On the Distribution of Zero Sets of Holomorphic Functions. IV. A Criterion

TL;DR

This paper provides a comprehensive criterion for when a sequence of points in a domain can be the zero set of a holomorphic function bounded by an exponential of a difference of subharmonic functions.

Contribution

It establishes necessary and sufficient conditions for zero sequences of holomorphic functions with exponential growth constraints in complex domains.

Findings

Characterization of zero sets in terms of subharmonic functions.

Complete description of zero sequence conditions.

Application to classes of holomorphic functions with growth bounds.

Abstract

Let $D$ be a proper domain in the extended complex plane ${\mathbb C}_{\infty}:={\mathbb C}\cup \{\infty\}$, $M=M_+-M_-\not\equiv \pm \infty$ be a difference of non-trivial subharmonic functions $M_{\pm}\not\equiv \mp \infty$ on $D$, $\text{Hol}(D,M)$ be the class of holomorphic function $f$ on $D$ satisfying $|f|\leq \text{const}_f\exp M$ om $D$, ${\sf Z}\subset D$ be a sequence of points in $D$ without limits points in $D$. We give a complete description of the conditions under which the sequence $\sf Z$ is a sequence of all zeros for some nonzero function $f\in \text{Hol}(D,M)$.

Equations

$${\mathrm{Meas}}^{+}(S):=\{\mu \in \mathrm{Meas}(S):\mu ⩾0\},$$

$$\operatorname{Hol}(D,M):=\Bigl{\{}f\in\operatorname{Hol}(D)\colon\sup\limits_{D}{|f|}{\exp(-M)}<+\infty\Bigr{\}},$$

$$M:=M_{+}-M_{-}:D\to \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \},M_{\pm }\in \mathrm{sbh}(D),M_{\pm }\not\equiv -\infty$$

$${\nu }_M:=\frac{1}{2\pi }\Delta M\in \mathrm{Meas}(D),\text{Δ — оператор Лапласа.}$$

$$n_{\mathsf{Z}}:=\sum _k{\delta }_{{\mathsf{z}}_k}.$$

$$\begin{array}{rl}\text{число }b& >0,\text{а также множества }\\ \varnothing \ne \mathrm{int}S\subset \mathrm{clos}S& \subset \mathrm{int}{S}_0\subset \mathrm{clos}{S}_0\subset D,\text{ где S или/ intS0 линейно связно}.\end{array}$$

$$\operatorname{sbh}_{00}^{\pm}(D\setminus S,S_{0};\leqslant b):=\bigl{\{}v\in\operatorname{sbh}_{0}^{\pm}(D\setminus S,S_{0};\leqslant b)\colon v\equiv 0\text{ \it вне некоторого $S_{v}\subset\operatorname{clos}S_{v}\subset D$}\bigr{\}}.$$

$$v:D\setminus S\to \{-\infty \}\cup \mathbb{R}.$$

$$\begin{split}\int_{D\setminus S}v\,{\rm d}\nu&\leqslant\int_{D\setminus S}v\,{\rm d}\mu+C\\ \biggl{(}\text{соотв. }\sum_{{\sf z}_{k}\in D\setminus S}v({\sf z}_{k})&\overset{\eqref{nZ}}{:=:}\int_{D\setminus S}v\,{\rm d}n_{\sf Z}\leqslant\int_{D\setminus S}v\,{\rm d}\mu+C\biggr{)}\quad\text{\it для всех $v\overset{\eqref{v}}{\in}\mathcal{V}$}.\end{split}$$

$${\mathcal{V}}_b:={\mathrm{sbh}}_0^{\pm }(D\setminus S,S_0;⩽b).$$

$${\mathcal{V}}_b:={\mathrm{sbh}}_{00}^{\pm }(D\setminus S,S_0;⩽b)\cap C^{\infty }(D\setminus S),$$

$${\nu }_u=\frac{1}{2\pi }\Delta u=\frac{1}{2\pi }\Delta \ln |f|=n_{\mathsf{Z}}$$

$$\inf_{\overline{D}(z,t)}r>0\text{ для любых $\overline{D}(z,t)\subset D$},\quad\overline{D}\bigl{(}z,r(z)\bigr{)}\subset D\text{ для всех $z\in D$}$$

