Automorphisms of threefolds that can be represented as an intersection of two quadrics

TL;DR

This paper classifies certain three-dimensional algebraic varieties known as del Pezzo threefolds of degree 4, focusing on their automorphism groups and G-birational rigidity, advancing understanding of their symmetries and birational properties.

Contribution

It provides a complete classification of G-birationally rigid del Pezzo threefolds of degree 4 and establishes the G-birational rigidity of a specific example.

Findings

Classification of all potentially G-birationally rigid del Pezzo threefolds of degree 4

Determination of their automorphism groups

Proof of G-birational rigidity for one specific threefold

Abstract

In this paper we classify all potentially G-birationally rigid del Pezzo threefolds of degree 4 and their automorphism groups and prove the G-birational rigidity of one of them

Equations

$$0\to C_2^5\to \mathrm{Aut}(X)\to S_4\to 0.$$

$$\mathcal{P}=\{Q_{\lambda ,\mu }=\lambda Q_1+\mu Q_2,(\lambda :\mu )\in {\mathbb{P}}^1\}$$

$$\Delta =\Delta (\lambda ,\mu )=\mathrm{Det}(\lambda Q_1+\mu Q_2)$$

$${\sigma }_X={\sigma }_P=[(e_0^1...e_{d_1}^1),(e_0^2...e_{d_2}^2),...,(e_0^r...e_{d_r}^r)].$$

$$Q_{1,i,j}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& ...& 1& -\frac{{\mu }_i}{{\lambda }_i}\\ 0& ...& 1& -\frac{{\mu }_i}{{\lambda }_i}& 0\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ 1& -\frac{{\mu }_i}{{\lambda }_i}& 0& ...& 0\\ -\frac{{\mu }_i}{{\lambda }_i}& 0& 0& ...& 0\end{array}\right),Q_{2,i,j}=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& ...& 0& 1\\ 0& ...& 0& 1& 0\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ 0& 1& 0& ...& 0\\ 1& 0& 0& ...& 0\end{array}\right).$$

$$Q_1=\mathrm{Diag}(Q_{1,1,1},...,Q_{1,r,d_r}),Q_2=\mathrm{Diag}(Q_{2,1,1},...,Q_{2,r,d_d}).$$

$$0\to \mathrm{Aut}(X{)}^{\prime }\to \mathrm{Aut}(X)\to \mathrm{Aut}(X{)}^{\prime \prime }\to 0,$$

$$[1,1,1,1,1,1],[2,2,1,1],[2,2,2],[3,3],[(1,1),(1,1),1,1],$$

$$[(1,1),(1,1),(1,1)],[(2,1),(2,1)].$$

$$Q_1=\sum _{i=1}^6{\lambda }_i{x}_i^2,Q_2=\sum _{i=1}^6{x}_i^2,$$

$$C\cdot K_{\tilde{X}}=\pi (C)\cdot K_X+2C\cdot E=-2\mathrm{deg}\pi (C)+2{\mathrm{mult}}_{p}C\le 0.$$

$$\xi x_1^2+{\xi }^2{x}_2^2+{\xi }^3{x}_3^2+{\xi }^4{x}_4^2+x_5^2=\sum _{i=1}^6{x}_i^2=0,$$

$$\{e\},C_2,C_2^2,C_2^3,C_2^4,C_2^5,C_5,C_{10},C_2^4⋊C_5,C_2^5⋊C_5.$$

$$p=(p_1:p_2:p_3:p_4:p_5:p_6)\in X$$

$$(\pm p_1:\pm p_2:\pm p_3:p_4:p_5:p_6),$$

$$16{\mu }^2=H\cdot Z\ge 4{\mathrm{mult}}_{p}Z>16{\mu }^2,$$

$$16{\mu }^2=H\cdot H_1\cdot H_2\ge ({\mathrm{mult}}_L\mathcal{H}{)}^{2}H\cdot L>{\mu }^{2}rd.$$

$$L=aM-b\sum M_i$$

$$b=a-2b,3a-5b=d.$$

$$a=3b,b=\frac{d}{4}.$$

$$5=h^0(-K_{\bar{H}})=\frac{-K_{\bar{H}}\cdot (-K_{\bar{H}}-K_{\bar{H}})}{2}+\chi (\mathcal{O})=4+\chi (\mathcal{O}),$$

$$h^0(-2K_{\bar{H}})=\frac{-2K_{\bar{H}}\cdot (-2K_{\bar{H}}-K_{\bar{H}})}{2}+\chi (\mathcal{O})=12+\chi (\mathcal{O}),$$

$$h^0(-3K_{\bar{H}})=\frac{-3K_{\bar{H}}\cdot (-3K_{\bar{H}}-K_{\bar{H}})}{2}+\chi (\mathcal{O})=24+\chi (\mathcal{O}).$$

$$h^0(-2K_{\bar{H}})=13,h^0(-3K_{\bar{H}})=25,$$

$$Q_1=\xi x_1^2+{\xi }^2{x}_2^2+{\xi }^3{x}_3^2+{\xi }^4{x}_4^2+x_5^2=0,Q_2=\sum _{i=1}^5{x}_i^2=0.$$

$$\zeta x_1^2+{\zeta }^2{x}_2^2+{\zeta }^3{x}_3^2+{\zeta }^4{x}_4^2+x_5^2,$$

$$C\cdot K_{\tilde{X}}=C\cdot (f^{\ast }{K}_X+E)=f(C)\cdot K_X+C\cdot E=-2\mathrm{deg}C+f(C)\cdot L=0,$$

$$Q_1=x_1{x}_2+\xi x_3{x}_4+{\xi }^2{x}_5{x}_6=0,Q_2=x_1{x}_2+x_3{x}_4+x_5{x}_6=0,$$

$$0⟶{\mathrm{Aut}}^0(X)⟶\mathrm{Aut}(X)⟶\widehat{\mathrm{Aut}}(X)⟶0,$$

$$g_1:(x_1:x_2:x_3:x_4:x_5:x_6)\mapsto (x_3:x_4:x_5:x_6:x_1:x_2),$$

Full text

ни 4 с терминальными особенностями, за исключением однопараметрического семейства и четырёх выделенных случаев, эквивариантно перестраиваются в проективное пространство $\mathbb{P}^{3}$, квадрику $Q\subset\mathbb{P}^{4}$, $G$-расслоение на коники или поверхности дель Пеццо. Также мы покажем, что одно из четырёх выделенных многообразий является бирационально жёстким относительно подгруппы в группе автоморфизмов индекса 2.

Библиография: 14 названий.

00footnotetext: Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты № 15-01-02164 и 15-01-02158).

1 Введение

Одной из мотивировок данной работы является получение бирациональной классификации трёхмерных $G$-многообразий, т.е. многообразий с бирегулярным действием конечной группы $G$. Мы будем работать над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. Хорошо известно, что в этом случае существуют эквивариантное разрешение особенностей (см., например,  [1]) и эквивариантная программа минимальных моделей в размерности 3 (см., например, [2] и  [3, §3.6]), которая позволяет привести любое трёхмерное $G$-многообразие $X$ с помощью определённых эквивариантных бирациональных перестроек к $G$-многообразию $\bar{X}$ со следующими свойствами: оно $G\mathbb{Q}$-факториально, имеет не более чем терминальные особенности и либо канонический класс является эффективным, либо на нём есть структура $G$-расслоения Мори.

Определение 1.1**.**

$G$-многообразие $\bar{X}$ с не более чем терминальными $G\mathbb{Q}$-факториальными особенностями называется $G$-расслоением Мори, если существует такой морфизм $\pi:\bar{X}\to Y$, что $\pi_{*}\mathcal{O}_{\bar{X}}=\mathcal{O}_{Y}$, $\dim X>\dim Y$, $\rho^{G}(X/Y)=1$ и относительный антиканонический класс $-K_{X/Y}$ является $\pi$-обильным.

