Approximation forte sur un produit de vari\'et\'es ab\'eliennes \'epoint\'e en des points de torsion

TL;DR

This paper investigates strong approximation properties with Brauer-Manin obstruction for complements of torsion point sets in products of elliptic curves and abelian varieties over number fields, linking the property to the distribution of rational points.

Contribution

It establishes a criterion for strong approximation with Brauer-Manin obstruction for certain complements in products of elliptic curves and abelian varieties, assuming finiteness of Sha.

Findings

Strong approximation holds iff the projection of torsion points to the abelian variety contains no rational points.

The result depends on the finiteness of Sha for the product of the elliptic curve and abelian variety.

Provides a criterion connecting torsion points, rational points, and approximation properties.

Abstract

Consider strong approximation for algebraic varieties defined over a number field $k$. Let $S$ be a finite set of places of $k$ containing all archimedean places. Let $E$ be an elliptic curve of positive Mordell-Weil rank and let $A$ be an abelian variety of positive dimension and of finite Mordell-Weil group. For an arbitrary finite set $\mathfrak{T}$ of torsion points of $E\times A$, denote by $X$ its complement. Supposing the finiteness of $Sha(E\times A)$, we prove that $X$ satisfies strong approximation with Brauer-Manin obstruction off $S$ if and only if the projection of $\mathfrak{T}$ to $A$ contains no $k$-rational points.

Equations

$$X(\text{A})\times \text{Br}(X)⟶\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$$

$$(x_v{)}_{v\in \Omega },b\mapsto \sum _{v\in \Omega }{\text{inv}}_v(b(x_v)),$$

$$\text{Im}[i_P^{\ast }:\text{Br}(X)\to \text{Br}(X{\times }_{A}P)]=\text{Im}[\text{Br}(E)\to \text{Br}(X{\times }_{A}P)].$$

$$\text{Br}(E\times A)\text{ignorespaces}\text{ignorespaces}\text{ignorespaces}\text{ignorespaces}\text{ignorespaces}\text{ignorespaces}\text{ignorespaces}\text{ignorespaces}$$

$$[V_P\times \prod _{v\in S}{X}_P(k_v)]\cap X_P(\text{A}{)}^{i_P^{\ast }(\text{Br}(X))}\ne \varnothing .$$

$$[V\times \prod _{v\in S}X(k_v)]\cap X(\text{A}{)}^{\text{Br}(X)}\ne \varnothing .$$

$$\begin{array}[]{rcl}T_{1}&=&\{v\in\Omega\setminus\infty:Q\text{ intersecte avec }M_{j}\text{ au-dessus de }v\text{ pour un certain }j\}\\ T_{2}&=&\{v\in\Omega\setminus\infty:\textup{Spec}(\mathcal{O}_{k_{j}})\to\textup{Spec}(\mathcal{O}_{k})\text{ est ramifi\'{e} au-dessus}\\ &&\hskip 198.0pt\text{de }v\text{ pour un certain }j\}\\ T_{3}&=&\{v\in\Omega\setminus\infty:\textup{Spec}(\mathcal{O}_{k_{j}})\to M_{j}\text{ admet une fibre non triviale}\\ &&\hskip 154.0pt\text{au-dessus de }v\text{ pour un certain }j\}\\ T&=&T_{1}\cup T_{2}\cup T_{3}\cup S\end{array}$$

$${\mathcal{E}}_0({\mathcal{O}}_T)=\{P_1=Q,P_2,\cdots ,P_t\}$$

$$\text{soit}\mathrm{pgcd}(n|\mathcal{E}({\mathbb{F}}_{v_0})|+1,q)=1,\text{soit}\mathrm{pgcd}(n|\mathcal{E}({\mathbb{F}}_{v_0})|-1,q)=1.$$

$$a=\{\begin{array}{ll}n|\mathcal{E}({\mathbb{F}}_{v_0})|+1,& \text{si pgcd(n∣E(Fv0)∣+1,q)=1;}\\ (q-1)n|\mathcal{E}({\mathbb{F}}_{v_0})|+1,& \text{si pgcd(n∣E(Fv0)∣−1,q)=1.}\end{array}$$

