Harer-Zagier generating functions, the Redfield-Polya cycle index and Cohen semilinear congruences

TL;DR

This paper explores the connection between Harer-Zagier generating functions, necklace polynomials, and Cohen semilinear congruences, revealing how Taylor expansions relate to solutions of these congruences in the context of moduli spaces.

Contribution

It establishes a novel link between generating functions for moduli space Euler characteristics and solutions to Cohen semilinear congruences, advancing understanding in algebraic topology and number theory.

Findings

Taylor expansions depend on solutions of Cohen semilinear congruences

Harer-Zagier generating functions involve n-necklace polynomials

New connections between algebraic topology and number theory

Abstract

Harer-Zagier generating functions for Euler characteristics of moduli spaces of curves contain $n$-necklace polynomials. Taylor expansions for these polynomials depend on numbers of solutions of Cohen semilinear congruences.

Equations

$$\sum _{n=1}^{k}M(t;n,k)q^n$$

$${{\left(t\frac{d}{dt}\right)}^{m}L{i}_s(t)|}_{t=1}=\zeta (s-m),$$

$$L{i}_s(t):=\sum _{k⩾1}\frac{t^k}{k^s}.$$

$$M(t;n,k):=\frac{1}{k}\sum _{d|k}c(n,k/d)t^d,$$

$$c(n,k):=\sum _{\begin{array}{c}1⩽m⩽k\\ (m,k)=1\end{array}}{ϵ}_k^{mn},$$

$${\beta }_{k,d}(t):=\sum _{r=1}^{k-1}{ϵ}_d^r{t}^{k-(k,r)}=\sum _{l|k,l<k}c(k,l,d)t^{k-l},d|k,$$

$$c(k,l,d):=\sum _{\begin{array}{c}1⩽m⩽k\\ (m,k)=l\end{array}}{ϵ}_d^m.$$

$$Z_H^{\chi }(t_1,\dots ,t_v):=\frac{1}{|H|}\sum _{h\in H}\chi (h)\prod _{j=1}^v{t}_j^{c_j(h)},$$

$$c(k,l,d)=\sum _{\begin{array}{c}1⩽m⩽k\\ (m,k)=l\end{array}}{ϵ}_d^m=\sum _{\begin{array}{c}1⩽m⩽k\\ (m/l,k/l)=1\end{array}}{ϵ}_{k/l}^{mk/(dl)}.$$

$$=\sum _{\begin{array}{c}1⩽a⩽k/l\\ (a,k/l)=1\end{array}}{ϵ}_{k/l}^{ak/d}=c(k/d,k/l).$$

$$Z_{R(G)}^{\chi }(t_1,\dots ,t_{|G|})=\frac{1}{|G|}\sum _{d||G|}{t}_{|G|/d}^d\sum _{o(g)=|G|/d}\chi (g).$$

$$Z_{R(C_k)}^{{\chi }_n}(t_1,\dots ,t_k)=\frac{1}{k}\sum _{d|k}c(n,k/d)t_{k/d}^d.■$$

$${\Phi }^1(X,Y):=\sum _{s⩾2}\frac{(-1{)}^s{X}^s}{s(s-1)Y}-\sum _{\begin{array}{c}h⩾1\\ s⩾0\end{array}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+2h-2}{s}\right)\frac{(-1{)}^s{B}_{2h}{X}^s{Y}^{2h-1}}{2h}$$

$$=\frac{1}{Y}((1+X)\log (1+X)-X)+\mathfrak{B}\left(\frac{Y}{1+X}\right),$$

$$\mathfrak{B}(T)=-\sum _{h⩾1}\frac{B_{2h}}{2h}{T}^{2h-1}\in \mathbb{Q}[[T]],$$

$$\sum _{g⩾1}e({\Gamma }_g^1)t^{2g-1}=\sum _{k⩾1}\frac{\varphi (k)}{k}\sum _{d|k}\mu (d){\bar{\Phi }}^1(M(1/t;k/d,k),k{t}^k),$$

