D\'erivations dans les alg\`ebres d'\'evolution \`a puissances   associatives

Moussa Ouattara; Souleymane Savadogo

arXiv:1812.09969·math.RA·December 27, 2018

D\'erivations dans les alg\`ebres d'\'evolution \`a puissances associatives

Moussa Ouattara, Souleymane Savadogo

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TL;DR

This paper studies derivations in power-associative evolution algebras, focusing on nilalgebras, and provides explicit calculations for indecomposable cases up to dimension six, including their derivation algebras and inner derivations.

Contribution

It offers a detailed analysis and explicit descriptions of derivation algebras for indecomposable evolution nilalgebras, extending previous work to higher dimensions.

Findings

01

Derived the derivation algebra for n-dimensional indecomposable associative evolution nilalgebras.

02

Provided explicit descriptions of derivations and inner derivations for nilalgebras up to dimension 6.

03

Showed that derivations in decomposable algebras can be reduced to those in indecomposable components.

Abstract

In this paper, we investigate the derivations in evolution algebras that are power-associative. This problem is reduced to that of power-associative evolution nilalgebras. We show how to calculate derivations in decomposable algebras. This caculation shows that it is enough to describe derivations in indecomposable evolution algebras. We first determine the derivation algebra of $n$ -dimensional indecomposable associative evolution nilalgebras with one-dimensional annihilator. We describe the derivation algebra of indecomposable nilalgebras, up to dimension $6$ , that are associative or not. In each cases, we give the commutator of two derivations. We also describe the ideal of inner derivations.

Tables12

Table 1. Table 1 : *

Table 1: $dim (ℰ) \leq 4$
$dim$	$ℰ$	Multiplication	dim(ann $(ℰ)$ )	Associative
$𝟏$	$N_{1, 1}$	$e_{1}^{2} = 0$	$1$	Oui
$𝟐$	$N_{2, 2}$	$e_{1}^{2} = e_{2},$ $e_{2}^{2} = 0$	$1$	Oui
$𝟑$	$N_{3, 3} (α)$	$e_{1}^{2} = e_{3},$ $e_{2}^{2} = α e_{3},$ $e_{3}^{2} = 0$ avec $α \in K^{*}$	$1$	Oui
$𝟒$	$N_{4, 5} (α, β)$	$e_{1}^{2} = e_{4},$ $e_{2}^{2} = α e_{4},$ $e_{3}^{2} = β e_{4},$ $e_{4}^{2} = 0$ avec $α, β \in K^{*}$	$1$	Oui
$𝟒$	$N_{4, 6}$	$e_{1}^{2} = e_{2} + e_{3},$ $e_{2}^{2} = e_{4},$ $e_{3}^{2} = - e_{4},$ $e_{4}^{2} = 0$	$1$	Non

Table 2. Table 2 : *

Table 2: $dim (ℰ) = 5$
$ℰ$	Multiplication	dim(ann( $ℰ$ ))	Associative
$N_{5, 8} (α, β, γ)$	$e_{1}^{2} = e_{5},$ $e_{2}^{2} = α e_{5},$ $e_{3}^{2} = β e_{5},$ $e_{4}^{2} = γ e_{5},$ $e_{5}^{2} = 0$ avec $α, β, γ \in K^{*}$	$1$	Oui
$N_{5, 9} (α, β)$	$e_{1}^{2} = e_{4},$ $e_{2}^{2} = α e_{4} + β e_{5},$ $e_{3}^{2} = e_{5},$ $e_{4}^{2} = e_{5}^{2} = 0$ avec $α, β \in K^{*}$	$2$	Oui
$N_{5, 10} (α)$	$e_{1}^{2} = e_{2} + e_{3},$ $e_{2}^{2} = e_{5},$ $e_{3}^{2} = - e_{5},$ $e_{4}^{2} = α e_{5},$ $e_{5}^{2} = 0$ avec $α \in K^{*}$	$1$	Non
$N_{5, 11} (α)$	$e_{1}^{2} = e_{2} + e_{3},$ $e_{2}^{2} = e_{5},$ $e_{3}^{2} = - e_{5},$ $e_{4}^{2} = α (e_{2} + e_{3}),$ $e_{5}^{2} = 0$ avec $α \in K^{*}$	$1$	Non
$N_{5, 12} (α, β)$	$e_{1}^{2} = e_{2} + e_{3},$ $e_{2}^{2} = e_{5},$ $e_{3}^{2} = - e_{5},$ $e_{4}^{2} = α (e_{2} + e_{3}) + β e_{5},$ $e_{5}^{2} = 0$ avec $α, β \in K^{*}$	$1$	Non

Table 3. Table 3 : *

Table 3: $dim (ℰ) = 6$
$ℰ$	Multiplication	dim(ann( $ℰ$ ))	Associative
$N_{6, 16} (α, β, γ, δ)$	$e_{1}^{2} = e_{6}, e_{2}^{2} = α e_{6},$ $e_{3}^{2} = β e_{6},$ $e_{4}^{2} = γ e_{6},$ $e_{5}^{2} = δ e_{6}$ , $e_{6}^{2} = 0$ avec $α, β, γ, δ \in K^{*}$	$1$	Oui
$N_{6, 17} (α, β, γ)$	$e_{1}^{2} = e_{5}$ , $e_{2}^{2} = α e_{5} + β e_{6}$ , $e_{3}^{2} = γ e_{6}$ , $e_{4}^{2} = e_{6}$ , $e_{5}^{2} = e_{6}^{2} = 0$ avec $α β γ \neq 0$	$2$	Oui
$N_{6, 18} (α, β, γ, δ)$	$e_{1}^{2} = e_{5}$ , $e_{2}^{2} = α e_{5} + β e_{6}$ , $e_{3}^{2} = γ e_{5} + δ e_{6}$ , $e_{4}^{2} = e_{6}$ , $e_{5}^{2} = e_{6}^{2} = 0$ avec $α β \neq 0$ , $γ δ \neq 0$ et $α δ - β γ \neq 0$	$2$	Oui
$N_{6, 19} (α, β)$	$e_{1}^{2} = e_{2} + e_{3},$ $e_{2}^{2} = e_{6},$ $e_{3}^{2} = - e_{6},$ $e_{4}^{2} = α e_{6},$ $e_{5}^{2} = β e_{6},$ $e_{6}^{2} = 0$ avec $α, β \in K^{*}$	$1$	Non
$N_{6, 20} (α, β)$	$e_{1}^{2} = e_{2} + e_{3},$ $e_{2}^{2} = e_{6},$ $e_{3}^{2} = - e_{6},$ $e_{4}^{2} = α (e_{2} + e_{3}),$ $e_{5}^{2} = β e_{6},$ $e_{6}^{2} = 0$ avec $α, β \in K^{*}$	$1$	Non
$N_{6, 21} (α, β, γ)$	$e_{1}^{2} = e_{2} + e_{3},$ $e_{2}^{2} = e_{6},$ $e_{3}^{2} = - e_{6},$ $e_{4}^{2} = α (e_{2} + e_{3}) + β e_{6},$ $e_{5}^{2} = γ e_{6},$ $e_{6}^{2} = 0$ avec $α, β, γ \in K^{*}$	$1$	Non
$N_{6, 22} (α, β)$	$e_{1}^{2} = e_{2} + e_{3},$ $e_{2}^{2} = e_{6},$ $e_{3}^{2} = - e_{6},$ $e_{4}^{2} = α (e_{2} + e_{3}),$ $e_{5}^{2} = β (e_{2} + e_{3}),$ $e_{6}^{2} = 0$ avec $α, β \in K^{*}$	$1$	Non
$N_{6, 23} (α, β, γ, δ)$	$e_{1}^{2} = e_{2} + e_{3},$ $e_{2}^{2} = e_{6},$ $e_{3}^{2} = - e_{6},$ $e_{4}^{2} = α (e_{2} + e_{3}) + β e_{6},$ $e_{5}^{2} = γ (e_{2} + e_{3}) + δ e_{6},$ $e_{6}^{2} = 0$ avec $α δ - β γ \neq 0$ , $α γ \neq 0$ et $β δ \neq 0$	$1$	Non
$N_{6, 24} (α, β, γ)$	$e_{1}^{2} = e_{2} + e_{3},$ $e_{2}^{2} = e_{6},$ $e_{3}^{2} = - e_{6},$ $e_{4}^{2} = α (e_{2} + e_{3}) + β e_{6},$ $e_{5}^{2} = γ (e_{2} + e_{3}),$ $e_{6}^{2} = 0$ avec $α β γ \neq 0$	$1$	Non
$N_{6, 25} (α)$	$e_{1}^{2} = e_{2} + e_{3},$ $e_{2}^{2} = e_{5},$ $e_{3}^{2} = - e_{5},$ $e_{4}^{2} = α (e_{2} + e_{3}) + e_{6},$ $e_{5}^{2} = e_{6}^{2} = 0$ avec $α \in K^{*}$	$2$	Non
$N_{6, 26}$	$e_{1}^{2} = e_{2} + e_{3} + e_{4},$ $e_{2}^{2} = e_{5},$ $e_{3}^{2} = e_{6},$ $e_{4}^{2} = - (e_{5} + e_{6}),$ $e_{5}^{2} = e_{6}^{2} = 0$	$2$	Non

Table 4. Table 4 : *

Table 4
$N$	Définition de la dérivation	$𝔇 (N) ≃$
$N_{5, 9} (α, β)$	$d (e_{i}) = d_{11} e_{i} + d_{4 i} e_{4} + d_{5 i} e_{5}$ , $d (e_{4}) = 2 d_{11} e_{4}$ , $d (e_{5}) = 2 d_{11} e_{5}$ avec $i = 1, 2, 3$	$K^{4} \times K^{3}$
$N_{6, 17} (α, β, γ)$	$d (e_{i}) = d_{11} e_{i} + d_{5 i} e_{5} + d_{6 i} e_{6}$ , $d (e_{3}) = d_{11} e_{3} + d_{43} e_{4} + d_{53} e_{5} + d_{63} e_{6}$ , $d (e_{4}) = - γ^{- 1} d_{43} e_{3} + d_{11} e_{4} + d_{54} e_{5} + d_{64} e_{6}$ , $d (e_{5}) = 2 d_{11} e_{5}$ , $d (e_{6}) = 2 d_{11} e_{6}$ avec $i = 1, 2$	$K^{6} \times K^{4}$
$N_{6, 18} (α, β, γ, δ)$	$d (e_{i}) = d_{11} e_{i} + d_{5 i} e_{5} + d_{6 i} e_{6}$ , $d (e_{5}) = 2 d_{11} e_{5}$ , $d (e_{6}) = 2 d_{11} e_{6}$ avec $i = 1, 2, 3, 4$	$K^{5} \times K^{4}$

Table 5. Table 5 : *

Table 5
$N$	Définition de la dérivation $[d, d^{'}]$	$𝔇 {(N)}^{'} ≃$
$N_{5, 9} (α, β)$	${[d, d^{'}]}_{11} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{4 i} = d_{4 i}^{'} d_{11} - d_{4 i} d_{11}^{'}$ , ${[d, d^{'}]}_{5 i} = d_{5 i}^{'} d_{11} - d_{5 i} d_{11}^{'}$ avec $i = 1, 2, 3$	$K^{3} \times K^{3}$
$N_{6, 17} (α, β, γ)$	${[d, d^{'}]}_{11} = {[d, d^{'}]}_{43} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{j i} = d_{j i}^{'} d_{11} - d_{j i} d_{11}^{'}$ , ${[d, d^{'}]}_{j 3} = (d_{j 3}^{'} d_{11} - d_{j 3} d_{11}^{'}) + (d_{43}^{'} d_{j 4} - d_{43} d_{j 4}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{j 4} = (d_{j 4}^{'} d_{11} - d_{j 4} d_{11}^{'}) + γ^{- 1} (d_{43} d_{j 3}^{'} - d_{43}^{'} d_{j 3})$ avec $i = 1, 2$ et $j = 5, 6$	$K^{4} \times K^{4}$
$N_{6, 18} (α, β, γ, δ)$	${[d, d^{'}]}_{11} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{j i} = d_{j i}^{'} d_{11} - d_{j i} d_{11}^{'}$ avec $i = 1, 2, 3, 4$ et $j = 5, 6$	$K^{4} \times K^{4}$

Table 6. Table 6 : *

Table 6
$N$	$R_{c} \in 𝔇 (N)$ si et seulement si	$ℑ (N) ≃$
$N_{5, 9} (α, β)$	$R_{c} = c_{1} e_{41} + c_{2} (α e_{42} + β e_{52}) + c_{3} e_{53}$	$K^{3}$
$N_{6, 17} (α, β, γ)$	$R_{c} = c_{1} e_{51} + c_{2} (α e_{52} + β e_{62}) + c_{3} γ e_{63} + c_{4} e_{64}$	$K^{4}$
$N_{6, 18} (α, β, γ, δ)$	$R_{c} = c_{1} e_{51} + c_{2} (α e_{52} + β e_{62}) + c_{3} (γ e_{53} + δ c_{4} e_{63}) + c_{4} e_{64}$	$K^{4}$

Table 7. Table 7 : *

Table 7
$N$	Définition de la dérivation	$𝔇 (N) ≃$
$N_{4, 6}$	$d (e_{1}) = d_{11} e_{1} + d_{41} e_{4}$ , $d (e_{2}) = d_{22} e_{2} + (2 d_{11} - d_{22}) e_{3} + d_{42} e_{4}$ , $d (e_{3}) = (2 d_{11} - d_{22}) e_{2} + d_{22} e_{3} - d_{42} e_{4}$ , $d (e_{4}) = 2 d_{22} e_{4}$	$K^{2} \times K^{2}$
$N_{5, 10} (α)$	$d (e_{1}) = d_{11} e_{1} + d_{51} e_{5}$ , $d (e_{2}) = d_{22} e_{2} + (2 d_{11} - d_{22}) e_{3} + d_{42} e_{4} + d_{52} e_{5}$ , $d (e_{3}) = (2 d_{11} - d_{22}) e_{2} + d_{22} e_{3} - d_{42} e_{4} - d_{52} e_{5}$ , $d (e_{4}) = - α d_{42} e_{2} - α d_{42} e_{3} + d_{22} e_{4} + d_{54} e_{5}$ , $d (e_{5}) = 2 d_{22} e_{5}$	$K^{3} \times K^{3}$
$N_{5, 11} (α)$	$d (e_{1}) = d_{11} e_{1} + d_{41} e_{4} + d_{51} e_{5}$ , $d (e_{2}) = d_{22} e_{2} + (2 d_{11} - d_{22}) e_{3} + d_{52} e_{5}$ , $d (e_{3}) = (2 d_{11} - d_{22}) e_{2} + d_{22} e_{3} - d_{52} e_{5}$ , $d (e_{4}) = - α d_{41} e_{1} + d_{11} e_{4} + d_{54} e_{5}$ , $d (e_{5}) = 2 d_{22} e_{5}$	$K^{3} \times K^{3}$
$N_{5, 12} (α, β)$	$d (e_{1}) = d_{11} e_{1} + d_{51} e_{5}$ , $d (e_{2}) = d_{11} e_{2} + d_{11} e_{3} + d_{52} e_{5}$ , $d (e_{3}) = d_{11} e_{2} + d_{11} e_{3} - d_{52} e_{5}$ , $d (e_{4}) = d_{11} e_{4} + d_{54} e_{5}$ , $d (e_{5}) = 2 d_{11} e_{5}$	$K \times K^{3}$
$N_{6, 19} (α, β)$	$d (e_{1}) = d_{11} e_{1} + d_{61} e_{6}$ , $d (e_{2}) = d_{22} e_{2} + (2 d_{11} - d_{22}) e_{3} + d_{42} e_{4} + d_{52} e_{5} + d_{62} e_{6}$ , $d (e_{3}) = (2 d_{11} - d_{22}) e_{2} + d_{22} e_{3} - d_{42} e_{4} - d_{52} e_{5} - d_{62} e_{6}$ , $d (e_{4}) = - α d_{42} e_{2} - α d_{42} e_{3} + d_{22} e_{4} + d_{54} e_{5} + d_{64} e_{6}$ , $d (e_{5}) = - β d_{52} e_{2} - β d_{52} e_{3} - α^{- 1} β d_{54} e_{4} + d_{22} e_{5} + d_{65} e_{6}$ , $d (e_{6}) = 2 d_{22} e_{6}$	$K^{5} \times K^{4}$
$N_{6, 20} (α, β)$	$d (e_{1}) = d_{11} e_{1} + d_{41} e_{4} + d_{61} e_{6}$ , $d (e_{2}) = d_{22} e_{2} + (2 d_{11} - d_{22}) e_{3} + d_{52} e_{5} + d_{62} e_{6}$ , $d (e_{3}) = (2 d_{11} - d_{22}) e_{2} + d_{22} e_{3} - d_{52} e_{5} - d_{62} e_{6}$ , $d (e_{4}) = - α d_{41} e_{1} + d_{11} e_{4} + d_{64} e_{6}$ , $d (e_{5}) = - β d_{52} e_{2} - β d_{52} e_{3} + d_{22} e_{5} + d_{65} e_{6}$ , $d (e_{6}) = 2 d_{22} e_{6}$	$K^{4} \times K^{4}$
$N_{6, 21} (α, β, γ)$	$d (e_{1}) = d_{11} e_{1} + d_{61} e_{6}$ , $d (e_{2}) = d_{11} e_{2} + d_{11} e_{3} + d_{52} e_{5} + d_{62} e_{6}$ , $d (e_{3}) = d_{11} e_{2} + d_{11} e_{3} - d_{52} e_{5} - d_{62} e_{6}$ , $d (e_{4}) = d_{11} e_{4} + d_{64} e_{6}$ , $d (e_{5}) = - γ d_{52} e_{2} - γ d_{52} e_{3} + d_{11} e_{5} + d_{65} e_{6}$ , $d (e_{6}) = 2 d_{11} e_{6}$	$K^{2} \times K^{4}$
$N_{6, 22} (α, β)$	$d (e_{1}) = d_{11} e_{1} + d_{41} e_{4} + d_{51} e_{5} + d_{61} e_{6}$ , $d (e_{2}) = d_{22} e_{2} + (2 d_{11} - d_{22}) e_{3} + d_{62} e_{6}$ , $d (e_{3}) = (2 d_{11} - d_{22}) e_{2} + d_{22} e_{3} - d_{62} e_{6}$ , $d (e_{4}) = - α d_{41} e_{1} + d_{11} e_{4} + d_{54} e_{5} + d_{64} e_{6}$ , $d (e_{5}) = - β d_{51} e_{1} - α^{- 1} β d_{54} e_{4} + d_{11} e_{5} + d_{65} e_{6}$ , $d (e_{6}) = 2 d_{22} e_{6}$	$K^{5} \times K^{4}$
$N_{6, 23} (α, β, γ, δ)$	$d (e_{1}) = d_{11} e_{1} + d_{61} e_{6}$ , $d (e_{2}) = d_{11} e_{2} + d_{11} e_{3} + d_{62} e_{6}$ , $d (e_{3}) = d_{11} e_{2} + d_{11} e_{3} - d_{62} e_{6}$ , $d (e_{4}) = d_{11} e_{4} + d_{64} e_{6}$ , $d (e_{5}) = d_{11} e_{5} + d_{65} e_{6}$ , $d (e_{6}) = 2 d_{11} e_{6}$	$K \times K^{4}$
$N_{6, 24} (α, β, γ)$	$d (e_{1}) = d_{11} e_{1} + d_{51} e_{5} + d_{61} e_{6}$ , $d (e_{2}) = d_{11} e_{2} + d_{11} e_{3} + d_{62} e_{6}$ , $d (e_{3}) = d_{11} e_{2} + d_{11} e_{3} - d_{62} e_{6}$ , $d (e_{4}) = d_{11} e_{4} + d_{64} e_{6}$ , $d (e_{5}) = - γ d_{51} e_{1} + d_{11} e_{5} + d_{65} e_{6}$ , $d (e_{6}) = 2 d_{11} e_{6}$	$K^{2} \times K^{4}$

