur une premi re version de ce texte, ainsi qu’Antoine Chambert-Loir pour ses nombreuses remarques, et Viviane Le Dret pour sa relecture attentive.

1 Conditions de stabilit dans une cat gorie triangul e

Dans cette section, nous introduisons la d finition, due Bridgeland [Bri07], de condition de stabilit sur une cat gorie triangul e arbitraire. La question de la construction de conditions de stabilit sera abord e plus bas dans le texte, nous nous contentons ici de consid rations abstraites.

1.1 Stabilit sur une cat gorie ab lienne

Fixons dans ce qui suit une cat gorie ab lienne ${\mathcal{A}}$. On notera comme d’habitude $K_{0}({\mathcal{A}})$ le groupe de Grothendieck de ${\mathcal{A}}$.

{defi}

Une fonction de stabilit sur ${\mathcal{A}}$ est un morphisme de groupes additifs

[TABLE]

tel que pour tout objet non nul $A$ de ${\mathcal{A}}$, $Z(A)$ appartienne la r union du demi-plan de Poincar et de la demi-droite r elle strictement n gative $\mathbb{R}^{*}_{-}$.

tant donn e une telle fonction de stabilit $Z$, on notera souvent

[TABLE]

o $d(X)$ et $r(X)$ sont des nombres r els, appel s respectivement le *degr * et le rang g n ralis s de l’ l ment $X$ de $K_{0}({\mathcal{A}})$. La pente g n ralis e de $X$ est le r el $\frac{d(X)}{r(X)}$, d fini si $r(X)$ est non nul.

La pente g n ralis e n’ tant pas toujours bien d finie, il est plus agr able de travailler avec la phase. Cela nous permet de d finir les objets stables et semistables.

{defi}

Soit $Z$ une fonction de stabilit sur ${\mathcal{A}}$. Si $X$ est un l ment non nul de $K_{0}({\mathcal{A}})$, la phase de $X$, not e $\phi(X)$, est l’unique r el $\phi\in]0,1]$ tel que

[TABLE]

{defi}

Soit $Z$ une fonction de stabilit sur ${\mathcal{A}}$, et soit $A$ un objet non nul de ${\mathcal{A}}$. On dit que $A$ est stable (resp. semistable) si pour tout sous-objet strict non nul $B$ de $A$, on a

[TABLE]

(resp. $\phi(B)\leq\phi(A)$).

Si $0\rightarrow B\rightarrow A\rightarrow C\rightarrow 0$ est une suite exacte d’objets non nuls de ${\mathcal{A}}$, on a $Z(A)=Z(B)+Z(C)$. Les trois nombres complexes $Z(A),Z(B)$ et $Z(C)$ tant tous trois des l ments de $\mathbb{H}\cup\mathbb{R}^{*}_{-}$, on a

[TABLE]

et

[TABLE]

En particulier, un objet $A$ de ${\mathcal{A}}$ est (semi)stable si et seulement si pour tout quotient strict non nul $C$ de $A$, on a $\phi(C)>\phi(A)$ (resp. $\phi(C)\geq\phi(A)$).

Les d finitions ci-dessus sont habituelles si ${\mathcal{A}}$ est la cat gorie des faisceaux coh rents sur une courbe int gre projective et lisse sur un corps. Dans ce cas, les fonctions $d$ et $r$ qui un faisceau coh rent associent respectivement son degr et son rang au point g n rique s’ tendent en des morphismes de groupes $d,r:K_{0}({\mathcal{A}})\rightarrow\mathbb{R}$, d’o une fonction de stabilit $Z=-d+i\,r$. La d finition 1.1 tend aux faisceaux coh rents arbitraires la notion de (semi)stabilit exprim e d’habitude en fonction des pentes [HL10], de telle sorte que les faisceaux de torsion sont tous semistables de pente $1$.

Les notions de pente, phase, stabilit , etc. d finies ci-dessus d pendent de la fonction de stabilit $Z$ — autant que possible, nous garderons implicite cette d pendance.

Nous pouvons maintenant d finir la notion de pr condition de stabilit .

{defi}

Soit ${\mathcal{A}}$ une cat gorie ab lienne, et soit $Z:K_{0}({\mathcal{A}})\rightarrow\mathbb{C}$ une fonction de stabilit . On dit que le couple $({\mathcal{A}},Z)$ est une pr condition de stabilit ab lienne si tout objet non nul $A$ de ${\mathcal{A}}$ admet une filtration finie

[TABLE]

telle que

• •

pour tout $i\geq 0$, $A_{i+1}/A_{i}$ est semistable;

• •

pour tout $i\geq 0$, $\phi(A_{i+1}/A_{i})>\phi(A_{i+2}/A_{i+1})$.

L’unicit de la filtration qui appara t dans la d finition ci-dessus est garantie par le lemme l mentaire suivant — nous appellerons donc cette filtration la filtration de Harder-Narasimhan de $A$.

{lemm}

Soit $Z$ une fonction de stabilit sur ${\mathcal{A}}$, et soient $A$ et $B$ deux objets semistables de ${\mathcal{A}}$. Si $\phi(A)>\phi(B)$, alors il n’existe pas de morphisme non nul de $A$ vers $B$.

Proof 1.1**.**

Soient $A$ et $B$ comme dans l’ nonc , et soit $f$ un morphisme non nul de $A$ vers $B$. Soit $C$ l’image de $f$. Puisque $C$ est un quotient de $A$, qui est semistable, on a $\phi(A)\leq\phi(C)$. Comme $C$ est un sous-objet de $B$, on a de m me $\phi(C)\leq\phi(B)$, d’o une contradiction.

1.2 Stabilit dans une cat gorie triangul e

Dans la suite de ce texte, on tudiera les familles de conditions de stabilit . Un des points cl s de la th orie est le fait que, dans la plupart des cas, on souhaitera non seulement d former la fonction de stabilit $Z$, mais aussi la cat gorie ab lienne ${\mathcal{A}}$ l’int rieur de la cat gorie triangul e $D^{b}({\mathcal{A}})$. Pour ce faire, il est plus commode de travailler avec des pr conditions de stabilit sur une cat gorie triangul e.

Soit $({\mathcal{A}},Z)$ une condition de stabilit sur une cat gorie ab lienne, et consid rons la cat gorie triangul e ${\mathcal{D}}=D^{b}({\mathcal{A}})$. Si $\phi$ est un r el dans $\mathopen{]}0,1]$, soit ${\mathcal{P}}(\phi)$ la sous-cat gorie pleine de ${\mathcal{A}}$ dont les objets sont les objets de ${\mathcal{A}}$ semistables de phase $\phi$. Si $\phi$ est un r el arbitraire de la forme

[TABLE]

avec $n\in\mathbb{Z}$ et $0<\phi_{0}\leq 1,$ soit ${\mathcal{P}}(\phi)$ la sous-cat gorie ${\mathcal{P}}(\phi_{0})[n]$ de ${\mathcal{D}}$. Les ${\mathcal{P}}(\phi)$ sont des cat gories additives. Les propri t s qu’elles v rifient justifient la d finition suivante.

{defi}

Soit ${\mathcal{D}}$ une cat gorie triangul e. Un d coupage de ${\mathcal{D}}$ est la donn e, pour tout nombre r el $\phi$, d’une sous-cat gorie additive pleine ${\mathcal{P}}(\phi)$ de ${\mathcal{D}}$, de telle fa on que les conditions suivantes soient v rifi es :

Pour tout $\phi\in\mathbb{R}$, ${\mathcal{P}}(\phi+1)={\mathcal{P}}(\phi)[1]$; 2. 2.

Soient $\phi_{1}$ et $\phi_{2}$ deux r els, et soit $A_{i}$ un objet de ${\mathcal{P}}(\phi_{i})$, $i=1,2$. Si $\phi_{1}>\phi_{2}$, alors $\operatorname{Hom}_{{\mathcal{D}}}(A_{1},A_{2})=0$; 3. 3.

Soit $A$ un objet de ${\mathcal{D}}$. Il existe des r els $\phi_{1}>\cdots>\phi_{n}$, des objets $A_{0}=0,\ldots,A_{n}=A$ de ${\mathcal{D}}$, et des triangles distingu s

[TABLE]

o $E_{i}$ est un objet non nul de ${\mathcal{P}}(\phi_{i})$.

{rema}

Si $A$ est un objet de ${\mathcal{D}}$ isomorphe un objet de ${\mathcal{P}}(\phi)$, alors $A$ est un objet de ${\mathcal{P}}(\phi)$ : les cat gories ${\mathcal{P}}(\phi)$ sont strictement pleines — utiliser la condition 3 pour $A$ et le lemme 1.2 ci-dessous.

Nous laissons au lecteur le soin de v rifier que si $({\mathcal{A}},Z)$ est une pr condition de stabilit sur une cat gorie ab lienne, alors la construction ci-dessus munit $D^{b}({\mathcal{A}})$ d’un d coupage naturel. La premi re propri t est satisfaite par construction, la seconde gr ce au lemme 1.1, et la troisi me gr ce l’existence des filtrations de Harder-Narasimhan.

Soit ${\mathcal{P}}$ un d coupage d’une cat gorie triangul e ${\mathcal{D}}$. Comme dans le cas des filtrations de Harder-Narasimhan, on v rifie que la condition 2 ci-dessus garantit l’unicit isomorphisme pr s des triangles apparaissant dans 3. En particulier, les phases $\phi_{0},\ldots,\phi_{n-1}$ associ es un objet $A$ de ${\mathcal{D}}$ comme dans 3 sont bien d finies. On notera

[TABLE]

Remarquons que l’on a $\phi^{+}(A)=\phi^{-}(A)$ si et seulement si $A$ est un objet de ${\mathcal{P}}(\phi)$ pour $\phi=\phi^{+}(A)=\phi^{-}(A).$

La notion de d coupage est troitement reli e celle de t-structure, expliquons en quel sens. Si $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, soit ${\mathcal{P}}(I)$ la sous-cat gorie pleine de ${\mathcal{D}}$ dont les objets sont les $A$ tels que $\phi^{-}(A)$ et $\phi^{+}(A)$ sont dans $I$. Autrement dit, ${\mathcal{P}}(I)$ est la plus petite sous-cat gorie pleine de ${\mathcal{D}}$ contenant les ${\mathcal{P}}(\phi)$, $\phi\in I$ et stable par extensions. On note ${\mathcal{P}}(\geq\phi)$ (resp. ${\mathcal{P}}(\leq\phi),{\mathcal{P}}(>\phi),{\mathcal{P}}(<\phi)$) pour la cat gorie ${\mathcal{P}}([\phi,\infty\mathclose{[})$ (resp. ${\mathcal{P}}(\mathopen{]}-\infty,\phi]),{\mathcal{P}}(\mathopen{]}\phi,\infty\mathclose{[}),{\mathcal{P}}(\mathopen{]}-\infty,\phi\mathclose{[})$).

La condition 2 de la d finition a pour cons quence imm diate la propri t suivante d’orthogonalit pour les cat gories ${\mathcal{P}}(I)$.

{lemm}

Soient $A_{1}$ et $A_{2}$ deux objets de ${\mathcal{D}}$. Si $\phi^{-}(A_{1})>\phi^{+}(A_{2})$, alors

[TABLE]

En particulier, si $I$ et $J$ sont deux intervalles disjoints de $\mathbb{R}$, avec $i>j$ pour tous $i\in I,j\in J$, alors pour tous $A_{1}\in{\mathcal{P}}(I),A_{2}\in{\mathcal{P}}(J)$,

[TABLE]

Proposition 1**.**

Soit ${\mathcal{D}}$ une cat gorie triangul e munie d’un d coupage ${\mathcal{P}}$. Si $\phi$ est un r el arbitraire, les sous-cat gories de ${\mathcal{D}}$

[TABLE]

d finissent une t-structure born e sur ${\mathcal{D}}$, de cœur ${\mathcal{P}}(]\phi,\phi+1])$.

Proof 1.2**.**

Si $n$ est un entier, on a

[TABLE]

et

[TABLE]

En particulier, on a bien ${\mathcal{D}}^{\leq-1}\subset{\mathcal{D}}^{\leq 0}$.

Le lemme ci-dessus garantit que pour $A_{1}\in{\mathcal{D}}^{\leq 0}={\mathcal{P}}(>\phi)$, $A_{2}\in{\mathcal{D}}^{\geq 1}={\mathcal{P}}(\leq\phi)$, on a $\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(A_{1},A_{2})=0.$

Enfin, si $A$ est un objet arbitraire de ${\mathcal{D}}$, consid rons des objets $A_{0}=0,\ldots,A_{n}=A$ de ${\mathcal{D}}$, et des triangles distingu s

[TABLE]

o $E_{i}$ est un objet de ${\mathcal{P}}(\phi_{i})$, avec $\phi_{0}>\cdots>\phi_{n-1}$. Soit $i$ le plus grand entier entre [math] et $n$ tel que $\phi_{j}>\phi$ pour tout $j<i$. Alors $A_{i}$ est extension successive d’objets $E_{0},\ldots,E_{i-1}$ de ${\mathcal{P}}(>\phi)={\mathcal{D}}^{\leq 0}$, et l’on a un triangle distingu

[TABLE]

o $E$ est extension successive d’objets $E_{i},\ldots,E_{n-1}$ de ${\mathcal{P}}(\leq\phi)={\mathcal{D}}^{\geq 1}$.

On vient de montrer que ${\mathcal{D}}^{\geq 0}={\mathcal{P}}(\leq\phi+1),{\mathcal{D}}^{\leq 0}={\mathcal{P}}(>\phi)$ d finit bien une t-structure sur ${\mathcal{D}}$. On a de plus

[TABLE]

ce qui montre que la t-structure est born e.

Un d coupage d’une cat gorie triangul e ${\mathcal{D}}$ fournit donc une famille compatible de t-structures born es sur ${\mathcal{D}}$. Par convention, nous dirons que le cœur du d coupage ${\mathcal{P}}$ est la cat gorie ab lienne

[TABLE]

C’est bien le cœur d’une t-structure born e sur ${\mathcal{D}}$.

Bien entendu, le groupe des bijections croissantes $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ telles que $f(\phi+1)=f(\phi)+1$ pour tout $\phi\in\mathbb{R}$ agit sur l’ensemble des d coupages de ${\mathcal{D}}$ via ${\mathcal{P}}(\phi)\mapsto{\mathcal{P}}(f(\phi))$. On rigidifie la situation en introduisant l’analogue triangul de la fonction de stabilit .

{defi}

Soit ${\mathcal{D}}$ une cat gorie triangul e. Une pr condition de stabilit sur ${\mathcal{D}}$ est un couple $\sigma=({\mathcal{P}},Z)$, o ${\mathcal{P}}$ est un d coupage de ${\mathcal{D}}$, et $Z$ est un morphisme de groupes additifs

[TABLE]

tel que pour tout r el $\phi$ et tout objet non nul $A$ de ${\mathcal{P}}(\phi)$, on ait

[TABLE]

On dit que la fonction $Z$ est la fonction charge centrale.

Si $\phi$ est un r el quelconque, les objets non nuls de ${\mathcal{P}}(\phi)$ sont les objets ($\sigma$-)semistables de phase $\phi$. Les objets simples sont les objets ($\sigma$-)stables de phase $\phi$.

La discussion pr c dente montre l’ quivalence de nos deux d finitions de pr condition de stabilit , au sens suivant. Nous en laissons les d tails au lecteur [Bri07, Proposition 5.3].

Proposition 2**.**

Soit ${\mathcal{D}}$ une cat gorie triangul e. La donn e d’une pr condition de stabilit sur ${\mathcal{D}}$ est quivalente la donn e d’une cat gorie ab lienne ${\mathcal{A}}$, cœur d’une t-structure born e sur ${\mathcal{D}}$, et d’une fonction de stabilit $K_{0}({\mathcal{A}})\rightarrow\mathbb{C}$ telles que $({\mathcal{A}},Z)$ est une pr condition de stabilit ab lienne.

Dans ce qui suit, nous utiliserons sans la mentionner l’ quivalence des d finitions pr c dentes. Une pr condition de stabilit $\sigma$ sur ${\mathcal{D}}$ sera donc consid r e comme un couple $({\mathcal{A}},Z)$ ou $({\mathcal{P}},Z)$ selon la situation. Les notations rendront clair l’objet consid r .

Proposition 3**.**

Soit $({\mathcal{P}},Z)$ une pr condition de stabilit sur une cat gorie triangul e ${\mathcal{D}}$, et soit $\phi\in\mathbb{R}$. La cat gorie ${\mathcal{P}}(\phi)$ est ab lienne.

Proof 1.3**.**

Quitte d caler, on peut supposer $\phi\in]0,1]$. En particulier, ${\mathcal{P}}(\phi)$ est une sous-cat gorie pleine du cœur ${\mathcal{A}}={\mathcal{P}}(]0,1])$ de ${\mathcal{P}}$. Pour montrer le r sultat, il suffit de montrer que si $f:A\rightarrow B$ est un morphisme entre objets de ${\mathcal{P}}(\phi)$, l’image et le noyau de $f$ dans ${\mathcal{A}}$ sont des objets de ${\mathcal{P}}(\phi)$. Cela garantit que ce sont aussi l’image et le noyau de $f$ dans ${\mathcal{P}}(\phi)$.

Soit $I$ l’image de $f$. Comme $I$ est un quotient de $A$ qui est semistable de phase $\phi$, et comme $I$ admet par d finition un quotient semistable de phase $\phi^{-}(I)$, on a $\phi=\phi(A)\leq\phi^{-}(I)$. De m me, on a $\phi^{+}(I)\leq\phi(B)=\phi.$ Ainsi, $\phi^{-}(I)=\phi^{+}(I)=\phi$, ce qui montre que $I$ est un objet de ${\mathcal{P}}(\phi)$.