$$l\equiv a\mathrm{mod}qn|\mathcal{E}({\mathbb{F}}_{v_0})|.$$

$$\prod _{v\in \infty }{\pi }_0(E(k_v))\times \prod _{v\notin \infty }\mathcal{E}({\mathcal{O}}_{k_v}).$$

$$(x_v{)}_{v\in \Omega }\in [(\prod _{v\in T}{E}_0(k_v))\times (\prod _{v\notin T}{\mathcal{E}}_0({\mathcal{O}}_{k_v})){]}^{\text{Br}(E)}.$$

$$(x_v{)}_{v\notin S}\in {\text{pr}}^S\left([(\prod _{v\in T}{E}_0(k_v))\times (\prod _{v\notin T}{\mathcal{E}}_0({\mathcal{O}}_{k_v})){]}^{\text{Br}(E)}\right)$$

$$E_0(k)\cap [(\prod _{v\in T\setminus S}{E}_0(k_v))\times (\prod _{v\notin T}{\mathcal{E}}_0({\mathcal{O}}_{k_v}))]={\mathcal{E}}_0({\mathcal{O}}_T)=\{P_1=Q,P_2,\cdots ,P_t\}$$

Full text

Mots clés : approximation forte, obstruction de Brauer–Manin, variétés abéliennes, points de torsion, points entiers

MSC 2010 : 11G35, 14G25. 11 mars 2024

**STRONG APPROXIMATION FOR PRODUCTS OF ABELIAN VARIETIES 

PUNCTURED AT TORSION POINTS**

1. Introduction

Soit $k$ un corps de nombres. On s’intéresse à étudier les points entiers d’une $k$-variété lisse. On note par $X^{c}$ une compactification lisse de $X$. En général, même si on connaît le comportement des points rationnels de $X^{c}$, on ne peut qu’en déduire très peu d’informations sur les points entiers de $X$.

Depuis très longtemps, on s’intéresse à la densité de Zariski de l’ensemble des points entiers. On s’intéresse également à l’approximation forte — la densité de l’ensemble des points entiers plongé dans l’ensemble des points adéliques. Dans la littérature, de variétés de types divers ont été étudiées. Dans cet article, on se limite aux ouverts de certaines variétés abéliennes.

Dans l’article de B. Hassett et Y. Tschinkel HT (01), ils ont discuté la question de la densité potentielle de Zariski des points entiers. Ils ont démontré que tout ouvert d’un produit de variétés abéliennes simples dont le complémentaire a grand codimension vérifie cette densité potentielle. A. Kresch et Y. Tschinkel KT (02) ont aussi les résultats numériques qui soutiennent une réponse affirmative à cette question pour certaines jacobiennes épointées en un point rationnel.

D’un autre point de vue, dans l’article récent CLX de Y. Cao, F. Xu et l’auteur, nous avons étudié la densité des points entiers au sens de la topologie adélique. Nous avons répondu partiellement à une question de O. Wittenberg, cf. (AIM, , Problem 6) et (Wit, , Question 2.11). Parmi nos résultats, nous avons montré le théorème suivant.

Théorème** ((CLX, , Corollary 8.2)).**

Soit $E$ une $k$-courbe elliptique de rang de Mordell–Weil non nul. Soit $A$ une $k$-variété abélienne de dimension strictement positive et de rang de Mordell–Weil zéro.

Si $O$ désigne l’élément neutre de $E\times A$, alors l’ouvert $(E\times A)\setminus O$ ne vérifie pas l’approximation forte avec l’obstruction de Brauer–Manin  hors de $\infty$.

Sa démonstration est basée sur une généralisation d’un argument de D. Harari et J. F. Voloch HV (10) et sur une idée qui remonte à B. Poonen Poo (10).

Le but de cet article est de généraliser ce théorème. Nous gardons les même hypothèses sur $E$ et $A$, considérons le complémentaire $X$ d’un ensemble quelconque de points de torsion de $E\times A$. En améliorant l’ancien argument, nous trouvons une description complète pour la propriété d’approximation forte sur $X$.