Table 8. Table 8 : *

Table 8
$N$	Définition de la dérivation $[d, d^{'}]$	$𝔇 {(N)}^{'} ≃$
$N_{4, 6}$	${[d, d^{'}]}_{11} = {[d, d^{'}]}_{22} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{41} = (d_{11}^{'} d_{41} - d_{11} d_{41}^{'}) + 2 (d_{41}^{'} d_{22} - d_{41} d_{22}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{42} = 2 (d_{42}^{'} d_{11} - d_{42} d_{11}^{'})$	$K^{2}$
$N_{5, 10} (α)$	${[d, d^{'}]}_{11} = {[d, d^{'}]}_{22} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{51} = (d_{11}^{'} d_{51} - d_{11} d_{51}^{'}) + 2 (d_{51}^{'} d_{22} - d_{51} d_{22}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{42} = (d_{22}^{'} d_{42} - d_{22} d_{42}^{'}) + 2 (d_{42}^{'} d_{11} - d_{42} d_{11}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{52} = (d_{42}^{'} d_{54} - d_{42} d_{54}^{'}) + 2 (d_{52}^{'} d_{11} - d_{52} d_{11}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{54} = d_{54}^{'} d_{22} - d_{54} d_{22}^{'}$	$K \times K^{3}$
$N_{5, 11} (α)$	${[d, d^{'}]}_{11} = {[d, d^{'}]}_{41} = {[d, d^{'}]}_{22} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{51} = (d_{11}^{'} d_{51} - d_{11} d_{51}^{'}) + (d_{41}^{'} d_{54} - d_{41} d_{54}^{'}) + 2 (d_{51}^{'} d_{22} - d_{51} d_{22}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{52} = 2 (d_{52}^{'} d_{11} - d_{52}^{'} d_{11})$ , ${[d, d^{'}]}_{54} = - α (d_{41}^{'} d_{51} - d_{41} d_{51}^{'}) + (d_{11}^{'} d_{54} - d_{11} d_{54}^{'}) + 2 (d_{54}^{'} d_{22} - d_{54} d_{22}^{'})$	$K^{3}$
$N_{5, 12} (α, β)$	${[d, d^{'}]}_{11} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{51} = d_{51}^{'} d_{11} - d_{51} d_{11}^{'}$ , ${[d, d^{'}]}_{52} = 2 (d_{52}^{'} d_{11} - d_{52} d_{11}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{54} = d_{54}^{'} d_{11} - d_{54} d_{11}^{'}$	$K^{3}$
$N_{6, 19} (α, β)$	${[d, d^{'}]}_{11} = {[d, d^{'}]}_{22} = {[d, d^{'}]}_{54} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{61} = (d_{11}^{'} d_{61} - d_{11} d_{61}^{'}) + 2 (d_{61}^{'} d_{22} - d_{61} d_{22}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{42} = (d_{22}^{'} d_{42} - d_{22} d_{42}^{'}) + 2 (d_{11} d_{42}^{'} - d_{11}^{'} d_{42}) - α^{- 1} β (d_{52}^{'} d_{54} - d_{52} d_{54}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{52} = (d_{42}^{'} d_{54} - d_{42} d_{54}^{'}) + (d_{22}^{'} d_{52} - d_{22} d_{52}^{'}) + 2 (d_{11} d_{52}^{'} - d_{11}^{'} d_{52})$ , ${[d, d^{'}]}_{62} = (d_{42}^{'} d_{64} - d_{42} d_{64}^{'}) + (d_{52}^{'} d_{65} - d_{52} d_{65}^{'}) + 2 (d_{62}^{'} d_{11} - d_{62} d_{11}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{64} = (d_{64}^{'} d_{22} - d_{64} d_{22}^{'}) + (d_{54}^{'} d_{65} - d_{54} d_{65}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{65} = - α^{- 1} β (d_{54}^{'} d_{64} - d_{54} d_{64}^{'}) + (d_{65}^{'} d_{22} - d_{65} d_{22}^{'})$	$K^{2} \times K^{4}$
$N_{6, 20} (α, β)$	${[d, d^{'}]}_{11} = {[d, d^{'}]}_{41} = {[d, d^{'}]}_{22} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{61} = (d_{11}^{'} d_{61} - d_{11} d_{61}^{'}) + (d_{41}^{'} d_{64} - d_{41} d_{64}^{'}) + 2 (d_{61}^{'} d_{22} - d_{61} d_{22}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{52} = (d_{22}^{'} d_{52} - d_{22} d_{52}^{'}) + 2 (d_{11} d_{52}^{'} - d_{11}^{'} d_{52})$ , ${[d, d^{'}]}_{62} = (d_{52}^{'} d_{65} - d_{52} d_{65}^{'}) + 2 (d_{11} d_{62}^{'} - d_{11}^{'} d_{62})$ , ${[d, d^{'}]}_{64} = - α (d_{41}^{'} d_{61} - d_{41} d_{61}^{'}) + (d_{11}^{'} d_{64} - d_{11} d_{64}^{'}) + 2 (d_{64}^{'} d_{22} - d_{64} d_{22}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{65} = d_{65}^{'} d_{22} - d_{65} d_{22}^{'}$	$K \times K^{4}$
$N_{6, 21} (α, β, γ)$	${[d, d^{'}]}_{11} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{61} = d_{61}^{'} d_{11} - d_{61} d_{11}^{'}$ , ${[d, d^{'}]}_{52} = d_{52}^{'} d_{11} - d_{52} d_{11}^{'}$ , ${[d, d^{'}]}_{62} = (d_{52}^{'} d_{65} - d_{52} d_{65}^{'}) + 2 (d_{62}^{'} d_{11} - d_{62}^{'} d_{11})$ , ${[d, d^{'}]}_{64} = d_{64}^{'} d_{11} - d_{64}^{'} d_{11}$ , ${[d, d^{'}]}_{65} = d_{65}^{'} d_{11} - d_{65} d_{11}^{'}$	$K \times K^{4}$
$N_{6, 22} (α, β)$	${[d, d^{'}]}_{11} = {[d, d^{'}]}_{22} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{41} = α^{- 1} β (d_{51} d_{54}^{'} - d_{51}^{'} d_{54})$ , ${[d, d^{'}]}_{51} = d_{41}^{'} d_{54} - d_{41} d_{54}^{'}$ , ${[d, d^{'}]}_{61} = (d_{11}^{'} d_{61} - d_{11} d_{61}^{'}) + (d_{41}^{'} d_{64} - d_{41} d_{64}^{'}) + (d_{51}^{'} d_{65} - d_{51} d_{65}^{'}) + 2 (d_{61}^{'} d_{22} - d_{61} d_{22}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{62} = 2 (d_{11} d_{62}^{'} - d_{11}^{'} d_{62})$ , ${[d, d^{'}]}_{54} = α (d_{41} d_{51}^{'} - d_{41}^{'} d_{51})$ , ${[d, d^{'}]}_{64} = (d_{64}^{'} d_{11} - d_{64} d_{11}^{'}) + (d_{54}^{'} d_{65} - d_{54} d_{65}^{'}) + α (d_{41} d_{61}^{'} - d_{41}^{'} d_{61})$ , ${[d, d^{'}]}_{65} = - β (d_{51}^{'} d_{61} - d_{51} d_{61}^{'}) - α^{- 1} β (d_{54}^{'} d_{64} - d_{54} d_{64}^{'}) + (d_{11}^{'} d_{65} - d_{11} d_{65}^{'}) + 2 (d_{65}^{'} d_{22} - d_{65} d_{22}^{'})$	$K^{3} \times K^{4}$
$N_{6, 23} (α, β, γ, δ)$	${[d, d^{'}]}_{11} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{61} = d_{61}^{'} d_{11} - d_{11}^{'} d_{61}$ , ${[d, d^{'}]}_{62} = 2 (d_{62}^{'} d_{11} - d_{62} d_{11}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{64} = d_{64}^{'} d_{11} - d_{64} d_{11}^{'}$ , ${[d, d^{'}]}_{65} = d_{65}^{'} d_{11} - d_{65} d_{11}^{'}$	$K^{4}$
$N_{6, 24} (α, β, γ)$	${[d, d^{'}]}_{11} = {[d, d^{'}]}_{51} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{61} = (d_{61}^{'} d_{11} - d_{61} d_{11}^{'}) + (d_{51}^{'} d_{65} - d_{51} d_{65}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{62} = 2 (d_{62}^{'} d_{11} - d_{62} d_{11}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{64} = d_{64}^{'} d_{11} - d_{64} d_{11}^{'}$ , ${[d, d^{'}]}_{65} = γ (d_{51} d_{61}^{'} - d_{51}^{'} d_{61}) + (d_{65}^{'} d_{11} - d_{65} d_{11}^{'})$	$K^{4}$

Table 9. Table 9 : *

Table 9
$N$	$R_{c} + [R_{a}, R_{b}] \in 𝔇 (N)$ si et seulement si	$ℑ (N) ≃$
$N_{4, 6}$	$R_{c} = c_{2} (e_{42} - e_{43})$ , $[R_{a}, R_{b}] = (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2} + a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1}) e_{41}$	$K^{2}$
$N_{5, 10} (α)$	$R_{c} = c_{2} (e_{52} - e_{53}) + α c_{4} e_{54}$ , $[R_{a}, R_{b}] = (b_{1} (a_{2} - a_{3}) - a_{1} (b_{2} - b_{3})) e_{51}$	$K^{3}$
$N_{5, 11} (α)$	$R_{c} = c_{2} (e_{52} - e_{53})$ , $[R_{a}, R_{b}] = (b_{1} (a_{2} - a_{3}) - a_{1} (b_{2} - b_{3})) e_{51} + α (b_{4} (a_{2} - a_{3}) - a_{4} (b_{2} - b_{3})) e_{54}$	$K^{3}$
$N_{5, 12} (α, β)$	$R_{c} = c_{2} (e_{52} - e_{53})$ , $[R_{a}, R_{b}] = (b_{1} (a_{2} - a_{3}) - a_{1} (b_{2} - b_{3})) e_{51} + α (b_{4} (a_{2} - a_{3}) - a_{4} (b_{2} - b_{3})) e_{54}$	$K^{3}$
$N_{6, 19} (α, β)$	$R_{c} = c_{2} (e_{62} - e_{63}) + α c_{4} e_{64} + β c_{5} e_{65}$ , $[R_{a}, R_{b}] = (b_{1} (a_{2} - a_{3}) - a_{1} (b_{2} - b_{3})) e_{61}$	$K^{4}$
$N_{6, 20} (α, β)$	$R_{c} = c_{2} (e_{62} - e_{63}) + β c_{5} e_{65}$ , $[R_{a}, R_{b}] = (b_{1} (a_{2} - a_{3}) - a_{1} (b_{2} - b_{3})) e_{61} + α (b_{4} (a_{2} - a_{3}) - a_{4} (b_{2} - b_{3})) e_{64}$	$K^{4}$
$N_{6, 21} (α, β, γ)$	$R_{c} = c_{2} (e_{62} - e_{63}) + γ c_{5} e_{65}$ , $[R_{a}, R_{b}] = (b_{1} (a_{2} - a_{3}) - a_{1} (b_{2} - b_{3})) e_{61} + α (b_{4} (a_{2} - a_{3}) - a_{4} (b_{2} - b_{3})) e_{64}$	$K^{4}$
$N_{6, 22} (α, β)$	$R_{c} = c_{2} (e_{62} - e_{63})$ , $[R_{a}, R_{b}] = (b_{1} (a_{2} - a_{3}) - a_{1} (b_{2} - b_{3})) e_{61} + α (b_{4} (a_{2} - a_{3}) - a_{4} (b_{2} - b_{3})) e_{64} + β (b_{5} (a_{2} - a_{3}) - a_{5} (b_{2} - b_{3})) e_{65}$	$K^{4}$
$N_{6, 23} (α, β, γ, δ)$	$R_{c} = c_{2} (e_{62} - e_{63})$ , $[R_{a}, R_{b}] = (b_{1} (a_{2} - a_{3}) - a_{1} (b_{2} - b_{3})) e_{61} + α (b_{4} (a_{2} - a_{3}) - a_{4} (b_{2} - b_{3})) e_{64} + γ (b_{5} (a_{2} - a_{3}) - a_{5} (b_{2} - b_{3})) e_{65}$	$K^{4}$
$N_{6, 24} (α, β, γ)$	$R_{c} = c_{2} (e_{62} - e_{63})$ , $[R_{a}, R_{b}] = (b_{1} (a_{2} - a_{3}) - a_{1} (b_{2} - b_{3})) e_{61} + α (b_{4} (a_{2} - a_{3}) - a_{4} (b_{2} - b_{3})) e_{64} + γ (b_{5} (a_{2} - a_{3}) - a_{5} (b_{2} - b_{3})) e_{65}$	$K^{4}$

Table 10. Table 10 : *

Table 10
$N$	Définition de la dérivation	$𝔇 (N) ≃$
$N_{6, 25} (α)$	$d (e_{1}) = d_{11} e_{1} + d_{51} e_{5} + d_{61} e_{6}$ , $d (e_{2}) = d_{22} e_{2} + (2 d_{11} - d_{22}) e_{3} + d_{52} e_{5} + d_{62} e_{6}$ , $d (e_{3}) = (2 d_{11} - d_{22}) e_{2} + d_{22} e_{3} - d_{52} e_{5} - d_{62} e_{6}$ , $d (e_{4}) = d_{11} e_{4} + d_{54} e_{5} + d_{64} e_{6}$ , $d (e_{5}) = 2 d_{22} e_{5}$ , $d (e_{6}) = 2 d_{11} e_{6}$	$K^{5} \times K^{3}$
$N_{6, 26}$	$d (e_{1}) = d_{11} e_{1} + d_{51} e_{5} + d_{61} e_{6}$ , $d (e_{2}) = 2 d_{11} e_{2} + d_{52} e_{5} + d_{62} e_{6}$ , $d (e_{3}) = 2 d_{11} e_{3} + d_{53} e_{5} + d_{63} e_{6}$ , $d (e_{4}) = 2 d_{11} e_{4} - (d_{52} + d_{53}) e_{5} - (d_{62} + d_{63}) e_{6}$ , $d (e_{5}) = 4 d_{11} e_{5}$ , $d (e_{6}) = 4 d_{11} e_{6}$ ,	$K^{4} \times K^{3}$

Table 11. Table 11 : *

Table 11
$N$	Définition de la dérivation $[d, d^{'}]$	$𝔇 {(N)}^{'} ≃$
$N_{6, 25} (α, β)$	${[d, d^{'}]}_{11} = {[d, d^{'}]}_{22} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{j 1} = d_{j 1}^{'} d_{11} - d_{j 1} d_{11}^{'}$ , ${[d, d^{'}]}_{j 2} = 2 (d_{j 2}^{'} d_{11} - d_{j 2} d_{11}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{54} = (d_{11}^{'} d_{54} - d_{11} d_{54}^{'}) + 2 (d_{54}^{'} d_{22} - d_{54} d_{22}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{64} = d_{64}^{'} d_{11} - d_{64} d_{11}^{'}$ avec $j = 5, 6$	$K^{3} \times K^{3}$
$N_{6, 26}$	${[d, d^{'}]}_{11} = 0$ , ${[d, d^{'}]}_{j 1} = 3 (d_{j 1}^{'} d_{11} - d_{j 1} d_{11}^{'})$ , ${[d, d^{'}]}_{j i} = 2 (d_{j i}^{'} d_{11} - d_{j i} d_{11}^{'})$ avec $j = 5, 6$ et $i = 2, 3$	$K^{3} \times K^{3}$

Table 12. Table 12 : *

Table 12
$N$	$R_{c} + [R_{a}, R_{b}] \in 𝔇 (N)$ si et seulement si	$ℑ (N) ≃$
$N_{6, 25} (α)$	$R_{c} = c_{2} (e_{52} - e_{53})$ , $[R_{a}, R_{b}] = (b_{1} (a_{2} - a_{3}) - a_{1} (b_{2} - b_{3})) e_{51} + α (b_{4} (a_{2} - a_{3}) - a_{4} (b_{2} - b_{3})) e_{54}$	$K^{3}$
$N_{6, 26}$	$R_{c} = c_{2} (e_{52} + e_{63} - e_{54} - e_{64})$ , $[R_{a}, R_{b}] = (b_{1} (a_{2} - a_{4}) - a_{1} (b_{2} - b_{4})) e_{51} + α (b_{1} (a_{3} - a_{4}) - a_{1} (b_{3} - b_{4})) e_{61}$	$K^{3}$

Equations13

e_{i} e_{j} = 0 pour tous 1 \leq i \neq = j \leq n et e_{i}^{2} = k = 1 \sum n a_{ik} e_{k} pour tout 1 \leq i \leq n,

e_{i} e_{j} = 0 pour tous 1 \leq i \neq = j \leq n et e_{i}^{2} = k = 1 \sum n a_{ik} e_{k} pour tout 1 \leq i \leq n,

D (E) = {d \in E n d (E); a_{j k} d_{j i} + a_{ik} d_{ij} = 0 pour i \neq = j et pour tout k, 2 d_{ii} a_{ik} = j = 1 \sum n a_{ij} d_{k j}} .

D (E) = {d \in E n d (E); a_{j k} d_{j i} + a_{ik} d_{ij} = 0 pour i \neq = j et pour tout k, 2 d_{ii} a_{ik} = j = 1 \sum n a_{ij} d_{k j}} .

E = K u_{1} \oplus K u_{2} \oplus \dots \oplus K u_{s} \oplus N,

E = K u_{1} \oplus K u_{2} \oplus \dots \oplus K u_{s} \oplus N,

[h_{j i}, h_{l k}]

[h_{j i}, h_{l k}]

d (e_{n - 1}) = 2 d_{11} e_{n - 1}, d (e_{n}) = 2 d_{11} e_{n} et d_{ii} = d_{11} avec 1 \leq i \leq n - 2.

d (e_{n - 1}) = 2 d_{11} e_{n - 1}, d (e_{n}) = 2 d_{11} e_{n} et d_{ii} = d_{11} avec 1 \leq i \leq n - 2.

d (e_{1})

d (e_{1})

d (e_{3})

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Taxonomy

TopicsAdvanced Topics in Algebra · Algebraic structures and combinatorial models · Rings, Modules, and Algebras

Full text

Dérivations dans les algèbres d’évolution à puissances associatives

Moussa OUATTARA Souleymane SAVADOGO

Département de Mathématiques et Informatique

Université Ouaga I Pr Joseph KI-ZERBO

03 BP 7021 Ouagadougou 03

Burkina Faso [email protected]@yahoo.fr

Abstract

In this paper, we investigate the derivations in evolution algebras that are power-associative. This problem is reduced to that of power-associative evolution nilalgebras. We show how to calculate derivations in decomposable algebras. This caculation shows that it is enough to describe derivations in indecomposable evolution algebras. We first determine the derivation algebra of $n$ -dimensional indecomposable associative evolution nilalgebras with one-dimensional annihilator. We describe the derivation algebra of indecomposable nilalgebras, up to dimension $6$ , that are associative or not. In each cases, we give the commutator of two derivations. We also describe the ideal of inner derivation.

2010 Mathematics Subject Classification : Primary 17D92, 17A05, Secondary 17D99, 17A60

**Keywords : ** Evolution algebras, Derivations, Inner derivations, Power associativity, Nilalgebras.

1 Introduction

Il existe plusieurs classes d’algèbres non-associatives : les algèbres train, les algèbres de Jordan, les algèbres alternatives, les algèbres de Bernstein …

Dans [16], les Auteurs définissent une nouvelle classe d’algèbres non-associatives, celle des algèbres d’évolution. Cette classe d’algèbre ne forme pas une varieté, i.e. elle n’est pas définie par des identités ; par conséquent, l’étude de ces algèbres suit des voies différentes [4, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 16].

Dans [17], l’Auteur montre qu’une algèbre d’évolution est commutative (donc flexible), qu’elle n’est pas nécessairement associative, ni à puissances associatives. Toutefois, dans [14], les Auteurs caractérise les algèbres d’évolution qui sont associatives, de même que celles qui sont à puissances associatives. Ils montrent notamment que toute algèbre d’évolution qui est à puissances associatives est une algèbre de Jordan. La décomposition de Wedderburn des algèbres d’évolution qui son à puissances associatives est construite.

Une dérivation dans une algèbre $\mathcal{E}$ sur un corps $K$ est une application linéaire $d~{}:\mathcal{E}\longrightarrow\mathcal{E}$ vérifiant $d(uv)=ud(v)+d(u)v$ pour tous $u,v\in\mathcal{E}$ . Il est bien connu que l’espace $\mathfrak{D}(\mathcal{E})$ de toutes les dérivations de $\mathcal{E}$ est une algèbre de Lie, appelée algèbre de Lie des dérivations, où le crochet de deux dérivations $d$ et $d^{\prime}$ est défini par $[d,d^{\prime}]=d\circ d^{\prime}-d^{\prime}\circ d$ . On note $\mathfrak{D}(\mathcal{E})^{\prime}$ son algèbre dérivée [11].

Dans la théorie des algèbres non-associatives, l’algèbre de Lie des dérivations d’une algèbre $\mathcal{E}$ est un outil très important pour étudier la structure de l’algèbre.

Dans [13, Theorem 4.1], les Auteurs trouvent la conditions sous laquelle une algèbre génétique de dimension $2$ s’identifie à une algèbre d’évolution puis, ils prouvent l’existence d’une dérivation non-triviale dans les algèbres génétiques en dimension $2$ [13, Corrolary 5.2].

Dans [2], les Auteurs décrivent les dérivations dans les algèbres d’évolution nilpotentes et resolubles en dimension $3$ . Ils décrivent aussi les dérivations dans les sous-algèbres d’évolution complexes de dimension $2$ .

Dans [6], les Auteurs étudient les dérivations des algèbres d’évolution de dimension $n$ , lorsque le rang de la matrice des constantes de structures est $n-1$ ou $n$ .

Dans la section $2$ , nous montrons qu’il est suffisant de caractèriser les dérivations dans les nil-algèbres d’évolution à puissances associatives puis nous caractérisons les dérivations dans les nil-algèbres d’évolution décomposable à puissances associatives.

Dans la section $3$ , nous caractérisons les dérivations dans les nil-algèbres d’évolution décomposables à puissances associatives.

Dans la section $4$ , nous étudions les dérivations dans les nil-algèbres d’évolution indécomposable et associatives.

Dans la section $5$ , nous décrivons les dérivations dans les nil-algèbres d’évolution indécomposable à puissances associatives et qui ne sont pas associatives.

2 Préliminaires

Soient $K$ un corps commutatif et $\mathcal{E}$ une $K$ -algèbre commutative. On définit par $R_{a}:\mathcal{E}\longrightarrow\mathcal{E}$ , $x\longmapsto xa$ la multiplication à droite par l’élément $a$ de $\mathcal{E}$ . On note $R(\mathcal{E})$ l’ensemble des multiplications à droite de $\mathcal{E}$ . Soit $\mathfrak{L}(\mathcal{E})$ l’algèbre de Lie des transformations de $\mathcal{E}$ .

Définition 2.0.1.

Une dérivation $d$ de $\mathcal{E}$ est dite intérieure si $d\in\mathfrak{L}(\mathcal{E})$ . On note $\mathfrak{I}(\mathcal{E})=\mathfrak{D}(\mathcal{E})\cap\mathfrak{L}(\mathcal{E})$ , l’ensemble des dérivations intérieures de $\mathcal{E}$ . C’est un idéal de l’algèbre des dérivations $\mathfrak{D}(\mathcal{E})$ .

Dans les cas où l’algèbre $\mathcal{E}$ est associative (resp. de Jordan) $\mathfrak{L}(\mathcal{E})=R(\mathcal{E})$ (resp. $\mathfrak{L}(\mathcal{E})=R(\mathcal{E})+[R(\mathcal{E}),R(\mathcal{E})]$ ) [15].

Les puissances principales d’un élément $a\in\mathcal{E}$ sont définies par $a^{1}=a$ et $a^{k+1}=a^{k}a$ tandis que celles de $\mathcal{E}$ sont définies par $\mathcal{E}^{1}=\mathcal{E},\quad\mathcal{E}^{k+1}=\mathcal{E}^{k}\mathcal{E}$ ( $k\geq 1$ ).

Définition 2.0.2.

On dira que l’algèbre $\mathcal{E}$ est :

$i)$ nilpotente s’il existe un entier non nul $n$ tel que $\mathcal{E}^{n}=0$ , un tel plus petit entier est appelé l’indice de nilpotence ;

$ii)$ nil, s’il existe un entier non nul $n(a)$ tel que $a^{n(a)}=0,$ pour tout $a\in\mathcal{E}$ , un tel plus petit entier est appelé le nilindice de $\mathcal{E}$ .

Définition 2.0.3.