Soit $K$ le noyau de $f$. On a une suite exacte

[TABLE]

D’apr s ce qui pr c de, $I$ est un objet de ${\mathcal{P}}(\phi)$. De $Z(A)=Z(K)+Z(I)$ avec $Z(A),Z(I)\in\mathbb{R}^{*}_{+}e^{i\pi\phi}$, on tire $Z(K)\in\mathbb{R}^{*}_{+}e^{i\pi\phi}$. Par ailleurs, comme pr c demment, on a $\phi^{+}(K)\leq\phi$, donc les phases $\phi_{i}$ de $K$ sont toutes inf rieures ou gales $\phi$. Par d finition, $K$ est un objet de ${\mathcal{A}}$, donc ces phases sont toutes strictement positives. La filtration de Harder-Narasimhan de $K$ permet ainsi d’ crire $Z(K)$ comme somme d’ l ments de $\mathbb{R}^{*}_{+}e^{i\pi\phi_{i}}$ avec $0<\phi_{i}\leq\phi$. Cela n’est possible que si $K$ n’a qu’une seule phase, gale  $\phi$, soit si $K$ est semistable de phase $\phi$.

1.3 Actions de groupes

Soit $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$ le rev tement universel du groupe $GL_{2}^{+}(\mathbb{R})$, composante neutre de $GL_{2}(\mathbb{R})$. Ce groupe s’identifie au groupe des couples $(a,g)$, o $g\in GL_{2}^{+}(\mathbb{R})$ et $a$ est une fonction continue, n cessairement croissante, de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, telle que pour $\phi\in\mathbb{R}$, $a(\phi+1)=a(\phi)+1$ et

[TABLE]

Le groupe $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$ agit droite sur l’ensemble des pr conditions de stabilit sur une cat gorie triangul e ${\mathcal{D}}$ par la formule

[TABLE]

o $g$ agit sur $\mathbb{C}$ via l’identification naturelle de l’espace vectoriel $\mathbb{C}$ $\mathbb{R}^{2}$ et o ${\mathcal{P}}\circ a$ est le d coupage de ${\mathcal{D}}$ tel que pour tout $\phi\in\mathbb{R}$,

[TABLE]

Remarquons que l’action de $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$ pr serve l’ensemble des objets semistables de ${\mathcal{D}}$, ainsi que le noyau de la charge centrale.

Soit $\mathrm{Aut}({\mathcal{D}})$ le groupe des auto quivalences exactes de ${\mathcal{D}}$. Le groupe $\mathrm{Aut}({\mathcal{D}})$ agit gauche sur l’ensemble des pr conditions de stabilit sur ${\mathcal{D}}$ par la formule

[TABLE]

Cette action commute manifestement l’action de $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$.

1.4 La condition de support

Soit ${\mathcal{D}}$ une cat gorie triangul e. Dans la suite de ce texte, quand il sera question de (pr )conditions de stabilit sur ${\mathcal{D}}$, on aura toujours fix a priori un groupe ab lien libre de type fini $\Lambda$ et un morphisme de groupes ab liens

[TABLE]

On imposera toujours aux charges centrales $Z:K_{0}({\mathcal{D}})\rightarrow\mathbb{C}$ de se factoriser par $v$, via un morphisme lui aussi not $Z:\Lambda\rightarrow\mathbb{C}$. On gardera souvent $v$ et $\Lambda$ implicites.

Dans ce contexte, le groupe $\mathrm{Aut}_{\Lambda}({\mathcal{D}})$ constitu des couples $(T,\phi)$ form s d’une auto quivalence exacte $T$ de ${\mathcal{D}}$ et d’un automorphisme $\phi$ de $\Lambda$ tels que $v\circ T=\phi\circ v$ agit comme plus haut sur l’ensemble des pr conditions de stabilit sur ${\mathcal{D}}$ qui se factorisent par $v$.

La notion de condition de stabilit s’obtient en imposant une propri t de finitude aux pr conditions de stabilit . Nous utiliserons l’approche de Kontsevich-Soibelman [KS08], plus restrictive que celle originale de Bridgeland mais suffisante dans le cas qui nous occupe. Elle repose sur la remarque suivante.

Proposition 4**.**

Soit ${\mathcal{D}}$ une cat gorie triangul e, et soit $\sigma=({\mathcal{P}},Z)$ une pr condition de stabilit sur ${\mathcal{D}}$. Supposons que $Z$ se factorise par $v:K_{0}({\mathcal{D}})\rightarrow\Lambda$, o $\Lambda$ est un groupe ab lien libre de type fini. Les conditions suivantes sont quivalentes :

Pour toute norme $\|.\|$ sur $\Lambda_{\mathbb{R}}$, il existe une constante $C>0$ telle que pour tout objet $\sigma$-semistable $A$ de ${\mathcal{D}}$, on ait

[TABLE] 2. 2.

Il existe une forme quadratique sur $\Lambda_{\mathbb{R}}$, d finie n gative sur le noyau de $Z$, telle que si $A$ est un objet $\sigma$-semistable de ${\mathcal{D}}$, alors $Q(v(A))\geq 0$.

Proof 1.4**.**

Supposons la premi re condition satisfaite. Soit $\|.\|$ une norme euclidienne sur $\Lambda_{\mathbb{R}}$, et $C$ la constante correspondante. Soit $Q$ la forme quadratique sur $\Lambda_{\mathbb{R}}$ telle que, pour tout $w\in\Lambda$,

[TABLE]

Manifestement, $Q$ v rifie les propri t s de la seconde condition.

R ciproquement, supposons l’existence de $Q$ comme dans $2$. Soit $\Lambda^{\prime}$ l’orthogonal du noyau de $Z$ dans $\Lambda_{\mathbb{R}}$. Alors la restriction de $Z$ $\Lambda^{\prime}$ est injective, et la forme quadratique

[TABLE]

o $a\in\operatorname{Ker}Z$ et $b\in\Lambda^{\prime}$ d finit une norme $\|.\|$ sur $\Lambda_{\mathbb{R}}$. Il suffit de v rifier la condition $1$ pour cette norme.

Soit $K>0$ une constante telle que pour tout $b$ dans $\Lambda^{\prime}$, on ait $KQ(b)\leq|Z(b)|^{2}.$ Soit $A$ un objet $\sigma$-semistable de ${\mathcal{D}}$. On crit $v(A)=a+b,a\in\operatorname{Ker}Z,b\in\Lambda^{\prime}.$ Alors $KQ(v(A))=KQ(a)+KQ(b)\geq 0,$ d’o $KQ(a)+|Z(b)|^{2}=KQ(a)+|Z(A)|^{2}\geq 0$. Ainsi, on a

[TABLE]

i.e.

[TABLE]

ce qui conclut.

{rema}

La preuve montre en fait le r sultat suivant : tant donn e une forme quadratique $Q$ sur $\Lambda_{\mathbb{R}}$, il existe une constante $C>0$ telle que si $\sigma$ est une condition de stabilit satisfaisant la condition du second nonc , le premier nonc vaut pour $\sigma$ avec la constante $C$.

{rema}

Il suffit de v rifier les deux conditions de la proposition pour les objets $\sigma$-semistables de phase dans $\mathopen{]}0,1]$, i.e., pour les objets semistables dans le cœur de ${\mathcal{P}}$.

La d finition suivante est fondamentale.

{defi}

Soit ${\mathcal{D}}$ une cat gorie triangul e, et soit $\sigma=({\mathcal{P}},Z)$ une pr condition de stabilit sur ${\mathcal{D}}$. On dit que $\sigma$ satisfait la condition de support si les conditions quivalentes de la proposition pr c dente sont satisfaites. Une condition de stabilit sur ${\mathcal{D}}$ est une pr condition de stabilit qui satisfait la condition de support.

On dira aussi que $\sigma$ satisfait la condition de support par rapport la forme quadratique $Q$ sur $\Lambda_{\mathbb{R}}$ si $Q$ satisfait la seconde condition de la proposition pr c dente.

{rema}

Les actions naturelles de $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$ et $\mathrm{Aut}_{\Lambda}({\mathcal{D}})$ sur l’ensemble des pr conditions de stabilit induisent des actions sur l’ensemble des conditions de stabilit . Plus pr cis ment, si $\sigma$ satisfait la condition de support par rapport $Q$, alors la discussion de 1.3 montre que toute condition de stabilit dans la $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$-orbite de $\sigma$ satisfait la condition de support par rapport $Q$.

On peut tester la condition de support sur les objets stables.

Proposition 5**.**

Soit $\sigma=({\mathcal{P}},Z)$ une pr condition de stabilit sur la cat gorie triangul e ${\mathcal{D}}$. Soit $\Lambda$ un groupe ab lien libre de type fini par lequel $Z$ se factorise, et soit $Q$ une forme quadratique sur $\Lambda_{\mathbb{R}}$ d finie n gative sur le noyau de $Z$. Alors $\sigma$ satisfait la condition de support par rapport $Q$ si et seulement si pour tout objet $\sigma$-stable de ${\mathcal{D}}$, on a $Q(v(A))\leq 0$.

Proof 1.5**.**

La n cessit de la condition est vidente. Montrons qu’elle est suffisante.

Notons $p$ la projection orthogonale $\Lambda_{\mathbb{R}}\mapsto\operatorname{Ker}Z$, et crivons, pour tout $v\in\Lambda$,

[TABLE]

o $R$ est une forme quadratique sur $\mathbb{R}^{2}\simeq\mathbb{C}$, et $\|.\|$ est la norme euclidienne induite par $-Q$ sur $\operatorname{Ker}Z$.

Soit $A$ un objet $\sigma$-semistable de ${\mathcal{D}}$, et soient $A_{1},\ldots,A_{n}$ ses facteurs de Jordan-H lder. Par hypoth se, les $Q(v(A_{i}))$ sont tous positifs, donc les $R(Z(A_{i}))$ aussi.

On a

[TABLE]

car les $Z(A_{i})$ sont tous sur la m me demi-droite passant par l’origine, et ont pour somme $Z(A)$. De plus, les $A_{i}$ tant $\sigma$-stables, ce qui pr c de montre

[TABLE]

par in galit triangulaire, ce qui prouve bien $Q(v(A))\geq 0.$

Proposition 6**.**

Soit ${\mathcal{D}}$ une cat gorie triangul e, et soit $\sigma=({\mathcal{P}},Z)$ une pr condition de stabilit sur ${\mathcal{D}}$ satisfaisant la condition de support. Alors l’image par $Z$ de l’ensemble des objets $\sigma$-semistables de ${\mathcal{D}}$ est un sous-ensemble discret de $\mathbb{C}$.

Proof 1.6**.**

Si l’ensemble en question n’est pas discret, la propri t de support permet de trouver un ensemble infini de $v\in\Lambda$ dans un compact de $\Lambda_{\mathbb{R}}$, ce qui est bien s r impossible.

Voici une premi re cons quence de la condition de support. Rappelons qu’une cat gorie ab lienne ${\mathcal{A}}$ est de longueur finie si toute suite de monomorphismes dans ${\mathcal{A}}$ $A_{1}\leftarrow A_{2}\leftarrow\cdots\leftarrow A_{i}\leftarrow\cdots$ est stationnaire, ainsi que toute suite d’ pimorphismes $A_{1}\rightarrow A_{2}\rightarrow\cdots\rightarrow A_{i}\rightarrow\cdots$.

Proposition 7**.**

Soit $\sigma=({\mathcal{P}},Z)$ une condition de stabilit sur une cat gorie triangul e ${\mathcal{D}}$. Pour tout $\phi\in\mathbb{R}$, la cat gorie ab lienne ${\mathcal{P}}(\phi)$ est de longueur finie.

Proof 1.7**.**

Supposons par exemple donn e une suite infinie d’inclusions strictes

[TABLE]

dans laquelle les $A_{i}$ sont tous semistables de phase $\phi$. Soit $v_{i}=v(A_{i})\in\Lambda$. Alors on peut crire $v_{i}=r_{i}e^{i\pi\phi}$ avec $r_{i}>0$. La suite exacte

[TABLE]

dans la cat gorie ab lienne ${\mathcal{P}}(\phi)$ nous permet d’ crire

[TABLE]

avec $Z(A_{i}/A_{i+1})\in\mathbb{R}^{*}_{+}e^{i\pi\phi}$, ce qui montre que la suite $(r_{i})_{i\geq 1}$ est strictement d croissante, et que par cons quent la suite des $Z(A_{i}/A_{i+1})$ converge vers [math]. D’apr s la proposition 6, la suite des $Z(A_{i}/A_{i+1})$ est stationnaire [math], contradiction.

La proposition pr c dente garantit l’existence de filtrations de Jordan-H lder dans ${\mathcal{P}}(\phi)$ : tout objet semistable de phase $\phi$ a une filtration par des sous-objets semistables de phase $\phi$ dont les quotients successifs sont stables.

Introduisons une derni re condition de finitude parfois utile.

{defi}

Soit $\sigma$ une condition de stabilit sur une cat gorie triangul e ${\mathcal{D}}$. On dit que $\sigma$ est rationnelle si la charge centrale de $\sigma$ est valeurs dans $\mathbb{Q}[i]$.

2 L’espace des conditions de stabilit

Dans cette section, nous fixons une cat gorie triangul e ${\mathcal{D}}$ et un morphisme de groupes ab liens $v:K_{0}({\mathcal{D}})\rightarrow\Lambda$, o $\Lambda$ est un groupe ab lien libre de type fini.

2.1 Pr liminaires topologiques

Soit $\mathrm{Dec}({\mathcal{D}})$ l’ensemble des d coupages de ${\mathcal{D}}$. Si ${\mathcal{P}}$ est un l ment de $\mathrm{Dec}({\mathcal{D}})$, et si $A$ est un objet de ${\mathcal{D}}$, on note $\phi_{\mathcal{P}}^{-}(A)$ et $\phi^{+}_{\mathcal{P}}(A)$ la plus petite et la plus grande phase respectivement qui apparaissent dans la filtration de Harder-Narasimhan de $A$. On munit l’ensemble $\mathrm{Dec}({\mathcal{D}})$ d’une distance $d$ — valeurs dans $[0,+\infty]$ — par la formule

[TABLE]

C’est bien l gitime car $d({\mathcal{P}},{\mathcal{Q}})=0$ implique que pour tout r el $\phi$, et tout $A\in\mathrm{Ob}({\mathcal{P}}(\phi))$, on a $\phi^{+}_{\mathcal{Q}}(A)=\phi^{-}_{\mathcal{Q}}(A)=\phi$, soit $A\in\mathrm{Ob}({\mathcal{Q}}(\phi))$, et ${\mathcal{P}}={\mathcal{Q}}$. On peut r crire la distance $d$ comme suit, voir [Bri07, Lemma 6.1].

{lemm}

Soient ${\mathcal{P}}$ et ${\mathcal{Q}}$ deux d coupages de ${\mathcal{D}}$. On a

[TABLE]

Soit maintenant $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ l’ensemble des conditions de stabilit sur ${\mathcal{D}}$ qui se factorisent par $v$. On dispose de deux projections naturelles

[TABLE]

et

[TABLE]

Dans tout ce qui suit, nous munissons $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ de la topologie la plus fine qui rende les applications $p$ et $q$ continues.

Les deux projections font de $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ un sous-espace de $\mathrm{Dec}({\mathcal{D}})\times\operatorname{Hom}(\Lambda,\mathbb{C})$, qui est muni de la topologie produit. En particulier, $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ est un espace topologique s par .

Le r sultat suivant est l mentaire.

Proposition 8**.**

Les actions naturelles des groupes $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$ et $\mathrm{Aut}_{\Lambda}({\mathcal{D}})$ sur $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ sont continues.

{rema}

On peut munir $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ d’une m trique naturelle pour laquelle $\mathrm{Aut}_{\Lambda}({\mathcal{D}})$ agit par isom tries.

2.2 Le th or me de d formation de Bridgeland

L’ nonc ci-dessous est le th or me principal de [Bri07], tel que raffin dans [BMS16, Appendix A]. Nous suivons essentiellement Bayer [Bay16].

{theo}

Soit $Q$ une forme quadratique sur $\Lambda_{\mathbb{R}}$, et soit $\sigma$ une condition de stabilit sur ${\mathcal{D}}$ qui satisfait la condition de support par rapport $Q$. Soit $Z$ la charge centrale associ e $\sigma$, soit $\widetilde{U}$ l’ouvert de $\operatorname{Hom}(\Lambda,\mathbb{C})$ constitu des $Z^{\prime}:\Lambda\rightarrow\mathbb{C}$ tels que $Q$ est d finie n gative sur le noyau de $Z^{\prime}$, et soit $U$ la composante connexe de $\widetilde{U}$ contenant $Z$.

Soit enfin $V$ la composante connexe de $q^{-1}(U)$ contenant $\sigma$. Alors :

La restriction $V$ de la projection naturelle $q:\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})\rightarrow\operatorname{Hom}(\Lambda,\mathbb{C}),({\mathcal{P}},Z)\mapsto Z$ est un rev tement de $U$; 2. 2.

Toute condition de stabilit dans $V$ v rifie la condition de support par rapport  $Q$.

En particulier, l’espace topologique $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ est muni d’une structure naturelle de vari t complexe, qui rend $q$ localement biholomorphe.

Donnons les grandes lignes de la d monstration. Nous supposerons dans la suite — c’est le cas non d g n r — que $Q$ est de signature $(2,\mathrm{rg}\Lambda-2)$. En particulier, si $Z^{\prime}$ est un l ment de $U$, alors $Z_{\mathbb{R}}:\Lambda_{\mathbb{R}}\rightarrow\mathbb{C}$ est surjective.