$$\begin{split}u(z)&\leqslant M^{\odot r}(z)\leqslant M_{+}^{\odot r}(z)-M_{-}(z)\quad\text{для всех $z\in D$,}\\ \text{где }\quad M^{\odot r}(z)&:=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}M\bigl{(}z+r(z)e^{i\theta}\bigr{)}\,{\rm d}\theta.\end{split}$$

$$\ln |f|=\ln |f_{\mathsf{Z}}|+\ln |g|⩽\ln |f_{\mathsf{Z}}|+h+a^{+}{\ln }^{+}|\cdot |=u+a^{+}{\ln }^{+}|\cdot |⩽M+1+a^{+}{\ln }^{+}|\cdot |$$

$$h(0)=\int h\mathrm{d}\mu \text{для любой функции h∈har(D).}$$

$$V(z)=-\ln |z|+O(1)\text{при z→0}.$$

$$u(0)+{\int }_{D}V\mathrm{d}{\nu }_u={\int }_{D}u\mathrm{d}{\mu }_V,\text{где μV:=2π1ΔV∈AS0(D)}.$$

$$\frac{1}{2\pi }\Delta :V\stackrel{\text{eqref}PJ}{\mapsto }{\mu }_V$$

$$\mathcal{V}(U_0)$$

$$\mathcal{M}(U_0)$$

$$0\in \mathrm{int}S\subset \mathrm{clos}S\subset \mathrm{int}{S}_0\subset \mathrm{clos}{S}_0\subset U_0\subset \mathrm{clos}{U}_0\subset D$$

$$\mathcal{V}(U_0)\stackrel{\text{eqref}bijV}{\subset }{\mathcal{V}}_B:={\mathrm{sbh}}_{00}^{\pm }(D\setminus S,S_0;⩽B)\cap C^{\infty }(D\setminus S).$$

$$\underset{S_0\setminus S}{\sup }V⩽\underset{S_0\setminus S}{\sup }{g}_D(\cdot ,0)=:B^{\prime },$$

$$V(z)\stackrel{\text{eqref}PJ}{=}{p}_{{\mu }_V}(z)-\ln |z|,z\in D\setminus \{0\},\text{где }{p}_{{\mu }_V}(z):=\int \ln |z-z^{\prime }|\mathrm{d}{\mu }_V(z^{\prime }),$$

$$p_{{\mu }_V}^{\bullet r}(z):=\frac{1}{\pi r^2}{\int }_{\overline{D}(z,r)}{p}_{{\mu }_V}(z^{\prime })\mathrm{d}\lambda (z^{\prime })$$

$$p_{{\mu }_V}^{\bullet r}(z)⩾{\mu }_V(\mathbb{C})\ln (r/\sqrt{e})=\ln (r/\sqrt{e})=:B^{\prime \prime }\text{для всех z∈C}.$$

$$p_{{\mu }_V}(z)=p_{{\mu }_V}^{\bullet r}(z)⩾B^{\prime \prime }\text{для всех z∈S0∖S}.$$

$$V(z)⩾B^{\prime \prime }+\underset{z^{\prime }\in S_0\setminus S}{\inf }\ln (1/|z^{\prime }|)=:B^{\prime \prime \prime }\text{для всех z∈S0∖S},$$

$$\int u_{\nu }\mathrm{d}\mu ⩽\int M\mathrm{d}\mu +\underset{c}{\underbrace{(BC/b+u(0)-M_{+}(0)+M_{-}(0))}}\text{для всех μ∈eqrefbijM(U0)},$$

$$u_{\nu }+h⩽M^{⊛\hat{r}}\in C^{\infty }(D)\text{на D},$$

Full text

Пусть $S\subset D$, $\mathcal{V}$ — некоторый класс *полунепрерывных сверху * функций

[TABLE]

Рассмотрим заряды $\nu,\mu\in\operatorname{Meas}(D)$. Пишем $\nu\curlyeqprec_{S,\mathcal{V}}\mu$ (соотв. ${\sf Z}\curlyeqprec_{S,\mathcal{V}}\mu$), если для некоторого числа $C\in\mathbb{R}$ выполнены неравенства

[TABLE]

1. z1.