Théorème 1.1**.**

Soit $k$ un corps de nombres. Soit $S$ un ensemble fini de places de $k$ contenant les places archimédiennes.

Soit $E$ une $k$-courbe elliptique de rang de Mordell–Weil non nul. Soit $A$ une $k$-variété abélienne de dimension strictement positive et de rang de Mordell–Weil zéro. Pour $\mathfrak{T}$ un ensemble quelconque de points de torsion de $E\times A$, on note par $X$ son complémentaire.

Si la projection de $\mathfrak{T}$ sur $A$ contient un point $k$-rationnel, alors $X$ ne vérifie pas l’approximation forte avec l’obstruction de Brauer–Manin  hors de $S$. En supposant la finitude du groupe de Tate–Shafarevich $\sha(E\times A)$, si la projection $\mathfrak{T}$ sur $A$ ne contient pas de points $k$-rationnels, alors $X$ vérifie l’approximation forte avec l’obstruction de Brauer–Manin  hors de $S$.

Dans §2, nous rappelons le contexte concerné et présentons un énoncé plus précis, dont le Théorème 1.1 est une consequence. Dans §3, nous détaillons sa démonstration.

2. Énoncé précis du résultat

Dans cet article, le corps de base $k$ est toujours un corps de nombre quelconque. Pour une place $v$ appartient à l’ensemble $\Omega$ des places de $k$, on note par $k_{v}$ le complété de $k$. On note par $\infty\subset\Omega$ l’ensemble des places archimédiennes. Pour $v\in\Omega\setminus\infty$, on note par $\mathcal{O}_{k_{v}}$ l’anneau des entiers de $k_{v}$. On note par A l’anneau des adèles de $k$, et par $\textbf{A}^{S}$ l’anneau des $S$-adèles si $S\subset\Omega$ est un sous-ensemble fini de places.

Soit $X$ une $k$-variété (schéma séparé de type fini, géométriquement intègre sur $k$) lisse. L’accouplement de Brauer–Manin est défini par

[TABLE]

[TABLE]

où $\textup{inv}_{v}:\textup{Br}(k_{v})\xhookrightarrow{}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ désigne l’invariant local en $v$ provenant de la théorie des corps de classes locaux. Pour un sous-ensemble $B\subset\textup{Br}{X}$, le sous-ensemble $X(\textbf{A})^{B}$ des familles de points locaux qui sont orthogonales à tous les éléments appartenant à $B$ est fermé dans l’espace des points adéliques $X(\textbf{A})$. Il contient l’ensemble des points rationnels $X(k)$ d’après la théorie des corps de classes globaux, et il contient ainsi son adhérence $\overline{X(k)}$.

Rappelons que $X$ vérifie l’approximation forte avec l’obstruction de Brauer–Manin par rapport à $B$ hors de $S$ si $X(k)\subset X(\textbf{A}^{S})$ est dense dans $\textup{pr}^{S}(X(\textbf{A})^{B})\subset X(\textbf{A}^{S})$, où $\textup{pr}^{S}:X(\textbf{A})\to X(\textbf{A}^{S})$ est la projection en oubliant les composantes des places dans $S$. Si $B=\textup{Br}(X)$, on dit simplement que $X$ vérifie l’approximation forte avec l’obstruction de Brauer–Manin  hors de $S$.

Dans l’introduction, nous avons énoncé le cas particulier où $A$ et $E$ sont des variétés abéliennes du Corollaire 8.2 de CLX . En effet, ce dernier corollaire était énoncé et démontré dans CLX pour les variétés semi-abéliennes. Dans le reste de cet article, nous démontrons le théorème suivant qui généralise (CLX, , Corollary 8.2) au sens que le fermé $F$ n’est pas forcément de dimension [math] et que $F$ ne contient même pas nécessairement un point $k$-rationnel.

Théorème 2.1**.**

Soit $k$ un corps de nombres. Soit $S\supset\infty$ un ensemble fini de places de $k$ contenant les places archimédiennes. Soient $A$ et $E$ des variétés semi-abéliennes définies sur $k$. Supposons que $A$ est de dimension strictement positive et que $A(k)$ est discret dans $A(\textbf{A}^{S})$. Supposons que $E$ est de dimension $1$ et que $E(k)$ n’est pas discret dans $E(\textbf{A}^{\infty})$.