$${\bar{\Phi }}^1(Z,Y)={\Phi }^1(YZ-1,Y)=Z\log (YZ)-Z+1/Y+\mathfrak{B}(1/Z).■$$

$$\sum _{g⩾1}e({\Gamma }_g)t^{2g-2}=\sum _{k⩾1}\sum _{m,d|k}\frac{\varphi (d)\mu (m)}{m^2}\Phi \left({\beta }_{k/m,d/(d,m)}(t^m),\frac{k{t}^k}{m}\right),$$

$$\Phi (X,Y):=\sum _{s⩾3}\frac{(-1{)}^{s-1}{X}^s}{s(s-1)(s-2)}+\sum _{s⩾1}\frac{(-1{)}^s{X}^s{Y}^2}{12s}$$

$$+\sum _{h⩾2}\frac{B_{2h}}{2h(2h-2)}{\left(\frac{Y}{1+X}\right)}^{2h-2}.$$

$$x_1+\cdots +x_s=b\mathrm{mod}k,(x_i,k)=l_i,i=1,\dots ,s.$$

$$N_k(b;l_1,\dots ,l_s)=\frac{1}{k}\sum _{d|k}c(b,d)\prod _{i=1}^{s}c(k/d,k/l_i).$$

$$\sum _{\begin{array}{c}{l}_1,\dots ,l_s|k\\ l_i\ne k,i=1,\dots ,s\end{array}}{N}_k(b;l_1,\dots ,l_s)t^{ks-\sum l_i}$$

$$=\frac{1}{k}\sum _{d|k}c(b,d)\sum _{\begin{array}{c}{l}_1,\dots ,l_s|k\\ l_i\ne k,i=1,\dots ,s\end{array}}c(k/d,k/l_1)t^{k-l_1}\dots c(k/d,k/l_s)t^{k-l_s}$$

$$=\frac{1}{k}\sum _{d|k}c(b,d)({\beta }_{k,d}(t){)}^s.$$

Full text

Harer-Zagier generating functions for Euler characteristics of moduli spaces of curves contain $n$-necklace polynomials. Taylor expansions for these polynomials depend on numbers of solutions of Cohen semilinear congruences.

Работа поддержана грантом РФФИ-16-01-00409

В производящих функциях для эйлеровых характеристик пространств модулей кривых [6], Th. 4’, Th. 5’; [3], Th. 4.5, Remark 4.6, появляются многочлены $\beta_{k,d}(t)$. Мы докажем в п. 1, что они отличаются простым преобразованием от обобщённых цикловых индексов Редфилда-Пойа, отвечающих регулярному представлению циклической группы $C_{k}$ порядка $k$ и её неприводимым характерам. Обобщённые цикловые индексы известны также как симметрические функции Шура конечной группы перестановок (характеры общей линейной группы) [10] или как образы при отображении Фробениуса индуцированных характеров симметрической группы [11], p. 395. Многочлены $\beta_{k,d}(t)$ были введены для алгебраического упрощения производящих функций для эйлеровых характеристик. Начальные варианты этих производящих функций содержали количества решений некоторых линейных сравнений (они появляются при гомоморфизме в циклическую группу как образы соотношений в исходной группе), которые затем были "упакованы"  в многочлены $(\beta_{k,d}(t))^{s}$, $s\in\mathbb{Z}_{>0}$. Одна из частей равенства, приводящего к упрощению производящих функций [6], р. 482, определяется количествами решений линейных сравнений – в п. 3 мы свяжем другую часть с количествами решений полулинейных сравнений Коэна. Возможно, поиск прямой связи между полулинейными сравнениями Коэна и комбинаторной топологией из [6] и [3] мог бы привести к сжатию информации не только на алгебраическом уровне производящих функций, но и на уровне комбинаторной топологии, что позволило бы упростить доказательства в [6] и [3]. Полулинейные сравнения Коэна можно рассматривать как семейства линейных сравнений в следующем смысле. Если $(x_{1},\dots,x_{m};y_{1},\dots,y_{m})$ – решение сравнения Коэна (7) для $r=1$, то $(x_{1},\dots,x_{m})$ – решение линейного сравнения, коэффициенты которого зависят от $(y_{1},\dots,y_{m})$ (формула для количества решений линейного сравнения с произвольными коэффициентами имеется в [2], p. 138). Такая интерпретация может быть полезной для комбинаторных (биективных) доказательств формул из п. 3.