L’algèbre $\mathcal{E}$ est dite :

$i)$ associative si pour tous $x,$ $y,$ $z\in\mathcal{E},$ $(x,y,z)=0$ où $(x,y,z)=(xy)z-x(yz)$ désigne l’associateur des éléments $x,$ $y,$ $z$ de $\mathcal{E}$ ;

$ii)$ de Jordan si elle vérifie $(x^{2},y,x)=0$ , pour tous $x,y\in\mathcal{E}$ ;

$iii)$ à puissances associatives si pour tout $x\in\mathcal{E}$ , la sous algèbre engendrée par $x$ est associative. Autrement dit, pour tout $x\in\mathcal{E}$ , $x^{i}x^{j}=x^{i+j}$ pour tous entiers $i,j\geq 1.$

Définition 2.0.4.

L’algèbre $\mathcal{E}$ est dite à quatrième puissances associatives si $x^{2}x^{2}=x^{4}$ pour tout $x\in\mathcal{E}$ .

Théorème 2.0.5 ([1]).

En caractéristique $\neq 2,3,5$ , l’algèbre $\mathcal{E}$ est à puissances associatives si et seulement si $x^{2}x^{2}=x^{4}$ , pour tout $x\in A.$

Définition 2.0.6.

L’algèbre $\mathcal{E}$ est décomposable s’il existe des idéaux non nuls $\mathcal{I}$ et $\mathcal{J}$ tels que $\mathcal{E}=\mathcal{I}\oplus\mathcal{J}$ . Dans le cas contraire elle est indécomposable.

Définition 2.0.7.

Si l’algèbre $\mathcal{E}$ admet une base $B=\{e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\}$ telle que

[TABLE]

alors on dit que $\mathcal{E}$ est une $K$ -algèbre d’évolution et $B$ est une base naturelle de $\mathcal{E}$ . La matrice $M=(a_{ik})_{1\leq i,k\leq n}$ est la matrice des constantes de structures de $\mathcal{E}$ relativement à la base naturelle $B.$

Définition 2.0.8.

Une algèbre $\mathcal{E}$ de dimension finie $n+1$ est dite dimensionnellement nilpotente (ADN) s’il existe une dérivation $d$ de $\mathcal{E}$ telle que $d^{n}=0$ .

Dans ce cas, il existe une base $\{e_{0},e_{1},\ldots,e_{n}\}$ de $\mathcal{E}$ telle que $d(e_{i})=e_{i+1}$ , $d(e_{n})=0$ avec $i=0,\ldots,n-1$ . Une telle base est dite adaptée.

Théorème 2.0.9.

La seule algèbre d’évolution indécomposable qui est ADN est $N_{2,2}:e_{0}^{2}=e_{1},e_{1}^{2}=~{}0$ .

Preuve.

On suppose que $\mathcal{E}$ est une ADN d’évolution de dimension finie $n+1$ dans la base adaptée $\{e_{0},e_{1},\ldots,e_{n}\}$ . En dérivant $e_{i}^{2}$ , on obtient $d(e_{i}^{2})=2e_{i}e_{i+1}=0$ , donc $e_{i}^{2}\in\ker(d)=Ke_{n}$ . Il existe alors des scalaires $\alpha_{in}$ , tels que $e_{i}^{2}=\alpha_{in}e_{n}$ , pour $i=0,\ldots,n-1$ , et $e_{n}^{2}=0$ . On en déduit que $\mathcal{E}$ est associative ([14, § 4.1]). En dérivant $0=e_{i}e_{j}$ pour $0\leq i\neq j\leq n-1$ , on obtient $0=d(e_{i})e_{j}+e_{i}d(e_{j})=e_{i+1}e_{j}+e_{i}e_{j+1}$ et en prenant $i+1=j$ , l’égalité devient $0=e_{j}^{2}+e_{j-1}e_{j+1}=e_{j}^{2}$ pour $j=1,\ldots,n-1$ . On déduit de tout ce qui précède que $e_{0}^{2}=\alpha_{0n}e_{n}$ , $e_{i}^{2}=0$ pour $i=1,\ldots,n.$ Donc $\mathcal{E}=N_{n+1,1}$ ou $\mathcal{E}=N_{n-1,1}\oplus N_{2,2}$ selon que $\alpha_{0n}=0$ , où $N_{j,1}$ est une zéro algèbre de dimension $j$ et $N_{2,2}:e_{0}^{2}=e_{1}$ , $e_{1}^{2}=0$ est une algèbre d’évolution, d’où le théorème. $\Box$

Soient $\mathcal{E}$ une algèbre d’évolution dont la table de multiplication, dans une base naturelle $B=\{e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}\}$ , est donnée par (1).

On définit l’annulateur de $\mathcal{E}$ par $\textrm{ ann}(\mathcal{E})=\{x\in\mathcal{E}:x\mathcal{E}=0\}$ et dans [8, Lemme 2.7], les Auteurs montrent que $\textrm{ ann}(\mathcal{E})=span\{e_{i}\in B\mid e_{i}^{2}=0\}.$

Soit $d$ une dérivation dans $\mathcal{E}$ ; on pose $d(e_{i})=\sum_{j=1}^{n}d_{ij}e_{j}$ pour tout $1\leq i\leq n$ . Dans [17], l’Auteur montre que

[TABLE]

On suppose que $\mathcal{E}$ est une nil-algèbre d’évolution telle que $\dim(ann(\mathcal{E}))=n-s$ où $s$ est un entier non nul. Sans perdre la généralité, on peut poser $ann(\mathcal{E})=<e_{s+1},\ldots,e_{n}>$ . Pour $1\leq i\neq j\leq s$ , en dérivant $0=e_{i}e_{j}$ , on obtient $0=d(e_{i}e_{j})=e_{i}d(e_{j})+d(e_{i})e_{j}=d_{ij}e_{i}^{2}+d_{ji}e_{j}^{2}$ . On distingue alors deux cas :

–

Premier cas : Les vecteurs $e_{i}^{2}$ et $e_{j}^{2}$ sont linéairement indépendants, alors $d_{ij}=d_{ji}=0$ . $(a)$

–

Deuxième cas : $e_{i}^{2}=\beta_{ij}e_{j}^{2}$ avec $\beta_{ij}\in K^{*}$ (car $e_{i}^{2}\neq 0$ et $e_{j}^{2}\neq 0$ ), alors $d_{ji}=-\beta_{ij}d_{ij}$ . $(b)$

Dans la suite, on suppose que le corps $K$ est de caractéristique $\neq 2$ et $\mathcal{E}$ est une algèbre d’évolution, à puissances associatives.

Théorème 2.0.10 ([14], Theorem 3.5.4).

Si $\mathcal{E}$ est non nil, alors $\mathcal{E}$ admet $s$ idempotents deux à deux orthogonaux $u_{1},u_{2},\ldots,u_{s}$ , non nuls, tels que

[TABLE]

somme directe d’algèbres, où $s\geq 1$ est un entier et $N$ est soit nul, soit une nil-algébre d’évolution à puissances associatives.

De plus $\mathcal{E}_{ss}=Ku_{1}\oplus Ku_{2}\oplus\cdots\oplus Ku_{s}$ est la composante semi-simple de $\mathcal{E}$ et $N=Rad(\mathcal{E})$ est le nil radical de $\mathcal{E}$ .

Proposition 2.0.11.

Si $\mathcal{E}$ est non nil, alors $\mathfrak{D}(\mathcal{E})=\mathfrak{D}(N)$ où $N$ est le nil radical dans la décomposition de Wedderburn de $\mathcal{E}$ .

Preuve.

Soient $\mathcal{E}=Ku_{1}\oplus Ku_{2}\oplus\cdots\oplus Ku_{s}\oplus N$ la décomposition de Wedderburn de $\mathcal{E}$ , $d\in\mathfrak{D}(\mathcal{E})$ et $v=\sum_{i=1}^{s}\alpha_{i}u_{i}$ . Pour tout $1\leq i\leq s$ , on a $d(u_{i})=d(u_{i}^{2})=2u_{i}d(u_{i})=2d_{ii}u_{i}^{2}=2d_{ii}u_{i}$ entraîne $2d_{ii}=d_{ii},$ donc $d_{ii}=0$ et $d(u_{i})=0$ . Ainsi $d(v)=\sum_{i=1}^{s}\alpha_{i}d(u_{i})=0,$ d’où le résultat. $\Box$

On en déduit que le calcul des dérivations dans les algèbres d’évolution, à puissances associatives, se ramène à celui des dérivations des nil-algèbres d’évolution à puissances associatives.

Exemple 2.0.12.

[14, Theorem 4.1.1] Soit $N_{1,1}:e_{1}^{2}=0$ , l’unique nil-algèbre d’évolution associative indécomposable de dimension $1$ . On a $\mathfrak{D}(N_{1,1})\simeq K$ algèbre de Lie abélienne.

Exemple 2.0.13.

[14, Theorem 4.1.2] Soient $N_{2,2}:e_{1}^{2}=e_{2},e_{2}^{2}=0$ , l’unique nil-algèbre d’évolution associative indécomposable de dimension $2$ et $d\in\mathfrak{D}(N_{2,2}).$ On a $d(e_{2})=d(e_{1}^{2})=2e_{1}d(e_{1})=2d_{11}e_{1}^{2}=2d_{11}e_{2}$ . Ainsi $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{21}e_{2}$ et $d(e_{2})=2d_{11}e_{2}$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{2,2})\simeq K^{2}.$

Soient $d,d^{\prime}$ des dérivations de $N_{2,2}$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{1})=d_{11}^{\prime}d(e_{1})+d_{21}^{\prime}d(e_{2})=d_{11}^{\prime}d_{11}e_{1}+(d_{11}^{\prime}d_{21}+2d_{21}^{\prime}d_{11})e_{2}$ et $[d,d^{\prime}](e_{1})=(d_{21}^{\prime}d_{11}-d_{21}d_{11}^{\prime})e_{2}$ . Aussi $d\circ d^{\prime}(e_{2})=2d_{11}^{\prime}d(e_{2})=4d_{11}^{\prime}d_{11}e_{2}$ et $[d,d^{\prime}](e_{2})=0$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{2,2})$ est l’algèbre de Lie non-abélienne.

Exemple 2.0.14.

[14, Table 1] Soient $N_{3,2}=N_{2,2}\oplus N_{1,1}:e_{1}^{2}=e_{2},e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=0$ et $d\in\mathfrak{D}(N_{3,2}).$ On a $d(e_{2})=d(e_{1}^{2})=2e_{1}d(e_{1})=2d_{11}e_{1}^{2}=2d_{11}e_{2}$ ; $0=d(e_{1}e_{j})=e_{1}d(e_{j})+d(e_{1})e_{j}=d_{1j}e_{1}^{2}+d_{j1}e_{j}^{2}=d_{1j}e_{2}$ ( $j=2,3$ ), donc $d_{12}=d_{13}=0.$ Ainsi $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{21}e_{2}+d_{31}e_{3}$ , $d(e_{2})=2d_{11}e_{2}$ et $d(e_{3})=d_{23}e_{2}+d_{33}e_{3}.$ On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{3,2})\simeq K^{5}.$

Exemple 2.0.15.

[14, Table 1] Soient $N_{4,4}=N_{2,2}\oplus N_{2,2}:e_{1}^{2}=e_{2},e_{2}^{2}=0,e_{3}^{2}=e_{4},e_{4}^{2}=0$ et $d\in\mathfrak{D}(N_{4,4}).$ On a $d(e_{2})=d(e_{1}^{2})=2e_{1}d(e_{1})=2d_{11}e_{1}^{2}=2d_{11}e_{2}$ ; $d(e_{4})=d(e_{3}^{2})=2e_{3}d(e_{3})=2d_{33}e_{3}^{2}=2d_{33}e_{4}$ . On a aussi $0=d(e_{1}e_{j})=e_{1}d(e_{j})+d(e_{1})e_{j}=d_{1j}e_{1}^{2}+d_{j1}e_{j}^{2}=d_{1j}e_{2}+d_{j1}e_{j}^{2}$ ( $j=2,3,4$ ), donc $d_{12}=0$ , $d_{13}=d_{31}=0$ et $d_{14}=0$ en prenant respectivement $j=2$ , $j=3$ et $j=4$ ; $0=d(e_{3}e_{j})=e_{3}d(e_{j})+d(e_{3})e_{j}=d_{3j}e_{3}^{2}+d_{j3}e_{j}^{2}=d_{3j}e_{4}+d_{j3}e_{j}^{2}$ ( $j=2,4$ ), donc $d_{32}=0$ et $d_{34}=0$ en prenant respectivement $j=2$ et $j=4$ . Ainsi $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{21}e_{2}+d_{41}e_{4}$ , $d(e_{2})=2d_{11}e_{2}$ , $d(e_{3})=d_{23}e_{2}+d_{33}e_{3}+d_{43}e_{4}$ , $d(e_{4})=2d_{33}e_{4}$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{4,4})\simeq K^{6}.$

3 Nil-algèbres décomposables

Soit $\mathcal{E}=I_{1}+I_{2}$ une nil-algèbre d’évolution décomposable.

Théorème 3.0.1 (Caractérisation des dérivations).

Soit $d:\mathcal{E}\longrightarrow\mathcal{E}$ une dérivation. Alors $d$ est déterminée par un unique quadruplet $(f_{d},g_{d},\ell_{d},k_{d})$ vérifiant les conditions suivantes :

$i)$

$d(x_{1})=f_{d}(x_{1})+\ell_{d}(x_{1})$ * avec $x_{1}\in I_{1}$ ;* 2. $ii)$

$d(x_{2})=g_{d}(x_{2})+k_{d}(x_{2})$ * avec $x_{2}\in I_{2}$ ;*

Les applications linéaires $f_{d}\in End(I_{1})$ , $g_{d}\in End(I_{2})$ , $\ell_{d}\in\textrm{Hom}(I_{1},I_{2})$ et $k_{d}\in\textrm{Hom}(I_{2},I_{1})$ vérifient : 3. $iii)$

$f_{d}\in\mathfrak{D}(I_{1})$ * ;* 4. $iv)$

$g_{d}\in\mathfrak{D}(I_{2})$ * ;* 5. $v)$

$\ell_{d}\in\textrm{Hom}^{0}(I_{1},I_{2})=\{h\in\textrm{Hom}(I_{1},I_{2})\mid h(I_{1}^{2})=0$ * et $h(I_{1})\subseteq ann(I_{2})\}$ ;* 6. $vi)$

$k_{d}\in\textrm{Hom}^{0}(I_{2},I_{1})=\{h\in\textrm{Hom}(I_{2},I_{1})\mid h(I_{2}^{2})=0$ * et $h(I_{2})\subseteq ann(I_{1})\}$ .*

Preuve.

Soit $d$ une dérivation de $\mathcal{E}=I_{1}+I_{2}$ . Puisque $d(x_{i})\in\mathcal{E}$ (avec $x_{i}\in I_{i}$ ), alors posons $d(x_{1})=f_{d}(x_{1})+\ell_{d}(x_{1})$ et $d(x_{2})=k_{d}(x_{2})+g_{d}(x_{2})$ avec $f_{d}(x_{1}),k_{d}(x_{2})\in I_{1}$ et $\ell_{d}(x_{1}),g_{d}(x_{2})\in I_{2}$ . On vérifie que $f_{d}\in End(I_{1})$ , $g_{d}\in End(I_{2})$ , $\ell_{d}\in\textrm{Hom}(I_{1},I_{2})$ et $k_{d}\in\textrm{Hom}(I_{2},I_{1})$ , d’où $i)$ et $ii)$ .

Soient $x_{1},x_{1}^{\prime}\in I_{1}$ et $x_{2},x_{2}^{\prime}\in I_{2}$ . On a : $d(x_{1}x_{1}^{\prime})=x_{1}(f_{d}(x_{1}^{\prime})+\ell_{d}(x_{1}^{\prime}))+(f_{d}(x_{1})+\ell_{d}(x_{1}))x_{1}^{\prime}=x_{1}f_{d}(x_{1}^{\prime})+f_{d}(x_{1})x_{1}^{\prime}\in I_{1}$ ; puisque $d(x_{1}x_{1}^{\prime})=f_{d}(x_{1}x_{1}^{\prime})+\ell_{d}(x_{1}x_{1}^{\prime})$ alors $f_{d}(x_{1}x_{1}^{\prime})=x_{1}f_{d}(x_{1}^{\prime})+f_{d}(x_{1})x_{1}^{\prime}$ et $\ell_{d}(x_{1}x_{1}^{\prime})=0$ , donc $f_{d}\in\mathfrak{D}(I_{1})$ , on obtient $iii)$ et $\ell_{d}(I_{1}^{2})=0.$

En calculant $d(x_{2}x^{\prime}_{2})$ , on montre de même que $g_{d}\in\mathfrak{D}(I_{2})$ d’où $iv)$ et $k_{d}(I_{2}^{2})=0$ . On a : $0=d(x_{1}x_{2})=x_{1}(g_{d}(x_{2})+k_{d}(x_{2}))+(f_{d}(x_{1})+\ell_{d}(x_{1}))x_{2}=x_{1}k_{d}(x_{2})+\ell_{d}(x_{1})x_{2}$ entraîne $x_{1}k_{d}(x_{2})=0$ et $\ell_{d}(x_{1})x_{2}=0$ , donc $\ell_{d}(I_{1})\subseteq ann(I_{2})$ et $k_{d}(I_{2})\subseteq ann(I_{1})$ . Comme $\ell_{d}(I_{1}^{2})=0$ et $\ell_{d}(I_{1})\subseteq ann(I_{2})$ alors, nous obtenons $v)$ ; aussi $k_{d}(I_{2}^{2})=0$ et $k_{d}(I_{2})\subseteq ann(I_{1})$ entraînent $vi)$ . $\Box$

Soient $d$ et $d^{\prime}$ deux dérivations de $\mathcal{E}.$ Comme $[d,d^{\prime}]$ est une dérivation, alors nous déterminons l’unique quadruplet qui lui est associé.

Théorème 3.0.2.

Soient $d$ et $d^{\prime}$ deux dérivations de $\mathcal{E}.$ Alors l’unique quadruplet associé à $[d,d^{\prime}]$ est $(f_{[d,d^{\prime}]},g_{[d,d^{\prime}]},\ell_{[d,d^{\prime}]},k_{[d,d^{\prime}]})$ vérifiant :

$i)$

$f_{[d,d^{\prime}]}=[f_{d},f_{d^{\prime}}]+(k_{d}\circ\ell_{d^{\prime}}-k_{d^{\prime}}\circ\ell_{d})$ * ;* 2. $ii)$

$\ell_{[d,d^{\prime}]}=(\ell_{d}\circ f_{d^{\prime}}-\ell_{d^{\prime}}\circ f_{d})+(g_{d}\circ\ell_{d^{\prime}}-g_{d^{\prime}}\circ\ell_{d})$ * ;* 3. $iii)$

$g_{[d,d^{\prime}]}=[g_{d},g_{d^{\prime}}]+(\ell_{d}\circ k_{d^{\prime}}-\ell_{d^{\prime}}\circ k_{d})$ * ;* 4. $iv)$

$k_{[d,d^{\prime}]}=(k_{d}og_{d^{\prime}}-k_{d^{\prime}}og_{d})+(f_{d}\circ k_{d^{\prime}}-f_{d^{\prime}}\circ k_{d})$ .

Preuve.

On a $d\circ d^{\prime}(x_{1})=d(f_{d^{\prime}}(x_{1}))+d(\ell_{d^{\prime}}(x_{1}))=f_{d}\circ f_{d^{\prime}}(x_{1})+\ell_{d}\circ f_{d^{\prime}}(x_{1})+g_{d}\circ\ell_{d^{\prime}}(x_{1})+k_{d}\circ\ell_{d^{\prime}}(x_{1})$ et $[d,d^{\prime}](x_{1})=(f_{d}\circ f_{d^{\prime}}-f_{d^{\prime}}\circ f_{d})(x_{1})+(\ell_{d}\circ f_{d^{\prime}}-\ell_{d^{\prime}}\circ f_{d})(x_{1})+(g_{d}\circ\ell_{d^{\prime}}-g_{d^{\prime}}\circ\ell_{d})(x_{1})+(k_{d}\circ\ell_{d^{\prime}}-k_{d^{\prime}}\circ\ell_{d})(x_{1}).$ Donc $f_{[d,d^{\prime}]}=[f_{d},f_{d^{\prime}}]+(k_{d}\circ\ell_{d^{\prime}}-k_{d^{\prime}}\circ\ell_{d})$ et $l_{[d,d^{\prime}]}=(\ell_{d}\circ f_{d^{\prime}}-\ell_{d^{\prime}}\circ f_{d})+(g_{d}\circ\ell_{d^{\prime}}-g_{d^{\prime}}\circ\ell_{d})$ , d’où $i)$ et $ii)$ . On montre de méme $iii)$ et $iv)$ en calculant $[d,d^{\prime}](x_{2})$ . $\Box$

Notons $L_{K}(\mathcal{E})=\mathfrak{D}(I_{1})\times\mathfrak{D}(I_{2})\times\textrm{Hom}^{0}(I_{1},I_{2})\times\textrm{Hom}^{0}(I_{2},I_{1})$ ; la multiplication dans $L_{K}(\mathcal{E})$ est définie par $[(f_{d},g_{d},\ell_{d},k_{d}),(f_{d^{\prime}},g_{d^{\prime}},\ell_{d^{\prime}},k_{d^{\prime}})]=(f_{[d,d^{\prime}]},g_{[d,d^{\prime}]},l_{[d,d^{\prime}]},k_{[d,d^{\prime}]})$ où le quadruplet ( $f_{[d,d^{\prime}]}$ , $g_{[d,d^{\prime}]}$ , $\ell_{[d,d^{\prime}]}$ , $k_{[d,d^{\prime}]}$ ) satisfait les relations $i)$ , $ii)$ , $iii)$ et $iv)$ du Théorème 3.0.2.

Proposition 3.0.3.

L’application $\varphi:\mathfrak{D}(\mathcal{E})\longrightarrow L_{K}(\mathcal{E}),$ $d\longmapsto(f_{d},g_{d},\ell_{d},k_{d})$ est un isomorphisme d’algèbres de Lie.

Preuve.

