Order version of the Hahn-Banach theorem, and envelopes. II. Applications to the function theory

TL;DR

This paper extends the Hahn-Banach theorem to order structures, providing envelope existence results and applying them to complex function theory, including subharmonic and holomorphic functions.

Contribution

It introduces an order-based version of the Hahn-Banach theorem and applies it to envelopes and complex function theory, offering new existence criteria and applications.

Findings

Existence conditions for envelopes in convex sets and cones.

Applications to subharmonic and harmonic minorants in complex analysis.

Insights into zero sets and representation of meromorphic functions.

Abstract

Chapter 1 deals with the problem of the existence of an upper/lower envelope from a convex cone or, more generally, a convex set for functions on the projective limit of vector lattices with values in the completion of the Kantorovich space or on the extended real line. Vector, ordinal and topological dual interpretations of the existence conditions of such envelope and the method of its construction are given. Chapter 2 presents applications to the existence of a nontrivial (pluri)subharmonic and/or (pluri) harmonic minorant for functions in domains from finite-dimensional real or complex space. General approaches to the problems of nontriviality of weight classes of holomorphic functions, to the description of zero (sub)sets for such classes of holomorphic functions, to the problem of representation of a meromorphic function as a ratio holomorphic functions from a given weight class are indicated.

Equations

$$f(tx)=tf(x)\text{T2AcyrdT2AcyrlT2AcyryaT2AcyrvT2AcyrsT2AcyreT2Acyrhx∈X T2Acyrit∈R+:={t∈R:t≥0}},$$

$$f(x_1+x_2)\le f(x_1)+f(x_2)\text{T2AcyrdT2AcyrlT2AcyryaT2AcyrvT2AcyrsT2AcyreT2Acyrhx1,x2∈X}.$$

$$l(t_1{x}_1+t_2{x}_2)=t_{1}l(x_1)+t_{2}l(x_2)\text{T2AcyrdT2AcyrlT2AcyryaT2AcyrvT2AcyrsT2AcyreT2Acyrhx1,x2∈X T2Acyrit1,t2∈R},$$

$$f(x)=\sup\bigl{\{}l(x)\colon\,l\in\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X},\;l\bigm{|}_{X}\leq f\bigm{|}_{X}\bigr{\}}=:{\operatorname{lenv}}_{\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X}}^{f}(x)\quad\text{\T2A\cyrd\T2A\cyrl\T2A\cyrya \T2A\cyrv\T2A\cyrs\T2A\cyre\T2A\cyrh $x\in X$},$$

$$\inf \left\{\sum _{k=1}^n{t}_{k}f(x_k):\sum _{k=1}^n{t}_k{x}_k=x,x_k\in X,t_k\in {\mathbb{R}}^{+},n\in \mathbb{N}:=\{1,2,\dots \}\right\}\text{ T2AcyrpT2AcyrrT2AcyriT2AcyrvT2AcyrsT2AcyreT2Acyrhx∈X}.$$

$$f\bigl{(}tx_{1}+(1-t)x_{2}\bigr{)}\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})\quad\text{\T2A\cyrd\T2A\cyrl\T2A\cyrya \T2A\cyrv\T2A\cyrs\T2A\cyre\T2A\cyrh $x_{1},x_{2}\in X$ \T2A\cyri $t\in(0,1)$},$$

$$a\bigl{(}tx_{1}+(1-t)x_{2}\bigr{)}=ta(x_{1})+(1-t)a(x_{2})\quad\text{\T2A\cyrd\T2A\cyrl\T2A\cyrya \T2A\cyrv\T2A\cyrs\T2A\cyre\T2A\cyrh $x_{1},x_{2}\in X$ \T2A\cyri $t\in(0,1)$},$$

$$f(x)=\sup\bigl{\{}a(x)\colon\,a\in\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X},\;a\bigm{|}_{X}\leq f\bigm{|}_{X}\bigr{\}}=:{\operatorname{lenv}}_{\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X}}^{f}(x)\quad\text{\T2A\cyrd\T2A\cyrl\T2A\cyrya \T2A\cyrv\T2A\cyrs\T2A\cyre\T2A\cyrh $x\in X$}.$$

$$\inf \left\{\sum _{k=1}^n{t}_{k}f(x_k):\sum _{k=1}^n{t}_k{x}_k=x,x_k\in X,t_k\in {\mathbb{R}}^{+},\sum _{k=1}^n{t}_k=1,n\in \mathbb{N}\right\}\text{ T2AcyrpT2AcyrrT2AcyriT2AcyrvT2AcyrsT2AcyreT2Acyrhx∈X}.$$

$${\operatorname{lenv}}_{\operatorname{sbl}\mathbb{R}^{X}}^{f}(x):=\sup\bigl{\{}p(x)\colon p\in\operatorname{sbl}\mathbb{R}^{X},\;p\bigm{|}_{X}\leq f\bigm{|}_{X}\bigr{\}}=\text{\eqref{repsbl}},\quad x\in X,$$

$${\operatorname{lenv}}_{\operatorname{conv}\mathbb{R}^{X}}^{f}(x):=\sup\bigl{\{}v(x)\colon v\in\operatorname{conv}\mathbb{R}^{X},\;v\bigm{|}_{X}\leq f\bigm{|}_{X}\bigr{\}}=\eqref{repco},\quad x\in X,$$

$$f(0)=0\quad{\Longleftrightarrow}\quad f(0)\in\mathbb{R}\quad{\Longleftrightarrow}\quad\bigl{(}\text{{\bf(ph)} \T2A\cyrs $\mathbb{R}^{+}$ \T2A\cyri $0\cdot(+\infty):=0$}\bigr{)}.$$

$$f(x)=\sup\bigl{\{}l(x)\colon l\in C(X)\cap\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X},\;l\bigm{|}_{X}\leq f\bigm{|}_{X}\bigr{\}}=:{\operatorname{lenv}}_{C(X)\cap\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X}}^{f}\quad\text{\T2A\cyrd\T2A\cyrl\T2A\cyrya \T2A\cyrv\T2A\cyrs\T2A\cyre\T2A\cyrh $x\in X$}.$$

$$f(x)=\sup\bigl{\{}a(x)\colon a\in C(X)\cap\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X},\;a\bigm{|}_{X}\leq f\bigm{|}_{X}\bigr{\}}=:{\operatorname{lenv}}_{C(X)\cap\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X}}^{f}\quad\text{\T2A\cyrd\T2A\cyrl\T2A\cyrya \T2A\cyrv\T2A\cyrs\T2A\cyre\T2A\cyrh $x\in X$}.$$

$$\sup \varnothing :=\inf \mathrm{S}\text{T2AcyrdT2AcyrlT2Acyrya∅⊂S↓⊂S↓↑};\inf \varnothing :=\sup \mathrm{S}\text{T2AcyrdT2AcyrlT2Acyrya∅⊂S↑}\subset {\mathrm{S}}_{{}^{\downarrow }}^{{}_{\uparrow }}.$$

$$\sup F:x\mapsto \underset{f\in F}{\sup }f(x)\in {\mathrm{S}}_{{}^{\downarrow }}^{{}_{\uparrow }},\inf F:x\mapsto \underset{f\in F}{\inf }f(x)\in {\mathrm{S}}_{{}^{\downarrow }}^{{}_{\uparrow }},x\in X,$$

$$\inf{\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X}}\colon x\mapsto\inf S\in{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}},\quad\sup{\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X}}\colon x\mapsto\sup S\in{{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}},\quad x\in X,$$

$$\sup\varnothing:=\inf{\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X}}\in\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X},\quad\inf\varnothing:=\sup{\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X}}\in\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X}.$$

$${\mathrm{lenv}}_L^f$$

$$\displaystyle\Bigl{(}\text{\T2A\cyrs\T2A\cyro\T2A\cyro\T2A\cyrt\T2A\cyrv. }{\operatorname{uenv}}^{{L}}_{f}$$

$${\operatorname{lenv}}_{{L}}^{f}\bigm{|}_{X_{0}}\leq f\bigm{|}_{X_{0}}\leq{\operatorname{uenv}}^{{L}}_{f}\bigm{|}_{X_{0}}.$$

$$\begin{array}{rl}\inf \mathbb{K}:=-\infty ,\sup \mathbb{K}:=+\infty ,\sup \varnothing & \stackrel{\text{eqref}varnoth}{:=}-\infty ,\inf \varnothing \stackrel{\text{eqref}varnoth}{:=}+\infty \text{T2AcyrdT2AcyrlT2Acyrya∅⊂K};\\ -(-\infty ):=+\infty ,-(+\infty ):=-\infty ,& -\infty \le k\le +\infty \text{T2AcyrdT2AcyrlT2AcyryaT2AcyrvT2AcyrsT2AcyreT2Acyrhk∈K±∞};\\ {\mathbb{K}}_{-\infty }:={\mathbb{K}}_{\downarrow },{\mathbb{K}}_{+\infty }& :={\mathbb{K}}^{\uparrow },{\mathbb{K}}_{\pm \infty }:={\mathbb{K}}_{\downarrow }^{\uparrow };\\ (-\infty )+k:=:k+(-\infty )& :=-\infty ,\text{ T2AcyrdT2AcyrlT2AcyryaT2AcyrvT2AcyrsT2AcyreT2Acyrhk∈K−∞},\\ (+\infty )+k:=:k+(+\infty )& :=+\infty \text{ T2AcyrdT2AcyrlT2AcyryaT2AcyrvT2AcyrsT2AcyreT2Acyrhk∈K+∞};\\ t(-\infty ):=:(-t)(+\infty ):=-\infty ,t(+\infty )& :=:(-t)(-\infty ):=+\infty \text{ T2AcyrdT2AcyrlT2AcyryaT2AcyrvT2AcyrsT2AcyreT2Acyrht∈R∗+};\\ {\mathbb{K}}_{-\infty }^S:=({\mathbb{K}}_{-\infty }{)}^S,{\mathbb{K}}_{+\infty }^S& :=({\mathbb{K}}_{+\infty }{)}^S,{\mathbb{K}}_{\pm \infty }^S:=({\mathbb{K}}_{\pm \infty }{)}^S;\\ \inf {\mathbb{K}}_{\pm \infty }^S:=:\inf {\mathbb{K}}_{-\infty }^S\stackrel{\text{eqref}conf}{:=}-\infty ,& \sup {\mathbb{K}}_{\pm \infty }^S:=:\sup {\mathbb{K}}_{+\infty }^S\stackrel{\text{eqref}conf}{:=}+\infty \text{T2AcyrpT2AcyrrT2AcyriS=∅};\\ \sup \varnothing \stackrel{\text{eqref}df:pmi}{:=}-\infty ,\inf \varnothing \stackrel{\text{eqref}df:pmi}{:=}+\infty & \text{T2AcyrdT2AcyrlT2AcyryaT2AcyrpT2AcyruT2AcyrsT2AcyrtT2AcyroT2AcyrgT2AcyroT2AcyrpT2AcyroT2AcyrdT2AcyrmT2AcyrnT2AcyroT2AcyrzhT2AcyreT2AcyrsT2AcyrtT2AcyrvT2Acyra∅⊂KS⊂(K±∞)S}.\end{array}$$

$$(x\in X)\;\overset{\rm def}{\Longleftrightarrow}\;\bigl{(}{{\rm pr}}_{n}x=p_{n}({{\rm pr}}_{n+1}x)\quad\text{\T2A\cyrd\T2A\cyrl\T2A\cyrya \T2A\cyrv\T2A\cyrs\T2A\cyre\T2A\cyrh $n\in\mathbb{N}$}\bigr{)},$$

$$p_n({\mathrm{pr}}_{n+1}B)={\mathrm{pr}}_{n}B\text{T2AcyrdT2AcyrlT2AcyryaT2AcyrlT2AcyryuT2AcyrbT2AcyroT2AcyrgT2AcyroT2AcyrpT2AcyroT2AcyrdT2AcyrmT2AcyrnT2AcyroT2AcyrzhT2AcyreT2AcyrsT2AcyrtT2AcyrvT2AcyraB⊂X=projlimXnpn}.$$

$$X_n\text{-}\sup p_n(B_{n+1})=p_n(X_{n+1}\text{-}\sup B_{n+1})\text{T2AcyrpT2AcyrrT2AcyriT2AcyrvT2AcyrsT2AcyreT2Acyrhn∈N T2AcyriBn+1⊂Xn+1 T2AcyrscardBn+1<∞}.$$

$$v=X\text{-}\sup B=\Bigl{(}\prod_{n}X_{n}\Bigr{)}\text{-}\sup B,\quad{\rm pr}_{n}v=X_{n}\text{-}\sup{\rm pr}_{n}B;$$

$$p_n(v_{n+1})=p_n(X_{n+1}\text{-}\sup {\mathrm{pr}}_{n+1}B)\stackrel{\text{eqref}nsupf}{=}{X}_n\text{-}\sup p_n({\mathrm{pr}}_{n+1}B)\stackrel{\text{eqref}{1}_2}{=}{X}_n\text{-}\sup {\mathrm{pr}}_{n}B=v_n.$$

$${\mathrm{pr}}_{n}v=({\mathrm{pr}}_{n}X)\text{-}\sup \{x_n,x_n^{\prime }\}=X_n\text{-}\sup \{x_n,x_n^{\prime }\}$$

$$p_{n-1}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X}\bigl{(}({\rm pr}_{n}X)\text{-}\sup\,\{x_{n},x^{\prime}_{n}\}\bigr{)}\overset{\eqref{prnXs}}{=}p_{n-1}\bigl{(}X_{n}\text{-}\sup\,\{x_{n},x^{\prime}_{n}\}\bigr{)}\\ \overset{\eqref{nsupf}}{=}X_{n-1}\text{-}\sup\,\bigl{\{}p_{n-1}(x_{n}),\,p_{n-1}(x^{\prime}_{n})\bigr{\}}\overset{\eqref{prnXs}}{=}({\rm pr}_{n-1}X)\text{-}\sup\,\Bigl{\{}p_{n-1}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X}(x_{n}),\,p_{n-1}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X}(x^{\prime}_{n})\Bigr{\}}.$$

$$p_n:\prod _{k=1}^{n+1}{X}_k\to \prod _{k=1}^n{X}_k,p_n:(x_1,\dots ,x_n,x_{n+1})\mapsto (x_1,\dots ,x_n),$$

$$\mathrm{int}{D}_n=D_n⋐D_{n+1},n\in \mathbb{N},\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{D}_n=D.$$

Full text

Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проект № 16-01-00024а).

1. 0 Огибающая

2. 1 Введение. Истоки

3. 1 Алгебраические версии

4. 2 Топологические версии

5. 2 Основные определения и постановки задач

6. 1 Упорядоченные множества. Пополнение

7. 2 Верхняя и нижняя огибающие

8. 3 Общие постановки задач

9. 3 Проективный предел упорядоченных векторных пространств

10. 1 Проективный предел векторных решёток

11. 2 Примеры

12. 3 Положительные аддитивные функции на проективном пределе

13. 4 Верхняя огибающая функции на проективном пределе

14. 1 Случай произвольной функции

15. 2 Случай суперлинейной функции

16. 3 Случай вогнутой функции

17. 5 Супремальные функции и выметание

18. 1 Супремальная функция

19. 2 Выметание и росток функции

20. 6 Представление верхней огибающей на проективном пределе

21. 1 Порядково-линейная версия для выпуклого конуса $H$

22. 2 Векторно-аффинная версия для выпуклого множества $H$

23. 3 Топологические версии для выпуклого $H$

24. 1 Применения в теории функций

25. 1 Введение. Где возникают огибающие?

26. 1 Нетривиальность весового класса

27. 2 Описание нулевых множеств

28. 3 Описание нулевых подмножеств

29. 4 Представление мероморфных функций

30. 5 Комплексная теория потенциала

31. 6 Теория равномерных алгебр

32. 7 Связь с задачами 1–3 из подраздела 3

33. 8 Некоторые дополнения к предшествующим определениям и обозначениям

34. 2 Существование (плюри)субгармонической нижней огибающей

35. 1 Основной результат для выпуклых подмножеств субгармонических функций

36. 2 Одна версия теоремы 6 для применений

37. 3 Применения к голоморфным функциям

38. 1 К нетривиальности весовых классов голоморфных функций

39. 2 К описанию нулевых множеств

40. 3 К описанию нулевых подмножеств

41. 4 К представлению мероморфных функций

42. 5 Заключительные замечания

Глава 0 Огибающая

1. Введение. Истоки

1. Алгебраические версии

Одна из основ функционального анализа —

Теорема Хана – Банаха** (об огибающей [1, II.1.3–4], [42], [57], [45], [58], [64]).**

Пусть $X$ — векторное пространство над полем вещественных чисел $\mathbb{R}$ и $f\colon X\to\mathbb{R}$ — функция, т. е. $f\in\mathbb{R}^{X}$.

1. I.

Попарно эквивалентны следующие три утверждения.

1. 1.

Функция $f$ сублинейная (пишем $f\in\operatorname{sbl}\mathbb{R}^{X}$), что здесь означает одновременно

**(ph): **

положительную однородность (пишем $f\in\operatorname{ph}\mathbb{R}^{X}$):

[TABLE]

где $\mathbb{R}^{+}$ можно заменить на $\mathbb{R}_{*}^{+}:=\mathbb{R}\setminus\{0\}$,

**(sa): **

и субаддитивность (пишем $f\in\operatorname{sba}\mathbb{R}^{X}$):

[TABLE] 2. 2.

Для векторного пространства $\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X}$ над $\mathbb{R}$ всех линейных функций $l\in\mathbb{R}^{X}$:

[TABLE]

функция $f$ совпадает со своей нижней огибающей по $\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X}$:

[TABLE]

где l\bigm{|}_{X}\leq f\bigm{|}_{X} означает, что $l(x^{\prime})\leq f(x^{\prime})$ для всех $x^{\prime}\in X$. 3. 3.

Значения $f(x)$ тождественно равны

[TABLE] 2. II.

Следующие три утверждения попарно эквивалентны.

1. 1.

Функция $f$ выпуклая (пишем $f\in\operatorname{conv}\mathbb{R}^{X}$), т. е. удовлетворяет неравенству Йенсена:

[TABLE]

где в данном случае интервал $(0,1)\subset\mathbb{R}_{*}^{+}$ можно заменить на отрезок $[0,1]\subset\mathbb{R}^{+}$. 2. 2.

Для векторного пространства $\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X}$ над $\mathbb{R}$ всех аффинных функций $a\in\mathbb{R}^{X}$:

[TABLE]

где $(0,1)$ можно заменить на $\mathbb{R}$, $f$ совпадает со своей нижней огибающей по $\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X}$:

[TABLE] 3. 3.

Значения $f(x)$ тождественно равны

[TABLE] 3. III.

Если формально дополнить выпуклые конусы $\operatorname{sbl}\mathbb{R}^{X}\subset\operatorname{conv}\mathbb{R}^{X}$ функцией111тождественная $-\infty$* $\boldsymbol{-\infty}\colon x\mapsto-\infty$, $x\in X$, то точные нижние границы $\inf$ из (5) и (9) тождественно равны соотв.222сокращение для ¡¡соответственно¿¿*

1. 1)

наибольшей сублинейной миноранте функции $f$:

[TABLE]

где для пустого подмножества $\varnothing\subset\mathbb{R}^{X}$ полагаем $\sup\varnothing:=\boldsymbol{-\infty}$, 2. 2)

и наибольшей выпуклой миноранте функции $f\in\mathbb{R}^{X}$:

[TABLE]

Чаще всего формулируют только часть I и только импликацию I1$\Rightarrow$I2, но обратная I2$\Rightarrow$I1 — элементарное следствие определений линейной (3) и сублинейной (ph)+(sa) функций. Часть II достаточно просто следует из части I (см., например, [65], [36, основная теорема, часть (2)]).

Эквивалентности I1$\Leftrightarrow$I3 и II1$\Leftrightarrow$II3 элементарны и в неявной форме содержатся, например, в [14, доказательство теоремы 1]. По схеме из [14] и определению сублинейности (1)–(2) без труда выводится III1. По аналогии с этим выводом по определению выпуклости (6) легко устанавливается наверняка известная и сформулированная где-нибудь ранее часть III2.

В <<Математической энциклопедии>> [12, Хана–Банаха теорема] формулировка теоремы Хана–Банаха для векторного пространства некорректна: <<В случае действительного пространства $X$ полунорму можно заменить положительно однородным функционалом, …>>, т. е. опущено требование субаддитивности (sa). Тем не менее, основной ориентир в выборе терминологии и обозначений, где это возможно, — именно [12], а также монография [1] и первая часть [34] настоящей работы, в которой рассмотрен простой модельный случай лишь однородных функций (ph)+(1) и их обобщений. В различных источниках и у разных авторов терминология зачастую существенно разнится, поэтому в нашем изложении по возможности все, даже элементарные, определения, понятия и утверждения, встречавшиеся нам в литературе хотя бы раз в различных смыслах и трактовках, приводятся полностью во избежание разночтений. Нас в первом приближении будет интересовать актуальный в теории оптимизации [43] и в теории функций [24]–[31] случай

**(sbl): **

($f\colon X\to\mathbb{R}_{+\infty}:=\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$* — сублинейная функция*)* $\overset{{\rm def}}{\Longleftrightarrow}$ *(выполнено (ph) с $\mathbb{R}_{*}^{+}$ и (sa)), где $+\infty:=\sup\mathbb{R}$, $t+(+\infty):=+\infty=:(+\infty)+t$ при $t\in\mathbb{R}_{+\infty}$, $t\cdot(+\infty):=+\infty$ при $t\in\mathbb{R}_{*}^{+}$.

Такие функции называют ещё гиполинейными (hypolinear [40], [43]) или расширенными cублинейными (extended sublinear [63], [64, замечание 1.4]) функционалами при одном из трёх соглашений

[TABLE]

Примеры функций $\boldsymbol{+\infty}\colon x\mapsto+\infty$ и $x\mapsto\begin{cases}+\infty,\;&x\in\mathbb{R}^{+},\\ 0,\;&x\notin\mathbb{R}^{+},\end{cases}$ $x\in X$, показывают, что (sbl) $\nRightarrow$ (12).

В такой постановке задача описания нижней огибающей существенно усложняется и далеко не тривиальна. Представляется уместной пространная цитата из [43, 1. Введение]: ‘‘A surprising fact occurs when, as requested in many constraint optimization problem, $p$ is allowed to take the value $+\infty$. When the dimension of the underlying space $X$ is infinite, S. Simons provided (see333Наше дополнение к цитате — см. также [64, замечание 1.4], [40, (1.6)]. the paragraph of the article [63] entitled ‘Counterexample to 4’, at p.114) a highly counterintuitive example: a hypolinear function (that is a convex ph-function) $p\colon X\to\mathbb{R}_{+\infty}$ such that the inequality $g\leq p$ is false for all the linear mappings $g\colon X\to\mathbb{R}$. Arguably, the better illustration of the difficulty to address this case is the unusually large number of flawed Hahn – Banach type theorems for hypolinear functions which can be found in the mathematical literature; in the articles, [40], [66]–[67] the reader can find examples and criticism of as much as seven such incorrect results published between 1969 and 2005.’’ Эту цитату можно дополнить еще одним более поздним восьмым некорректным результатом [47, теорема 2.4] 2013 г., где вместо сублинейных (sbl)+(12) рассматриваются противоположные им суперлинейные функционалы со значениями в $\mathbb{R}_{-\infty}:=\mathbb{R}\cup\{-\infty\}$. Этот результат по существу используется для доказательства [47, теоремы 2.7, 2.8, следствия 2.5, 2.9], но опровергается контрпримерами [63, Counterexample to (3), p. 113], [64, замечание 2.3], [40, пример (1.6)].

2. Топологические версии

По-видимому, первая топологическая версия теоремы Хана – Банаха об огибающей для расширенных сублинейных (sbl)+(12) функционалов была дана Л. Хёрмандером [48] ещё в 1955 г., хотя, как отмечено в [18, 0.1, теорема 8 и далее], как минимум, в конечномерном случае $X=\mathbb{R}^{n}$ для расширенных выпуклых функционалов она была известна и Г. Минковскому.

Теорема Хёрмандера** (об огибающей [48], [40, (3.6), (4.8)], [9, ${\bf 2}^{\circ}$], [8, 4.7.3(3)]).**

Пусть $X$ — локально выпуклое пространстве, $f\colon X\to\mathbb{R}_{+\infty}$ или $f=\boldsymbol{-\infty}$ — тожественная $-\infty$ на $X$; $C(X)\subset\mathbb{R}^{X}$ — векторное пространство над $\mathbb{R}$ непрерывных функций.

1. I.

Следующие два утверждения эквивалентны.

1. 1.

Функция $f$ сублинейная в смысле (sbl) полунепрерывная снизу на $X$ или $f=\boldsymbol{-\infty}$. 2. 2.