Soit $F\subset E\times A$ un fermé de codimension $\geq 2$. Supposons que la projection de $F$ sur $A$ contient au moins un point $k$-rationnel $P$ tel que la fibre $F\times_{A}P$, considérée comme un fermé de Zariski de $E$, ne consiste qu’en points de torsion (pas forcément $k$-rationnels) de $E$.

Alors $X=(E\times A)\setminus F$ ne vérifie pas l’approximation forte avec l’obstruction de Brauer–Manin hors de $S$.

Lorsque $E$ est une courbe elliptique, sur laquelle l’hypothèse est équivalente à la condition que son rang de Mordell–Weil est non nul. La première conclusion du Théorème 1.1 en découle directement. Expliquons la seconde conclusion comme suit.

Remarque* 2.2**.*

En supposant la finitude des groupes de Tate–Shafarevich $\sha(A^{\textup{ab}})$ du quotient abélien $A^{\textup{ab}}$ de $A$ et $\sha(E)$ quand $E$ est une courbe elliptique, l’hypothèse partielle du théorème 2.1 que la projection de $F$ sur $A$ contient au moins un point $k$-rationnel est nécessaire. Si la projection de $F$ ne contient aucun point $k$-rationnel, alors $X$ vérifie l’approximation forte avec l’obstruction de Brauer–Manin hors de $S$. En effet, il suffit de considérer l’hypothèse la plus faible et la conclusion la plus forte, disons $S=\infty$. Ceci résulte d’un argument simple de fibration: si $(x_{v})_{v\in\Omega}$ est orthogonale à $\textup{Br}(X)$, sa projection sur $A$ est alors orthogonale à $\textup{Br}(A)$, cela entraîne que cette projection (en oubliant les composantes archimédiennes) provient d’un point $k$-rationnel $P$ d’après un résultat de D. Harari (Har, 08, Théorème 4) car $A(k)$ est supposé discret dans $A(\textbf{A}^{\infty})$. Comme la projection de $F$ ne contient aucun $k$-point, la fibre $X\times_{A}P$ est identique à $E$. Elle contient donc $(x_{v})_{v\in\Omega}\bot\textup{Br}(E)$ quitte à modifier les composantes archimédiennes si nécessaire. La famille de points locaux $(x_{v})_{v\in\Omega\setminus\infty}$ peut être approximée par un point global d’après (Har, 08, Théorème 4).

3. Démonstrations du énoncé

On démontre le Théorème 2.1 dans cette section. Tout d’abord, on compare certains groupes de Brauer dans le Lemme 3.1. Le Théorème 2.1 est une conséquence directe des Lemmes 3.1, 3.2 et de la Proposition 3.3. À la fin, on démontre la Proposition 3.3.

Lemme 3.1**.**

Soient $A,$ $E,$ $X,$ $F,$ et $P$ comme dans le théorème 2.1. Le point $P\in A(k)$ induit une immersion fermée $i_{P}:X\times_{A}P\to X$. Si on identifie $X\times_{A}P$ avec l’ouvert $E\setminus(F\times_{A}P)$ de $E$, alors

[TABLE]

Démonstration.

Considérons le diagramme commutatif suivant

[TABLE]

où les flèches verticales sont induites par les immersions ouvertes et où la flèche horizontale en haut est induite par la section associée au point rationnel $P\in A(k)$. Comme $F=(E\times A)\setminus X$ est de codimension $\geq 2$, la flèche à gauche est un isomorphisme d’après le théorème de pureté pour les groupes de Brauer. L’égalité voulue résulte alors de la surjectivité de la flèche en haut. ∎

Lemme 3.2**.**

Soit $k$ un corps de nombres. Soit $S$ un ensemble fini de places de $k$. Soit $f:X\to A$ un morphisme entre de variétés algébriques définies sur un corps de nombres $k$. Supposons que $A(k)\subset A(\textbf{A}^{S})$ est discret. Soit $P\in A(k)$ un point rationnel de $A$ tel que la fibre $X_{P}=X\times_{A}P\neq\emptyset$.