Определение 1.2**.**

Пусть $\pi:\bar{X}\to Y$ – $G$-расслоение Мори. Если $Y$ является точкой, то многообразие $\bar{X}$ называется $G\mathbb{Q}$-многообразием Фано. Если при этом канонический класс является дивизором Картье, то $\bar{X}$ называется $G$-многообразием Фано.

Определение 1.3**.**

Пусть $\pi:\bar{X}\to Y$ – трёхмерное $G$-расслоение Мори. Тогда оно называется расслоением на коники (соотв., поверхности дель Пеццо степени $d$), если общий слой расслоения изоморфен конике (соотв., поверхности дель Пеццо степени $d$).

Определение 1.4**.**

Трёхмерное многообразие $\bar{X}$ называется многообразием дель Пеццо (см., например, [4]), если оно имеет не более чем терминальные горенштейновы особенности, а его антиканонический класс $-K_{\bar{X}}$ является обильным дивизором Картье и делится на 2 в группе Пикара. Если $G$ – такая конечная подгруппа $\operatorname{Aut}(\bar{X})$, что $\bar{X}$ является $G\mathbb{Q}$-многообразием Фано, то будем говорить, что $\bar{X}$ $G$-минимально, а группу $G$ в этом случае будем называть минимальной.

Определение 1.5**.**

Трёхмерное многообразие $\bar{X}$ называется слабым многообразием дель Пеццо, если оно имеет не более чем терминальные горенштейновы особенности, а его антиканонический класс $-K_{\bar{X}}$ является численно эффективным объёмным дивизором Картье и делится на 2 в группе Пикара.

Трёхмерные $G$-многообразия дель Пеццо были частично классифицированы Ю. Прохоровым в работе  [5]. Основным их инвариантом является степень $d=(-\frac{1}{2}K_{\bar{X}})^{3}$, которая может принимать значения от 1 до 8. В этой работе мы рассмотрим случай $d=4$. Этот выбор обусловлен тем, что в случаях $d\geq 5$ имеется ровно четыре $G$-многообразия Фано, и их группы автоморфизмов хорошо изучпны, поэтому $d=4$ – первый нетривиальный случай.

Второй мотивировкой данной работы является изучение конечных подгрупп в группе Кремоны $\operatorname{Cr}_{3}(\mathbb{K})$, где $\mathbb{K}$ – алгебраически замкнутое поле характеристики 0. Группа $\operatorname{Cr}_{n}(\mathbb{K})$ – это группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства $\mathbb{P}^{n}$. Конечные подгруппы $\operatorname{Cr}_{2}(\mathbb{K})$ были полностью классифицированы И. Долгачёвым и В. Исковских в работе  [6]. Основная суть метода классификации состоит в следующем. Пусть $G$ – конечная подгруппа в $\operatorname{Cr}_{2}(\mathbb{K})$. Тогда действие $G$ регуляризуется, т.е. существует гладкое проективное многообразие $Z$, на котором $G$ действует бирегулярными автоморфизмами с эквивариантным бирациональным отображением $Z\dasharrow\mathbb{P}^{2}$. Применив далее эквивариантную программу минимальных моделей, мы получим $G$-расслоение Мори, которое является либо $G$-расслоением на коники над $\mathbb{P}^{1}$, либо $G$-минимальной поверхностью дель Пеццо. Классифицировав все возможные минимальные группы для расслоений на коники и для поверхностей дель Пеццо, Долгачёв и Исковских получили полную классификацию конечных подгрупп в $\operatorname{Cr}_{2}(\mathbb{K})$. Но довольно часто полученные подгруппы являются сопряжёнными в $\operatorname{Cr}_{2}(\mathbb{K})$, поэтому их естественно отождествить. Несложно видеть, что $G$-многообразия $Z_{1}$ и $Z_{2}$ дают сопряжённые подгруппы в том и только том случае, когда есть $G$-эквивариантное бирациональное отображение $Z_{1}\dasharrow Z_{2}$. Поэтому кроме классификации всех рациональных $G$-расслоений Мори необходимо исследовать также и бирациональные отображения между различными расслоениями.

Действуя таким же образом в трёхмерном случае, можно свести задачу классификации конечных подгрупп в $\operatorname{Cr}_{3}(\mathbb{K})$ к задаче описания всех рациональных $G\mathbb{Q}$-расслоений Мори и эквивариантных бирациональных отображений между ними. Эта программа была реализована в некоторых частных случаях: например, классифицированы простые неабелевы группы, вкладывающиеся в $\operatorname{Cr}_{3}(\mathbb{K})$ ( [7], см. также  [8],  [9]), а также $p$-элементарные подгруппы $\operatorname{Cr}_{3}(\mathbb{K})$ (см.  [10]). Нас будет интересовать следующий вопрос: какими должны быть многообразие дель Пеццо степени 4 и конечная минимальная группа, действующая на нём, чтобы не было $G$-эквивариантного отображения на $\mathbb{P}^{3}$, квадрику $Q\subset\mathbb{P}^{4}$, расслоение на коники или поверхности дель Пеццо с регулярным действием группы $G$? Все перечисленные классы многообразий являются более простыми с точки зрения классификации $G$-расслоений Мори, чем оставшиеся $G$-многообразия Фано, поэтому вопрос естественный.

В работе мы используем следующие обозначения для групп:

• •

$C_{n}$ – циклическая группа порядка $n$;

• •

$D_{2n}$ – диэдральная группа порядка $2n$;

• •

$S_{n}$ – симметрическая группа степени $n$;

• •

$G^{n}$ – прямое произведение $n$ копий группы $G$.

Основными результатами данной работы являются следующие теоремы:

Теорема 1.6**.**

Пусть $X$ – $G$-многообразие дель Пеццо степени 4. Предположим, что $X$ не является $G$-бирационально эквивалентным $\mathbb{P}^{3}$ и квадрике в $\mathbb{P}^{4}$ с регулярным действием группы $G$, а также $G$-расслоению Мори над базой положительной размерности. Тогда $X$ является одним из следующих многообразий:

1. (i)

пересечение двух квадрик в $\mathbb{P}^{5}$ с $\operatorname{rk}\operatorname{Cl}(X)=5$. Такое многообразие единственно (см.  **[5*]**), а его полная группа автоморфизмов изоморфна *

$(\mathbb{C}^{*}\rtimes C_{2})^{3}\rtimes S_{3}$. Оно подробно описано в разделе 5; 2. (ii)

гладкое пересечение двух квадрик. В этом случае возможны следующие варианты:

1. (i)

$\operatorname{Aut}(X)\simeq C_{2}^{5}\rtimes C_{5}$; 2. (ii)

$\operatorname{Aut}(X)\simeq C_{2}^{5}\rtimes D_{12}$; 3. (iii)

$\operatorname{Aut}(X)\simeq C_{2}^{5}\rtimes D_{6}$; 4. (iv)

группа $\operatorname{Aut}(X)$ вкладывается в точную последовательность

[TABLE]

В случаях (2, i), (2, ii) и (2, iv) многообразие $X$ единственно с точностью до изоморфизма. В случае (2, iii) такие многообразия $X$ образуют однопараметрическое семейство.

Замечание 1.7**.**

В случаях (2, i)-(2, iv) мы не утверждаем, что $G=\operatorname{Aut}(X)$.

Теорема 1.8**.**

Пусть $X$ – многообразие из пункта (2, i) теоремы  1.6, а $G\simeq C_{2}^{4}\rtimes C_{5}$. Тогда оно является $G$-бирационально жёстким, т.е. если есть другое $G$-расслоение Мори $X^{\prime}\to Y^{\prime}$ с $G$-эквивариантным бирациональным отображением $X\dasharrow X^{\prime}$, то $X^{\prime}\simeq X$. Как следствие, любое другое $G$-расслоение Мори даёт нам несопряжённое вложение $G\subset\operatorname{Cr}_{3}(\mathbb{K})$.