$f$* совпадает со своей нижней огибающей по выпуклому конусу $C(X)\cap\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X}$:*

[TABLE] 2. II.

Эквивалентны следующие два утверждения.

1. 1.

$f\in(\mathbb{R}_{+\infty})^{X}$* — выпуклая в смысле (6) полунепрерывная снизу или $f=\boldsymbol{-\infty}$ на $X$.* 2. 2.

$f$* совпадает со своей нижней огибающей по выпуклому конусу $C(X)\cap\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X}$:*

[TABLE]

<<Индивидульное>> развитие теоремы Хёрмандера для отдельных $x$ даёт

Теорема Энгера – Лембке** (об огибающей [40, теоремы (3.4), (4.7)]).**

Пусть $X$ — локально выпуклое пространство и $P\subset X$ — выпуклый конус, $K\subset X$ — выпуклое множество.

1. I.

Пусть $f\colon P\to\mathbb{R}_{+\infty}$ — гиполинейный функционал на $P$, полунепрерывный снизу в нуле. Тогда следующие два утверждения эквивалентны.

1. 1.

$f$* — полунепрерывная снизу в $x\in P$.* 2. 2.

f(x)=\sup\bigl{\{}l(x)\colon l\in C(X)\cap\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X},\;l\bigm{|}_{P}\leq f\bigm{|}_{P}\bigr{\}}. 2. II.

Пусть $f\colon K\to\mathbb{R}_{+\infty}$ — расширенная выпуклая функция, локально ограниченная снизу. Тогда следующие два утверждения эквивалентны.

1. 1.

$f$* — полунепрерывная снизу в $x\in P$.* 2. 2.

f(x)=\sup\bigl{\{}a(x)\colon a\in C(X)\cap\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X},\;a\bigm{|}_{K}\leq f\bigm{|}_{K}\bigr{\}}.

Введение топологии позволяет дать и законченную векторную версию теоремы Хана – Банаха о мажорируемом продолжении линейных функционалов [40, введение, стр. 127–128]: для гиполинейного функционала $f$ на векторном пространстве $X$ и для $l_{0}\in\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X_{0}}$, удовлетворяющего ограничению $l_{0}\leq f$ на векторном подпространстве $X_{0}\subset X$ линейное продолжение $l\in\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X}$, удовлетворяющее условиям $l=l_{0}$ на $X_{0}$ и $l\leq f$ на $X$, возможно тогда и только тогда, когда функция x\mapsto\inf_{x^{\prime}\in X_{0}}\bigl{(}f(x+x^{\prime})-l_{0}(x^{\prime})\bigr{)}, $x\in X$, ограничена снизу в некоторой окрестности нуля в сильнейшей локально выпуклой топологии на $X$, в которой непрерывны все функции из $\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X}$.

Теорема Хана – Банаха – Канторовича [8, 1.4.13–14] в порядковой версии в духе предыдущих теорем об огибающей формулируется в подразделе 1, где она непосредственно потребуется.

Ниже, в подразделе 2, даются возможные общие постановки рассматриваемых в работе задач, мотивированные для нас прежде всего предшествующими применениями в теории функций [19]–[31], [51]. При этом мы вынуждены повторить часть основных определений и соглашений из [34].

2. Основные определения и постановки задач

1. Упорядоченные множества. Пополнение

Пусть ${\rm S}$ — (частично) упорядоченное множество [1] с отношением порядка (рефлексивным, транзитивным, антисимметричным) $\leqslant$, т. е. пара $({\rm S},\leqslant)$; $\,\geqslant\,$ и $\,>\,$ — соотв. обратные к $\,\leqslant\,$ и строгому порядку $\,<\;:=\;\leqslant\,\cap\,\neq\,$.

Пара $({\rm S},\leqslant)$, или множество ${\rm S}$, полное снизу (соотв. сверху), если для каждого непустого подмножества ${\rm S}_{0}\subset{\rm S}$ существует точная нижняя (соотв. верхняя) граница $\inf{\rm S}_{0}$ (соотв. $\sup{\rm S}_{0}$). Множество ${\rm S}$ полное, если ${\rm S}$ полное и снизу, и сверху. Подмножество ${\rm S}_{0}\subset{\rm S}$ ограничено снизу (соотв. сверху), если существует элемент $s_{0}\in{\rm S}$, для которого $s_{0}\leqslant s$ (соотв. $s\leqslant s_{0}$) для всех $s\in{\rm S}_{0}$. Множество ${\rm S}$ порядково полное снизу (соотв. сверху) [1], [8], [9], [41]444lower (upper resp.) order-complete, если для каждого непустого ограниченного снизу (соотв. сверху) подмножества ${\rm S}_{0}\subset{\rm S}$ существует $\inf{\rm S}_{0}\in{\rm S}$ (соотв. $\sup{\rm S}_{0}\in{\rm S}$). Множество ${\rm S}$ порядково полное, если ${\rm S}$ порядково полное и снизу, и сверху.

Пусть ${\rm S}$ — порядково полное. Если $\inf{\rm S}$ и/или $\sup{\rm S}$ не существуют, то часто удобна и полезна операция (полу-)пополнения порядково полного ${\rm S}$ до полного путём добавления символов** $\inf{\rm S}$ и/или $\sup{\rm S}$, если таких элементов первоначально в ${\rm S}$ нет. Конкретнее555В [8, 1.3.3] использованы иные обозначения, например, ${\rm S}^{\bullet}$ вместо ${{\rm S}}^{\uparrow}$.,

1. [$\downarrow$]

${\rm S}_{\downarrow}:=\{\inf{\rm S}\}\cup{\rm S}$ — полупополнение, или полурасширение, множества ${\rm S}$ вниз, или влево; 2. [$\uparrow$]

${{\rm S}}^{\uparrow}:={\rm S}\cup\{\sup{\rm S}\}$ — полупополнение, или полурасширение, множества ${\rm S}$ вверх, или вправо; 3. [$\updownarrow$]

${{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}}:={\rm S}_{\downarrow}\cup{\rm S}^{\uparrow}$ — пополнение, или расширение, множества ${\rm S}$ в порядковом смысле,

где порядок $\leqslant\,$ продолжен естественным путём на эти пополнения, т. е. $\inf{\rm S}\leqslant s\leqslant\sup{\rm S}$ для всех элементов $s\in{{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}}$. Очевидно, пополнения ${{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}},{{\rm S}_{\downarrow}},{\rm S}^{\uparrow}$ с таким отношением порядка соотв. полное, полное снизу, полное сверху упорядоченные множества. Для пустого множества $\varnothing$ полагаем

[TABLE]

2. Верхняя и нижняя огибающие

Для множеств $X,Y$ традиционно через $Y^{X}$ обозначаем множество всех функций (отображений, операторов, функционалов, форм и проч.)666 В основном будем использовать термин функция, индифферентный к природе множеств $X,Y$ [12, Функция]. $f\colon X\rightarrow Y$, $f\colon x\mapsto f(x)$ или $x\mapsto f(x)$, $x\in X$, определённых на $X$.

Для $X_{0}\subset X$ через f\bigm{|}_{X_{0}} обозначаем сужение $f$ на $X_{0}$. Пишем \varphi\bigm{|}_{X_{0}}=f\bigm{|}_{X_{0}} и говорим, что <<$\varphi=f$* на $X_{0}$>>, если $\varphi(x)=f(x)$ для всех $x\in X_{0}$. В противном случае \varphi\bigm{|}_{X_{0}}\neq f\bigm{|}_{X_{0}}. Пишем \varphi\bigm{|}_{X_{0}}\leqslant f\bigm{|}_{X_{0}} и говорим, что <<$\varphi\leq f$ на $X_{0}$*>>, или $\varphi$ минорирует $f$, или $f$ мажорирует $\varphi$, на $X_{0}$, если $\varphi(x)\leqslant f(x)$ для всех $x\in X_{0}$. Пусть $Y=\rm{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}$ — пополнение порядково полного $({\rm S},\leqslant\,)$. Отношение f\bigm{|}_{X}\leqslant\varphi\bigm{|}_{X} определяет отношение поточечного порядка на множестве функций \bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X}. Очевидно, множество \bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X} с отношением поточечного порядка, обозначаемого тем же символом $\,\leqslant\,$, полное, а именно: для произвольного F\subset\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X} всегда существуют функции

[TABLE]

когда на $X$ рассматриваются и постоянные функции

[TABLE]

а для \varnothing\subset\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X} в соответствии с соглашением (1) определены точные границы

[TABLE]

Определение 2.1**.**

Пусть $({\rm S},\leqslant\,)$ порядково полное, f\in\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X}, $X_{0}\subset X$, L\subset\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X_{0}}. Нижнюю (соотв. верхнюю) ${L}$-огибающую, или огибающую по ${L}$ для $f$ на $X_{0}$, определяем как функцию

[TABLE]

Очевидно, всегда

[TABLE]

Функция $f\colon X\rightarrow Y$ с упорядоченными $(X,\leq)$, $(Y,\leq)$ возрастающая на $X$, если для любых $x_{1},x_{2}\in X$ из $x_{1}\leq x_{2}$ следует $f(x_{1})\leq f(x_{2})$. При этом, если $F\subset Y^{X}$, то множество всех возрастающих функций $f\in F$ обозначаем как $\operatorname{incr}F$. Функция $f\in Y^{X}$ строго возрастающая на $X$, если для любых $x_{1},x_{2}\in X$ из $x_{1}<x_{2}$ следует $f(x_{1})<f(x_{2})$. Аналогично для убывания. Функция (строго) возрастающая или убывающая — (строго) монотонная. Функции $f\mapsto{\operatorname{lenv}}_{{L}}^{f}$ и $f\mapsto{\operatorname{uenv}}^{{L}}_{f}$, f\in\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X}, возрастающие на \bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X}, но, вообще говоря, не строго возрастающие.

3. Общие постановки задач

В приложениях роль $X$ из определения 2.1 часто играет некоторый класс функций и ${\rm S}=\mathbb{R}$ [25]–[29]. Основные проблемы, диктуемые определением 2.1 в свете теорем Хана–Банаха, Хёрмандера, Энгера – Лембке, —

Задача 1**.**

Описать функции f\in\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X}, равные своей нижней (верхней) ${L}$-огибающей на $X_{0}$.

Задача 2**.**

Указать метод(ы) конструктивного построения ${L}$-огибающих для f\in\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X}.

Именно эти задачи 1, 2 решают для определенных классов ${L}$ и функций $f$ результаты подраздела 1 — см. и ср. (4), (8), (10), (11), (13), (14) и пп. I2 и II2 теоремы Энгера – Лембке.

В связи с приложениями не меньший, а для некоторых применений (см., например, [23]–[31]) даже бо́льший интерес, чем задача 1, представляет собой менее требовательная

Задача 3**.**

Описать те f\in\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X}, для которых {\operatorname{lenv}}_{{L}}^{f}\neq\inf{\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X}} или {\operatorname{uenv}}^{{L}}_{f}\neq\sup{\bigl{(}{\rm S}^{{}_{\uparrow}}_{{}^{\downarrow}}\bigr{)}^{X}}.

Если порядково полное ${\rm S}$ изначально дополнительно снабжено какими-либо алгебраическими операциями, согласованными с отношением порядка $\,\leqslant\,$, то продолжения этих операций на пополнения, или (полу)расширения, вообще говоря, с ограничениями, могут определяется в каждом конкретном случае в зависимости от проблематики (см. и ср. [10, § 4], [8, 1.3.1]).

Для пары добавляемых символов $\inf{\rm S}\notin{\rm S}$ и/или $\sup{\rm S}\notin{\rm S}$ часто, в особенности, если на ${\rm S}$ используется бинарная операция в аддитивной форме как основная, по аналогии с расширениями вещественной прямой $\mathbb{R}$ (c операцией сложения) вверх и/или вниз, используются соотв. обозначения $-\infty:=\inf{\rm S}$ и/или $+\infty:=\sup{\rm S}$, а также ряд других в иных ситуациях [34, 1.2].

Для множества $S$ через ${{\rm card\,}}S$ обозначаем число элементов в $S$ или мощность множества $S$.

Векторные пространства рассматриваются над полем $\mathbb{R}$, если не оговорено противное. Нулевой вектор различных векторных пространств обозначаем одним и тем же символом [math]. Задачи 1–3 будут решаться на проективных пределах векторных решёток по аналогии с [23]–[29], [6] для функций (функционалов) со значениями в пространстве Канторовича ${\mathbb{K}}$ и в ${\mathbb{K}}_{\pm\infty}$.

Пусть $X,Y$ — упорядоченные векторные пространства. Через $X^{+}$ обозначаем множество всех положительных векторов в $X$. В частности, для подмножества $F\subset Y^{X}$ тогда $F^{+}$ — подмножество всех положительных функций $f$ из $F$, для которых по определению $f(X^{+})\subset Y^{+}$. Порядково полная векторная решётка $\mathbb{K}$, ${\rm card\,}\mathbb{K}>1$, — пространство Канторовича [1], [8], [9]. При этом $\mathbb{K}$ не полное ни снизу, ни сверху и777Здесь и далее ссылки над знаками бинарных отношений означают, что эти соотношения как-то связаны с приведёнными ссылками, например, вытекают из них.

[TABLE]

3. Проективный предел упорядоченных векторных пространств

Для векторных пространств $X,Y$ через $\operatorname{lin}Y^{X}$ обозначаем векторное пространство всех линейных функций $l$ из $Y^{X}$, удовлетворяющих (3). В случае упорядоченных векторных пространств $X,Y$ полагаем $\operatorname{lin}^{+}Y^{X}:=(\operatorname{lin}Y^{X})^{+}$. Очевидно, в этом случае $\operatorname{lin}^{+}Y^{X}=\operatorname{incr}\operatorname{lin}Y^{X}$.

Пусть $(X_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ — последовательность упорядоченных векторных пространств над $\mathbb{R}$ и $\leq_{n}$ — отношение порядка на $X_{n}$. Проекцию вектора $x=(x_{n})$ из векторного пространства-произведения $\prod_{n}X_{n}$ на пространство $X_{n}$ обозначаем через ${{\rm pr}}_{n}x=x_{n}$. На $\prod_{n}X_{n}$ вводится естественный порядок ${\leqslant}\,$, а именно: $x=(x_{n})\leqslant x^{\prime}=(x_{n}^{\prime})$ в $\prod_{n}X_{n}$, если и только если $x_{n}\leq_{n}x_{n}^{\prime}$ для всех $n\in{\mathbb{N}}$.

Определение 3.1**.**

Пусть $p_{n}\in\operatorname{lin}^{+}X_{n}^{X_{n+1}}$. Векторное подпространство $X$ в $\prod_{n}X_{n}$, c условием

[TABLE]

снабженное индуцированным с $\prod_{n}X_{n}$ отношением порядка $\leqslant\,$, называем проективным пределом последовательности $(X_{n})$ относительно $(p_{n})$ и обозначаем $X=\projlim_{n}X_{n}p_{n}$.

В записи $\projlim_{n}$ нижний индекс $n$ часто опускаем. Из (1) сразу следует, что

[TABLE]

1. Проективный предел векторных решёток

Упорядоченное векторное пространство — векторная решётка, если для всякой пары векторов в нём существует точная верхняя граница $\sup$, а значит, и точная нижняя граница $\inf$. Операцию $\sup$ в упорядоченном множестве $S$ для её идентификации обозначаем как $S\text{-}\sup$. В частности, для $(X_{n},\leq_{n})$ наряду с обозначением $X_{n}$-$\sup$ иногда, для краткости, используем и обозначение $n$-$\sup$. Аналогично для $\inf$. Проективный предел $X=\projlim X_{n}p_{n}$ векторных решёток $X_{n}$ называем правильным проективным пределом, если $p_{n}$  сохраняют $\sup$ для конечных множеств, т. е.

[TABLE]

Предложение 3.1**.**

Для правильного предела $X=\projlim X_{n}p_{n}$ векторных решёток $X_{n}$

1. (i)

если $B\subset X$ и ${\rm card\,}{{\rm pr}}_{n}B<\infty$ для каждого $n\in\mathbb{N}$, то существует

[TABLE] 2. (ii)

$X$* и все ${{\rm pr}}_{n}X$ с индуцированным с $X_{n}$ отношением порядка ${\leq}_{n}$ — векторные решётки;* 3. (iii)

для любого $n\in\mathbb{N}$ сужения p_{n}\bigm{|}_{{{\rm pr}}_{n+1}X} сохраняют $\sup$ для конечных множеств.

Доказательство.

(i). Положим $v=(v_{n})\in\prod_{n}X_{n}$, где $v_{n}=X_{n}\text{-}\sup{\rm pr}_{n}B$. Очевидно, v=\bigl{(}\prod_{n}X_{n}\bigr{)}\text{-}\sup B. Поскольку $p_{n}$ сохраняют $\sup$, используя (3) и (2), получаем

[TABLE]

Значит для $x=v$ имеет место правая часть (1) и $v\in X$ по определению 3.1. Так как порядок на $X$ индуцирован с $\prod_{n}X_{n}$, то $v=X\text{-}\sup B\in X$ и (i) доказано.

(ii). Пространство-произведение векторных решёток — векторная решётка [1], [5, гл.II, § 1]. По п. (i) ввиду (4) с ${\rm card\,}B=2$ его векторное подпространство $X$ — тоже векторная решётка. Пусть теперь $x_{n},x^{\prime}_{n}\in{{\rm pr}}_{n}X$, то есть существуют $x,x^{\prime}\in X$, для которых ${{\rm pr}}_{n}x=x_{n}$, ${{\rm pr}}_{n}x^{\prime}=x^{\prime}_{n}$. Поскольку $X$ — векторная решётка, существует вектор $v=X\text{-}\sup\,\{x,x^{\prime}\}\in X$, для которого $X_{n}\text{-}\sup\,\{x_{n},x^{\prime}_{n}\}={{\rm pr}}_{n}v\in{{\rm pr}}_{n}X$. Таким образом,

[TABLE]

и ${{\rm pr}}_{n}X$ — векторная решётка, что завершает доказательство п. (ii).

(iii). Из (5) для $x_{n},x_{n}^{\prime}\in{\rm pr}_{n}X$ при $n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$ имеем

[TABLE]

Отсюда все p_{n-1}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X} при $n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$ сохраняют $\sup$ для конечных множеств из ${\rm pr}_{n}X$. ∎

Предел $X=\projlim X_{n}p_{n}$ называем приведённым, если ${{\rm pr}}_{n}X=X_{n}$ для каждого $n\in\mathbb{N}$ (ср. с [38, гл.IV, § 4]). Не умаляя общности общности, любой проективный предел можно считать приведённым, поскольку X=\projlim X_{n}p_{n}\overset{\eqref{1_2}}{=}\projlim\,({{\rm pr}}_{n}X)\,\bigl{(}p_{n}\bigm{|}_{X_{n+1}}\bigr{)}. При этом все отображения p_{n}\bigm{|}_{X_{n+1}}\colon{\rm pr}_{n+1}X\to{\rm pr}_{n}X в силу (2) сюръективные. Более того, если первоначально рассматривался правильный проективный предел векторных решёток, то по предложению 3.1 после перехода к приведённому проективному пределу мы по-прежнему имеем дело с правильным проективным пределом векторных решёток ${\rm pr}_{n}X$ относительно p_{n}\bigm{|}_{X_{n+1}}.

Замечание 3.1**.**

Векторные решётки $X$ и $Y$ решёточно изоморфны, если существует линейная биекция из $X$ на $Y$, сохраняющая порядок. Каждый приведённый правильный проективный предел $X=\projlim X_{n}p_{n}$ векторных решёток для произвольной возрастающей подпоследовательности $(n_{k})_{k\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{N}$ решёточно изоморфен такому же пределу $X=\projlim_{k}X_{n_{k}}q_{k}$ относительно $q_{k}=p_{n_{k}}\circ p_{n_{k}+1}\circ\dots\circ p_{n_{k+1}-1}\;:\;X_{n_{k+1}}\to X_{n_{k}}$, где $\circ$ — операция суперпозиции.

2. Примеры

1. Векторные решётки-произведения и решётки из последовательностей

Рассмотрим $(X_{k},\leq_{k}^{\prime})_{k\in\mathbb{N}}$ — последовательность векторных решеток c отношением порядка $\leq_{k}^{\prime}$. Тогда каждое конечное произведение $\prod_{k=1}^{n}X_{k}$ — векторная решетка при естественном отношении порядка $(x_{1},\dots,x_{n})\leq_{n}(x^{\prime}_{1},\dots,x^{\prime}_{n})$, $x_{k}\in X_{k}$, при $x_{k}\leq_{k}^{\prime}x_{k}^{\prime}$ для всех $k=1,\dots,n$. Для

[TABLE]

пространство-произведение $\prod_{k\in\mathbb{N}}X_{k}$ векторных решеток решёточно изоморфно приведённому правильному проективному пределу $\projlim\,(\prod_{k=1}^{n}X_{n})p_{n}$ векторных решёток $\prod_{k=1}^{n}X_{n}$ относительно $p_{n}$. Таким образом, каждое пространство-произведение счетного числа векторных решёток можно рассматривать как приведённый правильный проективный предел.

В частном случае совпадающих при всех $k$ векторных решёток $(X_{k},\leq_{k}^{\prime})=(X,\leq^{\prime})$, $k\in\mathbb{N}$, пространство-произведение $X^{\mathbb{N}}$ — это векторная решётка всех последовательностей $(x_{k})_{k\in\mathbb{N}}$ с векторами $x_{k}\in X$, которую можно решёточно изоморфно отождествить с приведённым правильным проективным пределом $\projlim\,(X^{n})p_{n}$ относительно $p_{n}$ из (6).

2. Векторные решётки функций и мер

Пусть $D$ — топологическое хаусдорфово пространство. Для $S\subset D$ через $\operatorname{clos}S$, $\operatorname{int}S$ и $\partial S$ обозначаем соотв. замыкание, внутренность и границу $S$ в $D$. Подмножество $S$ предкомпактно в $D$ (пишем $S\Subset D$), если $\operatorname{clos}S$ — компакт в $D$.

Предполагаем, что для $D$ существует исчерпание последовательностью $(D_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ предкомпактных открытых подмножеств из $D$:

[TABLE]

Различные достаточные условия для существования исчерпания (7) давно известны и не раз отмечались и использовались [24, § 1, перед (1.3)], [47, лемма 2.1]:

1. (a)

$D$ локально компактное и представимо в виде объединения счётного числа компактных подмножеств, т. е. $\sigma$-компактно [39, следствие 2.77]. 2. (b)

$D$ удовлетворяет первой аксиоме счётности и полукомпактное (hemicompact), т. е. существует последовательность компактных подмножеств со свойством: каждое компактное подмножество содержится в некотором компактном подмножестве из этой последовательности.

По каждому из условий (a)$\Leftarrow$(b) пространство $D$ нормальное, в силу чего любая непрерывная функция из $\mathbb{R}^{\operatorname{clos}D_{n}}$ — сужение какой-либо непрерывной функции из $\mathbb{R}^{D}$ на $\operatorname{clos}D_{n}$.

3. Векторная решётка $C(D)$

Для $S\subset D$ через $C(S)\subset\mathbb{R}^{S}$ обозначаем векторную решётку непрерывных на $S$ функций с отношением поточечного порядка на $S$. При исчерпании (7) для p_{n}\colon f\mapsto f\bigm{|}_{\operatorname{clos}D_{n}}, $f\in C(\operatorname{clos}D_{n+1})$, определён проективный предел векторных решеток $\projlim_{n}C(\operatorname{clos}D_{n})p_{n}$, который для нормального $D$ приведённый правильный и его можно решёточно изоморфно отождествить с $C(D)$.

4. Векторная решётка $L_{\operatorname{loc}}^{p}(D,\mu)$

Пусть $p\in\mathbb{R}_{*}^{+}$, $D$ локально компактное с исчерпанием (7) и $\mu$ — вещественная мера Радона на $D$; L^{p}\bigl{(}\operatorname{clos}D_{n},\mu\bigm{|}_{\operatorname{clos}D_{n}}\bigr{)} — векторная решётка над $\mathbb{R}$ функций-классов эквивалентности на $\operatorname{clos}D_{n}$ по отношению $=$ $\mu$-п. в. и отношением порядка $\leq$ $\mu$-п. в. поточечно [5, гл. IV, § 2, 6]. Тогда определён приведённый правильный проективный предел L^{p}_{\operatorname{loc}}(D,\mu)=\projlim_{n}L^{p}\bigl{(}\operatorname{clos}D_{n},\mu\bigm{|}_{\operatorname{clos}D_{n}}\bigr{)}p_{n} над $\mathbb{R}$ локально интегрируемых в $p$-ой степени модулем по мере Радона $\mu$ функций-классов эквивалентности, где p_{n}\colon f\mapsto f\bigm{|}_{\operatorname{clos}D_{n}}, f\in L^{p}\bigl{(}\operatorname{clos}D_{n+1},\mu\bigm{|}_{\operatorname{clos}D_{n+1}}\bigr{)}.