On commence par un nonc d’injectivit locale.

{lemm}

Soient ${\mathcal{P}}$ et ${\mathcal{Q}}$ deux d coupages de ${\mathcal{D}}$ tels que $d({\mathcal{P}},{\mathcal{Q}})<1$. Si $({\mathcal{P}},Z)$ et $({\mathcal{Q}},Z)$ sont deux conditions de stabilit sur ${\mathcal{D}}$, alors ${\mathcal{P}}={\mathcal{Q}}$. En particulier, la projection $q:\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})\rightarrow\operatorname{Hom}(\Lambda,\mathbb{C})$ est localement injective.

Proof 2.1**.**

Soit $\phi\in\mathbb{R}$, et supposons par exemple que ${\mathcal{P}}(\phi)$ est non nulle. Soit $A$ un objet non nul de ${\mathcal{P}}(\phi)$. On veut montrer que $A$ est un objet de ${\mathcal{Q}}(\phi)$, raisonnons par l’absurde et supposons que ce n’est pas le cas.

Comme $d({\mathcal{P}},{\mathcal{Q}})<1$, on a $\phi-1<\phi^{-}_{\mathcal{Q}}(A)\leq\phi^{+}_{\mathcal{Q}}(A)<\phi+1.$ Si $\phi^{-}_{\mathcal{Q}}(A)>\phi$, alors $Z(A)\in\mathbb{R}^{*}_{+}e^{i\pi\phi}$ est somme de r els de la forme $r_{i}e^{i\pi\phi_{i}}$ avec $r_{i}>0,\phi<\phi_{i}<\phi+1$, contradiction. On a donc, par un argument sym trique,

[TABLE]

Supposons par exemple $\phi^{+}_{\mathcal{Q}}(A)>\phi$. On peut trouver un triangle distingu

[TABLE]

dans lequel $A_{1}$ est un objet non nul de ${\mathcal{Q}}(\mathopen{]}\phi,\phi+1\mathclose{[})$ et $A_{2}$ est un objet non nul de ${\mathcal{Q}}(\mathopen{]}\phi-1,\phi]).$ Comme plus haut, on montre que $\psi:=\phi^{+}_{\mathcal{P}}(A_{1})>\phi$. Il existe donc un objet non nul $B$ de ${\mathcal{P}}(\psi)$, et un morphisme non nul $B\rightarrow A_{1}$.

Comme $A$ est dans ${\mathcal{P}}(\phi)$, le morphisme compos $B\rightarrow A_{1}\rightarrow A$ est nul, donc $B\rightarrow A_{1}$ se factorise par un morphisme $B\rightarrow A_{2}[-1]$, contradiction car $A_{2}[-1]$ est un objet de ${\mathcal{Q}}(\leq\phi-1)$, donc de ${\mathcal{P}}(\leq\phi)$.

On va maintenant construire des sections locales de $q$. Le lemme suivant est clair.

{lemm}

Il existe un l ment $g$ de $GL_{2}^{+}(\mathbb{R})$ tel que pour tout $v\in\Lambda$, on ait

[TABLE]

o $p$ est la projection orthogonale de $\Lambda_{\mathbb{R}}$ sur $\operatorname{Ker}Z$.

Avec les notations du lemme pr c dent, supposons que l’on puisse prendre $g=1$.

{lemm}

Soit $W$ l’ensemble des l ments $Z^{\prime}$ de $U$ tels que $Z_{|\operatorname{Ker}Z^{\perp}}=Z^{\prime}_{|\operatorname{Ker}Z^{\perp}}$. Alors $Z^{\prime}$ est dans $W$ si et seulement si $Z^{\prime}=Z+u\circ p$ , o $u$ est un morphisme de $\operatorname{Ker}Z$ dans $\mathbb{C}$ tel que $\|u\|<1$.

Ici, $\|.\|$ est la norme d’op rateur, $\operatorname{Ker}Z$ tant muni de la norme $-Q$ et $\mathbb{C}$ de la valeur absolue usuelle.

Proof 2.2**.**

Pour v rifier cette assertion, si $\|u\|<1$ et si $v\in\Lambda\setminus\{0\}$ est tel que $Z(v)+u\circ p(v)=0$, on a $Z(v)=-u(p(v))$, donc

[TABLE]

R ciproquement, si $Z^{\prime}$ est dans $W$, $Z^{\prime}-Z$ s’annule sur $\operatorname{Ker}Z^{\perp}$, donc s’ crit $u\circ p$ comme plus haut. Si $\|u\|\geq 1,$ on peut trouver $\alpha\in\operatorname{Ker}Z_{\mathbb{R}}$ tel que $Q(\alpha)=-1$ et $|u(\alpha)|\geq 1.$ On a suppos que $Z_{\mathbb{R}}$ est une surjection. Soit donc $\beta\in\operatorname{Ker}Z^{\perp}$ tel que $Z(\beta)=-u(\alpha)$. Alors

[TABLE]

et

[TABLE]

contradiction.

Soit $W_{\mathbb{R}}$ l’ensemble des l ments $Z+u\circ p$ de $W$ tels que $u\in\operatorname{Hom}(\operatorname{Ker}Z,\mathbb{R})$. Le r sultat suivant contient le calcul cl .

{lemm}

On garde les notations pr c dentes.

On peut trouver un voisinage $V$ de $\sigma$ dans $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ tel que la restriction de $q$ $V\cap q^{-1}(W_{\mathbb{R}})$ est un hom omorphisme sur $W_{\mathbb{R}}$. 2. 2.

Toute condition de stabilit dans $V\cap q^{-1}(W_{\mathbb{R}})$ v rifie la condition de support par rapport $Q$.

Proof 2.3**.**

crivons $\sigma=({\mathcal{P}},Z)$, et soit ${\mathcal{A}}$ le cœur de ${\mathcal{P}}$. Si $u$ est un l ment de $W_{\mathbb{R}}$, soit $\sigma_{u}=({\mathcal{A}},Z+u\circ p)$. On v rifie imm diatement que $Z+u\circ p$ est une fonction de stabilit . On v rifie ensuite que $\sigma_{u}$ est une pr condition de stabilit , i.e. que les filtrations de Harder-Narasimhan associ es $\sigma_{u}$ existent. Nous renvoyons [Bay16, 4.6 4.10] pour une preuve d taill e. Le point-cl , qui suit de la condition de support, est de montrer que pour tout objet $A$ de ${\mathcal{A}}$, et pour tout $C\in\mathbb{R}$, il n’existe qu’un nombre fini d’ l ments de $\Lambda$ de la forme $v(B)$, o $B$ est un sous-objet de $A$ et $\Re(Z+u\circ p)(B)<C.$

Si $t\in[0,1]$, notons $Z_{t}=Z+t(u\circ p)$, et $\sigma_{t}=({\mathcal{A}},Z_{t})$, de sorte que $\sigma_{0}=\sigma$ et $\sigma_{1}=\sigma_{u}$. On note $\phi_{t}$ la phase correspondant $\sigma_{t}$. Montrons maintenant que $\sigma_{1}=\sigma_{u}$ v rifie la condition de support par rapport $Q$. On raisonne par l’absurde et l’on suppose qu’il existe un objet $A$ de ${\mathcal{A}}$ qui est $\sigma_{1}$-semistable mais v rifie $Q(v(A))<0$. Alors $A$ n’est pas ($\sigma=\sigma_{0}$)-semistable.

On va appliquer un premier exemple de wall-crossing. Les estim es mentionn es au premier paragraphe de la preuve permettent de montrer qu’il n’existe qu’un nombre fini d’ l ments de $\Lambda$ de la forme $v(B)$, o $B$ est un sous-objet strict non-nul de $A$ tel qu’il existe $t\in[0,1]$ avec $\phi_{t}(B)\geq\phi_{t}(A).$ Pour chacun de ces $v(B)$, comme $\phi_{0}(B)\leq\phi_{0}(A)$, il existe par continuit un $t^{\prime}\in[0,1]$ maximal tel que $\phi_{t^{\prime}}(B)=\phi_{t^{\prime}}(A)$. Soit $t_{0}$ le plus grand de ces $t^{\prime}$. Alors par construction, $A$ est $\sigma_{t_{0}}$-semistable, mais n’est pas stable, admettant un sous-objet strict $B$ tel que $\phi_{t_{0}}(B)=\phi_{t_{0}}(A)$.

L’argument de finitude des $v(B)$ montre en particulier que $A$ admet une filtration de Jordan-H lder pour la condition de stabilit $\sigma_{t_{0}}$. Le calcul de la preuve de la proposition 5, utilisant cette filtration et la normalisation du lemme 2.2, nous donne un sous-quotient strict $A_{1}=B_{1}/C_{1}$ de $A=A_{0}$ tel que

[TABLE]

et $Q(v(A_{1}))<0$.

Par r currence, on trouve des suites

[TABLE]

et une suite d croissante $t_{i}$ d’ l ments de $[0,1]$ tels que $A_{i}:=B_{i}/C_{i}$ est un sous-quotient strict, $\sigma_{t_{i}}$-semistable, de $A_{i-1}$, $Q(v(A_{i}))<0$ et

[TABLE]

et $Q(v(A_{i+1}))<0.$

On a $\phi_{t_{0}}(B_{1})=\phi_{t_{0}}(A)$ et, par $\sigma_{1}$-semistabilit de $A$, $\phi_{1}(B_{1})\leq\phi_{1}(A)$. La lin arit des fonctions $Z_{t}$ montre alors l’in galit

[TABLE]

pour tout $t\leq t_{0}$. Une r currence imm diate donne

[TABLE]

D’apr s ce qui pr c de, les $v(B_{i})$ sont en nombre fini, ainsi donc que les $Z(B_{i})$. Cependant, si $B_{i+1}$ est un sous-objet strict de $B_{i}$, alors

[TABLE]

Cela implique que la suite $(B_{i})$ est stationnaire. De m me, la suite $(C_{i})$ est stationnaire, ainsi que la suite $(A_{i})$, contradiction : $\sigma_{1}$ v rifie la condition de support par rapport  $Q$.

Ce qui pr c de nous fournit une fonction

[TABLE]

Montrons-en la continuit . Soit en effet $\phi$ un r el, et soit $A$ un l ment $\sigma_{u}$-semistable de ${\mathcal{A}}$, de phase $\phi$. Gr ce au lemme 2.1, et d calage pr s, il s’agit de montrer que $\phi_{0}^{+}(A)$ et $\phi_{0}^{-}(A)$ sont proches de $\phi$ si $u$ est proche de [math] dans $W_{\mathbb{R}}$.

Soit $A_{+}$ le sous-objet semistable maximal de $A$ tel que $\phi_{0}^{+}(A)=\phi_{0}(A_{+})$. Comme $A$ est $\sigma_{1}$-semistable, on a $\phi_{1}(A_{+})\leq\phi$. Si $u$ est suffisamment proche de [math], la continuit de la phase en fonction de $u$ nous garantit que l’on a $\phi_{0}^{+}(A)=\phi_{0}(A_{+})\leq\phi_{u}(A_{+})+\eta\leq\phi+\eta$ pour un $\eta>0$ petit, ne d pendant que de $u$. De m me, on a dans ce cas $\phi_{0}^{-}(A)\geq\phi-\eta.$ On a finalement, pour $\eta$ tendant vers [math] avec $u$,

[TABLE]

ce qui conclut.

Les nonc s que l’on vient de montrer, avec l’injectivit locale, prouvent le r sultat.

Voici une version faible du th or me, qui contient essentiellement tous les arguments n cessaires la preuve compl te.

{lemm}

L’application $q$ est un hom omorphisme local.

Proof 2.4**.**

Il suffit de montrer le r sultat au voisinage de $\sigma$, et l’on peut supposer quitte faire agir $GL_{2}^{+}(\mathbb{R})$ que l’on peut prendre $g=1$ dans le lemme 2.2.

Pour montrer le r sultat, il faut montrer, vue l’injectivit locale, que si $Z^{\prime}\in\operatorname{Hom}(\Lambda,\mathbb{C})$ est suffisamment proche de $Z$, alors $Z^{\prime}$ est la charge centrale d’une condition de stabilit $\tau$ proche de $\sigma$.

Comme $Z^{\prime}$ est proche de $Z$, on peut choisir $g\in GL_{2}^{+}(\mathbb{R})$, proche de $1$, tel que $g\circ Z^{\prime}$ et $Z$ co ncident sur $(\operatorname{Ker}Z)^{\perp}$. On peut remplacer $Z^{\prime}$ par $g\circ Z^{\prime}$ et supposer que $Z^{\prime}$ s’ crit

[TABLE]

o $p$ est la projection orthogonale de $\Lambda_{\mathbb{R}}$ sur $\operatorname{Ker}Z$ et $u,v\in\operatorname{Hom}(\operatorname{Ker}Z,\mathbb{R})$ sont proches de [math]. Notons $Z_{1}=Z+u\circ p$. Alors $Z_{1}$ est proche de $Z$ et le lemme ci-dessus fournit une condition de stabilit $\sigma_{1}$ de charge centrale $Z_{1}$, proche de $\sigma$. On peut remplacer $Z$ par $Z_{1}$, $\sigma$ par $\sigma_{1}$, et supposer donc

[TABLE]

o $p^{\prime}$ est proche de $p$. Quitte encore remplacer $Z^{\prime}$ par $g\circ Z^{\prime}$ avec $g$ proche de $1$, on peut supposer $p^{\prime}=p$.

On a

[TABLE]

Notant $T$ un rel vement de la multiplication par $i$ dans $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$, le lemme pr c dent fournit une condition de stabilit $-T\tau$, proche de $-T\sigma$, de charche centrale $-iZ^{\prime}$. Alors $\tau$ est bien une condition de stabilit proche de $\sigma$, de charge centrale $Z^{\prime}$.

Soit $V$ la composante connexe de $p^{-1}(U)$ contenant $Z$. On peut adapter l’argument pr c dent pour montrer la surjectivit de $q_{|V}:V\rightarrow U$. Mieux, on peut montrer de m me la surjectivit locale de $q_{|V}$, ce qui implique par [Huy12, Proposition 5.6] que $q_{|V}$ est bien un rev tement de $U$.

Enfin, les arguments ci-dessus, joints la seconde propri t du lemme 2.2 et la remarque 1.4, montrent que les conditions de stabilit dans $V$ v rifient la condition de support par rapport $Q$.

La remarque 1.4, jointe au second nonc du th or me, a la cons quence importante suivante qui traduit l’uniformit de la condition de support.

{coro}

Soit $\|.\|$ une norme sur $\Lambda$, et soit $\sigma$ une condition de stabilit sur ${\mathcal{D}}$. Alors il existe un voisinage ouvert $U$ de $\sigma$ dans $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$, et une constante $C>0$, tels que pour tout $\tau=({\mathcal{Q}},Z^{\prime})\in U$, et pour tout objet $A$ de ${\mathcal{D}}$ qui est $\tau$-semistable, on ait

[TABLE]

2.3 Murs et chambres

On d crit maintenant la variation des ensembles d’objets (semi)stables dans ${\mathcal{D}}$ quand la condition de stabilit varie contin ment. Dans ce qui suit, nous noterons ${\mathcal{A}}_{\sigma}$ la cat gorie ab lienne cœur d’une condition de stabilit $\sigma$.

Voici d’abord un lemme cat gorique.

{lemm}

Soit $\varepsilon>0$. Il existe un recouvrement de $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ par des ouverts $U$ tels que si $\sigma=({\mathcal{P}},Z)$ est dans $U$, et si $A$ est un objet de ${\mathcal{P}}(\mathopen{]}\varepsilon,1-\varepsilon\mathclose{[})$, alors pour tout $\tau\in U$, $A$ est un objet de ${\mathcal{A}}_{\tau}$.

Pour un tel ouvert $U$, et $\sigma=({\mathcal{P}},Z)\in U$, si $f:B\rightarrow C$ est un monomorphisme entre objets de ${\mathcal{P}}(\mathopen{]}\varepsilon,1-\varepsilon\mathclose{[})$, vus comme objets de ${\mathcal{A}}_{\sigma}$, dont le conoyau est dans ${\mathcal{P}}(\mathopen{]}\varepsilon,1-\varepsilon\mathclose{[})$, alors, pour tout $\tau\in U$, $f$ est un monomorphisme.

Proof 2.5**.**

La d finition de la topologie de $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ montre que les fonctions

[TABLE]

sont toutes les deux continues, ce qui montre le premier point.

Pour prouver le second point, remarquons que $f$ est un monomorphisme dans ${\mathcal{A}}_{\sigma}$ si et seulement si le c ne de $f$ est dans ${\mathcal{D}}^{\geq 0}={\mathcal{P}}(\leq 1)$ — on utilise ici la t-structure de la proposition 1 associ e ${\mathcal{A}}_{\sigma}$. Dans ce cas, le c ne de $f$ dans ${\mathcal{D}}$ est isomorphe au conoyau $C$ de $f$ dans ${\mathcal{A}}_{\sigma}$, ce qui permet de conclure.

Proposition 9**.**

Soit $E$ un objet de ${\mathcal{D}}$. L’ensemble des $\sigma\in\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ tel que $E$ est $\sigma$-semistable (resp. stable) est ferm (resp. ouvert) dans $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$.

Proof 2.6**.**

Les fonctions $\sigma\mapsto\phi^{-}_{\sigma}(A),\phi^{+}_{\sigma}(A)$ sont toutes les deux continues. Par ailleurs, $A$ est $\sigma$-semistable si et seulement si $\phi^{-}_{\sigma}(A)=\phi^{+}_{\sigma}(A)$. Cela montre que l’ensemble des $\sigma$ tel que $A$ est $\sigma$-semistable est ferm dans $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$.