$\sf Z$* — последовательность нулей для $\operatorname{Hol}(D,M)$, т. е. существует $f\in\operatorname{Hol}(D,M)$ с последовательностью нулей $\operatorname{Zero}_{f}$, перенумерованной с учётом кратности, со считающей мерой $n_{\operatorname{Zero}_{f}}\overset{\eqref{nZ}}{=}n_{\sf Z}$ (пишем $\operatorname{Zero}_{f}={\sf Z}$).* 2. z2.

Для любых объектов из (4) имеем ${\sf Z}\overset{\eqref{bal}}{\curlyeqprec}_{S,\mathcal{V}_{b}}\nu_{M}$ относительно класса

[TABLE] 3. z3.

Существуют объекты из (4), для которых ${\sf Z}\overset{\eqref{bal}}{\curlyeqprec}_{S,\mathcal{V}_{b}}\nu_{M}$ относительно класса

[TABLE]

где $C^{\infty}(D\setminus S)$ — класс бесконечно дифференцируемых функций в окрестности $D\setminus S$.

Импликация z1$\Rightarrow$z2 для произвольной области $D\subset\mathbb{C}^{n}$ с субгармонической* функцией* $M$ доказана в [1, теорема 1]. Более общая, чем [1, теорема 1], версия при $n=1$ для произвольной уже $\delta$*-субгармонической функцией * $M\not\equiv\pm\infty$ — это

Доказательство теоремы 2 опускаем, поскольку оно по сути повторяет [2, доказательство теорема 1]. Отметим лишь, что предварительно необходимо выбрать точку $z_{0}\in\operatorname{int}S$, в которой $u(z_{0})\neq-\infty$ и $M_{\pm}(z_{0})\neq-\infty$, а также оперировать вместо неравенства $u\leqslant M$ неравенством $u+M_{-}\leqslant M_{+}$, где в обеих частях субгармонические функции. Роль $\ln|f|$ из [1, доказательство теоремы 1] будет играть функция $u+M_{-}$ с $M_{+}$ вместо $M$. Тогда $\nu_{u+M_{-}}\overset{\eqref{bal}}{\curlyeqprec}_{S,\mathcal{V}_{b}}\nu_{M_{+}}$, откуда по определению 1 следует $\nu_{u}\overset{\eqref{bal}}{\curlyeqprec}_{S,\mathcal{V}_{b}}\nu_{M}$.

Из утверждения z1 для последовательности ${\sf Z}\subset D$ существует $f{\in}\operatorname{Hol}(D)$ с $\operatorname{Zero}_{f}={\sf Z}$, для которой $|f|{\leqslant}\exp M$ на $D$. При $u:=\ln|f|\leqslant M$ на $D$ имеем

[TABLE]

и по теореме 2 получаем $n_{\sf Z}\overset{\eqref{bal}}{\curlyeqprec}_{S,\mathcal{V}_{b}}\nu_{M}$, что по определению 1 означает ${\sf Z}\overset{\eqref{bal}}{\curlyeqprec}_{S,\mathcal{V}_{b}}\nu_{M}$. Таким образом, импликация z1$\Rightarrow$z2 доказана.

Импликация z2$\Rightarrow$z3 очевидна, поскольку класс тестовых функций $\mathcal{V}_{b}$ из z2(7) включает в себя класс тестовых функций $\mathcal{V}_{b}$ из z3(8).

Далее для простоты $\infty\notin D$, т. е. $D\subset\mathbb{C}$. Для точки $z\in\mathbb{C}$ и числа $t>0$ через $D(z,t)\subset\mathbb{C}$ обозначаем открытый круг с центром $z$ радиуса $t$, $\overline{D}(z,t):=\operatorname{clos}D(z,t)$. Для доказательства импликации z3$\Rightarrow$z1 теоремы 1 будет использованы следующие

[TABLE]

найдется такая функция $u\in\operatorname{sbh}(D)$ с мерой Рисса $\nu_{u}=\nu$, что

[TABLE]

Если $M_{+}\in C(D)$, то функцию $r$ в (9)–(10) можно выбрать так, что $u\leqslant M+1$ на $D$.

Для областей $D$ из теоремы 2 по следствию 1 имеем $a^{+}=0$ или $a=0$, что сразу доказывает импликацию z3$\Rightarrow$z1 теоремы 1.