5. Векторная решётка мер ${\operatorname{Meas}}(D)$

Пусть $D$ локально компактное с исчерпанием (7), ${\operatorname{Meas}}(\operatorname{clos}D_{n})$, $n\in\mathbb{N}$, — векторные решётки вещественных мер Радона на компактах $\operatorname{clos}D_{n}$, p_{n}\colon\mu\mapsto\mu\bigm{|}_{D_{n}} — сужение на $\operatorname{clos}D_{n}$ меры $\mu\in{\operatorname{Meas}}(\operatorname{clos}D_{n+1})$ [5, гл. III]. Тогда векторная решетка всех вещественных мер Радона ${\operatorname{Meas}}(D)$ на $D$ [5, гл. III, § 2] можно рассматривать как приведённый проективный предел $\projlim_{n}{\operatorname{Meas}}(\operatorname{clos}D_{n})p_{n}$.

3. Положительные аддитивные функции на проективном пределе

Определение 3.2**.**

Пусть $(X,+)$ и $(Y,+)$ — полугруппы по сложению. Функция $a\colon X\to Y$ аддитивная, если $a(x_{1}+x_{2})=a(x_{1})+a(x_{2})$ для любых $x_{1},x_{2}\in X$. Множество всех таких аддитивных функций обозначаем как $\operatorname{add}Y^{X}$. Когда $X,Y$ — упорядоченные векторные пространства, то полагаем $\operatorname{add}^{+}Y^{X}:=(\operatorname{add}Y^{X})^{+}$, $\operatorname{add}^{\operatorname{reg}}Y^{X}:=\operatorname{add}^{+}Y^{X}-\operatorname{add}^{+}Y^{X}$ (ср. с [1, I.1.4.III]).

Элементарно устанавливается

Предложение 3.2**.**

Пусть $(X,+)$ и $(Y,+)$ — аддитивные упорядоченные группы. Тогда для любой функции $a\in\operatorname{add}Y^{X}$ имеем $a(0)=0\in Y$, $a(-x)=-a(x)$. Когда $X,Y$ — упорядоченные векторные пространства, то $\operatorname{add}^{+}Y^{X}:=(\operatorname{add}Y^{X})^{+}=\operatorname{incr}\operatorname{add}Y^{X}$.

Предложение 3.3** (ср. с [24, предложение 2.1]).**

Пусть $X=\projlim X_{n}p_{n}$ — приведённый правильный проективный предел векторных решёток $(X_{n},\leq_{n})$. Для любой функции $a\in\operatorname{add}^{+}\mathbb{R}^{X}$ существуют номер $n_{a}\in\mathbb{N}$ и последовательность функций $a_{n}\in\operatorname{add}^{+}\mathbb{R}^{X_{n}}$, $n\geqslant n_{a}$, для которых

[TABLE]

при всех $n\geq n_{a}$. Обратно, если $a_{n}\in\operatorname{add}^{+}\mathbb{R}^{X_{n}}$, то (8) определяет $a\in\operatorname{add}^{+}\mathbb{R}^{X}$.

Очевидно, $\operatorname{add}^{+}\mathbb{R}^{X}$, $\operatorname{add}^{+}\mathbb{R}^{X_{n}}$ здесь можно заменить соотв. на $\operatorname{add}^{\operatorname{reg}}\mathbb{R}^{X}$, $\operatorname{add}^{\operatorname{reg}}\mathbb{R}^{X_{n}}$.

Доказательство.

Часть <<Обратно, …>> очевидна, поскольку суперпозиция $a\circ{\rm pr}_{n}$ аддитивной положительной функции $a$ с линейной положительной функцией ${\rm pr}_{n}$ аддитивна и положительна.

Покажем сначала, что найдётся номер $n\in\mathbb{N}$, для которого $a_{n}(x)=a_{n}(x^{\prime})$, как только ${{\rm pr}}_{n}x={{\rm pr}}_{n}x^{\prime}$, т. е. $a(x-x^{\prime})=0$ при ${{\rm pr}}_{n}(x-x^{\prime})=0$. Предположим, что такого номера $n$ не существует. Тогда по предложению 3.2 для каждого $m\in\mathbb{N}$ найдётся элемент $x^{(m)}\in X$, для которого

[TABLE]

Из последнего строгого неравенства, переходя от $x^{(m)}$ к $k_{m}x^{(m)}$ с достаточно быстро растущей последовательностью $(k_{m})\subset\mathbb{N}$, по аксиоме Архимеда можно добиться того, что последовательность \bigl{(}a(k_{m}x^{(m)})\bigr{)}_{m\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}, где $a(k_{m}x^{(m)})=k_{m}a(x^{(m)})$, не ограничена сверху в $\mathbb{R}$ и ${{\rm pr}}_{m}(k_{m}x^{(m)})=k_{m}{{\rm pr}}_{m}x^{(m)}\overset{\eqref{2_3}}{=}0$. В силу этих равенств и линейности $p_{1},p_{2},\dots,p_{m-1}$ для каждого $k_{m}x^{(m)}$ имеем ${{\rm pr}}_{n}(k_{m}x^{(m)})=0$ при $n\leqslant m$, то есть при фиксированном $n$ лишь конечное число элементов последовательности $({{\rm pr}}_{n}k_{m}x^{(m)})_{m\in\mathbb{N}}$ отлично от нуля в векторной решётке $X_{n}$. Следовательно, по предложению 3.1(i) последовательность $(k_{m}x^{(m)})_{m\in\mathbb{N}}$ ограничена сверху в $X$. По предложению 3.2 функция $a\in\operatorname{add}^{+}\mathbb{R}^{X}$ возрастающая. Отсюда и последовательность \bigl{(}a(k_{m}x^{(m)})\bigr{)}_{m\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R} ограничена сверху в $\mathbb{K}$. Противоречие!

Пусть $n$ — номер, для которого $a(x)=a(x^{\prime})$, как только ${{\rm pr}}_{n}x={{\rm pr}}_{n}x^{\prime}$. Тогда $a_{n}$ однозначно определяется по (8). Аддитивность $a_{n}$ следует из линейности ${{\rm pr}}_{n}$ и аддитивности $a$. Кроме того, если $x_{n}\in{{\rm pr}}_{n}X$, $0{\leq}_{n}x_{n}$, то существует $x\in X$, для которого ${{\rm pr}}_{n}x=x_{n}$. По предложению 3.1(i) имеем $x_{n}\overset{\eqref{supB}}{=}{{\rm pr}}_{n}{x^{+}}$, где $x^{+}=\sup\{x,0\}\geqslant 0$ в $X$, и $a_{n}(x_{n})=a_{n}({{\rm pr}}_{n}{x^{+}})=a(x^{+})\geqslant 0$. Установлена положительность $a_{n}$. Теперь можно положить $n_{a}=n$. Остальные $a_{m}\in\operatorname{add}^{+}(\mathbb{R}^{X_{m}})$ однозначно определяются при $m\geqslant n$ по правилу a_{m}(x_{m}):=a_{n}\bigl{(}p_{n}\circ p_{n+1}\circ\dots\circ p_{m-1}(x_{m})\bigr{)}, $m\geqslant n\geqslant n_{a}$. ∎

Замечание 3.2**.**

Предложение 3.3 обобщает тот известный факт, что линейные (положительные) функционалы на $C(D)$ и $L_{\operatorname{loc}}^{p}(D,\mu)$ из подраздела 2 имеют компактный носитель.

Замечание 3.3**.**

Предложение 3.3 остается в силе и для $a\in\operatorname{add}^{+}{\mathbb{G}}^{X}$, когда $(\mathbb{G},+)$ — аддитивная линейно упорядоченная архимедова группа. Доказательство почти дословно такое же.

Следствие 3.1** ([24, предложение 2.1]).**

В условиях предложения 3.3 для каждой функции $l\in\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X}$ существуют $n_{l}\in\mathbb{N}$ и последовательность $l_{n}\in\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X_{n}}$, $n\geqslant n_{l}$, для которых

[TABLE]

при всех $n\geq n_{l}$. Обратно, если $l_{n}\in\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X_{n}}$, то (10) определяет $l\in\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X}$.

Здесь $\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X}$, $\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X_{n}}$ можно заменить соотв. на $\operatorname{lin}^{\operatorname{reg}}\mathbb{R}^{X}:=\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X}-\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X}$, $\operatorname{lin}^{\operatorname{reg}}\mathbb{R}^{X_{n}}$.

Доказательство.

В дополнение к предложению 3.3 достаточно добавить, что суперпозиция двух линейных функций линейна. ∎

Определение 3.3**.**

Пусть $X,Y$ — векторные пространства. Функция $a\colon X\to Y$ аффинная, если имеет место (7). Множество всех аффинных функций из $Y^{X}$ обозначаем как $\operatorname{aff}Y^{X}$. Когда $X,Y$ — упорядоченные векторные пространства, то $\operatorname{aff}^{+}Y^{X}:=(\operatorname{aff}Y^{X})^{+}$.

Предложение 3.4**.**

$a\in\operatorname{aff}X^{Y}$, если и только если имеем единственное представление

[TABLE]

Пусть $X,Y$ — упорядоченные векторные пространства. Тогда

1. (i)

$a\in\operatorname{incr}\operatorname{aff}Y^{X}$, если и только если в представлении (11) $l_{a}\in\operatorname{lin}^{+}Y^{X}$; 2. (ii)

если в (11) одновременно $l_{a}\in\operatorname{lin}^{+}Y^{X}$ и $a(0)\in Y^{+}$, то $a\in\operatorname{aff}^{+}Y^{X}$; 3. (iii)

если $a\in\operatorname{aff}^{+}\mathbb{R}^{X}$, то одновременно $a(0)\in\mathbb{R}^{+}$ и $l_{a}\in\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X}$.

Нам не удалось найти доказательства этого тривиального предложения. Поэтому даём полное

Доказательство.

Достаточность очевидна. Единственность представления (11) следует из $l_{a}(0)=0\in Y$. Для доказательства необходимости положим $l_{a}:=a-\boldsymbol{1}a(0)$. Тогда $l_{a}(0)=0\in Y$ и $l_{a}$ — аффинная функция. Следовательно, при любом $t\in[0,1]$ имеем l_{a}(tx)=a\bigl{(}tx+(1-t)0\bigr{)}-a(0)=ta(x)+(1-t)a(0)-a(0)=t\bigl{(}a(x)-a(0)\bigr{)}=tl_{a}(x). При $\mathbb{R}\ni t>1$ имеем $1/t\in(0,1)$ и l_{a}(x)=l_{a}\bigl{(}(1/t)tx\bigr{)}=(1/t)l_{a}(tx), откуда $l_{a}(tx)=tl_{a}(x)$ при $t\in\mathbb{R}^{+}$, т. е. $l_{a}$ — положительно однородная функция. При этом $l_{a}(x)+l_{a}(-x)=\frac{1}{2}l_{a}(2x)+\frac{1}{2}l_{a}(-2x)=l_{a}(0)=0$ и $l_{a}(x)=-l_{a}(-x)$ для любого $x\in X$. Это доказывает однородность $l_{a}$ на $X$. Аддитивность $l_{a}$ следует из цепочки равенств l_{a}(x_{1}+x_{2})=l_{a}\bigl{(}\frac{1}{2}2x_{1}+\frac{1}{2}2x_{2}\bigr{)}=\frac{1}{2}l_{a}(2x_{1})+\frac{1}{2}l_{a}(2x_{2})=\frac{1}{2}2l_{a}(x_{1})+\frac{1}{2}2l_{a}(x_{2})=l_{a}(x_{1})+l_{a}(x_{2}).

Утверждения (i) и (ii) очевидны. Если $a\in\operatorname{aff}^{+}Y^{X}$, то, очевидно, $a(0)\in Y^{+}$.

(iii). Пусть теперь $Y=\mathbb{R}$ и $a\in\operatorname{aff}^{+}\mathbb{R}^{X}$. Тогда $a(0)\in\mathbb{R}^{+}$. Предположим, что $l_{a}(x)<0$ для некоторого $x\in X^{+}$. Тогда для любого $n\in\mathbb{N}$ имеем $0\leq a(nx)=l_{a}(nx)+a(0)=nl_{a}(x)+a(0)$ и $0>nl_{a}(x)>-a(0)$, что невозможно по аксиоме Архимеда для $\mathbb{R}$. ∎

Следствие 3.2**.**

В условиях предложения 3.3 для любых $a\in\operatorname{incr}\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X}$ или $a\in\operatorname{aff}^{+}\mathbb{R}^{X}$ существуют $n_{l}\in\mathbb{N}$ и последовательность $l_{n}\in\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X_{n}}$, $n\geqslant n_{l}$, для которых

[TABLE]

при всех $n\geq n_{l}$, где $a_{0}=a(0)\in\mathbb{R}$, а при $a\in\operatorname{aff}^{+}\mathbb{R}^{X}$ ещё и $a_{0}\in\mathbb{R}^{+}$. Обратно, если $l_{n}\in\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X_{n}}$, то (12) при $a_{0}\in\mathbb{R}$ определяет $a\in\operatorname{incr}\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X}$, а при $a_{0}\in\mathbb{R}^{+}$ определяет $a\in\operatorname{aff}^{+}\mathbb{R}^{X}$.

Очевидно, здесь множества $\operatorname{incr}\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X}$, $\operatorname{aff}^{+}\mathbb{R}^{X}$, $\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X_{n}}$ можно заменить соотв. на множества $\operatorname{incr}^{\operatorname{reg}}\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X}:=\operatorname{incr}\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X}-\operatorname{incr}\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X}$, $\operatorname{aff}^{\operatorname{reg}}\mathbb{R}^{X}:=\operatorname{aff}^{+}\mathbb{R}^{X}-\operatorname{aff}^{+}\mathbb{R}^{X}$, $\operatorname{lin}^{\operatorname{reg}}\mathbb{R}^{X_{n}}$, но без каких-либо дополнительных ограничений на $a_{0}\in\mathbb{R}$.

Доказательство.

Следует из сочетания предложений 3.4 и 3.3. ∎

Замечание 3.4**.**

По общей схеме из [4, гл. 3] можно определить проективный предел несчётного семейства упорядоченных векторных пространств, как это сделано в [56]. В то же время нам не известно естественное обобщение утверждений подраздела 3, в частности, следствия 3.1, в таком варианте, хотя ранее и была предпринята такая попытка в [56, § 2], оказавшаяся неудачной, поскольку некорректна [56, лемма 2].

Замечание 3.5**.**

Если $X$ — векторная решётка, то по теореме Рисса–Канторовича $\operatorname{lin}^{\operatorname{reg}}\mathbb{R}^{X}$ — векторная решётка и даже пространство Канторовича с положительным конусом $\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X}$ [1, теорема 6(3.1)]. Следствие 3.1 означает, что упорядоченное векторное пространство $\operatorname{lin}^{\operatorname{reg}}\mathbb{R}^{X}$, где $X=\projlim_{n}X_{n}p_{n}$ — приведённый правильный проективный предел векторных решёток $X_{n}$, решёточно изоморфно индуктивному пределу $\injlim_{n}i_{n}(\operatorname{lin}^{\operatorname{reg}}\mathbb{R}^{X_{n}})$ относительно положительных линейных функций $i_{n}\colon\operatorname{lin}^{\operatorname{reg}}\mathbb{R}^{X_{n}}\rightarrow\operatorname{lin}^{\operatorname{reg}}\mathbb{R}^{X_{n+1}}$, сопряжённых к линейным отображениям $p_{n}$. Не останавливаясь подробно на соответствующих определениях, отметим, что они легко конструируются по общей схеме [4, гл. 3, § 2] и по аналогии с индуктивными пределами топологических векторных пространств [17], [38, гл. II и гл. IV, § 4].

4. Верхняя огибающая функции на проективном пределе

Всюду далее $\mathbb{K}$ — пространство Канторовича с отношением порядка $\leq$. При этом отношения порядка и на иных упорядоченных множествах могут обозначаться тем же символом $\leq$.

1. Случай произвольной функции

Неравенство из правой части (5) даёт

Предложение 4.1**.**

Пусть $f\overset{\eqref{Kinfty}}{\in}\mathbb{K}_{\pm\infty}^{X}$. Тогда

[TABLE]

Если правая часть (1) $=-\infty$, то в (1) имеет место равенство.

В свете предложения 4.1 и в связи с задачами 1–3 будем исследовать условия, при которых правая часть в неравенстве из (1) принадлежит $\mathbb{K}$ и в (1) возможно равенство, или противоположное неравенство, в случае проективного предела векторных решёток $X$.

Определение 4.1**.**

Пусть $X=\projlim X_{n}p_{n}$ — приведённый правильный проективный предел векторных решёток $X_{n}$, $f\in\mathbb{K}_{\pm\infty}^{X}$. Функцию

[TABLE]

называем $\sup$-проекцией $f$ на $X_{n}$. Функции $\sup{\text{-}}{\rm pr}_{n}f$ могут принимать значение $\pm\infty$.

Предложение 4.2**.**

В обозначениях определения 4.1 при $f_{n}:=\sup{\text{-}}{\rm pr}_{n}f\colon X_{n}\to\mathbb{K}_{\pm\infty}$

1. (i)

$f_{n}({\rm pr}_{n}x)\geqslant f_{n+1}({\rm pr}_{n+1}x)\geqslant f(x)$* для любых $x\in X$ и $n\in{\mathbb{N}}$;* 2. (ii)

для любых $X_{0}\subset X$, $L\subset\mathbb{K}^{X_{0}}$, $n\in\mathbb{N}$, $L_{n}\subset\mathbb{K}^{{\rm pr}_{n}X_{0}}$ при условии включения

[TABLE]

имеет место неравенство

[TABLE]

Доказательство.

(i). Последнее неравенство сразу следует из определения 4.1, а первое — из (2) и соотношения (1) определения 3.1 элементов проективного предела.

(ii). Пусть правая часть (3) $<+\infty$ и f_{n}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X_{0}}\leqslant l_{n}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X_{0}}, $l_{n}\in L_{n}$. Для $l:=l_{n}\circ{{\rm pr}}_{n}\overset{\eqref{LnL}}{\in}L$ по определению 4.1 при всех $x\in X_{0}$ имеем $f(x)\overset{\eqref{eq3_3}}{\leqslant}f_{n}({\rm pr}_{n}x)\leqslant l_{n}({\rm pr}_{n}x)=l(x)$. Отсюда f\bigm{|}_{X_{0}}\leqslant l\bigm{|}_{X_{0}} и $l_{n}({\rm pr}_{n}x)$ не меньше левой части (4). Переходя к $\inf$ по всем l_{n}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X_{0}}\geqslant f_{n}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X_{0}}, получаем требуемое неравенство (4). ∎

Определение 4.2**.**

Пусть $(x^{(k)})_{k\in\mathbb{N}}$ — последовательность элементов упорядоченного множества $X$. Её верхний предел определяется как

[TABLE]

если все $\sup$ и $\inf$ в правой части существуют. Последовательность $(x^{(k)})$ из $X=\projlim_{n}X_{n}p_{n}$ стабилизируется к $x\in X$, если ${{\rm pr}}_{n}x^{(k)}={{\rm pr}}_{n}x$ при всех $k\geqslant n$.

Предложение 4.3**.**

Пусть $(x^{(k)})$ — последовательность из $X=\projlim_{n}X_{n}p_{n}$. Тогда

1. (i)

если ${{\rm pr}}_{k}x^{(k)}={{\rm pr}}_{k}x$ для бесконечной последовательности номеров $k$, то последовательность $(x^{(k)})$ стабилизируется к $x\in X$; 2. (ii)

если $X$ — приведённый правильный проективный предел векторных решёток и $(x^{(k)})$ стабилизируется к $x\in X$, то она ограничена и существует $\limsup_{k\to\infty}x^{(k)}\overset{\eqref{lsxk}}{=}x$.

Доказательство.

(i). Сразу следует из (1)–(2).

(ii). Пусть $x=(x_{n})$. При фиксированном $n$ среди ${{\rm pr}}_{n}x^{(k)}$, $k\in{\mathbb{N}}$, лишь конечное число проекций отличается от $x_{n}$. По предложению 3.1(i) и определению (5) получаем требуемое. ∎

Теорема 1**.**

Пусть $X=\projlim X_{n}p_{n}$ — приведённый правильный проективный предел векторных решёток $X_{n}$, ${f}\in\mathbb{K}_{\pm\infty}^{X}$, ${f}_{n}\overset{\eqref{eq3_3}}{:=}\sup{\text{-}}{\rm pr}_{n}{f}$, $n\in\mathbb{N}$, а также при некотором $n\in\mathbb{N}$ имеем ${f}_{n}(X_{n})\subset\mathbb{K}_{-\infty}$, $X_{0}\subset X$, $L\subset\mathbb{K}^{X_{0}}$, $L_{n}\subset\mathbb{K}^{{\rm pr}_{n}X_{0}}$, $n\in\mathbb{N}$, существует $n_{f}(X_{0})\in\mathbb{N}$, для которого

[TABLE]

Для некоторого $x\in X_{0}$ предполагаем, что выполнено одно из следующих двух условий:

1. (i)

для любой стабилизирующейся к $x$ последовательности $(x^{(k)})$ из $X$ выполнено

[TABLE] 2. (ii)

$f$* — возрастающая функция на $X$ и для любой убывающей и стабилизирующейся к $x\in X_{0}$ последовательности $(x^{(k)})$ из $X$ имеем*

[TABLE]

Если для $L$ и $L_{n}$ выполнено (3) при всех $n\geq n_{f}(X_{0})$, то

[TABLE]

Доказательство.

Пусть для некоторого $c\in\mathbb{K}$ выполнено неравенство

[TABLE]

Ввиду (3) по предложению 4.2(ii) согласно (4) и (6) при $n\geq n_{f}(X_{0})\geq n_{f}$ имеем

[TABLE]

Отсюда по определению 4.1 для $f_{n}$ при любом $n\geq n_{f}(X_{0})$ найдётся $x^{(n)}\in X$, для которого

[TABLE]

Ввиду последнего равенства последовательность $(x^{(n)})$ по предложению 4.3 стабилизируется к $x$ и $\limsup\limits_{k\to\infty}x^{(k)}=x$. Из (11) по условию (7) из п. (i) получаем

[TABLE]

Отсюда и из (10) следует неравенство, противоположное (1), т. е. имеем (9).

Покажем, что из (ii) следует (i), т. е. (8) влечёт за собой (7). Последовательность $(x^{(k)})$, стабилизирующаяся к $x$, по предложению 4.3(ii) ограничена. Значит существуют ${\hat{x}}^{(k)}=\sup_{n\geqslant k}x^{(n)}$. По построению $({\hat{x}}^{(k)})$ — убывающая последовательность, которая по построению и предложению (3.1) также стабилизируется к $x$ и $\inf{\hat{x}}^{(k)}=x$. Если выполнено условие (8), то в силу возрастания ${f}$ по определению верхнего предела (5) имеем

[TABLE]

Таким образом, выполнено (7) и доказательство завершено. ∎

Замечание 4.1**.**

Согласно замечанию 3.1 в теореме 1 достаточно требовать выполнения условий (6) и (3) не при всех $n\geq n_{f}(X_{0})$, а только для какой-либо бесконечной последовательности номеров $n\geq n_{f}(X_{0})$.

2. Случай суперлинейной функции

$C$ — конус в векторном пространстве $X$, если для любого $t\in\mathbb{R}$ имеем $tC:=\{tc\colon c\in C\}\subset C$ при любом $t\in\mathbb{R}_{*}^{+}$. Конус $C$ выпуклый, если для любых $x_{1},x_{2}\in X$ имеем $x_{1}+x_{2}\in C$. Конус $C$ с вершиной [math], если $0\in C$.