Si $X$ vérifie l’approximation forte avec obstruction de Brauer–Manin hors de $S$, alors $X_{P}$ vérifie l’approximation forte avec obstruction de Brauer–Manin par rapport à $i_{P}^{*}(\textup{Br}(X))$ hors de $S$.

Démonstration.

C’est un argument standard de fibration. Il existe un ouvert $U$ de $A(\textbf{A}^{S})$ tel que $U\cap A(k)=\{P\}$. Soit $V_{P}\subset X_{P}(\textbf{A}^{S})$ un ouvert tel que

[TABLE]

L’ouvert $V_{P}$ est alors la restriction d’un ouvert $V\subset f^{-1}(U)\subset X(\textbf{A}^{S})$ à la fibre $X_{P}$. D’après la fonctorialité de l’accouplement de Brauer–Manin,

[TABLE]

Comme $X$ vérifie l’approximation forte avec obstruction de Brauer–Manin  hors de $S$, l’ensemble des points rationnels $X(k)$ intersecte avec $V$. Si $Q\in X(k)\cap V$, alors $f(Q)=P$ et $Q\in X_{P}(k)\cap V_{P}$. Donc $X_{P}$ vérifie l’approximation forte par rapport à $i_{P}^{*}(\textup{Br}(X))$ hors de $S$. ∎

Le Théorème 2.1 résulte directement des lemmes précédents et de la proposition suivante.

Proposition 3.3**.**

Soit $k$ un corps de nombres. Soit $S\supset\infty$ un ensemble fini de places de $k$ contenant les places archimédiennes. Soit $E$ une variété semi-abélienne de dimension $1$ définie sur un corps de nombres $k$. Supposons que $E(k)$ n’est pas discret dans $E(\textbf{A}^{\infty})$. Soit $\mathfrak{M}=\{m_{1},m_{2},\ldots,m_{s}\}\subset E$ un sous-ensemble fini non-vide de points de torsion de $E$.

Si on note par $E_{0}$ le complémentaire de $\mathfrak{M}$ dans $E$, alors $E_{0}$ ne vérifie pas l’approximation forte avec l’obstruction de Brauer–Manin par rapport à $\textup{Br}(E)$ hors de $S$.

Démonstration.

La preuve généralise l’argument de Harari et Voloch HV (10) sur la courbe elliptique $y^{2}=x^{3}+3$ définie sur $\mathbb{Q}$. Une partie de l’argument suivant a été établie dans (CLX, , Lemma 6.6, Theorem 8.1) pour traiter le cas où $\mathfrak{M}$ consiste en un seul point rationnel et pour l’énoncé sur un corps de nombres $k$ quelconque. La nouveauté ici est que $\mathfrak{M}$ peut contient plusieurs de points fermés non nécessairement rationnels.

D’abord, on démontre la proposition pour le cas où $E$ est une courbe elliptique. Lorsque $E$ est un tore de dimension $1$, la preuve est essentiellement la même. On explique à la fin les modifications nécessaires pour le cas de tores.

À partir de maintenant, supposons que $E$ est une courbe elliptique. Soit $\mathcal{E}$ son modèle de Néron sur l’anneau des entiers $\mathcal{O}_{k}$. Pour tout $j\in\mathbb{N}$, $1\leq j\leq s$, soit $M_{j}$ l’adhérence de Zariski de $m_{j}$ dans $\mathcal{E}$. La normalisation de $M_{j}$ est $\textup{Spec}(\mathcal{O}_{k_{j}})$, où $\mathcal{O}_{k_{j}}$ est l’anneau des entiers du corps résiduel $k_{j}$ de $m_{j}$. Soit $\mathcal{E}_{0}$ le complémentaire dans $\mathcal{E}$ de la réunion de $M_{j}$. Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $nm_{j}=O\in E(k_{j})$ pour tout $j$.

D’après l’hypothèse, $E$ est de rang de Mordell–Weil strictement positif. Fixons un point rationnel $Q\in E(k)$ d’ordre infini. Il définit une section de $\mathcal{E}$ notée encore par $Q\in\mathcal{E}(\mathcal{O}_{k})$. Les sous-ensembles suivants de $\Omega$ sont alors finis.