On a $[\varphi(d),\varphi(d^{\prime})]=[(f_{d},g_{d},\ell_{d},k_{d}),(f_{d^{\prime}},g_{d^{\prime}},\ell_{d^{\prime}},k_{d^{\prime}})]=(f_{[d,d^{\prime}]},g_{[d,d^{\prime}]},\ell_{[d,d^{\prime}]},k_{[d,d^{\prime}]})\\ =\varphi([d,d^{\prime}])$ et $ker(\varphi)=\{0\}$ , donc $\varphi$ est un monomorphisme d’algèbres de Lie.

Soient $(f,g,\ell,k)\in L_{K}(\mathcal{E})$ et $d:\mathcal{E}\longrightarrow\mathcal{E}$ un endomorphisme défini par $d(x_{1})=f(x_{1})+\ell(x_{1})$ et $d(x_{2})=g(x_{2})+k(x_{2})$ . On a $d(x_{1}x_{1}^{\prime})=f(x_{1}x_{1}^{\prime})=x_{1}f(x_{1}^{\prime})+f(x_{1})x_{1}^{\prime}=x_{1}(f(x_{1}^{\prime})+\ell(x_{1}^{\prime}))+(f(x_{1})+\ell(x_{1}))x_{1}^{\prime}=x_{1}d(x_{1}^{\prime})+d(x_{1})x_{1}^{\prime}$ . On montre de même que $d(x_{2}x_{2}^{\prime})=x_{2}d(x_{2}^{\prime})+d(x_{2})x_{2}^{\prime}$ .

Aussi $d(x_{1}x_{2})=0=x_{1}(g(x_{2})+k(x_{2}))+(f(x_{1})+\ell(x_{1}))x_{2}=x_{1}d(x_{2})+d(x_{1})x_{2}$ car $x_{1}g(x_{2})=x_{1}k(x_{2})=x_{2}f(x_{1})=x_{2}l(x_{1})=0$ . Par conséquent $\varphi$ est surjectif, d’où le théorème. $\Box$

Exemple 3.0.4.

On considère les algèbres $N_{1,1}$ , $N_{2,2}$ , $N_{3,2}$ et $N_{4,4}$ définies ci-dessus. On a

$\textrm{Hom}^{0}(N_{1,1},N_{2,2})=\{h\in\textrm{Hom}(N_{1,1},N_{2,2});h(N_{1,1}^{2})=0$ et $h(N_{1,1})\subseteq ann(N_{2,2})\}\simeq K.$

$\textrm{Hom}^{0}(N_{2,2},N_{1,1})=\{h\in\textrm{Hom}(N_{2,2},N_{1,1});h(N_{2,2}^{2})=0$ et $h(N_{2,2})\subseteq ann(N_{1,1})\}\simeq K$ , car $N_{2,2}^{2}=<e_{2}>$ , $0=h(e_{1}^{2})=h(e_{2})$ et $h(e_{1})=\alpha e_{3}.$

$\textrm{Hom}^{0}(N_{2,2},N_{2,2})=\{h\in\textrm{Hom}(N_{2,2},N_{2,2});h(N_{2,2}^{2})=0$ et $h(N_{2,2})\subseteq ann(N_{2,2})\}\simeq K$ Car $N_{2,2}^{2}=<e_{2}>$ , $0=h(e_{1}^{2})=h(e_{2})$ et $h(e_{1})=\alpha e_{4}.$

On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{2,2}\oplus N_{1,1})\simeq K^{2}\times K\times K\times K$ et $\mathfrak{D}(N_{2,2}\oplus N_{2,2})\simeq K^{2}\times K^{2}\times K\times K.$

De tout ce qui précède, on en déduit qu’il est suffisant de déterminer les dérivations dans les nil-algèbres d’évolution indécomposables.

Lemme 3.0.5 ([9], Corollary 2.6).

Soit $\mathcal{E}$ une nil-algèbre d’évolution de dimension finie telle que $\dim_{K}(\textrm{ ann}(\mathcal{E}))\geq\frac{1}{2}\dim_{K}(\mathcal{E})\geq 1$ . Alors $\mathcal{E}$ est décomposable.

Proposition 3.0.6 ([14], Table $1$ ).

Soit $\mathcal{E}$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable à puissances associatives de dimension $\leq 4$ . Alors $\mathcal{E}$ est isomorphe à une et une seule des algèbres dans la Table $1$ .

Proposition 3.0.7 ([14], Table $2$ ).

Soit $\mathcal{E}$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable à puissances associatives de dimension $5$ . Alors $\mathcal{E}$ est isomorphe à une et une seule des algèbres dans la Table $2$ .

Proposition 3.0.8 ([14], Table $3$ ).

*Soit $\mathcal{E}$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable, à puissances associatives, de dimension $6$ . Alors $\mathcal{E}$ est isomorphe à une et une seule des algèbres dans la Table $3$ . *

Soient $N$ une nil-algèbre d’évolution à puissances associatives, indécomposable, de base naturelle $B=\{e_{i}$ ; $1\leq i\leq n\}$ et $d:N\longrightarrow N$ une dérivation. On pose $d(e_{i})=\sum_{j=1}^{n}d_{ji}e_{j}$ , pour tout $1\leq i\leq n$ et on s’intéresse aux dérivations des nil-algèbres d’évolution indécomposable de dimension au plus $6$ ; ainsi, $\dim(ann(N))=1$ ou $2$ .

4 Nil-algèbres associatives et indécomposables

On suppose ici que $N$ est associative.

4.1 Dimension de l’annulateur de $N$ est $1$

On pose $ann(N)=Ke_{n}$ , alors $e_{i}^{2}=\alpha_{i}e_{n}$ , $e_{n}^{2}=0$ avec $\alpha_{i}\neq 0$ $(1\leq i\leq n-1)$ ([14, § 4.1]).

Soit $gl(n,K)=M_{n}(K)=(e_{ji})_{1\leq i,j\leq n}$ avec $e_{ji}e_{lk}=\delta_{il}e_{jk}$ . On pose $H=<h_{ji}=e_{ji}-\alpha_{i}^{-1}\alpha_{j}e_{ij}$ ; $1\leq i<j\leq n-1>$ , $L=<e_{nj}$ ; $1\leq j\leq n-1>$ et $g=e_{11}+\cdots+e_{n-1,n-1}+2e_{nn}$ .

Théorème 4.1.1.

Soit $N$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable associative, de dimension $n\geq 3$ , telle que $\dim(ann(N))=1$ . Alors $\mathfrak{D}(N)=H\oplus L\oplus Kg$ et $\mathfrak{D}(N)\simeq K^{\frac{n(n-1)}{2}}\times K$ .

Preuve.

Pour $i=1,\ldots,n-1$ , on a $d(e_{i}^{2})=2e_{i}d(e_{i})=2d_{ii}e_{i}^{2}=2\alpha_{i}d_{ii}e_{n}$ et $d(e_{i}^{2})=\alpha_{i}d(e_{n})$ alors $d(e_{n})=2d_{ii}e_{n}$ car $\alpha_{i}\neq 0$ . En particulier $d(e_{n})=2d_{11}e_{n}$ , d’où $d_{ii}=d_{11}$ pour $i\in\{1,\ldots,n-1\}$ .

Nous avons aussi : $0=d(e_{i}e_{j})=d_{ij}e_{i}^{2}+d_{ji}e_{j}^{2}=(d_{ij}\alpha_{i}+d_{ji}\alpha_{j})e_{n}$ , donc $d_{ij}\alpha_{i}+d_{ji}\alpha_{j}=0$ , soit $d_{ji}=-\alpha_{i}\alpha_{j}^{-1}d_{ij}$ pour $1\leq i\neq j\leq n-1$ .

Alors $Mat_{B}(d)=\left(\begin{array}[]{cccccc}d_{11}&-\alpha_{1}^{-1}\alpha_{2}d_{21}&-\alpha_{1}^{-1}\alpha_{3}d_{31}&\cdots&-\alpha_{1}^{-1}\alpha_{n-1}d_{n-1,1}&0\\ d_{21}&d_{11}&-\alpha_{2}^{-1}\alpha_{3}d_{32}&\cdots&-\alpha_{2}^{-1}\alpha_{n-1}d_{n-1,2}&0\\ d_{31}&d_{32}&d_{11}&\cdots&-\alpha_{3}^{-1}\alpha_{n-1}d_{n-1,3}&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ d_{n-1,1}&d_{n-1,2}&d_{n-1,3}&\cdots&d_{11}&0\\ d_{n1}&d_{n2}&d_{n3}&\cdots&d_{n,n-1}&2d_{11}\\ \end{array}\right)$

Donc $Mat_{B}(d)=\sum_{1\leq i<j\leq n-1}d_{ji}h_{ji}+\sum_{j=1}^{n-1}d_{nj}e_{nj}+d_{11}g$ , d’où $\mathfrak{D}(N)=H\oplus L\oplus Kg$ . On a $\dim(H)=\frac{(n-2)(n-1)}{2}$ , $\dim(L)=n-1$ et $\dim(Kg)=1$ . Ainsi $\mathfrak{D}(N)\simeq K^{\frac{n(n-1)}{2}}\times K$ . $\Box$

Proposition 4.1.2.

Soit $N$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable associative de dimension $n\geq 3$ telle que $\dim(ann(N))=1$ . Alors $\mathfrak{D}(N)^{\prime}=H\oplus L$ et $\mathfrak{D}(N)^{\prime}~{}\simeq~{}K^{\frac{n(n-1)}{2}}$ .

Preuve.

$\bullet$ Calculons $[H,H]$ . Soient $1\leq i<j\leq n-1$ et $1\leq k<l\leq n-1,$ on a

[TABLE]

$1)$ $j=k$ , on a $[h_{ji},h_{lj}]=-(e_{li}-\alpha_{i}^{-1}\alpha_{l}e_{il})=-h_{li}$ .

$2)$ $j=l$ et $i<k$ , on a $[h_{ji},h_{jk}]=\alpha_{k}^{-1}\alpha_{j}(e_{ki}-\alpha_{i}^{-1}\alpha_{k}e_{ik})=\alpha_{k}^{-1}\alpha_{j}h_{ki}$ .

$3)$ $j=l$ et $k<i$ , on a $[h_{ji},h_{jk}]=-\alpha_{i}^{-1}\alpha_{j}(e_{ik}-\alpha_{k}^{-1}\alpha_{i}e_{ki})=-\alpha_{i}^{-1}\alpha_{j}h_{ik}$ .

$4)$ $i=l$ , on a $[h_{ji},h_{ik}]=(e_{jk}-\alpha_{k}^{-1}\alpha_{j}e_{kj})=h_{jk}$ .

$5)$ $i=k$ et $j<l$ , on a $[h_{ji},h_{li}]=\alpha_{i}^{-1}\alpha_{j}(e_{lj}-\alpha_{j}^{-1}\alpha_{l}e_{jl})=\alpha_{i}^{-1}\alpha_{j}h_{lj}$ .

$6)$ $i=k$ et $l<j$ , on a $[h_{ji},h_{li}]=-\alpha_{i}^{-1}\alpha_{l}(e_{jl}-\alpha_{l}^{-1}\alpha_{j}e_{lj})=-\alpha_{i}^{-1}\alpha_{l}h_{jl}$ .

$7)$ $i,j,k,l$ sont deux à deux distincts, on a $[h_{ji},h_{lk}]=0$ .

On en déduit que $[H,H]\subseteq H.$ Posons $[H,H]_{1}=<[h_{j1},h_{l1}]=\alpha_{1}^{-1}\alpha_{j}h_{lj}$ ; $1<j<l\leq n-1>$ et $[H,H]_{2}=<[h_{n-1,1},h_{n-1,k}]=\alpha_{k}^{-1}\alpha_{n-1}h_{k1}$ ; $2\leq k\leq n-2>$ . On a $\dim([H,H]_{1})=(n-~{}3)+(n-4)+\ldots+1=\frac{(n-3)(n-2)}{2}$ , $\dim([H,H]_{2})=n-3$ et $[h_{21},h_{n-1,2}]=-h_{n-1,1}$ . Comme $[H,H]_{1}\oplus[H,H]_{2}\oplus K[h_{21},h_{n-1,2}]\subseteq[H,H]$ et que $\dim([H,H]_{1}\oplus[H,H]_{2}\oplus K[h_{21},h_{n-1,2}])=\frac{(n-3)(n-2)}{2}+(n-3)+1=\frac{(n-1)(n-2)}{2}=\dim(H)$ alors $[H,H]=H.$

$\bullet$ Calculons $[H,L]$ . Soient $1\leq i<j\leq n-1$ et $1\leq k\leq n-1$ . On a

$[h_{ji},e_{nk}]=(e_{ji}-~{}\alpha_{i}^{-1}\alpha_{j}e_{ij})e_{nk}-e_{nk}(e_{ji}-\alpha_{i}^{-1}\alpha_{j}e_{ij})=-\delta_{kj}e_{ni}+\alpha_{i}^{-1}\alpha_{j}\delta_{ki}e_{nj}$ .

$1)$ $k=i$ entraîne $[h_{ji},e_{ni}]=\alpha_{i}^{-1}\alpha_{j}e_{nj}$ .

$2)$ $k=j$ entraîne $[h_{ji},e_{nj}]=-e_{ni}$ .

$3)$ $k\neq i$ et $k\neq j$ entraînent $[h_{ji},e_{nk}]=0$ .

On en déduit que $[H,L]\subseteq L.$ Posons $[H,L]_{1}=<[h_{n-1,i},e_{n,n-1}]=-e_{ni}$ ; $1\leq i\leq n-2>$ ; on a $[h_{n-1,1},e_{n1}]=\alpha_{1}^{-1}\alpha_{n-1}e_{n,n-1}$ . Comme $[H,L]_{1}\oplus K[h_{n-1,1},e_{n1}]\subseteq[H,L]$ et $\dim([H,L]_{1}\oplus K[h_{n-1,1},e_{n1}])=(n-2)+1=n-1=\dim(L)$ , alors $[H,L]=L$ .

$\bullet$ Calculons $[H,Kg]$ . Soient $1\leq i<j\leq n-1$ . On a $[h_{ji},g]=\sum_{k=1}^{n-1}[h_{ji},e_{kk}]+2[h_{ji},e_{nn}]=\sum_{k=1}^{n-1}((e_{ji}-\alpha_{i}^{-1}\alpha_{j}e_{ij})e_{kk}-e_{kk}(e_{ji}-\alpha_{i}^{-1}\alpha_{j}e_{ij}))=(e_{ji}-\alpha_{i}^{-1}\alpha_{j}e_{ij})-(e_{ji}-\alpha_{i}^{-1}\alpha_{j}e_{ij})$ . On en déduit que $[H,Kg]=0$ .

$\bullet$ Calculons $[L,L]$ . Soient $1\leq i,j\leq n-1$ , on a $[e_{ni},e_{nj}]=e_{ni}e_{nj}-e_{nj}e_{ni}=\delta_{in}e_{nj}-\delta_{jn}e_{ni}=0$ . Donc $[L,L]=0$ .

$\bullet$ Calculons $[L,Kg]$ . Soient $1\leq i\leq n-1$ , on a $[e_{ni},g]=\sum_{j=1}^{n}e_{ni}e_{jj}-\sum_{j=1}^{n}e_{jj}e_{ni}=e_{ni}$ . Donc $[L,Kg]=L$

$\bullet$ On a $[Kg,Kg]=0$ .

On en déduit que $\mathfrak{D}(N)^{\prime}=H\oplus L$ et $\mathfrak{D}(N)^{\prime}~{}\simeq~{}K^{\frac{n(n-1)}{2}}$ . $\Box$

4.2 Dimension de l’annulateur de $N$ est $2$

Théorème 4.2.1.

Soit $N$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable, associative, de dimension $\leq 6$ telle que $\dim(ann(N))=2$ . Alors, les dérivations dans $N$ sont données dans la Table $4$ .

Preuve.

Dans [14], les Auteurs montrent que $N$ admet une base naturelle $B=\{e_{i}$ ; $1\leq i\leq n\}$ dont la table de multiplication est définie par : $e_{1}^{2}=e_{n-1}$ , $e_{i}^{2}=\alpha_{i,n-1}e_{n-1}+\alpha_{i,n}e_{n}$ , $e_{n-2}^{2}=e_{n}$ , $e_{n-1}^{2}=e_{n}^{2}=0$ avec $(\alpha_{i,n-1},\alpha_{i,n})\neq 0$ où $2\leq i\leq n-3$ . Il existe également un $i_{0}\in\{2,\ldots,n-3\}$ tel que $\alpha_{i_{0},n-1}\alpha_{i_{0},n}\neq 0$ . En dérivant $e_{n-1}=e_{1}^{2}$ , on obtient $d(e_{n-1})=d(e_{1}^{2})=2e_{1}d(e_{1})=2d_{11}e_{1}^{2}=2d_{11}e_{n-1}$ . De même $d(e_{n})=2d_{n-2,n-2}e_{n}$ en dérivant $e_{n}=e_{n-2}^{2}$ . Pour $i=2,\ldots,n-3$ , $d(e_{i}^{2})=2e_{i}d(e_{i})=2d_{ii}e_{i}^{2}=2d_{ii}(\alpha_{i,n-1}e_{n-1}+\alpha_{i,n}e_{n})$ et la dérivation de $\alpha_{i,n-1}e_{n-1}+\alpha_{i,n}e_{n}$ donne $\alpha_{i,n-1}d(e_{n-1})+\alpha_{i,n}d(e_{n})=2(\alpha_{i,n-1}d_{11}e_{n-1}+\alpha_{i,n}d_{n-2,n-2}e_{n})$ . Comme $\alpha_{i,n-1}e_{n-1}+\alpha_{i,n}e_{n}=e_{i}^{2}$ , alors $d_{ii}\alpha_{i,n-1}=\alpha_{i,n-1}d_{11}\textrm{ et }d_{ii}\alpha_{i,n}=\alpha_{i,n}d_{n-2,n-2}$ . Pour $i=i_{0}$ , on a $d_{11}=d_{i_{0}i_{0}}=d_{n-2,n-2}$ car $\alpha_{i_{0},n-1}\alpha_{i_{0},n}\neq 0$ et pour $i\neq i_{0}$ , on a $d_{ii}=d_{11}$ car $(\alpha_{i,n-1},\alpha_{i,n})\neq 0$ . On en déduit que

[TABLE]

Les rélations $(a)$ , $(b)$ et (3) sont suffisantes pour caractériser les dérivations dans $N$ .

$\bullet$ $N_{5,9}(\alpha,\beta)$ : $e_{1}^{2}=e_{4}$ , $e_{2}^{2}=\alpha e_{4}+\beta e_{5}$ , $e_{3}^{2}=e_{5}$ , $e_{4}^{2}=e_{5}^{2}=0$ avec $\alpha\beta\neq 0$ . $(a)$ entraîne $d_{12}=d_{21}=0$ , $d_{13}=d_{31}=0$ et $d_{23}=d_{32}=0$ ; (3) entraîne $d(e_{4})=2d_{11}e_{4}$ , $d(e_{5})=2d_{11}e_{5}$ et $d_{11}=d_{22}=d_{33}$ . Donc $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{41}e_{4}+d_{51}e_{5}$ , $d(e_{2})=d_{11}e_{2}+d_{42}e_{4}+d_{52}e_{5}$ et $d(e_{3})=d_{11}e_{3}+d_{43}e_{4}+d_{53}e_{5}$ .

$\bullet$ $N_{6,17}(\alpha,\beta,\gamma)$ : $e_{1}^{2}=e_{5}$ , $e_{2}^{2}=\alpha e_{5}+\beta e_{6}$ , $e_{3}^{2}=\gamma e_{6}$ , $e_{4}^{2}=e_{6}$ , $e_{5}^{2}=e_{6}^{2}=0$ avec $\alpha\beta\gamma\neq 0$ . $(a)$ entraîne $d_{12}=d_{21}=0$ , $d_{13}=d_{31}=0$ , $d_{14}=d_{41}=0$ , $d_{23}=d_{32}=0$ et $d_{24}=d_{42}=0$ ; $(b)$ entraîne $d_{34}=-\gamma^{-1}d_{43}$ ; (3) entraîne $d(e_{5})=2d_{11}e_{5}$ , $d(e_{6})=2d_{11}e_{6}$ et $d_{11}=d_{22}=d_{33}=d_{44}$ . Donc $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{51}e_{5}+d_{61}e_{6}$ , $d(e_{2})=d_{11}e_{2}+d_{52}e_{5}+d_{62}e_{6}$ , $d(e_{3})=d_{11}e_{3}+d_{43}e_{4}+d_{53}e_{5}+d_{63}e_{6}$ et $d(e_{4})=-\gamma^{-1}d_{43}e_{3}+d_{11}e_{4}+d_{54}e_{5}+d_{64}e_{6}$ .

$\bullet$ $N_{6,18}(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$ : $e_{1}^{2}=e_{5}$ , $e_{2}^{2}=\alpha e_{5}+\beta e_{6}$ , $e_{3}^{2}=\gamma e_{5}+\delta e_{6}$ , $e_{4}^{2}=e_{6}$ , $e_{5}^{2}=e_{6}^{2}=0$ avec $\alpha\beta\neq 0$ , $\gamma\delta\neq 0$ et $\alpha\delta-\beta\gamma\neq 0$ . $(a)$ entraîne $d_{12}=d_{21}=0$ , $d_{13}=d_{31}=0$ , $d_{14}=d_{41}=0$ , $d_{23}=d_{32}=0$ , $d_{24}=d_{42}=0$ et $d_{34}=d_{43}=0$ ; (3) entraîne $d(e_{5})=2d_{11}e_{5}$ , $d(e_{6})=2d_{11}e_{6}$ et $d_{11}=d_{22}=d_{33}=d_{44}$ . Donc $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{51}e_{5}+d_{61}e_{6}$ , $d(e_{2})=d_{11}e_{2}+d_{52}e_{5}+d_{62}e_{6}$ , $d(e_{3})=d_{11}e_{3}+d_{53}e_{5}+d_{63}e_{6}$ et $d(e_{4})=d_{11}e_{4}+d_{54}e_{5}+d_{64}e_{6}$ . $\Box$

Proposition 4.2.2.

Soit $N$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable, associative, de dimension $\leq 6$ telle que $\dim(ann(N))=2$ . Alors, le crochet de deux dérivations dans $N$ est donné dans la Table $5$ .

Preuve.

Soient $d,d^{\prime}$ deux dérivations dans $N$ . Calculons $[d,d^{\prime}]$ .