Определение 4.3**.**

Функция $f\colon C\rightarrow\mathbb{K}_{-\infty}$ на выпуклом конусе $C$ из векторного пространства $X$ суперлинейная, если она супераддитивная: $f(x_{1}+x_{2})\geqslant f(x_{1})+f(x_{2})$, для всех $x_{1},x_{2}\in C$, и строго положительно однородная: $f(tx)=tf(x)$, для всех $x\in C$ и $t\in\mathbb{R}_{*}^{+}$. Если, в дополнение, $C$ c вершиной в [math], то требуем $f(0)\in\mathbb{K}$, откуда $f(0)\overset{\eqref{v0}}{=}0$. Множество всех таких суперлинейных функций обозначаем как $\operatorname{spl}\mathbb{K}_{-\infty}^{C}$, $\mathbb{K}_{-\infty}^{C}:=(\mathbb{K}_{-\infty})^{C}$, $\operatorname{spl}^{\uparrow}\mathbb{K}_{-\infty}^{C}:=\operatorname{spl}\mathbb{K}_{-\infty}^{C}\cup\{\boldsymbol{+\infty}\}$, где функция $\boldsymbol{+\infty}$ — тождественная $+\infty\in\mathbb{K}_{+\infty}$ из (6). Каждая функция $f\in\operatorname{spl}\mathbb{K}_{-\infty}^{C}$ может быть канонически продолжена на всё $X$ как функция из $f\in\operatorname{spl}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$ значениями $-\infty$ вне $C$, но функция $\boldsymbol{+\infty}\in\operatorname{spl}^{\uparrow}\mathbb{K}_{-\infty}^{C}$ канонически продолжается на $X$ как функция $\boldsymbol{+\infty}\in\operatorname{spl}^{\uparrow}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$. Аналогично определяются множества всех сублинейных функций $\operatorname{sbl}\mathbb{K}_{+\infty}^{C}:=-\operatorname{spl}\mathbb{K}_{-\infty}^{C}$, $\operatorname{sbl}_{\downarrow}\mathbb{K}_{+\infty}^{C}:=-\operatorname{spl}^{\uparrow}\mathbb{K}_{-\infty}^{C}\ni\boldsymbol{-\infty}$ и их канонические продолжения на $X$: значением $+\infty$ на $X\setminus C$ для функций из $\operatorname{sbl}\mathbb{K}_{+\infty}^{X}$, но $\boldsymbol{-\infty}\in\operatorname{sbl}_{\downarrow}\mathbb{K}_{+\infty}^{X}$ для $\boldsymbol{-\infty}\in\operatorname{sbl}_{\downarrow}\mathbb{K}_{+\infty}^{C}$.

В связи с приложениями к теории функций здесь и далее, в отличие от подраздела 1 из введения, нам удобнее иметь дело не с сублинейными, а с <<противоположными>> им суперлинейными функциями и их верхними огибающими по пространству линейных функций.

Предложение 4.4**.**

В обозначениях определений 4.1–4.3 пусть $f\in\operatorname{spl}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$, а также $f_{n}\overset{\eqref{eq3_3}}{:=}\sup{\text{-}}{\rm pr}_{n}f$. Если $f_{n}(X_{n})\subset\mathbb{K}_{-\infty}$, то $f_{n}\in\operatorname{spl}\mathbb{K}_{-\infty}^{X_{n}}$.

Доказательство.

Пусть $x_{n},x_{n}^{\prime}\in X_{n}$. Супераддитивность следует из цепочки (не)равенств

[TABLE]

Из определения 4.1 в силу положительной однородности проекции ${{\rm pr}}_{n}$ легко следует строго положительная однородность $f_{n}$. Кроме того, по определению 4.1 и условию $f_{n}(X_{n})\subset\mathbb{K}_{-\infty}$ имеем $0=f(0)\leqslant f_{n}(0)<+\infty$, т. е. $f_{n}(0)\in\mathbb{K}$. Таким образом, $f_{n}\in\operatorname{spl}\mathbb{K}_{-\infty}^{X_{n}}$. ∎

Предложение 4.5**.**

Пусть $X:=\projlim X_{n}p_{n}$ приведённый правильный проективный предел векторных решёток, $X_{0}$ — векторное подпространство в $X$. Тогда ${\rm pr}_{n}X_{0}$ — векторное подпространство в $X_{n}$ и для $L:=\operatorname{lin}\mathbb{K}^{X_{0}}$ и $L_{n}:=\operatorname{lin}\mathbb{K}^{{\rm pr}_{n}X_{0}}$ при всех $n\in\mathbb{N}$ выполнено (3).

Доказательство.

Из линейности проекции ${\rm pr}_{n}$ образ ${\rm pr}_{n}X_{0}$ векторного подпространства $X_{0}$ — векторное подпространство в $X_{n}$, а для любой функции $l_{n}\in\operatorname{lin}\mathbb{K}^{{\rm pr}_{n}X_{0}}$ суперпозиция двух линейных функций $l:=l_{n}\circ{\rm pr}_{n}\in\operatorname{lin}\mathbb{K}^{X_{0}}$, что означает $L_{n}\circ{\rm pr}_{n}\overset{\eqref{LnL}}{\subset}L$. ∎

Из теоремы 1 и предложения 4.5 получаем

Следствие 4.1**.**

Пусть выполнены условия теоремы 1 до п. (ii) включительно, а также дополнительно $f\in\operatorname{spl}^{\uparrow}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$ и $L,L_{n}$ выбраны как в предложении 4.5. Тогда имеем (9).

Доказательство.

При $f\in\operatorname{spl}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$ достаточное для (9) условие (3) — в предложении 4.5. При $f=\boldsymbol{+\infty}$ равенство (9) ввиду соглашений (6) очевидно. ∎

Замечание 4.2**.**

Замечание 4.1 остаётся в силе и для следствия 4.1.

3. Случай вогнутой функции

Определение 4.4**.**

Функция $f\colon K\rightarrow\mathbb{K}_{-\infty}$ вогнутая на выпуклом подмножестве $K$ векторного пространства $X$, если <<противоположная>> функция $-f\colon K\to\mathbb{K}_{+\infty}$, $(-f)(x)=-f(x)$ при $x\in K$, — выпуклая в смысле (6) c заменой $X$ на $K$. Множество всех таких вогнутых функция обозначаем как $\operatorname{conc}\mathbb{K}_{-\infty}^{K}$, $\operatorname{conc}^{\uparrow}\mathbb{K}_{-\infty}^{K}\overset{\eqref{Kinfty}}{:=}(\operatorname{conc}\mathbb{K}_{-\infty}^{K})\cup\{\boldsymbol{+\infty}\}$. Каждая функция $f\in\operatorname{conc}\mathbb{K}_{-\infty}^{K}$ может быть канонически продолжена на всё $X$ как функция из $f\in\operatorname{conc}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$ значениями $-\infty$ вне $K$, но функция $\boldsymbol{+\infty}\in\operatorname{conc}^{\uparrow}\mathbb{K}_{-\infty}^{K}$ канонически продолжается на $X$ как функция $\boldsymbol{+\infty}\in\operatorname{conc}^{\uparrow}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$. Аналогично $\operatorname{conv}\mathbb{K}_{+\infty}^{K}$ — множество всех выпуклых функций на $K$ c каноническими выпуклым продолжения значением $+\infty$ на $X\setminus K$, но функция $\boldsymbol{-\infty}\overset{\eqref{Kinfty}}{\in}\operatorname{conv}_{\downarrow}\mathbb{K}_{+\infty}^{K}:=(\operatorname{conv}\mathbb{K}_{+\infty}^{K})\cup\{\boldsymbol{-\infty}\}$ канонически продолжается на $X$ как $\boldsymbol{-\infty}\in\operatorname{conv}_{\downarrow}\mathbb{K}_{+\infty}^{X}$. В частности, $\operatorname{aff}\mathbb{K}^{X}=\operatorname{conc}\mathbb{K}^{X}\cap\operatorname{conv}\mathbb{K}^{X}$.

Также в связи с приложениями к теории функций здесь, в отличие от подраздела 1 из введения, нам удобнее иметь дело не с выпуклыми, а с вогнутыми функциями и их верхними огибающими по пространству аффинных функций.

Предложение 4.6**.**

В обозначениях определений 4.1, 4.2* и 4.3 пусть $f\in\operatorname{conc}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$, а также $f_{n}\overset{\eqref{eq3_3}}{:=}\sup{\text{-}}{\rm pr}_{n}f$. Если $f_{n}(X_{n})\subset\mathbb{K}_{-\infty}$, то $f_{n}\in\operatorname{conc}\mathbb{K}_{-\infty}^{X_{n}}$.*

Доказательство.

Пусть $x_{n},x_{n}^{\prime}\in X_{n}$, $t\in(0,1)$. Выпуклость следует из цепочки (не)равенств

[TABLE]

использующей линейность проекции ${\rm pr}_{n}\colon X\to X_{n}$. ∎

Предложение 4.7**.**

Пусть выполнены условия предложения 4.5. Тогда для $L:=\operatorname{aff}\mathbb{K}^{X_{0}}$ и $L_{n}:=\operatorname{aff}\mathbb{K}^{{\rm pr}_{n}X_{0}}$ при всех $n\in\mathbb{N}$ выполнено (3).

Доказательство.

В предложении 4.5 уже отмечалось, что ${\rm pr}_{n}X_{0}$ — векторное подпространство в ${\rm pr}_{n}X_{0}$, значит корректно определено $L_{n}$. Для любой функции $a_{n}\in\operatorname{aff}\mathbb{K}^{{\rm pr}_{n}X_{0}}$ суперпозиция её с линейной функцией ${\rm pr}_{n}$ даёт $a:=a_{n}\circ{\rm pr}_{n}\in\operatorname{aff}\mathbb{K}^{X_{0}}$, что означает $L_{n}\circ{\rm pr}_{n}\overset{\eqref{LnL}}{\subset}L$. ∎

Из теоремы 1 и предложения 4.7 получаем

Следствие 4.2**.**

Пусть выполнены условия теоремы 1 до п. (ii) включительно, а также дополнительно $f\in\operatorname{conc}^{\uparrow}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$ и $L,L_{n}$ выбраны как в предложении 4.7. Тогда имеем (9).

Доказательство.

При $f\in\operatorname{conc}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$ достаточное для (9) условие (3) — в предложении 4.7. При $f=\boldsymbol{+\infty}$ равенство (9) ввиду соглашений (6) очевидно. ∎

Замечание 4.3**.**

Замечание 4.1 остаётся в силе и для следствия 4.2.

5. Супремальные функции

и выметание

1. Супремальная функция

Определение 5.1**.**

Cупремальной функцией, порождённой функцией $q\in\mathbb{K}^{H}$ относительно $H\subset X$ на упорядоченном множестве $X$ с отношением порядка $\leq$, называем функцию

[TABLE]

Предложение 5.1**.**

Cупремальная функция (1) обладает следующими свойствами.

$\operatorname{spf}_{H,q}(x)\in\mathbb{K}_{+\infty}$, если и только если существует такой элемент $h\in H$, что $h\leq x$. 2. 2.

$\operatorname{spf}_{H,q}$* возрастающая на $X$, по $H$ относительно отношения включения и по $q$ в том смысле, что при $x\leq x^{\prime}\in X$, $H\subset H^{\prime}\subset X$ и для $q^{\prime}\in\mathbb{K}^{H^{\prime}}$ при q\bigm{|}_{H}\leq q^{\prime}\bigm{|}_{H} имеем $\operatorname{spf}_{H,q}(x)\leq\operatorname{spf}_{H^{\prime},q^{\prime}}(x^{\prime})$.* 3. 3.

Пусть $X$ — упорядоченное векторное пространство. Тогда

1. (i)

если $0\in H$ и $q(0)\geq 0$, то $\operatorname{spf}_{H,q}$ — положительная функция; 2. (ii)

если $H$ — конус в $X$ и $q$ — строго положительно однородная функция на $H$, то $\operatorname{spf}_{H,q}$ — строго положительно однородная функция на $X$; если, в дополнение, $H$ содержит отрицательный вектор, т. е. $H\cap(-X^{+})\neq\varnothing$, то $\operatorname{spf}_{H,q}(0)=+\infty$ или $\operatorname{spf}_{H,q}(0)=0$, а также $\operatorname{spf}_{H,q}$ — положительная функция (пишем $\operatorname{spf}_{H,q}\in(\mathbb{K}_{-\infty}^{X})^{+}$); 3. (iii)

если $H$ — выпуклое множество, $\operatorname{spf}_{H,q}(X)\subset\mathbb{K}_{-\infty}$ и $q\in\operatorname{conc}\mathbb{K}^{H}$, то $\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{conc}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$; 4. (iv)

если $H$ — выпуклый конус, $\operatorname{spf}_{H,q}(X)\subset\mathbb{K}_{-\infty}$ и $q$ — суперлинейная функция из $\operatorname{spl}\mathbb{K}^{H}$, то $\operatorname{spf}_{H,q}$ — супераддитивная строго положительно однородная функция на $X$; если, в дополнение, $H\cap(-X^{+})\neq\varnothing$, то $\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{spl}^{+}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}:=(\mathbb{K}_{-\infty}^{X})^{+}\cap\operatorname{spl}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$.

Доказательство.

Пункты 1, 2 и 3i очевидным образом следуют из определения 5.1, (1).

3ii. Пусть $t\in\mathbb{R}_{*}^{+}$. Первая часть о строгой положительной однородности следует из равенств

[TABLE]

Если при этом $H$ содержит отрицательный вектор, то $-\infty\overset{\eqref{eq4_1}}{<}\operatorname{spf}_{H,q}(0)$, откуда либо $\operatorname{spf}_{H,q}(0)=+\infty$, либо, в противном случае, ввиду $\operatorname{spf}_{H,q}(0)=2\operatorname{spf}_{H,q}(0)$, имеем $\operatorname{spf}_{H,q}(0)=0$. B любом из случаев по п. 2 возрастающая на $X$ функция $\operatorname{spf}_{H,q}$ положительна.

3iii. Пусть $t_{1},t_{2}\in\mathbb{R}_{*}^{+}$ и $t_{1}+t_{2}=1$. Тогда для любых $x_{1},x_{2}\in X$ имеет место цепочка (не)равенств

[TABLE]

3iv. Ввиду $+\infty\notin\operatorname{spf}_{H,q}(X)$ и $q\in\operatorname{spl}\mathbb{K}^{H}$ по-прежнему имеет место цепочка (не)равенств (2), но уже для всех $t_{1},t_{2}\in\mathbb{R}_{*}^{+}$ и $x_{1},x_{2}\in X$, что доказывает супераддитивность и строго положительную однородность $\operatorname{spf}_{H,q}$ на $X$. При $H\cap(-X^{+})\neq\varnothing$ и $+\infty\notin\operatorname{spf}_{H,q}(X)$ согласно п. 3ii получаем $\operatorname{spf}_{H,q}(0)=0$ и $\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{spl}^{+}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$. ∎

Предложение 5.2** (ср. с [24, предложение 4.2]).**

Пусть $X=\projlim_{n}X_{n}p_{n}$ — приведённый правильный проективный предел векторных решёток, $n\in\mathbb{N}$, $H\subset X$ и $H_{n}:={\rm pr}_{n}H$, $n\in\mathbb{N}$,

[TABLE]

Тогда в обозначении (1) определения 5.1 супремальная функция $\operatorname{spf}_{H,q}$, порождённая функцией $q$ относительно $H$, через её $\sup$-проекцию $\sup{\text{-}}{\rm pr}_{n}$ из определения 4.1 в обозначении (2) на $X_{n}$ связана с супремальными функциями $\operatorname{spf}_{H_{n},q_{n}}$ равенствами

[TABLE]

Доказательство.

При $x_{n}\in X_{n}$ по определениям 4.1 и 5.1 для левой части (4) имеем

[TABLE]

В то же время для правой части (4) по определению 5.1 имеем

[TABLE]

где $\leq_{n}$ — отношение порядка на $X_{n}$. Если покажем, что множество

[TABLE]

по которому берётся $\sup$ в правой части (5), совпадает с множеством

[TABLE]

по которому берётся $\sup$ в правой части (6), то (5) совпадает с (6) при всех $x_{n}\in X_{n}$ и равенство (4) будет доказано.

Если $h_{n}$ из (7), то $h_{n}{\leq}_{n}x_{n}$, следовательно, множество (7) включается в (8).

Обратно, пусть $h_{n}$ из (8). Существуют элементы $h\in H$ и $x^{\prime}\in X$, для которых $h_{n}={{\rm pr}}_{n}h$, ${{\rm pr}}_{n}x^{\prime}=x_{n}$. Полагаем $x=\sup\{h,x^{\prime}\}$. Тогда ${{\rm pr}}_{n}x=x_{n}\,$ и, очевидно, $h\leqslant x$. Следовательно, (8) содержится в (7), что и требовалось. ∎

2. Выметание и росток функции

Определение 5.2** (обобщение [26, определение 1], [1, III.1.3], [13, гл. XI, § 3, О41]).**

Пусть $X$ — упорядоченное множество с отношением порядка $\leq$, $H\subset X$, $q\in\mathbb{K}^{H}$, $X_{0}\subset X$. Функцию $b\colon X_{0}\to\mathbb{K}_{\pm\infty}$ называем выметанием функции $q$ относительно пары $(H,X_{0})$ и пишем $q{\prec_{H}^{X_{0}}}b$, если для любых $h\in H$ и $x\in X_{0}$ при $h\leq x$ имеем $q(h)\leq b(x)$. Пусть $L\subset\mathbb{K}_{\pm\infty}^{X_{0}}$. <<Луч>>

[TABLE]

следуя [1, III.1.3] и [24, § 4], будем называть ростком функции $q$ относительно тройки $(H,X_{0},L)$.

Элементарную взаимосвязь между супремальной функцией и выметанием даёт

Предложение 5.3** (ср. с [26, предложение 1]).**

В обозначениях определений 5.1 и 5.2

[TABLE]

Так, для $x\in X_{0}$ существование элемента $h\in H$, удовлетворяющего неравенству $h\leq x$, влечёт за собой строгое неравенство -\infty<\inf\bigl{\{}b(x)\colon q{\prec_{H}^{X_{0}}}b\in L\bigr{\}}, т. е. \inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)(x)\bigr{)}\neq-\infty.

Доказательство.

Если в (10) левая часть $=-\infty$ или правая часть равна $=+\infty$, то неравенство (10) очевидно. Если левая часть $\neq-\infty$, то существуют элемент $h\in H$, удовлетворяющий неравенству $h\leq x$. Для любых $H\ni h\leq x\in x_{0}$ при $q\prec_{H}^{X_{0}}b$ имеем $q(h)\leq b(x)$, откуда $\sup_{h\leq x}q(h)\leq b(x)$. Применяя к правой части операцию $\inf$ по всем выметаниям $b$ функции $q$ относительно пары $(H,X_{0})$, получаем первое неравенство в (10). Следующее неравенство в (10) и заключительное утверждение — очевидное следствие из (10) ввиду $L\subset\mathbb{K}_{\pm\infty}^{X_{0}}$. ∎

Замечание 5.1**.**

В свете предложения 5.3 ключевой интерес представляют условия на $(X,\leq)$, $H$, $q$, $X_{0}$, $L$, при которых в (10) имеет место равенство левой и правой частей — задачи 1 и 2 из подраздела 3 введения. Для менее требовательной задачи 3 — условия на те же объекты и на $x$, при которых из \inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)(x)\bigr{)}\neq-\infty следует $\operatorname{spf}_{H,q}(x)\neq-\infty$.

Предложение 5.4**.**

В обозначениях определения 5.2 имеют место следующие свойства.

При $L\subset L^{\prime}\subset\mathbb{K}_{\pm\infty}^{X_{0}}$ для всех $x\in X_{0}$ справедливы соотношения

[TABLE] 2. 2.

Если $L\subset\operatorname{incr}\mathbb{K}_{\pm\infty}^{X_{0}}$, то функция \inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)(\cdot)\bigr{)} возрастающая на $X_{0}$. 3. 3.

Если $H\subset H^{\prime}\subset X$, то для всех $x\in X_{0}$ справедливы соотношения

[TABLE] 4. 4.

Если $q^{\prime}\in\mathbb{K}^{H}$ и q\bigm{|}_{H}\leq q^{\prime}\bigm{|}_{H}, то для всех $x\in X_{0}$ справедливы соотношения

[TABLE] 5. 5.

Если $X_{0}\subset X_{0}^{\prime}\subset X$ и для множества функций $L^{\prime}\subset\mathbb{K}_{\pm\infty}^{X_{0}^{\prime}}$ множество их сужений L^{\prime}\bigm{|}_{X_{0}} на $X_{0}$ включено в $L$, то \inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)(x)\bigr{)}\leq\inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0}^{\prime},L^{\prime})(x)\bigr{)} для $x\in X_{0}$. 6. 6.

Пусть $X$ — упорядоченное векторное пространство. Тогда

1. (i)

если $0\in H$ и $q(0)\geq 0$, то \inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)(\cdot)\bigr{)} — положительная функция на $X_{0}$; 2. (ii)

если $X_{0}$ — конус в $X$, а все функции из $L\subset\mathbb{K}_{\pm\infty}^{X_{0}}$ строго положительно однородны, то \inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)\bigr{)}\subset\mathbb{K}_{\pm\infty}^{X_{0}} — строго положительно однородная функция на $X_{0}$; если, в дополнение, $H\cap(-X^{+})\neq\varnothing$ и $0\in X_{0}$, то \inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)(0)\bigr{)}=+\infty или $=0$, а при $L\subset\operatorname{incr}\mathbb{K}_{\pm\infty}^{X_{0}}$ имеем \inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)(\cdot)\bigr{)}\in(\mathbb{K}_{-\infty}^{X_{0}})^{+}; 3. (iii)

если подмножество $X_{0}\subset X$ — полугруппа по сложению (соотв. выпуклое множество или выпуклый конус c вершиной и $H\cap(-X^{+})\neq\varnothing$) и все функции из $L\subset\mathbb{K}_{-\infty}$ супераддитивны (соотв. вогнуты или суперлинейны) и $\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)(X_{0})\subset\mathbb{K}_{-\infty}^{X_{0}}$, то функция \inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)\bigr{)} супераддитивна (соотв. вогнута или суперлинейна) на $X_{0}$;

Доказательство.

Свойства из пп. 1–5 и 6i легко следуют из определения 5.2.

6ii. Первая часть утверждения следует из равенств с $t\in\mathbb{R}_{*}^{+}$:

[TABLE]

Если в $H\cap(-X^{+})\neq\varnothing$, то $\operatorname{spf}_{H,q}(0)>-\infty$. По предложению 5.3 \inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)(0)\bigr{)}>-\infty. При \inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)(0)\bigr{)}\neq+\infty имеем \inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)(0)\bigr{)}\in\mathbb{K}, откуда в силу строгой положительной однородности \inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)(0)\bigr{)}=0. Это согласно п. 2 при $L\subset\operatorname{incr}\mathbb{K}_{\pm\infty}^{X_{0}}$ даёт положительность функции \inf\bigl{(}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)(\cdot)\bigr{)} на $X_{0}$.

6iii. Для краткости положим $S:=\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)$. Для $t_{1}=t_{2}=1$ (соотв. для $t_{1},t_{2}\in\mathbb{R}_{*}^{+},t_{1}+t_{2}=1$, или для $t_{1},t_{2}\in\mathbb{R}_{*}^{+}$) имеем

[TABLE]

Для доказательства суперлинейности осталось отметить, что по п. 6ii имеем $(\inf S)(0)=0$. ∎

Предложение 5.5** (обобщение [24, предложение 4.1], [1, III.1.3.VI]).**

В обозначениях определений 5.1 и 5.2 имеет место равенство

[TABLE]

Доказательство.

Покажем, что правая часть (15) включена в левую. Пусть

[TABLE]

Допустим, что $h\in H$ и $h\leq x\in X_{0}$. Тогда по определению 5.1(1) супремальной функции, в силу её возрастания на $X$ по предложению 5.1, п. 2, имеем

[TABLE]

Это по определению 5.2 означает, что $b$ — выметание $q$ относительно пары $(H,X_{0})$, т. е. $q\prec_{H}^{X_{0}}b$, и $b\overset{\eqref{sprqb}}{\in}\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)$. Таким образом, правая часть (15) включена в левую.

Обратно, пусть $b\in\operatorname{spr}(q;H,X_{0},L)$. Тогда по определениям супремальной функции (1) и ростка функции $q$ относительно тройки $(H,X_{0},L)$ в определении 5.2 при $x\in X_{0}$ имеем

[TABLE]

Таким образом, левая часть (15) включена в правую. ∎

6. Представление верхней огибающей на проективном пределе

1. Порядково-линейная версия для выпуклого конуса $H$

В этом подразделе $\mathbb{K}$ — пространство Канторовича. Нам потребуется (ср. с теоремами об огибающей из введения)

Теорема Хана – Банаха – Канторовича** (об огибающей [8, 1.4.14(2)]).**

Пусть $X$ — векторное пространство и $f\in\mathbb{K}^{X}$. Попарно эквивалентны следующие три утверждения.

1. 1.

$f$* — суперлинейная функция на $X$, т. е. $f\in\operatorname{spl}\mathbb{K}^{X}$.* 2. 2.

$f(x)\overset{\eqref{luEu}}{=}{\operatorname{uenv}}^{\operatorname{lin}\mathbb{K}^{X}}_{f}(x)$* для всех $x\in X$.* 3. 3.

Значения $f(x)$ тождественно равны

[TABLE]

Определение 6.1**.**

Пусть $(X,\leq)$ — упорядоченное множество, $X_{0}\subset X$. Подмножество $H\subset X$ минорирующее для $X_{0}$, если для любого $x\in X_{0}$ существует такой элемент $h\in H$, что $h\leqslant x$.