Замечание 1.9**.**

В случаях (1) и (2, ii)-(2, iv) теоремы 1.6 не утверждается, что многообразие $X$ нельзя $G$-эквивариантно перестроить в $\mathbb{P}^{3}$, квадрику в $\mathbb{P}^{4}$ или $G$-расслоение Мори над базой положительной размерности. Вопрос о существовании таких перестроек для некоторых подгрупп $G\subset\operatorname{Aut}(X)$ остаётся открытым.

2 Пересечения двух квадрик и символы Сегре

Пусть $X$ – трёхмерное многообразие дель Пеццо степени 4 (см. определение 1.4). Напомним, что мы предполагаем, что $X$ имеет только терминальные горенштейновы особенности. Хорошо известны следующие факты:

Теорема 2.1**.**

(см.  [4, Corollary 1.7]) Многообразие дель Пеццо $X$ степени 4 является пересечением двух квадрик в $\mathbb{P}^{5}$.

Предложение 2.2**.**

(см., например,  [11, Example 10.3.1]) Многообразие дель Пеццо $X$ степени 4 является рациональным.

Предложение 2.3**.**

Многообразие дель Пеццо $X$ степени 4 является пересеченим двух гладких квадрик.

Доказательство.

По теореме  2.1 многообразие $X$ является пересечением двух квадрик, обозначим их $Q_{1}$ и $Q_{2}$. По теореме Бертини общий элемент $Q$ пучка $\langle Q_{1},Q_{2}\rangle$ неособ вне $X$. Так как $X=Q_{1}\cap Q_{2}$, то $Q$ может иметь особенности только в конечном множестве $\operatorname{Sing}(X)$. Поэтому общий элемент пучка квадрик может быть особым в том и только в том случае, когда $Q_{1}$ и $Q_{2}$ имеют общую особую точку. В таком случае $X$ является пересечением двух конусов с общей вершиной, поэтому размерность касательного пространства в вершине равна пяти. С другой стороны, размерность касательного пространства в терминальной горенштейновой особой точке на трёхмерном многообразии равна четырём (см.  [12, Theorem 1.1]). Противоречие. ∎

Для описания групп автоморфизмов многообразий дель Пеццо степени 4 рассмотрим более общую ситуацию пересечения двух квадрик произвольной размерности.

Рассмотрим многообразие $X=Q_{1}\cap Q_{2}\subset\mathbb{P}^{n}$, где $Q_{1}$ и $Q_{2}$ – различные квадрики, причём квадрика $Q_{2}$ неособа. Обозначим через $\mathcal{P}$ пучок квадрик

[TABLE]

(будем обозначать квадрику и её уравнение, а также матрицу соответствующей квадратичной формы одним символом).

Определение 2.4**.**

Дискриминантом пучка квадрик $\mathcal{P}$ называется многочлен степени $n+1$ от двух переменных

[TABLE]

.

Дискриминант пучка квадрик зависит от выбора порождающих $Q_{1}$ и $Q_{2}$, однако его корни (с учётом кратностей) определены однозначно, с точностью до автоморфизма $\mathcal{P}\simeq\mathbb{P}^{1}$.

Пусть $(\bar{\lambda}:\bar{\mu})$ – корень уравнения $\Delta=0$. Существует такое целое число $d\geq 0$, что все миноры матрицы $Q_{\bar{\lambda}:\bar{\mu}}$ порядка $n+1-d$ зануляются, но не все миноры порядка $n-d$. Обозначим через $l_{i},i=0,1,...,d$ минимальную кратность корня $(\bar{\lambda}:\bar{\mu})$ в минорах порядка $n+1-i$, тогда $l_{i}>l_{i+1}$. Пусть $e_{i}=l_{i}-l_{i+1}$, где $0\leq i\leq d-1$ и $e_{d}=l_{d}$.

Определение 2.5**.**

Числа $e_{i}$ называются характеристическими числами корня $(\bar{\lambda}:\bar{\mu})$.

Пусть $(\lambda_{i}:\mu_{i}),i=1,2,...,r$ – все корни уравнения $\Delta=0$, $e^{i}_{j},j=0,1,...,d_{i}$ – их характеристические числа, причём если $i_{1}<i_{2}$, то $d_{i_{1}}\geq d_{i_{2}}$, а в случае равенства наборы характеристических чисел упорядочены лексикографически.

Определение 2.6**.**

Символом Сегре пересечения двух квадрик $X$ (или пучка квадрик $\mathcal{P}$) называется набор чисел

[TABLE]

Замечание 2.7**.**

Будем опускать скобки в символе Сегре, если в них стоит ровно одно число.

Замечание 2.8**.**

Каждому корню дискриминанта (скобке в символе Сегре) соответствует особая квадрика, являющаяся конусом с $d$-мерной вершиной, где $d$ – количество характеристических чисел, соответствующих данному корню (будем называть это число длиной скобки).

Теорема 2.9**.**

( [13, Chapter XIII, §10, Theorem I]) Два пучка квадрик $\mathcal{P}_{1}$ и $\mathcal{P}_{2}$ изоморфны тогда и только тогда, когда существует автоморфизм $\mathbb{P}^{1}$, переводящий корни $\Delta_{\mathcal{P}_{1}}$ в корни $\Delta_{\mathcal{P}_{2}}$, причём наборы характеристических чисел у соответствующих корней совпадают.

Таким образом, пучок квадрик однозначно определяется конфигурацией корней уравнения $\Delta=0$ и символом Сегре. Поэтому можно определить нормальную форму пучка квадрик $\mathcal{P}$.

Для произвольного числа $e^{i}_{j}$ из символа Сегре многообразия $X$ рассмотрим две $e^{i}_{j}\times e^{i}_{j}$-матрицы

[TABLE]

Следствие 2.10**.**

Можно выбрать однородные координаты в $\mathbb{P}^{5}$ таким образом, что в них матрицы $Q_{1}$ и $Q_{2}$ имеют блочно-диагональный вид

[TABLE]

Теперь вернёмся к ситуации трёхмерного многообразия дель Пеццо $X$ степени 4. Мы знаем, что оно является пересечением двух квадрик, одна из которых неособа, поэтому ему можно сопоставить его символ Сегре.

Предложение 2.11**.**

*Пусть $X$ является многообразием дель Пеццо степе-

ни 4. Тогда любая скобка в символе Сегре многообразия $X$ содержит не более двух характеристических чисел, а любая скобка из двух чисел имеет вид $(a,1)$.*

Доказательство.

Действительно, если в какой-то скобке содержится более двух чисел, то квадрика, соответствующая корню дискриминанта с этим набором характеристических чисел, является конусом над коникой с двумерной вершиной. Это вершина пересекается с другой квадрикой из пучка по кривой особых точек, что противоречит терминальности $X$. Любой скобке вида $(a,b)$, соответствует конус над неособой квадратичной поверхностью с одномерной вершиной. Простая проверка (см. следствие  2.10) показывает, что если $b>1$, то эта вершина целиком лежит на $X$, что даёт прямую особых точек. ∎

Замечание 2.12**.**

Если же все скобки в символе Сегре многообразия $X$ имеют вид $(a)$ или $(a,1)$, то несложно проверить, что особыми точками на $X$ будут вершины конусов, соответствующих скобкам вида $(a),\ a>1$, и точки пересечения одномерных вершин конусов, соответствующих скобкам длины 2, с другой квадрикой из пучка (для скобок вида $(1,1)$ пересечение состоит из двух точек, для скобок вида $(a,1),\ a>1$ – из одной). В частности, пересечение двух квадрик неособо тогда и только тогда, когда его символ Сегре равен $[1,1,1,1,1,1]$.

Замечание 2.13**.**

Кроме того, существует ровно одно многообразие с символом Сегре $[(1,1),(1,1),(1,1)]$. Несложно проверить (например, написав явные уравнения, см. следствие  2.10), что оно совпадает с многообразием из пункта 1 теоремы  1.6.