$\bullet$ $N_{5,9}(\alpha,\beta)$ : Pour $1\leq j\leq 3$ , on a $d\circ d^{\prime}(e_{j})=d_{11}^{\prime}d(e_{j})+d_{4j}^{\prime}d(e_{4})+d_{5j}^{\prime}d(e_{5})$ . Alors $[d,d^{\prime}]_{11}=d_{11}^{\prime}d_{11}-d_{11}d_{11}^{\prime}=0$ , $[d,d^{\prime}]_{4j}=(d_{11}^{\prime}d_{4j}+2d_{4j}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{4j}^{\prime}+2d_{4j}d_{11}^{\prime})=d_{4j}^{\prime}d_{11}-d_{4j}d_{11}^{\prime}$ et $[d,d^{\prime}]_{5j}=(d_{11}^{\prime}d_{5j}+2d_{5j}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{5j}^{\prime}+2d_{5j}d_{11}^{\prime})=d_{5j}^{\prime}d_{11}-d_{5j}d_{11}^{\prime}$ . Donc $\mathfrak{D}(N_{5,9}(\alpha,\beta))^{\prime}\simeq~{}K^{3}\times K^{3}$ .

$\bullet$ $N_{6,17}(\alpha,\beta,\gamma)$ : Pour $1\leq j\leq 2$ , on a $d\circ d^{\prime}(e_{j})=d_{11}^{\prime}d(e_{j})+d_{5j}^{\prime}d(e_{5})+d_{6j}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{11}=d_{11}^{\prime}d_{11}-d_{11}d_{11}^{\prime}=0$ , $[d,d^{\prime}]_{5j}=(d_{11}^{\prime}d_{5j}+2d_{5j}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{5j}^{\prime}+2d_{5j}d_{11}^{\prime})=d_{5j}^{\prime}d_{11}-d_{5j}d_{11}^{\prime}$ et $[d,d^{\prime}]_{6j}=(d_{11}^{\prime}d_{6j}+2d_{6j}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{6j}^{\prime}+2d_{6j}d_{11}^{\prime})=d_{6j}^{\prime}d_{11}-d_{6j}d_{11}^{\prime}$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{3})=d_{11}^{\prime}d(e_{3})+d_{43}^{\prime}d(e_{4})+d_{53}^{\prime}d(e_{5})+d_{63}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{43}=(d_{11}^{\prime}d_{43}+d_{43}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{43}^{\prime}+d_{43}d_{11}^{\prime})=0$ , $[d,d^{\prime}]_{53}=(d_{11}^{\prime}d_{53}+d_{43}^{\prime}d_{54}+2d_{53}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{53}^{\prime}+d_{43}d_{54}^{\prime}+2d_{53}d_{11}^{\prime})=(d_{53}^{\prime}d_{11}-d_{53}d_{11}^{\prime})+(d_{43}^{\prime}d_{54}-d_{43}d_{54}^{\prime})$ et $[d,d^{\prime}]_{63}=(d_{11}^{\prime}d_{63}+d_{43}^{\prime}d_{64}+2d_{63}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{63}^{\prime}+d_{43}d_{64}^{\prime}+2d_{63}d_{11}^{\prime})=(d_{63}^{\prime}d_{11}-d_{63}d_{11}^{\prime})+(d_{43}^{\prime}d_{64}-d_{43}d_{64}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{4})=-\gamma^{-1}d_{43}^{\prime}d(e_{3})+d_{11}^{\prime}d(e_{4})+d_{54}^{\prime}d(e_{5})+d_{64}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{54}=(-\gamma^{-1}d_{43}^{\prime}d_{53}+d_{11}^{\prime}d_{54}+2d_{54}^{\prime}d_{11})-(-\gamma^{-1}d_{43}d_{53}^{\prime}+d_{11}d_{54}^{\prime}+2d_{54}d_{11}^{\prime})=(d_{54}^{\prime}d_{11}-d_{54}d_{11}^{\prime})+\gamma^{-1}(d_{53}^{\prime}d_{43}-d_{53}d_{43}^{\prime})$ et $[d,d^{\prime}]_{64}=(-\gamma^{-1}d_{43}^{\prime}d_{63}+d_{11}^{\prime}d_{64}+2d_{64}^{\prime}d_{11})-(-\gamma^{-1}d_{43}d_{63}^{\prime}+d_{11}d_{64}^{\prime}+2d_{64}d_{11}^{\prime})=(d_{64}^{\prime}d_{11}-d_{64}d_{11}^{\prime})+\gamma^{-1}(d_{63}^{\prime}d_{43}-d_{63}d_{43}^{\prime})$ . Donc $\mathfrak{D}(N_{6,17}(\alpha,\beta,\gamma))^{\prime}\simeq~{}K^{4}\times K^{4}$ .

$\bullet$ $N_{6,18}(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$ : Pour $1\leq j\leq 4$ , on a $d\circ d^{\prime}(e_{j})=d_{11}^{\prime}d(e_{j})+d_{5j}^{\prime}d(e_{5})+d_{6j}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{11}=d_{11}^{\prime}d_{11}-d_{11}d_{11}^{\prime}=~{}0$ , $[d,d^{\prime}]_{5j}=(d_{11}^{\prime}d_{5j}+2d_{5j}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{5j}^{\prime}+2d_{5j}d_{11}^{\prime})=d_{5j}^{\prime}d_{11}-d_{5j}d_{11}^{\prime}$ et $[d,d^{\prime}]_{6j}=(d_{11}^{\prime}d_{6j}+2d_{6j}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{6j}^{\prime}+2d_{6j}d_{11}^{\prime})=d_{6j}^{\prime}d_{11}-d_{6j}d_{11}^{\prime}$ . Donc $\mathfrak{D}(N_{6,18}(\alpha,\beta,\gamma,\delta))^{\prime}\simeq~{}K^{4}\times K^{4}$ . $\Box$

Proposition 4.2.3.

Soient $N$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable associative de dimension $n\geq 3$ telle que $\dim(ann(N))=1$ et $a=\sum_{i=1}^{n}a_{i}e_{i}\in N$ . Alors $R_{a}$ est une dérivation si et seulement si $R_{a}=\sum_{i=1}^{n-1}\alpha_{i}a_{i}e_{ni}$ . De plus $\mathfrak{I}(N)=L\simeq K^{n-1}$ .

Preuve.

L’algèbre $N$ étant commutative, les seules dérivations intérieures de $N$ sont de la forme $R_{a}$ , avec $a=\sum_{i=1}^{n}a_{i}e_{i}\in N$ . On a $R_{a}(e_{i})=\alpha_{i}a_{i}e_{n}$ et $R_{a}(e_{n})=0$ , d’où le résultat. $\Box$

Proposition 4.2.4.

Soit $N$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable associative, de dimension $\leq 6$ , telle que $\dim(ann(N))=2$ . La Table $6$ caractérise les dérivations intérieures de $N$ .

Preuve.

Les dérivations intérieures de $N$ sont de la forme $R_{c}$ , avec $c=\sum_{i=1}^{n}c_{i}e_{i}\in N$ .

$\bullet$ $N_{5,9}(\alpha,\beta)$ : on a $R_{c}(e_{1})=c_{1}e_{1}^{2}=c_{1}e_{4}$ , $R_{c}(e_{2})=c_{2}e_{2}^{2}=c_{2}(\alpha e_{4}+\beta e_{5})$ , $R_{c}(e_{3})=c_{3}e_{3}^{2}=c_{3}e_{5}$ , $R_{c}(e_{4})=R_{c}(e_{5})=0$ . Les éléments de $\mathfrak{I}(N_{5,9}(\alpha,\beta))$ sont de la forme $R_{c}=c_{1}e_{41}+c_{2}(\alpha e_{42}+\beta e_{52})+c_{3}e_{53}$ et $\mathfrak{I}(N_{5,9}(\alpha,\beta))\simeq~{}K^{3}$ .

$\bullet$ $N_{6,17}(\alpha,\beta,\gamma)$ : on a $R_{c}(e_{1})=c_{1}e_{1}^{2}=c_{1}e_{5}$ , $R_{c}(e_{2})=c_{2}e_{2}^{2}=c_{2}(\alpha e_{5}+\beta e_{6})$ , $R_{c}(e_{3})=c_{3}e_{3}^{2}=c_{3}\gamma e_{6}$ , $R_{c}(e_{4})=c_{4}e_{4}^{2}=c_{4}e_{6}$ , $R_{c}(e_{5})=R_{c}(e_{6})=0$ . Les éléments de $\mathfrak{I}(N_{6,17}(\alpha,\beta,\gamma))$ sont de la forme $R_{c}=c_{1}e_{51}+c_{2}(\alpha e_{52}+\beta e_{62})+c_{3}\gamma e_{63}+c_{4}e_{64}$ et

$\mathfrak{I}(N_{6,17}(\alpha,\beta,\gamma))\simeq~{}K^{4}$ .

$\bullet$ $N_{6,18}(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$ : on a $R_{c}(e_{1})=c_{1}e_{1}^{2}=c_{1}e_{5}$ , $R_{c}(e_{2})=c_{2}e_{2}^{2}=c_{2}(\alpha e_{5}+\beta e_{6})$ , $R_{c}(e_{3})=c_{3}e_{3}^{2}=c_{3}(\gamma e_{5}+\delta e_{6})$ , $R_{c}(e_{4})=c_{4}e_{4}^{2}=c_{4}e_{6}$ , $R_{c}(e_{5})=R_{c}(e_{6})=0$ . Les éléments de $\mathfrak{I}(N_{6,18}(\alpha,\beta,\gamma,\delta))$ sont de la forme $R_{c}=c_{1}e_{51}+c_{2}(\alpha e_{52}+\beta e_{62})+c_{3}(\gamma e_{53}+\delta e_{63})+c_{4}e_{64}$ et $\mathfrak{I}(N_{6,18}(\alpha,\beta,\gamma,\delta))\simeq~{}K^{4}$ . $\Box$

5 Nil-algèbres indécomposables qui n’est pas associatives

Ici, les dérivations intérieures sont de la forme $R_{c}+[R_{a},R_{b}]$ .

5.1 Dimension de l’annulateur de $N$ est $1$

Théorème 5.1.1.

Soit $N$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable, à puissances associatives, de dimension $\leq 6$ , qui n’est pas associative telle que $\dim(ann(N))=1$ . Alors, la Table $7$ caractérise les dérivations dans $N$ .

Preuve.

On considère les algèbres $N_{4,6}$ ; $N_{5,10}(\alpha)$ à $N_{5,12}(\alpha,\beta)$ et $N_{6,19}$ à $N_{6,24}(\alpha,\beta,\gamma)$ . La table de multiplication de la base naturelle de ces algèbres vérifient la rélation $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3}$ , $e_{2}^{2}=e_{n}$ , $e_{3}^{2}=-e_{n}$ et $e_{n}^{2}=0$ où $n=\dim(N)\geq 4$ . Ainsi, $(a)$ entraîne $d_{12}=d_{21}=0$ , $d_{13}=d_{31}=0$ et $(b)$ entraîne $d_{32}=d_{23}$ . En dérivant $e_{n}=e_{2}^{2}$ , on obtient $d(e_{n})=2e_{2}d(e_{2})=2d_{22}e_{2}^{2}=2d_{22}e_{n}$ ; on a aussi $d(e_{n})=2d_{33}e_{n}$ en dérivant $e_{n}=-e_{3}^{2}$ . Par conséquent $d_{33}=d_{22}$ . En dérivant $e_{2}+e_{3}=e_{1}^{2}$ , on obtient $d(e_{2})+d(e_{3})=2d_{11}d(e_{1})=2d_{11}e_{1}^{2}=2d_{11}(e_{2}+e_{3})$ . Ainsi, $\sum_{j=2}^{n}(d_{j2}+d_{j3})e_{j}=2d_{11}(e_{2}+e_{3})$ entraîne $d_{23}=2d_{11}-d_{22}$ et $d_{j2}=-d_{j3}$ pour $j=4,\ldots,n$ . On en déduit que

[TABLE]

$\bullet$ $N_{4,6}$ : $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3},$ $e_{2}^{2}=e_{4},$ $e_{3}^{2}=-e_{4},$ $e_{4}^{2}=0$ . (5.1) entraîne $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{41}e_{4}$ , $d(e_{2})=d_{22}e_{2}+(2d_{11}-d_{22})e_{3}+d_{42}e_{4}$ , $d(e_{3})=(2d_{11}-d_{22})e_{2}+d_{22}e_{3}-d_{42}e_{4}$ et $d(e_{4})=2d_{22}e_{4}$ .

$\bullet$ $N_{5,10}(\alpha)$ : $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3},$ $e_{2}^{2}=e_{5},$ $e_{3}^{2}=-e_{5},$ $e_{4}^{2}=\alpha e_{5},$ $e_{5}^{2}=0$ avec $\alpha\in K^{*}$ . De $(a)$ on a $d_{14}=d_{41}=0$ ; $(b)$ donne $d_{24}=-\alpha d_{42}$ et $d_{34}=\alpha d_{43}$ ; de (5.1) on a $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{51}e_{5}$ , $d(e_{2})=d_{22}e_{2}+(2d_{11}-d_{22})e_{3}+d_{42}e_{4}+d_{52}e_{5}$ , $d(e_{3})=(2d_{11}-d_{22})e_{2}+d_{22}e_{3}-d_{42}e_{4}-d_{52}e_{5}$ , $d(e_{5})=2d_{22}e_{5}$ . En dérivant $\alpha e_{5}=e_{4}^{2}$ , on obtient $\alpha d(e_{5})=2e_{4}d(e_{4})=2d_{44}e_{4}^{2}=2\alpha d_{44}e_{5}$ . Donc $d(e_{5})=2d_{44}e_{5}$ car $\alpha\neq 0$ et comme $d(e_{5})=2d_{22}e_{5}$ , alors $d_{22}=d_{44}$ . Puisque $d_{43}=-d_{42}$ et $d_{34}=\alpha d_{43}$ alors $d_{34}=-\alpha d_{42}$ ; ainsi $d(e_{4})=-\alpha d_{42}e_{2}-\alpha d_{42}e_{3}+d_{22}e_{2}+d_{54}e_{5}$ .

$\bullet$ $N_{5,11}(\alpha)$ : $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3},$ $e_{2}^{2}=e_{5},$ $e_{3}^{2}=-e_{5},$ $e_{4}^{2}=\alpha(e_{2}+e_{3}),$ $e_{5}^{2}=0$ avec $\alpha\in K^{*}$ . De $(a)$ on a $d_{24}=d_{42}=0$ et $d_{34}=d_{43}=0$ ; $(b)$ entraîne $d_{14}=-\alpha d_{41}$ ; de (5.1) il vient $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{41}e_{4}+d_{51}e_{5}$ , $d(e_{2})=d_{22}e_{2}+(2d_{11}-d_{22})e_{3}+d_{52}e_{5}$ , $d(e_{3})=(2d_{11}-d_{22})e_{2}+d_{22}e_{3}-d_{52}e_{5}$ et $d(e_{5})=2d_{22}e_{5}$ . En dérivant $e_{4}^{2}=\alpha e_{1}^{2}$ , on obtient $2\alpha d_{44}e_{1}^{2}=2\alpha d_{11}e_{1}^{2}$ ; donc $d_{44}=d_{11}$ car $2\alpha e_{1}^{2}\neq 0$ . On en déduit que $d(e_{4})=-\alpha d_{41}e_{1}+d_{11}e_{4}+d_{54}e_{5}$ .

$\bullet$ $N_{5,12}(\alpha,\beta)$ : $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3},$ $e_{2}^{2}=e_{5},$ $e_{3}^{2}=-e_{5},$ $e_{4}^{2}=\alpha(e_{2}+e_{3})+\beta e_{5},$ $e_{5}^{2}=0$ avec $\alpha,\beta\in K^{*}$ . De $(a)$ on a $d_{14}=d_{41}=0$ , $d_{24}=d_{42}=0$ et $d_{34}=d_{43}=0$ ; (5.1) entraîne $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{51}e_{5}$ , $d(e_{2})=d_{22}e_{2}+(2d_{11}-d_{22})e_{3}+d_{52}e_{5}$ , $d(e_{3})=(2d_{11}-d_{22})e_{2}+d_{22}e_{3}-d_{52}e_{5}$ et $d(e_{5})=2d_{22}e_{5}$ . En dérivant $e_{4}^{2}=\alpha e_{1}^{2}+\beta e_{5}$ , on obtient $2d_{44}e_{4}^{2}=2\alpha d_{11}e_{1}^{2}+\beta d(e_{5})$ , i.e. $2\alpha d_{44}(e_{2}+e_{3})+2\beta d_{44}e_{5}=2\alpha d_{11}(e_{2}+e_{3})+2\beta d_{22}e_{5}$ ; donc $d_{11}=d_{44}=d_{22}$ car $\alpha\beta\neq 0$ . En conséquence $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{51}e_{1}$ , $d(e_{2})=d_{11}e_{2}+d_{11}e_{3}+d_{52}e_{5}$ , $d(e_{3})=d_{11}e_{2}+d_{11}e_{3}-d_{52}e_{5}$ , $d(e_{4})=d_{11}e_{4}+d_{54}e_{5}$ et $d(e_{5})=2d_{11}e_{5}$ .

$\bullet$ $N_{6,19}(\alpha,\beta)$ : $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3}$ , $e_{2}^{2}=e_{6}$ , $e_{3}^{2}=-e_{6}$ , $e_{4}^{2}=\alpha e_{6}$ , $e_{5}^{2}=\beta e_{6}$ , $e_{6}^{2}=0$ avec $\alpha\beta\neq 0$ . De $(a)$ on a $d_{14}=d_{41}=0$ et $d_{15}=d_{51}=0$ ; $(b)$ entraîne $d_{24}=-\alpha d_{42}$ , $d_{25}=-\beta d_{52}$ , $d_{34}=\alpha d_{43}$ , $d_{35}=\beta d_{53}$ et $d_{45}=-\alpha^{-1}\beta d_{54}$ ; de (5.1) on obtient $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{61}e_{6}$ , $d(e_{2})=d_{22}e_{2}+(2d_{11}-d_{22})e_{3}+d_{42}e_{4}+d_{52}e_{5}+d_{62}e_{6}$ , $d(e_{3})=(2d_{11}-d_{22})e_{2}+d_{22}e_{3}-d_{42}e_{4}-d_{52}e_{5}-d_{62}e_{6}$ et $d(e_{6})=2d_{22}e_{6}$ . En dérivant $\alpha e_{6}=e_{4}^{2}$ , on obtient $2\alpha d_{22}e_{6}=2d_{44}e_{4}^{2}=2\alpha d_{44}e_{6}$ et comme $d(e_{6})=2d_{22}e_{6}$ , alors $d_{22}=d_{44}$ . On montre de même que $d_{22}=d_{55}$ en dérivant $\beta e_{6}=e_{5}^{2}$ . Puisque $d_{43}=-d_{42}$ et $d_{53}=-d_{52}$ , alors $d_{34}=\alpha d_{43}=-\alpha d_{42}$ et $d_{35}=\beta d_{53}=-\beta d_{52}$ . On en déduit que $d(e_{4})=-\alpha d_{42}e_{2}-\alpha d_{42}e_{3}+d_{22}e_{4}+d_{54}e_{5}+d_{64}e_{6}$ et $d(e_{5})=-\beta d_{52}e_{2}-\beta d_{52}e_{3}-\alpha^{-1}\beta d_{54}e_{4}+d_{22}e_{5}+d_{65}e_{6}$ .

$\bullet$ $N_{6,20}(\alpha,\beta)$ : $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3}$ , $e_{2}^{2}=e_{6}$ , $e_{3}^{2}=-e_{6}$ , $e_{4}^{2}=\alpha(e_{2}+e_{3})$ , $e_{5}^{2}=\beta e_{6}$ , $e_{6}^{2}=0$ avec $\alpha\beta\neq 0$ . De $(a)$ on a $d_{15}=d_{51}=0$ , $d_{24}=d_{42}=0$ , $d_{34}=d_{43}=0$ et $d_{45}=d_{54}=0$ ; $(b)$ entraîne $d_{14}=-\alpha d_{41}$ , $d_{25}=-\beta d_{52}$ , $d_{35}=\beta d_{53}$ ; de (5.1) on a $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{41}e_{4}+d_{61}e_{6}$ , $d(e_{2})=d_{22}e_{2}+(2d_{11}-d_{22})e_{3}+d_{52}e_{5}+d_{62}e_{6}$ , $d(e_{2})=(2d_{11}-d_{22})e_{2}+d_{22}e_{3}-d_{52}e_{5}-d_{62}e_{6}$ et $d(e_{6})=2d_{22}e_{6}$ . En dérivant $e_{4}^{2}=\alpha e_{1}^{2}$ , on obtient $2d_{44}e_{4}^{2}=2\alpha d_{11}e_{1}^{2}$ , i.e. $2\alpha d_{44}e_{1}^{2}=2\alpha d_{11}e_{1}^{2}$ ; donc $d_{44}=d_{11}$ . En dérivant $e_{5}^{2}=\beta e_{6}$ , on obtient $\beta d(e_{6})=2d_{55}e_{5}^{2}$ , i.e. $2\beta d_{22}e_{6}=2\beta d_{55}e_{6}$ ; donc $d_{22}=d_{55}$ . Puisque $d_{53}=-d_{52}$ , alors $d_{35}=\beta d_{53}=-\beta d_{52}$ . Ainsi $d(e_{4})=-\alpha d_{41}e_{1}+d_{11}e_{4}+d_{64}e_{6}$ et $d(e_{5})=-\beta d_{52}e_{2}-\beta d_{52}e_{3}+d_{22}e_{5}+d_{65}e_{6}$ .