Soit $\sigma=({\mathcal{P}},Z)$ une condition de stabilit sur ${\mathcal{D}}$, et soit $A$ un objet $\sigma$-stable de ${\mathcal{D}}$. Supposons pour fixer les id es — quitte faire agir $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$ — que la phase $\phi_{\sigma}(A)$ est $1/2$. Soit $v=v(A)\in\Lambda$. Soit ${\mathcal{A}}$ le cœur de ${\mathcal{P}}$, et soit $U$ un voisinage ouvert de $\sigma$ dans $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ tel que pour tout $\tau=({\mathcal{Q}},Z^{\prime})\in U$, $A$ est un objet de ${\mathcal{Q}}(\mathopen{]}1/3,2/3\mathclose{[})$.

Soit $W$ l’ensemble des l ments $w$ de $\Lambda$ tels que

[TABLE]

et

[TABLE]

avec $\phi\in\mathopen{]}1/3,2/3\mathclose{[}.$ Quitte retr cir $U$, on peut supposer que l’ensemble des $|Z(w)|,$ $w\in W$, est born . Soit $W_{d}$ l’ensemble des $w\in W$ tels qu’il existe $\tau=({\mathcal{Q}},Z_{\tau})\in U,$ et un monomorphisme $B\rightarrow A$ d’objets de ${\mathcal{Q}}(\mathopen{]}1/3,2/3\mathclose{[})$, vus comme objets de ${\mathcal{A}}_{\tau}$, de conoyau dans ${\mathcal{Q}}(\mathopen{]}1/3,2/3\mathclose{[})$, avec $B$ $\tau$-semistable et $v(B)=w$. Le corollaire 2.2 garantit que $W_{d}$ est un ensemble fini, quitte encore retr cir $U$.

Soit $\tau=({\mathcal{Q}},Z_{\tau})\in U$, et supposons que $A$ n’est pas $\tau$-stable. Alors on peut trouver $w\in W_{d}$, avec $\mathrm{Im}(Z_{\tau}(w)/Z_{\tau}(v))\geq 0$, un monomorphisme $B\rightarrow A$ d’objets de ${\mathcal{Q}}(\mathopen{]}1/3,2/3\mathclose{[})$, vus comme objets de ${\mathcal{A}}_{\tau}$, de conoyau dans ${\mathcal{Q}}(\mathopen{]}1/3,2/3\mathclose{[})$, avec $B$ $\tau$-semistable et $v(B)=w$ — prendre $B$ maximal semistable de phase $\phi^{+}_{\tau}(A)$.

Soit maintenant $\tau^{\prime}=({\mathcal{Q}}^{\prime},Z_{\tau^{\prime}})\in U$ tel que $\mathrm{Im}(Z_{\tau^{\prime}}(w)/Z_{\tau^{\prime}}(v))\geq 0$ — c’est une condition ferm e dans $U$. Le lemme pr c dent montre que pour tout tel $\tau^{\prime}$, le morphisme $B\rightarrow A$ est un monomorphisme dans ${\mathcal{A}}_{\tau^{\prime}}$. On a par ailleurs $\phi_{\tau^{\prime}}(B)\geq\phi_{\tau^{\prime}}(A)$, donc $A$ n’est pas $\tau$-stable.

Finalement, pour chaque $w\in W_{d}$, on a construit un ferm $F_{w}$ de $U$ (vide ou d fini par l’ quation $\mathrm{Im}(Z_{\tau}(w)/Z_{\tau}(v))\geq 0$) de telle sorte que l’ensemble des $\tau\in U$ tels que $A$ n’est pas $\tau$-stable est la r union des $F_{d}$. Cela montre bien que l’ensemble des $\tau\in U$ tels que $A$ est $\tau$-stable est ouvert.

La proposition pr c dente donne en fait une description pr cise du lieu o un objet $A$ peut tre d stabilis . Reprenant l’exact argument de la preuve, nous obtenons le r sultat suivant, d essentiellement Bridgeland [Bri08] et Toda [Tod08]. Nous reprenons essentiellement les nonc s de [BM11, Proposition 3.3] et [BM14b, Proposition 2.3].

Proposition 10**.**

Soit $v$ un l ment de $\Lambda$. Il existe un ensemble ${\mathcal{W}}$ de sous-vari t s bord de codimension $1$ dans $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$, appel es murs, tels que, appelant chambres les composantes connexes du compl mentaire de l’ensemble des $W\in{\mathcal{W}}$, on ait les propri t s suivantes :

${\mathcal{W}}$* est une famille localement finie : tout compact de $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ n’intersecte qu’un nombre fini de murs;* 2. 2.

Soit $W\in{\mathcal{W}}$. On peut trouver $w\in\Lambda$ non proportionnel $v$ tel que $W$ est l’adh rence d’un ouvert de $\{\sigma=({\mathcal{P}},Z)\in\operatorname{Stab}({\mathcal{D}}),Z(w)/Z(v)\in\mathbb{R}^{*}\}$. De plus, pour tout $\sigma=({\mathcal{P}},Z)\in W$, on peut trouver $\phi\in\mathbb{R}$, et un monomorphisme $B\rightarrow A$ dans ${\mathcal{P}}(\phi)$, tels que $v(A)=v$ et $v(B)=w$; 3. 3.

Si $C$ est une chambre, $A$ un objet de ${\mathcal{D}}$, et $\sigma,\tau\in C$ (resp. $\overline{C}$), alors $A$ est $\sigma$-stable (resp. semistable) si et seulement si $A$ est $\tau$-stable (resp. semistable); 4. 4.

Si $W$ est un mur, il existe un objet $A$ de ${\mathcal{D}}$ qui est semistable sur $W$, et instable dans une des chambres adjacentes111i.e., dont l’adh rence intersecte $W$.* $W$.*

De plus, si $(W_{i})_{i\in I}$ est un ensemble fini de murs, la famille des $W\cap\bigcap_{i\in I}W_{i},W\in{\mathcal{W}}$, d finit une famille de murs et de chambres dans $\bigcap_{i\in I}W_{i}$ satisfaisant les propri t s pr c dentes.

{rema}

L’action de $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$ laisse invariants les murs — et les chambres — d crits ci-dessus. En effet, elle pr serve l’ensemble des cat gories ${\mathcal{P}}(\phi),\phi\in\mathbb{R}$, donc les ensembles d’objets stables et semistables.

Dans la situation pr c dente, une strate est une composante connexe de l’intersection d’un ensemble fini de murs. Voici une remarque utile, dont la d monstration est vidente.

Proposition 11**.**

Pour tout $v\in\Lambda$, l’ensemble des conditions de stabilit rationnelles est dense dans chaque strate de la d composition en murs et chambres de $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ associ e $v$.

3 Exemples

Dans la suite de ces notes, nous allons appliquer la th orie g n rale d crite ci-dessus des situations venant de la g om trie.

Soit $X$ une vari t complexe. On note $D^{b}(X)$ la cat gorie d riv e born e de la cat gorie ab lienne $\mathrm{Coh}(X)$ des faisceaux coh rents sur $X$.

Supposons $X$ projective et lisse. Si $A$ et $B$ sont deux objets de $D^{b}(X)$, alors pour tout entier $i$, l’espace $\operatorname{Hom}(A,B[i])$ est de dimension finie sur $\mathbb{C}$, et il est nul si $i$ est assez grand en valeur absolue. La caract ristique d’Euler

[TABLE]

est donc bien d finie. Elle induit une forme bilin aire sur le groupe de Grothendieck $K(X)=K_{0}(D^{b}(X)).$

Disons que $A$ et $A^{\prime}$ sont num riquement quivalents, et notons $A\sim A^{\prime}$ si pour tout objet $B$ de $D^{b}(X)$, on a

[TABLE]

La relation $\sim$ est bien une relation d’ quivalence : l’ quivalence num rique. Le th or me de dualit de Serre montre que la forme bilin aire $\chi$ descend en une forme bilin aire non d g n r e sur $K_{\mathrm{num}}(X):=K(X)/\sim$.

On sait — c’est une cons quence du th or me de Hirzebruch-Riemann-Roch — que le groupe $K_{\mathrm{num}}(X)$ est un groupe ab lien libre de type fini. On le notera $\Lambda$.

{defi}

Une condition de stabilit num rique sur $X$ est une condition de stabilit sur $D^{b}(X)$ qui se factorise par la fl che naturelle $K_{0}(X)\rightarrow K_{\mathrm{\mathrm{num}}}(X)$. On note $\operatorname{Stab}(X)$ l’espace des conditions de stabilit num riques sur $X$.

Si $X$ est une courbe irr ductible, la fl che

[TABLE]

identifie $K_{\mathrm{num}}(X)$ $\mathbb{Z}^{2}$.

Si $X$ est une surface irr ductible, notons $\operatorname{NS}(X)$ le groupe des fibr s en droites sur $X$ modulo quivalence num rique. Alors $K_{\mathrm{num}}(X)\otimes\mathbb{Q}$ s’identifie $\mathbb{Q}\oplus\operatorname{NS}(X)\oplus\mathbb{Q}$ via $E\mapsto\operatorname{ch}(E)$.

Dans la suite de ce texte, une condition de stabilit sera toujours une condition de stabilit num rique.

3.1 Courbes

Le cas des courbes est parfaitement compris. Soit $X$ une courbe lisse, projective, irr ductible de genre $g$. On dispose sur la cat gorie ab lienne d’une fonction de stabilit

[TABLE]

L’existence des filtrations de Harder-Narasimhan pour $Z$ est classique. Par ailleurs, toute forme quadratique d finie positive sur $\mathbb{R}^{2}=K_{\mathrm{num}}(X)_{\mathbb{R}}$ satisfait manifestement la condition de support pour $(\mathrm{Coh}(X),Z)$, puisque $Z$ est une injection. On a donc montr que $\sigma=(\mathrm{Coh}(X),Z)$ est une condition de stabilit sur $X$.

Soit $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ la composante connexe de $\operatorname{Stab}(X)$ contenant la condition de stabilit  $\sigma$. Soit $U$ la composante connexe contenant $Z$ de l’ouvert de $\operatorname{Hom}(K(X),\mathbb{C})$ constitu e des applications $Z^{\prime}$ telles que $Z^{\prime}_{\mathbb{R}}:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{C}$ est une injection. Alors $U$ est l’orbite de $Z$ sous l’action de $\mathrm{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$.

D’apr s le th or me 2.2, la pr image $V$ de $U$ dans $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ est un rev tement de $U$. L’application $q:V\rightarrow U$ est $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$- quivariante, et l’on v rifie imm diatement que l’action de $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$ sur $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ est libre. $V$ est donc l’orbite de $\sigma$ sous $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$. En particulier, tout objet $\sigma$-semistable est $\sigma^{\prime}$-semistable pour tout $\sigma^{\prime}\in V$.

Supposons un moment que l’inclusion de $V$ dans $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ soit stricte. Alors on peut trouver une condition de stabilit $\tau=({\mathcal{A}},Z^{\prime})$ sur $X$, appartenant au bord de $V$, dont la charge centrale $Z^{\prime}$ n’est pas injective. Soit $Q$ une forme quadratique sur $\mathbb{R}^{2}=K(X)_{\mathbb{R}}$ qui satisfait la condition de support par rapport $\sigma$. Alors $Q$ est strictement n gative sur un c ne ouvert de $\mathbb{R}^{2}$, et positive ou nulle sur tout $v\in\mathbb{Z}^{2}$ qui est la classe d’un objet $\sigma$-semistable. La fermeture de la semistabilit prouv e dans la proposition 9 et le paragraphe pr c dent montrent que tout objet $\sigma$-semistable est $\tau$-semistable.

Si le genre $g$ de $X$ est au moins [math], i.e. si $X$ n’est pas isomorphe $\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}$, on sait que tout couple $(-d,r)$ avec $r>0$ est de la forme $(-\deg E,\mathrm{rg}E)$, avec $E$ $\sigma$-semistable sur $X$. En particulier, tout c ne ouvert de $\mathbb{R}^{2}$ rencontre l’ensemble des $v(E)$, o $E$ parcourt les faisceaux localement libres $\sigma$-semistables sur $X$.

L’espace $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ est donc un rev tement de $U\simeq GL_{2}^{+}(\mathbb{R})$. L’application de rev tement correspondante

[TABLE]

est $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$- quivariante, et l’on v rifie imm diatement que l’action de $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$ sur $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ est libre. Il en r sulte le r sultat suivant.

Proposition 12**.**

Soit $X$ une courbe irr ductible de genre positif ou nul, et soit $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ la composante de $\operatorname{Stab}(X)$ contenant la condition de stabilit $\sigma$ d finie ci-dessus. Alors $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ est un espace principal homog ne sous $\widetilde{\mathrm{GL}}_{2}^{+}(\mathbb{R})$. Il est biholomorphe $\mathbb{C}\times\mathbb{H}$.

Il est en fait possible de prouver le r sultat suivant, plus fort, [Bri07, Mac07], qui montre en outre que $\operatorname{Stab}(X)$ est connexe.

{theo}

Soit $X$ une courbe irr ductible de genre positif ou nul. Alors $\operatorname{Stab}(X)$ est un espace principal homog ne sous $\widetilde{\mathrm{GL}}_{2}^{+}(\mathbb{R})$. On a de plus $\operatorname{Stab}(\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}})\simeq\mathbb{C}^{2}.$

3.2 Basculement

Dans la suite de ce texte, nous allons concentrer notre attention sur la cat gorie $D^{b}(X)$, o $X$ est de dimension $2$. Il est imm diat de remarquer que la stabilit via la pente ne peut pas donner de condition de stabilit de cœur $\mathrm{Coh}(X)$ : les faisceaux support s sur les points ferm s seraient dans le noyau de la charge centrale. Plus g n ralement, il n’est pas tr s difficile de montrer que $\mathrm{Coh}(X)$ n’est le cœur d’aucune condition de stabilit num rique sur $D^{b}(X)$.

Dans ce qui suit, nous montrons comment construire des cat gories ab liennes int ressantes dans $D^{b}(X)$ par un proc d dit de basculement. Cette construction est due Happel-Reiten-Smalø [HRS96].

{defi}

Soit ${\mathcal{A}}$ une cat gorie ab lienne. Un couple de torsion sur ${\mathcal{A}}$ est un couple de sous-cat gories additives pleines $({\mathcal{F}},{\mathcal{T}})$ de ${\mathcal{A}}$ qui satisfait les deux propri t s suivantes :

Pour tous objets $F$ de ${\mathcal{F}}$ et $T$ de ${\mathcal{T}}$, on a $\operatorname{Hom}(T,F)=0$; 2. 2.

Pour tout objet $E$ de ${\mathcal{A}}$, on peut trouver des objets $F$ de ${\mathcal{F}}$ et $T$ de ${\mathcal{T}}$, ainsi qu’une suite exacte

[TABLE]

{rema}

La propri t d’annulation garantit l’unicit de la suite exacte en 2.

Par ailleurs, si $T$ est un objet de ${\mathcal{T}}$ et $T\rightarrow Q$ un quotient de $T$, la propri t 2 fournit une suite exacte

[TABLE]

dans laquelle $T^{\prime}$ et $F^{\prime}$ sont des objets de ${\mathcal{T}}$ et ${\mathcal{F}}$ respectivement. La composition $T\rightarrow Q\rightarrow F^{\prime}$ est un pimorphisme, nul par la propri t d’annulation, donc $F^{\prime}$ est nul et $Q$ est un objet de ${\mathcal{T}}$. De m me, tout sous-objet d’un objet de ${\mathcal{F}}$ est un objet de ${\mathcal{F}}$.

Il est agr able de se souvenir de la d finition en pensant l’exemple de $\mathrm{Coh}(X)$, o $X$ est une vari t alg brique, ${\mathcal{F}}$ est la sous-cat gorie des faisceaux sans torsion, et ${\mathcal{T}}$ la cat gorie des faisceaux de torsion.

Ce qui suit n’est pas difficile, mais c’est un point cl .

Proposition 13**.**

Soit ${\mathcal{A}}$ une cat gorie ab lienne, cœur d’une t-structure born e sur une cat gorie triangul e ${\mathcal{D}}$, et soit $({\mathcal{F}},{\mathcal{T}})$ un couple de torsion sur ${\mathcal{A}}$.

Soit ${\mathcal{A}}^{\sharp}$ la sous-cat gorie pleine de ${\mathcal{D}}$ dont les objets sont les objets $E$ de ${\mathcal{D}}$ tels que $H^{-1}(E)$ est un objet de ${\mathcal{F}}$, $H^{0}(E)$ est un objet de ${\mathcal{T}}$, et $H^{i}(E)=0$ si $i\neq-1,0$, o les $H^{i}$ sont calcul s pour la t-structure de cœur ${\mathcal{A}}$.

Alors ${\mathcal{A}}^{\sharp}$ est le cœur d’une t-structure born e sur ${\mathcal{A}}$.

{defi}

La cat gorie ${\mathcal{A}}^{\sharp}$ est le basculement de ${\mathcal{A}}$ par rapport au couple de torsion $({\mathcal{F}},{\mathcal{T}})$.