Теорема 2**.**

Пусть $X=\projlim X_{n}p_{n}$ — приведённый правильный проективный предел векторных решёток $X_{n}$, $n\in\mathbb{N}$, $q_{1}\in\operatorname{incr}\operatorname{spl}\mathbb{K}^{X_{1}}$ и $q\overset{\eqref{q1qn}}{:=}q_{1}\circ{\rm pr}_{1}$, $X_{0}\subset X$ — векторное подпространство, $H\subset X$ — выпуклый конус, $H_{n}:={\rm pr}_{n}H\subset X_{n}$. Пусть выполнены следующие условия:

1. (i)

каждая проекция $H_{n}$ содержит отрицательный элемент из $X_{n}$, т. е. $H_{n}\cap(-X_{n}^{+})\neq\varnothing$; 2. (ii)

для каждого $n\in\mathbb{N}$ проекция $H_{n}$ минорирующая для ${\rm pr}_{n}X_{0}$; 3. (iii)

для любого ограниченного сверху подмножества $H^{\prime}\subset H$ имеем $\sup H^{\prime}\in H$; 4. (iv)

если последовательность

[TABLE]

убывающая ограниченная снизу в $X$, то $\inf_{k\in\mathbb{N}}h^{(k)}\in H$; 5. (v)

если последовательность (2) убывающая в $X$ и

[TABLE]

то последовательность (2) ограничена снизу в $X$, а также888Из неравенства в (4) следует равенство, поскольку противоположное неравенство для $q\in\operatorname{incr}\mathbb{K}^{X}$ очевидно.**

[TABLE]

Тогда для $L:=\operatorname{lin}\mathbb{K}^{X_{0}}$ супремальная функция $\operatorname{spf}_{H,q}$ со значениями в $\mathbb{K}_{-\infty}$ является супераддитивной и положительно однородной, а также допускает представление

[TABLE]

Если усилить (i) до $H\cap(-X^{+})\neq\varnothing$, то $\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{spl}^{+}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$.

Доказательство.

Будет использована теорема 1 в виде следствия 4.1 из неё.

Положим $f:=\operatorname{spf}_{H,q}$ и $f_{n}=\sup{\text{-}}{\rm pr}_{n}f$, $L:=\operatorname{lin}\mathbb{K}^{X_{0}}$ и $L_{n}:=\operatorname{lin}\mathbb{K}^{{\rm pr}_{n}X_{0}}$. Тогда по предложению 4.5 выполнено (3) и по предложению 5.2 в обозначениях (3) имеет место равенства

[TABLE]

где по предложению 5.1, п. 3iv, с учётом условия (i), $\operatorname{spf}_{H_{n},q_{n}}\in\operatorname{spl}^{+}\mathbb{K}_{-\infty}^{X_{n}}$, т. е. $f_{n}\overset{\eqref{spflln+}}{\in}\operatorname{spl}^{+}\mathbb{K}_{-\infty}^{X_{n}}$. Кроме того, по предложению 5.1, п. 3iv, функция $\operatorname{spf}_{H,q}$ супераддитивная и строго положительно однородная, а при $H\cap(-X^{+})\neq\varnothing$ ещё и $\operatorname{spf}_{H,q}(0)=0$, $\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{spl}^{+}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$.

Напомним, что ${\rm pr}_{n}X_{0}$ — векторное подпространство в $X_{n}$ по предложению 4.5. Рассмотрим сужения f_{n}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X_{0}}=\operatorname{spf}_{H_{n},q_{n}}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X_{0}}. В правой части здесь — суперлинейная функция на ${\rm pr}_{n}X_{0}$ со значениями только в $\mathbb{K}$ по определению 5.1, равенство (1), супремальной функции \operatorname{spf}_{H_{n},q_{n}}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X_{0}} и по условию (ii) о минорировании. Таким образом, f_{n}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X_{0}}\in\operatorname{spl}^{+}\mathbb{K}^{{\rm pr}_{n}X_{0}}. Тогда по теореме Хана – Банаха – Канторовича об огибающей, применённой в части импликации 1$\Rightarrow$2 в векторном пространстве ${\rm pr}_{n}X_{0}$, имеем f_{n}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X_{0}}\overset{\eqref{luEu}}{=}{\operatorname{uenv}}^{\operatorname{lin}\mathbb{K}^{{\rm pr}_{n}X_{0}}}_{f_{n}|_{{\rm pr}_{n}X_{0}}} на ${\rm pr}_{n}X_{0}$. Последнее равенство означает, что выполнено условие (6) теоремы 1.

Функция $f=\operatorname{spf}_{H,q}$ — возрастающая на $X$ по п. 2 предложения 5.1. Проверим выполнение условия (ii) теоремы 1. Для этого требуется, чтобы для любой убывающей и стабилизирующейся к $x\in X_{0}$ последовательности $(x^{(k)})$ из $X$ было выполнено неравенство (8). По определению 4.2

[TABLE]

По определению 5.1 супремальной функции

[TABLE]

Последовательность $(a_{k})_{k\in\mathbb{N}}$ — убывающая. При $\inf_{k\in\mathbb{N}}a_{k}=-\infty$ условие (8) выполнено автоматически. Поэтому далее убывающая последовательность $(a_{k})_{k\in\mathbb{N}}$ ограничена в $\mathbb{K}$ и

[TABLE]

По условию (iii) существует убывающая в $X$ последовательность

[TABLE]

для которой в силу возрастания $q_{1}$ и $q=q_{1}\circ{\rm pr}_{1}$ имеем равенства

[TABLE]

Пусть сначала выполнено (3), т. е. $\inf_{k\in\mathbb{N}}q(h^{(k)})\in\mathbb{K}$. Тогда по условию (v) последовательность (2) ограничена снизу в $X$ и по условию (iv) существует

[TABLE]

а из (10) и стабилизации последовательности $(x^{(k)})$ к $x\in X_{0}$ следует

[TABLE]

Из условия (v) доказываемой теоремы и из (10) по построению (12) вектора $h\in H$ вытекает

[TABLE]

Следовательно, согласно (8) и (13), для некоторого $h\in H$, $h\overset{\eqref{eq5_8}}{\leqslant}x$, выполнено

[TABLE]

По определению 5.1 супремального функционала $\operatorname{spf}_{H,q}$ и ввиду (8) это означает, что

[TABLE]

Таким образом, в случае ограниченной снизу последовательности $(h^{(k)})_{k\in\mathbb{N}}$ выполнено (8).

Если же (3) не выполнено, т. е. $q(h^{(1)})\geq\inf_{k\in\mathbb{N}}q(h^{(k)})=-\infty$ и по условию (iv) последовательность (2) не ограничена снизу, то согласно (11) имеем $\inf_{k\in\mathbb{N}}a_{k}=-\infty$. Как уже отмечалось выше, при $\inf_{k\in\mathbb{N}}a_{k}=-\infty$ условие (8), или (14), выполнено автоматически.

По теореме 1 в виде следствия 4.1 заключаем, что суперлинейная функция $f=\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{spl}\mathbb{K}_{-\infty}^{X}$ допускает описание через верхнюю огибающую на $X_{0}$:

[TABLE]

По равенству (15) предложения 5.5 правая часть здесь совпадает с правой частью (5). ∎

Следствие 6.1** (развитие [24, теорема 5.1]).**

Пусть $\mathbb{K}:=\mathbb{R}$ и выполнены все условия теоремы 2 за исключением условий (iii) и (iv), которые заменяем на одно условие

1. (iii–iv)

для любой ограниченной в $X$ последовательности (2) существует верхний предел

[TABLE]

Тогда функция $\operatorname{spf}_{H,q}$ такая же, как в теореме 2 и выполнено заключение (5), где $L:=\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X_{0}}$ можно заменить на $\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X_{0}}$, если в $H$ есть отрицательный вектор, т. е. $H\cap(-X^{+})\neq\varnothing$.

Доказательство.

Будет использована

Лемма 6.1**.**

Для каких бы то ни было условий на подмножество $H\subset X$ условие (iii–iv) эквивалентно сочетанию условий (iv) теоремы 2 и

1. ($\rm iii^{\prime}$)

для любой ограниченной сверху в $X$ последовательности (2) имеем $\sup_{k\in\mathbb{N}}h^{(k)}\in H$.

Доказательство леммы 6.1.

Достаточность условий (iv) теоремы 2 и ($\rm iii^{\prime}$) для выполнения условия (iii–iv) очевидна по определению верхнего предела в (15), или в (5).

Обратно, пусть выполнено условие условия (iii–iv). Если $h,h^{\prime}\in H$, то для счётной последовательности $b:=(h,h^{\prime},h,h^{\prime},\dots)$ чередующихся пар $h,h^{\prime}$ по условию (iii–iv) имеем

[TABLE]

Таким образом, точная верхняя граница любого конечного подмножества из $H$ принадлежит $H$. Отсюда, если последовательность (2) ограничена сверху, то новая последовательность \bigl{(}\sup_{k\leq n}h^{(k)}\bigr{)}_{n\in\mathbb{N}}\subset H ограничена и по условию (iii–iv)

[TABLE]

Это означает, что выполнено условие ($\rm iii^{\prime}$). Кроме того, для любой убывающей ограниченной снизу, а значит и ограниченной, последовательности (2) её верхний предел, если он существует, равен точной нижней границе этой последовательности. Таким образом, из условия (iii–iv) следует условие (iv) теоремы 2. ∎

Условие ($\rm iii^{\prime}$) слабее условия (iii) теоремы 2, поэтому нам придётся изменить часть доказательства теоремы 2. Далее приведём лишь те этапы доказательства, которые для $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ отличаются от соответствующих частей доказательства теоремы 2. Изменения начинаем сразу после (9).

Пусть $\varepsilon\in\mathbb{R}_{*}^{+}$. Ввиду (9) и (8) найдётся вектор $h_{\varepsilon}^{(k)}\in H$, для которого

[TABLE]

Так как последовательность $(h_{\varepsilon}^{(k)})_{k\in\mathbb{N}}$ ограничена сверху, по условию ($\rm iii^{\prime}$) существуют векторы

[TABLE]

которые образуют убывающую последовательность (2). При этом согласно (16) ввиду стабилизации $(x^{(k)})_{k\in\mathbb{N}}\subset X$ из (7) к $x=(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}\in X_{0}$, $x_{n}:={\rm pr}_{n}x\in X_{n}$, имеем

[TABLE]

Пусть сначала выполнено (3), т. е. $\inf_{k\in\mathbb{N}}q(h^{(k)})\in\mathbb{R}$. Тогда по условию (v) последовательность (2) ограничена снизу в $X$ и по условию (iv) имеем (12), а из (17) и стабилизации последовательности $(x^{(k)})$ к $x\in X_{0}$ следует (13), т. е. $h\leqslant x$. Из условия (v) доказываемой теоремы и из (16) по построению (12) вектора $h\in H$ вытекает

[TABLE]

Отсюда для произвольного $\varepsilon\in\mathbb{R}_{*}^{+}$ при некотором, зависящем от $\varepsilon$, $h\in H$, $h\overset{\eqref{eq5_8}}{\leqslant}x$, выполнено

[TABLE]

По определению 5.1 супремального функционала $\operatorname{spf}_{H,q}$ согласно (8) это означает, что

[TABLE]

Это, ввиду произвола в выборе $\varepsilon\in\mathbb{R}_{*}^{+}$, даёт (14). Теперь повторяем рассуждения и выкладки после (14) до конца доказательства теоремы 2. Осталось заменить $\operatorname{lin}\mathbb{K}^{X_{0}}$ на $\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X_{0}}$ в (5).

Лемма 6.2**.**

Пусть в условиях и обозначениях теоремы 2 до п. (i) включительно $\mathbb{K}:=\mathbb{R}$, $l\in\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X_{0}}$ и $q\prec_{H}^{X_{0}}l$, $H\cap(-X^{+})\neq\varnothing$. Тогда $l\in\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X_{0}}$, т. е. функция $l$ положительна на $X_{0}$.

Доказательство леммы 6.2.

Поскольку в $H$ существует отрицательный вектор, из строго положительной однородности $\operatorname{spf}_{H,q}$ по предложению 5.1, п. 3ii, имеем $\operatorname{spf}_{H,q}(0)=0$. Из равенства (15) предложения 5.5 и определения 5.2 ростка в (9) имеем $\operatorname{spf}_{H,q}\leq l$ на $X_{0}$. По предложению 5.1, п. 3iv, ввиду условия $H\cap(-X^{+})\neq\varnothing$ имеем $\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{spl}^{+}\mathbb{R}_{-\infty}^{X}$. Пусть $x\in X_{0}^{+}$. Тогда

[TABLE]

что доказывает положительность $l$ на $X_{0}$. ∎

Применение леммы 6.2 завершает доказательство следствия 6.1. ∎

2. Векторно-аффинная версия для выпуклого множества $H$

Теорема 3**.**

Пусть $X$ и $X_{0}\subset X$ те же, что и в теореме 2, но $q_{1}\in\operatorname{incr}\operatorname{conc}\mathbb{R}^{X_{1}}$ и $q\overset{\eqref{q1qn}}{:=}q_{1}\circ{\rm pr}_{1}$, $H\subset X$ — выпуклое множество, $H_{n}={\rm pr}_{n}H\subset X_{n}$, $\mathbb{K}:=\mathbb{R}$. Пусть выполнены условия (ii) и (v) из теоремы 2, а также условие (iii–iv) из следствия 6.1. Тогда для $L:=\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X_{0}}$ вогнутая функция $\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{conc}\mathbb{R}_{-\infty}^{X}$ допускает представление (5).

Если $0\in H$ и $q_{1}(0)\geq 0$, то $\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{conc}^{+}\mathbb{R}_{-\infty}^{X}$, а $L=\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X_{0}}$ в (5) можно заменить на

[TABLE]

Доказательство.

Будет использована теорема 1 в виде следствия 4.2 из неё.

Положим $f:=\operatorname{spf}_{H,q}$ и $f_{n}=\sup{\text{-}}{\rm pr}_{n}f$, $L:=\operatorname{aff}\mathbb{K}^{X_{0}}$ и $L_{n}:=\operatorname{aff}\mathbb{K}^{{\rm pr}_{n}X_{0}}$. Тогда по предложению 4.7 выполнено (3) и по предложению 5.2 в обозначениях (3) имеет место равенство (6), где по предложению 5.1, п. 3iii, имеем $\operatorname{spf}_{H_{n},q_{n}}\in\operatorname{conc}\mathbb{K}_{-\infty}^{X_{n}}$, т. е. $f_{n}\overset{\eqref{spflln+}}{\in}\operatorname{conc}\mathbb{K}_{-\infty}^{X_{n}}$, а также $f=\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{conc}\mathbb{R}_{-\infty}^{X}$ . Напомним, что ${\rm pr}_{n}X_{0}$ — векторное подпространство в $X_{n}$ по предложению 4.5. Рассмотрим сужения f_{n}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X_{0}}=\operatorname{spf}_{H_{n},q_{n}}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X_{0}}. В правой части здесь — вогнутая функция на ${\rm pr}_{n}X_{0}$ со значениями исключительно в $\mathbb{R}$ по определению 5.1, равенство (1), супремальной функции \operatorname{spf}_{H_{n},q_{n}}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X_{0}} и по условию (ii) из теоремы 2 о минорировании. Таким образом, f_{n}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X_{0}}\in\operatorname{conc}\mathbb{K}^{{\rm pr}_{n}X_{0}}. Тогда по теореме Хана – Банаха об огибающей из введения, применённой в части импликации II1$\Rightarrow$II2 в <<вогнутой форме>> в векторном пространстве ${\rm pr}_{n}X_{0}$, имеем f_{n}\bigm{|}_{{\rm pr}_{n}X_{0}}\overset{\eqref{luEu}}{=}{\operatorname{uenv}}^{\operatorname{aff}\mathbb{K}^{{\rm pr}_{n}X_{0}}}_{f_{n}|_{{\rm pr}_{n}X_{0}}} на ${\rm pr}_{n}X_{0}$, откуда выполнено условие (6) теоремы 1.

Функция $f=\operatorname{spf}_{H,q}$ — возрастающая на $X$ по п. 2 предложения 5.1. Проверим выполнение условия (ii) теоремы 1. Для этого требуется, чтобы для любой убывающей и стабилизирующейся к $x\in X_{0}$ последовательности $(x^{(k)})$ из $X$ было выполнено неравенство (8). По определению 4.2 имеем (7). По определению 5.1 супремальной функции также выполнено (8).

Последовательность $(a_{k})_{k\in\mathbb{N}}$ — убывающая. При $\inf_{k\in\mathbb{N}}a_{k}=-\infty$ условие (8) выполнено автоматически. Поэтому далее убывающая последовательность $(a_{k})_{k\in\mathbb{N}}$ ограничена в $\mathbb{R}$ и выполнено (9) с $\mathbb{K}:=\mathbb{R}$. Из условия (iii-iv) по лемме 6.1 следуют условия (iv) теоремы 2 и ($\rm iii^{\prime}$) леммы 6.1.

Пусть $\varepsilon\in\mathbb{R}_{*}^{+}$. Ввиду (9) и (8) найдётся вектор $h_{\varepsilon}^{(k)}\in H$, для которого выполнено (16). Далее дословно повторяем рассуждения и выкладки из доказательства следствия от (16) до (19) включительно. Последнее ввиду произвола в выборе $\varepsilon\in\mathbb{R}_{*}^{+}$ даёт (14). Теперь остаётся лишь повторить рассуждения и выкладки после (14) до конца доказательства теоремы 2, но с вогнутой функцией $f=\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{conc}\mathbb{R}_{-\infty}^{X}$, что даёт (5) для $L:=\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X_{0}}$.

При $0\in H$ и $q_{1}(0)\geq 0$, т. е. $q(0)\geq 0$, по предложению 5.1, п. 3i, $\operatorname{spf}_{H,q}$ — положительная функция. Тогда по предложению 5.5 из равенства (15) следует, что для $l\in\operatorname{spr}(q;H,X_{0},\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X_{0}})$ имеем $l\geq\operatorname{spf}_{H,q}$ на $X_{0}$, откуда $l\in(\mathbb{R}^{X_{0}})^{+}$. Таким образом, $\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X_{0}}$ можно заменить на $\operatorname{aff}^{+}\mathbb{R}^{X_{0}}$. Последнее равенство в (20) составляет содержание пунктов (ii) и (iii) предложения 3.4. ∎

3. Топологические версии для выпуклого $H$

Для топологических вариантов теорем о представлении супремальных функций потребуется понятие решётки Фреше [38].

Пусть $X$ — векторная решётка. Для $x\in X$, как обычно, полагаем $|x|=\sup\{-x,x\}$ — абсолютная величина вектора $x$. Если к тому же $X$ — полное метризуемое локально выпуклое пространство, т. е. пространство Фреше, и обладает таким базисом окрестностей нуля, что для любой окрестности нуля $V$ из этого базиса при любом $x\in V$ неравенство $|x^{\prime}|\leqslant|x|$ влечёт за собой $x^{\prime}\in V$, то $X$ называется решёткой Фреше. Решётка Фреше — упорядоченное локально выпуклое пространство, т. е. конус положительных векторов в нём замкнут [38, гл. V, 7.2].

Кроме того, если $p$ — линейное отображение решётки Фреше в решётку Фреше, то $p$ непрерывно [38, гл.V, 6.4, 6.1]. В частности, непрерывны линейные положительные функционалы на решётке Фреше. Таким образом, если $X=\projlim_{n}X_{n}p_{n}$ — приведённый правильный проективный предел решёток Фреше как упорядоченных векторных пространств, то отображения $p_{n}$ непрерывны и порождают на $X$ топологию проективного предела [38, гл. II], [17]. Топология на $X$ определяется как индуцированная с топологического произведения $\prod_{n}X_{n}$. Если проекции ${{\rm pr}}_{n}$ рассматривать как определённые на $X$, то ${{\rm pr}}_{n}$ — линейные непрерывные отображения и в качестве базиса окрестностей нуля в $X$ можно взять прообразы ${{\rm pr}}^{-1}_{n}(V_{n})$ всевозможных окрестностей нуля $V_{n}$ пространств $X_{n}$. Пространство $X$ как топологический проективный предел локально выпуклых хаусдорфовых пространств также будет локально выпуклым и хаусдорфовым.

Конус положительных элементов в $X$ замкнут в $X$. Действительно, если $K_{n}$ — конусы положительных векторов в решётках Фреше $X_{n}$ , то они замкнуты в $X_{n}$. Конус положительных элементов $K$ в $X$ — это пересечение $\bigcap\limits_{n}{{\rm pr}}_{n}^{-1}(K_{n})$, замкнутых в силу непрерывности отображений ${{\rm pr}}_{n}$ множеств ${{\rm pr}}_{n}^{-1}(K_{n})$, т. е. конус $K$ замкнут в $X$. Следовательно, $X$ — упорядоченное локально выпуклое пространство. Всюду далее проективный предел решёток Фреше рассматривается одновременно и как упорядоченное локально выпуклое пространство с топологией проективного предела, описанной выше.

Пусть $S$ — подмножество в локально выпуклом пространстве. $S$ называется секвенциально замкнутым, если для любой сходящейся последовательности векторов из $S$ предел этой последовательности принадлежит $S$. $S$ называется секвенциально предкомпактным, если любая последовательность векторов из $S$ содержит сходящуюся подпоследовательность.

Теорема 4** (вариация [24, теорема 6.1]).**

Пусть $X=\projlim_{n}X_{n}p_{n}$ — приведённый правильный проективный предел решёток Фреше $X_{n}$, $n\in\mathbb{N}$, и $X_{0}$ — векторное подпространство в $X$, $q_{1}\in\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X_{1}}$ и $q\overset{\eqref{q1qn}}{:=}q_{1}\circ{\rm pr}_{1}$, выпуклый конус $H\subset X$ секвенциально замкнут в $X$ и $H\cap(-X^{+})\neq\varnothing$. Допустим, что при каждом $n\in\mathbb{N}$ выполнено одно из двух условий:

1. (i)

$H_{n}={{\rm pr}}_{n}H$* — минорирующее множество для ${{\rm pr}}_{n}X_{0}$,* 2. (ii)

$\sup$-проекция $f_{n}\overset{\eqref{eq3_3}}{:=}\sup{\text{-}}{\rm pr}_{n}\operatorname{spf}_{H,q}$ полунепрерывна сверху на ${\rm pr}_{n}X_{0}$,

а также выполнено ещё и условие

1. (iii)

для любого не более чем счётного подмножества $B\subset H$, ограниченного сверху и удовлетворяющего условию $\inf q(B)>-\infty$, найдётся $n_{q}\in\mathbb{N}$, для которого при каждом $n\geqslant n_{q}$ проекция ${{\rm pr}}_{n}B\subset X_{n}$ секвенциально предкомпактна в $X_{n}$.

Тогда для $L:=\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X_{0}}$ и супремальной функции $\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{spl}^{+}\mathbb{R}_{-\infty}^{X}$ справедливо заключение теоремы 2 вместе c представлением (5) на $X_{0}$.

Доказательство.

В обозначениях $L:=\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X_{0}}$ и $L_{n}:=\operatorname{lin}\mathbb{R}^{{\rm pr}_{n}X_{0}}$ так же, как и при доказательстве теоремы (2), убеждаемся, что выполнено (3), функция $f:=\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{spl}^{+}\mathbb{R}_{-\infty}^{X}$ возрастающая и для $f_{n}$ из (6), или из условия (ii), имеем $f_{n}\in\operatorname{spl}^{+}\mathbb{R}_{-\infty}^{X_{n}}$. Если выполнено условие минорирования (i), то $f_{n}\in\operatorname{spl}^{+}\mathbb{R}^{X_{n}}$ и по теореме Хана – Банаха об огибающей из введения, применённой в части импликации I1$\Rightarrow$I2, получаем условие (6) теоремы 1 на векторном подпространстве ${\rm pr}_{n}X_{0}$ при $n\in\mathbb{N}$. В случае же выполнения условия (ii) по теореме Хёрмандера об огибающей из введения, применённой в части импликации I1$\Rightarrow$I2, по-прежнему получаем условие (6) теоремы 1 при $n\in\mathbb{N}$. Остаётся проверить условие (ii) теоремы 1 для убывающей стабилизирующейся к $x=(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}\in X_{0}$ последовательности (7). При этом по замечанию 3.1 можем в условии (iii) положить $n_{q}=1$.