[TABLE]

D’après le théorème de Seigel, l’ensemble des points $T$-entiers

[TABLE]

est fini.

Choisissons une place non-dyadique $v_{0}\in\Omega\setminus T$ telle que $Q\not\equiv P_{i}\mod v_{0}$ pour $2\leq i\leq t$ et telle que $E$ admet une bonne réduction en $v_{0}$. Soit $q$ la caractéristique du corps résiduel $\mathbb{F}_{v_{0}}$ de $\mathcal{O}_{k}$ en $v_{0}$. On trouve

[TABLE]

Définissons

[TABLE]

Alors $a$ est toujours premier avec $qn|\mathcal{E}(\mathbb{F}_{v_{0}})|$. D’après le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet, soit $\Lambda$ l’ensemble infini des nombres premiers $l$ qui vérifient

[TABLE]

Donc $n|\mathcal{E}(\mathbb{F}_{v_{0}})|$ divise $l-1$ et la valuation $\textup{val}_{q}(l-1)=\textup{val}_{q}(n|\mathcal{E}(\mathbb{F}_{v_{0}})|)$ est une constante pour tout $l\in\Lambda$.

Pour $v\in\infty$, désignons $\pi_{0}(E(k_{v}))$ le groupe des composantes connexes du groupe de Lie $E(k_{v})$. Considérons la suite $(lQ)_{l\in\Lambda}$ plongée dans l’espace compact

[TABLE]

Il existe alors une sous-suite convergente vers un élément noté par $(x_{v})_{v\in\Omega}$ qui est ainsi orthogonal à $\textup{Br}(E)$ d’après la continuité de l’accouplement de Brauer–Manin.

Pour toute $v\in\infty$, le composé $E_{0}(k_{v})\to E(k_{v})\to\pi_{0}(E(k_{v}))$ est surjectif. Quitte à modifier $x_{v}$ si nécessaire, on peut supposer que $x_{v}\in E_{0}(k_{v})$ pour toute place archimédienne sans affecter l’orthogonalité avec le groupe de Brauer.

Pour toute $v\notin\infty$, démontrons que $x_{v}\in E_{0}(k_{v})$. En effet, il suffit de considérer le cas où il existe une place $w$ de $k_{j}$ au-dessus de $v$ telle que l’extension $k_{j,w}/k_{v}$ est triviale, sinon le corps résiduel de chaque point du support du 0-cycle $m_{j,k_{v}}=m_{j}\times_{\textup{Spec}(k)}\textup{Spec}(k_{v})$ contient strictement $k_{v}$ ainsi que $x_{v}$ n’est jamais contenu dans $m_{j,k_{v}}$. Soit $w$ une telle place et soit $m_{j,w}$ l’image de $m_{j}$ par $E(k_{j})\to E(k_{j,w})$. Comme $n$ divise $l-1$, on trouve que $lm_{j,w}=m_{j,w}$ dans $E(k_{j,w})$, ou bien $lM_{j,w}=M_{j,w}$ dans $\mathcal{E}(\mathcal{O}_{k_{j,w}})$ où $M_{j,w}=M_{j}\times_{\textup{Spec}(\mathcal{O}_{k})}\textup{Spec}(\mathcal{O}_{k_{j,w}})$. Puisque $Q$ n’est pas de torsion $Q\neq m_{j,w}\in E(k_{j,w})$, il existe un entier $r$ strictement positif tel que les réductions de $Q\in\mathcal{E}(\mathcal{O}_{k})$ et de $M_{j,w}\in\mathcal{E}(\mathcal{O}_{k_{j,w}})$ sont différentes dans $\mathcal{E}(\mathcal{O}_{k_{j,w}}/(\pi_{w}^{r}))$ où $\pi_{w}$ est une uniformisante de $k_{j,w}$. Si la limite $x_{v}$ de $lQ$ est égale à $m_{j,w}$, il existe alors un nombre infini de premiers $l$ tel que $lQ$ coïncide avec $M_{j,w}=lM_{j,w}$ dans $\mathcal{E}(\mathcal{O}_{k_{j,w}}/(\pi_{w}^{r}))$. Cela contredit au fait que les réductions de $Q$ et de $M_{j,w}$ sont différentes dans $\mathcal{E}(\mathcal{O}_{k_{j,w}}/(\pi_{w}^{r}))$.