$\bullet$ $N_{6,21}(\alpha,\beta,\gamma)$ : $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3}$ , $e_{2}^{2}=e_{6}$ , $e_{3}^{2}=-e_{6}$ , $e_{4}^{2}=\alpha(e_{2}+e_{3})+\beta e_{6}$ , $e_{5}^{2}=\gamma e_{6}$ , $e_{6}^{2}=0$ avec $\alpha\beta\gamma\neq 0$ . De $(a)$ on a $d_{14}=d_{41}=0$ , $d_{15}=d_{51}=0$ , $d_{24}=d_{42}=0$ , $d_{34}=d_{43}=0$ et $d_{45}=d_{54}=0$ ; $(b)$ entraîne $d_{25}=-\gamma d_{52}$ , $d_{35}=\gamma d_{53}$ ; de (5.1) on a $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{61}e_{6}$ , $d(e_{2})=d_{22}e_{2}+(2d_{11}-d_{22})e_{3}+d_{52}e_{5}+d_{62}e_{6}$ , $d(e_{3})=(2d_{11}-d_{22})e_{2}+d_{22}e_{3}-d_{52}e_{5}-d_{62}e_{6}$ et $d(e_{6})=2d_{22}e_{6}$ . En dérivant $e_{4}^{2}=\alpha e_{1}^{2}+\beta e_{6}$ , on obtient $2d_{11}e_{1}^{2}+\beta d(e_{6})=2d_{44}e_{4}^{2}=2\alpha d_{44}e_{1}^{2}+2\beta d_{44}e_{6}$ , i.e. $2d_{11}(e_{2}+e_{3})+2\beta d_{22}e_{6}=2\alpha d_{44}(e_{2}+e_{3})+2\beta d_{44}e_{6}$ . Donc $d_{11}=d_{44}=d_{22}$ . En dérivant $e_{5}^{2}=\gamma e_{6}$ , on obtient $2\gamma d_{22}e_{6}=2d_{55}e_{5}^{2}=2\gamma d_{55}e_{6}$ , donc $d_{22}=d_{55}$ . Puisque $d_{53}=-d_{52}$ , alors $d_{35}=\gamma d_{53}=-\gamma d_{52}$ . On en déduit que $d(e_{2})=d_{11}e_{2}+d_{11}e_{3}+d_{52}e_{5}+d_{62}e_{6}$ , $d(e_{3})=d_{11}e_{2}+d_{11}e_{3}-d_{52}e_{5}-d_{62}e_{6}$ , $d(e_{4})=d_{11}e_{4}+d_{64}e_{6}$ , $d(e_{5})=-\gamma d_{52}e_{2}-\gamma d_{52}e_{3}+d_{11}e_{5}+d_{65}e_{6}$ , $d(e_{6})=2d_{11}e_{6}$ .

$\bullet$ $N_{6,22}(\alpha,\beta)$ : $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3}$ , $e_{2}^{2}=e_{6}$ , $e_{3}^{2}=-e_{6}$ , $e_{4}^{2}=\alpha(e_{2}+e_{3})$ , $e_{5}^{2}=\beta(e_{2}+e_{3})$ , $e_{6}^{2}=0$ avec $\alpha\beta\neq 0$ . De $(a)$ on a $d_{24}=d_{42}=0$ , $d_{25}=d_{52}=0$ , $d_{34}=d_{43}=0$ et $d_{35}=d_{53}=0$ ; $(b)$ donne $d_{14}=-\alpha d_{41}$ , $d_{15}=-\beta d_{51}$ , $d_{45}=-\alpha^{-1}\beta d_{54}$ ; (5.1) entraîne $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{41}e_{4}+d_{51}e_{5}+d_{61}e_{6}$ , $d(e_{2})=d_{22}e_{2}+(2d_{11}-d_{22})e_{3}+d_{62}e_{6}$ , $d(e_{3})=(2d_{11}-d_{22})e_{2}+d_{22}e_{3}-d_{62}e_{6}$ et $d(e_{6})=2d_{22}e_{6}$ . En dérivant $e_{4}^{2}=\alpha e_{1}^{2}$ , on obtient $2\alpha d_{11}e_{1}^{2}=2d_{44}e_{4}^{2}=2\alpha d_{44}e_{1}^{2}$ ; donc $d_{11}=d_{44}$ . De façon analogue, en dérivant $e_{5}^{2}=\beta e_{1}^{2}$ , on obtient $d_{11}=d_{55}$ . Il en résulte que $d(e_{4})=-\alpha d_{41}e_{1}+d_{11}e_{4}+d_{54}e_{5}+d_{64}e_{6}$ et $d(e_{5})=-\beta d_{51}e_{1}-\alpha^{-1}\beta d_{54}e_{4}+d_{11}e_{5}+d_{65}e_{6}$ .

$\bullet$ $N_{6,23}(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$ : $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3}$ , $e_{2}^{2}=e_{6}$ , $e_{3}^{2}=-e_{6}$ , $e_{4}^{2}=\alpha(e_{2}+e_{3})+\beta e_{6}$ , $e_{5}^{2}=\gamma(e_{2}+e_{3})+\delta e_{6}$ , $e_{6}^{2}=0$ avec $\alpha\gamma\neq 0$ , $\beta\delta\neq 0$ , $\alpha\delta-\beta\gamma\neq 0$ . De $(a)$ on a $d_{14}=d_{41}=0$ , $d_{15}=d_{51}=0$ , $d_{24}=d_{42}=0$ , $d_{25}=d_{52}=0$ , $d_{34}=d_{43}=0$ , $d_{35}=d_{53}=0$ et $d_{45}=d_{54}=0$ ; (5.1) donne $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{61}e_{6}$ , $d(e_{2})=d_{22}e_{2}+(2d_{11}-d_{22})e_{3}+d_{62}e_{6}$ , $d(e_{3})=(2d_{11}-d_{22})e_{2}+d_{22}e_{3}-d_{62}e_{6}$ et $d(e_{6})=2d_{22}e_{6}$ . En dérivant $e_{4}^{2}=\alpha e_{1}^{2}+\beta e_{6}$ , on obtient $2\alpha d_{11}(e_{2}+e_{3})+2\beta d_{22}e_{6}=2d_{44}e_{4}^{2}=2\alpha d_{44}(e_{2}+e_{3})+2\beta d_{44}e_{6}$ ; donc $d_{11}=d_{44}=d_{22}$ . De façon analogue, en dérivant $e_{5}^{2}=\gamma e_{1}^{2}+\delta e_{6}$ , on obtient $d_{11}=d_{55}=d_{22}$ . On en déduit que $d(e_{2})=d_{11}e_{2}+d_{11}e_{3}+d_{62}e_{6}$ , $d(e_{3})=d_{11}e_{2}+d_{11}e_{3}-d_{62}e_{6}$ , $d(e_{4})=d_{11}e_{4}+d_{64}e_{6}$ , $d(e_{5})=d_{11}e_{5}+d_{65}e_{6}$ et $d(e_{6})=2d_{11}e_{6}$ .

$\bullet$ $N_{6,24}(\alpha,\beta,\gamma)$ : $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3}$ , $e_{2}^{2}=e_{6}$ , $e_{3}^{2}=-e_{6}$ , $e_{4}^{2}=\alpha(e_{2}+e_{3})+\beta e_{6}$ , $e_{5}^{2}=\gamma(e_{2}+e_{3})$ , $e_{6}^{2}=0$ avec $\alpha\beta\gamma\neq 0$ . De $(a)$ on a $d_{14}=d_{41}=0$ , $d_{24}=d_{42}=0$ , $d_{25}=d_{52}=0$ , $d_{34}=d_{43}=0$ , $d_{35}=d_{53}=0$ et $d_{45}=d_{54}=0$ ; $(b)$ donne $d_{15}=-\gamma d_{51}$ ; (5.1) entraîne $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{51}e_{5}+d_{61}e_{6}$ , $d(e_{2})=d_{22}e_{2}+(2d_{11}-d_{22})e_{3}+d_{62}e_{6}$ , $d(e_{3})=(2d_{11}-d_{22})e_{2}+d_{22}e_{3}-d_{62}e_{6}$ et $d(e_{6})=2d_{22}e_{6}$ . En dérivant $e_{4}^{2}=\alpha e_{1}^{2}+\beta e_{6}$ , on obtient $2\alpha d_{11}(e_{2}+e_{3})+2\beta d_{22}e_{6}=2d_{44}e_{4}^{2}=2\alpha d_{44}(e_{2}+e_{3})+2\beta d_{44}e_{6}$ ; donc $d_{11}=d_{44}=d_{22}$ . En dérivant $e_{5}^{2}=\gamma e_{1}^{2}$ , on obtient $2\gamma d_{11}(e_{2}+e_{3})=2d_{55}e_{5}^{2}=2\gamma d_{55}(e_{2}+e_{3})$ ; donc $d_{11}=d_{55}$ . Ainsi $d(e_{2})=d_{11}e_{2}+d_{11}e_{3}+d_{62}e_{6}$ , $d(e_{3})=d_{11}e_{2}+d_{11}e_{3}-d_{62}e_{6}$ , $d(e_{4})=d_{11}e_{4}+d_{64}e_{6}$ , $d(e_{5})=-\gamma d_{51}e_{5}+d_{11}e_{5}+d_{65}e_{6}$ et $d(e_{6})=2d_{11}e_{6}$ . $\Box$

Proposition 5.1.2.

Soit $N$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable à puissances associatives, de dimension $\leq 6$ , qui n’est pas associatives, telle que $\dim(ann(N))=~{}1$ . Alors le crochet des dérivations $d$ et $d^{\prime}$ de $N$ est donné par la Table $8$ .

Preuve.

Soient $d,d^{\prime}\in\mathfrak{D}(N)$ . Calculons $[d,d^{\prime}]$ .

$\bullet$ $N_{4,6}$ : On a $d\circ d^{\prime}(e_{1})=d_{11}^{\prime}d(e_{1})+d_{41}^{\prime}d(e_{4})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{11}=d_{11}^{\prime}d_{11}-d_{11}d_{11}^{\prime}=0$ , $[d,d^{\prime}]_{41}=(d_{11}^{\prime}d_{41}+2d_{41}^{\prime}d_{22})-(d_{11}d_{41}^{\prime}+2d_{41}d_{22}^{\prime})=(d_{11}^{\prime}d_{41}-d_{11}d_{41}^{\prime})+2(d_{41}^{\prime}d_{22}-d_{41}d_{22}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{2})=d_{22}^{\prime}d(e_{2})+(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d(e_{3})+d_{42}^{\prime}d(e_{4})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{22}=(d_{22}^{\prime}d_{22}+(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})(2d_{11}-d_{22}))-(d_{22}d_{22}^{\prime}+(2d_{11}-d_{22})(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime}))=0$ , $[d,d^{\prime}]_{42}=(d_{22}^{\prime}d_{42}-(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d_{42}+2d_{42}^{\prime}d_{22})-(d_{22}d_{42}^{\prime}-(2d_{11}-d_{22})d_{42}^{\prime}+2d_{42}d_{22}^{\prime})=2(d_{11}d_{42}^{\prime}-d_{11}^{\prime}d_{42})$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{4,6})^{\prime}\simeq K^{2}$ .

$\bullet$ $N_{5,10}(\alpha)$ : On a $d\circ d^{\prime}(e_{1})=d_{11}^{\prime}d(e_{1})+d_{51}^{\prime}d(e_{5})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{11}=d_{11}^{\prime}d_{11}-d_{11}d_{11}^{\prime}=0$ , $[d,d^{\prime}]_{51}=(d_{11}^{\prime}d_{51}+2d_{51}^{\prime}d_{22})-(d_{11}d_{51}^{\prime}+2d_{51}d_{22}^{\prime})=(d_{11}^{\prime}d_{51}-d_{11}d_{51}^{\prime})+2(d_{51}^{\prime}d_{22}-d_{51}d_{22}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{2})=d_{22}^{\prime}d(e_{2})+(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d(e_{3})+d_{42}^{\prime}d(e_{4})+d_{52}^{\prime}d(e_{5})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{22}=(d_{22}^{\prime}d_{22}+(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})(2d_{11}-d_{22})-\alpha d_{42}^{\prime}d_{42})-(d_{22}d_{22}^{\prime}+(2d_{11}-d_{22})(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})-\alpha d_{42}d_{42}^{\prime})=0$ , $[d,d^{\prime}]_{42}=(d_{22}^{\prime}d_{42}-(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d_{42}+d_{42}^{\prime}d_{22})-(d_{22}d_{42}^{\prime}-(2d_{11}-d_{22})d_{42}^{\prime}+d_{42}d_{22}^{\prime})=(d_{22}^{\prime}d_{42}-d_{22}d_{42}^{\prime})+2(d_{42}^{\prime}d_{11}-d_{42}d_{11}^{\prime})$ , $[d,d^{\prime}]_{52}=(d_{22}^{\prime}d_{52}-(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d_{52}+d_{42}^{\prime}d_{54}+2d_{52}^{\prime}d_{22})-(d_{22}d_{52}^{\prime}-(2d_{11}-d_{22})d_{52}^{\prime}+d_{42}d_{54}^{\prime}+2d_{52}d_{22}^{\prime})=(d_{42}^{\prime}d_{54}-d_{42}d_{54}^{\prime})+2(d_{52}^{\prime}d_{11}-d_{52}d_{11}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{4})=-\alpha d_{42}^{\prime}d(e_{2})-\alpha d_{42}^{\prime}d(e_{3})+d_{22}^{\prime}d(e_{4})+d_{54}^{\prime}d(e_{5})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{54}=(-\alpha d_{42}^{\prime}d_{52}+\alpha d_{42}^{\prime}d_{52}+d_{22}^{\prime}d_{54}+2d_{54}^{\prime}d_{22})-(-\alpha d_{42}d_{52}^{\prime}+\alpha d_{42}d_{52}^{\prime}+d_{22}d_{54}^{\prime}+2d_{54}d_{22}^{\prime})=d_{54}^{\prime}d_{22}-d_{54}d_{22}^{\prime}$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{5,10}(\alpha))^{\prime}\simeq K^{4}$ .

$\bullet$ $N_{5,11}(\alpha))$ : On a $d\circ d^{\prime}(e_{1})=d_{11}^{\prime}d(e_{1})+d_{41}^{\prime}d(e_{4})+d_{51}^{\prime}d(e_{5})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{11}=(d_{11}^{\prime}d_{11}-\alpha d_{41}^{\prime}d_{41})-(d_{11}d_{11}^{\prime}-\alpha d_{41}d_{41}^{\prime})=0$ , $[d,d^{\prime}]_{41}=(d_{11}^{\prime}d_{41}+d_{41}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{41}^{\prime}+d_{41}d_{11}^{\prime})=0$ , $[d,d^{\prime}]_{51}=(d_{11}^{\prime}d_{51}+d_{41}^{\prime}d_{54}+2d_{51}^{\prime}d_{22})-(d_{11}d_{51}^{\prime}+d_{41}d_{54}^{\prime}+2d_{51}d_{22}^{\prime})=(d_{11}^{\prime}d_{51}-d_{11}d_{51}^{\prime})+(d_{41}^{\prime}d_{54}-d_{41}d_{54}^{\prime})+2(d_{51}^{\prime}d_{22}-d_{51}d_{22}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{2})=d_{22}^{\prime}d(e_{2})+(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d(e_{3})+d_{52}^{\prime}d(e_{5})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{22}=(d_{22}^{\prime}d_{22}+(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})(2d_{11}-d_{22}))-(d_{22}d_{22}^{\prime}+(2d_{11}-d_{22})(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime}))=0$ , $[d,d^{\prime}]_{52}=(d_{22}^{\prime}d_{52}-(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d_{52}+2d_{52}^{\prime}d_{22})-(d_{22}d_{52}^{\prime}-(2d_{11}-d_{22})d_{52}^{\prime}+2d_{52}d_{22}^{\prime})=2(d_{52}^{\prime}d_{11}-d_{52}^{\prime}d_{11})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{4})=-\alpha d_{41}^{\prime}d(e_{1})+d_{11}^{\prime}d(e_{4})+d_{54}^{\prime}d(e_{5})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{54}=(-\alpha d_{41}^{\prime}d_{51}+d_{11}^{\prime}d_{54}+2d_{54}^{\prime}d_{22})-(-\alpha d_{41}d_{51}^{\prime}+d_{11}d_{54}^{\prime}+2d_{54}d_{22}^{\prime})=-\alpha(d_{41}^{\prime}d_{51}-d_{41}d_{51}^{\prime})+(d_{11}^{\prime}d_{54}-d_{11}d_{54}^{\prime})+2(d_{54}^{\prime}d_{22})-d_{54}d_{22}^{\prime})$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{5,11}(\alpha))^{\prime}\simeq K^{3}$ .

$\bullet$ $N_{5,12}(\alpha,\beta)$ : On a $d\circ d^{\prime}(e_{1})=d_{11}^{\prime}d(e_{1})+d_{51}^{\prime}d(e_{5})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{11}=d_{11}^{\prime}d_{11}-d_{11}d_{11}^{\prime}=0$ , $[d,d^{\prime}]_{51}=(d_{11}^{\prime}d_{51}+2d_{51}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{51}^{\prime}+2d_{51}d_{11}^{\prime})=d_{51}^{\prime}d_{11}-d_{51}d_{11}^{\prime}$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{2})=d_{11}^{\prime}d(e_{2})+d_{11}^{\prime}d(e_{3})+d_{52}^{\prime}d(e_{5})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{52}=(d_{11}^{\prime}d_{52}-d_{11}^{\prime}d_{52}+2d_{52}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{52}^{\prime}-d_{11}d_{52}^{\prime}+2d_{52}d_{11}^{\prime})=2(d_{52}^{\prime}d_{11}-d_{52}d_{11}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{4})=d_{11}^{\prime}d(e_{4})+d_{54}^{\prime}d(e_{5})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{54}=(d_{11}^{\prime}d_{54}+2d_{54}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{54}^{\prime}+2d_{54}d_{11}^{\prime})=d_{54}^{\prime}d_{11})-d_{54}d_{11}^{\prime}$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{5,12}(\alpha,\beta))^{\prime}\simeq K^{3}$ .

$\bullet$ $N_{6,19}(\alpha,\beta))$ : On a $d\circ d^{\prime}(e_{1})=d_{11}^{\prime}d(e_{1})+d_{61}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{11}=d_{11}^{\prime}d_{11}-d_{11}d_{11}^{\prime}=0$ , $[d,d^{\prime}]_{61}=(d_{11}^{\prime}d_{61}+2d_{61}^{\prime}d_{22})-(d_{11}d_{61}^{\prime}+2d_{61}d_{22}^{\prime})=(d_{11}^{\prime}d_{61}-d_{11}d_{61}^{\prime})+2(d_{61}^{\prime}d_{22}-d_{61}d_{22}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{2})=d_{22}^{\prime}d(e_{2})+(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d(e_{3})+d_{42}^{\prime}d(e_{4})+d_{52}^{\prime}d(e_{5})+d_{62}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{22}=(d_{22}^{\prime}d_{22}+(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})(2d_{11}-d_{22})-\alpha d_{42}^{\prime}d_{42}-\beta d_{52}^{\prime}d_{52})-(d_{22}d_{22}^{\prime}+(2d_{11}-d_{22})(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})-\alpha d_{42}d_{42}^{\prime}-\beta d_{52}d_{52}^{\prime})=0$ , $[d,d^{\prime}]_{42}=(d_{22}^{\prime}d_{42}-(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d_{42}+d_{42}^{\prime}d_{22}-\alpha^{-1}\beta d_{52}^{\prime}d_{54})-(d_{22}d_{42}^{\prime}-(2d_{11}-d_{22})d_{42}^{\prime}+d_{42}d_{22}^{\prime}-\alpha^{-1}\beta d_{52}d_{54}^{\prime})=(d_{22}^{\prime}d_{42}-d_{22}d_{42}^{\prime})+2(d_{11}d_{42}^{\prime}-d_{11}^{\prime}d_{42})-\alpha^{-1}\beta(d_{52}^{\prime}d_{54}-d_{52}d_{54}^{\prime})$ , $[d,d^{\prime}]_{52}=(d_{22}^{\prime}d_{52}-(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d_{52}+d_{42}^{\prime}d_{54}+d_{52}^{\prime}d_{22})-(d_{22}d_{52}^{\prime}-(2d_{11}-d_{22})d_{52}^{\prime}+d_{42}d_{54}^{\prime}+d_{52}d_{22}^{\prime})=(d_{42}^{\prime}d_{54}-d_{42}d_{54}^{\prime})+(d_{22}^{\prime}d_{52}-d_{22}d_{52}^{\prime})+2(d_{11}d_{52}^{\prime}-d_{11}^{\prime}d_{52})$ , $[d,d^{\prime}]_{62}=(d_{22}^{\prime}d_{62}-(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d_{62}+d_{42}^{\prime}d_{64}+d_{52}^{\prime}d_{65}+2d_{62}^{\prime}d_{22})-(d_{22}d_{62}^{\prime}-(2d_{11}-d_{22})d_{62}^{\prime}+d_{42}d_{64}^{\prime}+d_{52}d_{65}^{\prime}+2d_{62}d_{22}^{\prime})=(d_{42}^{\prime}d_{64}-d_{42}d_{64}^{\prime})+(d_{52}^{\prime}d_{65}-d_{52}d_{65}^{\prime})+2(d_{62}^{\prime}d_{11}-d_{62}d_{11}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{4})=-\alpha d_{42}^{\prime}d(e_{2})-\alpha d_{42}^{\prime}d(e_{3})+d_{22}^{\prime}d(e_{4})+d_{54}^{\prime}d(e_{5})+d_{64}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{54}=(-\alpha d_{42}^{\prime}d_{52}+\alpha d_{42}^{\prime}d_{52}+d_{22}^{\prime}d_{54}+d_{54}^{\prime}d_{22})-(-\alpha d_{42}d_{52}^{\prime}+\alpha d_{42}d_{52}^{\prime}+d_{22}d_{54}^{\prime}+d_{54}d_{22}^{\prime})=0$ , $[d,d^{\prime}]_{64}=(-\alpha d_{42}^{\prime}d_{62}+\alpha d_{42}^{\prime}d_{62}+d_{22}^{\prime}d_{64}+d_{54}^{\prime}d_{65}+2d_{64}^{\prime}d_{22})-(-\alpha d_{42}d_{62}^{\prime}+\alpha d_{42}d_{62}^{\prime}+d_{22}d_{64}^{\prime}+d_{54}d_{65}^{\prime}+2d_{64}d_{22}^{\prime})=(d_{64}^{\prime}d_{22}-d_{64}d_{22}^{\prime})+(d_{54}^{\prime}d_{65}-d_{54}d_{65}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{5})=-\beta d_{52}^{\prime}d(e_{2})-\beta d_{52}^{\prime}d(e_{3})-\alpha^{-1}\beta d_{54}^{\prime}d(e_{4})+d_{22}^{\prime}d(e_{5})+d_{65}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{65}=(-\beta d_{52}^{\prime}d_{62}+\beta d_{52}^{\prime}d_{62}-\alpha^{-1}\beta d_{54}^{\prime}d_{64}+d_{22}^{\prime}d_{65}+2d_{65}^{\prime}d_{22})-(-\beta d_{52}d_{62}^{\prime}+\beta d_{52}d_{62}^{\prime}-\alpha^{-1}\beta d_{54}d_{64}^{\prime}+d_{22}d_{65}^{\prime}+2d_{65}d_{22}^{\prime})=-\alpha^{-1}\beta(d_{54}^{\prime}d_{64}-d_{54}d_{64}^{\prime})+(d_{65}^{\prime}d_{22}-d_{65}d_{22}^{\prime})$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{6,19}(\alpha,\beta))^{\prime}\simeq K^{6}$ .