Если для последовательности $(a_{k})$, определённой в (8), $\inf_{k\in\mathbb{N}}a_{k}=-\infty$, то условие (8) выполнено очевидным образом. Пусть

[TABLE]

Тогда согласно (8) найдётся последовательность $(h^{(k)})_{k\in\mathbb{N}}\subset H$, для которой выполнено (16). При этом ввиду (21) для ограниченного сверху множества $B=\{h^{(k)}\colon k\in\mathbb{N}\}$ выполнено условие (iii), значит все проекции ${{\rm pr}}_{n}B$ секвенциально предкомпактны в $X_{n}$. Следовательно, в множестве $B$ можно выбрать последовательность $(h^{(1{,}n)})$ , сходящуюся в $X_{1}$; из последовательности $(h^{(1{,}n)})$ можно выбрать подпоследовательность $(h^{(2{,}n)})$, сходящуюся в $X_{2}$ и т.д. Диагональный процесс даёт последовательность $(h^{(n{,}n)})$, сходящуюся в каждом $X_{n}$, $n\in\mathbb{N}$. Из этого по определению топологии проективного предела вытекает сходимость последовательности $(h^{(n{,}n)})$ в $X$. Так как по построению $(h^{(n{,}n)})\subset H$, то в силу секвенциальной замкнутости $H$ в $X$ предел $h$ последовательности $(h^{(n{,}n)})$ лежит в $H$. Из включения

[TABLE]

и неравенств $h^{(k)}\leqslant x^{(k)}$ из (16) ввиду стабилизации $(x^{(k)})$ к $x=(x_{n})$ имеем

[TABLE]

Отсюда ввиду замкнутости конуса положительных векторов в каждом $X_{k}$ и непрерывности проекций ${{\rm pr}}_{k}$ получаем ${{\rm pr}}_{k}h\leq_{k}{{\rm pr}}_{k}x$, $k\in\mathbb{N}$. Последнее означает, что $h\leqslant x$ в $X$.

Пусть $q_{k}$ — функция, определённая в (3) на решётке Фреше $X_{k}$. Так как $q_{k}$ — линейный положительный функционал на решётке Фреше, то $q_{k}$ — непрерывный функционал. Отсюда

[TABLE]

Отсюда в силу включения (22) и выполнения первого неравенства из (16) имеем $q(h)\geqslant a_{0}-\varepsilon$, и как показано выше, $h\in H$, $h\leqslant x$. Следовательно, $\operatorname{spf}_{H,q}(x)\geqslant a_{0}$. Вспоминая определение величины $a_{0}$ из (21) и (8), а также (7), видим, что выполнено (14). По теореме 1 и предложению 5.5 функция $\operatorname{spf}_{H,q}$ допускает представление вида (5) с $L:=\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X_{0}}$. Возможность замены здесь $L:=\operatorname{lin}\mathbb{R}^{X_{0}}$ на $L:=\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X_{0}}$ следует из леммы 6.2. ∎

Приведённая ниже версия теоремы 4 для выпуклого множества $H$ ранее не отмечалась.

Теорема 5** (вариация [24, теорема 6.1]).**

Пусть $X=\projlim_{n}X_{n}p_{n}$ — приведённый правильный проективный предел решёток Фреше $X_{n}$, $n\in\mathbb{N}$, и $X_{0}$ — векторное подпространство в $X$, $q_{1}\in\operatorname{aff}^{+}\mathbb{R}^{X_{1}}$ и $q\overset{\eqref{q1qn}}{:=}q_{1}\circ{\rm pr}_{1}$, выпуклое подмножество $H\subset X$ секвенциально замкнуто в $X$. Допустим, что при каждом $n\in\mathbb{N}$ выполнено одно из двух условий (i) или (ii) теоремы 4, а также выполнено ещё и условие (iii) теоремы 4. Тогда для $L:=\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X_{0}}$ вогнутая функция $\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{conc}\mathbb{R}_{-\infty}^{X}$ допускает представление (5). Если дополнительно $0\in H$ и $q_{1}(0)\geq 0$, то $\operatorname{spf}_{H,q}\in\operatorname{conc}^{+}\mathbb{R}_{-\infty}^{X}$, а $L=\operatorname{aff}\mathbb{R}^{X_{0}}$ в (5) можно заменить на $L:=\operatorname{aff}^{+}\mathbb{R}^{X_{0}}$ из (20).

Доказательство теоремы 5 опускаем, поскольку оно представляет из себя симбиоз доказательств теорем 3 и 4. Отметим лишь, что при доказательстве условия (6) теоремы 1 на векторных подпространствах ${\rm pr}_{n}X_{0}$ при $n\in\mathbb{N}$ в случае выполнения условия (ii) нужно использовать теорему Хёрмандера об огибающей из введения в части импликации II1$\Rightarrow$II2.

Замечание 6.1**.**

Это замечание относится ко всем четырём теоремам 2–5. Заключение этих теорем о возможности представления (5) для векторов $x$ из векторного подпространства $X_{0}$ c помощью утверждений типа теорем о минимаксе можно распространить на векторы $x\in X$, представимые в виде точных верхних границ возрастающих последовательностей векторов из $X_{0}$ [6], [29, 2.5]. Доказательство этого перехода довольно объёмно. Полное изложение возможности такого распространения представления (5) намечается обосновать в ином месте.

Глава 1 Применения в теории функций

1. Введение. Где возникают огибающие?

Кратко остановимся на схемах применения двойственных описаний верхних огибающих из главы Порядковые версии Теоремы Хана – Банаха и огибающие. II. Применения в теории функций в комплексном анализе. В основном следуем изложению таких схем в [24]–[29].

Всюду во этом разделе $D$ — область (открытое связное подмножество) в комплексной плоскости $\mathbb{C}$ или $n$-мерном комплексном пространстве $\mathbb{C}^{n}$ со стандартной евклидовой топологией, $n\in\mathbb{N}$. Через $\operatorname{Hol}(D)$, $\operatorname{Mer}(D)$, $\operatorname{har}(D)$, $\operatorname{plhar}(D)$, $\operatorname{sbh}(D)$ и $\operatorname{plsbh}(D)$ обозначаем классы соотв. голоморфных, мероморфных, гармонических, плюригармонических, субгармонических и плюрисубгармонических функций на $D$; последние два класса по определению содержат функцию $\boldsymbol{-\infty}$ — тождественную $-\infty$; $\operatorname{sbh}(D)=\operatorname{plsbh}(D)$ и $\operatorname{har}(D)=\operatorname{plhar}(D)$ при $n=1$.

Для $S\subset\mathbb{C}^{n}$ различаем $C_{\mathbb{R}}(S)$ и $C_{\mathbb{C}}(S)$ — классы непрерывных вещественнозначных и соответственно комплекснозначных функций.

Всюду во введении $\sf Z$ — главное аналитическое множество в $D$, т. е. нулевое множество некоторой ненулевой функции $g_{\sf Z}\in\operatorname{Hol}(D)$, заданное вместе с функцией кратности нулей, или с дивизором нулей, функции $g_{\sf Z}$. При этом и дивизор нулей обозначаем той же буквой $\sf Z$.

В случае $n=1$ часто удобно мыслить $\sf Z$ как последовательность, вообще говоря, повторяющихся точек $\{{\sf z}_{k}\}_{k\in\mathbb{N}}$, для которой порядок нумерации не важен, а имеет значение только число повторений точки в ней. Если $\sf Z$ — последовательность всех нулей (корней) функции $f\in\operatorname{Hol}(D)$, то каждая точка ${\sf z}\in D$ повторяется $\sf Z$ в столько раз, какова кратность нуля (корня) функции $f$ в точке $\sf z$. При этом полагаем $\operatorname{Zero}_{f}:={\sf Z}$. Отношения и операции для множеств (последовательностей) нулей понимаются как в [24]–[30].

Различные задачи комплексного анализа сводятся к построению или доказательству существования (точной) огибающей — верхней или нижней — из определенного класса функций на $D$ или на подмножестве $S\subset D$. Отметим некоторые из них в подходящей трактовке.

1. Нетривиальность весового класса

По этому подразделу см. [25, § 10], [29, 1.1]. При каких условиях на функцию-мажоранту (весовую функцию, вес) $M\colon D\to\mathbb{R}_{\pm\infty}$ найдется ненулевая функция $f\in\operatorname{Hol}(D)$ с ограничением $\log|f|\leqslant M$ на $D$? Другими словами, вопрос состоит в исследовании условий нетривиальности класса функций $\operatorname{Hol}(D,M):=\{f\in\operatorname{Hol}(D)\colon\log|f|\leq M+{\rm const}\text{ \T2A\cyrn\T2A\cyra }D\}$, т. е. условий, при которых $\operatorname{Hol}(D,M)\neq\{0\}$. Зачастую достаточно убедиться в нетривиальности выпуклого множества

[TABLE]

т. е. доказать существование функции $h\neq\boldsymbol{-\infty}$ из этого класса, а затем для такой функции $h\leq M$ попытаться построить голоморфную функцию $f\not\equiv 0$, удовлетворяющую оценке $\log|f|\leq\check{h}\leq\check{M}$, где $\check{h}$ и $\check{M}$ — некоторые незначительные увеличения соответственно функций $h$ и $M$. При этом существование такой функции $f$ можно доказать при помощи решений $\overline{\partial}$- или $\partial\overline{\partial}$-задачи с оценками (см. [25, § 9], [55, IIIA], [2, теорема 1], [32, теорема 3, следствия 1–3]) в духе Л. Хёрмандера [49, гл. IV] или же путем аппроксимации функции $h$ логарифмом модуля голоморфной функции. Правда, последний аппроксимационный способ представляется нам не соответствующим постановке задачи и в данной тематике излишним, поскольку здесь требуется только минорирование функции $h$, а не ее аппроксимация.

2. Описание нулевых множеств

По этому подразделу см. [25, § 8], [27], [35], [29, 1.2]. Пусть ${\sf Z}$ — нулевое множество некоторой функции $g_{\sf Z}\in\mathrm{Hol}\,(D)$. Если $D$ — односвязная при $n=1$ или звёздная относительно точки при $n>1$ область, то ${\sf Z}$ — нулевое множество для класса $\operatorname{Hol}(D,M)$ тогда и только тогда, когда найдется функция $h\in\operatorname{plsbh}(D)$, для которой выполнено неравенство $\log|g_{{\sf Z}}|+h\leq M$. Это связано с тем, что $h\in\operatorname{plsbh}(D)$ для односвязной при $n=1$ или звёздной относительно точки при $n>1$ области $D$ в том и только том случае, когда имеет место представление $h={\rm Re\,}f$ для некоторой $f\in\operatorname{Hol}(D)$, или $h=\log|e^{f}|$ [54, предложение 2.2.13]. Другими словами, ${\sf Z}$ — нулевое множество для $\operatorname{Hol}(D,M)$, если и только если непуст класс

[TABLE]

Некоторые подходы подобного рода возможны и для конечносвязных областей $D\subset\mathbb{C}$ [27], [53], но при этом приходиться заменить функции $h$ и $M$ на их весьма малые изменения $\check{h}$ и $\check{M}$.

3. Описание нулевых подмножеств

По этому подразделу см. [25, § 11]–[30], [35], [6]. В обозначениях предыдущего подраздела задача состоит в нахождении голоморфной функции $f\neq 0$, для которой $g_{\sf Z}f\in\operatorname{Hol}(D,M)$, т. е. справедливо ограничение $\log|g_{\sf Z}f|\leq M$, или $\log|f|\leq M-\log|g_{\sf Z}|$. Аналогично предыдущим пунктам, вопрос вновь сводится к нетривиальности класса

[TABLE]

Эта постановка имеет двойственные выходы на проблемы аппроксимации в пространствах функций, прежде всего экспоненциальными системами, на существование для голоморфных функций голоморфных функций-мультипликаторов, <<погашающих>> их рост, и др. [55], [25, § 10], [30].

4. Представление мероморфных функций

По этому подразделу см. [25, § 12], [27], [29, 1.4], [52]. Пусть $Q=q_{1}/q_{2}$ — мероморфная функция в области $D$ и $q_{1},q_{2}\in\operatorname{Hol}(D)$, $q_{1},q_{2}\not\equiv 0$. Задача состоит в возможности представления функции $Q\in\operatorname{Mer}(D)$ в виде отношения двух функций из класса $\operatorname{Hol}(D,M)$, возможно без общих нулей. При этом решение ее наиболее естественно искать в терминах функций $M$ и U_{Q}:=\max\bigl{\{}\log|q_{1}|,\log|q_{2}|\bigr{\}} или $U_{Q}:=\log\sqrt{|q_{1}|^{2}+|q_{2}|^{2}}$ в связи с известными определениями различных вариантов характеристики Неванлинны функции $Q$ именно через $U_{Q}$. При этом задачу можно в несколько ослабленной форме переформулировать как поиск условий, при которых класс

[TABLE]

или класс (при дополнительном требовании <<без общих нулей>>)

[TABLE]

нетривиален.

5. Комплексная теория потенциала

По этому разделу см. [59]–[61], [54]. Основные объекты, такие, как (плюри)гармонические меры, функции Грина и им подобные, (максимальные) решения задачи Дирихле и пр., на которые опираются применения этой теории, строятся как верхняя огибающая специальных, чаще всего выпуклых и ограниченных сверху некоторой функцией-мажорантой $M$, семейств (плюри)субгармонических функций.

6. Теория равномерных алгебр

Многочисленные применения в этой теории нашла теорема двойственности Эдвардса [44], [46, 1.2]. Конкретнее, пусть $H$ — некоторый выпуклый конус вещественнозначных полунепрерывных сверху функций на некотором компактном топологическом пространстве $K$ со значениями в $\mathbb{R}_{-\infty}$ и $H$ содержит все константы. Через $J_{a}(H)$ обозначим класс мер Йенсена в точке $a\in K$ относительно $H$, а именно: положительных мер Радона $\mu$ на $K$, удовлетворяющих условию

[TABLE]

По одной из теорем Эдвардса из [44, 2] для любой полунепрерывной снизу функции $x\in\mathbb{R}_{+\infty}^{K}$

[TABLE]

Отсюда, в частности, следует, что множество $\{h\colon h\in H,\;h\leq x\}$ непусто тогда и только тогда, когда хотя бы для одной точки $a\in K$ конечна правая часть в (7).

7. Связь с задачами 1–3 из подраздела 3

Трактовки проблем из 1–4, касающиеся условий нетривиальности классов (1)–(5), можно сформулировать в следующей общей форме. Пусть $H$ — выпуклый конус или, более общо́, выпуклое множество в векторной решетке $X$ с отношением порядка $\leq$. Для каких $X_{0}\subset X$ при всех $x\in X_{0}$ множество $\{h\in H\colon h\leq x\}$ непусто? Если $q\colon X\to\mathbb{R}$ — некоторая функция на $X$, то это множество непустое тогда и только тогда, когда выполнено соотношение111Напоминаем, что $\sup\varnothing:=-\infty$ и $\inf\varnothing:=+\infty$ для пустого множества $\varnothing$.

[TABLE]

Собственно, это и есть частный случай задачи 3 из подраздела 3. Если удается получить равенство вида (7), где в роли $q$ выступает мера Дирака $\delta_{a}(h)=h(a)$ в точке $a$, то это решает в определённом смысле частные случаи задач 1 и 2. В частности, в таком случае соотношение (8) с $q:=\delta_{a}$ выполнено тогда и только тогда, когда

[TABLE]

где $\inf$ в правой части берётся по действиям на $x\in X_{0}$ всевозможных выметаний меры Дирака в точке $a$, т. е. ростка $\operatorname{spr}(\delta_{a};H,X_{0},\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X})$, определённого в подразделе 2, определение 5.2.

8. Некоторые дополнения к предшествующим определениям и обозначениям

Множества, топология, порядок

Для $n,m\in\mathbb{N}$ аффинные пространства $\mathbb{C}^{n}$ и $\mathbb{R}^{m}$ соответственно над $\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}$ наделяются стандартной евклидовой нормой-модулем $|\cdot|$. Полагаем $\mathbb{R}_{\infty}^{m}:=(\mathbb{R}^{m})_{\infty}$, $\mathbb{C}_{\infty}^{n}:=(\mathbb{C}^{n})_{\infty}$, $\mathbb{C}_{\infty}:=(\mathbb{C}^{1})_{\infty}$ — одноточечные компактификации Александрова; $|\infty|:=+\infty$. При необходимости $\mathbb{C}^{n}$ и $\mathbb{C}_{\infty}^{n}$ отождествляем соответственно с $\mathbb{R}^{2n}$ и $\mathbb{R}_{\infty}^{2n}$ (над $\mathbb{R}$). Далее, когда возможно, обозначения вводятся и определения даются только для $\mathbb{R}^{m}$ и $\mathbb{R}_{\infty}^{m}$. Для подмножества $S\subset\mathbb{R}_{\infty}^{m}$ через $\operatorname{clos}S$, $\operatorname{int}S$ и $\partial S$ обозначаем соотв. замыкание, внутренность и границу $S$ в $\mathbb{R}^{m}_{\infty}$. (Под)область в $\mathbb{R}_{\infty}^{m}$ — открытое связное подмножество в $\mathbb{R}_{\infty}^{m}$. Для $S_{0}\subset S\subset\mathbb{R}^{m}_{\infty}$ пишем $S_{0}\Subset S$, если $\operatorname{clos}S_{0}$ — компактное подмножество в $S$ в топологии, индуцированной с $\mathbb{R}_{\infty}^{m}$ на $S$. Для $r\in\mathbb{R}_{+\infty}^{+}$ и $x\in\mathbb{R}^{m}$ полагаем $B(x,r):=\{x^{\prime}\in\mathbb{R}^{m}\colon|x^{\prime}-x|<r\}$ — открытый шар радиуса $r$ с центром $x$, $B(r):=B(0,r)$ и $B(x,+\infty)=\mathbb{R}^{m}$; $B(\infty,r):=\{x\in\mathbb{R}^{m}\colon|x|>1/r\}$ и $B(\infty,+\infty):=\mathbb{R}^{m}_{\infty}\setminus\{0\}$. При $r\leq 0$ естественно $B(0,r):=\varnothing$. При $r>0$ полагаем $\overline{B}(\cdot,r):=\operatorname{clos}B(\cdot,r)$ — замкнутые шары, но $\overline{B}(x,0):=\{x\}$ и при $r<0$ естественно $\overline{B}(\cdot,r):=\varnothing$. Положительность всюду понимается, в соответствии с контекстом, как $\geq 0$, а $>0$ — строгая положительность. Аналогично для отрицательности. Открытые (замкнутые с непустой внутренностью) шары строго положительного радиуса с центром $x\in\mathbb{R}^{m}_{\infty}$ образуют открытую (соответственно замкнутую) базу окреcтностей точки $x\in\mathbb{R}^{m}_{\infty}$.

Функции

Для произвольной функции $f\colon X\to Y$ допускаем, что не для всех $x\in X$ определено значение $f(x)\in Y$. Функция $f$ расширенная числовая, если ее образ — подмножество в $\mathbb{R}_{\pm\infty}$.

Для открытого подмножества $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^{m}$ через $\operatorname{har}({\mathcal{O}})$ обозначаем векторное пространство над $\mathbb{R}$ гармонических (аффинных при $m=1$) в ${\mathcal{O}}$ функций; $\operatorname{sbh}({\mathcal{O}})$ — выпуклый конус над $\mathbb{R}^{+}$ субгармонических (выпуклых при $m=1$) в ${\mathcal{O}}$ функций. Функцию, тождественно равную $-\infty$ на ${\mathcal{O}}$, обозначаем символом $\boldsymbol{-\infty}\in\operatorname{sbh}({\mathcal{O}})$; $\operatorname{sbh}_{*}(\mathcal{O}):=\operatorname{sbh}(\mathcal{O})\setminus\{\boldsymbol{-\infty}\}$. Для $\mathcal{O}\subset\mathbb{C}^{n}$ через $\operatorname{Hol}({\mathcal{O}})$ обозначаем векторное пространство над $\mathbb{C}$ голоморфных функций на ${\mathcal{O}}$.

При $p\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ класс $C^{p}$ состоит из числовых функций на открытых подмножествах с непрерывными (частными) производными до порядка $p$ включительно.

Через $\operatorname{dist}(\cdot,\cdot)$ обозначаем функции евклидова расстояния между парами точек, между точкой и множеством, между множествами в $\mathbb{R}^{m}_{\infty}$. По определению $\operatorname{dist}(\cdot,\varnothing):=:\operatorname{dist}(\varnothing,\cdot):=\inf\varnothing:=+\infty=:\operatorname{dist}(x,\infty):=:\operatorname{dist}(\infty,x)$ при $x\in\mathbb{R}^{m}_{\infty}$.

Меры

Далее ${\operatorname{Meas}}(S)$ — класс борелевских вещественных мер на подмножествах из $S\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{m}_{\infty})$ со значениями в $\mathbb{R}_{\pm\infty}$, иначе называемых зарядами; ${\operatorname{Meas}}_{\operatorname{cmp}}(S)$ — подкласс мер в ${\operatorname{Meas}}(S)$ с компактным носителем $\operatorname{supp}\nu\Subset S$, {\operatorname{Meas}}^{+}(S):=\bigl{(}{\operatorname{Meas}}(S)\bigr{)}^{+}. Для $x\in\mathbb{R}_{\infty}^{m}$ и $0<r\in\mathbb{R}_{+}$ полагаем \mu(x,r):=\mu\bigl{(}B(x,r)\bigr{)}. Меру Рисса функции ${u}\in\operatorname{sbh}({\mathcal{O}})$, $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^{m}$, чаще всего обозначаем как

[TABLE]

— площадь $(m-1)$-мерной единичной сферы $\partial B(1)$ в $\mathbb{R}^{m}$, $\Delta$ — оператор Лапласа, действующий в смысле теории распределений, или обобщённых функций, а $\Gamma$ — гамма-функция. Такие меры $\nu_{u}$ — меры Радона, т. е. определяют линейный положительный непрерывный и ограниченный функционал на пространстве $C_{0}(\mathcal{O})$ непрерывных финитных функций на $\mathcal{O}$. В частности, $\nu_{u}(S)<+\infty$ для каждого измеримого по $\nu_{u}$ подмножества $S\Subset\mathcal{O}$. При $u=\boldsymbol{-\infty}\in\operatorname{sbh}(\mathcal{O})$ по определению $\nu_{\boldsymbol{-\infty}}(S):=+\infty$ для всех $S\subset\mathcal{O}$.

Через $\lambda_{m}\in\mathcal{M}^{+}(S)$ обозначаем сужения меры Лебега на собственные борелевские подмножества $S\subset\mathbb{R}^{m}$; $\delta_{x}\in\mathcal{M}^{+}(S)$ — мера Дирака в точке $x\in S$, т. е. $\operatorname{supp}\delta_{x}=\{x\}$ и \delta_{x}\bigl{(}\{x\}\bigr{)}=1. В обозначении меры Лебега индекс $m$ часто будем опускать. Во включении $\operatorname{Meas}_{\infty}(\mathcal{O})\subset\operatorname{Meas}(\mathcal{O})$ с открытым множеством $\mathcal{O}$, первое множество $\operatorname{Meas}_{\infty}(S)$ состоит из всех мер $\mu$ с бесконечно дифференцируемой плотностью, т. е. $\,{\rm d}\mu=f\,{\rm d}\lambda$, где $f$ из класса $C^{\infty}$ на $\mathcal{O}$.

Определение 1.1** (вариация определения 5.2).**

Пусть $D$ — подобласть в $\mathbb{R}^{m}$, $H\subset\operatorname{sbh}(D)$, $\nu\in\operatorname{Meas}^{+}(D)$, $\mathcal{M}\subset{\operatorname{Meas}}^{+}(D)$. Говорим, что мера $\mu\in\mathcal{M}$ — линейное выметание меры $\nu$ относительно $H$ в $\mathcal{M}$, и пишем $\nu{\prec}_{H,\mathcal{M}}\mu$, если

[TABLE]

При $\nu=\delta_{x}$, $x\in D$, линейные выметания $\mu\in\mathcal{M}$ меры Дирака $\delta_{x}$ относительно $H$ в $\mathcal{M}$ называют мерами Йенсена для точки $x\in D$, если выбрано $H:=\operatorname{sbh}_{*}(D)$ и $\mathcal{M}=\operatorname{Meas}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D)$ (см. и (6)).

Говорим, что аффинная функция $\mu+c:=\mu+c\cdot{\boldsymbol{1}}\in\mathcal{M}+\mathbb{R}\boldsymbol{1}$ — аффинное выметание меры $\nu$ относительно $H$ в $\mathcal{M}+\mathbb{R}\boldsymbol{1}$, и пишем $\nu{\curlyeqprec}_{H,\mathcal{M}}\mu+c$, если

[TABLE]

Нижние индексы ${H,\mathcal{M}}$ в ${\prec}_{H,\mathcal{M}}$ и ${\curlyeqprec}_{H,\mathcal{M}}$ опускаем и пишем соотв. просто ${\prec}$ и ${\curlyeqprec}$, если из контекста ясно, какие $H$ и $\mathcal{M}$ подразумеваются. Очевидно, если $\nu{\prec}\mu$, то $\nu{\curlyeqprec}\mu+c$ для любого $c\in\mathbb{R}^{+}$ в (11).