Теорема 2.14**.**

Пусть $X$ – трёхмерное многообразие дель Пеццо степени 4. Тогда группа $\operatorname{Aut}(X)$ вкладывается в точную последовательность

[TABLE]

где группа $\operatorname{Aut}(X)^{\prime}$ действует на $\mathbb{P}^{5}$, сохраняя каждую квадрику из пучка, а $\operatorname{Aut}(X)^{\prime\prime}$ – группа автоморфизмов $\mathbb{P}^{1}$, переводящая каждый корень дискриминанта в корень дискриминанта с тем же набором характеристических чисел.

Доказательство.

Это простое следствие из теоремы  2.9. ∎

Далее мы рассмотрим многообразие дель Пеццо $X$ степени 4 с действием $G$ – такой конечной подгруппы $\operatorname{Aut}(X)$, что многообразие $X$ является $G$-минимальным.

Теорема 2.15**.**

Пусть $X$ – $G$-многообразие дель Пеццо. Предположим, что $X$ не является $G$-бирационально эквивалентным $\mathbb{P}^{3}$, квадрике в $\mathbb{P}^{4}$ и $G$-эквивариантному расслоению Мори с базой положительной размерности. Тогда символ Сегре $X$ равен $[1,1,1,1,1,1]$ или $[(1,1),(1,1),(1,1)]$.

Доказательство.

Согласно утверждению  2.11, символ Сегре многообразия $X$ имеет только скобки вида $(a)$ или $(a,1)$.

Лемма 2.16**.**

Если в символе Сегре многообразия $X$ есть ровно одна скобка вида $(n),n>1$ (соотв., $(n,1)$), то $X$ является $G$-бирационально эквивалентным квадрике в $\mathbb{P}^{4}$ (соотв., $G$-расслоению на коники).

Доказательство.

Рассмотрим случай скобки вида $(n)$. Обозначим соответствующий ей конус через $Q_{1}$, а его вершину через $p$. Тогда точка $p$ является особой $G$-инвариантной точкой многообразия $X$. Рассмотрим проекцию из этой точки. Общая прямая, лежащая на $Q_{1}$ и проходящая через $p$, пересекается с другой квадрикой $Q_{2}$ (которую можно считать гладкой) в двух точках, одна из которых $p$. В противном случае, любая образующая конуса либо целиком лежит на $Q_{2}$, либо имеет пересечение кратности 2 в точке $p$. Таким образом, любая образующая конуса $Q_{1}$ лежит на касательной плоскости в точке $p$ к $Q_{2}$, чего быть не может. Таким образом, проекция из точки $p$ является $G$-эквивариантным бирациональным отображением на гиперповерхность степени 2 в $\mathbb{P}^{4}$.

Пусть теперь скобка имеет вид $(n,1)$. Обозначим соответствующий ей конус через $Q_{1}$, а его вершину через $l$ (она является прямой). Рассмотрим проекцию из $l$. Образом этой проекции будет неособая квадрика $Q_{1}^{\prime}\subset\mathbb{P}^{3}$ – основание конуса $Q_{1}$. Общая плоскость, проходящая через $l$, пересекает $Q_{2}$ по неособой конике. Действительно, если бы сечение общей плоскостью имело особенность, то по теореме Бертини это была бы точка пересечения $l$ с $Q_{2}$. Тогда общее сечение было бы парой прямых, проходящих через $l\cap Q_{2}$, а это означает, что $Q_{2}$ – конус с вершиной в $l\cap Q_{2}$. Противоречие. Таким образом, проекция из $l$ даёт нам структуру $G$-расслоения на коники над $Q_{1}^{\prime}$. Разрешив его особенности и применив эквивариантную относительную программу минимальных моделей, мы получаем искомое $G$- расслоение Мори на коники. ∎

Таким образом, можно считать, что любая скобка кроме $(1)$ либо не входит в символ Сегре, либо входит более одного раза. Перечислим все возможные символы Сегре, удовлетворяющие этому свойству, учитывая, что сумма всех чисел в символе Сегре равна шести:

[TABLE]

[TABLE]

Если символ Сегре многообразия $X$ равен $[2,2,1,1],[3,3]$ или $[(2,1),(2,1)]$, то $X$ содержит ровно две особые точки, причём прямая $l$, проходящая через них, содержится в $X$ (это делается явной проверкой, соответствующие уравнения описаны в следствии  2.10) и является $G$-инвариантной, а само $X$ является пересечением двух конусов с вершинами в этих точках. Обозначим эти конуса через $Q_{1}$ и $Q_{2}$. Проекция из прямой $l$ даёт бирациональное $\bar{G}$-отображение на $\mathbb{P}^{3}$. Действительно, рассмотрим общую плоскость, содержащую $l$. Её пересечение с $Q_{i}$ равно $l+l_{i}$. Для общей плоскости прямые $l_{1}$ и $l_{2}$ пересекаются в одной точке, не лежащей на $l$, что и требовалось доказать.

Если символ Сегре равен $[2,2,2]$, то $X$ содержит ровно три особые точки, причём плоскость, проходящая через них, содержится в $X$ (это также делается явной проверкой с помощью следствия  2.10). Таким образом, многообразие $X$ содержит $G$-инвариантную плоскость и не может быть $G$-минимальным.

Наконец, если символ Сегре равен $[(1,1),(1,1),1,1]$, то $X$ содержит 4 особые точки. Они не лежат на одной плоскости, что видно из уравнений $X$, см. следствие  2.10. Рассмотрим проекцию из трёхмерного проективного пространства, порождённого этими точками. Мы получаем $G$-эквивариантное расслоение над $\mathbb{P}^{1}$ на рациональные поверхности, являющиеся пересечиями двух квадрик. Применив эквивариантное разрешение особенностей расслоения, а затем эквивариантную относительную программу минимальных моделей, мы получим $G$-расслоение Мори на коники или поверхности дель Пеццо. ∎

3 Факты об особенностях линейных систем

Пусть $X$ – трёхмерное многообразие с не более чем терминальными особенностями, $G$ – конечная группа, действующая на $X$, причём $X$ является многообразием $G\mathbb{Q}$-Фано. Более того, мы считаем, что канонический дивизор $K_{X}$ является дивизором Картье (поскольку нам потребуются исключительно приложения к пересечениям двух квадрик). Пусть $X^{\prime}\to Y^{\prime}$ – другое $G$-расслоение Мори. Предположим, что существует бирациональное $G$-эквивариантное отображение $f:X\dasharrow X^{\prime}$.

Существует метод, позволяющий разложить $f$ в композицию элементарных отображений, называемых линками Саркисова (подробности см. в  [14]). Для этого выберем очень обильный $G$-инвариантный дивизор $M^{\prime}$ на $X^{\prime}$ и положим $\mathcal{M}=f^{-1}_{*}(|M^{\prime}|)$. Ввиду того, что $X$ является многообразием $G\mathbb{Q}$-Фано, существует такое рациональное число $\mu$, что $\mathcal{M}\subset|-\mu K_{X}|$. Если $X^{\prime}$ не изоморфно $X$, то неравенства Нётера-Фано-Исковских (см.  [14, Theorem 2.4]) дают нам неканоничность пары $(X,\frac{1}{\mu}\mathcal{M})$. Поэтому для доказательства бирациональной жёсткости $X$ достаточно описать все возможные неканонические центры пар вида $(X,\frac{1}{\mu}\mathcal{M})$, и для каждого неканонического центра описать соответствующий линк Саркисова. Если все полученные линки дают многообразие, изоморфное $X$, то оно является бирационально жёстким. Для описания нульмерных неканонических центров пар нам понадобится следующая теорема:

Теорема 3.1**.**

(см., например,  [14, Lemma 1.10]) В этих условиях пусть точка $p\in X$ – центр неканонической особенности пары $(X,\frac{1}{\mu}\mathcal{M})$. Пусть $Z=M_{1}\cdot M_{2}$ – цикл, являющийся пересечением двух общих элементов линейной системы $\mathcal{M}$. Тогда $\operatorname{mult}_{p}Z>4\mu^{2}$.