Voici une fa on peut- tre plus claire de comprendre ce qui pr c de : par construction, la cat gorie ${\mathcal{A}}^{\sharp}$ contient les cat gories ${\mathcal{T}}$ et ${\mathcal{F}}[1]$, et tout objet de ${\mathcal{A}}^{\sharp}$ est extension — n cessairement unique — d’un objet de ${\mathcal{F}}[1]$ par un objet de ${\mathcal{T}}$. Autrement dit, $({\mathcal{T}},{\mathcal{F}}[1])$ est un couple de torsion sur ${\mathcal{A}}^{\sharp}$. Le basculement de ${\mathcal{A}}^{\sharp}$ par rapport $({\mathcal{T}},{\mathcal{F}}[1])$ est la cat gorie ab lienne ${\mathcal{A}}[1]$.

Les suites exactes courtes dans ${\mathcal{A}}^{\sharp}$ correspondent aux triangles distingu s

[TABLE]

dans ${\mathcal{D}}$ dont tous les termes sont des objets de ${\mathcal{A}}^{\sharp}$. En particulier, si $A$ est un objet de ${\mathcal{A}}^{\sharp}$, on a une suite exacte dans ${\mathcal{A}}^{\sharp}$

[TABLE]

o l encore les $H^{i}$ sont calcul s pour la t-structure de cœur ${\mathcal{A}}$.

On peut d crire pr cis ment certains sous-objets.

Proposition 14**.**

Soit ${\mathcal{A}}$ une cat gorie ab lienne, cœur d’une t-structure born e sur une cat gorie triangul e ${\mathcal{D}}$, et soit $({\mathcal{F}},{\mathcal{T}})$ un couple de torsion sur ${\mathcal{A}}$. On note ${\mathcal{A}}^{\sharp}$ le basculement de ${\mathcal{A}}$ correspondant.

Soit $A$ un objet de ${\mathcal{T}}$. Alors les sous-objets de $A$ dans ${\mathcal{A}}^{\sharp}$ sont exactement les objets $B$ de ${\mathcal{T}}$ munis d’une fl che $B\rightarrow A$ dont le noyau dans ${\mathcal{A}}$ est un objet de ${\mathcal{F}}$.

Proof 3.1**.**

Soit $f:B\rightarrow A$ comme dans l’ nonc . Compl tons cette fl che en un triangle distingu dans ${\mathcal{D}}$

[TABLE]

o $C$ est le complexe $B\rightarrow A,$ $B$ tant plac en degr $-1$. Alors $H^{-1}(C)=\operatorname{Ker}f$ est un objet de ${\mathcal{F}}$ par hypoth se, et $H^{0}(C)=\mathrm{Coker}f$ est un objet de ${\mathcal{T}}$ comme quotient dans ${\mathcal{A}}$ d’un objet de ${\mathcal{T}}$ — voir la remarque 3.2. Ainsi, $C$ est un objet de ${\mathcal{A}}^{\sharp}$, d’o une suite exacte

[TABLE]

dans ${\mathcal{A}}^{\sharp}$, qui montre que $B$ est bien un sous-objet de $A$ dans ${\mathcal{A}}^{\sharp}$.

L’ nonc r ciproque a une preuve similaire.

{exem}

Soit ${\mathcal{A}}$ une cat gorie ab lienne, cœur d’une t-structure born e sur une cat gorie triangul e ${\mathcal{D}}$, et soit $Z$ une fonction de stabilit sur ${\mathcal{A}}$. Soit ${\mathcal{P}}$ le d coupage de ${\mathcal{D}}$ correspondant. Alors, pour tout $\phi\in\mathopen{]}0,1]$, le couple $({\mathcal{P}}(\mathopen{]}0,\phi]),{\mathcal{P}}(\mathopen{]}\phi,1]))$ est un couple de torsion sur ${\mathcal{A}}$. C’est le cœur de la condition de stabilit obtenue par action de la rotation d’angle $\phi$ sur $({\mathcal{A}},Z)$.

{exem}

Soit ${\mathcal{D}}$ une cat gorie triangul e, et soient ${\mathcal{P}}$ et ${\mathcal{Q}}$ deux d coupages de ${\mathcal{D}}$. Notons ${\mathcal{A}}$ (resp. ${\mathcal{B}}$) le cœur de ${\mathcal{P}}$ (resp. ${\mathcal{Q}}$), et supposons que tout objet de ${\mathcal{A}}$ soit extension d’objets de ${\mathcal{B}}$ et ${\mathcal{B}}[1]$ dans ${\mathcal{D}}$ — autrement dit, supposons que ${\mathcal{P}}(\mathopen{]}0,1])$ soit une sous-cat gorie pleine de ${\mathcal{Q}}(\mathopen{]}-1,1])$. Alors le couple

[TABLE]

est un couple de torsion sur ${\mathcal{A}}$, dont le basculement est ${\mathcal{B}}$.

Les deux exemples pr c dents ont pour cons quence imm diate l’ nonc suivant, qui souligne l’importance de la notion de basculement dans l’ tude des conditions de stabilit .

Proposition 15**.**

Soit ${\mathcal{D}}$ une cat gorie triangul e, soit $\varepsilon>0$, et soit $\sigma=({\mathcal{P}},Z)$ une condition de stabilit sur ${\mathcal{D}}$. Il existe un voisinage ouvert $U$ de $\sigma$ dans $\operatorname{Stab}({\mathcal{D}})$ tel que pour tout $\tau$ dans $U$, le cœur de $\tau$ est un basculement de ${\mathcal{P}}(]-\varepsilon,1-\varepsilon])$.

3.3 Surfaces

Soit $X$ une surface projective complexe. La construction de conditions de stabilit sur les surfaces appara t dans [Bri08] pour les surfaces $\mathrm{K}3$, et dans [AB13]. La version du th or me 2.2 que nous avons donn e ici, due Bayer, permet de simplifier largement les preuves de ces r sultats.

Dans ce qui suit, on note $\mathrm{rg}(A)$ pour le rang d’un faisceau coh rent $A$ sur $X$ au point g n rique.

Commen ons par quelques rappels sur la stabilit pour les faisceaux sans torsion sur les surfaces — voir par exemple [HL10]. Soit $\omega$ un l ment du c ne ample de $\operatorname{NS}(X)\otimes\mathbb{R}$.

{defi}

Soit $A$ un faisceau coh rent sur $X$.

La pente de $A$ est l’ l ment $\mu_{\omega}(A)$ de $\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ d fini par

[TABLE]

si $\mathrm{rg}(A)>0$, et $+\infty$ sinon. 2. 2.

On dit que $A$ est $\mu$-semistable (resp. $\mu$-stable) si pour tout sous-faisceau strict non nul $B$ de $A$, on a $\mu_{\omega}(B)\leq\mu_{\omega}(A)$ (resp. $\mu_{\omega}(B)<\mu_{\omega}(A)$). 3. 3.

Supposons que $A$ est pur222$A$ est pur de dimension $d$ si le support de tout sous-faisceau coh rent non nul de $A$ est de dimension $d$. de dimension $d\in\{0,1,2\}$. Notons $P_{\omega,A}$ le polyn me

[TABLE]

et $p_{\omega,A}$ le polyn me unitaire de degr $d$ qui lui est proportionnel. On dit que $A$ est semistable (resp. stable) au sens de Gieseker si pour tout sous-faisceau strict $B$ de $A$ et tout $n$ suffisamment grand, on a

[TABLE]

On parlera souvent de stabilit pour d signer la stabilit au sens de Gieseker. La $\mu$-stabilit implique la stabilit , et la semistabilit implique la $\mu$-semistabilit .

{rema}

Les d finitions ci-dessus impliquent que les faisceaux de torsion sont tous $\mu$-semistables de pente $+\infty$, et que les faisceaux $\mu$-semistables de rang non nul sont sans torsion.

{rema}

Si $\omega$ est la classe d’ quivalence num rique d’un fibr en droites $H$, le th or me de Hirzebruch-Riemann-Roch montre que l’on a

[TABLE]

pour tout entier $n$. Un faisceau semistable au sens de Gieseker sera toujours suppos pur.

On utilisera l’existence de filtrations de Harder-Narasimhan pour la $\mu$-stabilit : tout objet $A$ de $\mathrm{Coh}(X)$ a une filtration finie

[TABLE]

telle que

• •

pour tout $i\geq 0$, $A_{i+1}/A_{i}$ est $\mu$-semistable;

• •

pour tout $i\geq 0$, $\mu_{\omega}(A_{i+1}/A_{i})>\mu_{\omega}(A_{i+2}/A_{i+1})$.

En particuler, $A_{1}$ est le sous-faisceau de torsion de $A$. Les $\mu_{\omega}(A_{i+1}/A_{i})$ sont les pentes de $A$, et l’on notera $\mu_{\omega}(A_{1})=\mu_{\omega}^{+}(A)$, $\mu_{\omega}(A/A_{n-1})=\mu_{\omega}^{-}(A)$.

La $\mu$-stabilit ne permet pas de donner directement une condition de stabilit sur $\mathrm{Coh}(X)$ ou $D^{b}(X)$. En effet, si $A$ est un faisceau coh rent sur $X$ support en codimension $2$, alors $\omega.c_{1}(A)=0$ et $\mathrm{rg}(A)=0$. Cependant, l’existence de filtrations de Harder-Narasimhan permet de construire des cat gories ab liennes dans $D^{b}(A)$ par basculement comme dans l’exemple 3.2.

Par ailleurs, la notion de stabilit au sens de Gieseker est plus adapt e pour traiter des faisceaux coh rents arbitraires, mais elle n’est pas formul e a priori en terme de pentes. Pour motiver l’introduction de la charge centrale adapt e, consid rons un faisceau $A$ sans torsion sur $X$. Notons

[TABLE]

et consid rons

[TABLE]

Pour $n$ suffisamment grand, la partie imaginaire de $W_{n\omega}(A)$ est strictement positive, et la pente g n ralis e de $W_{n\omega}(A)$, au sens de 1.1, est

[TABLE]

Soit maintenant $B$ un sous-faisceau coh rent de $A$, avec

[TABLE]

Supposons pour fixer les id es $b$ et $b^{\prime}$ positifs. Alors, pour $n$ suffisamment grand, on a

[TABLE]

si et seulement si $b^{\prime}<b$ ou $b=b^{\prime}$ et $c^{\prime}\leq c$. Autrement dit, c’est le cas si et seulement si

[TABLE]

pour tout $n$ suffisamment grand. On retrouve ainsi la stabilit au sens de Gieseker — la condition de positivit de $b$ et $b^{\prime}$ pr s, que l’on assurera par un proc d de basculement, puisque $b$ est, une constante multiplicative strictement positive pr s, la pente $\mu_{\omega}(A)$.

La discussion ci-dessus sugg re de consid rer des charges centrales de la forme

[TABLE]

Plus g n ralement, la stabilit au sens de Gieseker n’ tant pas stable par tensorisation avec un fibr en droites, on est amen tordre les donn es comme suit. Soit $\beta$ un l ment arbitraire de $\operatorname{NS}(X)_{\mathbb{R}}$ — qui n’est donc pas n cessairement la classe d’un fibr en droites. On d finit, pour tout faisceau coh rent de rang strictement positif

[TABLE]

et l’on pose $\mu_{\omega,\beta}(A)=+\infty$ si le rang de $A$ est nul. Si $\beta$ est de la forme $c_{1}(L)$, alors bien s r, $\mu_{\omega,\beta}(A)=\mu_{\omega}(A\otimes L^{\vee})$. Tout comme $\mu_{\omega}$ dont elle se d duit par translation, la pente $\mu_{\omega,\beta}$ d finit une notion de stabilit pour laquelle existent des filtrations de Harder-Narasimhan. On notera encore $\mu_{\omega,\beta}^{\pm}(A)$ pour les plus petites et plus grandes pentes correspondantes.

Consid rons maintenant

[TABLE]

L encore, si $\beta=c_{1}(L)$, on a $Z_{\omega,\beta}(A)=Z_{\omega,0}(A\otimes L^{\vee}).$ C’est la charge centrale que nous allons consid rer.

{rema}

Les normalisations dans la d finition de $Z_{\omega,\beta}$ varient dans la litt rature suivant les auteurs et le contexte. Les signes devant $\int_{X}$, $\omega$ et $\beta$ peuvent varier, ce qui est bien entendu accessoire l’action de $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$ et des basculements pr s.

Dans le cas o $X$ est une surface $\mathrm{K}3$, on introduit plut t

[TABLE]

pour des raisons li es l’utilisation syst matique du r seau de Mukai.

Dans ce qui suit, notons

[TABLE]

o l’indice $i\in\{0,1,2\}$ d signe la composante de codimension $i$. On a alors

[TABLE]

Si $Z_{\omega,\beta}$ est la charge centrale d’une condition de stabilit sur $D^{b}(X)$, son cœur doit tre une cat gorie ab lienne dont les objets sont des objets $A$ de $D^{b}(X)$ tels que $\mathrm{rg}(A)\mu_{\omega,\beta}(A)\geq 0$.

Soient donc ${\mathcal{F}}_{\omega,\beta}$ et ${\mathcal{T}}_{\omega,\beta}$ les sous-cat gories pleines de $\mathrm{Coh}(X)$ dont les objets non nuls sont les faisceaux coh rents $A$ tels que $\mu_{\omega,\beta}^{+}(A)\leq 0$ et $\mu_{\omega,\beta}^{-}(A)>0$ respectivement. Les propri t s de base de la $\mu$-stabilit garantissent que $({\mathcal{F}}_{\omega,\beta},{\mathcal{T}}_{\omega,\beta})$ est un couple de torsion.

{defi}

Avec les notations pr c dentes, on note

[TABLE]

la cat gorie ab lienne obtenue comme basculement de $\mathrm{Coh}(X)$ partir de $({\mathcal{F}}_{\omega,\beta},{\mathcal{T}}_{\omega,\beta})$. C’est le cœur bascul de $\mathrm{Coh}(X)$.

Voici le th or me principal d’existence [Bri08, AB13].

{theo}

Soit $A$ le c ne ample de $X$ dans $\operatorname{NS}(X)_{\mathbb{R}}$. Pour tout $\omega\in A,\beta\in\operatorname{NS}(X)_{\mathbb{R}}$, $\sigma_{\omega,\beta}=(\mathrm{Coh}^{\omega,\beta}(X),Z_{\omega,\beta})$ est une condition de stabilit sur $D^{b}(X)$. De plus, la fl che

[TABLE]

est une immersion ouverte.

Donnons quelques l ments de preuve — nous renvoyons [MS17] pour d tails et r f rences et donnerons par ailleurs des arguments plus pr cis dans le cas o $X$ est une surface $\mathrm{K}3$.

L’ nonc difficile est celui qui affirme que $\sigma_{\omega,\beta}$ est une condition de stabilit pour tout couple $(\omega,\beta)$ — la continuit suit d’arguments de rigidit , et la propri t d’immersion ouverte est facile v rifier car le th or me de d formation de Bridgeland nous permet de le faire apr s projection sur $\operatorname{Hom}(K(X)_{\mathrm{num}},\mathbb{C}).$

La strat gie est simple : on commence par traiter le cas o $\omega$ et $\beta$ sont des classes de fibr s en droites, et l’on montre que $\sigma_{\omega,\beta}$ est une condition de stabilit v rifiant la condition de support par rapport une forme quadratique explicite. Ensuite, le th or me 2.2, dans la version effective sous laquelle nous l’avons formul , permet par prolongement de montrer que $\sigma_{\omega^{\prime},\beta^{\prime}}$ est une condition de stabilit quand $\omega^{\prime}$ et $\beta^{\prime}$ appartiennent un voisinage contr l de $(\omega,\beta)$. Dans tout cela, l’ingr dient cl est le suivant, voir par exemple [HL10].

{theo}

[In galit de Bogomolov] Soit $A$ un faisceau sans torsion, $\mu$-semistable par rapport un certain fibr en droites ample. Soit $\beta\in\operatorname{NS}(X)_{\mathbb{R}}$. Alors

[TABLE]

C’est l’in galit quadratique ci-dessus qui, quelques manipulations pr s pour faire intervenir $\omega$, fournit la condition de support.

Montrons tout d’abord que $Z=Z_{\omega,\beta}$ est une fonction de stabilit sur $\mathrm{Coh}^{\omega,\beta}(X)$. Un objet $E$ de $\mathrm{Coh}^{\omega,\beta}(X)$ s’ins re dans une suite exacte

[TABLE]

o $A$ et $B$ sont des objets de ${\mathcal{F}}_{\omega,\beta}$ et ${\mathcal{T}}_{\omega,\beta}$ respectivement. Notant $Z(A[1])=-Z(A)$, la construction de ${\mathcal{F}}_{\omega,\beta}$ et ${\mathcal{T}}_{\omega,\beta}$, consid rant (1), assure que les parties imaginaires de $Z(A[1])$ et $Z(B)$ sont positives — il en va donc de m me de celle de $Z(E)$. Par ailleurs, si le support de $B$ est de dimension strictement positive, la partie imaginaire de $Z(B)$ est non nulle elle aussi.

Supposons que $Z(E)$ soit r elle. Alors $B$ est de longueur finie, $Z(B)$ est strictement n gatif si $B$ est non nul par (1), et

[TABLE]

tandis que

[TABLE]

Le th or me de l’indice de Hodge montre que l’on a $(\operatorname{ch}_{1}^{\beta}(A))^{2}\leq 0$, et l’in galit de Bogomolov implique

[TABLE]

ce qui montre bien que $Z(E)$ est strictement n gatif sauf si $B=0$, $\mathrm{rg}(A)=0$ et $\operatorname{ch}_{2}^{\beta}=0$. Dans ce cas, $A$ est de torsion, mais $\operatorname{ch}_{1}^{\beta}(A)$ est alors effectif, ce qui contredit l’ galit $\operatorname{ch}_{1}^{\beta}(A).\omega=0$ si $\operatorname{ch}_{1}^{\beta}(A)$ est non nul. Nous avons bien montr que $Z$ est une fonction de stabilit sur $\mathrm{Coh}^{\omega,\beta}(X)$.