$\bullet$ $N_{6,20}(\alpha,\beta)$ : On a $d\circ d^{\prime}(e_{1})=d_{11}^{\prime}d(e_{1})+d_{41}^{\prime}d(e_{4})+d_{61}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{11}=(d_{11}^{\prime}d_{11}-\alpha d_{41}^{\prime}d_{41})-(d_{11}d_{11}^{\prime}-\alpha d_{41}d_{41}^{\prime})=0$ , $[d,d^{\prime}]_{41}=(d_{11}^{\prime}d_{41}+d_{41}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{41}^{\prime}+d_{41}d_{11}^{\prime})=0$ , $[d,d^{\prime}]_{61}=(d_{11}^{\prime}d_{61}+d_{41}^{\prime}d_{64}+2d_{61}^{\prime}d_{22})-(d_{11}d_{61}^{\prime}+d_{41}d_{64}^{\prime}+2d_{61}d_{22}^{\prime})=(d_{11}^{\prime}d_{61}-d_{11}d_{61}^{\prime})+(d_{41}^{\prime}d_{64}-d_{41}d_{64}^{\prime})+2(d_{61}^{\prime}d_{22}-d_{61}d_{22}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{2})=d_{22}^{\prime}d(e_{2})+(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d(e_{3})+d_{52}^{\prime}d(e_{5})+d_{62}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{22}=(d_{22}^{\prime}d_{22}+(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})(2d_{11}-d_{22})-\beta d_{52}^{\prime}d_{52})-(d_{22}d_{22}^{\prime}+(2d_{11}-d_{22})(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})-\beta d_{52}d_{52}^{\prime})=0$ , $[d,d^{\prime}]_{52}=(d_{22}^{\prime}d_{52}-(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d_{52}+d_{52}^{\prime}d_{22})-(d_{22}d_{52}^{\prime}-(2d_{11}-d_{22})d_{52}^{\prime}+d_{52}d_{22}^{\prime})=(d_{22}^{\prime}d_{52}-d_{22}d_{52}^{\prime})+2(d_{11}d_{52}^{\prime}-d_{11}^{\prime}d_{52})$ , $[d,d^{\prime}]_{62}=(d_{22}^{\prime}d_{62}-(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d_{62}+d_{52}^{\prime}d_{65}+2d_{62}^{\prime}d_{22})-(d_{22}d_{62}^{\prime}-(2d_{11}-d_{22})d_{62}^{\prime}+d_{52}d_{65}^{\prime}+2d_{62}d_{22}^{\prime})=(d_{52}^{\prime}d_{65}-d_{52}d_{65}^{\prime})+2(d_{11}d_{62}^{\prime}-d_{11}^{\prime}d_{62})$ . On a ; $d\circ d^{\prime}(e_{4})=-\alpha d_{41}^{\prime}d(e_{1})+d_{11}^{\prime}d(e_{4})+d_{64}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{64}=(-\alpha d_{41}^{\prime}d_{61}+d_{11}^{\prime}d_{64}+2d_{64}^{\prime}d_{22})-(-\alpha d_{41}d_{61}^{\prime}+d_{11}d_{64}^{\prime}+2d_{64}d_{22}^{\prime})=-\alpha(d_{41}^{\prime}d_{61}-d_{41}d_{61}^{\prime})+(d_{11}^{\prime}d_{64}-d_{11}d_{64}^{\prime})+2(d_{64}^{\prime}d_{22}-d_{64}d_{22}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{5})=-\beta d_{52}^{\prime}d(e_{2})-\beta d_{52}^{\prime}d(e_{3})+d_{22}^{\prime}d(e_{5})+d_{65}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{65}=(-\beta d_{52}^{\prime}d_{62}+\beta d_{52}^{\prime}d_{62}+d_{22}^{\prime}d_{65}+2d_{65}^{\prime}d_{22})-(-\beta d_{52}d_{62}^{\prime}+\beta d_{52}d_{62}^{\prime}+d_{22}d_{65}^{\prime}+2d_{65}d_{22}^{\prime})=d_{65}^{\prime}d_{22}-d_{65}d_{22}^{\prime}$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{6,20}(\alpha,\beta))^{\prime}\simeq K^{5}$ .

$\bullet$ $N_{6,21}(\alpha,\beta,\gamma)$ : On a $d\circ d^{\prime}(e_{1})=d_{11}^{\prime}d(e_{1})+d_{61}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{11}=(d_{11}^{\prime}d_{11}-d_{11}^{\prime}d_{11})=0$ , $[d,d^{\prime}]_{61}=(d_{11}^{\prime}d_{61}+2d_{61}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{61}^{\prime}+2d_{61}d_{11}^{\prime})=d_{61}^{\prime}d_{11}-d_{61}d_{11}^{\prime}$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{2})=d_{11}^{\prime}d(e_{2})+d_{11}^{\prime}d(e_{3})+d_{52}^{\prime}d(e_{5})+d_{62}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{52}=(d_{11}^{\prime}d_{52}-d_{11}^{\prime}d_{52}+d_{52}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{52}^{\prime}-d_{11}d_{52}^{\prime}+d_{52}d_{11}^{\prime})=d_{52}^{\prime}d_{11}-d_{52}d_{11}^{\prime}$ , $[d,d^{\prime}]_{62}=(d_{11}^{\prime}d_{62}-d_{11}^{\prime}d_{62}+d_{52}^{\prime}d_{65}+2d_{62}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{62}^{\prime}-d_{11}d_{62}^{\prime}+d_{52}d_{65}^{\prime}+2d_{62}d_{11}^{\prime})=(d_{52}^{\prime}d_{65}-d_{52}d_{65}^{\prime})+2(d_{62}^{\prime}d_{11}-d_{62}^{\prime}d_{11})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{4})=d_{11}^{\prime}d(e_{4})+d_{64}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{64}=(d_{11}^{\prime}d_{64}+2d_{64}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{64}^{\prime}+2d_{64}d_{11}^{\prime})=d_{64}^{\prime}d_{11}-d_{64}^{\prime}d_{11}$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{5})=-\gamma d_{52}^{\prime}d(e_{2})-\gamma d_{52}^{\prime}d(e_{3})+d_{11}^{\prime}d(e_{5})+d_{65}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{65}=(-\gamma d_{52}^{\prime}d_{62}+\gamma d_{52}^{\prime}d_{62}+d_{11}^{\prime}d_{65}+2d_{65}^{\prime}d_{11})-(-\gamma d_{52}d_{62}^{\prime}+\gamma d_{52}d_{62}^{\prime}+d_{11}d_{65}^{\prime}+2d_{65}d_{11}^{\prime})=d_{65}^{\prime}d_{11}-d_{65}d_{11}^{\prime}$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{6,21}(\alpha,\beta,\gamma))^{\prime}\simeq K^{5}$ .

$\bullet$ $N_{6,22}(\alpha,\beta)$ : On a $d\circ d^{\prime}(e_{1})=d_{11}^{\prime}d(e_{1})+d_{41}^{\prime}d(e_{4})+d_{51}^{\prime}d(e_{5})+d_{61}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{11}=(d_{11}^{\prime}d_{11}-\alpha d_{41}^{\prime}d_{41}-\beta d_{51}^{\prime}d_{51})-(d_{11}d_{11}^{\prime}-\alpha d_{41}d_{41}^{\prime}-\beta d_{51}d_{51}^{\prime})=0$ , $[d,d^{\prime}]_{41}=(d_{11}^{\prime}d_{41}+d_{41}^{\prime}d_{11}-\alpha^{-1}\beta d_{51}^{\prime}d_{54})-(d_{11}d_{41}^{\prime}+d_{41}d_{11}^{\prime}-\alpha^{-1}\beta d_{51}d_{54}^{\prime})=\alpha^{-1}\beta(d_{51}d_{54}^{\prime}-d_{51}^{\prime}d_{54})$ , $[d,d^{\prime}]_{51}=(d_{11}^{\prime}d_{51}+d_{41}^{\prime}d_{54}+d_{51}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{51}^{\prime}+d_{41}d_{54}^{\prime}+d_{51}d_{11}^{\prime})=d_{41}^{\prime}d_{54}-d_{41}d_{54}^{\prime}$ , $[d,d^{\prime}]_{61}=(d_{11}^{\prime}d_{61}+d_{41}^{\prime}d_{64}+d_{51}^{\prime}d_{65}+2d_{61}^{\prime}d_{22})-(d_{11}d_{61}^{\prime}+d_{41}d_{64}^{\prime}+d_{51}d_{65}^{\prime}+2d_{61}d_{22}^{\prime})=(d_{11}^{\prime}d_{61}-d_{11}d_{61}^{\prime})+(d_{41}^{\prime}d_{64}-d_{41}d_{64}^{\prime})+(d_{51}^{\prime}d_{65}-d_{51}d_{65}^{\prime})+2(d_{61}^{\prime}d_{22}-d_{61}d_{22}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{2})=d_{22}^{\prime}d(e_{2})+(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d(e_{3})+d_{62}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{22}=(d_{22}^{\prime}d_{22}+(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})(2d_{11}-d_{22}))-(d_{22}d_{22}^{\prime}+(2d_{11}-d_{22})(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime}))=0$ , $[d,d^{\prime}]_{62}=(d_{22}^{\prime}d_{62}-(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d_{62}+2d_{62}^{\prime}d_{22})-(d_{22}d_{62}^{\prime}-(2d_{11}-d_{22})d_{62}^{\prime}+2d_{62}d_{22}^{\prime})=2(d_{11}d_{62}^{\prime}-d_{11}^{\prime}d_{62})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{4})=-\alpha d_{41}^{\prime}d(e_{1})+d_{11}^{\prime}d(e_{4})+d_{54}^{\prime}d(e_{5})+d_{64}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{54}=(-\alpha d_{41}^{\prime}d_{51}+d_{11}^{\prime}d_{54}+d_{54}^{\prime}d_{11})-(-\alpha d_{41}d_{51}^{\prime}+d_{11}d_{54}^{\prime}+d_{54}d_{11}^{\prime})=\alpha(d_{41}d_{51}^{\prime}-d_{41}^{\prime}d_{51})$ , $[d,d^{\prime}]_{64}=(-\alpha d_{41}^{\prime}d_{61}+d_{11}^{\prime}d_{64}+d_{54}^{\prime}d_{65}+2d_{64}^{\prime}d_{11})-(-\alpha d_{41}d_{61}^{\prime}+d_{11}d_{64}^{\prime}+d_{54}d_{65}^{\prime}+2d_{64}d_{11}^{\prime})=(d_{64}^{\prime}d_{11}-d_{64}d_{11}^{\prime})+(d_{54}^{\prime}d_{65}-d_{54}d_{65}^{\prime})+\alpha(d_{41}d_{61}^{\prime}-d_{41}^{\prime}d_{61})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{5})=-\beta d_{51}^{\prime}d(e_{1})-\alpha^{-1}\beta d_{54}^{\prime}d(e_{4})+d_{11}^{\prime}d(e_{5})+d_{65}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{65}=(-\beta d_{51}^{\prime}d_{61}-\alpha^{-1}\beta d_{54}^{\prime}d_{64}+d_{11}^{\prime}d_{65}+2d_{65}^{\prime}d_{22})-(-\beta d_{51}d_{61}^{\prime}-\alpha^{-1}\beta d_{54}d_{64}^{\prime}+d_{11}d_{65}^{\prime}+2d_{65}d_{22}^{\prime})=-\beta(d_{51}^{\prime}d_{61}-d_{51}d_{61}^{\prime})-\alpha^{-1}\beta(d_{54}^{\prime}d_{64}-d_{54}d_{64}^{\prime})+(d_{11}^{\prime}d_{65}-d_{11}d_{65}^{\prime})+2(d_{65}^{\prime}d_{22}-d_{65}d_{22}^{\prime})$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{6,22}(\alpha,\beta))^{\prime}\simeq K^{7}$ .

$\bullet$ $N_{6,23}(\alpha,\beta)$ : On a $d\circ d^{\prime}(e_{1})=d_{11}^{\prime}d(e_{1})+d_{61}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{11}=d_{11}^{\prime}d_{11}-d_{11}d_{11}^{\prime}=0$ , $[d,d^{\prime}]_{61}=(d_{11}^{\prime}d_{61}+2d_{61}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{61}^{\prime}+2d_{61}d_{11}^{\prime})=d_{61}^{\prime}d_{11}-d_{11}^{\prime}d_{61}$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{2})=d_{11}^{\prime}d(e_{2})+d_{11}^{\prime}d(e_{3})+d_{62}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{62}=(d_{11}^{\prime}d_{62}-d_{11}^{\prime}d_{62}+2d_{62}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{62}^{\prime}-d_{11}d_{62}^{\prime}+2d_{62}d_{11}^{\prime})=2(d_{62}^{\prime}d_{11}-d_{62}d_{11}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{4})=d_{11}^{\prime}d(e_{4})+d_{64}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{64}=(d_{11}^{\prime}d_{64}+2d_{64}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{64}^{\prime}+2d_{64}d_{11}^{\prime})=d_{64}^{\prime}d_{11}-d_{64}d_{11}^{\prime}$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{5})=d_{11}^{\prime}d(e_{5})+d_{65}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{65}=(d_{11}^{\prime}d_{65}+2d_{65}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{65}^{\prime}+2d_{65}d_{11}^{\prime})=d_{65}^{\prime}d_{11}-d_{65}d_{11}^{\prime}$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{6,23}(\alpha,\beta))^{\prime}\simeq K^{4}$ .

$\bullet$ $N_{6,24}(\alpha,\beta,\gamma)$ : On a $d\circ d^{\prime}(e_{1})=d_{11}^{\prime}d(e_{1})+d_{51}^{\prime}d(e_{5})+d_{61}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{11}=(d_{11}^{\prime}d_{11}-\gamma d_{51}^{\prime}d_{51})-(d_{11}d_{11}^{\prime}-\gamma d_{51}d_{51}^{\prime})=0$ , $[d,d^{\prime}]_{51}=(d_{11}^{\prime}d_{51}+d_{51}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{51}^{\prime}+d_{51}d_{11}^{\prime})=0$ , $[d,d^{\prime}]_{61}=(d_{11}^{\prime}d_{61}+d_{51}^{\prime}d_{65}+2d_{61}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{61}^{\prime}+d_{51}d_{65}^{\prime}+2d_{61}d_{11}^{\prime})=(d_{61}^{\prime}d_{11}-d_{61}d_{11}^{\prime})+(d_{51}^{\prime}d_{65}-d_{51}d_{65}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{2})=d_{11}^{\prime}d(e_{2})+d_{11}^{\prime}d(e_{3})+d_{62}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{62}=(d_{11}^{\prime}d_{62}-d_{11}^{\prime}d_{62}+2d_{62}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{62}^{\prime}-d_{11}d_{62}^{\prime}+2d_{62}d_{11}^{\prime})=2(d_{62}^{\prime}d_{11}-d_{62}d_{11}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{4})=d_{11}^{\prime}d(e_{4})+d_{64}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{64}=(d_{11}^{\prime}d_{64}+2d_{64}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{64}^{\prime}+2d_{64}d_{11}^{\prime})=d_{64}^{\prime}d_{11}-d_{64}d_{11}^{\prime}$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{5})=-\gamma d_{51}^{\prime}d(e_{1})+d_{11}^{\prime}d(e_{5})+d_{65}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{65}=(-\gamma d_{51}^{\prime}d_{61}+d_{11}^{\prime}d_{65}+2d_{65}^{\prime}d_{11})-(-\gamma d_{51}d_{61}^{\prime}+d_{11}d_{65}^{\prime}+2d_{65}d_{11}^{\prime})=\gamma(d_{51}d_{61}^{\prime}-d_{51}^{\prime}d_{61})+(d_{65}^{\prime}d_{11}-d_{65}d_{11}^{\prime})$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{6,24}(\alpha,\beta,\gamma))^{\prime}\simeq K^{4}$ . $\Box$

Proposition 5.1.3.

Soit $N$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable à puissances associatives, de dimension $\leq 6$ , qui n’est pas associative, telle que $\dim(ann(N))=1$ . La Table $9$ , caractérise les dérivations intérieures de $N$ .

Preuve.

On considère les algèbres $N$ suivantes : $N_{4,6}$ ; $N_{5,10}(\alpha)$ à $N_{5,12}(\alpha,\beta)$ et $N_{6,19}$ à $N_{6,24}(\alpha,\beta,\gamma)$ . Comme $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3}$ , $e_{2}^{2}=e_{n}$ , $e_{3}^{2}=-e_{n}$ et $e_{n}^{2}=0$ avec $n=\dim(N)\geq 4$ , alors pour $a,b,c\in N$ , on a $R_{c}(e_{1})+[R_{a},R_{b}](e_{1})=c_{1}e_{1}^{2}+(e_{1}b)a-(e_{1}a)b=c_{1}(e_{2}+e_{3})+(b_{1}(a_{2}-a_{3})-a_{1}(b_{2}-b_{3}))e_{n}$ , $R_{c}(e_{2})+[R_{a},R_{b}](e_{2})=c_{2}e_{2}^{2}+(e_{2}b)a-(e_{2}a)b=c_{2}e_{n}$ , $R_{c}(e_{3})+[R_{a},R_{b}](e_{3})=c_{3}e_{3}^{2}+(e_{3}b)a-(e_{3}a)b=-c_{3}e_{n}$ et $R_{c}(e_{n})+[R_{a},R_{b}](e_{n})=0$ . On a $-c_{3}=[R_{c}]_{n3}=-[R_{c}]_{n2}=-c_{2}$ et $c_{3}=c_{2}$ .

$\bullet$ $N_{4,6}$ : on a $R_{c}+[R_{a},R_{b}]\in\mathfrak{I}(N_{4,6})$ si et seulement si $R_{c}=c_{2}(e_{42}-e_{43})$ et $[R_{a},R_{b}]=(b_{1}(a_{2}-a_{3})-a_{1}(b_{2}-b_{3}))e_{41}$ . Ainsi $\mathfrak{I}(N_{4,6})\simeq K^{2}$ .

$\bullet$ $N_{5,10}(\alpha)$ : on a $R_{c}(e_{4})+[R_{a},R_{b}](e_{4})=\alpha c_{4}e_{5}$ ; donc $R_{c}+[R_{a},R_{b}]\in\mathfrak{I}(N_{5,10}(\alpha))$ si et seulement si $R_{c}=c_{2}(e_{52}-e_{53})+\alpha c_{4}e_{54}$ et $[R_{a},R_{b}]=(b_{1}(a_{2}-a_{3})-a_{1}(b_{2}-b_{3}))e_{51}$ . Ainsi $\mathfrak{I}(N_{5,10}(\alpha))\simeq K^{3}$ .

$\bullet$ $N_{5,11}(\alpha)$ : on a $R_{c}(e_{4})+[R_{a},R_{b}](e_{4})=\alpha c_{4}(e_{2}+e_{3})+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{5}$ ; donc $R_{c}+[R_{a},R_{b}]\in\mathfrak{I}(N_{5,11}(\alpha))$ si et seulement si $R_{c}=c_{2}(e_{52}-e_{53})$ et $[R_{a},R_{b}]=(b_{1}(a_{2}-a_{3})-a_{1}(b_{2}-b_{3}))e_{51}+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{54}$ . Ainsi $\mathfrak{I}(N_{5,11}(\alpha))\simeq K^{3}$ .

$\bullet$ $N_{5,12}(\alpha,\beta)$ : on a $R_{c}(e_{4})+[R_{a},R_{b}](e_{4})=c_{4}\alpha(e_{2}+e_{3})+c_{4}\beta e_{5}+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{5}$ ; donc $R_{c}+[R_{a},R_{b}]\in\mathfrak{I}(N_{5,12}(\alpha,\beta))$ si et seulement si $R_{c}=c_{2}(e_{52}-e_{53})$ et $[R_{a},R_{b}]=(b_{1}(a_{2}-a_{3})-a_{1}(b_{2}-b_{3}))e_{51}+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{54}$ . Ainsi $\mathfrak{I}(N_{5,12}(\alpha,\beta))\simeq K^{3}$ .

$\bullet$ $N_{6,19}(\alpha,\beta)$ : on a $R_{c}(e_{4})+[R_{a},R_{b}](e_{4})=\alpha c_{4}e_{6}$ ; $R_{c}(e_{5})+[R_{a},R_{b}](e_{5})=\beta c_{5}e_{6}$ ; donc $R_{c}+[R_{a},R_{b}]\in\mathfrak{I}(N_{6,19}(\alpha,\beta))$ si et seulement si $R_{c}=c_{2}(e_{62}-e_{63})+\alpha c_{4}e_{64}+\beta c_{5}e_{65}$ et $[R_{a},R_{b}]=(b_{1}(a_{2}-a_{3})-a_{1}(b_{2}-b_{3}))e_{61}$ . Ainsi $\mathfrak{I}(N_{6,19}(\alpha,\beta))\simeq K^{4}$ .

$\bullet$ $N_{6,20}(\alpha,\beta)$ : on a $R_{c}(e_{4})+[R_{a},R_{b}](e_{4})=\alpha c_{4}(e_{2}+e_{3})+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{6}$ ; $R_{c}(e_{5})+[R_{a},R_{b}](e_{5})=\beta c_{5}e_{6}$ ; donc $R_{c}+[R_{a},R_{b}]\in\mathfrak{I}(N_{6,20}(\alpha,\beta))$ si et seulement si $R_{c}=c_{2}(e_{62}-e_{63})+\beta c_{5}e_{65}$ et $[R_{a},R_{b}]=(b_{1}(a_{2}-a_{3})-a_{1}(b_{2}-b_{3}))e_{61}+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{64}$ . Ainsi $\mathfrak{I}(N_{6,20}(\alpha,\beta))\simeq K^{4}$ .