[TABLE]

на $D$ и ${\sf Z}$ — последовательность нулей для \operatorname{Hol}\bigl{(}D,M+a^{+}\ln^{+}|\cdot|\bigr{)}. ∎

Доказательство теоремы 3.

Всегда существует функция $u_{\nu}\in\operatorname{sbh}(D)$ с мерой Рисса $\nu$ [2], [3]. Не умаляя общности, можем считать, что $0\in\operatorname{int}S$ и $u_{\nu}(0)\neq-\infty$, $M_{\pm}(0)\neq-\infty$.

Определение 2** ([7, 3.1]–[9, определения 1,2]).**

Мера $\mu\in\operatorname{Meas}_{\operatorname{c}}^{+}(D)$ называется мерой Аренса – Зингера для точки $0\in D$, если

[TABLE]

Класс всех мер Аренса – Зингера для точки $0\in D$ обозначаем через $AS_{0}(D)$.

Функция V\in\operatorname{sbh}\bigl{(}D\setminus\{0\}\bigr{)} — потенциал Аренса – Зингера для точки $0\in D$ с единичной нормировкой, если $V\equiv 0$ вне некоторого $S_{V}\subset\operatorname{clos}S_{V}\subset D$ и

[TABLE]

Класс всех таких потенциалов Аренса – Зингера для точки $0\in D$ с единичной нормировкой (11) обозначаем через $PAS_{0}^{1}(D)$.

Через $\operatorname{Meas}_{\infty}^{+}(D)$ обозначаем подкласс абсолютно непрерывных мер $\mu\in\operatorname{Meas}^{+}(D)$ с плотностью $m\in C^{\infty}(D)$, т. е. $\,{\rm d}\mu=m\,{\rm d}\lambda$, где $\lambda$ — мера Лебега.

Теорема A** ([9, § 1, предложения 1.2–4, теорема двойственности]).**

Для любых $u\in\operatorname{sbh}(D)$ с $u(0)\neq-\infty$ и с мерой Рисса $\nu_{u}=\frac{1}{2\pi}\Delta u$ и потенциала Аренса – Зингера $V\in PAS_{0}^{1}(D)$ имеет место расширенная формула Пуассона – Йенсена

[TABLE]

При этом для любой области $U_{0}\subset\operatorname{clos}U_{0}\subset D$ с $0\in U_{0}$ оператор

[TABLE]

определяет биекцию подкласса потенциалов Йенсена

[TABLE]

Лемма 1**.**

Для любой области $U_{0}$ при

[TABLE]

найдётся число $B>0$, для которого имеет место включение

[TABLE]

Доказательство леммы 1.

Для области $D$ с неполярной границей $\partial D$ существует функция Грина $g_{D}$ [2],[3], и $V\leqslant g_{D}(\cdot,0)$ для всех $V\in PAS_{0}^{1}(D)$ [5, (2.15)], откуда, ввиду $0\in\operatorname{int}S$, получаем оценку сверху

[TABLE]

где число $B^{\prime}>0$ зависит только от $S,S_{0},D$. Для $V\in PAS_{0}^{1}$ имеет место представление

[TABLE]

а $\mu_{V}$ из (12) — вероятностная мера [9, предложение 1.4]. Выберем число $r>0$ так, что $2r$ — это минимум двух расстояний: от [math] до $\partial S$ и от $S_{0}$ до $\partial U_{0}$. В [10, предложение 2.6] для усреднений по кругам

[TABLE]

получена оценка снизу

[TABLE]

Но согласно выбору $r$ и ввиду $\operatorname{supp}\mu_{V}\overset{\eqref{bijM}}{\subset}D\setminus U_{0}$ из гармоничности потенциала $p_{\mu_{V}}$ вне $\operatorname{supp}\mu_{V}$ [2], [3] имеем

[TABLE]

Отсюда

[TABLE]

где по построению $B^{\prime\prime\prime}\in\mathbb{R}$ зависит только от $r,S,S_{0},U_{0}$, а стало быть лишь от взаимного расположения точки [math] и множеств $S,S_{0},U_{0}$. Таким образом, в соответствии с определением 2 получаем включение (14) с $B:=\max\{B^{\prime},|B^{\prime\prime\prime}|\}>0$. ∎