Il faut ensuite montrer l’existence de filtrations de Harder-Narasimhan. Dans le cas qui nous occupe, la discr tude de l’image de $Z$ nous permet — par le m me argument que pour la stabilit usuelle — de montrer seulement que $\mathrm{Coh}^{\omega,\beta}(X)$ est une cat gorie noeth rienne, voir [Bri08, Section 7].

Enfin, il faut montrer la condition de support par rapport une forme quadratique explicite. L’id e est la suivante : soit $n$ un entier suffisamment grand. Si $E$ est un objet $\sigma_{n\omega,\beta}$-semistable, le choix de $Z$, comme nous l’avons expliqu au d but de cette section, permet de montrer que $E$ est — d calage pr s — un fibr semistable au sens de Gieseker — voir par exemple [Bri08, Section 14]. L’in galit de Bogomolov fournit une in galit pour $E$ telle que demand e par la condition de support. Il s’agit ensuite de montrer que cette in galit vaut pour les objets $\sigma_{\omega,\beta}$-semistables. Partant d’un tel objet $E$, on applique la m thode de wall-crossing pour les formes quadratiques utilis e dans la preuve du lemme 2.2.

On consid re le wall-crossing pour $E$ le long du chemin $t\mapsto\sigma_{t\omega,\beta}$. On montre alors qu’il existe un entier $n$ tel que les facteurs de Harder-Narasimhan de $E$ pour $\sigma_{n\omega,\beta}$ sont semistables au sens de Gieseker. Cela permet de conclure la validit d’une in galit la Bogomolov pour $E$ partir de celle de ses facteurs pour $\sigma_{n\omega,\beta}$.

3.4 Surfaces $\mathrm{K}3$

Soit maintenant $X$ une surface $\mathrm{K}3$ — rappelons qu’il s’agit d’une surface projective lisse, irr ductible, simplement connexe, de fibr canonique trivial. On renvoie [Huy16] pour les propri t s g n rales de ces surfaces. Suivant [Bri08], d crivons plus pr cis ment une composante connexe de l’espace des conditions de stabilit .

Soit

[TABLE]

le r seau de Mukai de $X$, que l’on munit de la forme quadratique

[TABLE]

Le r seau de Mukai est pair.

Si $A$ est un l ment de $K(X)$, on note $v(A)=\operatorname{ch}(A)\sqrt{\operatorname{td}_{X}}\in\Lambda$ le vecteur de Mukai de $A$. Dans le cas pr sent, le th or me de Riemann-Roch montre

[TABLE]

pour tous $A,B$ dans $K(X)$.

tant donn e une charge centrale $Z:K(X)\rightarrow\mathbb{C}$ suppos e se factoriser par l’ quivalence num rique, nous noterons encore $Z:\Lambda\rightarrow\mathbb{C}$ le morphisme tel que pour tout $A\in K(X)$,

[TABLE]

Proposition 16**.**

Soit $\sigma$ une condition de stabilit sur $X$, et soit $A$ un objet $\sigma$-stable de $D^{b}(X)$. Alors

[TABLE]

Proof 3.2**.**

Il faut montrer l’in galit $\chi(A,A)\leq 2$, i.e.

[TABLE]

Soit $\phi$ la phase de $A$. Pour tout entier $i$, $A[i]$ est stable de phase $\phi+i$. En particulier, pour $i<0$, on a $\operatorname{Hom}(A,A[i])=0$.

Par dualit de Serre, on a

[TABLE]

donc $\operatorname{Hom}(A,A[i])=0$ pour tout $i>2$, et $\operatorname{Hom}(A,A[2])=\operatorname{Hom}(A,A),$ qui est de dimension $1$ car $A$ est stable — consid rer image et noyau d’un endomorphisme de $A$.

Finalement, on a $\chi(A,A)=2-\dim\operatorname{Hom}(A,A[1])\leq 2.$

Comme on l’a mentionn plus haut, les normalisations li es aux conditions de stabilit que l’on vient de construire sont diff rentes dans le cas des surfaces $\mathrm{K}3$, ce afin de travailler de mani re compatible la structure quadratique du r seau de Mukai. Nous crirons donc, avec les notations de 3.3,

[TABLE]

La partie imaginaire de $Z_{\omega,\beta}$ tant inchang e par rapport la convention de 3.3, on ne change pas la notation $\mathrm{Coh}^{\omega,\beta}(X)$. Le th or me 3.3 devient dans ce contexte l’ nonc suivant — remarquer la condition suppl mentaire sur $\omega$, qui vient du changement de normalisation.

{theo}

[[Bri08]] Soit $A$ le c ne ample de $X$ dans $\operatorname{NS}(X)_{\mathbb{R}}$. Pour tout $\omega\in A,\beta\in\operatorname{NS}(X)_{\mathbb{R}}$ tel que $\omega^{2}>2$, $\sigma_{\omega,\beta}=(\mathrm{Coh}^{\omega,\beta}(X),Z_{\omega,\beta})$ est une condition de stabilit sur $D^{b}(X)$. De plus, la fl che induite

[TABLE]

est une immersion ouverte.

Soit $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ une composante connexe de $\operatorname{Stab}(X)$ contenant les conditions de stabilit du th or me ci-dessus.

Soit ${\mathcal{P}}_{0}(X)$ le sous-ensemble de $\operatorname{Hom}(\Lambda,\mathbb{C})$ constitu des $Z:\Lambda\rightarrow\mathbb{C}$ tels que $\operatorname{Ker}Z$ est un sous-espace d fini n gatif de $\Lambda_{\mathbb{R}}$, et ne contient pas de racine de $\Lambda$, i.e. de $\delta\in\Lambda$ tel que $(\delta,\delta)=-2.$ On peut montrer que ${\mathcal{P}}_{0}(X)$ est ouvert dans $\operatorname{Hom}(\Lambda,\mathbb{C})$, [Bri08, Proposition 8.1 et Proposition 8.3].

{theo}

[[Bri08]] Il existe une composante connexe ${\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)$ de ${\mathcal{P}}_{0}(X)$ telle que l’application naturelle

[TABLE]

est un rev tement de ${\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)$.

{rema}

La forme de Mukai identifie $\operatorname{Hom}(\Lambda,\mathbb{C})$ $\Lambda_{\mathbb{C}}$. Sous cette identification, ${\mathcal{P}}_{0}(X)$ devient l’ensemble des l ments de $\Lambda_{\mathbb{C}}$ dont les parties r elles et imaginaires engendrent un $2$-plan positif dans $\Lambda_{\mathbb{R}}$, priv des $\delta^{\perp}$, o $\delta$ parcourt les racines de $\Lambda$.

{rema}

En g n ral, si $X$ est une surface arbitraire et $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ une composante de $\operatorname{Stab}(X)$, il est faux que l’application $q:\operatorname{Stab}^{0}(X)\rightarrow\operatorname{Hom}(\Lambda,\mathbb{C})$ soit un rev tement de son image, voir par exemple [Mei12].

Proof 3.3**.**

On commence par montrer que $q^{-1}({\mathcal{P}}_{0}^{+}(X))\rightarrow{\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)$ est un rev tement, en suivant les id es de [Bay16]. L’id e est de remarquer que, pour $\sigma\in q^{-1}({\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)),$ la proposition 16 n’est pas loin de fournir une forme quadratique qui prouve la condition de support pour $\sigma$.

Soit $Z\in{\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)$. Notons $p$ la projection orthogonale $\Lambda_{\mathbb{R}}\mapsto\operatorname{Ker}Z$, et crivons

[TABLE]

o $\|.\|$ est une forme quadratique d finie positive sur $\mathbb{R}^{2}\simeq\mathbb{C}$, et $\vvvert.\vvvert$ la norme euclidienne induite par $-(.,.)$ sur $\operatorname{Ker}Z$.

Soit $\Delta$ l’ensemble des racines de $\Lambda$, et soit $\delta\in\Delta$. Par hypoth se, $Z(\delta)\neq 0$, et la formule ci-dessus montre

[TABLE]

En particulier, pour toute constante $K$, il n’existe qu’un nombre fini de $\delta\in\Delta$ tels que $\|Z(\delta)\|\leq K$. On peut donc trouver une constante $C>0$ telle que pour tout $\delta\in\Delta$, $\|Z(\delta)\|\geq C.$

Consid rons la forme quadratique

[TABLE]

avec $\alpha^{2}=\frac{C^{2}+2}{C^{2}}$ et $\alpha>0$. Alors $Q_{Z}$ est d finie n gative sur $\operatorname{Ker}Z$.

Soit $\sigma$ une condition de stabilit . La proposition 16 et la d finition de $C$ montrent que si $A$ est un objet $\sigma$-stable de $D^{b}(X)$, alors $Q_{Z}(v(A))\geq 0$. En particulier, la proposition 5 montre que $\sigma$ satisfait la condition de support par rapport $Q_{Z}$ si et seulement si $q(\sigma)$ appartient l’ouvert ${\mathcal{P}}(Z)$ des l ments $W$ de $\operatorname{Hom}(\Lambda,\mathbb{C})$ tels que $\operatorname{Ker}W$ est un sous-espace d fini n gatif de $Q_{Z}$. Si un tel $\sigma$ existe, le th or me 2.2 montre que $q^{-1}({\mathcal{P}}(Z))\rightarrow{\mathcal{P}}(Z)$ est un rev tement. En particulier, $Z$ est dans l’image de $q$.

Le th or me 2.2 montre que l’image de $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ par $q$ est ouverte. Soit $U$ l’intersection de cette image avec ${\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)$, et soit $S$ la pr image de $U$ dans $\operatorname{Stab}^{0}(X)$. Si $U\neq{\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)$, on peut trouver un l ment $Z$ dans ${\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)$ adh rent $U$ mais pas dans $U$. L’argument pr c dent montre que $Z$ est dans l’image de $q$, contradiction. On a donc $U={\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)$.

L’argument pr c dent montre que $q^{-1}({\mathcal{P}}_{0}^{+}(X))\rightarrow{\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)$ est un rev tement localement au-dessus de ${\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)$. C’est donc un rev tement.

Pour conclure, il reste seulement montrer que l’image de $q$ est contenue dans ${\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)$. Il faut un type d’argument diff rent : comme dans le cas des courbes et de la preuve de la proposition 12, on a besoin d’un r sultat d’existence d’objets stables. On va donc utiliser l’ nonc profond suivant, qu’on ne d montrera pas.

Proposition 17**.**

Soit $\sigma$ un l ment de $\operatorname{Stab}^{0}(X)$, et soit $v$ un l ment du r seau de Mukai $\Lambda$. Si $v^{2}\geq-2$, il existe un objet $\sigma$-semistable $A$ de $D^{b}(X)$ tel que $v(A)=v$.

L’ nonc correspondant pour la stabilit la Gieseker est d Kuleshov [Kul90], O’Grady [O’G97] et Yoshioka [Yos01]. Dans le cas qui nous occupe, il est d Toda [Tod08], voir [BM14b, Theorem 6.8]. L’id e est de se ramener au cas de la stabilit la Gieseker en consid rant des conditions de stabilit $\sigma_{n\omega,\beta}$ avec $n\rightarrow\infty$, puis d’ tudier en d tail le wall-crossing pour passer de $\sigma_{n\omega,\beta}$ une condition de stabilit arbitraire dans la composante connexe $\operatorname{Stab}^{0}(X)$. Ce type d’argument utilise les espaces de modules d’objets semistables dont nous discuterons les propri t s dans la section suivante. Il s’agit de montrer que certains invariants motiviques des espaces de modules sont pr serv s par wall-crossing.

Soit maintenant $\sigma$ un l ment de $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ de charge centrale $Z$. Si $\delta$ est une racine de $\Lambda$, la proposition montre que $\delta$ est de la forme $v(A)$ pour $A$ $\sigma$-semistable. Cela implique $Z(v(A))\neq 0$ par condition de support. Par ailleurs, supposons par l’absurde que $\operatorname{Ker}Z$ ne soit pas un sous-espace d fini n gatif de $\Lambda_{\mathbb{R}}$. Quitte remplacer $Z$ par une petite d formation, on peut supposer qu’il existe un l ment $v$ de $\Lambda$ tel que $v^{2}\geq 0$ et $Z(v)=0$, ce qui est l encore une contradiction.

La g om trie du rev tement

[TABLE]

est mal comprise. Dans [Bri08], Bridgeland montre que le groupe des transformations de ce rev tement s’identifie au groupe des automorphismes de $D^{b}(X)$ qui laissent la composante $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ globalement invariante et agissent trivialement sur $\Lambda$. Il conjecture que $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ est simplement connexe, et globalement invariant par tous les automorphismes de $D^{b}(X)$. Cette conjecture est d montr e dans [BB17] quand $X$ a nombre de Picard $1$.

4 Espaces de modules

4.1 G n ralit s

Nous d crivons bri vement les probl mes de modules associ s aux conditions de stabilit la Bridgeland. Par rapport la construction des espaces de modules de faisceaux stables au sens de Gieseker, deux difficult s suppl mentaires apparaissent : il semble difficile en g n ral de borner le probl me de modules et, m me en supposant une telle finitude, l’espace de modules n’est pas a priori obtenu par une construction de th orie g om trique des invariants. En particulier, rien ne garantit qu’il soit projectif.

Les techniques en jeu dans les nonc s qui suivent tant assez diff rentes de celles discut es dans ce texte, nous ne donnons pas de preuve.

Soit $X$ une vari t projective lisse sur $\mathbb{C}$. Si $S$ est un sch ma — ou un espace alg brique — localement de type fini sur $\mathbb{C}$, rappelons qu’un complexe $S$-parfait est un complexe (pas n cessairement born ) de faisceaux quasi-coh rents sur $X\times S$ qui est, localement sur $S$, quasi-isomorphe un complexe born de faisceaux plats de pr sentation finie. On dira aussi qu’il s’agit d’une famille plate d’objets de $D^{b}(X)$.

Soit $\mathfrak{M}$ le $2$-foncteur en groupo des qui envoie un sch ma $S$ localement de type fini sur $\mathbb{C}$ sur le groupo de des complexes $S$-parfaits $E$ tels que pour tout $i<0$, et tout point complexe $s$ de $S$, on ait

[TABLE]

D’apr s [Lie06], $\mathfrak{M}$ est un champ d’Artin, localement de type fini sur $\mathbb{C}$.

Soit $\sigma$ une condition de stabilit (num rique) sur $D^{b}(X)$, et soit $v$ une classe d’ quivalence num rique d’ l ments de $K(X)$. Soit $Z$ la charge centrale associ e $\sigma$, et soit $\phi$ un nombre r el tel que $Z(v)\in\mathbb{R}^{*}_{+}e^{i\phi}.$ On note $\mathfrak{M}_{\sigma}(v,\phi)$ le sous-champ de $\mathfrak{M}$ qui param tre les objets $\sigma$-semistables dans $D^{b}(X)$, de classe $v$ et de phase $\phi$. On note $\mathfrak{M}^{s}_{\sigma}(v,\phi)$ le sous-champ qui param tre les objets stables.

Dans cette g n ralit , on sait tr s peu de choses sur les champs $\mathfrak{M}_{\sigma}(v,\phi)$ et $\mathfrak{M}^{s}_{\sigma}(v,\phi)$. Voici un exemple important o l’on peut contr ler ces objets.

Supposons que $X$ est de dimension $2$. Soit $\omega$ un l ment du c ne ample de $\operatorname{NS}(X)_{\mathbb{R}}$, et $\beta$ un l ment de $\operatorname{NS}(X)_{\mathbb{R}}$. Soit $\sigma_{\omega,\beta}$ la condition de stabilit du th or me 3.3, et notons $\mathfrak{M}_{\omega,\beta}(v,\phi)$ et $\mathfrak{M}^{s}_{\omega,\beta}(v,\phi)$ pour les champs correspondant $\sigma_{\omega,\beta}$.

{theo}

[[Tod08, PT16]] Le champ $\mathfrak{M}_{\omega,\beta}(v,\phi)$ est un champ d’Artin de type fini sur $\mathbb{C}$, et $\mathfrak{M}^{s}_{\omega,\beta}(v,\phi)$ en est un ouvert.

Le champ $\mathfrak{M}^{s}_{\omega,\beta}(v,\phi)$ est une $\mathbb{G}_{m}$-gerbe au-dessus d’un espace alg brique $M^{s}_{\omega,\beta}(v,\phi)$, qui est propre si $\mathfrak{M}_{\omega,\beta}(v,\phi)=\mathfrak{M}^{s}_{\omega,\beta}(v,\phi)$.

Les champs $\mathfrak{M}_{\omega,\beta}(v,\phi)$ et $\mathfrak{M}^{s}_{\omega,\beta}(v,\phi)$ ne d pendent pas, isomorphisme canonique pr s, du choix de $\phi$ — on les notera donc $\mathfrak{M}_{\omega,\beta}(v)$ et $\mathfrak{M}^{s}_{\omega,\beta}(v)$.

{rema}

Si $X$ est une surface $\mathrm{K}3$, nous nous carterons l g rement des notations ci-dessus et remplacerons $v$ par $v\sqrt{\operatorname{td}_{X}}.$

Ce qui suit permet de relier espaces de modules au sens de la stabilit classique et au sens pr c dent. Par souci de simplicit , nous ne consid rons que le cas o $\beta=0$, le cas g n ral en tant une modification imm diate.