$\bullet$ $N_{6,21}(\alpha,\beta,\gamma)$ : on a $R_{c}(e_{4})+[R_{a},R_{b}](e_{4})=\alpha c_{4}(e_{2}+e_{3})+\beta c_{4}e_{6}+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{6}$ ; $R_{c}(e_{5})+[R_{a},R_{b}](e_{5})=\gamma c_{5}e_{6}$ ; donc $R_{c}+[R_{a},R_{b}]\in\mathfrak{I}(N_{6,21}(\alpha,\beta,\gamma))$ si et seulement si $R_{c}=c_{2}(e_{62}-e_{63})+\gamma c_{5}e_{65}$ et $[R_{a},R_{b}]=(b_{1}(a_{2}-a_{3})-a_{1}(b_{2}-b_{3}))e_{61}+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{64}$ . Ainsi $\mathfrak{I}(N_{6,21}(\alpha,\beta,\gamma))\simeq K^{4}$ .

$\bullet$ $N_{6,22}(\alpha,\beta)$ : on a $R_{c}(e_{4})+[R_{a},R_{b}](e_{4})=\alpha c_{4}(e_{2}+e_{3})+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{6}$ ; $R_{c}(e_{5})+[R_{a},R_{b}](e_{5})=\beta c_{5}(e_{2}+e_{3})+\beta(b_{5}(a_{2}-a_{3})-a_{5}(b_{2}-b_{3}))e_{6}$ ; donc $R_{c}+[R_{a},R_{b}]\in\mathfrak{I}(N_{6,22}(\alpha,\beta))$ si et seulement si $R_{c}=c_{2}(e_{62}-e_{63})$ et $[R_{a},R_{b}]=(b_{1}(a_{2}-a_{3})-a_{1}(b_{2}-b_{3}))e_{61}+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{64}+\beta(b_{5}(a_{2}-a_{3})-a_{5}(b_{2}-b_{3}))e_{65}$ . Ainsi $\mathfrak{I}(N_{6,22}(\alpha,\beta))\simeq K^{4}$ .

$\bullet$ $N_{6,23}(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$ : on a $R_{c}(e_{4})+[R_{a},R_{b}](e_{4})=\alpha c_{4}(e_{2}+e_{3})+\beta c_{4}e_{6}+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{6}$ ; $R_{c}(e_{5})+[R_{a},R_{b}](e_{5})=\gamma c_{5}(e_{2}+e_{3})+\delta c_{5}e_{6}+\beta(b_{5}(a_{2}-a_{3})-a_{5}(b_{2}-b_{3}))e_{6}$ ; donc $R_{c}+[R_{a},R_{b}]\in\mathfrak{I}(N_{6,23}(\alpha,\beta,\gamma,\delta))$ si et seulement si $R_{c}=c_{2}(e_{62}-e_{63})$ et $[R_{a},R_{b}]=(b_{1}(a_{2}-a_{3})-a_{1}(b_{2}-b_{3}))e_{61}+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{64}+\beta(b_{5}(a_{2}-a_{3})-a_{5}(b_{2}-b_{3}))e_{65}$ . Ainsi $\mathfrak{I}(N_{6,23}(\alpha,\beta,\gamma,\delta))\simeq K^{4}$ .

$\bullet$ $N_{6,24}(\alpha,\beta,\gamma)$ : on a $R_{c}(e_{4})+[R_{a},R_{b}](e_{4})=\alpha c_{4}(e_{2}+e_{3})+\beta c_{4}e_{6}+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{6}$ ; $R_{c}(e_{5})+[R_{a},R_{b}](e_{5})=\gamma c_{5}(e_{2}+e_{3})+\gamma(b_{5}(a_{2}-a_{3})-a_{5}(b_{2}-b_{3}))e_{6}$ ; donc $R_{c}+[R_{a},R_{b}]\in\mathfrak{I}(N_{6,24}(\alpha,\beta,\gamma))$ si et seulement si $R_{c}=c_{2}(e_{62}-e_{63})$ et $[R_{a},R_{b}]=(b_{1}(a_{2}-a_{3})-a_{1}(b_{2}-b_{3}))e_{61}+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{64}+\gamma(b_{5}(a_{2}-a_{3})-a_{5}(b_{2}-b_{3}))e_{65}$ . Ainsi $\mathfrak{I}(N_{6,24}(\alpha,\beta,\gamma))\simeq K^{4}$ . $\Box$

5.2 Dimension de l’annulateur de $N$ est $2$

Théorème 5.2.1.

Soit $N$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable à puissances associatives de dimension $\leq 6$ , qui n’est pas associative, telle que $\dim(ann(N))=2$ . Alors, la Table $10$ caractérise les dérivations dans $N$ .

Preuve.

$\bullet$ $N_{6,25}(\alpha)$ : $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3}$ , $e_{2}^{2}=e_{5}$ , $e_{3}^{2}=-e_{5}$ , $e_{4}^{2}=\alpha(e_{2}+e_{3})+e_{6}$ , $e_{5}^{2}=e_{6}^{2}=0$ avec $\alpha\neq 0$ . $(a)$ entraîne $d_{14}=d_{41}$ , $d_{24}=d_{42}=0$ , $d_{34}=d_{43}=0$ et comme $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3}$ , $e_{2}^{2}=e_{5}$ , $e_{3}^{2}=-e_{5}$ , $e_{5}^{2}=0$ , alors (5.1) donne $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{51}e_{5}+d_{61}e_{6}$ , $d(e_{2})=d_{22}e_{2}+(2d_{11}-d_{22})e_{2}+d_{52}e_{5}+d_{62}e_{6}$ , $d(e_{3})=(2d_{11}-d_{22})e_{2}+d_{22}e_{2}-d_{52}e_{5}-d_{62}e_{6}$ et $d(e_{5})=2d_{22}e_{5}$ . En dérivant $e_{4}^{2}=\alpha e_{1}^{2}+e_{6}$ , on obtient $2\alpha d_{11}e_{1}^{2}+d(e_{6})=2d_{44}e_{4}^{2}=2\alpha d_{44}(e_{2}+e_{3})+2d_{44}e_{6}$ . Alors $d(e_{6})=2\alpha(d_{44}-d_{11})(e_{2}+e_{3})+2d_{44}e_{6}$ , donc $d_{44}=d_{11}$ car $d(e_{6})\in ann(N)$ . Ainsi $d(e_{4})=d_{11}e_{4}+d_{54}e_{5}+d_{64}e_{6}$ et $d(e_{6})=2d_{11}e_{6}$ .

$\bullet$ $N_{6,26}$ : $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3}+e_{4}$ , $e_{2}^{2}=e_{5}$ , $e_{3}^{2}=e_{6}$ , $e_{4}^{2}=-(e_{5}+e_{6})$ , $e_{5}^{2}=e_{6}^{2}=0$ . $(a)$ entraîne $d_{12}=d_{21}=0$ , $d_{13}=d_{31}=0$ , $d_{14}=d_{41}=0$ , $d_{23}=d_{32}=0$ , $d_{24}=d_{42}=0$ et $d_{34}=d_{43}=0$ . En dérivant $e_{2}^{2}=e_{5}$ et $e_{3}^{2}=e_{6}$ respectivement, on obtient $d(e_{5})=2d_{22}e_{5}$ et $d(e_{6})=2d_{33}e_{6}$ . En dérivant $e_{4}^{2}=-(e_{5}+e_{6})$ , on obtient $-(d(e_{5})+d(e_{6}))=2d_{44}e_{4}^{2}=-2d_{44}(e_{5}+e_{6})$ , i.e. $2(d_{44}-d_{22})e_{5}+2(d_{44}-d_{33})e_{6}=0$ ; donc $d_{22}=d_{44}=d_{33}$ . En dérivant $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3}+e_{4}$ , on obtient $d(e_{2})+d(e_{3})+d(e_{4})=2d_{11}e_{1}^{2}=2d_{11}(e_{2}+e_{3}+e_{4})$ , i.e. $d_{22}(e_{2}+e_{3}+e_{4})+(d_{52}+d_{53}+d_{54})e_{5}+(d_{62}+d_{63}+d_{64})e_{6}$ ; donc $d_{22}=2d_{11}$ , $d_{54}=-(d_{52}+d_{53})$ et $d_{64}=-(d_{62}+d_{63})$ . Ainsi $d(e_{1})=d_{11}e_{1}+d_{51}e_{5}+d_{61}e_{6}$ , $d(e_{2})=2d_{11}e_{2}+d_{52}e_{5}+d_{62}e_{6}$ , $d(e_{3})=2d_{11}e_{3}+d_{53}e_{5}+d_{63}e_{6}$ , $d(e_{4})=2d_{11}e_{4}-(d_{52}+d_{53})e_{5}-(d_{62}+d_{63})e_{6}$ , $d(e_{5})=4d_{11}e_{5}$ , $d(e_{6})=4d_{11}e_{6}$ . $\Box$

Proposition 5.2.2.

Soit $N$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable à puissances associatives de dimension $\leq 6$ , qui n’est pas associative, telle que $\dim(ann(N))=2$ . Alors le crochet des dérivations $d$ et $d^{\prime}$ de $N$ est donné dans la Table $11$ .

Preuve.

Soient $d,d^{\prime}\in\mathfrak{D}(N)$ . Calculons $[d,d^{\prime}]$ .

$\bullet$ $N_{6,25}(\alpha)$ : On a $d\circ d^{\prime}(e_{1})=d_{11}^{\prime}d(e_{1})+d_{51}^{\prime}d(e_{5})+d_{61}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{11}=d_{11}^{\prime}d_{11}-d_{11}d_{11}^{\prime}=0$ , $[d,d^{\prime}]_{51}=(d_{11}^{\prime}d_{51}+2d_{51}^{\prime}d_{22})-(d_{11}d_{51}^{\prime}+2d_{51}d_{22}^{\prime})=d_{51}^{\prime}d_{22}-d_{51}d_{22}^{\prime}$ , $[d,d^{\prime}]_{61}=(d_{11}^{\prime}d_{61}+2d_{61}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{61}^{\prime}+2d_{61}d_{11}^{\prime})=d_{61}^{\prime}d_{11}-d_{61}d_{11}^{\prime}$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{2})=d_{22}^{\prime}d(e_{2})+(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d(e_{3})+d_{52}^{\prime}d(e_{5})+d_{62}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{22}=(d_{22}^{\prime}d_{22}+(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})(2d_{11}-d_{22})-(d_{22}d_{22}^{\prime}+(2d_{11}-d_{22})(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})=0$ , $[d,d^{\prime}]_{52}=(d_{22}^{\prime}d_{52}-(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d_{52}+2d_{52}^{\prime}d_{22})-(d_{22}d_{52}^{\prime}-(2d_{11}-d_{22})d_{52}^{\prime}+2d_{52}d_{22}^{\prime})=2(d_{11}d_{52}^{\prime}-d_{11}^{\prime}d_{52})$ , $[d,d^{\prime}]_{62}=(d_{22}^{\prime}d_{62}-(2d_{11}^{\prime}-d_{22}^{\prime})d_{62}+2d_{62}^{\prime}d_{11})-(d_{22}d_{62}^{\prime}-(2d_{11}-d_{22})d_{62}^{\prime}+2d_{62}d_{11}^{\prime})=2(d_{62}^{\prime}d_{11}-d_{62}d_{11}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{4})=d_{11}^{\prime}d(e_{4})+d_{54}^{\prime}d(e_{5})+d_{64}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{54}=(d_{11}^{\prime}d_{54}+2d_{54}^{\prime}d_{22})-(d_{11}d_{54}^{\prime}+2d_{54}d_{22}^{\prime})=(d_{11}^{\prime}d_{54}-d_{11}d_{54}^{\prime})+2(d_{54}^{\prime}d_{22}-d_{54}d_{22}^{\prime})$ , $[d,d^{\prime}]_{64}=(d_{11}^{\prime}d_{64}+2d_{64}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{64}^{\prime}+2d_{64}d_{11}^{\prime})=d_{64}^{\prime}d_{11}-d_{64}d_{11}^{\prime}$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{6,25}(\alpha))^{\prime}\simeq K^{6}$ .

$\bullet$ $N_{6,26}$ : On a $d\circ d^{\prime}(e_{1})=d_{11}^{\prime}d(e_{1})+d_{51}^{\prime}d(e_{5})+d_{61}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{11}=d_{11}^{\prime}d_{11}-d_{11}d_{11}^{\prime}=0$ , $[d,d^{\prime}]_{51}=(d_{11}^{\prime}d_{51}+4d_{51}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{51}^{\prime}+4d_{51}d_{11}^{\prime})=3(d_{51}^{\prime}d_{11}-d_{51}d_{11}^{\prime})$ , $[d,d^{\prime}]_{61}=(d_{11}^{\prime}d_{61}+4d_{61}^{\prime}d_{11})-(d_{11}d_{61}^{\prime}+4d_{61}d_{11}^{\prime})=3(d_{61}^{\prime}d_{11}-d_{61}d_{11}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{2})=2d_{11}^{\prime}d(e_{2})+d_{52}^{\prime}d(e_{5})+d_{62}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{52}=(2d_{11}^{\prime}d_{52}+4d_{52}^{\prime}d_{11})-(2d_{11}d_{52}^{\prime}+4d_{52}d_{11}^{\prime})=2(d_{52}^{\prime}d_{11}-d_{52}d_{11}^{\prime})$ , $[d,d^{\prime}]_{62}=(2d_{11}^{\prime}d_{62}+4d_{62}^{\prime}d_{11})-(2d_{11}d_{62}^{\prime}+4d_{62}d_{11}^{\prime})=2(d_{62}^{\prime}d_{11}-d_{62}d_{11}^{\prime})$ . On a $d\circ d^{\prime}(e_{3})=2d_{11}^{\prime}d(e_{3})+d_{53}^{\prime}d(e_{5})+d_{63}^{\prime}d(e_{6})$ , alors $[d,d^{\prime}]_{53}=(2d_{11}^{\prime}d_{53}+4d_{53}^{\prime}d_{11})-(2d_{11}d_{53}^{\prime}+4d_{53}d_{11}^{\prime})=2(d_{53}^{\prime}d_{11}-d_{53}d_{11}^{\prime})$ , $[d,d^{\prime}]_{63}=(2d_{11}^{\prime}d_{63}+4d_{63}^{\prime}d_{11})-(2d_{11}d_{63}^{\prime}+4d_{63}d_{11}^{\prime})=2(d_{63}^{\prime}d_{11}-d_{63}d_{11}^{\prime})$ . On en déduit que $\mathfrak{D}(N_{6,26})^{\prime}\simeq K^{6}$ . $\Box$

Proposition 5.2.3.

Soit $N$ une nil-algèbre d’évolution indécomposable à puissances associatives et qui n’est pas associative de dimension $\leq 6$ telle que $\dim(ann(N))=2$ . La Table $12$ caractérise les dérivations intérieures de $N$ .

Preuve.

$\bullet$ $N_{6,25}(\alpha)$ : comme $e_{1}^{2}=e_{2}+e_{3}$ , $e_{2}^{2}=e_{5}$ , $e_{3}^{2}=-e_{5}$ $e_{5}^{2}=0$ alors, pour $a,b,c\in N$ , on a $R_{c}(e_{1})=c_{1}(e_{2}+e_{3})$ , $R_{c}(e_{2})=c_{2}e_{5}$ , $R_{c}(e_{3})=-c_{3}e_{5}$ , $R_{c}(e_{4})=c_{4}(\alpha(e_{2}+e_{3})+e_{6})$ , $R_{c}(e_{5})=R_{c}(e_{6})=0$ . Comme $c_{2}=[R_{c}]_{52}$ , $[R_{c}]_{53}=-[R_{c}]_{52}=-c_{3}$ alors $c_{3}=c_{2}$ et $R_{c}=c_{2}(e_{52}-e_{53})$ . Par ailleurs $[R_{a},R_{b}](e_{1})=(b_{1}(a_{2}-a_{3})-a_{1}(b_{2}-b_{3}))e_{5}$ , $[R_{a},R_{b}](e_{2})=[R_{a},R_{b}](e_{3})=0$ , $[R_{a},R_{b}](e_{4})=\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{5}$ et $[R_{a},R_{b}](e_{5})=[R_{a},R_{b}](e_{6})=0$ ; donc $R_{c}+[R_{a},R_{b}]\in\mathfrak{I}(N_{6,25}(\alpha))$ si et seulement si $R_{c}=c_{2}(e_{52}-e_{53})$ et $[R_{a},R_{b}]=(b_{1}(a_{2}-a_{3})-a_{1}(b_{2}-b_{3}))e_{51}+\alpha(b_{4}(a_{2}-a_{3})-a_{4}(b_{2}-b_{3}))e_{54}$ . Ainsi $\mathfrak{I}(N_{6,25}(\alpha))\simeq K^{3}$ .

$\bullet$ $N_{6,26}$ : on a $R_{c}(e_{1})=c_{1}e_{1}^{2}=c_{1}(e_{2}+e_{3}+e_{4})$ , $R_{c}(e_{2})=c_{2}e_{5}$ , $R_{c}(e_{3})=c_{3}e_{6}$ , $R_{c}(e_{4})=-c_{4}(e_{5}+e_{6})$ , $R_{c}(e_{5})=R_{c}(e_{6})=0$ . On a $c_{1}=[R_{c}]_{21}=0$ , $c_{2}=[R_{c}]_{52}$ , $c_{3}=[R_{c}]_{63}$ , $-c_{4}=[R_{c}]_{54}=[R_{c}]_{64}$ donne $-c_{4}=-([R_{c}]_{52}+[R_{c}]_{53})=-([R_{c}]_{62}+[R_{c}]_{63})=-[R_{c}]_{6,3}$ et $-c_{4}=-c_{3}=-[R_{c}]_{52}=-c_{2}$ , par suite $R_{c}=c_{2}(e_{52}+e_{63}-e_{54}-e_{64})$ . Par ailleurs $[R_{a},R_{b}](e_{1})=(e_{1}b)a-(e_{1}a)b=(b_{1}(a_{2}-a_{4})-a_{1}(b_{2}-b_{4}))e_{5}+(b_{1}(a_{3}-a_{4})-a_{1}(b_{3}-b_{4}))e_{6}$ , $[R_{a},R_{b}](e_{i})=0$ pour $i=2,3,4,5,6$ . Donc $R_{c}+[R_{a},R_{b}]$ est une dérivation de $N_{6,26}$ si et seulement si $[R_{c}]=c_{2}(e_{52}+e_{63}-e_{54}-e_{64})$ et $[R_{a},R_{b}]=(b_{1}(a_{2}-a_{4})-a_{1}(b_{2}-b_{4}))e_{51}+(b_{1}(a_{3}-a_{4})-a_{1}(b_{3}-b_{4}))e_{61}$ . Ainsi $\mathfrak{I}(N_{6,26})\simeq K^{2}$ .

$\Box$

Bibliography17

The reference list from the paper itself. Each links out to its DOI / PubMed record.

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4[4] Y. Cabrera Casado, M. Siles Molina, M.V. Velasco, Classification of three-dimensional Evolution algebras , Linear Algebra Appl., 524 , 68–108 (2017).
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TL;DR

Contribution

Findings

Abstract

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Taxonomy

Dérivations dans les algèbres d’évolution à puissances associatives

Abstract

1 Introduction

2 Préliminaires

Définition 2.0.1**.**

Définition 2.0.2**.**

Définition 2.0.3**.**

Définition 2.0.4**.**

Théorème 2.0.5** ([1]).**

Définition 2.0.6**.**

Définition 2.0.7**.**

Définition 2.0.8**.**

Théorème 2.0.9**.**

Preuve.

Théorème 2.0.10** ([14], Theorem 3.5.4).**

Proposition 2.0.11**.**

Preuve.

Exemple 2.0.12**.**

Exemple 2.0.13**.**

Exemple 2.0.14**.**

Exemple 2.0.15**.**

3 Nil-algèbres décomposables

Théorème 3.0.1** (Caractérisation des dérivations).**

Preuve.

Théorème 3.0.2**.**

Preuve.

Proposition 3.0.3**.**

Preuve.

Exemple 3.0.4**.**

Lemme 3.0.5** ([9], Corollary 2.6).**

Proposition 3.0.6** ([14], Table 111).**

Proposition 3.0.7** ([14], Table 222).**

Proposition 3.0.8** ([14], Table 333).**

4 Nil-algèbres associatives et indécomposables

4.1 Dimension de l’annulateur de NNN est 111

Théorème 4.1.1**.**

Preuve.

Proposition 4.1.2**.**

Preuve.

4.2 Dimension de l’annulateur de NNN est 222

Théorème 4.2.1**.**

Preuve.

Proposition 4.2.2**.**

Preuve.

Proposition 4.2.3**.**

Preuve.

Proposition 4.2.4**.**

Preuve.

5 Nil-algèbres indécomposables qui n’est pas associatives

5.1 Dimension de l’annulateur de NNN est 111

Théorème 5.1.1**.**

Preuve.

Proposition 5.1.2**.**

Preuve.

Proposition 5.1.3**.**

Preuve.

5.2 Dimension de l’annulateur de NNN est 222

Théorème 5.2.1**.**

Preuve.

Proposition 5.2.2**.**

Preuve.

Proposition 5.2.3**.**

Preuve.

Définition 2.0.1.

Définition 2.0.2.

Définition 2.0.3.

Définition 2.0.4.

Théorème 2.0.5 ([1]).

Définition 2.0.6.

Définition 2.0.7.

Définition 2.0.8.

Théorème 2.0.9.

Théorème 2.0.10 ([14], Theorem 3.5.4).

Proposition 2.0.11.

Exemple 2.0.12.

Exemple 2.0.13.

Exemple 2.0.14.

Exemple 2.0.15.

Théorème 3.0.1 (Caractérisation des dérivations).

Théorème 3.0.2.

Proposition 3.0.3.

Exemple 3.0.4.

Lemme 3.0.5 ([9], Corollary 2.6).

Proposition 3.0.6 ([14], Table $1$ ).

Proposition 3.0.7 ([14], Table $2$ ).

Proposition 3.0.8 ([14], Table $3$ ).

4.1 Dimension de l’annulateur de $N$ est $1$

Théorème 4.1.1.

Proposition 4.1.2.

4.2 Dimension de l’annulateur de $N$ est $2$

Théorème 4.2.1.

Proposition 4.2.2.

Proposition 4.2.3.

Proposition 4.2.4.

5.1 Dimension de l’annulateur de $N$ est $1$

Théorème 5.1.1.

Proposition 5.1.2.

Proposition 5.1.3.

5.2 Dimension de l’annulateur de $N$ est $2$

Théorème 5.2.1.

Proposition 5.2.2.

Proposition 5.2.3.