Для изучения неканонических центров, являющихся кривыми, нам понадобится следующее утверждение:

Предложение 3.2**.**

(см., например,  [15, Exercise 6.18]) В наших условиях пусть неприводимая кривая $C$ является центром неканонической особенности пары $(X,\frac{1}{\mu}\mathcal{M})$. Тогда кратность $\mathcal{M}$ вдоль кривой $C$ больше $\mu$.

В случае неканонического центра, являющегося гладкой кривой, для описания связанного с ней линка Саркисова необходима следующая теорема:

Теорема 3.3**.**

(см., например,  [16, Proposition 1.2]) Пусть $Y$ и $X$ трёхмерные нормальные многообразия, а $f:E\subset Y\to C\subset X$ – дивизориальное стягивание неприводимого дивизора $E$ на кривую $C$. Предположим, что $\dim f(Y^{\operatorname{sing}})=0$, многообразие $X$ имеет изолированные особенности, а $-E$ является $f$-обильным. Тогда $Y$ изоморфно раздутию $X$ вдоль $C$.

В частности, условия теоремы  3.3 выполнены в случае, когда многообразия $X$ и $Y$ имеют не более чем терминальные особенности, а $f$ является стягиванием Мори.

4 Гладкие пересечения двух квадрик

Пусть $X$ – гладкое пересечение двух квадрик. Это равносильно тому, что символ Сегре $X$ равен $[1,1,1,1,1,1]$. В этом случае можно считать, что

[TABLE]

где все $\lambda_{i}$ различны, а $x_{i},\ 1\leq i\leq 6$ – некоторая система координат. Группа $\operatorname{Aut}(X)^{\prime}$ (в обозначениях теоремы  2.14) изоморфна $(C_{2})^{5}$ и действует обращением знаков у координат $x_{1},...,x_{5}$. Группа $\operatorname{Aut}(X)^{\prime\prime}$ является группой автоморфизмов $\mathbb{P}^{1}$, сохраняющих множество из шести точек $S=\{(\lambda_{i}:1)\mid i=1,...,6\}$. В общем случае эта группа тривиальна. Перечислим все случаи (с точностью до автоморфизма $\mathbb{P}^{1}$), в которых она нетривиальна:

1. (i)

$S=\{T_{0}T_{1}(T_{0}^{4}-T_{1}^{4})=0\}.$ В этом случае $\operatorname{Aut}(X)^{\prime\prime}\simeq S_{4}$. 2. (ii)

$S=\{T_{0}^{6}+T_{1}^{6}=0\}.$ В этом случае $\operatorname{Aut}(X)^{\prime\prime}\simeq D_{12}$. 3. (iii)

$S=\{T_{0}^{6}+aT_{0}^{3}T_{1}^{3}+T_{1}^{6}=0\},a\neq-2,0,2.$ В этом случае $\operatorname{Aut}(X)^{\prime\prime}\simeq D_{6}$. 4. (iv)

$S=\{T_{0}T_{1}(T_{0}^{4}+aT_{0}^{2}T_{1}^{2}+T_{1}^{4})=0\},a\neq-2,0,2.$ В этом случае $\operatorname{Aut}(X)^{\prime\prime}\simeq D_{4}$. 5. (v)

$S=\{T_{0}(T_{0}^{5}+T_{1}^{5})=0\}.$ В этом случае $\operatorname{Aut}(X)^{\prime\prime}\simeq C_{5}$. 6. (vi)

$S=\{(T_{0}^{2}+T_{1}^{2})(T_{0}^{2}+aT_{1}^{2})(T_{0}^{2}+bT_{1}^{2})=0\},a,b\neq-1,0,1,a\neq b.$ В этом случае $\operatorname{Aut}(X)^{\prime\prime}\simeq C_{2}$.

Этот список можно получить из классификации конечных подгрупп $\operatorname{PGL}_{2}(\mathbb{C})$ и полуинвариантных бинарных форм относительно действия этих групп (см.  [6, §5.5]) аналогично  [6, §6.4].

Лемма 4.1**.**

В случаях (4) и (6), а также в случае тривиальной группы $\operatorname{Aut}(X)^{\prime\prime}$, многообразие $X$ является $G$-бирационально эквивалентным $G$-расслоению на поверхности дель Пеццо для любой подгруппы $G\subset\operatorname{Aut}(X)$.

Доказательство.

В этих случаях в $S$ есть одна, две или четыре орбиты, состоящие в совокупности из 4 точек, поэтому в $\mathbb{P}^{5}$ есть инвариантное трёхмерное подпространство, порождаемое вершинами соответствующих конусов (они имеют координаты $x_{i}=\delta_{i}^{j}$ для различных $j$). Проекция из него даёт искомое $G$-расслоение. ∎

Таким образом, для доказательства теоремы  1.6 в случае гладкого многообразия $X$ осталось проверить структуру группы $\operatorname{Aut}(X)$ в случаях (2), (3) и (5). Зная уравнения многообразия $X$, в этих случаях легко явно указать образующие $\operatorname{Aut}(X)$ и проверить, что $\operatorname{Aut}(X)\simeq\operatorname{Aut}(X)^{\prime}\rtimes\operatorname{Aut}(X)^{\prime\prime}$. В случае (1) не существует расщепляющего гомоморфизма $\operatorname{Aut}(X)^{\prime\prime}\to\operatorname{Aut}(X)$, поскольку можно явно проверить, что у элемента $\operatorname{Aut}(X)^{\prime\prime}$ порядка 4 не существует прообраза в $\operatorname{Aut}(X)$ порядка 4.

Докажем ещё следующую полезную лемму:

Лемма 4.2**.**

Пусть $X$ – гладкое пересечение двух квадрик в $\mathbb{P}^{5}$. Пусть $G$ – подгруппа $\operatorname{Aut}(X)$, имеющая неподвижную точку на $X$. Тогда $X$ является $G$-эквивалентным $G$-расслоению на квадрики.

Доказательство.

Пусть $\pi:\widetilde{X}\to X$ – раздутие $X$ в неподвижной точке. Тогда $\widetilde{X}$ является гладким $G$-многообразием дель Пеццо степени 3. Действительно, пусть $C$ – произвольная кривая на $\widetilde{X}$. Если $C$ лежит на $E$, то $C\cdot K_{\widetilde{X}}<0$. В противном случае

[TABLE]

Более того, равенство достигается только в случае, когда $\pi(C)$ – прямая. Таким образом, численная эффективность $-K_{\widetilde{X}}$ доказана, а его объёмность очевидна. Антиканоническая линейная система оботражает $\widetilde{X}$ на кубическую гиперповерхность в $\mathbb{P}^{4}$, содержащую $G$-инвариантную плоскость. Проекция из неё даёт искомую структуру $G$-расслоения на квадрики. ∎

В следующем разделе мы покажем, что в случае (5) пересечение двух квадрик является бирационально жёстким относительно группы $C_{2}^{4}\rtimes C_{5}$, а значит и относительно всей группы $\operatorname{Aut}(X)$. Остаётся открытым вопрос, есть ли в случаях (1)-(3) подгруппы в $\operatorname{Aut}(X)$, относительно которых $X$ является бирационально жёстким? Большую часть подгрупп $\operatorname{Aut}(X)$ можно отбросить, используя леммы 4.1 и 4.2, но, к сожалению, не все.

4.3 Случай $\operatorname{Aut}(X)^{\prime\prime}\simeq C_{5}$

Разберём теперь подробнее случай (5). В этом случае $X$ можно задать системой уравнений

[TABLE]

где $\xi$ – корень пятой степени из 1. Группа $\operatorname{Aut}(X)$ изоморфна полупрямому произведению $(C_{2})^{5}\rtimes C_{5}\simeq C_{2}\times(C_{2}^{4}\rtimes C_{5})$, причём $(C_{2})^{5}$ действует сменой знаков у $x_{1},...,x_{5}$, а $C_{5}$ переставляет эти координаты по циклу.