Proposition 18**.**

Avec les notations pr c dentes, supposons le rang de $v$ non nul, et $\mu_{\omega}(v)>0$. Alors, pour tout r el $t$ suffisamment grand, le champ $\mathfrak{M}_{t\omega}(v)$ admet pour espace de modules grossier l’espace de modules des faisceaux sans torsion semistables au sens de Gieseker.

Proof 4.1**.**

C’est essentiellement [Bri08, Proposition 14.2]. Les arguments du d but de 3.3 montrent directement que, sous les hypoth ses de la proposition, les objets $\sigma_{t\omega}$-semistables de classe $v$ de $\mathrm{Coh}^{t\omega}(X)$ sont exactement les faisceaux sans torsion sur $X$ qui sont semistables au sens de Gieseker, ce qui est ce que l’on voulait d montrer.

4.2 Le lemme de positivit

Soit $X$ une vari t projective lisse sur $\mathbb{C}$. Soit $S$ un espace alg brique propre, irr ductible sur $\mathbb{C}$ — dans la discussion ci-dessous, nous supposerons $S$ lisse et projectif pour viter l’introduction de complexes parfaits.

Soit $E$ un objet de $D^{b}(X\times S)$, dont on note $[E]$ la classe dans $K(X\times S)_{\mathrm{num}}$. Soient $p$ et $q$ les projections de $X\times S$ sur $X$ et $S$ respectivement. On d finit, comme dans le cas o $E$ est un faisceau [LP92], [HL10, 8.1]

[TABLE]

par la composition

[TABLE]

Soit $v$ la classe de $E_{s}$ dans $K(X)_{\mathrm{num}}$, o $s$ est un point quelconque de $s$. Le calcul de [HL10, Lemma 8.1.2, (iv)] montre que si $F$ est un faisceau localement libre de rang $r$ sur $X$, on a

[TABLE]

Dans le cas classique, la fl che $\lambda_{E}$ est utilis e pour produire des fibr s amples sur $S$. On peut faire de m me dans le cas des familles d’objets stables — c’est le contenu de [BM14b, Theorem 1.1].

Donnons-nous donc une condition de stabilit $\sigma$ sur $D^{b}(X)$, $v$ un l ment de $K(X)_{\mathrm{num}}$, et $E\in\mathrm{Ob}(D^{b}(X\times S))$ une famille plate d’objets $\sigma$-semistables de classe $v$ dans $D^{b}(X)$.

Soit $Z$ la charge centrale de $\sigma$. Soit $\Omega\in K(X)_{num,\mathbb{R}}$ tel que pour tout $w\in K(X)_{\mathrm{num}}$, on ait

[TABLE]

o $\chi$ est la caract ristique d’Euler. En particulier, $\Omega\in v^{\perp}$.

On note

[TABLE]

Des arguments standard utilisant (2) montrent que cette construction d finit une classe d’ quivalence num rique de fibr s en droites $\ell_{\sigma}$ sur le champ $\mathfrak{M}_{\sigma}(v)$, et sur l’espace de module grossier $M_{\sigma}(v)$ s’il existe.

La construction de $\ell_{\sigma,E}$ montre imm diatement :

Proposition 19**.**

Si $\sigma$ est rationnelle, alors $\ell_{\sigma,E}$ est rationnel.

Le th or me fondamental est le suivant.

{theo}

[Lemme de positivit ] La classe $\ell_{\sigma,E}$ est nef. De plus, si $C$ est une courbe dans $S$, alors $\ell_{\sigma,E}.C=0$ si et seulement si pour tous points complexes $s$ et $s^{\prime}$ g n raux de $S$, les objets $\sigma$-semistables $E_{s}$ et $E_{s^{\prime}}$ ont les m mes facteurs de Jordan-H lder permutation pr s.

Proof 4.2**.**

Donnons une id e de l’argument. Quitte faire agir le groupe $\widetilde{GL}_{2}^{+}(\mathbb{R})$, on peut supposer $Z(v)=-1$, de sorte que la classe $\Omega$ ci-dessus soit caract ris e par

[TABLE]

pour tout $w$.

tant donn e une courbe irr ductible et r duite $C$ dans $S$, un calcul via la formule de projection donne

[TABLE]

On peut donc supposer $S=C$.

Soit ${\mathcal{A}}$ le cœur de $\sigma$. Si $p_{*}E$ est un objet de ${\mathcal{A}}$, alors bien s r $\mathrm{Im}(Z(p_{*}E))\geq 0$ par d finition d’une condition de stabilit .

En g n ral, $p_{*}E$ n’est pas un objet de ${\mathcal{A}}$, mais un argument d licat d Abramovich-Polishchuk et Polishchuk [AP06, Pol07] permet de montrer que

[TABLE]

est un objet de ${\mathcal{A}}$, o $s$ est un point lisse de $S$ et $n$ est un entier suffisamment grand. Pour conclure, il suffit de montrer que pour tout $n$ positif, on a

[TABLE]

donc que pour tout $n$ positif,

[TABLE]

Les deux termes diff rent manifestement de la quantit

[TABLE]

car $Z(v)=-1$. Cela montre le premier nonc .

Montrons une des deux directions du second nonc : supposons que $S$ soit une courbe irr ductible et que l’on ait

[TABLE]

Soit $s$ un point lisse de $S$. L’argument pr c dent montre que tous les $Z(p_{*}(E\otimes q^{*}{\mathcal{O}}(ns)))$ sont des nombres r els n gatifs — en particulier, les $p_{*}(E\otimes q^{*}{\mathcal{O}}(ns))$ sont semistables. La suite exacte dans ${\mathcal{A}}$, pour $n$ assez grand,

[TABLE]

montre que les facteurs de Jordan-H lder de $E_{s}$ sont des facteurs de Jordan-H lder de $p_{*}(E\otimes q^{*}{\mathcal{O}}((n+1)s))$. En particulier, ils ne d pendent pas de $s$, ce qui conclut.

5 G om trie birationnelle de certaines vari t s symplectiques holomorphes

Dans cette section, on d crit les travaux de Bayer-Macrì [BM14b, BM14a].

5.1 Vari t s symplectiques holomorphes : rappels

On renvoie [Bea83, Huy99, Mar11] pour plus de d tails sur les vari t s symplectiques holomorphes et leur importance en g om trie alg brique et complexe, et [HT01] pour des l ments de leur g om trie birationnelle.

{defi}

Une vari t symplectique holomorphe est une vari t $X$ projective lisse sur $\mathbb{C}$, simplement connexe, telle que l’espace $H^{0}(X,\Omega^{2}_{X/\mathbb{C}})$ est engendr par une $2$-forme partout non d g n r e.

En particulier, une vari t symplectique holomorphe est de dimension paire, et son fibr canonique est trivial. Il suit qu’une application birationnelle entre vari t s symplectiques holomorphes induit un isomorphisme entre les compl mentaires de ferm s de codimension $2$. En particulier, une telle application induit un isomorphisme entre les groupes de N ron-Severi des deux vari t s.

{rema}

Une vari t symplectique holomorphe de dimension $2$ est une surface $\mathrm{K}3$.

Si $X$ est une vari t symplectique holomorphe de dimension $2n$, le groupe de cohomologie singuli re (modulo torsion) $H^{2}(X,\mathbb{Z})$ est muni d’une forme quadratique naturelle $q$, la forme de Beauville-Bogomolov. Elle est de signature $(3,b-3)$ et se caract rise par l’existence d’une constante $C>0$ telle que pour tout $\alpha\in H^{2}(X,\mathbb{Z})$, on ait

[TABLE]

Fixons une vari t symplectique holomorphe $X$ de dimension $2n$. Le c ne ample de $X$, not $\operatorname{Amp}(X)$, est le c ne dans $\operatorname{NS}(X)_{\mathbb{R}}$ engendr par les classes de diviseurs amples dans $X$. Le c ne ample birationnel de $X$, not $\operatorname{BAmp}(X)$, est la r union des $f^{*}\operatorname{Amp}(X^{\prime})$, o $f:X\dashrightarrow X^{\prime}$ parcourt l’ensemble des applications birationnelles de $X$ vers une vari t symplectique holomorphe $X^{\prime}$. Le c ne ample birationnel n’a pas de raison d’ tre un c ne, mais son adh rence en est un.

Notons par ailleurs $\operatorname{Big}(X)$ et $\operatorname{Mov}(X)$ les c nes dans $\operatorname{NS}(X)_{\mathbb{R}}$ engendr s par les classes de diviseurs big et mobiles — i.e. dont le lieu base d’une puissance positive est de codimension au moins $2$ — respectivement.

On v rifie imm diatement que le c ne ample birationnel de $X$ est contenu dans l’intersection de $\operatorname{Big}(X)$ et $\operatorname{Mov}(X)$.

Soit par ailleurs $D$ un l ment du c ne big de $X$. Alors la paire $(X,D)$ est de log-type g n ral, on peut donc appliquer le programme du mod le minimal la paire $(X,\lambda D)$ pour $\lambda>0$ suffisamment petit — [BCHM10] et [MZ13] pour ce cas pr cis — et en d duire l’existence d’un morphisme birationnel entre vari t s symplectiques holomorphes

[TABLE]

tel que $f^{*}D$ est big et nef. On v rifie que si de plus $f^{*}D$ est ample, alors $X^{\prime}$ est unique. On dira que $(X^{\prime},f^{*}D)$ est un mod le minimal de $(X,D)$.

Soit $X$ une surface $\mathrm{K}3$, soit $\Lambda$ le r seau de Mukai de $X$, et soit $v$ un l ment primitif de $\Lambda$. Soient $\omega$ un l ment du c ne ample de $X$, et $\beta$ un l ment de $\operatorname{NS}(X)_{\mathbb{R}}$. On tend la d finition 3.3 de semistabilit (au sens de Gieseker) en rempla ant

[TABLE]

par

[TABLE]

On note $M_{\omega}^{\beta}(v)$ l’espace de modules grossier des faisceaux sur $X$ semistables correspondant.

Le th or me suivant suit de [Kul90, O’G97, Yos01]. Disons que $v=(r,c,s)\in\Lambda=\mathbb{Z}\oplus\operatorname{NS}(X)\oplus\mathbb{Z}$ est strictement positif si $v^{2}\geq-2$ et si l’une des conditions suivantes est v rifi e :

$r>0$; 2. 2.

$r=0$, $c$ est effectif et $s\neq 0$; 3. 3.

$r=0,c=0$ et $s>0.$

{theo}

On reprend les notations pr c dentes :

Si $v$ est de la forme $nv^{\prime}$, avec $n>0$ et $v^{\prime}$ strictement positif, alors $M_{\omega}^{\beta}(v)$ est non-vide et projectif. 2. 2.

Si de plus $v$ est primitif et $\omega$ est g n rique, alors $M_{\omega}^{\beta}(v)$ param tre des objets stables, et c’est une vari t symplectique holomorphe de dimension $v^{2}+2.$

Supposons la seconde condition v rifi e, et $v^{2}>0$. Alors il existe une isom trie canonique

[TABLE]

o l’espace $\operatorname{NS}(M_{\omega}^{\beta}(v))$ est muni de la forme de Beauville-Bogomolov.

Si $v^{2}=0$, il existe une isom trie canonique

[TABLE]

{rema}

Dans le th or me, nous ne consid rons que le groupe de N ron-Severi $\operatorname{NS}(M_{\omega}^{\beta}(v))$ et non toute la cohomologie de degr $2$. La notation $v^{\perp}$ d signe donc l’orthogonal de $v$ dans $\Lambda$, la partie alg brique du r seau de Mukai usuel.

{rema}

Nous n’aurons pas besoin de pr ciser la condition de g n ricit sur $\omega$ — elle vaut sur un ouvert dense du c ne ample de $X$.

{rema}

L’isom trie $\theta$ est induite un facteur strictement positif pr s par la fl che $-\lambda_{E}$ de 4.2, o $E$ est une famille quasi-universelle sur $X\times M_{\omega}^{\beta}(v)$ au sens de [HL10, 4.6].

5.2 Projectivit et g om trie des espaces de modules

Soit $X$ une surface $\mathrm{K}3$, soit $\Lambda$ le r seau de Mukai de $X$, et soit $v$ un l ment de $\Lambda$. On dit qu’une condition de stabilit num rique $\sigma$ sur $X$ est g n rique (par rapport $v$) si $\sigma$ appartient une chambre de la d composition de $\operatorname{Stab}(X)$ associ e $v$ par la proposition 10. On note encore $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ la composante connexe de $\operatorname{Stab}(X)$ contenant les $\sigma_{\omega,\beta}$.

On peut g n raliser le th or me 4.1 comme suit dans le cas des surfaces $\mathrm{K}3$, par le m me genre d’arguments.

{theo}

[[Tod08]] Soit $\sigma\in\operatorname{Stab}^{0}(X)$. Le champ $\mathfrak{M}_{\sigma}(v)$ est un champ d’Artin de type fini sur $\mathbb{C}$, et $\mathfrak{M}^{s}_{\sigma}(v)$ en est un ouvert.

Le champ $\mathfrak{M}^{s}_{\sigma}(v)$ est une $\mathbb{G}_{m}$-gerbe au-dessus d’un espace alg brique $M^{s}_{\sigma}(v)$, qui est propre si $\mathfrak{M}_{\sigma}(v)=\mathfrak{M}^{s}_{\sigma}(v)$.

La proposition 17 garantit que les champs $\mathfrak{M}_{\sigma}(v)$ sont non-vides d s que $v^{2}\geq-2$. De plus, un argument de d formation montre le r sultat suivant.

Proposition 20**.**

Supposons $v$ primitif et $v^{2}\geq-2.$ Si $\sigma$ est g n rique, alors $\mathfrak{M}_{\sigma}(v)=\mathfrak{M}^{s}_{\sigma}(v)$. L’espace de modules grossier $M_{\sigma}(v):=M^{s}_{\sigma}(v)$ est un espace alg brique symplectique holomorphe de dimension $v^{2}+2$.

Si $\sigma$ est une condition de stabilit sur $X$, notons $\ell_{\sigma}$ la classe d’ quivalence num rique de fibr s en droites sur $\mathfrak{M}_{\sigma}(v)$ (ou sur l’espace de modules grossier associ s’il existe) de 4.2. Le th or me 19 montre que $\ell_{\sigma}$ est nef.

On peut calculer $\ell_{\sigma}$ comme suit, en suivant la construction de 4.2. Soit $E$ un objet quasi-universel sur $M_{\sigma}(v)$ — qu’on obtient par une multisection de degr $d$ de la $\mathbb{G}_{m}$-gerbe $\mathfrak{M}_{\sigma}(v)\rightarrow M_{\sigma}(v).$

Soit $\Omega_{\sigma}\in\Lambda_{\mathbb{R}}$ tel que (\Omega_{\sigma},w)=\mathrm{Im}\Big{(}\frac{Z(w)}{Z(v)}\Big{)} pour tout $w$ dans $\Lambda$. Alors

[TABLE]

{theo}

[[BM14b], Theorem 1.3] Supposons $\sigma$ g n rique. Alors l’espace de modules grossier $M_{\sigma}(v)$ est une vari t projective.

Proof 5.1**.**

Donnons une indication, suivant Bayer-Macrì dans [BM14b], qui s’inspirent du r sultat partiel de [MYY14]. On traite le cas $v^{2}>0$. Soit $Z$ la charge centrale de $\sigma$.

On commence par montrer par un argument explicite que l’on peut supposer, quitte remplacer $\sigma$ par une condition de stabilit dans la m me chambre pour $v$, qu’il existe un l ment primitif $w$ de $\Lambda$ tel que $w^{2}=0$ tel que $Z(v)$ et $Z(w)$ soient align s.

Si $\sigma$ est g n rique par rapport $w$, ce que nous allons supposer pour simplifier, alors la proposition 20 montre que $M_{\sigma}(w)$ est une surface $\mathrm{K}3$ $Y$, qui est automatiquement projective. La cat gorie d riv e $D^{b}(X)$ est quivalente une cat gorie de la forme $D^{b}(Y,\alpha)$, o $\alpha$ est un l ment du groupe de Brauer de $Y$. Fixons une telle quivalence.

La cat gorie $D^{b}(Y,\alpha)$ est une variante de $D^{b}(Y)$ dans laquelle les faisceaux coh rents sont remplac s par les faisceaux coh rents tordus par $\alpha$, voir [Lie07] pour cette notion. La th orie des conditions de stabilit pour les surfaces $\mathrm{K}3$ s’ tend $D^{b}(Y,\alpha)$ — on parle de surface $\mathrm{K}3$ tordue — et l’on peut montrer que la condition d’alignement de $Z(v)$ et $Z(w)$ permet d’identifier $M_{\sigma}(v)$, via l’ quivalence ci-dessus, un espace de modules d’objets semistables dans $D^{b}(Y,\alpha)$ pour une condition de stabilit de la forme $\sigma_{\omega,\beta}$, et que de plus la num rologie de $v$ et $w$ identifie cet espace de modules un espace de modules de faisceaux (tordus) stables au sens de Gieseker pour $(\omega,\beta)$ — qui est projectif par la variante tordue de la construction classique.

La d monstration pr c dente montre plus : en identifiant $M_{\sigma}(v)$ un espace de modules pour la stabilit au sens de Gieseker, elle permet d’ tendre, en suivant l’identification, le r sultat du th or me 5.1 aux espaces de modules la Bridgeland. Prenant en compte (3) et la remarque 5.1, on trouve :

{coro}

Si $v$ est primitif, et $\sigma$ g n rique, alors $M_{\sigma}(v)$ est une vari t symplectique holomorphe de dimension $v^{2}+2$ si $v^{2}\geq-2$, vide sinon. Elle param tre des objets stables.