Pour toute $v\not\in T$, démontrons que $x_{v}\in\mathcal{E}_{0}(\mathcal{O}_{k_{v}})$, autrement dit la réduction $\bar{x}_{v}$ de $x_{v}$ modulo $v$ ne se trouve pas dans $\bigcup_{j=1}^{s}M_{j}$. D’après la choix de $T$, la réduction $M_{j}\times_{\textup{Spec}(\mathcal{O}_{k})}\textup{Spec}(\mathbb{F}_{v})$ est une sous-schéma fermé réduit de $\mathcal{E}_{v}=\mathcal{E}\times_{\textup{Spec}(\mathcal{O}_{k})}\textup{Spec}(\mathbb{F}_{v})$. Si elle contient $\bar{x}_{v}$, il existe alors une place $w$ de $k_{j}$ non-ramifiée et de degré $1$ au-dessus de $v$. La réduction $\bar{M}_{j,w}\in\mathcal{E}_{v}(\mathbb{F}_{w})$ de $M_{j,w}\mod w$ coïncide avec $\bar{x}_{v}$. Comme $n$ divise $l-1$ et l’ordre de $m_{i}$ divise $n$, on trouve que $m_{j}=lm_{j}\in E(k_{j})$, d’où $\bar{M}_{j,w}=l\bar{M}_{j,w}\in\mathcal{E}_{v}(\mathbb{F}_{w})$. Pour $l$ suffisamment grand, la réduction $l\bar{Q}_{v}$ de $lQ\mod v$ est égale à $\bar{x}_{v}=\bar{M}_{j,w}=l\bar{M}_{j,w}\in\mathcal{E}_{v}(\mathbb{F}_{w})$. Ceci entraîne que $l\bar{Q}_{v}=l\bar{M}_{j,w}\in\mathcal{E}_{v}(\mathbb{F}_{w})$ pour un nombre infini de premiers $l$, d’où $\bar{Q}_{v}=\bar{M}_{j,w}\in\mathcal{E}_{v}(\mathbb{F}_{w})$ qui contredit le fait que $Q$ et $M_{j}$ n’intersectent pas en dehors de $T$. Par conséquent $x_{v}\in\mathcal{E}_{0}(\mathcal{O}_{k_{v}})$ pour toute $v\notin T$.

Nous concluons que

[TABLE]

Afin de compléter la preuve, il reste à démontrer que pour tout $S\supset\infty$ la troncation

[TABLE]

ne se trouve pas dans l’adhérence de $E_{0}(k)\subset E_{0}(\textbf{A}^{S})$. Comme

[TABLE]

est fini, $E_{0}(k)$ est discret dans $E_{0}(\textbf{A}^{S})$. Il suffit de démontrer que $(x_{v})_{v\notin S}$ n’est l’image d’aucun des points $P_{i}$. Observons que $lQ\equiv Q\mod v_{0}$ car $|\mathcal{E}(\mathbb{F}_{v_{0}})|$ divise $l-1$. Pour $2\leq i\leq t$, on trouve que $Q\not\equiv P_{i}\mod v_{0}$ d’après la choix de $v_{0}$, et ainsi que $x_{v_{0}}\not\equiv P_{i}\mod v_{0}$. Donc $(x_{v})_{v\notin S}$ n’est pas l’image de $P_{i}$ pour $2\leq i\leq t$. Par l’absurde, supposons que $(x_{v})_{v\notin S}=P_{1}=Q$. Alors une sous-suite de $(lQ)_{l\in\Lambda}$ converge vers $Q$ dans $E(k_{v_{0}})$, disons $(l-1)Q\to O$ pour les premiers $l$ apparus comme indices de la sous-suite convergente. De l’autre côté, $E(k_{v_{0}})$ contient un sous-groupe d’indice finie qui est isomorphe à $(\mathcal{O}_{k_{v_{0}}},+)$ comme groupes topologiques d’après (Mat, 55, Theorem 7). Comme $Q$ n’est pas un point de torsion, si on note cette dernière indice par $N$, l’élément $Q^{\prime}=NQ\in E(k_{v_{0}})$ est alors non nul. En plus, $Q^{\prime}$ se trouve dans le sous-groupe qui peut être identifié avec $(\mathcal{O}_{k_{v_{0}}},+)$. La convergence $(l-1)Q^{\prime}=(l-1)NQ\to O$ implique que $l\to 1$ dans $\mathcal{O}_{k_{v_{0}}}$ qui contredit le fait que la valuation $\textup{val}_{q}(l-1)=\textup{val}_{q}(n|\mathcal{E}(\mathbb{F}_{v_{0}})|)$ est une constante pour tout $l\in\Lambda$.