Нули голоморфных функций [15, § 11], [16], [62], [11], [30], [37, гл. 1]

Пусть $D$ — подобласть в $\mathbb{C}_{\infty}^{n}$, $0\neq f\in\operatorname{Hol}(D)$. Дивизором нулей функции $f$ называем функцию $\operatorname{Zero}_{f}\colon D\to\mathbb{N}_{0}$, равную кратности нуля функции $f$ в каждой точке $z\in D$. Для $f=0\in\operatorname{Hol}(D)$ по определению $\operatorname{Zero}_{0}\equiv+\infty$ на $D$. В главе 1 далее всюду

[TABLE]

2. Существование (плюри)субгармонической нижней огибающей

1. Основной результат для выпуклых подмножеств субгармонических функций

Предложение 2.1** (частный случай предложения 2.1, см. и [25, предложение 7.1]).**

Пусть $H$ — непустое подмножество в $\operatorname{sbh}_{*}(D)$ и ненулевая мера $\nu\in{\operatorname{Meas}}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D)$ такова, что

[TABLE]

Пусть $\mathcal{M}\subset\operatorname{Meas}^{+}_{\operatorname{cmp}}(D)$ и расширенная числовая функция $F$ на $D$ локально универсально измеримая для $\mathcal{M}$, т. е. для любого компакта $K\subset D$ сужение F\bigm{|}_{K} является \mu\bigm{|}_{K}-измеримой функцией для всех $\mu\in\mathcal{M}$. Если существует функция $h\in H$, для которой $h\leqslant F$ на $D$, то

[TABLE]

Приведённая ниже теорема 6, в определенной степени обратная к предложению 2.1, и является основным результатом раздела 2.

Пусть $(u_{k})_{k\in\mathbb{N}}$ — последовательность субгармонических в $D$ функций, (равномерно по $k$) локально ограниченных сверху (т.е. на компактах) в $D$. Через $\limsup_{k}^{*}u_{k}$ будем обозначать полунепрерывную сверху регуляризацию (поточечного) верхнего предела последовательности $(u_{k})$, которая также является субгармонической функцией. При этом $\limsup_{k}^{*}u_{k}\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$, если $\limsup_{n}u_{n}(x)\not\equiv-\infty$ на $D$, и $\lambda_{m}$-п. в. совпадает с $\limsup_{k}u_{k}$ [11, Приложение I]. Поэтому $\limsup_{k}u_{k}$ и $\limsup_{k}^{*}u_{k}$ в $L^{1}_{\operatorname{loc}}(D,\lambda_{m})$ для последовательностей $(u_{k})_{k\in\mathbb{N}}\subset\operatorname{sbh}_{*}(D)$, локально ограниченных сверху, можно не различать.

Функция $f$ называется строго положительной (соотв. строго отрицательной) на $D$, если $f(x)>0$ (соотв. $f(x)<0$) для всех $x\in D$. Положительная функция $f\colon D\to\mathbb{R}^{+}$ локально отделена от нуля, если $\inf_{x\in K}f(x)>0$ для любого компакта $K\Subset D$. Очевидно, полунепрерывная снизу строго положительная функция на $D$ локально отделена от нуля.

Для сглаживания функций и мер операцией свертки $*$ и её <<скользящей>> версией будет использована аппроксимационная единица $a\colon\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{+}$, зависящая только от $|x|$, со свойствами

[TABLE]

В шаре $B(r)$, $r>0$, эта функция задаётся как

[TABLE]

а соответствующая ей мера $\alpha^{(r)}\in\operatorname{Meas}^{+}(\mathbb{R}^{m})$ через её плотность как

[TABLE]

Рассмотрим строго положительную отделенную от нуля функцию

[TABLE]

Тогда для каждой точки $x\in D$ определена мера \alpha_{x}^{(r(x))}\in\operatorname{Meas}^{+}\bigl{(}B(x,r(x))\bigr{)} с носителем $\operatorname{supp}\alpha_{x}^{(r(x))}\subset D$,полученная сдвигом меры $\alpha^{(r(x))}$ в точку $x$: $\alpha_{x}^{(r(x))}(S):=\alpha^{(r(x))}(S-x)$.

Теорема 6**.**

Пусть $\varnothing\neq H\subset\operatorname{sbh}_{*}(D)$, $0\neq\nu\in{\operatorname{Meas}}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D)$, $F$ — расширенная числовая функция из $L^{1}_{\operatorname{loc}}(D):=L^{1}_{\operatorname{loc}}(D,\lambda)$. Допустим, что

1. (c)

для любого компакта $K\subset D$ и любой постоянной $c$ существует функция $h\in H$, удовлетворяющая неравенству $h\leqslant c$ на $K$,

и выполнено одно из следующих двух условий:

1. (a)

для любой локально ограниченной сверху последовательности функций $(h_{k})\subset H$ имеем ${\limsup}_{k}^{*}h_{k}\in H$, если только $\limsup_{k}h_{k}(x)\not\equiv-\infty$ на $D$; 2. (b)

множество $H$ секвенциально замкнуто в $L^{1}_{\operatorname{loc}}(D)$.

Положим

[TABLE]

где область $U_{0}$ такова, что

[TABLE]

1. I.

Если $H$ — выпуклый конус, содержащий отрицательную функцию, и

[TABLE]

то для любой положительной локально отделённой от нуля функции (6) найдутся строго положительная функция $\widehat{r}\leq r$ класса $C^{\infty}$ на $D$, постоянная $C\in\mathbb{R}$ и функция $h\in H$, для которых

[TABLE] 2. II.

Если $H$ — выпуклое множество и $0\in H$, то при условии

[TABLE]

для любой положительной локально отделённой от нуля функции (6) найдутся такая же, как в п. I, функция $\widehat{r}\leq r$ на $D$, постоянная $C\in\mathbb{R}$ и функция $h\in H$, для которых выполнено (10).

Доказательство.

По условию (8) согласно выбору $U_{0}$ всегда найдутся <<промежуточная>> регулярная для задачи Дирихле область $U_{1}$ в $D$ с кусочно гладкой границей $\partial U_{1}$, для которой

[TABLE]

Ранее нами уже отмечалась в частном случае

Лемма 2.1**.**

Для положительной локально отделённой от нуля функции (6) найдётся строго положительная класса $C^{\infty}$, а значит, и отделённая от нуля функция $\widehat{r}\leq r$ на $D$ с

[TABLE]

Элементарное, но довольно трудоемкое доказательство этой леммы опускаем. По лемме 2.1 сразу можем считать, что уже изначально функция $r$ обладает свойствами функции $\widehat{r}$, указанными в лемме 2.1 и теореме 6, п. I. При этом соглашении для любой меры

[TABLE]

определён интеграл семейства мер \bigl{\{}\alpha_{x}^{(r(x))}\bigr{\}}_{x\in D} по мере $\mu$ [5], записываемый далее как

[TABLE]

где принадлежность классу $\operatorname{Meas}_{\infty}^{+}(D)$ обеспечивается построением мер $\alpha_{x}^{(r(x))}$ после (4)–(5) через аппроксимативную единицу из (3), а также ввиду соглашения о принадлежности функции $r$ классу $C^{\infty}$, а принадлежность классу $\operatorname{Meas}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D\setminus U_{0})$ основана на (12) и соотношениях (13) леммы 2.1. При этом мера ${\mu}^{*r}$ по её определению (15) действует на $F\in L^{1}_{\operatorname{loc}}(D)$ по правилу

[TABLE]

Лемма 2.2**.**

Пусть $\mu\in\mathcal{M}_{1}=\operatorname{Meas}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D\setminus U_{1})$ — линейное (соотв. $\mu+c\in\mathcal{M}_{1}+c\boldsymbol{1}$ — аффинное) выметание меры $\nu$ относительно $H\subset\operatorname{sbh}_{*}(D)$ в $\mathcal{M}_{1}$ (соотв. в $\mathcal{M}+\mathbb{R}^{+}\boldsymbol{1}$) в смысле определения 1.1 и соотношения (10) (соотв. (11)), т. е. $\nu\prec\mu$ (соотв. $\nu\curlyeqprec\mu+c$) в $\mathcal{M}_{1}$ (соотв. в $\mathcal{M}_{1}+\mathbb{R}^{+}\boldsymbol{1}$). Тогда в обозначении (15) имеем $\nu\prec\mu^{*r}$ (соотв. $\nu\curlyeqprec\mu^{*r}+c$) в $\mathcal{M}$ (соотв. в $\mathcal{M}+\mathbb{R}^{+}\boldsymbol{1}$), где $\mathcal{M}$ из (7).

Доказательство леммы 2.2.

Каждая мера $\alpha^{(r)}$ из (5) — это мера Йенсена для 0 в \operatorname{sbh}_{*}\bigl{(}\overline{B}(r^{\prime})\bigr{)} при любом $r^{\prime}>r$. Отсюда при условии $\nu\prec\mu$ из леммы имеем

[TABLE]

что даёт $\nu\prec\mu^{*r}$ в $\mathcal{M}$ ввиду (14)–(15). При условии $\nu\curlyeqprec\mu+c$ для меры Йенсена $\alpha^{(r(x))}$ для нуля имеем

[TABLE]

что даёт $\nu\curlyeqprec\mu^{*r}+c$ в $\mathcal{M}+\mathbb{R}^{+}\boldsymbol{1}$ ввиду (14)–(15). ∎

В условиях п. I из (9) ввиду (16) согласно лемме 2.2 следует

[TABLE]

В условиях п. II из (11) ввиду (16) согласно лемме 2.2 следует

[TABLE]

Функция $F^{*r}$ в правых частях (17) и (18) непрерывна (и даже из класса $C^{\infty}$), поскольку $F\in L^{1}_{\operatorname{loc}}(D)$ и по соглашению $r$ из класса $C^{\infty}$. Временно заменим функцию $F^{*r}$ на функцию

[TABLE]

При выполнении (17) или (18) ввиду $\mu\in\mathcal{M}_{1}=\operatorname{Meas}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D\setminus U_{1})$ имеем соотв.

[TABLE]

Пусть теперь $\mu\in\operatorname{Meas}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D)$. Рассмотрим классическое выметание $\mu^{\rm{bal}}$ меры $\mu$ из $U_{1}$ [10]:

[TABLE]

Из определения (21) следует $\operatorname{supp}\mu^{\rm{bal}}\Subset D\setminus U_{1}$ и для непрерывной функции $F_{\rm{bal}}^{*r}$ из (19) в силу её гармоничности в $U_{1}$ по определению классического выметания меры из [10] имеем

[TABLE]

При этом если $\nu\prec\mu$ (соотв. $\nu\curlyeqprec\mu+c$) в $\operatorname{Meas}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D)$ (соотв. в $\operatorname{Meas}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D)+\mathbb{R}^{+}\boldsymbol{1}$), то $\nu\prec\mu^{\rm{bal}}$ (соотв. $\nu\curlyeqprec\mu^{\rm{bal}}+c$) в $\operatorname{Meas}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D\setminus U_{1})$ (соотв. в $\operatorname{Meas}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D\setminus U_{1})+\mathbb{R}^{+}\boldsymbol{1}$). Отсюда и из (20) в силу (22) имеем соотв.

[TABLE]

Положим теперь

[TABLE]

и соотв.

[TABLE]

При этом $X$ можно трактовать как приведённый правильный проективный предел векторных решёток (Фреше) $L^{1}(D_{n})$ с естественным отношением порядка $\leq$ поточечно п. в. — подраздел 2, пример 4. Здесь исчерпание области $D$ областями $D_{n}$ можно начинать с области $D_{1}\supset\operatorname{supp}\nu$ (см. замечание 3.1).

Для удобства ссылок случаи выпуклых конуса $H$ и множества $H$ рассмотрим раздельно.

I. $H$** — выпуклый конус**

При условии (a) теоремы 6 используем следствие 6.1 из теоремы 2, а при условии (b) — топологическую теорему 4. Условие (iii-iv) следствия 6.1 составляет содержание условия (a) теоремы 6, а условие (b) теоремы 6 требуется в теореме 4. Условие (c) теоремы 6 влечёт за собой выполнение как условия (ii) теоремы 2, так и условия (i) теоремы 4. В рамках условия (a) теоремы 6 для $H\subset\operatorname{sbh}_{*}(D)$ как условие (v) теоремы 2, так и условие (iii) теоремы 4 входят в перечень основных свойств субгармонических функций. То, что $H$ содержит отрицательную функцию означает, что $H\cap(-X^{+})\neq\varnothing$. В частности, выполнено условие (i) теоремы 2. Таким образом, при выборе условия (a) в рамках теоремы 6 выполнены все условия следствия 6.1 из теоремы 2, а при выборе условия (b) в рамках теоремы 6 выполнены все условия топологической теоремы 4 в дополненной усиленной версии с $H\cap(-X^{+})\neq\varnothing$. Следовательно, выполнено заключение (5), которое в рассматриваемой конкретной ситуации может быть записано для любой непрерывной функции $f\in X_{0}\overset{\eqref{stopr}}{=}C_{\mathbb{R}}(D)$ как

[TABLE]

Но по следствию 3.1 можем $\operatorname{lin}^{+}\mathbb{R}^{X}$ отождествить с $\operatorname{Meas}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D)$, что, впрочем, в рамках (24) и (25) давно известно и ранее. Кроме того, отметим, что по определению 1.1 линейного выметания меры и определению 5.2 абстрактного выметания и ростка в (9) в данной конкретной ситуации

[TABLE]

Отсюда и из (26)

[TABLE]

Применяя (27) к непрерывной функции $F_{\rm{bal}}^{*r}$ из (19) согласно (23l) получаем

[TABLE]

Следовательно, существует функция $h\in H$, которая удовлетовряет неравенству $h\leq F_{\rm{bal}}^{*r}$ на $D$. Так как функции $F_{\rm{bal}}^{*r}\in C_{\mathbb{R}}(D)$ и $F^{*r}\in C_{\mathbb{R}}(D)$ совпадают в $D\setminus U_{1}$, то для некоторой достаточно большой постоянной $C\in\mathbb{R}$ имеем

[TABLE]

Это завершает доказательство для п. I.

II. $H$** — выпуклое множество**

При условии (a) теоремы 6 используем теорему 3, а при условии (b) — топологическую теорему 5. Условие (iii-iv) следствия 6.1, требуемое в теореме 3, составляет содержание условия (a) теоремы 6, а условие (b) теоремы 6 требуется в теореме 5. Условие (c) теоремы 6 влечёт за собой выполнение как условия (ii) теоремы 2, требуемое в теореме 3, так и условия (i) теоремы 4, требуемое в теореме 5. В рамках условия (a) теоремы 6 для $H\subset\operatorname{sbh}_{*}(D)$ как условие (v) теоремы 2, требуемое в теореме 3, так и условие (iii) теоремы 4, требуемое в теореме 5, входят в перечень основных свойств субгармонических функций. При всём этом $0\in H$. Таким образом, при выборе условия (a) в рамках теоремы 6 выполнены все условия теоремы 3, а при выборе условия (b) в рамках теоремы 6 выполнены все условия топологической теоремы 5 в дополненной усиленной версии с $0\in H$ и $q_{1}(0)=\int 0\,{\rm d}\nu=0$. Следовательно, выполнено заключение (5), которое в рассматриваемой конкретной ситуации может быть записано для любой непрерывной функции $f\in X_{0}\overset{\eqref{stopr}}{=}C_{\mathbb{R}}(D)$ как

[TABLE]

Но по следствию 3.2 можем $\operatorname{aff}^{+}\mathbb{R}^{X}$ отождествить с $\operatorname{Meas}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D)+\boldsymbol{1}\cdot\mathbb{R}^{+}$ в рамках (24) и (25). Кроме того, отметим, что по определению 1.1 аффинного выметания меры и определению 5.2 абстрактного выметания и ростка в (9) в данной конкретной ситуации

[TABLE]

Отсюда и из (29) для всех $f\in C_{\mathbb{R}}(D)$

[TABLE]

Применяя (30) к непрерывной функции $F_{\rm{bal}}^{*r}$ из (19) согласно (23a) получаем

[TABLE]

Следовательно, существует функция $h\in H$, которая удовлетворяет неравенству $h\leq F_{\rm{bal}}^{*r}$ на $D$. Так как для некоторого $C\in\mathbb{R}$ имеем (28), это завершает доказательство для п. II. ∎

Замечание 2.1**.**

Если $H$ из теоремы 6 — конус, содержащий строго отрицательную полунепрерывную сверху функцию на $D$, то условие (c) теоремы 6 выполнено автоматически.

В заключение подраздела приведём простые примеры выпуклых конусов и множеств в $\operatorname{sbh}(D)$, $D\subset\mathbb{R}^{m}$ или $D\subset\mathbb{C}^{n}$, всем условиям теоремы 6. Эти примеры легко получаются на основе известных свойств выпуклых, (плюри)субгармонических и (плюри)гармонических функций (см. также [25, примеры 7.1–7.4]).

Примеры**.**

1. Для произвольной области $D\subset\mathbb{R}^{m}$ — это выпуклые конусы $H$, равные $\operatorname{sbh}_{*}(D)$, $\operatorname{har}(D)$, $\operatorname{conv}\mathbb{R}^{D}$ в случае выпуклости $D$.

2. Для области $D\subset\mathbb{C}^{n}$ — это выпуклые конусы $H$, равные $\operatorname{plsbh}_{*}(D):=\operatorname{plsbh}(D)\setminus\{\boldsymbol{-\infty}\}$, $\operatorname{plhar}(D)$.

3. Пусть $C$ — некоторый выпуклый конус непрерывных положительных функций на $D\subset\mathbb{R}^{m}$ или на $D\subset\mathbb{C}^{n}$. Тогда для любого конуса $H$ из предыдущих пунктов 1 и 2 их подмножества

[TABLE]

— выпуклые конусы, удовлетворяющие условиям части I теоремы 6.

4. Пусть $C$ — некоторое выпуклое множество непрерывных положительных функций на $D\subset\mathbb{R}^{m}$ или на $D\subset\mathbb{C}^{n}$. Тогда (31) — выпуклые подмножества, удовлетворяющие условиям части II теоремы 6.

Замечание 2.2**.**

Отметим, что как в п. 4, так и в п. 3 можно рассматривать классы функций $C$, определённых только на части $S\subset D$, с изменениями <<$h\leq f$* на $S$*>> в определениях классов (31), но при этом придётся накладывать на $S$ некоторые условия, связанные, например, с принципом максимума, чтобы верхние регуляризации верхних пределов последовательностей функций из $H$, ограниченных сверху на $S$ функциями из $C$, не принимали значений $+\infty$ и принадлежали $H$. Такого рода выпуклые конусы использовались, например, в [50].

Кроме того, многие инвариантные относительно определённых преобразований области $D$ выпуклые подконусы и выпуклые подмножества конусов $H$ из пунктов 1 и 2 могут удовлетворять условиям теоремы 6 (чётные, периодические, инвариантные относительно конформных и биголоморфных автоморфизмов псевдовыпуклой области $D\subset\mathbb{C}^{n}$ и т. д., и т. п.). Это тема отдельного исследования и предполагается рассмотреть её в ином месте.

2. Одна версия теоремы 6 для применений

Для применений к проблемам 1–4 из раздела 1 будет отдельно рассмотрен случай функции вида $F:=M-u$, где $u$ — некоторая (плюри)субгармоническая функция. Следующее следствие несколько уточняет и обобщает результаты с подобной функцией $F=M-u$ из наших работ [7], [21]–[30], [51].

Следствие 2.1**.**

Пусть $H\subset\operatorname{sbh}_{*}(D)$, $u\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$, $M\in L^{1}_{\operatorname{loc}}(D)$, $M(D)\subset\mathbb{R}_{\pm\infty}$ и фиксированы

[TABLE]

1. I.

Пусть выполнено (1), функция $M$ локально универсально измеримая для множества мер222Для этого достаточно, например, полунепрерывности (сверху или снизу) функции $M$.* $\mathcal{M}\subset\operatorname{Meas}^{+}_{\operatorname{cmp}}(D)$. Если существует функция $h\in H$, удовлетворяющая неравенству*

[TABLE]

то найдется постоянная $C\in\mathbb{R}$, для которой

[TABLE] 2. II.

Пусть выполнено условие (c) и одно из условий (a) или (b) из теоремы 6, $\mathcal{M}\overset{\eqref{M0}}{:=}{\operatorname{Meas}}_{\infty}^{+}(D)\cap{\operatorname{Meas}}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D\setminus U_{0})$, $r\geq 0$ — локально отделённая от нуля функция из (6).

Пусть $H$ — выпуклый конус, содержащий отрицательную функцию, и для некоторой постоянной $C\in\mathbb{R}$ имеет место (34l). Тогда найдутся строго положительная функция $\widehat{r}\leq r$ класса $C^{\infty}$ на $D$, постоянная ${\rm const}\in\mathbb{R}$ и функция $h\in H$, для которых

[TABLE]

Кроме того, часто можно избавиться от участия функции $\widehat{r}$ в правой части (35):

1. (i)

если $M\in C(D)$, то в (35) можно заменить $M^{*\widehat{r}}$ на $M$, что отличается от (33) лишь дополнительным слагаемым $+{\rm const}$ в правой части; 2. (ii)

если $M\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$, то в (35) можно заменить $M^{*\widehat{r}}$ на усреднение $M$ по сферам

[TABLE]

где $s_{m-1}$ из (9), а $\,{\rm d}\sigma$ — элемент площади поверхности сферы \partial B\bigl{(}x,r(x)\bigr{)}. 2. 2.

Пусть $H$ — выпуклое множество, $0\in H$, и для некоторой постоянной $C\in\mathbb{R}$ имеет место (34a). Тогда найдутся строго положительная функция $\widehat{r}\leq r$ класса $C^{\infty}$ на $D$, постоянная ${\rm const}\in\mathbb{R}$ и функция $h\in H$, для которых выполнено (35). Кроме того, можно избавиться от участия функции $\widehat{r}$ в правой части (35) как в II(1)i и II(1)ii.

Доказательство.

В доказательстве полагаем $F:=M-u$.

I. Функция $F$ локально универсально измеримая для $\mathcal{M}$, поскольку функция $u\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$ полунепрерывна сверху. По предложению 2.1 из (2l) и (2a) получаем соотв. (34l) и (34a).

II1. Выполнены все условия теоремы 6 в части I, откуда ввиду $F^{*\widehat{r}}=M^{*\widehat{r}}-u^{*\widehat{r}}$ получаем

[TABLE]

Мера $\alpha^{(r(x))}$ — это мера Йенсена, вследствие чего $u\leq u^{*\widehat{r}}$ на $D$ и получаем неравенство (35).

Если $M\in C(D)$, то $M$ равномерно непрерывна на компактах из $D$. Поэтому изначально можно выбрать локально отделённую от нуля функцию $r>0$ из (6) столь малой, что $\sup\limits_{|y-x|\leq r(x)}M(y)\leq M(x)+1$ для всех $x\in D$. Отсюда $M^{*\widehat{r}}\leq M+1$ на $D$ и имеет место усиление II(1)i.

Если $M\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$, то значение усреднения $M^{*\widehat{r}}(x)$ не превышает (см.333Это утверждение доказано для субгармонических функция на $\mathbb{C}$, но доказательство без труда переносится на субгармонические функции в окрестности \overline{B}\bigl{(}x,\widehat{r}(x)\bigr{)}\subset\mathbb{R}^{m}. [3, предложение 3]) усреднения S_{M}\bigl{(}x,\widehat{r}(x)\bigr{)}\leq S_{M}\bigl{(}x,r(x)\bigr{)} ввиду возрастания по радиусу усреднений (36).

II2. Выполнены все условия теоремы 6 в части II, откуда получаем (37). Дальнейшие рассуждения дословно те же, что и при доказательстве II1 после (37). ∎

3. Применения к голоморфным функциям

Для области $D\subset\mathbb{C}^{n}$ и расширенной числовой функции $M$ на $D$ рассматриваем весовые классы

[TABLE]

Далее всюду $\mathcal{M}\overset{\eqref{M0}}{:=}{\operatorname{Meas}}_{\infty}^{+}(D)\cap{\operatorname{Meas}}_{\operatorname{cmp}}^{+}(D\setminus U_{0})$, $r\geq 0$ — произвольная локально отделённая от нуля функция из (6), а фиксированные $\nu\in\operatorname{Meas}^{+}_{\operatorname{cmp}}(D)$ и $U_{0}$ удовлетворяют (32), $M\in L^{1}_{\operatorname{loc}}(D)$.

1. К нетривиальности весовых классов голоморфных функций

Теорема 7**.**

Пусть $D$ — псевдовыпуклая область, $H=\operatorname{plsbh}_{*}(D)$. Если

[TABLE]

то найдётся строго положительная функция $\widehat{r}\leq r$ класса $C^{\infty}$ на $D$, для которой при любом значении числа $a>0$ для весовой функции

[TABLE]

зависящей только от $M$, $\widehat{r}$ и $a$, где

[TABLE]

класс \operatorname{Hol}\bigl{(}D,\widetilde{M}\,\bigr{)} не тривиален, т. е. содержит ненулевую функцию.