Si $v^{2}>0$, alors il existe une isom trie canonique

[TABLE]

o l’espace $\operatorname{NS}(M_{\sigma}(v))$ est muni de la forme de Beauville-Bogomolov.

Si $v^{2}=0$, il existe une isom trie canonique

[TABLE]

De plus, on a $\theta_{\sigma}(\Omega_{\sigma})=\ell_{\sigma}.$

L encore, $\theta_{\sigma}$ est induit un facteur pr s par $-\lambda_{E}$, avec les notations pr c dentes.

{coro}

Si $v$ est primitif, et $\sigma$ g n rique, alors $\ell_{\sigma}$ est ample.

Proof 5.2**.**

On peut supposer $Z(v)=-1$, ce qui implique que $\Omega_{\sigma}$ est la partie imaginaire de l’ l ment $\alpha$ de $\Lambda_{\mathbb{C}}$ tel que $Z(w)=(\alpha,w)$ pour tout $w$.

La proposition 11 et le caract re ouvert de l’amplitude permettent de supposer que $\sigma$ est rationnelle, donc que $\ell_{\sigma}$ est dans $\operatorname{NS}(M_{\sigma}(v))_{\mathbb{Q}}$. Le th or me 19 montre que $\ell_{\sigma}$ a degr strictement positif sur toute courbe, et le corollaire pr c dent montre que, $q$ tant la forme de Beauville-Bogomolov, $q(\ell_{\sigma})=\Omega_{\sigma}^{2}>0$, d’apr s le th or me 3.2 et la remarque 3.4. D’apr s [Huy99, 6.3], cela implique l’amplitude de $\ell_{\sigma}$.

{rema}

L’amplitude de $\ell_{\sigma}$ est vraie m me si $v$ n’est pas primitif.

Supposons $v$ primitif, de carr au moins $2$. Soit $C$ une chambre de $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ par rapport $v$. La proposition 10 fournit une identification naturelle de tous les $M_{\sigma}(v)$, quand $\sigma$ varie dans $C$, une m me vari t symplectique holomorphe $M$. Ce qui pr c de fournit une application

[TABLE]

dont on v rifie imm diatement qu’elle est analytique.

Les fibr s $\ell_{\sigma}$ permettent d’ tudier les ph nom nes de wall-crossing comme suit. Soit $W$ un mur de $\operatorname{Stab}^{0}(X)$ par rapport $v$, et soient $C_{+}$ et $C_{-}$ les deux chambres adjacentes $W$. Soient $\sigma_{\pm}$ deux conditions de stabilit dans $C_{+}$ et $C_{-}$ respectivement, et soit $\sigma_{0}$ une condition de stabilit g n rique dans $W$. La fermeture de la semiamplitude montre que les familles quasi-universelles port es par chacun des espaces $M_{\sigma_{\pm}}(v)$ sont des familles d’objets $\sigma_{0}$-semistables, de sorte que l’on dispose de fibr s en droite $\ell_{\sigma_{0},\pm}$ sur $M_{\sigma_{\pm}}(v)$. On a

[TABLE]

ce qui montre encore $q(\ell_{\sigma_{0},\pm})>0$. Comme $\ell_{\sigma_{0},\pm}$ est nef, cela implique que $\ell_{\sigma_{0},\pm}$ est big par [Huy99, Corollary 3.10], puis que $\ell_{\sigma_{0},\pm}$ est semiample par [KM98, Theorem 3.3]. On dispose donc de deux contractions birationelles

[TABLE]

vers des vari t s normales.

La g om trie des contractions $\pi_{\pm}$ est essentielle pour ce qui suit.

5.3 Mod les birationnels et wall-crossing

Nous pouvons enfin d crire les r sultats de [BM14a].

{theo}

Soit $v$ un vecteur primitif de $\Lambda$ avec $v^{2}>0$. Soit $\sigma$ un l ment g n rique de $\operatorname{Stab}_{0}(X)$. Alors il existe une application canonique

[TABLE]

v rifiant les propri t s suivantes :

$\ell$ est continue, analytique sur chaque chambre de $\operatorname{Stab}_{0}(X)$. Son image est l’intersection du c ne big et du c ne mobile de $M_{\sigma}(v)$; 2. 2.

Soit $C$ une chambre de $\operatorname{Stab}_{0}(X)$, et soit $\tau\in C$. Alors $(M_{\tau}(v),\ell_{\tau})$ est un mod le minimal de $(M_{\sigma}(v),\ell(\tau))$. Il existe une application birationnelle canonique

[TABLE]

telle que $\ell(\tau)=f^{*}\ell_{\tau}$, et

[TABLE]

{rema}

Dans le second nonc , puisque $\ell_{\tau}$ est ample sur $M_{\tau}(v)$, $(M_{\tau}(v),\ell_{\tau})$ est l’unique mod le minimal de $(M_{\sigma}(v),\ell(\tau))$.

Si $C$ est la chambre de $\operatorname{Stab}_{0}(X)$ contenant $\sigma$, alors $f$ est l’identification naturelle donn e par le programme du mod le minimal.

{rema}

Les conditions du th or me montrent que la fl che $\ell$ se factorise par la fl che

[TABLE]

o $\operatorname{Stab}_{0}(X)\rightarrow{\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)$ est la fl che qui une condition de stabilit associe sa charge centrale, ${\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)\subset\Lambda_{\mathbb{C}}$ est l’inclusion de la remarque 3.4, et $U$ est l’image de ${\mathcal{P}}_{0}^{+}(X)$ par l’application partie imaginaire. Par analyticit , il suffit en effet de le montrer sur les conditions de stabilit g n riques, auquel cas le r sultat suit de la d finition des $\ell_{\sigma}$.

En particulier, pour des raisons de dimension et d’analyticit de $\ell$, les murs de $\operatorname{Stab}_{0}(X)$ sont envoy s par $\ell$ sur des ferm s d’int rieurs vides.

{rema}

Si $\sigma$ et $\tau$ ont m me charge centrale, un th or me de Bridgeland d j mentionn montre que $\sigma$ et $\tau$ diff rent d’un automorphisme de $D^{b}(X)$, ce qui montre a priori que $M_{\sigma}(v)$ et $M_{\tau}(v)$ sont isomorphes.

Voici un corollaire imm diat et important.

{coro}

Soit $v$ un vecteur primitif de $\Lambda$ avec $v^{2}>0$, et soient $\sigma$ et $\tau$ deux l ments g n riques de $\operatorname{Stab}_{0}(X)$. Alors $M_{\sigma}(v)$ et $M_{\tau}(v)$ sont birationnels. De plus, tout mod le birationnel symplectique holomorphe de $M_{\sigma}(v)$ est isomorphe $M_{\tau}(v)$ pour un certain $\tau$ g n rique.

Proof 5.3**.**

Le premier nonc est un cas particulier du th or me. Soit par ailleurs

[TABLE]

une application birationnelle, avec $M$ symplectique holomorphe. Soit $H$ un fibr ample sur $M$, et soit $\ell^{\prime}=f^{*}H$. Alors $\ell^{\prime}$ est big et mobile, donc on peut trouver une condition de stabilit $\tau\in\operatorname{Stab}_{0}(X)$ telle que $\ell^{\prime}=\ell(\tau)$. Quitte d former $H$ dans le c ne ample de $M$, la remarque 5.3 permet de supposer que $\tau$ est g n rique.

Par construction, $(M,H)$ est l’unique mod le minimal de $(M_{\sigma}(v),\ell(\tau)),$ donc le th or me pr c dent montre que $M$ est isomorphe $M_{\tau}(v)$.

Le th or me 5.3 donne une relation pr cise entre conditions de stabilit et wall-crossing d’une part, et programme du mod le minimal pour les espaces de modules d’autre part. Ce th me a t tudi par plusieurs auteurs, d’abord via les variations de quotient GIT comme dans [Tha94, DH98]. Pour les surfaces canonique trivial, les premiers exemples de wall-crossing sont dans [AB13], et le caract re birationnel du wall-crossing est prouv pour les surfaces ab liennes dans [MYY18]. Le cas du plan projectif est tudi notamment dans [ABCH13, LZ16], voir [BHL*+*16] pour des r sultats sur certaines surfaces plus g n rales, et [Hui17] pour un survol de r sultats r cents.

La preuve du th or me 5.3 repose sur une analyse d taill e du wall-crossing : tant donn un mur $W$, soient $C_{+}$ et $C_{-}$ les deux chambres adjacentes $W$. Soient $\sigma_{\pm}$ deux conditions de stabilit dans $C_{+}$ et $C_{-}$ respectivement, et soit $\sigma_{0}$ une condition de stabilit g n rique dans $W$. Il s’agit de montrer une version raffin e du corollaire 5.3 pour montrer la birationalit des espaces $M_{\sigma_{\pm}}(v)$ par une application birationnelle explicite, qui permette d’en d duire le th or me principal par recollement du comportement local au voisinage de chaque mur.

Il s’agit de comprendre comment le mur $W$ d stabilise certains objets stables pour $\sigma_{+}$ et $\sigma_{-}$. Par construction, notant $Z_{0}$ la charge centrale associ e $\sigma_{0}$, on peut trouver $w_{0}\in\Lambda$, qui n’est pas proportionnel $v$, tel que $Z(v)$ et $Z(w_{0})$ sont align s dans $\mathbb{H}\cap\mathbb{R}_{-}$, et des objets $D$, $\sigma_{0}$-stables de classe $w_{0}$ dans $D^{b}(X)$, qui d stabilisent des objets $E$, $\sigma_{+}$-stables de classe $v$, au sens o $Z(E)=v$, $Z(D)=w_{0}$, et $D$ est un sous-objet de $E$ dans le cœur de $\sigma_{0}$.

Avec les notations pr c dentes, l’hypoth se de g n ricit sur $\sigma_{0}$ montre que le r seau primitif de rang $2$ contenant $v$ et $w_{0}$ ne d pend que de $W$. On le note $H_{W}$. Les propri t s des charges centrales donn es par le th or me 3.2 montrent facilement que $H_{W}$ est hyperbolique. L’image par $Z_{0}$ de $W$ est contenue dans une demi-droite passant par l’origine.

La construction de $H_{W}$ relie les espaces de modules $M_{\sigma_{\pm}}(v)$ par la proposition suivante, essentiellement formelle tant donn e la finitude locale des murs.

Proposition 21**.**

Supposons $\sigma_{\pm}$ suffisamment proches l’une de l’autre. Alors, si $E$ est un objet $\sigma_{+}$-stable de $D^{b}(X)$, les facteurs de Harder-Narasimhan de $E$ pour $\sigma_{-}$ ont pour vecteur de Mukai des l ments de $H_{W}$.

Cette proposition permet d’ tudier la relation entre $M_{\sigma_{\pm}}(v)$ via les propri t s du r seau $H_{W}$. Bayer-Macrì parviennent d duire de cela une classification d taill e des murs dans $\operatorname{Stab}_{0}(X)$ que nous ne pouvons reproduire ici.

Le cas le plus difficile est celui o le mur $W$ est totalement semistable, i.e. o il n’existe pas d’objets $\sigma_{0}$-stables. Dans ce cas, il est possible qu’aucun objet $\sigma_{+}$-semistable soit $\sigma_{-}$-semistable. Donnons un exemple des m thodes utilis es pour contr ler ce ph nom ne.

On reprend les notations pr c dentes. On va montrer comment les propri t s de $H_{W}$ permettent de contr ler la g om trie du wall-crossing. Nous ne traiterons qu’un cas particulier.

Rappelons que dans 5.2, nous avons construit une contraction birationnelle

[TABLE]

qui contracte exactement les courbes param trant les objets $\sigma_{+}$ stables dont les facteurs de Jordan-H lder pour $\sigma_{0}$ sont g n riquement constants.

Par ailleurs, supposons pour fixer les id es que $M_{\sigma_{+}}(v)$ est un espace de modules fin, et soit ${\mathcal{E}}$ une famille universelle. On consid re des filtrations de Harder-Narasimhan pour $\sigma_{-}$. On peut montrer qu’elles existent en famille pour ${\mathcal{E}}$. Soient $a_{1},\ldots,a_{m}$ les vecteurs de Mukai des facteurs de Harder-Narasimhan de ${\mathcal{E}}$ pour $\sigma_{-}$ en un point g n rique de $M_{\sigma_{+}}(v)$. Prenant les facteurs de la filtration de Harder-Narasimhan relative, on obtient une application rationnelle

[TABLE]

La proposition 21 montre que les $a_{i}$ sont des l ments de $H_{W}$. On a de plus $v=a_{1}+\cdots+a_{m}$, et $a_{i}^{2}\geq-2$ par la proposition 16.

Soit $C$ une courbe dans $M_{\sigma_{+}}(v)$ contract e par $\mathrm{HN}$. Alors les facteurs de Harder-Narasimhan $E_{i}$ pour $\sigma_{-}$ des objets param tr s par deux points g n riques de $C$ sont les m mes, ce qui implique que les facteurs de Jordan-H lder de tels objets, pour $\sigma_{0}$, sont les m mes, puisque ce sont des facteurs de Jordan-H lder d’objets $E_{i}$, qui sont en nombre fini. On a donc montr :

Proposition 22**.**

Toute courbe contract e par $\mathrm{HN}$ est contract e par $\pi_{+}$. En particulier,

[TABLE]

L’ galit $m=1$ est quivalente au fait qu’un objet g n rique $\sigma_{+}$-stable de vecteur $v$ est $\sigma_{-}$-stable. En particulier, $M_{\sigma_{+}}(v)$ ont un ouvert en commun, donc sont birationnels, ce qui est essentiellement ce que l’on souhaitait montrer.

La suite de la d monstration consiste en l’exploitation de l’in galit

[TABLE]

Il s’agit de classifier pr cis ment les cas qui permettent d’avoir $m=1$. Nous renvoyons l’article [BM14a] pour une analyse d taill e. On montre que les cas $m>1$ correspondent toujours l’apparition de certains vecteurs isotropes dans $H_{W}$ ou de racines de $\Lambda$.

La g om trie correspondant l’existence de ces classes peut tre d crite explicitement. Dans le cas de l’existence de classes isotropes, on montre que $\pi_{+}$ est essentiellement le morphisme de contractions de l’espace de modules de faisceaux stables au sens de Gieseker vers un espace de modules de faisceaux stables au sens de la pente.

Le second cas est plus difficile. On montre que les racines de $\Lambda$ apparaissant dans $H_{W}$ et contr lant la g om trie du morphisme $\mathrm{HN}$ ci-dessus induisent des automorphismes de $D^{b}(X)$ — les twists sph riques. Composant avec ces automorphismes, on peut se ramener au cas o $m=1$.

5.4 Applications

Les th or mes pr c dents permettent de contr ler pr cis ment les bords des c nes nef et mobiles des espaces $M_{\sigma}(v)$. Des arguments de densit permettent d’ tendre ces r sultats aux vari t s hyperk hleriennes d formations de $M_{\sigma}(v)$ [BHT15, Mon15]. On renvoie [HT16] pour un survol de ce cercle d’id es. Notons par ailleurs que des arguments de th orie ergodique permettent Amerik et Verbitsky [AV17] d’ tudier des probl mes semblables pour des vari t s symplectiques holomorphes arbitraires.

Donnons bri vement une application du corollaire 5.3.

{theo}

[[BM14a], Theorem 1.5] Soient $X$ une surface $\mathrm{K}3$, $v$ un vecteur de Mukai primitif tel que $v^{2}=2n-2\geq 0$, et $\sigma$ une condition de stabilit g n rique sur $X$. Soit $L$ un fibr en droites non trivial sur $M_{\sigma}(v)$ tel que $q(L)=0$, o $q$ est la forme de Beauville-Bogomolov. Alors il existe une vari t symplectique holomorphe $M$, birationnelle $M_{\sigma}(v)$, qui admet une fibration $M\rightarrow\mathbb{P}^{n}$ fibres lagrangiennes.

Markushevich [Mar06] et Sawon [Saw07] avaient auparavant obtenu ce r sultat pour certains sch mas de Hilbert sur les surfaces $\mathrm{K}3.$ Un r sultat similaire a t d montr dans [Mar14], et il est tendu dans [Mat17] toutes les d formations des $M_{\sigma}(v)$.

Un cas particulier du th or me est celui o $M_{\sigma}(v)$ est remplac par un espace de modules de faisceaux stables au sens de Gieseker. De mani re encore plus sp ciale, on peut examiner le cas o $M_{\sigma}(v)$ est un espace de modules de faisceaux stables de rang z ro — on v rifie alors imm diatement que l’hypoth se du th or me est automatiquement satisfaite.

Dans ce cas, tudi en d tail dans [Bea91], les points de $M_{\sigma}(v)$ param trent essentiellement la donn e d’une courbe $C$ dans $X$ dans un syst me lin aire donn , et d’un fibr en droites sur $X$ de degr fix sur $C$. La projection sur le syst me lin aire fournit la fibration lagrangienne d sir e.

La preuve du th or me se ram ne au cas pr c dent par transform es de Fourier-Mukai, puis d formation des conditions de stabilit pour d former les espaces de modules en espaces de modules de faisceaux stables la Gieseker.

Plus pr cis ment, on interpr te la classe de $L$ dans $\operatorname{NS}(X)$ comme un vecteur de Mukai isotrope, qui fournit donc une surface $\mathrm{K}3$, $Y$, espace de modules d’objets sur $X$. $M_{\sigma}(v)$ est alors un espace de modules d’objets sur $Y$, pour une certaine condition de stabilit , et un vecteur de Mukai de rang [math]. D formant la condition de stabilit , et utilisant le corollaire 5.3 qui garantit que tous les espaces de modules en jeu sont birationnels les uns aux autres, on se ram ne au cas de [Bea91].

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