По определению 1 для произвольно большого числа $B>0$, домножив обе части неравенства (6) на $B/b>0$, в теореме 3 класс $\mathcal{V}_{b}$ можно заменить на класс $\mathcal{V}_{B}$ из (14) и по лемме 1 из условия $\nu\overset{\eqref{bal}}{\curlyeqprec}_{S,\mathcal{V}_{B}}\nu_{M}$ следует $\nu\overset{\eqref{Vv}}{\curlyeqprec}_{S,\mathcal{V}(U_{0})}\nu_{M}$. Последнее по определению 1 аффинного выметания в (6), применяя расширенную формулу Пуассона – Йенсена (12) к $u_{\nu}$ и $M_{\pm}$, а также биекцию (13), можно переписать в виде

[TABLE]

где $c\in\mathbb{R}$ — некоторая постоянная.

Теорема B** (очень частный случай [6, следствие 8.1] при $H=\operatorname{har}(D)$).**

Если для некоторого числа $c\in\mathbb{R}$ выполнено (15), то для любой функции $r$, удовлетворяющей условиям (9), найдутся такие функция $h\in\operatorname{har}(D)$ и положительная функция $\widehat{r}\leqslant r$ из класса $C^{\infty}(D)$, что имеет место неравенство

[TABLE]

где, по построению [6, (8.3–6), (8.10)], [5, (2.18–19)], $M^{\circledast\widehat{r}}(z)$ — <<скользящие сжимающиеся>> сглаживающие усреднения по некоторым вероятностным мерам

[TABLE]

полученным сдвигом, сжатием и нормировкой некоторой единой аппроксимативной единицы $a\in C^{\infty}(\mathbb{C})$, зависящей только от модуля $|\cdot|$, с носителем $\operatorname{supp}a\subset\overline{D}(0,1)$.

По теореме B требуемой функцией выбираем

[TABLE]

поскольку для $M_{-}\in\operatorname{sbh}(D)$ имеем $M_{-}\leqslant M_{-}^{\circledast\widehat{r}}$ на $D$. Из $M_{+}\in\operatorname{sbh}(D)$ следует

[TABLE]

что дает неравенство $u\leqslant M_{+}^{\odot{r}}-M_{-}$ на $D$. Если $M_{+}\in C(D)$, то в силу локально равномерной непрерывности функции $M_{+}$ функцию $r$ в ограничениях (9) можно выбрать столь малой, что $M_{+}^{\odot{r}}\leqslant M+1$ на $D$. Теорема 3 доказана.

Литература

• [1]

Б. Н. Хабибуллин, Э. Б. Хабибуллина, К распределению нулевых множеств голоморфных функций. II // Функц. анализ и его прил. (2018), 3 стр., принято к печати, arXiv: 1811.01407v1

• [2] Th. Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge Unisersity Press, Cambridge, 1995.
• [3] У. Хейман, П. Кеннеди, Субгармонические функции, Мир, М., 1980.
• [4]

Б. Н. Хабибуллин, А. П. Розит, К распределению нулевых множеств голоморфных функций // Функц. анализ и его прил., 52:1 (2018), 26–42.

• [5]

Б. Н. Хабибуллин, Ф. Б. Хабибуллин, К распределению нулевых множеств голоморфных функций. III. Теоремы обращения // Функц. анализ и его прил. (2018), 14 стр., направлено в печать; arXiv: 1811.10393v1.

• [6]

Б. Н. Хабибуллин, А. П. Розит, Э. Б. Хабибуллина, Порядковые версии Теоремы Хана – Банаха и огибающие. II. Применения в теории функций // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. (2018), 40 стр., принято к печати, arxiv: 1812.11058v1.

• [7]

Б. Н. Хабибуллин, Последовательности нулей голоморфных функций, представление мероморфных функций и гармонические миноранты // Матем. сб., 198:2 (2007), 121–160.

• [8]

T. W. Gamelin, Uniform Algebras and Jensen Measures, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1978.

• [9]

Б. Н. Хабибуллин, Критерии (суб-)гармоничности и продолжение (суб-)гармонических функций // Сиб. матем. журн. , 44:4 (2003), 905–925.

• [10]

Б. Н. Хабибуллин, Т. Ю. Байгускаров, Логарифм модуля голоморфной функции как миноранта для субгармонической функции // Матем. заметки, 99:4 (2016), 588–602.

Башкирский государственный университет

e-mail: khabib-bulat@mail.ru