Предложение 4.4**.**

Группа $\operatorname{Aut}(X)$ имеет следующие подгруппы:

[TABLE]

Доказательство.

Для произвольной подгруппы $G\subset\operatorname{Aut}(X)$ положим $G^{\prime}=G\cap\operatorname{Aut}(X)^{\prime}$ и $G^{\prime\prime}=\pi(G)$, где $\pi:\operatorname{Aut}(X)\to\operatorname{Aut}(X)^{\prime\prime}$ – стандартная проекция (в обозначениях теоремы 2.14). Если $G^{\prime\prime}$ тривиальна, то $G=G^{\prime}\simeq(C_{2})^{n}$.

Предположим теперь, что $G^{\prime\prime}=C_{5}$. Рассмотрим произвольный элемент нашей подгруппы порядка 5. Несложно показать, что с помощью сопряжения элементом из $(C_{2})^{5}$ его можно перевести в элемент, переставляющий координаты по циклу без смены знаков. Отождествим группу $(C_{2})^{5}$ с векторным пространством $\mathbb{F}_{2}^{5}$ над полем $\mathbb{F}_{2}$, на этом пространстве задано тавтологическое представление группы $C_{5}$. Подгруппа $G^{\prime}$ соответствует подпредставлению, которых ровно 4: нульмерное, тривиальное одномерное (порожденное вектором $(1,1,1,1,1)$), ортогональное ему четырёхмерное и пятимерное. Следовательно, с точностью до сопряжения $\operatorname{Aut}(X)$ содержит четыре таких подгруппы: $C_{5}$, $C_{5}\times C_{2}$, $(C_{2})^{4}\rtimes C_{5}$, $G$. Более того, подгруппа, изоморфная $C_{2}^{4}\rtimes C_{5}$, в группе $G$ ровно одна. ∎

Предложение 4.5**.**

Пусть $X$ – гладкое пересечение двух квадрик в $\mathbb{P}^{5}$ с группой автоморфизмов $\operatorname{Aut}(X)\simeq C_{2}^{5}\rtimes C_{5}$. Пусть $G$ – подгруппа $\operatorname{Aut}(X)$, изоморфная $C_{5}$ или $C_{10}$. Тогда $X$ является $G$-бирационально эквивалентным $G$-расслоению на квадрики.

Доказательство.

Это немедленно следует из леммы 4.2. ∎

Обозначим подгруппу $C_{2}^{4}\rtimes C_{5}\subset\operatorname{Aut}(X)$ через $G$, а нормальную подгруппу $C_{2}^{4}\subset\operatorname{Aut}(X)$ через $G^{\prime}$.

Лемма 4.6**.**

Пусть $Y\subset X$ – сечение $X$ гиперплоскостью $x_{6}=0$, а $Z\subset X$ – сечение $X$ гиперплоскостью $x_{i}=0,\ i\neq 6$. Тогда $G$-орбита точки на $Y$ может иметь длину 16, 20, 40 или 80, а $G^{\prime}$-орбита точки на $Z$ состоит из 4, 8 или 16 точек.

Доказательство.

Пусть $y$ – некоторая точка $Y$, а $G_{y}$ – её стабилизатор. Если в $G_{y}$ есть элемент порядка 5, то первые пять координат $y$ ненулевые, поэтому никакой элемент $G^{\prime}$ в стабилизаторе лежать не может, и орбита $y$ имеет длину 16. Если $G_{y}$ не содержит элементов порядка 5, то $G_{y}\subset G^{\prime}$. Поскольку среди координат $y$ не менее трёх ненулевых, то мощность $G_{y}$ равна 1, 2 или 4. Вторая часть утверждения доказывается аналогично. ∎

Теорема 4.7**.**

Пусть $X$ – гладкое пересечение двух квадрик в $\mathbb{P}^{5}$ с группой автоморфизмов $\operatorname{Aut}(X)\simeq C_{2}^{5}\rtimes C_{5}$. Пусть $G\simeq C_{2}^{4}\rtimes C_{5}$ – подгруппа $\operatorname{Aut}(X)$. Тогда $X$ является $G$-бирационально жёстким.

Доказательство.

Пусть $\mathcal{H}\subset|-\mu K_{X}|$ – некоторая $G$-инвариантная линейная система без неподвижных компонент. Докажем сначала, что точка не пожет быть неканоническим центром пары $(X,\frac{1}{\mu}\mathcal{H})$. Предположим противное – пусть точка

[TABLE]

является неканоническим центром. Из уравнений многообразия $X$ легко выводится, что среди чисел $p_{i}$ как минимум три не равны нулю. Без ограничения общности можно считать, что $p_{1}\neq 0$ и $p_{2}\neq 0$. Тогда точки

[TABLE]

где количество минусов чётно, лежат в $G$-орбите $p$, поэтому тоже являются неканоническими центрами. Все эти 4 точки лежат на двумерной плоскости $S$, которая не имеет других точек пересечения с $X$. Рассмотрим общую гиперплоскость $H$, содержащую $S$, и два общих элемента линейной системы $H_{1},H_{2}\in\mathcal{H}$. Пусть $Z=H_{1}\cdot H_{2}$. Из того, что $S\cap X$ нульмерно следует, что $H$ не содержит компонент $Z$. Тогда

[TABLE]

где последнее неравенство следует из теоремы  3.1. Полученное противоречие показывает, что точка не может быть неканоническим центром.

Пусть $L=L_{1}$ – неприводимая кривая, являющаяся неканоническим центром, $d=\deg L_{1}$ – её степень, а $\{L_{i}\mid 1\leq i\leq r\}$ – её $G$-орбита. Пусть $H$ – достаточно общее гиперплоское сечение $X$, а $H_{1}$ и $H_{2}$ – общие элементы $\mathcal{H}$. Тогда

[TABLE]

Из этого следует, что $rd\leq 15$. Поскольку $r$ является индексом некоторой подгруппы $G$, то (см. утверждение  4.4) $r$ может быть равным 1, 5 или 10.

Предположим, что $r=5$. В таком случае кривая $L_{1}$ сохраняется группой $G^{\prime}$, а её степень не превосходит 3. Выберем такое $1\leq i\leq 5$, что $L_{1}$ не лежит в гиперплоскости $\{x_{i}=0\}$. Тогда пересечение $L_{1}$ с этой гиперплоскостью является множеством из не более чем трёх точек, инвариантным относительно $G^{\prime}$. Согласно лемме 4.6, такого не может быть. Противоречие.

Пусть $r=10$. В этом случае $d=1$. Без ограничения общности можно считать, что $L_{1}$ и $L_{2}$ образуют $G^{\prime}$-орбиту. Найдётся такое $i$, что $L_{1}$ и $L_{2}$ не лежат на гиперплоскости $\bar{H}=\{x_{i}=0\}$, иначе $L_{1}$ или $L_{2}$ лежала бы на плоскости $\{x_{i}=x_{j}=x_{k}=0\}$ для некоторых различных $i,j,k$, но пересечение этой плоскости с $X$ состоит из 4 точек. Тогда $(L_{1}\cup L_{2})\cap\bar{H}$ является парой точек, инвариантной относительно $G^{\prime}$, чего не может быть.

Остался последний случай $r=1$. В этом случае $L$ не лежит в гиперплоскости $\{x_{1}=0\}$. Пересечение $L$ с гиперплоскостью $\{x_{1}=0\}$ является $G^{\prime}$-инвариантным множеством, поэтому из леммы 4.6 следует, что степень кривой может быть равна 4, 8 или 12. Кроме того, $L$ лежит в гиперплоскости $\bar{H}=\{x_{6}=0\}$, поскольку иначе их пересечение было бы $G$-инвариантным конечным подмножеством $\bar{H}$, но минимальная мощность орбиты в этом случае равна $16>d$ (см. лемму 4.6). Легко понять, что в подпространстве размерности меньше 4 кривая $L$ не лежит, поскольку соответствующее пятимерное представление $G$ неприводимо. Поэтому кривая $L$ не может иметь степень 4.