Для $t\in\mathbb{Z}_{>0}$ специализация обобщённого циклового индекса в правой части формулы (4) совпадает с размерностью отвечающего неприводимому характеру класса симметрии тензоров, причём, это верно для обобщённого циклового индекса любого неприводимого характера любой конечной группы перестановок [10], p. 226. Поэтому для регулярного представления циклической группы формулы из п. 3 связывают размерности классов симметрии тензоров, отвечающие неприводимым характерам циклической группы, с количествами решений полулинейных сравнений Коэна. Интересно было бы найти категорификацию этих формул.

В п. 1 в качестве промежуточных объектов между обобщёнными цикловыми индексами Редфилда-Пойа и многочленами Харера-Цагира $\beta_{k,d}(t)$ вводятся $n$-ожерельные многочлены $M(t;n,k)$ (они определяются классическими суммами Рамануджана $c(n,k)$). Выделение этих многочленов мотивируется связями ожерельных многочленов $M(t;1,k)$ с различными разделами математики (обзор имеется в [7]) – возникает вопрос о связях этих разделов с пространствами модулей кривых. Другие обобщения многочленов $M(t;1,k)$ [7] определяют эйлеровы характеристики пространств модулей неприводимых многочленов от нескольких переменных над $\mathbb{R}$ и над $\mathbb{C}$ – вопрос о связи этих пространств с пространствами модулей кривых также остаётся открытым. Для $t\in\mathbb{Z}_{>0}$ производящий многочлен для чисел $M(t;n,k)$

[TABLE]

является специализацией симметрической функции Краскиевича-Веймана [9], p. 9, [1], p. 9 (полагаем $t$ переменных этой функции равными $1$, а остальные – равными [math]).

В п. 2 мы покажем как зависит от многочленов $M(t;n,k)$ производящая функция для эйлеровых характеристик $e(\Gamma_{g}^{1})$ групп классов отображений $\Gamma_{g}^{1}$ кривых рода $g$ с одной отмеченной точкой [6], Th. 4’. Используется равенство (3), связывающее многочлены $M(t;n,k)$ и $\beta_{k,d}(t)$. Также из этого равенства вытекает, что появляющиеся в [5], p. 447, многочлены являются обобщениями для любой конечной группы многочленов Харера-Цагира $\beta_{k,d}(t)$ (с заменой $t^{a}\to t^{k-a}$ для всех $a$). Роль сумм Рамануджана играют суммы значений неприводимого характера группы на всех элементах этой группы, имеющих фиксированный порядок.

В п. 3 доказаны формулы, связывающие количества решений $Q_{r}(n,k,m)$ полулинейных сравнений Коэна с многочленами $M_{r}(t;n,k)$ (они определяются $r$-суммами Рамануджана $c_{r}(n,k)$ из [4]). С многочленами Харера-Цагира $\beta_{k,d}(t)$ связан частный случай $Q_{1}(n,k,s)$ и $M_{1}(t;n,k)=M(t;n,k)$, но многочлены $M_{r}(t;n,k)$ позволяют использовать числа $Q_{r}(n,k,m)$ для всех $r$. Доказанные в п. 3 формулы вытекают из равенства

[TABLE]

Соотношения между числами $Q_{r}(n,k,m)$ и многочленами $M_{r}(t;n,k)$ можно разными способами представить как соотношения между производящими функциями для них, мы рассмотрим один такой пример. В [4], p. 548, получена формула для производящего ряда Дирихле чисел $Q_{r}(n,k,m)$, мы докажем аналогичную формулу для многочленов $M_{r}(t;n,k)$. Для соотношений между этими рядами Дирихле формула (1) сводится к равенству