Если $M\in C(D)$, то функцию $\widehat{r}$ можно убрать, заменив $M^{*\widehat{r}}$ в правой части (3) на $M$.

Если $M\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$, то для любой локально отделённой от нуля функции $d\colon D\to\mathbb{R}_{*}^{+}$ с

[TABLE]

вместо функции $\widetilde{M}$ из (3) можно использовать функцию

[TABLE]

Доказательство.

По следствию 2.1, часть II1, для $u=0$ из условия (2), соответствующего (34l), найдется функция $h\in\operatorname{plsbh}_{*}(D)$, с которой выполнено (35), т. е.

[TABLE]

Теорема A** ([2, теорема 1]).**

Для псевдовыпуклой области $D\subset\mathbb{C}^{n}$ и $h\in\operatorname{plsbh}_{*}(D)$ для любого числа $a>0$ найдется ненулевая функция $f\in\operatorname{Hol}(D)$, удовлетворяющая оценке

[TABLE]

Применим усреднение по шарам $B(z,d)$ к обеим частям неравенства (7) с добавками двух последних слагаемых из правой части (8) при дополнительном ограничении $d<1$. Тогда по теореме A существует ненулевая функция $f\in\operatorname{Hol}(D,\widetilde{M})$ с функцией $\widetilde{M}$ из (3). Вариация теоремы 7 для $M\in C(D)$ следует из части II(1)i следствия 2.1. В случае $M\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$ следует воспользоваться частью II(1)ii следствия 2.1 при $r=\frac{1}{A}d$ для функции $d$ из (5). При таком выборе некоторые технические выкладки позвляют выбрать $\widetilde{M}$ как в (6). ∎

2. К описанию нулевых множеств

Теорема 8**.**

Пусть область $D\subset\mathbb{C}^{n}$ односвязная при $n=1$ и звёздная относительно некоторой точки $z_{0}\in D$ при $n>1$, т. е. для любой точки $z\in D$ отрезок $[z_{0},z]$ лежит в $D$. Пусть $H=\operatorname{plhar}(D)$, $\nu:=\delta_{z_{0}}$ — мера Дирака в точке $z_{0}\in D$, ${\sf Z}$ — дивизор нулей некоторой ненулевой функции $f_{\sf Z}\in\operatorname{Hol}(D)$, т. е. $\operatorname{Zero}_{f_{\sf Z}}={\sf Z}$. Если для некоторой постоянной $C\in\mathbb{R}$ имеем

[TABLE]

то найдутся строго положительная функция $\widehat{r}\leq r$ класса $C^{\infty}$ на $D$ и функция $f\in\operatorname{Hol}(D,M^{*\widehat{r}})$ с дивизором нулей $\operatorname{Zero}_{f}={\sf Z}$. Если дополнительно $M\in C(D)$, то можно выбрать такую функцию $f$ с $\operatorname{Zero}_{f}={\sf Z}$ из $\operatorname{Hol}(D,M)$. Если $M\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$, то такую $f$ можно выбрать из $\operatorname{Hol}(D,M^{*r})$.

Доказательство.

По следствию 2.1, часть II1, для $u=\log|f_{\sf Z}|$ из условия (9), соответствующего (34l), найдется функция $h\in\operatorname{plhar}_{*}(D)$, с которой выполнено (35), т. е.

[TABLE]

Для плюригармонической функции $h$ в $D$ найдётся функция $g\in\operatorname{Hol}(D)$ [54, предложение 2.2.13], для которой ${\rm Re\,}g=h$. Тогда функция $f:=f_{\sf Z}e^{g}$ ввиду (10) искомая. Уточнения/упрощения для $M\in C(D)$ и $M\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$ следуют соотв. из части II(1)i следствия 2.1 и из $M^{*\widehat{r}}\leq M^{*r}$. ∎

3. К описанию нулевых подмножеств

Теорема 9**.**

Пусть область $D\subset\mathbb{C}^{n}$ псевдовыпуклая, $H=\operatorname{plsbh}_{*}(D)$, положительная функция ${\sf Z}\leq\operatorname{Zero}_{f_{0}}$ на $D$, где $\operatorname{Zero}_{f_{0}}$ — дивизор нулей некоторой ненулевой функции $f_{0}\in\operatorname{Hol}(D)$. Если для некоторой постоянной $C\in\mathbb{R}$ имеем

[TABLE]

то найдутся строго положительная функция $\widehat{r}\leq r$ класса $C^{\infty}$ на $D$ и ненулевая g\in\operatorname{Hol}\bigl{(}D,\widetilde{M}\,\bigr{)}, где $\widetilde{M}$ из (3), с дивизором нулей $\operatorname{Zero}_{g}\geq{\sf Z}$ на $D$. Если дополнительно $M\in C(D)$, то можно выбрать такую функцию $g\neq 0$ с $\operatorname{Zero}_{g}\geq{\sf Z}$ из $\operatorname{Hol}(D,M)$. Если $M\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$, то для любой локально отделённой от нуля функции $d\colon D\to\mathbb{R}_{*}^{+}$, удовлетворяющей условиям (5), можно выбрать такую ненулевую g\in\operatorname{Hol}\bigl{(}D,\widetilde{M}\,\bigr{)} с $\widetilde{M}$ из (6) и $\operatorname{Zero}_{g}\geq{\sf Z}$.

Доказательство.

По следствию 2.1, часть II1, для субгармонической $u:=\log|f_{0}|$ из условия (11), соответствующего (34l), найдется функция $h\in\operatorname{plsbh}_{*}(D)$, с которой выполнено (35):

[TABLE]

По теореме A существует ненулевая функция $f\in\operatorname{Hol}(D)$, удовлетворяющая (8). Применим усреднение по шарам $B(z,d)$ к обеим частям неравенства (12) с добавками двух последних слагаемых из правой части (8) при дополнительном ограничении $d<1$. Тогда ввиду субгармоничности \log\bigl{|}f_{0}(z)\bigr{|}\leq B_{\log|f_{0}|}(z,d) при всех $z\in D$ и функция $g:=f_{0}f$ — требуемая. Вариация теоремы 9 для $M\in C(D)$ следует из части II(1)i следствия 2.1. В случае $M\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$ следует воспользоваться частью II(1)ii следствия 2.1 при $r=\frac{1}{A}d$ для функции $d$ из (5). При таком выборе некоторые технические выкладки позволяют выбрать $\widetilde{M}$ как в (6). ∎

4. К представлению мероморфных функций

Теорема 10**.**

Пусть область $D\subset\mathbb{C}^{n}$ псевдовыпуклая, $H=\operatorname{plsbh}_{*}(D)$,

[TABLE]

Если для некоторой постоянной $C\in\mathbb{R}$ имеем

[TABLE]

то найдутся строго положительная функция $\widehat{r}\leq r$ класса $C^{\infty}$ на $D$ и ненулевые функции g_{1},g_{2}\in\operatorname{Hol}\bigl{(}D,\widetilde{M}\,\bigr{)}, где $\widetilde{M}$ из (3), представляющие $Q=g_{1}/g_{2}$. Если $M\in C(D)$, то можно выбрать эти голоморфные функции $g_{1},g_{2}\neq 0$, представляющие $Q=g_{1}/g_{2}$, из $\operatorname{Hol}(D,M)$. Если $M\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$, то для любой локально отделённой от нуля $d\colon D\to\mathbb{R}_{*}^{+}$, удовлетворяющей (5), можно выбрать такую пару ненулевых функций g_{1},g_{2}\in\operatorname{Hol}\bigl{(}D,\widetilde{M}\,\bigr{)} с $\widetilde{M}$ из (6) и $Q=g_{1}/g_{2}$.

Доказательство.

По следствию 2.1, часть II1, для субгармонической функции $u:=U_{Q}$ из условия (14), соответствующего (34l), найдется функция $h\in\operatorname{plsbh}_{*}(D)$, с которой выполнено (35):

[TABLE]

По теореме A существует ненулевая функция $f\in\operatorname{Hol}(D)$, удовлетворяющая (8). Применим усреднение по шарам $B(z,d)$ к обеим частям неравенства (15) с добавками двух последних слагаемых из правой части (8) при дополнительном ограничении $d<1$. Тогда ввиду субгармоничности $U_{Q}(z)\leq B_{U_{Q}}(z,d)$ при всех $z\in D$ и получаем неравенство $U_{Q}+\log|f|\leq\widetilde{M}+{\rm const}$ на $D$ для функции $\widetilde{M}$ из (3). Отсюда при любом из двух выборов функции $U_{Q}$ в (13) имеем

[TABLE]

и функции

[TABLE]

— искомые. Вариация теоремы 7 для $M\in C(D)$ следует из части II(1)i следствия 2.1. В случае $M\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$ следует воспользоваться частью II(1)ii следствия 2.1 при $r=\frac{1}{A}d$ для функции $d$ из (5). При таком выборе некоторые технические выкладки позволяют выбрать $\widetilde{M}$ как в (6). ∎

Теорема 11**.**

Пусть область $D\subset\mathbb{C}^{n}$ односвязная при $n=1$ и звёздная относительно некоторой точки $z_{0}\in D$ при $n>1$. Пусть $H=\operatorname{plhar}(D)$, $\nu:=\delta_{z_{0}}$, $Q$ и $U_{Q}$ — функции из (13). Если для некоторой постоянной $C\in\mathbb{R}$ имеем

[TABLE]

то найдутся строго положительная функция $\widehat{r}\leq r$ класса $C^{\infty}$ на $D$ и функция $f\in\operatorname{Hol}(D)$, не обращающаяся в нуль на $D$, для которой выполнено (16), $g_{1},g_{2}\in\operatorname{Hol}(D,M^{*\widehat{r}})$ и, в частности, $\operatorname{Zero}_{g_{1}}=\operatorname{Zero}_{q_{1}}$, $\operatorname{Zero}_{g_{2}}=\operatorname{Zero}_{q_{2}}$. Если дополнительно $M\in C(D)$, то можно выбрать такую пару функций $g_{1},g_{2}$ из $\operatorname{Hol}(D,M)$. Если $M\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$, то такие $g_{1},g_{2}$ можно выбрать из $\operatorname{Hol}(D,M^{*r})$.

Доказательство.

По следствию 2.1, часть II1, для субгармонической $u=U_{Q}$ из условия (17), соответствующего (34l), найдется функция $h\in\operatorname{plhar}_{*}(D)$, с которой выполнено (35), т. е. (15). Для плюригармонической функции $h$ в $D$ найдётся функция $g\in\operatorname{Hol}(D)$ [54, предложение 2.2.13], для которой ${\rm Re\,}g=h$. Тогда для функции $f:=e^{g}$ функции $g_{1},g_{2}$ вида (16) согласно (15) искомые. Уточнения/упрощения для $M\in C(D)$ и $M\in\operatorname{sbh}_{*}(D)$ следуют соотв. из части II(1)i следствия 2.1 и из $M^{*\widehat{r}}\leq M^{*r}$. ∎

5. Заключительные замечания

Мы не использовали здесь применительно к голоморфным функциям следствие 2.1 в части II2 для выпуклого множества $H$, а также её часть I. Содержательное применение последней части дано нами в [30], [33] (см. также библиографию в них). Здесь мы также не применяли аппарат потенциалов Йенсена, двойственных к мерам Йенсена, теории голоморфных потоков Е. М. Полецкого вкупе с голоморфными и полиномиальными дисками. Эти и другие подходы будут рассмотрены в последующих работах.

Список литературы

• [1] Акилов Г. П., Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства. —  Новосибирск: Наука, 1978.
• [2]

Байгускаров Т. Ю., Хабибуллин Б. Н. Голоморфные миноранты плюрисубгармонических функций// Функц. анализ и его прил. —  2016. —  50, № 1. —  С. 76–79.

• [3] Байгускаров Т. Ю., Талипова Г. Р., Хабибуллин Б. Н. Подпоследовательности нулей для классов целых функций экспоненциального типа, выделяемых ограничениями на их рост вдоль вещественной оси// Алгебра и анализ. —  2016. —  28, № 2. —  С. 1–33.
• [4] Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. —  М.: Мир, 1972.
• [5] Бурбаки Н. Интегрирование меры, интегрирование мер. —  М.: Наука, 1967.
• [6] Картак В. В., Хабибуллин Б. Н. Двойственное представление функционалов на проективных пределах векторных решеток// Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. —  Казань: Казанское математическое общество. —  2009. —  38. —  С. 146–148.
• [7] Кудашева Е. Г., Хабибуллин Б. Н. Распределение нулей голоморфных функций умеренного роста в единичном круге и представление в нем мероморфных функций// Мат. сб. —  2009. —  200, № 9. —  С. 95–126.
• [8] Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциальное исчисление. Теория и приложения. —  М.: Наука, 2007.
• [9] Кутателадзе С. С., Рубинов А. М. Двойственность Минковского и её приложения. —  Новосибирск: Наука, 1976.
• [10]

Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. —  М.: Наука, 1966.

• [11]

Лелон Л., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. —  М.: Мир, 1989.

• [12] Математическая энциклопедия. —  М.: <<Советская энциклопедия>>. —  1977–1985. —  1–5.
• [13] Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. —  М.: Мир, 1973.
• [14] Ревенко А. В. О продолжении линейных функционалов// Украïнський математичний вiсник. —  2009. —  6, № 1. —  С. 113–125 http://iamm.su/upload/iblock/f7c/umb-t6-n1-113-125.pdf; English transl.: Revenko A. V. About the extension of a linear functional// Ukrainian Mathematical Bulletin. —  2009. —  6, № 1. С. 109–119 http://archive.nbuv.gov.ua/portal/natural/UMvis/2009-6-1-eng/109.pdf
• [15]

Ронкин Л. И. Элементы теории аналитических функций многих переменных. —  Киев: Наукова думка, 1977.

• [16] Ронкин Л. И. Целые функции// В кн.: Комплексный анализ – многие переменные – 3. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. —  М.: ВИНИТИ. —  1986. —  9. С. 5–36.
• [17] Себаштьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях// Сб. Математика. —  1957. —  I, № 1. —  С. 60–77.
• [18] Тихомиров В. М. Выпуклый анализ// В кн.: Анализ – 2. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. —  М.: ВИНИТИ. —  1987. —  14. —  С. 5–101.
• [19] Хабибуллин Б. Н. Наименьшая плюрисупергармоническая мажоранта и мультипликаторы целых функций. I// Сиб. матем. журн. —  1992. 33, № 1. —  С. 173–178.
• [20] Хабибуллин Б. Н. Наименьшая плюрисупергармоническая мажоранта и мультипликаторы целых функций. II. Алгебры функций конечного $\lambda$-типа// Сиб. матем. журн. — 

1992. —  33, № 3. С. 186–191.

• [21]

Хабибуллин Б. Н. Теорема о наименьшей мажоранте и ее применения. I. Целые и мероморфные функции// Изв. РАН. Сер. матем. —  1993. —  57, № 1. —  С. 129–146.

• [22] Хабибуллин Б. Н. Теорема о наименьшей мажоранте и ее применения. II. Целые и мероморфные функции конечного порядка// Изв. РАН. Сер. матем. —  1993. —  57, № 3. —  С. 70–91.
• [23] Хабибуллин Б. Н. Двойственное представление суперлинейных функционалов// В сб.: <<Комплексный анализ, дифференциальные уравнения,численные методы и приложения.Часть I. Комплексный анализ.>> —  Уфа: Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. —  1996. —  C. 122–131. https://www.researchgate.net/publication/308961070
• [24] Хабибуллин Б. Н. Двойственное представление суперлинейных функционалов и его применения в теории функций. I// Изв. РАН, сер. матем. —  2001. —  65, № 4. —  С. 205–224.
• [25] Хабибуллин Б. Н. Двойственное представление суперлинейных функционалов и его применения в теории функций. II// Изв. РАН, сер. матем. —  2001. —  65, № 5. —  С. 167–190.
• [26] Хабибуллин Б. Н. Теоремы единственности для голоморфных функций и выметание// В кн.: Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование. —  Владикавказ: ИПМИ ВНЦ РАН, РГУ, ЮРГУЭС, Владикавказский научный центр РАН. —  2006. —  С. 118–132. https://www.researchgate.net/publication/308972192
• [27] Хабибуллин Б. Н. Последовательности нулей голомофных функций, представление мероморфных функций и гармонические миноранты// Мат. сб. —  2007. —  198, № 2. —  С. 121–160.
• [28] Хабибуллин Б. Н. Нули голоморфных функций с ограничениями на рост в области// В кн.: Математический форум. Исследования по математическому анализу. Итоги науки. —  Владикавказ: ЮФО, ВНЦ РАН и РСО-А. —  2009. 3. С. 282–291. https://www.researchgate.net/publication/308972565
• [29] Хабибуллин Б. Н. Применения в комплексном анализе двойственного представления функционалов на векторных решетках// В кн.: Математический форум. Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и их приложениям. Итоги науки. Юг России. — Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. —  2010. —  4. —  С. 102–116. https://www.researchgate.net/publication/308972704
• [30] Хабибуллин Б. Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. Монография-обзор, 4-е изд., дополненное. —  Уфа: РИЦ БашГУ, 2012. http://www.researchgate.net/publication/271841461
• [31] Хабибуллин Б. Н. Аналоги теоремы Хана-Банаха для (полу)групп: построение нижней огибающей// В кн.: Материалы Международной конференции <<Алгебра и математическая логика: теория и приложения>>. Казань, 2–6 июня 2014 г. —  Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет. —  2014. —  С. 75–76. https://www.researchgate.net/publication/309312339
• [32] Хабибуллин Б. Н., Байгускаров Т. Ю. Логарифм модуля голоморфной функции как миноранта для субгармонической функции// Матем. заметки. —  2016. —  99, № 4. —  С. 588–602.
• [33]

Хабибуллин Б.Н,, Розит А. П. К распределению нулевых множеств голоморфных функций// Функц. анализ и его прил. —  2018. —  52, № 1. —  С. 26–42.

• [34] Хабибуллин Б. Н., Розит А. П., Хабибуллин Ф. Б. Порядковые версии теоремы Хана—Банаха и огибающие. I. Однородные функции// В кн.: Математический форум (Итоги науки. Юг России). Исследования по математическому анализу, дифференциальным уравнениям и математическому моделированию (12–18 июля 2015 г., Цей–Владикавказ). —  Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, РСО–А. —  2016. —  10, № 1. —  С.  226–243. https://www.researchgate.net/publication/308984521
• [35] Хабибуллин Б. Н., Хабибуллин Ф. Б., Чередникова Л. Ю. Подпоследовательности нулей для классов голоморфных функций, их устойчивость и энтропия линейной связности. I, II// Алгебра и анализ. —  2008. —  20, № 1. —  С. 146–236.
• [36] Хабибуллин Ф. Б., Хабибуллина Э. Б. К теореме Хана–Банаха// В сб. трудов: VI Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и её приложения в естествознании». Математика. —  Уфа: РИЦ БашГУ. —  2013. —  1. —  С. 101–106. http://matem.anrb.ru/bsuconf/2013/sbornik_2013_matem.pdf
• [37] Чирка Е. М. Комплексные аналитические множества. —  М.: Наука, 1985.
• [38] Шефер Х. Топологические векторные пространства. —  М.: Мир, 1971.
• [39] Aliprantis C. D., Border K. C. Infinite Dimensional Analysis, 3rd edn. —  Heidelberg: Springer, 2006.
• [40] Anger B., Lembcke J. Hahn-Banach Type Theorems for Hypolinear Functionals// Math. Ann. —  1974. —  209. —  С. 127–151.
• [41] Borwein J. M., Vanderwerff J. D. Convex Functions: Constructions, Characterizations and Counterexamples. —  N. Y.: Cambridge University Press, 2010.
• [42] Buskes G. The Hahn – Banach theorem surveyed. Diss. Math. (Rozprawy Matematyczne). —  Warszawa: Polska Academia Nauk, Instytut Matematyczny. —  1993. —  CCCXXVII. —  С. 1–49.
• [43] Dinha N., Ernst E., Lópezc M. A., Volled M. An approximate Hahn – Banach theorem for positively homogeneous functions// Optimization: A Journal of Math. Programming and Operations Research. —  2013. —  64, № 5. —  P. 1321–1328.
• [44] Edwards D. A. Choquet boundary theory for certain spaces of lower semicontinuous functions// В кн.: Function Algebras. In: Proceedings of the International Symposium on Function Algebras. —  Chicago: Scott, Foresman and Company. —  1966. С. 300–309.
• [45] Fuchssteiner B., Lusky W. Convex Cones. —  Amsterdam: North-Holland Math. Studies. Notas de Math. —  56, 1981.
• [46] Gamelin T. W. Uniform Algebras and Jensen Measures. —  Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1978.
• [47] Gogus N. G., Perkins T. L., Poletsky E. A. Non-compact versions of Edwards’ Theorem// Positivity. —  2013. —  17. —  С. 459–473.
• [48] Hörmander L. Sur la fonction d’appui des ensembles convexes dans une espace lokalement convexe// Arkiv för Math. —  1955. —  3, № 2. —  С. 180–186.
• [49] Hörmander L. Notions of Convexity, Progr. Math., 127. —  Boston: Birkhäser Boston, MA, 1994.
• [50] Khabibullin B. N. Variant of a problem on the representation of a meromorphic function as a quotient of entire functions// Complex Variables and Elliptic Equations. —  1998. —  37, № 1. —  С. 371–384.
• [51] Khabibullin B. N. Dual approach to certain questions for weighted spaces of holomorphic functions// В кн.: Entire functions in modern analysis (Tel-Aviv, December 14–19, 1997), Israel Math. Conf. Proc. —  Tel-Aviv: Bar-Ilan Univ., Ramat Gan. —  2001. —  15. С. 207–219.
• [52] Khabibullin B. N. The representation of a meromorphic function as the quotient of entire functions and Paley problem in $\mathbb{C}^{n}$: survey of some results// Матем. физ., анал., геом. —  2002. —  9, № 2. С. 146–167.
• [53] Khabibullin B. N. Generalizations of Nevanlinna’s theorems// Matematychni Studii, Lviv. —  2010. —  34, № 2. С. 197–206.
• [54] Klimek M. Pluripotential theory, London Math. Soc. Monogr. —  NY: Clarendon Press. —  6, 1991.
• [55] Koosis P. Leçons sur le théorème de Beurling et Malliavin. —  Montréal: Les Publications CRM, 1996.—С 230.
• [56] Lubyshev V. F. On dual representation of a mapping on a projective limit of vector lattice// В кн.: Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых. (Уфа, 30 ноября–6 декабря, 2005). Сборник трудов. Математика. —  Уфа: ООО <<ИдельИнвест>>. —  2005. —  III. —  С. 64–70.
• [57] Narici L. On the Hahn – Banach Theorem// В кн.: Advanced Courses of Mathematical Analysis II: Proceedings of the Second International School, Granada, Spain, 20–24 September 2004 (M. V. Velasco, A. Rodriguez-Palacios). —  2004. С. 87–122.
• [58] Narici L., Beckenstein L. The Hahn-Banach theorem: the life and times// Topology and its Applications. —  1997. —  2–3. С. 193–217.
• [59] Poletsky E. A. Plurisubharmonic functions as solutions of variational problems// В кн.: Proc. Sympos. Pure Math. —  1991. —  52, 1. —  С. 163–171.
• [60] Poletsky E. A. Holomorphic Currents// Indiana Univ. Math. Jour. —  1993. —  42, № 1. —  С. 85–144.
• [61] Poletsky E. A., Sigurdsson R. Dirichlet problems for plurisubharmonic functions on compact sets// Math. Zeitschrift. —  2012. 271, № 3–4. —  С. 877–892.
• [62]

Ronkin L. I. Functions of Completely Regular Growth. —  Dordrecht/Boston/London: Kluver Acad. Publ. Math. and Its Appl. (Soviet Series), 1992.

• [63] Simons S. Extended and sandwich versions of the Hahn – Banach Theorem// J. Math. Anal. Appl. —  1968. —  21. С. 112–122.
• [64] Simons S. From Hahn-Banach to Monotonicity. —  Berlin: Springer Science+Business Media B.V. Lect. Notes in Math. —  1963, 2008.
• [65] Weston J. D. A note on the extension of linear functionals// Amer. Math. Monthly. —  May, 1960. —  67, № 5. С. 444–445.
• [66] Zălinesku C. On zero duality gap and the Farkas lemma for conic programming // Math. OperRes. —  2008. 33. С. 991–1001.
• [67] Zălinesku C. Hahn–Banach extension theorems for multifunctions revisited// Math. Methods Oper. Res. —  2008. 68. С. 493–508.