Кривая $L$ является $G$-инвариантной кривой на поверхности дель Пеццо $\bar{H}$. Пусть $M$ и $M_{i},1\leq i\leq 5$ – стандартный базис группы Пикара поверхности $\bar{H}$, где $M_{i}$ – непересекающиеся $(-1)$-кривые, а $M$ – класс собственного прообраза прямой в $\mathbb{P}^{2}$ (напомним, что любая поверхность дель Пеццо степени 4 является раздутием $\mathbb{P}^{2}$ в пяти точках). Пусть $N$ – любая $(-1)$-кривая на $\bar{H}$, тогда $L\cdot N$ не зависит от $N$, поскольку $L$ является $G$-инвариантной, а $G^{\prime}$ действует на множестве $(-1)$-кривых транзитивно. Действительно, пусть элемент $g\in G^{\prime}$ сохраняет некоторую $(-1)$-кривую, которая в нашем случае является прямой в $\mathbb{P}^{4}$. Элемент $g$ меняет знаки у двух или четырёх координат, во втором случае его неподвижные точки лежат на сечении $\bar{H}$ координатной гиперплоскостью, в первом – на сечении $\bar{H}$ координатным подпространством коразмерности 2. Действие $g$ на прямой имеет две неподвижные точки, поэтому прямая обязана целиком лежать на сечении $\bar{H}$ координатной гиперплоскостью, чего не может быть, поскольку это сечение является неприводимой кривой степени 4.

Поскольку индекс пересечения со всеми $(-1)$-кривыми один и тот же, то

[TABLE]

для некоторого натурального $a$ и неотрицательного целого $b$. Пересечём теперь $L$ с $(-1)$-кривой с классом $N=M-M_{1}-M_{2}$ и с гиперплоским сечением (его класс равен $-K_{\bar{H}}=3M-\sum M_{i}$). Получаем

[TABLE]

Откуда выводим, что

[TABLE]

Таким образом, $L=-\frac{d}{4}K_{\bar{H}}$. Докажем, что $L$ является полным пересечением $\bar{H}$ с гиперповерхностью в $\mathbb{P}^{4}$ степени $\frac{d}{4}$.

Любой дивизор из линейной системы $|-K_{\bar{H}}|$ является гиперплоским сечением, поскольку наше вложение $\bar{H}\subset\mathbb{P}^{4}$ является каноническим. Применив формулу Римана-Роха и теорему Кодаиры о занулении к дивизорам $-K_{\bar{H}}$, $-2K_{\bar{H}}$ и $-3K_{\bar{H}}$, получаем

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Отсюда получаем, что

[TABLE]

что совпадает с размерностями пространств сечений $\bar{H}$ квадратичными и кубическими гиперповерхностями соответственно.

Мы получили, что $L=\bar{H}\cap\{S=0\}$, где $S$ – квадратичный или кубический многочлен. Напомним, что $\bar{H}$ задано уравнениями

[TABLE]

Если многочлен $S$ кубический, то, прибавив к $S$ многочлен вида $Q_{1}P_{1}+Q_{2}P_{2}$ для некоторых линейных многочленов $P_{i}$, можно добиться того, что коэффициенты при мономах $x_{i}^{2}x_{i\pm 1},\ 1\leq i\leq 6$ (мы отождествляем $x_{0}$ с $x_{6}$ и $x_{7}$ с $x_{1}$) обнулятся, причём многочлены $P_{i}$ единственны (это несложно проверить, написав явные уравнения на неизвестные коэффициенты многочленов $P_{i}$). Полученное уравнение является $G$-полуинвариантным, чего не бывает для кубических многочленов.

Пусть многочлен $S$ квадратичный. В этом случае можно считать, что $S$ полуинвариантен относительно действия группы $G$ (возможно, после прибавления к нему $p_{1}Q_{1}+p_{2}Q_{2}$ для некоторых $p_{i}$). В таком случае легко проверить, что $S$ имеет вид

[TABLE]

где $\zeta$ – корень пятой степени из единицы, отличный от $\xi$. В частности, кривая $L$ неособа. По теореме 3.3, соответствующий линк Саркисова происходит из раздутия кривой $L$. Обозначим это раздутие через $f:\widetilde{X}\to X$, через $\widetilde{H}$ обозначим собственный прообраз $\bar{H}$, а через $E$ – исключительный дивизор. На конусе Мори $\operatorname{NE}(\widetilde{X})$ есть два экстремальных луча, стягивание первого даёт морфизм $f$, обозначим второй луч через $R$. Рассмотрим произвольную кривую $C$ на $\widetilde{H}$. Тогда

[TABLE]

где последний индекс пересечения рассматривается на $\bar{H}$. Аналогично показывается, что для произвольной кривой $C\subset\widetilde{X}$ индекс пересечения $C\cdot K_{\widetilde{X}}\leq 0$. Таким образом, $K_{\widetilde{X}}\cdot R=0$, но стягивание $R$ малым не является, поэтому раздутие $L$ не даёт линка Саркисова (см.  [14]). Таким образом, линейная система $\mathcal{H}$ не имеет неканонических центров, и теорема доказана. ∎

Замечание 4.8**.**

Группа $G$ может действовать на других расслоениях Мори, например на $Y\times\mathbb{P}^{1}$, где $Y$ – поверхность дель Пеццо степени 4 с группой автоморфизмов $C_{2}^{4}\rtimes D_{10}$ (см.  [6]). Таким образом, группа $\operatorname{Cr}_{3}(\mathbb{K})$ содержит как минимум две несопряжённые подгруппы, изоморфные $G$.

5 Пересечения двух квадрик с максимальным рангом $\operatorname{Cl}(X)$

Пусть $X$ – пересечение двух квадрик с символом $[(1,1),(1,1),(1,1)]$. Многообразие такого типа единственно. Можно считать, что $X$ задано уравнениями

[TABLE]

где $\xi$ – кубический корень из 1.

Множество особых точек $X$ состоит из шести обыкновенных двойных точек $\{x_{i}=\delta_{i}^{j}\}$ для $j=1,...,6$, $r=5$, группа $\operatorname{Cl}(X)$ порождается плоскостями, лежащими на $X$ (всего их 8, а их уравнения имеют вид $x_{i}=x_{j}=x_{k}=0$, где $i\in\{1,2\},\ j\in\{3,4\},\ k\in\{5,6\}$), ранг группы $\operatorname{Cl}X$ равен пяти, более того, это единственное пересечение двух квадрик с $\operatorname{rk}\operatorname{Cl}X\geq 5$ (см.  [5]).

Рассмотрим точную последовательность

[TABLE]

где $\operatorname{Aut}^{0}(X)$ – ядро действия на $\operatorname{Cl}(X)$, а группа $\widehat{\operatorname{Aut}}(X)$ действует эффективно на $\operatorname{Cl}(X)$. Группа $\operatorname{Aut}^{0}(X)$ действует тривиально на множестве плоскостей, а следовательно и на множестве особых точек. Из этого нетрудно вывести, что она является трёхмерным тором. Согласно  [5, Corollary 7.4, Corollary 7.5 (i)], группа $\widehat{\operatorname{Aut}}(X)$ содержится в $W(\Delta^{\prime\prime})\simeq C_{2}\times S_{4}$ (где $W(\Delta^{\prime\prime})$ – группа Вейля некоторой системы корней, канонически связанной с $X$, подробности см. в [5]). С другой стороны, группа $\widehat{\operatorname{Aut}}(X)$ содержит элементы, меняющие местами координаты $x_{2i-1}$ и $x_{2i},\ 1\leq i\leq 3$, и элементы

[TABLE]

[TABLE]

которые в совокупности порождают подгруппу в $\operatorname{Aut}(X)$, изоморфную

$C_{2}^{3}\rtimes S_{3}\simeq C_{2}\times S_{4}$. Таким образом, $\operatorname{Aut}(X)\simeq(\mathbb{C}^{*})^{3}\rtimes(C_{2}^{3}\rtimes S_{3})$. Для нас будет удобно рассматривать $\widehat{\operatorname{Aut}}(X)$ как подгруппу в $S_{6}$ (группе перестановок $x_{i}$) со следующими порождающими:

[TABLE]

Теорема 5.1**.**

Пусть многообразие $X$ является $G$-минимальным для некоторой конечной подгруппы $\operatorname{Aut}(X)$. Тогда $G$ вкладывается в следующую точную последовательность:

[TABLE]

где $G^{\prime}\subset\widehat{\operatorname{Aut}}(X)$ – одна из следующих групп:

[TABLE]

а $k,\ l,\ m$ – натуральные числа (возможно, равные единице). Во всех случаях, кроме $D_{8}$, группа $G^{\prime}$ единственна с точностью до сопряжения в $\widehat{\operatorname{Aut}}(X)$, есть ровно три класса сопряжённости в случае $G^{\prime}\simeq D_{8}$.