[TABLE]

где $\zeta(s)=Li_{s}(1)$ – дзета-функция Римана и $Li_{s}(t)$ – полилогарифм,

[TABLE]

1. Многочлены Харера-Цагира и $n$-ожерельные многочлены. Для $n,k\in\mathbb{Z}_{>0}$ определим $n$-ожерельные многочлены $M(t;n,k)$ формулой

[TABLE]

где $c(n,k)$ – суммы Рамануджана,

[TABLE]

$\epsilon_{k}:=e^{\frac{2\pi i}{k}}$, $(n,k)$ – наибольший общий делитель чисел $n$ и $k$. В частности, $c(0,k)=\phi(k)$ – функция Эйлера, $c(1,k)=\mu(k)$ – функция Мёбиуса.

Многочлены $\beta_{k,d}(t)$ определяются формулой [6], p. 482,

[TABLE]

где для $l|k$ и $d|k$

[TABLE]

Для характера $\chi$ группы перестановок $H$ на множестве из $v$ элементов обобщённый цикловой индекс $Z_{H}^{\chi}(t_{1},\dots,t_{v})$ определяется формулой

[TABLE]

где $c_{j}(h)$ – количество циклов длины $j$ в перестановке $h$. Для конечной группы $G$ обозначим через $R(G)$ её образ при регулярном представлении. Тогда $R(G)$ – группа перестановок на множестве $G$. Через $\chi_{n}$ обозначим неприводимый характер циклической группы $C_{k}$, значение которого на образующей группы равно $\epsilon_{k}^{n}$.

[TABLE]

[TABLE]

Доказательство. Полагая $a:=m/l$, получим

[TABLE]

[TABLE]

Из этого равенства следует формула (3). При регулярном представлении группы $G$ элемент $g\in G$ (обозначим через $o(g)$ его порядок) действует как циклическая перестановка на каждом классе смежности порождённой им подгруппы, а значит является произведением $|G|/o(g)$ циклов длины $o(g)$. Поэтому

[TABLE]

В частности, для $G=C_{k}$ из определения сумм Рамануджана следует равенство

[TABLE]

2. Производящие функции Харера-Цагира. Согласно [6], Th. 4’, производящая функция для эйлеровых характеристик $e(\Gamma_{g}^{1})$ групп классов отображений $\Gamma_{g}^{1}$ кривых рода $g$ с одной отмеченной точкой имеет вид

[TABLE]

где

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

$B_{2h}$ – числа Бернулли. С помощью Предложения 1 формула (5) преобразуется к следующему виду.

где

[TABLE]

Аналогично зависит от многочленов $M(t;n,k)$ производящая функция для эйлеровых характеристик $e(\Gamma_{g})$ групп классов отображений $\Gamma_{g}$ кривых рода $g$ без отмеченных точек [6], Th. 5’,

[TABLE]

где

[TABLE]

[TABLE]

3. Полулинейные сравнения Коэна. Для делителей $l_{1},\dots,l_{s}$ числа $k$ пусть $N_{k}(b;l_{1},\dots,l_{s})$ – количествo решений сравнения

[TABLE]

Согласно [2], p. 137,

[TABLE]

В [6], p. 479, появляются частные случаи чисел $N_{k}(b;l_{1},\dots,l_{s})$ и они удаляются из производящих функций [6], p. 481, с помощью соответствующих частных случаев равенства (мы используем формулы (2) и (3))

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Аналогично для многочленов $M(t;n,k)$ имеем

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Пусть $Q_{r}(n,k,m)$ – количество решений

[TABLE]

полулинейного сравнения Коэна

[TABLE]

где $(a_{i},k)=1$ для всех $i$. Согласно [4], p. 547,

[TABLE]

В Предложении 3 мы свяжем числа $Q_{r}(n,k,m)$ с более общими многочленами

[TABLE]

где $c_{r}(n,k)$ – $r$-суммы Рамануджана [4],

[TABLE]

$(a,b)_{r}$ – наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$, являющийся $r$-й степенью. В частности, $c_{1}(n,k)=c(n,k)$ и $M_{1}(t;n,k)=M(t;n,k)$.