Enfin, expliquons l’adaptation nécessaire lorsque $E$ est un tore de dimension $1$ au lieu d’une courbe elliptique. Dans la preuve, nous avons besoin d’un $\mathcal{O}_{k}$-modèle $\mathcal{E}$ qui est un schéma en groupe de type fini et lisse sur $\mathcal{O}_{k}$, pour un tore nous prenons la composante connexe de l’identité du lft-modèle de Néron, cf. (BLR, 90, Theorem 5.12). D’après le théorème de Dirichlet généralisé (PR, 93, Theorem 5.12), le groupe des unités $\mathcal{E}(\mathcal{O}_{k})$ est un groupe abélien de type fini. Il est de rang strictement positif car $E(k)\subset E(\textbf{A}^{\infty})$ n’est pas discret. Nous fixons $Q\in\mathcal{E}(\mathcal{O}_{k})$ un point d’ordre infini. Un point de torsion $m_{j}\in\mathfrak{M}$ s’étend en une section $M_{j}\in\mathcal{E}(\mathcal{O}_{k})$. Tout reste de la preuve fonctionne dans ce contexte. ∎

Références

• [1]

Open problem session of the Amer. Inst. Math. workshop: Rational and integral points on higher-dimensional varieties.

Disponible sur http://aimath.org/pastworkshops/ratlhigherdimvarproblems.pdf.

• BLR [90]

S. Bosch, W. Lütkebohmert, and M Raynaud.

Néron models, volume 3 of Ergebnisse der Math.

Springer-Verlag, 1990.

• [3]

Y. Cao, Y. Liang, and F. Xu.

Arithmetic purity of strong approximation for homogeneous spaces.

Disponible sur arXiv : 1701.07259.

• Har [08]

D. Harari.

Le défaut d’approximation forte pour les groupes algébriques commutatifs.

Algebra Number Theory, 2(5):595–611, 2008.

• HT [01]

B. Hassett and Y. Tschinkel.

Density of integral points on algebraic varieties.

In Rational points on algebraic varieties, number 199 in Progr. Math., pages 169–197. Birkhäuser, 2001.

• HV [10]

D. Harari and J. F. Voloch.

The Brauer–Manin obstruction for integral points on curves.

Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 149(3):413–421, 2010.

• KT [02]

A. Kresch and Y. Tschinkel.

Integral points on punctured abelian surfaces.

In Algorithmic number theory, number 2369 in Lecture Notes in Comput. Sci., pages 198–204. Springer, 2002.

• Mat [55]

A. Mattuck.

Abelian varieties over $p$-adic groud fields.

Annals of Math., 62(1):92–119, 1955.

• Poo [10]

B. Poonen.

Insufficiency of the Brauer-Manin obstruction applied to étale covers.

Ann. of Math., 171(3):2157–2169, 2010.

• PR [93]

V. Platonov and A. Rapinchuk.

Algebraic Groups and Number Theory.

Academic Press, 1993.

• [11]

O. Wittenberg.

Rational points and zero-cycles on rationally connected varieties over number fields.

Prépublication à paraitre dans the proceedings of the AMS Summer Institute in Algebraic Geometry, disponible sur arXiv: 1604.08543.