Доказательство.

Рассмотрим действие $G$ на множестве плоскостей. Это множество либо состоит из одной орбиты, либо разбивается на две орбиты, состоящие из плоскостей, лежащих в гиперплоскостях $x_{2i-1}=0$ и $x_{2i}=0$ соответственно (поскольку сумма плоскостей в каждой орбите должна быть пропорциональна каноническому классу), без ограничения общности можно ситать, что $i=3$.

Рассмотрим отображение $\pi:G\to\widehat{\operatorname{Aut}}(X)$, являющееся ограничением отображения $\operatorname{Aut}(X)\to\widehat{\operatorname{Aut}}(X)$, и обозначим через $G^{\prime}$ его образ. В ядре отображения $\pi$ находится конечная подгруппа $(\mathbb{C}^{*})^{3}$, поэтому ядро изоморфно

$C_{k}\times C_{l}\times C_{m}$. Группа $G^{\prime}$ также минимальна. Классифицируем все возможные минимальные подгруппы $\widehat{\operatorname{Aut}}(X)$ с точностью до сопряжения.

Сначала предположим, что мы в ситуации, когда множество плоскостей разбивается на две орбиты. Тогда $G^{\prime}$ лежит в $D_{8}$ – подгруппе $\langle g_{1},g_{2}\rangle\subset\widehat{\operatorname{Aut}}(X)$. Минимальная подгруппа должна иметь порядок 4 или 8. Явной проверкой можно убедиться, что минимальными являются следующие подгруппы:

[TABLE]

Теперь рассмотрим случай, когда все плоскости лежат в одной орбите, но порядок $G^{\prime}$ не делится на 3. Тогда без ограничения общности можно считать, что $G^{\prime}\subset\langle g_{1},g_{2},g_{3}\rangle\simeq D_{8}\times C_{2}$ (так как все силовские 2-подгруппы сопряжены этой, а нас интересуют подгруппы с точностью до сопряжения). В этом случае $G^{\prime}$ является одной из следующих групп:

[TABLE]

[TABLE]

Теперь рассмотрим случай, когда все плоскости лежат в одной орбите, и порядок $G^{\prime}$ делится на 3. Тогда либо $G^{\prime}$ совпадает с $\widehat{\operatorname{Aut}}(X)$, либо является подгруппой индекса 2. Среди трёх подгрупп индекса 2 ровно две являются минимальными:

[TABLE]

∎

Предложение 5.2**.**

Если в обозначениях теоремы 5.1 группа $G^{\prime}$ не содержит элемента третьего порядка, то многообразие $X$ является $G$-эквивалентным $G$-расслоению Мори на коники или поверхности дель Пеццо.

Доказательство.

В этом случае $G^{\prime}$ сопряжена подгруппе $A_{i}$ для некоторого $i<9$. Из явного описания этих групп с помощью образующих видно, что множество из четырёх точек

[TABLE]

является $G$-инвариантным. Следовательно, проекция из подпространства $\{x_{5}=x_{6}=0\}$ задаёт $G$-эквивариантное расслоение на рациональные поверхности. Применив эквивариантные разрешение особенностей и относительную программу минимальных моделей, получим искомое расслоение. ∎

Таким образом, если многообразие $X$ является $G$-бирационально жёстким, то либо $G^{\prime}$ совпадает с $\widehat{\operatorname{Aut}}(X)$, либо сопряжена $A_{9}$ или $A_{10}$, то есть $G$ принадлежит одному из трёх семейств подгрупп.

Замечание 5.3**.**

В этих случаях можно более точно описать группу $G^{\prime\prime}=\operatorname{ker}(G\to G^{\prime})$: для некоторого $m$ имеется вложение $C_{m}^{3}\subset G^{\prime\prime}\subset C_{2m}^{3}$, причём $G^{\prime\prime}$ инвариантна относительно естественного действия группы $C_{3}$. Для каждого $m$ таких подгрупп ровно четыре. Это несложно получить из того, что $G^{\prime\prime}$ должна быть инвариантна относительно действия $G^{\prime}$ сопряжениями.

Остаётся открытым вопрос, для каких именно подгрупп $\operatorname{Aut}(X)$ многообразие $X$ является бирационально жёстким. Например, является ли оно бирационально жёстким относительно всей группы $\operatorname{Aut}(X)$?

Список литературы

• [1] D. Abramovich, J. Wang, Equivariant resolution of singularities in characteristic 0, Math. Res. Lett. 4:2-3 (1997), 427–433
• [2] S. Mori, Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds, J. Amer. Math. Soc. 1:1 (1988), 117–253
• [3] J. Kollar, S. Mori, Birational geometry of algebraic varieties, Cambridge tracts in mathematics, Cambridge, Univ. Press (1998)
• [4] T. Fujita, On singular del Pezzo varieties, Algebraic geometry (L’Aquila, 1988), Lecture Notes in Math. 1417, Springer, Berlin (1990), 117–128
• [5] Yu. Prokhorov, G-Fano threefolds, I, Adv. Geom., 13:3 (2013), 389–418
• [6] I. Dolgachev, V. Iskovskikh, Finite subgroups of the plane Cremona group, Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. I, Progr. Math. 269 (2009), 443–548
• [7] Yu. Prokhorov, Simple finite subgroups of the Cremona group of rank 3, J. Alg. Geom., 21:3 (2012), 563–600
• [8] I. Cheltsov, C. Shramov, Five embeddings of one simple group, Trans. Amer. Math. Soc., 366:3 (2014), 1289–1331
• [9] I. Cheltsov, C. Shramov, Three embeddings of the Klein simple group into the Cremona group of rank three, Transform. Groups, 17:2 (2012), 303–350
• [10] Yu. Prokhorov, p-elementary subgroups of the Cremona group of rank 3, Classification of algebraic varieties, EMS Ser. Congr. Rep., Eur. Math. Soc., Zürich (2011), 327–338
• [11] V. Iskovskikh, Yu. Prokhorov, Fano varieties, Algebraic geometry V, Encyclopaedia Math. Sci., Berlin, Springer (1999)
• [12] M. Reid, Minimal models of canonical threefolds, Advanced Studies in Pure Mathematics 1, Algebraic Varieties and analytic varieties (1983), 131–180
• [13] W.V.D. Hodge, D. Pedoe, Methods of Algebraic Geometry, Vol. II, Cambridge University Press (1952)
• [14] A. Corti, Singularities of linear systems and 3-fold birational geometry, L.M.S. Lecture Note Series, 281 (2000), 259–312
• [15] A. Corti, K.E. Smith, J. Kollar, Rational and nearly rational varieties, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 92, Cambridge University Press (2004)
• [16] N. Tziolas, Terminal 3-fold divisorial contractions of a surface to a curve I, Comp. Math., 139 (2003), 239–261