Числа Стирлинга первого рода $s(n,m)$ определяются равенством

[TABLE]

Пусть

[TABLE]

Согласно [4], p. 546, сумма в правой части равна $1$, если $k^{r}|n$, и равна [math] в других случаях.

[TABLE]

[TABLE]

в частности, для $r=1$

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Доказательство.

[TABLE]

[TABLE]

Используя равенство [8], p. 4,

[TABLE]

получим формулу (9). Формулы (10) и (11) представляют собой разложения Тейлора с учётом равенства

[TABLE]

Отметим ещё один способ связать числа $N_{k}(b;l_{1},\dots,l_{s})$ и $Q_{1}(n,k,s)$. Заменяя в правой части формулы (6) $t^{d}$ на $d^{t}$ для всех $d$, получим следующий её аналог

[TABLE]

Значения левой части этой формулы в точках $t\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, а значит и коэффициенты интерполяционного ряда Ньютона этой функции, определяются числами $Q_{1}(n,k,s)$ (это следует из формулы (8)). Напомним, что ряд Ньютона для функции $h(t)$ определяется по любой последовательности $a_{0},a_{1},a_{2},\dots$ различных чисел (в нашем случае из $\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$)

[TABLE]

где

[TABLE]

Согласно [4], p. 548, для $p\in\mathbb{C}$

[TABLE]

где

[TABLE]

Докажем аналогичную формулу для многочленов $M_{r}(t;n,k)$.

Доказательство. Используя правило умножения рядов Дирихле (коэффициенты произведения являются свёртками Дирихле коэффициентов сомножителей) и равенство [4], p. 548,

[TABLE]

получим

[TABLE]

[TABLE]

Для производящих рядов Дирихле $Q_{r}(n,m)$ и $M_{r}(t;n)$ Предложение 3 примет следующий вид (полагаем $M(t;n):=M_{1}(t;n)$ и $Q(n,m):=Q_{1}(n,m)$).

[TABLE]

[TABLE]

в частности, для $r=1$

[TABLE]

[TABLE]

[TABLE]

Список литературы

• [1]

C. Ahlbach, J. P. Swanson, Cyclic sieving, necklaces, and branching rules related to Thrall’s problem, arXiv:1808.06043.

• [2]

K. Bibak, B. M. Kapron, V. Srinivasan, R. Tauraso, L. Toth, Restricted linear congruences, J. Number Theory 171 (2017), 128-144.

• [3]

G. Bini, J. Harer, Euler characteristics of moduli spaces of curves, J. Eur. Math. Soc. 13 (2011), 487–512.

• [4]

E. Cohen, An extension of Ramanujan’s sum. II. Additive properties, Duke Math. J. 22 (1955), 543-550.

• [5]

I. P. Goulden, J. H. Kwak, J. Lee, Distributions of regular branched surface coverings, European J. Combin. 25 (2004), 437-455.

• [6]

J. Harer, D. Zagier, The Euler characteristic of the moduli space of curves, Invent. Math. 85 (1986), 457–485.

• [7]

T. Hyde, Cyclotomic factors of necklace polynomials, arXiv:1811.08601.

• [8]

W. Lang, On generalizations of the Stirling number triangles, J. Integer Seq. 3 (2000), Article 00.2.4.

• [9]

A. Lascoux, B. Leclerc, J.-Y. Thibon, Ribbon tableaux, Hall-Littlewood functions and unipotent varieties, Sem. Lothar. Combin. 34 (1995), Art. B34g.

• [10]

R. Merris, Manifestations of Polya’s counting theorem, Linear Algebra Appl. 32 (1980), 299-234.

• [11]

R. P. Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. II, Cambridge Univ. Press 1999.